Перпендикулярные прямые в геометрии с примерами

Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

При пересечении двух перпендикулярных прямых образуются 4 прямых угла.

Отрезки и лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 87 прямые

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок, который лежит на прямой, перпендикулярной данной, один из концов которого (основание перпендикуляра) является точкой пересечения этих прямых.

Прямая перпендикулярна прямой (рис. 88). Отрезок АВ — перпендикуляр к прямой , точка В — основание перпендикуляра. Точку В также называют проекцией точки А на прямую .

Если из точки М, которая не лежит на прямой , провести перпендикуляр МК к прямой (рис. 89), то получим перпендикуляр, опущенный из точки М на прямую . Если из точки Р, лежащей на прямой , провести перпендикуляр РЕ к прямой (рис. 90), то получим перпендикуляр, восстановленный (восставленный) к прямой .
                        

Теорема. Через точку, лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и только одну.

Дано: прямая ; точка А; (рис. 91).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и только одну.

Доказательство:

По аксиоме откладывания углов от луча АВ в данную полуплоскость можно отложить угол CAB, равный 90°, и притом только один. Тогда прямая АС перпендикулярна прямой . Предположим, что существует другая прямая AD, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Тогда  и от луча АВ в данную полуплоскость будут отложены два угла, равные 90°:  А это невозможно по аксиоме откладывания углов. Следовательно, не существует другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой .

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и притом только одну.

Дано: прямая ; точка A, (рис. 92).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и притом только одну.

Доказательство:

1) В начале докажем, что через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой . Мысленно перегнем лист с чертежом по прямой (совместим верхнюю полуплоскость с нижней, повернув ее вокруг прямой ) (рис. 92, а). Точка А займет некоторое положение, которое обозначим точкой В. Вернем полуплоскости в прежнее положение и проведем прямую АВ. Так как углы 1 и 2 совпадают при наложении полуплоскостей, то они равны. А поскольку эти углы смежные, то каждый из них равен 90° и

2) Теперь докажем, что АВ — единственная прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Пусть прямая AD также перпендикулярна прямой . Тогда (рис. 92,6). Совместим полуплоскости еще раз. Угол 3 совпадет с углом 4, значит Тогда — развернутый, и через точки А и В будут проходить две прямые: ранее проведенная прямая и прямая, проходящая через точки A, D и В. А это невозможно по аксиоме прямой. Следовательно, прямая AD не перпендикулярна прямой . Теорема доказана.

Из двух последних теорем следует, что на плоскости через любую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей). На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Дано: (рис. 93).

Доказать:

Доказательство:

Если предположить, что прямые и пересекаются в некоторой точке М, то окажется, что через точку М проходят две прямые и , перпендикулярные третьей прямой , а это невозможно. Значит, прямые и лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть параллельны между собой. Теорема доказана.

Теорема, обратная данной

Формулировка теоремы, как правило, состоит из двух частей: того, что дано, и того, что нужно доказать. Первая часть называется условием теоремы, вторая — заключением. Часто теорему формулируют в форме: «Если ...(условие теоремы), то ...(заключение теоремы)». Например, теорему о свойстве смежных углов можно сформулировать так: «Если углы смежные, то сумма этих двух углов равна 180°». «Углы смежные» — это условие теоремы, «сумма этих двух углов равна 180°» — заключение.

Если поменять условие и заключение теоремы местами, то получим утверждение, обратное данному. Для указанной выше теоремы получаем: «Если сумма двух углов равна 180°, то эти углы смежные». Но это утверждение неверно, поскольку можно привести пример двух углов, например, равных 60° и 120°, сумма которых 180°, но которые не являются смежными. Значит, приведенное утверждение не является теоремой.

Если же верно и обратное утверждение, то оно называется теоремой, обратной данной. Например, известна теорема: «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3» — и ей обратная: «Если число делится на 3, то и сумма цифр числа делится на 3».

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют, употребляя при этом выражение «тогда и только тогда». Объединим вышеуказанные теоремы: «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

Геометрия 3D

Пусть в пространстве прямая пересекает плоскость в точке В (рис. 98). Если прямая перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку В, то она называется прямой, перпендикулярной плоскости. Пишут Отрезок АВ называется перпендикуляром к плоскости .

Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости , достаточно, чтобы она была перпендикулярна каким-то двум прямым плоскости, проходящим через точку В. Например, прямым и .