Рациональные числа и действия над ними с примерами решения

Содержание:

Понятие числа, как величины какого-либо объекта, является одним из основных математических понятий.

Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счет являются числа 1,2,3 и т.д. Первоначально рассматривались лишь целые и положительные числа, которые теперь называют натуральными числами.

Впоследствии возникло понятие о дробях. Источник его есть измерение непрерывных величин (длины, веса и др.). Это понятие укрепилось только в 16 веке после изобретения десятичных дробей и логарифмов.

Значительно позже начали появляться и входить в обиход отрицательные числа. Лишь в 16 веке Декарт, разрабатывая аналитическую геометрию, дал геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков, которое с тех пор и стало общепринятым.

Целые числа (т.е. натуральные числа 1,2,3, .. отрицательные числа -1 ,-2,-3, и т.д. и нуль) и дроби называются рациональными числами.

Всякое рациональное число можно записать в виде

Иррациональные числа. Ещё ранее, Пифагором была открыта несоизмеримость отрезков, например, стороны и диагонали квадрата, т.е. невозможность выражения этого отношения никакими рациональными числами или их комбинациями, что привело к понятию иррациональных чисел. Иррациональные, т.е. «не имеющие отношения» (латинский термин иррациональный есть перевод греческого слова «алогос»).

Геометрически, иррациональное число выражает длину отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба. Иррациональное число не может точно равняться рациональному. Но для всякого иррационального числа можно найти рациональное (в частности, десятичные) числа, приближенно равные ему (с избытком или с недостатком). При этом погрешность можно сделать сколь угодно малой.

Например, для числа

Рациональные числа и действия над ними

Положительные и отрицательные числа. Число 0

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Лагерь туристов находится у дороги, проходящей с запада на востоком. (рис. 25). Туристы вышли из лагеря и пошли по дороге со скоростью 5 км/ч.

Где будут находиться туристы через час?

Решение:

Чтобы определить местонахождение туристов через час после их выхода из лагеря, необходимо знать, идут они от лагеря на запад или на восток.

Если туристы идут на восток, то через час они будут в пункте А. О пункте А можно сказать, что он находится на расстоянии 5 км восточнее пункта О.

Если туристы идут на запад, то через час они будут в пункте В. О пункте В можно сказать, что он находится на расстоянии 5 км западнее пункта О.

Итак, положение туристов относительно лагеря можно задать числом и направлением: 5 км восточнее пункта О; 5 км западнее пункта О.

Пример:

Вечером хозяйка оставила возле колодца ведро с водой. На следующее утро температура воздуха была 4°С. Что в ведре: вода или лед?

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно знать, показывает термометр 4° тепла или 4° мороза. Если термометр показывает 4° тепла, то в ведре вода. О такой температуре еще говорят: 4°С выше нуля, или плюс 4°С, пишут: +4°С. Если термометр показывает 4° мороза, то в ведре лед. О такой температуре еще говорят: 4°С ниже нуля, или минус 4°С, пишут: -4°С.

Итак, температуру можно задавать числом со знаком «+» или «-»: + 4°С; - 4°С.

Температура может быть равна и +15°С, +7,6°С, -12°С, -1,5°С и т. п. Числа со знаком «+» находятся на шкале термометра (рис. 26) выше нуля, а числа со знаком «-» — ниже нуля.

Числа со знаком «+» называют положительными.

Например: — положительные числа.

Числа со знаком «-» называют отрицательными.

Например:- —отрицательные числа

Число 0 отделяет положительные числа от отрицательных. Оно не является ни отрицательным, ни положительным.

При записи положительных чисел знак «+», как правило, опускают и, например, вместо +4 пишут 4. При этом понимают, что +4 = 4, то есть +4 и 4 — это разные обозначения одного и того же числа.

Отрицательными числами обозначают не только температуру. Ими, например, можно задавать положение любого места земной поверхности относительно уровня моря (см. рис. 27).

Пример:

В тетради в клетку начертили горизонтальную прямую и отметили на ней точку О. Точка А лежит на 3 клетки левее точки О. Точку А сместили на 5 клеток вправо и получили точку В. Каково положение точки В относительно точки О?

Решение:

Точка В лежит на 2 клетки правее точки О.

Интересные рассказы

Об отрицательных числах

Первыми столкнулись с потребностью в отрицательных числах географы, моряки, картографы, так как им необходимо было характеризовать положение городов, расположенных на север или юг от главною города и на запад или восток от него. Главными точками отсчета были избраны экватор и Гринвичский меридиан. Позже у археологов и историков появилась потребность характеризовать шкалу времени.

Геологам нужно было характеризовать неровности земного рельефа, а именно - высоту гор, глубину впадин морей и океанов, принимая за точку отсчета уровень моря (рис. 31).

Физикам, инженерам, астрономам, врачам нужно было измерять температуру. В XVIII в. шведским ученым Цельсием (1701-1744) была предложена измерительная шкала, в которой за точку отсчета (ноль) была принята температура плавления льда, а температура кипения воды — за 100^о С.

Отрицательные числа люди придумали намного позже, чем натуральные числа и обыкновенные дроби. К идее отрицательного числа первыми пришли китайцы во II в. до н. э. Необходимость введения новых для того времени чисел обусловливалась проблемами самой математики — отрицательные числа нужны были для решения уравнений. Потом индусы дали толкование положительных и отрицательных чисел в виде «имущества» и «долга».

В Европе отрицательные числа стали использовать с XII в., однако относились к ним с недоверием, называя их «фиктивными», «абсурдными», «ложными» и г. п. «Настоящими» числами считали лишь положительные числа. 11 только в XVII в., когда выдающийся французский математик Пене Декарт (1596 - 1650) предложил изображать отрицательные и положительные числа точками координатой прямой, отрицательные числа были полностью признаны и стали полноправным атрибутом математики.

Координатная прямая. Рациональные числа

Начертим горизонтальную прямую и отметим на ней некоторую точку О — начало отсчета (рис. 32). В соответствие точке О поставим число 0. Выберем единичный отрезок. На проведенной прямой можно отметить числа (точки, соответствующие этим числам). Положительные числа принято отмечать правее точки О, а отрицательные — левее. Чтобы отметить, например, число 2, нужно от точки О отложить два единичных отрезка вправо. Чтобы обозначить число -2. нужно от точки О отложить два единичных отрезка влево.

Направление вправо от начала отсчета называют положительным, а влево — отрицательным. Положительное направление показывает стрелка (см. рис. 33).

Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называют координатной прямой.

Число, указывающее положение точки на координатной прямой, называют координатой этой точки. Точка А (рис. 34) имеет координату 2,5, точка В — координату точка С — координату-2. Пишут:

Точки А и В с координатами 3 и -3 (рис. 35) одинаково удалены от точки О и лежат с разных сторон от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, нужно пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях Числа 3 и -3 называют противоположными числами: число 3 является противоположным числу -3, а число -3 — противоположным числу 3. Числа 1,5 и -1,5 также являются противоположными.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называют противоположными числами.

Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = 4,2, то -а = -4,2; если а = -1,5, то -а = 1,5.

Число 0 противоположно самому себе: если а = 0, то -а = 0.

Натуральные числа, противоположные им числа и число О называют целыми числами.

— целые числа.

Положительные числа (цепые и дробные), отрицательные числа (целые и

дробные) и число 0 называют рациональными числами.

Например, — рациональные числа

Пример:

Найти число, противоположное числу -5, и записать соответствующее равенство.

Пример:

Найти значение если = 0,4.

Число противоположно числу . Поскольку противоположным числу 0,4 является -0,4, то = -0,4.

Пример:

Точка В имеет координату -3 (рис. 36). Эту точку переместили на 5 единиц вправо и получили точку С. Какова координата точки С?

Точка С имеет координату 2:

Модуль числа

Пусть из пункта О в противоположных направлениях выехали два автомобиля и через некоторое время первый был в точке А(-20). а второй — в точке В(15) (рис. 40).

Какой из автомобилей проехал большее расстояние?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить расстояния OA и ОВ. Поскольку OA = 20, ОВ = 15 и 20 > 15, то большее расстояние проехал первый автомобиль.

Итак, чтобы ответить на вопрос, мы сравнивали не числа -20 и 15, а числа «без знаков» 20 и 15, или еще говорят: сравнивали модули чисел -20 и 15.

Модулем положительною числа и нуля называют само число.

Для обозначения модуля числа используют две вертикальные черты, то есть пишут |15| = 15 (читают: модуль пятнадцати равен пятнадцать).

Для положительных чисел и нуля имеем:

Модулем отрицательного числа называют противоположное ему положительное число.

Для отрицательных чисел - имеем:

Итак, модулем любого числа является положительное число или число 0. С геометрической точки зрения модуль числа равен расстоянию на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей это число (рис. 41).

Модуль числа 3 равен 3, и расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу, равно 3. Модуль числа -4 равен 4, и расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу, равно 4.

не существует числа, для которого выполнялось бы равенство так как модуль любого числа всегда является положительным числом или нулем.

Противоположные числа имеют равные модули. Например, для противоположных чисел -2 и 2 имеем:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Пример:

Найти отрицательные целые числа, для которых

Решение:

Такими числами являются:

Модули остальных отрицательных целых чисел (-3; -4; -5; -6; -7; ...) больше 3 или равны 3.

Пример:

На координатной прямой отметить точки, координаты которых удовлетворяют условию Найти отрицательные целые числа, удовлетворяющие этому условию.

Решение:

Условию удовлетворяют числа, которые на координатной прямой лежат между числами -2,6 и 2,6. Эта часть координатной прямой на рисунке 42 заштрихована.

Отрицательными целыми числами, удовлетворяющими условию , являются только -2 и -1.

Сравнение чисел

Вы уже умеете сравнивать положительные числа. Например, 5 > 4; 1,5 < 1,6. Обозначим числа 4 и 5 точками координатной прямой (рис. 43). Точка А(4), соответствующая меньшему числу, расположена на координатной прямой левее точки В(5), соответствующей большему числу.

А теперь сравним отрицательное и положительное числа и два отрицательных числа. Рассмотрим примеры.

Пример:

Пусть утром температура воздуха была -5°С, а в полдень — +3°С. Утром было холоднее, чем в полдень, поэтому считают, что число -5 меньше числа 3, и записывают гак: -5 < 3. На координатной прямой точка С( 5) находится левее точки D(3) (рис. 44).

Решение:

Пример:

Пусть вечером температура воздуха была -5°С, а ночью — -8°С Ночью было холоднее, чем вечером, поэтому считают, что число 8 меньше числа 5, записывают так: -8 < -5. На координатной прямой точка М( 8) находится левее точки N( 5) (рис. 45).

Решение:

Из двух чисел меньшим является то, изображение которого на координатной прямой находится левее, и большим — то, изображение которого находится правее.

На координатной прямой положительные числа обозначаются точками, лежащими правее нуля, а отрицательные — точками, лежащими левее нуля. Поэтому

любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля; любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Рассмотрим два отрицательных числа -8 и -5. Как мы уже установили, -8 < -5, что показано на рисунке 49. Сравним модули чисел -8 и -5: |-8| = 8; |-5| = 5 Так как 8 > 5, то |-8| > |-5|. Итак,

• из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше;
• большим является го, модуль которого меньше.

Если о числе известно, что оно больше 5 или равно 5, то что записывают так: читают: « больше или равно 5».

Запись читают: « меньше или равен 4».

Например, натуральными числами, удовлетворяющими условию являются числа 1, 2, 3. 4 и 5; целыми отрицательными числами, удовлетворяющими условию являются числа -3, -2 и -1; целыми числами, удовлетворяющими условию являются числа -3, -2, -1,0, 1 и 2.

Прочитайте

1. Записать в виде неравенства утверждение:

а) — положительное число; б) — отрицательное число;

в) — неотрицательное число; г) — неположительное число;

д) число не меньше 10; е) число меньше 2 или равно 2.

а)

б)

в) неотрицательное число — что нуль или положительное число, то есть число, равное нулю или больше нуля:

г) неположительное число — это нуль или отрицательное число, то есть число, равное нулю или меньше нуля:

д) если число не меньше 10, то или то есть

е)

Сложение отрицательных рациональных чисел

К рациональным числам относятся положительные числа (целые и дробные), отрицательные числа (целые и дробные) и число нуль. Мы уже выучили действия сложения, вычитания, умножения и деления над положительными рациональными числами и нулем. А теперь научимся выполнять их над рациональными числами в случаях, когда оба числа отрицательные или одно положительное, а другое отрицательное (числа с разными знаками). Рассмотрим пример.

Пусть в марте фермер взял в банке кредит 5 тыс. руб., а в апреле— еще 3 тыс. руб. Тогда за март и апрель вместе фермер взял 5 + 3 = 8 (тыс. руб.) кредита. Так как кредиты являются долгами фермера перед банком, обозначим их отрицательными числами: -5 тыс. руб.; -3 тыс. руб.; -8 тыс. руб. Тогда сумму кредитов в тысячах гривен за 2 месяца можно записать так:

Какой знак имеет сумма двух отрицательных чисел?

Найдите модули слагаемых и модуль суммы. Какая между ними существует зависимость?

Как видим, суммой чисел -5 и -3 является отрицательное число; модуль суммы равен сумме модулей слагаемых: Поэтому нахождение суммы чисел 5 и 3 можно записать гак:

Итак, суммой двух отрицательных чисел является отрицательное число, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным числом знак «-».

В сумме отрицательных слагаемых первое слагаемое пишут, как правило, без скобок. Например:

Для сложения отрицательных чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Например,

Пример:

Вычислить:

Решение:

Для тех, кто хочет знать больше

Договоримся уменьшение величины выражать отрицательным числом, а увеличение — положительным. Если температура уменьшилась на 2°С, то можно скатать, что она изменилась на -2°С. Если же температура увеличилась на 2°С, то можно сказать, что она изменилась на 2°С. Если в течение первой половины дня температура воздуха уменьшилась на 3°С, а в течение второй она уменьшилась на 4°С, то в течение дня температура уменьшилась на 3° + 4° = 7°. При помощи отрицательных чисел изменение величины температуры в течение дня можно записать так:

Сложение двух чисел е разными знаками

Пусть в августе фермер взял в банке беспроцентный кредит 5 тыс. руб., а в начале следующего месяца вернул его, то есть вернул банку 5 тыс. руб. Тогда расчет фермера с банком в тысячах гривен можно записать так:

Числа 5 и -5 — противоположные, их сумма равна нулю

Сумма двух противоположных чисел ровна нулю.

Если в августе фермер взял кредит 7 тыс. руб., а в начале следующего месяца вернул банку 4 тыс. руб., то его долг перед банком составляет 3 тыс. руб. Расчет фермера с банком можно записать так:

Если бы в августе фермер взял кредит 5 тыс. руб., а в начале следующего месяца положил в банк 6 тыс. руб., то фермер не только покрыл бы долг перед банком, но и оставил бы на своем счету 1 тыс. руб. Расчет фермера с банком можно записать так:

Вернемся к равенству

Найдите модули слагаемых и модуль суммы. Какова зависимость между модулями слагаемых и модулем суммы? С каким из слагаемых сумма имеет одинаковый знак?

В равенстве -1 + (+4) = -3 модули слагаемых равны 7 и 4, модуль суммы равен 3, то есть модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей. Знак разности совпадает со знаком слагаемого, модуль которою больше. Поэтому нахождение суммы чисел -7 и +4 можно записать так:

Вернемся к равенству

Объясните, как в данном случае находят модуль суммы и так суммы.

В равенстве модуль суммы находят аналогично, а знак суммы определило слагаемое, имеющее больший модуль, то есть слагаемое +6 (или 6).

Итак, чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Производя вычисления, сначала, как правило, определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей. Например:

В сумме слагаемых с разными знаками первое положительное слагаемое пишут, как правило, без знака.

Проиллюстрируем сложение чисел при помощи координатной прямой

Для сложения чисел с разными знаками выполняются переместительное и сочетательное свойства. Например,

Для любого рационального числа выполняется равенство:

При помощи свойств сложения можно упростить нахождение суммы нескольких слагаемых, выполняя действия в удобной последовательности. В частности, если нужно сложи ть несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, то можно сложить отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, а потом сумму положительных чисел сложить с суммой отрицательных.

Например:

Пример:

Вычислить

Решение:

Вычитание рациональных чисел

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел. Напомним, что при помощи вычитания находят неизвестное слагаемое по известной сумме и одному из слагаемых.

Рассмотрим примеры.

Так как

Такой же результат получим, если число -15 сложим с числом, противоположным числу - 8, то есть числом +8. Поэтому разность -15 - (-8) можно заменить суммой 15 + (+8). в которой уменьшаемое складывается с числом, противоположным вычитаемому:

Итак, чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно уменьшаемое сложить с числом, противоположным вычитаемому.

Это правило вычитания можно записать так:

где — любые рациональные числа. В частности,

Так как вычитание можно заменить сложением с противоположным числом, то любое выражение, содержащее действия сложения и вычитания, можно записать в виде суммы.

Например, выражение -10 - (+7) является разностью чисел -10 и +7, его можно -записать в виде суммы чисел -10 и -7, так как Верно и наоборот: сумму чисел -10 и -7 можно записать в виде разности чисел 10 и 7, то есть

Договоримся далее положительные числа записывать без знака «+», то есть сумму -10 + (+7) будем записывать так: -10 + 7, а разность 14 - (+18) так: 14-18.

Пусть на координатной прямой заданы две точки А(-2) и В(5) (рис. 49) и нужно найти длину отрезка АВ.

Чтобы найти длину отрезка АВ (или расстояние А В), нужно знать, сколько единичных отрезков содержит этот отрезок. Как видно по рисунку, длина отрезка АВ равна 7 единичным отрезкам. Через координаты концов отрезка АВ его длина выражается так:

Итак, чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Для тех, кто хочет знать больше

Если бы при нахождении длины отрезка АВ (рис. 49) из координаты левою конца вычли координату правого, то получили бы число -2-5=7. Длина отрезка А В является положительной величиной, и в этом случае она равна модулю найденного числа:

Итак, длина отрезка АВ равна модулю разности координат его левого и правого концов. Эта длина также равна модулю разности координат правого и левого концов:

Длина отрезка равна модулю разности координат его концов.

Длину отрезка АВ с концами можно найти но формуле:

Пример:

Вычислить:

Решение:

Запишем выражение в виде суммы и сгруппируем числа:

Пример:

Упростить выражение:

Решение:

Запишем выражение в виде суммы и сгруппируем слагаемые:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) Сначала упростим выражение в левой части уравнения:

Получили уравнение откуда:

6) Если модуль числа равен 2, то этим числом является 2 или -2, поэтому или Решим каждое из этих уравнений.

Итак,

Раскрытие скобок

Вы уже знаете, что на основании сочетательного свойства сложения выражение можно записать без скобок:

Эту операцию называют раскрытием скобок.

Так как то последнее равенство можно записать так:

Мы раскрыли скобки, перед которыми стоит знак «+» При этом опустили скобки, знак «+», стоящий перед ними, и записали все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками.

Итак, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и знак «+», стоящий перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками.

Из этого правила следуют такие равенства:

Из правила вычитания рациональных чисел следует, что

При выполнении этого действия мы раскрыли скобки, перед которыми стоит знак «-». При этом опустили скобки и знак «-», стоящий перед ними, и записали слагаемое, которое было в скобках, с противоположным знаком. Так будем раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «-» и тогда, когда слагаемых будет несколько:

Итак, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить скобки и знак «-», стоящий перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками.

Воспользовавшись этим правилом, получим:

Пример:

Упростить выражение:

Решение:

Пример:

Взять два последних слагаемых в скобки, поставив перед скобками знак «+», в выражении:

Решение:

После первого слагаемого поставили знак «+», раскрыли скобки, два последних слагаемых переписали с теми же знаками и закрыли скобки.

(Перед первым слагаемым в скобках знак «+» можно не ставить.)

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Взять два последних слагаемых в скобки, поставив перед скобками знак «-», в выражении:

Решение:

После первого слагаемого поставили знак «-», раскрыли скобки, знак «-» в слагаемом -4,2 заменили на «+», но не написали, так как в скобках это слагаемое первое; в слагаемом +3,7 знак «+» заменили на «-».

Памятка: 1. — координатная прямая.

2. -7 и 7 — противоположные числа (отличаются знаком).

3. |6| = 6 — модулем положительного числа является само число;

|0| = 0 — модуль нуля равен нулю;

|-10| = 10 — модулем отрицательного числа является противоположное ему положительное число.

4. 6 > 0 — положительное число больше нуля;

-7 < 0 — отрицательное число меньше нуля;

-7 < 2 — отрицательное число меньше положительного;

-15 <-12 —так как |-15| > |-12|. 5. — отрицательное число, модуль суммы равен сумме модулей:

6. — первое слагаемое имеет больший модуль: поэтому сумма имеет знак «-», модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей:

7. — уменьшаемое сложили с числом, противоположным вычитаемому.

8. — раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»; слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками;

— раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-»; слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками.

Рациональные числа и действия над ними

Умножение рациональных чисел

Пусть в феврале, марте и апреле фермер брал в банке кредиты по 5 тыс. руб. ежемесячно. Тогда за эти три месяца он взял кредит на сумму 5 • 3= 15(тыс. руб.). Так как кредиты являются долгами фермера перед банком, мы обозначали их отрицательными числами: -5 тыс. руб.;-15 тыс. руб. Тогда весь кредит фермера в банке за 3 месяца в тысячах гривен можно записать так:

Какие знаки имеют множители? Какой знак имеет произведение? Какова зависимость между модулями множителей и модулем произведения?

Числа -5 и 3 имеют противоположные знаки, их произведением является число отрицательное, а модуль произведения (числа -15) равен произведению модулей множителей (чисел -5 и 3):

Произведением двух чисел с разными знаками является число отрицательное; модуль произведения равен произведению модулей множителей.

Итак, чтобы найти произведение двух чисел с разными знаками, достаточно перемножать их модули и поставить перед полученным числом знак «-».

Сравним произведения:

Видим: если поменять знак одного множителя (вместо множителя 5 взять множитель -5), то знак произведения тоже меняется, а модуль произведения остается тем же (|15| = |-15|). Следовательно, если изменить знак множителя, то знак произведения изменится, а его модуль останется таким же.

Используем найденную зависимость для нахождения произведения отрицательных чисел -5 и -3.

Так как то, изменив в множителе 3 (или +3) знак «+» на знак «-», а в произведении -15 — знак «-» на знак «+», придем к равенству

Какие знаки имеют множители? Какой знак имеет произведение?

Числа -5 и -3 отрицательные, их произведение — положительное число; модуль произведения 15 равен произведению модулей чисел -5 и -3.

Произведением двух отрицательных чисел является число положительное; модуль произведения равен произведению модулей множителей.

Итак, чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, достаточно перемножить модули этих чисел.

Если число — положительное, отрицательное или 0, то

Пример:

Выполнить умножение:

Решение:

Переместительное и сочетательное свойства умножения. Коэффициент

Для умножения рациональных чисел справедливы переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство: для любых рациональных чисел справедливо равенство:

Для положительных чисел что свойство было установлено раньше. Проверим на примерах, что оно выполняется и тогда, когда один или оба множителя являются отрицательными числами:

Сочетательное свойство: для любых рациональных чисел справедливо равенство:

Проверим это равенство, взяв

Следовательно,

Для любого рациональною числа справедливы равенства:

Рассмотрим выражение Оно содержит числовой множитель 1,5 и буквенный Числовой множитель 1,5 называют числовым коэффициентом выражения или просто коэффициентом. Коэффициентом выражения является число -4. Коэффициенты записывают перед буквенными множителями.

Так как то считают, что коэффициент выражения равен 1. Так как то коэффициент выражения равен -1.

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, упростим выражение

Пример:

Найти коэффициент произведения:

Решение:

коэффициент 35.

коэффициент -1.

коэффициент 1.

Распределительное свойство умножения. Приведение подобных слагаемых

Для рациональных чисел справедливо распределительное свойство умножения относительно сложения.

Для любых рациональных чисел a, b и с справедливо равенство:

Проверим это равенство, взяв, например,

Итак,

Замену выражения выражением или выражения выражением называют раскрытием скобок. Например:

Замену выражения выражением или выражения выражением называют вынесением общего множителя за скобки. Например:

В выражении слагаемые называют подобными. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут отличаться друг от друга только коэффициентами.

Записав выражение в виде мы сложили или, еще говорят, привели подобные слагаемые. При этом коэффициент -4 в выражении равен сумме коэффициентов слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

В выражении может быть несколько групп подобных слагаемых. При упрощения таких выражений нужно сначала выделить группы подобных слагаемых, а потом в каждой группе привести подобные. Например:

Пример:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Пример:

В выражении вынести общий множитель за скобки

Решение:

Деление рациональных чисел

Деление двух отрицательных чисел и двух чисел с разными знаками и мест тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей при помощи деления находят другой множитель. Так как то

Какой знак имеет делимое; делитель? Какой знак имеет частное? Какова зависимость между модулем частного и модулями делимого и делителя?

В равенстве имеем: -15— делимое, -3 — делитель, 5 — частное. Найдем модули каждою из mix чисел: Видим, что модуль частного можно найти, разделив модуль делимого на модуль делителя. Делимое и делитель — отрицательные числа, а частное — положительное число.

Частным двух отрицательных чисел является число положительное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Итак, чтобы найти частное двух отрицательных чисел, достаточно разделить модули этих чисел.

Так как

Какой знак имеет делимое; делитель? Какой знак имеет частное? Как найти модуль частного?

В равенстве модуль частного также можно найти, разделив модуль делимого на модуль делителя. Делимое и делитель имеют разные знаки, частое является числом отрицательным.

Частным двух чисел с разными знаками является число отрицательное. Чтобы найти модуль частного, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Особые случаи деления:

где — любое рациональное число, причем в первой и последней равенствах

Пример:

Вычислить:

Решение:

Решение уравнений

На рисунке 50 изображены весы, находящиеся в равновесии. На одной чаше весов лежат арбуз и гиря массой 1 кг, а на другой чаше — гири общей массой 6 кг.

Пусть масса арбуза равна кг, тогда получим уравнение:

Снимем с обеих чаш гири массой 1 кг. Весы останутся в равновесии. Поэтому получим уравнение:

Сравним уравнения:

Как можно получить второе уравнение из первого?

Второе уравнение можно получить из первою, если перенести слагаемое 1 из левой част уравнения в правую, изменив знак слагаемою на противоположный.

На рисунке 51 вы видите весы, находящиеся в равновесии. На одной чаше лежат 4 батона, а на второй — 2 батона и гиря массой I кг.

Пусть масса одного батона кг, тогда получим уравнение:

Снимем с обеих чаш по 2 батона, весы останутся в равновесии, поэтому получим уравнение:

Сравним уравнения:

Как можно получить второе уравнение из первого?

Второе уравнение можно получить из первою, если из правой части перенести в левую слагаемое изменив его знак на противоположный. Итак, приходим к выводу:

решая уравнение, слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки на противоположные.

Пусть нужно решить уравнение

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую, а слагаемое 3 — из левой части в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:

Упростим левую и правую части уравнения:

Найдем неизвестный множитель:

Проверка:

Левая часть:

Правая часть:

Обе части уравнения имеют равные значения при Поэтому число 4 является корнем уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Решение задач с помощью уравнений

Пример:

В двух бидонах 36 л молока, причем в первом бидоне молока в 1,4 раза больше, чем во втором. Сколько молока в каждом бидоне?

Решение:

Пусть во втором бидоне л молока, тогда в первом — 1,4 л. В двух бидонах вместе (+ 1,4) л молока, что по условию равно 36 л. Получили уравнение:

Решим это уравнение:

Итак, во втором бидоне 15 л молока, а в первом — 1,4 • 15 = 21 (л).

Проверка. В обоих бидонах молока 15 + 21 =36 (л), что соответствует условию задачи.

Ответ. 21л, 15 л.

Пример:

На трех полках 129 книг, причем на второй полке на 15 книг больше, чем на первой, а на третьей — на 12 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Пусть на первой полке книг, тогда на второй — (+ 15) книг, а на третьей — книг. На трех полках всего +(+ 15) +( - 12) книг, что по условию равно 129 книгам. Получили уравнение:

Решим это уравнение:

На первой полке 42 книги, на второй — 42+15=57 (книг), на третьей — 42-12=30 (книг).

Проверка. На трех полках 42 + 57 + 30= 129 (книг), что соответствует условию задачи.

Ответ. 42, 57 и 30 книг.

Для тех, кто хочет знать больше

Пример:

В поселке три школы. Количество учеников первой школы составляет 30% количества всех учеников поселка. Во второй школе учеников в 1,5 раза больше, чем в первой. Сколько учеников в трех школах вместе, если в третьей школе — 550 учеников?

Решение:

Пусть в трех школах вместе учится учеников. Так как 30% = 0,3, то в первой школе учится 0,3 учеников. Во второй школе учится 1,5 • 0.3 = 0,45 учеников. Тогда в трех школах учится (0,3 + 0,45 + 550) учеников.

Получили уравнение:

Решим это уравнение:

Итак, в трех школах поселка учится 2200 учеников.

Ответ. 2200 учеников.

Пример:

Из города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 15 км/ч больше, чем грузового. Когда легковой автомобиль приехал в город А, грузовому оставалось проехать до города В еще 3 км. Найти расстояние между городами, если на путь от В до А легковой автомобиль затратил 2,2 ч.

Решение:

Пусть скорость легкового автомобиля км/ч, тогда скорость грузового — (- 15) км/ч.

За 2,2 ч легковой автомобиль проехал 2,2 км. 2,2 км — это расстояние между городами А и В. В момент приезда легкового автомобиля в город А грузовой автомобиль был в пути 30 мин + 2,2 ч = 0,5 ч + 2,2 ч = 2,7 ч. За это время он проехал 2,7( -15) км. Прибавив еще 3 км, получим расстояние между городами: (2,7( - 15) + 3) км.

Получили уравнение:

Решим это уравнение:

Следовательно, скорость легкового автомобиля 75 км/ч. Умножив лу скорость на время движения легкового автомобиля получим расстояние между городами:

Ответ. 165 км.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Вы уже знаете, что представление о плоскости дает поверхность стола, оконного стекла, водоема в безветренную погоду (если представить, что они неограниченно продлены во все стороны).

Пусть на столе лежит тонкая спица, а другая в него воткнута. Будем рассматривать поверхность стола как плоскость, а спицы — как прямые (рис. 52а). О прямых говорят, что они не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим другой случай. Пусть обе спицы лежат на столе (рис. 52б). В этом случае говорят, что прямые лежат в одной плоскости.

Впредь будем рассматривать прямые, лежащие в одной плоскости. Пусть имеем две прямые АВ и CD (рис. 53). Они пересекаются, хотя на рисунке не изображена точка их пересечения. Эту точку можно найти, продлив изображение прямой CD.

Прямые (рис. 54) не пересекаются. Такие прямые называют параллельными.

Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Представление о параллельных прямых дают рельсы железной дороги на прямом участке, след от санок при прямолинейном движении, противоположные края доски и т. п.

Если прямые параллельны, то записывают: читают: «прямая параллельна прямой ».

Возьмем линейку и угольник. Приложим угольник к линейке одной стороной прямого угла и проведем прямую вдоль другой стороны прямого угла (рис. 55). Передвинем угольник вдоль линейки и проведем еще одну прямую вдоль этой стороны прямого угла. Построенные прямые являются параллельными.

Построим прямую, параллельную данной прямой , которая проходит через данную точку А.

1. Приложим к прямой а угольник одной из сторон прямого угла.
2. К другой стороне прямого угла приложим линейку.
3. Будем передвигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока сторона прямого угла не пройдет через точку А. Эта сторона прямого угла принадлежит прямой , параллельной прямой и проходящей через точку А.

Через каждую точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

На рисунке 56 изображены прямые , имеющие только одну общую точку О. Говорят, что прямые пересекаются.

Если при пересечении прямых AD и ВС (рис. 57) в точке О лучи OA и ОВ образуют прямой угол, то прямые AD и ВС называют перпендикулярными.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Итак, прямые ВС и AD на рисунке 57 перпендикулярны. Перпендикуляр-носгь прямых обозначают значком записывают: Эту запись читают так: «прямая ВС перпендикулярна прямой AD».

Так как угол DOA является развернутым (рис. 57), а развернутый угол равен 180°, то

Аналогично можно установить, что Итак, все четыре угла, образованные при пересечении перпендикулярных прямых, являются прямыми углами.

Построить перпендикулярные прямые можно при помощи угольника и линейки. Выполнение построения показано на рисунке 58. Пусть имеем некоторую точку О и некоторую прямую . Как через точку О провести прямую , перпендикулярную прямой ?

Если точка О принадлежит прямой , то построение перпендикулярной прямой показано на рисунке 59, если точка О не принадлежит прямой — на рисунке 60.

Координатная плоскость

Положение точки на координатой прямой определяется числом — координатой этой точки. Положение точки на плоскости можно задать двумя числами.

Рассмотрим пример.

Места для зрителей в зале кинотеатра можно задавать парой чисел: первое число указывает на номер ряда, а второе — на номер кресла в этом ряду (рис. 69). Причем места (3; 7) и (7; 3) — разные: первое является креслом в третьем ряду под номером 7, а второе — креслом в седьмом ряду под номером 3.

Проведем две перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в начале их отсчета — точке О — и имеющие равные единичные отрезки (рис. 70). Эти прямые называют осями координат, точку О — началом координат. Горизонтальную координатную прямую называют осью aбсцисс и обозначают буквой вертикальную координатную прямую называют осью ординат и обозначают буквой

Ось абсцисс и ось ординат образуют прямоугольную систему координат. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть А —точка координатной плоскости (рис. 71). Проведем через нее прямую перпендикулярную оси абсцисс, и прямую перпендикулярную оси ординат. Пусть на пересечении с осью абсцисс получим точку В с координатой -3, а на пересечении с осью ординат — точку С с координатой 2.

Положение точки А на координатной плоскости определяется парой чисел (-3; 2), которые называют координатами этой точки. Координаты точки записывают в скобках: А(-3; 2), читают: точка А с координатами -3 и 2. Первую координату точки А (число -3) называют абсциссой этой точки, а вторую координату (число 2) — ординатой. Точка К (рис. 71), наоборот, имеет абсциссу 2 и ординату -3, поэтому К(2; -3) (на первом месте всегда записывают абсциссу точки, а на втором — ее ординату).

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Точки М и N (рис. 71) имеют координаты: М(4; 0), N(Q\ -2).

Итак, каждой точке координатной плоскости соответствует одна пара чисел — ее абсцисса и ордината. Наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Чтобы построить, например, точку D(-4; 3), можно провести перпендикулярную прямую до оси в точке (-4; 0) и перпендикулярную прямую до оси в точке (0; 3) (рис. 72). Точка D пересечения этих прямых имеет координаты ( 4; 3). Построить точку D(-4; 3) можно также, отсчитав от точки О влево 4 единицы, а потом от полученной точки вверх 3 единицы.

Оси координат разбивают плоскость на 4 части, которые называют координатными четвертями. Нумерация четвертей и знаки координат точек в каждой четверти показаны на рисунке 73.

Интересные рассказы

Из истории системы координат

Координаты были нужны астрономам и географам для определения положения светил на небе и различных мест на Земле, для составления звездных и географических карт.

Прямоугольная система координат в виде квадратной сетки (палетки) была известна еще в Древнем Египте, ею пользовались и художники эпохи Возрождения.

Идея использования координат в математике принадлежит уже упоминавшемуся французскому математику Рене Декарту. В честь Декарта прямоугольную систему координат называют еще прямоугольной декартовой системой координат.

Термин абсцисса происходит от латинского слова abscissus, что означает «отрезанный», «отделенный», а буквально переводится как «отрезок» (на оси ).

Слово ордината происходит от латинского слова ardinatus — упорядоченный.

Эти термины в их современном понимании ввел в конце XVII в. немецкий учений Г. Лейбниц (1646 - 1716). Чтобы подчеркнуть равноправность понятий «абсцисса» и «ордината», Г. Лейбниц применил термин координата, которое происходит от латинских слов со — с, вместе, и ardinatus — упорядоченный. Этот термин означает «взятые в определенной последовательности числа, определяющие положение точки на плоскости».

Примеры графиков зависимостей между величинами

Метеорологи измеряли температуру воздуха в течение первой половины суток и результаты записали в таблицу:

Потом они решили нанести результаты измерений на координатную плоскость, отложив на оси абсцисс значения времени а на оси ординат — значения температуры Были отмечены 13 точек: (0; -2), (I; -3.5),.... (12; 6). Абсцисса каждой из этих точек — это значение времени, а ордината — значение температуры воздуха в это время. Если бы метеорологи измеряли температур) каждые полчаса и результаты измерений наносили на координатную плоскость, то точки находились бы ближе друг к другу. Если измерения проводились бы каждые пятнадцать минут, то точки на координатной плоскости были бы расположены еще гуще, и т. д.

Если точки, построенные таким образом на координатной плоскости, соединить плавной линией, то получим фигуру, которую называют графиком зависимости температуры воздуха от времени (рис. 78).

Рассмотрим другие примеры.

Пример:

Туристу нужно пройти 12 км. Он подсчитал время движения в зависимости от скорости, с которой будет идти, и получил такую таблицу:

Решение:

Построим на координатной плоскости точки по этой таблице, отложив на оси абсцисс значения скорости а на оси ординат — значения времени

Соединив плавной линией построенные точки, получим график зависимости времени от скорости при постоянном расстоянии (12 км) (рис. 79).

Эту зависимость времени (в часах) от скорости (в км/ч) можно задать формулой

Пример:

Известно, что в бассейн каждую секунду вливается 0,5 м³ воды Нужно найти, сколько воды будет в бассейне через с.

Решение:

Зависимость объема воды от времени (в секундах) можно задать формулой

Возьмем определенные значения , найдем соответствующие значения объема воды в бассейне и результаты занесем в таблицу:

По данным таблицы построим на координатной плоскости точки, отложив на оси абсцисс значения времени а на оси ординат - значения объема

Приложив линейку к построенным точкам, видим, что они лежат на одной прямой. Соединив крайние точки отрезком, получим график зависимости объема воды в бассейне от времени его наполнения.

Пример:

Пользуясь графиком зависимости объема воды в бассейне oт времени его наполнения (рис. 80), найти: а) объем при б) время при

Решение:

а) На оси абсцисс, на которой отложили время , отмечаем точку с абсциссой 13, проводим через нее прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и находим точку пересечения прямой с графиком. Через полученную на графике точку проводим прямую, перпендикулярную оси ординат, на которой откладывали объем. Ордината точки пересечения этой прямой с осью ординат равна значению объема:

б) На оси ординат, на которой откладывали объем отмечаем точку с ординатой 6, строим перпендикулярную прямую и находим точку ее пересечения с графиком. Через полученную на графике точку проводим прямую, перпендикулярную оси абсцисс, на которой откладывали время. Абсцисса точки пересечения этой прямой и оси абсцисс равна значению времени:

Памятка:

1. — умножили модули множителей — знаки множителей разные, произведение — число отрицательное.
2. — разделили модуль делимого на модуль делителя — знаки делимого и делителя разные, частное — число отрицательное.
3. — коэффициент.
4. — подобные слагаемые
5. — привели подобные слагаемые, сложили коэффициенты, умножили на общую буквенную часть.
6. — слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя при этом их знаки на противоположные
7. — параллельные прямые.
8. — перпендикулярные прямые.
9. 

Рациональные числа и действия над ними

Положительные и отрицательные числа. Число нуль

Рассмотрите рисунок 78. Вы видите эскиз улицы, на которой расположена школа. Саша сказал, что он вышел из школы и прошёл мимо трёх домов вдоль этой улицы.

Пример:

Можно ли определить, где оказался Саша? Нет. Точно ответить мы не сможем, поскольку не знаем, в каком направлении от школы двигался Саша. Если Саша пошёл от школы налево, то оказался возле бассейна, а если направо — то возле библиотеки.

Итак, чтобы определить новое местонахождение на прямолинейном участке дороги, нужно указывать не только расстояние, но и направление движения от некоторой начальной точки.

Рассмотрим ещё один пример. Определяя температуру воздуха с помощью термометра, мы фиксируем не только значение, на кагором остановился столбик термометра, но и обращаем внимание на то, где именно находится это значение на шкале термометра: ниже нуля или выше нуля (рис. 79). Например, если температура поднялась на выше нуля, то мы говорим: «температура воздуха — плюс ». Если температура отпустилась на ниже нуля, то мы говорим: «температура воздуха — минус ».

Обозначают: , . Показатели термометра со знаком определяют на его шкале одно направление (выше нуля), а показатели со знаком — противоположное направление (ниже нуля).

Проведём прямую и отметим на ней точку (рис. 80). На прямой по разные стороны от точки на расстоянии 5 клеточек от неё отметим точки и . Чтобы отличать их положение относительно точки , вместо слова «справа» будем писать знак , а вместо слова «слева» — знак . Тогда положение точки относительно точки показывает число , а точки — число (рис. 81). Вообще, всем точкам на прямой, расположенным справа от точки у соответствуют числа со знаком , а слева от неё — со знаком . Числа со знаком называют положительными числами. Например, число является положительным.

Положительное число кратко записывают 5.

Числа со знаком называют отрицательными числами. Например, число является отрицательным (читают: «минус пять»).

Определение:

Любое натуральное число является положительным.

Пример:

Положительным или отрицательным является число 0? Ни тем, ни другим. Число 0 отделяет положительные числа от отрицательных.

Неотрицательные числа — это положительные числа вместе с числом 0, а неположительные числа — это отрицательные числа вместе с числом 0.

Для математических вычислений в древности использовали палочки. Палочками красного цвета изображали положительные числа, чёрного — отрицательные. В Индии отрицательные числа толковали как долг, а положительные — как имущество. Многие математики называли отрицательные числа ложными числами, поскольку не могли понять существования чисел, меньших чем «ничто» (нуль). Лишь начиная с XVIII в., отрицательные числа стали использовать наравне с положительными числами.

Координатная прямая

В пятом классе положительные числа и число 0 вы отмечали на координатном луче (рис, 88). Продлим координатный луч влево от его начала. На полученном луче нанесём такую же шкалу, как и на луче (рис. 89). Получили координатную прямую. Точка называется началом отсчета на координатной прямой.

Определение:

Прямая, на которой отмечено начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой.

Стрелкой на координатной прямой указывают положительное направление. На луче отмечают положительные числа, а на противоположном ему луче — отрицательные числа. Обычно координатную прямую изображают горизонтально (рис. 90). При необходимости её можно изобразить и вертикально, и наискосок.

Посмотрите на рисунок 91. Вы видите, что точке соответствует число , а точке — число . Началу отсчёта — соответствует число 0.

Кратко записывают: Читают: «Точка с координатой », «Точка с координатой », «Точка с координатой ».

Пример:

Что показывает координата точки на координатной прямой с началом отсчета ? Расстояние от этой точки до точки и направление, в котором искали это расстояние: если в направлении стрелки, то координата имеет знак (как у точки ); если против направления стрелки, то координата имеет знак (как у точки ).

Обратите внимание:

каждой точке на координатной прямой соответствует единственная координата.

Пример:

На координатной прямой отметьте точки: 1) ; 2) .

Решение:

1. Координата точки — положительное число, поэтому на координатной прямой (рис. 92) точка размещена справа от начала отсчёта и .

2. Координата точки — отрицательное число, поэтому на : координатной прямой (рис. 92) точка В размещена слева от начала отсчёта и .

Парад планет — астрономическое явление, когда несколько планет Солнечной системы оказывается по одну сторону от Солнца и почти на одном луче (рис. 93). Иногда говорят: «Планеты выстроились в одну линию». Во время большого парада планет в одну линию выстраиваются 6 планет — Венера. Земля, Марс. Юпитер, Сатурн. Уран Если считать планету точкой на координатной прямой, а нашу планету Земля — началом отсчёта, то какие знаки будут иметь координаты других планет во время большого парада планет? Подумайте самостоятельно.

Модуль числа

Отметим на координатной прямой точки , и (рис. 104). Какая точка расположена дальше всего от начала отсчёта ? Точка , поскольку , а

Сравнивая расстояния от точек , и до начала отсчёта, мы искали длины соответствующих отрезков , и . Говорят: мы искали модуль каждого из чисел , и . Итак, модуль числа равен , а модуль числа так же, как и модуль числа , равен .

Модуль числа обозначают двумя вертикальными чёрточками: . Запись читают: «Модуль числа ». Для чисел , и можем записать:

Обратите внимание:

модуль числа показывает, на каком расстоянии от начала отсчёта находится данное число на координатной прямой.

В этом заключается геометрический смысл модуля числа. Значит, модуль числа не может быть отрицательным числом, а фраза «модуль числа равен -24» не имеет смысла.

Пример:

Чему равен модуль числа 0? Нулю:

Точки и (см. рис. 104) расположены по-особому. Они находятся на одном и том же расстоянии от начала отсчёта О, но по разные стороны от него. Можно сказать и так: чтобы попасть в эти точки из начала отсчёта, нужно отправиться в противоположных направлениях и переместиться на одинаковое расстояние — 2 единицы. Такие числа, как и , называют противоположными числами. Они имеют противоположные знаки, но равные модули:

Определение: Два числа, имеющие равные модули, но противоположные знаки, называются противоположными числами. Число 0 противоположно самому себе.

Пример:

Как записать число, противоположное данному числу? Для этого достаточно изменить знак данного числа на противоположный. Например, для числа противоположным является число , а для числа противоположным является число .

Пример:

Чему равен модуль: 1) положительного числа; 2) отрицательного числа?

Решение:

1. Пусть — положительное число. На координатной прямой такое число расположено справа от начала отсчёта (рис. 105). Расстояние от него до начала отсчёта показывает само это число. Значит, модуль положительного числа равен самому числу :

, если — положительное число.

2. Пусть — отрицательное число. На координатной прямой такое число расположено слева от начала отсчёта (рис. 106). Расстояние от него до начала отсчёта равно расстоянию до точки от противоположного ему числа: . Это означает, что — положительное, если — отрицательное. Итак, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, т.е. : ,если — отрицательное число.

Свойства модуля числа

Свойства модуля числа

1. Модуль положительного числа равен самому числу.
2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
3. Модуль числа 0 равен нулю.

Кратко записывают:

Пример:

Найдите расстояние между точками: 1) и ; 2) и ; 3) и .

Решение:

1. На координатной прямой отметим точки и (рис. 107). Имеем: . Поскольку данные точки расположены по разные стороны от точки , то . Значит, искомое расстояние равно сумме модулей координат этих точек.

2. На координатной прямой отметим точки и (рис. 108). Имеем: . Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки , то . Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек.

3. На координатной прямой отметим точки и (рис. 109). Имеем: . Поскольку данные точки расположены по одну сторону от точки , то . Значит, искомое расстояние равно разности большего и меньшего модулей координат этих точек.

Обратите внимание:

чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно:

• — прибавить модули координат, если координаты имеют разные знаки;
• — из большего модуля координаты вычесть меньший модуль координаты, если координаты имеют одинаковые знаки.

Слово «модуль» — латинского происхождения: modulus — мера. До недавнего времени вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им так называемые «относительные числа» — числа со знаками. Сейчас термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» считают устаревшими и их не используют.

Целые числа. Рациональные числа

В 5 классе вы изучали натуральные числа. Это числа, используемые для счёта: 1; 2; 3; 4; .... Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Его обозначают буквой . Множество содержит бесконечно много элементов, поскольку натуральных чисел бесконечно много.

Кратко это записывают так: .

Кроме множества натуральных чисел, существуют и другие числовые множества.

Натуральные числа, противоположные им числа и число ноль образуют множество целых чисел. Его обозначают буквой . Множество целых чисел также содержит бесконечно много элементов.

Кратко это записывают так:

.

Каким бы ни было натуральное число, оно является элементом множества целых чисел. Однако не каждое целое число является элементом множества натуральных чисел. Действительно, любое отрицательное число, противоположное натуральному числу, является элементом множества целых чисел. Но такое число не является натуральным. Соотношение между целыми и натуральными числами показано на рисунке 114.

Пример:

Можно ли считать, что положительные целые числа являются натуральными числами? Да.

Кроме целых чисел, вы знаете ещё и дробные числа. Некоторые из дробей обозначают целые числа, а некоторые — нет. Например, дробь равна целому числу. Считают, что и — это разные записи одного числа. Можно также сказать, что это число -2, записанное в виде дроби. А вот число даже после сокращения дроби останется дробным.

Обратите внимание:

не все числа, записанные в виде дроби, являются дробными.

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Его обозначают буквой . Множество рациональных чисел также имеет бесконечно много элементов. Соотношение между натуральными, целыми и рациональными числами показано на рисунке 115.

Пример:

Среди чисел , , , укажите:

1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) рациональные числа.

Решение:

1. Натуральными являются числа и , поскольку .

2. Целыми являются числа , и .

3. Рациональными являются числа , , , .

Обратите внимание:

• — каждое натуральное число является и целым числом, и рациональным числом;
• — каждое целое число является рациональным числом;
• — не каждое рациональное число является целым числом;
• — не каждое рациональное число является натуральным числом.

Пример:

На координатной прямой отметьте такую точку между точками и , у которой координата является: 1) отрицательным целым числом; 2) положительным рациональным числом.

Решение:

Построим координатную прямую и отметим на ней точки и (рис.116).

1. Между точками и всего пять точек имеют целые координаты: . Искомая точка, у которой координата — отрицательное целое число, лежит между точками и . Это, например, точка .

2. Вообще, между точками и находится бесконечно много точек с рациональными координатами. Искомая точка у которой координата — положительное рациональное число лежит между точкам и и . Это. например, точка .

Обратите внимание:

между двумя числами на координатной прямой лежит бесконечно много рациональных чисел.

Понятие «множество» — одно из первичных понятий математики Множество можно создавать не только из чисел, но и любых других объектов. Например, конфеты в коробке тоже образуют множество и каждая конфета — его элемент. Для обозначения множеств обычно используют большие латинские буквы , , . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Для его обозначения используют специальный знак: .

Сравнение рациональных чисел

Со сравнением рациональных чисел вы встречаетесь едва ли не ежедневно. Например, зимой, когда на улице мороз , о температуре воздуха говорят, что она меньше нуля: . В оттепель, когда воздух прогрелся до , говорят, что температура стала больше нуля: . Понятно, что температура ниже (меньше), чем температура (рис. 117): . Вообще, любая отрицательная температура всегда меньше положительной.

Сравним числа , и с помощью координатной прямой. Для этого отметим на ней точки , и , соответствующие этим числам (рис. 118). Как видим, правее других расположен а точка . Следовательно, число является наибольшим. Левее других расположена точка , поэтому число является наименьшим. Можем записать данные числа в порядке возрастания: .

Определение:

1. Сравнить два рациональных числа —значит установить, какое из них больше, а какое —меньше.
2. Из двух рациональных чисел большим является то число, для которого соответствующая точка на координатной прямой расположена правее.

Результат сравнения рациональных чисел записывают с помощью числовых неравенств. Например,

Пример:

Какие целые числа больше-5 и меньше 6,8?

Решение:

Отметим точки и на координатной прямой (рис. 119). На ней искомые числа расположены между координатами точек и . Это числа

Какую закономерность заметим, сравнивая с числом -5 отрицательные числа-4, -3, -2, -1? Числа от -5 до -1 увеличиваются, но их модуль уменьшается. Для положительных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 закономерность иная — и числа увеличиваются, и их модули увеличиваются. Но число 0 всегда больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа.

Вообще, для сравнения чисел необязательно строить координатную прямую.

Правила сравнения рациональных чисел

Правила сравнения рациональных чисел

1. Отрицательное число всегда меньше положительного числа.
2. Число 0 меньше положительного числа, но больше отрицательного числа.
3. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
4. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

• Если число положительное, то записывают: .
• Если число отрицательное, то записывают: .
• Если число неположительное, то записывают: .
• Если число неотрицательное, то записывают: .

Пример:

Верно ли, что любое рациональное число всегда больше противоположного ему числа? Нет. Например, для числа-5 противоположным является число 5, но .

Обратите внимание:

чтобы опровергнуть некоторое утверждение, достаточно одного примера.

Древнейшей математической деятельностью был счёт. Число 0 не использовали. Индейцы племени Майя первыми применяли специальный символ для обозначения нуля. но он имел не то толкование, к которому мы привыкли. Ноль у Майя означал начало. Цифра ноль, которой мы сейчас пользуемся, пришла к нам из Индии. Ноль записывали кружочком. Индийские учёные произвели революцию в математике, определив ноль не как отсутствие числа, а как число. Первая запись с использованием нуля датируется 876 годом.

Сложение рациональных чисел

Каждое рациональное число характеризует его модуль и знак. Поэтому для сложения двух рациональных чисел важно выяснить, каким будет модуль и знак суммы в зависимости от модулей и знаков слагаемых. Для положительных чисел эта связь очевидна, поскольку сумма двух положительных чисел является числом положительным.

Пример:

Как к отрицательному числу прибавить положительное число? Поразмышляем, опираясь на координатную прямую.

Пусть нужно сложить числа и . На координатной прямой отметим точку, соответствующую числу , и отложим от неё вправо единиц (рис. 122). Видим, что в результате получили точку с координатой . Значит:

Пусть нужно сложить числа и . На координатной прямой отметим точку, соответствующую числу , и отложим от неё вправо единицы (рис. 123). Видим, что в результате получили точку с координатой . Значит:

Получается, что при сложении чисел и и чисел и модули слагаемых мы не прибавляли, а вычитали, причём из большего модуля вычитали меньший. А знак суммы получили такой же, как у слагаемого с большим модулем.

Пример:

Изменится ли сумма чисел с разными знаками, если их складывать в другом порядке — к положительному числу прибавлять отрицательное? Нет, сумма не изменится. Используя координатную прямую, попробуем поразмышлять по-другому.

Пусть к числу нужно прибавить число . На координатной прямой отметим число . Число противоположно числу , поэтому и откладывать его на координатной прямой нужно не вправо, а в противоположном направлении, то есть влево. Отложим от числа влево единиц. Получили число (рис. 124). Значит:

Сравним этот результат и результат, полученный в предыдущем примере. Видим, что:

Правило сложения чисел с разными знаками

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, нужно:

1. найти модули слагаемых;
2. из большего модуля вычесть меньший модуль;
3. перед полученным числом поставить знак того из слагаемых, модуль которого больше.

Пример:

Как сложить два отрицательных числа? Будем рассуждать аналогично последнему примеру.

Пусть к числу нужно прибавить число . На координатной прямой отметим число . Отложим от него в направлении, противоположном направлению стрелки, то есть влево, единиц. Получили число (рис. 125). Значит:

Правило сложения чисел с одинаковыми знаками

Чтобы найти сумму двух чисел с одинаковыми знаками, нужно:

1. найти модули слагаемых;
2. сложить модули слагаемых;
3. перед полученным числом поставить знак слагаемых.

Пример:

В чём особенность сложения противоположных чисел? Поразмышляем. Посмотрите на рисунки 126 и 127. Вы видите, как складывали противоположные числа и . Когда к числу прибавили число (рис. 126) или к числу прибавили число (рис. 127), то получили число 0. Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. Поэтому, по правилу сложения чисел с разными знаками, модуль суммы противоположных чисел и — это разность модулей этих чисел, а она равна 0. Можем записать:

или

Обратите внимание:

сумма двух противоположных чисел равна 0: .

Пример:

Вычислите: 1) ; 2) .

Решение:

1)

2)

Обратите внимание:

изменение числа зависит от того, какое число к нему прибавляют:

• — если прибавляют положительное число, то данное число увеличивается;
• — если прибавляют отрицательное число, то данное число уменьшается.

Пример:

Справедливы ли переместительный и сочетательный законы сложения для рациональных чисел? Да. Для любых рациональных чисел , , .

— переместительный закон сложения;

— сочетательный закон сложения.

Пример:

Найдите сумму .

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми вычислим сумму:

Способ 2. Сгруппируем слагаемые с разными знаками и вычислим сумму:

Если одно из слагаемых равно 0, то сумма равна другому слагаемому:

Индийский математик Брахмагупта (VII в.) использовал следующие правила для сложения положительных и отрицательных чисел.

Вычитание рациональных чисел

Вы уже умеете вычитать положительные числа и можете найти разность, когда уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему.

Пример:

Можно ли из меньшего числа вычесть большее? Да, если выполняем действия с рациональными числами. Поразмышляем, опираясь на координатную прямую.

Пусть нужно найти разность чисел и . На координатной прямой отметим точку с координатой и отложим от неё влево единиц (рис. 131). Получили точку с координатой . Значит:

Обратите внимание:

при вычитании рациональных чисел уменьшаемое может быть меньше вычитаемого.

Пример:

Можно ли находить разность рациональных чисел без помощи координатной прямой? Да. Для этого нужно знать правила вычитания рациональных чисел.

В предыдущем параграфе вы узнали, как выполнять сложение чисел с разными знаками. Действие вычитания числа из числа можно свести к действию сложения числа и числа, противоположного числу , то есть . Чтобы убедиться в этом, сравним рисунки 131 и 132. На первом из них видим, как находили разность чисел и , а на втором — сумму чисел и . В обоих примерах получили число . Значит:

Правило замены вычитания сложением

Чтобы из одного числа вычесть другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Пример:

Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение:

Пример:

Верно ли, что вследствие вычитания рациональных чисел уменьшаемое всегда уменьшается? Нет. В задаче 1 в примерах 1 и 3 уменьшаемое уменьшилось, поскольку вычитаемое — положительное число. В примерах 2 и 4, наоборот, уменьшаемое увеличилось, поскольку вычитаемое — отрицательное число. А в примере 5 уменьшаемое не изменилось, поскольку вычитаемое равно 0.

Обратите внимание:

1) в результате вычитания рациональных чисел уменьшаемое:

• — уменьшается, если вычитаемое является положительным;
• — увеличивается, если вычитаемое является отрицательным;
• — не изменяется, если вычитаемое равно 0;

2) о вычитании рационального числа из числа говорят: число изменили на число .

Пример:

Как найти разность нескольких чисел? Рассмотрим пример.

Пример:

Вычислите разность .

Решение:

Заменим действие вычитания действием сложения:

В полученной сумме можно сгруппировать слагаемые одним из двух способов так, как показано в задаче 2 параграфа 26. Используем первый из них. Тогда получим:

Следовательно,

Натуральные числа, а также положительные дробные числа возникли в древности при решении практических задач. Потребность ввести целые числа была обусловлена развитием математики, в частности, необходимостью решать уравнения. Поскольку вычитать натуральные числа было возможно лишь при условии, что уменьшаемое больше вычитаемого, то множество натуральных чисел требовало расширения. Целые числа и являются расширением множества натуральных чисел. В множестве целых чисел всегда можно выполнить вычитание. Теорию отрицательного числа наиболее содержательно разработал немецкий математик М. Штифель (1487—1567). Свою теорию он изложил в книге «Полная арифметика», которая увидела свет в 1544 г.

Умножение рациональных чисел

Вы знаете, что сложение нескольких равных положительных чисел можно заменить действием умножения. Например, Рассуждая аналогично, найдём произведение :

Полученное число является противоположным числу . Но , . Следовательно, произведение чисел и равно произведению модулей этих чисел, взятому со знаком :

Пример:

Как умножить числа и ? Поразмышляем.

Пусть число — изменение температуры воздуха за час, а — количество часов наблюдения. Тогда и произведение , и произведение показывает, на сколько градусов изменилась температура за 5 ч и в какую именно сторону — повышения или понижения. Ясно, что похолодало на , то есть температура изменилась на (рис. 137).

Получили, что . Значит, произведение чисел и можно найти так же, как и произведение чисел :

Правило умножения чисел с разными знаками

Произведение двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак .

Пример:

Как умножить два отрицательных числа? Рассмотрим задачу.

Пример:

Температура воздуха каждый час изменялась на . Какой была температура ч назад?

Решение:

Если число — это количество часов наблюдения, то число — это время «5 ч назад». Значит, в задаче нужно найти произведение . Понятно, что 5 ч назад было теплее на . То есть

Получим, что произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Например:

Правило умножения двух отрицательных чисел

Произведение двух отрицательных чисел — число положительное.

Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули.

Вообще, знак произведения двух рациональных чисел определяется знаками множителей.

Пример:

Можно ли по знаку произведения двух чисел определить, одинаковые или разные знаки у множителей? Да. Например, число равно произведению чисел с одинаковыми знаками: и или и . А вот число равно произведению чисел с разными знаками: и или и .

Свойства умножения на 0 рациональных чисел аналогичны таким же свойствам умножения положительных чисел. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

В дальнейшем будем рассматривать рациональные числа, отличные от нуля, а случаи, связанные с числом 0, будем анализировать отдельно.

Обратите внимание:

• — если произведение положительно, то числа и имеют одинаковые знаки, и наоборот;
• — если произведение отрицательно, то числа и имеют разные знаки, и наоборот;
• — если произведение равно нулю, то хотя бы одно из чисел, или , равно нулю, и наоборот.

Если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:

Умножение числа на имеет свои особенности. Если некоторое число умножить на , то в произведении получим противоположное ему число. Например: . Рассуждая наоборот, получим, что любое число можно представить в виде произведения и числа, противоположного данному. Например, , а или . О такой записи говорят: знак минус вынесли за скобки. Итак: Для рациональных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы умножения, а также распределительный закон умножения относительно сложения.

Пример:

Найдите произведение: 1) ; 2) .

Решение:

1. Переставим множители и сгруппируем их так, чтобы вычисления упростились: .

2. Применим распределительный закон умножения, а также правила умножения отрицательных чисел и чисел с разными знаками:

.

Пример:

Можно ли, не вычисляя произведения нескольких рациональных чисел, определить знак этого произведения? Да. При этом нужно учесть, что положительные множители не влияют на знак произведения.

Пример:

Положительным или отрицательным является произведение: 1) ;

2) ?

Решение:

1. В данном произведении - четыре отрицательных множителя: -2, -1, -5, -4. Произведение первой пары этих чисел положительно, второй пары — тоже, поэтому произведение всех четырёх чисел — положительно. Следовательно:

2 В данном произведении 5 отрицательных множителей, поэтому:

Обратите внимание:

• — произведение чётного количества отрицательных множителей — положительно;
• — произведение нечётного количества отрицательных множителей — отрицательно.

Индийские математики сформулировали правила умножения, деления, сложения, вычитания рациональных чисел. В таблице 14 вы видите, какими суждениями они пользовались при умножении рациональных чисел.

Деление рациональных чисел

Вы знаете, что для положительных чисел действие деления можно свести к действию умножения на число, обратное делителю. Пусть нужно разделить число 20 на число . Это означает, что число 20 можно умножить на число, обратное числу , то есть на число :

Тогда, по правилу умножения чисел с разными знаками, получим: Итак,

Видим, что частное чисел и равно частному их модулей, взятому со знаком :

Аналогично, частное чисел и равно частному их модулей, взятому со знаком :

Правило деления чисел с разными знаками

Частное двух чисел с разными знаками — число отрицательное.

Чтобы найти частное чисел с разными знаками, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и перед полученным частным поставить знак .

Пример:

Как разделить одно отрицательное число на другое? Рассуждая аналогично предыдущему случаю, для чисел и получим:

Правило деления двух отрицательных чисел

Частное двух отрицательных чисел — число положительное.

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, достаточно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Вообще, знак частного рациональных чисел определяется знаками делимого и делителя. Например:

Если число 0 разделить на любое рациональное число, отличное от нуля, то в частном получим 0:

Действие деления на 0 не имеет смысла и для рациональных чисел. Поэтому:

на 0 делить нельзя!

Обратите внимание:

• — в частном число не может быть равным нулю;
• — если частное положительно, то числа и имеют одинаковые знаки, и наоборот;
• — если частное отрицательно, то числа и имеют разные знаки, и наоборот;
• — если частное равно нулю, то равно нулю, и наоборот.

Поскольку , то:

Если число, отличное от нуля, разделить на , то в частном получим противоположное ему число. Например,

Частное двух противоположных чисел, отличных от нуля, равно :

Название рациональных чисел происходит от латинского «ratio» — «отношение», поскольку эти числа с момента своего появления представляют с помощью отношения целого числа к натуральном у числу.

Если разделить рациональное число на рациональное число, отличное от нуля, то частное всегда будет рациональным числом. А если разделить целое число на целое число, отличное от нулю, то в частном не всегда получим целое число. Например, частное чисел 2 и 3 не является целым числом. Интересно, что исторически проблема деления чисел была решена значительно раньше, чем проблема, связанная с их вычитанием.

-------------

Рациональные числа

Этот раздел содержит очень важный и нужный материал. Натуральные и дробные числа, с которыми вы имели дело до сих пор, были известны людям более 4 тысячелетий назад. А отрицательные числа вошли в математику намного позже — несколько веков назад. Основное содержание этого раздела такое.

• Положительные и отрицательные числа.
• Действия с положительными и отрицательными числами.
• Преобразование простейших выражений.
• Перпендикулярные и параллельные прямые.
• Координатная плоскость и графики.

Весь этот материал является фундаментом математики, физики и других наук, которые вы будете изучать в последующих классах.

Положительные и отрицательные числа

Существуют числа, значения которых меньше 0. Их называют отрицательными числами. Например, отрицательными числами обозначают значение температуры.

Температура, при которой начинает замерзать вода - 0 градусов по Цельсию (°С). А бывает еще холодней. Тогда столбик ртути в термометре опускается ниже отметки О °С. Если столбик ртути размещен так, как на рисунке 86, то говорят, что термометр показывает «4 градуса мороза», или «4 градуса ниже нуля», или «минус 4 градуса». Пишут: -4 °С. Иногда передают такие сведения о погоде: «В Ялте сегодня 5 градусов, в Одессе - 0 градусов, в Харькове - минус 2 градуса, в Киеве -минус 3 градуса». Эти значения температуры можно записать так: 5, 0, -2, -3 градуса. Числа 5 и 0 вам уже известны. А числа -2 и -3 - примеры отрицательных чисел.

Отрицательные числа записывают со знаком минус «-».

Приводим еще примеры отрицательных чисел:

Те числа, что рассматривались раньше (кроме 0), теперь будем называть положительными числами. Иногда положительные числа пишут со знаком плюс «+». Число 0 - ни положительное, ни отрицательное.

Все положительные числа вместе с нулем называют неотрицательными .

Отрицательными и положительными числами обозначают не только значения температуры, но и расположение местности над уровнем моря (рис. 87), изменение количества денег в кассе (задача 857), они используются также во многих других случаях.

Обратите внимание на правильное произношение положительных и отрицательных чисел. Например,

• равно десяти;
• равно минус четырнадцати;
• больше двух целых пяти десятых;
• меньше минус семи.

Названия знаков чисел («+» и «-») не склоняются. Например, минус три, минус трех, минус трем и т. п.

Выполнение заданий:

Пример №58

Просклоняйте словосочетание «положительная разность», «минус семь».

Решение:

И. положительная разность минус семь

Р. положительной разности минус семи

Д. положительной разности минус семь

В. положительную разность минус семь

Т. положительной разностью минус семью

П. положительной разности минус семи

Координатная прямая

Посмотрите на линейку с делениями. Ее штрихи (черточки) делят линейку на равные деления. Большие штрихи обозначают числа О, 1,2, 3, ... . Расстояние между каждыми двумя соседними большими штрихами равно 1 см. Малым штрихам также соответствуют числа, но дробные (рис. 90). Все нанесенные на линейку штрихи образуют шкалу. Шкала линейки содержит штрихи, которым соответствуют только неотрицательные числа. А на шкале термометра есть штрихи, которым соответствуют и отрицательные числа (см. рис. 88).

Для математики наиболее пригодна прямолинейная тикала с равными делениями, бесконечная в обе стороны.

Вы уже знаете, что такое координатный луч (вспомните!). На координатный луч чем-то похожа и координатная прямая. Представим себе прямую (бесконечную). Обозначим на ней какую-либо точку О - это начало отсчета. Справа от нее на равных расстояниях друг от друга обозначим точки и поставим им в соответствие числа: 1, 2, 3, 4, ... . На таких же расстояниях друг от друга обозначим на прямой точки слева от точки О и поставим им в соответствие числа: -1, -2, -3, -4,... (рис. 91). Такую прямую называют координатной прямой.

Направление вправо от начала отсчета называют положительным, на координатной прямой его обозначают стрелкой.

Каждому числу на координатной прямой соответствует определенная единственная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 92, числу 2 соответствует точка , числу — 3 - точка , числу — точка , числу - точка . Говорят, что координата точки равна 2, координата точки равна -3 и т. д. Пишут:

Координата точки О - число 0. Это - начало координат. Отрезок, концы которого имеют координаты 0 и 1, принимают за единичный отрезок (рис. 93).

Расстояние между точкой О(0) и точкой (рис. 92) равно трем единичным отрезкам. Пишут ед. отр. Если длина единичного отрезка равна 1 см, то см.

За единичный отрезок можно взять и любой другой, в частности, длиной 1 дм, 5 мм. Например, на рисунке 93 длина единичного отрезка равна 1,7 см.

Своеобразной координатной прямой является лента времени, на которой изображают годы и столетия (рис. 94). Христиане за начало отсчета времени берут день рождения Иисуса Христа (Рождество Христово). Время после этого дня называют новой эрой, а до него - до новой эры. Вместо до новой эры сокращенно пишут до н. э. или до P. X.

В Западной Европе такой отсчет времени введен с XVI в., а у нас (бывшей Российской империи) - только в 1700 г. До этого восточные славяне счет годам вели «от сотворения мира». Считали, что мир был создан 5508 лет до н. э.

Выполнение заданий:

Пример №59

Длина единичного отрезка координатной прямой равна 2 см.

а) Чему равно расстояние между точками ?

б) Найдите координату точки - середины отрезка .

Решение:

а) Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки (рис. 95). Видим, что в отрезке вмещается ровно 5 единичных отрепков. Поэтому см.

б) Точка - середина отрезка -расположена так, как изображено на рисунке 95. Координата точки равна 0,5.

Целые и дробные числа

Числа 3 и -3 отличаются только знаками. Точки с такими координатами расположены по разные стороны от точки О и на одинаковых расстояниях от нее. Такие числа называются противоположными: число 3 противоположно числу -3, а -3 противоположно числу 3. Противоположными являются также числа:

Для каждого числа существует только одно противоположное ему число (рис. 100). Число 0 противоположно самому себе.

Противоположными натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... являются числа -1,-2,-3,-4, -5, -6, ... .

Натуральные числа, противоположные им и число 0 вместе называют целыми числами.

Существуют три вида целых чисел: целые положительные (натуральные), целые отрицательные (-1,-2, -3, -4,...) и 0. Кроме них, есть и дробные положительные и отрицательные числа. Например,

Целые и дробные числа вместе называют рациональными числами (рис. 101).

Соотношения между упомянутыми видами чисел можно изобразить такой схемой.

Примечание. Числа и записаны в виде дробей, но они не являются дробными числами. Это целые числа 2 и -2. Ми одно дробное число не является целым, и ни одно целое число не является дробным.

Все целые числа образуют множество целых чисел. На координатной прямой целым числам соответствуют точки, которые расположены равномерно и бесконечно далеко вправо и влево от начала координат.

Множество рациональных чисел - это совокупность целых и дробных чисел. Каждому рациональному числу на координатной прямой соответствует единственная точка. Точки с рациональными координатами расположены на координатной прямой очень плотно, между любыми двумя из них находится бесконечно много других точек с рациональными координатами. И все же на координатной прямой точек, координаты которых - не рациональные числа, еще больше. Об этом вы узнаете в 8-м классе.

Выполнение заданий:

Пример №60

Противоположные ли числа 0,2 и ?

Решение:

0,2 и разные обозначения одного и того же числа, . Поэтому числа 0,2 и противоположные.

Пример №61

Точки и имеют противоположные координаты. Найдите значение . Сколько единичных отрезков содержится в отрезке ?

Решение:

Поскольку числа и -3 противоположные, то . Начертим координатную прямую и обозначим на ней точки и (рис. 102). С рисунка видно, что отрезок содержит 6 единичных отрезков.

Модуль числа

Расстояние от начала координат до точки с координатой а называется модулем числа . При этом считается, что за единицу длины принято длину единичного отрезка. Например, модулем числа 4 является число 4, модулем числа - 4 также является число 4 (рис. 105).

Какими бы небыли противоположные числа, их модули равны. Например, модуль каждою из чисел -12 и 12 равен 12, модуль каждого из чисел 0,9 и -0,9 равен 0,9.

Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число.

Модуль числа обозначают так: Например,

Модуль любого числа число неотрицательное.

Понятие модуля в математике используют очень часто. В частности решают уравнения и неравенства с модулями.

Уравнение имеет два решения: 3 и - 3. На координатной прямой решения обозначены точками (рис. 106).

Неравенству удовлетворяет каждое число, меньше 3, но больше 3. На координатной прямой точки, которым соответствуют эти числа, изображены утолщенным отрезком без концов (рис. 107).

Слово модуль латинского происхождения: «modulus» - мера. Это слово в разных значениях используют не только в математике, но и в технике, архитектуре, во многих других науках и отраслях производства. От этот слова происходят также слова мода, модель.

Еще совсем недавно вместо «модуль числа» говорили абсолютная величина числа. Так раньше называли «числа без знаков», противопоставляя им относительные числа -числа со знаками. Теперь термины «относительные числа» и «абсолютная величина числа» устарели.

Выполнение заданий:

Пример №62

Вычислите значение , если: а) ; б) .

Решение:

а) Если , то ;

б) если , то .

Пример №63

Найдите два решения уравнения .

Решение:

и , поэтому числа 15 и -15 являются решениями этого уравнения.

Сравнение рациональных чисел

Сравнить два числа - это значит установить, какое из них больше, какое меньше, или показать, что они равны.

Сравнивать положительные числа вы уже умеете. Например, как сравнивать отрицательное число с отрицательным или положительным?

Из двух положительных чисел меньше то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее. Например, точка расположена левее точки и (рис. 109). Это свойство (признак) распространяется и на все рациональные числа.

Из двух рациональных чисел меньшим считается то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее.

Например, точка расположена левее точки и любой точки с положительной координатой. То же самое можно сказать о точке и о любой другой точке с отрицательной координатой (рис. 110).

Поэтому каждое отрицательное число меньше 0 и любого положительного числа.

Например,

Точка па координатной прямой расположена левее точки (рис. 110), поэтому . То же самое справедливо относительно любых отрицательных чисел.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль, которого больше.

Если одно число меньше другого, то второе число больше первого. Если , то .

Поскольку каждое отрицательное число меньше 0, а каждое положительное число больше 0, то:

• запись означает, что число — положительное;
• запись означает, что число — отрицательное.

Знак «» обозначает (читается) «больше или равно», знак «» меньше или равно. Например, если число больше 0 или равно 0, то пишут . Такие числа называют неотрицательными. Если число с меньше 5 или равно 5, то пишут

Выполнение заданий:

Пример №64

Между какими соседними целыми числами на координатной прямой находится число 2,4? Запишите это при помощи знака «<».

Решение:

Начертим часть координатной прямой (рис. 111). Видим, что число - 2,4 находится между соседними целыми числами - 3 и - 2. Следовательно, — 3 < — 2,4

2) Какое из чисел больше: -3,4 или ?

Решение:

, а 3,14 < 3,4. Поэтому .

Сложение рациональных чисел

Складывать положительные числа вы уже умеете. И отрицательные числа складывать нетрудно. Например, (-2) + (-3) = -5; (-0,3) + (-1,2) = -1,5.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Чтобы сложить положительное и отрицательное числа, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Пусть, например, надо сложить числа -2,7 и 3. Их модули 2,7 и 3. Вычтем из большего модуля меньший, получим 0,3. Знак числа с большим модулем - плюс, поэтому -2,7 + 3 = 0,3. Другой пример: 18 + (-20) = - 2.

Почему именно по таким правилам складывают положительные и отрицательные числа? Потому что отрицательными числами обозначают, как правило, уменьшение чего-либо. Например, если уровень воды в роке снизился на 2 см, то говорят, что он изменился на - 2 см. И если в один день он изменился на - 2 см, а во второй на - 3 см, то за эти два дня он изменился на -5 см (рис. 114). Поэтому и считают, что -2 + (-3) = -5.

К ели в первый день уровень воды изменился на -2 см, а во второй - на 5 см (то есть поднялся на 5 см), то за эти два дня он изменился на 3 см (рис. 115). Следовательно -2 + 5 = 3.

Если в первый день уровень воды в реке изменился на -6 см, а во второй - на 2 см, то за два дня он изменился на -4 см (рис. 116). Поэтому -6 + 2 = - 4.

Много и других подобных задач (об изменении температуры, прибыли и т. п.) стали основанием сформулированных выше правил сложения рациональных чисел.

Раньше отличали знаки чисел от знаков сложения и вычитания. Некоторые европейские математики даже в начале XX в. знаки действий сложения и вычитания писали только между числами. А положительные и отрицательные числа обозначали стрелочками или знаками «+» и «-» над числами. Например, . Такие записи были неудобными и от них отказались.

При сложении рациональных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы. О них речь пойдет на с. 222. Там вы узнаете, как можно упростить сложение трех и более рациональных чисел.

Выполнение заданий:

Пример №65

Может ли сумма двух чисел быть больше каждого из этих чисел? Когда это возможно?

Решение:

Может. Это возможно только тогда, когда эти числа положительные. Ведь, если , а если

Пример №66

Найдите сумму чисел: а) 1,3 и ; б) -4,7 и .

Решение:

а)

б)

Вычитание рациональных чисел

Вычитание - действие, обратное сложению. Вычесть из одного числа другое — означает найти такое третье число, которое в сумме с другим дает первое.

Пусть, например, надо найти разность чисел 7 и -5. Она равна такому числу , что + (- 5) = 7. Этому равенству удовлетворяет число 12. Следовательно, 7 - (-5)= 12.

Разность чисел - 5 и 3 равна такому числу , что . Этому равенству удовлетворяет число -8. Поэтому, -5 - 3 = -8.

Обратите внимание: 7 - (-5) = 12 и 7 + 5 = 12,

-5 - 3 = -8 и -5 + (-3) = -8.

Вычесть ли число - 5 или прибавить число 5 - результаты одинаковые. Это верно для любых рациональных чисел. Ведь, если, то , а последнему равенству удовлетворяет значение . Поскольку . Таким образом, всегда .

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Примеры:

Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением:

Любое рациональное число можно вычесть из любого другого. Ведь вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением, а действие сложения всегда возможно.

Подставляя вместо букв и разные рациональные числа, можно убедиться в том, что разность положительная, если

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца. Например, если на координатной прямой даны точки и , то расстояние в единичных отрезках равно , если , или , если (рис. 118). Эти два случая можно объединить в один. Какими бы не были точки и координатной прямой, расстояние между ними .

Выполнение заданий:

Пример №67

Вычислите —4—(—7). Где здесь уменьшаемое, а где вычитаемое?

Решение:

—4 — уменьшаемое, —7 — вычитаемое.

—4 — (—7) = —4 + 7 = 3.

Пример №68

Решите уравнение: а) ; б)

Решение:

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. —17—24 = —41.

Проверка: —41+ 24 = -17. Следовательно, = —41.

б) Если модуль числа равен 5, то возможны два случая: или , тогда , или , тогда .

Проверка: |2 + 3| = |5| = 5, |—8 + 3| = |—5| = 5. Итак, уравнение имеет два корня: 2 и —8.

Умножение рациональных чисел

Что значит умножить число —3 на 5? Это означает найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3: (—3) • 5 = (—3) + (—3) + (—3) + (—3) + (—3) = —15.

Итак, (—3)—5 =—15.

Чтобы выполнялся переместительный закон умножения, считают, что 5 • (—3) = — 15. Рассуждая точно так же относительно чисел —12 и 10, имеем:

(—12)—10 = —120 и 10—(—12) = —120.

Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Примеры:

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

Примеры:

Почему именно по таким правилам умножают отрицательные числа, станет понятно позже. В общем виде эти правила записывают так:

Знак произведения определяется знаками множителей, как показано в таблице.

Обратите внимание на отдельные случаи умножения. Каким бы ни было рациональное число , всегда:

Раньше ученые пытались обосновать пенило умножения отрицательных чисел. Хотели понять, почему . Приводили различные обоснования этот правила, но со временем они оказались неубедительными. Поэтому на протяжении нескольких столетий правила умножения и деления отрицательных чисел считались незаконными, а отрицательные числа называли ошибочными, абсурдными, ненастоящими и т. п. Только со временем ученые поняли, что такие правила нужно не выводить из других, уже известных правил, а считать их правильными по договоренности.

В современной математике равенство принимается без доказательств и обоснований. Только при такой договоренности рациональные числа становятся полезными и удобными для применения.

А если бы не условились считать, что произведение всегда равно , то все учение об отрицательных числах было бы очень примитивным и неинтересным. Его нельзя было бы использовать в математике и в других науках.

Выполнение заданий:

Пример №69

Найдите произведение чисел: а) 3,7 и - 0,2; б) .

Решение:

а) 3,7 • (-0,2) = -(3,7 • 0,2) = -0,74;

б)

Пример №70

При каком условии произведение двух рациональных чисел равно одному из них?

Решение:

Бели то возможны два случая:

1) , а - произвольное число;

2) , a - произвольное число.

Деление рациональных чисел

Деление - действие, обратное умножению. Разделить одно число на другое — это означает найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры:

• а) 20 : 2 = 10, поскольку 10 • 2 = 20;
• б) —8:2 = —4, поскольку —4 • 2 =—8;
• в) 10 : (—5) = —2, поскольку (—2) • (—5) = 10;
• г) —15 : (—3) = 5, поскольку 5 • (—3) = —15.

В каждом из рассмотренных примеров модуль частного равен частному от деления модулей делимого и делителя. Частное отрицательное, если знаки делимого и делителя разные; если знаки делимого и делителя одинаковые, то частное положительное. К таким выводам приходили ученые, рассматривая любые другие примеры. Поэтому пользуются таким правилом.

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус.

Пусть, например, нужно найти частные —3,6: 3; 3,6 : (—3); —3,6 : (—3). Модуль каждого частного равен 1,2. В первых двух примерах знаки дели мот и делителя разные, поэтому частное отрицательное. В третьем примере знаки делимого и делителя одинаковые, поэтому частное положительное. Итак,

—3,6 : 3 = —1,2, 3,6 : (—3) = —1,2, но —3,6 : (—3) = 1,2.

При делении 0 на любое число, отличное от нуля, получают нуль. Делить на 0 нельзя! Почему? Ведь, если бы, например, «частное» 5 : 0 равнялось какому-то числу , то было бы верно равенство • 0 = 5, что невозможно при любом значении . И «частное» 0 : 0 не может равняться какому-то одному числу , ибо тогда было бы, что • 0 = 0, а этому равенству удовлетворяет любое число .

Итак, делить на нуль нельзя!

Если числа и натуральные, то . Это равенство распространяют и на дробные числа и . Например,

Выражения, записанные в правых частях последних равенств, - дроби. Но не обыкновенные. Числитель и знаменатель дроби может быть любым числом и любым выражением. Более детально дроби изучают в алгебре, а здесь подчеркнем, что обыкновенные дроби - это простейшие дроби. Соотношение между понятиями «дроби» и «обыкновенные дроби» можно показать на диаграмме (рис. 122).

Чтобы вычислить значение любой дроби, достаточно ее числитель разделить на знаменатель. Например,

Выполнение заданий:

Пример №71

Разделите: а) -27 на 54; б) на .

Решение:

а)-27 : 54 = -(27 : 54) = -0,5;

б)

Пример №72

Найдите отношение чисел -2,5 и .

Решение:

Свойства сложения и умножения

Как известно, для положительных чисел выполняются переместите л ьный и сочетательный законы сложения. Эти законы всегда выполняются и для любых рациональных чисел :

Примеры:

а) —2 + (—3) = - 5 и —3 + (—2) = —5.

Значит —2 + (—3) = —3 + (—2);

б) (3 + (—5)) + (—8) = —2 + (—8) = —10 и

3 + (—5 + (—8)) = 3 + (—13) = —10.

Значит (3 + (—5)) + (—8) = 3 + (—5 + (—8)).

Используя переместительный и сочетательный законы сложения, можно упрощать вычисления сумм трех и большего количества рациональных чисел. Например, переставив местами слагаемые и сгруппировав их в две группы, можно отдельно сложить все положительные слагаемые и отдельно - отрицательные. Если среди слагаемых есть противоположные числа, их можно не учитывать, поскольку сумма противоположных чисел равна нулю.

Примеры:

а) 2 + (—81) + 3 + (—17) = 2 + 3 + (—81) + (—17) =

= 5+ (—98) = —93;

б) 17+ (—14)+ 8 + (—17) +(—8) =

= 17 + (—17) + 8 + (—8) + (—14) = —14.

Для любых рациональных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения. То есть, какими бы не были рациональные числа и , всегда:

Убедитесь в правильности указанных равенств для случая, когда, например, .

Переместительный и сочетательный законы умножения позволяют упрощать вычисление произведения трех и больше множителей. Множители не обязательно умножать в той последовательности, в которой они записаны, а можно переставлять и объединять их в группы. Например, произведение 0,25 • (-317) • 4 можно вычислить устно, если сначала умножить 0,25 и 4.

Обратите внимание! Произведение любых двух отрицательных чисел число положительное.

Если произведение содержит четное число отрицательных множителей, то оно положительное, а если нечетное число отрицательных множителей, то оно отрицательное (при условии, что ни один из множителей — не нуль).

Например, произведение 3 • (—2) • (—5) • (—7) • 9 • (—11) положительное, а (—4) • 5 • (—6) • (—9) • 12 - отрицательное.

Квадрат отрицательного числа — число положительное, куб отрицательного числа — число отрицательное.

Примеры:

• а)
• б)

Если число а отрицательное, то - числа отрицательные, а - положительные.

Равенство выражает распределительный закон умножения относительно суммы двух чисел. Похожее свойство умножения верно и относительно разности: всегда . Докажем это. Поскольку разность всегда можно записать в виде суммы, то

Распределительный закон умножения верный также для любого количества положительных или отрицательных слагаемых. Например, всегда верно равенство Действительно, если сумма равна некоторому числу ,

Какими бы не были рациональные числа и , всегда верно равенство . Действительно, согласно распределительному закону умножения верно равенство

Из законов сложения и умножения можно вывести много важных и интересных следствий. С ними вы ознакомитесь на уроках алгебры.

Выполнение заданий:

Пример №73

Вычислите

Решение:

Пример №74

На сколько сумма квадратов чисел 6 и 4 больше квадрата их суммы?

Решение:

Ответ: На 48.

Преобразование простейших выражений

Если одно выражение заменить другим, имеющим такие же числовые значения, то такую замену называют преобразованием выражения. Рассмотрим несколько наиболее важных преобразований, которые выполняются на основании законов сложения и умножения.

1. Раскрытие скобок.

Раскрыть в выражении скобки — это значит заменить его выражением без скобок.

Если выражение со скобками содержит только действие умножения, то для его преобразования используют переместительный и сочетательный законы умножения.

Пример.

Если произведение содержит только числовой и буквенные множители, то числовой множитель пишут первым и называют его коэффициентом.

Пример. В выражениях коэффициентами являются числа 2, —5, —0,8, 1, —1. Коэффициенты 1 и —1 обычно не пишут.

Раскрывать скобки в выражениях, содержащих действия умножения, сложения и вычитания, можно на основании распределительного закона умножения и следствий из него.

Пример.

Особенно часто приходится раскрывать скобки, перед которыми стоит знак «+» или «—», то есть умножать выражение в скобках на +1 или —1. В этом случае не обязательно каждый раз применять распределительный закон умножения, а можно использовать такие правила.

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними.

Пример.

Всегда верно равенство , поскольку разность в сумме с вычитаемым дает .

Из последнего равенства следует такое правило.

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «—», достаточно опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные.

Эти правила верны и для выражений, все слагаемые которых находятся в скобках. Например,

Примеры:

2. Приведение подобных слагаемых.

Выражение - это сумма трех слагаемых: и . Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными. Согласно распределительному закону умножения .

Такое упрощение выражения называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель.

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых позволяют значительно упростить выражения.

Пример:

Раньше вы знали: если выражение содержит скобки, то сначала надо выполнять действия в скобках. Умея раскрывать скобки, вы можете упростить вычисление некоторых выражений. Например, чтобы вычислить значение выражения не обязательно выполнять действия в скобках. Лучше сначала раскрыть их:

Выполнение заданий:

Пример №75

Вычислите значение выражения

Решение:

Пример №76

Найдите значение выражения , если .

Решение:

Если , то

Пример №77

Упростите выражение

Стандартный вид числа

Масса Земли равна 5 980 000 000 000 000 000 000 т, а масса Луны - 73 500 000 000 000 000 000 т. На сколько тонн масса Земли превышает массу Луны?

Попробуйте решить задачу с помощью калькулятора. По-видимому, вы не сможете даже вывести эти числа на дисплей обыкновенного калькулятора, ибо он рассчитан на значительно меньшее количество знаков. Выполнять вычисление в столбик с такими большими числами также неудобно:

Для упрощения записей больших чисел и выполнения действий над ними используют специальные правила их записи. Очень большие числа со многими нулями записывают при помощи степеней числа 10. Например,

Десятичные дроби со многими нулями после запятой тоже записывают при помощи степеней числа 10, но только с отрицательным показателем степени. Более детально такие степени вы будете изучать в старших классах, а пока поймите самое главное.

Рассмотрим две последовательности чисел:

Первым трем числам первой последовательности соответствуют степени числа . Обратите внимание: если показатель степени числа 10 уменьшить на 1, то степень уменьшится в 10 раз. Распространяя это свойство на последующие члены первой последовательности, можно рассматривать степени с целыми отрицательными показателями, в частности:

и т.д.

Понять целесообразность таких обозначений поможет представление десятичных дробей в виде обыкновенных дробей и их степеней.

Очень малые числа со многими нулями после запятой удобно записывать при помощи степеней числа .

Пример:

, тогда . Запись числа в виде , где - целое, называют стандартным видом числа. Число в такой записи называют порядком данного числа.

Запишем в стандартном виде числа, какими выражаются массы Земли, Луны и маленького муравья.

Числа, записанные в стандартном виде, используют физики, астрономы, инженеры, микробиологи и другие специалисты. Записанные так числа можно умножать, делить, складывать и вычитать.

Рассмотрим сначала, как можно умножать и делить степени числа 10.

Рассмотренные примеры можно обобщить.

Для любых целых чисел и верны равенства:

Используя эти свойства степеней и законы действий, числа, записанные в стандартном виде, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Например, если и , то

В последнем примере использовано основное свойство отношения.

Сейчас на Земле живет примерно человек. Можно ли считать точным это число, то есть 6 500 000 000? Нет, это приближенное значение, округленное до миллиардов. Все нули в числе 6 500 000 000 - цифры не точные, а полученные в результате округления. В нем только две значащие цифры - 6 и 5. Все другие цифры не значащие. Если значение величины записано в стандартном виде , то число - точное, все его цифры значащие. А все нули, которые получены при умножении на , являются результатом округления. Число содержит только две значащие цифры 2 и 5.

Выполнение заданий:

Пример №78

Масса Земли равна т, а масса Луны - т. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны?

Решение:

Ответ. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.

Пример №79

Сравните числа и .

Решение:

Поскольку показатель степени числа на 1 больше показателя степени , то говорят, что число на порядок выше числа . На порядок - это означает примерно в 10 раз, на 2 порядка - примерно в 100 раз.

Пример №80

Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел

Решение уравнений

Как вы уже знаете, уравнение - это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Корнем (или решением) уравнения называют то значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Зная отрицательные числа, можно решать и такие уравнения, какие раньше вы решать не умели.

Напомним, если к равным числам прибавить одно и то же число, то суммы будут равными. То есть, если то и

Уравнение - также равенство. И к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. Полученное уравнение имеет такой же корень, как и данное уравнение.

Например, уравнение имеет корень 3. Если к обеим его частям прибавим число —7, то получим уравнение , корень которого тоже равен —3. Полученное уравнение от данного отличается только местом слагаемого 7. Это слагаемое перенесено с левой части уравнения в правую с противоположным знаком.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив знак на противоположный.

Переносить из одной части уравнения в другую можно и неизвестные слагаемые. Например, решая уравнение можно его слагаемое перенести из правой части в левую. Уравнение имеет тот же корень, что и данное уравнение.

Обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Выделенные выше два утверждения - основные свойства уравнений. Они доказываются в старших классах. С их помощью можно решать много уравнений.

Пример №81

Решите уравнение

Решение:

Описывать в решении, куда переносим то или иное слагаемое, не обязательно. Способ решения уравнений на основании их свойств удобней и более общий, чем способ решения уравнений на основании зависимостей между компонентами действий, каким вы пользовались до сих пор.

Чтобы решить уравнение, содержащее обыкновенные дроби, можно воспользоваться вторым свойством.

Решим к примеру уравнение Умножим обе его части на 14. Имеем

Выполнение заданий:

Пример №82

Проволоку длиной 250 м разрезали на три части так, что одна из них оказалась на 25 м короче другой и на 45 м длиннее третьей. Найдите длины этих частей проволоки.

Решение:

Длину первой части проволоки обозначим м, тогда длина второй части проволоки равна м, а третьей - м. Так как сумма этих длин равна 250 м, то , или . Тогда

Ответ. 90 м, 115 м и 45 м.

Пример №83

Найдите два числа, сумма которых равна —3, а половина первого равна четвертой части второго.

Решение:

Пусть первое число равно . Тогда второе равно -

Половина первого числа , а четвертая часть второго . Согласно условию задачи . Умножим обе части уравнения на 4.

Ответ. —1 и —2.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые образуют при пересечении четыре угла (рис. 133). Если один из этих углов прямой, то и все другие - тоже прямые. Если , то и (рис. 134). Почему?

Две прямые, которые при пересечении образуют прямые углы, называются перпендикулярными прямыми. Прямые и изображенные на рисунке 134, перпендикулярные. Пишут или .

Отрезки и лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Например, стороны АВ и AD прямоугольника ABCD перпендикулярные (рис. 135). Стороны прямого угла также перпендикулярны.

Через данную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой . Это можно сделать при помощи угольника (рис. 136).

Две прямые могут и не пересекаться (рис. 137).

Две прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называются параллельными прямыми.

Параллельными, например, являются линии тетради «в линейку», линии нотного стана, рельсы железнодорожного пути. Если прямые и параллельные, то пишут или

Два отрезка или луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD - прямоугольник (см. рис. 135), то

Через любую точку Р, которая не лежит на прямой , можно провести прямую, параллельную прямой . Для этого можно через точку Р провести прямую , перпендикулярную прямой , а потом прямую , перпендикулярную прямой (рис. 138). При таком построении всегда . Можно воспользоваться линейкой и угольником (рис. 139).

Четырехугольник, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, называется параллелограммом (рис. 140). Каждая сторона параллелограмма равна противоположной стороне. Каждый угол параллелограмма равен противолежащему углу.

Параллелограмм с прямыми углами - прямоугольник, параллелограмм с равными сторонами - ромб (рис. 141, а). Прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямыми углами) - квадрат (рис. 141, б).

Каждые ли две прямые, которые не пересекаются, являются параллельными? Нет. Прямые и , одна из которых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость (рис. 142), не параллельны. Так же не параллельны ребра АК и ВС куба, изображенного на рисунке 143. Так как они не лежат в одной плоскости.

Выполнение заданий:

Пример №84

На рисунке 143 изображен куб ABCDKPТМ. Параллельны ли прямые АК и BP? А отрезки АК и BP? Перпендикулярны ли прямые АК и АН?

Решение:

Прямые АК и BP лежат в одной плоскости (в плоскости квадрата АВРК) и не пересекаются. Поэтому АК || BP. Отрезки АК и BP лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны.

Прямые АК и АВ пересекаются в точке под прямым углом, поскольку все углы квадрата прямые. Следовательно, .

Координатная плоскость

Как известно, каждому рациональному числу на координатной прямой отвечает определенная точка. Например, на координатной прямой, изображенной на рисунке 148, числу - 2 соответствует точка А, а числу 2,5 — точка В. Говорят и так: точке А соответствует число - 2, а точке В - число 2,5. То есть место точки на прямой можно однозначно задать числом. Подобно этому можно определять числами и место точки на плоскости, на глобусе, на географической карте. Только в этих случаях надо указать не одно число, а пару чисел. Например, определяя место какого-нибудь пункта на географической карте, указывают два числа: долготу и широту.

Рассмотрим, как можно задать парой чисел точку на плоскости. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в их общем начале координат - точке О (рис. 149). Одну из этих координатных прямых, которая расположена горизонтально, обозначают буквой и называют осью абсцисс.

Вертикальную координатную прямую называют осью ординат. Их положительные направления указаны стрелками. Точку О называют началом координат. Единичные отрезки на обеих осях в большинстве случаев считаются равными. Объединение двух таких координатных

прямых называют системой координат. Если на плоскости есть система координат, то ее называют координатной плоскостью.

Каждой паре рациональных чисел на координатной плоскости соответствует определенная точка. Например, паре чисел 4 и 2 соответствует точка М (рис. 150). Говорят, что абсцисса точки М равна 4, а ордината 2. Пишут: М(4; 2). Точка К имеет абсциссу «3 и ординату 1, точка Р -абсциссу 0 и ординату-3. Пишут: К{- 3; 1), Р(0; -3). Первой всегда пишут абсциссу. Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки.

Рассмотренную систему координат впервые использовал французский ученый Р. Декарт. Поэтому ее называют декартовой системой координат. Она состоит из двух прямолинейных осей, пересекающихся под прямым углом в точке O(0;0). Единичные отрезки на обеих ее осях равны. Хотя со временем вы ознакомитесь и с такими системами координат, у которых координатные оси имеют разные масштабы. Существуют также другие системы координат. Их рассматривают в старших классах и высших учебных заведениях.

Своеобразную систему координат - сетку из параллелей и меридианов - используют географы. Географические координаты -долготу и широту — обычно выражают в градусах. Начало гeorpaфической системы координат -точка О - это точка пересечения экватора с начальным меридианом, который проходит вблизи Лондона (рис. 151). Меридиан, который проходит через Киев, пересекает экватор в такой точке А, что углы ОСА и AСК равны примерно 30,5° и 50,5°. Поэтому говорят, что географические координаты Киева равны примерно 30,5° восточной долготы и 50,5° северной широты.

Графики

Координатную плоскость часто используют для построения графиков. Рассмотрим к примеру график изменения температуры.

Представим себе, что температуру воздуха измеряли в течение суток каждые два часа. Результаты измерений записали в таблицу.

Данные этой таблицы показывают соответствие между временем и температурой воздуха: в полночь температура была 3 °С, в два часа термометр показывал 1 °С и т. д. Чтобы лучше видеть, как изменялась температура, строят ее график. Для этого проведем оси координат. На оси абсцисс будем обозначать время (часы, в которые измеряли температуру), а на оси ординат - соответствующие показания термометр. Отмечаем точки, координаты которых - пары чисел из приведенной выше таблицы: паре чисел 0 и 3 соответствует точка с координатами 0 и 3 и т. д. (рис. 157).

Представим теперь, что температуру воздуха измеряли не через каждые два часа, а через каждые полчаса. Тогда в таблице было бы больше пар чисел, а на координатной плоскости - больше точек (рис. 158, а). А если бы температуру воздуха измеряли непрерывно, то все точки на координатной плоскости слились бы в непрерывную линию (рис. 158, б). Эта линия - график температуры воздуха. Из графика наглядно видно, что до 8-и часов температура снижалась, от 8-и до 18-и — повышалась, а потом снова снижалась; что в промежутке между 4-я и 11-ю часами она была «минусовой» и т. д.

Графики бывают различными, чаще всего - это линия на координатной плоскости. Такой график наглядно показывает, как изменяются значения одной величины от изменения значений другой величины. Масштабы на осях могут быть разными. Рассмотренный график изменения температуры воздуха со временем - кривая линия. А некоторые графики - прямые, лучи, отрезки, ломаные или объединение таких линий с кривыми. Например, графиком прямой пропорциональности является прямая или часть прямой, которая проходит через начало координат. Рассмотрим пример.

Если человек 4 ч движется равномерно со скоростью 5 км/ч, то графиком его движения является отрезок, изображенный на рисунке 159.

Как вы уже знаете, две величины называются обратно пропорциональными у если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой уменьшаются во столько же раз. Например, скорость движения и время

, в течение которого тело проходит определенное расстояние s, - величины обратно пропорциональные: . За какое время можно преодолеть расстояние 100 км, если двигаться с различными скоростями? Это видно из таблицы:

Если нанести на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данным этой таблицы, и провести через них плавную кривую, получим график рассматриваемой зависимости (рис. 160). Графиком каждой обратно пропорциональной зависимости величин является аналогичная кривая линия.

Существуют приборы (термограф, барограф, кардиограф и др.), которые сами вычерчивают графики, специалисты должны уметь их «читать». Больше о различных графиках вы узнаете в старших классах.

Выполнение заданий:

Пример №85

Построим график движения велосипедиста, который 2 ч ехал со скоростью 10 км/ч, потом 1 ч отдыхал, после чего с такой же скоростью ехал еще 2 ч.

Решение:

Описанной ситуации отвечает приведенная ниже таблица.

Нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых отвечают данным этой таблицы, соединим их отрезками и получим график движения велосипедиста (рис. 161).

Исторические сведения:

Отрицательные числа рассматривали китайские математики еще в V в. до н. э. Положительные числа они писали красной краской, а отрицательные черной. Однако отрицательные числа сначала использовали только некоторые ученые.

В Индии начиная с VII в. отрицательные числа связывали с долгом, а положительные — с имуществом. Правила действий с отрицательными и положительными числами сформулировали так: «сумма двух долгов есть долг», «сумма имущества и долга равна их разности», «произведение двух долгов является имуществом».

В Европе отрицательные числа стали известными только в XV в. Пользовались ими очень редко. Большинство европейских математиков называли их ненастоящими, вымышленными, абсурдными, ложными числами. Только начиная с XVTI в., когда ученые все чаще стали использовать координаты точек, они постепенно смирились с отрицательными числами. Теперь математика, физика и другие науки не могут обойтись без отрицательных чисел.

Название рациональные числа происходит от латинского слова «ratio», которое означает отношение. Ведь каждое рациональное число равно отношению некоторых двух целых чисел.

Латинские слова «plus» и «minus» означают соответственно больше и меньше.

Системы координат и графики уравнений первым стал рассматривать французский математик XVII в. Рене Декарт (1596-1650). Поэтому часто говорят о декартовой системе координат. Такие системы координат, графики и диаграммы сейчас используются во всех науках.

Простейшие уравнения ученые Древнего Египта решали почти 4 тысячи лет назад. Неизвестное число в уравнении они называли словом куча и предлагали, например, такие задачи.

Куча и ее седьмая часть составляют 19. Найдите кучу.

Этой задаче отвечает уравнение

Обратите внимание на свойство, сформулированное на с. 242.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Это очень важное свойство, оно позволяет сравнительно легко решать много уравнений, которые без знания этого свойства решать очень трудно. Впервые это свойство обнаружил арабский математик IX в. Муххамед аль-Хорезми (Муххамед из Хорезма). Назвал он его словом «аль-джебр», которое означает восстановление. Дело в том, что раньше отрицательные числа считались ненастоящими. Если же отрицательное число перенести из одной части уравнения в другую, оно переходило из ненастоящего в настоящее, в этом усматривали его восстановление. Название книги, где впервые рассматривалось это свойство, начиналось словом Аль-джебр. Европейцы, сделав перевод книги на латинский язык, назвали ее словом Algebr. Вот так и возникла новая математическая наука - алгебра.

Перпендикулярные и параллельные прямые грамотные и мастеровые люди рассматривали еще несколько тысячелетий назад. Две прямые могут быть не только перпендикулярными или параллельными, но могут пересекаться под острыми углами или быть скрещивающимися. Более детально это и взаимное расположение других геометрических фигур рассматривает наука геометрия.

Самым древним разделом математики является арифметика - наука о числах и действиях с ними. В переводе с греческого «арифмос» означает число. Арифметика, как и геометрия, возникла в Древней Греции, еще до новой эры в процессе практической деятельности людей, связанной со счетом и измерениями. Учебный предмет с названием арифметика еще совсем недавно изучали в школе до 6-го класса.

Во всех старших классах средних школ изучают алгебру и геометрию. Это очень важные, полезные и интересные учебные дисциплины. Раздел «Рациональные числа» этого учебника - естественное введение в алгебру и геометрию, которые вы будете изучать, начиная с 7-го класса.

Главное в разделе:

В этом разделе вы ознакомились со множеством рациональных чисел. Это множество содержит все целые и дробные числа. Целые числа - это все натуральные числа, противоположные им числа (целые отрицательные) и нуль:

...-4, -3, -2, -1. О, 1, 2. 3, 4. 5,...

Любые два целых числа можно складывать, вычитать, умножать; в результате каждый раз будем получать целое число.

Модулем рационального числа называется это же число, если оно неотрицательное, или противоположное ему число, если оно отрицательное.

Каждое отрицательное число меньше нуля и каждого положительного числа; из двух отрицательных больше то, модуль которого меньше.

Любые два рациональных числа можно сложить, вычесть, умножить или разделить (за исключением деления на 0); в результате каждый раз получим рациональное число.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак слагаемого с большим модулем.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Выражение, содержащее сложение и вычитание рациональных чисел, можно заменить суммой.

Чтобы умножить два отрицательных числа, достаточно умножить их модули.

Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком минус.

Произведение, которое содержит четное число отрицательных множителей, - положительное, а содержащее нечетное число отрицательных множителей, - отрицательное.

Частное двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их модулей. Если знаки делимого и делителя разные, то перед частным их модулей надо поставить знак минус. Делить на 0 нельзя.

Основное свойство уравнения. Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, корни которого те же, что и данного.

Графиком (в простейших случаях) называют линию на координатной плоскости, которая показывает, как изменяются значения одной величины с изменением значений другой.