Правило Лопиталя - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Правило Лопиталя

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции y=f(x) и y=g(x):
1) дифференцируемы в некоторой окрестности 

1. Если в п. 4 теоремы 13.1

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.
Теорема 13.2. Пусть M>0 и функции y=f(x) и y=g(x):
1) дифференцируемы при ;
2)

Тогда

 

Доказательство
Пусть Рассмотрим функции 
Тогда условия 1) –3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности .
Проверим условие 4):

предел существует, поэтому по теореме 13.1

Тогда

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа .
Неопределенности необходимо эквивалентными преобразованиями привести к виду  Неопределенности  раскрывают путем предварительного логарифмирования.

П р и м е р 13.1

ПустьM>0. Функции
1) непрерывны и имеют производные при x> M;
2) ;
3)
4) поэтому по теореме 13.2

П р и м е р 13.2
Найти 
Р е ш е н и е

П р и м е р 13.3
Найти 
Р е ш е н и е
Имеем неопределенность вида .
Преобразуем функцию 
Найдем

Поэтому

П р и м е р 13.4
Найти 
Р е ш е н и е

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции  дифференцируемы в точке  тогда формула (13.1) перепишется в виде

Геометрически это значит, что предел при отношения значений функций равен отношению угловых коэффициентов касательных к этим функциям в точке .
 

П р и м е р 13.5
Найти (см. пример 4.2).
Р е ш е н и е

-------

Правило Лопиталя

Теорема 8.1. Пусть

1) функции и определены и непрерывны в проколотой окрестности 

2) существуют конечные производные и  в

3)  в 

4) 

Тогда если существует то существует  и имеет место равенство

Доказательство.

Доопределим функции  и в точке  полагая

Тогда функции и непрерывны в точке  Используя теорему Коши (теорема 7.3), получим

где точка  будет удовлетворять условиям или  Если то поэтому, согласно условию теоремы,

Теорема 8.1 формулирует правило раскрытия неопределенности типа

Замечание 8.1. Если производные  и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и  то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получаем

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример 8.1. Найти предел

Решение.

Ответ:

Пример 8.2. Найти предел 

Решение.

Ответ: 1

Пример 8.3. Найти предел 

Решение.

Ответ: 2.

Теорема 8.2*. Пусть

1) функции и определены и непрерывны в проколотой окрестности 

2) существуют конечные производные  и  в

3)  в 

4) 

Тогда, если существует то существует

и имеет место равенство

Теорема 8.2 формулирует правило раскрытия неопределенности

типа 

Замечание 8.2. Правило Лопиталя справедливо и в случаях

Пример 8.4. Найти предел

Решение.

Ответ: 0.

Пример 8.5. Найти предел

Решение.

Ответ: 0.

Пример 8.6. Найти предел

Решение.

Полученный предел не существует, так как при функция не стремится ни к какому предельному значению, а колеблется между 0 и 2. Правило Лопиталя не дает результатов. Рассмотрим другой подход к вычислению предела.

Ответ: 1.

Заметим, что правило Лопиталя дает также возможность раскрыть неопределенности типа  предварительно приведя их к виду  или   

Пример 8.7. Найти предел 

Решение.

Ответ: 0.

Пример 8.8. Найти предел 

Решение.

Ответ: 0.

Пример 8.9. Найти предел

Решение.

Ответ: 

Пример 8.10. Найти предел

Решение.

Ответ: 1.