Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Прямая линия проецируется в виде прямой линии. В общем случае прямая линия - безгранична. Положение прямой в пространстве обычно определяется заданием двух точек. Если спроецировать эти точки на плоскость и соединить найденные проекции точек, то полученная проекция отрезка определяет проекцию всей линии, так как отрезок может быть продолжен в любую сторону на требуемое расстояние.

Общее положение прямой

Прямой общего положения называется прямая, пересекающая все плоскоcти координат.

Пусть заданы две точки

Соединяя соответствующие проекции точек прямыми линиями, получим проекции прямой, заданной отрезком

Известно, что две проекции прямой определяют её положение в пространстве. Оценив наглядность и измеримость полученного изображения, заметим:

• -    что форма проецируемого элемента - прямая линия, так как все проекции его прямые;
• -    размеры проекций отрезка не равны истинной длине отрезка, так как он наклонён ко всем плоскостям проекций;
• -    положение прямой относительно плоскостей координат может быть установлено по чертежу.

Отметим следующее важное обстоятельство: если точка лежит на прямой, то её проекции расположены на соответствующих проекциях прямой (точка С на Рис.2.1).

Известно, что две прямые, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части. Следовательно, отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков, т.е.

Частные случаи положения прямой

К частным случаям положения прямой относят прямые: параллельные одной из плоскостей координат, перпендикулярные к одной из плоскостей координат, лежащие в плоскости координат, совпадающие с осью координат.

Прямая, параллельная какой - либо плоскости координат, проецируется на эту плоскость в истинную величину. Это очевидно, так как (Рис.2.2, а) и, следовательно, - как противоположные стороны прямоугольника.

Для прямоугольных проекций прямой, параллельной плоскости (горизонтали) (см. Рис.2.2, б), характерно, что  Отсюда следует: любая прямая, фронтальная проекция которой параллельна оси , параллельна плоскости  Горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) -истинная длина отрезка.

Аналогично, любая прямая  горизонтальная проекция которой параллельна оси , параллельна плоскости (фронталь) (Рис.2.3, а, б). Фронтальная проекция фронтали (ФПФ) - истинная длина отрезка.

Прямым, параллельным плоскостям координат, принято давать общее название линий уровня.

Прямая, перпендикулярная к какой-либо плоскости координат (проецирующая прямая), параллельна оси координат, перпендикулярной к этой плоскости. Например, прямая , перпендикулярная к плоскости параллельна оси Горизонтальная проекция такой прямой (Рис.2.4, а, б) - точка. Фронтальная и профильная проекции прямой, перпендикулярной к плоскости  параллельны оси

В общем случае, если прямая перпендикулярна к плоскости координат, то на эту плоскость она проецируется в виде точки, а на две другие плоскости - в истинную длину и параллельно той оси координат, которой параллельна сама прямая.

Если прямая расположена в плоскости координат, то её проекция на эту плоскость совпадает с самой прямой, а две другие проекции совпадают с осями координат.

Если прямая совпадает с осью координат, то две её проекции совпадают с самой прямой, а на плоскость, перпендикулярную этой оси, прямая спроецируется точкой в начало координат.

Определение истинной длины отрезка прямой

Пусть отрезок прямой задан горизонтальной проекцией  (Рис.2.5, а). Фигура в натуре - прямоугольная трапеция, у которой углы - прямые, а отрезки соответственно расстояния от точек и до плоскости Эти отрезки численно равны координатам и точек. Отсюда следует, что для определения истинной длины отрезка по его проекции нужно построить на этой проекции прямоугольную трапецию с параллельными сторонами, соответственно равными расстояниям от точек отрезка до плоскости. Такой способ определения длины отрезка называют способом трапеции.

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка, расположенного в первом октанте. Пусть имеются проекции (см. Рис.2.5,б).

Определим его истинную длину по фронтальной проекции. Для этого в точках восстановим перпендикуляры к проекции и отложим на них отрезки , соответственно равные расстояниям от точек и до плоскости  т.е. координаты (недостающие координаты точек). Итак

Соединяя точки и прямой, находим - истинную длину отрезка

Аналогичное построение можно выполнить на горизонтальной проекции отрезка. В этом случае   Соответственно, - истинная длина отрезка

Построение можно упростить. Если отложить на перпендикуляре, восстановленном из точки , отрезок и соединить точки и прямой. Аналогично найдём Такой приём определения истинной длины отрезка называется способом треугольника.

Отметим, что в способе треугольника одновременно с истинной длиной отрезка определяется угол наклона прямой к соответствующей плоскости координат:

 угол наклона прямой к плоскости - угол наклона прямой к плоскости

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка для случая, когда координаты концевых точек имеют разные знаки. Пусть, например, точка  (Рис. 2.6, а) расположена над плоскостью а точка - под плоскостью .

Особенностью построения в данном случае является необходимость учёта знаков недостающих координат точек, т.е. значения этих координат откладываются на перпендикулярах, восстановленных к концам проекции отрезка, в произвольные, но разные стороны (см. Рис.2.6, б). В нашем примере

При построении способом треугольника на перпендикуляре, восстановленном из точки откладывается отрезок , равный алгебраической разности недостающих координат:  Определение истинной длины отрезка по его вертикальной проекции аналогично рассмотренному ранее примеру.

Следы прямой линии

Следом прямой линии ни данной плоскости координат называется точка пересечения (встречи) прямой с упомянутой плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью называется горизонтальным следом, с плоскостью - фронтальным (вертикальным) следом и с плоскостью - профильным следом прямой. Следы прямой обозначаются буквами, соответственно и

Изобразим в косоугольных проекциях (Рис.2.7) произвольный отрезок прямой общего положения и вторичные проекции этого отрезка. Построение проекций следов начнём с горизонтального следа. Согласно определению, искомая точка принадлежит прямой и, кроме того, расположена в плоскости . Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Но, с другой стороны, точка лежит в плоскости координат и, следовательно, её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой. Таким образом, искомое изображение горизонтального следа прямой должно быть расположено в точке пересечения изображения прямой и её горизонтальной проекции. Продолжая отрезки и отметим точку их пересечения

Изображение горизонтальной проекции следа совпадает с изображением точки . Изображение фронтальной проекции горизонтального следа найдём на оси , проведя через точку прямую, параллельную оси . Изображение профильной проекции горизонтального следа получим в точке пересечения с осью прямой, проведённой через точку параллельно оси .

Точка принадлежит также прямой и её проекции должны находиться на соответствующих проекциях прямой. Следовательно, изображения фронтальной и профильной проекций горизонтального следа должны лежать на продолжении отрезков и (в точках пересечения с осью и с осью ).

Построение проекций фронтального и профильного следов прямой осуществляется в той же последовательности.

Местоположение следов прямой и их проекций на плоскостях координат представлено в таблице:

Рассмотрим построение прямоугольных проекций следов прямой общего положения, заданной проекциями отрезка (Рис.2.8). Построение начнём с нахождения проекций горизонтального следа прямой.

Для этого следует найти сначала фронтальную или профильную проекции этого следа. Фронтальную проекцию получим в точке пересечения фронтальной проекции прямой с осью . Горизонтальную проекцию найдём в точке пересечения горизонтальной проекции прямой (продолжение отрезка ) с перпендикуляром, восстановленным из точки к оси . Профильная проекция горизонтального следа может быть получена в точке пересечения профильной проекции прямой с осью или как третья проекция точки по двум проекциям и . Отметим, что профильная проекция горизонтального следа должна находиться на горизонтальной оси .

Горизонтальную проекцию фронтального следа прямой найдём, продолжив горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Фронтальную проекцию этого следа получим в точке пересечения перпендикуляра к оси , восстановленного из точки , с продолжением фронтальной проекции прямой. Профильную проекцию фронтального следа найдём, опустив перпендикуляр из точки на ось Точка будет также в точке пересечения профильной проекции прямой с осью

Аналогичным построением найдём проекции профильного следа.

В заключение данного раздела отметим следующее:

• -    прямая, параллельная одной из плоскостей координат, имеет лишь два следа;
• -    прямая, перпендикулярная к плоскости координат, имеет лишь один след;
• -    два следа прямой совпадают в одной точке, если прямая пересекает ось координат;
• -    три следа прямой совпадают, если прямая проходит через начало координат.

Взаимное положение прямых линий

Возможны три случая относительного положения прямых линий. Прямые могут быть взаимно параллельны, могут пересекаться друг с другом или скрещиваться.

Если прямые параллельны, то их соответствующие проекции тоже параллельны.

Пусть даны косоугольные проекции двух взаимно параллельных прямых и   (см. Рис.2.9, а).

Чтобы через данную точку провести прямую, параллельную заданной, нужно через проекции этой точки провести прямые, параллельные соответствующим проекциям заданной прямой.

У пересекающихся прямых соответствующие проекции пересекаются и проекции точки пересечения связаны перпендикуляром к соответствующей оси координат. Пусть даны две пересекающиеся в точке прямые и (см. Рис.2.10).

Точка принадлежит обеим прямым. Следовательно, проекции этой точки должны лежать на проекциях обеих прямых, т.е. в точках   и пересечения соответствующих проекций.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки. Их проекции могут пересекаться, но точки пересечения не находятся в проекционной связи друг с другом, т. е. не лежат на перпендикуляре к соответствующей оси координат.

Изобразим прямоугольные проекции Рис.2.11) двух скрещивающихся прямых и . В точку пересечения их горизонтальных проекций проецируются две точки: точка 1, принадлежащая прямой , и точка 2, принадлежащая прямой . Эти точки называются конкурирующими. С их помощью определяется взаимное положение прямых относительно плоскостей проекций (видимость проекций геометрических элементов). Так, в нашем случае, приведённом на Рис.2.11, луч, проецирующий прямые на плоскость встретит раньше точку 1. Следовательно, эта часть прямой расположена выше прямой . Аналогично определим, что левая часть прямой расположена дальше от плоскости вместе с принадлежащей ей точкой 3, чем прямая . В общем случае при определении видимости прямоугольных проекций на плоскости направление проецирующего луча принимают заданным сверху вниз, на плоскости  - снизу вверх и на плоскости - слева направо.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому, чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

На рис. 2.1 дано пространственное изображение и чертеж прямой АВ. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей пространства, т е. прямая АВ не параллельна не одной из них. Значит, прямая АВ общего положения.

Задание и изображение на чертеже прямой общего положения

Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и В. Значит, достаточно выполнить комплексный чертеж этих точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.

Прямая общего положения называется прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.

Рисунок 2.1 - Прямая общего положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Прямая, параллельная какой-либо одной плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня:

1. горизонтальная - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций Н;
2. фронтальная - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций V;
3. профильная - прямая, параллельная профильной плоскости проекций W.

Прямые уровня

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня.

Название зависит от того, какой плоскости она параллельна.

Различают: горизонтальную прямую уровня (горизонталь) h, фронтальную прямую уровня (фронталь) f, профильную прямую уровня (профиль) р.

Все точки прямых уровня имеют равные или высоты (горизонталь), или глубины (фронталь), или широты (профиль). Поэтому соответствующие проекции прямых параллельны проекциям определенных осей координат.

Рисунок 2.2 - Прямые уровня; а- горизонталь, б- фронталь, в- профиль Примечание: н.в. - натуральная величина прямой

Проецирующие прямые

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекции, называется проецирующей.

Различают: горизонтально проецирующую (АВ), фронтально проецирующую (CD) и профильно проецирующую (EF) (рис. 8).

У проецирующей прямой одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают с направлением линии связи.

Рисунок 2.3 - Проецирующие прямые; АВ- горизонтально проецирующая CD - фронтально-проецирующая, EF-профильно-проецирующая

Следы прямой линии

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции называют следами. В системе трех плоскостей проекции прямая общего положения имеет три следа - горизонтальный, профильный и фронтальный и профильный; прямая, параллельная одной из плоскостей проекции - два, и прямая, перпендикулярная к плоскости проекции - один след.

Что бы найти горизонтальный след, надо продлить фронтальную проекцию а"в" (рис. 2.4) до пересечения с осью Х (точка М") и из этой точки восстановить перпендикуляр к оси X (линию связи) до пересечения с продолжением горизонтальной проекции a'b'.

Рисунок 2.4 - Следы прямой линии

Точка м'- горизонтальная проекция горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Для нахождения фронтального следа необходимо продолжить горизонтальную проекцию а' в' до пересечения с осью X (точка n') и через точку n', которая является горизонтальной проекцией фронтального следа, провести перпендикуляр к оси X до пересечения с продолжением фронтальной проекцией а"в". Точка n"- фронтальная проекция фронтального следа, которая совпадает с фронтальным следом N.

Отметим, что прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, если она параллельна этой плоскости.

Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Возьмем отрезок АВ (рис. 2.5) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций Н. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник A'BB', в котором одним катетом является горизонтальная проекция этого отрезка, вторым катетом разность высот точек А и В отрезка, а гипотенузой является сам отрезок.

Рисунок 2.5 - Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника

На чертеже прямоугольный треугольник построен на горизонтальной проекции отрезка АВ, второй катет треугольника равен разности высот точек АВ, замеренную на плоскости V, гипотенуза его и будет натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией А'В' и гипотенузой треугольника это угол наклона данного отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов, замеренную на плоскости Н.

Деление отрезка прямой линии

Иногда требуется разделить отрезок в данном отношении. Из свойств параллельного проецирования известно, что отношение отрезков одной и той же прямой равно отношению проекций эти отрезков.

Чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, необходимо разделить в этом отношении одну из проекций этого отрезка, а затем с помощью линий связи перенести делящую точку на другие проекции.

На рис. 2.6 дан пример деления отрезка прямой линии АВ в отношение 2 : 3.

Рисунок 2.6 - Деление отрезка прямой линии

Из точки А' проведен вспомогательный отрезок прямой, на котором отложено пять одинаковых частей произвольной длинны. Проведя отрезок В'5 и параллельно ему точку 2 прямую, получим точку С' причем А'К' : КБ' = 2 : 3; затем линии связи находим точку С". Точка С делит отрезок АВ в отношении 2 : 3.

Взаимное расположение двух прямых

1. Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые а и b имеют одну общую точку, проекции которой А' и А" расположены на одной линии связи (рис 2.7).
2. Параллельные прямые. По свойству параллельного проецирования проекции параллельных прямых на любую плоскость параллельны, т.е. если .
3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи: две точки А и В - горизонтально конкурирующие точки, две точки С и D - фронтально конкурирующие. Как видно из чертежа, точка А расположена над точкой В; следовательно, прямая а проходит над прямой b. Точка С расположена перед (ближе к зрителю) точкой D, следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а.

Правило определения видимости на комплексном чертеже:

из двух горизонтально конкурирующих точек на поле Н видна та точка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих точек на поле V видна та точка, которая расположена ближе (по отношению к наблюдателю).

Рисунок 2.7 - Расположение двух прямых; а - пересекающиеся, б - параллельные, в - скрещивающиеся

Взаимное расположение точки и прямой

Из свойств параллельного проецирования (свойство принадлежности) известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

Поэтому, из четырех точек А, В, С и D, приведенных на чертеже (рис. 2.8), лишь одна точка А лежит на прямой. Точка В находится над прямой, так как она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней точка прямой а (фронтальная проекция этой точки прямой а отмечена крестиком). Аналогично, точка С находится перед прямой а, точка D расположена ниже и дальше точки прямой а.

Определение взаимного положения точки и профильной прямой выполняется с помощью построения профильной проекции. На рис. 2.8 точка С расположена над и перед прямой АВ.

Рисунок 2.8 - Расположение точки и прямой

Взаимно перпендикулярные прямые

Для того, чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций.

Пусть сторона АВ прямого угла ABC параллельна плоскости Н. Требуется доказать, что проекция его: угол А'В'С' равен 90.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости, так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ', проходящих через точку В. Прямая АВ и ее прекция А'В' две параллельные прямые, поэтому А'В' также перпендикулярна плоскости. Следовательно, А'В' перпендикулярна В'С'.

Две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2.9) (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда сохраняют свою перпендикулярность в горизонтальной проекции, если одна из этих прямых является горизонталью.

Две взаимно перпендикулярные прямые сохраняют свою перпендикулярность во фронтальной проекции, если одна из них является фронталыю.

Рисунок 2.9 - Две взаимно перпендикулярные прямые (проецирование прямого угла)

Проецирование отрезка прямой

Для этого необходимо и достаточно спроецировать две конечные точки отрезка.

Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямая общего положения - прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения - прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямая общего положения - прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения - прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Прямые уровня

Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в натуральную величину. Они находятся на одном уровне от соответствующей плоскости.

Горизонтальная прямая - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций

Профильная и фронтальные проекции // со ответственно осям X и У

- натуральная величина (НВ) отрезка АВ
 

Фронтальная прямая - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций 

Фронтальная прямая - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций

Профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций

 

Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку. Они совпадают с направлением проецирования.

Проецирующие прямые одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций.

Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

Фронтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций

Профильно-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций

Точка на прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой.

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостями называется следом прямой.

Чтобы построить горизонтальный след прямой необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию до пересечения с осью X в точке
2. Провести через эту точку линию связи на
3. Продолжить горизонтальную проекцию до пересечения с этой линией связи в точке

Для построения фронтального следа надо продолжить горизонтальную проекцию до пересечения с осью X. Из полученной точки провести линию связи на до пересечения с продолжением - фронтальный след прямой АВ.

• М - горизонтальный след прямой
• N - фронтальный след прямой

Дан отрезок общего положения. Найти горизонтальный и фронтальный следы.

Взаимное положение прямых

1 .Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. ( Если одноименные проекции прямых общего положения параллельны на двух плоскостях проекций, то эти прямые параллельны).

2. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а точка их пересечения лежит на одной линии связи.

Справедливо и обратное, кроме профильных прямых.

3. Если прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися.

Проецирование прямого угла

Прямой угол проецируется прямым, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций, т.е. является фронтальной или горизонтальной прямой. (Прямой угол проецируется прямым па ту плоскость проекции, кото рои параллельна одна из его сторон, т. е. является фронтальной или горизонтальной прямой).

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника

Натуральная величина отрезка АВ определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов является проекция отрезка, а вторым - разница расстояний концов другой проекции до оси X

Угол между прямой линией и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Что такое прямая линия

Прямая линия в системе плоскостей проекций занимает определенное положение. Прямая может располагаться относительно плоскостей проекций произвольно или занимать некоторое частное положение - быть параллельной, перпендикулярной или принадлежать какой-либо плоскости проекций.

Способы задания прямой

• Двумя точками.
• Точкой и направлением.
• Линией пересечения двух плоскостей.
• Своими проекциями.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямых относительно плоскостей проекций различают прямые общего положения и прямые частного положения.

Прямые общего положения

Прямая общего положения - прямая, наклоненная под произвольными углами ко всем трем плоскостям проекций (рис. 4.1, 4.2).

Рис. 4.1. Прямая общего положения:
a(AB) - прямая общего положения;
a1(A₁B₁) - горизонтальная проекция прямой a(AB);
a2(A₂B₂) - фронтальная проекция прямой a(AB)

Рис. 4.2. Комплексный чертеж прямой общего положения:
а - двухкартинный комплексный чертеж; б - безосный комплексный чертеж

Прямые частного положения

Среди прямых частного положения различают линии уровня и проецирующие прямые. 

Линии уровня

Прямые линии, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются линиями уровня.

Горизонталь h - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций h || П₁ (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Горизонталь: 

a –  наглядное изображение;  б – комплексный чертеж 

Поскольку высоты всех точек горизонтали равны между собой: h₂A₁A ₂ илиh₂|| П₁. 

Любой отрезок горизонтали проецируется на П₁ в натуральную величину:
[A₁B₁ ] = [AB ].

Угол наклона h к Π₂ также проецируется на П₁ в натуральную величину:

Фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций || П₂ (рис. 4.4).

Рис. 4.4.  Фронталь:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Поскольку глубина всех точек фронтали одинакова:₁C₁C₂

Отрезки фронтали и угол наклона к П₁ проецируются на П₁ в натуральную величину:[C₂D₂] =[CD]; Zβ₁=Zβ=, П₁.

Профильная прямая р - прямая, параллельная профильной плоскости проекций p|| П₃ (рис. 4.5).

Поскольку широта всех точек профильной прямой одинакова: р₂ E₂E₁.
Отрезки профильной прямой и углы наклона к П₁ и П₂ проецируются на П₃ в натуральную величину: [E₃F₃] =[EF];.

Проецирующие прямые

Прямая линия, перпендикулярная одной из плоскостей проекций или параллельная направлению проецирования, называется проецирующей.

Горизонтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций a ₁ П₁(рис. 4.6).

Рис. 4.6. Горизонтально-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Фронтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций b П₂(рис. 4.7).

Рис. 4.7. Фронтально-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Профильно-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций c П₃(рис. 4.8).

Рис. 4.8. Профильно-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Взаимное положение прямых линий

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если прямые параллельны (рис. 4.9), то их одноименные проекции параллельны: a || b (α₁|| b₁) и (a₂|| b₂).

Рис. 4.9. Параллельные прямые a и b:
a - наглядное изображение; б - комплексный чертеж

Пересекающиеся прямые имеют общую точку (рис. 4.10), то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи:
c × d = K c₁ × d₁ = K₁ ;
c ₂ × d₂ = K₂ и K ₁ K ₂ х₁₂.

Рис. 4.10. Пересекающиеся прямые c иd:
a - наглядное изображение; б - комплексный чертеж

Прямые, не имеющие общей точки и не параллельные между собой, являются скрещивающимися (рис. 4.11, 4.12).

Рис. 4.11. Скрещивающиеся прямые m и n

Рис. 4.12. Проекции скрещивающихся прямых:
a - скрещивающиеся прямые m иn;
б - скрещивающиеся прямые l u j

Проекции прямых пересекаются l₁×j₁=E₁ и 1₂×j₂=K₂, но E₁K₂ не является общей линией связи (см. рис. 4.12,б).

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

Принадлежность точки прямой линии

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат соответствующим (одноименным) проекциям прямой (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Принадлежность точки прямой линии:
K ∈ a K ₁ ∈ a₁ и K₂ ∈ a_2;
[K₁K₂ ]х₁₂

Определение натуральной величины отрезка. Способ треугольника

Отрезок [AB] - отрезок прямой общего положения. Ни одна из проекций отрезка не равна его натуральной величине.

На рис. 4.14 A₁ABB₁ - прямоугольная трапеция, наклонной стороной которой является отрезок [AB], высотой - его горизонтальная проекция [A₁B₁], основаниями - горизонтально-проецирующие прямые (AA₁) и (BB₁).

Если провести прямую (AB⁰) || (A₁B₁), то от трапеции A₁ABB₁ отсекается прямоугольный треугольник ABB⁰ с гипотенузой [AB], один катет которого [AB⁰ ] = [A₁B₁ ], другой - [BB⁰ ] равен разности высот точек A и B.

Рис. 4.14. Определение натуральной величины отрезка способом треугольника

На комплексном чертеже (рис. 4.15,а) прямоугольный треугольник строится непосредственно при горизонтальной проекции отрезка: ΔA₁B₁B' = ΔABB⁰ . Одним катетом прямоугольного треугольника является горизонтальная проекция [A₁B₁ ], вторым - разность высот точек A и B (отрезок [BB⁰ ] = [B₁B']), гипотенуза [ A₁B'] и будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Рис. 4.15. Определение натуральной величины отрезка:
а - на горизонтальной проекции;
б - на фронтальной проекции

Аналогичные построения возможны и на фронтальной проекции (рис. 4.15,б), тогда одним катетом прямоугольного треугольника является фронтальная проекция[A₂B₂], а вторым - разность глубин точек A и B (отрезок [A₂A']=[A₁A0]), гипотенуза [ B₂A']будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Таким образом, можно сформулировать общее правило:
 

Натуральная величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а вторым - разность расстояний концов другой проекции отрезка относительно друг друга.

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций H, V и W прямые линии могут занимать различные положения и имеют соответствующие наименования, а на чертежах проекции этих прямых занимают относительно осей проекций x, y и z характерные положения. Следовательно, по чертежу прямой линии можно мысленно представить ее пространственное положение относительно плоскостей проекций, т. е. научиться «читать» чертеж прямой.

Прямые общего положения – не параллельны (и соответственно не перпендикулярны) плоскостям проекций H, V и W. Следовательно, на чертеже проекции прямых общего положения не параллельны (и не перпендикулярны) осям проекций x, y и z. Отсюда проекции прямых общего положения искажают их натуральную величину.

На рис. 2.1 изображены проекции прямой общего положения АВ, фронтальная A"B" и горизонтальная A'B' проекции которой расположены произвольно относительно оси проекций x, но не параллельны и не перпендикулярны оси x – это характерный признак прямой общего положения на чертеже! Профильная проекция A"'B"' прямой общего положения также должна быть не параллельна и не перпендикулярна осям проекций z и y, что и показывает построение.

Точка на прямой. Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой.

На рис. 1.4 показано построение проекций точки С, принадлежащей прямой АВ.

Прямые особого (частного) положения

Прямые уровня – прямые, параллельные одной плоскости проекций:

• – фронтальные прямые – параллельные плоскости проекций V;
• – горизонтальные прямые – параллельные плоскости проекций H;
• – профильные прямые – параллельные плоскости проекций W.

На рис. 2.2 изображены проекции фронтальной прямой АВ и принадлежащей ей точки С. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтальной прямой на чертеже:

• – горизонтальная проекция A'B' параллельна оси проекций x;
• – фронтальная проекция A"B" расположена к оси проекций x под углом φ_H, который определяет ее наклон к плоскости проекций H; фронтальная проекция A"B" определяет также натуральную величину этой прямой;
• – профильная проекция A"'B"' по построению располагается параллельно оси проекций z. 

На рис. 2.3 изображены проекции горизонтальной прямой CD и принадлежащей ей точки Е. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже:

• – фронтальная проекция C"D" параллельна оси проекций x;
• – горизонтальная проекция C'D' расположена к оси проекций x под углом φ_V, который определяет ее наклон к плоскости проекций V; горизонтальная проекция C'D' определяет также натуральную величину этой прямой;
• – профильная проекция C"'D"' по построению располагается горизонтально (//y). 

На рис. 2.4 изображены проекции профильной прямой EF и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций профильной прямой на чертеже:

• – фронтальная проекция E"F" перпендикулярна оси проекций x (параллельна оси проекций z);
• – горизонтальная проекция E'F' перпендикулярна оси проекций x;
• – профильная проекция E"'F"' по построению расположена под углом φ_V к плоскости проекций V и под углом φ_H к плоскости проекций H; профильная проекция E'"F'" определяет также натуральную величину этой прямой. 

Деление отрезка в заданном отношении

На рис. 2.4 показано построение горизонтальной проекции N' точки N, принадлежащей профильной прямой EF. Построение основано на одном из свойств параллельного проецирования: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций.

Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следовательно, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N" точки N, принадлежащей отрезку EF, то для построения горизонтальной проекции N' на горизонтальной проекции E'F' отрезка нужно выполнить следующие графические действия:

• – провести произвольную прямую m из любой вершины горизонтальной проекции E'F';
• – отложить на этой прямой два отрезка: отрезок E'F_o, равный по величине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'No, равный по величине E"N";
• – соединить прямой точки F_o и F' на горизонтальной проекции;
• – из построенной точки No провести прямую, параллельную прямой F_oF', – точка N' и будет искомой.

Прямые проецирующие – перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельные двум плоскостям проекций):

• – фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W);
• – горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости проекций H (параллельные плоскостям проекций V и W);
• – профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций W (параллельные плоскостям проекций H и V).

!!! Поскольку положение проецирующих прямых совпадает по направлению с проецирующим лучом к одной из плоскостей проекций, то одна из проекций прямых проецируется (вырождается) в точку. Говорят, что проецирующие прямые обладают «собирательным» свойством, так как их вырожденные проекции-точки «собирают», то есть представляют собой проекции всех точек, лежащих на этих прямых.

На рис. 2.5 изображены проекции фронтально-проецирующей прямой CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтально-проецирующей прямой на чертеже:

• – фронтальная проекция CD(C"D") представляет собой точку, т. е. фронтальные проекции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций V;
• – горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси проекций x и определяет натуральную величину прямой;
• – профильная проекция C"'D"' по построению располагается  перпендикулярно оси проекций z и также определяет натуральную величину прямой.

!!! Конкурирующие точки – точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.

На рис. 2.5 точки C, D и N на прямой CD являются конкурирующими и по их расположению на прямой относительно плоскости V (по координатам y) можно определить на горизонтальной проекции порядок их «видимости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей координатой y) находится точка D, затем точка N и точка C.

На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей прямой AB и принадлежащей ей точки C. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтально-проецирующей прямой на чертеже:

– горизонтальная проекция AB(A'B') представляет собой точку, т. е. горизонтальные проекции точек A, B и C совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций H;

– фронтальная проекция A"B" расположена перпендикулярно оси x и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекция A"'B"' по построению располагается параллельно оси z и также определяет натуральную величину прямой.

На рис. 2.7 изображены проекции профильно-проецирующей прямой EF и принадлежащей ей точки M. Запомните характерные признаки расположения проекций профильно-проецирующей прямой на чертеже:

• – профильная проекция EF(E"'F"') представляет собой точку, т. е. профильные проекции точек E, F и M совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций W;
• – фронтальная проекция E"F" расположена параллельно оси x и определяет натуральную величину прямой;
• – горизонтальная проекция E'F' по построению также располагается параллельно оси x и также определяет натуральную величину прямой. 

Определение по чертежу натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V.

Натуральной величиной заданного на чертеже отрезка прямой общего положения является гипотенуза построенного прямоугольного треугольника, одним катетом которого может быть горизонтальная (или фронтальная) проекция отрезка, а вторым катетом этого треугольника будет разница координат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относительно оси проекций x.

На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного отрезка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронтальной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

• 1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной проекции AB(A"B") отрезка. 
• 2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A"A_o, равный разнице координат ∆y конечных точек А(А') и В(B') отрезка относительно оси проекций x.
• 3-е действие. Достроить гипотенузу A_оB" треугольника, которая определяет искомую натуральную величину отрезка АВ.

Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной проекции отрезка A'B' – гипотенуза А'B_о также определяет натуральную величину заданного отрезка.

В построенных прямоугольных треугольниках углы между проекциями отрезка и гипотенузой определяют углы наклона прямой к плоскостям проекций H и V:

• – угол φ_V между фронтальной проекцией A"B" отрезка и гипотенузой A_oB" определяет наклон отрезка к плоскости проекций V;
• – угол φ_H между горизонтальной проекцией A'B' отрезка и гипотенузой A'B_о определяет наклон отрезка к плоскости проекций H.

!!! В задачах по начертательной геометрии часто требуется построить на прямой общего положения, не имеющей второй конечной точки, проекции отрезка какой-либо заданной величины.

На рис. 2.9 показано построение на прямой n с одной конечной точкой A проекций отрезка AB заданной величины 25 мм, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

• 1-е действие. Ограничить прямую n произвольным отрезком АК(А'K', A"K").
• 2-е действие. Построить натуральную величину произвольного отрезка АК способом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной проекции A"K" – это гипотенуза – A"K_о (см. рис. 2.9).
• 3-е действие. На построенной натуральной величине A"K_o (гипотенузе) от точки A" отложить отрезок равный 25 мм и построить точку B_о.
• 4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на проекцию n" заданной прямой n и получить точку B", т. е. построить фронтальную проекцию А"В" отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии связи определить горизонтальную проекцию B' точки B, т. е. построить горизонтальную проекцию А'В' отрезка АВ заданной величины 25 мм.

• Чертежи на заказ

Понятие о следах прямой

Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями проекций.

На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и горизонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по октантам пространства: из IV через I во II.

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.

На рис. 2.11 изображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: A"B"//C"D" и A'B'//C'D'.

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи.

На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN. Проекции точки их пересечения M(M",M') лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи. 

Скрещивающиеся прямые

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче.

На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

• – конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций H, но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 – прямой CD; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
• – конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой CD, а точка 4 – прямой AB; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

!!! Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций H и V:

• – по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость H (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата z₁ больше координаты z₂), т. е. на горизонтальной проекции прямая АВ расположена над прямой CD;
• – по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость V (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (координата y₃ больше координаты y₄), т. е. на фронтальной проекции прямая CD расположена перед прямой АВ.

Теорема о проекции прямого угла. Частное положение прямых – перпендикулярные прямые

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла:

• – если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым (90°).

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции прямого угла. Две перпендикулярные прямые AB и AC, образующие плоскость β, проецируются на некоторую плоскость проекций H. Прямая AС по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая n, проведенная в плоскости H перпендикулярно наклонной прямой АВ (nAB; n // A'C'), перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол B'A'C' – прямой.

!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла KMN.

На рис. 2.15, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция K'M'N' прямого угла и фронтальная проекции M"N" одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как одна сторона MN прямого угла по условию является фронтальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость V заданный прямой угол KMN должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию K"M" стороны KM прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны MN(M"N").

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла ECD. 

На рис. 2.16, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция E"C"D" прямого угла и горизонтальная проекция C'D' одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б показано решение задачи: так как одна сторона CD прямого угла по условию является горизонтальной прямой, т. е. параллельна горизонтальной плоскости проекций H, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость H заданный прямой угол ECD должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию E'C' стороны угла EC проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны CD(C'D'). 

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 2.18–2.20).

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла

Прямые обозначают на чертеже строчными буквами латинского алфавита: а, в, m, n и т.д. Отрезки прямых обозначаются прописными буквами: АВ, MN и т.д.

• Знак пареллельности прямых: АВ // MN.
• Знак пересечения прямых: АВ ∩ MN.
• Знак скрещивающихся прямых: АВ  MN.

Прямая общего положения

Прямая общего положения и её проекции

Следы прямой

Деление отрезка в заданном отношении (например, 1:3)

Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноимённые проекции точки лежат на одноимённых проекциях прямой (см. рис. 2.1а, б; 2.4б).

Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника на чертеже

Прямые частного положения

Горизонтальная прямая уровня: //H

 Фронтальная прямая уровня: //V

Профильная прямая уровня: //W

Горизонтально-проецирующая прямая: H

Фронтально-проецирующая прямая:  V

Профильно-проецирующая прямая:  W

Взаимное расположение прямых

Параллельные прямые

Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые

Теорема о проекции прямого угла

Теорема о проекции прямого угла: если одна сторона прямого угла пареллельна плоскости проекций (а вторая не параллельна и не перпендикулярна этой плоскости), то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в виде прямого угла.

Знак перпендикулярности элементов:

Задание прямой

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками или точкой и направлением. Поэтому на эпюре прямую можно задать проекциями ее отрезка (рис. 2.1), проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части (рис. 2.2), или указывая одну точку этой прямой (рис. 2.3).

Прямая общего положения

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций произвольные углы, поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (см. рис. 2.1).

Прямые частного положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называют прямыми частного положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня:

1. прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальной или горизонталью 
2. прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций; называют фронтальной или фронталью 
3. прямую, параллельную профильной плоскости проекций; называют профильной 

Каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона  которые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, также будут проецироваться на эту плоскость без искажения (рис. 2.4 - 2.6).

На рис. 2.4 видно, что все точки горизонтальной прямой  удалены на одинаковые расстояния от плоскости  поэтому фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси  а профильная проекция параллельна оси  Величины фронтальной и профильной проекций будут меньше натуральной величины самой прямой.

Эти отличительные особенности характерны и для фронтальной и профильной прямых.

Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевой горизонталью и нулевой фронталью (рис. 2.7).

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, а двум другим параллельные, называются проецирующими:

1. горизонтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.8);
2. фронтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 2.9);
3. профильно-проецирующая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 2.10).

На рис. 2.8 - 2.10 видно, что проекции прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны осям и равны по величине самим прямым.

Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в данном отношении

Если точка лежит на прямой, то ее проекции будут лежать на одноименных проекциях этой прямой.

На рис. 2.11 изображена прямая и три точки:  Точка  принадлежит прямой  точки  - не принадлежат, т.к. 

На рис. 2.12 показано построение точки  принадлежащей профильной прямой  если известна фронтальная проекция точки  Для построения неизвестной горизонтальной проекции используется профильная проекция  отрезка прямой 

Чтобы разделить отрезок прямой в данном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из проекции заданного отрезка, а потом с помощью линии связи перенести делящую точку на другие проекции отрезка.

На рис. 2.13 точка  делит отрезок  в отношении  Для этого из точки  проведена вспомогательная прямая, на которой отложено 5 равных отрезков произвольной длины.

Если необходимо разделить отрезок профильной прямой  точкой  заданной фронтальной проекцией  то выполняют следующие построения: из точки  проводят произвольную вспомогательную прямую, откладывают на ней  Соединяют точки  и параллельно прямой  через точку 1 проводят прямую до пересечения с  в точке  Это и будет недостающая проекция точки  (рис. 2.14).

Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо построить на чертеже прямоугольный треугольник, одним катетом которого является проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а величина другого катета равна разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций, на которой взяли первый катет. Натуральная величина отрезка прямой будет равна гипотенузе этого треугольника. Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен углу наклона отрезка к этой плоскости проекций.

На рис. 2.15 показано проецирование отрезка  на горизонтальную плоскость  Через точку  проведена прямая  параллельная горизонтальной проекции отрезка  В полученном прямоугольном треугольнике  катет  равен проекции  равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций  Гипотенуза этого треугольника равна длине отрезка  Угол  в треугольнике  является углом наклона отрезка прямой  к плоскости 

Для определения угла наклона отрезка прямой  на фронтальной плоскости проекций  строят прямоугольный треугольник аналогичным путем: через точку  проводят прямую  параллельную  Катет  а второй катет  равен  - разности расстояний точек  от плоскости  (рис. 2.16).

Угол  в этом же треугольнике  является углом наклона прямой  к плоскости 

Следы прямой линии

Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой. Точка  - горизонтальный след прямой, точка  - фронтальный. Горизонтальная проекция  горизонтального следа прямой совпадает с самим следом - точкой  а фронтальная проекция этого следа  лежит на оси  (рис. 2.17). Фронтальная проекция  фронтального следа прямой совпадает с точкой  а горизонтальная проекция  лежит на оси 

Для построения горизонтального следа  прямой необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью  и в этой точке восстановить перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью  и восстанавливаем перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой. С помощью этих правил на рис. 2.18 и рис. 2.19 построены следы прямых 

Так как следы прямых - точки, в которых прямая переходит из одной четверти в другую, то они позволяют определить видимость этой прямой. Та часть прямой, которая расположена в пределах первого октанта, будет видимой. Проекции видимой части прямой изображаются сплошными линиями, а невидимой - штриховыми.

На рис. 2.20 показано построение следов прямой  в системе трех плоскостей проекций.

Построение горизонтального и фронтального следов выполняют по правилам, указанным выше, профильный след  находят как точку пересечения прямой  с профильной плоскостью проекций. Профильная проекция профильного следа прямой совпадает с самим следом, горизонтальная проекция этого следа  лежит на оси  фронтальная проекция  лежит на оси  Чтобы построить профильный след прямой, продолжают фронтальную проекцию прямой  до пересечения с осью  Отмечают точку  и из этой точки проводят перпендикуляр к оси  до пересечения с профильной проекцией прямой. Эта точка и будет искомым следом  с которым совпадает  Горизонтальная проекция  определяется как пересечение горизонтальной проекции прямой с осью  (рис. 2.21).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рис. 2.22).

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рис. 2.23 изображены прямые общего положения их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны. Но для профильных прямых этого условия недостаточно. Для определения их взаимного положения необходимо построить профильные проекции прямых. На рис. 2.24 горизонтальные и фронтальные проекции прямых  параллельны, но эти прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных проекций.

Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых (рис. 2.25). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым.

Конкурирующие точки - это точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций. На эпюре (см. рис. 2.25) горизонтальные проекции конкурирующих точек  совпадают, но точка 1 принадлежит прямой  а точка 2 - прямой 

Из чертежа видно, что расстояния от плоскости  до точек 1 и 2 различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой  расположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой  Следовательно, прямая  проходит под прямой 

Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых  Горизонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая  проходит перед 

Проекции плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости проекций.

Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна плоскости проекций. Изображенный на рис. 2.26 угол  - прямой, одна его сторона  параллельна плоскости проекций  поэтому на эту плоскость он спроецировался в виде прямого угла, т.е. в натуральную величину.