Ряды в математике - определение с примерами решения

Содержание:

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения:

Выражение для n-го члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда.

Чаще всего общий член ряда задается формулой пользуясь которой можно написать любой член ряда,  - функция натурального аргумента
 

Пример: Если
 

Пример: Если

Пример: Дан общий член ряда Написать первые четыре
члена ряда

Решение:

Если

• если
• если 
• если 

Ряд можно записать
 

Пример:

Найти общий член ряда

Решение:

Последовательности чисел числителя арифметическую прогрессию

n-й член арифметической прогрессии находим по Здесь поэтому

Последовательности чисел знаменателя образуют геометрическую

n-й член геометрической прогрессии находим по формуле  Следовательно, общий член ряда имеет вид

Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда.

Пример:

Пусть а рекуррентная формула такова:

Последовательно находим

Таким образом, получаем ряд

 

Сходимость числовых рядов

Пусть дан ряд

Сумма n первых членов ряда, обозначенной через

называется n-й частичной суммой ряда.

Образуем последовательность частичных сумм ряда:

С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее и большее число членов ряда.

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм членов данного ряда при

то ряд называется сходящимся, а число S - его суммой

Если не существует конечного предела последовательности частичных сумм ряда то ряд называется расходящимся или  - не существует).

Ряд может расходиться в следующих случаях:

1. Если последовательность будет стремиться к бесконечности или не существует;
2. Если последовательность колеблющаяся (например, последовательность не имеет предела ни конечного, ни бесконечного);
3. В обоих случаях ряд не имеет суммы.

Основные свойства сходящихся числовых рядов

1.    Если сходится ряд

• то сходится и ряд 
• полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов (этот
• последний ряд называют m-м остатком исходного ряда);
• наоборот, из сходимости m-го остатка вытекает сходимость данного ряда.

2.    Если сходится ряд и его суммой является число то сходится и ряд  полученный умножением данного ряда на число  причем сумма последнего равна

3.    Если сходятся ряды

и

имеющие соответственно суммы то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна

Пример №1

Рассмотрим сумму членов бесконечной геометрической прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии равна

а) Если и поэтому

Следовательно, при  ряд, составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму

Например, ряд ряд сходится, его сумма равна

б)    Если и поэтому т.е. ряд расходится.

Например, ряд

его сумма равна ряд расходится,

в)    Если  то при q=l ряд примет вид

При q= -7 ряд принимает вид  и  - не существует.

Следовательно ряд при расходится.

Вывод: ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при 
 

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Теорема (необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд  сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е.

Таким образом, если тогда ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда

и

1.    Если (n= 1,2,3,....), т.е. каждый член ряда (10.1) не превосходит соответствующего члена ряда (10.2), и ряд (10.2) сходится, то сходится и ряд (10.1). Этот признак остается в силе, если неравенства выполняется не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

2.    Если и ряд (10.2) расходится, то расходится и ряд (10.1).
 

Признак Даламбера

Если для ряда существует 

то это ряд сходится при D<1, и ряд расходится при D>1 (при D = 1 вопрос остается нерешенным).

Признак Коши (радикальный)

Если для ряда существует 
то это ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1 (при С = 1 вопрос остается нерешенным).

Интегральный признак Коши

Если f(v)    - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, определенная при х>1, то ряд   ряд, члены которого положительны и монотонно убывающие, сходится или расходится в зависимости от того сходится или расходится несобственный интеграл

 

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена его противоположны по своим знакам.

Если считать первый член такого ряда положительным, то этот ряд запишется в виде:

здесь  для всех

Сходимость знакочередующегося ряда может быть установлена признаком Лейбница.

Теорема (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине

и предел его общего члена при равен нулю, т.е.

то такой ряд сходится и сумма его не превосходит первого члена

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда(), записывая ее в двух видах:

Так как по условию то входящие в обе записи частичной суммы разности положительны; поэтому, судя по первой записи, -переменная возрастающая, а по второй записи т.е. ограничена. Следовательно, она имеет предел, не превышающий числа 

Рассмотрим еще частичную сумму нечетного числа (2n+1) членов ряда в виде

Так как

а при то

Значит, последовательности частичных сумм ряда и при четном и при нечетном числе членов стремятся к одному и тому же пределу, а это доказывает сходимость заданного ряда.

Признак Лейбница позволяет определить границу ошибки при замене знакочередующегося ряда его частичной суммой.

Принимая за ошибку число которое следует прибавить к частичной сумме для получения суммы ряда, можно записать

Здесь называемый остаточным членом, представляет собой сумму ряда, остающегося после замены первых k членов исходного ряда одним числом - их суммой а поэтому

Так как этот остаточный ряд удовлетворяет признаку Лейбница, то его сумма, совпадая по знаку со знаком перед определяется по доказанному условием

Таким образом, пользуясь приближенным равенством мы допускаем ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

Пример №2

Рассмотрим знакочередующейся ряд

Его частичные суммы:

Приняв за сумму ряда мы допускаем ошибку

Знакопеременные ряды

Числовой ряд содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
 

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Пусть знакопеременный ряд, в котором любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.

В отношении знакопеременных рядов (независимо от порядка изменения знаков их членов) имеет место признак сходимости (дается без доказательства).

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть знакопеременному ряду

приводится в соответствии ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (10.3)

Тогда, если сходится ряд (10.4), то сходится и ряд (10.3). Однако из сходимости ряда (10.3) не всегда следует сходимость ряда (10.4). Например, рассматривая ряд

который является сходящимся по признаку Лейбница, мы видим, что сходится и ряд,

составленный из абсолютных значений членов исходного ряда. В отношении же сходящегося ряда

(его сходимость следует также из признака Лейбница) мы видим, что составленный из абсолютных значений его членов ряд

(это гармонический ряд) расходится.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда.

Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Приведенный выше признак в применении к абсолютно сходящимся рядам читается так: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. В связи с этим признаком при решении вопроса о сходимости знакопеременных рядов можно во многих случаях пользоваться данными о сходимости соответственных знакоположительных рядов.
 

Степенные ряды

Ряды, членами которых являются функции, называются функциональными. Функциональными рядами также являются ряды степенные.

Степенным рядом называется ряд вида

где постоянные -называются коэффициентами степенного ряда. Здесь переменная может принимать любые действительные значения.

При каждом фиксированном значении переменной х степенной ряд (10.5) превращается в некоторый числовой ряд. Если полученный для какого-то значения х числовой ряд оказывается сходящимся, то говорят, что при этом значении х, или в этой точке степенной ряд сходится. Если же для другого значения х соответствующий числовой ряд оказывается расходящимся, то говорят, что степенной ряд в такой точке расходится. Поэтому в применении к степенным рядам вопрос о сходимости связывается с выяснением тех значений х, при которых заданный степенной ряд сходится или расходится.

Так, ряд

при значении сходится, а при значениях - расходится, так как ряд этот представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, соответственно меньшим или большим единицы.
 

Теорема Абеля. Область и радиус сходимости степенного ряда

Структура области сходимости степенного ряда

устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля

1. Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что
2. Если степенной ряд расходится при значении то он расходится при всех значениях х таких, что

Совокупность значений х, при которых заданный степенной ряд сходится, называют областью сходимости степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда является интервалом числовой оси, симметричным относительно точки х=0.

Определение интервала сходимости степенного ряда строится на подчинении значений х условию сходимости числового ряда. Если все коэффициенты степенного ряда отличны от нуля, то применение для этой цели признака Даламбера приводит к неравенству

Знак абсолютного значения связан с тем, что коэффициенты степенного ряда и значения переменной х могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Условие (10.7) после преобразования принимает вид

Откуда

Неотрицательное число, определяемое этим пределом (если он существует), называется радиусом сходимости степенного ряда и обозначается символом R.

Таким образом, радиус сходимости степенного ряда

Знак абсолютной величины для тех значений х, при которых степенной ряд сходится (10.8), позволяет определить интервал сходимости в виде (-R,R). Этим охватывается совокупность и положительных и отрицательных значений х, при которых степенной ряд сходится.

В соответствии с возможными значениями предела (10.9) различаются три случая для интервала сходимости степенного ряда.

1. При интервалом сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел.

Так степенной ряд

имеет своим радиусом сходимости

а поэтому он сходится при всех значениях х, т.е. на всей действительной оси.
2. При R = 0 интервал сходимости вырождается в точку х = 0, и соответствующий ряд сходится к своему свободному члену.

Так, степенной ряд

имеет радиус сходимости

а поэтому он сходится лишь при х=0.

3. При конечном значении интервал сходимости степенного ряда является ограниченным, при значениях  т.е. внутри этого интервала, соответствующий ряд сходится, а при , т.е. вне интервала сходимости.
ряд расходится.

На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться, а может и расходиться. Уточнение этого вопроса связанно с исследованием сходимости числовых рядов, в которые обращается заданный степенной ряд при х = -R и при х = R.

Так, степенной ряд

имеет своим радиусом сходимости которому соответствует интервал сходимости (-1,1). Таким образом, этот ряд сходится при всех значениях |х|<1 и расходится при значениях |x|>1. Рассматривая поведение заданного ряда на концах интервала сходимости, можно установить, что при х = -1 ряд сходится, а при х = 1 - расходится.

Если некоторые коэффициенты степенного ряда обращаются в нуль, то формулой (10.9) пользоваться нельзя. В таких случаях следует к рассматриваемому ряду непосредственно применять признак Даламбера так же, как это сделано при выводе формулы (10.9).
 

Пример №3

Определить радиус сходимости степенного ряда.

Решение. Обозначая члены заданного ряда через получим его общий член в виде

Поэтому выполнение условия сходимости по признаку Даламбера связывается с неравенством

или

Отсюда  Этим определен радиус сходимости R=5 и
интервал сходимости (-5,5), на концах которого ряд расходится: при х=5 заданный ряд обращается в числовой ряд с членами, равными 1, а при х= -5 - с членами, равными ±1.
 

Свойства степенных рядов

1.    Сумма степенного ряда есть функция непрерывная в интервале сходимости ряда

Степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы

(многочлены): на любом отрезке, целиком принадлежащему интервалу сходимости (-R;R) функция f(х) является непрерывной, следовательно:

2.    Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости ряда

3.    Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости

4.    Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз.

Продолжим дифференцировать, последовательно получим
 

Ряд Маклорена. Разложение функций в степенные ряды

Мы знаем, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда есть непрерывная и бесконечное число раз дифференцируемая функция.

Допустим, что функция f(х), определенная и имеющая все производные до (n + 1) порядка включительно в окрестности точки х = 0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, может быть, разложена в степенной ряд:

Выразим коэффициенты ряда через f(х). Найдем производные функции f(х), почленно дифференцируя их n раз:

Подставляя в левые и правые части равенств вместо х значение 0 и выполнив замену, определенную равенствами (10.10), получим

откуда находим

Подставляя значения коэффициентов, получаем ряд, который называется ряд Маклорена:

Так же как и для числовых рядов, сумму f(х) ряда Маклорена можно представить в виде

- n-я частичная сумма ряда,

 - n-й остаток ряда.

Теорема. Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(х), необходимо и достаточно, чтобы при остаточный член ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений х из интервала сходимости ряда (-R;R).

Т.е. если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
 

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

Для разложения функции f(х) в ряд Маклорена нужно:

• -    найти производные
• -    вычислить значения производных в точке х = 0;
• -    записать ряд Маклорена (10.11) для заданной функции и найти его интервалы сходимости;
• -    найти интервала (-R;R), в котором остаточный член ряда стремился к нулю Если такой интервал существует, то в нем и функция f(х) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Разложение функции  в ряд Маклорена.

Находя последовательно производные от f(х), получим

Отсюда получаем

Радиус сходимости

т.е. ряд сходится при всех значениях х в интервале

Пользуясь полученным разложением экспоненты, можно получить и формулы для многих аналогичных разложений. Например, если требуется разложить часто встречающуюся в теории вероятностей функцию то достаточно в разложение (10.12) вместо х подставить - Получим знакочередующийся ряд

Замечание. Погрешность представления функции конечным числом элементов знакочередующегося ряда не превышает величины первого отброшенного члена ряда.
 

Разложить в ряд Маклорена функцию Воспользовавшись формулой Маклорена, получаем

Отсюда

Из разложения видно, что абсолютные величины членов ряда возрастают при значениях  Область сходимости ряда -
 

Разложить в ряд Маклорена функцию  - произвольное положительное число.

Найдем производные функции

Пусть x = 0, тогда

Находим

Подставим значения коэффициентов в ряд Маклорена для функции

Определим радиус сходимости
 
Ряд, составленный для функции называется биномиальным рядом.

Остаточный член биномиального ряда

 

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

 

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Пример:

Вычислить приближенно с точностью до 0,0001 значение

Решение. Представим в виде

Разложим данную функцию в биномиальный ряд (10.16)

Для обеспечения точности по условию до 0,0001 нужно взять 4 члена,

т.к. по следствию из признака Лейбница для сходящего знакочередующегося ряда ошибка меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.
 

Пример:

Найти sinl с точностью 0,001

Разложение функции

Определение рядов

Пусть - последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность (), построенную следующим образом:

Последовательность () удобно записывать в виде

Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного п можно вычислить т-й член ряда.

Пример:

Поэтому т.е.

Рассмотрим ряд:

Сумму называют т -й частной суммой ряда (1). Если последовательность () частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность () не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример:

Рассмотрим ряд Для него , что представляет собой сумму первых т членов геометрической прогрессии.

Таким образом, ряд сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и S - его сумма. Поскольку, то при получаем

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда:

если ряд сходится, то:

(3)

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример:

Ряд расходится, т.к. и

Условие (3) не является достаточным для сходимости ряда. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

Поэтому

Предположим, что гармонический ряд сходится и S - его сумма, т.е. Поскольку получаем противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

1. Пусть существует номер N такой, что . Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример №4

Рассмотрим ряд Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как расходится.

Пример №5

Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом Поскольку тo ряд -сходится.

Пример №6

Пусть существует конечный или бесконечный предел

• Если, то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

• Если d > 0, то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример №7

Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример №8

Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Tак как , то ряд -сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его n -го члена.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Если d < 1, то ряд сходится;

Если d > 1, то ряд расходится.

Пример №9

Рассмотрим ряд . Для этого ряда

По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример №10

Рассмотрим ряд Для этого ряда

По признаку Даламбера ряд расходится.

Признак Коши. Пусть существует предел

Пример №11

Рассмотрим ряд для этого ряда:

По признаку Коши ряд сходится.

Пример №12

Рассмотрим ряд Для этого ряда:

. Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда d = 1 или с=1. В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

Интегральный признак. Пусть f(x) - положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность сходится, то сходится и ряд

Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример №13

Рассмотрим ряд ]этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и

Если p = l, ТО Так как то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при р = 1 исследуемый ряд - гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Таким образом, последовательность сходится при p>1 и расходится при р<1.

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при р > 1 и расходится при

Пример №14

Рассмотрим ряд Функция

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2 в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

Степенной признак. Пусть , при где . Тогда при ряд расходится. При р> 1 ряд сходится (условие равносильно тому, что . Говорят, что эквивалентен ).

Пример №15

Рассмотрим ряд . Для этого ряда значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен так как

Значит, в этом случае Р = 2 и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример №16

Ряд имеет n-й член который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд вида: называют знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если последовательность стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.

Пример:

Рассмотрим ряд Для него , причем,

последовательность монотонно убывает и . Поэтому ряд сходится.

Для исследования монотонности последовательности удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию f(x) такую, что , и исследовать функцию f(x) на монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример:

Для ряда последовательность

Для исследования монотонности последовательности рассмотрим вспомогательную функцию Заметим, что . Поскольку

функция f(x) убывает. Значит, . Следовательно, последовательность убывает и . По признаку Лейбница ряд сходится.

Абсолютная сходимость

Рассмотрим произвольный числовой ряд:

(7)

(никаких предположений о знаках членов я. не делаем). Ряд (7) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(8)

Пример №17

Ряд не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как ряд - расходится.

Пример №18

Ряд сходится абсолютно, т.к. ряд — сходится.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).

Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.

Функциональные ряды

В каждой точке определения функций если принять , то функциональный ряд:

преобразуется в числовой ряд:

, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Суммой ряда называется функция , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что

В общем случае N зависит как от , так и от x. Интерес представляют ряды, для которых N зависит только от .

Последовательность функций сходится равномерно к f( x) на множестве X, если

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве X к функции S(x).

Теорема. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве Х необходимо и достаточно, чтобы

Для установления на практике равномерной сходимости рядов пользуются достаточными признаками.

Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.

Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенcmвам - числа, не зависящие от х, и если ряд сходится, то ряд сходится равномерно на множестве X.

Достаточные условия непрерывности суммы ряда.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно к сумме S(x), то эта сумма будет непрерывна на множестве X.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезке [a,b] и ряд сходится равномерно на [a,b] к сумме S(x), то его можно почленно интегрировать на этом отрезке

Теорема. Если функции определены на отрезке [a,b] и существуют непрерывные производные на интервале (a,b), а ряд сходится на [a,b] и равномерно сходится , то сумма S(x) ряда имеет на интервале (a,b) непрерывную производную причем,

Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.

Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида: где - числовые коэффициенты, - фиксированное число и - переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке x. Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).

Пример:

Ряд сходится абсолютно при т.к. сходится. Если же не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является (-1,1).

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е. точкой . Число R, равное половине длины промежутка сходимости, называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом:

Если в формулах 2. и 3. пределы равны 0, то . Если пределы равны , то R = 0.

Если R - конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки

Пример:

Ряд имеет радиус сходимости

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала (-2; 0). При х = -2 получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При x =0 получаем ряд, который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда -полуинтервал [— 2;0).

Пример:

Ряд имеет радиус сходимости Значит, интервал сходимости (- 2;2).

Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При х=-2 получаем ряд , который сходится абсолютно. При х = 2 получаем ряд который также сходится. Значит, промежуток сходимости - отрезок [-2; 2].

Если функция f(x) в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд:

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции f(x), а его сумма не обязательно равна f(x). Если сумма ряда (10) совпадает с f(x) на множестве X, то можно написать:

В этом случае говорят, что f(x) на множестве X разложена в степенной ряд (11). Справедливы следующие разложения:

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения 1°-5°.

Пример:

Разложить по степеням х функцию f(x)=sin2x. Если обозначить 2x = z то, используя разложение 2°, получаем:

Поскольку разложение 2° справедливо для , то z может быть любым действительным числом.

Пример:

Разложить по степеням (x-l) функцию . Обозначив z = x-1 и использовав разложение 1°, получим

Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.

Ряды Фурье

Рассмотрим функциональные ряды, суммы которых, в отличие от степенных рядов, имеют непустое конечное множество точек разрыва в области задания.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Другими словами, область ее определения можно разбить на конечное число частичных отрезков [a,b] (s = 1,2...N) на каждом из которых:

1. Функция f(x) ограничена и непрерывна во внутренних точках;
2. На концах каждого отрезка существуют конечные односторонние пределы (s = 1,2...N)

Под интегралом функции f(x) понимается число

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной па отрезке \a,b\ функции f{x) существует обобщенная первообразная, и, следовательно,

Функция f{x) называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на [а,Ь], если производная fix) кусочно-непрерывна на отрезке [a,b].

Пусть функции u = u(х) и v = v(x) кусочно-непрерывны на отрезке [a,b]. Скалярное произведение этих функций можно определить как

Можно показать, что произведение двух кусочно-непрерывных на отрезке [a,b] функций есть функция кусочно-непрерывная на этом отрезке и, следовательно, ее определенный интеграл на этом отрезке существует.

Тогда

Число называется нормой функции u =u( х).

Очевидны свойства скалярного произведения:

1. (u, v) = (v,u) - свойство коммутативности или симметрии;
2. (u + v, w) = (u, w)+ (v, w) - свойство ассоциативности или сочетательности;
3. 

Функции u и v называются ортогональными, если (u, v) = 0, при этом и .

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций общего периода Т = 21:

Функции (n = 0,1,2,...) называются основными гармониками. Их графиками являются синусоиды с амплитудами соответственно . Гармоника = 0 и поэтому не рассматривается.

Лемма. Основные тригонометрические функции попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду Т = 21 этих функций, т.е. для стандартного отрезка [-l,l] справедливы условия ортогональности:

Условия ортогональности проверяются непосредственным интегрированием, в ходе которого используются формулы тригонометрии:

Пусть f(x) - кусочно-непрерывная периодическая функция периода Т = 21.

Можно попытаться провести т.н. гармонический анализ f(x), т.е. представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник того же периода Т = 21:

Таким образом, можно прийти к тригонометрическому ряду Фурье:

Коэффициент нулевой гармоники обычно берется с множителем

Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдения высоты приливной волны, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что было весьма важно для мореплавателей.

Предположим, что ряд: сходится на отрезке [-l,l и допускает почленное интегрирование, в результате которого получится следующее:

Так как из условий ортогональности:

Интересно отметить, что свободный член тригонометрического ряда Фурье представляет собой среднее значение периодической функции f(x).

Если умножить левую и правую части ряда и почленно проинтегрировать, то получится:

Предварительно, следует отметить, что:

Отсюда, в силу условий ортогональности, а также с учетом

нормировки, получается:

Следовательно: а значит, заменяя m на n (что no смыслу формул допустимо), можно получить:

Аналогично, умножая обе части ряда на почленно интегрируя, получим

В данном случае условие нормировки: В силу условий ортогональности:

Следовательно

Числа (n = 0,1,2,...) называются коэффициентами Фурье функции f(x). значит:

Тригонометрический ряд:коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной периодической функции f(x) называется ее тригонометрическим рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции f(x) или нет. В последнем случае говорят, что функция f(x) порождает ряд Фурье:

где знак ~ означает «соответствует».

Теорема сходимости. Пусть периодическая функция f(x), определенная на , кроме, может быть, точек ее разрывов, и имеющая период Т = 21 > О, является кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на любом промежутке, длина которого равна периоду этой функции.

Тогда:

1. Ее тригонометрический ряд Фурье сходится для любого значения , nt.e. существует сумма ряда Фурье

2. Сумма ряда Фурье S(x) равна функции f(x) в точках х ее непрерывности S(x)=f(x) и равна среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа в точках разрыва функцииу т.е.:

Поскольку, для точек непрерывности х функции f(x) можно записать f (х) = f(x-О) = f(х + 0), то в общем случае:

Таким образом, для тригонометрического ряда Фурье функции f(х) имеем:

где коэффициенты определяются по формулам:

Если принять, что период функции f(х) равен Т = 2, т.е. l = , то расчетные формулы значительно упрощаются:

Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл:

где f(x)- функция, непрерывная или кусочно-непрерывная на отрезке [-l,l].

Делая в первом интеграле подстановку x = -t, dx = -dt и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим:

• Пусть функция f(x)— четная, т.е. f(-x) = f(x). Тогда:

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

• Пусть функция /(*)- нечетная, т.е. f(-x) = -f(x). Тогда:

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Теорема.

1. Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;
2. Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники.

Доказательство:

1. Пусть функция f(x)- четная и периодическая с периодом T = 2l, а - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что (n = 0,1,2,...) функции, нечетные имеем Поэтому:

2. Пусть функция f(x)~ нечетная и периодическая с периодом Т = 21, а - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что (n = 0,1,2,...) - четные функции, имеем

Поэтому

Теорема доказана.

Понятие о рядах Фурье непериодических функций

Кусочно-дифференцируемую непериодическую функцию f(x), заданную на бесконечной оси нельзя представить ее рядом Фурье, так как его сумма, будучи суммой гармоник с общим периодом Т, есть функция периодическая с тем же периодом и, следовательно, не может быть равен функции f(x) для всех х. Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий промежуток есть [-l,l], т.е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться параллельным сдвигом оси Ох у

Построим функциюпериода Т = 21 такую, что = f(х) при

Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, имеем:

, где коэффициенты определяются по формулам:

Отсюда на основании тождества f(x) = получим:

Теперь необходимо подсчитать сумму ряда на концевых точках х = ±1.

Согласно общей формуле:

на основании тождества между f(х) и , а также 2l-периодичности функции очевидно, что

Таким образом, получается, что:

Из 2/-периодичности функции S(x) следует, что s(-l) = s(l).

Пусть теперь необходимо непериодическую функцию f(x) представить в виде ряда Фурье периода Т = 21 на полупериоде

Полагая где - произвольная кусочно дифференцируемая функция, получаем бесконечное множество рядов Фурье:

дающих представление функции f (х) на интервале (0,1).

В частности, полагая, что т.е. что функция f(x) - четная, получим:

.

Аналогично, полагая, что т.е. что функция f(x) - нечетная, получим:

Таким образом, кусочно-дифференцируемую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить в виде суммы четных гармоник или в виде суммы нечетных гармоник.

Числовые ряды и их свойства

1. Понятие числового ряда.

Ряды широко используются при решении различных задач в науке и технике.

Определение: Выражение вида называется бесконечным числовым рядом или рядом. Числа называются членами ряда, выражение членами ряда, выражение называется общим членом ряда.

Пример:

Найти общий член ряда

Решение:

При

при следовательно, общий член ряда

Пример:

Найти общий член ряда

Решение:

При

при следовательно, общий член ряда

Построим из членов ряда новую последовательность чисел так:

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соответствующего числа первых членов числового ряда.

Определение: Величина называется i-ой частичной суммой числового ряда.

Замечание: Так как числовой ряд содержит бесконечное число членов, то и последовательность частичных сумм будет содержать бесконечно много членов.

Пример:

Вычислить первые четыре частичные суммы ряда

Решение:

Определение: Ряд называется сходящимся, если где конечное число S называется суммой числового ряда, т.е. Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример:

Проверить на сходимость ряд

Решение:

Для того чтобы вычислить n-ую частичную сумму представим общий член ряда в виде суммы простых дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Откуда находим, что А = 1, а В = -1. Следовательно, общий член ряда имеет вид Вычислим n-ую частичную сумму

Из записи n-ой частичной суммы видно, что после раскрытия скобок и

сокращения подобных членов, она примет вид Вычислим сумму Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Определение: Исследование ряда на сходимость с использованием n-ой частичной суммы называется исследованием ряда на сходимость по определению.

Свойства сходящихся рядов

1. Отбрасывание конечного числа членов сходящегося ряда не влияет на сходимость этого ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится и его сумма равна S. Отбросим l первых членов ряда и обозначим их сумму через - сумму оставшегося ряда с l отброшенными членами, тогда Переходя к пределу при получим Так как полученное число конечно, то ряд с отброшенными l первыми членами ряда также сходится.

2. Если все члены сходящегося ряда умножить на число с, то сходимость ряда не нарушается, а его сумма увеличится в с раз.

3. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать, при этом сумма получающегося ряда соответственно.

4. Необходимым, но недостаточным, признаком сходимости ряда является стремление общего члена ряда к нулю при бесконечном возрастании нумератора n, т.е.

Доказательство: Представим общий член ряда в виде разности n-ой и (n-1)-ой частичных сумм: Из сходимости ряда в силу единственности предела имеем поэтому

Замечание: Из рассмотренного свойства следует, что при выполнении условия обращения в нуль общего члена ряда при бесконечном возрастании нумератора, ряд может сходиться, а может и расходиться (ряд подозрителен на сходимость). Если то ряд однозначно расходится. В связи с этим при исследовании рядов на сходимость первым всегда применяют необходимый признак сходимости, а затем - достаточные признаки сходимости.

Пример №19

Установить возможность сходимости рядов

Решение:

1). Для первого ряда общий член ряда ряд подозрителен на сходимость.

2). Для второго ряда общий член ряда ряд подозрителен на сходимость.

3). Для третьего ряда общий член ряда

ряд подозрителен на сходимость. В силу того, что то ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен Так как сумма ряда конечна, то ряд сходится.

Замечание: Отметим, что последний ряд при расходится, так как в этом случае его сумма равна бесконечности. Первый ряд, несмотря на выполнение необходимого признака, расходится, а второй ряд - сходится, что будет доказано ниже.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов

1. Сравнение рядов.

Определение: Если все члены ряда положительны, то ряд называется положительным.

Для положительных рядов всегда существует сумма, а частичные суммы удовлетворяют неравенству

Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов.

Теорема: (признак сравнения) Если для двух положительных рядов и начиная с некоторого номера , выполняется неравенство , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) - расходимость ряда (В).

Доказательство: Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то без ограничения общности доказательства можно считать, что неравенство выполняется с первых членов этих рядов. Обозначим n-ые частичные суммы этих рядов через Пусть ряд (В) сходится и его сумма равна Следовательно, частичные суммы этого ряда ограничены сверху суммой ряда, т.е. и последовательности и неубывающие, то т.е. ряд (A) сходится. Аналогично доказывается и последнее утверждение теоремы (доказать самостоятельно).

Замечание: В качестве рядов сравнения чаще всего используют ряды: который сходится при и расходится при который сходится при и расходится при

Пример №20

Сравнить ряды выяснить их сходимость.

Решение:

Необходимый признак сходимости очевидно выполняется для обоих рядов. Ряд (В) сходится по признаку сравнения, так как начиная с первого номера каждый член этого ряда меньше каждого члена ряда который сходится, так как для этого ряда

из сходимости ряда (С) по признаку сравнения следует сходимость ряда (В).

В свою очередь, начиная с первого члена каждый член ряда (А) будет меньше каждого члена ряда следовательно, по признаку сравнения этот ряд также сходится: из сходимости ряда (В)

по признаку сравнения следует сходимость ряда (А).

Признак Даламбера

Теорема: Пусть для положительного ряда существует предел

Тогда при ряд (А) сходится; при ряд (А) расходится, а при признак Даламбера не работает.

Доказательство: Пусть Выберем число q такое, чтобы выполнялось двойное неравенство Так как при отношение а величина то существует такой номер будет выполняться неравенство В силу этих неравенств, начиная с номера N каждый член ряда (A) будет меньше каждого члена ряда который сходится, так как и представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии Следовательно, по признаку сравнения ряд (A) сходится. Аналогично доказывается случай, когда (доказать самостоятельно).

Пример №21

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Очевидно, что необходимый признак сходимости ряда выполняется, т.е. ряд подозрителен на сходимость. Применим признак Даламбера:

следовательно, заданный ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Если для ряда выражении общего члена заменить дискретную переменную n на непрерывный аргумент то получим функцию f(х).

ТЗ. Пусть функция f(х) удовлетворяет следующим требованиям:

• - определена на луче ;
• - непрерывна, положительна и монотонно убывает в области определения.

Тогда, если сходится несобственный интеграл I рода , то сходится и ряд , а в случае расходимости несобственного интеграла I рода - расходится и ряд

Доказательство: Изобразим графически функцию f(х) (Рис. 21). Так как функция f(х) монотонно убывает, то для любого справедливы неравенства Проинтегрируем эти неравенства

В силу того, что то вводя обозначение

Рис. 21. Непрерывная функция, отображающая числовой ряд.

перепишем неравенство в виде Составим для ряда

n -ую частичную сумму:

Если интеграл сходится, то F(n + l) является конечным числом, а по признаку сравнения будет сходиться и ряд в противоположном случае, когда интеграл расходится, следовательно, будет расходиться и ряд

Пример №22

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Так как то введем в рассмотрение определенную и непрерывно убывающую на луче функцию и вычислим несобственный интеграл I рода при Отсюда видно, что:

• при 0 < р < 1 предел будет равен т.е. интеграл расходится, следовательно, и данный ряд тоже расходится;
• при р > 1 предел равен т.е. интеграл сходится, следовательно, и данный ряд тоже сходится.

Рассмотрим случай, когда р = l, т.е. исследуем на сходимость ряд

Определение: Ряд называется гармоническим рядом, а ряд - обобщенным гармоническим рядом.

Так как то введем в рассмотрение определенную и непрерывно убывающую на луче функцию и вычислим несобственный интеграл I рода: Отсюда видно, что по интегральному признаку Коши гармонический ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

1. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, причем для удобства изучения будем считать, первый член ряда всегда имеет положительный знак.

Определение: Ряд вида называется знакочередующимся рядом.

Для изучения сходимости таких рядов применяют достаточный признак сходимости Лейбница:

Теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда образуют монотонно убывающую последовательность () и общий член последовательности при стремится к нулю (), то ряд сходится. При нарушении хотя бы одного условия теоремы ряд расходится.

Доказательство: Пусть дан знакочередующийся ряд и пусть

Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов:

Все разности в круглых скобках положительны в силу монотонного убывания последовательности, составленной из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда, поэтому последовательность сумм с четным числом членов ряда является возрастающей. Докажем, что она ограничена сверху, для чего представим частичную сумму в виде:

Так как величина, стоящая в квадратных скобках положительна, то

т.е. для любого n последовательность частичных сумм с четным числом членов будет ограниченной. Отсюда следует существование конечного предела частичных сумм с четным числом членов, т.е. Последовательность частичных сумм с нечетным числом членов можно записать в виде Перейдем в этом равенстве к пределу при получим

так как по второму условию теоремы. Таким образом, произвольная последовательность частичных сумм членов знакочередующегося ряда сходится к пределу S, что говорит о сходимости знакочередующегося ряда.

Замечание: Отметим, что в зависимости от того, как группируются члены знакочередующегося ряда можно получить любое чисто, например, пусть дан ряд Если сгруппировать его члены следующим образом то получим, что его сумма равна единице, а если сгруппировать так то получим, что его сумма равна нулю.

Пример №23

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

В развернутом виде данный ряд имеет вид Последовательность, составленная из абсолютных величин членов этого ряда, удовлетворяет обоим условиям признака Лейбница: а) - монотонно убывает; б) Отсюда следует, что данный ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных ряда

Определение: Ряд, члены которого имеют произвольные знаки, называется знакопеременным или произвольным.

Замечание: Знакочередующиеся ряды являются частным случаем переменных рядов.

Пусть дан ряд члены которого могут быть отрицательными, нулевыми или положительными. Составим из модулей членов ряда новый ряд т.е. этот ряд состоит только из положительных членов.

Теорема: Если ряд сходится, то сходится и ряд .

Доказательство: Пусть ряд (В) сходится. Обозначим через его n-ую частичную сумму. В силу того, что ряд (В) сходится, то Очевидно, что для любого числа n выполняется неравенство так как члены ряда (B) неотрицательны. Составим из ряда (A) два ряда (А’) и составленные из положительных и отрицательных членов, соответственно. Обозначим частичные суммы этих рядов через соответственно. Тогда n-ая частичная сумма ряда (A) будет равна Ясно, что последовательности частичных сумм и не убывают, так как члены рядов удовлетворяют неравенствам Следовательно, по признаку сравнения из сходимости ряда (B) следует сходимость рядов т.е.

Тогда Из полученного равенства следует, что ряд (A) сходится.

Пример №24

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, получим ряд Данная сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем которая равна т.е. полученный ряд сходится. По признаку сравнения сходится и исходный ряд.

Определение: Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, сходится, то исходный переменный ряд называется абсолютно сходящимся.

Определение: Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, расходится, а исходный переменный ряд сходится, то переменный ряд называется условно сходящимся.

Пример №25

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, сходится, следовательно, исходный ряд является абсолютно сходящимся. При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, расходится, но по признаку Лейбница исходный переменный ряд будет сходиться, следовательно, исходный переменный ряд является условно сходящимся.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставлять его члены, при этом сумма ряда не изменится.
2. В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно группировать его члены, при этом сумма ряда не изменится.
3. Если два ряда являются абсолютно сходящимися, то их произведение также будет абсолютно сходящимся рядом.

Функциональные ряды

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции. Пусть задана последовательность функций которые имеют общую область определения.

Определение: Если в точке то эта точка называется точкой сходимости последовательности функций при условии, что от- лично от бесконечности.

Определение: Совокупность точек сходимости называется областью сходимости последовательности функций

Определение: Выражение вида называется функциональным рядом.

Замечание: Если область D является областью сходимости последовательности функций то она является также областью сходимости функционального ряда, членами которого являются функции последовательности.

Определение: Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции U(х) на области D, если выполняется равенство

Определение: Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на области D, если равномерно сходится последовательность частичных сумм

Определение: Суммой функционального ряда называется предел последовательности частичных сумм при т.е.

Критерии Коши и Вейерштрассе

Рассмотрим критерий Коши, который устанавливает признак равномерной сходимости любой последовательности.

Теорема: Для того, чтобы последовательность функций равномерно сходилась на области определения D, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа существовал бы такой номер , что и любого положительного числа т выполнялось неравенство .

Доказательство:

1). Необходимость. Пусть последовательность функций на области D равномерно сходится к функции Это означает, что для любого положительного числа существует такой номер что выполняется неравенство Так как это неравенство выполняется то оно справедливо и для всех номеров Тогда можно записать, что

2) Достаточность. Пусть выполняется неравенство Докажем сходимость последовательности функций на области D, а затем ее равномерную сходимость к функции Так как для любого фиксированного значения получаем числовую последовательность, то при сходимости этой числовой последовательности будет сходится и функциональная последовательность причем Это говорит о том, что для любого положительного числа существует такой номер что выполняется Перейдем в исходном неравенстве к пределу при получим Полагая находим, что последовательность функций на области D равномерно сходится к функции что эквивалентно выполнению предельного равенства

Рассмотрим признак сходимости функционального ряда согласно критерию Вейерштрассе.

Теорема: Пусть на области определения D функционального ряда , каждый член которого ограничен, т.е. - некоторые числа, которые мажорируют функции). Если числовой ряд сходится, то сходится и функциональный ряд .

Доказательство: Так как и числовой ряд сходится, то по признаку сравнения функциональный ряд тоже сходится.

Замечание: Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции S(х),то согласно критерию Коши функциональный ряд также будет равномерно сходиться к функции

Если каждый член функционального ряда ограничен, то согласно критерию Вейерштрассе из сходимости мажорантного числового ряда следует сходимость функционального ряда.

Замечание: Сходимость функционального ряда может быть установлена по признаку Даламбера

Пример №26

Найти область сходимости функционального ряда

Решение:

Общий член данного ряда следовательно, последующий член ряда Предел их отношения равен Напомним, что Таким образом, полученное неравенство эквивалентно системе Следовательно, данный функциональный ряд сходится при Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала: а) общий член знакочередующегося ряда, сходимость которого исследуется по признаку Лейбница: т.е. последовательность не является монотонно убывающей, в этой точке функциональный ряд расходится,

б) - это общий член знакоположительного ряда, который расходится, так как сумма бесконечного числа единиц равна Проведенное исследование показывает, что ряд сходится при всех

Пример №27

Найти область сходимости функционального ряда

Решение:

Общий член данного ряда следовательно, последующий член ряда Предел их отношения равен

Напомним, что предел отношения полиномов с одинаковыми старшими степенями равен отношению коэффициентов при старших степенях кроме того, Таким образом, полученное неравенство эквивалентно совокупности Следовательно, данный функциональный ряд сходится при Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала: - это общий член знакоположительного ряда, который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда - это общий член знакочередующегося ряда, сходимость которого исследуется по признаку Лейбница: т.е. последовательность не является монотонно убывающей (она возрастает: в этой точке функциональный ряд расходится.

Проведенное исследование показывает, что ряд сходится во всех точках полулучей

Свойства суммы функционального ряда

1. Если все члены функционального ряда непрерывны на области определения D и ряд равномерно сходится, то сумма ряда S(х) непрерывна в области определения D.

2. Если все члены функционального ряда непрерывны на интервале и ряд равномерно сходится, то на этом интервале функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

3. Пусть на области определения D все члены функционального ряда имеют непрерывные производные и ряд сходится Если ряд, составленный из производных равномерно сходится, то исходный ряд равномерно сходится.

Пример №28

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Данный функциональный ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и со знаменателем q = х. Известно, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится при т.е. функциональный ряд будет сходиться при

Следовательно, функциональный ряд сходится причем равномерно, так как

Пример №29

Вычислить сумму ряда Если ряд равномерно сходится, то проинтегрировать его.

Решение:

Данный ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и со знаменателем Известно, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится при т.е. функциональный ряд будет сходиться при Следовательно, функциональный ряд сходится, так как его сумма . Данный ряд может быть промажорирован рядом поэтому он сходится равномерно

Отсюда следует, что его можно почленно проинтегрировать на интервале от 0 до t при Тогда

Полученное выражение представляет собой разложение функции arctg t в ряд Маклорена, который равномерно сходится

Степенные ряды

1. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Определение: Ряд (или ряд более общего вида называется степенным рядом.

Так как степенной ряд являются частным случаем функционального ряда, то он характеризуется областью сходимости, для нахождения которой применяется теорема Абеля.

Теорема: Если степенной ряд сходится при (), то он сходится абсолютно , удовлетворяющих неравенству . Если степенной ряд расходится при (), то он расходится абсолютно , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство: Так как числовой ряд сходится, то его общий член при т.е. последовательность ограничена. Это означает, что существует такое положительное число М , что выполняется неравенство Перепишем степенной ряд в виде и рассмотрим ряд составленный из модулей членов этого ряда:

В силу ограниченности каждого члена числового ряда имеем неравенство

Ряд, стоящий в круглых скобках, является суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем которая имеет конечную сумму при следовательно, при исходный степенной ряд мажорируется сходящимся рядом. По признаку сравнения данный ряд сходится. Пусть теперь существует такое число для которого и при котором исходный ряд сходится. Так как бесконечная геометрическая прогрессия имеет бесконечную сумму при то степенной ряд расходится при

Замечание: Теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд сходится в точке то он абсолютно сходится во всех точках интервала (Рис. 22).

Рис. 22. Область сходимости степенного ряда.

Если степенной ряд расходится в точке то он абсолютно сходится во всех точках интервала (Рис- 23).

Рис. 23. Область расходимости степенного ряда.

Отсюда вытекает теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Теорема: Если степенной ряд сходится не при всех значениях величины х и не только при х = 0, то существует число R>0 такое, что степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .

Определение: Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R; R) - интервалом сходимости.

Рассмотрим теорему, которая дает алгоритм поиска радиуса сходимости R . ТЗ. Если существует предел , то радиус сходимости R степенного ряда равен

Доказательство: Рассмотрим ряд составленный из модулей членов степенного ряда. По условию теоремы Обозначим значение этого предела через Тогда При каждом значении степенной ряд становится числовым. По признаку Даламбера ряд с фиксированным значением величины х будет сходиться при выполнении неравенства Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при и расходится при для всех по признаку Даламбера.

Замечание: Если то радиус сходимости т.е. степенной ряд сходится на всей числовой оси. Если то радиус сходимости R = 0, т.e. степенной ряд сходится в единственной точке х = 0.

Пример:

Найти радиусы и интервалы сходимости рядов а) в)

Решение:

а) Коэффициент следовательно, Отсюда таким образом, интервал сходимости равен (-1; 1).

б) Коэффициент следовательно, Отсюда таким образом, степенной ряд сходится на всей числовой оси.

в) Коэффициент следовательно, Отсюда

таким образом, степенной ряд сходится только в точке х = 0.

Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(х) является суммой степенного ряда

который сходится на интервале (-R;R), то говорят, что на этом интервале функция f(х) разлагается в степенной ряд по степеням аргумента х. Так как степенной ряд является частным случаем функционального ряда, то в случае равномерной сходимости этого ряда его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Теорема: Если функция f(х) на интервале (-R;R) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство: Так как степенной ряд равномерно сходится на интервале (-R; R) и функция f(х) является его суммой, то его можно почленно дифференцировать:

Полагая х = 0, найдем

В силу того, что коэффициенты ряда однозначно определяются значением функции f(х) и ее производными в точке х = 0, то разложение функции f(х) в степенной ряд единственно и имеет вид:

Иначе говорят, что функция представлена в виде ряда Маклoрена.

Пример №30

Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sinx.

Решение:

Найдем значения функции и ее производных вплоть до порядка n в точке

Таким образом, разложение функции f(x) = sinx в ряд Маклорена имеет вид: Приведем ряды Маклорена для некоторых наиболее часто используемых на практике элементарных функций:

Если функция раскладывается в точке то она представляется степенным рядом Тейлора:

Пример №31

Используя стандартное разложение, представить в виде ряда Маклорена функцию f(х) = sin(2x).

Решение:

Воспользовавшись разложением в степенной ряд Маклорена функции sinx, получим:

Применение степенных рядов

1). Вычисление логарифмов. В основе вычислений логарифмов лежит ряд

Пример №32

Вычислить с точностью

Решение:

Полагая n = 1, получим

2). Вычисление корней. Для вычисления корней с большой точностью используют обобщенный бином Ньютона

Например, требуется вычислить корень k-ой степени из числа A, приближенное значение целой части которого равна Требуется уточнить это значение, для чего поступают следующим образом: полагают тогда

следовательно,

Пример №33

Вычислить с точностью

Решение:

В данном примере Таким образом, 3). Вычисление неберущихся интегралов.

Пример №34

Вычислить интеграл

Решение:

Данный интеграл является неберущимся, так как его первообразная не может быть выражена через элементарные функции (см. Лекцию № 6). Если положить то получим, что функцию которую можно представить в виде степенного ряда (см. выше) Если вернуться к старой переменной, то получим Этот ряд равномерно сходится, поэтому его можно почленно интегрировать, т.е.

Пример №35

Вычислить интеграл

Решение:

Используя результаты предыдущего примера, получим

Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений осуществляется с использованием степенных рядов Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов покажем на конкретном примере:

Пример №36

Найти четыре первых ненулевых члена ряда, являющегося решением задачи Koши: при начальных условиях 2.

Решение:

Так как в начальных условиях указано, что то представим искомую функцию в виде ряда Маклорена:

Согласно начальным условиям Вторую производную функции выразим из самого дифференциального уравнения

Подставим в это выражение и учтем начальные условия, тогда

вторая производная функции в точке равна

Продифференцировав выражение для второй производной получим выражение для третьей производной функции

Подставим в это выражение получим

Так как это четвертый ненулевой член ряда Маклорена, то решение дифференциального уравнения с учетом начальных условий имеет вид:

Тригонометрический ряд

В науке и технике довольно часто приходится иметь дело с периодическими явлениями. Такие явления через определенный промежуток времени Т, называемый периодом, возвращают систему в начальное состояние. Из материала Лекции № 22, Первого семестра известно, что периодической функцией называется функция, удовлетворяющая равенству Простейшей периодической функцией является синусоида где А - амплитуда, - частота, - начальная фаза. Очевидно, что сложение синусоид с разными амплитудами и одинаковыми частотами и фазами приводит к той же синусоиде с увеличенной амплитудой. Сложение же синусоид, различающихся амплитудами, частотами и фазами приводит к периодической функции, вид которой отличается от синусоиды.

Определение: Ряд вида

называется тригонометрическим рядом.

Из определения тригонометрического ряда видно, что периодическая функция может быть представлена в виде суммы синусоид с различающимися амплитудами, частотами и фазами, т.е. может быть разложена на простые гармонические колебания.

Определение: Отдельные составляющие функции называются гармоническими составляющими или гармониками, а процесс разложения периодической функции на гармоники называется гармоническим анализом.

Если в качестве независимой переменной выбрать величину то функция также будет периодической функцией, но уже со стандартным периодом Разложение этой функции в тригонометрический ряд имеет вид

Используя формулу и вводя обозначения

приведем тригонометрический ряд к виду

Ряд Фурье

Теорема: Если функция g(x) определена и интегрируема на сегменте разлагается в тригонометрический ряд , который равномерно сходится, то это разложение единственно.

Доказательство: Интегрируя почленно тригонометрический ряд (это можно делать в силу его равномерной сходимости (см. Лекцию №21), получим Откуда находим, что

Рассмотрим интегралы вида: a) ; б) ; в) . В случае a) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию №8) = 6) (как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования. Этот интеграл равен нулю и в случае по той же причине). в) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8)) =

В случае

a) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования) = в) (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования) =

Умножим тригонометрический ряд на cos(kх) и проинтегрируем его на отрезке получим:

(с учетом полученных результатов) = Отсюда находим, что Умножим тригонометрический ряд на sin(kх) и проинтегрируем его на отрезке получим: (с учетом полученных результатов)= Отсюда находим, что Итак, коэффициенты тригонометрического ряда однозначно определяются

формулами: Следовательно, разложение функции в тригонометрический ряд единственно.

Определение: Тригонометрический ряд с коэффициентами, определяемыми формулами: называется рядом Фурье.

Пример №37

Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте

Решение:

Для того чтобы разложить в ряд Фурье функцию на сегменте необходимо и достаточно вычислить коэффициенты этого

Следовательно, разложение в ряд Фурье функции имеет вид:

Замечание: Если функция f(x) периодична с периодом и разлагается в ряд Фурье, то ее можно разложить на любом интервале длиной например,

Пример №38

Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте

Решение:

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

Таким образом

Сходимость ряда Фурье

Определение: Функция F(x), определенная на всей числовой оси и периодическая с периодом называется периодическим продолжением функции f(х), если на сегменте

Очевидно, что если на сегменте ряд Фурье сходится к функции f(х), то он сходится на всей числовой оси к функции F(x). В связи с этим в заключение лекции рассмотрим теорему о сумме ряда Фурье на всей числовой оси.

Теорема: Пусть функция f(х) и ее производная f(х) непрерывны на сегменте или имеют на этом интервале конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f(х) сходится на сегменте , причем в каждой точке , в которой функция f(х) непрерывна сумма ряда равна f(х); в каждой точке разрыва первого рода функции F(х) сумма ряда будет равна где; на концах сегмента на концах сегмента сумма ряда будет равна . Если функция F(x) является периодическим продолжением функции f(х),то аналогичные утверждения имеют место и для функции F(x) на всей числовой оси.

Пример №39

Разложить в ряд Фурье периодическое продолжение функции f(х) = х на сегменте

Решение:

Так как f(х) = х, то ее периодическое продолжение F(x) имеет вид (Рис. 24). (кaк интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования).

Рис. 24. Периодическое продолжение F(x) функции f(х) = х на

(как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования). (как интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования)= Таким образом, ряд Фурье имеет вид

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f(х) определена на сегменте и является четной функцией, т.е. f(-х) = f(х), тогда в ее ряде Фурье все коэффициенты Действительно (как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования (см. Лекцию № 8)). С учетом четности функции f(х) остальные коэффициенты вычисляются по формулам где был использован факт, что определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования равен Для нечетной на сегменте функции коэффициенты ряда Фурье определяются формулами

Замечание: Если функция f(х) четна, то в ее ряде Фурье содержатся только косинусы, в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по косинусам или четным образом. Если функция f(х) нечетна, то в ее ряде Фурье содержатся только синусы, в этом случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье по синусам или нечетным образом.

Пример №40

Разложить в ряд Фурье функцию на сегменте

Решение:

Так как функция то в ее ряде Фурье все коэффициенты Найдем оставшиеся коэффициенты ряда Фурье:

(вычислить самостоятельно). Итак, ряд Фурье имеет вид:

Ряд Фурье для функций с периодом и .

Пусть функция f(х) определена на сегменте и удовлетворяет всем требованиям теоремы Фурье, тогда ее можно разложить в ряд Фурье. Если ввести новую переменную и рассмотреть функцию Очевидно, что функция определена на сегменте и ее разложение в ряд Фурье имеет вид:

где коэффициенты ряда определяются формулами

Если функция f(х) определена на произвольном сегменте периодична с периодом Т = b-а и удовлетворяет условиям теоремы Фурье, то ее можно разложить в ряд Фурье, который имеет вид: где коэффициенты ряда определяются формулами

В заключение отметим, что ряд Фурье является частным случаем функционального ряда, который равномерно сходится к своей сумме. Следовательно его можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Пример №41

Разложить в ряд Фурье функцию f(х) = 1 на сегменте

Решение:

Воспользуемся разложением в ряд Фурье функции g(x) = x. Так как производная (х) =1, то продифференцируем ряд Фурье для функции g(x) = x (см Пример 1. этой Лекции):

Примеры бесконечных рядов

В настоящей главе мы займемся изучением свойств бесконечных рядов, а также разложением функций в степенные и тригонометрические ряды.

Примером бесконечного ряда, который рассматривается в элементарной алгебре, является бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

где . Здесь каждый следующий член образован из предыдущего по определенному закону, а именно: каждый следующий член получается из предыдущего посредством умножения его на знаменатель прогрессии q. Следовательно, -й член, так называемый общий член прогрессии, выражается формулой

Другой пример бесконечного ряда представляет гармонический ряд

-й член которого равен .

Существуют также ряды, составленные из функций, например

где -й член равен

Точнее было бы сказать — ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В дальнейшем мы для краткости ряд вида (1) будем называть просто «геометрической прогрессией». Сокращенная запись (читается: «л факториал») обозначает про- изведение всех натуральных чисел, не превышающих числа .

Закон образования членов ряда дается его п-м членом, который называется общим членом ряда. Имея формулу общего члена ряда, можно найти любой член этого ряда.

Возникает задача: исследовать свойства бесконечного ряда, предполагая, что -й член его известен.

Заметим, что теория рядов имеет большие практические применения ввиду возможности при широких условиях представления данной функции в виде бесконечного ряда более простых функций, например ряда многочленов, что позволяет легко приближенно находить значения функции для данного значения аргумента.

Сходимость ряда

Дадим общее понятие бесконечного ряда. Пусть имеем некоторую составленную по определенному закону бесконечную последовательность чисел или функций, чисто формально соединенных между собой знаком плюс:

Такое выражение называется бесконечным рядом или просто рядом, а слагаемые называются членами этого ряда. Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым; если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Заметим, что изучение функциональных рядов сводится к изучению числовых. В самом деле, если

то для каждого фиксированного значения аргумента х мы получаем соответствующий числовой ряд (1), свойства которого и нужно исследовать.

Член ряда (1), стоящий на -м месте, считая от начала, называется общим членом этого ряда. Ряд (1) считается заданным, если известен общий член его, выраженный как функция номера л. Таковы, например, ряды (1), (2) и (3), где соответственно

Считая, что ряд (1) задан, мы можем образовать частичные суммы этого ряда, т. е.

Предположим сначала, что ряд (1) числовой. Рассмотрим два случая.

I. Пусть при неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов S_n ряда (1) стремится к конечному пределу S:

Тогда говорят, что ряд (1) сходится и число S называют суммой этого ряда.

II. Пусть при неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn ряда (1) возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.

Определение: Числовой ряд называется с ходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется сум мой ряда; в противном случае ряд называется р ас ход ящим с я. Если ряд (1) функциональный, т. е.

то для каждого фиксированного значения х0 аргумента х соответствующий числовой ряд

или сходится, или расходится. Соответственно этому х0 называется или точкой сходимости, или точкой расходимости данного функционального ряда, а совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости его.

Если и функциональный ряд (1) сходится в каждой точке х некоторого множества, то он называется сходящимся на этом множестве, а функция , определяемая для каждого рассматриваемого значения х формулой

называется суммой этого ряда на данном множестве.

Если ряд (1) сходится, то разность между суммой S и частичной суммой S_n его

называется -м остатком ряда. Остаток R_n ряда представляет собой ту погрешность, которая получится, если в качестве приближенного значения суммы ряда S взять сумму S_n первых п членов этого ряда.

Так как S есть предел последовательности S_n, то, очевидно,

Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой степенью точности.

Отсюда ясно, что основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда. Задача о нахождении суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значение, так как, после того как установлена сходимость ряда, сумма его в большинстве практически важных случаев приближенно легко может быть найдена.

Поясним понятия сходимости и расходимости рядов на примерах.

Пример №42

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию

где .

Известно, что S_n — сумма первых членов геометрической прогрессии — выражается формулой

Здесь приходится рассматривать отдельно четыре случая.

1) Пусть |g| < 1. Тогда qⁿ при неограниченном возрастании стремится к нулю и, следовательно,

В этом случае ряд (2) сходится и его сумма равна

2) Пусть . Тогда при неограниченном возрастании п степень qn возрастает неограниченно по абсолютной величине и, следовательно, возрастает неограниченно сумма п первых членов S_n. Поэтому ряд (2) в этом случае расходится и не имеет суммы.

3) Пусть q = 1. Тогда ряд (2) принимает такой вид:

Легко видеть, что S_n = и, следовательно, при неограниченном возрастании п сумма Sn возрастает неограниченно. Поэтому ряд (2) в этом случае расходится.

4)Пусть q = -1. В этом случае ряд (2) принимает вид

Величина S_n будет равна нулю или а в зависимости от того, будет ли п четно или нечетно. Ясно, что S_n при не стремится ни к какому пределу при неограниченном возрастании . Ряд (2) в этом случае расходится.

Следовательно, бесконечная геометрическая прогрессия (2) сходится тогда и только тогда, когда абсолютная величина знаменателя ее меньше единицы: .

Пример №43

Пусть имеем ряд

Покажем, что этот ряд сходится. Возьмем сумму первых членов его:

Легко видеть, что отдельные слагаемые могут быть представлены так:

Поэтому

Отсюда и, следовательно,

Таким образом, ряд (3) сходится и сумма его равна 1.

Дальнейшие свойства рядов относятся к числовым рядам, если явно не оговорено противное.

Укажем теперь некоторые элементарные свойства рядов.

Теорема: Сходимость ряда не нарушится, если все члены его умножить на одно и то же число k, отличное от нуля, причем для сумм этих рядов выполнено равенство

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из перехода к пределу при в равенстве

Под суммой (разностью) двух рядов понимается соответственно ряд вида

Теорема: Сумма (разность) двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся, причем

Действительно, так как для любого конечного , то при в пределе получим равенство (4).

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема: Если ряд

сходится, то его член u_n при неограниченном возрастании номера стремится к нулю.

Доказательство: Мы имеем

Отсюда

Так как данный ряд сходится, то

Отсюда

что и требовалось доказать.

Следствие. Если -й член ряда при неограниченном возрастании его номера не стремится к нулю, то этот ряд расходится.

Доказанный необходимый признак сходимости ряда, вообще говоря, не является достаточным. Можно привести примеры рядов, у которых общий член стремится к нулю при , а ряд тем не менее расходится.

Пример №44

Рассмотрим гармонический ряд

Общий член этого ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании . Тем не менее покажем, что ряд (1) расходится. Для этого возьмем сумму первых членов ряда (1) и сгруппируем эти члены следующим образом:

Легко видеть, что

Следовательно, сумма членов, стоящих в каждой скобке, больше .

Так как общее число скобок, не считая двух первых членов, очевидно, равно , то

Если число членов в сумме возрастает неограниченно, то и показатель т также возрастает неограниченно. Поэтому стремится к бесконечности и, следовательно, гармонический ряд (1) расходится.

Таким образом, рассмотренный нами необходимый признак сходимости, вообще говоря, не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Мы перейдем теперь к установлению таких признаков, которые позволят в ряде случаев точно ответить на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.

Признак сравнения рядов

Для доказательства дальнейших теорем нам понадобится такая лемма:

ЛЕММА. Если в ряде

отбросить конечное число первых начальных членов, например р членов, то получим ряд

который сходится (или расходится) одновременно с данным рядом (1).

Доказательство: Обозначим сумму отброшенных членов через Q:

Пусть S_n — сумма первых членов ряда (1), a — сумма первых п членов ряда (2). Тогда, очевидно, Отсюда

Предположим, что ряд (1) сходится, и пусть , а следовательно, и

В таком случае

и, следовательно, ряд (2) тоже сходится.

Предположим теперь, что ряд (2) сходится, и пусть ; тогда

Поэтому ряд (1) также сходится.

Тем самым доказано, что из сходимости одного из наших рядов следует сходимость и другого, и обратно. Лемма доказана полностью.

Следствие 1. При исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число членов его.

Следствие 2. Если ряд (1) сходится и S есть его сумма, то -й остаток этого ряда представляет собой сумму ряда т. е.

Теперь докажем такую теорему:

Признак сравнения рядов. Если члены ряда

положительны (точнее, неотрицательны) и не превышают соответствующих членов сходящегося ряда

то данный ряд (3) тоже сходится.

Доказательство: Введем обозначения

Так как ряд (4) сходится, то имеем

где S' — сумма ряда (4). Согласно условию теоремы выполнены неравенства Отсюда следует, что

Ввиду того, что члены ряда (3) положительны, при увеличении сумма S_n монотонно возрастает, оставаясь, однако, все время не больше S. Как известно, всякая монотонно возрастающая ограниченная последовательность имеет предел. Поэтому S_n при неограниченном возрастании п стремится к определенному пределу и, следовательно, ряд (3) сходится.

Следствие. Если члены некоторого ряда не меньше соответствующих членов знакоположительного ряда и второй ряд расходится, то расходится также и первый ряд.

В самом деле, если бы первый ряд сходился, то в силу теоремы сходился бы и второй ряд, что противоречит нашему условию.

Замечание. В силу леммы признак сравнения рядов (3) и (4) и следствие к нему остаются в силе, если соответствующие неравенства между их членами выполнены начиная с некоторого номера .

Применим этот признак к доказательству сходимости некоторых рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Пример №45

Рассмотрим ряд

Отбросив первый член, сравним его со сходящимся рядом (3):

Очевидно,

Отсюда на основании леммы и признака сравнения ряд (5) сходится. Далее, из сравнения с рядом (5) следует, что ряд

сходится, если р > 2. Можно доказать, что этот последний ряд сходится при р > 1 и расходится при .

Пример №46

Рассмотрим ряд

Так как , то из сравнения с гармоническим рядом следует, что ряд (6) расходится.

Признак сходимости Даламбера

Существует много признаков сходимости рядов, позволяющих судить о сходимости или расходимости данного ряда по поведению его коэффициентов. Рассмотрим один из них.

Признак сходимости Даламбера. Пусть все члены ряда

положительны и пусть при неограниченном возрастании номера п предел отношения -го члена к -му существует и равен некоторому числу , т. е. В таком случае:

1. Если этот предел меньше единицы, то данный ряд сходится.
2. Если предел больше единицы, то ряд расходится.
3. Если предел равен единице, то признак определенного ответа о сходимости или расходимости ряда не дает, т. е. в этом случае возможна как сходимость ряда, так и расходимость его.

Доказательство: Пусть имеем ряд

составленный из положительных чисел, и пусть

Тогда при достаточно большом д, т. е. при л, не меньшем некоторого числа N, имеем где — заранее заданное как угодно малое положительное число.

Отсюда , или

если только .

Рассмотрим отдельно три случая.

1°. Пусть < 1. Мы можем взять число настолько малым, что также будет меньше 1; тогда, положив , получим

На основании неравенства (2) имеем , или

причем это последнее неравенство будет выполнено, если = N, N + 1, N + 2 ... . Давая номеру эти значения, получим серию неравенств:

Итак, члены ряда

меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

Так как знаменатель прогрессии (4) меньше единицы, то ряд (4) сходится. Но тогда на основании признака сравнения и замечания к нему сходятся как ряд (3), так и исходный ряд (1).

2°. Пусть теперь > 1. Мы можем > О взять настолько малым, что число — будет также больше единицы. Тогда при достаточно большом на основании (2) будем иметь , или

Отсюда

Таким образом, члены ряда (1) начиная с некоторого номера N возрастают при увеличении их номера, будучи положительными. Следовательно, не стремится к нулю при . Поэтому на основании следствия из необходимого признака сходимости ряд (1) расходится, причем общий член его не стремится к нулю.

3°. Если = 1, то на примерах можно показать, что ряд в одних случаях сходится, в других — расходится. В этом случае мы должны прибегнуть или к теореме сравнения, или к другим признакам.

Замечание 1. Если ряд (1) функциональный, т. е.

и — соответствующий предел, то наша схема 1°, 2° и 3° остается в силе для каждого х.

Замечание 2. Из доказательства признака сходимости Даламбера для случая 2° следует, что если для некоторого ряда

выполнено неравенство

то -й член этого ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера .

Пример №47

Рассмотрим ряд

где а — положительное число.

Имеем и, следовательно,

На основании признака Даламбера ряд (5) сходится при 0 < а < 1 и расходится при а > 1.

Если а = 1, то признак Даламбера ответа не дает. Но в этом случае ряд (5) принимает вид

Это гармонический ряд; он, как мы видели выше, расходится.

Пример №48

Рассмотрим ряд

с общим членом

Имеем . Отсюда

и, следовательно,

Поэтому ряд сходится. Заметим, что члены данного ряда вначале возрастают (до 1000-го члена!), а затем начинают быстро убывать. Такой ряд мало пригоден для практических вычислений.

Пример №49

Для ряда

согласно признаку Даламбера соответствующий предел . Как известно, этот ряд сходится.

• Заказать решение задач по высшей математике

Абсолютная сходимость

Приведенные выше достаточные признаки сходимости рядов относились к рядам с положительными членами. Аналогичными свойствами обладают также ряды с отрицательными членами.

Рассмотрим теперь ряды, часть членов которых положительна, а часть членов отрицательна или равна нулю. Такие ряды называются знакопеременными.

Теорема: Если для знакопеременного ряда

сходится ряд, составленный из модулей его членов:

то данный ряд также сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

Так как

и ряд

в силу сходимости ряда (В) сходится, то на основании признака сравнения  ряд (С) также сходится. Но наш ряд (А) представляет собой разность двух сходящихся рядов

и, следовательно, есть ряд сходящийся.

Теорема доказана.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Именно, если данный ряд сходится, то ряд, составленный из модулей его членов, не обязательно сходится; этот ряд может и расходиться.

Таким образом, все сходящиеся ряды можно разбить на два класса.

К первому классу относятся такие сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из модулей их членов, также сходятся. Такие ряды называются абсолютно сходящимися.

Ко второму классу относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из модулей их членов, расходятся. Такие сходящиеся ряды называются рядами неабсолютно сходящимися или условно сходящимися.

Определение: Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из модулей его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Например, сходящийся ряд

есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из модулей его членов

тоже сходится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со знаменателями, соответственно равными )

Напротив, ряд

как мы увидим дальше, есть ряд сходящийся, но он не абсолютно сходится, так как ряд, составленный из модулей его членов

расходится (гармонический ряд).

Признак абсолютной сходимости ряда. Пусть для некоторого ряда

выполнено условие

В таком случае: 1) если < 1, то данный ряд (А) сходится абсолютно; 2) если > 1, то ряд (А) расходится.

В самом деле, наше условие есть не что иное, как признак Даламбера, примененный к ряду

Отсюда вытекает, что если < 1, то оба ряда (А) и (В) сходятся и, следовательно, данный ряд (А) сходится абсолютно.

Если же > 1, то, в силу замечания к признаку Даламбера, не стремится к нулю при . В этом случае оба ряда (А) и (В) расходятся.

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где при т. е. ряд, у которого любые рядом стоящие члены его имеют противоположные знаки.

Теорема Лейбница. Если модули членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают при возрастании их номера, т. е.

и -й член ряда при неограниченном возрастании стремится к нулю, т. е.

то. ряд этот сходится (вообще говоря, не абсолютно).

Доказательство: Возьмем сумму первых членов ряда (1) и запишем ее следующим образом:

Так как разности, стоящие в скобках в сумме (4), на основании условия (2) положительны или равны нулю, то

Точнее ряд (1) должен быть записан так:

Если возрастает, то не убывает, ибо каждый раз прибавляются положительные или равные нулю слагаемые. С другой стороны, эту сумму можно представить в таком виде:

Отсюда

Следовательно, , будучи монотонно возрастающей (точнее, не убывающей) и ограниченной последовательностью, стремится при к некоторому пределу , т. е.

Но очевидно, что

причем на основании (3) имеем . Принимая это во внимание, получим

Таким образом, S_n при неограниченном возрастании п стремится к одному и тому же пределу S, будет ли п четное или нечетное. Поэтому ряд (1) сходится.

Замечание. Абсолютная погрешность при замене суммы S сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, суммой S_n его первых членов не превышает модуля первого отброшенного члена.

В самом деле, отбрасывая в сходящемся знакочередующемся ряде все члены после члена и обозначая полученную в результате этого абсолютную погрешность через , имеем

отсюда

или

Следовательно,

Пример №50

Рядсходится, так как для этого ряда выполнены все условия теоремы Лейбница.

Степенные ряды

Ряд вида

расположенный по возрастающим целым неотрицательным степеням переменной х и имеющий коэффициенты не зависящие от х, называется степенным рядом. Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:

где а — некоторое постоянное число. Ряд (2) легко приводится к виду (1), если положить . Поэтому в дальнейшем мы почти исключительно будем заниматься степенными рядами вида (1).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (1). Давая переменной х фиксированное значение, получим числовой ряд, который в зависимости от х сходится или расходится.

Можно доказать, что для любого степенного ряда (1) существует конечное или бесконечное неотрицательное число R — радиус сходимости ряда — такое, что если R > 0, то при ряд сходится, а при — расходится. При , т. е. при х = R и при х = -R, может иметь место как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если R = , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. В случае, если R = 0, степенной ряд (1) сходится лишь в точке х = 0 и интервал сходимости, строго говоря, не существует.

В простейших случаях радиус сходимости степенного ряда (1) может быть определен с помощью признака Даламбера. Для этого рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (1):

Как известно из предыдущего, если ряд (3) сходится, то будет сходиться и ряд (1) и при этом абсолютно. Для решения вопроса о сходимости ряда (3) воспользуемся признаком сходимости Даламбера. Обозначим член ряда (3) через , т. е. ; отсюда . Составим отношение

Предположим, что существует предел отношения при . Обозначим этот предел через :

Тогда

Очевидно, если , то и ряд (3) сходится. Следовательно, сходится и ряд (1), и притом абсолютно.

Если же , то . На основании замечания 2 из оба ряда (3) и (1) расходятся.

Таким образом, есть радиус сходимости степенного ряда (1), и на основании соотношения (4) имеем формулу

Остается открытым вопрос: будет ли сходиться ряд (1) при R > 0 на концах интервала сходимости (-R, R), т. е. когда х = R или х = -R? В каждом отдельном случае этот вопрос решается особо.

Пример №51

Рассмотрим ряд

Здесь . Согласно (6) для радиуса сходимости ряда (7) имеем

Следовательно, ряд (7) сходится в интервале (-1, 1).

Чтобы решить вопрос о сходимости ряда (7) на концах интервала, положим сначала х = 1. Получим гармонический ряд

который, как мы видели, расходится.

Возьмем теперь х = -1. Тогда ряд (7) примет вид

Этот ряд сходится условно в силу теоремы Лейбница.

Итак, область сходимости ряда (7) — промежуток [-1, 1).

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Сумма степенного ряда

представляет собой функцию, определенную в интервале сходимости этого ряда, где предполагается, что R > 0.

Можно доказать, что функция f(x) дифференцируема и ее производная f(x) может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1), т. е.

при -R < х < R. Это же справедливо и по отношению к производным высших порядков.

Аналогично, неопределенный интеграл от функции f(x) для всех значений х, принадлежащих интервалу сходимости, может быть получен почленным интегрированием ряда (1), т. е.

если -R < х < R.

Таким образом, степенной ряд в своем интервале сходимости по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя так же, как многочлен с конечным числом членов.

Разложение данной функции в степенной ряд

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы стеленного ряда, так как тем самым мы получаем возможность просто вычислять значения этой функции с любой степенью точности.

Прежде чем поставить вопрос в общем виде, разберем некоторые частные случаи.

Рассмотрим степенной ряд

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем х и, как мы видели, сходится при |х| < 1, причем сумма его равна . Следовательно, мы можем написать

На последнее равенство можно смотреть как на разложение функции в степенной ряд, расположенный по возрастающим степеням переменной х. Из разложения (1) легко получить другие разложения, представляющие большой интерес.

Разложение функции ln(l + х). Заменяя в разложении (1) х на -z, будем иметь

Если

то равенство (2), как было сказано в, можно проинтегрировать почленно по z в пределах от 0 до х. Поэтому, умножая равенство (2) на dz и интегрируя почленно в пределах от 0 до х, получаем

Отсюда

или

если < 1. Можно показать, что это разложение справедливо также при х = 1 и, следовательно,

Разложение функции arctg х. Положим в разложении (1) :

Умножая последнее равенство на dz и интегрируя почленно в пределах от 0 до х, где |х| < 1, получаем

или Так как arctg 0 = 0, то окончательно имеем

если . Можно доказать, что это разложение остается верным и при х = 1, и при х = -1.

В частности, при х = 1 выводим

Мы видим, что многие функции, как, например, In (1 + х), arctg х и т.п., допускают разложение в степенной ряд относительно аргумента х. Естественно поставить общий вопрос о разложении данной функции f(x) в ряд по возрастающим целым неотрицательным степеням переменной х. Этим вопросом мы и займемся в следующем параграфе.

Ряд Маклорена

Предположим, что данная функция f(x) может быть разложена в степенной ряд:

где — неопределенные коэффициенты, причем интервал сходимости |х| < R этого ряда не сводится к точке, т. е. R > 0.

Как было указано выше, степенной ряд (1) в его интервале сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз, понимая под этим, что все получающиеся ряды будут сходиться и их суммы равны соответствующим производным.

Последовательно дифференцируя почленно ряд (1) бесконечное число раз, будем иметь

Полагая в этих равенствах, а также в (1) х = 0, получим

Отсюда

Подставляя далее значения коэффициентов в ряд (1), получаем ряд Маклорена

.

Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции . Пусть

Имеем

Полагая здесь х = 0, получаем

В Общем случае формально составленный ряд Маклорена для функции f(x) не обязательно сходится к этой функции.

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, окончательно будем иметь

Общий член ряда из правой части формулы (1) есть .

Применяя признак Даламбера к ряду из модулей его членов, получаем

следовательно, степенной ряд сходится для любого х, т. е. интервал сходимости его есть . В подробных курсах доказывается, что сумма этого ряда для любого значения х равна , т. е. разложение (1) справедливо для любого х.

2)Разложение функции sin х. Пусть

отсюда

Полагая x = 0, имеем

Подставляя эти значения в формулу (2) из, получаем

где х измеряется в радианах. Нетрудно убедиться, что ряд из правой части формулы (2) сходится при любом х. Можно доказать, что сумма его равна sin х, т. е. что разложение (2) справедливо при любом х.

3)Разложение функции cos х. Если

то имеем

Полагая х = 0; получаем

Подставляя эти значения в формулу Маклорена (2) из, находим

где х измеряется в радианах. Этот ряд сходится так же, как (2), при любом х, как нетрудно убедиться. Доказывается, что сумма этого ряда равна cos х.

Разложение (3) можно было получить из разложения (2) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона . Пусть

где — число целое или дробное, положительное или отрицательное. Тогда имеем

Полагая х = 0 во всех этих формулах, получаем:

Подставляя выражения для в ряд Маклорена (2) из, будем иметь

Формально формула бинома Ньютона для нецелого или отрицательного показателя выглядит так же, как и для целого положительного показателя. Если — целое положительное число, то при = + 1 множитель - + 1 равен нулю. Следовательно, ряд (4) оборвется и вместо бесконечного разложения получится конечная сумма.

Пользуясь формулой , найдем интервал сходимости ряда из правой части формулы (4). Мы имеем

Отсюда

и, следовательно,

Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала

и расходится вне его. Сходится ли этот ряд при х = 1 и х = -1, необходимо исследовать для каждого случая отдельно

Значительно сложнее доказывается, что при |х| < 1 сумма ряда равна , т. е. разложение (4) справедливо всюду на (-1, 1).

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Полученные разложения дают возможность вычислять частные значения функции, приближенно вычислять некоторые «неберущиеся» определенные интегралы и т. п. Рассмотрим несколько примеров.

1) Вычисление sin 1. Полагая х = 1 в разложении для sin х, имеем

Если отбросить все члены начиная с 4-го, то погрешность будет по абсолютной величине меньше (так как ряд для sin 1 есть ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница). Отсюда

с точностью до 0,0002.

2) Вычисление корней. Пусть требуется вычислить . Записав это выражение в виде

и полагая в формуле бинома Ньютона = 1/3 и х = 1/8, будем иметь

По таблицам же = 2,0801.

3) Вычисление натуральных логарифмов. В было выведено следующее разложение:

Ряд (1) не годится для вычислений натуральных логарифмов чисел, больших 2, так как он расходится при х > 1. Однако на основе его мы можем получить другой ряд, пригодный для нашей цели. Для этого заменим в формуле (1) х на -х; тогда получим

Оба ряда (1) и (2) имеют общий интервал сходимости: . Как известно, сходящиеся ряды можно складывать или вычитать почленно. Поэтому, предполагая, что |х| < 1, и вычитая из равенства (1) равенство (2), будем иметь

Полагая , находим . Подставляя эти значения в ряд (3), получаем

Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится для всякого положительного числа N. Следовательно, пользуясь этим рядом, можно шаг за шагом определить натуральные логарифмы всех целых положительных чисел.

Ряд (4) сходится при больших N очень быстро. Оценим при N > 0 абсолютную погрешность , которая получается, если отбросить в формуле (4) все члены, стоящие в скобке после -го члена. Имеем

Очевидно, что

или, подсчитывая сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, стоящей в квадратных скобках, получаем окончательно

Положим в разложении (4), например, N = 1 и = 3. Имеем

при этом на основании формулы (5) абсолютная погрешность удовлетворяет неравенству

т. е. мы имеем три верных десятичных знака.

Далее, полагая N = 2 и ограничиваясь двумя членами ( = 2), получаем

причем абсолютная погрешность удовлетворяет неравенству

Продолжая дальше, таким образом можем вычислить натуральный логарифм любого положительного числа с достаточной точностью.

4) Вычисление определенных интегралов. Пусть, например, требуется вычислить интеграл

Соответствующий неопределенный интеграл

не может быть выражен в элементарных функциях, т. е. представляет собой «неберущийся интеграл», и, следовательно, применить формулу Ньютона—Лейбница здесь нельзя. Тем не менее исходный определенный интеграл можно вычислить приближенно с помощью рядов.

Разделив почленно ряд для sin х на х, будем иметь

Отсюда, интегрируя почленно, получаем

Так как ряд знакопеременный и модули его членов монотонно убывают, то, ограничившись тремя членами, получим, что погрешность меньше

Ряд Тейлора

В некоторых случаях функция f(x) или ее производные теряют смысл при х = 0, как, например, функция f(x) = In х или f(x)=. Такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Для разложения подобного рода функций иногда можно воспользоваться более общими степенными рядами, расположенными по возрастающим степеням разности х - а, где а — надлежащим образом подобранное постоянное число.

Пусть данная функция f(x) допускает разложение по возрастающим степеням разности х - а:

которое справедливо в некотором интервале .

Положим х - а = z. Тогда разложение (1) перепишется в виде

где . Следовательно, согласно разложение (2) есть ряд Маклорена для функции F(z). Так как , то отсюда получаем

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (1), будем иметь

Это и есть ряд Тейлора.

В частности, полагая здесь а = 0, получаем ряд Маклорена

Ограничиваясь в формуле (3) лишь конечным числом членов, вместо ряда Тейлора получаем многочлен Тейлора

Если ряд (3) сходится в некоторой окрестности U_a точки а и его сумма равна функции f(x), то многочлен Р_п(х) дает приближенное представление функции f(x) в окрестности U_a.

Пример №52

Разложить многочлен по возрастающим степеням разности х - 2.

Дифференцируя функцию f(x), имеем

Подставляя х = 2, получаем

На основании ряда Тейлора (3) разложение функции f(x) по возрастающим степеням разности х - 2 имеет вид

или окончательно

Пример №53

Функцию f(x) = In х разложить по возрастающим степеням разности х - 1. Имеем

Отсюда

Следовательно,

Это разложение справедливо, если

Заметим, что этот ряд можно было бы получить непосредственно из ряда для , положив

Ряды в комплексной области

В ряде случаев приходится рассматривать ряды, членами которых являются комплексные числа, т. е. ряды вида

где — действительные числа и

Ряд (1) называется сходящимся, если сходятся по отдельности ряд, составленный из действительных частей членов данного ряда, т. е.

и ряд, составленный из мнимых частей этих членов:

Если через S_n обозначить сумму первых п членов ряда (2) и через Т_п — сумму первых членов ряда (3), то в случае сходимости этих рядов существуют

В таком случае комплексное число называется суммой ряда (1).

Имеет место следующая теорема.

Теорема: Если сходится ряд модулей членов ряда (1), то ряд (1) также сходится.

Доказательство: В самом деле, если сходится ряд

то в силу очевидных неравенств

(n = 1, 2, ...) на основании признака сравнения и теоремы из будут сходиться, и при этом абсолютно, оба ряда: (2) и (3). Тогда согласно определению сходится также ряд (1). Теорема доказана.

В комплексной области рассматривают также и степенные ряды

где

В силу предыдущей теоремы такой ряд заведомо будет сходиться, если сходится ряд модулей

где . Для исследования сходимости последнего ряда можно применять все известные нам признаки, например признак Даламбера.

Формулы Эйлера

Применим полученные нами разложения для вывода весьма важных формул, связывающих эти функции между собой.

Если х — действительное число, то, как известно, имеет место разложение

при этом ряд сходится для любого значения х.

Если z = х + iy, где х и у — действительные числа и i² = -1, то по определению положим

Применив признак Даламбера к ряду модулей

обнаружим, что этот ряд сходится при каждом значении |z|, а следовательно, сходится и ряд (1). Тем самым показательная функция е^z определена для всех комплексных значений z.

В частности, при z = ix, где х — действительное число, имеем

Так как и т. д., то, подставляя эти значения в разложение для получаем

или, отделив здесь действительные и мнимые части, будем иметь

Согласно формулам (2) и (3) из выражение, стоящее в первой скобке, равно cos х, а выражение, стоящее во второй скобке, равно sin х. Поэтому мы приходим к такой замечательной формуле:

Заменяя здесь х на -х и учитывая, что cos (-х) = cos х и sin (-х) = -sin х, находим

Мы получили знаменитые формулы Эйлера.

Разрешая формулы (2) и (3) относительно cos х и sin х, будем иметь

В общем случае, если z = х + iy, можно показать, что

Следовательно,

Пример №54

Если — комплексное число в тригонометрическом виде, то на основании формулы (4) получаем показательную форму комплексного числа

где

Тригонометрические ряды Фурье

Напомним, что функция f(x) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке (a, b), если этот промежуток можно разбить на конечное число частичных промежутков , на каждом из которых: 1) функция f(x) ограничена и непрерывна во внутренних точках; 2) на концах существуют конечные односторонние пределы

Под интегралом от функции f(x) понимается число

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на функции f(x) существует обобщенная первообразная

и, следовательно,

Пусть — две действительные кусочно-непрерывные на данном конечном промежутке функции. По аналогии с соответствующей операцией векторной алгебры под скалярным произведением функций понимается интеграл

Замечание. Нетрудно сообразить, что произведение двух кусочно-непрерывных на функций есть функция кусочно-непрерывная на и, следовательно, в нашем случае интеграл (1) существует.

Число

называется нормой функции ф(х).

Функции называются ортогональными на данном промежутке , если

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций

общего периода ( — полупериод). В физике функции

называют основными гармониками; графиками их являются синусоиды с амплитудами соответственно (гармоника не рассматривается, так как ).

ЛЕММА. Основные тригонометрические функции (4) попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду Т = 21 этих функций, т. е. для стандартного промежутка имеем условия ортогональности:

( — любые целые числа).

Условия ортогональности I, II, III проверяются непосредственно путем вычисления соответствующих интегралов. Здесь используются формулы тригонометрии:

Например, при имеем (см. I)

так как sin = 0 при любом целом k.

(В справедливости соотношений II и III читателю предлагается убедиться самостоятельно.)

Замечание. Подсчитаем нормы основных тригонометрических функций.

1)При = 0 имеем 0-ю гармонику cos 0х = 1. Согласно формуле (2) получаем

т. е.

2) При > 1 имеем

3) Аналогично,

Пусть — кусочно-непрерывная периодическая функция периода Т = . Естественно попытаться представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник

  того же периода (гармонический анализ функции). Таким образом, мы приходим к тригонометрическому ряду Фурье

(здесь, для удобства дальнейших выкладок, коэффициент 0-й гармоники берется с множителем 1/2). Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдений высоты приливной волны в данном месте, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что весьма важно для мореплавания.

Предположим, что ряд (8) сходится на промежутке и допускает почленное интегрирование.

Интегрируя почленно ряд (8), будем иметь

Так как

при (это также следует из условий ортогональности), то получаем

Отсюда

Заметим, что свободный член ряда (8)

представляет собой среднее значение периодической функции f(x).

Умножая теперь обе части равенства (8) на и интегрируя почленно, будем иметь

Отсюда в силу условий ортогональности I, III и формулы (6) получаем

и, следовательно,

Аналогично, умножая обе части равенства (8) на и интегрируя почленно, находим

Отсюда в силу условий ортогональности II и III и формулы (7) имеем

и, значит,

Заменив букву m на букву n (что по смыслу формул допустимо!), мы из формул (13) и (15) для коэффициентов разложения (8) получим следующие значения:

Заметим, что коэффициент a₀ на основании (10) получается из формулы (16) при = 0; этим объясняется, что свободный член ряда (8) берется в форме . Числа называются коэффициентами Фурье функции f(x).

Определение: Тригонометрический ряд (8), коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье (16) данной периодической функции f(x), называется ее рядом Фурье (точнее, тригонометрическим рядом Фурье) независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции f(x) или нет.

В этом смысле говорят, что функция f(x) порождает ряд Фурье, и пишут

где знак ~ обозначает «соответствует».

Мы без доказательства укажем сейчас достаточные условия разложимости периодической функции в ряд Фурье.

Назовем функцию f(x) кусочно-гладкой на промежутке , если она кусочно-непрерывна на и имеет на нем кусочно-непрерывную производную f'(x).

Теорема Сходимости: Пусть периодическая функция f(x), определенная на кроме, быть может, точек разрыва ее, и имеющая период Т = > 0, является кусочно гладкой в своей основной области.

Тогда: 1) ее ряд Фурье (17) сходится для любого значения , т. е. существует сумма ряда Фурье

2) сумма ряда Фурье S(х) равна функции f(x) в точках х непрерывности ее: S(x) = f(x) — и равна среднему арифметическому пределов функции fix) слева и справа в точках х₀ разрыва функции, т. е.

Так как для точки непрерывности х функции f(x) имеем

то в общем случае можно написать

В дальнейшем мы будем предполагать, что для функции f(x) выполнены условия теоремы сходимости, и вместо знака соответствия ~ будем писать знак равенства = (игнорируя точки разрыва функции!). Таким образом, для ряда Фурье функции f(x) имеем

где коэффициенты определяются формулой (16).

Замечание. Формулы (21) и (16) упрощаются, если период функции f(x) равен . В этом случае и мы имеем

где

Пример №55

Написать ряд Фурье периодической функции f (х) периода Т = , если (рис. 220)

Решение:

Из формулы (16) получаем

Отсюда, так как функция f(x) кусочно-гладкая в промежутке справедливо разложение

На рис. 220 представлены графики частичных сумм ряда Фурье (23) функции f(x):

Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

где f(x) — функция, непрерывная или кусочно-непрерывная на отрезке .

Делая в первом интеграле подстановку х = -f, dx = -dt и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получаем

1) Пусть функция четная, т. e. . Тогда из формулы (2) имеем

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

2) Пусть функция f(x) нечетная, т. е. f(-x) = -f(x). В таком случае из формулы (2) получаем

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Заметим, что утверждения 1) и 2) очевидны из геометрических соображений (рис. 221, а, б).

Теорема: 1) Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т. е. в его состав входят лишь четные гармоники, включая свободный член.

2) Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т. е. в его состав входят лишь нечетные гармоники.

Доказательство: 1) Пусть f(x) — четная периодическая функция периода — ее коэффициенты Фурье. На основании формулы (4), учитывая, что гармоники — нечетные функции и, следовательно, функции нечетные, имеем

Поэтому

где, используя четность функций , из формулы (3) получаем

2) Пусть теперь — нечетная периодическая функция пе-

риода . Так как — функции четные и, следовательно, функции нечетные, то

Поэтому

где, используя четность функций , на основании формулы (3) имеем

Теорема доказана.

Понятие о рядах Фурье непериодических функций

Кусочно-гладкую непериодическую функцию , заданную на бесконечной оси , нельзя представить ее рядом Фурье, так как сумма его, будучи суммой гармоник с общим периодом Т, есть функция периодическая с тем же периодом Т и, следовательно, не может быть равна функции f(x) для всех х. Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий нас промежуток есть , т. е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться путем параллельного сдвига оси Ох).

Построим функцию ф(х) периода такую, что (рис. 222)

Предполагая, что функция ф(х) удовлетворяет условиям теоремы сходимости, имеем

где

Отсюда на основании тождества (1) получаем

где

Подсчитаем сумму S(x) ряда (2'), или соответствующего ряда (2), в концевых точках х = ± . Согласно общей формуле имеем

Но на основании тождества (1) и -периодичности функции <р(х) геометрически очевидно (рис. 222), что

Поэтому из формулы (4) получаем

Из -периодичности суммы вытекает, что

Пример:

Функция f (х) = разложена в ряд Фурье на промежутке (-1, 1). Чему равна S( 1), где S(x) — сумма ряда Фурье?

Решение:

На основании формулы (5) имеем

Пусть теперь непериодическую функцию f(x) требуемся представить рядом Фурье периода 21 на «полупериоде» 0 < х < 1. Полагая

где f₁(x) — произвольная кусочно-гладкая функция, из формул (2) и (3) получаем бесконечное множество рядов Фурье

дающих представление функции f(x) на интервале (0, I).

В частности, полагая в формуле (7) («четное продолжение»), будем иметь

где

Аналогично, полагая в формуле (7) («нечетное продолжение»), получаем

где

Таким образом, кусочно-гладкую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить: 1) в виде суммы четных гармоник или 2) в виде суммы нечетных гармоник.

Пример:

Функцию f(x) = х разложить по косинусам кратных дуг в интервале .

Заметим, что здесь функция f(x) нечетная и требуется получить ее ряд Фурье, содержащий лишь четные гармоники. Это можно сделать, используя четное продолжение функции на .

Полагая из формулы (9) будем иметь

Используя формулу (10), находим

( = 1, 2, 3, ...). Отсюда

Таким образом, при имеем

На рис. 223 изображены график функции у = х и график суммы ряда Фурье (14). При они совпадают, а вне отрезка различны.

Полагая х = 0 в формуле (14), получаем замечательный числовой ряд (Эйлер)