Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Производная сложной функции с примерами решения

Производная сложной функции

До сих пор рассматривались производные функций, аргументами которых была переменная Производная сложной функции с примерами решения

Рассматривая в функции Производная сложной функции с примерами решения переменную Производная сложной функции с примерами решения как аргумент, можно найти и производную этой функции по Производная сложной функции с примерами решения. Её мы будем обозначать знаком Производная сложной функции с примерами решенияПроизводные функций по Производная сложной функции с примерами решения по-прежнему будем обозначать символами Производная сложной функции с примерами решения

Теорема (о производной сложной функции). Пусть дана функция Производная сложной функции с примерами решения Если в какой-то точке Производная сложной функции с примерами решения существует производная Производная сложной функции с примерами решения и в соответствующей точке Производная сложной функции с примерами решения существует производная Производная сложной функции с примерами решения то существует также производная Производная сложной функции с примерами решения причём Производная сложной функции с примерами решения

Строгое доказательство этой теоремы сложное, поэтому ограничимся только его схемой. Производная Производная сложной функции с примерами решения равна пределу отношения Производная сложной функции с примерами решения когда Производная сложной функции с примерами решения Считая, что Производная сложной функции с примерами решения умножим числитель и знаменатель этого отношения на Производная сложной функции с примерами решения

Производная сложной функции с примерами решения

Если Производная сложной функции с примерами решения поскольку речь идет о функции Производная сложной функции с примерами решениядифференцируемой в точке Производная сложной функции с примерами решения Поэтому если Производная сложной функции с примерами решения то

Производная сложной функции с примерами решения

и из равенства Производная сложной функции с примерами решения следует равенство Производная сложной функции с примерами решения

До сих пор речь шла о производной Производная сложной функции с примерами решения в некоторой фиксированной точке Производная сложной функции с примерами решенияЕсли же данная сложная функция Производная сложной функции с примерами решения дифференцируема в каждой точке Производная сложной функции с примерами решения некоторого промежутка, то равенство Производная сложной функции с примерами решения и выполняется на всём промежутке. Итак, пользуясь этим равенством, можно находить производную данной функции и как функцию, заданную на этом промежутке.

Пример:

Найдём производную функции Производная сложной функции с примерами решения Это функция Производная сложной функции с примерами решения  Эти функции дифференцируемы на Производная сложной функции с примерами решения

Итак, Производная сложной функции с примерами решения

Не обязательно, решая такие упражнения, вводить переменную Производная сложной функции с примерами решения Её можно только представлять и сразу писать, например:

Производная сложной функции с примерами решения

Производной данной функции Производная сложной функции с примерами решения есть некоторая функция от того же аргумента Производная сложной функции с примерами решения Её также можно дифференцировать: находить производную производной. В этом случае говорят о нахождении производной второго порядка. Производную от производной второго порядка называют производной третьего порядка.

Для примера рассмотрим функцию Производная сложной функции с примерами решения Найдём производную этой функции, производные образованных функций и запишем соответствующие названия:

  • Производная сложной функции с примерами решения — производная первого порядка;
  • Производная сложной функции с примерами решения — производная второго порядка;
  • Производная сложной функции с примерами решения — производная третьего порядка;
  • Производная сложной функции с примерами решения

Понятно, что все производные следующих порядков Производная сложной функции с примерами решения функции Производная сложной функции с примерами решения также равны нулю.

Производные второго и высших порядков используются для исследования функций различной природы.

Пример №539

Найдите Производная сложной функции с примерами решения если:

Производная сложной функции с примерами решения

Решение:

а) По условию Производная сложной функции с примерами решения — внешняя функция, а Производная сложной функции с примерами решения — внутренняя. Следовательно, аргументом внешней функции должна стать функция Производная сложной функции с примерами решения то есть вместо Производная сложной функции с примерами решения в выражении Производная сложной функции с примерами решения следует записать Производная сложной функции с примерами решения Имеем: Производная сложной функции с примерами решения

б)    по условию Производная сложной функции с примерами решения — внешняя функция, a g(x) = х2 + 1 — внутренняя. Следовательно, аргументом функции Производная сложной функции с примерами решения должна стать функция Производная сложной функции с примерами решения т. е. вместо Производная сложной функции с примерами решения в выражении Производная сложной функции с примерами решения следует записать Производная сложной функции с примерами решения Имеем: Производная сложной функции с примерами решения

Пример №540

Выведите формулу для вычисления производной функции

Производная сложной функции с примерами решения

Решение:

Из данного равенства получаем Производная сложной функции с примерами решения отсюда Производная сложной функции с примерами решения

В частности, если Производная сложной функции с примерами решения Следовательно, Производная сложной функции с примерами решения

Пример №541

Найдите значение производной функции Производная сложной функции с примерами решения в точке Производная сложной функции с примерами решения

Решение:


Производная сложной функции с примерами решения

Если Производная сложной функции с примерами решения

Пример №542

Найдите: Производная сложной функции с примерами решения

Решение:

Производная сложной функции с примерами решения