Производные тригонометрических функции с примерами решения

Производные тригонометрических функции

Рассмотрим производные тригонометрических функций. Правильны следующие формулы:

Для доказательства двух первых формул вспомним первый замечательный предел (см. с. 106), а именно: когда

Теорема (о производной синуса). Для каждого действительного 

Доказательство. Найдём приращение функции  на промежутке 

Поэтому

Если   В этом случае  Известно также, что функция  непрерывна на  Поэтому если 

Следовательно, для произвольного 

То есть, всегда 

Теорема (о производной косинуса). Для каждого действительного 

Доказательство.

Если  поскольку функция непрерывна на  Следовательно, при каждом действительном 

To есть 

Формулы производных тангенса и котангенса можно доказать, используя теорему о производной частного:

Итак, в каждой точке  области определения функций:

Пример №536

Найдите производную функции 

Решение:

Воспользуемся теоремой о производной произведения:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №537

Вычислите значение производной функции  в точке 

Решение:

Воспользуемся теоремой о производной суммы: 

Если 

Ответ. 

Пример №538

В какой точке касательная, проведённая к графику функции

 параллельна прямой 

Решение:

В искомой точке угловой коэффициент  касательной равен 2, ибо параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Кроме этого, угловой коэффициент  касательной, проведённой к графику функции  в точке  определяется формулой  Можем составить уравнение 

Найдём 

Абсциссу искомой точки найдём, решив уравнение 

Имеем:  отсюда  

Промежутку  принадлежит только одна такая точка: 

Тогда 

Ответ.