Расчет ферм в теоретической механике

Содержание:

Расчет ферм:

При устройстве перекрытий, постройке мостов, кранов, мачт для высоковольтных линий и т. п. применяются конструкции, называемые фермами.

Фермой называется геометрически неизменяемая система, состоящая из невесомых стержней, соединенных между собой по концам шарнирами. Места соединения стержней между собой называются узлами фермы.

Обычно в фермах соединение стержней в узлах осуществляется при помощи клепки или сварки, шарнирное же соединение стержней вводится лишь для облегчения расчета ферм, что приводит к сравнительно небольшим ошибкам в вычислении по сравнению с действительными конструкциями.

Фермы, у которых оси всех стержней расположены в одной плоскости, называются плоскими. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением плоских ферм.

Всякая ферма состоит из ряда стержневых треугольников, соединенных в узлах шарнирно (рис. 79).

Рис. 79.

Для образования фермы мы должны взять основной треугольник, хотя бы abc, и к нему последовательно присоединять каждый узел d, е и т. д. двумя стержнями. Если ферма состоит из

При расчете фермы, т. е. при определении усилий во всех ее стержнях, мы можем для каждого узла составить два уравнения равновесия, а для узлов уравнений.

Отсюда следует, что число неизвестных усилий, определяемое числом стержней, сложение с числом опорных реакций не должно превышать общего числа уравнений статики , в противном случае задача будет статически неопределимой.

Для определения усилий в стержнях ферм обычно применяют один из следующих трех способов: последовательное вырезание узлов, построение диаграммы Кремона, проведение сквозных сечений (Риттера).

При применении каждого из перечисленных способов следует предварительно по заданным силам, приложенным к ферме, определить опорные реакции (аналитически или графически) и только после этого переходить к определению усилий в стержнях фермы.

Определение усилий по способу последовательного вырезания узлов

Определение усилий по способу последовательного вырезания узлов заключается в том, что последовательно рассматривают равновесие каждого узла фермы и для рассматриваемого узла либо составляют два уравнения равновесия в форме и , а затем эти уравнения решают, либо строят замкнутый многоугольник сил, сходящихся в узле. 

При этом порядок рассмотрения равновесия узлов безразличен, лишь бы в рассматриваемом узле число неизвестных усилий не превышало двух.

Выясним применение этого способа на отдельных примерах.

Задача №1

Найти усилия в стержнях DA, АВ, BD, ВС и DC шарнирного кронштейна, если к шарниру В приложена вертикальная сила Q=2 т  (рис. 80).

Рис. 80.

Решение. Начнем с рассмотрения равновесия узла А, так как здесь сходятся два неизвестных усилия. Вырежем узел А и взамен пересеченных стержней введем силы (рис. 80, б). При рассмотрении равновесия каждого узла, неизвестные усилия стержней условимся всегда направлять от узла, т. е. будем предполагать растяжение. Составляя уравнения равновесия, имеем:

Вырежем теперь узел В и рассмотрим его равновесие (рис. 80, в):

откуда получаем:

Переходим к рассмотрению равновесия узла С (рис. 80, г):

откуда находим:

Составляя уравнения равновесия для точки D (рис. 80, д), имеем:

откуда

Для усилия получился знак минус; следовательно, стрелки усилия будут направлены к узлам В и С; отсюда заключаем, что стержень ВС сжат.

Правильное направление стрелок усилий показано на рисунке 80, а.

Иногда при определении усилий в стержнях полезно сразу выделить те стержни, усилия в которых равны нулю (нулевые стержни). Из рассмотрений равновесия узлов А и С (рис. 80, б и. 80, г) заключаем:

1.    Если имеется узел А, в котором сходятся два стержня, то при отсутствии других сил, приложенных к узлу, усилия в этих стержнях равны нулю.

2.    Если имеется узел С, где сходятся три стержня, из которых два направлены по одной прямой, а третий примыкает к узлу под любым углом, то при отсутствии других сил, приложенных к узлу, усилие в третьем стержне равно нулю. На основании этого можно сказать, что усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6 фермы (рис. 79) равны нулю.

Задача №2

Сцепка состоит из четырех тросов АО, ВО, АС и ВС, образующих квадрат (рис. 81, а).

Между точками А и В по диагонали квадрата вставлен брус, а в точках А, В и С приложены вертикальные силы Q = 500 кГ каждая. Определить натяжения в частях тросов АО, ВО, АС и ВС и усилие S в брусе АВ.

Решение. Из рассмотрения равновесия точки С (рис. 81, б) имеем:

откуда: 

Переходим к рассмотрению равновесия узла А (рис. 81, в):

откуда

Рис. 81.

В силу симметрии узлов А и В заключаем, что . Переносим правильное направление стрелок усилий и на рисунок 81, а.

Задача №3

В точках А и F шарнирной стержневой системы (рис. 82, а), внешний контур которой совпадает со сторонами правильного шестиугольника, приложены силы , направленные по одной прямой. Найти усилия в стержнях АВ, BC...FO.

Рис. 82.

Решение. Эту задачу проще всего решить геометрическим способом, построив для каждого из узлов замкнутый треугольник сил. Рассмотрим сначала равновесие точки А (можно F). Отложим в выбранном масштабе силу Р (рис. 82, б) и из начала и конца этой силы проведем направления, параллельные стержням 1 и 6, до их взаимного пересечения. В полученном треугольнике равновесия стрелки сил , определяемые стрелкой известной силы Р, идут в одном направлении. При переносе стрелок сил с треугольника равновесия на рисунок 82, а видно, что стержень 1 растянут, а стержень 6 сжат. 

При построении треугольника равновесия для точки В известной нам силой является реакция . Проводя из начала и конца силы направления, параллельные стержням 2 и 7, найдем из полученного треугольника равновесия реакции (рис. 82, б). Для каждого из узлов получается равносторонний треугольник равновесия, а отсюда следует, что и . Знак минус условно обозначает сжатие стержня.

Задача №4

Способом последовательного вырезания узлов определить усилия во всех стержнях ферм (рис. 83 и 84).

Рис. 83.                                                                         Рис. 84.

Ответ (к рис. 83).

Таблица 1

Ответ (к рис. 84).                    

Таблица 2 

Определение усилий в стержнях ферм по способу построения диаграммы Кремона

Идея этого графического способа проста и заключается в построении для узлов фермы, находящихся в равновесии, замкнутых многоугольников сил, образующих диаграмму.

Пусть требуется найти усилия во всех стержнях фермы (рис. 85, а) при действии на нее заданных сил 2 т и 8 т. Известными нам способами находим, что левая опорная реакция равна 4 т, а правая 6 т.

Для облегчения построения диаграммы введем в рассмотрение внешние и внутренние поля. Под внешними полями будем понимать части плоскости, ограниченные с боков внешними силами (заданными и реактивными) и внешним контуром фермы, под внутренними полями — части плоскости, ограниченные стержнями фермы.

Рис. 85.

Условимся нумерацию внешних полей 1, 2, 3 и 4 (рис. 85, а) производить по направлению движения стрелки часов, внутренних 5, 6, 7, 8 — слева направо, а усилия, сходящиеся в каждом узле обозначать двойными цифрами смежных полей, производя обход усилий в каждом узле по часовой стрелке. Так, например, в узле а сходятся три усилия: в узле с — пять усилий: и т. д.

Выбрав масштаб сил, например , строим многоугольник внешних сил 1—2, 2—3, 3—4, 4—1 (рис. 85, б). B нашем случае многоугольник сил обращается в прямую. При этом нумерацию вершин многоугольника проводим согласно имеющемуся на чертеже направлению сил. Так, например, откладывая на многоугольнике сил отрезок 1—2, изображающий в масштабе силу 1—2, мы ставим цифру 1 внизу, а цифру 2 вверху, так как сила 1—2 направлена снизу вверх.

Построение диаграммы следует начинать для того узла, в котором сходятся не более двух стержней. В нашем случае такими узлами являются и . Начнем построение с узла . Производим обход всех усилий, начиная с известных, которые сходятся в точке ; такими усилиями являются 1—2, уже имеющиеся на диаграмме, затем неизвестные 2—5 и 5—1. Проводим из точки 2 диаграммы линию, параллельную стержню 2—5, а из точки 1 направление, параллельное 5—1 в пересечении этих направлений получаем точку 5. Вернее при определении неизвестных усилий параллельные направления на диаграмме следует проводить из тех точек, которые повторяются один раз, как, например, 2 и 1; в пересечении этих направлений получаем ту точку, которая повторяется два раза, например 5.

Теперь можно перейти к следующему узлу, где сходятся два неизвестных усилия; таким узлом является . В точке сходятся усилия: 1—5, имеющиеся на диаграмме, затем неизвестные 5—6 и 6—1. Из точки 5 диаграммы проводим направление, параллельное стержню 5—6, а из точки 1 направление, параллельное стержню 6—1; в пересечении этих направлений получаем на диаграмме точку 6.

Переходим к узлу с. Здесь сходятся усилия 6—5, 5—2, 2—3, имеющиеся на диаграмме, и неизвестные 3—7 и 7—6. Проводим из точки 3 диаграммы направление, параллельное стержню 3—7, а из точки 6 направление, параллельное стержню 7—6; в пересечении этих направлений получаем на диаграмме точку 7. Подобные построения можно провести для остальных узлов. Узел  является лишь поверочным, так как здесь сходятся усилия, которые определились после построений, произведенных для узлов d и e.

Имея диаграмму Кремона (рис. 85, б), можно:

1.    Проверять правильность построенной диаграммы, основываясь на том, что многоугольник сил для каждого узла должен быть замкнут. Возьмем, например, узел d, в котором сходятся усилия 7—3, 3—4, 4—8, 8—7. Мы видим, что эти усилия на диаграмме образуют замкнутый многоугольник.

2.    Определять величину и знак усилия в любом стержне, примыкающем к какому-либо узлу. Так, например, если возьмем стержень 3—7, примыкающий к узлу с (если бы мы переставили цифры и рассматривали стержень 7—3, то тогда мы обязаны были бы его отнести к узлу d), то на диаграмме величина усилия, возникающего в этом стержне, выражается отрезком 3—7, умноженным на масштаб, а направление будет к узлу с, так как на диаграмме усилие 3—7 читается от 3 к 7, т. е. справа налево. Точно так же усилие в стержне 7—6 изобразится на диаграмме отрезком 7—6, умноженным на масштаб α , а направление усилия будет от узла с, так как при чтении усилия 7—6 на диаграмме оно направлено от 7 к 6, т. е. сверху вниз по диагонали. Следовательно, в первом случае мы имеем сжатие (—), во втором — растяжение (+).

Задача №5

Определить усилия в стержнях ферм путем построения диаграммы Кремона (рис. 86, а и 87, а).

Рис. 86.

Рис. 87.

Решение. На рисунках 86, б и 87, б приведено построение диаграмм.

Определение усилий в стержнях ферм по способу сквозных сечений

Особенность этого способа состоит в том, что он позволяет определять усилие в любом стержне фермы, не определяя усилий в остальных стержнях, что во многих случаях является удобным.

Выясним применение этого способа на отдельном примере.

Пусть дана ферма (рис. 88, а), стержни которой образуют между собой углы в 45° и 90°. Определим сначала величины опорных реакций аналитически или способом веревочного многоугольника. Нетрудно видеть, что

Пронумеровав стержни, можно перейти к определению усилий, возникающих в стержнях, по способу сквозных сечений. Положим, требуется найти усилие в стержне 1 (рис. 88, а), Для этого перерезаем стержень 1 сквозным сечением с таким расчетом, чтобы этим сечением было захвачено три стержня. В нашем случае в сечение, помимо стержня 1, попали еще стержни 3 и 4.

Рассмотрим теперь равновесие одной из частей фермы, расположенной слева или справа от проведенного сечения. В данной задаче удобнее выделить левую часть, так как на нее действует меньше сил (рис. 88, б).

Взамен отброшенной правой части прикладываем реакции стержней , при этом, не зная правильного направления стрелок этих реакций, направляем их к отсеченной части. Теперь выделенная левая часть (рис. 88, б) находится в равновесии под действием сил , из которых три последние нам неизвестны. Путем составления трех уравнений равновесия (36) можно было бы определить усилие но при этом неизбежно пришлось бы заодно находить и усилия и . Нам же по условию требуется определить только усилие в стержне 1, для чего нужно иметь только одно уравнение, но такое, в которое не вошли бы усилия и .

Рис. 88.

Нетрудно видеть, что таким. уравнением является уравнение моментов относительно той точки, где пересекаются линии действия усилий (на чертеже эта точка обозначена через 3,4):

откуда

Чтобы определить усилие в стержне 3, следует составить уравнение моментов относительно точки 1, 4, где пересекаются стержни 1 и 4:

откуда

Для определения усилия в стержне 4 составим уравнение моментов относительно точки 1, 3 пересечения стержней 1 и 3:

откуда

Знак минус указывает на то, что стержень 4 сжат,

Точки 1, 3; 3, 4 и 1, 4, выбранные таким образом, приводят нас к уравнениям равновесия (36, б).

При определении усилия в стержне 6 проводим сквозное сечение через стержень 6 (рис. 88, а) так, чтобы оно пересекло три стержня; это можно сделать, захватив стержни 6, 5 и 4 или 6, 7 и 8. Остановимся на последнем варианте и рассмотрим равновесие правой части, так как на нее действует меньше сил. Опять же стрелки неизвестных реакций и направляем к отсеченной части (рис. 88, в).

Для определения усилия составляем уравнение моментов относительно точки 7, 8 пересечения двух других стержней:

откуда

При определении усилия в стержне 7 следовало бы составить уравнение моментов относительно точки 6, 8, пересечения стержней 6 и 8, но эти стержни параллельны и точка 6, 8 получается в бесконечности; в этом случае вместо уравнения моментов составляют уравнение проекций на ось, перпендикулярную к линиям действия тех реакций стержней, которые параллельны:

откуда

Подобным же способом можно определить усилия и в остальных стержнях.

Преимущество изложенного способа заключается в том, что здесь мы можем определить усилие в любом стержне, не определяя усилий в остальных стержнях.

Рис. 89.

Задача №6

Определить по способу сквозных сечений усилия во всех стержнях фермы (рис. 89).

Указание: предварительно определяем реакцию и принимаем ее за известную силу.

Ответ (к рис. 89) см. в таблице 3.

Таблица 3

Задача №7

По известному усилию в стержне , равному , определить усилия во всех стержнях фермы (рис. 90).

Рис. 90.

Ответ (к рис. 90) см. таблицу 4.

Таблица 4

Статически определимые фермы. Методы вырезания узлов и сквозного сечения

Плоская или пространственная неизменяемая конструкция, составленная из шарнирно соединенных между собой стержней, называется фермой.

На рис. 135 изображена простая плоская ферма (пример пространственной фермы приведен в § 19-4).

Если число узлов (шарниров) фермы n, а число стержней k, то в простой плоской ферме соблюдается условие

k=2n + 3

Ферма называется статически определимой, если усилия во всех стержнях фермы, нагруженной в шарнирах, можно определить при помощи уравнений равновесия.

Все. плоские простые фермы статически определимы.

Для определения усилий в стержнях ферм употребляются графические или аналитические методы. Рассмотрим только аналитические методы: метод вырезания узлов (задача 103-17) и метод сквозного сечения—метод Риттера (задача 104-17).

При использовании метода вырезания узлов необходимо придерживаться следующего порядка:

• а)    выяснить, какие нагрузки действуют на ферму, как они направлены и где приложены, а затем определить реакции связей, используя уравнения равновесия Правильность этой части решения нужно обязательно проверить: для проверки можно использовать любое дополнительно составленное уравнение равновесия;
• б)    затем следует определить усилия в стержнях фермы, начиная с того узла, на который действуют не более двух неизвестных сил, так как в каждом случае на узел действует система сходящихся сил и, следовательно, для одного узла можно составить лишь два уравнения равновесия;
• в)    вырезав узел, необходимо заменить действие на узел отброшенной части фермы усилиями, действующими вдоль стержней, считая при этом, что все стержни растянуты, а затем составить уравнения равновесия;
• г)    путем перехода от узла к узлу определяют усилия во всех стержнях, один из узлов при этом остается нерассмотренным; составив уравнения равновесия для этого узла, можно проверить правильность решения задачи.

При определении усилий в стержнях ферм по методу сквозного сечения необходимо придерживаться следующего порядка:

• а)    прежде всего, так же как и при методе вырезания узлов, выявив все нагрузки, определить реакции опор;
• б)    мысленно разрезать фермы на две части таким образом, чтобы разрез проходил не более чем через три стержня, усилия в которых неизвестны"1, и, отбросив одну из частей, заменить действие отброшенной части на оставшуюся усилиями, направленными вдоль стержней, предполагая при этом, что все разрезанные стержни (с неизвестными усилиями) растянуты;
• в)    составить три уравнения равновесия; при выборе направлений осей проекций, а также центра моментов нужно исходить из того, чтобы в каждое из уравнений по возможности входило не более одной неизвестной силы.

Задача №8

Определить усилия в стержнях фермы, нагруженной, как показано на рис. 136, а, тремя силами: Размеры фермы показаны на рисунке.

Решение — методом вырезания узлов.

1.    Освободим ферму от связей и заменим связи их реакциями. Действие подвижного шарнира А заменим реакцией а действие неподвижного шарнира В — двумя составляющими так как направление полной реакции этого шарнира неизвестно (рис. 136,6).

Составим три уравнения равновесия:

Подставив в эти уравнения числовые значения и решив находим (вычисления рекомендуем произвести самостоятельно):

* При разрезании фермы через четыре и большее число стержней образуется плоская система сил с четырьмя или соответственно большим числом неизвестных. Так как для произвольной плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, задачу решить нельзя.

Для проверки можно использовать уравнение проекций сил на ось у или уравнение моментов сил относительно точки С (или D, или Е, или F).

2.    Вырежем узел А, заменив действие на узел отброшенной части фермы силами направленными вдоль стержней 1 и 2 от узла А (рис. 137), предполагая, что стержни растянуты. Расположим оси проекции так, чтобы ось х совпала с направлением

силы а ось у—с направлением реакции Замечая, что угол DAC=а = 45° (так как АС —DC), составим два уравнения равновесия:

Из уравнения (2)

(стержень 1 сжат).

Из уравнения (1)

(стержень 2 растянут).

3.    Вырежем узел С, заменив действие на узел отброшенной части фермы силами : расположив оси проекций, как показано на рис. 138, составим уравнения равновесия:

Отсюда

(стержень 6 растянут);

(стержень 3 растянут).

4.    Вырежем узел D. В этом случае узел находится в равновесии иод действием пяти сил, три из них известны:= 10 кн, а две силы нужно определить. Выберем направление осей проекций, как показано на рис. 139. Угол  угол неизвестен, но легко

определить, что (так как в катет

FE=3 л, катет DЕ = 4 м и, следовательно, гипотенуза DF=5 м), a

Составим уравнение равновесия:

Из уравнения (6)

(стержень 5 растянут).

Из уравнения (5)

(стержень 4 сжат).

5.    Вырежем узел Е, к которому приложены четыре силы: две из них известны (), а силы (нужно определить.

Расположив оси проекций, как показано на рис. 140, и замечая, что угол , составим уравнения равновесия:

* Хотя из рассмотрения условия равновесия узла А установлено, что усилие в стержне сжимающее, изображаем ею как -растягивающее. При подстановке числовых значений в уравнение равновесия узла D учитываем знак «минуса.

Из уравнения (7)

(стержень 8 сжат).

Из уравнения (8)

(стержень 7 сжат).

6.    Вырежем узел В, к которому приложены четыре силы: реакции найденное в стержне 8 усилие и неизвестное усилие действующее вдоль стержня 9. Располагая оси проекций как показано на рис. 141 и замечая, во-первых, что во-вторых, что в данном случае нужно определить лишь одну силу (силу ), составляем одно уравнение равновесия:

из которого

(стержень 9 растянут).

Усилия, возникающие во всех стержнях под действием внешних нагрузок, определены. Теперь_ рассмотрим узел F. Вырезав этот узел и составив для сил действующих на него, два уравнения равновесия, проверим их. Если после подстановки в уравнения числовых значений левые части их приведутся к нулю, задача решена правильно.

Найденные значения усилий в стержнях целесообразно представить в виде таблицы:

Задача №9

Определить усилия в стержнях 4, 5 и 6 фермы, нагруженной тремя силами: , как показано на рис. 136, а (ферма задачи 103-17).

Решение.

1.    Так же как и при решении методом вырезания узлов, прежде всего определяем реакции опор; в данном случае они те же, что и в предыдущем примере:

2.    Разрежем ферму через стержни 4, 5 и 6 и, отбросив правую ее часть, заменим действие правой части на левую силами (рис. 142). На левую часть теперь действуют шесть сил, три из них известны (), а три силы () нужно определить.

3.    Составим три уравнения равновесия:

Из уравнения (1)

(стержень 5 растянут).

Из уравнения (2)

(стержень 6 растянут).

Из уравнения (3)

(стержень 4 сжат).

Сравнивая найденные числовые значения усилий в 4, 5 и 6 стержнях фермы с теми, которые для этих же стержней получены в задаче 103-17, видим, что они одинаковы.

Правильность решения здесь можно проверить, составив уравнение проекций сил на ось х. Для проверки это уравнение вполне надежно, так как в него входят все три искомые силы. Проверку решения этим способом рекомендуется произвести самостоятельно.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Ферма и аналитические методы расчета

Постановка задачи:

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры. К узлам фермы приложены нагрузки. Найти усилия в стержнях фермы методом Риттера или методом вырезания узлов.

Август Риттер (1826-1906)— немецкий механик.

Эта задача является усложненным вариантом задачи, где усилия в стержнях можно было легко определить только из уравнений проекций, не находя реакции опор и не привлекая понятие момента силы. Аналогично можно поступить и в этой задаче, однако порядок системы линейных уравнений, описывающей равновесие всех узлов, будет велик, поэтому, во-первых, надежно решить такую систему можно только с помощью компьютера, во-вторых, таким образом будет проделана лишняя работа, так как система уравнений содержит усилия всех стержней, в том числе и тех, которые по условию задачи не требуется определять. Поэтому для решения сложных ферм, содержащих большое число стержней, применим метод Риттера, основная идея которого — независимое определение усилий в стержнях. Эту же идею можно с успехом применять и в других задачах статики.

План решения:

1. Освобождаем ферму от внешних связей. Действие опорных шарниров заменяем их реакциями. Для определения реакций опор составляем три уравнения равновесия.

2. Проверяем найденные реакции, составляя еще одно уравнение равновесия фермы.

3. В тех стержнях, где это возможно, усилия находим методом Риттера . Мысленно разделяем ферму на две части, пересекая три стержня (сечение Риттера). Действие разрезанных стержней заменяем их усилиями, направляя соответствующие векторы из узлов в сторону сечения, предполагая стержни растянутыми.

Рассматриваем равновесие одной из частей фермы (как правило, где меньше нагрузок). Для стержней, усилия в которых необходимо определить, находим точки Риттера (моментные точки). Они являются точками попарного пересечения линий действия сил в рассеченных стержнях. Искомые усилия определяем из уравнений моментов рассматриваемой части относительно точек Риттера.

Если два стержня в сечении параллельны, то точки Риттера для третьего стержня не существует, и для определения усилия в нем необходимо составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным стержням.

В уравнение метода Риттера всегда входит усилие только одного стержня. Это позволяет искать усилия независимо одно от другого,

Другие названия— метод сечений, метод моментных точек.

уменьшая тем самым возможность ошибок и избегая накопления неизбежных погрешностей округления в численных расчетах.

4. Определяем усилия методом вырезания узлов. Этот метод применяют в тех случаях, когда сечения Риттера для нужного стержня не существует. Вырезаем узел фермы, к которому подходит стержень с искомым усилием. Выбираем оси и составляем уравнения равновесия узла в проекциях. Решаем уравнения относительно искомого усилия. Если к узлу подходит более двух стержней с неизвестными усилиями, то метод вырезания узлов можно комбинировать с методом Риттера.

Задача №10

Плоская ферма опирается на неподвижный и подвижный шарниры (рис. 22). К узлам фермы приложены две вертикальные нагрузки Р — 90 кН и две наклонные . Найти усилия в стержнях 1-5.

Решение

1. Освобождаем ферму от внешних связей. Действие опор заменяем их реакциями. Левую (неподвижную) шарнирную опору заменяем двумя составляющими реакции правую (подвижную) — одной вертикальной (рис. 23). Для определения реакций опор составляем три уравнения равновесия — уравнение проекций на горизонтальную ось х и два уравнения моментов относительно опор :

Уравнение проекций на ось у оставим для проверки реакций

Система уравнений состоит из трех независимых друг от друга уравнений, решение которых легко найти, подставив численные значения нагрузок и углов из условия

2. Проверяем найденные вертикальные реакции, составляя уравнение проекций всех сил на ось у:

Горизонтальную реакцию можно проверить, составив еще одно уравнение моментов, например относительно точки D.

3. Методом Риттера находим усилия в стержнях 1, 2, 3. Сечением I-I (рис. 23) мысленно разделяем ферму на две части, пересекая три стержня.Действие разрезанных частей заменяем их усилиями.

Рассматриваем левую часть (рис. 24), на которую действуют четыре известных силы и реакции стержней, направленные из узлов к сечению. Точки Риттера находятся в точках попарного пересечения линий действия сил Номер точки Риттера соответствует номеру рассеченного стержня, который через эту точку не проходит.

Точка находится на продолжении стержня 1. Расстояние до нее легко вычислить, зная угол между стержнем 1 и горизонталью:

Уравнения метода Риттера имеют вид

Находим решение системы:

4. Методом вырезания узлов определяем Вырезаем узел С (рис. 23) и составляем уравнение проекций на ось у (рис. 25), из которого сразу же определяем искомое усилие:

Усилие больше нуля, следовательно, стержень 4 растянут. Усилие в стержне 5 методом Риттера определить нельзя — не существует сечения, делящего ферму на две части и пересекающего при этом три стержня. В этом состоит недостаток метода. Поэтому воспользуемся методом вырезания узлов совместно с методом Риттера. Находим из условия равновесия узла D. К узлу подходят три стержня с неизвестными усилиями. Одно из них — легко найти по методу Риттера. Проводим сечение (рис. 23) и рассматриваем правую часть фермы (рис. 26). Для определения составляем уравнение моментов относительно точки Риттера

Находим Заметим, что для определения усилия по методу Риттера, необходимо составить уравнение проекций на ось у.

Вырезаем узел D и составляем уравнения равновесия (рис. 27):

Исключая находим

Результаты расчетов в кН занесем в таблицу:
 
 

Второе свойство имеет исключения. Существуют фермы, которые одним сечением можно разделить на две, рассекая N > 3 стержней. При этом для одного из стержней существует точка Риттера — точка пересечения остальных N — 1 стержней (подумайте, как выглядит такая ферма).

2. Сечение Риттера не обязательно должно изображаться непрерывной линией. В ферме на рис. 4, с. 15 для определения усилия в стержне АВ надо выполнить разрывное сечение (какое?). Экспериментируя с сечениями, не забывайте про три его основных свойства.

3. Рассматривая одну из частей рассеченной фермы, забудьте на время о существовании другой. Иначе в уравнения равновесия вы можете случайно включить внешние силы или реакции опор отброшенной части.

4. Не стоит беспокоиться, если точка Риттера находится на отрезанной части, располагается где-нибудь далеко или попадает на шарнир. Ее положение может быть где угодно.

5. В уравнения метода Риттера (моментов или проекций) должно войти только одно усилие стержня фермы. В этом основной смысл метода Риттера. Очень часто встречается следующая ошибка. Составляя уравнение, студент неправильно выбирает точку Риттера или составляет не то уравнение, например, уравнение проекций вместо уравнения моментов. При этом в уравнение кроме одного неизвестного усилия входят и другие, ранее найденные. В принципе такое уравнение может быть и верно, и ответ получится верным, но это не метод Риттера, где определение усилий производится независимо одно от другого во избежание накопления ошибок.

6. Положение точки Риттера для каждого стержня не зависит от рассматриваемой части. Однако степень сложности уравнения моментов для разных частей фермы может существенно отличаться. Для большей надежности решения уравнение Риттера (в форме уравнения моментов или уравнения проекций) для одной части может служить проверочным для другой.

7. Проверить расчет можно на компьютере.

Ферма и графический расчет

Постановка задачи:

С помощью диаграммы Максвелла-Кремоны найти усилил в стержнях фермы.

План решения:

Графический метод расчета ферм является дополнением к аналитическим методам расчета, которые вы изучили в предыдущем параграфе. Диаграмма Максвелла-Кремоны состоит из отдельных силовых многоугольников. Каждый многоугольник соответствует равновесию какого-либо узла фермы.

1. Обозначаем усилия в стержнях фермы.

2. Освобождаем ферму от связей. Действие опор заменяем их реакциями. Составляем три уравнения равновесия. Находим реакции.

3. Проверяем найденные реакции, составляя еще одно уравнение равновесия.

4. Изображаем все силы, действующие на ферму (включая найденные аналитически реакции опор), в виде векторов вне фермы. Если реакция опоры отрицательная, то заменяем ее направление на противоположное. Для графического способа требуются только реальные направления реакций.

5. Обозначаем буквами или цифрами внешние поля — области чертежа, разделенные силами и стержнями фермы.

Джеймс Максвелл (1831-1879) — шотландский физик, математик, астроном. Антонио Кремона (1830-1903) — итальянский математик.

6. Обозначаем буквами или цифрами внутренние поля — области, ограниченные стержнями фермы.

7. Внешним нагрузкам и усилиям в стержнях даем новые имена — по соседним с силой (или стержнем) полям.

8. Построение диаграммы Максвелла-Кремоны начинаем с многоугольника внешних сил. Выберем направление обхода фермы (по часовой стрелке или против). Начинаем с произвольной силы. Откладывая ее в масштабе и соблюдая направление, обозначаем на диаграмме начальную и конечную точку строчными буквами, соответствующими ее новому обозначению по направлению обхода. Следующая сила пристраивается к концу первой и т.д. до замыкания многоугольника внешних сил и реакций опор.

9. Строим точки внутренних полей на диаграмме. Точку, соответствующую внутреннему полю, можно найти, если у этого поля построены точки двух соседних с ней полей.

Таким образом, начинать графический расчет можно с поля, у которого имеется два соседних с ним внешних поля, уже отмеченные на диаграмме. Искомая точка лежит на пересечении прямых, параллельных стержням, имена которых состоят из имени искомой точки и точек найденных внешних полей. Этот пункт выполняем многократно, до полного построения диаграммы. Модули усилий в стержнях равны длинам соответствующих отрезков на диаграмме.

10. Определяем знаки усилий. Рассматриваем шарнир фермы, к которому подходит какая-либо внешняя нагрузка или стержень с усилием известного знака. Равновесие шарнира изображено на диаграмме замкнутым силовым многоугольником с заданным направлением обхода. Сопоставляя направление усилия на диаграмме и его направление в вырезанном узле, определяем знак усилия. Если направление вектора на многоугольнике совпадает с направлением вектора, приложенного к узлу, то усилие больше нуля. В противном случае — усилие меньше нуля, т.е. стержень сжат.

Задача №11

С помощью диаграммы Максвелла-Кремоны найти усилия в стержнях фермы (рис. 28). Размеры даны в м.

Решение

1. Обозначаем усилия в стержнях фермы так, как это принято в строительной механике. Усилия в стержнях верхнего пояса (слева направо) — диагонали (раскосы) — усилия в нижнем поясе — (рис. 29)

2. Определяем реакции опор фермы. Реакцию направляем вдоль опорного стержня, т.е. под углом к горизонту (рис. 29). Составляем уравнения равновесия:

Решаем уравнения и получаем следующие значения:

3. Проверяем вертикальные реакции, составляя уравнение проекций на вертикальную ось:

4. Изображаем все силы, действующие на ферму. Реакцию  которая оказалась в результате решения меньше нуля, направляем в противоположную сторону (рис. 30). Величина этой силы

5. Обозначаем внешние поля — области чертежа, разделенные силами и стержнями фермы, — (рис. 31). Чтобы не внести путаницу, не следует использовать буквы  имеющиеся в задаче для обозначения опор и сил.

6. Обозначаем внутренние поля (рис. 31).

7. Внешним нагрузкам и усилиям в стержнях даем новые имена — по соседним с силой (или стержнем) полям. Приведем таблицу соответствия имен.

8. Строим многоугольник внешних сил. Выберем направление обхода фермы по часовой стрелке. Начинаем с произвольной силы, например, F = 20 кН. Откладывая в масштабе эту силу и соблюдая ее направление, обозначаем начальную и конечную точку строчными буквами г и с, соответствующими направлению обхода — из поля I в поле С. Следующая по часовой стрелке нагрузка — вертикальная реакция опоры = 24.24 кН. Строим ее в точке с вслед за силой F. Конечную точку помечаем буквой . Обход фермы продолжаем, пока многоугольник не замкнется. Последней будет сила Р = 30 кН, обозначенная как HI. Конец ее попадает на исходную точку (рис. 32).

9. Строим точки внутренних полей на диаграмме. Точку, соответствующую внутреннему полю, можно найти, если у этого поля построены два соседних с ним поля. Таким образом, начинать графический расчет можно с поля  у которого соседние поля Н и G определены на диаграмме, или К с известными соседними полями Е и С (рис. 31). Рассматриваем поле К. По направлению стержней ЕК и КС проводим линии через точки ей с диаграммы. Точка их пересечения — (рис. 33). Длины равны абсолютным значениям усилий в соответствующих стержнях.На рис. 34-37 показано последовательное получение точек и При получении последней точки автоматически выполняется проверка. Так, если точка строилась на пересечении линий  то проверкой является прямая . Если она параллельна соответствующему стержню , т.е. горизонтальна, то диаграмма построена верно. Заметим, что для форм с большим числом узлов построение диаграммы — трудоемкий процесс. Это связано с недостатком метода вырезания узлов, графической интерпретацией которого является диаграмма Максвелла-Кремоны. Недостаток вызван неизбежным накоплением ошибок округления в процессе последовательного расчета узлов.

10. Определяем знаки усилий. Рассмотрим, например, усилие Ох. Вырезаем узел А, к которому приложено усилиеК этому же узлу приложены два известных вектора реакций опор и еще одно усилие с неизвестным знаком. Как обычно, усилия стержней рисуют выходящими из узла (рис. 38). Затем на диаграмме Максвелла-Кремоны выделяется замкнутый многоугольник сил, изображающий равновесие узла (рис. 39). Направление обхода многоугольника (начало одного вектора совпадает с концом предыдущего) задается по известной силе или по усилию в стержне с ранее определенным знаком.

Здесь обход cdek против часовой стрелки задает реакция опоры 24.24 кН (cd), или = 8.32 кН (de).

Если направление вектора на многоугольнике совпадает с направлением вектора, приложенного к узлу, то усилие больше нуля — стержень растянут. В противном случае — усилие меньше нуля, что соответствует сжатию стержня. Такие усилия на диаграмме изображаются утолщенными линиями. Кроме того, получаем Аналогично определяются знаки и других усилий. Заметим, что особенно эффективно рассматривать узлы, к которым подходит много стержней и приложена хотя бы одна внешняя нагрузка.

Окончательные результаты в кН заносим в таблицу:

• Замечание 1. Точность, с которой можно получить усилия графическим способом, обычно невысока. Результаты с тремя знаками после запятой, данные в таблицах, получены, конечно, не графически, а из решения задачи аналитическим методом вырезания узлов.
• Замечание 2. Графический способ расчета ферм в реальной инженерной практике безнадежно устарел, для расчета пространственных ферм он вообще не годится. Однако в учебных целях, для проверки аналитического решения и как пример изящного и быстрого определения усилий с помощью карандаша и линейки, диаграмма Максвелла-Кремоны сохраняет свое значение.
• Замечание 3. В качестве необычной задачи программирования, предлагаем попробовать найти алгоритм автоматического построения диаграммы Максвелла-Кремоны в системе Maple V, Maple 7, Mathematics 4 или в любом другом пакете, позволяющем работать с графикой. Основное требование к программе — не составлять уравнения равновесия узлов фермы в проекциях. Допустимо найти аналитическим методом реакции опор.

Пространственная ферма

Постановка Задачи. Определить усилия е стержнях пространственной фермы, нагруженной в одном узле силами.

План решения:

Задача является естественным обобщением задачи § 1.1, с. 14, в которой методом вырезания узлов определялись усилия в простейшей плоской ферме. Этот же метод применим и здесь, единственное отличие — вместо двух уравнений равновесия узла в проекциях на оси в пространственной задаче будет три уравнения.

1. Узлы фермы находятся в равновесии. Вырезаем узлы, заменяя действие стержней их реакциями. Реакцию незагруженного стержня направляем вдоль его оси. Используя правило знаков, согласно которому усилие растянутого стержня считается положительным, реакцию каждого стержня направляем из шарнира по направлению внешней нормали сечения стержня. Расчет начинаем с узла, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями.

2. Для каждого из шарниров составляем по три уравнения равновесия в проекциях. Решаем полученную систему.

Задача №12

Найти усилия в стержнях 1-6 пространственной фермы, нагруженной в одном узле вертикальной силой G = 100 кН и горизонтальной F = 40 кН. Даны размеры а = 12 м, b = 16 м, с = 10 м, d = 5 м (рис. 60).

Решение

1. Узлы А и В находятся в равновесии. Вырезаем эти узлы, заменяя действие стержней их реакциями, направленными из узла к стержню(рис 61.)

Стержень 1 является общим для обоих узлов, поэтому на рисунке есть два противоположно направленных вектора с усилием  Один вектор приложен к узлу А, другой — к узлу В.

2. Расчет начинаем с узла А, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями. Составляем уравнения равновесия узла в проекциях на три оси координат:

Система уравнений (1) содержит три неизвестных усилия

Вычисляем тригонометрические функции, входящие в уравнения.

Решение системы (1):

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 1 и 2 растянуты, а стержень 3 сжат. Составляем уравнения равновесия узла В:

Уравнения (2) содержат три неизвестных усилия усилие , найдено ранее из условия равновесия узла А. Вычисляем необходимые тригонометрические функции:

Решение системы (2):

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 5 и 6 сжаты, а стержень 4 растянут.

Результаты расчета (в кН) заносим в таблицу: