Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Плоское движение тела в теоретической механике

Содержание:

Плоское движение тела:

При изучении темы ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА раздела КИНЕМАТИКА. вы научитесь применять аналитические и графические методы для определения скоростей и ускорений точек тел и механизмов. Хотя эти знания имеют самостоятельную ценность, особенно необходимы они будут для решения задач динамики тела и системы.

Приведены программы расчета кинематики плоского движения в математической системе Maple V. Анимационные возможности этой системы делают решение наглядным, позволяя глубже понять суть задачи.

Методы решения задачи кинематики плоского движения разнообразны. Выбрать оптимальный путь, который может существенно упростить решение, помогут примеры, приведенные в этой главе.

Скорости точек многозвенного механизма

Постановка задачи. Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы находится в движении. Известна угловая скорость какого-либо его звена или скорость одной из точек механизма. Найти скорости точек механизма и угловые скорости его звеньев.

План решения:

Рассмотрим два простых геометрических способа решения задачи, в которых, в отличие от аналитических методов, определяются модули скоростей и угловых скоростей. Не оговаривая отдельно, всякий раз под угловой скоростью Плоское движение тела в теоретической механике

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей (МЦС) каждого звена. МЦС лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных

к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 85). У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точек равны. Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющем}', то имеют место два частных случая положения МЦС (рис. 86, 87).

Если тело (колесо, диск, цилиндр) катится по поверхности без проскальзывания, то МЦС этого тела находится в точке касания.

2. Для каждого звена определяем расстояния от его точек до МЦС этого звена.
Плоское движение тела в теоретической механике
3. Записываем систему уравнений для скоростей N точек звена Плоское движение тела в теоретической механике включая точку с известной скоростью:

Плоское движение тела в теоретической механике

ЗдесьПлоское движение тела в теоретической механике — угловая скорость звена Плоское движение тела в теоретической механике Плоское движение тела в теоретической механике — расстояние от МЦС звенаПлоское движение тела в теоретической механике до точки Плоское движение тела в теоретической механике Решаем систему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек.

Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найдена или известна.

2-й способ. План скоростей

1.    Как и в методе МЦС ведем расчет, переходя от одного звена к другому, шарнирно с ним соединенном}'.

Построение начинаем с вектора, величина и направление которого известны или легко вычисляются. Этот вектор в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки О (рис. 91). Его конец определяет первую точку плана скоростей. Точку плана скоростей (конец вектора) отмечаем строчной буквой, соответствующей точке вектора скорости. Пусть первая точка плана скоростей обозначена как b.

2.    Рассматриваем очередное звено, на котором имеется точка с уже известной скоростью. Необходимо, чтобы на этом звене была

еще одна точка с известным направлением вектора скорости (например, ползун или точка звена, совершающего вращательное движение). Пусть эта точка обозначена как С (рис. 88).

Справедливо правило, согласно которому неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами.

Следующая точка плана скоростей лежит на пересечении двух прямых. Одна прямая определяется направлением скорости точки С, вторая перпендикулярна ВС. Длина полученного отрезка Ос является модулем скорости Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 91).

Скорости остальных точек этого звена (если таковые имеются) найдем по правилу подобия неизменяемых фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей.

Пункт 2 плана выполняем для всех звеньев механизма (рис. 91-95).

3. После построения плана скоростей определяем угловую скорость каждого звена по простой формуле Плоское движение тела в теоретической механике где Плоское движение тела в теоретической механике расстояние между точками Плоское движение тела в теоретической механике звена, Плоское движение тела в теоретической механике — длина отрезка на плане скоростей.

Задача №1

Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы приводится в движение кривошипом АВ, который вращается против часовой стрелки с угловой скоростью Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 88).Плоское движение тела в теоретической механике

Ползуны С, К, Н движутся горизонтально, Плоское движение тела в теоретической механикеНайти скорости точек В, С, D, Е, F, G, Н, К механизма и угловые

8.1.Скорости точек многозвенного механизма скорости его звеньев АВ, BD, DG, EH, FO, СК.

Решение

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей каждого звена АВ, BD, DG, СК, EH, FO.

МЦС звеньев АВ и FO искать не требуется. Они совершают вращательное движение вокруг шарниров А и О соответственно. Можно условно считать, что там находятся их МЦС.

Вектор Плоское движение тела в теоретической механике скорости точки В направим перпендикулярно радиусу АВ против часовой стрелки (рис. 89). Далее, чтобы узнать положение МЦС следующего звена надо знать направления векторов скоростей двух его точек. Следующим звеном будет стержень BD, имеющий со звеном АВ общую точку В. У него есть три характерные точки В, С и D. Направление вектора скорости точки D пока неизвестно.

Плоское движение тела в теоретической механике

Остается точка С. Ползун С движется строго горизонтально. Вектор скорости Плоское движение тела в теоретической механике направляем по горизонтали налево. Из двух возможных горизонтальных направлений мы выбрали этот вариант, исходя из теоремы о проекции векторов скоростей точек неизменяемого отрезка. Проекции должны быть равны и направлены в одну сторону. Таким образом, известны направления скоростей двух точек тела. Это позволяет определить МЦС звена BCD. Находим точкуПлоское движение тела в теоретической механикепересечения перпендикуляров, проведенных из точек В и С, к векторам Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 89). Теперь определяем направление вектора Плоское движение тела в теоретической механике Он будет перпендикулярен радиусу Плоское движение тела в теоретической механике и направлен налево, исходя из той же теоремы о проекциях скоростей точек отрезка BD.

Со стержнем BCD имеют общие точки два стержня: СК и DG. Рассмотрим сначала стержень DG. Направление вектора скорости точки D уже известно. Чтобы определить положение МЦС, надо знать направление вектора еще одной точки на этом звене. Такой точкой является F. Вектор ее скорости перпендикулярен радиусу вращения FO и направлен вертикально. Перпендикуляры к векторам Плоское движение тела в теоретической механике задают положение точки Плоское движение тела в теоретической механике вокруг которой звено DEFG совершает мгновенное вращательное движение.

Перпендикулярно радиусам Плоское движение тела в теоретической механике проводим вектора Плоское движение тела в теоретической механике

Переходим к звену ЕН, МЦС которого находим на пересечении перпендикуляров к Плоское движение тела в теоретической механике (продолжение радиуса Плоское движение тела в теоретической механике и к вектору скорости Плоское движение тела в теоретической механике ползуна Н, движущегося горизонтально. Получаем точкуПлоское движение тела в теоретической механике — МЦС звена ЕН.

И, наконец, рассматриваем звено СК. Скорости Плоское движение тела в теоретической механике параллельны и не перпендикулярны СК. Звено С К совершает мгновенно-поступательное движение. Условно можно сказать, что МЦС звена С К находится в бесконечности.

2. Определяем расстояния от МЦС звеньев до тех точек этих звеньев, скорости которых надо найти.

Звено BCD

Плоское движение тела в теоретической механике

Звено DEFG. Пользуясь подобием Плоское движение тела в теоретической механике находим Плоское движение тела в теоретической механике

Звено ЕН (рис. 90). Находим расстояния до МЦС:

Плоское движение тела в теоретической механике

8.1.Скорости точек многозвенного механизма

Плоское движение тела в теоретической механике

3. Записываем систему уравнений для скоростей трех точек звена BCD, включая точку В с известной скоростью:

Плоское движение тела в теоретической механике

Решаем эту систему. Находим Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике

Система уравнений для скоростей точек звена DEFG имеет вид

Плоское движение тела в теоретической механике

Из первого уравнения вычисляем угловую скорость:

Плоское движение тела в теоретической механике

Получаем скорости точек:

Плоское движение тела в теоретической механике

Система уравнений для скоростей точек звена ЕН имеет вид

Плоское движение тела в теоретической механике

Отсюда

Плоское движение тела в теоретической механике

Звено СК совершает мгновенно-поступательное движение. Следовательно, скорости точек С я К равны: Плоское движение тела в теоретической механикеУгловая скорость этого звена равна нулю Плоское движение тела в теоретической механике.

Плоское движение тела в теоретической механикеМожно считать, что МЦС звена, движущегося мгновенно-поступательно, находится в бесконечности. Поэтому, рассуждая формально, получаем Плоское движение тела в теоретической механике

Частично проверить решение можно графически. Известно, что концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой. Убеждаемся в этом, проводя прямую через концы векторов Плоское движение тела в теоретической механике отложенных на чертеже в масштабе (рис. 90).
Плоское движение тела в теоретической механике
Аналогично, проверяем скорости Плоское движение тела в теоретической механике Через их концы также можно провести прямую. Остались непроверенными скорости точек Е и Н. Для этого можно воспользоваться методом построения плана скоростей, см. ниже 2-й способ.

Результаты расчетов помещаем в таблицы. Скорости даны в см/с, угловые скорости — в рад/с.

Плоское движение тела в теоретической механике

2-й способ. План скоростей

1. Построение начинаем с вектора, величина и направление которого известны или легко вычисляются. В нашем случае это Плоское движение тела в теоретической механике. Вектор Плоское движение тела в теоретической механике в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки О (рис. 91). Все остальные вектора также будем откладывать от этой точки.

8.1.Скорости точек многозвенного механизма

Точки плана скоростей (концы векторов) отмечаем соответствующими строчными буквами. Таким образом, положение точки b на плане скоростей известно.

2. Рассматриваем звено BCD (рис. 90), на котором имеется точка В с известной скоростью. Неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами,Плоское движение тела в теоретической механикеЗвено механизма ВС горизонтально.

Плоское движение тела в теоретической механике

Следовательно, точка с плана скоростей лежит на одной вертикали с точкой b. Известно направление скорости ползуна С. Точку с находим на пересечении двух прямых. Вектор Плоское движение тела в теоретической механике изображен отрезком Ос плана скоростей (рис. 91). Из правила подобия фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей(в данном случае это отрезки BC и CD),имеем Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механике
Так получаем точку d плана скоростей и, следовательно, величину и направление вектораПлоское движение тела в теоретической механике (рис. 92).

Определяем скорость Плоское движение тела в теоретической механике Направление этого вектора известно - он перпендикулярен радиусу вращения FO. По свойству плана скоростей Плоское движение тела в теоретической механике Точка d на плане уже есть. Проводим через нее горизонтальную прямую (перпендикулярную DF) до пересечения с вертикальным направлением вектора скорости Плоское движение тела в теоретической механике Получаем точку Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 93). Соединяя ее с центром О, определяем модуль искомой скорости Плоское движение тела в теоретической механике

Из соотношения подобия Плоское движение тела в теоретической механике на отрезке Плоское движение тела в теоретической механике находим внутри него конец вектора скорости Плоское движение тела в теоретической механике и вне отрезка, пользуясь пропорцией Плоское движение тела в теоретической механикеточку Плоское движение тела в теоретической механике определяющую вектор скорости Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 94).

Аналогично, определяем скоростьПлоское движение тела в теоретической механике (рис. 95). Здесь Плоское движение тела в теоретической механике Точки Плоское движение тела в теоретической механике и с на плане скоростей совпадают.

3. Угловые скорости звеньев определяем по простым формулам: Плоское движение тела в теоретической механике

Ускорения точек многозвенного механизма

Постановка Задачи. Плоский шарнирно-стержневой механизм состоит из шарнирно соединенных стержней и ползунов. Механизм приводится в движение кривошипом, который вращается с заданной угловой скоростью. В указанном положении механизма найти ускорения всех его шарниров.
*) Существует еще несколько способов проверки вычисления скоростей точек многозвенного механизма.

8.2. Ускорения точек многозвенного механизма

План решения

1.    Определяем угловые скорости звеньев и скорости точек механизма (см. § 8.1).

2.    Определяем ускорение шарнира, принадлежащего звену с известным законом движения:

Плоское движение тела в теоретической механике

где R — длина звена. Если задан закон изменения утла поворота Плоское движение тела в теоретической механике то Плоское движение тела в теоретической механике

Если угловая скорость звена постоянна, Плоское движение тела в теоретической механике Вектор ускорения в этом случае направляем к центру вращения звена.

3.    Для определения ускорения точки В тела, совершающего плоское движение, воспользуемся векторной формулой

Плоское движение тела в теоретической механике

Здесь Плоское движение тела в теоретической механике— известное ускорение точки, выбранной в качестве полюса, Плоское движение тела в теоретической механике— центростремительное ускорение условного движения В вокруг А по окружности с радиусом Плоское движение тела в теоретической механике — вращательное ускорение.

Возможны три случая определения ускорения по формуле (1). А. Точка В является ползуном, или направление ее вектора ускорения по каким-либо другим причинам известно. В этом случае формула (1) в проекциях на оси координат представляет собой систему двух линейных уравнений для неизвестного модуля ускорения ав и неизвестного углового ускорения звена Плоское движение тела в теоретической механике

Б. В точке В шарнирно соединены звено АВ и звено ВС, где С — неподвижный шарнир. Таким образом, точка В движется по окружности с центром в С, и ее ускорение можно представить в виде векторной суммы нормального и тангенциального ускорения:

Плоское движение тела в теоретической механике

Величину нормального ускорения Плоское движение тела в теоретической механике находим, зная скорость точки Плоское движение тела в теоретической механике Направляем векторПлоское движение тела в теоретической механике по радиусу ВС к центру вращения С. Вектор Плоское движение тела в теоретической механике неизвестен лишь по модулю, направление его известно — перпендикулярно радиусу ВС.

В результате, система уравнений (1-2), записанная в проекциях, дает четыре уравнения для четырех неизвестных Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике Решая ее, находим ускорение Плоское движение тела в теоретической механике

В. Точка В не удовлетворяет случаям А и Б. В этом случае либо она не является шарниром, либо к ней шарнирно присоединено тело, совершающее плоское (не вращательное и не поступательное) движение. Для решения задачи должны быть известны угловая скорость и угловое ускорение звена, на котором находится точка В. Они могут быть найдены при вычислении скорости и ускорения других точек этого звена. При этих условиях уравнение (1) является векторным уравнением для одной неизвестной Плоское движение тела в теоретической механике.

Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим.

Задача №2

Плоский шарнирно-стержневой механизм состоит из четырех шарнирно соединенных стержней и горизонтально движущегося ползуна С (рис. 96). Механизм приводится в движение кривошипом OA, который вращается с постоянной угловой скоростью Плоское движение тела в теоретической механике = 2 рад/с. В указанном положении механизма найти ускорения шарниров А, В, С и точки М. Даны размеры: АО = 2 см, А В = 5 см, Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике
Решение

1. Определяем угловые скорости звеньев и скорости точек механизма. Находим величину скорости точки А:

Плоское движение тела в теоретической механике

Вектор Плоское движение тела в теоретической механике направляем перпендикулярно радиусу АО против часовой стрелки. Вектор скорости Плоское движение тела в теоретической механике направлен горизонтально. Мгновенный центр скоростей Р звена АВ находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 97). Находим расстояния

8.2. Ускорены точек многозвенного механизма

от точек А, В, М до МЦС:Плоское движение тела в теоретической механике

Скорости точек находим из системы уравнений

Плоское движение тела в теоретической механике

В результате решения получаем

Плоское движение тела в теоретической механике

Найти скорость точки С не составит труда. Векторы Плоское движение тела в теоретической механике параллельны и не перпендикулярны отрезку ВС. Следовательно, звено ВС совершает мгновенно-поступательное движение, и скорости всех его точек в этот момент равны. Отсюда, Плоское движение тела в теоретической механике 2 см/с. Угловая скорость звена ВС равна нулю.

2. Определяем ускорение шарнира А, принадлежащего звену OA с известной постоянной угловой скоростью Плоское движение тела в теоретической механике. Ускорение точки А состоит только из нормальной составляющей,

Плоское движение тела в теоретической механике и направлено вдоль О А к центру О (рис. 98).

Плоское движение тела в теоретической механике

3. Находим ускорение точки В. Точка В движется по окружности с центром в неподвижном шарнире D, и ее ускорение можно представить в виде векторной суммы нормального и тангенциального ускорений:

Плоское движение тела в теоретической механике

С другой стороны, ускорение точки В выражается через ускорение точки А, лежащей на том же звене АВ. Рассматривая А в качестве полюса, имеем

Плоское движение тела в теоретической механике

Сравнивая (3) и (4), получаем, что

Плоское движение тела в теоретической механике

В проекциях на оси х, у (рис. 98) векторное уравнение (3) дает систем}' двух уравнений относительно неизвестных Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механике

где Плоское движение тела в теоретической механике

Решаем систему (5):

Плоское движение тела в теоретической механике

Окончательно, величина ускорения точки ВПлоское движение тела в теоретической механике

8.2. Ускорены точек многозвенного механизма

Вычисление ускорения точки М выполняем по п.ЗВ плана решения. Действительно, угловая скорость и угловое ускорение звена А В уже известны:Плоское движение тела в теоретической механике

Рассматривая А в качестве полюса (рис. 99), записываем векторное уравнениеПлоское движение тела в теоретической механике

гдеПлоское движение тела в теоретической механике Из (6) определяем проекции Плоское движение тела в теоретической механикена оси координат:

Плоское движение тела в теоретической механике

Величина ускорения точки M

Плоское движение тела в теоретической механике

Находим ускорение точки С. Скорости точек В я С звена ВС, совершающего мгновенно - поступательное движение, равны, однако, их ускорения различны.Плоское движение тела в теоретической механике

Для определения Плоское движение тела в теоретической механике воспользуемся векторным равенством (полюс — точка В)

Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механикеВ качестве полюса можно также брать точку В, ускорение которой уже найдено.

гдеПлоское движение тела в теоретической механике Вектор Плоское движение тела в теоретической механикераскладываем на составляющие (рис. 100)

Плоское движение тела в теоретической механике

Векторное уравнение (7) содержит две неизвестных величины:Плоское движение тела в теоретической механикеиПлоское движение тела в теоретической механике Записывая (7) в проекциях на оси ху, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Но можно решить задачу проще.Плоское движение тела в теоретической механике
Спроецируем (7) на ось Плоское движение тела в теоретической механике направленную вдоль стержня ВС. При этом в уравнение не войдет модуль неизвестного вектора Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механике

НаходимПлоское движение тела в теоретической механике

Результаты расчетов помещаем в таблицу (скорости в см/с, ускорения в см/Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике

8.3. Уравнение трех угловых скоростей

Постановка задачи. Подобрать длины звеньев шарнирного четырехзвенника так, чтобы в некоторый момент движения угловые скорости его звеньев были бы равны заданным. Положение опорных шарниров четырехзвенника известно.

План решения:

Под угловыми скоростями будем понимать проекции соответствующих векторов на ось Плоское движение тела в теоретической механике перпендикулярную плоскости движения. Индекс Плоское движение тела в теоретической механике дополнительно указывать не будем, принимая Плоское движение тела в теоретической механике

1. Последовательно нумеруем шарниры и звенья механизма. Выбираем систему координат, помещая ее начало в один из шарниров механизма. Определяем координаты шарниров.

2.    Записываем уравнения трех угловых скоростейПлоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механике

где Плоское движение тела в теоретической механике — координаты шарниров на концах звена, имеющего угловую скорость Плоское движение тела в теоретической механике Шарниры 1 и 4 — опорные. Все угловые скорости и некоторые координаты даны в условии.

3.    Решаем систему (1) относительно неизвестных координат. Определяем длины звеньев механизма (расстояния между шарнирами) по формулам

Плоское движение тела в теоретической механике

Задача №3

В положении, изображенном на рис. 101, известны угловые скорости шарнирного четырехзвенника О ABC: Плоское движение тела в теоретической механике = 2 рад/с, Плоское движение тела в теоретической механике рад/с. Найти длины звеньев OA и ВС, Плоское движение тела в теоретической механике. Расстояния даны в см, АВ = 60 см.
Плоское движение тела в теоретической механике
Решение

1.    Последовательно нумеруем шарниры и звенья механизма. Номера шарниров указываем индексами у соответствующих букв. Выбираем систему координат, помещая ее начало в шарнир О. Определяем координаты шарниров (рис. 102):

Плоское движение тела в теоретической механике

2.    Записываем уравнения трех угловых скоростей (1), где по условию Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механикеУравнения следуют из координатной формы записи векторной формулы (1), на с. 130, для скоростей точек при плоском движении.

8.3. Уравнение трех угловых скоростей

Плоское движение тела в теоретической механике рад/с. Система приобретает вид

Плоское движение тела в теоретической механике

3. Решаем систему (2) относительно Плоское движение тела в теоретической механике Получаем

Плоское движение тела в теоретической механике

Кроме того, Плоское движение тела в теоретической механике Определяем длины звеньев:Плоское движение тела в теоретической механике

Уравнение трех угловых ускорений

Постановка задачи. Многозвенный механизм приводится в движение кривошипом, вращающимся с известной угловой скоростью и известным угловым ускорением. Найти угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма.

План решения:

Под угловыми скоростями и ускорениями будем понимать проекции соответствующих векторов на ось Плоское движение тела в теоретической механике перпендикулярную плоскости движения. Индекс Плоское движение тела в теоретической механике дополнительно указывать не будем, принимая Плоское движение тела в теоретической механике

1.    Нумеруем шарниры и звенья механизма. Выбираем систему координат, помещая ее начато в один из шарниров механизма. Определяем координаты шарниров.

2.    Выделяем из механизма шарнирные четырехзвенники. Рассмотрим четырехзвенник, шарниры которого последовательно обозначены номерами Плоское движение тела в теоретической механике — номера неподвижных

Гл. 8. Плоское движение тела

шарниров. Стержни четырехзвенника имеют номера Плоское движение тела в теоретической механике Записываем уравнения трех угловых скоростей:

Плоское движение тела в теоретической механике

где Плоское движение тела в теоретической механике( — угловая скорость Плоское движение тела в теоретической механике-го  звена, Плоское движение тела в теоретической механике— координаты его концов. Номера шарниров Плоское движение тела в теоретической механике как и номера звеньев Плоское движение тела в теоретической механике не обязательно должны быть последовательными числами.

3.    Из решения (1) получаем все угловые скорости механизма.

4.    Записываем уравнения трех угловых ускорений для каждого четырехзвенника *) :

Плоское движение тела в теоретической механике

где Плоское движение тела в теоретической механике — угловое ускорение Плоское движение тела в теоретической механике-го звена.

5.    Решаем (2) относительно неизвестных угловых ускорений.

Задача №4

Многозвенный механизм приводится в движение кривошипом OA, вращающимся с угловой скоростью Плоское движение тела в теоретической механике = 1 рад/с и угловым ускорением Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 103).Плоское движение тела в теоретической механике
Дано:Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механикеНайти угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма.

Плоское движение тела в теоретической механике Уравнения следуют из координатной формы записи векторной формулы (4), на с. 130, для ускорений точек при плоском движении.

8.4. Уравнение трех угловых ускорений

Решение

1. Нумеруем шарниры и звенья механизма (рис. 104). Выбираем систему координат, помещая ее начало в шарнир О. Определяем координаты шарниров:

Плоское движение тела в теоретической механике

2. Выделяем из механизма шарнирные четырехзвенники (рис. 105, 106). Записываем уравнения трех угловых скоростей для четырехзвенника OABD (рис. 105),
Плоское движение тела в теоретической механике

и для четырехзвенника О АСЕ (рис. 106),

Плоское движение тела в теоретической механике

(4)
3. Решаем систему четырех линейных уравнений (3), (4). Получаем угловые скорости звеньев:Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике Из решения следует, что звено АС движется мгновенно-поступательно. Этот результат очевиден. Его можно было получить сразу из условия задачи, не решая ее. Действительно, Плоское движение тела в теоретической механике следовательно, векторы скоростей шарниров А и С такжеПлоское движение тела в теоретической механике

параллельны и но перпендикулярны АС. Мгновенного центра скоростей звена АС не существует (расположен в "бесконечности"), что соответствует Плоское движение тела в теоретической механике

4. Записываем уравнения трех угловых ускорений для четырех-звенника OABD (рис. 105),

Плоское движение тела в теоретической механике

и для четырехзвенника ОАСЕ (рис. 106),Плоское движение тела в теоретической механике
5. Из решения (5,6) получаем угловые ускорения: Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике

Кинематические уравнения плоского движения

Постановка задачи. Составить кинематические уравнения плоского многозвенного механизма.

План решения:

1. Составляем кинематические графы механизма, выбирая наиболее короткие маршруты. Началом и концом графа должна быть точка с известной скоростью. Кинематические графы должны включать в себя все звенья механизма. Некоторые звенья могут входить в разные графы. Обозначения для графов приведены на с. 130.

8.5. Кинематические уравнения плоского движения

2.    Записываем по два кинематических уравнения в проекциях на оси координат для каждого графа. Получаем систему дифференциальных уравнений.

3.    Упрощаем систему уравнений, используя уравнения связей и тригонометрические формулы приведения.

Задача №5

Механизм состоит из стержней OA, АВ, CD и ползунов С и D. Ползун D движется вверх со скоростью Плоское движение тела в теоретической механике (рис. 107); BD = ВС. Составить кинематические уравнения механизма.Плоское движение тела в теоретической механике
Решение

1.    Составляем кинематические графы:

Плоское движение тела в теоретической механике

2.    Записываем для каждого графа (1), (2) по два кинематических уравнения в проекциях на оси координат:

Плоское движение тела в теоретической механике

3.    Упрощаем систему (3), используя уравнения связей,Плоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике и тригонометрические

Гл. 8. Плоское движение тела

формулы приведения:

Плоское движение тела в теоретической механике

Задача №6

Плоский манипулятор состоит из жесткой детали ОАВ, стержней ВС, AM, колеса С и захвата М. Даны длиныПлоское движение тела в теоретической механикеПлоское движение тела в теоретической механике и скорость захвата Плоское движение тела в теоретической механике
Плоское движение тела в теоретической механике
Составить кинематические уравнения манипулятора . Решение

1.    Составляем кинематические графы:

Плоское движение тела в теоретической механике

2.    Записываем по два кинематических уравнения в проекциях на оси координат для каждого графа (5):

Плоское движение тела в теоретической механике

Плоское движение тела в теоретической механике Задание K-3 из сборника [15]. В задании К-3 скорость точки М определяется из решения дифференциального уравнения так, чтобы манипулятор захватил деталь, движущуюся по известному закону. В рассматриваемом примере задача захвата не решается, а предполагается, что скорость М известна из других соображений, в том числе из условия захвата детали.

8.5. Кинематические уравнения плоского движения

3. Упрощаем систему (6), используя уравнения связей,Плоское движение тела в теоретической механике Плоское движение тела в теоретической механике и тригонометрические формулы приведения:

Плоское движение тела в теоретической механике

Замечание 1. В данной задаче скорости точек механизма можно найти для некоторого промежутка времени, а не для фиксированного момента времени, как в аналогичных задачах § 8.1, § 8.3. Решая нелинейную систему дифференциальных уравнений (4), получаем полную картину движения механизма . Для решения системы (4) необходимо дополнить ее начальными условиями:

Плоское движение тела в теоретической механике

где константыПлоское движение тела в теоретической механике и определяют начальную конфигурацию механизма. В некоторых численных методах для решения систему (4) требуется привести к форме Коши. Уравнения (4) представляют собой систему четырех алгебраических уравнений относительно Плоское движение тела в теоретической механике Решая систему, получаем, что

Плоское движение тела в теоретической механике

Замечание 2. В решении задачи следует использовать наиболее короткие графы. В данном случае вместо графа (2) можно было бы выбрать граф

Плоское движение тела в теоретической механике

Система дифференциальных уравнений изменится, однако в форме Коши ее вид останется прежним.
Плоское движение тела в теоретической механике На странице Интернет кафедры теоретической механики МЭИ www.termech.mpei.ac.ru можно найти обучающую программу ROBBY2, разработанную Осадченко Н.В. и Корецким А.В. Программа интегрирует уравнения (4), составленные- для задач из сборника [15], анимирует полученное решение и представляет результаты в виде графиков и таблиц.

Замечание 3. Метод графов широко используется для решения задач кинематики и динамики. Примеры составления графов представлены также на с. 243, 244 310, 313, 316, 327, 329.

Замечание 4. Для того, чтобы проинтегрировать полученные кинематические уравнения, необходимо скорости ползунов выразить через соответствующие координаты, например, Плоское движение тела в теоретической механике задать одну из пяти функций, входящих в уравнения, и выбрать для остальных функций начальные условия.

Предупреждение типичных ошибок:

  1. Кинематические графы являются ориентированными графами. Меняя направление маршрута, меняйте и угол. Следующие два графа
  2. эквивалентны: Плоское движение тела в теоретической механике
  3. Угловая скорость звена, которому принадлежат точки А и В графа Плоское движение тела в теоретической механике , не обязательно равна Плоское движение тела в теоретической механике см., например, с. 243.