Из 90 изделий, среди которых имеется 5 нестандартных, выбраны случайным образом 8 изделий для проверки

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Из 90 изделий, среди которых имеется 5 нестандартных, выбраны случайным образом 8 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 8 изделий окажется хотя бы одно нестандартное изделие, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли и локальную теорему Муавра-Лапласа.

Решение

Основное событие 𝐴 – среди выбранных 8 изделий окажется хотя бы одно нестандартное изделие. Это событие противоположно событию 𝐴̅− среди выбранных 8 изделий нет ни одного нестандартного изделия. Найдем вероятность события 𝐴̅. По классическому определению вероятности, вероятность события 𝐴̅равна  где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. Число возможных способов выбрать 8 изделий из 90 по формуле сочетаний равно равна . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа 85 стандартных изделий выбрали 8 (это можно сделать 𝐶85 8 способами).  Вероятность события 𝐴 равна:  2) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая. Вероятность события 𝐴̅ – среди выбранных 8 изделий нет ни одного нестандартного изделия, равна:  Вероятность события 𝐴 – среди выбранных 8 изделий окажется хотя бы одно нестандартное изделие, равна: 3) Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события 𝐴 в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит 𝑚 раз, определяется по формуле:  В данном случае  Вероятность события 𝐴̅ – среди выбранных 8 изделий нет ни одного нестандартного изделия, равна:  Вероятность события 𝐴 – среди выбранных 8 изделий окажется хотя бы одно нестандартное изделие, равна:  Ответ: