Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Реферат на тему: История появления алгебры как науки

Содержание:

Введение

Алгебра, наряду с арифметикой, является наукой о числах и, через числа, о количествах вообще. Не изучая свойств каких-либо частных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства абстрактных величин как таковых, независимо от того, на какие конкретные приложения они способны. Разница между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука изучает свойства данных, определенных величин, в то время как алгебра изучает общие величины, значение которых может быть произвольным, и, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые являются общими для всех величин, независимо от их значений. Таким образом, алгебра-это обобщенная арифметика. Это заставило Ньютона назвать свой трактат по алгебре "Общей арифметикой". Гамильтон, полагая, что так же, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру "Наукой о чистом времени" - название, которое Морган предложил изменить на "Исчисление последовательности". Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни ее исторического развития. Алгебру можно определить как "науку о количественных отношениях".

Деление алгебры

В настоящее время, отчасти по педагогическим соображениям, отчасти в силу исторического развития этой науки, алгебра делится на низшую и высшую. К низшей алгебре относятся теория элементарных арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теория степеней и корней, теория логарифмов и комбинаторика. Высшая алгебра включает в себя теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок и, наконец, представление различных частных способов разделения корней уравнений, определения числа действительных или мнимых корней данного уравнения с числовыми коэффициентами и приближенных или аналитических (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

История алгебры

Происхождение термина "алгебра".

Происхождение самого слова "алгебра" не совсем ясно. По мнению большинства исследователей, слово "алгебра" происходит от названия работы арабского математика аль-Хорезми (от названия которого, по мнению большинства исследователей, происходит популярное слово "алгоритм") "аль-Джабр аль-мукабала", то есть "учение о перестановках, соотношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра" от имени математики ГЕБЕРА, но само существование такой математики подлежит сомнению.

Самые старые комбинации в алгебре

Первой дошедшей до нас работой, содержащей исследование алгебраических вопросов, является трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы находим, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), изучение степеней чисел и решение многих неясных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное собрание сочинений Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно сложные алгебраические задачи. Мы не знаем никаких других работ по алгебре в древности, кроме утраченной работы знаменитой дочери Теона, Ипатии.

Арабская алгебра

В Европе алгебра вновь появляется только в эпоху Возрождения, и то от арабов. Как арабы достигли истин, которые мы находим в их писаниях, дошедших до нас в большом количестве, неизвестно. Возможно, они были знакомы с трактатами греков или, как некоторые думают, получили свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магомед ибн Муса, живший примерно в середине девятого века в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние труды по всем отраслям науки. Магомед Абульвафа переводил и комментировал труды Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в X веке). Но ни он, ни другие арабские математики не привнесли в алгебру много своего. Они изучили его, но не улучшили.

Возрождение алгебры в Европе

Первым произведением, появившимся в Европе после долгого перерыва со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим торговым делам на Восток, познакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) числами, а также с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию он написал сочинение, охватывающее как арифметику, так и алгебру, а также частично геометрию. Однако эта работа не имела большого значения в истории науки, поскольку оставалась малоизвестной и была вновь открыта только в середине xviii века во флорентийской библиотеке. Тем временем сочинения арабов начали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что древнейший арабский труд по алгебре Магомеда-бен-Мусы был переведен на итальянский язык, но этот перевод не сохранился до нашего времени. Первый известный печатный трактат по алгебре - "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", написанный итальянцем Лукасом де Бурго. Первое издание вышло в 1494 году, а второе-в 1523 году. Она показывает нам состояние алгебры в начале XVI века в Европе. Здесь не видно большого прогресса по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения некоторых частных задач высшей арифметики, автором решаются только уравнения первой-второй степени, и притом из-за отсутствия символического обозначения все задачи и способы их решения приходится излагать словами, предельно пространно. Наконец, нет общих решений даже для квадратичного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится специальный метод решения, так что наиболее существенная особенность современного А. - общность его решений еще полностью отсутствует в начале XVI века.

Решение уравнений третьей и четвертой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил частный случай кубического уравнения. Это решение, однако, не было им опубликовано, а было сообщено одному студенту - Флориде. Последний, находясь в Венеции в 1535 году, вызвал на соревнование известного тогда математика Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для решения которых необходимо было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже сам нашел решение таких уравнений, причем не только в одном частном случае, который был решен Феррео, но и в двух других частных случаях. Тарталья принял вызов и предложил Флориде свои собственные задачи. Результатом состязания стало полное поражение от Флориды. Тарталья решал предложенные ему задачи в течение двух часов, в то время как Флориде не мог решить ни одной из задач, предложенных ему противником (число задач, предложенных с обеих сторон, составляло 30). Тарталья, как и Феррео, продолжал скрывать свое открытие, которое заинтересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к изданию обширный труд по арифметике, алгебре и геометрии, в котором он также хотел дать решение уравнений 3-й степени. Но Тарталья отказался рассказать ему о своем методе. И только когда Кардано принес клятву на Евангелии и дал честное слово дворянина, что не откроет метод решения уравнений Тартальи, а запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья после долгих колебаний согласился открыть свою тайну любопытному математику и довольно туманно показал ему правила решения кубических уравнений, изложенные в стихах. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел им подтверждение. Однако, несмотря на свое обещание, он опубликовал метод Тартальи, и этот метод до сих пор известен как "формула Кардано".

Вскоре было найдено решение уравнений четвертой степени. Итальянский математик предложил задачу, решение которой по известным до того времени правилам было недостаточным и требовало умения решать биквадратичные уравнения. Большинство математиков считали эту проблему неразрешимой. Но Кардано предложил его своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решения уравнений четвертой степени в целом, сведя их к уравнениям третьей степени. В работе Тартальи, напечатанной в 1546 году, мы также находим изложение метода решения не только уравнений первой и второй степени, но и кубических уравнений, и описан инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Работа Бомбелли, опубликованная в 1572 году, интересна тем, что в ней рассматривается так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который смутил Кардано, не сумевшего решить его с помощью своего правила, а также указывается на связь этого случая с классической задачей о трисекции угла. алгебра уравнения математической

Развитие алгебры в Европе

В Германии первая работа по алгебре принадлежит Христиану Рудольфу Яуэрскому и впервые появилась в 1524 году, а затем снова была опубликована Штифелем в 1571 году. Сами Штифель и Шейбл, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат по алгебре принадлежит Роберту Рекорду, профессору математики и медицины в Кембридже. Его сочинение по алгебре называется "Точильный камень остроумия". Здесь впервые вводится знак равенства ( = ). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение по алгебре Пелетария; в Голландии в 1585 году Стевин не только представил уже известные ему исследования, но и внес некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он обозначал неизвестное. Однако для обозначения неизвестного он использовал только цифры, обведенные по кругу. Итак, первое неизвестное (теперь обычно обозначаемое х) В его случае обозначалось обведенной единицей, второе-обведенной двойкой и так далее. Большие успехи были сделаны в алгебре после трудов Виеты, который первым рассмотрел общие свойства уравнений произвольных степеней и показал методы приближенного нахождения корней любых алгебраических уравнений. Он первым обозначил буквами величины, входящие в уравнения, и тем самым придал алгебре ту общность, которая является характерной чертой алгебраических исследований нового времени. Он также очень близко подошел к открытию биномиальной формулы, найденной позднее Ньютоном, и, наконец, в его трудах можно даже найти разложение отношения стороны квадрата, вписанного в окружность, к дуге окружности, выраженной в виде бесконечного произведения. Фламандец Альберт Жирар, или Жерар, чей трактат по алгебре появился в 1629 году, первым ввел в науку понятие мнимых величин. Англичанин Харриот показал, что каждое уравнение можно рассматривать как произведение некоторого числа факторов первого порядка, и ввел знаки > и <. Его работы были опубликованы в 1631 году Уорнером.

Приобретение полной формы алгебры

Заключение

После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг стремительно продвигается вперед благодаря трудам Декарта, Ферма, Уоллиса и особенно Ньютона, не говоря уже о множестве менее известных математиков, которые совместными усилиями за сравнительно короткое время значительно превзошли своих предшественников и придали ей форму, сохранившуюся до наших дней. В этом кратком очерке невозможно рассмотреть прогресс, которым алгебра обязана этим математикам. Мы лишь вкратце упомянем основные моменты дальнейшего стремительного совершенствования алгебры, за которым последовало шаг за шагом совершенствование других отраслей математики вообще. С этого времени алгебра также вступает в более тесную связь с геометрией, после развития Декартом аналитической геометрии, а также с бесконечно малым анализом, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII веке классические работы Эйлера и Лагранжа, изложенные в "Новых комментариях" первого и в "Traite de la resolution des equations" второго, довели алгебру до высокой степени совершенства. Позднее работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестра, Кронекера, Эрмита и других создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Список литературы

История математики в школе, Г. И. Глазер, Москва, Просвещение, 1964г.
Очерки по истории математики, Б. В. Болгарский, Минск, "Высшая школа", 1979.
Математика, Я знаю мир, Москва, АСТ 2000.
Энциклопедический словарь молодого математика, Москва, Педагогика-пресс, 1999.