Пересечение прямой с плоскостью в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Пересечение прямой с плоскостью:

Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью:

1. прямая — проецирующая, плоскость — общего положения;
2. прямая — общего положения, плоскость — проецирующая;
3. прямая и плоскость — общего положения.

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

При решении задач на определение точки пересечения проецирую- щей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой

Алгоритм решения

1. Так как прямая — горизонтально- проецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вы- рожденной проекцией прямой Отметим горизонтальную проекцию
2. Фронтальную проекцию определим по принадлежности точки K плоскости (задача 3).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью (рис. 51).

Алгоритм решения

1. Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость — фронтально- проецирующая, следовательно, проекция определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости
2. Горизонтальную проекцию определим по принадлежности точки K прямой (задача 1).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2.

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения выполним следующие операции:

1. Заключим прямую во вспомогательную плоскость (рис. 52). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость.

2. Строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости — прямую m. 3. Определим точку пересечения K прямой линии с построенной линией m.

Так как линия m принадлежит заданной плоскости следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой с плоскостью

Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа п. 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения (ABC) с проецирующей плоскостью

При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости.

Алгоритм решения

1. Определим фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (рис. 53, б).
2. Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости (задача 2).

• Заказать чертежи

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения  (ABC) (рис. 54, а).

Алгоритм решения

1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии совпадет с вырожденной проекцией плоскости (рис. 54, б).

2. Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (см. рис. 53).

3. Определим проекции точки пересечения K прямой линии с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом:

• отметим проекцию
• на пересечении и линии проекционной связи отметим проекцию (рис. 55, б).

4. Определим видимость прямой относительно плоскости

Точка K делит прямую на две части — видимую и невидимую (плоскость считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на и под плоскостью при проецировании на (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией.

Определим видимость прямой при проецировании на плоскость по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций можно сделать вывод, что точка 3, принадлежащая — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций эту часть прямой отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией.

Видимость прямой при проецировании на плоскость определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций этот участок прямой отметим основной линией.