Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и - диагонали ромба (рис. 49),  - точка их пересечения. Поскольку и то - медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ  делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть - диагональ ромба а - его высота (рис. 50),  = 28°.

1) В

2) Так как делит угол  пополам, то 

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть  - параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и  (по свойству параллелограмма), то Следовательно, - ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно,  По п. 1 этой теоремы - ромб.

3) Диагональ  делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как - секущая, то  (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника - равнобедренный и По п. 1 этой теоремы - ромб. 

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник - ромб.

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то - параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому - ромб (по признаку ромба). 

А еще раньше...

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.