![](https://www.evkova.org/stc/img/evkova.png)
Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами
Пересечение прямой линии с поверхностью:
Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью. Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:
- выбором положения вспомогательной секущей плоскости;
- переводом секущей прямой в частное положение.
Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая
Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1).
Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ (
Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2).
Решение: при решении задачи выделим проекции точек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции - точки . Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой m с поверхностью цилиндра
и
находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.
Вспомогательная секущая плоскость общего положения
Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую, при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получилось простейшее сечение. Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и пересекающая эту поверхность по прямым линиям (образующим).
При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую параллельно образующим цилиндра.
Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3).
Решение: прямую m заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми m и n, проходящими через точку А, которая выбирается произвольно на заданной прямой m.
Для определения горизонтального следа плоскости Р находят горизонтальные следы прямых m и n. Следы отмечают точками, например, , в которых горизонтальный след
плоскости Р пересекает основание конической поверхности. Проекции
- образующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоскостью Р.
Точки - горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение
определяют фронтальные проекции
.
Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение
При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.
Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4).
Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей в которой
, и переходят от системы
к системе
. Новую ось проекций
проводят параллельно горизонтальной проекции прямой
.
Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек и
проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости
откладывают координаты
и
т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек
. Новая проекция
будет натуральной длиной отрезка прямой АВ.
Аналогично находят и центр сферы
В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость
в отрезок (1-2), а на плоскость
в окружность тем же радиусом R. Точки
- вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек
а затем
.
Плоскость, касательная к поверхности
Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.
Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме) и к каждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные прямые (касательные) определяют касательную плоскость.
Задание: построить плоскость Р, касательную к поверхности сферы и проходящую через точку К (рис. 12.5).
Решение: плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОК, строят плоскость, задавая ее горизонталью КВ и фронталью КС.
При этом горизонтальная проекция перпендикулярна к
, а фронтальная проекция
перпендикулярна к
.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |