3 стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу в мишень, изображенную на рисунке. Определить математическое ожидание числа

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16373
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

3 стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу в мишень, изображенную на рисунке. Определить математическое ожидание числа попаданий в цель, если рассеивание точек попадания нормальное с параметрами sx1 = 3, sy1 = 3, mx1 = my1 = 0, sx2 = 2, sy2 = 2, mx2 = my2 = 0, sx3 = 1.5, sy3 = 1.5, mx3 = my3 = 0. для первого, второго и третьего стрелков соответственно. Вычислить также вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

Решение

Вероятность попадания в квадрат со стороной 𝑎 = 2, если случайная точка распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением 𝑠, равна:  − нормальная функция распределения. Вероятность попадания в круг радиуса  если случайная точка распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением 𝑠, равна:  Поскольку все заданные математические ожидания и отклонения имеют одинаковый значения (относительно координатных осей) и фигура представляет собой половину квадрата и половину круга, то вероятность попадания в такую фигуру при одном выстреле определим по формуле:  Обозначим события: 𝐴1 − первый стрелок попадет в мишень; 𝐴2 − второй стрелок попадет в мишень; 𝐴3 − третий стрелок попадет в мишень; 𝐴1 ̅̅̅ − первый стрелок не попадет в мишень; 𝐴2 ̅̅̅ − второй стрелок не попадет в мишень; 𝐴3 ̅̅̅ − третий стрелок не попадет в мишень. Вероятности этих событий равны:  Тогда  Случайная величина 𝑋 – число попаданий в цель, может принимать значения  По формулам сложения и умножения вероятностей, вероятность события 𝐴 – в мишени нет попаданий, равна:  Аналогично вероятность события 𝐵 – в мишени одно попадание, равна:  Аналогично вероятность события 𝐶 – в мишени два попадания, равна:  Аналогично вероятность события 𝐷 – в мишени три попадания, равна:Закон распределения имеет вид: Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно:  Вычислим вероятность хотя бы одного попадания в мишень: