Решение уравнений высших степеней с примерами

Содержание:

Решение уравнений высших степеней

Способ разложения на множители

Уравнением

Примеры:

Формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертых степеней известны, однако эти формулы очень сложные. Уравнения высших степеней удобно решать, применяя определенные способы. Один из таких способов разложение на множители

Пример: Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены как показано ниже:

Для того, чтобы произведение было равным нулю, необходимо, чтобы хотя-бы один из множителей был равным нулю. Поэтому или или Отсюда

Уравнения, приводимые к квадратным

Ряд уравнений можно привести к квадратным, вводя новую переменную. Например, уравнение заменой можно привести к уравнению В частном случае, при получается уравнение , которое называется биквадратным уравнением и для его решения пользуются заменой Например:

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

При решении уравнений содержащих переменную под знаком модуля рассматриваются два случая.

1-ый случай: выражение, стоящее под знаком модуля положительное или равно нулю.

2-ой случай: выражение, стоящее под знаком модуля отрицательное. По определению

Пример 1.

В левой части этого равенства оставим только выражение с модулем: Это противоречит определению модуля, гак как модуль числа должен быть или положительным числом или равным нулю. Решением таких уравнений будет пустое множество. Ответ:

Пример 2.

Алгебраический способ решения:

должен равняться или

Если

Если

Проверим, удовлетворяют ли данному уравнению найденные значения : При При

Ответ: Данное уравнение имеет два корня: 9 и 3.

Графический способ решения

В одной и той же координатной плоскости построим графики функций По графику определим точки Получаем, что значения являются корнями уравнения.

Пример 3.

Данное уравнение приводится к совокупности

1-ый случай.

Проверка: , значит корень уравнения. , значит корень уравнения.

2-ой случай. Дискриминант отрицательный. Решений нет.

Итак, решением данного уравнения будет:

Пример 4.

По определению абсолютной величины числа:

1 случай. Если то, и данное уравнение преобразуется к виду: Это записывается так:

Из уравнения находим А это значение не удовлетворяет условию . То есть в этом случае уравнение не имеет корней.

2 случай. Если , то и данное уравнение примет вид: В этом случае получаем систему:

Из уравнения находим , а это значение удовлетворяет условию . Таким образом, данное уравнение имеет один корень. Ответ: .

Пример:

Решение:

Проверка:

Ответ:

Системы уравнений

Уравнения с двумя переменными. Системы уравнений

Примеры уравнений с двумя переменными

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных , обращающая уравнение в верное равенство. Например, пара чисел , первое из которых означает значение переменной , а второе переменной является решением уравнения (т.к. верно равенство ). Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Например, графиком уравнения является прямая, графиком уравнения парабола, а графиком уравнения является окружность.

Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя (или более) переменными - значит нужно решить систему. Пару , являющуюся решением каждого уравнения системы, называют решением системы, а совокупность всех пар называют множеством решений системы.

Системы уравнений в которой одно уравнение первой, а другое второй степени

Графический способ. Решение системы можно определить, построив графики обеих уравнений в одной координатной плоскости и найдя координаты точек пересечения (хотя бы приблизительно). Обычно решение системы графическим способом удобно, когда нужно найти количество корней.

• Заказать решение задач по высшей математике

Система уравнений.

Пример 1.

В одной системе координат построим графики, соответствующие каждому уравнению системы. Графиком уравнения является парабола, а графиком уравнения прямая. Определим координаты точек пересечения графиков: и . Подставив эти значения в уравнения системы, можно проверить, что в этом случае решения были найдены точно.

Ответ:

Пример 2.

Определите сколько решений имеет система

Решение: Построив окружность с заданным уравнением и прямую в одной системе координат, можно увидеть что они пересекаются в двух точках. Пара - координаты этих точек являются решениями данной системы уравнения.

Ответ: Данная система имеет два решения

Решение системы уравнений, в которой одно уравнение первой, а другое второй степени, алгебраическим путем.

Способ подстановки

Способ подстановки:

1) Из уравнения первой степени выражается одна переменная через другую.

2) Полученное выражение подставляется в другое уравнение системы и получается уравнение с одним неизвестным.

3) Решив это уравнение, находится значение неизвестного.

4) По найденному значению одного неизвестного находится другое неизвестное.

Пример:

1) Выразим через из уравнения

2) Подставим в уравнение выражение и получим:

3) Подставим значения в выражение и найдем.

4) Ответ:

Способ почленного сложения (или вычитания)

Пример 2. Выполним последовательно решение системы.

1) Вычтем из первого уравнения второе,

2) Решим полученное уравнение:

3) Подставим значения в одно из уравнений системы и получим:

4) Ответ:

При помощи дискриминанта определите число решений системы.

Пример:

Применив способ почленного вычитания, получим квадратное уравнение Определим знак дискриминанта: . Так как дискриминант отрицательный, то данная система не имеет решений.

Пример: Прямая с угловым коэффициентом имеет с параболой общую точку. Определите ординату точки пересечения прямой с осью .

Решение: Так как , то уравнением прямой будет .

Из системы уравнений:

Так как, по условию система имеет одно решение, то дискриминант уравнения равен 0.

Уравнение прямой будет: . Значение определяет точку пересечения прямой с осью . Другими словами, при прямая пересекает ось . Если , то .

Ответ: 3

Напишите систему уравнений, соответствующую графику.

Пример:

Системы уравнений, в которой оба уравнения второй степени

Количество решений системы уравнений, в которых оба уравнения второй степени можно определить графическим способом