Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Вращательное движение твердого тела:

При поступательном движении тела  все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147-29) или тепловоза , фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины: Равномерное вращательное движение в теоретической механике (угол поворота в радианах), Равномерное вращательное движение в теоретической механике(угловая скорость в рад/сек) и Равномерное вращательное движение в теоретической механике (угловое ускорение в Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Угловое ускорение - величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах Равномерное вращательное движение в теоретической механике а в оборотах Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к ра-дианному измерению углового перемещения и наоборот.
 

Так как один полный оборот соответствует Равномерное вращательное движение в теоретической механике рад, тоРавномерное вращательное движение в теоретической механике

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что Равномерное вращательное движение в теоретической механике рад/сек n об/мин выражают одно и то же понятие - скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах - в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами Равномерное вращательное движение в теоретической механикехарактеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами Равномерное вращательное движение в теоретической механике характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если р- расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 р=ОА), то зависимость между Равномерное вращательное движение в теоретической механике - углом поворота пройденным точкой тела за то же вретела и s—расстоянием, мя, выражается так
s—p-
Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется но окружности — совершает криволинейное движение.

Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость Равномерное вращательное движение в теоретической механике то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
В частном случае, когда начальный угол поворота Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Угловую скорость равномерно вращающегося тела

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

можно выразить и так:

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
где Т — период вращения тела; Равномерное вращательное движение в теоретической механике—угол поворота за один период.

Задача №1

Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 16 рад/сек. Определить, сколько оборотов сделает колесо за 5 мин вращения.

Решение 1.

1.    Находим угол поворота маховика в радианах, имея в виду, Равномерное вращательное движение в теоретической механике
2.    Находим число оборотов маховика:

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Таким образом, за 5 мин маховик сделает 763 оборота. Решение 2.

1.    Переведем угловую скорость Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
2.    Имея в виду, что уравнение равномерного вращательного движения можно представить так:
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
где Равномерное вращательное движение в теоретической механике - в оборотах; n —об/мин и t— в мин, находим число оборотов маховика:

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Задача №2

Вал, диаметр которого 0,06 м, вращается равномерно и делает 1200 об/мин. Определить скорость и ускорение точек вала на его поверхности (рис 206). Решение.

1.    Скорость точки вращающегося тела можно найти по формуле

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
4 Подставим сюда Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Вал вращается равномерно, значит скорость точек остается

численно неизменной. По этой же касательное ускорение.

5. Нормальное ускорение найдем из формулы

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
которое также в данном случае остается по модулю неизменным.

Задача №3

Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм.

На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив

соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3 (рис. 207) дна» метром 120 мм. С какой угловой скоростью должен вращаться шкив двигателя, чтобы скорость зубьев пилы не превышала 15 м/сек?

Решение.

1.    Так как пила 1 и шкив 2 насажены на одном валу, то они имеют одну и ту же угловую скорость <о„ и скорость зубьев пилы Равномерное вращательное движение в теоретической механике м/сек зависит от Равномерное вращательное движение в теоретической механикепотому что
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Равномерное вращательное движение в теоретической механике

2.    Находим угловую скорость шкива 2, который обеспечивает необходимую рабочую скорость зубьев пилы:

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

Равномерное вращательное движение в теоретической механике

3.    Теперь найдем угловую скорость юд шкива двигателя. Шкивы 2 и 3 соединены бесконечным ремнем. Полагая, что

ремень не растягивается и не проскальзывает на шкивах, можно считать, что все его точки движутся с одной и той же скоростью Ор. Это означает, что скорости точек, расположенных на поверхностях обоих шкивов, одинаковы и равныРавномерное вращательное движение в теоретической механике

Поэтому применим зависимость Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Отсюда

Равномерное вращательное движение в теоретической механике
4.    Если перевести эту угловую скорость в об[мин, то
Равномерное вращательное движение в теоретической механике
Таким образом, для того чтобы зубья пилы имели скорость 15 м/сек, шкив двигателя должен вращаться с угловой скоростью 125 рад/сек или 1200 об/мин.