Дана функция распределения случайно величины 𝑋: Найти значение параметра 𝐶, функцию плотности распределения вероятностей

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16328
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Дана функция распределения случайно величины 𝑋: Найти значение параметра 𝐶, функцию плотности распределения вероятностей, моду, медиану, 𝑀(𝑋), 𝐷(𝑋) и 𝜎(𝑋). Вычислить 𝑃(4≤𝑋≤8), построить графики функции распределения и плотности.

Решение Значение параметра 𝐶 находим по свойствам функции распределения: Заданная функция распределения имеет вид: Плотность распределения вероятности найдем по формуле при 1≤𝑥≤10,0, при 𝑥>10 Модой непрерывного распределения является такое значение 𝑋, которое соответствует максимуму функции плотности распределения. Поскольку функция плотности вероятности (прямая) максимальна при 𝑥=10 мода 𝑀0=10. Медианой является такое значение 𝑋, для которого плотность вероятности слева и справа равны 0,5.  Откуда:

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:𝐷=(−2)2−4∙1∙(−39,5)=4+158=162𝑀𝑒1=2−√1622≈−5,86;𝑀𝑒2=2+√1622≈7,364Поскольку случайная величина распределена в интервале 1≤𝑥≤10, то медиана равна:𝑀𝑒≈7,364Найдем математическое ожидание случайной величины 𝑋.𝑀(𝑋)=∫𝑥∙𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞−∞=∫𝑥∙281(𝑥−1)𝑑𝑥101=281∫(𝑥2−𝑥)𝑑𝑥101==281(𝑥33−𝑥22)|110=281(1033−1022−133+122)=7𝑀(𝑋2)=∫𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞−∞=∫𝑥2∙281(𝑥−1)𝑑𝑥101=281∫(𝑥3−𝑥2)𝑑𝑥101==281(𝑥44−𝑥33)|110=281(1044−1033−144+133)=53,5Дисперсия𝐷(𝑋)равна:𝐷(𝑋)=𝑀(𝑋2)−(𝑀(𝑋))2=53,5−72=4,5Найдем среднее квадратическое отклонение.𝜎(𝑋)=√𝐷(𝑋)=√4,5=2,121Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале:

𝑃(4≤𝑋≤8)=𝐹(8)−𝐹(4)=181(82−2∙8+1)−181(42−2∙4+1)=4081Построим графики функции распределения и плотности.