Производная сложной функции с примерами решения
Производная сложной функции
До сих пор рассматривались производные функций, аргументами которых была переменная
Рассматривая в функции переменную как аргумент, можно найти и производную этой функции по . Её мы будем обозначать знаком Производные функций по по-прежнему будем обозначать символами
Теорема (о производной сложной функции). Пусть дана функция Если в какой-то точке существует производная и в соответствующей точке существует производная то существует также производная причём
Строгое доказательство этой теоремы сложное, поэтому ограничимся только его схемой. Производная равна пределу отношения когда Считая, что умножим числитель и знаменатель этого отношения на
Если поскольку речь идет о функции дифференцируемой в точке Поэтому если то
и из равенства следует равенство
До сих пор речь шла о производной в некоторой фиксированной точке Если же данная сложная функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то равенство и выполняется на всём промежутке. Итак, пользуясь этим равенством, можно находить производную данной функции и как функцию, заданную на этом промежутке.
Пример:
Найдём производную функции Это функция Эти функции дифференцируемы на
Итак,
Не обязательно, решая такие упражнения, вводить переменную Её можно только представлять и сразу писать, например:
Производной данной функции есть некоторая функция от того же аргумента Её также можно дифференцировать: находить производную производной. В этом случае говорят о нахождении производной второго порядка. Производную от производной второго порядка называют производной третьего порядка.
Для примера рассмотрим функцию Найдём производную этой функции, производные образованных функций и запишем соответствующие названия:
- — производная первого порядка;
- — производная второго порядка;
- — производная третьего порядка;
Понятно, что все производные следующих порядков функции также равны нулю.
Производные второго и высших порядков используются для исследования функций различной природы.
Пример №539
Найдите если:
Решение:
а) По условию — внешняя функция, а — внутренняя. Следовательно, аргументом внешней функции должна стать функция то есть вместо в выражении следует записать Имеем:
б) по условию — внешняя функция, a g(x) = х2 + 1 — внутренняя. Следовательно, аргументом функции должна стать функция т. е. вместо в выражении следует записать Имеем:
Пример №540
Выведите формулу для вычисления производной функции
Решение:
Из данного равенства получаем отсюда
В частности, если Следовательно,
Пример №541
Найдите значение производной функции в точке
Решение:
Если
Пример №542
Найдите:
Решение:
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |