Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC

Докажем, что

• Поскольку Отсюда
• Поскольку Отсюда
• Поскольку  Отсюда

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь,  то доказанные соотношения принимают вид:

Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC в котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Если обозначить

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175). 

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, как вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1  

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Докажем, что   
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Сложив почленно эти равенства, получим:

Далее имеем:

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: 

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону: 

Из равенства также следует, что отсюда то есть гипотенуза больше любого из катетов¹.

¹Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами. 

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Напомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:

Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать:

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС в котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем:
По определению  отсюда Видим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Эту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: 

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:

Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают:

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, — тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Следовательно, получаем такие формулы: 

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

По теореме Пифагора Обе части этого равенства делим на Имеем: Учитывая, что  получим: 

Принято записывать:

Отсюда имеем: 
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что  Поскольку то получаем такие формулы:

Мы уже знаем, что Найдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: 
 

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором (рис. 183).

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что

Имеем: 
Отсюда находим:  

Поскольку 60° = 90° - 30°, то получаем:

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами катеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника

Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.    

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Отсюда
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств  получаем:
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

• гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, — углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, = 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Имеем:

Ответ:

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем:

Вычисляем угол с помощью микрокалькулятора:  Тогда

Ответ:

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Найдите стороны АВ и АС, если

Решение:

Из треугольника  получаем:

Из треугольника получаем:
Ответ:

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187)

Проведем высоту BD.

Из треугольника получаем: 

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку то вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому

Из треугольника  получаем: 

Ответ: 

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
• Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

• Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

 - основное тригонометрическое тождество

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

• Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
• Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому' катету.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть -данный прямоугольный треугольник, у которого (рис. 172). Докажем, что

1) Проведем высоту
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

и 

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что  получим:

 

4) Следовательно,  

Если в треугольнике  обозначить (рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть  тогда 

Ответ. 25 см.

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов - 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть  тогда 

Ответ. 8 см.

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна

Решение:

Рассмотрим квадрат у которого (рис. 174). Тогда

Ответ.

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной 

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной - его медиана (рис. 175).

Так как - медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из  Тогда

Ответ: 

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона - 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть - данная трапеция,   (рис. 176).

1) Проведем высоты и

2) (по катету и гипотенузе), поэтому

3) Из по теореме Пифагора имеем:

Ответ. 12 см.

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть  см и см- катеты треугольника, тогда см - его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора  получим уравнение:  откуда (см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Ответ. 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника справедливо равенство  то угол этого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике   Докажем, что (рис. 177).

Рассмотрим у которого  Тогда по теореме Пифагора  а следовательно,

Но по условию, поэтому то есть

Таким образом, (по трем сторонам), откуда

Так как то треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, - пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как то треугольник является прямоугольным.

2) Так как  то треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

А еще раньше...

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Считается, что Пифагор - первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть - перпендикуляр, проведенный из точки к прямой (рис. 185). Точку называют основанием перпендикуляра Пусть - произвольная точка прямой  отличающаяся от  Отрезок называют наклонной, проведенной из точки  к прямой  а точку основанием наклонной. Отрезок называют проекцией наклонной  на прямую

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике -катет, - гипотенуза (рис. 185). Поэтому

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки к прямой проведены наклонные и и перпендикуляр (рис. 186). Тогда (по катету и гипотенузе), поэтому

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

(по двум катетам), поэтому (рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть и - наклонные, (рис. 187). Тогда (из ), (из ). Но  поэтому следовательно,

Свойство справедливо и в случае, когда точки и лежат на прямой по одну сторону от точки

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть  и - наклонные, (рис. 187).

Тогда (из ),

(из ). Но поэтому следовательно,

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции - 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187  

1) Из (см).

2) Из по свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь:

Поэтому

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 По свойству 4: Обозначим см. Тогда см.

Из  поэтому

Из  поэтому

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: откуда Следовательно, см, (см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом (рис. 190). Для острого угла катет является противолежащим катетом, а катет - прилежащим катетом. Для острого угла катет является противолежащим, а катет - прилежащим.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла обозначают так:  Следовательно,

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла обозначают так:  Следовательно,

Так как катеты и меньше гипотенузы то синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла обозначают так: Следовательно,

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и  у которых (рис. 191). Тогда  (по острому углу). Поэтому  

Из этого следует, что  и поэтому

Аналогично поэтому

поэтому

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: и
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

3. Катет, противолежащий углу  равен произведению второго катета на тангенс этого угла:
4. Катет, прилежащий к углу  равен частному от деления другого катета на тангенс этого угла:

Значения можно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора и (на некоторых калькуляторах Последовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике  Найдите 

Решение:

 (рис. 190). (см).

Ответ. 16 см.

Пример №15

В треугольнике  Найдите (с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим  Следовательно,

Ответ.  2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению  или находить угол  Для вычислений используем клавиши калькулятора   и 

Пример №16

В треугольнике   

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла в градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши):  Тогда

Ответ. 

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим у которого  (рис. 192).

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°,

По теореме Пифагора:

Тогда

то есть

то есть

то есть

 то есть 

 то есть 

 то есть 

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим  у которого

(рис. 193). Тогда  По теореме Пифагора:

Тогда

то есть

то есть

то есть

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть - данный треугольник,   (рис. 194).

Проведем к основанию высоту  являющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Из 

отсюда  (см). 

Ответ.  см. 

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник - значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике обозначение   (рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

(теорема Пифагора);

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу и острый угол прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет и острый угол прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты и прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет  и гипотенуза прямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Пример:

Найдите высоту дерева основание которого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку - основание дерева, точки и и измеряем отрезок и и

1) В  

2) В  

3) Так как имеем:

откуда 

Ответ. 

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами  гипотенузой  и острым углом  (рис. 168).

Определение

Синусом острого угла  прямоугольного треугольника (обозначается  называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом острого угла  прямоугольного треугольника (обозначается  называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла  прямоугольного треугольника (обозначается называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла  прямоугольного треугольника (обозначается  который равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники  имеют равные острые углы  (рис. 169).

Эти треугольники подобны, отсюда  или по основному свойству пропорции, 

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов  соответственно. Имеем: 

т.е. синус угла  не зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов  равны, то Иначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике (рис. 170).

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол  — наименьший угол треугольника  По определению

Ответ: 

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла 

Доказательство:

 По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен 

Следствие

Для любого острого угла

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем:  т.е. 

Аналогично доказывается, что 

Отсюда следует, что 

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла  Тогда 

Поскольку 

Ответ: 

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла 

Доказательство:

 Рассмотрим прямоугольный треугольник  с гипотенузой  (рис. 172).

Если  Выразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Теорема доказана. 

Следствие

Для любого острого угла 

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Аналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла  Для этого в равностороннем треугольнике  со стороной  проведем высоту  которая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

В треугольнике  и по теореме Пифагора  Имеем:

С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла 

Для вычисления значений тригонометрических функций угла  рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник  с катетами  (рис. 174).

По теореме Пифагора  Имеем:

Представим значения тригонометрических функций углов  в виде таблицы.

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами   гипотенузой  и острыми углами  (рис. 175).

Зная градусную меру угла  и длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и  (соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу 

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок)  Найдем катет 

Поскольку 

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе  и острому углу  (см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна  

Поскольку 

т.е. 

Поскольку 

т.е. 

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету  и острому углу  (см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна  

Поскольку 

Поскольку 

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе  и катету  (см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора 

Поскольку  откуда 

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам  (см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора 

Поскольку  откуда 

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку  и измерим угол 

Поскольку в прямоугольном треугольнике 

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к  высоту  прибора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, 

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны 

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию  (рис. 177), в которой 

Проведем высоты  Поскольку  (докажите это самостоятельно), то  В треугольнике 

Поскольку 

т.е. 

Ответ: 

Итоги главы IV

Синусом острого угла  называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: 

Косинусом острого угла  называется отношение прилежащего катета

Тангенсом острого угла  называется отношение противолежащего катета к прилежащему: 

Котангенсом острого угла  называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Тригонометрические тождества

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла  рассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу  Действительно, если радиус окружности равен единице, то  измеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических  функций иногда рассматриваются еще две:

секанс 

и косеканс 

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

 По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок  можно разделить на  равных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой  причем на отрезке  будут лежать  точек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные  по теореме Фалеса получим деление отрезков  соответственно на равных отрезков. Следовательно,  что и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка  невозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть 

Рассмотрим случай, когда  (другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке  отрезок  (рис. 181).

Разобьем отрезок  на такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления  попала на отрезок  Проведем через точки деления прямые, параллельные  Пусть прямая,   проходящая через точку пересекает луч  в точке  Тогда по доказанному  Учитывая, что в этой пропорции  имеем: 

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка  Следовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем  Разделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: 

Откуда  Таким образом, доказано, что  т.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью. 

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник  который делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182.  кв. ед.

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

 — стороны прямоугольника.

Доказательство:

 Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники  имеют общую сторону  (рис. 183,

Разобьем сторону  равных частей. Пусть на отрезке  лежит  точек деления, причем точка деления  имеет номер  а точка  —номер  Тогда  откуда — 

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные  Они разделят прямоугольник  равных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник содержится внутри прямоугольника  а прямоугольник содержит прямоугольник 

Следовательно, 

Имеем: 

Сравнивая выражения для  убеждаемся, что оба эти отношения расположены между  т.е. отличаются не больше чем на  натуральное число). Докажем от противного, что эти отношения  равны.

Действительно, если это не так, т.е.  такое натуральное число  что  Полученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники  со сторонами   со сторонами  и 1 и квадрат  со стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному 

Поскольку  кв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем 

Теорема доказана.

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка  точкой  при котором  (рис. 184). Пусть длина отрезка  равна  а длина отрезка  равна  Тогда

 Отсюда  Поскольку  то геометрический смысл имеет только значение   Значит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой  Кроме того, часто рассматривают и отношение  Заметим, что  — первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно 

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении  (или

Построить золотое сечение отрезка заданной длины  с помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами  и провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной  Поскольку по построению  и  по определению золотого сечения. Следовательно,  Убедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения  Рассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами (рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике   биссектриса. Тогда  по двум углам. Следовательно,  т. е. треугольник  — золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике  то такой треугольник подобен треугольнику  т. е. имеет углы 

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами  (рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что  Для доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны следовательно, треугольники  являются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром  (рис. 188, в). Полученный прямоугольник  — золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем  тогда  Неограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение  приближенно может быть выражено дробями  так называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами 

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от  в правом — от  Между этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й    — синусы углов от  (или косинусы углов от 

2-й    — тангенсы углов от  (или котангенсы углов от 

3-й    — котангенсы углов от  (или тангенсы углов от 

4-й    — косинусы углов от  (или синусы углов от 

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим  Поскольку  найдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу  в ней соответствует число 0,423. Следовательно, 

2) Определим  Поскольку 45° < 72° <90°, найдем в крайнем правом столбце значение 72 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу  в нем соответствует число 0,951. Следовательно, 

3) Определим угол, синус которого равен 0,839. Для этого в первом или четвертом столбце значений найдем число 0,839. Оно содержится в четвертом столбце, т. е. искомый угол больше  и меньше  В соответствующей строке правого столбца значений находим число 57. Следовательно, искомый угол приблизительно равен 

4) Определим  Поскольку  найдем в крайнем левом столбце значений 14 и рассмотрим соответствующую строку четвертого столбца значений. Углу  в нем соответствует число 0,970. Следовательно, 

5) Определим угол, тангенс которого равен 0,7. Для этого во втором или третьем столбце значений найдем число 0,700. Оно находится во втором столбце, т.е. искомый угол меньше  В соответствующей строке левого столбца значений находим число 35. Следовательно, искомый угол приблизительно равен 

С большей точностью значения тригонометрических функций можно определять по «Четырехзначным математическим таблицам» В. М. Брадиса или с помощью калькулятора.

Теорема Пифагора. Перпендикуляр и наклонная с решением

Докажем теорему, открытие которой связано с именем древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.).

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

∆АВС, ےC = 90° (рис. 412).

Доказать:

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому и . Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: . Следовательно,

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза, то из формулы получим следующие формулы:

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Например:

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник - прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см - прямоугольный, поскольку . Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный (ے0= 90°). АС 16

В нём: катет гипотенуза AD= 10 см.

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Пусть ВС - перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС - проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

1. любая наклонная больше перпендикуляра;
2. равные наклонные имеют равные проекции;
3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

1. По теореме Пифагора, (рис. 415), тогда или АВ > ВС.
2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
3. Поскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: . В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD < DC, то, по свойству трёх наклонных, АВ < ВС. Обозначим АВ через х, тогда ВС = х + 2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD находим .

Приравниваем правые части равенств и получаем: Отсюда 4х=52, х= 13см. Следовательно, АВ= 13см, ВС=х+2= 15(см).

Если в условии задачи даны две наклонные, проведённые из одной точки к прямой, то рассматриваем два прямоугольных треугольника, общим катетом которых является перпендикуляр, проведённый из общей точки к этой прямой.

Теорема Пифагора — одна из наиболее значимых теорем математики. На протяжении многих столетий она являлась толчком для важнейших математических исследований. Предлагаем вам несколько интересных фактов, связанных с этой теоремой и её автором.

Пифагор (570 — 496 гг. до н. э.) родился на острове Самос (южная часть Эгейского моря). Длительное время изучал математику в Египте и Вавилоне. В г. Кротоне, на юге Италии, основал научную школу — так называемый пифагорейский союз. Пифагор и его ученики занимались математикой, философией, астрономией и теорией музыки. Вследствие противоречий и противодействия со стороны общества здание школы было разгромлено, а сам Пифагор убит. Среди важнейших достижений пифагорейцев — теорема, которую называют теоремой Пифагора, и её доказательство. (Ныне установлено, что эта теорема была известна за 1500 лет до Пифагора в древнем Вавилоне.) Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах (рис. 419).

Доказательством теоремы Пифагора занимались многие математики на протяжении столетий. Известно более 150 доказательств этой теоремы. Так, индийский математик Бхаскара (XII в.) предложил такую фигуру, как на рисунке 420, без каких-либо объяснений. Под рисунком лишь одно слово — «смотри». Попытайтесь объяснить справедливость теоремы по этому рисунку. Теорема Пифагора допускает интересные обобщения. Одно из них: если на сторонах прямоугольного треугольника построить произвольные, подобные между собой фигуры, то справедливо равенство и ~ площади построенных фигур.

С теоремой Пифагора связаны школьные шутки: рисунок к теореме для случая равнобедренного прямоугольного треугольника ученики называли «пифагоровы штаны» (рис. 422), а также изображали в виде смешных фигурок (рис. 423 и 424).

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с катетами ВС = а, АС = by гипотенузой АВ = с и ےA = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а - противолежащий углу а, катет b - прилежащий к углу a. Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

• - отношение обозначают sin а и читают «синус альфа»;
• - отношение обозначают cos а и читают «косинус альфа»;
• - отношение обозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и -два прямоугольных треугольника, в которых (рис. 442). Тогда по двум углам (). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

Из этих равенств следует:

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы - равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен .

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А =

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а < 1 и cos а < 1 для любого острого угла а. Поскольку один катет может быть и больше, и меньше другого катета, и быть равный ему, то tg а может быть и больше 1, и меньше 1, и быть равным 1.

1. Кроме косинуса, синуса и тангенса угла а есть ещё одно соотношение сторон прямоугольного треугольника, имеющее особое название — котангенс. Это отношение катета b, прилежащего к углу а, к противолежащему катету а (рис. 444). Обозначается: ctg а. Следовательно

2. Индийский математик Ариабхата (V в.) отношение противолежащего катета к гипотенузе назвал ordhajyo — ардхажиа (полухорда), в переводе — тетива лука. В XII в. европейские учёные перевели это название на латинский язык как sinus — синус. Слово cosinus— косинус состоит из двух слов: complement — дополнение и sinus — синус, то есть дополнительный синус. Почему — узнаете из § 23 этой главы. Арабские астрономы-математики аль-Баттани (858 — 929 гг.) и Абу-ль-Вефа (940 — 998 гг.) определили понятие тангенса, измеряя угловую высоту Солнца по тени от жерди. Поэтому отношение катета, противолежащего углу а, к прилежащему катету они называли словом «тень». Позднее, в XVI в., это отношение получило название «тангенс», что в переводе с латинского означает «касательная». Знаки «sin», «cos», «tg» ввёл Леонард Эйлер в XVIII веке.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Вы знаете, что (рис. 451). Отсюда: 1) а=с sina, 2) b=c cosa, 3) a=b tga.

Эти равенства формулируются следующим образом.

1. Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin a.
2. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos a.
3. Катет, противолежащий углу а, равен произведению другого катета на tg a.

Из равенств 1) и 2) можно найти гипотенузу с прямоугольного треугольника по катету а или b и острому углу

Из равенства 3) можно найти катет b по прилежащему к нему углу а и катету а:

Для того чтобы найти по одной из сторон прямоугольного треугольника и острому углу две другие его стороны, используйте равенства 1) — 6) (табл.33). Таблица 3 3

Пример №30

Найдите основание равнобедренного треугольника с боковой стороной о и углом а при основании.

Решение:

Пусть ABC— равнобедренный треугольник с боковой стороной ВС = а и ےC = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB - 90° - а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Сравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° - а), cos а = sin (90° - а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° - а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например:

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ےA = 45° (рис. 468). Тогда ےB = 45°. Следовательно, ∆ABC - равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ےA = 30" (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = как катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора,

Тогда

Если в прямоугольном треугольнике ABC ےA = 30° (рис. 469),

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус - увеличивается.

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ےА = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Как вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos 0,8796 нашли 28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: 28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом - от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов - «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние - больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° 0,559, cos67° 0,391, sin85° 0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin 0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, 38".

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом - значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° 0,344. Если tg 0,869, то 41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник - это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Таблица 36

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21' (рис. 482).

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: .

Тогда (м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы . Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим:

Почленно вычитаем полученные равенства:

Отсюда

Следовательно,

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни:

Пусть результаты измерения следующие:

Тогда

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Решение:

Провешиваем прямую и отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие:

Тогда АВ =

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём , тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Тогда

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

(рис. 489). Найдите ےB, ےC и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ےA — острый и b> с.

Из прямоугольного треугольника ABD:

Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника BDC: