Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Вращательное движение твердого тела:
При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.
Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.
Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147-29) или тепловоза , фактически рассматриваем движение их центров тяжести.
Вращательное движение тела нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.
Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние),
Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины: (угол поворота в радианах), (угловая скорость в рад/сек) и (угловое ускорение в
Закон вращательного движения тела выражается уравнением
Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
Угловое ускорение - величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах а в оборотах
Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к ра-дианному измерению углового перемещения и наоборот.
Так как один полный оборот соответствует рад, то
Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что рад/сек n об/мин выражают одно и то же понятие - скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах - в рад/сек или в об/мин.
Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).
Если р- расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 р=ОА), то зависимость между - углом поворота пройденным точкой тела за то же вретела и s—расстоянием, мя, выражается так
s—p-
Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется но окружности — совершает криволинейное движение.
Равномерное вращательное движение
Если угловая скорость то вращательное движение называется равномерным.
Уравнение равномерного вращения имеет вид
В частном случае, когда начальный угол поворота
Угловую скорость равномерно вращающегося тела
можно выразить и так:
где Т — период вращения тела; —угол поворота за один период.
Задача №1
Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 рад/сек. Определить, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения.
Решение 1.
1. Находим угол поворота маховика в радианах, имея в виду,
2. Находим число оборотов маховика:
Таким образом, за 5 мин маховик сделает 763 оборота. Решение 2.
1. Переведем угловую скорость
2. Имея в виду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так:
где - в оборотах; n —об/мин и t— в мин, находим число оборотов маховика:
Задача №2
Вал, диаметр которого 0,06 м, вращается равномерно и делает 1200 об/мин. Определить скорость и ускорение точек вала на его поверхности (рис 206). Решение.
1. Скорость точки вращающегося тела можно найти по формуле
4 Подставим сюда
Вал вращается равномерно, значит скорость точек остается
численно неизменной. По этой же касательное ускорение.
5. Нормальное ускорение найдем из формулы
которое также в данном случае остается по модулю неизменным.
Задача №3
Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм.
На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив
соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3 (рис. 207) дна» метром 120 мм. С какой угловой скоростью должен вращаться шкив двигателя, чтобы скорость зубьев пилы не превышала 15 м/сек?
Решение.
1. Так как пила 1 и шкив 2 насажены на одном валу, то они имеют одну и ту же угловую скорость <о„ и скорость зубьев пилы м/сек зависит от потому что
2. Находим угловую скорость шкива 2, который обеспечивает необходимую рабочую скорость зубьев пилы:
3. Теперь найдем угловую скорость юд шкива двигателя. Шкивы 2 и 3 соединены бесконечным ремнем. Полагая, что
ремень не растягивается и не проскальзывает на шкивах, можно считать, что все его точки движутся с одной и той же скоростью Ор. Это означает, что скорости точек, расположенных на поверхностях обоих шкивов, одинаковы и равны
Поэтому применим зависимость
Отсюда
4. Если перевести эту угловую скорость в об[мин, то
Таким образом, для того чтобы зубья пилы имели скорость 15 м/сек, шкив двигателя должен вращаться с угловой скоростью 125 рад/сек или 1200 об/мин.
Рекомендую подробно изучить предмет: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Равнопеременное вращательное движение
- Неравномерное вращательное движение
- Плоскопараллельное движение тела
- Определение передаточных отношений различных передач
- Равнопеременное движение точки
- Неравномерное движение точки по любой траектории
- Определение траектории, скорости и ускорения точки
- Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории