Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Следствие:

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Каждому значению показательной функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решениясоответствует единственный показатель s.

Пример:

Решить уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

откуда

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: 2; 3.

Пример:

Решить уравнение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решив это уравнение, получим

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решить уравнение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решая его, получаем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения откуда находим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Разделив обе части уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равносильное данному. Решив его, получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Таким образом, из данного уравнения получаем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

откуда находим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Итак, с учетом обозначения имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: 1; 2.

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Ответ: 2.

Пример:

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: 3; 4.

Пример:

При каком значении а корнем уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияявляется число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решив это уравнение, найдем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду Показательные уравнения и неравенства с примерами решения. Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №1

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Заметим, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи перепишем наше уравнение в виде

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Применив тождество (1), получим Зх - 7 = -7х + 3, х = 1.

Ответ: 1.

Пример №2

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Согласно тождеству (2), имеем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

 Применив тождество 2, перепишем уравнение как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Введем новую переменную: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

которое имеет корни Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Однако кореньПоказательные уравнения и неравенства с примерами решенияне удовлетворяет условию Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Значит, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: х=2.

Пример №4

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Разделив обе части уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияполучим:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

последнее уравнение запишется так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решая уравнение, найдем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не удовлетворяет условию Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно,

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №5

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Заметим что Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияЗначит Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Перепишем уравнение в виде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПолучим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Корнями данного уравнения будут Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

 После вынесения за скобку в левой части Показательные уравнения и неравенства с примерами решения , а в правой Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияРазделим обе части уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияполучим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияОтсюда получим систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Очевидно, что последняя система имеет решение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №8

Решите систему уравнений: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоследняя система, в свою очередь, равносильна системе: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПодставив полученное значение во второе уравнение, получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №9

Решите систему уравнений: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

 Сделаем замену: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда наша система примет вид: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда получим уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (читается как "кси"), что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим отрезок Показательные уравнения и неравенства с примерами решениясодержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для этого:

  1. вычисляется значение f(х) выражения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  3. вычисляется значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выражения f(х) в точке Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  4. проверяется условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения(левый конец отрезка переходит в середину);
  6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
  7. для нового отрезка проверяется условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения вычисляются значения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Оказывается, что для корня Показательные уравнения и неравенства с примерами решения данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения удовлетворяющие неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

 Поделив обе части уравнения на 2 , получим, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как, для нового уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Значит, в интервале, Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияуравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не имеет ни одного корня, так как,

Показательные уравнения и неравенства с примерами решениявыполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Для Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияпроверим выполнение условия

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0). 

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корень уравнения принадлежит интервалу

Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПустьПоказательные уравнения и неравенства с примерами решенияЕсли Показательные уравнения и неравенства с примерами решения приближенный

корень уравнения с точностью Показательные уравнения и неравенства с примерами решения. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то корень лежит в интервале Показательные уравнения и неравенства с примерами решения еслиПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения то корень лежит в интервале Показательные уравнения и неравенства с примерами решения. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияс заданной точностьюПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решениязаключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| < 0,1, то х=-0,25 - приближенное значение корня с точностью Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение показательных неравенств

Рассмотрим неравенства, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Неравенства такого вида принято называть показательными.

Из теоремы о свойствах показательной функции (п. 2.2, свойство 8) получаем следствие, которое постоянно используется при решении показательных неравенств.

Следствие:

Пусть а > 1. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0 < а < 1 большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

При решении показательных неравенств, так же как и при решении показательных уравнений, приходится использовать представление обеих частей неравенства в виде степеней с одним и тем же основанием, разложение одной из частей неравенства на множители, введение новой переменной.

Пример:

Решить неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Поскольку из двух степеней с основанием 7 больше та, показатель которой больше, то данное неравенство равносильно неравенству

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решим его:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: (0; 2).

Пример:

Решить неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку из двух степеней с одинаковым основанием 0,5 больше та, показатель которой меньше, то имеем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример:

Решить неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

откуда

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку из двух степеней с основанием 5 больше та, показатель которой больше, то данное неравенство равносильно неравенству

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решений нет, так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при любых значениях х.

Ответ: нет решений.

Пример:

Решить неравенство

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример:

Решить неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Данное неравенство перепишем в виде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку из двух степеней с основанием 0,3 больше та, показатель которой меньше, то имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ:Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример:

Решить неравенство

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Использовав эти обозначения для данного неравенства, получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решив это неравенство, получим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияпри любых значениях х.

Остается решить второе неравенство системы:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Получим:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример:

При каких значениях m любое значение х из промежутка [9; 10] является решением неравенства

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Чтобы решением неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения являлось любое значение х из промежуткаПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения необходимо, чтобы промежутокПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения входил во множество решений данного неравенства, т. е. в промежуток Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (рис.33).

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Итак, имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения, неравенства и их системы

При решении показательных уравнений и неравенств, т. е. уравнений и неравенств, в которых переменная содержится в показателе степени, используются свойства показательной функции:

  • областью значений показательной функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является множество всех положительных действительных чисел;
  • если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то условия Показательные уравнения и неравенства с примерами решения являются равносильными;
  • при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения показательная функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является возрастающей, а при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — убывающей.

Пример №12

Решим уравнение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

а) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. -1; -2.

б) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

в) Поскольку число -1 не принадлежит области значений показательной функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, то уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не имеет корней (рис. 173).

Ответ. Корней нет.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №13

Решим неравенство:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

а) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Здесь при переходе от неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения к неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения мы сохранили знак неравенства, так как основание степени больше единицы.

б) Поскольку значениями показательной функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения являются положительные числа, то условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения истинно при любом значении показателя, т. е. каждое действительное число является решением этого неравенства.

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

в) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Здесь при переходе от неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения к неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения мы изменили знак неравенства на противоположный, так как основание степени меньше единицы.

г) Поскольку при любом значении показателя Показательные уравнения и неравенства с примерами решения значением выражения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является положительное число, то неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не может быть истинным ни при каком значении переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, т. е. оно не имеет решений (рис. 174).

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для сведения показательного уравнения или неравенства к простейшим применяют общие приемы решения уравнений и неравенств: введение вспомогательной переменной, использование графических представлений, использование свойств функций, разложение на множители.

Пример №14

Решим уравнение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

а) Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения запишется в виде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Числа 1 и -3 — его корни. Вернувшись к исходной переменной, получим уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Корнем первого является число 0, а второе уравнение корней не имеет.

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения = 0.

б) Перед введением вспомогательной переменной разделим обе части уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения на выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, которое положительно при любых значениях переменной. Будем иметь:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корнями которого являются числа 1 и 5. Значит, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения откуда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №15

Решим неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Построим графики функций Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (рис. 175) и найдем, при каких значениях аргумента Показательные уравнения и неравенства с примерами решения точка графика первой функции лежит ниже точки графика второй. Видим, что графики пересекаются в точке (1; 2). Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а Показательные уравнения и неравенства с примерами решения так как функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает, а функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывает. Значит, при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения истинно неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения А если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и потому истинно неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения из которого следует, что ни одно число, большее 1, не является решением данного неравенства.

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №16

Решим неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Функции, определяемые выражениями, записанными в левой и правой частях уравнения, возрастающие, но возрастают они с разной скоростью. Используем это. Разделим обе части неравенства на выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, которое всегда положительно. Получим равносильное неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является убывающей как сумма убывающих функций. А поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то решениями данного неравенства являются все числа, большие 2.

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №17

Решим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Остается решить уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Их корни 0, -1 и 1 исчерпывают все корни исходного уравнения.

Ответ. 0; -1; 1.

Пример №18

Решим систему уравнений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Перемножив уравнения системы, получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Значит, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Разделив первое уравнение системы на второе, придем к уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Потому Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Таким образом, данная система равносильна системе Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которая имеет решением пару (3; 1).

Ответ. (3; 1).

Пример №19

Решим систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решим уравнение системы:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из найденных чисел неравенству удовлетворяет только число 2.

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения = 2.

Пример №20

Решим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — некоторое число.

Данное уравнение равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Оно заменой Показательные уравнения и неравенства с примерами решения сводится к квадратному уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения решение которого зависит от дискриминанта Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда квадратное уравнение не имеет корней, а потому не имеет корней и исходное уравнение.

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда квадратное уравнение имеет один корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Учитывая замену Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корнем которого является число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения = 0.

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда квадратное уравнение имеет два корня: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Возвращение к исходной переменной приводит к уравнениям: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Корнем первого уравнения является число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Второе уравнение имеет корнем число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения но при условии, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения т. е. при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение не имеет корней;

если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Степень с произвольным действительным показателем

Теперь мы выясним, что представляет собой степень положительного числа с действительным показателем.

Строгое определение степени с действительным показателем и доказательство ее свойств выходит за пределы школьного курса. Текст этого пункта содержит лишь общие пояснения того, как можно провести необходимые обоснования.

Начнем с частного случая. Выясним, что понимают под степенью числа 2 с показателем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Иррациональное число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим последовательность рациональных чисел

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Понятно, что эта последовательность сходится к числу Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

В соответствии с последовательностью Показательные уравнения и неравенства с примерами решения построим последовательность степеней с рациональными показателями:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Можно показать, что члены последовательности Показательные уравнения и неравенства с примерами решения с увеличением номера стремятся к некоторому положительному числу. Это число и называют степенью числа 2 с показателем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и обозначают 2Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Аналогично можно действовать в общем случае, определяя смысл выражения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения любое действительное число. Для числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения строят сходящуюся к нему последовательность рациональных чисел Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Далее рассматривают последовательность Показательные уравнения и неравенства с примерами решениястепеней с рациональными показателями (напомним, что степень положительного числа с рациональным показателем определена). Можно доказать, что эта последовательность сходится к положительному числу Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое не зависит от выбора сходящейся к Показательные уравнения и неравенства с примерами решения последовательности рациональных чисел Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияЧисло Показательные уравнения и неравенства с примерами решения называют степенью положительного числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения с действительным показателем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и обозначают Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Если основание Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равно единице, то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения для всех действительных Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Если основание Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равно нулю, то степень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения определяют только для Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и считают, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияНапример, Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения а выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не имеет смысла.

При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — иррациональное число, не имеет смысла.

Степень с действительным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с рациональным показателем.

В частности, для Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и любых действительных Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения справедливы такие равенства:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Докажем, например, свойство 1.

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — действительные числа, причем Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — последовательности рациональных чисел. Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для положительного числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения рассмотрим три последовательности: Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как для рациональных показателей Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения свойство 1 имеет место (мы узнали об этом при изучении свойств степени с рациональным показателем), то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Последовательность рациональных чисел Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения сходится к числу Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Поэтому можно записать, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №21

Упростите выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Выберем некоторое положительное число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отличное от 1. Каждому действительному числу Показательные уравнения и неравенства с примерами решения можно поставить в соответствие положительное число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тем самым задана функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения с областью определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Эту функцию называют показательной функцией. Изучим некоторые свойства показательной функции. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и любом Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоэтому область значений показательной функции состоит только из положительных чисел.

Можно показать, что для данного числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и для любого положительного числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения существует такое число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, что выполняется равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Сказанное означает, что областью значений показательной функции является множество Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательная функция не имеет нулей, и промежуток Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияявляется ее промежутком знакопостоянства.

Показательная функция непрерывна.

Покажем, что при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения показательная функция является возрастающей. Для этого воспользуемся леммой.

Лемма. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решениято Показательные уравнения и неравенства с примерами решения если Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Например, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим произвольные числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения такие, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и функцию Показательные уравнения и неравенства с примерами решениягде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда согласно лемме имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения. Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Мы показали, что из неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения следует неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Это означает, что функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является возрастающей.

Аналогично можно показать, что при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения показательная функция является убывающей. Поскольку показательная функция является либо возрастающей (при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения), либо убывающей (при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения), то она не имеет точек экстремума.

Показательная функция является дифференцируемой. Подробнее о производной показательной функции вы узнаете в п. 23.

На рисунках 16.1 и 16.2 схематически изображен график показательной функции для случаев Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения соответственно.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

В частности, на рисунках 16.3 и 16.4 изображены графики функций Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияи Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Заметим, что при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения график показательной функции имеет горизонтальную асимптоту Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияАналогично при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения график показательной функции имеет горизонтальную асимптоту Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательная функция является математической моделью целого ряда процессов, происходящих в природе и в деятельности человека.

Например, биологам известно, что колония бактерий в определенных условиях за равные промежутки времени увеличивает свою массу в одно и то же количество раз.

Это означает, что если, например, в момент времени Показательные уравнения и неравенства с примерами решения масса была равной 1, а в момент времени Показательные уравнения и неравенства с примерами решения масса была равной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то в моменты времени Показательные уравнения и неравенства с примерами решения масса будет равной соответственно Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоэтому естественно считать, что в любой момент времени Показательные уравнения и неравенства с примерами решения масса будет равной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Можно проверить (сделайте это самостоятельно), что значения функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения увеличиваются в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

Таким образом, рассмотренный процесс описывают с помощью показательной функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Из физики известно, что при радиоактивном распаде масса радиоактивного вещества за равные промежутки времени уменьшается в одно и то же количество раз.

Если поместить деньги в банк под определенный процент, то каждый год количество денег на счете будет увеличиваться в одно и то же количество раз.

Поэтому показательная функция описывает и эти процессы.

В таблице приведены свойства функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решениягде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияизученные в этом пункте.

Область определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Область значений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Нули функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Промежутки знакопостоянства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Возрастание / убывание Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решениято функция возрастающая; если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то функция убывающая
Непрерывность Непрерывная
Дифференцируемость Дифференцируемая
Асимптоты Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то график функции имеет горизонтальную асимптоту Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияесли Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то график функции имеет горизонтальную асимптоту Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №22

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения на отрезке Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Так как функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает на отрезке Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то наименьшее значение она принимает при Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияа наибольшее — при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Следовательно,

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №23

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения В то же время Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Вычисление показательных уравнений

Рассмотрим уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Во всех этих уравнениях переменная содержится только в показателе степени. Данные уравнения — примеры показательных уравнений.

Теорема 17.1. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Доказательство. Очевидно, что если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Докажем, что из равенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения следует равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Предположим, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Пусть, например, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

Рассмотрим показательную функцию Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Она является либо возрастающей, либо убывающей. Тогда из неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияследует, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения) или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения). Однако по условию выполняется равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Получили противоречие.

Аналогично рассматривают случай, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Следствие. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

равносильно уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Доказательство. Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корень уравнения (1), то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияТогда по теореме 17.1 получаем, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решениякорень уравнения (2).

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корень уравнения (2), то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияОтсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Мы показали, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильны. А

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений.

Пример №24

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 2. Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Запишем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Это уравнение равносильно уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №25

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Воспользовавшись свойствами степени, представим каждую из частей уравнения в виде степени с основанием 10. Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Переходим к равносильному уравнению:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №26

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №27

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №28

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то данное уравнение удобно решать методом замены переменной.

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда данное уравнение можно переписать так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при любом Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не имеет корней. Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №29

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при любом Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то, разделив обе части уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияполучим уравнение, равносильное данному:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда можно записать: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при любом Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то первое уравнение совокупности решений не имеет. Второе уравнение совокупности перепишем так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №30

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Очевидно, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корень данного уравнения. Покажем, что этот корень — единственный.

Разделив обе части исходного уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим функцию Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияТак как функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияиПоказательные уравнения и неравенства с примерами решенияубывающие, то функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения также является убывающей, а следовательно, каждое свое значение она принимает только один раз. Поэтому уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет единственный корень.

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №31

При каких значениях параметра Показательные уравнения и неравенства с примерами решения уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет единственный корень?

Решение:

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияСледовательно, исходное уравнение равносильно совокупности:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Первое уравнение совокупности имеет единственный корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Второе уравнение совокупности при каждом значении параметра Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или имеет один корень, или вообще не имеет корней.

Для выполнения условия задачи второе уравнение совокупности либо должно не иметь корней, либо должно иметь единственный корень, равный 2.

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения, то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решениякорней не имеет.

Число 2 является корнем второго уравнения совокупности, если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Вычисление показательных неравенств

Неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения являются примерами показательных неравенств.

При решении многих показательных неравенств используют следующую теорему.

Теорема 18.1. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Справедливость этой теоремы следует из того, что при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения показательная функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является возрастающей, а при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывающей.

Следствие. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равносильно неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равносильно неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теоремы 17.1, докажите это следствие самостоятельно.

Рассмотрим примеры решения показательных неравенств.

Пример №32

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как основание степеней Показательные уравнения и неравенства с примерами решения больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №33

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решениято последнее неравенство равносильно такому: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №34

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Перепишем данное неравенство так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №35

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение.

Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решив это неравенство, получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при всех Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Поэтому достаточно решить неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №36

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при любом Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то, разделив обе части последнего неравенства на Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияполучаем равносильное неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Решив это неравенство, получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Отсюда: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения находим, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не имеет решений.

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №37

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим функцию Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Заметим, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Так как функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывающая, то при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, множеством решений неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является промежуток Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Свойство показательной функции

При условии, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения справедливо тогда и только тогда, если х = у. По данному свойству получаем:

1)показательное уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения.

2)если в уравнении Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения запишем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения , тоПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения. Заданные показательные уравнения, при помощи определённых методов, приводятся к простейшим показательным уравнениям.

Применение свойств степени

Пример №38

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Проверка.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №39

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Уравнения с разными основаниями можно решить разделив обе стороны на одну из степеней или логарифмированием обеих частей:

Примеры:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Введение новой переменной:

Пример:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: х = 2

Если уравнение состоит из членов, которые имеют одинаковую степень, а основания являются последовательными членами геометрической прогрессии, то обе части уравнения делится на один из крайних членов и вводится новая переменная.

Пример:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Зависимость между температурой и временем при охлаждении задаётся формулой Ньютона Показательные уравнения и неравенства с примерами решения где Т - температура в данный момент времени, То - температура в начальный момент времени, Тr - температура окружающей среды (средняя температура), r - скорость охлаждения ( скорость изменения за единицу времени),

t - время.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

1. Конечная ОДЗ:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример №40

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

ОДЗ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Итак, ОДЗ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Проверка. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Других корней нет, поскольку в ОДЗ входит только одно число.

Ответ: 1.

2. Оценка значений левой и правой частей уравнения:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Если требуется решить уравнение вида Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и выяснилось, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения одновременно будут равны Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №41

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Оценим значения левой и правой частей данного уравнения: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Итак, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда данное уравнение равносильно системе Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из первого уравнения получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

3. Использование монотонности функций

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.

2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения).

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении Показательные уравнения и неравенства с примерами решения функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример №42

Уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет единственный корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения поскольку функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает (на всей области определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения как сумма двух возрастающих функций.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2. Если в уравнении Показательные уравнения и неравенства с примерами решения функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает на некотором промежутке, а функция Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это урав# нение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет единственный корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает, а Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывает (при всех Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

4. «Ищи квадратный трехчлен»

Попытайтесь рассмотреть заданное уравнение как квадратное относи# тельно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Пример:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Запишем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и введем замену Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Его дискриминант Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Обратная замена дает Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Последнее уравнение имеет единственный корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения возрастает, а Показательные уравнения и неравенства с примерами решения убывает (при всех Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: 1; 2.

Пример №43

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Обратная замена дает Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Замечаем, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияТаким образом, если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения То есть данное уравнение имеет вид Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и его можно решить с помощью замены Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Но теперь эту замену можно непосредственно применить для данного уравнения, не вводя промежуточные обозначения. После обратной замены учитываем, что

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №44

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Если привести все степени к одному основанию 2 и обозначить Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то получим уравнение (1) (см. решение), в котором можно ввести замену Показательные уравнения и неравенства с примерами решения(тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения На ОДЗ данного уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения все замены и обратные замены являются равносильными преобразованиями этого уравнения. Таким образом, решив уравнения, полученные в результате замен, и выполнив обратные замены, мы получим корни данного уравнения.

Решение:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Замена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения дает уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом, из уравнения (1) получаем уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое имеет корни: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обратная замена дает Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения ( отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (корней нет, поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (корней нет, поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №45

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

I способ

Комментарий:

Учитывая, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получаем, что в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. (Действительно, если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом, при всех Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для оценки значений правой части достаточно вспомнить, что областью значений функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения является промежуток Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Оценим значения левой и правой частей уравнения, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Таким образом, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда данное уравнение равносильно системе Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из первого уравнения, используя замену Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получаем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

II способ решения уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Если обозначить Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то данное уравнение приводится к уравнению (2) (см. решение), которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Заметим, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения поэтому при таких значениях Показательные уравнения и неравенства с примерами решения уравнения (1) и (2) являются равносильными. Далее используем условие существования корней квадратного уравнения.

Решение:

После замены Показательные уравнения и неравенства с примерами решения из данного уравнения получаем равносильное уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое, в свою очередь, равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда его дискриминант Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Уравнение (2) может иметь корни только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

У этого неравенства знак «больше» не может выполняться Показательные уравнения и неравенства с примерами решения всегда), таким образом, неравенство (3) равносильно уравнению Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Подставляя эти значения в уравнение (2), получаем две системы: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Во второй системе из второго уравнения имеем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения что не удовлетворяет условию Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Таким образом, данное уравнение равносильно только первой системе. Из второго уравнения первой системы имеем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения что удовлетворяет и первому уравнению этой системы.

Ответ: 0.

Пример №46

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Для решения уравнения с несколькими модулями можем применить общую схему (с. 240):

  1. найти ОДЗ;
  2. найти нули всех подмодульных функций;
  3. отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
  4. найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение:

ОДЗ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Нули подмодульных функций: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Этот нуль Показательные уравнения и неравенства с примерами решения разбивает ОДЗ на два промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Промежуток I. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеем уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Промежуток II. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеем уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом, во II промежутке данное уравнение корней не имеет.

Ответ: -1.

Пример №47

Решите уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

ОДЗ Показательные уравнения и неравенства с примерами решения То есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получаем равносильное (на ОДЗ) уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

После замены Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеем уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения корни которого: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Выполнив обратную замену, получаем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда на ОДЗ имеем равносильные уравнения:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Если выполнить замену Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения то получим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения все члены которого имеют одинаковую суммарную степень — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наибольшую степень одной из переменных. Разделим, например, обе части на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (то есть на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Чтобы не потерять корни уравнения при делении на выражение с переменной, необходимо те значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. Значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при котором Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения подставляем в данное уравнение.

Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные Показательные уравнения и неравенства с примерами решения достаточно заметить, что данное уравнение однородное, разделить обе части на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а затем ввести новую переменную Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

В конце учитываем, что все преобразования были равносильными на ОДЗ, следовательно, необходимо выбирать только те из найденных корней, которые входят в ОДЗ.

Пример №48

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Логарифмические функции, стоящие в левой части данного уравнения, принимают только неотрицательные значения.

Действительно, на всей области определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения таким образом,Показательные уравнения и неравенства с примерами решения аналогично, поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то на своей области определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения В этом случае сумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих функций равна нулю.

Заметим, что при переходе от данного уравнения к системе уравнений ОДЗ не изменяется, таким образом, ее можно не записывать в явном виде. При решении полученных простейших логарифмических уравнений ОДЗ также учитывается автоматически, поэтому ее можно вообще не записывать в решение.

Решение:

Поскольку на всей области определения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решениято данное уравнение равносильно системе

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из первого уравнения системы получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения что удовлетворяет и второму уравнению системы.

Ответ: 2.

Пример №49

При каких значениях параметра Показательные уравнения и неравенства с примерами решения неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется для любых значений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Комментарий:

Сначала воспользуемся формулой Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения Далее запишем правую часть неравенства как значение логарифмической функции и, переходя к аргументу, учтем, что в случае, когда основание этой функции больше 1, функция возрастает, а когда меньше 1 (но больше 0) — убывает.

При дальнейшем анализе полученных неравенств учитываем, что неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется для любых значений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Эта неравенство равносильно совокупности систем

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Неравенство с переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения в последней совокупности систем будут выполняться для любых значений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения при условии:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №50

При каких значениях параметра а уравнение log2 (4' имеет единственный корень?

Комментарий:

Выполняя равносильные преобразования данного уравнения, учитываем, что при использовании определения логарифма для решения этого простейшего логарифмического уравнения его ОДЗ учитывается автоматически.

При выполнении замены переменной в задании с параметром учитываем, что после замены требование задачи может измениться.

Исследуя расположение корней квадратного трехчлена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения применим условия, приведенные на с. 225 в таблице 37 (для записи соответствующих условий используем обозначение: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — дискриминант, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — абсцисса вершины параболы). Как известно, для того чтобы корни квадратного трехчлена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (с положительным коэффициентом при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения были расположены по разные стороны от числа Показательные уравнения и неравенства с примерами решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

То есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Замена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения дает уравнение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь единственный положительный корень. Это будет в одном из двух случаев:

  1. уравнение (2) имеет единственный корень, и он положительный;
  2. уравнение (2) имеет два корня, из которых только один положительный, а второй — отрицательный или нуль.

Для первого случая получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Таким образом, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для второго случая значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения исследуем отдельно. При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения из уравнения (2) получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения уравнение (2) имеет корни Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Таким образом, условие задачи при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется.

Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (расположены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Объединяя все результаты, получаем ответ.

Ответ: при Показательные уравнения и неравенства с примерами решения данное уравнение имеет единственный корень.

Справочный материал

Формулы сокращенного умножения. Разложение алгебраических выражений на множители

  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  • Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Основные приемы разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Способ группировки Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Применение формул сокращенного умножения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Разложение на множители квадратного трехчлена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

где Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — корни квадратного трехчлена, то есть корни уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обобщение некоторых формул сокращенного умножения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Примеры:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Примеры:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

При Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Системы уравнений

Если ставится задача найти все общие решения двух (или больше) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что требуется решить систему уравнений. Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой. Решением системы называется такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений переменных (если переменных несколько), которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Если система не имеет решения, то ее называют несовместной.

Примеры:

1)Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — система двух уравнений с двумя переменными. Пара чисел (5; 1), то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — решение системы.

2) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения система трех уравнений с тремя переменными. Тройка Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — одно из решений системы.

Равносильность систем уравнений:

Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые решения (то есть каждое решение первой системы на этом множестве является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой). Если изменить порядок уравнений заданной системы, то получим систему, равносильную заданной. Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то получим систему, равносильную заданной.

Областью допустимых значений (ОДЗ) системы называется общая область определения всех функций, входящих в запись этой системы. Все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ исходной системы.

Основные способы решения систем уравнений

Способ подстановки:

Выражаем из одного уравнения системы одну переменную через другую (или через другие) и подставляем полученное выражение вместо соответствующей переменной во все другие уравнения системы (затем решаем полученное уравнение или систему и подставляем результат в выражение для первой переменной).

Пример №51

Решить систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Из первого уравнения системы Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Подставляем во второе уравнение системы и получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: (2; 1).

Способ сложения:

Если первое уравнение системы заменить суммой первого уравнения, умноженного на число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и второго уравнения, умноженного на число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (а все остальные уравнения оставить без изменения), то получим систему, равносильную заданной.

Пример №52

Решить систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Умножим обе части первого уравнения системы на 2, а второго — на 3 (чтобы получить как коэффициенты при переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения противоположные числа) и почленно сложим полученные уравнения. Из полученного уравнения находим значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения подставляем результат в любое уравнение системы и находим значение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: (3; 2).

Основные способы решения систем уравнений

Способ подстановки:

Выполняем равносильные преобразования заданной системы так, чтобы удобно было строить графики всех уравнений, входящих в систему. Затем строим соответствующие графики и находим координаты точек пересечения построенных линий — эти координаты и являются решениями системы.

Пример №53

Решить графически систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Заданная система равносильна системе Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Графиком каждого из уравнений системы является прямая. Для построения прямой достаточно построить две ее точки. Например, для

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Графики пересекаются в единственной точке Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Итак, пара чисел (2; 1) — единственное решение заданной системы.

Ответ: (2; 1).

Пример №54

Решить графически систему Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Заданная система равносильна системе Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

График первого уравнения — окружность радиуса Показательные уравнения и неравенства с примерами решения с центром в начале координат, а график второго — кубическая парабола Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Эти два графика пересекаются в двух точках с координатами Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — решение системы.

Квадратные неравенства

Квадратным неравенством называется неравенство вида Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для решения квадратного неравенства достаточно найти корни квадратного трехчлена Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и построить эскиз его графика (параболу).

Как ответ записывают промежутки оси Показательные уравнения и неравенства с примерами решения для которых точки параболы расположены выше оси Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (для случая Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и ниже оси Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (для случая Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Если квадратный трехчлен имеет два разных корня Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то для решения неравенства можно также использовать метод интервалов или равно% сильные преобразования неравенства.

Разные случаи решения неравенства Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №55

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

І способ

1. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2. Строим эскиз графика функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: (2 ; 3)

ІІ способ (метод интервалов)

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

1. Область определения: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2. Нули функции: Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

3. Отмечаем нули на области определения (на всей числовой прямой) и находим знак в каждом промежутке, на которые разбивается область определения (см. рисунок).

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Для нахождения знаков функции Показательные уравнения и неравенства с примерами решения удобно разложить квадратный трехчлен на множители и записать заданное неравенство так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ: (2; 3).

ІІІ способ (равносильные преобразования)

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то заданное неравенство равносильно неравенству Показательные уравнения и неравенства с примерами решения которое равносильно совокупности систем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Из первой системы получаем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения а вторая система не имеет решения.

Ответ: (2; 3).

Нахождение области определения функции

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Знаменатель дроби не равен нулю

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное единице

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Под знаком тангенса может стоять только выражение, не равное Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — целое)

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — целое)

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Под знаками арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

а) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — натуральное Показательные уравнения и неравенства с примерами решения- любое число

б) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — целое отрицательное или нуль Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

в) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения —нецелое положительное число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

г) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — нецелое отрицательное число Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Основные свойства числовых равенств и неравенств

Свойства числовых равенств:

1 Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (транзитивность равенства)

3. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

4. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

5. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

6. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

7. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

8. а) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

9. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

10. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

11. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Свойства числовых неравенств

1. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (транзитивность неравенства)

3. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

4. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

5. а) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

6. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

7. а) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

8. а) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

9. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

10. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

11. а) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда и только тогда, когда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Определение показательных уравнений и неравенств

 Уравнение называется показательным, если его переменные входят только в показатели степеней.

Примеры:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Существует много видов показательных уравнений и различных подходов к их решению. Основными методами решения показательных уравнений являются:

  1. Метод приведения обеих частей уравнения к степеням с одинаковыми основаниями.
  2. Метод введения новой переменной.
  3. Функционально-графический метод. Рассмотрим каждый из этих методов подробнее.

Метод приведения обеих частей уравнения к степеням с одинаковыми основаниями

Метод приведения обеих частей уравнения к степеням с одинаковыми основаниями применяется в двучленных уравнениях, которые можно свести к виду Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Такие уравнения решаются на основе монотонности показательной функции.

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — равносильны.

Пример №56

Решите уравнение: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

а) Представим правую часть уравнения в виде неправильной дроби: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Запишем правую и левую части уравнения в виде степени с основанием Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПолучим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения разделим обе части уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Получим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Запишем число 1 в виде степени с основанием Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Существуют двучленные уравнения, члены которых вы пока не можете свести к степеням с одинаковыми основаниями. В общем виде их можно записать так: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение решений не имеет, поскольку показательная функция принимает только положительные значения.

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение имеет одно решение, поскольку прямая Показательные уравнения и неравенства с примерами решениявсегда пересекает график показательной функции. Как записать такое решение, например уравнения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (рис. 26), вы узнаете позже.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Методом введения новой переменной решаются многие виды уравнений

Рассмотрим решение некоторых из них на конкретных примерах.

Пример №57

Решите уравнение: 

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

В показателе каждой степени этого уравнения содержится одно и то же выражение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Обозначим наименьший показатель степени буквой Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Тогда уравнение будет иметь вид:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Вынесем общий множитель Показательные уравнения и неравенства с примерами решения за скобки. Получим:  Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияСледовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решая такие уравнения, не обязательно вводить новую переменную, а можно сразу выносить общий множитель за скобки Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Именно поэтому этот способ называют способом вынесения общего множителя за скобки.

б)    Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Подставим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения в данное уравнение. Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Корни последнего уравнения: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (проверьте).

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — посторонний корень. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

в)    Запишем данное уравнение в виде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Разделим каждый член уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Получим:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения  тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет один корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Функционально-графический метод

Функционально-графический метод состоит в следующем:

  1. с помощью построения графиков (или путём подбора) находят один корень уравнения;
  2. доказывают, что других корней уравнение не имеет.

Пример №58

Решите уравнение: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Графически или методом проб убеждаемся, что Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — корень уравнения. Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — возрастающая функция, так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения— убывающая Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то других корней уравнение не имеет.

Если в показательном уравнении знак равенства изменить на знак неравенства, то получим показательное неравенство.

Неравенство называется показательным, если его переменные входят только в показатели степеней.

Для решения показательных неравенств используют те же методы, что и для решения показательных уравнений. А также правила решения простейших показательных неравенств, т.е. неравенств вида Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решая простейшие показательные неравенства, используют монотонность (возрастание или убывание) показательной функции. А именно:

1.    Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

2.    Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №59

Решите неравенство:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

а) Представим правую и левую части неравенства в виде степени с основанием 6:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

б) Пусть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Подставим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения в данное неравенство. Получим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Поскольку квадратный трёхчлен Показательные уравнения и неравенства с примерами решения имеет корни Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то множеством решений соответствующего неравенства будет: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Поскольку Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то условие Показательные уравнения и неравенства с примерами решения выполняется всегда. Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Показательные уравнения и неравенства — отдельный вид трансцендентных уравнений и неравенств. Вы уже знаете, что к трансцендентным относятся тригонометрические уравнения и неравенства. Трансцендентными считают также уравнения и неравенства, в которых сочетаются трансцендентные выражения с алгебраическими:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Только для некоторых из подобных уравнений можно указать точные решения. Их приближённые корни находят в основном графическим способом.

Уравнения вида Показательные уравнения и неравенства с примерами решения -функции переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения называются показательно-степенными.

Их решают, проверяя, не будут ли решениями данного уравнения корни уравнений:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Полученные таким образом корни подлежат проверке.

Пример №60

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

1) Подставим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения в данное уравнение. Имеем: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения  Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — корень данного уравнения.

2) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения то имеем правильное равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — корень данного уравнения.

3) Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения получим равенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Равенство неправильное, следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения — посторонний корень.

4)    Решим уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Его корень Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Это посторонний корень, так как Показательные уравнения и неравенства с примерами решения не существует.

Ответ. 0; 1.

Пример №61

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Запишем правую и левую части как степени числа 2: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решенияПоказательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №62

Решите неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Запишем неравенство в виде Показательные уравнения и неравенства с примерами решения или Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Вынесем Показательные уравнения и неравенства с примерами решения за скобки и упростим полученное неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №63

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Запишем уравнение в виде

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Разделим левую и правую части уравнения на Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Имеем:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и подставим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения в данное уравнение.Получим: Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (посторонний корень).

Если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения Следовательно, Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №64

Решите уравнение Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Найдём произведение оснований степеней:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

То есть Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Обозначим Показательные уравнения и неравенства с примерами решения тогда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Перейдём к уравнению с переменной Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения отсюда Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

 Получим:

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Пример №65

Решите графически неравенство Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций Показательные уравнения и неравенства с примерами решения (рис. 27). Они пересекаются в точках Показательные уравнения и неравенства с примерами решения и Показательные уравнения и неравенства с примерами решения(проверьте подстановкой). Значения Показательные уравнения и неравенства с примерами решения меньше соответствующих значений Показательные уравнения и неравенства с примерами решения если Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Ответ. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения