Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Парабола:

Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.

Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисыПарабола - определение и вычисление с примерами решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: Парабола - определение и вычисление с примерами решения (а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 35а. Параболы и их уравнения.

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 356. Параболы и их уравнения.

Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

  • Парабола - определение и вычисление с примерами решения - точка пересечения параболы с осью абсцисс;
  • Парабола - определение и вычисление с примерами решения - точка пересечения параболы с осью ординат.

Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.

Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка Парабола - определение и вычисление с примерами решения следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Пример:

Дано уравнение параболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

Решение:

Так как из уравнения параболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения следует, что Парабола - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Парабола - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке Парабола - определение и вычисление с примерами решения а уравнение директрисы имеет вид Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения до её асимптоты.

Решение:

Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.

Гипербола: Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, действительная полуось гиперболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения а мнимая полуось - Парабола - определение и вычисление с примерами решения Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения Итак, Парабола - определение и вычисление с примерами решенияВычислим расстояние от фокуса Парабола - определение и вычисление с примерами решения до асимптоты Парабола - определение и вычисление с примерами решения которое равно параметру р:

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид: Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Парабола - определение и вычисление с примерами решения Написать уравнение директрисы.

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, большая полуось эллипса Парабола - определение и вычисление с примерами решения а малая полуось Парабола - определение и вычисление с примерами решения Так как Парабола - определение и вычисление с примерами решения, то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Парабола - определение и вычисление с примерами решения Итак, Парабола - определение и вычисление с примерами решения Так как фокус параболы Парабола - определение и вычисление с примерами решения совпадает с одним из фокусов Парабола - определение и вычисление с примерами решения или Парабола - определение и вычисление с примерами решения эллипса, то параметр р найдем из равенства Парабола - определение и вычисление с примерами решенияуравнение параболы имеет вид Парабола - определение и вычисление с примерами решения Директриса определяется уравнением Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение параболоида вращения

Пусть вертикальная парабола

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку Парабола - определение и вычисление с примерами решения параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).

Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения

Парабола - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.