Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Реферат на тему: Философско-методологические основы математики и информатики

Содержание:

Введение

Математика (от древнегреческого mhizmb - изучение, наука) - это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций счета, измерения и описания форм реальных предметов. Математические объекты создаются путем идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика - фундаментальная наука, это язык других наук, обеспечивающий их взаимосвязь.

Математизация научного знания - это процесс применения концепций и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа изучаемых ими явлений. Мы будем понимать математизацию науки как применение математики для теоретического представления научного знания. В этом случае мы будем говорить не только о вспомогательном, чисто вычислительном аспекте, но и о таком понимании роли математики, когда она является главным источником идей и принципов, на основе которых рождаются новые теории.

Приведенная выше цитата полностью исчерпывает объяснение того факта, что во всем, что нас окружает, можно найти определенные зависимости и закономерности. И эти две вещи - математика. И нет ничего странного в применении математических приемов практически к любой науке, даже к самой гуманитарной из них, потому что каждый математический закон соответствует определенной естественной системе или материальной модели, созданной человеком. И наоборот, все, что происходит вокруг нас, можно представить в виде математической модели.

В определенном смысле математика - это язык общения, столь необходимый и незаменимый, особенно в наше время стремительного развития информационных технологий. В настоящее время мы наблюдаем стремительный рост количества математических приложений, связанный в первую очередь с развитием компьютерных технологий, появлением глобального Интернета. Те математические идеи, которые раньше не уходили из области академической науки, теперь стали обычным явлением в повседневной жизни программистов, ученых-прикладников, экономистов.

Экскурсия в историю

Первая математическая концепция природы была создана пифагорейцами (все есть числа). Кое-где учения Пифагора носят мистический характер, далекий от реального положения вещей. Например, обожествление некоторых чисел: 1 - мать богов, вселенское происхождение (видимо, аналогия с началом естественного ряда), 2 - принцип противостояния в природе (поскольку противоположности всегда встречаются парами), 3 - природа как троица происхождения и ее противоположных сторон (3 = 1 + 2) и т. д. Интересны (хотя и совершенно не соответствуют действительности) его рассуждения о связи некоторых арифметических свойств чисел и социальных явлений. Например, пифагорейцы различают так называемые совершенные числа: 6, 28 и т. д. - числа, равные сумме их собственных (т. е. кроме самого числа) делителей: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Эти числа, согласно Пифагору, отражают совершенство. Пары чисел, сумма собственных делителей одного из которых равна другому, и наоборот, например, 284 и 220, называются дружественными и отражают феномен дружбы в обществе. О настоящей дружбе пифагорейцы говорили: Они дружны, как 220 и 284. Несмотря на эти наивные представления, такие числа по-прежнему представляют интерес для теории чисел, раздела математики, который занимается арифметическими свойствами целых чисел. Например, до сих пор неизвестно, бесконечен ли набор совершенных чисел или существуют нечетные совершенные числа? Кроме того, Пифагор и его школа выявили интересные числовые паттерны в музыке (высота колебаний струны зависит от ее длины). Его учение является первым примером целенаправленного применения математики для объяснения явлений природы, общества и Вселенной в целом.

Платон продолжил пифагорейскую традицию, подчеркнув геометрию (Бог всегда геометр). Платоновская теория материи - это теория правильных многогранников. Аристотель не отрицал важности математики для познания природы, но считал научные концепции абстракциями, извлеченными из реального мира, которые могут быть полезны при описании явлений. Позже, в эллинистический период, Евклид создал первую аксиоматико-дедуктивную систему геометрии, которая стала основой для математизации античной оптики, статики и гидростатики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей). Однако геометрия Начала Евклида сама была физической теорией, поскольку ее создатели считали ее результатом изучения реального пространства. Но уже в работах Архимеда по теории рычага и плавания тел геометрия используется как готовая математическая конструкция. По сути, у Архимеда пифагорейская максима все есть число заменена на все есть геометрия. Древнее наследие сохранялось и приумножалось (с точки зрения математизации научных знаний) арабскими учеными и средневековыми мыслителями. Р. Бэкон, например, считал, что математика должна быть основой всех наук. Самым впечатляющим достижением математического подхода к астрономии явилась гелиоцентрическая система Н. Коперника. В наше время корифеи точного естествознания (И. Кеплер, Г. Галилей, Х. Гюйгенс, И. Ньютон) и философы (Ф. Бэкон, Р. Декарт, Г. В. Лейбниц) считали математику (геометрию) прототипом. мира (Сравните с Лейбницем: Cum Deus Calculat, fit Mundus, т.е. Как Бог вычисляет, так и мир делает ). Однако развитие механики и гидростатики в XVI в. (особенно С. Стевин) и в 17 в. (Г. Галилей и Б. Паскаль) демонстрируют сохранение архимедова типа математизации: евклидова геометрия продолжает оставаться определяющей математической структурой.

Ньютон в своих Математических принципах естественной философии говорил о подчинении явлений законам математики, и хотя он использовал язык геометрии, ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление, чтобы сформулировать законы механики. Впервые был совершен прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика возникла как теория обыкновенного второго порядка. дифференциальные уравнения. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.

Ньютон в своих Математических принципах естественной философии говорил о подчинении явлений законам математики, и хотя он использовал язык геометрии, ему пришлось создать дифференциальное и интегральное исчисление, чтобы сформулировать законы механики. Впервые произошел прорыв за пределы евклидовой геометрии как математической структуры физики: благодаря усилиям Ньютона, Лейбница, К. Маклорена, Л. Эйлера классическая механика возникла как теория обыкновенной второго порядка. дифференциальные уравнения. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.

Математизация наук

Несомненно, феномен математизации современной науки - явление сложное, многогранное и может рассматриваться и изучаться с разных точек зрения. Например, очевидны социальные и социально-психологические последствия математизации. Это приводит к перестройке организационной структуры науки, изменяет систему образования, иногда разрушает извечную замкнутость отдельных дисциплин, порождает конфликты и противоречия между представителями разных традиций и разных поколений... Математизация породила науку, если не особая профессия, то особая роль, особая фигура, фигура математика. Это человек, работающий на стыке наук, математик, который стал биологом, геологом или гуманистом и в то же время сохранил взгляды и принципы математического мышления. Его призывают сидеть как бы на двух стульях, согласовывая то, о чем, вообще говоря, трудно договориться; часто это роль конфликта, требующая большой гибкости и этической или аксиологической культуры

Часто задаваемый вопрос - нужно ли математизировать гуманитарные науки? Однозначный ответ вряд ли возможен, потому что существует разное понимание задач и предмета гуманитарного знания. Но очевидно, что в этом вопросе есть и существенная аксиологическая составляющая. Как мы оцениваем образовательную роль гуманитарных знаний? Признаем ли мы, например, огромную роль биографий конкретных ученых в формировании и передаче образцов определенных жизненных устремлений, мотивов научного творчества, моделей отношения к науке? Нам кажется, что развитие науки невозможно без сохранения и перевода таких образцов. Нам кажется, что обсуждение аксиологических аспектов математизации должно быть тесно связано с преодолением часто встречающегося физико-математического снобизма, ведущего к недооценке и непониманию особенностей, традиций и функций других представителей разнообразного мира науки.

Но рассмотрим подробнее, в чем может состоять коренная перестройка существующих ситуаций и как вообще возникает такая задача? Проблема математизации - отличный материал для ответа на этот вопрос. Было бы наивно думать, что у специалиста в той или иной науке вдруг возникнет идея радикально изменить все в своей области. Это требует каких-то новых социальных требований, новых требований, предъявляемых извне, необходимо вступать в противоречие с некоторыми другими трудовыми традициями. В случае математизации такую роль играют научные лидеры, которые в силу своего всеобщего общественного признания и престижа диктуют стандарты и идеалы другим научным дисциплинам. В настоящее время таким лидером, несомненно, является, с одной стороны, физика, а с другой - вычислительная математика и кибернетика с их многочисленными приложениями в конкретных областях науки и техники. Они задают определенную моду, определенную аксиологическую атмосферу для развития современной науки.

Каково положение специалиста в еще не математизированной области? С одной стороны, он связан с традициями своей науки, с другой, он вынужден сосредоточиться на новых для него программах, не имеющих прецедентов в его сфере, но богато представленных в материале ведущих дисциплин полностью чуждый ему. Прямая, прямая передача опыта здесь невозможна. Образно говоря, кажется, что науки говорят на разных языках, а термины одного языка могут просто отсутствовать в другом. Нужен поиск, нужен кропотливый робот-переводчик, учитывая к тому же невозможность полностью адекватного перевода. Все это создает, с одной стороны, методологическую проблему, а с другой - особую фигуру ученого-методиста.

Математическая модель

В чем сила и удивительная плодотворность применения математики в различных науках? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте проанализируем самый важный, основной метод математизации - это математическое моделирование.

Он заключается в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой территории, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные взаимосвязи между ними и пытается найти какие-то похожие. объект по математике.

С математическим моделированием связано множество проблем. Во-первых, необходимо придумать базовую схему моделируемого объекта, воспроизвести ее в рамках идеализаций этой науки. Итак, вагон превращается в систему пластин и более сложных кузовов из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего по ходу составляются уравнения. некоторые детали отбрасываются как несущественные, производятся расчеты, сравниваются с измерениями, уточняется модель и т. д. Однако для развития технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составляющие его элементы.

Традиционно существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все ее параметры считаются известными, основная задача - провести исследование модели для извлечения полезных знаний об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он отреагирует на динамическую нагрузку (например, на марше роты солдат или при проезде поезда с разной скоростью), как самолет преодолеет звуковой барьер, развалится ли он от флаттера - это типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (постановка правильного вопроса) требует особого мастерства. Если не задать правильные вопросы, мост может рухнуть, даже если для его поведения построена хорошая модель. Так, в 1879 году в Великобритании обрушился металлический мост через Тей, конструкторы которого построили макет моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности по полезной нагрузке, но забыли о постоянно дующих ветрах в тех местах. А через полтора года рухнула.

В простейшем случае (например, одно уравнение осциллятора) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно много возможных моделей, необходимо выбрать конкретную модель на основе дополнительных данных об объекте. Чаще всего структура модели известна и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять из дополнительных эмпирических данных или требований к объекту (проектная задача). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом эксперимента, специально запланированного во время решения (активное наблюдение).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием имеющихся данных стал метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям, построенный И. Ньютоном.

Другой пример - математическая статистика. Задачей этой науки является разработка методов регистрации, описания и анализа наблюдательных и экспериментальных данных с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Те. набор возможных моделей ограничен вероятностными моделями. В конкретных задачах набор моделей более ограничен.

Например, В. Вольтерра, изучая популяции сардин и хищных рыб Средиземноморья, выделил следующие количественные характеристики:

количество сардин (обозначая их x);
количество хищников (соответственно y).

Далее он определил важные для него отношения между ними:

в среднем все особи одинаковы;
популяция сардин увеличивается, если нет встреч с хищником;
скорость роста его числа пропорциональна самому числу (так как каждая особь может произвести потомство);
количество сардин, погибающих от хищников, пропорционально количеству встреч с ними, а это количество в среднем пропорционально xy;
численность хищников уменьшается при отсутствии сардин (они умирают от голода);
скорость этого убывания пропорциональна количеству хищников;
скорость увеличения количества хищников пропорциональна количеству их встреч с кормом из сардин, то есть величине xy.

Изучая эту систему с помощью методов, разработанных другими математиками задолго до него, Вольтерра получает описание и объяснение многих явлений, замеченных в долгой истории рыболовства в Италии, таких как странные колебания в размере улова сардин (и следовательно их общее количество).

Этот пример демонстрирует еще одну идею моделирования - некоторое упрощение, отбрасывание ненужной, ненужной информации. Здесь это допущения об одинаковости особей, равной вероятности их встреч, равных возможностях произвести потомство. Мы как бы абстрагируемся от конкретной сардины и выделяем только те ее свойства, которые нам необходимы. Конечно, в итоге мы получаем несколько упрощенную картину явления, но в данном случае это было необходимо. Самый важный момент - не упускать из виду те особенности, которые нам нужны при упрощении, не огрублять модель так, чтобы она перестала описывать явление достаточно хорошо для нас. С другой стороны, модель не должна быть очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных компьютеров возможности анализа значительно расширились, но некоторые задачи, например, долгосрочное прогнозирование погоды, по-прежнему остаются недоступными.

Удивительно, но оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать множество различных явлений в разных областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать рост населения, химический распад, ядерную цепную реакцию и распространение информации в социальной группе. В чем причина такой универсальности математических моделей? Математик не дает ответа на этот вопрос. Вот что в лекции академика В.И. Арнольда: Почему модель сечения конуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. На этот вопрос нет ответа. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон увидел в этом доказательство существования Бога: Такое изящное сочетание Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и силе могущественного и мудрого существа... Этот человек управляет всем не так, как душа мира, но как правитель Вселенной и по его владычеству должен называться Господь Бог Всемогущий.

Заключение

Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки тяготеют к математике. Д. Сантаяна

Часто говорят, что числа правят миром; по крайней мере, нет никаких сомнений в том, что цифры показывают, как им управляют. И. Гете

В заключение можно сказать, что практически любая наука, достигнув зрелости и подойдя к моменту определенного застоя или столкнувшись с серьезной проблемой, обращается за помощью к математике, потому что ей подвержено все, что нас окружает. И такой симбиоз двух наук чаще всего приводит к серьезным прорывам, стремительным скачкам вперед. И часто именно в таких ситуациях происходят открытия в самой математике.

Список литературы

Аронов Р.А. Пифагорейский синдром в науке и философии // Вопросы философии. 1997.
Баженов Л.Б. и др. Философия естествознания. Выпуск 1. Москва: Под ред. полит. горит 1969.
Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимова. - СПб.: Иван Федоров, 2006.
Арнольд В.И. Почему мы изучаем математику? Что думают по этому поводу сами математики? // Квантовая №1, 1995.