Электрическая цепь из 𝑛 последовательно соединенных лампочек работает при повышенном напряжении

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16243
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Электрическая цепь из 𝑛 последовательно соединенных лампочек работает при повышенном напряжении в сети. Вероятность того, что лампочка перегорит, для всех 𝑛 лампочек одинакова и в этих условиях равна 0,4. Требуется: 1) Построить ряд и функцию распределения числа перегоревших лампочек в цепи из четырех лампочек; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины. 2) Оценить вероятность того, что при разрыве цепи из двухсот лампочек окажется перегоревших лампочек: а) ровно половина; б) от 75 до 85.

Решение

1) Случайная величина 𝑋 − число перегоревших лампочек, может принимать значения  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна , то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Ряд распределения имеет вид:  Функция распределения выглядит следующим образом Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно: Дисперсия 𝐷(𝑋) равна:  2) Оценим вероятность того, что при разрыве цепи из двухсот лампочек окажется перегоревших лампочек: а) ровно половина; б) от 75 до 85. Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие А наступит 𝑚 раз, определяется по формуле В данном случае  Тогда вероятность искомого события 𝐴 – из 200 лампочек перегорит ровно 100, равна:  Применим интегральную теорему Лапласа. Если вероятность 𝑝 наступления события 𝐴 в каждом из 𝑛 независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит не менее чем 𝑚1 раз и не более чем 𝑚2 раза, определяется по формуле:  В данном случае  Тогда вероятность искомого события 𝐵 − из 200 лампочек перегорит от 75 до 85, равна: