Основы теории цепей - примеры с решением заданий и выполнением задач

Основ теории цепей (ОТЦ) — это наука посвященая решению задач анализа и синтеза электрических цепей. Задача анализа электрической цепи состоит в определении токов, напряжений и мощностей в случаях, когда известны конфигурация и параметры элементов исследуемой электрической цепи. Задача синтеза электрической цеписостоит в нахождении конфигурации топологии цепи и выборе ее элементов, если заданы токи и напряжения.

Рассчитать цепь — это значит вычислить все напряжения ветвей и все токи в ветвях. В теории цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напряжения и источники тока. К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности и ёмкости. Цепи, содержащие активные элементы, называются активными, состоящие только из пассивных элементов−пассивными.

Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Основы теории цепей" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.

Содержание:

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической (электромагнитной) и других видов энергии и информации, если процессы, протекающие в устройствах, могут быть описаны при помощи понятий об электродвижущей силе (ЭДС), токе и напряжении. Основными элементам и электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии (и информации), которые соединяются между собой проводами.

В источниках электрической энергии (гальванические элементы, аккумуляторы, электромашинные генераторы и т. п.) химическая, механическая, тепловая энергия или энергия других видов превращается в электрическую, а в приемниках электрической энергии (электротермические устройства, электрические лампы, резисторы, электрические двигатели и т. п.), наоборот, электрическая энергия преобразуется в тепловую, световую, механическую и др.

Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача и преобразование в приемниках происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока. При постоянных токах и напряжениях магнитные и электрические поля электрических установок также не изменяются во времени. Вследствие этого в цепях постоянного тока не возникают ЭДС индукции и отсутствуют токи смещения в диэлектриках, окружающих. проводники.

Вместо термина «приемник электрической энергии» в дальнейшем будем применять более краткие и равнозначные термины - «приемник» или «потребитель», а вместо термина «источник электрической энергии» - «источник энергии», «источник питания» или «источник». Кстати основы теории цепей похожи на предмет теоретическое основы электротехники.

Элементы электрических цепей и схем

На рис. 1.1 условно изображена простейшая электрическая установка с источником энергии - аккумуляторной батареей и с приемником - группой электрических ламп. Выводы (зажимы) источника и приемника энергии соединены между собой двумя проводами. Источник энергии, провода и приемник образуют замкнутый проводящий контур. В этом контуре под действием ЭДС источника энергии происходит непрерывное и односторонне направленное упорядоченное движение электрических зарядов. Совокупность этих трех элементов - источника энергии, двух проводов и приемника - представляет собой простейшую электрическую цепь постоянного тока. Практически чаще встречаются более сложные электрические цепи с несколькими источниками и большим числом приемников энергии, с измерительными приборами и вспомогательными элементами (переключателями, предохранителями и т. п.).

Рис.1.1.

Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схем ой замещения, т. е. идеализированной цепью, которая служит расчетной моделью реальной цепи. При решении задач расчета режима работы цепи и других задач анализа и синтеза каждый реальный элемент цепtf заменяется элементами схемы, математическое описание каждого из которых (математическая модель) должно отражать главные (доминирующие) процессы в элементе цепи, или, точнее, все, которые необходимо учесть при анализе или синтезе.

Для цепи постоянного тока пользуются понятиями двух основных элементов схемы: источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением r.т (рис. 1.2, а) и резистивного элемента - приемника (нагрузки) с сопротивлением

Электродвижущая сила Е (рис. 1.2, а) численно равна разности потенциалов или напряжению И между положительным и отрицательным выводами 1 и 2 источника энергии при отсутствии в нем тока, т. е. как говорят, в режиме холостого хода, независимо от физической природы ее возникновения (контактная ЭДС, термо-ЭДС и т. д.):

Электродвижущую силу Е можно определить как работу сторонних (неэлектрических) сил, присущих источнику, затрачиваемую на перемещение единицы положительного заряда внутри источника от вывода с меньшим потенциалом к выводу с большим потенциалом. Направление действия ЭДС (от отрицательного вывода к положительному) указывается на схеме стрелкой.

Если к выводам источника энергии присоединить приемник (нагрузить), то в замкнутом контуре этой простейшей цепи возникает ток / (рис. 1.3), при этом напряжение или разность потенциалов на выводах 1 и 2 уже не будут равны ЭДС вследствие падения напряжения внутри источника энергии, т. е. на его внутреннем сопротивлении :

На рис. 1.4 представлена одна из наиболее типичных, так называемых внешних характеристик т. е. зависимость напряжения на выводах нагруженного источника энергии от тока. Как показано на рисунке, при увеличении тока от нуля до напряжение на выводах источника энергии убывает практически по линейному закону:

Иначе говоря, при Е = const падение напряжения внутри источника энергии И вт в указанных пределах растет пропорционально току. При дальнейшем росте тока нарушается пропорциональность между его значением и падением напряжения внутри источника энергии -внешняя характеристика не остается линейной. Такое уменьшение напряжения вызвано у одних источников энергии уменьшением ЭДС, у других увеличением внутреннего сопротивления, а у третьих одновременным уменьшением ЭДС и увеличением внутреннего сопротивления.

Развиваемая источником энергии мощность определяется равенством:

Здесь следует указать на установившееся в электротехнике неточное применение термина «мощность». Так, например, говорят о генерируемой, отдаваемой, передаваемой, потребляемой мощности. В действительности генерируется, отдается, получается не мощность, а энергия. Мощность характеризует интенсивность энергетического процесса и измеряется количеством генерируемой, отдаваемой, передаваемой и других видов энергии в единицу времени. Поэтому правильно было бы говорить о мощности генерирования энергии, о мощности передачи энергии и т. д. Следуя традициям электротехники, будем применять приведенные выше краткие выражения.

Сопротивление приемника r (см. рис. 1.2, б) характеризует потребление электрической энергии, т. е. превращение электрической энергии в другие виды, при мощности:

В общем случае сопротивление приемника зависит от тока в этом приемнике r . По закону Ома напряжение на сопротивлении приемника, которое называется еще сопротивлением нагрузки,

Отметим, что к открытию этого закона довольно близко подошел еще в 1801-1802 гг. акад. Б. Б. Петров. Позднее, в 1826 г., этот закон был сформулирован Омом. Наряду с сопротивлением для расчета цепей вводят понятие п р о в о д им о ст и

Единица измерения тока (силы тока) называется ампер (1 А), ЭДС и напряжения - вольт (1 В), сопротивления - ом (1 Ом), причем 1 Ом= 1 В/1 А, проводимости - сименс (1 См = 1 / Ом), мощности - ватт (1 Вт= 1 В• 1 А). При измерении всех величин можно применять кратные и дольные единицы, например килоампер (1 кА = милливольт (1 мВ= В), мегаом (1 МОм= Ом), микроватт (1 мкВт = Вт) и т. д. (см. приложение 1). На практике часто бывает задана не зависимость сопротивления от тока r приемника или резистивного элемента, представляющего приемник на схеме, а зависимость напряжения на резистивном элементе от тока или обратная зависимосп, тока от напряжения. Характеристики и получили распространенное, хотя и не совсем точное название в о л ь т - а м п е р н ы х (БАХ). На рис. 1.5 представлены БАХ лампы с металлической нитью и лампы с угольной нитью . Как показано на рисунке, связь между напряжением и током каждой лампы - нелинейная. Сопротивление лампы с металлической нитью растет с увеличением тока, а сопротивление лампы с угольной нитью с увеличением тока падает.

Электрические цепи, содержащие элементы с нелинейными характеристиками, называются нелинейными.

Если принять ЭДС источников энергие виды, их внутренние сопротивления и сопротивления приемников не зависящими от токов и напряжений, то внешние характеристики источников энергии и приемников будут линейными (рис. 1.6).

Электрические цепи, состоящие только из элементов с линейными характеристиками, называют л и не й н ы м и.

Режим работы большого числа реальных электрических цепей дает возможность отнести их к линейным. Поэтому изучение свойств и методов расчета линейных электрических цепей представляет не только теоретический, но и значительный практический интерес. Эти свойства и методы расчета рассматриваются в ч. 1 книги.

Схемы замещения источников энергии

Простейшая электрическая цепь и ее схема замещения, как указывалось, состоят из одного источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением и одного приемника с сопротивлением: r (см. рис. 1.3). Так во внешней по отношению к источнику энергии части цепи, т. е. в приемнике с сопротивлением r, принимается направленным от точки а с большим потенциалом к точке b с меньшим потенциалом

Направление тока будем обозначать на схеме стрелкой с просветом или указывать двумя индексами у буквы I, такими же, как и у соответствующих точек схемы. Так, для схемы рис. 1.3 ток в приемнике, где индексы а и b обозначают направление тока от точки а к точке b.

Покажем, что источник энергии с известными ЭДС Е и внутренним сопротивлением может быть представлен двумя ос новными схемами замещения (эквивалентными схемами).Как уже указывалось, с одной стороны, напряжение на выводах источника энергии меньше ЭДС на падение напряжения внутри источника:

с другой стороны, напряжение на сопротивлении r:

Ввиду равенства получается или и

В частности, при холостом ходе (разомкнутых выводах а и b) получается т. е. ЭДС равна напряжению холостого хода. При коротком замыкании (выводов а и b) так или

Из (1.76) следует, что источника энергии, так же как и сопротивление приемника, ограничивает ток. На схеме замещения можно показать элемент схемы с , соединенным последовательно с элементом, обозначающим ЭДС Е (рис. 1.7, а). Напряжение И зависит от тока приемника и равно разности между ЭДС Е источника энергии и падением напряжения r.тl (1.6а). Схема источника энергии, показанная на рис. 1.7, а, называется первой схемой замещения или схемой с источником ЭДС.

Если напряжение т. е. источник электрической энергии находится в режиме, близком к холостому ходу, то можно практически пренебречь внутренним падением напряжения и принять В этом случае для источника· энергии получается более простая эквивалентная схема только с источником ЭДС, у которого в отличие от реального источника исключается режим короткого замыкания ( И = О). Такой источник энергии без внутреннего сопротивления обозначенный кружком со стрелкой внутри и буквой Е (рис. 1.7, 6), называют идеальным источником Э Д С или источником напряжения (источником с заданным напряжением). Напряжение на выводах такого источника не зависит от сопротивления приемника и всегда равно ЭДС Е. Его внешняя характеристика - прямая, параллельная оси абсцисс (штриховая прямая аb на рис. 1.4). Источник энергии может быть представлен и второй схемой замещения (рис. _1.8, а). Чтобы обосноваn, эту возможность, разделим правую и левую части уравнения (1.7а) на

В результате получим

где - внутренняя проводимость источника энергии, или

где - ток при коротком замыкании источника энергии (т. е. ток при сопротивлении r = О); некоторый ток, равный отношению напряжения на выводах источника энергии к его внутреннему сопротивлению; - ток приемника; - проводимость приемника.

Полученному уравнению (1.8) удовлетворяет схема замещения с итосником тока, состоящая из источника с заданным током (рис. 1.8, а) и соединенного с ним параллельно элемента (общие выводы 1 и 2).

Если или и при одном и том же напряжении т. е. источник энергии находится в режиме, близком к короткому замыканию, то можно принять ток В этом случае для источника энергии получается более простая схема замещения только с источником тока (рис. 1.8, 6). Такой источник с внутренней проводимостью обозначенный кружком с двойной стрелкой с разрывом внутри и буквой J, называют идеальным ист о ч ни к ом то к а (источником с заданным током). Ток идеального источника тока J не зависит от сопротивления приемника r. Его внешняя характеристика - прямая, параллельная оси ординат (штриховая прямая cd на рис. 1.4). Для идеального источника тока исключается режим холостого хода

В дальнейшем, если нет специальных указаний, терминами «источник ЭДС (напряжения)» и «источник тока» обозначаются часто идеальные источники. Источники ЭДС и источники тока называются активнми элементами электрических схем, а резистивные элементы - пассивными.

При составлении электрической схемы замещения для той или иной реальной цепи стремятся по возможности учесть известные электрические свойства как каждого участка, так и в целом всей цепи.

В зависимости от электрических свойств цепи и условий поставленной задачи важно правильно выбирать электрические схемы замещения и пользоваться ими для исследования режимов в реальных электрических цепях.

Закон Ома для участка цепи с ЭДС

Для однозначного определения потенциала любой точки электрической цепи необходимо задать (произвольно) потенциал какой-нибудь одной точки. Выберем для схемы, представленной на рис. 1.7, а, . По определению потенциал точки 3 больше на значение ЭДС:

Ток 1 во внешней части простейшей электрической цепи, а в общем случае в любом пассивном элементе цепи, а значит, и схемы, направлен, как указывалось, от точки с более высоким потенциалом (3) к точке с более низким (1). Поэтому потенциал больше потенциала

Из (1.9) и (1.10) имеем

откуда ток

Аналогично можно написать формулу для тока участка сложной электрической схемы, состоящего из любого числа последовательно соединенных источников, представленных схемами замещения на рис. 1.7, и приемников при заданной разности потенциалов на концах этого участка (рис. 1.9). Ток 1 на участке схемы, содержащем источники ЭДС, может быть направлен от точки а к точке b или наоборот.

Если направление тока заранее не известно, то для составления выражений, подобных (1.11), нужно выбрать направление тока произвольно. Такое произвольно выбранное направление тока условились называть положительным направлением обозначать (как и выше действительное направление) стрелкой с просветом или отмечать индексами у буквы /. Если принять за положительное направление тока 1 направление от точки а к точке b, то потенциал определяется через потенциал выражением

Из этого равенства следует

или

где -суммарное сопротивление участка схемы; -разность потенциалов или напряжение между выводами рассматриваемого участка, взятые по выбран- ь ному направлению тока;

- алгебраическая сумма ЭДС, действующих на том же участке, причем каждая ЭДС, направление действия которой совпадает с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а в противном случае -с отрицательным.

Формула (1.12а) представляет собой закон Ома для участка цепи (схемы) с ЭДС (обобщенный закон Ома).

Если в результате расчета по (1.12а) для тока получается отрицательное значение, то это значит, что действительное направление тока не совпадает с выбранным положительным направлением (противоположно произвольно выбранному направлению).

Для напряжения между любыми точками цепи также может быть произвольно выбрано положительное направление. Положительное направление напряжения указывается индексами у буквы И или обозначается. на схемах Действительно, по (1.1 la) стрелкой, которую, например, для напряжения будем в дальнейшем ставить от точки а к точке bи Таким образом, напряжение, как и ток, при расчетах надо рассматривать как алгебраическую величину.

Для ЭДС источников напряжения и токов источников тока, если их действительные направления не известны, также выбираются произвольные положительные направления, которые указывают двойными индексами или обозначают стрелками.

На участках схемы с пассивными элементами положительные направления напряжения и тока будем всегда выбирать совпадающими. В этом случае отдельную стрелку для напряжения можно и не ставить.

Баланс мощностей для простой неразветвленной цепи

Рассмотрим энергетические соотношения для электрической цепи, состоящей, например, из одной машины постоянного тока с ЭДС и внутренним сопротивлением и аккумуляторной батареи с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис. 1.10). ЭДС машины и аккумуляторной батареи направлены навстречу друг другу. Пусть ЭДС машины больше ЭДС аккумуляторной· батареи. При этом условии действительное направление тока 1 совпадает с направлением ЭДС . Напряжение И на выводах обоих источников меньше ЭДС на внутреннее падение напряжения. в машине и больше ЭДС на падение напряжения в батарее.

Действительно, по (1.1 la)

и

так как Напряжение поэтому

и

После умножения обеих частей (1.14) на I и перестановки слагаемых получаем

Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, развиваемую машиной; первое слагаемое правой части определяет мощность тепловых потерь (в обмотке машины), а второе слагаемое правой части - мощность, отдаваемую машиной аккумуляторной батарее.

Умножив правую и левую части выражения (1.15) на ток I; получим:

Из этого уравнения непосредственно вытекает, что мощность получаемая аккумуляторной батареей, состоит из мощности тепловых потерь и мощности, необходимой для зарядки аккумуляторов

Полученные соотношения для баланса мощностей применимы не только к цепи зарядки аккумуляторов, но и. к любым другим цепям. Отличие состоит лишь в том, по в приемниках другого рода электрическая энергия расходуется не на зарядку аккумуляторов, а на другие процессы, например в электрических двигателях - на механическую работу, в резисторах - только на тепловые потери.

Если представить источник энергии другой эквивалентной схемой (рис. 1.11 ), то окажется, что мощность, развиваемая источником тока, не равна мощности, развиваемой источником ЭДС. Действительно, мощность, развиваемая источником тока, определяется произведением тока и напряжения на выводах источника тока, т. е. равна

Так как , ТО после замены тока и простых преобразований получим

Из сравнения выражений (1.18) и (1.16) непосредственно следует, что при одинаковом напряжении на выводах обоих источников и одинаковом токе тепловые потери при схеме по рис. 1.10 не равны в общем случае тепловым потерям при схеме по рис. 1.11, вследствие чего и мощность, развиваемая источником ЭДС не равна мощности, развиваемой источником тока Это следует иметь в виду при замене реального источника энергии источником ЭДС или источником тока.

Пример №1

К выводам последователь но соединенных источников энергии (ЭДС; внутренние сопротивления ) подключен приемник - резистор с изменяющимся сопротивлением (рис. 1.12). Определить значение сопротивления r, при котором мощность резистора максимальна. Найти мощность приемника и источников энергии при этом значении сопротивления.

Решение:

Для определения сопротивления r, при котором мощность резистора максимальна, воспользуемся выражением мощности

Так как ток

то

Вычислив производную от Р по r и приравняв ее нулю, найдем искомое сопротивление:

Это соотношение показывает, что мощность приемника максимальна при равенстве суммарного внутреннего сопротивления источников и сопротивления приемника.

Значения остальных величин определяются по формулам:

ток мощности, развиваемые первым и вторым источниками ЭДС

мощность приемника

мощность тепловых потерь в обоих источниках т. е. мощность приемника равна мощности потерь в обоих источниках (так как мощность резистора максимальна при

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.

Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более ОДНОГО раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 - у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 - р). Так как напряжение между выводами ветви 2 -р равно нулю ( сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим · образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу с отрицательными знаками, а направленные - с положительными.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (l.19a) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где / - ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, а J - ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в, этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами с и н т е з а электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.

В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.

Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У - 1 и В - У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях). На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем

Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У - 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У - 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14, а с четырьмя узлами

Добавим к этим У- 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество О = О; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).

Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности - сечению.

Например, для поверхности S (рис. 1.14, а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение что можно также получить из уравнений (1.21) ДЛЯ УЗЛОВ Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В уравнений на основании закона Ома (1.lla):

где - сопротивление ветви, соединяющей узлы р и у; - суммарная ЭДС, действующая в ветви р - у

в направлении отрезку;- потенциалы узлов р и у.

В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов В ветвей и потенциалов У узлов равняется В + У.

Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любому значению, в частности нулю. Если теперь из системы В уравнений (1.22) исключить оставшиеся неизвестными У - 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до В - ( У - 1 ). Но исключение потенциалов из уравнений ( 1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.

Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В - (У- 1).

В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по (1.126):

Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получим:

Если применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.

Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:

для контура 1-3-2-1

для контура 2-4-3-2

Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если в результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры необходимо выбрать так, чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров - возможtю меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1.23), (1.24а) и получается путем их суммирования. Далее будет дано наиболее общее правило выбора контуров, обеспечивающих получение независимых уравнений.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений ( 1.20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения (рис. 1.14, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.

Пример №2

Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв известным в одном случае ток , а в другом напряжение

Решение:

На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока при заданном напряжении

и при заданном токе

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.

В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая всеми источниками мощность равна суммарной мощности приемников и мощности потерь в источниках (из-за внутренних сопротивлений)

В левой части (1.25) суммы алгебраические. Это значит, что если при заданных направлениях действия источника ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см. рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС или напряжения на выводах источника тока получится отрицательное численное значение, то этот источник в действительности не разовьет мощность, а получит ее от других источников. Соответствующее слагаемое в левой части (1.25) получится со знаком минус. Если требуется найти необходимую мощность источников питания цепи, то· такие слагаемые следует записать с обратным знаком в правой части (1.25).

Топологические графы

При изложении методов расчета электрических цепей иногда целесообразно применять некоторые топологические понятия, к числу которых относятся, в частности, направленные и ненаправленные топологические графы.

Как следует из первого закона Кирхгофа (1.19), вид уравнений зависит не от элементов ветвей, соединенных в узлах, а от геометрической структуры самих соединений. Аналогичный смысл имеет уравнение (1.20а), выражающее второй закон Кирхгофа. Но, конечно, токи и напряжения зависят не только от геометрической структуры цепи, но и от элементов соответствующих ветвей, что непосредственно следует из закона Ома для участка цепи с ЭДС (1.12а).

Для характеристики геометрической структуры схемы цепи можно пользоваться графом, части которого, называемые ветвями (ребрами), изображают ветви схемы, а точки их соединения, называемые узлами (вершинами), изображают узлы схемы. На рис. 1.14, 6 показан не направленный (неориентированный) граф для схемы, изображенной на рис. 1.14, а, где каждая из ветвей этого графа (рис. 1.14, 6) соответствует определенной ветви схемы (рис. 1.14, а).

Направленным (ориентированным) топологическим графом называется такой, у которого каждая ветвь имеет определенное направление (ориентацию). Для графов схем электрических цепей направление ветви будем выбирать совпадающим с положительным направлением тока в ветви, что и показано на рис. 1.14, в.

Граф заданной схемы можно изобразить по-разному, но каждое изображение должно иметь одинаковое со схемой число узлов, а соединяющим их ветвям можно дать различное начертание (рис. 1.14, в-д).

Для направленного графа (рис. 1.14, в) можно записать уравнения на основании первого (1.19) и второго (1.20а) законов Кирхгофа в следующем виде:

при этом три уравнения (1.19в) совпадают с уравнениями (1.21а), а последние три уравнения можно преобразовать в уравнения (1.23) и (1.24) при помощи закона Ома для участка цепи с ЭДС (1.126). Например, из схемы (рис. 1.14, а) следует, что

после замены напряжений и в уравнениях для контура 1-4-2-1 (рис. 1.14, в) их правыми частями получается выражение, совпадающее с уравнением (1.23).

Чтобы выбрать независимые контуры, введем еще для графа понятия дерева, пути и ветви связи.

Деревом называется совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих ни одного контура. Например, для графа рис. 1.14, в два из возможных деревьев показаны толстыми линиями на рис. 1.14, г и 1.14, д. Непрерывная последовательность ветвей между какими-либо двумя узлами графа при условии, что любой другой узел встречается не более 1 раза, образует путь. Для части графа, составляющей дерево, между каждой парой узлов существует только один путь. Например, путь между узлами дерева 2 и 3 (рис. 1.14, г) состоит из ветвей 3 и 4. Совместно два пути между теми же узлами графа образуют уже контур, т. е. замкнутый путь. Так, добавление второго пути между узлами 2 и 3, состоящего из ветви 6, образует вместе с ветвями первого пути контур из ветвей 3, 1 и 6. Число ветвей дерева равно У -1, т. е. числу независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа (два узла можно соединить одной ветвью, три узла -двумя ветвями и т. д.). При добавлении еще одной ветви образуется уже контур.

Ветвью связи (связью, хордой) называется любая из ветвей, не входящая в дерево. Все ветви связи дополняют дерево до графа схемы. На рис., 1.14, г и д ветви связи показаны тонкими линиями. Так как общее число ветвей графа равно В, то граф содержит В -( У -1) ветвей связи, т. е. как раз столько, сколько необходимо составить независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, у графов рис. 1.14, г и д число ветвей В= 6, число узлов У= 4, ветвей дерева У - 1 = = 3, ветвей связи В -(У-1) = 3. Если в каждый контур кроме ветвей дерева войдет одна из ветвей связи, не входящая в другие контуры, то для таких В-(У-1) главных контуров получится независимая система контурных уравнений. Например, для графа рис. 1.14, г можно записать следующие три независимых уравнения по второму закону Кирхгофа: первое для ветвей дерева 3, 2 и ветви связи 4, второе для ветвей дерева 3, 1 и ветви связи 6, третье для ветвей дерева 2, 1 и ветви связи 5.

Как указывалось, вместо уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов можно составить уравнения для сечений. Для упрощения выбора независимых сечений целесообразно проводить их так, чтобы каждое сечение разрезало только одну ветвь дерева -было главным сечением. Число главных сечений равно числу ветвей дерева У -1, т. е. числу независимых уравнений, которые необходимо составить по первому закону Кирхгофа. На рис. 1.14, д показаны штриховой линией три главных сечения . Нормаль к поверхности сечения или ее положительное направление выбирают совпадающим с положительным направлением соответствующей ветви дерева.

Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.

Матрица соединений, или узловая А, -это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для У - 1 узлов. Строки (i) соответствуют узлам (их число равно У-1), столбцы (j) -ветвям (их число равно В). Элемент матрицы если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла i (положительное направление тока в ветви j выбрано от узла i. Элемент матрицы , если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к узлу i. Элемент матрицы , если ветвь j не присоединена к узлу i.

Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В= 6 ветвями для первых трех узлов что соответствует первым трем уравнениям (1.21а).

Так как матрица А определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединений на матрицу-столбец токов ветвей I дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равно нулю:

-это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а). Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы. Матрица сечений Q - это таблица коэффициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно У- 1), столбцы j - ветвям (их число равно В). Элемент матрицы если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы если ветвь j не содержится в сечении i.

Для главных сечений составляется матрица главных сечений.

Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений:

После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.

Матрица контуров В - это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для К = В - ( У - 1) независимых контуров. Строки k соответствуют контурам (их число равно К), столбцы j - ветвям (их число равно В)

Элемент матрицы если ветвь j входит в состав контура k и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы если ветвь j входит в состав контура k и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы если ветвь j не входит в состав контура k.

Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (6) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

Умножив матрицу В на матрицу столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.

Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

Эта система с учетом равенства и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).

Для любой планаррной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14,а это ячейки /, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, ТО

После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20а):

которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206). Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС рис. 1.23 или введение понятия обобщенной ветви.

Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома (1.12).

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1.16.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е.. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

Токи в ветвях согласно закону Ома (1.12а)

где -потенциалы узлов 1 и 2. После подстановки (1.29) в (1.28) и группировки членов получим

или

В этих уравнениях - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; -сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (1.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла. Уравнения (1.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1.16, и для каждого узла примем положительные направления токов рт узла.

Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения:

Принимая, как и раньше, напишем выражения для токов ветвей:

После подстановки (1.32) в (1.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1.30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю. Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными - от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1.17, при получим соответственно следующие уравнения:

или

Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов ( У -любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У - 1 потенциалов остальных узлов получается У - 1 уравнений:

или в более общей форме для любого узла р при

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1.30), проводимость (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток - узловой ток - равен алгебраической сумме и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида не входят.

Решив уравнения (1.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома (1.12а).

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются. Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 1.18, а), у которой сопротивление· ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной or узла 2 (на рис. 1.18,а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1.18, 6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1.18, 6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = О (рис. 1.18,а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1.18, а) , то потенциалузла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов нужно составить уравнения (1.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1.18, 6). Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис. 1.19). Найдем напряжение , записав уравнение (1.33) для первого узла

откуда

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель - арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами. Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (1.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример №3

На рис. 1.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: В, ; сопротивления ветвей: Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Решение:

Пусть потенциал точки О равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами

или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС

Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: . Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1.20, а)

Матричные уравнения узловых потенциалов. Уравнения узловых потенциалов (1.33) можно записать в матричной форме:

где -квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

-Матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец узловых токов, причем по (1.ЗЗа) при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к i-му узлу. Умножив слева уравнение (1.35) на , получим уравнение для определения потенциалов узлов схемы в виде

где - матрица, обратная матрице

Ниже показано, что матрицу узловых проводим остей можно составить не посредственно по соответствующей схеме цепи по формуле:

где А -матрица соединений (узловых проводимостей ветвей схемы) или ее направленного графа; g -диагональная матрица проводимостей ветвей; А-т транспонированная матрица соединений.

Для иллюстрации применения формулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20,а, для которой на рис. 1.20, 6 построен направленный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов (для узлов 1, 2, 3):

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Произведение матриц А и g:

Матрица узловых проводим остей цепи (1.39) получается после перемножения матриц

Матрица-столбец потенциалов узлов:

Матрица-столбец узловых токов:

Пользуясь выражением (1.35), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1.3.

Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по (1.39) получится неопредеоенная матрица цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.

Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали.

Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле:

где положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1.20

Из этого выражения следует:

как и должно быть.

Метод контурных токов

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь К= (В-У+ 1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь В, как и ранее, - число ветвей и У - число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется. Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 1.21, а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 1.21,а ветви с токами соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 1.21, б); поэтому ветви с токами будут ветвями связи. На рис. 1.21, 6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ·ветвей связи - штриховыми.

Для схем на рис. 1.21, а и 6 по первому закону Кирхгофа

На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает ТОЛЬКО одну ветвь связи,

Пользуясь уравнениями (1.41), исключим из уравнений ( 1.42) токи и всех ветвей дерева, общих для нескольких туров; в результате получим:

В соответствии с уравнениями (1.43) можно принять, что каждый из токов замыкается через соответствующую ветвь СВЯЗИ в ОДНОМ ИЗ контуров (рис. 1.21,а и 6), и назвать такие токи контурными:

Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов разность ЭДС : равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока на всех сопротивлениях этого контура и от токов соответственно на сопротивлениях и .

Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, · пятой и шестой ветвей (рис. 1.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами , замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам:

Выражение для тока получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечениюслед которого показан на рис. 1.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений. определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 1.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей В на число узлов схемы без одного (У - 1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой - от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 1.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: или для контурных токов

Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока - ветвью связи - замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 1.17. На основании второго закона Кирхгофа

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений. токи ; в результате после группировки слагаемых получим:

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями и, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

Обозначив в уравнениях (1.46) составляющие напряжений соответственно через , можно переписать их иначе:

Здесь следует отметить, что перенос слагаемых из левой в правую часть уравнений (1.47) и замена этих напряжений на схеме ЭДС иллюстрируют применение так называемого принципа компенсации. Уравнениям (1.47) соответствует эквивалентная схема (рис. 1.22, а), на которой источник тока J заменен источниками ЭДС при этом токи в ветвях с сопротивлениями не равны соответствующим токам в ветвях заданной схемы (см. рис. 1.17) и отличаются от них на ток J источника тока. Иначе говоря, после определения контурных токов необходимо для вычисления токов в ветвях заданной схемы (рис. 1.17) записать уравнения по первому закону Кирхгофа именно для заданной схемы:

Аналогично можно показать, что если принять ток J замыкающимся по ветви с сопротивлением то получится новая эквивалентная схема (рис. 1.22, б); контурный ток в эквивалентной схеме не равен току в ветви с сопротивлением заданной схемы (см рис. 1.17) и отличается от него на ток J.

Замена источника тока J двумя эквивалентными источниками напряжения (рис. 1.22, а) основана на предварительном преобразовании одного источника тока, включенного к узлам 1 и 4 (см. рис. 1.17) двумя источниками тока, включенными к узлам 1 и 3, 3 и 4. Покажем справедливость такого преобразования для более общего случая. На рис. 1.23, а изображена часть разветвленной схемы с одним источником тока J, присоединенным к узлам 1 и 4. Режим в этой схеме, очевидно, не изменится, если вместо одного источника тока J, присоединенного к выводам 1 и 4, включить три источника тока соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, поскольку токи в ветвях присоединения к узлам 2 и 2', 3 и 3' равны нулю (рис. 1.23,б). Переход от схемы рис, 1.23, б к эквивалентной схеме рис. 1.23, в, где уже не требует особых пояснений.

Таким образом, при расчете режима цепи методом контурных токов можно предварительно заменить источники тока эквивалентными источниками ЭДС, а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кирхгофа составить систему уравнений для их определения. Токи в ветвях без эквивалентных источников ЭДС, заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кирхгофа суммированием контурных токов; J1 ветвях заданной схемы, в которых на эквивалентной схеме включены источники ЭДС, учитываются и токи источников тока.

При расчете электрических цепе и изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных ток, замыкающихся через каждую из ветве и, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 1.21, а три ячейки с контурными токами руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях. У становим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей К независимых контуров, уравнения, аналогичные (1.43), запишутся в виде:

да (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура , а сопротивление вида (с двумя различными индексами) - общим сопротивлением контуров l и k.

Правые части уравнений (1.48) называются контурными ЭДС. Каждя из контурных ЭДС вида равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (1.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде:

где обозначает собственное сопротивление контура l; -общее сопротивление двух контуров: 1 и j; -ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением -контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре). Решив систему уравнений (1.48) при помощи определителей относительно любого из токов, например , получим

где - определитель системы уравнений (1.48), т. е.

- алгебраические дополнения определителя , причемполучается из путем вычеркивания столбца и q-й строки и умножения полученного определителя на

Необходимо отметить, что сопротивления вида нужно записывать в выражении (1.50) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1.48).

Методом узловых потенциалов целесообразно ;пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров У - 1 < К, а методом контурных токов -при У-l>К.

Матричные уравнения контурных токов

Уравнения контурных токов (1.48) с учетом (1.48а) можно записать в матричной форме:

где -квадратная матрица контурных сопротивлений; -матрица-столбец контурных токов; - матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока.

После умножения уравнения (1.51) слева на получим

Покажем, что матрицу контурных сопротивлений можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы контуров В:

где r -диагональная матрица сопротивлений ветвей; -транспонированная матрица контуров. Направление обхода каждого контура примем совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей -с положительными направлениями токов в ветвях. Чтобы получить независимые контуры, следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи.

Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1.21, а с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветвей (рис. 1.21, 9). В этом случае независимые контуры содержат контурные токи что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи. Матрица контуров В состоит из .трех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица сопротивлений

Произведение матриц В и r равно:

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по (1.53):

Матрица-столбец контурных токов

Матрица-столбец контурных ЭДС

Пользуясь уравнением (1.51), матрицами можно получить уравнения (1.43). Подчеркнем, что матрица токов ветвей I определяется через матрицу контурных токов по формуле:

Например, для схемы рис. 1.21, а

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

В дальнейшем индекс «к» у контурных токов, как правило, будем опускать. В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей » контурными токами для схем, показанных на рис. 1.21,а-в, можно получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1.24, а -в, при этом деревья графа изображены на рис. 1.24, 6 и в толстыми линиями, а ветви связи - тонкими.

Уравнения цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединений А и матрицей контуров В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие режим цепи, в матричной форме, при этом получаются и выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1.39), и матрицы контурных сопротивлений (1.53).

Запишем еще раз в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа (1.26) и (1.27):

где 1 -матрица-столбец токов ветвей; U -матрица-столбец напряжений между концами ветвей. Подставив (1.57) в (1.58), получим

Это выражение справедливо при всех значенияхпоэтому для любой заданной электрической цепи.

Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщённой ветви -двухполюсника общего вида (рис. 1.25). Для такой ветви и откуда следует, что или

Это так называемые компонентные уравнения (связывают напряжение и ток ветви).

В матричной форме для всех ветвей схемы вместо (1.60) и (1.61) получим обобщенный закон Ома:

или где g -диагональная матрица проводимостей ветвей; r -диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Уравнения Кирхгофа (1.58) -топологические уравнения -вместе с компонентными уравнениями (1.62) или (1.63) составляют полную систему уравнений линейной электрической цепи в матричной форме.

Для получения узловых уравнений в матричной форме умножим (1.62) на матрицу А

и после замены по (1.40)

где - квадратная матрица узловых проводим остей; матрица-столбец узловых токов, т. е. (1.64) совпадает с (1.38). Для получения контурных уравнений в матричной форме умножим (1.63) на матрицу В;

и так как (второй закон Кирхгофа) И (1.57), ТО

При расчетах режимов сложных электрических цепей с применением ЭВМ предварительно должна быть составлена ее эквивалентная схема -математическая модель цепи, состоящая из типовых элементов. Для цепей, которые рассматриваются в этой главе, это резистивные элементы с сопротивлениями r, идеальные источники ЭДС Е и идеальные источники тока J. В общем случае добавляются зависимые или управляемые источники, индуктивные и емкостные элементы (для цепей переменного тока) и др.

При выборе метода расчета следует сопоставить число решаемых уравнений, которое влияет на необходимые объем памяти ЭВМ и машинное время, сложность формирования задания и программы для ЭВМ, ограничения на типы элементов схемы, которые допускают задание и программа.

В случае расчета с применением уравнений Кирхгофа (1.58) число решаемых уравнений равно 2В, т. е. число решаемых уравнений больше, чем при расчете методами узловых потенциалов и контурных токов, но ограничений на типы элементов нет, программа решения

системы уравнений не требует перемножения матриц. Чтобы получить систему независимых уравнений, нужно выбрать незавцсимые контуры, т. е. в общем случае . выбрать дерево, и ветви связи (обратиться к топологическим понятиям).

Число узловых уравнений (метод узловых потенциалов) меньше 2В, а именно У - 1. Топологические матрицы составлять не нужно, и перемножения матриц не требуется, так как матрицы узловых проводимостей и узловых токов можно составить непосредственно. для заданной схемы [ см. (1.ЗЗа), (1.36), (1.37)]. Без преобразования схемы метод узловых потенциалов в матричной форме нельзя применять, если между какими-либо узлами включены ветви с идеальными источниками ЭДС, поскольку проводимость такой ветви бесконечно большая.

Число контурных уравнений (метод контурных токов) тоже меньше 2В, а именно В - (У- 1). Но задача выбора системы независимых контуров остается. Перемножения матриц не требуется, так как матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС можно составить непосредственно для заданной схемы [см. (1.48а)].. Без преобразования схемы метод контурных токов в матричной форме нельзя применять, если схема содержит ветви с идеальными источниками тока, так как сопротивление такой ветви бесконечно большое

При расчете режима цепи с применением ЭВМ, особенно в том случае, если схема содержит и управляемые источники, для устранения отмеченных или недостатков применения уравнений Кирхгофа, уравнений можно рекомендовать метод расширенных узловых уравнений (метод смешанных величин).

Расширенные узловые уравнения

При составлении расширенных узловых уровнений все ветви схемы разделим на два подмножества: g-ветви и r-ветви (рис. 1.26, а и 6) - частные случаи обобщенной ветви (см. рис. 1.25). Для g-ветви компонентное уравнение

и в матричной форме для всего подмножества g-ветвей

где g - диагональная матрица проводим остей g-ветвей. Ветвь с идеальным источником тока следует считать gветвью, у которой проводимость g = О.

Для r-ветви компонентное уравнение

и в матричной форме для всего подмножества r-ветвей

где r· - диагональная матрица сопротивлений r-ветвей. Ветвь с идеальным источником ЭДС следует считать r-ветвью, у которой сопротивление r = О. При составлении топологических уравнений по первому закону Кирхгофа AI = О выберем первые номера для gветвей. Поэтому запишем первое уравнение Кирхгофа в виде

или

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов матричным уравнением (1.40) или при выбранной нумерации ветвей

т.е.

Заменив в (1.66), по (1.69а) и в (1.68) , по (1.66), получим:

В (1.67) подставим, по (1.696) и получим:

Уравнения (1.70) и (1.71) определяют потенциалы узлов - узловая матрица проводимостей, но не всех ветвей, а только g-ветвей; - узловой ток.

Уравнения (1.70) и (1.71) можно объединить в матричное расширенное узловое уравнение:

Решение системы уравнений (1.72) на ЭВМ или без применения ЭВМ не требует перемножения матриц, снимает ограничения, которые необходимо учитывать при расчете режима цепи с применением метода узловых потенциалов, но . количество совместно решаемых уравнений увеличивается на число r-ветвей.

Пример №4

Составить матричное уравнение методом расширенных узловых уравнений для схемы по рис. 1.27 при параметрах .

Решение:

Схема состоит из трех gветвей: 1) с источником тока и сопротивлением т. е. с проводимостью См; 2) с сопротивлением , т. е. с проводимостью См; 3) с сопротивлением , т. е. с проводимостью См, и одной r-ветви с ЭДС Е4 и сопротивлением r4 = О. При этом методом расширенных узловых уравнений определяются потенциалы узлов в r-ветви. Последние две g-ветви можно было бы считать r-ветвями с ЭДС , но при

этом число совместно решаемых уравнений увеличится (добавятся токи в сопротивлениях r2 и r3).

Составим матрицы, входящие в матричное уравнение (1.72). Квадратная матрица узловых проводимостей второго порядка (узлы 1 и 2)

Матрица соединений r-ветвей (одна ветвь с током, который направлен к узлу 1)

В r-ветви сопротивление равно нулю, т. е. r = О. Матрица-столбец узловых токов (два узла) . Матрица-столбец ЭДС r-ветвей Е = 4 (одна ветвь).

В результате получаем матричное уравнение (1.72)

после решения которого находим Остальные токи определяются по закону Ома и первому закону Кирхгофа после выбора их положительных направлений.

После формирования матриц любого из рассмотренных выше общих методов расчет режима цепи сводится к задаче решения системы линейных алгебраических уравнений, которая входит в математическое обеспечение ЭВМ

Преобразовании в линейных электрических схемах

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно упростить и сделать более наглядными путем преобразование электрических схем одного вида в схемы другого вида. Целесообразное преобразование электрической схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов, а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее режим. Рассмотрим, например, схему замещения трехпроводной линии (рис. 1.28, а). Пусть заданы ЭДС и внутренние сопротивления источников энергии, сопротивления проводов . линии и сопротивления приемников

Для определения токов в шести ветвях этой схемы необходимо по методу контурных токов или узловых потенциалов решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Однако можно упростить схему, например, так, чтобы она содержала только три ветви с тремя неизвестными токами и всего два узла. Новая схема получится, если три приемника с сопротивлениями , присоединенных к узлам 1, 2 и 3, заменить тремя резистивными элементами с сопротивлениями (рис. 1.28, б), включенными соответственно между точками 1, 2 и 3 заданной схемы и новой узловой точкой О'. После такой замены токи в ветвях, не затронутых преобразованием, и напряжения и между точками 1, 2 и 3 должны быть такими же, как и в заданной схеме замещения.

В новой, эквивалентной схеме с двумя узлами О и О' можно сразу найти напряжение между узловыми точками по формуле (1.34), а затем определить токи по закону Ома. После этого можно вычислить напряжения между точками 1, 2 и 3 и токи в приемниках с сопротивлениями заданной схемы, т. е. решить задачу достаточно просто. Во всех случаях замены заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условие неизменности токов и напряжений участков схемы, которые не затронуты преобразованиями. Если преобразуется часть электрической схемы, не содержащая источников энергии, то, как будет видно из дальнейшего, неизменность токов и напряжений в остальной части схемы обеспечивает и неизменность мощностей элементов всех ветвей. В случае преобразования электрических схем, содержащих источники энергии, суммарные мощности источников и приемников в исходной схеме не равны в общем случае соответствующим мощностям в эквивалентной схеме.

Рассмотрим теперь наиболее характерные, чаще всего встречающиеся на практике случаи преобразования электрических схем как при отсутствии в преобразуемых ветвях источников ЭДС и тока, так и при их наличии:

Преобразование соединении многолучевой звездой в соединение многоугольником.Преобразование треугольника в звезду.

Рассмотрим ·сначала преобразование соединения резистивных элементов (сопротивлений) многолучевой звездой (с числом лучей более трех) в эквивалентный многоугольник, т. е. преобразование пассивных (не содержащих источников энергии) многополюсников. Покажем, что соединение резистивных элементов n-лучевой звездой преобразуется в эквивалентную схему многоугольника с числом ветвей, равным п(п -1)/2. На рис. 1.29, а изображено соединение элементов в виде n-лучевой звезды. Для этой схемы

где . -потенциалы соответствующих точек схемы. Из последнего уравнения найдем потенциал точки О:

После подстановки в первое из выражений (1.73) получим

В полученном выражении разности потенциалов между точками 1, 2, 3, ... , h, ... , п заменим через напряжения по формуле

Аналогично для любого тока

Из этих уравнений видно, что ток каждой ветви n-лучевой звезды можно представить в виде суммы п -1 частичных токов, пропорциональных напряжениям между соответствующими точками звезды. Например, ток Аналогично для любой ветви

Выражениям (1.76) удовлетворяет эквивалентная схема в виде полного многоугольника (рис. 1.29, 6) с числом ветвей, равным п (п - 1 )/2. Действительно, для схемы рис. 1.29, 6

Для того чтобы схема, показанная на рис. 1.29,6, была эквивалентна схеме на рис. 1.29, а, необходимо равенство токов в обеих схемах при одинаковых напряжениях что выполняется при

Поскольку число узлов многоугольника равно n, число токов, связанных с каждым узлом, равно n - 1 и каждая ветвь присоединена к двум узлам многоугольника, то число его ветвей как раз равно n (n - 1 )/2.

Из приведенного доказательства следует, что простая математическая операция исключения потенциала q>0 из системы уравнений для схемы, имеющей форму n-лучевой звезды, приводит к эквивалентной схеме в виде многоугольника. Обратная задача о преобразовании многоугольника в эквивалентную n-лучевую звезду в общем случае при n > 3 неразрешима, так как число искомых сопротивлений (или проводимостей) ветвей эквивалентной звезды меньше числа n(n - 1)/2 условий, которым они должны удовлетворять. При n = 3 число условий n (n - 1 )/2 = 3 и, следовательно, треугольник сопротивлений всегда можно преобразовать в эквивалентную звезду.

Из (1.78) при п = 3 сразу получаются формулы для преобразования трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник в следующем виде:

для эквивалентных проводимостей

или для эквивалентных сопротивлений

Чтобы получить формулы преобразования треугольника с заданным и сопротивлениями r12, r23 и r31 в эквивалентную звезду, примем в (1.796) в качестве неизвестных сопротивления В результате получим

где

Выразим попарные произведения искомых сопротивлений в виде:

и, подставив полученные выражения в (1.81), найдем

где

Последние формулы позволяют определить эквивалентные сопротивления звезды по заданным сопротивлениям треугольника. Аналогично можно получить формулы преобразования многолучевой звезды с источниками ЭДС (активной) (рис. 1.30, а) в эквивалентный активный многоугольник (рис. 1.30, 6) .

Действительно, для схемы, показанной на рис. 1.30,а , можно записать

Выразив из последнего уравнения и подставив ero, например, в первое из выражений (1.83), после элементарных преобразований получим

Аналогичные уравнения можно составить для токов Выражениям вида (1.84) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1.30, 6. Проводимости ветвей многоугольника определяются по-прежнему по (1.7 8), а эквивалентные ЭДС при указанных положительных направлениях (рис. 1.30,а и 6)

Преобразование параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС и источниками тока

Если сложная электрическая схема имеет одну или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками ЭДС, то расчет и исследование такой схемы можно значительно упростить, заменив каждую группу параллельных ветвей одним источником с эквивалентной ЭДС и эквивалентным внутренним сопротивлением. В частности, так можно преобразовать схемы со смешанным соединением активных и пассивных элементов в схемы с последовательным соединением.

На рис. 1.31,а показана rруппа из m параллельно соединенных ветвей, выделенная из электрической схемы. Остальная часть схемы условно обозначена прямоугольником. Требуется заменить m параллельных ветвей (рис. 1.31, а) одной эквивалентной ветвью (рис. 1.31, 6) так, чтобы на выводах 1 и 2 ток I и напряжение И в эквивалентной схеме, а значит, все токи и напряжения в остальной части схемы были такими же, как и в заданной. С учетом (1.116) для токов ветвей суммарный ток / схемы рис. 1.31,а

где

Так как условия эквивалентности должны быть выполнены при любых токе I и напряжении И, то, приравняв правые части выражений (1.86) и (1.87), нужно положить:

откуда

При вычислении эквивалентной ЭДС Е с положительным знаком записываются те ЭДС Eh, которые направлены к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС Е, и с отрицательным знаком - направленные к другому узлу. Если какая-либо из параллельных ветвей, например третья, не содержит источника ЭДС , то в (1.89) слагаемого не будет, но в состав проводимости g входит проводимость этой ветви

Из (1.88) следует, что эквивалентная проводимость g не зависит от ЭДС, а эквивалентная ЭДС Е (1.89) зависит не только от ЭДС ветвей, но и от их проводимостей.

Выше было отмечено, что энергия, потребляемая сопротивлениями ветвей до преобразования схемы с активными элементами, не равна энергии, потребляемой эквивалентными сопротивлениями ветвей после преобразования.

Для иллюстрации этого положения сравним, например, мощности источников и потребителей заданной схемы (рис. 1.31,а) и схемы после преобразования (рис. 1.31, 6) при разомкнутой ветви с током I. В схеме рис: 1.31,а приI= О токи могут и не быть равными нулю. В результате суммарная энергия источников ЭДС будет расходоваться на покрытие тепловых потерь в сопротивлениях ветвей. В схеме рис. 1.31,6 при I=О потери в эквивалентном сопротивлении отсутствуют. Следовательно, несмотря на неизменность токов и напряжений в той части схемы, которая не затронута преобразованием, мощность, развиваемая источниками ЭДС до преобразования, не равна мощности, развиваемой эквивалентным источником ЭДС после преобразования схемы. Однако это обстоятельство не мешает широко пользоваться понятием эквивалентной ЭДС для расчета электрических цепей, так как после определения тока I и напряжения И в эквивалентной схеме можно вернуться к исходной и найти токи и мощности во всех ее ветвях.

Если к узлам 1 и 2 (рис. 1.31,а) присоединены кроме т ветвей с источниками ЭДС еще n ветвей с источниками тока, то при вычислении эквивалентной ЭДС (1.89) нужно учесть токи заданных источников тока:

причем с положительным знаком записываются токи, направленные к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС Е, а с отрицательным знаком -направленные к другому узлу.

Преобразование схемы с источниками ЭДС в эквивалентную схему с узловыми токами (источниками тока).

Выше было показано, что источник энергии с известным значением ЭДС и заданным внутренним сопротивлением можно представить источником тока, причем режим приемника энергии останется неизменным. Такую замену можно произвести и в том случае, если ветвь с источником ЭДС и внутренним сопротивлением имеет добавочное сопротивление, включенное последовательно с внутренним сопротивлением.

Пусть к выводам 1 и 2 (рис. 1.32, а) присоединена ветвь с источником ЭДС Е и сопротивлением r, которое включает и внутреннее сопротивление источника энергии. Обозначим напряжение между первым и вторым выводами . По (1.116) ток

где

Из этого выражения следует, что ток / источника ЭДС может быть представлен -разности тока J источника тока, которых определяется только параметрами ветви с источником ЭДС, и тока Уравнению (1.91) соответсвует эквивалентная схема, показанная на рис. 1.32,б, в которой напряжение

ток I те же, что и в схеме на рис. 1.32, а. Ток 1 источника тока направлен так же, как и ЭДС Е (от вывода 2 к выводу J).

Такую замену можно провести в схеме как для одного, так и для всех или части источников ЭДС.

Рассмотрим, например, схему, показанную на рис. 1.33, а, с источниками ЭДС в трех ветвях. Эквивалентная схема с источниками тока приведена на рис. 1.33, б, где

На схеме рис. 1.33, б ветви с источниками тока присоединены попарно к одним и тем же узлам 1, 2 и 3. Поэтому можно объединить в каждом узле два тока источников в один (рис. 1.33, в). Суммарные или узловые токи определяются по первому закону Кирхгофа:

Следовательно, электрическая схема с источниками ЭДС в ветвях может быть заменена эквивалентной схемой с узловыми токами, причем потенциалы узлов и токи в непреобразованных ветвях остаются неизменными. Так, токи заданной схемы (рис. 1.33,а) равны токам в тех же ветвях эквивалентной схемы (рис. 1.33, б или в), но, конечно, токи в преобразуемых ветвях с источниками ЭДС не равны соответствующим токам в ветвях эквивалентной схемы. Например, в сопротивлении r 1 заданной схемы (рис. 1.33, а) ток , а в эквивалентной схеме (рис. 1.33, в) ток В общем случае справедливость преобразования схемы с источниками ЭДС в ветвях в эквивалентную схему с узловыми токами непосредственно следует из уравнений узловых потенциалов. Действительно, для схемы рис. 1.33, а на основании уравнений (1.33) при получим

Рис.1.33.

где

Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема (рис. 1.33, в).

Обратная замена электрической схемы с заданными узловыми токами эквивалентной схемой с источниками ЭДС не является однозначной. Это объясняется тем, что число узловых токов или число узлов всегда меньше числа ветвей, т. е. количество уравнений, которое можно составить на основании первого закона Кирхгофа, меньше числа искомых ЭДС. Поэтому можно задаться произвольными значениями ЭДС источников в любых ветвях в количестве, равном числу недостающих уравнений. Остальные неизвестные ЭДС могут быть определены после совместного решения независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Пример №5

Определить токи во всех ветвях и составить уравнения баланса мощностей для схемы рис. 1.34,а, если,

Решение:

Для определения токов 4 и 3 (эти токи одинаковы) заменим каждую группу параллельно соединенных ветвей одной эквивалентной. Эквивалентную ЭДС для первой и второй параллельных ветвей и эквивалентное сопротивление определим по (1.89) и (1.88):

Аналогично находим эквивалентное сопротивление и эквивалентную ЭДС для трех параллельных ветвей, присоединенных к третьему и четвертому узлам:

или

В результате таких преобразований получается схема, показанная на рис. 1.34, б. В этой схеме ток

и напряжения на участках

Токи в ветвях заданной схемы

Токи в ветвях с одинаковыми ЭДС Е равны друг другу и направлены навстречу ЭДС:

Суммарная мощность всех источников ЭДС

Мощность в сопротивлениях, конечно, равна суммарной мощности источников ЭДС:

Отметим, что источники ЭДС Е работают в режиме приемников, потребляя энергию от других источников

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Каждая ЭДС в уравнении (1.49) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС во всех ветвях контура l. Если в (1.49) заменить все контурные ЭДС алгебраическими суммами ЭДС ветвей, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности, при этом каждая составляющая тока равна произведению ЭДС ветви на алгебраическую сумму коэффициентов, входящих в (1.49). Это чрезвычайно важное свойство называется принципом наложения и непосредственно следует из линейности уравнений, описывающих режим цепей с линейными элементами. Принцип наложения справедлив не только для контурных токов но и для токов ветвей, так как систему независимых контуров можно всегда выбрать так, что рассматриваемая. ветвь войдет только в один · контур, т. е. контурный ток будет равен току в ветви.

Принцип наложения ( суперпозиции)

В качестве примера, иллюстрирующего принцип наложения, рассмотрим электрическую схему, показанную на рис. 2.1, для которой, пользуясь методом контурных токов, запишем следующие уравнения:

Из (2.1)

где

Аналогично определяются токи Если в (2.2) контурные ЭДС заменить ЭДС в ветвях, то получим

откуда и следует, что контурный ток равен алгебраической сумме составляющих токов, вызываемых каждой ИЗ ЭДС в отдельности. Кроме того, этот контурный ток равен току ветви с сопротивлением , так как по этой ветви другие контурные токи не замыкаются.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая все остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления. Ток ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником ЭДС и каждым источником тока, после чего определить токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих.

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощностей, так как мощность - квадратичная функция тока или напряжения. Например, мощность в сопротивлении(рис. 2.1) определяется по формуле

Если мощность того же элемента с сопротивлением можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными токами , то получилось бы совсем другое значение:

Пример №6

На рис. 2.2, а показана мостовая схема с источником ЭДС .Е = 5 В и источником тока J = 1 А. Сопротивления элементов указаны на схеме. Пользуясь принципом наложения, определить токи во всех ветвях.

Решение:

Для определения токов в ветвях с применением принципа наложения надо рассчитать токи в двух схемах, изображенных на рис. 2.2, б и в. В схеме рис. 2.2, б J = О (точки b и d разомкнуты), а в схеме рис. 2.2, в Е = О (точки а и с соединены проводником без сопротивления). Токи в ветвях схемы (рис. 2.2, б)

Токи в ветвях схемы по рис. 2.2, в, где сопротивления соединены параллельно,

Токи в ветвях заданной схемы (рис. 2.2, а) равны алгебраическим суммам токов в соответствующих ветвях схем рис. 2.2, б и в:

Аналогично

Рис.2.2.

Свойство взаимности

Пользуясь методом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей - свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.

Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС действует в ветви с сопротивлением в направлении от точки b к точке а (рис. 2.3, а) и создает в ветви с сопротивлением , направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС , включенный в ветвь с сопротивлением и действующий в направлении от d к с (рис. 2.3, 6), создаст в ветви с сопротивлением rq ток lq, направленный от b к а и равный току

На рис. 2.3 изображены ветви аb и cd с сопротивлениями , а остальная· часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).

Для доказательства свойства взаимности обратимся к выражению (1.49), определяющему ток в любом контуре.

Пусть ветвь cd является частью контура д, а ветвь аb входит в состав другого контура q (рис. 2.3, а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС , эта 1 цепь не содержит. Контуры выберем так, чтобы ветви аb и cd вошли каждая в один контур, соответственно

Если источник ЭДСпереставить в ветвь cd контура 1 (рис. 2.3, 6), то согласно (1.49) ток в контуре q, т. е. ток в ветви аb

Алгебраическое дополнение вида получается из определителя путем вычеркивания в нем столбца I и строки q и умножения получаемого определителя на , а алгебраическое дополнение вида - вычеркиванием столбца q и строки I и умножением получаемого определителя на .

Так как в контурных уравнениях общие сопротивления равны друг другу, т. е. то и (отличаются только тем, что строки являются столбцами , и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС токи в ветвях cd (рис. 2.3, а) и аb (рис. 2.3, 6) равны друг друrу.

Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.

Входные и взаимные проводимости, коэффициенты передачи

Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например h, линейной электрической цепи в виде

где - частичный ток в ветви h, обусловленный действием ЭДС

В этом уравнении, составленном согласно указаниям, ток в отличие от (1.49) обозначает ток ветви h, а и т. д.- ЭДС соответственно в первой, второй и так далее ветвях, при этом, если положительное направление для тока выбрано совпадающим с направлением ЭДС , то , но составляющие токов в той же ветви вида , создаваемые ЭДС других ветвей, могут быть и отрицательными.

В (2.5) множители при ЭДС имеют размерность проводимости. Каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида называется входной проводимости ветви Любой из множителей с двумя различными индексами называется взаимной проводимостью ветвей h и т. При заданных направлениях действия ЭДС и выбранном положительном направлении токавзаимные проводимости могут получиться либо положительными, либо отрицательными величинами

Численные значения входных и взаимных проводимостей могут быть определены следующим путем. Приравняем в рассматриваемой схеме все ЭДС, кроме нулю, при этом ток , откуда

Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Электродвижущая сила , включенная в ветвь h, вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви m. Ток в ветви m определяется по уравнению, аналогичному (2.5), при равных нулю всех ЭДС, кроме

Отметим, что , как это непосредственно следует из свойства взаимности. Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви . к ЭДС в другой при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. Входные и взаимные проводимости можно рассчитать или определить экспериментально. Определение входных и взаимных проводимостей расчетом покажем на примере схемы рис. 2.4, а. Приравняем ЭДС нулю (рис. 2.4, 6), при этом токи в ветвях

где Из (2.8) определим:

Аналогично рассчитываются входные и взаимные проводимости второй и третьей ветвей:

Если взаимные проводимости найдены, то легко определить токи во всех ветвях при любых значениях ЭДС., Так, для схемы рис. 2.4, а

Экспериментальное определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений рассмотрим на примере произвольной цепи, из которой предварительно исключены все источники ЭДС и источники тока (рис. 2.5). Три ветви этой цепи выделены, а остальная часть условно показана в виде прямоугольника. В каждую ветвь включен амперметр. Чтобы определить входную проводимость первой ветви и взаимные проводимости второй и первой и третьей и первой ветвей, надо включить в первую ветвь источник ЭДС

Измерив вольтметром напряжение на выводах источника ЭДС и амперметрами токи в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости ветвей по формулам

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости других ветвей.

Пример №7

Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис. 2.6, а, если

Решение:

Для определения входной проводимости и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим Затем можно задатьсяи найти все токи. Однако для данной схемы проще задать ток в ветви с сопротивлением , например , и найти необходимую ЭДС и токи в остальных ветвях. Так как . На выводах элемента с сопротивлением напряжение при действии которой ток а остальные токи равны найденным значениям, Входная проводимость первой ветви

Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей:

При определении проводимостей следует включить ЭДС в ветвь 2, направленную так же, как и ток , а при определении - ЭДС

Пример №8

В условиях предыдущей задачи (см. пример 2.2) определить токи во всех ветвях, если ЭДС и .

Решение:

Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить в них токи, пользуясь принципом наложения:

Если кроме источников ЭДС схема содержит и источники тока, то по принципу наложения к частичным токам, обусловленным действием источников ЭДС, добавятся частичные токи, обусловленные каждым из источников тока:

При определении ,Входных и взаимных проводимостей все токи следует считать равными нулю (источники тока не действуют), а ветви с источниками тока разорвать (идеальные источники тока). При расчете коэффициентов передачи следует считать все ЭДС

Пример №9

Составить зависимость при в схеме рис. 2.7, а.

Решение:

Ток Проводимость определяется расчетом режима в схеме рис. 2.7, б. Ток, Коэффициент определяется расчетом режима в схеме рис. 2.7, в. Ток

Принцип компенсации

Зависимые источники В уравнениях (1.20), составленных по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении можно всегда из левой стороны перенести в правую со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС , направленную противоположно току в ветви i. Это положение носит название принцип компансации. Его иллюстрируют рис. 2.8, а и б, на которых прямоугольником с буквой А (активный) обозначены все участки цепи, кроме элемента с сопротивлением r;. Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если при этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС Е; прямо пропорциональна току I; в ветви (закон Ома), т. е. зависит от тока. Таким образом, источник ЭДС, которым можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону. Понятие о зависимом источнике широко применяется при анализе как линейных, так и нелинейных цепей. Сопротивление может быть и входным сопротивлением любого пассивного двухполюсника.

Любую ветвь с известным током можно заменить источником тока ;, при этом режим цепи не изменится.

Общие замечании о двухполюсниках и многополюсниках

При исследовании процессов в сложных электрических цепях часто интересуются током, напряжением и мощностью только одной ветви. Однако отдельные ветви могут быть выделены из сложной цепи не только для исследования процессов именно в этих ветвях, но и для установления связи, например, между одной частью цепи с источниками электрической энергии и другой с приемниками. Во всех этих случаях выделяют ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках (двумя выводами). Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными выводами или полюсами называется двухполюсником.

Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, - пассивными. Всякий пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии и характеризуется одной величиной - сопротивлением rвх• Поэтому на· эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть представлен одним резистивным элементом с сопротивлением r8,, называемым входным сопротивлением пассивного двухполюсника.

Если известна схема пассивного двухполюсника, то для определения входного сопротивления r., нужно тем или иным способом ее «свернуть» относительно двух заданных выводов.

Рассмотрим, например, схему на рис. 2.9, а. Если выделить в этой схеме ветвь с источником ЭДС и сопротивлением , то остальную часть схемы (обведенную штриховой линией) можно рассматривать относительно выводов 1-1' как пассивный двухполюсник (без источников энергии). Часть той же схемы относительно выводов 2-2' ветви с сопротивлением (рис. 2.9, б) можно рассматривать как активный двухполюсник (обведен штриховой линией).

В дальнейшем все активные двухполюсники (рис. 2.10, а) будем обозначать прямоугольниками с буквой А (активный), а пассивные (рис. 2.10, б) - прямоугольниками с буквой П '(пассивный). Относительно выводов а и b остальная часть схемы на рис. 2.8 является активным двухполюсником и поэтому обозначена буквой А.

Если в электрической цепи выделено более двух выводов, то соответствующий участок цепи называется многополюсником, например многолучевая звезда и эквивалентный многоугольник на рис. 1.29, а и б с выводами 1, 2, 3, ... , h, ... , n, в частном случае трехлучевая звезда и эквивалентный треугольник, т. е. трехполюсники, с четырьмя или двумя парами выводов, как на рис. 2. З, а и б, т. е. четырехполюсник.

Линейные соотношения между напряжениями и токами

В активном четырехполюснике с выводами 1-1' и 2-2' на рис. 2.11 кроме ветви 1-1' с источником ЭДС выделена еще ветвь 2-2' с источником ЭДС и сопротивлением Пользуясь принципом наложения, напишем выражение для токов в ветвях схемы рис. 2.11, а в виде

где ЭДС и т. д. находятся внутри четырехполюсника и знак минус перед проводимостью поставлен, так как положительное направление тока противоположно направлению действия ЭДС Предположим, что ЭДС первого источника может изменяться, а ЭДС остальных источников и т. д. неизменны. Так как входные и взаимные проводимости не зависят от значения ЭДС , то, обозначив,

получим или, заменив в (2.10) ЭДС

Как следует из принципа компенсации, изменение ЭДС в схеме рис. 2.11, а равносильно изменению напряжения при изменении сопротивления в Эквивалентной схеме рис. 2.11, б, при ·этом входная и взаимная проводимости не зависят от сопротивления так как определяются для схемы рис. 2.11, а, где нет сопротивления . Следовательно, при изменении сопротивления токи связаны с напряжением линейными соотношениями.

Для определения постоянных ,расчетом или опытным путем необходимо, как следует из (2.11 ), рассчитать или измерить токи и напряжение при двух режимах первой ветви (двух значениях сопротивления ). Наиболее наглядно и просто эти постоянные определяются из режимов короткого замыкания ( = О) и режима холостого хода При коротком замыкании = О, токи При размыкании первой ветви токОбозначив разность потенциалов между точками разрыва через" а ток получим согласно (2.11) в режиме холостого хода

откуда входная проводимость и взаимная проводимость После замены постоянных в первом из уравнений (2.11) получается

Отметим, что изменение напряжения в пределах от соответствует изменению сопротивления от нуля до бесконечности. Токи рассматриваемых ветвей также связаны линейными соотношениями. Действительно, исключив из (2.11) напряжение , получим

где - постоянные, которые определяются из двух любых режимов первой ветви или вычисляются при известных значениях входных и взаимных проводимостей.

Аналогично можно показать, что при одновременном изменении сопротивлений в двух ветвях напряжения и токи любых трех ветвей связаны линейным соотношением вида

где а, b и с - постоянные, определяемые опытным или расчетным путем; z, х и у - изменяющиеся токи или напряжения.

Пример №10

На рис. 2.12, а изображена схема с резистором, сопротивление r которого изменяется от О до. Найти зависимость тока в каждой ветви от напряжения И на выводах резистора с сопротивлением r, если

Решение:

Сначала найдем предельные значения напряжения U и тока 1 при коротком замыкании (r = О) и холостом ходе рассматриваемой ветви.

Так как токи

Для определения тока (рис. 2.12, в) предварительно найдем напряжение на выводах параллельных ветвей по (1.34):

а затем токи в ветвях

и ток

Зависимость тока 1 в резисторе от напряжения И на его выводах определяется линейным уравнением типа (2.11): J =а+ + bU. Коэффициенты а и Ь найдем по результатам расчета режимов холостого хода и короткого замыкания. При r = О напряжение И = О, а ток . При ток I = О, напряжение и О В результате получаем J

Зависимость тока в первой ветви от напряжения U определяется уравнением прямой . Для того чтобы найти коэффициенты , целесообразно и в этом случае пользоваться результатами расчета режимов холостого хода и короткого замыкания ветви с переменным сопротивлением r. При r = О напряжение U = О, ток при(рис. 2.12, б) 11, = 12, = 12,5 А. Кроме того, Их, откуда Следовательно,Аналогично определяются токи

Пример №11

В схеме, показанной на рис. 2.13, а, сопротивление резистивного элемента изменяется в пределах от (короткое замыкание) до (размыкание ветви). Пользуясь законами Кирхгофа, выразить токи через параметры схемы и напряжение и построить найденные зависимости.

Решение:

Из уравнения непосредственно находим ток Ток определим по первому закону Кирхгофа:

Для определения токов запишем уравнения

Из этих уравнений находим токи

Оказалось, что токи не зависят от сопротивления (при любых его значениях остаются неизменными).

Для построения найденных зависимостей . определим предельные значения напряжений

при изменении сопротивления При напряжения = О; при напряжение = ,. Это напряжение найдем из уравнения откуда , = Е - -r1 I 1 ,• Так как при (при размыкании ветви с сопротивлением ) то напряжение Таким образом, при изменении сопротивления от нуля до бесконечности напряжение увеличивается от О до 7 В. На рис. 2.13, б показаны искомые зависимости

Теорема о взаимных приращениях токов и напряжений

Пользуясь (2.11) и (2.12), установим связь между приращенияr:, токов и приращением напряжения при изменении сопротивления первой ветви в пределах от нуля до , если и ( см. рис. 2.11 ).

Если , то напряжение и согласно (2.11) ток при сопротивлении первой ветви, равном , напряжение на ее выводах а ток Следовательно, при изменении сопротивления первой ветви на изменение тока этой ветви:

Аналогично можно показать, что при изменении сопротивления первой ветви на изменение тока во второй

Из (2.14) и (2.15) легко найти входную и взаимную проводимости ветвей через отношение приращений:

Согласно (2.12), где и 1 при новых обозначениях надо заменить на получим

откуда

После подстановки этого выражения в (2.14) и (2.15) получаются формулы для определения приращений токов:

Выражения (2.17), (2.18) для приращений токов называют теоремой вариации или теоремой взаимных приращения х. Ес"лиi сопротивление первой ветви изменяется не от нуля до то для определения приращений токов можно пользоваться теми же формулами (2.17) и (2.18), при этом входная и взаимная проводимости, а также ток имеют другие значения, определяемые, как и раньше, при .

Принциn эквивалентного генератора

Очень важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца - Тевенена). Он формулируется следующим образом: л1Qбая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов ( активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напрежению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам ( режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимость этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 2.14, а), которое может

быть и изменяющимся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 2.14, 6), для которой

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из них (рис. 2.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, полагается равной нулю, а во второй (рис. 2.14, г) действует только ЭДС компенсации (2.19), а двухполюсник считается пассивным.

Его входное сопротивление

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов

В частности, в режиме холостого хода . Следовательно,

Последнее уравнение соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 2.14, д с ЭДС выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (2.20) ток

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 2.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 2.14, д или е показана на рис. 2.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на .основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС а к другой паре выводов -приемник с сопротивлением r (рис. 2.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1' можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением , (рис. 2.15, 6), а со стороны выводов 2-2' -как активный двухполюсник с входным сопротивлением (рис. 2.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 2.15, г, то параметры эквивалентной схемы

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 2.15, в, применяется nри рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 2.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопоставить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и другой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора - к реальному источнику (с внутренним сопротивлением ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключенного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепям. Принцип эквивалентного генератора применим только к линейным цепям.

Пример №12

По принципу эквивалентного генератора найти выражение для тока 10 в ветви с измерительным прибором (рис. 2.16, а), если ток источника тока J = = 10 мА, сопротивление r = 100 Ом, сопротивление измерительного прибора= 50 Ом, а сопротивления двух противоположных плеч моста изменяются одновременно от нуля до 2r; построить график изменения тока в зависимости от сопротивления

Решение:

Разомкнем ветвь с измерительным прибором (рис. 2.16, б), отключив прибор, и найдем токи Напряжение (рис. 2.16, б) определим из уравнения

Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов ветви с измерительным прибором (рис. 2.16, в) .

По принципу эквивалентного генератора (2.21)

После подстановки в это выражение численных значений получим:

На рис. 2.16, г показан график изменения тока в зависимости от сопротивления Из рисунка видно, что зависимость тока от сопротивления нелинейная (в отличие от линейных соотношений между ЭДС, напряжениями и токами при изменении сопротивления) и что при изменении сопротивления изменяется не только значение тока , но и его направление

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 2.14, д, и будем считать, что - входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и - ка (источника энергии) и Е,. = и. - эквивалентная ЭДС остаются постоянными, а r - входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значения.

Прежде всего установим соотношение сопротивлениями при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями и

где - мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; - мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении

Для определения тока I, при котором мощность Р максимальна, найдем производную от Р по J из уравнения (2.22) и приравняем ее нулю:

откуда искомый ток [уравнением (2.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и J].

В общем случае (рис. 2.14, д) ток . Значит, мощность максимальна при

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По (2.23) при мощность

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности , развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД эквивалентного активного двухполюсника:

Из (2.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отклюqении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 2.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника. Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение поддерживается неизменным (рис. 2.17,а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов, и пассивного двухполюсника -приемника с сопротивлением r (рис. 2.17, а). По (2.22) и (2.25) найдем мощность приемника и КПД линии передачи:

Мощность, развиваемая источником, напряжение на выводах приемника

По полученным уравнениям на рис. 2.17, б построены зависимости , ) полностью характеризующие режим линии.

При (холостой ход линии) ток 1 = О (на рис. 2.17, б -точка в начале координат), при ток определяется отрезком и при r = О (короткое замыкание линии) значение . тока максимально и равно . Кроме того, .при мощность определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас = 2аb = 2bс), и КПД Т)

По эквивалентной схеме (рис. 2.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопротивлении) и мощностью приемника

где 1 -длина линии; S -сечение каждого провода.

Из (2.27), в частности, следует, что при с повышением напряжения требуется меньшее значение тока 1 и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (2.26), иметь . При передаче сигналов по линии связи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.

Первые опыты передачи электрической энергии при постоянном токе осуществил русский инженер Ф. А. Пироцкий. В 1874 г. вблизи г. Петербурга Ф. А. Пироцкий создал линию передачи энергии при мощности около 6 л. с. на расстояние до 1 км. Затем он проводил опыты передачи электрической энергии по рельсам коножелезной дороги. На основании своих опытов Ф. А. Пироцкий установил, что можно передавать электрическую энергию при большой мощности на большие расстояния. В качестве источников энергии для первичных двигателей он предложил пользоваться энергией водных потоков. Теоретические основы передачи электрической энергии по линии разработал Д. А. Лачинов. В 1880 г. он опубликовал в первом номере журнала «Электричество» свой труд «Электромеханическая работа».

Опыты Ф. А. Пироцкого остались совершенно незамеченными. И лишь этим можно объяснить, что инициатором передачи электрической энергии считался Марсель Депре. В своем докладе в Парижской академии наук (1881 г.) он провозгласил тезис, установленный почти за год до этого Д. А. Лачиновым, а именно: повышая напряжение, можно передавать электрическую энергию при любой мощности на большое расстояние с минимальными потерями (2.27). В следующем году (1882 г.) Депре осуществил на постоянном токе передачу энергии при мощности в 2 л. с. на расстояние 57 км (при напряжении 1500- 2000 В).

Основные понятия о цепях синусоидального тока

Познакомимся с основными понятиями, относящимися к переменным токам.

Переменные токи

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенными обозначают строчной (малой) буквой i. Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенное значение тока i считают положительным, а для противоположного направления - отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением тока. Ток определен, если известна его зависимость от времени i = F (t) и указано положительное направление тока.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока

На рис. 3.1 показан участок АВ электрической цепи и дан пример зависимости i = F (t) для периодического тока. Стрелка на схеме указывает положительное направление тока. Штриховыми стрелками показаны действительные направления тока в моменты времени, когда i > О и когда i < О. Отрезки кривой между точками а и Ь или О и С охватывают один полный цикл изменения тока за один период.

Величина, обратная периоду, называется частотой Частота измеряется в герцах. Частота равна 1 Гц, если период равен 1 с, т. е. . Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

Термин «переменный ток» обычно применяют в узком смысле, а именно для такого периодического тока, у которого постоянная составляющая равна нулю, т. е.

и особенно часто для гармонического или синусоидального тока.

Широкое применение переменного тока в электротехнике началось со времени решения задачи централизованного производства электрической энергии и ее передачи на значительные расстояния.

Передача и распределение энергии требуют по экономическим соображениям и по условиям безопасности применения различных напряжений: высокого - для передачи энергии и сравнительно низкого - для ее распределения потребителям. Преобразование напряжения переменного тока возможно при помощи относительно простого аппарата трансформатора, который в 1876 г. изобрел П. Н. Яблочков. В 1889 г. М. О. Доливо-Добровольский изобрел трехфазный асинхронный двигатель и разработал все звенья передачи и распределения энергии трехфазным током. После этого переменный ток получил преимущественное распространение.

Диапазон частот переменных токов, применяемых в электротехнике, весьма широк - от десятков до миллиардов герц. В электроэнергетике в СССР и в Европе принята стандартная частота 50 Гц, в США 60 Гц. В различных областях промышленного применения переменных токов встречаются частоты от 10 до 2,5 • Гц, в радиотехнике и электронике - до 3 -Гц.

В электроэнергетике применяются токи, являющиеся синусоидальными функциями времени, так как при несинусоидальных токах могут возникнуть нежелательные явления, как-то: увеличение потерь энергии, появление на отдельных участках цепи значительных напряжений и возникновение помех, влияющих на работу устройств электросвязи.

Для передачи информации (связь, радиовещание, телемеханика) также широко применяются синусоидальные токи. Передаваемая информация (сигнал) изменяет амплитуду, частоту или фазу тока.

Периодические несинусоидальные токи могут рассматриваться как совокупность синусоидальных токов различных частот. Все это обусловливает первоочередную необходимость основательного изучения цепей синусоидального тока.

Все определения, введенные выше для токов, и те новые определения, , которые будут введены в дальнейшем, применимы и для напряжений и, ЭДС е, магнитных потоков, а также для любых других электрических и магнитных величин, изменяющихся во времени. Некоторые 'пояснения требуются лишь в отношении знака переменных напряжений и ЭДС.

У переменного напряжения и между двумя точками А и В, определяемого по заданному пути , знак периодически изменяется. При этом, если в данный момент времени напряжение между А и В, определяемое в направлении от А к В, т. е. , положительно, то в тот же момент времени напряжение , определяемое в обратном направлении от В к А, отрицательно. Поэтому для однозначного суждения о напряжении необходимо указать направление пути, которое принято для его определения. Это направление назовем положительным направлением напряжения и будем отмечать либо стрелкой на схеме, либо порядком индексов у буквы и.

Аналогично вводится понятие о положительном направлении для ЭДС.

Понятие о генераторах переменного тока

Познакомимся с устройством генераторов переменного тока, применяемых в электроэнергетике. Генератор состоит из неподвижной части - подвижной части - ротора. Обычно на роторе располагаются электромагниты с полюсами N и S (рис. 3.2). Их обмотка, называемая обмоткой возбуждения, питается через кольца и щетки от источника постоянного тока. В пазах статора, собранного из стальных листов, находятся проводники обмотки статора. Они соединены друг с другом последовательно поочередно с передней и с задней сторон статора (эти соединения показаны на рис. 3.2 соответственно сплошными и штриховыми линиями).

Рисунок 3.2 дает лишь схематическое представление об устройстве генератора. В действительности на статоре имеются еще две аналогичные обмотки, и каждая из трех обмоток располагается в большем числе пазов, чем это показано на рисунке.

При вращении ротора изменяется магнитный поток, сцепленный с обмоткой статора, и в ней наводится ЭДС Генераторы конструируют таким образом, чтобы ЭДС была близка к синусоидальной. За один оборот ротора происходит р полных циклов изменения ЭДС, где р - число пар полюсов ротора. Если частота вращения ротора равна n оборотов в минуту, то получается pn периодов в минуту, следовательно, частота

ЭДС

При частоте Гц ротор генератора с одной парой полюсов должен вращаться с частотой 3000 об/мин, а с двумя парами полюсов 1500 об/мин. Для обеспечения механической прочности ротора при таких больших частотах вращения его выполняют без выступающих полюсов. Еще существеннее отличаются по конструкции высокочастотные машинные генераторы. Они изготовляются для частот от 800 до 8000 Гц и применяются наряду с ламповыми генераторами в электротермических установках. Переменные токи еще более высоких частот получают исключительно от электронных генераторов (генераторов с электронными лампами, полупроводниковыми приборами и др.).

Синусоидальный ток

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

где - максимальное значение или амплитуд а тока. Аргумент синуса , называется фазой. Угол , равен фазе в начальный момент времени (t = О) и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают целое число так, чтобы значение фазы находилось в пределах или в пределах. от О до . В течение периода Т фаза увеличивается на . Величина показывает скорость изменения фазы и обозначается буквой . Принимая во внимание, что , можно написать

Это выражение, связывающее , послужило основанием называть угловой частотой. Измеряется числом радианов, на которое увеличивается фаза в секунду. Так, например, при имеем Введя в (3.1) обозначение w для угловой частоты, получим

На рис. 3.3 построен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

По оси абсцисс отложены время t и пропорциональная времени величина .

Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее ·от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t = О (начало координат). При начало синусоиды тока сдвинуто влево, а при для тока - вправо от начала координат. Мгновенное значение синусоидального тока можно представить и в виде косинусоидальной функции времени

где

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе.

Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая, очевидно, равна разности начальных фаз. На рис. 3.3, например, , т.е. ток опережает по фазе ток на угол , или, что то же самое, ток отстает по фазе от тока на угол Если у синусоидальных функций одной и той же частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадает по фазе, если разность их фаз равна , то говорят, что они противоположны по фазе наконец, если разность их фаз равна , то говорят, что они находятся в квадратуре.

Действующие ток, ЭДС и напряжение

Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое называется дейстувующим значением тока, или, короче, действующим током:

За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением r выделяется тепловая энергия:

Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном.

У становим связь между действующим значением и амплитудой синусоидального тока:

Следовательно,

Среднеквадратичные значения любых других периодических величин за период тоже называются действующими. Так, например, действующие ЭДС и напряжение

В частности, для синусоидальных ЭДС и напряжения

Если речь идет о периодических напряжениях и токах, обычно подразумевают действующие напряжения и токи и ради краткости просто говорят: напряжение столько-то вольт, ток столько-то ампер.

В электротехнике приходится встречаться как с очень малыми, так и с очень большими напряжениями и токами. Напряжение на входе радиоприемника, при котором еще возможен прием радиосигналов, бывает порядка единиц микровольт. Напряжение между проводами линий электропередач может быть 500, 750 и 1150 кВ. Токи в электроплавильных печах достигают десятков тысяч ампер, а в транзисторах могут быть меньше 1 мА.

Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами. Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:

Возьмем прямоугольную систему осей MON (рис. 3.4). Расположим под углом относительно горизонтальной оси ОМ вектор длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде(положительные углы откладываются против, а отрицательные - по направлению движения часовой стрелки). Представим себе, что вектор с момента t = О начинает вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол Его проекция на ось N' N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.

Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N' N можно получить и другим путем, оставляя вектор У т неподвижным и вращая, начиная с момента t = О, ось N' N по направлению движения часовой стрелки с угловой скоростью . В этом случае вращающуюся ось N' N называют л и н и е й времени.

Таким образом, между мгновенным значением v и вектором можно установить однозначную связь. На этом основании вектор называют вектором изображающим синусоидальным функцию времен и, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется вектор ной диаграммой.

Если считать оси ММ' и NN' осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу, модуль которого равен и аргумент - углу . Это комплексное число называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины. Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

Если вектор начиная с момента времени t = О, вращается против направления движения -часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенцой величиной:

Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.

Таким образом, величина v и ее изображение - комплексная амплитуда - однозначно связаны следующим равенством:

где символ обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части.

Если гармонически изменяющуюся величину представить в виде косинусоидальной функции времени, то ее мгновенное значение

где символ Re обозначает действительную часть комплексной функции времени, записанной в скобках. В этом случае мгновенное значение v определяется графически как проекция вращающегося вектора на ось действительных величин.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд

Пример №13

Написать комплексную амплитуду тока

Решение:

Комплексная амплитуд

Заданный ток равен мнимой части комплексной функции времени

Пример №14

Комплексная амплитуда напряжения частота. Написать выражение для мгновенного напряжения.

Решение:

Угловая частота , амплитуда так как действительная часть комплексной амплитуды отрицательная, а мнимая часть положительная, то вектор находится во второй четверти и, следовательно, . Таким образом, мгновенное значение напряжения

Сложение синусоидальных функций времени

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы И графически определим вектор равный геометрической сумме векторов

Эта векторная диаграмма построена для случая, когда

Представим себе, что векторы с момента t = О начинают вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекция вращающегося вектора

на вертикальную ось N'N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов т. е. мгновенных величин • Следовательно, проекция вектора

на вертикальную ось равна искомой сумме , а вектор изображает искомую синусоидальную функцию времени

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора и угол можем написать выражение искомой величины

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 3.5) можно написать

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

Выполнив суммирование, получим

где Отсюда находим

Так как то для определения нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей В расчетах начальную фазу В расчетах начальную фазу \j, выражают или в радианах, или в градусах.

Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а· положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам. Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения, в раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины:

Пpимep 3.3. Даны токи

Определить ток равный разности токов

Решение. Следовательно,

Электрическая цепь и ее схема

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В различных машинах, аппаратах, приборах и других устройствах электромагнитная энергия преобразуется и в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какой-либо участок, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, или, короче, просто схемой (математической моделью), составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.

К пассивным элементам схемы при

переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением r, или, короче, сопротивление r, индуктивный элемент с индуктивностью L, или, короче, индуктивность L, и емкостный элемент с емкостью С, или; короче, емкость С. Их условные обозначения на схемах показаны на рис. 3.6, а - в.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между индуктивными элементами (рис. 3.6, г). Таким образом, взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

В первой части книги рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности, емкости и взаимные индуктивности которых не зависят от токов и напряжений.

В резистивном элементе с сопротивлением r электромагнитная энергия преобразуется в тепло при мощности преобразованияРезистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.

Напряжение между выводами резистивного элемента и ток в элементе (рис. 3.6, а) связаны законом Ома:

Индуктивный элемент схемы с индуктивностью L (рис. 3.6, б) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции . По закону Ленца она препятствует изменению тока. Поэтому при выборе положительных направлений для тока i и ЭДС одинаковыми (как на рис. 3.6, б и как это обычно принято делать) знаки противоположны и Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее выводах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной ЭДС. При одинаковых положительных направлениях напряжений и ЭДС они противоположны по знаку:

а при противоположном положительном направлении ЭДС

(элементы цепи и элементы схемы, обладающие взаимной индуктивностью,).

Емкостный элемент схемы с емкостью С (рис. 3.6, в) учитывает энергию электрического поля. На электродах емкости заряды равны и противоположны по знаку:причем

Для указанных на рис. 3.6, в положительных направлений тока i и напряжения на емкости заряд и напряжение имеют одинаковые знаки, т. е.

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах, и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда Действительно, приросту заряда соответствует положительное значение тока, убыли заряда - отрицательное значение тока. Поэтому, обозначив = q, можно написать

или

Схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка - последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами - емкостью. С ростом частоты, увеличиваются ЭДС, обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами. При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в схему.

Если схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, то говорят, что реальная цепь рассматривается как . Если же приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. На прородах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкостные элементы). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:

Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 3. 7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения.

Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути , от второго вольтметра - по пути

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:

Заметим, что знак минус перед ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано_ от читателя за плоскость чертежа. Напряжение

Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим

Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на ЭДС, индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями. При согласовании положительного направления ЭДС (направления обхода контура) и положительного направления магнитного потока по правилу левого винта перед производной следует поставить не знак минус, а знак плюс.

Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.

В схеме замещения напряжения между различными ее точками от пути не зависят. Так, напряжения на выводах элементов схемы r, L и С связаны с током приведенными выше соотношениями (3.8)-(3.10) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемы переменного тока можно, так же как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:

или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Выберем произвольный узел m из общего числа У. Ток в k-й ветви, соединяющей узел m с другими узлами, обозначим . По первому закону Кирхгофа (3.1 la) для каждого m-ro узла

Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:

В это тождество ток ветви ik входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так

где - напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой

Произведение - это мгновенная мощность n-й ветви, и из тождества (3.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).

Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [ линейных, параметрических нелинейных ]. Можно показать, что тождество (3.12) остается справедливым при напряжении и токе которые определяются для двух разных цепей (с разными параметрами), если у этих цепей одинаковы графы. Конечно, в последнем случае тождество (3.12) не соответствует балансу мощностей.

Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем. Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.

Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят . алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.

После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС: алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе,

алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть в ветви (рис. 3.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном-контуре или rLС-цепи, известен ток

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

где

Постоянная интегрирования в выражении для принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол , а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол .

На рис. 3.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности больше амплитуды напряжения на емкости Синусоида совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды сдвинуты относительно синусоиды тока на угол соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол тt (находятся в. противофазе).

Ординаты кривой напряжения

согласно (3.13) равны алгебраической сумме ординат кривых

Определение напряжения и. сводится к вычислению амплитуды и начальной фазы , которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом. Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

а

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений (3.15), (3.16) с комплексными напряжениями (3.19), (3.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплекс ной величиной, дифференцирование заменяется умножением на а интегрирование - делением на.

Сумме синусоидальных напряжений (3.13) соответствует сумма изображающих цх векторов или комплексных действующих напряжений:

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 3.10). Напряжение совпадает по фазе с током i, поэтому вектор У..,. направлен одинаково с вектором . Напряжение опережает по фазе i на , поэтому вектор сдвинут относительно вектора на угол «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение с отстает по фазе от i на , поэтому вектор сдвинут относительно вектора I на угол «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений

Вектор (3.18) получается умножением на действительную величину r. Аргумент комплексной величины такой же, как и комплексного тока, поэтому направление вектора совпадает с направлением вектора . Вектор (3.19) получается умножением I на . Умножение тока на действительную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на .

Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол «вперед». Вектор (3.20) получается делением. Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на , уменьшает аргумент на . Следовательно, вектор повернут относительно вектора I на угол «назад». Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на соответственно «вперед и «назад», то множитель j часто называют о п е р а т о р о м п о в о р о т а на .

Сложив векторы получим вектор Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей - начальную фазу·

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (3.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

или

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ом а в комплексной ф о р м е. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

где

Так как то Таким образом, амплитуда и начальная фаза 'Vи напряжения на выводах· контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

Сопротивления

Введем теперь ряд величин, характеризующих цепь синусоидального тока. Отношение комплексного напряженого к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

где отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е.

Комплексное сопротивление можно представить в виде:

где - действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением

Очевидно, что

Из (3.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 3.8) комплексное сопротивление

причем реактивное сопротивление

где называются соответственно индуктивным сопротивлением

Из (3.15) и (3.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока:

Емкостное сопротивление, как следует из (3.16) и (3.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток:

Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (3.27) для реактивного сопротивления х сопротивления входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на и Поэтому эти сопротивления входят в .

Следует обратить внимание на то, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими - положительными, а реактивное сопротивление -величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля. Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление х равно индуктивному сопротивлению , а реактивное сопротивление х ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно заменить тремя элементами

Разность фаз напряжения и тока

Условимся под разностью фаз напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения и тока (а не наоборот):

Поэтому на векторной диаграмме угол отсчитывается в направлении от вектора к вектору (рис. 3.10). Именно при таком определении разности фаз угол равен аргументу комплексного сопротивления. Угол положителен при отстающем токе и отрицателен при опережающем токе.

Разность фаз между ·напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При имеем О и ток отстает по фазе от напряжения, При имеем , ток совпадает по фазе с напряжением, rLС-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при имеем, ток опережает по фазе напряжение

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений даны на рис. 3.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока принята равной нулю. Поэтому равны друг другу.

Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 3.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и , при как сопротивление r и при как последовательное соединение сопротивления и емкости - При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Выше было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам - комплексное напряжение , и комплексное сопротивлениеопределим комплексный ток

и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.

Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: . В этом случае, как следует из (3.28), начальная фаза тока равна и противоположна по знаку разности фаз

Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере.

Пример №15

К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение и = = 100 sin 5000t В. Емкость конденсатора С= 5 мкФ, сопротивление катушки r = = 15 Ом, индуктивность L = 12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.

Решение:

Схема замещения цепи показана на рис. 3.8.

Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90° , следовательно

Комплексное сопротивление катушки

Комплексная амплитуда напряжения на выводах катушки

Мгновенное напряжение на катушке

Пример №16

В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I = 2 А, его частота Гц. Напряжение на выводах цепи И = 100 В, катушки = 150 В и конденсатора = = 200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора

Решение:

Полное сопротивление цепи

Полное сопротивление катушки

Напряжение и токи при параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Пусть к цепи, схема которой состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 3.12), приложено напряжение

Определим токи во всех ветвях. По первому закону Кирхгофа

или

Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его ·комплексное напряжение , применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме. В результате получим

Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол , а ток в емкости опережает напряжение по фазе на угол . Векторная диаграмма напряжения и токов при показана на рис. 3.13.

Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что

или

От значения аргумента комплексной величины в квадратных скобках, на которую умножается комплексное напряжение, зависит разность фаз напряжения и тока. Так как под разностью фаз понимается значение и, следовательно, то аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначить -

Из (3.30) следует, что

На основании этих данных

Проводимости

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному· напряжению

где - величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью. Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в вид

где - действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью

Из (3.30) и (3.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 3.12, комплексная проводимость

или

и называются соответственно активной идуктивной и емкостной проводимостью

Реактивная проводимость

Индуктивная и емкостная проводимости - арифметические величины, а реактивная проводимость b - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. -.

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы по рис. 3.12 на рис. 3.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно и . При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята 78 элементов входят как отдельные слагаемые равной нулю, поэтому как это следует из (3.28), равны ·и противоположны по знаку.

Рассматривая схему на рис. 3.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором - сопротивлению и в третьем - параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом. При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для У, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

Заметим, что обозначения применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 3.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.

Пассивный двухполюсник

Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 3.15) связаны законом Ома

где - входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления х. Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 3.16, а) сопротивление х показано условно прямоугольником.

Комплексная проводимость

откуда

и, наоборот,

Из полученных соотношений видно, что b и х всегда имеют одинаковый знак.

Например, для схемы на рис. 3.8 получаем для g и b довольно сложные выражения, причем не только b, но и g зависят от частоты:

Наоборот, для схемы на рис. 3.12, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (3.36)

Переход от сопротивления к проводимости и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов эквивалентной схемой с , параллельным соединением элементов и обратно (рис. 3.16, а и 6).

Напряжение можно разложить на составляющие:

где - составляющая, совпадающая по фазе с током, называется аквтиной составляющей напряжения; - составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол , называется реактивной составляющей напряжения.

Составляющие можно рассматривать как напряжения на элементах r и х эквивалентной схемы.

На рис. 3.16, в представлена векторная диаграмма двухполюсника nри 0, т. е. если х - индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами со сторонами, пропорциональными называется треугольником напряжений - Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, , называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что

Входной комплексной проводимости соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 3.16, 6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие:

где - составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока; - составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол , называется реактивной составляющей тока.

Составляющие можно рассматривать как токи в элементах и эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами , со сторонами, пропорциональными называется треугольником токов Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям , называется треугольником проводимостью.

Из треугольника токов имеем

Пример №17

Цепь состоит из конденсатора емкостью С = 1 О мкФ и резистора с сопротивлением r = 100 Ом, включенных параллельно. Определить, каковы должны быть емкость конденсатора и сопротивление резистора, чтобы при их последовательном соединении получилась цепь, эквивалентная данной при частоте

Решение:

Проводимости данной цени

Сопротивления данной цепи

Эквивалентная цепь должна иметь такие же сопротивления. Таким образом, искомое сопротивление резистора 50 Ом, а емкость конденсатора

Пример №18

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (см. рис. 3.15)

Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника, активные и реактивные составляющие напряжения и тока.

Решение:

Мощности

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи синусоидального тока. Положим, что за элементарный промежуток времени dt через поперечное сечение провода в направлении, принятом за положительное для тока i (см. рис. 3.15), проходит электрический заряд dq. Перемещение '3аряда в направлении, совпадающем с положительным направлением ЭДС источника, сопровождается элементарной работой источника. Такая электромагнитная энергия отдается источником во внешнюю цепь и затрачивается на работу по перемещению заряда dq в положительном направлении напряжения и через пассивный двухполюсник.

Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени:

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол . Примем начальную фазу напряжения и найдем из (3.28) начальную фазу тока При таком условии мгновенные значения напряжения и тока

Мгновенная мощность

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис. 3.17). Мгновенная мощность, получаемая двухполюсником и отдаваемая источником напряжения (ЭДС), положительна, когда у напряжения и и тока i одинаковые знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока

в двухполюснике одинаковы и одинаковы действительные направления ЭДС и тока источника (см. рис. 3.15); она _отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны и противоположны действительные направления ЭДС и тока источника.

Действительные направления и и i в течение отдельных интервалов времени показаны на рис. 3.17.

Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник. а возвращается из двухполюсника источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником и поступающая в двухполюсник в течение времени t, равна

На графике она соответствует площади, ограниченной кривой р и осью абсцисс на интервале времени t. Знаками плюс и минус отмечены заштрихованные площади, соответствующие энергии, поступающей в двухполюсник и возвращаемой источнику.

Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накопляться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током

Знаки тока i и напряжения и в любой момент времени одинаковы и (см. далее рис. 3.18, а), и нет таких моментов времени, когда энергия возвращалась бы из двухполюсника источнику питания.

Среднее значение мгновенной мощности за период называется актвиной мощностью, или иногда просто мощностью, и, как следует из (3.37),

Активная мощность, получаемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник не потреблял бы энергию, а генерировал ее), поэтому всегда , т. е. на входе пассивного двухполюсника

Случай, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего резистивных элементов, а содержащего только индуктивные и емкостные.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз q> между напряжением и током, а полной мощностью

равной произведению действующих напряжения и тока.

Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе. Отметим также, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (3.37) численно равна полной мощности. Размерность .полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности называют вольт - ампер (В• А). Это позволяет при численном выражении полной мощности кратко говорить: мощность столько-то вольт-ампер, так как наименование единицы (вольт-ампер) сразу указывает, что речь идет о полной мощности.

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е. стремиться получитьТак, например, для питания приемника мощностью 10 ООО кВт при источник питания должен быть рассчитан на мощность 14 300 кВ• А, а при - на 10000 кВ-А.

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение

При расчетах электрических цепей находит применение так называемая реактивная мощность:

Она положительна при отстающем токе и отрицательна при опережающем токе Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют в а р (название происходит от сокращения слов «вольт», «ампер» и «реактивный»). Это отдельное наименование позволяет говорить вместо реактивная мощность просто мощность, равная стольким-то вар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями

Для увеличения коэффициента мощности (cos q>) приемника нужно, очевидно, уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет (в среднем) совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, а именно ее рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией

Размерность этой величины одинакова с размерностью энергии. Единицу измерения реактивной энергии называют вар-час; напомним, что энергия в электроэнергетике обычно измеряется в ватт-часах. Если наряду с энергией нужно рассматривать и реактивную энергию, то во избежание путаницы для внесения четкого различия этих двух понятий энергию называют активной.

На практике реактивная энергия, как и активная, измеряется счетчиками. При изменяющейся с течением времени нагрузке по показаниям счетчиком можно определить средний коэффициент мощности, предварительно вычислив

где - активная энергия; - средние значения активной и реактивной мощностей.

Рассмотрим теперь простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексных напряжении и токе. Он заключается в том, что нужно взять· произведение комплексного напряжения и комплекса сопряженного с комплексным током. Это произведение называют комплексной мощности, которую обозначают Пусть так что

Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть - реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.

Из приведенных выше основных выражений для мощностей получается ряд других выражений, в которые входят параметры пассивного двухполюсника или активные и реактивные составляющие тока и напряжения:

Для абсолютного значения реактивной мощности справедливы также выражения:

Из равенств следует, что стороны треугольников напряжений и токов пропорциональны мощностям S, Р и Подобный им треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны мощностям S, Р и , называется треугольником мощностей.

Мощности резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Принимая во внимание, что , мгновенную мощность можно представить в следующем виде:

Ток совпадает по фазе с напряжением, , и в соответствии с (3.37)

Мгновенная мощность колеблется в пределах от О до 2UI и не бывает отрицательной (рис. 3.18, а). Активная мощность равна полной мощности, а реактивная мощность равна нулю

Мгновенные мощности поступления энергии в индуктивный и в емкостный элементы равны скоростям прироста энергии соответственно магнитного и электрического полей.

Действительно, для индуктивности

и для емкости

Так как для индуктивности , а для емкости , то для обоих случаев из (3.37) получаем

Здесь верхние знаки относятся к индуктивности, а нижние - к емкости.

Площади, ограниченные кривыми мгновенных мощностей и осями абсцисс (рис. 3.18, 6 и в), пропорциональны энергии, которая поступает в индуктивный или емкостный элементы (отмечены знаком плюс) и возвращается источнику питания (отмечены знаком минус); эти площади равны друг другу. Происходит непрерывный обмен энергией между источником питания и соответственно между магнитным или электрическим полями.

Активные мощности у индуктивного и емкостного элементов равны нулю. Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а получаемая емкостным -отрицательна Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость - как ее генератор.

Реактивные мощности, получаемые индуктивным и емкостным элементами, можно выразить как произведения угловой частоты ro и максимальных значений энергии, периодически запасаемых соответственно в магнитном и электрическом полях:

Действительно, для индуктивного элемента:

и для емкостного

Отметим, что источники питания могут либо отдавать, либо получать реактивную мощность. Так, источник, питающий индуктивный элемент, отдает, а источник, питающий емкостный элемент, получает реактивную мощность.

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых (мгновенных и активных) мощностей равна сумме всех получаемых (соответственно мгновенных или активных) мощностей. Покажем, что соблюдается баланс и для комплексных, и, следовательно, для реактивных мощностей. Пусть общее число узлов схемы равно n. Здесь будем под узлом понимать и место соединения любых двух элементов схемы (источников и приемников), а под ветвью - каждый участок схемы, содержащий один из ее элементов.

Напишем для каждого из п- узлов уравнения по первому закону Кирхгофа для комплексов, сопряженных с комплексными токами:

Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел связан со всеми остальными п - 1 узлами. При отсутствии тех или иных ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях выпадают. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается. Так, например, - если между узлами 1 и 2 включены две ветви, то вместо в уравнения войдут суммы

Умножим каждое из уравнений на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение, и затем все уравнения просуммируем. Учтем, что комплексы, сопряженные с комплексными токами, входят в эти уравнения дважды (для двух различных направлении), причем т. д. В результате получим

т. е. сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях цепи равна нулю. Здесь все слагаемые представляют комплексные получаемые мощности, потому что они вычисляются для одинаковых положительных направлений напряжений (разностей потенциалов) и токов.

Полученное равенство выражает баланс комплексных мощностей. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы получаемых активных мощностей и суммы получаемых реактивньtх мощностей. Так как отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощностей равны друг другу.

Аналогичную формулировку можно придать и балансу комплексных мощностей. Перенеся часть слагаемых в правую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. рассматривая их как мощности отдаваемые, убедимся в равенстве сумм комплексных получаемых . и отдаваемых мощностей:

При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем -случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.

Получаемая пассивным двухполюсником реактивная мощность должна равняться сумме реактивных мощностей, получаемых индуктивными и емкостными элементами, которые составляют его схему:

Пользуясь соотношениями (3.47) и (3.48), получаем

Часто вместо (3.48) принимают для реактивной мощности емкостного элемента

при этом

но формула (3.49) не изменяется.

Заметим, что положения могут быть распространены и на цепи, между элементами которых имеются взаимные индуктивности, так как подобные цепи, как будет показано, можно свести путем преобразования к схемам, не содержащим взаимных индуктивностей.

Знаки мощностей и направление передачи энергии

Пусть два активных двухполюсника соединены друг с другом (рис;. 3.19, а). Предположим, что передача энергии в зависимости от режима работы может происходить в любом направлении - и от, и от

Выбранные положительные направления напряжения. и тока (рис. 3.19, а) совпадают друг с другом в двухполюснике и противоположны друг другу

в двухполюснике Поэтому мощности

являются мощностями, получаемыми двухполюсником и отдаваемыми двухполюсником Если р > О, то в данный момент времени энергия передается от двухполюсника к двухполюснику Если Р > О, то за каждый период Т двухполюсник получает, а двухполюсник отдает энергию, равную РТ. При Q > О двухполюсник отдает, а двухполюсник получает реактивную энергию. При р < О энергия в данный момент передается в обратном направлении, при Р < О энергия за .каждый период поступает из двухполюсника в двухполюсник . При Q < О реактивную энергию отдает двухполюсник

Для рассматриваемой цепи на рис. 3.19, 6 приведена векторная диаграмма напряжения и тока. При выбранном направлении вектора в зависимости от режима цепи вектор тока может находиться в любом квадранте диаграммы. На диаграмме выделены области расположения вектора соответствующие положительным и отрицательным значениям активной и реактивной мощностей. Так, для положения вектора , показанного на диаграмме штриховой линией, Р > О и Q < О. В этом режиме работы активная мощность передается от к а реактивная - от к

Рассмотрим теперь, как определяется направление передачи энергии по кривым мгновенных значений напряжения и тока, полученным экспериментально. На рис. 3.20, а показана схема включения осциллографа - прибора, на экране которого наблюдают эти кривые. Ординаты кривых пропорциональны мгновенным значениям напряжений, подводимых к выводам осцилографа с надписями «Напр.» и «Ток». Ток в цепи между двухполюсниками и регистрируется осциллографом косвенно, как напряжение на резисторе с небольшим сопротивлением, который включен в соединительные провода. Напряжение на этом сопротивлении пропорционально току и совпадает с ним по фазе.

Знаками + и - отмечена полярность выводов осциллографа, при которой ординаты кривых положительны.

Пусть наблюдаются кривые, или, как их называют, осциллограммы , показанные на рис. 3.20, 6.

Для решения вопроса о направлении передачи энергии укажем на схеме положительные направления напряжения и тока в соответствии с разметкой + и - выводов осциллографа. Положительные направления напряжения и тока, удовлетворяющие этому условию, совпадают для двухполюсника и противоположны для двухполюсника • Следовательно, по кривым тока и напряжения, показанным на рис. 3.20, 6, определяется мощность, получаемая двухполюсником , или мощность, отдаваемая двухполюсником • В те промежутки времени, когда ординаты кривых и и и, одного знака, энергия передается от к , когда же знакии и, различны, энергия передается от к Из осциллограммы видно, что.., следовательно, Таким образом, активная мощность передается от· к , а реактивная - от к • Ясно, что направление передачи энергии может быть установлено по осциллограммам тока и напряжения только в том случае, если известна полярность выводов осциллографа и схема его подключения к цепи.

Активная мощность измеряется ваттметром, который имеет две цепи, или, как принято говорить, две обмотки - напряжения и тока. Два вывода, один - обмотки напряжения и один - обмотки тока, обозначают одинаковыми значками, обычно звездочками (рис. 3.21, а).

Ваттметр устроен так, что измеряет значение

где - действующие напряжение и ток, подведенные к ваттметру, - угол сдвига фаз между ними, который соответствует одинаковым положительным направлениям относительно выводов, отмеченных звездочкой (например, на рис. 3.21, а - от выводов, отмеченных звездочкой, к выводам, не отмеченным звездочкой). Стрелка ваттметра отклоняется по шкале, если Если же и, следовательно,, то стрелка отклоняется не по шкале, а в противоположную сторону.

На рис. 3.21, 6 показаны два ваттметра, у которых обмотки тока включены различно. У ваттметра 1 вывод токовой обмотки, отмеченный звездочкой, находится слева, а у ваттметра 2 - справа. Как уже отмечено, ваттметры дают показания (стрелки отклоняются по шкале), если Для ваттметра 1 это будет при передаче энергии от к , а для ваттметра 2 - от к Таким образом, по показаниям ваттметра можно определить не только мощность, но и направление передаваемой энергии, нужно только знать размету выводов ваттметра и как он включен в цепь.

Определение параметров пассивного двухполюсника при помощи амперметра, вольтметра и ваттметра

Существуют различные зкспериментальные методы определения параметров пассивных двухполюсников. Рассмсrгрим метод, основанный на измерении тока, напряжения и активной мощности на входе двухполюсника. Определив по приборам И, 1 и Р, найдем

Затем вычислим абсолютные значения реактивных сопротивления и проводимости [ см. (3.26) и (3.32)]:

Для определения знака х и b необходимо провести дополнительные измерения в измененных условиях. Можно, например, последовательно с двухполюсником включить конденсатор с емкостным сопротивлением и, проведя заново измерения, определить по приведенным выше формулам новое абсолютное значение реактивного сопротивления Если реактивное сопротивление двухполюсника положительно и емкостное сопротивление конденсатора то очевидно то ; если же реактивное сопротивление х двухполюсника отрицательно, то Таким образом, выбирая и сопоставляя абсолютные значения х и (), можно определить знак х (знак b совпадает со знаком х).

Можно включить конденсатор параллельно двухполюснику и, проведя измерения, вычислить новое значение Если выбрать то при проводимость b > О, а при проводимость b < О.

Во многих случаях последовательное или параллельное включение конденсатора практически не изменяет активного сопротивления или активной проводимости цепи. Поэтому увеличение или уменьшение абсолютного значения реактивного сопротивления или проводимости приводит соответственно к увеличению или уменьшению полного сопротивления или проводимости и по изменениям их значений можно судить о знаке х и b.

Надо помнить, что параметры реальных цепей зависят от частоты и, будучи определены при одной частоте, не могут применяться для расчетов при других частотах.

Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к приемнику

Представим источник энергии с ЭДС и внутренним сопротивлением схемой замещения (рис. 3.22). Выясним, каково должно быть сопротивление приемника, чтобы передаваемая ему активная мощность была максимальной.

Мощность приемника

Очевидно, что при любом r мощность достигает наибольшего значения при В этом случае

Взяв от полученного выражения производную по r и приравняв ее нулю, найдем, что Р имеет наибольшее значение при .

Таким образом, приемник получает от источника наибольшую активную мощность, если его комплексное сопротивление является сопряженным с комплексным внутренним сопротивлением

источника:

при этом условии:

и коэффициент полезного действия

В электроэнергетических установках режим передачи максимальной мощности невыгоден вследствие значительных потерь энергии. В различного рода устройствах автоматики, электроники и связи мощности сигналов весьма малы, поэтому часто приходится специально создавать условия передачи приемнику максимально возможной мощности. Снижение КПД часто никакого значения не имеет, так как передаваемая энергия мала.

Согласование сопротивлений приемника и источника питания в соответствии с (3.50) можно получить и добавлением в цепь элементов, обладающих реактивными сопротивлениями (см. далее пример 4.6).

Иногда сопротивление приемника можно изменять не произвольно, а только с сохранением соотношения между активным и реактивным сопротивлениями, т. е. при . Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в этом случае мощность Р максимальна, если равны друг другу полные сопротивления приемника и источника , при этом

Согласования полных сопротивлений приемника и источника питания можно добиться, включив приемник через трансформатор. В общем случае приемника - разветвленной пассивной цепи Z - это ее входное сопротивление.

Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости

Познакомимся с некоторыми явлениями, оказывающими влияние на параметры электрической цепи.

На рис. 3.23 схематически показаны магнитные линии в плоскости поперечного сечения уединенного провода с током. Представим себе этот провод в виде совокупности нитей, параллельных его оси. Чем ближе нить расположена к оси провода, тем с большим числом магнитных линий она сцеплена.

При периодическом изменение тока изменяется магнитное поле и в нитях наводятся ЭДС, противодействующие изменениям тока. Это противодействие тем значительнее, чем больше ЭДС (чем больше магнитных сцеплено с нитью), т. е. чем ближе нить провода расположена к оси провода. В результате плотность тока 1< различных точках поперечного сечения получается неодинаковой: наибольшая на периферии провода и наименьшая на его оси.

Рассмотренное явление концентрации переменного тока в поверхностном слое проводника называют поверхностным эффектом. Резкость' проявления его возрастает с увеличением частотыдиаметра провода d, относительной магнитной проницаемости, и удельной проводимости материала провода. Это объясняется тем, что увеличение , приводит к возрастанию

магнитного поля внутри провода, увеличение d создает большую разницу в сцеплениях с магнитными линиями осевых и периферийных нитей провода, а повышение и увеличивает роль наводимых в нитях ЭДС, противодействующих изменению тока в них. Так, в предельном случае весь ток должен концентрироваться на поверхности провода в бесконечно тонком слое.

Вследствие поверхностного эффекта поперечное сечение провода при переменном токе используется хуже, чем при постоянном токе.

При одинаковых значениях переменного и постоянного токов (равенстве значения постоянного тока и действующего значения переменного тока) тепловые потери больше при переменном токе. Поэтому сопротивление провода переменному току (активное сопротивление) выше, чем сопротивление провода постоянному току. Другим следствием поверхностного эффекта является некоторое уменьшение индуктивности цепи ввиду ослабления магнитного поля во внутренней части провода. В предельном теоретическом случае ток концентрируется на поверхности провода в бесконечно тонком слое и магнитное поле внутри провода отсутствует.

При высоких частотах переменного тока внутренняя часть провода практически не используется, поэтому часто применяют пустотелые провода в форме труб. Применяют также высокочастотные многожильные провода. Они состоят из тонких изолированных друг от друга жил, перевитых таким образом, чтобы каждая из жил поочередно занимала в поперечном сечении провода различные положения от его оси до периферии. При такой конструкции каждая из жил находится в одинаковых условиях и токи в жилах равны друг другу. Кроме того, в пределах каждой жилы вследствие малого ее диаметра поверхностный эффект проявляется нерезко и плотность тока по сечению жилы различается незначительно. При очень больших частотах емкостная проводимость между жилами становится настолько значительной, что жилы оказываются как бы замкнутыми между собой, и поверхностный эффект проявляется так же, как и в сплошном проводе. Кроме того, становятся весьма заметными потери энергии в изоляции между жилами. Поэтому при частотах выше Гц многожильные провода не применяются. При частоте 50 Гц поверхностный эффект заметен только в проводах (шинах) достаточно большого поперечного сечения. В медных проводах с диаметром меньше 1 см при частоте 50 Гц увеличением сопротивления вследствие поверхностного эффекта практически можно пренебречь.

На распределение переменного тока в проводе оказывают влияние токи соседних проводов. Это явление называют эффектом близости. Как показано на схематических картинах магнитных полей двух проводов с токами (рис. 3.24), различные части сечений проводов сцеплены с неодинаковым числом магнитных линий. На основании рассуждений, аналогичных приведенным для одиночного провода, можно прийти к заключению, что наибольшая плотность тока будет в тех частях сечения проводов, которые сцеплены с наименьшим числом магнитных линий.

Если токи в проводах направлены одинаково (рис. 3.24, а), наибольшая плотность тока наблюдается в наиболее удаленных друг от друга частях сечений; при различных направлениях токов (рис. 3.24, 6) наибольшая плотность тока получается в наиболее близких друг к другу частях сечений проводов. Области наибольших плотностей тока отмечены

на рис. 3.24 толстыми линиями. Вызываемая эффектом близости неравномерность распределения тока по сечению проводов приводит к увеличению потерь энергии, к увеличению разницы в сопротивлениях проводов переменному и постоянному токам. Расчеты распределения тока по сечению проводника с учетом поверхностного эффекта или эффекта близости и сопротивления проводника относятся к задачам теории поля.

Параметры и эквивалентные схемы конденсаторов

При низких частотах конденсаторы можно рассматривать как емкостные элементы. При высоких частотах играют существенную роль потери энергии в изоляции. Эти потери растут с увеличением частоты тока и зависят · от материала изоляции. Например, бумажная изоляция, которая применяется для конденсаторов, устанавливаемых в цепях низких и звуковых частот, оказывается непригодной при высоких частотах, так как потери энергии в ней приводят к недопустимому нагреву.

Энергия, преобразуемая в тепло в изоляции конденсаторов, подводится от источника питания, поэтому ток в конденсаторе опережает по фазе напряжение на его выводах на угол , меньший (рис. 3.25). Угол, дополняющий , обозначают буквой и называют углом потерь.

Для конденсатора, как и для любого двухполюсника, можно составить две схемы замещения (рис. 3.26), в которых

g и r учитывают потери энергии в диэлектрике.

Обычно угол потерь очень мал. Величинадля различных частот и диэлектриков лежит в пределах от доПри таких условиях и Поэтому практически можно считать

и так как , т. е. емкости обеих схем практически одинаковы. Связь между r и g найдем из общих соотношений между сопротивлениями и проводимостями (3.36):

На практике конденсатор характеризуют параметрами С и . Для параллельной эквивалентной схемы (рис. 3.26. а)

Для последовательной эквивалентной схемы (рис. 3.26, 6)

Величину, обратную , называют добротностью конденсатора:

Параметры и эквивалентные схемы катушек индуктивности и резисторов

При низкой частоте, например при 50 Гц, эквивалентная схема катушки индуктивности (рис. 3.27, а) состоит из последовательно соединенных резистивного и индуктивного элементов (эту схему можно, конечно, заменить схемой, состоящей из параллельно соединенных активной и реактивной проводимостей).

Из векторной диаграммы (рис. 3.27, б) следует, что

Добротность катушки

Сопротивление катушки увеличивается с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта и главным образом - эффекта близости. Поэтому в общем случае добротность катушки не пропорциональна частоте. В некотором диапазоне изменения частот можно считать, что значение Q остается почти постоянным.

При высоких частотах нельзя пренебрегать емкостями между витками. Эти :rак называемые межвитковые емкости условно показаны на рис. 3.28 штриховой линией. Чем выше частота, тем меньше емкостные сопротивления между витками. Токи в витках катушки получаются неодинаковыми. Найти распределение тока в катушке при высокой частоте нелегко. При достаточно высоких частотах из-за межвитковых емкостей эквивалентное реактивное со

противление катушки может даже стать емкостным. Применяемые на практике проволочные резисторы обладают всегда некоторой индуктивностью, и, кроме того, между отдельными витками имеется емкость. При достаточно низких частотах индуктивности и емкости практически никакого влияния не имеют и в расчетах не учитываются.

Расчет цепей при синусоидальных токах

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока:

только токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения (4.1), (4.2) в виде комплексных величин.

О применимости методов расчета цепей постоянного тока к расчетом цепей синусоидального тока

Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Кирхгофа. Если повторить все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для uепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые бы- причем ли получены для цепей постоянного 11 n тока, такая полная аналогия расчетов цепей постоянного и синусоидального токов имеется только при отсутствии взаимной индуктивности. В частности, должна быть выполнена та же подготовка уравнений цепи для расчета режима на ЭВМ.

Для того чтобы установить связь между токами и напряжениями (ЭДС), нужно на схеме указать положительные направления заданных и выбрать положительные направления для искомых токов, напряжений или ЭДС. При' расчетах цепей постоянного тока искомые токи и напряжения получаются отрицательными, если действительные направления тока или напряжения не соответствуют выбранным для них положительным направлениям. При расчетах цепей синусоидального тока действительные направления токов и напряжения периодически изменяются, поэтому произвольность выбора положительных направлений отражается только на их фазах. При изменении выбранного положительного направления на противоположное получается новое значение фазы, отличающееся на, что соответствует изменению знака комплексного тока или напряжения и изменению направления вектора на векторной диаграмме на 180°

Несмотря на общность методов расчета цепей синусоидального и постоянного токов, расчеты цепей синусоидального тока значительно сложнее и обладают рядом особенностей. Показать специфику расчетов цепей синусоидального тока проще всего на конкретных достаточно простых примерах.

Последовательное соединение приемников

При последовательном соединении приемников энергии с комплексными сопротивлениями эквивалентное или общее комплексное сопротивление цепи

причем

Порядок расчета цепи с последовательным соединением элементов зависит от того, какие величины заданы и какие нужно най rи.

Пример №19

На рис. 4.1, а показана схема замещения линии электропередачи с присоединенным к ней приемником. Линия представлена последовательным соединением резистивного и реактивного элементов с сопротивлениями , а приемник - пассивным двухполюсником. Индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся соответственно к началу и концу линии.

Дано: Определить напряжение в начале линии

Решение:

Представим пассивный двухполюсник эквивалентной схемой, состоящей из последовательного соединения элементов

Ток в двухполюснике (и в _линии) I =

Сопротивления

Искомое напряжение

На рис. 4.1, в показана векторная диаграмма напряжений и тока (заметим, что в курсе электрических сетей приводятся удобные для расчета формулы, позволяющие просто · определять разность и находим

Пример №20

Для той же цепи, что и в примере 4.1, дано

Решение:

Сопротивление Сопротивление определяется по аналогичной формуле, но предварительно надо найти

Пример №21

Для той же цепи, что и в примере 4.1, дано: Определить ток в линии I

Решение:

Для решения задачи составим уравнение

Примем начальную фазу напряжения ; равной О, т. е. Начальная фаза тока , и, следовательно, Комплексное напряжение

Подставим в уравнение (а) известные величины

или

Из этого уравнения с комплексными величинами получаем два уравнения (для действительных и мнимых величин):

Эти два уравнения с геометрической точки зрения представляют равенства проекций вектора суммам проекций векторов на две взаимно перпендикулярные оси (ось -действительных и ось мнимых величин.

Находим:

Подставив значение в уравнения (б) и (в), получим

или

откуда

Параллельное соединение приемников

При параллельном соединении n приемников энергии с комплексными проводимостями эквивалентная или общая комплексная проводимость

причем

В случае двух параллельных ветвей их эквивалентное или общее. комплексное сопротивление определяется по формуле:

Пример №22

Резистор с сопротивлением и катушка с сопротивлением и индуктивностью соединены параллельно (рис. 4.2, а). В цепь включены амперметры. Дано: Ом, показания амперметров . Определить параметры катушки Сопротивлением амперметров пренебречь.

Решение:

Сначала рассмотрим графическое решение задачи.

Найдем напряжение, приложенное к цепи: Выберем масштабы для напряжения . Отложим векторы (рис. 4.2, б). Они совпадают по направлению, так как фазы тока и напряжения одинаковые. Построение векторовосновывается на том, что отстает по фазе от напряжения Проводим из начала и конца векторадуги, радиусы которых в выбранном масштабе равны токам I и Точка В пересечения этих дуг определяет положение концов векторов

Отметим, что· существует еще одна точка пересечения этих дуг - выше вектора (на рис. 4.2, б эта точка не показана). Она не может служить для определения положения концов векторов так как вектор проведенный в эту точку, опережал бы вектор напряжения в действительности же он отстает от вектора .

Разложим вектор напряженияна два составляющих вектора, один из которых совпадает по направлению с вектором, а другойему перпендикулярен. Это - векторы активной и реактивной составляющих напряжения на катушке.

Находим действующие значения , наконец, вычисляем

Теперь рассмотрим аналитический способ решения на основе векторной диаграммы. Векторную диаграмму (рис. 4.2, б) строим качественно - не в масштабе. Она нужна только для того, чтобы наглядно представлять тригонометрические соотношения между ее отрезками. Из треугольника ОАВ имеем

или откуда

Смешанное соединение приемников

Токи в цепях со смешанным соединением приемников проще всего рассчитываются путем преобразования схем или методом подобия (методом пропорциональных величин). Ниже иллюстрируется первый метод.

Пусть заданы сопротивления всех элементов схемы (рис. 4.3) и напряжение на ее входе; требуется определить токи во всех ветвях. .

Заменим параллельно соединенные приемники энергии одним эквивалентным с проводимостью или сопротивлением После этого преобразования схема состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений Ее общее и:ли эквивалентное сопротивление

Ток в неразветвленной части цепи Напряжение на разветвлении Токи в параллельно соединенных приемниках

На практике встречаются задачи и по расчету параметров цепи, удовлетворяющих различным поставленным условиям.

Пример №23

Даны сопротивления (рис. 4.4) Определить, при каком сопротивлении отстает по фазе от напряжения

Решение:

Сначала наметим ход решения. Положим начальную фазу напряженияравной нулю, т. е. Затем найдем · в общем виде выражение для токаТок будет отставать по фазе на от напряжения в том случае, если комплекс будет отрицательной мнимой величиной. Это и является условием определения сопротивления

В соответствии с намеченным планом решения находим эквивалентное сопротивление цепи

ток в неразветвленной части цепи

напряжение на разветвлении

и, наконец, ток

Числитель этого выражения - действительная величина. Комплекс будет отрицательным мнимым, если знаменатель - положительный мнимый, т. е. при условии 700 - 1400000 = О или при = 2000 Ом. К расчету цепи со смешанным соединением приводит решение многих практически важных задач, в частности получение максимальной мощности приемником, составление условий равновесия моста переменного тока.

Определим реактивные сопротивления (рис. 4.5, а и 6), при которых приемник с сопротивлением получает максимальную мощность от источника с внутренним сопротивлением

Вся активная мощность, отдаваемая источником, потребляется в приемнике (в сопротивлении ), так как остальные сопротивления - реактивные. Поэтому необходимо, чтобы входное сопротивление каждого пассивного двухполюсника (на рис. 4.5 обведены штриховой линией) было равно сопряженному комплексному внутреннему сопротивлению источника

и для схемы рис. 4.5, 6

Каждое из полученных уравнений для комплексных величин можно записать в виде двух уравнений - для действительных и для мнимых величин, из которых и определяются

Реальные элементы цепи обладают не только реактивными, но и активными сопротивлениями, поэтому приведенный расчет согласования сопротивлений приемника и источника питания является приближенным.

Найдем соотношение между сопротивлениямимостовой схемы (рис. 4.6), при выполнении которого мост находится в равновесии, т. е. ток в диагонали моста равен нулю.

Заметим, что в качестве индикатора, по которому судят об отсутствии тока в диагонали моста, применяют телефон, вибрационный гальванометр и различные электронные приборы.

Ток в диагонали моста отсутствует, если

Разделив эти равенства друг на друга, имеем или или

Зная три комплексных сопротивления, при которых наблюдается равновесие моста, можно определить четвертое

Разветвленные цепи

Выбор наиболее рационального метода расчета разветвленной цепи основан на учете особенностей схемы и поставленной задачи. Все соображения по выбору расчетных методов для цепей постоянного тока применимы и к выбору расчетных методов для цепей синусоидального тока.

Показаны некоторые особенности применения преобразования соединения элементов треугольником в соединение звездой, принципа эквивалентного генератора и метода узловых потенциалов в цепях синусоидального тока.

Следует иметь в виду, что после преобразования соединения пассивных элементов треугольником в эквивалентное соединение звездой или обратно комплексные сопротивления преобразованной схемы могут получиться с отрицательными действительными частями, т. е. отрицательными активными сопротивлениями. Эти сопротивления имеют чисто расчетный смысл. Активная мощность такого сопротивления отрицательна, следовательно, электромагнитная энергия в нем не поглощается, а генерируется. Суммарная активная мощность во всех ветвях преобразованной схемы пассивной цепи, конечно, не отрицательна и равна активно мощности в исходной схеме.

Пример №24

На рис. 4.7,а показана часть разветвленной цепи, в которой две одинаковые катушки и конденсатор соединены• треугольником. Дано и Преобразовать схему соединения треугольником в звезду.

Решение:

Комплексные сопротивления звезды

Эквивалентная схема представлена на рис. 4.7,6, в которой = -0,6 Ом,

т. е. цепь не может быть собрана из пассивных элементов.

Пример №25

На рис. 4.8 представлена эквивалентная схема цепи, встречающейся в релейной защите (фильтр-реле обратной последовательности). Дано:;

Известны напряжения , причем напряжение отстает по фазе от напряжения на угол . Определить напряжение (напряжение на выводах реле).

Решение:

Рассмотрим ветвь как приемник, а остальную цепь как активный двухполюсник.

Входное сопротивление активного двухполюсника

Определим напряжения холостого хода:

Искомое напряжение (по принципу эквивалентного генератора)

Пример №26

На рис. 4.9 представлена схема цепи, встречающаяся в релейной защите (фильтр реле обратной последовательности). Дано:Известны напряжения причем отстает по фазе от Определить напряжение

Решение:

Проще всего задача решается методом узловых потенциалов. Полагаем Выбрав,- получим . Нужно составить одно уравнение для определения Будем исходить из следующего уравнения для токов:

или

или

откуда искомое напряжение:

Топографические диаграммы

Для суждения о напряжениях между различными точками схемы полезны топографические диаграммы. Они представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Точке отсчета, потенциал которой принят равным нулю, на топографической диаграмме соответствует начало координат.

Построим качественно топографическую диаграмму сначала для неразветвленной схемы, представленной на рис. 4.10. Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении (рис. 4.11, а). Примем потенциал точки g равным нулю и определим потенциалы остальных точек. Будем обходить схему, начиная от точки g, навстречу положительному направлению тока. Потенциал точки больше потенциала точки g на падение напряжения на индуктивности:

Так как , то потенциал изобразим вектором Конец этого вектора обозначим буквойтак как он определяет потенциал точки . Потенциал точки d выше потенциала точки на падение напряжения на сопротивлении r: Откладываем от конца вектора вектор Конец вектора обозначим буквой d, так как он определяет потенциал точки d. Действительно, если провести вектор из начала координат к концу вектора то он будет равен сумме векторов, а эта сумма равна ·

Аналогично находим. в соответствии с этим равенством проводим из конца вектора (точка d) вектор - . Конец вектора - обозначим буквой b, так как он определяет потенциал точки b. От конца вектора - b откладываем вектор R! и получаем последнюю точку а топографической диаграммы, определяющую потенциал или напряжение Электродвижущая сила источника

Необходимо обратить особое внимание на направления векторов напряжений на топографических диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы . Так, например, вектор напряжения (положительное направление на рис. 4.10 от d направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, б) от точки к точке d, а вектор напряжения (положительное направление от d) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, 6, штриховая линия) от точки d к точке . Это соответствует известному правилу вычитания векторов, согласно которому вектор представляющий разность векторов , направлен от конца вектора к концу вектора а вектор представляющий разность векторов , направлен от конца вектора . Учитывая сказанное, на топографической диаграмме можно не указывать направлений векторов напряжений, а ограничиться только обозначением точек.

По топографической диаграмме можно определить напряжение между любыми точками схемы. Для этого достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому отрезку надлежащее направление. Так, вектор напряжения представлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, а) отрезком прямой между точками, взятыми ·в направлении от

В отличие от векторов напряжений векторы ЭДС направлены относительно точек топографической диаграммы одинаково с положительными направлениями ЭДС относительно соответствующих точек схемы. Так, вектор ЭДС (положительное направление на рис. 4.10 от точки g к точке а) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11, а) тоже от точки g к точке а. Рассмотрим пример построения топографической диаграммы для разветвленной схемы (рис. 4.12) при заданных параметрах ее элементов и напряжения на ее выводах. Требуется найти токи в ветвях и построить топографическую диаграмму.

Эта задача может быть решена аналитически обычным путем: сначала схема преобразуется к простейшему виду и определяется ток затем находятся токи и, наконец, вычисляются потенциалы всех точек и строится топографическая диаграмма. Однако расчет значительно упрощается, если воспользоваться методом подобия.

Задавшись произвольным значением комплексного тока , например положив , вычислим напряжения и Затем отложим на диаграмме векторы (рис. 4.13). Сумма векторов равна вектору напряжения Затем найдем ток . Вектор отстает от вектора Токопределим или аналитически, или графически. Из точки b диаграммы проводим вектор напряжения·под углом к вектору в сторону отставания. Конец этого вектора определяет на тодографической диаграме точку а. Проводим из точки d вектор его конец определяет на топографической диаграмме точку , так как Вектор напряжения может не совпадать по значению с заданным напряжениемЧтобы привести в соответствие построенную диаграмму с заданным напряжением, достаточно изменить масштабы напряжений и токов в отношении

Дуальность электрических цепей

Если сравнить между собой структуры и методы решения уравнений узловых потенциалов и контурных токов, то обнаружится много общего. Все математические выражения получаются сходными по форме записи, причем проводимостям в уравнениях узловых потенциалов соответствуют сопротивления в уравнениях контурных токов. Отмеченное сходство можно обобщить и применить, например, для целесообразной замены схем при расчетах режимов сложных электрических цепей.

Пусть электрическая схема произвольной конфигурации планарного вида (без пересекающихся ветвей, расположенных на плоскости) имеет в своем составе У узлов и К независимых контуров и пусть положительные направления контурных токов выбраны так, что падения напряжений в общих ветвях входят в контурные уравнения с отрицательными знаками Предположим, что число независимых узлов У -1 равно числу независимых контуров К, и сравним комплексное уравнение контурных токов для любого s-го контура:

где - собственное контурное s-сопротивление s-го контура, с уравнением узловых потенциалов для любого s-го узла;

где сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к s-му узлу.

Легко установить полное сходство в записи уравнений (4.6) и (4.7). Из сходства уравнений следует, что для любой заданной планарной схемы можно составить другую электрическую схему, для которой узловые уравнения типа (4. 7) будут идентичны контурным уравнениям (4.6) первой схемы. Такие две схемы называются дуальными. Контурные токи для первой схемы идентичны потенциалам соответствующих узлов второй схемы; общие сопротивления контуров первой схемы идентичны проводимостям ветвей, включенных между соответствующими узлами второй; суммарные ЭДС в контурах первой схемы идентичны узловым токам второй; токи в ветвях, обусловленные источниками тока первой схемы, идентичны ЭДС в соответствующих ветвях второй. Иначе говоря, справедливы следующие взаимные соответствия:

при этом общее число узлов второй дуальной схемы на единицу больше числа независимых контуров первой схемы.

Поскольку возможности преобразования «узловой» схемы несколько большие, чем для «контурной» (например, можно преобразовать многолучевую звезду в эквивалентный многоугольник, но не наоборот), то иногда · проще произвести расчет режима узловой схемы, а затем полученное решение представить через режим (токи, напряжения) контурной схемы. Рассмотрим в качестве примера схему на рис. 4.14, а. Для этой схемы при выбранных положительных направлениях контурных токов запишем уравнения

где

Заменим в (4.8) сопротивления проводимостями, контурные токи потенциалами, а ЭДС токами источников тока. Тогда получим систему уравнений

где

Этой системе уравнений соответствует электрическая схема, показанная на рис. 4.14, 6, и дуальная схеме, изображенной на рис. 4.14,а

Таким образом, при выполнении отмеченных выше соответствий и численных равенств можно, например, найти потенциалы в схеме с проводимостями, которые будут равны контурным токам в схеме с сопротивлениями, и наоборот. Кроме того, соответствие означает, что если у первой схемы сопротивление некоторой ветви причем включены последовательно, то соответствующая проводимость второй ветви , причем включены параллельно и емкостная проводимость численно равна индуктивному сопротивлению (рис. 4.15, а и 6)

Для построения дуальной схемы (например, для показанной на рис. 4.14, а) можно пользоваться графическим способом. Внутри каждого независимого контура отмечается узловая точка дуальной схемы (на рис. 4.14, а отмечены узлы 1, 2 и 3), общее число которых равно числу независимых контуров. Зависимый узел указывается во внешней (по отношению к заданной схеме) области (на рис. 4.14,а узел 4). Затем между узлами проводятся линии (штриховые на рис. 4.14,а), каждая из которых пересекает один элемент заданной схемы. Например, на рис. -4.14, а четвертая ветвь состоит из последовательно соединенных двух сопротивлений и одного источника ЭДС, поэтому между узлами 1 и 2 проведены три штриховые линии

Для определения направлений токов источников тока дуальной схемы обратимся · к уравнениям (4.8) и (4.9). Из сопоставления уравнений видно, что если при обходе контура заданной схемы (рис. 4.14, а) по направлению контурного тока ЭДС входит в уравнение (4.8) с положительным знаком, то ток источника тока в соответствии с уравнением (4.9) в дуальной схеме. (рис. 4.14, б) будет направлен к узлу, отмеченному внутри этого контура.

Следует особо подчеркнуть, что после графического преобразования полученной дуальной схемы (рис. 4.14, б) должна получиться исходная схема (рис. 4.14,а); это позволяет проверить правильность построения дуальной схемы (рис. 4.14,6).

Изобразим для большей наглядности все ветви заданной мостовой схемы (рис. 4.14, а) отрезками линий (рис. 4.14, в); дуальная схема, изображенная на рис. 4.14, в штриховыми линиями, получилась такой же конфигурации. Такие схемы называются самодуальными. На рис. 4.14, г изображены две самодуальные схемы с восемью ветвями, для которых можно написать четыре независимых контурных и четыре независимых узловых уравнений.

Комплексные частотные характеристики

К частотным характеристикам цепи в комплексной форме, или к комплексным частотным характеристикам, относятся входные и передаточные функции, записанные в комплексной форме.

Входная комплексная функция цепи - это зависимость от частоты комплексного сопротивления

или комплексной проводимости

относительно двух выделенных или заданных выводов.

В качестве примера построим зависимости от частоты модуля и аргумента входного комплексного сопротивления параллельной схемы замещения реального конденсатора (см. рис. 3.26, а) с заданными параметрами g и С, считая их в рассматриваемом диапазоне частот неизменными.

Входное сопротивление

и

Зависимости показаны на рис. 4.16, а и б.

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме. Предполагается, что в цепи действует одно внешнее воздействие, т. е. цепь содержит один источник воздействия, а другие независимые источники напряжения или тока отсутствуют или не действуют.

Различают четыре вида передаточных функций:

передаточная функция по напряжению

передаточная функция по току

передаточное сопротивление

передаточная проводимость

Передаточные функции

могут определяться для различных пар выбранных ВХОДНЫХ и выходных ВЫВОДОВ цепи.

В частном случае обе пары выводов совпадают, так что т. е. для них получается тривиальное решение. Зависимость модуля передаточной функции от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), зависимость аргумента передаточной функции - фазо-частотной характеристикой ( ФЧХ). На комплексной плоскости можно построить геометрическое место конца вектора при изменении частоты - характеристику (АФХ), или годограф вектора .

В качестве примера определим АЧХ и ФЧХ передаточной функции по напряжению простейшего rС-фильтра схема которого дана на рис. 4.17, в режиме холостого хода. Входные выводы фильтра 1-1', т.е выходные выводы 2-2', т. е.

Передаточная функция

т. е. амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Зависимости (4.19) аналогичны (4.13), т. е. графики такие же, как и на рис. 4.16, но с

Для цепей с сосредоточенными параметрами передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов относительно с действительными коэффициентами:

Если - безразмерная величина , то можно составить логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику

В (4.20) единице действительной составляющей логарифмической АФХ, i:. е. безразмерной логарифмической амплитудной характеристике, дано название не пер (Нп), · мнимая составляющая должна быть записана в радианах. Для логарифмической амплитудной характеристики применяют и другую единицу - децибел (дБ). В этом случае вычисляетсяНепер и децибел связаны соотношением

Резонанс в электрических цепях

Наименование «резонанс» для режима цепи заимствовано из теории колебаний.

Как известно, резонансом называется процесс вынужденных колебаний с такой частотой, при которой интенсивность колебаний при прочих равных условиях максимальна. Но характеризовать интенсивность колебательного процесса можно по различным проявлениям, максимумы которых наблюдаются ripи различных частотах. Поэтому нужно условиться о критерии резонанса.

Вынужденные и свободные колебания

В электрической цепи колеблются заряды. Для цепей, содержащих L и С, можно было бы взять за критерий резонанса максимум амплитудного значения заряда конденсатора, что соответствует максимальной амплитуде напряжения на конденсаторе. Этот критерий определяет амплитудный резонанс. Далее примем в качестве критерия режима «резонанс» в пассивных двухполюсниках, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, совпадение по фазе тока (считая, что он не равен ·нулю) и напряжения на входных выводах, т. е. так называемый фазовый резонанс. Ток совпадает по фазе с напряжением, если входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость двухполюсника равны нулю. Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то в такой цепи при достаточно малом сопротивлении катушки наблюдается процесс затухающих колебаний напряжений и тока. Частота этих колебаний называется частотой собственных или свободных колебаний. Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний (они совпадают только в теоретическом случае катушки и конденсатора без потерь). Принятый здесь критерий резонанса применим и при больших потерях, при которых собственные колебания невозможны.

Резонанс в последовательном контуре

Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (см. рис. 3.8). Такую цепь часто называют последовательным контуром или rLС-цепью. Для нее наступает резонанс '

При значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и емкости равны ( см. рис. 3.11, б), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи z при х = О минимально: а ток при заданном напряжении И достигает наибольшего значения . В теоретическом случае при r = О полное сопротивление цепи в режиме резонанса также равно нулю, а ток при любом конечном значении напряжения И бесконечно велик. Так же бесконечно велики напряжения на индуктивности и емкости.

Из условия следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи - индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой

а частота, при которой наступает резонанс - резонансной частотой

Индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе

Величина р называется характеристикам сопротивлением контура или rLС-цепи. Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой «ку»

и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса.

Добротность контура указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном. или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение на входных выводах:

Для уяснения энергетических процессов при резонансе определим сумму энергий магнитного и электрического полей цепи в произвольный момент времени При резонансе ток в контуре Напряжение на емкости

Суммарная энергия

НО

откуда и, следовательно

т. е. сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля, и наоборот. Таким образом, наблюдается непрерывный переход энергии из электрического поля в магнитное поле и обратно.

Энергия, поступающая в контур от источника питания, в любой момент времени целиком переходит в тепло. Поэтому для источника питания контур эквивалентен одному резистивному элементу

Частотные характеристики и резонансные кривые последовательного контура

Предположим, что к контуру (см. рис. 3.8) приложено синусоидальное напряжение , амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах

Изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а следовательно, и полное сопротивление, а также угол (аргумент комплексного сопротивления). Зависимости от частоты параметров цепи назовем частотными характеристиками , зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты - резонансными кривыми.

На рис. 5.1 построены частотные характеристики . Изменение реактивного сопротивления приводит к изменению режима цепи. На рис. 5.2 приведен примерный вид резонансных кривых и кривой для цепи, добротность которой . При напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, поэтому ток в цепи отсутствует. При изменении частоты от О до реактивное сопротивление имеет емкостный характер и изменяется от до О (см. рис. 5.1). Вследствие этого ток возрастает от О до максимального резонансного значения а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до О. При изменении частоты от до результирующее реактивное сопротивление возрастает от О до оо и имеет индуктивный характер.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Вследствие этого ток уменьшается от наибольшего значения до О, а угол возрастает от О до Напряжение изменяется пропорционально току.

В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При = О сопротивление = О, ток = О, и, следовательно, = О. При изменении частоты от О до оба сомножителя увеличиваются и возрастает. При дальнейшем увеличении частоты ток уменьшается, но за счет роста напряжение продолжает возрастать. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что для цепи с добротностью это возрастание продолжается непрерывно до значения U, а для цепи с добротностью - напряжение при некоторой частоте достигает максимума , а затем уменьшается. При , следовательно,

Теперь рассмотрим зависимость напряжения на емкости от частоты. При ro = О тока в цепи нет, поэтому . При возрастании , начиная от нуля, непрерывно уменьшается. Анализ показывает, что для цепи с добротностью напряжение непрерывно уменьшается, а при напряжение сначала из-за возрастания тока I увеличивается, достигает при некотором значении частоты максимума, а затем уменьшается.

Уменьшение напряженияс ростом частоты начинается при частоте , меньшей , вследствие непрерывного уменьшения При , так и равны нулю, поэтому . Заметим, что и, как было отмечено, . График зависимости тока от частоты показывает, что рассматриваемая цепь обладает «избирательными свойствами». Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте.

Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.

Выясним влияние параметров цепи на форму резонансной кривой . Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах:

где действующий ток при резонансе; - относительная частота. Преобразуем выражение полного сопротивления цепи:

Разность характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение называется обощенной расстройкой. С учетом этих обозначений сопротивление

Ток в цепи

Выражение (5.5) показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью Q.

На рис. 5.3, а представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать Q добротностью контура. Заметим, что наибольшие достигаемые на практике значения Q контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, лежат в пределах 200-500.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропуска контура , которую определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение превышает. На рис. 5.3, а проведена горизонтальная линия, соответствующая. Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Высшая и низшая относительные частоты показаны на рис. 5.3, б для контура с известной добротностью Q. На этом же рисунке построена идеальная резонансная кривая, для которой вне полосы пропускания ток равен нулю, т. е. у которой идеальные избирательные свойства. На рис. 5.3, а также 5.4. Резонансные явления при изменении параметров контура, резонанса можно достичь не только изменением частоты напряжения питания, но и изменением индуктивности или емкости. Практически контур настраивают проведена горизонтальная линия, соответствующая Ее пересечение с резонансными кривыми определяет полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Если диапазон изменения частоты составляет несколько порядков, то часто выбирают для частоты логарифмический масштаб, т. е Интервал частот называют декадой (десятикратное изменение частоты). Число декад Интервал частот, для которого называют октавой (удвоение частоты), причем 1 декада октавы.

Пример №27

Определить добротность контура по известной резонансной кривой

Решение:

На границах полосы пропускания т. е. · как следует из

откуда так как

Сложим (а)_ и (б): или т.е. должно быть

Вычтем (б) из (а): или откуда

Резонансные явления при изменении параметров контура

Как было указано, резонанса можно достичь не только изменением частоты напряжения питания, но и изменением индуктивности или емкости. Практически контур настраиваю в резонанс чаще при помощи конденсатора переменной емкости.

Предположим, что у последовательного контура (см. рис. 3.8) емкость изменяется. Рассчитаем и построим резонансные кривые тока и напряжений на индуктивности и емкости. Ток

равен нулю при С= О, растет с увеличением емкости до резонансного значения (рис. ·5.4, а), удовлетворяющего условию резонанса , затем уменьшается при дальнейшем увеличении емкости и стремится к значению

Добротность контура, как и ранее (5.4), равна отношению индуктивного или равного ему емкостного сопротивления при резонансе к активному сопротивлению контура:

Напряжение на индуктивности т. е. форма кривой такая же, как и . Максимальное значение При напряжение (рис. 5.4, 6).

Напряжение на емкости , достигает максимального значения при (если Q > 1), равно при и стремится к нулю при (рис. 5.4, б). При Q > 10 с погрешностью менее 1 % можно считать, что максимальное значение напряжения на емкости получается при , т. е. равно QU.

Измерив значения емкостей, при которых ток в раз меньше резонансного, можно рассчитать параметры контура: r, L, Q. Для этого перепишем (5.6) в виде

При подкоренное выражение равно 2, т. е или

После вычитания из второго условия (5.8) первого получим откуда

Сложив первое и второе условия (5.8), найдем, что откуда после подстановки (5.8) добротность

Индуктивность определяем из (5.7):

Резонанс в параллельном контуре

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: параметры одной - сопротивление и индуктивность L, а другой - сопротивление и емкость С (рис. 5.5). Такую цепь часто называют паралельным контуром. Резонанс наступает, если у входной проводимости

реактивная составляющая

где

реактивные проводимости ветвей.

При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны (рис. 5.6, а), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса тока. Из векторной диаграммы видно, что при резонансе ток I на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях.

В теоретическом случае при токи сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы и рис. 5.6, 6) и суммарный ток.

Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико. Подставив в соотношение (5.12), т. е. в условие резонанса, значения , выраженные через параметры цепи и частоту, получим

Изменением одной из величин (, L, С, при остальных четырех постоянных не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (5:13) получается мнимым или комплексным. Для L или С могут получаться и по два различных действительных значения, удовлетворяющих уравнению (5.13). В таких случаях изменением L и С можно достичь двух различных резонансных режимов.

Решив уравнение (5.13) относительно , найдем следующее значение для резонансной угловой частоты:

Резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше р. Если же это условие не выполнено, получается мнимая частота , Т. е. не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс.

При резонансная частота , Т. е. такая же, как U при резонансе в последовательном контуре.

При резонансная частота имеет любое значение, т. е. резонанс наблюдается на любой частоте. Действительно, при входное сопротивление контура

т. е. входное сопротивление контура активное и не зависит от частоты. Следовательно, ток совпадает по фазе с напряжением при любой частоте и его действующее значение равно .

Заметим, что в радиотехнике и электросвязи часто применяются контуры с малыми потерями, т. е. в них малы по сравнению с р. В таких условиях резонансную частоту можно вычислять по формуле

Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в общем случае сумма энергий электрического и магнитного полей при резонансе не остается постоянной. Эта сумма постоянна только в теоретическом случае, т. е. при

Пример №28

Угловая частота и действующее значение Ш синусоидального тока, подводимого к цепи (рис. 5.7,а), поддерживаются неизменными. Емкость конденсатора без потерь изменяется до тех пор, пока при некотором значении С напряжение И, измеряемое вольтметром, не достигнет максимального значения По известным величинам требуется определить параметры катушки, присоединенной к выводам 1 и 2

Решение:

Проще всего задача решается путем преобразования схемы в эквивалентную, состоящую из переменного емкостного элемента с проводимостью , двух параллельно соединенных элементов - активной g, индуктивной проводимостей (рис. 5.7,в) и с источником тока, подсоединенным к выводам 3 и 4.

В этой схеме при неизменном действующем токе и изменении емкости максимум напряжения, измеряемого вольтметром, будет наблюдаться при резонансе токов, так как входное сопротивление цепи при этом максимально.

В соответствии с намеченным путем решения приступаем к преобразованию схемы. Питание цепи (рис. 5.7,а) заданным током может рассматриваться как питание от источника тока (показан штриховой линией). Заменим источник тока источником ЭДС (рис. 5.7,б), а от источника ЭДС перейдем к новому источнику тока, подключенному к выводам 3 и 4. Ток этого источника

где

Последовательное соединение элементов R, r и заменим параллельным (рис. 5.7, в) с проводимостями

Максимум напряжения между выводами 3 и 4 наблюдается при резонансе токов, т.е.

и

Из последнего равенства найдем связь между неизвестными g и z:

где для сокращения записи отношение известных величин I обозначено а..

Подставив (б) и (в) в выражение получим откуда

Наконец, из (а) найдем, что

Частотные характеристики параллельного контура

Построим резонансную кривую тока в неразветвленной части параллельноrо контура при неизменном напряжении И источника питания для идеального случая (рис. 5.8,а).

На рис. 5.8, б nоказаны ·частотные характеристики проводимостей ветвей и входной проводимости цепи Ток , поэтому кривая в соответствующем масштабе и есть резонансная кривая тока .

При изменении частоты от О до эквивалентная проводимость b > о, т. е. индуктивная, и изменяется от до О. При наступает резонанс токов, b = О, 1 = О, При возрастании частоты от входная проводимость b < О, т. е. емкостная и изменяется от О до

В общем случае при сопротивлениях, не равных нулю (см. рис. 5.5), входная активная проводимость цепи отлична от нуля при· любой частоте, поэтому ток I ни при одном значении частоты не равен нулю. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что при условии зависимость имеет минимум, причем этот минимум наблюдается при частоте, отличающейся от резонансной частоты. Последнее объясняется тем, что максимум полного входного сопротивления получается при частоте, для которой , а резонанс имеет место при частоте, для которой b · = О или х = О. Чем меньше и , тем меньше минимальное значение тока 1, тем ближе значение частоты, при которой наблюдается минимум тока, к резонансной частоте и тем меньше резонансная кривая тока отличается от кривой при (рис. 5.8).

При условии ток 1, как было показано, при любой частоте одинаков. Зависимость не имеет ни максимума, ни минимума и графически представляется прямой, параллельной оси абсцисс. Анализ показывает, что при условии резонансная кривая тока при некотором значении частоты достигает максимума

Понятие о резонансе в сложных цепях

Условия фазового резонанса b = О или х = О для разветвленной цепи с несколькими катушками индуктивности и конденсаторами дают для частоты уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней. Другими словами, у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.

Рассмотрим, например, цепь на рис. 5.9, а, потерями в которой можно пренебречь. Входное сопротивление цепи реактивное:

Резонанс наступает при b= О или х = О, причем если х = О, то, и, наоборот, если. Это справедливо всегда, если пренебречь потерями в ветвях. Следовательно, резонансными будут частоты, обращающие х в нуль или в бесконечность. В рассматриваемом случае при

При этой частоте наступает резонанс токов в параллельных ветвях с Полагая х = О, получаем

При этой частоте имеет место резонанс напряжений в последовательном контуре с индуктивностью и емкостью, эквивалентной двум параллельным ветвям. Таким образом, у рассматриваемой цепи две резонансные частоты:

На рис. 5.9, 6 приведены частотные характеристики проводимостей и сопротивлений для рассматриваемой цепи. Кривые представляют характеристики проводим остей ветвей 1 и 2. Сумируя ординаты этих кривых, получаем характеристику эквивалентной проводимости двух параллельных ветвей 1 и 2. Кривая представляет эквивалентное сопротивление параллельных ветвей. Суммируя ординаты кривых , построим характеристику входного сопротивления цепи х. Эта характеристика имеет две особые точки при (резонанс токов) и.. (резонанс напряжений).

Цепи с взаимной индуктивностью

Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивны связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуют коэффициент связи k, под которым понимают отношение

где М - взаимная индуктивность элементов цепи; - индуктивности элементов цепи. Покажем на частном примере, что коэффициент связи всегда меньше единицы, и выясним, при каких условиях он мог бы быть равен единице.

Индуктивно связанные элементы цепи

Пусть две катушки изготовлены в виде · тонких колец большого диаметра (рис. 6.1). При указанной форме катушек с большой степенью точности можно считать, что все витки каждой катушки сцеплены с одинаковым магнитным потоком. На рис. 6.1 показана картина магнитного поля при наличии тока в первой катушке. Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции , а витки второй катушки - с магнитным потоком взаимной индукции Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции первой и второй катушек

где - числа их витков. По определению индуктивность первой катушки и взаимная индуктивность катушек

По поводу этих отношений сделаем некоторые пояснения.

Положительные направления тока и магнитного потока самоиндукции условимся всегда выбирать согласованными по правилу правого винта, поэтому, когда а когда

и, следовательно, отношение ' всегда положительно. Что же касается положительного направления для потока взаимной индукции то его выбор произволен, поэтому отношение ' может иметь любой знак. Так как в этой книге взаимная индуктивность считается положительной величиной, то выражение для М записано как абсолютное значение-

На рис. 6.2 показана схематическая картина поля при наличии только тока i2 во второй катушке. По определению

Равенство может быть доказано на основании условия независимости энергии магнитного поля токов от порядка их возрастания от нуля до своих конечных значений.

Составим отношение

Так как Коэффициент связи двух катушек мог бы равняться единице, если бы т. е. весь поток, создаваемый током в одной катушке, полностью (без рассеяния) сцеплялся бы с витками другой катушки, что возможно лишь при совмещении катушек. Практически витки двух катушек, так же как и различные витки.

одной и той же катушки, пронизываются неодинаковыми магнитными потоками, и поэтому всегда k < 1.

Изменения индуктивной связи между двумя катушками можно достигнуть перемещением одной катушки относительно другой. Приборы, состоящие из двух взаимно перемещающихся катушек, называются вариометрами

Электродвижущая сила взаимной индукции

При изменении тока в одном из индуктивно связанных элементов цепи (см. рис. 6.1 и 6.2) в другом элементе возникает ЭДС взаимной индукции и между его разомкнутыми выводами появляется напряжение. Абсолютные значения ЭДС и напряжений, обусловленных взаимной индукцией (закон электромагнитной индукции),

Для облегчения решения вопроса о знаке этих величин прибегают к специальной разметке выводов индуктивно связанных элементов цепи.

Два вывода, принадлежащих двум разным индуктивно связанным элементам цепи, называют одноименными и обозначают одинаковыми значками, руководствуясь следующим правилом: при одинаковом направлении токов относительно одноименных выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе должны суммироваться. Применим это правило для разметки выводов катушек, показанных на рис. 6.3,а. При направлении токаот вывода а к выводу b и тока от вывода с к выводу d магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции суммируются. Поэтому вывод а одноименен с выводом с и аналогично ВЫВОД одноименен с ВЫВОДОМ d . Для катушек, показанных на рис. 6.3, 6, одноименными являются выводы , а также • Разница с предыдущим случаем обусловлена другим направлением намотки витков второй катушки.

Одну из двух пар одноименных ..выводов обозначают специальными значками, например точками, звездочками, треугольниками и т. п.

Установить взаимное расположение катушек и направление намотки их витков так просто, как на рис. 6.3, не всегда представляется возможным. Но найти одноименные выводы можно на основании простого опыта, для которого требуются гальванический элемент (или аккумулятор) и гальванометр. Одна из ка тушек соединяется с гальванометром, другая подключается к гальваническому элементу (рис. 6.4). При замыкании ключа S кратковременно возникает ток , ослабляющий магнитное поле, созданное током . Следовательно, в момент включения источника питания токи и направлены относительно одноименных выводов противоположно. Направление тока определяется полярностью источника питания. О направлении тока i: судят по кратковременному отклонению стрелки гальванометра. Если стрелка отклоняется в сторону шкалы (имеется в виду гальванометр с односторонней шкалой), то ток направлен к положительному выводу гальванометра (рис. 6.4), при этом выводы катушек, присоединенные к положительным выводам гальванометра и источника питания, одноименны, точно так же одноименны и выводы катушек, присоединенные к отрицательным выводам гальванометра и источника питания; заметим, что в момент отключения источника питания стрелка гальванометра вновь отклоняется, но уже в обратном направлении, так как ток противодействует уменьшению магнитного поля.

Перейдем теперь к решению вопроса о знаке в выражениях для ЭДС и напряжения, обусловленных взаимной индукцией. Рассмотрим две катушки (рис. 6.5). Пусть катушка 1 разомкнута, а в катушке 2 протекает синусоидальный ток • Выберем положительные направления для - ЭДС и напряжения в катушке 1 и для тока в катушке 2 относительно одноименных выводов одинаковыми, например от а к b и соответственно от с и d.

Прежде всего отметим, что при одинаковых положительных направлениях напряжения их значения численно равны, но противоположны по знаку: . Действительно, когда , потенциал вывода b больше потенциала вывода а, и, следовательно, .

Электродвижущая сила на основании закона Ленца должна иметь такое

направление, при котором вызываемый ею ток препятствовал бы изменению магнитного потока взаимной индукции. Поэтому, если, то ЭДС должна иметь действительное направление от . Если должна иметь действительное направление от а к b, т. е. .

Таким образом, при выбранных положительных направлениях (рис. 6.5) знаки всегда противоположны, поэтому

Для комплексных величин получим

Если бы положительные направления для в катушке в катушке 2 относительно одноименных выводов были выбраны различными, то аналогичные рассуждения показали бы, что знаки всегда были бы одинаковы:

Из (6.2) и (6.3) видно, что напряжение, обусловленное взаимной индукцией, сдвинуто по фазе относительно тока Знак этого угла зависит от выбора положительных направлений относительно одноименных выводов.

Величина имеет размерность сопротивления, называется сопротивлением взаимной индукции и обозначается Величина называется комплексным сопротивлением взаимной индукции и обозначается

Таким образом

Если индуктивно связаны между собой не два, а несколько элементов цепи, надо у каждого из них отметить выводы, одноименные с выводами остальных элементов, при этом в общем случае приходится прибегать к разным условным обозначениям. Поясним это на примере трех катушек, расположенных, как указано на рис. 6.6.

Верхний вывод первой катушки одноименен с нижними выводами второй и третьей катушек, но эти последние не являются одноименными по отношению друг к другу, поэтому их нельзя обозначить одинаковыми значками. На рис. 6.6 одноименные выводы первой и второй катушек обозначены звездочками, первой и третьей - треугольниками, а второй и третьей - точками. В частных случаях для разметки одноименных выводов нескольких катушек можно обойтись одним условным обозначением. Убедиться в этом можно на примере нескольких катушек, расположенных вдоль одной оси (аналогично рис. 6.3).

При большом числе индуктивно связанных элементов цепи указанная выше система разметки одноименных выводов получается недостаточно наглядной, так как приходится вводить много различных обозначений. В таких случаях удобнее другая система разметки, при которой взаимные индуктивности считают алгебраическими величинами.

Сначала совершенно произвольно указывают направления обхода каждого индуктивно связанного элемента цепи, например ставят букву ну вывода, от которого начинается обход, и букву к у другого вывода. Затем указывают знаки взаимных индуктивностей,, руководствуясь следующим правилом. Если при совпадении направлений токов с выбранные направлениями обходов потоки взаимной индукции и потоки самоиндукции суммируются, то соответствующая взаимная индуктивность положительна, если же они вычитаются, то соответствующая взаимная индуктивность отрицательна.

Примем, например, для катушек, показанных на рис. 6.6, за начала обхода верхние выводы и за концы обхода - нижние выводы, при этом взаимные индуктивности будут отрицательны

Знаки в выражениях для напряжений, обусловленных взаимной индуктивностью, получаются, конечно, такими же, как и при первой системе разметки выводов; при совпадении положительных направлений с принятыми направлениями обходов получаем , при несовпадении получаем , при этом взаимная индуктивность считается величиной алгебраической и берется с тем знаком, который для нее указан при разметке выводов.

Вторая система разметки при наличии только двух индуктивно связанных элементов менее удобна, так как требует не только маркировки выводов, но и указания знака взаимной индуктивности.· В дальнейшем применяется только первая система разметки.

Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Предположим, что две катушки или два каких-либо элемента цепи с сопротивлениямииндуктивностями и взаимной индуктивностью М соединены последовательно. Возможны два вида их включения - согласное (рис. 6.7,а) и встречное (рис. 6.7,б). При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент

времени направлены одинаково относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции , сцепленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, вычитаются. Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов

где - потокосцепления первого и второго элементов, причем. Знак плюс относится к согласному, а знак минус к встречному включению. Следовательно,

В предельном случае идеальной связи (при k = 1) имеем Если, кроме того, то при согласном включении , а при встречном L = О (при k < 1 всегда L > О).

Полное сопротивление при согласном включении больше, чем при встречном. Этим можно пользоваться для определения опытным путем одноименных выводов индуктивно связанных элементов цепи, например, по показаниям вольтметра и амперметра.

Напряжения на элементах имеют по три составляющие:

Если индуктивность одного из элементов меньше взаимной индуктивности, то при встречном включении наблюдается своеобразный «емкостный» эффект. Пусть, например, при этом в выражении

, и, следовательно, напряжение отстает по фазе от тока как в случае емкостного сопротивления. Конечно, реактивное сопротивление всей цепи в целом индуктивное, так как отстает по фазе от напряжения

На рис. 6.8 показаны векторные диаграммы для согласного и встречного включений при одинаковом значении тока в обоих случаях.

Входное комплексное сопротивление цепи получаем, учитывая (6.6):

Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Предположим, что две катушки или два каких-либо элемента цепи с сопротивлениями , индуктивностями и взаимной индуктивностью М соединены параллельно, причем одно именные выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 6.9).

При выбранных положительных направлениях токов и напряжения

где

В этих уравнениях комплексные напряжения взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных выводов одинаково. Решив уравнения, получим

откуда следует, что входное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

При , т. е. при отсутствии индуктивной связи между ветвями, это выражение принимает знакомый вид:

Рассмотрим теперь включение, при котором одноименные выводы присоединены к разным узлам, т. е. присоединены к узлу разноименными выводами, а не как указано на рис. 6.9. В этом случае положительные направления напряжений взаимной индукции (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых они зависят, ориентированы относительно одноименных выводов неодинаково и комплексные напряжения войдут в уравнения (6.9) и (6.10) со знаком минус. Для токов получатся выражения, аналогичные (6.11), с тем отличием, что заменяется на и входное сопротивление цепи

Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по ,первому и второму законам Кирхгофа , или метод контурных токов. Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путем выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Применение метода узловых потенциалов требует особых приемов и здесь не рассматривается.

Принцип эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав двухполюсника. Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.

Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа :3ДС взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения на элементе k определяется на основании сопоставления направления обхода элемента k и положительного направления тока в элементе s. Если эти направления относительно одноименных выводов одинаковы, то напряжение равно В противном случае напряжение равно Это правило знаков вытекает из обоснований.

В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 6.10. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов:

Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

Сокращенно последние уравнения можно записать так:

где - комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3;

- комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1; - комплексные контурные ЭДС. Например

Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в комплексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент k и положительное направление тока через элемент s.

Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока.

Пример №29

К выводам 1-1' цепи (рис. 6.11) подведено питание. Определить напряжение между разомкнутыми выводами 2-2'. Дано:

Решение:

Полагаем Находим:

Напряжение определяем, обходя схему от вывода 2 к выводу 2':

Если бы нижний вывод индуктивности был одноименным с верхним выводом индуктивности , то направление обхода элемента и направление тока в элементе относительно одноименных выводов были бы различными. Поэтому перед слагаемым следовало бы поставить знак минус, и напряжение было бы равно

Пример №30

Определить входное сопротивление цепи, показанной на рис. 6.12. Дано:

Решение:

Зададимся напряжением , определим ток и затем найдем Заметим, что если бы не было взаимной индуктивности, ТО и

Для контура 1-3-2-2'-1'

Для контура 3-3'-2'-2-3

откуда

Подставив (в) в (а), получим

откуда

(см. также пример 6.3).

Эквивалентная замена индуктивных связей

Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощаются, если часть схемы, содержащую индуктивные связи, заменить эквивалентной схемой без индуктивных связей. Этот прием называют эквивалентной заменой, устранением или развязкой индуктивных связей

Найдем схему без индуктивных связей, эквивалентную двум индуктивно связанным элементам цепи, присоединенным к общему узлу 3 (рис. 6.13, а), при этом учтем два возможных случая: 1) в общем узле элементы цепи соединены одноименными выводами и 2) разноименными.

Введем дополнительную ветвь без сопротивления, соединяющую индуктивно связанные элементы цепи с узлом 3 (рис. 6.13, б). Если в узле 3 соединены только три ветви, введение такой дополнительной ветви не требуется.

Напишем выражения для напряжений между выводами 1, 3 и 2, 3:

Верхние знаки относятся к первому случаю (в узле элементы цепи соединены одноименными выводами), а нижние - ко второму случаю. Этого порядка расположения знаков будем придерживаться и во всех последующих выражениях

Пользуясь соотношением исключим из первого уравнения (6.14) ток , а из второго уравнения ток, тогда получим

Кроме того, имеем

Эти три уравнения справедливы и для схемы, показанной на рис. 6.14, которая, таким образом, и является искомой эквивалентной схемой без индуктивных связей.

Итак, при устранении индуктивной связи к сопротивлениям добавляется вывод 3 перестает быть узлом для ветвей 1 и 2, а между выводом 3 и новым узлом 3' появляется элемент

Если индуктивно связанные элементы соединены трехлучевой звездой или треугольником, то, применив последовательно рассмотренный способ эквивалентной замены, можно перейти к схемам без индуктивных связей. Развязка индуктивных связей в четырехлучевой звезде труднее, так как на промежуточном этапе получается схема, в которой индуктивно связанные элементы расположены в ветвях, не имеющих общего узла.

Две любые индуктивно связанные ветви, не присоединенные к общему узлу, также можно заменить эквивалентной схемой без индуктивной связи, однако эта схема в достаточной мере сложна и пользоваться ею нецелесообразно.

Пример №31

Найти входное сопротивление цепи (см. рис. 6.12), применив при решении эквивалентную замену индуктивных связей.

Решение:

Учитывая, что индуктивно связанные элементы присоединены к узлу 3 разноименными выводами, получаем эквивалентную схему, представленную на рис. 6.15, для которой

Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи

Рассмотрим, как передается энергия между двумя индуктивно связанными элементами разветвленной цепи. Всю цепь, за исключением этих двух элементов, представим в виде активного четырехполюсника (рис. 6.16).

В течение каждого полупериода изменения токов энергия, поступающая в магнитное поле индуктивно связанных элементов, возвращается обратно. Однако это не означает, что равны количества энергии, поступающей в иоле и возвращаемой из поля обратно для каждого элемента в отдельности. Покажем, что при сдвиге фаз между токами , отличающимися от О и 1t, от одного из элементов в магнитное поле поступает больше энергии, чем возвращается, а от другого элемента, наоборот, в магнитное поле поступает меньше энергии, чем возвращается. В результате энергия передается от одного элемента к другому.

Пусть известны токи

Составим выражения для комплексных мощностей первого и второго элементов, обусловленных взаимной индукцией:

откуда

При указанных на схеме положительных направлениях токов и напряжений положительные значения мощностей соответствуют притоку энергии- к рассматриваемым элементам от активного четырехполюсника-, а отрицательные значения мощностей -передаче энергии из рассматриваемых элементов в четырехполюсник.

Суммарная активная мощность, обусловленная взаимной индукцией и поступающая в оба элемента, равна нулю,т.е.

Если . В этом случае энергия передается из активного четырехполюсника в магнитное поле через первый элемент и возвращается через второй элемент. Если , а. В этом случае энергия поступает через второй элемент и возвращается обратно через первый.

Пример №32

Цепь состоит из двух индуктивно связанных катушек, включенных параллельно (рис. 6.17,а). Дано: Требуется определить мощности, измеряемые ваттметрами,. и провести анализ энергетических процессов в цепи

Решение:

Подставив численные данные получим

Схемы включения ваттметров таковы, что они измеряют поступающие мощности во всю рассматриваемую цепь и в каждую катушку в отдельности:

Результаты подсчета показывают, что поступающая от источника питания мощность , поступающей во вторую катушку. Зато первая катушка отдает мощность . Стрелка первого ваттметра должна отклониться в обратную сторону - не по шкале. Чтобы измерить мощность, отдаваемую первой катушкой, надо изменить схему включения ваттметра Можно,например, изменить у него подключение цепи напряжения, присоединив вывод со звездочкой к нижнему проводу, а вывод без звездочки к верхнему проводу, так как это показано на рис. 6.17, б. В этом случае он будет измерять мощность, отдаваемую катушкой,

Сумма мощностей, отдаваемых источником питания и первой катушкой, равна мощности, поступающий во вторую катушку. Из всей мощности , поступающей во вторую катушку, часть ее, равная , преобразуется в тепло. Оставшаяся часть , очевидно, отдается в магнитное поле и затем из магнитного поля в первую катушку. Покажем это:

Мощность, отдаваемая второй катушкой в магнитное поле,

Мощность, отдаваемая первой катушкой в магнитное поле,

Таким образом, , т. е. эта мощность не отдается, а получается из магнитного поля и численно равна мощности , отдаваемой в магнитное поле второй катушкой. Часть поступившей мощности преобразуется в тепло в первой катушке

а остальная часть возвращается в цепь.

Мощность, поступающая в цепь от источника питания, равна мощности, преобразуемой в тепло

Для рассматриваемой цепи на рис. 6.17, в приведена векторная диаграмма токов и напряжений. Сдвиг фаз превышает , поэтому . На диаграмме показаны активные составляющие напряжений, обусловленные взаимной индукцией и Составляющая совпадает по фазе с, а составляющая находится в противофазе с поэтому , а

Резонанс в индуктивно связанных контурах

В устройствах электроники и радиотехники наряду с одиночными последовательными и параллельными контурами применяются и связанные контуры. Контуры могут иметь индуктивную связь (трансформаторную или автотрансформаторную) или емкостную различного вида.

Рассмотрим резонансные явления для случая двух одинаковых последовательных контуров (в целях упрощения математического описания), имеющих индуктивную (трансформаторную) связь (рис. 6.18, а). Режим цепи определяется двумя уравнениями:

где

При частоте у каждого контура х = О (каждый настроен в резонанс) - так называемый «полный резонанс». Из (6.15) следует, что ток т. е. совпадает по фазе с напряжением и цепь настроена в резонанс. Ток

При любой другой частоте из (6.15) ток

В относительных единицах

так как Здесь относительная частота, Q добротность каждого из контуров; коэффициент связи и

обобщенная расстройка. В (6.16) принято, что при построении резонансной кривой контура с достаточно большой добротностью можно принять множитель и при вычислении добротности Q считать Это, конечно, справедливо при достаточно малых расстройках (например, при и Q = 20 получается ).

Резонансная кривая

Если - слабая связь контуров, то

Резонансная кривая имеет один максимум при т. е. при Ток меньше (границы полосы пропускания) при , а у последовательного контура [см. (5.5)] и на границах полосы пропускания Следовательно, полоса пропускания связанных контуров при слабой связи меньше, чем у последовательного контура

При - критической связи и на границах полосы пропускания , т: е. полоса пропускания· больше, чем у последовательного контура.

При - сильной связи получается резонансная кривая с двумя максимумами (рис. 6.18, б). Если считать, что на границе полосы пропускания значение тока , как и у последовательного контура, в раз меньше максимального, то получится полоса пропускания в 3,1 раза шире и ближе к прямоугольной, чем у последовательного контура при той же добротности контуров, что может быть важным достоинством цепи при построении систем с большой полосой пропускания (широкополосных).

Значение тока зависит от коэффициента связи контуров. Наибольшее значение можно найти обычным исследованием на максимум. Оно получается при.

Аналогично исследуются «частные резонансы». Первый частный резонанс достигается изменением емкости (или индуктивности) первого контура. При резонансе совпадает по фазе с напряжением Для получения второго частного резонанса добиваются максимального значения тока изменением емкости (или индуктивности) второго контура. «Сложный резонанс» получается при изменении параметров одного из контуров и коэффициента связи

Цепи с трансформаторами

В электротехнике широко применяется передача энергии из одного контура цепи в другой при помощи трансформаторов. Они могут иметь различные назначения, но чаще всего предназначаются для преобразования переменного напряжения. Отсюда возникло и само название аппарата, происходящее от латинского слова transformare - преобразовывать. Такое преобразование необходимо, например, в том случае, если напряжение источника энергии отличается от напряжения, которое требуется для приемника энергии.

Трансформатор без стального магнитопровода (воздушный трансформатор)

Трансформаторы состоят из двух или нескольких индуктивно связанных катушек или обмоток. Ограничимся здесь рассмотрением простейшего двухобмоточного трансформатора без стального (ферромагнитного) магнитопровода. Такие трансформаторы применяются при высоких частотах, а в ряде специальных измерительных устройств и при низких частотах переменного тока.

Обмотка трансформатора, к которой подводится питание, называется первичной, обмотка, к которой присоединяется приемник энергии, - в т ори ч ной. Напряжения между выводами обмоток и токи в этих обмотках называются соответственно п трансформатора. Цепи, в состав которых входят первичная и вторичная обмотки трансформатора, называются соответственно первичной и вторичной цепью и трансформатора.

Если пренебречь распределенной емкостью между витками обмоток трансформатора, то цепь, состоящая из двухобмоточного трансформатора и приемника, имеет схему, представленную на рис. 7.1.

Введем обозначения: где - активное и реактивное сопротивления приемника, - активное и реактивное сопротивления вторичного контура.

Запишем уравнения по второму за кону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений для первичной и вторичной цепей. Для этого зададимся током и отложим векторы (рис. 7.2), где принято . Соединив конец вектора с началом векторной диаграммы, получим, как следует из второго уравнения (7.1 ), вектор . Разделив напряжение , определим

значение тока. Вектор отложим под углом (в сторону опережения) к вектору -• Затем построим векторы . Их сумма равна вектору напряжения

Решив уравнения (7.1) относительно тока, получим

где обозначено

Сопротивления 'называют вносимыми (из второго контура в первый) активным и реактивным сопротивлениями. Из структуры выражения (7.2) следует, что со стороны первичной обмотки вся схема может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлениями

Вносимое активное сопротивление всегда больше нуля. В нем поглощается энергия, которая в реальной цепи передается из первичной цепи во вторичную. Вносимое реактивное сопротивление имеет знак, противоположный знаку

Пользуясь схемой эквивалентного двухполюсника, решим вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности во вторичную цепь, т. е. передачи максимальной мощности в сопротивлениеДля этого должны удовлетворяться следующие соотношения между сопротивлениями:

или

Последние соотношения можно получить, если предусмотреть возможность изменения параметров контуров. Для изменения в первичный и вторичный контуры можно включить конденсаторы переменной емкости (рис. 7.3), для изменения М применить трансформатор с подвижными обмотками (вариометр) или трансформатор с подвижной магнитной системой. Отметим, что для выполнения соотношений (7.5) и (7.6) достаточно предусмотреть изменение только двух из трех параметров и М.

Все приведенные выше выражения справедливы для схемы по рис. 7.3, если положить

причем имеет действительное значение при условии, что

Если , то ни при каких значениях не может быть получена максимальная мощность.

Схема двух контуров с индуктивной связью (см. рис. 7.1) может быть заменена эквивалентной схемой без индуктивной связи. Для этого соединим между собой два нижних вывода схемы (режим при этом не изменится). Части контуров с элементами рассмотрим как две индуктивно связанные ветви, присоединенные к одному узлу своими одноименными выводами, и применим для них эквивалентную схему (см. рис. 6.14). В результате для рассматриваемой цепи получим эквивалентную схему по рис. 7.4.

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор представляет собой элемент схемы (рис. 7.5), которому приписывается следующее свойство: при любых сопротивлениях нагрузки отношение первичного и вторичного комплексных напряжений и отношение вторичного и первичного комплексных токов равны друг другу и равны постоянному действительному числу:

Это число n называется коэффициент сопротивления идеального трансформатора.

При расчетах идеальный трансформатор часто применяется в качестве составного элемента эквивалентных схем трансформаторов и автотрансформаторов со стальными магнитопроводами, а также в задачах синтеза электрических цепей и др.

Познакомимся с другими свойствами идеального трансформатора.

Пусть к вторичным (выходным) выводам идеального трансформатора присоединен приемник с комплексным сопротивлением Входное сопротивление со стороны первичных выводов

т. е. оно в раз больше сопротивления

Если к первичным выводам присоединен приемник с комплексным сопротивлением , а питание осуществляется со стороны вторичных выводов, то аналогичным путем можно показать, что

Эти соотношения характеризуют трансформацию сопротивлений. Если вторичные выводы разомкнуты, то , если они коротко замкнуты.

Установим связь между комплексными мощностями на входе и выходе идеального трансформатора. Комплексная мощность на входе

Реальный трансформатор приближается по своим свойствам к идеальному, если коэффициент магнитной связи обмоток стремится к единице, а мощность потерь в трансформаторе и ток при холостом ходе (отключенном приемнике) стремятся к нулю.

Простейшие приближенные эквивалентные схемы трансформатора со стальным магнитопроводом

Стальной магнитопровод у трансформатора значительно уменьшает ток трансформатора при отсутствии нагрузки (ток холостого хода) и увеличивает коэффициент магнитной связи между обмотками. Это приближает свойства трансформатора к свойствам идеального трансформатора, но в магнитопроводе трансформатора наблюдаются потери энергии, обусловленные вихревыми токами и гистерезисом. Вследствие нелинейной зависимости между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля ток в трансформаторе при синусоидальном приложенном напряжении может быть и несинусоидальным. Сейчас важно отметить, что заметное отклонение формы кривых тока в трансформаторе от синусоидальной наблюдается только в режимах, близких к холостому ходу. В нагрузочных режимах эти отклонения настолько незначительны, что ими можно пренебречь и считать трансформатор со стальным магнитопроводом линейным элементом цепи

Эквивалентную схему трансформатора можно получить, подробно проанализировав все происходящие в нем явления. Именно такой способ ее получения приводится в курсах электрических машин и трансформаторов или в специальных монографиях, посвященных трансформаторам.

Опыты показывают, что при холостом ходе трансформатора со стальным магнитопроводом отношение комплексных первичного и вторичного напряжений практически одинаково независимо от того, осуществляется питание трансформатора со стороны первичных или со стороны вторичных выводов.

Опыты показывают также, что отношение этих комплексных напряжений практически можно считать равным отношению их действующих значений. Отношение действующих значений первичного и вторичного напряжений трансформатора при холостом ходе называется его коэффициентом трансформации n.

На рис. 7.6 и 7.7 показаны простейшие приближенные эквивалентные схемы трансформатора со стальным магнитопроводом. В эквивалентных схемах при холостом ходе (к одной паре выводов присоединен источник питания, а другая пара выводов разомкнута) нет токов. Применение этих схем допустимо в расчетах режимов трансформаторов, при которых токи в его обмотках значительно превышают токи в них при холостом ходе трансформатора

В схеме рис. 7.6 соnротивление равно входному сопротивлению трансформатора при питании его со стороны первичной обмотки и короткозамкнутой вторичной обмотке. В схеме рис. 7.7 сопротивление равно входному сопротивлению трансформатора при его питании со стороны вторичной обмотки и короткозамкнутой первичной обмотке. Сопротивления , принято обозначать соответственно и называть сопротивлением короткого замыкания трансформатора, приведенным к первичной обмотке . и сопротивлением, приведенным к вторичной обмотке причем Коэффициенты трансформации идеальных трансформаторов в этих схемах должны быть равны коэффициенту трансформации реального трансформатора.

Расчеты электрических цепей с трансформаторами

Приведем два примера, иллюстрирующих применение эквивалентных схем трансформаторов в расчетах электрических цепей. В обоих примерах будем пользоваться упрощенными эквивалентными схемами.

Цепь с каскадным соединением трансформаторов

Рассмотрим цепь, состоящую из линии 1, трансформатора а, линии 2, трансформатора b и приемника. На рис. 7.8 линии и приемник учтены комплексными сопротивлениями а трансформаторы - простейшими эквивалентными, схемами, содержащими сопротивления и идеальные трансформаторы с коэффициентами трансформации, Пусть заданы сопротивления всех элементов схемы, коэффициенты трансформации и напряжение в начале первой линии, а требуется определить токи и напряжения на отдельных участках цепи.

Перейдем к схеме без идеальных трансформаторов, сохранив входное сопротивление всей схемы неизменным (рис. 7.9). Для этого все сопротивления элементов, которые раньше находились за идеальными трансформаторами (считая от входа схемы), следует изменить, умножив их на квадраты коэффициентов трансформации тех трансформаторов, которые находились между элементами и входом схемы. Так, сопротивленияи следует умножить на а сопротивление

Ток в этой схеме определить легко. Затем по схеме рис. 7.8 находим и рассчитываем напряжения на ее отдельных участках.

Параллельное соединение трансформаторов

Рассмотрим цепь (рис. 7.10), состоящую из линии 1, двух параллельно соединенных трансформаторов а и b и приемника. На практике, как правило, параллельно включаются трансформаторы с одинаковыми коэффициентами трансформации, однако для общности будем считать, что коэффициенты трансформации различные. Пусть, как и в первом примере, заданы сопротивления элементов цепи, коэффициенты трансформации и напряжение в начале первой линии, а требуется определить токи и напряжения на отдельных участках цепи.

Для их определения нужно совместно решить четыре уравнения:

Четырехполюсники и многополюсники и их уравнения

Ранее были рассмотрены общие методы расчета линейных электрических цепей, например методы наложения, контурных токов, узловых потенциалов. Применив эти методы, можно найти режим работы любой линейной цепи.

Однако во многих случаях анализа и синтеза электрических цепей важно знать токи только некоторых ветвей и напряжения только между некоторыми узлами. В этом случае расчет цепи упрощается, если цепь разделить на отдельные части, каждая из которых соединена с остальной двумя, тремя, четырьмя или большим числом выводов - полюсов. Так, например, при определении режима в одной единственной ветви всю остальную часть цепи можно рассматривать как двухполюсник. При расчете методом преобразования иногда полезно выделить треугольник сопротивлений, т. е. трехполюсник, который можно заменить трехлучевой звездой сопротивлений (также трехполюсником). Анализ сложных электрических цепей нередко можно выполнить проще, если выделить многополюсники.

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электрической цепи, т. е. четырехполюсники.

На практике четырехполюсники и цепи, которые целесообразно представить состоящими из нескольких четырехполюсников, применяются прежде всего для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырехполюсников, включенных между генератором (передатчиком) сигналов и приемником сигналов. В тракт передачи обычно входят: линия связи генератора и приемника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого; усилители, в которых увеличивается мощность или, как говорят, уровень сигналов; аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов; фильтры для разделения сигналов; корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов; трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации и устраняется гальваническая связь между этими участками. К четырехполюсникам относятся также некоторые цепи обратной связи электронных генераторов и усилителей, участки линий передачи электрической (электромагнитной) энергии, цепи регулирования различных параметров машин (скорости, давления, напряжения) и т. д.

Таким образом, теория четырехполюсников дает возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей . цепи.

Условное изображение четырехполюсника показано на рис. 8.1. Одну пару выводов из четырех (четырех полюсов) назовем первичной, а другую - вторичной и обозначим соответственно цифрами 1-1' и 2-2'. Для расчета режима выберем положительные направления напряжений и токов, показанные на рис. 8.1.

Будем считать, что источники питания, приемники, двухполюсники, четырехполюсники и вообще любые участки цепи с парными выводами могут присоединяться только к выводам четырехполюсника, которые обозначены одинаковыми цифрами. Такие четырехполюсники называют проходными.

Все четырехполюсники подразделяются еще на две группы: пассивные и активные. В пассивных четырехполюсниках нет зависимых или независимых источников напряжения (ЭДС) или тока, активные четырехполюсники содержат зависимые или независимые источники. Пассивными четырехполюсниками являются, например, линии передачи сигналов, трансформаторы, аттенюаторы, корректирующие контуры. К активным относятся усилители, собранные на транзисторах или электронных лампах, в том числе операционные усилители, лампы бегущей волны и др.

Активные четырехполюсники, содержащие только зависимые источники, называются неавтономными, а включающие и независимые источники, - автономными. Для пассивных проходных четырехполюсников выполняется принцип взаимности. Поэтому они называются обратимыми. Для активных четырехполюсников принцип взаимности выполняется только в частном случае

Далее предполагается, что напряжения и токи источников питания, которые могут подключаться к выводам 1-1' и 2-2', а значит, и напряжения, и токи на всех участках цепи синусоидальные.

На практике устройства, которые анализируются как четырехполюсники, чаще работают в цепях несинусоидального тока, хотя могут быть и в цепях синусоидального, и в цепях постоянного токов. Для применения рассматриваемой здесь теории к цепям несинусоидального тока необходимо исследовать частотные зависимости параметров четырехполюсников, как это сделано далее для фильтров и длинных линий. Все расчетные формулы и соотношения могут быть отнесены и к . цепям постоянного тока, если положить частоту равной нулю.

Для исследования четырехполюсников необходимо прежде всего установить зависимости между четырьмя величинами, определяющими режим его работы: напряжениями и токами на первичных и вторичных выводах.

Рассмотрим сначала режимы работы неавтономных активных и пассивных проходных четырехполюсников.

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника.

Например, если к вторичным выводам четырехполюсника подключен приемник с сопротивлением наrрузки а к первичным - источник ЭДС (рис. 8.2, а), то при заданном напряжении на выводах приемника (в частности, при номинальном напряжении приемника) и токе можно определить необходимое напряжение источника питания на первичных выводах и ток источника по уравнениям типа А:

или в матричной форме

rде матрицы-столбцы напряжения и тока соответственно на первичных и вторичных выводах;

А - квадратная _21 _22 коэффициентов. матрица

В этих уравнениях коэффициенты определяют сам четырехполюсник и зависят от схемы соединения и параметров составляющеrо четырехполюсник элементов электрической цепи; - безразмерные коэффициенты; имеет размерность сопротивления, а - проводимости.

Всего можно записать шесть различных по форме, но по существу эквивалентных, т. е. математически равносильных, пар уравнений (число сочетаний из четырех по два).

Уравнения типа У

или

где все коэффициенты - проводимости.

Уравнения типа Z

или

с коэффициентами - сопротивлениями.

Уравнения типа Н

или

с коэффициентами, размерность которых, как и в первых трех системах уравнений, непосредственно следует из самой записи уравнений.

Уравнения типа G

или

Уравнения типа В

или

Режимы четырехполюсников

При расчете режима работы четырехполюсника с применением различных типов уравнений принято выбирать положительные направления токов неодинаковыми, как и показано на рис. 8.1. Положительные направления токов по рис. 8.2, часто выбирают для пассивных четырехполюсников с источником питания на первичных -входных выводах и приемником с сопротивлением на вторичных выходных выводах и записи уравнений типа А, а обратные положительные направления -с источником питания на вторичных и приемником с сопротивлением на первичных по рис. 8.2, б и записи уравнений типа В. В этом случае вторичные выводы становятся входными, а первичные -выходными. Уравнения типа Н с симметричными относительно первичных и вторичных выводов положительными направлениями токов выбирают, например, при анализе неавтономных активных четырехполюсников, содержащих полупроводниковые приборы.

Входные сопротивления

Отношение напряжения при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов и сопротивлении нагрузки на вторичных (рис. 8.2, а) называется входным сопротивлением четырехполюсника со стороны первичных выводов · При питании четырехполюсника ·со стороны вторичных выводов и сопротивлении нагрузки на первичных (рис. 8.2, б) отношение напряжения - это входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов Входное сопротивление четырехполюсника определяет режим работы источника питания и зависит от структуры и параметров составляющих четырехполюсник элементов, т. е. коэффициентов четырехполюсника, а также от сопротивления нагрузки, т. е. сопротивления приемника.

Для определения входных сопротивлений можно воспользоваться любым из типов уравнений, однако наиболее простые выражения получаются, если соответственно выбрать уравнения типов А и В:

В частном случае при отключенном или закороченном приемнике входные сопротивления характеризуют только сам четырехполюсник, а следовательно, зависят только от его коэффициентов.

При питании со стороны первичных выводов и коротком замыкании вторичных (рис. 8.3, а), т. е. при , входное сопротивление

и с учетом соотношений табл. 8.1,

При холостом ходе на вторичных выводах (рис. 8.4, а), т. е. при, входное сопротивление

При питании со стороны вторичных выводов и коротком замыкании первичных (рис. 8.3, 6), т. е. при, входное сопротивление

Наконец, при холостом ходе на первичных выводах (рис. 8.4, 6), т. е. при входное сопротивление

Сопротивления короткого замыкания и холостого хода четырехполюсника однозначно определяются его коэффициентами. Между четырьмя сопротивлениями короткого замыкания и холостого хода существует простая зависимость. Нетрудно проверить, что

Режим работы ·четырехполюсника, как и любой электрической цепи, можно характеризовать передаточными функциями при заданном сопротивлении приемника, т. е. в отличие от коэффициентов четырехполюсника передаточная функция зависит не только от структуры и параметров составляющих четырехполюсник элементов, но и от параметров приемника (как в общем случае и входные сопротивления). Если, например, источник питания подключен к первичным выводам (см. рис. 8.2, а), то при сопротивлении приемника можно составить различные передаточные функции, например

Коэффициенты четырехполюсников

Коэффициенты уравнений (8.1 )-(8.6) постоянны (при заданной частоте) и определяются только структурой четырехполюсника и параметрами составляющих его элементов, а не параметрами источника питания и приемника. С точки зрения режима на первичных и вторичных выводах четырехполюсники, имеющие одинаковые значения коэффициентов, неотличимы, т. е. эквивалентны, хотя их внутренняя структура может быть совсем различной.

Таким образом, можно утверждать, что четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты.

Уравнения четырехполюсника (8.1 ) (8.6) показывают, что проходной активный неавтономный или пассивный четырехполюсник задается четырьмя коэффициентами любого из типов уравнений. Поэтому матрица коэффициентов общего из типов уравнений может быть выражена через матрицу коэффициентов любого другого типа уравнений.

Определим, например, связь коэффициентов уравнений типа У с коэффициентами уравнений типа Z, выразив токи из (8.3)

где

Из сравнения полученных уравнений с (8.2) следует, что В табл. 8.1 приведены формулы связи коэффициентов всех систем уравнений. Коэффициенты уравнений четырехполюсника называют еще его первиными повторами.

Каждый из первичных параметров имеет простой физический смысл. Например, по (8.3) (в режиме холостого хода на вторичных выводах), т. е. - входное сопротивление, измеренное на первичных выводах при разомкнутых вторичных; по (8.2) т. е. - входная проводимость со стороны вторичных выводов при коротком замыкании первичных; по (8.4)

Если известны схема четырехполюсника и значения составляющих его элементов, то любой из коэффициентов может быть определен расчетом.

Пример №33

Определить коэффициенты уравнений типа А и передаточную функцию для пассивного четырехполюсника по рис. 8.5.

Решение:

Выразим напряжение и ток через напряжение и ток при помощи уравнений Кирхгофа

Сравнив эти зависимости с уравнениями типа А (8.1), найдем

Передаточная функция определяется после подстановки во второе уравнение (8.la)

Пример №34

На рис. 8.6 представлена зквивалентная схема однокаскадного усилителя с транзистором, включенным по схеме с общим эмиттером. Заданы сопротивления . - базы, - эмиттера, - коллектора и коэффициент передачи тока базы Составить матрицу Z-параметров.

Решение:

Режим неавтономноrо активного четырехполюсника п9 рис. 8.6 описывается уравнениями

Сравнив эти зависимости с уравнениями типа Z (8.3), найдем

Пассивные четырехполюсники. Для пассивных четырехполюсников выполняется принцип взаимности и число независимых коэффициентов каждого типа уравнений уменьшается до трех.

В качестве примера найдем зависимость между коэффициентами матрицы У. Предположим, что выходные выводы четырехполюсника замыкаются накоротко сначала при питании со стороны первичных выводов, а затем со стороны вторичных. В первом случае (см. рис. 8.3, а) и из второго уравнения типа У получим , во втором случае (см. рис. 8.3, 6) и из первого уравнения типа У имеем Если выбрать напряжение во втором случае равным напряжению в первом, то из принципа взаимности следует, что Это равенство выполняется при условии

Полученный результат не является неожиданным. Коэффициенты - это по сути дела взаимные (передаточные) проводимости выходной и входной ветвей четырехполюсника при источниках ЭДС , подключенных соответственно к первичным и вторичным выводам. При помощи табл. 8.1 или непосредственно можно найти зависимости между коэффициентами каждой из матриц

В примере 8.1 были определены коэффициенты уравнений типа А самого простого пассивного несимметричного четырехполюсника по рис. 8.5, который называется Г-образным. Нетрудно убедиться, что условие выполняется. В примере 8.2 составлена матрица Z-параметров активного неавтономноrо четырехполюсника. Условие для этоrо четырехполюсника не выполняется, как и должно быть.

Симметричный четырехполюсник.

Четырехполюсник, у которого при взаимной замене первичных и вторичных выводов режимы источника питания и приемника не изменяются, называется симметричным. У такого активного неавтономноrо четырехполюсника не четыре, а три независимых коэффициента (первичных или основных параметров), а у пассивного два. Например, как было показано выше, при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов и разомкнутых вторичных При питании со стороны вторичных выводов и разомкнутых первичных у симметричного четырехполюсника должно быть такое же входное сопротивление . Из уравнений (8.3) при получаем и, следовательно,

Такие же рассуждения приводят к равенствам

Если два Г-образных четырехполюсника (см. рис. 8.5) соединить соответственно друr с другом выводами J и J', то получится симметричный Т-образный четырехполюсник (рис. 8.7, а), а при соединении выводами 2 и 2' - симметричный П-образный (рис. 8.7, 6) - две канонические схемы пассивных симметричных четырехполюсников, которые содержат минимально возможное число двухполюсников (элементов).

Пример №35

Найти коэффициенты уравнений типа А симметричноrо Т-обраэноrо четырехполюсника (рис. 8.7, а).

Решение:

Коэффициенты моrут быть найдены тем же методом, что и в примере 8.1. Однако для рассматриваемого четырехполюсника (как и многих других) вычисления упрощаются при выполнении мысленных опытов холостого хода и короткого замыкания

При холостом ходе на вторичных выводах из рис. 8.7, а следует, что

Сравнив эти выражения с уравнениями (8.la) при определим

При коротком замыкании вторичных выводов из рис. 8.7,а следует, что

Сравнив эти выражения с уравнениями (8.la) при

т. е. как и должно быть у симметричного-четырехполюсника (8. 7).

Пример №36

Найти коэффициенты матрицы У для П-образного симметричного четырехполюсника (рис. 8.7, 6).

Решение:

Для пассивного симметричного четырехполюсника должны выполняться условия (8.13) и (8.14). Поэтому запишем уравнения (8.2) в виде

В частности, при коротком замыкании вторичных выводов

Для четырехполюсника по рис. 8.7, б

Следовательно

Из последних двух формул можно найти параметры при заданной матрице У:

Для симметричного пассивного четырехполюсника должны выполняться и условия (8.13), и условия (8.14), т. е., как было указано, остается два независимых параметра. Например, для симметричного Т-образного четырехполюсника (рис. 8.7, а) в примере 8.3 получено 2 и, как нетрудно убедиться, (см. приложение 2)

Экспериментальное определение коэффициентов и входных сопротивлений

Первичные параметры каждого данного четырехполюсника могут быть определены экспериментально при измерении режима (напряжений и токов) на первичных и вторичных выводах. Например, при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов (напряжение и холостом ходе на вторичных (напряжение токи из (8.la) находим

а при коротком замыкании вторичных (напряжение

При работе четырехполюсника в цепи постоянного тока для вычисления коэффициентов достаточно измерить вольтметрами напряжения и амперметрами токи. В цепи синусоидального тока необходимо еще определить угол сдвига фаз между соответствующими величинами, например, при определении коэффициента

С ростом частоты экспериментальное определение большинства коэффициентов становится все более трудным, так как измерение напряжений, токов и особенно сдвига фаз усложняется. У четырехполюсников - линий передачи сигналов - экспериментальное определение коэффициентов по результатам двух опытов практически вообще невозможно, так как требует включения прибора, измеряющего сдвиг фаз (ваттметр, осциллограф, фазометр), одновременно к ВХОДНЫМ и ВЫХОДНЫМ выводам линии.

Сопротивления холостого хода и короткого замыкания могут быть измерены теми же методами, что и любые другие сопротивления, например при помощи измерительного моста или амперметра, вольтметра и ваттметра, включенных только со стороны первичных или только со стороны вторичных выводов. Поэтому для большинства четырехполюсников измерение сопротивлений можно выполнить точнее и проще, чем измерение коэффициентов четырехполюсника, особенно на высоких частотах.

Однако в общем случае по найденным экспериментально или расчетом сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания нельзя определить четыре независимых коэффициента какого-либо типа уравнений. Действительно, эти сопротивления связаны соотношением (8.12), т. е. у четырехполюсника три независимых сопротивления холостого хода и короткого замыкания.

У пассивных четырехполюсников коэффициенты каждой из матриц первичных параметров связаны дополнительно условиями (8.13), т. е. число независимых коэффициентов равно трем. Поэтому коэффициенты можно выразить через сопротивления холостого хода и короткого замыкания. В качестве примера свяжем коэффициенты уравнений типа А с одной из троек независимых сопротивлений: Подставив в соотношение значения коэффициентов из (8.9)-(8.11 ), получим

откуда

Аналогично можно получить формулы для коэффициентов . Но при вычисленном уже коэффициенте (8.16) и известных сопротивлениях коэффициенты проще найти из (8.9)-(8.11 ).

Если задана (измерена или рассчитана) другая тройка сопротивлений, то можно пользоваться этими же выражениями, предварительно вычислив четвертое сопротивление из (8.12).

Следует обратить внимание на то, что выражение (8.16) дает два значения коэффициента При извлечении квадратного корня из комплексного числа получаются два комплекса, аргументы которых отличаются на 180° или знаком минус перед модулем:

Соответственно получаются два значения и для других коэффициентов. Выбор того или иного значения коэффициента .,11 1 зависит от разметки вторичных выводов. После того как выбрана разметка первичных выводов, представляются две возможности при разметке вторичных: а) верхний вывод 2, нижний 2', как на рис. 8.1, и положительное направление напряжения от 2 к 2'; 6) верхний вывод 2', нижний 2 и положительное направление напряжения опять от 2 к 2', т. е. противоположно первому случаю.

Изменение положительного направления напряжения равносильно изменению его фазы на 180° . Такое изменение фазы и получается, если вместо первого значения коэффициента (т. е. ) выбрать второе значениечто видно, например, из (8.15а): При изменениf! разметки вторичных выводов сопротивления холостого хода и короткого замыкания остаются неизменными. Поэтому опыты холостого хода и короткого замыкания не дают возможности выбрать одно из двух значений коэффициента , т. е. провести разметку вторичных выводов.

Аналогичное замечание нужно учесть и при расчете коэффициентов уравнений других типов

Эквивалентные схемы четырехполюсников

Четырехполюсники эквивалентны, если при замене одного четырехполюсника другим режимы источника питания и приемника не изменяются.

Режим любого проходного четырехполюсника задается одной из систем двух уравнений (8.1 )- (8.6), каждая из которых содержит в общем случае четыре независимых коэффициента. Поэтому наиболее простая эквивалентная схема или схема замещения четырехполюсника должна состоять не менее чем из четырех элементов, параметры которых зависят от коэффициентов уравнений. Для четырехполюсника, заданного одной из матриц коэффициентов, можно составить несколько эквивалентных схем, состоящих из минимально необходимого числа элементов.

Для пассивных четырехполюсников (три независимых коэффициента) чаще выбирают Т- или П-образную схему замещения (рис. 8.8, а или б), сопротивления элементов которой зависят от значений коэффициентов заданной матрицы.

Для пассивных симметричных четырехполюсников обычно выбирают одну из трех канонических схем замещения: Т-образную (см. рис. 8.7, а), П-образную (см. рис. 8.7, б) или мостовую (рис. 8.9, а), каждая из которых задается значениями двух сопротивлений У Т и П-образных схем соединены накоротко выводы 1' и 2'. Такие четырехполюсники называются не уравневешенными применяются на практике в цепях, для которых нужно иметь общую точку.

К этой точке присоединяются корпуса приборов, оболочки коаксиальных кабелей, заземляющая шина и т. д. Мостовая или Х-образная схема (рис. 8.9, а) уравновешенная, у нее взаимная замена соответственно выводов 1 и 1', 2 и 2' не приводит к изменению режима в участках электрической цепи, присоединяемых к первичным и к вторичным выводам. Т- и П-образные схемы можно сделать и уравновешенными, составив продольные элементы с сопротивлением из равных частей, присоединенных так, как показано на рис. 8.9, б и в. Все коэффициенты уравновешенных Т- и П-образных схем такие же, как и у неуравновешенных.

Такими же расчетами, как и в примере 8.4, сопротивления можно выразить через коэффициенты уравнений любого типа. Например, для мостовой схемы (рис. 8.9, а) получается

Симметрию относительно первичных и вторичных выводов называют еще симметрией относительно попtречной оси (мысленно проведенной вертикально через центр на рис. 8. 7 - 8.9). Уравновешенные четырехполюсники называют еще симметричными относительно продольной оси (горизонтальной, проведенной через центр на рис. 8.9).

Мостовая схема выбирается как основная для предварительного проектирования (синтеза) симметричных четырехполюсников Т-, П-образные и мостовые схемы, состоящие из резистивных элементов, применяются для изменения уровня сигналов и называются аттенюаторами или удлинителями

Симметричные перекрытые Т-образные четырехполюсники (рис. 8.9, г) применяются в качестве амплитудных корректоров, т. е. четырехполюсников, которые включаются в цепь передачи сигналов для требуемого изменения ее амплитудно-частотной характеристики.

Управляемые (зависимые) источники напряжения и тока. В предыдущих главах при анализе электрических цепей было принято, что идеальные и реальные источники напряжения (ЭДС) и тока задаются не зависящими от режима цепи параметрами в цепи постоянного тока или в цепи синусоидального тока). Только при пояснении принципов компенсации и эквивалентного генератора (теоремы об активном двухполюснике) было введено понятие о простейшем зависимом источнике - двухполюснике, ЭДС которого зависит от тока двухполюсника.

При исследовании цепей с многополюсниками, в частности с четырехполюсниками, содержащими, например, транзисторы, гираторы, идеальные трансформаторы, операционные усилители, нельзя построить эквивалентную схему, состоящую только из резистивных, индуктивных, емкостных элементов и идеальных или реальных источников напряжения и тока с постоянными параметрами. Для построения эквивалентных схем дополнительно нужно ввести управляемые (зависимые) источники.

Управляемый источник это элемент с двумя парами выводов (входной и выходной), т. е. четырехполюсник. Он содержит идеальный источник напряжения (ЭДС) или тока, который управляется напряжением между какими-либо двумя выводами цепи или током в какой-либо ветви. Различают четыре типа управляемых источников, у которых выходная величина не влияет на входную:

1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН, рис. 8.10, а), с матрицами коэффициентов четырехполюсника

и напряжением на выходных выводах, пропорциональным напряжению на выводах, которые рассматриваются как входные;

2) источник напряжения управляемый то к ом (ИНУТ, рис. 8.10, б), с матрицами

т. е. с напряжением на выходных выводах, зависящим от тока ветви, которая считается входной у четырехполюсника; � источник ток

3). управляемый напряжением (ИТУН, рис. 8.10, в), с матрицами

т. е. выходной ток является заданной функцией напряжения на входных выводах;

4) источник тока (ИТУТ, рис. 8.10, г), с матрицами

т. е. выходной ток пропорционален входному. Другие матрицы у таких четырехполюсников не существуют, и их следует рассматривать как частного вида активные неавтономные четырехполюсники. Управляемые источники напряжения и тока применяются, например, при построении эквивалентных схем устройств с транзисторами: Так, в эквивалентной схеме однокаскадного усилителя (см. рис. 8.6) есть ИТУТ, у которого ток источника пропорционален току базы.

Для активного неавтономного четырехполюсника две простейшие схемы замещения общего вида получаются добавлением к Т- или П-образной схеме (см. рис. 8.8) четвертого элемента - управляемого (зависимого) источника напряжения (ЭДС) или тока (рис. 8.11, а и 6). Возможны и другие схемы замещения, одна из которых показана на рис. 8.11, в

Пример №37

Выразить параметры элементов схемы замещения по рис. 8.11, а через коэффициенты матрицы Z.

Решение:

Запишем уравнения для двух контуров схемы по рис. 8.11,а:

Сравнивая составленные уравнения с (8.3), находим:

откуда определяем искомые параметры

Параметры схемы на рис. 8.11, 6 проще всего определяются через коэффициенты матрицы У, а схемы на рис. 8.11, в - через коэффициенты матрицы Н. В результате получается для схемы на рис. 8.11, 6

и для схемы на рис. 8.11, в

При составлении схем замещения некоторые резистивные сопротивления могут получиться и отрицательными, как и при замене схемы соединения треугольником эквивалентным соединением звездой. Такие сопротивления не препятствуют расчету режима четырехполюсника, но в реальной цепи должны быть заменены источниками.

Гиратор или инвертор сопротивления

К активным невзаимным четырехполюсникам частного вида относится гиратор - четырехполюсник, который задается любой из следующих четырех

где g -действительная величина, называемая коэффициентом rирации. Матрицы G и Н не существуют. Это невзаимный четырехполюсник, так как Условное графическое изображение гиратора показано на рис. 8.12, а.

Для практического осуществления гиратор требует применения двух управляемых источников. На рис. 8.12, б представлена эквивалентная схема с двумя управляемыми источниками тока, на рис. 8.12, в -с двумя управляемыми источниками напряжения.

Из любой системы уравнений гиратора можно определить его входное сопротивление

т. е. входное сопротивление инвертора пропорционально проводимости нагрузки. Важно отметить, что при емкостном сопротивлении ·получается входное индуктивное сопротивление , т. е. можно реализовать индуктивный элемент при помощи активнного четырехполюсника и емкостного элемента (и наоборот). Гиратор выпускается в интегральном исполнении как· один из элементов электрических цепей.

Возможно построение инверторов сопротивления и с другими параметрами, например вместо g.

Конвертор сопротивлении

Как и инвертор сопротивления, конвертор -это активный неавтономный четырехполюсник. Он задается, например, матрицей

и

его входное сопротивление пропорционально сопротивлению нагрузки. При действительных коэффициентах , отрицательном значении одного из них и резистивном сопротивлении нагрузки входное сопротивление , т. е. получается резистивный элемент с отрицательным сопротивлением. Как и для гиратора, реализация требует применения управляемых источников (рис. 8.12, г).

Идеальный трансформатор. Управляемые источники содержит схема замещения идеального трансформатора: ИТУТ в первичной цепи и ИНУН во вторичной (рис. 8.12, д). Такое представление трансформатора требуется, например, для электронных устройств с микросхемами (интегральная технология).

Характеристические (вторичные) параметры пассивных четырехполюсников

Довольно часто на практике между источником питания (генератором) и приемником бывает включена цепь, состоящая из нескольких четырехполюсников, а в самом простом случае включается один симметричный пассивный четырехполюсник. Например, индивидуальная телевизионная приемная антенна (источник сигналов для телевизора) присоединяется к телевизору (приемник сигналов) не непосредственно, а при помощи симметричного четырехполюсника - телевизионного кабеля. Отрезок кабеля имеет два входных вывода 1-1', которыми он соединен с источником питания (антенна), и два выходных вывода 2-2', к которым присоединяется приемник (телевизор). Очень важно правильно выбрать сопротивление приемника Его выбирают так, чтобы входное сопротивление четырехполюсника - кабеля на выводах 1-1' было одинаковым и равным независимо от длины кабеля. При одинаковых входных сопротивлениях кабелей разной длины все генераторы - антенны, к которым присоединены кабели, оказываются одинаково нагруженными. Следовательно, конструкция всех антенн может быть одинаковой независимо от длины кабеля.

Аналогичные задачи правильного выбора сопротивления нагрузки возникают и в других установках с четырехполюсниками - аттенюаторами, цепными схемами, фильтрами и т. д.

Поставим вопрос о том, как же надо нагрузить симметричный четырехполюсник, чтобы его входное сопротивление равнялось сопротивлению нагрузки?

У симметричного четырехполюсника любую пару выводов (1-1' или 2-2') можно принять за входную, при этом режимы источника питания и приемника не изменяются. Предположим для определенности, что источник питания присоединен к первичным выводам 1-1' (см. рис. 8.2, а). Найдем входное сопротивление по (8.7а), учитывая, что для симметричного• четырехполюсника

Необходимо иметь , т. е. должно быть

Последнее выражение определяет значение сопротивления наrрузки , при котором и входное сопротивление равно сопротивлению нагрузки. Преобразовав последнее выражение, найдем, что

итак, если выбрать вполне определенное сопротивление приемника, а именно равное , то и входное сопротивление четырехполюсника равно этому значению. Входное сопротивление четырехполюсника при такой нагрузке зависит только от его коэффициентов и, значит, может быть принято одним из параметров четырехполюсника (как и коэффициенты уравнений любого типа).

Новый параметр нужно знать, если возникает задача о выборе нагрузки для -готового четырехполюсника или, наоборот, если проектируют четырехполюсник для совместной работы с заданным приемником.

Этот параметр обозначают и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника:

Режим четырехполюсника при называют режимом согласованной нагрузки. Если у источника питания нужно учитывать внутреннее сопротивление (рис. 8.13) и оно равно , то и источник питания считают согласованным с четырехполюсником. В режиме согласования источника

Этот режим совпадает с режимом максимальной активной мощности источника только при резистивных сопротивлениях источника питания и приемника.

В качестве второго параметра симметричного четырехполюсника выбирают величину, которая позволяет весьма просто сравнивать напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Для сравнения напряжений на входе и выходе составим их соотношение при согласованной нагрузке

где - модуль отношения, характеризует изменение значения напряжения; - аргумент отношения (радиан или градусов), показывает сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе. Этот угол называется (собственной или характеристической) постоянной фазы.

Комплексную величину не следует путать с передаточной функцией по напряжению , которая определяется при любой заданной нагрузке четырехполюсника. Передаточную функцию нельзя считать параметром четырехполюсника, так как ее модуль и аргумент зависят от сопротивления приемника. Комплексная величина определяется обязательно при согласованной нагрузке, т. е. при сопротивлении нагрузки, равном одному из параметров четырехполюсника - характеристическому сопротивлению. Поэтому комплексная величина М - параметр четырехполюсника. В случае согласованной нагрузки

Напряжение на выходе четырехполюсника нередко значительно отличается от значения напряжения на входе. Например, на выходе фильтра радиоприемника напряжение на· частоте принимаемого сигнала может практически равняться напряжению на входе , а на частоте другого сигнала быть в тысячи раз меньше. Поэтому отношение напряжений на входе и выходе принято оценивать в логарифмическом масштабе, для чего вместо отношения напряжений m вводится (собственная или характеристическая) постоянная ослабления

или

Постоянная ослабления - физическая безразмерная величина. Поэтому ее единицей измерения служит непер· (Нп). Постоянной ослабления А = 1 Нп обладает четырехполюсник, у которого при согласованной нагрузке напряжение на выходе в раза меньше, чем на входе.

При согласованной нагрузке

Следовательно

и постоянная ослабления характеризует как отношение напряжений, так и отношение токов на входных и выходных выводах:

а постоянная фазы В - сдвиг по фазе между токами, который равен сдвигу фаз между . напряжениями.

Постоянную ослабления можно вычислить и по известным полным или активным мощностям на входе и выходе. Действительно,

или

так как сдвиг фаз между напряжением и током на входе и на выходе один и тот же .

Запишем выражение (8.24) с постоянной ослабления А

откуда

Комплексная безразмерная величина I характеризует изменение напряжения и тока при согласованной нагрузке как по значению, так и по фазе и называется (собственной или характеристической) постоянной передачи четырехполюсника. Постоянная передачи - второй параметр симметричного четырехполюсника. Постоянная передачи в (8.30) выражена через напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника, но она, как и характеристическое сопротивление, полностью определяется структурой четырехполюсника и параметрами составляющих его элементов. Постоянную передачи, как и , можно, например, определить через коэффициенты матрицы А.

По (8.30) с учетом согласованной нагрузки

или так как у симметричного четырехполюсника

Характеристическое сопротивление и постоянную передачи называют вторичными параметрами симметричного четырехполюсника.

Постоянную ослабления часто вычисляют не через натуральный логарифм, а через десятичный в децибелах:

Не следует забывать, что при вычислении постоянной передачи формуле следует подставлять значение А в неперах и В в радианах.

Уравнения с гиперболическими функциями

Вторичные параметры - характеристическое сопротивление и постоянная передачи - полностью определяют симметричный пассивный четырехполюсник как устройство, входящее в тракт передачи и преобразования сигналов. Поэтому такой четырехполюсник часто задается вторичными параметрами. В этом случае при исследовании режима целесообразно пользоваться уравнениями, в которых напряжения и токи связаны между собой при помощи вторичных параметров.

Чтобы составить такие уравнения, выразим коэффициенты матрицы А через вторичные параметры и подставим в (8.1а). Из (8.31) следует, что

Кроме того, известно уравнение связи коэффициентов или для симметричного четырехполюсника что дает после деления на

Решив уравнения (8.32) и (8.33) относительно получим

Умножив и разделив последнее выражение на найдем, что

Наконец, подставив (8.34) в (8.la); получим уравнения симметричного четырехполюсника с гиперболическими функциями

Входное сопротивление симметричного пассивного четырехполюсника

В частности, при коротком замыкании

и при холостом ходе

Из (8.36) определяем вторичные параметры:

Несимметричные пассивные четырехполюсники определяются тремя независимыми коэффициентами любого типа уравнений. Поэтому и вторичных параметров у пассивного несимметричного четырехполюсника три: характеристическое сопротивление со стороны первичных выводов , характеристическое сопротивление со стороны вторичных выводов и постоянная передачи

Характеристическое сопротивление равно такому сопротивлению приемника, подключенного к вторичным

выводам, при котором входное сопротивление со стороны первичных выводов равно (рис. 8.14, а). Короче говоря, при имеем Аналогично при обратном питании и сопротивлении приемника на первичных выводах получи(рис. 8.14, б).

Постоянную передачи определим при питании со стороны первичных выводов

и постоянная ослабления

Они не могут быть выражены только через напряжения или только через токи, как у симметричного четырехполюсника. Точно так же постоянная фазы В не показывает сдвиг фаз между напряжениями или между токами.

Хотя четырехполюсник и несимметричен, постоянная передачи при питании со стороны вторичных выводов (и согласованной нагрузке на первичных) равна постоянной передачи при питании со стороны первичных выводов (и согласованной нагрузке на вторичных). Это можно показать на основании принципа взаимности.

Связь между вторичными параметрами и коэффициентами матрицы А (или другими коэффициентами) сложнее, чем у симметричного четырехполюсника. Расчеты, аналогичные приведенным, дают следующие зависимости:

откуда можно получить значения коэффициентов уравнений типа А и записать уравнения с гиперболическими функциями, подставив найденные значения в (8.la).

Постоянной ослабления можно дать и другое толкование. Предположим, что требуется выяснить, какую полную мощность получил бы приемник с сопротивлением от заданного источника питания при непосредственном подключении приемника к заданному источнику (рис. 8.15,а) с выполнением условия согласования источника

Напряжение и ток приемника в схеме на рис. 8.15,а при

Эти напряжение и ток получаются такими же, как и напряжение и ток на входе четырехполюсника при согласованной нагрузке на вторичных выводах и согласованном источнике, т. е. , а именно и . Поэтому

и постоянная ослабления

Цепные схемы

Четырехполюсники соединяются различными способами. Чаще всего встречается каскадное соединение, при котором входные выводы одного четырехполюсника соединяются с выходными выводами другого. Так, например, можно составить Т- или П-образный четырехполюсник из двух Г-образных. В каскад соединяют несколько фильтров-звеньев, чтобы увеличить постоянную ослабления устройства для сигналов, которые нужно подавить. Да и сам тракт передачи сигналов (канал связи) обычно состоит из :каскадного соединения различных четырехполюсников.

Если в каскад соединяют несколько одинаковых четырехполюсников, то каскадное соединение называют однородной или :короче, однородной цепочкой. Цепочкой одинаковых четырехполюсников заменяют, например, линии передачи сигналов или электроэнергии при лабораторных исследованиях процессов, происходящих в реальных линиях; из одинаковых четырехполюсников собирают цепные схемы для получения коротких импульсов и для увеличения времени движения сигнала от источника :к приемнику (линия «задержки»); цепочку составляют из нескольких одинаковых фильтров. На рис. 8.16 представлена цепочка из n одинаковых четырехполюсников.

Каждый четырехполюсник этой цепочки называют ее элементом, или звеном.

Цепная схема, состоящая из одинаковых симметричных пассивных четырехполюсников, также является симметричным пассивным четырехполюсником. Следовательно, ее свойства определяются двумя коэффициентами или параметрами, например характеристическим сопротивлением и постоянной передачи , как и у всякого симметричного четырехполюсника. Уравнения цепочки с вторичными параметрами аналогичны (8.35):

Выясним прежде всего, как найти параметры цепочки , если известны параметры каждого звена .

По определению характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника равно сопротивлению нагрузки , при котором и Если для цепочки выбратьзвено окажется согласованным с и его входное• сопротивление тоже будет равно- Но входное сопротивление п-го звена служит сопротивлением нагрузки звена, т. е. звено тоже имеет согласованную нагрузку, и его входное сопротивление равно Определяя последовательно входные сопротивления остальных звеньев, получаем, что входное сопротивление любого звена, в том числе и первого, равно Значит, входное сопротивление цепочки также равно , т. е. при , цепочка согласована с сопротивлением нагрузки и характеристическое сопротивление цепочки

Постоянная передачи цепочки, как и всякого симметричного пассивного четырехполюсника, определяется выражением (8.30):

Отношение напряжений или токов на входе и выходе цепочки можно выразить через напряжения или токи на входе и выходе промежуточных звеньев, т. е.

или

причем сумма состоит из n слагаемых.

Каждое слагаемое суммы по определению есть постоянная передачи звена так как при согласованной нагрузке цепочки и каждое звено имеет согласованную нагрузку. Следовательно

Заменив в (8.43) через через , получим уравнения, связывающие режим на входе и выходе цепочки при заданных вторичных параметрах звена

Если нужно найти напряжение на входе (k + 1)-го промежуточного звена, то все звенья справа от k-го звена (k + 1, k + 2, ... ,п) можно рассматривать как четырехполюсник с характеристическим сопротивлением , и с постоянной передачи Очевидно, что m = п - k - число звеньев от выбранного звена до сопротивления нагрузки. Поэтому напряжение и ток на входе (k + 1 )-го звена можно вычислить по (8.46), заменив n на m.

При соединении цепочкой (в каскад) пассивных несимметричных четырехполюсников возможны два различных режима работы. В первом случае соединение выполняется по принципу согласования (рис. 8.17). Это значит, что характеристическое сопротивление со стороны вторичных выводов предыдущего (k - 1)-го четырехполюсника равно характеристическому сопротивлению' со стороны первичных выводов последующего k-ro четырехполюсника. Последний, n-й четырехполюсник имеет согласованную нагрузку и входное сопротивление всего соединения равно характеристическому сопротивлению со стороны первичных выводов 1-го четырехполюсника Нетрудно усnановить, что у всей схемы характеристические сопротивления соответственно

Постоянная передачи каскадного соединения определяется по (8.38а). Так как все звенья имеют согласованную нагрузку, то постоянная передачи каскадного соединения равна сумме постоянных передачи всех четырехполюсников, но, конечно, постоянные передачи отдельных звеньев могут быть различными:

По принципу согласования соединяются два Г -образных четырехполюсника, составляющие Т- или П-образный четырехполюсник. Действительно, Т- и П-образная схемы получаются при соединении одноименных выводов (первичных для Т-образной и вторичных для Побразной), т. е. выводов, со стороны которых характеристические сопротивления одинаковы у обеих Г-образных схем. Так как каскадно соединяются два одинаковых четырехполюсника, то постоянная передачи Т- или П-образной схемы вдвое больше, чем у Г образной. По этой причине Г-образный четырехполюсник часто называют еще полузвеном, считая звеном Т- или П образную схему.

Во втором случае каскадное соединение состоит из четырехполюсников, для которых не выполняются условия согласования. Найти параметры схемы в этом случае по известным вторичным параметрам звеньев значительно сложнее. Проще определяются коэффициенты уравнений типа А.

При других схемах соединения отдельных четырехполюсников также проще проводить расчет с коэффициентами уравнений других типов (см. rл. 13).

Эксплуатационные параметры четырехполюсников

Режим согласованной нагрузки необходим, прежде всего, в тех устройствах, например воздушных и кабельных линиях передачи сигналов (см. rл. 20), в которых должны отсутствовать отражения сигналов и их искажения, вызванные отражениями. Расчет передачи сигналов получается наиболее простым также при согласованной нагрузке: при заданных характеристических сопротивлениях условия передачи сигналов полностью определяются постоянной передачи .

На практике четырехполюсники часто имеют несогласованную нагрузку. В этом случае для сравнения режимов работы при различных несогласованных нагрузках вводятся удобные для расчетов и измерений эксплуатационные параметры, которые далее получены для пассивных четырехполюсников.

Полной мощности в числителе (8.28) можно дать и другое толкование. Такая же мощность получается и при непосредственном подключении приемника к источнику питания ( см. рис. 8.15, а) при выполнении условия согласования источника Таким образом, можно считать, что постоянная ослабления (8.42) характеризует отношение полной мощности приемника при его непосредственном подключении к источнику и согласовании приемника с источником к полной мощности приемника при включенном четырехполюснике ( см. рис. 8.15, 6) и согласовании на входе и на выходе, т. е. при и

При отсутствии согласования на выходе или на входе условия передачи сигналов изменяются. Изменение сигнала по-прежнему оценивают отношением полной мощности при его непосредственном подключении к источнику (см. рис. 8.15, а) И к полной мощности приемника при включенном четырехполюснике ( см. рис. 8.15, 6) и заданном сопротивлении при этом и полная мощность приемника иная, так ,как нагрузка несогласованная.

При отсутствии согласований вместо постоянной ослабления вводится параметр

который называется рабочим постоянным ослаблением (рабочим затуханием).

Если вместо модулей напряжений и токов взять их комплексные значения

то по формуле, аналогичной (8.48), определяется рабочая постоянная передача, которая характеризует изменение полной мощности из-за влияния четырехполюсника и отличия сопротивления нагрузки от внутреннего сопротивления источника питания:

(в числителе и знаменателе, конечно, не комплексные мощности).

Мнимую часть рабочей постоянной передачи

называют рабочей постоянной ф азы.

Для расчета постоянных передачи и ослабления введем понятие о приведенном сопротивлении - ЭДС источника и - ток приемника в схеме на рис. 8.15,6. Подставив в уравнение для входного контура , напряжение и ток по (8.la), получим

откуда с учетом равенства найдем приведенное сопротивление

Отношение это одна из передаточных функций цепи на рис. 8.15, 6.

Так как по (8.40) то рабочая постоянная передачи

и рабочая постоянная ослабления (в неперах и децибелах)

Ясно, что в отличие от постоянных передачи и ослабления рабочие величины зависят не только от параметров четырехполюсника, но и параметров источника и приемника. Один и тот же четырехполюсник при совместной работе с различными источниками и приемниками вызывает неодинаковые ослабления сигналов.

Если четырехполюсник задан не коэффициентами уравнений типа А или другого типа (для перехода к коэффициентам матрицы А можно воспользоваться табл. 8.1), а вторичными параметрами, то в (8.51) для приведенного сопротивления следует заменить коэффициенты из (8.39). Формула (8.53) для рабочей постоянной ослабления после преобразований приводится к виду

- коэффициенты несогласованности («отражения») на входе и выходе четырехполюсника. Если постоянная ослабления А > 1,5 Нп, то последним слагаемым в (8.54) можно пренебречь. Действительно, в этом случае так как

то последнее слагаемое меньше 0,046 Нп. На практике часто сопротивления нагрузки и источника резистивные: в этом случиимаксимальная активная мощность, которую можно получить от источника а - активная мощность приемника, включенного в качестве нагрузки четырехполюсника (см. рис. 8.15, 6) и рабочая постоянная ослабления по (8.48)

Если четырехполюсник не имеет потерь, то - это максимальная активная мощность, которую может получить приемник с сопротивлением от данного источника. Следовательно, максимальное напряжение приемника определяется из равенства

Рабочей передаточной функцией называют величину

Ее модуль

- это рабочая амплитудно-частотная характеристика и

Рабочие параметры, передаточные функции и входные параметры нагруженных четырехполюсников называют еще внешними характеристиками четырехполюсника.

Активные автономные четырехполюсники

У неавтономных активных четырехполюсников сигнал (напряжение , ток ) на выходе появляется только при поступлении сигнала на входные выводы, чем и объясняется их название.

У активных автономных четырехполюсников могут быть напряжения и токи на первичных и вторичных выводах и при отсутствии источников, подключенных к первичным, вторичным или тем и другим выводам (при отсутствии поступающих от таких внешних источников сигналов). Системы уравнений (8.1 )-(8.6) не удовлетворяют этим условиям. Например, при коротком замыкании соответственно первичных 1-1' и вторичных 2-2' выводов, т. е. , из (8.2) следует, что токи

Следовательно, каждая из систем уравнений должна быть дополнена слагаемыми, учитывающими наличие независимых источников у четырехполюсника.

Запишем уравнения типа А, дополнив их для получения наиболее простых эквивалентных схем постоянными слагаемыми

В частности, в режиме короткого замыкания на первичных и вторичных выводах вместо (8.59) получим и, следовательно,

На рис. 8.18, а изображен активный автономный четырехполюсник с напряжениями и и токами и соответственно на первичных и вторичных выводах. На рис. 8.18, 6 показано, что активный автономный четырехполюсник можно заменить неавтономным с теми же коэффициентами ,что и у активного, но с токами, вместо и двумя источниками тока , и (направление изменить на обратное). Неавтономный можно представить любой схемой замещения, в частности показанными на рис. 8.10. Если для неавтономноrо четырехполюсника справедливо уравнение связи (обратимый четырехполюсник), то оно выполняется и для активного автономного четырехполюсника.

Постоянные слагаемые (8.59) можно определить и из опыта холостого хода на первичных и вторичных выводах . В результате получим, И уравнения типа А автономного четырехполюсника приводятся к виду

Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема активного четырехполюсника с источниками ЭДС и показанная на рис. 8.18, в.

Из полученных уравнений следует, что активные четырехполюсники с независимыми источниками характеризуются в общем случае шестью параметрами. Конечно, можно найти связь между токами и ввести друrие коэффициенты четырехполюсника.

Многополюсники

Если у четырехполюсника не выделены пары выводов, то он не относи rся к проходным и его можно рассматривать как частный случай многополюсника.

Обозначение многополюсника (одно из возможных) с выбранными положительными направлениями токов показано на рис. 8.19, причем согласно первому закону Кирхгофа

' В качестве такого многополюсника будем рассматривать любой участок электрической цепи без независимых источников. Кроме токов режим на выводах определяется напряжениями, которые можно задать между каждым из пn выводов и базовым

(n + 1)-м, т. е.

Из (8.62) и (8.63) следует, что у многополюсника n независимых токов и n независимых напряжений.

Уравнения связи напряжений и токов, как и у четырехполюсника, можно записать в матричной форме, например

где - квадратная матрица проводимостей; - матрицы-столбцы напряжений и токов. Для любого k-го вывода (k = 1, 2, ... , n)

т. е. ... взаимная проводимость относиrтельно выводов k, (п + 1) и i, (11 + 1) определяется при всех , кроме (все выводы, кроме i-го, соединены с n + 1-м). Аналогично - входная проводимость относительно выводов k и 11 + 1.

Уравнение (8.64) можно записать в виде

где - квадратная матрица сопротивлений. Для любого k-го вывода, кроме (n + 1 )-го,

где - взаимное сопротивление выводов k, (n + 1) и i, (n + 1), определяется при всех , кроме т. е. отсоединенных от цепи, частью которой служит многополюсник, всех выводов, кроме i-го. Аналогично входное сопротивление относительно выводов k и ·n + 1.

У пассивных многополюсников матрицы симметричные, у активных неавтономных в общем случае несимметричные.

У некоторых многополюсников матрицы могут не существовать (как, например, у четырехполюсников - управляемых источников). В этом случае все выводы делятся на две группы и уравнения записываются с матрицей Н-параметров.

Напряжения многополюсника могут определяться относительно базового узла, не совпадающего с одним из выводов. Выбор уравнений (8.64) для описания режима многополюсника целесообразен при дальнейшем анализе цепи с применением метода узловых потенциалов. При анализе цепи методом контурных токов выбирается другая система напряжений и токов многополюсника. На пары делятся напряжения и токи у 2n-полюсника.

Операционный усилитель

К активным неавтономным мноrополюсникам относится и операционный усилитель (ОУ), имеющий дифференциальный вход с очень большим входным сопротивлением, малое выходное сопротивление и высокий коэффициент усиления. ОУ изготовляются в виде интегральных микросхем и применяются во многих электронных устройствах различного назначения, в том числе для

реализации управляемых источников, гираторов и для выполнения математических операций. Обозначение ОУ и выбранная разметка выводов показаны на рис. 8.20, а, а на рис. 8.20, б -эквивалентная схема при уровнях сигналов, для которых ОУ можно рассматривать как линейный многополюсник. У ОУ два входных вывода 1 и 3, которые обозначают еще знаками и + и соответственно называют инвертирующим и неинвертирующим. ЭДС управляемого источника . -внутренний коэффициент усиления, достигающий практически значений порядка Входное сопротивление больше выходного на два-три порядка. У идеального ОУ считают бесконечно большим,У такого усилителя при любом

Схема замещения ОУ справедлива в широкой полосе частот. Этот диапазон ограничен частотой, при которой необходимо уже учитывать паразитные емкости реального устройства.

Операционный усилитель можно считать линейным многополюсником, пока напряжения не превышают некоторых предельно допустимых значений. В противном случае необходимо учитывать нелинейность характеристик ОУ.

Пример №38

Составить матрицу со схемой по рис. 8.20, б.

Решение:

Будем считать заземленный вывод 4 базовым. Для остальных выводов можно сразу записать уравнения, связывающие напряжения и токи. Для входного контура (рис. 8.20, б)

Операционные усилители часто применяются в схемах активных неавтономных четырехполюсников, т. е. в устройствах с двумя входными и двумя выходными выводами, в частности гираторов, конверторов сопротивлений, активных фильтров, зависимых источников. Например, на рис. 8.21 представлена схема реализации с идеальным ОУ управляемого источника ИТУТ ' (см. рис. 8.11, г ). Действительно, при идеальном ОУ

Так как . внутренний коэффициент усиления очень велик то и передаточная функция по току

Пример №39

Для активного неавтономноrо четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 8.22, а, составить передаточную функцию по напряжению К, считая, что При условии построить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Решение:

На рис. 8.22, б показан четырехполюсник после замены ОУ эквивалентной схемой, rде

пocлe подстановки (б) в (а) найдем, что

При r передаточная функция

Это фазовращатель, так как Фазо-частотная характеристика дана на рис. 8.22,

Обратная связь

Резистивный элемент в схеме рис. 8.22 связывает выходной вывод ОУ с одним из входных. Поэтому сопротивление можно назвать сопротивлением обратной связи. Обратной связью могут быть охвачены различные активные неавтономные четырехполюсники, в которых передача идет только от входа к выходу, в частности служащие в качестве усилителей, в том числе и ОУ. Наличие обратной связи представлено на структурной схеме рис. 8.23, где стрелками показано направление передачи сигналов. На вход усилителя с передаточной функцией поступают напряжение (входной сигнал) и через четырехполюсник обратной связи с передаточной функциейнапряжение обратной связи

Напряжение на выходе и передаточная функция усилителя с обратной связью

Если , то обратную связь называют отрицательной (уменьшение усиления), а при - положительной. Если на какой-либо частоте , выходное напряжение стремится к бесконечности и при сколь угодно малом входном сигнале,. т. е. усилитель самовозбуждается (неустойчивость).

Годографы

Многие практические задачи требуют исследования зависимости цепи от различных факторов. Для таких исследований наряду с аналитическими методами прибегают к графическому методу - к построению геометрических мест концов векторов, изображающих различные величины. Эти геометрические места, называемые годографами (диаграммами), могут иметь сложную форму.

Комплексные уравнении прямой и окружности

В простейших случаях получаются прямые линии и дуги окружности, которые и называют соответственно Ленийными и круговыми диаграммами. При исследовании электрических цепей часто какая-нибудь комплексная величина определяется уравнением вида

где - изменяющаяся комплексная величина с неизменным аргументом v и непостоянным в пределах от модулем n. Геометрически L представляет собой сумму двух векторов (рис. 9.1), один из Обратная связь, показанная на рис. 8.23, - это связь по напряжению. Аналогично исследуются и другие типы обратной связи (по току, смешанные).

Идеальный ОУ с обратной связью (рис. 8.24) входит в простую схему реализации управляемого источника ИНУТ (см. рис. 8.11,6). Для схемы рис. 8.24

и при можно принять Поэтому передаточное сопротивление

которых А постоянен, а у другого N сохраняется неизменное направление , но изменяется длина. Конец вектора совпадает с концом вектора Следовательно, геометрическим местом конца вектора !, служит полупрямая, проходящая через конец вектора. Таким образом, при указанных условиях уравнение (9.1) является комплексным уравнением полупрямой. Если же n рассматривать не как модуль комплексной величины (который всегда положителен), а как действительное число, изменяющееся от, то уравнение (9.1) будет представлять комплексное уравнение прямой, проходящей через конец вектора д. Часть прямой, соответствующая отрицательным значениям n, показана на рис. 9.1 штриховой линией. Теперь рассмотрим другой тип уравнения, который очень часто встречается при анализе электрических цепей:

где ; , а - комплексная величина с неизменным аргументом v = const и модулем п, изменяющимся в пределах от О до .

Покажем, что геометрическим местом концов векторов является дуга окружности. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (9.2) на

и перепишем (9.3) в следующем виде:

При всех значениях n сумма двух изменяющихся векторов равна неизменному вектору На рис. 9.2 векторы показаны для одного частного значения и при условии . При всех значениях n от 0 до вектор повернут относительно вектора М на угол , а угол при вершине М треугольника ОМК равен постоянной величине

Отсюда следует, что конец вектора лежит на дуге ОМК окружности, для которой вектор является хордой. Ниже будет дан простой способ построения этой окружности, а сейчас покажем, как найти вектор для любого значения n.

Отложим от точки О по направлению хорды О К отрезок О А, равный в некотором (произвольном) масштабе а. Затем через точку А проведем Мои продолжим линию до пересечения в точке N с линией AN'. Получились два подобных треугольника Из подобия следует, что

Таким образом, если отрезок О А соответствует а, то отрезок AN в том же масштабе определяет модуль n изменяющейся комплексной величины n Линия AN' называется линией изменющегося параметра. Откладывая на ней отрезки AN, соответствующие различным значениям n, и соединяя их концы с точкой О, можно для любого значения п определить положение вектора М- При увеличении n точка . М приближается к точке О. В пределе при длина вектора М согласно (9.3) должна стремиться к нулю, следовательно, точка М сольется с точкой О, т. е. секущая ON станет касательной ОТ, и так как точка N уйдет в бесконечность, то прямая ОТ будет параллельна линии изменяющегося параметра AN', поэтому перпендикуляр OD к линии изменяющегося параметра является вместе с тем перпендикуляром к касательной в точке О и, следовательно, совпадает по направлению с диаметром окружности, проведенным через точку О. Отсюда вытекает следующий прием построения круговой диаграммы:

1. откладываем вектор это хорда О К окружности;
2. от начала вектора по его направлению откладываем отрезок О А, равный в произвольном масштабе а;
3. под углом - к вектору проводим линию изменяющегося параметра AN'
4. проводим прямую OD перпендикулярно линии AN'; прямая OD проходит через центр окружности;
5. из середины вектора восстанавливаем перпендикуляр и продолжаем его до пересечения в точке С с линией OD. Точка С — центр искомой окружности.

Заметим, что «рабочая часть» окружности, т. е. та дуга, по которой перемещается точка М, расположена относительно хорды ОК с той же стороны, где находится линия изменяющегося параметра.

Круговые диаграммы неразветвленной цепи и активного двухполюсника

Рассмотрим схему неразветвленной цепи (рис. 9.3), состоящую из последовательно соединенных элемента с неизменным сопротивлением и приемника с сопротивлением аргумент которого неизменен, а модуль изменяется в пределах от О до Положим для определенности, что . Найдем геометрическое место конца вектора тока при заданном неизменном напряжении

Ток

ничем не отличается от выражения (9.3), в котором соответствует соответствует Следовательно, конец вектора l перемещается по дуге окружности.

Построение круговой диаграммы может быть выполнено в следующем порядке:

1. Выбираем масштаб для напряжения и откладываем вектор (рис. 9.4).
2. Вычисляем ток при , т. е. при коротком замыкании на выводах приемника (п = О).
3. Выбираем масштаб для тока и откладываем вектор Он представится отрезком, повернутым относительно проводим линию изменяющегося параметра_ AN'.
4. Выбираем масштаб сопротивленийи вдоль прямой ОК откладываем отрезок
5. Из точки А под углом к вектору проводим линию изменяющегося параметра_ AN'.
6. Из начала координат проводим прямую
7. Находим центр С круговой диаграммы как точку пересечения прямой OD и перпендикуляра, восстановленного из середины хорды ОК.
8. Проводим дугу круговой диаграммы. Эта дуга ограничена хордой ОК и лежит с той же стороны относительно хорды, где расположена линия AN'.

Ток l для любого значения находим из диаграммы простым построением. Откладываем отрезок и точку N соединяем прямой с точкой О. Отрезок ОМ этой прямой от точки О до пересечения с окружностью и представляет вектор тока При изменении.

от О до точка М (конец вектора I) перемещается от точки К до точки о.

Покажем, как из круговой диаграммы можно получить различные величины, характеризующие режим цепи.

При заданном напряжении на выводах цепи ток пропорционален полной проводимости цепи, поэтому отрезок ОМ может служить мерой полной проводимости цепи. Масштаб для проводимости определим по режиму короткого замыкания, при котором проводимость измеряется отрезком ОК: . В этом же масштабе можно определить активную и реактивную проводимости цепи как проекции отрезка ОМ на ось, совпадающую с вектороми ось ОР, ей перпендикулярную.

Если считается дейстрительным числом (на рис. 9.4 ось действительных величин направлена вверх), то l и .У имеют одинаковые аргументы и круговая диаграмма для тока в масштабе ту является круговой диаграммой комплексной проводимости цепи.

Из диаграммы имеем

Длины отрезков. ОК, ОМ и МК пропорциональны напряжениям и Напряжения можно определять по отрезкам ОМ и МК, пользуясь масштабом . Направления векторов(на диаграмме не показаны) отличаются от направлений векторов на угол.

Длина перпендикуляра MF, опущенного из точки М линию ОР, определяет активную· мощность на входе цепи. Действительно,

где - масштаб мощности

Отрезок OF прямой ОР пропорционален реактивной мощности на входе цепи. Действительно,

Покажем еще, что полную , активную и реактивную мощности можно определить отрезком MG перпендикуляра MF к линии ОР или длиной перпендикуляра МН, опущенного из точки М на хорду ОК, К перпендикуляр КВ на прямую ON. Площадь треугольника ОМК равна:

Угол не зависит от положения точки М. В полученном выражении для площади треугольника ОМК все сомножители, кроме , постоянны. Следовательно, площадь треугольника пропорциональна Так как , то площадь треугольника пропорциональна такжеУ треугольника ОМК сторона ОК постоянна, поэтому его площадь пропорциональна высоте МН (ОК принята за основание треугольника) или отрезку MG, который пропорционален МН.

Масштабы, можно определить, вычислив мощности для любого частного режима и разделив полученные значения на длину отрезка MG.

Например, исходя из режима, отмеченного на диаграмме точкой М, имеем

Пользуясь круговой диаграммой, можно определить зависимости

Для этого, задавшись значением , отложим соответствующий отрезок AN и определим положения точки М - конца вектора [. Затем проведем отрезки М К, М F и М G и замерим их длины; наконец, пользуясь масштабами, вычислим соответствующие этим отрезкам величины. Вообще же по круговой диаграмме можно найти зависимость всех перечисленных выше величин от любой из них, принятой за независимую переменную. Вычерчивая отрезков, изображающих величину, которая принята за независимую переменную, нетрудно построить отрезки, определяющие остальные величины.

Рассмотренная круговая диаграмма для неразветвленной цепи применима к любому активному двухполюснику, сопротивление нагрузки которого изменяется так, что угол Это утверждение следует из принципа эквивалентного генератора, согласно которому активный двухполюсник с сопротивлением нагрузки можно представить схемой по рис. 9.3, в которой входное сопротивление активного двухполюсника, а - напряжение на выводах двухполюсника при холостом ходе.

Пример №40

Построить круговую диаграмму для тока в неразветвленной части цепи рис. 9.5 при изменении емкости С, считая, что остальные параметры цепи , и L, а также частота и напряжение питания неизменны.

Решение:

Ток Ток неизменный, а ток изменяется по круговой диаграмме. Заметим, что в схеме рис. 9.5 соответствуют сопротивлениям и в схеме рис. 9.3 и комплексным величинам (9.2).

Выбрав масштабы , отложим векторы (рис. 9.6). Конец вектора I примем за начало для построения круговой диаграммы тока I Вычислим ток I при коротком замыкании изменяющегося сопротивления, т. е. при , получим Ток совпадает по фазе с напряжением Отложив вектор из конца вектора получим хорду круговой диаграммы тока ·выбрав масштаб отложим отрезок ,. Затем из точки А под углом проведем линию изменяющегося параметра AN'. Перпендикуляр , проведенный из начала диаграммы к линии изменяющегося параметра AN', совпадает с хордой Поэтому перпендикуляр, восстановленный из середины хорды (показан штриховой линией), пересекается с в середине хорды. Эта точка пересечения - центр С круговой диаграммы. Таким образом, в рассматриваемом случае хорда является диаметром окружности. Круговая диаграмма тока - это половина дуги окружности, лежащей слева от (на той стороне, где находится линия изменяющегося параметра). На круговой диаграмме показано положение вектора для некоторого частного значения хе. Так как , то, как видно из построения, конец вектора перемещается по той же полуокружности, по которой перемещается конец вектора На диаграмме отмечены два резонансных режима (токи совпадают по фазе с напряжением {,!): первый резонансный режим получается при Из круговой диаграммы следует, что минимум тока получается вблизи первого резонансного режима, но не при резонансе.

Если , то круговая диаграмма расположится, как указано на рис. 9. 7, а и, очевидно, возможен только один резонансный режим. При (рис. 9. 7, 6) резонанс не получается ни при каком значении емкости С

Круговые диаграммы разветвленных цепей

Если в разветвленной цепи сопротивление одной из ветвей, например сопротивление второй ветви, изменяется, а все остальные сопротивления и ЭДС (токи) источников энергии неизменны, то, как было показано, токи и напряжения любых ветвей связаны линейными зависимостями. Это справедливо и для цепей синусоидального тока. В частности, для тока l I в первой ветви тока l 2 во второй справедливо соотношениегде - комплексные числа. На рис. 9.8 показана разветвленная цепь, в которой выделены источник напряжения в первой ветви и одно

из сопротивлений входящее в состав второй ветви. Остальная часть цепи, которая может содержать источники питания (активная цепь), показана в виде активного четырехполюсника А.

Пусть (модуль сопротивления изменяется, а аргумент q>2 остается неизменным; тогда, рассматривая всю цепь относительно сопротивления как активный двухполюсник, придем к заключению, что конец вектора перемещается по дуге окружности. Покажем, что в этом случае диаграммой тока также является дуга окружности

Пусть дуга (рис. 9.9) представляет круговую диаграмму тока • Умножение приводит к изменению длины вектора раз и к повороту его на угол Поэтому диаграмма вектора представляется дугой окружности ОК', проходящей через точку О, повернутой относительно дуги и имеющей радиус, в b раз больший радиуса дуги . Перенеся дугу ОК' параллельно вектору А на отрезок, равный длине вектора А, получим дугу Конец вектора, как это следует из построения, находится на дуге окружности, т. е. дуга - круговая диаграмма тока. Итак, если в какой-либо ветви разветвленной цепи изменяется только модуль одного из сопротивлений и остаются неизменными ЭДС (токи) всех источников питания, то годографом вектора тока любой из ветвей служит круговая диаграмма. Так каr напряжения и токи любых ветвей связаны линейными зависимостями, то и для всех изменяющихся напряжений получаются годографы - круговые диаграммы

Чтобы определить комплексы линейного соотношения (9.6), нужно знать токи для каких-либо двух ре- у1 жимов при двух различных значениях , например при .

При (т. е. при разомкнутой ветви 2) Согласно (9.6) т. е. коэффициент А равен току в ветви J при разомкнутой ветви 2. При (т. е. при коротком замыкании ветви 2) обозначим токи Подставив эти значения в (9.6), получим

откуда и следовательно Обозначим через , напряжение на разомкнутых выводах ветви 2 и через , входное сопротивление всей остальной цепи, рассматриваемой как активный двухполюсник относительно выводов ветви 2. По принципу эквивалентного генератора

Подставив (9.8) в (9.7), получим

Второе слагаемое имеет такой же вид, как и (9.3), и, следовательно, графически может быть представлено круговой диаграммой с хордойД

ля построения круговой диаграммы тока нужно предварительно определить . Построение круговой диаграммы выполняем в следующем порядке:

1. выбираем масштаб и откладываем вектор (рис. 9.10);
2. выбираем масштаб и откладываем векторы , (отрезок ) и (отрезок ОК). Построение круговой диаграммы приводится для случая
3. соединяем точки , получаем хорду
4. выбираем масштаб и откладываем на хорде отрезок ;
5. проводим прямую изменяющегося параметра AN' под углом , и поэтому на рис. 9.10 этот угол отложен относительно против направления движения часовой стрелки);
6. проводим прямую ;
7. на пересечении перпендикуляра к середине хорды с линией находим центр С круговой диаграммы.

Для любого значения можно отложить отрезок , и на пересечении линии с круговой диаграммой в точке М найти положение конца вектора тока .

Из сказанного выше следует, что дуга , рассматриваемая относительно точки, представляет пропорционально измененную и повернутую на некоторый угол круговую диаграмму активного двухполюсника. Под активным двухполюсником здесь подразумевается вся цепь, представленная на рис. 9.8, за исключением сопротивления Поэтому ток , напряжение , мощности определяются теми же отрезками прямых, которые служили для этой цели в круговой диаграмме двухполюсника. Ток определяется отрезком , напряжение - отрезком МК, а мощности - отрезком МН, или, что удобнее, пропорциональным ему отрезком MG

Для определения масштабов нужно вычислить значения этих величин для каких-либо частных режимов и затем разделить эти значения на длины соответствующих им отрезков диаграммы. Например, вычислим ,. На диаграмме току и напряжению соответствует хорда . Следовательно, масштаб

Пример №41

В цепи, показанной на рис.9.11,:изменяется от О до Построить

круговую диаграмму тока и определить по ней значения в двух режимах при

Решение:

Находим величины, необходимые для построения круговой диаграммы и для определения масштабов:

Выбираем масштаб и откладываем векторы (рис. 9.12). Обратим внимание, что на рис. 9.12 система координатных осей повернута на 90° _против движения часовой стрелки по сравнению с ее обычным расположением. Ось положительных действительных величин направлена вверх, а ось положительных мнимых -влево. Такое расположение осей применяют часто, желая направить вектор напряжения или ЭДС вертикально при нулевой начальной фазе. Заметим, что такое расположение вектора напряжения было и на рис. 9.4 и 9.10. На рис. 9.12 вектор ЭДС не изображен, поскольку он не нужен для решения задачи.

Проводим хорду Выбираем масштаб , и откладываем отрезок ,. Из точки А под углом проводим линию изменяющегося параметра AN'. Опускаем перпендикуляр на линию AN' и восстанавливаем перпендикуляр к середине хорды .

Токизмеряется отрезком ОМ, ток , напряжение - отрезком КМ, сопротивление - отрезком AN.

Масштабы, были выбраны, масштабы Ток I₂=I_2max, если отрезок имеет наибольшую длину, т. е. если точка М занимает положение М₁Напряжение , если отрезок КМ имеет наибольшую длину, т. е. если точка М занимает положение М₂, совпадающее с точкой О. Значения переменных величин, соответствующих точке М₁ , обозначим одним штрихом, а точке М₂ - двумя штрихами. Найдем

В проведенном подсчете учтены следующие соотношения между длинами отрезков, очевидные из рассмотрения диаграммы:

Точка соответствует резонансу токов. Так как рассматривается теоретический случай отсутствия потерь в ветвях 2 и 3, то

Пример №42

Для той же цепи (см. рис. 9.11) построить при изменении круговую диаrрамму для тока и отметить на ней tочки , соответствующие · Найти для этих режимов значения тока

Решение:

При имеем Все остальные параметры, необходимые для построения круговой диаграммы тока , вычислены в предыдущем примере.

Выбрав масштаб , откладываем вектор (рис. 9.13). Так как, то конец- вектора - точка к<-- совпадает с точкой О. Выбрав масштаб откладываем отрезок,. Из точки А под углом проводим линию переменного параметра AN'. Затем определяем центр С окружности и строим круговую диаграмму. Отрезками измеряются соответственно Масштабы были выбраны, масштабы Ток в точке М₁ . Напряжение И = И_1max в точке М₂· Из диаграммы находим 1₃ = l_3x = 7,07 мА и

Частотные годографы

Рассмотренные выше круговые диаграммы являются частным случаем геометрических мест концов векторов, изображающих различные физические величины при изменении одного из параметров цепи. Если изменяемым параметром является не сопротивление или емкость элемента цепи, как это было рассмотрено, а частота источника питания цепи переменного тока, то годограф называют частотным. В этом случае форма диаграммы более сложная и только в простейших случаях изображается окружностью или прямой.

К числу таких простейших случаев относится последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (последовательный контур), для которого частотный годограф комплексного сопротивления Z имеет вид прямой, а проводимости - окружность.

Действительно, построив геометрическое место концов векторов или для цепи, изображенной на рис. 3.8, получим прямую и окружность, изображенные на рис. 9.14, а и б. Здесь точка а на годографе соответствует резонансу напряжений при резонансной частоте

Более сложную форму имеет частотный годограф для комплексных сопротивления и проводимости параллельного соединения индуктивного и емкостного элементов при учете активного сопротивления 'одного из элементов параллельного контура. Так, например, цепь, изображеющегося на рис. 5.5, имеет частотный годограф существенно отличающийся от прямой или окружности. На рис. 9.15, а изображен частотный годограф при для комплексной проводимости цепи

На рис. 9.15,6 и в построены частотные характеристики активной и реактивной составляющих комплексной проводимости цепи:

Интересно отметить, что резонанс наступает при частотеотличной vLC от частоты, при которой имеет место минимум полной проводимости цепи у

Частотные годографы получили широкое распространение в автоматике при описании частотных характеристик передаточных функций различных электрических, электронных и электромеханических четырехполюсников.

Трехфазные цепи

На рис. 10.1 схематично показано устройство генератора переменного тока с тремя обмотками на статоре. Ради упрощения каждая обмотка показана состоящей только из двух проводов, заложенных в диаметрально противоположные пазы статора. Эти провода на заднем торце статора соединены друг с другом (соединения показаны штриховой линией). На переднем торце статора они оканчиваются зажимами А, Х, В, У, С, Z, которые служат для подсоединения внешней цепи.

Наводимые в обмотках ЭДС максимальны, когда ось полюсов ротора пересекает проводники статора. Для разных обмоток это происходит в различные моменты времени. Поэтому наводимые ЭДС не совпадают по фазе.

Понятие о многофазных источниках питания и о многофазных цепях

Генераторы с несколькими обмотками, в которых наводятся ЭДС одинаковой частоты, но сдвинутые относительно друг друга по фазе, называются многофазными генераторами Соответственно любые источники питания, имеющие несколько выводов (полюсов), между которыми создаются напряжения одной и той же частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе, называются многофазными источниками питания. Совокупность электрических цепей с многофазными источниками питания называется многофазной системой электрических цепей. Отдельные ее части называются фазами, например от дельные обмотки генератора называют фазными обмотками, или, кратко, фазами генератора. Таким образом, в электротехнике термин «фаза» имеет два различных значения: он является, с ·одной стороны, понятием, характеризующим стадию периодического процесса, и, с другой стороны, наименованием составной части многофазной системы электрических цепей.

По числу фаз многофазные источники питания и системы цепей подразделяются на двух-, трех-, четырехфазные и т. д. В соответствии с этой классификацией генератор с тремя обмотками (рис. 10.1) - трехфазный, а цепи переменного тока, рассмотренные в предыдущих главах, можно назвать однофазными.

Впервые многофазные системы цепей и многофазные генераторы были применены на практике П. Н. Яблочковым для питания изобретенных им электрических свечей. В его установках обмотки многофазных генераторов присоединялись к электрически не соединенным друг с другом линиям, питавшим отдельные группы свечей. Такого рода многофазные системы цепей получили название несвязанный. В настоящее время вследствие существенных преимуществ применяются многофазные системы цепей, соединенные друг с другом. Такие многофазные системы цепей называются связанными. Способы соединения или связывания цепей рассматриваются ниже. Связанная многофазная система цепей, по существу, образует одну сложную разветвленную цепь, поэтому обычно она называется просто многофазной цепью.

В электроэнергетике вследствие наибольшей экономичности и технического совершенства применяются почти исключительно трехфазные цепи. Все звенья трехфазной цепи, начиная от генератора и кончая двигателем, были изобретены и разработаны известным русским инженером и ученым М. О. Доливо Добровольским.

В установках, преобразующих переменный ток в постоянный, встречаются шести- и, реже, двенадцатифазные цепи. В автоматике и телемеханике применяются двухфазные цепи.

Выводам фазных обмоток генераторов дают наименования «начало» и «конец». В трехфазных генераторах «начала» обозначим первыми буквами латинского алфавита А, В и С, а «концы» - последними буквами Х, У и Z (более сложные обозначения по ГОСТ здесь не рассматриваются). При разметке руководствуются следующим условием: при одинаковых положительных направлениях ЭДС во всех обмотках от «концов» к «началам» (или от «начал» к «концам») ЭДС должны быть сдвинуты по фазе относительно друг друга симметрично. Исключение в этом отношении составляют двухфазные генераторы (см. ниже). Поясним сказанное на примере трехфазного генератора

Покажем, что разметка концов фазных обмоток на рис. 10.1 удовлетворяет принятому условию, т. е. что ЭДС в фазах А, В и С сдвинуты относительно друг друга симметрично на 1/3 периода. Выберем положительные направления ЭДС во всех обмотках от концов к началам. В момент времени, соответствующий положению ротора, показанному на рис. 10.1, ЭДС в обмотке А максимальна и имеет направление, которое принято положительным, т. е. в этот момент ЭДС в обмотке А достигает положительного максимума. Положительный максимум ЭДС в обмотке В наступит позже, когда ротор повернется на 1/3 оборота. Так как один оборот ротора двухполюсного генератора соответствует одному периоду изменения ЭДС в любой обмотке, то

поворот ротора на 1/3 оборота соответствует 1/3 периода и, следовательно, ЭДС в обмотке В отстает по фазе от ЭДС в обмотке А на 1/3 периода. Рассуждая аналогично, можно убедиться, что ЭДС в обмотке С отстает по фазе от ЭДС в обмотке В также на 1/3 периода.

На рис. 10.2 показаны график мгновенных значений и векторная диаграмма ЭДС трехфазного генератора.

При построении графика мгновенных значений (рис. 10.2,а) у ЭДС выбрана начальная фаза т.е. соответсвенно

Им соответствуют комплексные действующие значения:

На диаграмме рис. 10.2, 6 вектор направлен вертикально, так как при расчете трехфазных цепей принято направлять вертикально вверх ось действительных величин.

Порядок, в котором ЭДС в фазных обмотках генератора проходят через одинаковые значения, например через положительные максимумы, называют последовательностью фаз или порядком чередования фаз. При указанном на рис. 10.1 направлении вращения ротора получаем последовательность фаз АВСА и т. д. Если изменить направление вращения ротора на противоположное, то последовательность фаз получится обратной. У генераторов роторы вращаются всегда в одном направлении, поэтому последовательность фаз никогда не изменяется и может быть раз навсегда установлена и обозначена. Ее обозначение связывают с наименованием фаз. Наименования устанавливаются первыми буквами латинского алфавита, причем таким образом, чтобы нормальный порядок букв (А, В и С) соответствовал последовательности фаз

Рассмотренная совокупность ЭДС в обмотках трехфазного генератора называется трёхфазной системой ЭДС. Совокупности ЭДС (напряжений, токов) в многофазных цепях называют многофазными системами ЭДС (напряжений, токов). Эти системы называют симметричными, если все ЭДС (напряжения, токи) равны по амплитуде и если каждая ЭДС (напряжение, ток) . отстает по фазе от предыдущей ЭДС (напряжения, тока) на один и тот же фазный угол, равный 2тс/m, где т - число фаз.

На рис. 10.3,а в качестве примера приведена векторная диаграмма симметричной системы ЭДС шестифазного генератора. Двухфазные генераторы изготовляются таким образом, чтобы ЭДС в одной из обмоток была сдвинута по фазе относительно ЭДС другой обмотки на 1/4 периода. Векторная диаграмма системы ЭДС двухфазного генератора приведена на рис. 10.3, 6, эта система ЭДС · несимметрична.

Соединения звездой и многоугольником

Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и приемников в многофазных цепях: соединение звездой и соединение многоугольником. Например, соединение генератора и приемника звездой показано на рис. 10.4, а соединение треугольником - на рис. 10.5.

При соединении звездой (рис. 10.4) все «концы» фазных обмоток генератора и ветвей звезды приемника называют нейтральными (нулевыми) точками, а соединяющий их провод - нейтральным (нулевым) проводом. Остальные провода, соединяющие обмотки генератора с приемником, называют линейными. При соединении треугольником (рис. 10.5) или многоугольником фазные обмотки генератора соединяются последовательно таким образом, чтобы «начало» одной обмотки образовало с «концом» другой обмотки общую точку. Общие точки каждой пары фазных обмоток генератора и общие точки каждой пары ветвей приемника соединяются линейными проводами.

На первый взгляд может показаться, что соединение обмоток генератора треугольником (многоугольником) равносильно короткому замыканию, как это было бы при подобном соединении, например, гальванических элементов. На самом деле при симметричной системе ЭДС сумма ЭДС, действующих в контуре треугольника (многоугольника), в любой момент времени равна нулю. Убедиться в этом можно хотя бы из рассмотрения векторной диаграммы и кривых мгновенных значений ЭДС трехфазного генератора (см. рис. 10.2).

Заметим, что схемы рис. 10.4 и 10.5 можно представить получающимися из схем несвязанных трехфазных цепей, показанных на рис. 10.6, путем объединения друг с другом проводов, вычерченных рядом.

Схемы соединения обмоток источников . питания и приемников не зависят друг от друга. В одной и той же цепи могут быть источники питания и приемники с разными схемами соединений.

Лучи звезды или ветви многоугольника приемника называют фазами приемника, а сопротивления фаз приемника - фазными сопротивлениями. ЭДС, наводимые в фазных обмотках генератора или трансформатора, напряжения на их выводах, напряжения на фазах приемниках и токи в них называют соответственно фазными Э Д С, напряжениями и токами Напряжения между линейными проводами и токи в них называют линенйными напряжениями и токами При соединении фаз звездой линейные токи равны фазнымПри соединении фаз многоугольником линейное напряжение между проводами, присоединенными к одной и той же фазе приемника или источника питания, равно соответствующему фазному напряжению

Положительные направления токов во всех линейных проводах выберем одинаковыми от источника питания к приемнику, а в нейтральном проводе - от нейтральной точки приемника к нейтральной точке источника питания. Положительные направления напряжений в ветвях звезды источника питания выберем от начал обмоток к нейтральной -точке: (см. рис. 10.4), у приемника - также от начал обмоток к нейтральной точке: Положительные направления ЭДС и токов в ветвях треугольника источника питания будем обычно выбирать в направлении АСВА, а напряжений и токов в ветвях треугольника приемника - в направлении аbса (см. рис. 10.5).

Многофазную цепь и многофазный приемник называют симметричными, если комплексные сопротивления всех фаз одинаковы. В противном случае их называют несимметричными.

Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная система напряжений, то получается симметричная система токов. Режим многофазной цепи, при котором многофазные системы напряжений и токов симметричны называется симметричным.

Симметричный режим трехфазной цепи

На рис. 10.7 приведены топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов при симметричном режиме для схемы на рис. 10.4 и индуктивном характере нагрузки

Ток в нейтральном проводе отсутствует

поэтому при симметричном приемнике нейтральный провод не применяют. Линейные напряжения определяются как разности фазных напряжений:

Из равнобедренного треугольника ANB имеем

или

На рис. 10.8 приведены векторные диаграммы напряжений и токов при симметричном режиме и для ·схемы рис. 10.5. Линейные токи определяются как разности фазных токов:

причем

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

Принимая во внимание, что при соединении ветвей приемника звездой а при соединении ветвей приемника треугольником , получим независимо w вида соединения

Следует помнить, что в этом выражении - сдвиг по фазе между фазным напряжением и фазным током. Аналогично для реактивной и полной мощностей симметричного трехфазного приемника имеем

Определим суммарную мгновенную мощность трехфазного приемника при симметричном режиме. Запишем мгновенные значения фазных напряжений и токов, приняв начальную фазу напряжения равной нулю:

и выражения для мгновенных значений мощностей каждой фазы приемника:

При суммировании мгновенных значений мощностей отдельных фаз вторые слагаемые в сумме дадут нуль. Поэтому суммарная мгновенная мощность

не зависит от времени и равна активной мощности. Многофазные цепи, в которых мгновенное значение мощности постоянно, называются уравновешенными.

Заметим, что в двухфазной симметричной цепи (рис. 10.9) с несимметричной системой ЭДС источника питания (см. рис. 10.3, 6) система токов также несимметрична, однако цепь является уравновешенной, так как сумма мгновенных значений мощностей в фазах постоянна. Это можно показать тем же путем, каким была показана уравновешенность симметричной трехфазной цепи.

Постоянство мгновенных значений мощности создает благоприятные условия для работы генераторов и двигателей с точки зрения их механической нагрузки, так как отсутствуют пульсации вращающего момента, наблюдающиеся у однофазных генераторов и двигателей.

Рассматривая симметричные режимы связанных трехфазных цепей, легко показать преимущество последних в экономическом отношении по сравнению с несвязанными трехфазными системами цепей. У несвязанной трехфазной системы цепей шесть проводов с токами . Трехфазная цепь без нейтрального провода, которая питает те же самые приемники, соединенные звездой, имеется только три провода с теми же токами и линейными напряжениями, в раз большими линейных напряжений в несвязанной трехфазной системе цепей, для которой . В случае соединения приемников треугольником также получается вдвое меньше проводов, чем в несвязанной трехфазной системе цепей (три вместо шести), при этом токи в линейных проводах больше фазных токов не в 2 раза, а только в раз. Это· позволяет уменьшить затраты материала на провода.

Некоторые свойства трехфазных цепей с различными схемами соединений

В трехфазных цепях, питающих однофазные приемники (электросварочные аппараты, однофазные двигатели, электрические лампы и различные бытовые электроприборы), при изменении числа включенных приемников напряжение на их зажимах не должно по возможности изменяться.

Это условие выполняется как при соединении приемников звездой с нейтральным проводом, так и при соединении их треугольником.

На рис. 10.10 в качестве примера приведены соответствующие схемы включения электрических ламп. Если принять, что напряжения на выводах источника питания (А, В, С и N) поддерживаются неизменными, и пренебречь падением напряжения в проводах, то в обеих схемах напряжения на лампах не отличаются от напряжений на выводах источника питания и неизменны независимо от числа и мощности включенных в каждой группе ламп. Если оборвать нейтральный провод в схеме на рис. 10.10, а, то между нейтральной точкой n приемника; и нейтральной точкой· N источника питания появится напряжение. Фазные напряжения на лампах будут зависеть от соотношения их сопротивлений во всех трех группах и будут изменяться при изменениях числа ламп, включенных в какой-либо группе. Поэтому соединение групп ламп звездой без нейтрального провода не применяется. При наличии нейтрального провода в случае перегорания предохранителя в одном из проводов магистральной линии, например в проводе А (рис. 10.10, а), гаснут лампы, присоединенные только к этому проводу, остальные лампы имеют нормальный накал. В этом же случае в схеме треугольника (рис. 10.10, б) под нормальным напряжением останется только одна группа ламп в ветви · ВС. Две другие ветви треугольника окажутся соединенными последовательно, питаются эти ветви по-прежнему от магистральных проводов В и С. Лампы в этих ветвях треугольника будут иметь неполный накал. Напряжения между ветвями АВ и СА распределятся пропорционально их сопротивлениям. Чем больше включено ламп в одну из ветвей, например в АВ, тем ярче будут светить лампы в другой ветви СА (увеличение числа включенных ламп уменьшает сопротивление ветви).

Трехфазная цепь с нейтральным проводом обладает тем преимуществом, что может питать приемники, рассчитанны для работы при различных напряжениях. Приемники в такой цепи можно включать между линейными проводами на линейное напряжение и между линейными проводами и нейтральным проводом на фазное напряжение. Низковольтные трехфазные цепи с нейтральными проводами, обычно встречающиеся на практике, имеют напряжения

Пример №43

Источник питания и приемник, состоящий из трех одинаковых резисторов с сопротивлениями соединены по схеме звезда с нейтральным проводом (рис. 10.11, а). Фазные напряжения источника питания симметричны и не изменяются при переключениях рубильников и изменениях нагрузки, указанных в задании. Дано: = 220 Требуется построить топографические диаграммы цепи и векторные диаграммы токов для следующих режимов:

1. Симметричный режим (рубильники 1 и З замкнуты, рубильник 2 разомкнут).
2. Положение рубильников то же, что и в п. 1, но резистор с сопротивлением заменен конденсатором с равным емкостным сопротивлением.
3. Рубильники 1 и 2 разомкнуты, а рубильник З замкнут.
4. Все рубильники (1, 2 и З) разомкнуты.
5. Рубильники 1 и 2 замкнуты, а рубильник З разомкнут

Решение:

1. Для симметричного режима цепи ее топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов показаны на рис. 10.11, 6 и в, фазные напряжения приемника и источника питания одинаковы и равны = 127 В. Векторы фазных токов имеют одинаковые направления с векторами соответствующих фазных напряжений (активная нагрузка). Ток в нейтральном проводе отсутствует.

2. При замене сопротивления равным емкостным сопротивлением напряжения на фазах приемника не изменяются. Токи и остаются прежними, а у тока сохраняется прежнее действующее значение 1 А, но он теперь опережает по фазе напряжение !!.. на угол . Топографическая диаграмма цепи для этого случая прежняя (рис. 10.11, 6), а векторная диаграмма токов показана на рис. 10.11, г. Ток в нейтральном проводе равен сумме фазных токов = причем получается Заметим, что если дополнительно разомкнуть рубильник З, то = О, однако при этом потенциалы точек -N и n станут различными, фазные напряжения и действующие значения токов во всех фазах изменятся. Рассчитать их для этого режима проще всего методом узловых потенциалов.

3. После размыкания рубильника 1 потенциал точки а становится равным потенциалу точки n. Других изменений в топографической диаграмме (рис. 10.11, 6) не происходит. Векторная диаграмма токов для этого случая приведена на рис. 10.11, д. Из нее находим = 1 А.

4. Если дополнительно разомкнуть рубильник З, то потенциалы точек n и N становятся различными. Резисторы в фазах В и С получаются соединенными последовательно. На каждый из этих резисторов приходится половина линейного напряжения Ha топографической диаграмме точки n и а располагаются на середине отрезка ВС (рис. 10.11, е).

Из топографической диаграммы находим напряжения между нейтральными точками N, n и между разомкнутыми концами фазы А:

Рис. 10.11

Напряжения на резисторах уменьшаются в раз, во столько же раз уменьшаются токи в резисторах Векторная диаграмма токов для этого случая показана на рис. 10.11, ж.

5. При замкнутых рубильниках 1 и 2 и разомкнутом рубильнике 3 потенциалы точек А, а и n одинаковы (рис. 10.11,з). Напряжения на резисторах равны линейным напряжениям: Вследствие этого раз больше чем в симметричном режиме, Ток находим из векторной диаграммы (рис. 10.12, и):

Пример №44

Три одинаковых резистора соединены треугольником (рис. 10.12; а). Симметричная система линейных напряжений 220 В не изменяется при отключении рубильников 1 и 2 и изменении нагрузки. При замкнутых рубильниках 1 и 2 линейные токи = 1 А.

Требуется построить топографические диаграммы цепи и векторные диаграммы токов для следующих режимов:

1. Симметричный режим (рубильник и 2 замкнуты).
2. Рубильник разомкнут, рубильник 2 замкнут.
3. Рубильник 2 разомкнут, рубильник замкнут.
4. Рубильники 1 и 2 замкнуты, и резистр в фазе заменен конденсатором с емкостным сопротивлением, равным сопротивлению резистора

Решение:

l. Для симметричного ре жима топографическая диаграмма цепи и векторная диаграмма токов показаны на рис. 10.12, 6 и в. Токи в фазах приемника в раз меньше линейных токов: Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами напряжений (активная нагрузка). Линейные токи определяются как разноти фазных токов:

2. При разомкнутом рубильнике 1 ток = 0 Потенциал точки одинаков с потенциалом точки с. Токи остаются без изменения, поэтому прежнее значение имеет и ток Токи и изменяются:

Векторная диаграмма токов приведена на рис. 10.12, г

3. При разомкнутом рубильнике 2 и замкнутом рубильнике 1 резисторы в ветвях соединены последовательно. На каждыйг,из этих резисторов приходится половина 1щнейного напряжения Иb,• На топографической диаграмме (рис. 10.12, д) точка а располагается на середине отрезка Напряжение между разомкнутыми концами фазы

Рис. 10.12

Напряжения на резисторах ветвей и по сравнению с симметричным режимом уменьшаются в 2 раза. Во столько же раз уменьшают токи в этих ветвях Токи находим по векторной диаграмме (рис. 10.12, е):

4. Топографическая диаграмма цепи та же, что и в первом случае. Векторная диаграмма токов приведена на рис. 10.2, ж. Из нее находим

Пример №45

Определить, во сколько раз изменятся линейные токи, если резисторы предыдущего примера (рис. 10.12, а) соединить звездой и включить на· те же линейные напряжения (звезда без нейтрального провода).

Решение:

В случае треугольника резисторы находились под линейным напряжением и токи в них были При соединении звездой резисторы находятся под напряжением и, следовательно, токи в них уменьшаются в раз и станут равными где - прежнее значение линейноrо тока. В случае соединения звездой токи в линии и фазах приемника одинаковы; таким образом, линейные токи в схеме соединения звездой в 3 раза меньше линейных токов в схеме соединения треугольником.

Расчет симметричных режимов трехфазных цепей

Для ознакомления с расчетами симметричных режимов рассмотрим порядок расчета токов в симметричной цепи рис. 10.13. Пусть напряжения на выводах источника питания симметричны и заданы и пусть известны сопротивления всех элементов цепи 1, 2, 3 и 4. Для выполнения расчета проще всего преобразовать схему, заменив соединения треугольниками источника питания и элементов 4 на соединении звездами. Сопротивления фаз симметричной звезды в 3 раза меньше сопротивлений фаз эквивалентного симметричного треугольника. Фазные напряжения эквивалентного источника питания, соединенного звездой, в раз меньше заданных линейных напряжений. Таким образом, получается схема, показанная на рис. 10.14

Все нейтральные точки в симметричном режиме имеют одинаковый потенциал. Поэтому, не нарушая режима, соединим их проводом без сопротивления (показан штриховой линией). Затем удалим из схемы две фазы, например В и С, и перейдем к схеме на рис. 10.15. Это не изменит режима оставшейся фазы А.

Действительно, уравнения, составленные по законам Кирхгофа, для узла и для контуров для схем, показанных на рис. 10.14 и 10.-15, одинаковы, а следовательно, токи и напряжения в фазе А обеих схем также одинаковы. Токи в фазе А легко рассчитываются по однофазной схеме (рис. 10.15), например, методом ее дальнейшего преобразования - заменой параллельного соединения ветвей и эквивалентным сопротивлением. Токи в фазах В и С по модулю такие же, что и в фазе А. Токи в ветвях треугольника 4 в раз меньше токов в элементах 3 (в каждом из элементов любой из групп ток сдвинут по фазе по отношению к токам в других элементах той же группы на равные углы ± 120° ).

Для расчета симметричных режимов в сложных разветвленных трехфазных цепях широко применяют моделирование соответствующих однофазных схем

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Рис. 10.15

Рис. 10.16

Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей со статической нагрузкой

При расчете симметричных режимов трехфазных цепей двигатели можно заменять эквивалентными схемами, состоящими из трех одинаковых сопротивлений, соединенных звездой или треугольником. Падения напряжения в фазах генератора, если это необходимо, могут учитываться как напряжения на трех одинаковых сопротивлениях. Такие простые эквивалентные схемы для двигателей и такой простой учет падений напряжения в генераторах оказываются непригодными для расчета несимметричных режимов. Анализ процессов в трехфазных электрических машинах (двигателях и генераторах) при несимметричных режимах показывает, что для них справедливы более сложные эквивалентные схемы, не удовлетворяющие принципу взаимности. В настоящее время для расчета несимметричных режимов в трехфазных цепях с трехфазными двигателями почти исключительно пользуются . специальным методом расчета - методом симметричных составляющих, который рассмотрен в следующей главе.

Ограничимся исследованием несимметричных режимов цепей при следующих двух условиях:

1. имеется только статическая нагрузка (нет электродвигателей);
2. падения напряжения в фазах генератора не учитываются.

При двух указанных ограничениях расчеты несимметричных режимов трехфазных цепей не содержат ничего принципиально нового и могут выполняться любыми методами, известными из предыдущих глав.

Пусть заданы несимметричные .Фазные напряжения на выводах несимметричного приемника (рис. 10.16). · Определим токи. Заданные напряжения можно всегда приписать источникам ЭДС (показаны штриховой линией)

В схеме два узла, поэтому целесообразно применить для расчета метод узловых потенциалов. Обозначив напряжение между нейтральными, точками приемника и источника питания через найдем см еще ни е нейтрали

(10.9)

где - проводимости ветвей, и ТОКИ

(10.10)

В предельном случае при имеем и следовательно, напряжения на фазах приемника равны фазным .напряжениям источника питания. ripи этом условии ток в каждой фазе может быть вычислен по закону Ома независимо от токов остальных фаз.

При отсутствии нейтрального провода расчет можно вести в таком же порядке. Изменится лишь выражение для напряжения поскольку а именно

(10.11)

Однако обычно при отсутствии нейтрального провода бывают заданы не фазные, а линейные напряжения на выводах цепи. Сумма линейных напряжений равна нулю как сумма напряжений вдоль замкнутого контура, соединяющего выводы А, В и С:

Учитывая эту связь, достаточно задать два J1инейных напряжения. Можно, например, их задать двумя источниками напряжения (рис. 10.17) с ЭДС Так как в схеме рис. 10.17 потенциалы точек N и А одинаковы, то

(10.12)

Рассмотрим простейшую схему с несимметричным приемником, соединенным треугольником (рис. 10.18). Если известны линейные напряжения между выводами А', В', С', к которым присоединены фазы приемника, то задача определения токов элементарно проста. Ток в каждой ветви треугольника определяется по закону Ома, а затем находятся токи в проводах питающей линии.

Однако обычно бывают известны напряжения не на выводах приемника, а на выводах А, В, С источника питания, поэтому расчет несколько усложняется. Проще всего его провести, заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой. в результате получается" схема на рис. 10.17, и токи в ней рассчитываются, как указано выше. По найденным токам определяются напряжения на выводах треугольника в исходной схеме (рис. 10.18) и затем токи в ветвях треугольника.

Рис. 10.17

Рис. 10.18

К преобразованию схемы следует прибегать и в случае цепи с несколькими приемниками, имеющими различные схемы соединений. Так, например, при расчете токов в цепи, представленной на рис. 10.19, звезду 2 следует преобразовать в эквивалентный треугольник, ветви которого будут параллельны ветвям треугольника 3. После замены каждой пары параллельных ветвей треугольников одной ветвью получается рассмотренная выше схема (рис. 10.18).

Заметим, что преобразование треугольника 3 в звезду не дало бы возможности продолжить упрощение схемы. Потенциалы нейтральных точек получившейся звезды и звезды 2 в общем случае различны, и нейтральные точки этих звезд нельзя соединять друг с другом.

Если элементы цепи индуктивно связаны друг с другом, то расчет может быть выполнен, например, путем решения уравнений Кирхгофа, составленных для токов в ветвях или же для контурных токов. В ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам

Рис. 10.19

Напряжения на фазах приемника в некоторых частных случаях

Пусть приемник соединен звездой (см. рис. 10.17). Проводимости фаз

=Фазные напряжения при заданных линейных напряжениях определяются на топографической диаграмме положением нейтральной точки 11, для определения положения которой обратимся к выражению (10.12). Рассмотрим некоторые частные случаи.

Симметричный приемник при несимметричных линейных напряжениях

При вектор напряжения

равен одной трети диагонали параллелограмма (рис. 10.20). Отсюда следует, что нейтральной точке n на топографической диаграмме соответствует центр тяжести треугольника линейных напряжений.

Приемник с однородными сопротивлениями фаз одно из которых изменяется.

При проводимости изменяющейся от О до , получим

Рис. 10.20

В этом выражении все величины постоянны. кроме При изменении аргумент остается неизменным; следовательно, направление вектора сохраняется, а длина его изменяется. Конец вектора описывает прямую линию (получается линейная диаграмма). Для построения этой прямой достаточно найти любые две точки, через которые она проходит. При = О) имеем и точка n совпадает на топографической диаграмме с точкой А (рис, 10.21). При = О получимПоэтому отличаются по фазе на 180° ; следовательно, точка n находится на отрезке, соединяющем точки В и С. Ее положещ1е на этом отрезке определяется отношением (на рис. 10.21 положение точки n при показано для случая Прямая, соединяющая точки А и n - это годограф, описываемый точкой n при изменении

Приемник с неоднородными сопротивлениями фаз, одно из которых изменяется.

Пусть изменяется от О до . Напряжение

где

Выражение для совпадает по своей структуре с выражением. Там было показано, что при изменении п конец вектора М описывает дуrу окружности. Следовательно, rодоrрафом потенциала точки п при изменении будет круrовая диаrрамма. Выполним ее построение при симметричных линейных напряжениях.

Рис. 10.21

Рис. 10.22

На топоrрафической диаrрамме (рис. 10.22) эти напряжения представлены равносторонним треуrольником АВС. Отложим хорду диаrраммы Началом круrовой диаrраммы является точка А, она соответствует при этом вектор обращается в нуль. Конец хорды находится в точке D. Хорда AD соответствует вектору при значении переменноrо параметра аналоrично тому, как вектор М0 представляет собой М при Выбрав масштаб для проводимостей отложим от начала хорды (точка А) по направлению к ее концу (точка D) отрезок AF, равный и затем из точки F под уrлом к хорде AD проведем линию изменяющеrося параметра Перпендикуляр, опущенный из начала диаrраммы (из точки А) на линию изменяющеrося параметра, совпадает с хордой и пересекается с перпендикуляром, восстановленным к середине хорды, в середине хорды. Таким образом, центр круrовой диаграммы находится в середине хорды, которая в данном случае является диаметром. На топографической диаграмме показано положение точки n в частном случае при

Рис. 10.23

Напряжения на одинаковых резистивных элементах в фазах В и С получаются неодинаковыми. Если в качестве этих элементов взять лампы, то лампа в фазе В будет светить ярче, чем в фазе С. Поэтому две лампы и конденсатор, включенные по схеме рис. 10.23, а, применяют как указатель последовательности фаз. Напряжение на лампе, которая светит ярко, опережает по фазе напряжение на лампе, которая светит тускло

Можно вместо конденсатора включить катушку (рис. 10.23, б). Накал ламп будет также неодинаковым. Однако в этом случае больший накал наблюдается у лампы, на которой напряжение отстает по фазе ог напряжения на лампе, светящейся тускло. Показать это можно, заменив в фазе А ( см. рис. 10.1 7) переменный емкостный элемент переменным индуктивным. Годографом потенциала точки п будет дуга окружности, показанная на диаграмме (см. рис. 10.22) штриховой линией.

Эквивалентные схемы трехфазных линий

Чтобы упростить задачу составления эквивалентной схемы линии, рассмотрим отдельно различные стороны электромагнитного процесса. Сначала обратим внимание только на магнитное поле, а поле электрическое и преобразование электромагнитной энергии в тепло учитывать не будем (примем активные сопротивления всех участков линии равными нулю). На рис. 10.24 представлен поперечный разрез трехфазной линии. Роль нейтрального провода выполняет земля.

Рис. 10.24

Ток в земле обычно учитывают токами в трех фиктивных проводах, оси которых находятся на расстоянии от осей проводов линии. Это расстояние называют эквивалентной глубиной протекания обратного тока. Оно зависит от частоты переменного тока и от удельной проводимости грунта. В качестве среднего значения при частоте принимают = 1 ООО м

При таком учете тока в земле получаются три петли, каждая из которых состоит из реального и из фиктивного проводов. Индуктивности петель провод - земля одинаковы: взаимные индуктивности петель различны. Для того чтобы линии были симметричными элементами трехфазной цепи и не обусловливали несимметричного режима, их выполняют с круговой перестановкой или с так называемой транспозицией проводов. Вся длина линии делится на кратные трем равные части (на рис. 10.'25 длина линии разделена на три части). Каждый провод на трех участках занимает три различных возможных положения, и, таким образом, все провода находятся в одинаковых условиях, при этом

Чтобы установить, как в эквивалентной схеме линии следует учитывать индуктивности L и взаимные индуктивности М, рассмотрим связь между токами и напряжениями в линии, когда все провода на одном конце линии замкнуты на землю, а на другом конце линии между проводами и землей включены три источника напряжения

Рис. 10.25

Рис. 10.26

По второму закону Кирхгофа

Ток в земле откуда

Подставив последнее соотношение в выражение для получим

Аналогично

Из этих уравнений видно, что для учета магнитного поля рассматриваемой симметричной линии справедлива схема, показанная на рис. 10.26, в которой называется индуиктивностью фазы симметричной трехфазной линии.

Рассмотрим теперь электрическое поле линии. С электрическим полем линии связаны заряды на поверхностях проводов линии и на поверхности земли. Для их учета вводят между всеми проводами и землей частичные емкости, показанные на рис. 10.27 штриховой линией. Частичные _емкости зависят от размеров проводов, их расположения относительно друг друга и относительно земли. Для линии с транспозицией проводов

Рис. 10.28

Таким образом, для учета электрического поля справедлива эквивалентная схема, приведенная на рис. 10.28. Составим теперь общую эквивалентную схему, учитывающую магнитное и электрическое поле, а также активное сопротивление линии. Для любого сколь угодно малого участка линии на схеме нужно ввести частичные емкости, индуктивности, взаимные индуктивности и сопротивления, а также учесть проводимость изоляции. В результате получится схема с бесконечно большим числом элементов. Объясняется это тем, что параметры линии распределены вдоль всей ее длины. Линия как цепь с распределенными параметрами. Для практических расчетов при частоте тока 50 Гц, длине воздушной линии, не превышающей 300 км, а кабельной линии 50 км, вполне пригодны упрощенные расчетные схемы, в которых частичные емкости предполагаются сосредоточенными либо в середине линии, либо разделенными поровну между ее концами. Проводимостью изоляции обычно пренебрегают.

На рис. 10.29 представлена полная эквивалентная схема симметричной линии с учетом частичных емкостей линии на ее концах. В этой схеме соединения треугольниками частичных емкостей между проводами преобразованы в соединения звездами с емкостями в лучах - активное сопротивление провода, активное сопротивление земли.

Для симметричных' режимов можно пользоваться эквивалентной схемой для одной фазы (рис. 10.30). Если считать все частичные емкости сосредоточенными в середине линии, то для симметричного режима получается схема, показанная на рис. 10.31. В этих схемах в проводах элементы отсутствуют, так как в симметричном режиме тока в земле нет. Емкость называется емкостью фазы линии.

В воздушных линиях электропередачи с напряжением ниже 35 кВ влияние емкостей линии на режим цепи невелико, и их обычно не учитывают. В некоторых типах линий низкого напряжения можно ограничиться учетом только активного сопротивления проводов.

Рис. 10.29

Рис. 10.30

Рис. 10.31

Измерение мощности в трехфазных цепях

Выясним, сколько ваттметров нужно включить для измерения активной мощности в трехфазной цепи при любом несимметричном режиме.

На рис. 10.32 прямоугольником условно показана сколь угодно сложная цепь, питаемая трехфазной линией с нейтральным проводом. Фазные напряжения на входе линии с нейтральным проводом всегда можно приписать трем источникам напряжения (показаны штриховой линией). Из этого следует, что для измерения активной · мощности. в трехфазной линии с нейтральным проводом нужно включить три ваттметра, как, показано на рис. 10.32 (ваттметры измеряют активные мощности источников напряжения).

Рис. 10.32

Рис. 10.33

В цепи без нейтрального провода (рис. 10.33) линейные напряжения на входных выводах всегда можно рассматривать получающимися от двух источников напряжения, например, включенных так, как показано штриховой линией на рис. 10.33. Следовательно, активная мощность передачи энергии по линии без нейтрального провода может быть измерена двумя ваттметрами. Следует иметь в виду, что возможны такие режимы работы цепи, при которых стрелка того или иного ваттметра отклоняется в обратную сторону, несмотря на правильное включение ваттметра в цепь. Тогда, чтобы сделать отсчет по шкале, нужно изменить подключение обмотки напряжения или обмотки тока соответствующего ваттметра на противоположное. Измеренную после этого мощность следует считать отрицательной. Пример подобного случая приводится ниже.

Выясним зависимость мощности, измеряемой каждым из ваттметров в схеме рис. 10.33, от сдвига фаз между напряжениями и токами в частном случае симметричного режима. На рис. 10.34 показана векторная диаграмма токов и напряжений. Линии, соединяющие центр тяжести треугольника напряжений с его вершинами, можно рассматривать как фазные напряжения эквивалентного приемника, соединенного звездой.

На основании схемы включения одноименных выводов ваттметров и руководствуясь векторной диаграммой, можно записать

Как следует из этих выражений, показания ваттметров одинаковы только при . При получаем При имеем , а при получаем . При имеем . Таким образом, при стрелка одного из ваттметров отклоняется в обратную сторону

Вращающееся магнитное поле

Одним из основньrх преимуществ многофазных токов является возможность получения вращающихся магнитных полей, лежащих в основе принципа действия наиболее распространенных типов двигателей переменного тока. Вращающееся магнитное поле было получено физиком Г. Феррарисом в 1884 г., однако он пришел к ошибочному заключению о невыгодности его применения для создания электродвигателей.

В 1887-1888 гг. инженер-физик Н. Тесла сконструировал двухфазный асинхронный двигатель , а в 1889 г. М. О. Доливо-Добровольский изобрел и построил трехфазный асинхронный 'двигатель: Н. Тесла в последующие годы вел работы по внедрению двухфазных двигателей, генераторов и электропередач в США. Одновременно М. О. ДоливоДобровольский разрабатывал все звенья трехфазной системы и внедрял ее в Европе. Подлинным триумфом трехфазной системы токов явилась установка по передаче энергии на расстояние 175 км от Лауфенского водопада до Франкфурта-на-Майне, осуществленная М. О. Доливо-Добровольским в 1891 г. Преимущества трехфазной системы были несомненны, и она быстро получила общее признание и повсеместное применение.

Ознакомимся на простейшем примере с получением вращающегося магнитного посредством трехфазной системы токов.

Расположим три одинаковые катушки 1, 2 и 3 под углом 120° относительно друг друга. На рис. 10.35, а они показаны в поперечном разрезе. Подключим катушки 1, 2 и 3 соответственно к фазам А, В и С источника питания таким образом, чтобы токи были симметричны (рис. 10.35, 6) при показанных на рис. 10.35, а положительных направлениях токов. Рассмотрим схематические картины магнитного поля для различных следующих друг за другом моментов времени. Пусть первый из рассматриваемых моментов времени соответствует совпадению линии времени с вектором, при этом .и Направления токов в катушках и схематическая картина магнитного поля показаны на рис. 10.36, а, где штриховой линией изображены две магнитные линии. Для момента времени, соответствующего положению линии времени, отмеченному цифрой 2, Направления токов в катушках и схематическая картина поля даны на рис. 10.36, 6.

Далее на рис. 10.36, в и г показаны направления токов и схематические картины поля для моментов времени, соответствующих положениям 3 и 4 линии времени. Сопоставление схематических картин магнитного поля, приведенных для различных следующих друг за другом моментов времени, наглядно показывает вращение магнитного поля. Продолжив анализ, можно убедиться, что в течение одного периода переменного тока магнитное поле таких катушек совершает один полный оборот.

Направление вращения магнитного поля зависит исключительно от последовательности фаз токов в катушках. Если сохранить подключение катушки 1 . к фазе А источника питания, катушку 2 подключить к фазе С, а катушку 3 - к фазе В, то направление вращения поля изменится на противоположное. В этом можно убедиться, построив схематические картины магнитного поля для различных моментов времени аналогично тому, как это было показано выше:

Движущиеся в пространстве магнитные поля, частным случаем которых является рассмотренный пример, широко применяются в различных областях электротехники. Для получения движущегося магнитного поля нужно иметь минимум две пространственно смещенные обмотки с несовпадающими по фазе токами

Принципы действия асинхронного и синхронного двигателей

Поместим между неподвижными катушками (рис. 10.37) в области вращающегося магнитного поля укрепленный на оси подвижный металлический барабан. Если магнитное поле вращается по направлению движения часовой стрелки, то барабан относительно поля вращается в обратном направлении. Приняв это во внимание, по правилу правой руки найдем направление наведенных в барабане токов (на рис. 10.37 указаны крестиками и точками). Затем, применив правило левой руки, убедимся, что взаимодействие этих токов с магнитным полем дает силы, приводящие в движение барабан в том же направлении, в каком вращается магнитное поле. Частота вращения барабана меньше частоты вращения магнитного поля относительно катушек, так как при одинаковых угловых скоростях прекратилось бы наведение токов в барабане и, следовательно, не было бы сил, создающих вращающий момент.

Рассмотренное простейшее устройство поясняет принцип действия трехфазных асинхронных двигателей. Слово «асинхронный» заимствовано из греческого языка и означает неодновременный. Этим словом подчеркивается различие в частотах вращения поля и ротора - подвижной части двигателя.

Поместим между неподвижными катушками (рис. 10.38) в область вращающегося магнитного поля укрепленный на оси подвижный элекгромагнит, питаемый постоянным током. На электромагнит действует вращающий момент, направление которого изменяется 2 раза за каждый оборот магнитного поля. Вследствие периодического изменения на!1равления вращающегося момента и инерции подвижной системы электромагнит остается неподвижным. Однако если его привести во вращение посредством какого-либо приспособления с угл_овой скоростью, близкой к угловой скорости вращающегося поля, то он будет продолжать вращаться и достигнет частоты вращения, одинаковой с частотой вращения поля. Рассмотренное устройство поясняет принцип действия трехфазных сихронных двигателей. Греческое слово «синхронный» означает одновременный. Этим словом подчеркивается одинаковая частота вращения поля и ротора.

В электрических машинах для вращающегося магнитного поля создается магнитная цепь. Статор - неподвижная часть машины, выполняется в виде полого цилиндра, собранного из отдельных изолированных друг от друга стальных листов. Ротор - подвижная часть машины - в асинхронных двигателях выполняется в виде стального цилиндра, обычно также собранного из стальных листов с обмоткой, размещенной в пазах на его поверхности.

Метод симметричных составляющих

Для анализа и расчетов несимметричных режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы вели- · чин (токов, напряжений, магнитных потоков) в виде суммы в общем случае трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются ее симметричными составляющими и. Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования фаз, т. с. порядком, в котором фазные величины проходят через максимум, и называются системами п р ямой, обратной и нулевой последовательностей.

Обозначим трехфазную систему величин (токов, напряжений, магнитных потоков) для общности буквами Величины, относящиеся к системам прямой, обратной и нулевой последовательностей, отметим соответственно индексами 1, 2 и О. На рис. 11.1 показан пример векторных диаграмм симметричных составляющих всех трех последовательностей. Система прямой последовательности имеет порядок следования фаз А, В, С.

Система обратной последовательности имеет порядок следования фаз А, С, В. Система нулевой последовательности состоит из трех одинаковых величин, совпадающих по фазе. Для этихт трех систем можно записать

Комплексное число называется фазным множителем сокращенно обозначается буквой а:

Умножение вектора на а соответствует повороту его против направления движения часовой стрелки (вперед) на 120° или повороту по направлению движения часовой стрелки (назад) на 240° :

Умножение вектора на соответствует повороту его вперед на 240° или повороту-назад на 120° .

При помощи фазного множителя выражения (11.1) и (11.2) можно записать так:

Кроме того,

Пользуясь соотношением (11.8), можно исключать из формул множитель а в степени выше второй:

Как следует из (11.4) и (11.5), 1, а и образуют симметричную систему единичных векторов (рис. 11.2). Их сумма

Докажем теперь, что любую несимметричную систему векторов можно разложить на симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей. Если это имеет место, то

Выразим: в этих предполагаемых равенствах все векторы симметричных систем через векторы , пользуясь соотношениями (11.3), (11.6) и (11.7):

Получены три уравнения, из которых однозначно можно определить векторы , что и доказывает возможность разложения заданной несимметричной системы векторов на три симметричные системы. После сложения уравнений (11.13)- ( 11.15) получим

откуда с учетом (11.9) найдем, что

Умножая (11.14) на а и (11.15) на и за тем . складывая уравнения ( 11.13 ) ( 11.15), находим, что

Умножая (14.14) на и (11.15) на а и затем складывая уравнения (11.13) ( 11.15), получаем

Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих токов и напряжений

В нейтральном проводе ток равен сумме линейных токов и, следовательно, тройному значению составляющей тока нулевой последовательности [ см. (11.16)].

Сумма линейных напряжений равна нулю, поэтому линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей 'фазных напряжений приемника, соединенного звездой, однозначно связаны с соответствующими симметричными составляющими подведенных к нему линейных напряжений. Отсюда следует, что фазные напряжения различных приемников, соединенных звездой, при одних и тех же линейных напряжениях имеют одинаковые симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей и могут отличаться друг от друга только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности.

Если при несимметричном режиме ток в одной или двух фазах цепи отсутствует, сумма симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю. Поясним сказанное примерами.

В схеме, показанной на рис. 11.3, фазы В и С разомкнуты,. Применяя (11.16)-(11.18), получаем

На рис. 11.4 изображен вектор тока и построены векторные диаграммы

для систем симметричных составляющих токов всех трех фаз. Там же проведено геометрическое суммирование векторов симметричных составляющих токов, показывающее, что

В схеме рис. 11.5 токи По формулам (11.16)-(11.18) получим

На рис. 11.6 показаны векторная диаграмма токов и векторные диаграммы симметричных составляющих токов всех трех фаз. Геометрическое суммирование векторов показывает, что

Симметричные составляющие токов и напряжений могут быть не только вычислены, но и измерены при помощи специальных электрических измерительных схем, называемых фильтрами симметричных составляющих токов и напряжений. Эти фильтры получили широкое применение в релейной защите электроэнергетических цепей.

Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов различных последовательностей

Если к выводам симметричной трехфазной цепи приложена симметричная система напряжений прямой, обратной или нулевой последовательностей, то в цепи возникает симметричная система токов соответственно той же самой последовательности, какую имеют приложенные напряжения. Отношения приложенных комплексных фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей к соответствующим комплексным фазным токам называют соответственно комплексными сопротивлениями цепи прямой, обратной и нулевой последовательностей.

В любых симметричных трехфазных статических цепях (цепях, не содержащих вращающихся машин) изменение порядка следования фаз приложенных симметричных напряжений с прямого на обратный не изменяет значения токов (изменяется только их последовательность с прямой на обратную). Поэтому для таких цепей сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы ,

Рассмотрим, например, трехфазную симметричную цепь (рис. 11. 7), в которой Очевидно, что для этой цепи Определим для нее

Пусть к выводам цепи приложена симметричная система фазных напряжений нулевой последовательности , при этом система токов также симметрична и имеет нулевую последовательность Ток в нейтральном проводе ,

Составим для контура AnN А уравнение

и подставив

и получим, откуда

При отсутствии нейтрального провода токи нулевой последовательности протекать не могут:

При расчетах цепей методом симметричных составляющих рассматривают отдельно схемы для токов и напряжений различных последовательностей. Сопротивление в нейтральном проводе не оказывает влияния на симметричные системы токов прямой и обратной последовательностей, поэтому в схемах для токов этих последовательностей сопротивления в нейтральном проводе не указывают (рис. 11.8). В схеме для симметричных токов и напряжений нулевой последовательности вместо сопротивления в нейтральном проводе вводят утроенные значения этого сопротивления в каждую фазу (рис. 11.9). Легко проверить, что сопротивления нулевой последовательности для схем, представленных на рис. 11.7 и 11.9, одинаковы.

Все расчеты ведут для одной фазы, которую называют основной. Обычно за основную фазу принимают фазу А, и в этом случае для сокращения записи в обозначениях токов и напряжений различных последовательностей индекс А не пишут. Так, для рассматриваемого примера (см. рис. 11.7) на рис. 11.10 показаны три ,однофазные схемы для токов и напряжений различных последовательностей. Эти схемы сокращенно называются схемами прямой, обратной и нулевой последовательностей

В качестве схем прямой и обратной последовательностей для трехфазных линий можно применять любую из двух схем, показанных на рис. 10.30 и 10.31. В схему нулевой последовательности должны быть введены утроенные значения сопротивления r, и индуктивности М (см. рис. 10.29) в каждую фазу. В зависимости от того, разнесены частичные емкости поровну по концам линии или сосредоточены в середине, получатся две разновидности схем нулевой последовательности для трехфазной линии, не отличающиеся по структуре от схем, показанных на рис. 10.30 и 10.31. Только в этих схемах вместо следует взять , (через частичные емкости токи нулевой последовательности протекать не могут). В электрических машинах не только отличается от

Причину этого поясним на примере асинхронного двигателя. ,В нормальном режиме работы к обмоткам статора двигателя приложена симметричная система напряжений прямой последовательности, магнитное поле и ротор двигателя вращаются в одну и ту же сторону. Частота вращения ротора обычно всего на 1,5 - 4 % меньше частоты вращения магнитного поля. Иные условия получаются в симметричном режиме для токов и напряжений обратной последовательности. Обеспечим вращение ротора двигателя с той же скоростью и в том же направлении, какие были в нормальном режиме работы (например, вращая его посредством другого двигателя), но изменим последовательность фаз напряжений, подведенных к обмоткам статора, с прямой на обратную. При этом в обмотках двигателя будет симметричная система токов обратной последовательности, которая создаст магнитное поле, вращающееся с той же скоростью, как и в нормальном режиме работы, но только в обратную сторону (навстречу движению ротора).

В результате вращающееся магнитное поле относительно ротора будет иметь скорость, почти в 2 раза превышающую скорость движения поля относительно статора и во много раз превышающую скорость поля относительно ротора при нормальном режиме работы. По сравнению с нормальным режимом резко возрастут токи, индуктированные в роторе. По закону Ленца они будут ослаблять наводящее их магнитное поле в большей мере, чем в условиях нормального режима. Это приведет к уменьшению ЭДС, наводимых магнитным полем в обмотках статора. А так как приложенные к обмоткам статора напряжения в основном уравновешивается этими ЭДС, то их уменьшение вызовет увеличение токов в статоре

Таким образом, при одинаковых значениях приложенных симметричных напряжений прямой и обратной последовательностей и при неизменных частоте и направлении вращения ротора токи обратной последовательности получаются больше токов прямой последовательности. Следовательно, полное сопротивление двигателя для токов обратной последовательности меньше его сопротивления для токов прямой последовательности: z2 < z1

Токи нулевой последовательности не создают вращающегося магнитного поля (для получения движущегося магнитного поля, как было указано, нужно иметь не только пространственно смещенные обмотки, но и сдвинутые по фазе токи в юn). Значит, условия протекания в двигателе токов нулевой последовательности отличаются от условий протекания токов прямой и обратной последовательностей, поэтому

В расчетах методом симметричных составляющих двигатели, как и статические цепи, представляют тремя отдельными схемами прямой, обратной и нулевой последовательностей, состоящими соответственно из сопротивлений Генераторы имеют такие же схемы, но с тем отличием, что в схеме прямой последовательности кроме сопротивлений Z 1 включены источники фазных ЭДС.

Отметим, что неравенство сопротивлений приводит к тому, что трехфазные цепи, содержащие вращающиеся машины, не обладают свойством взаимности.

Определение токов в симметричной цепи

Для того чтобы определить токи в симметричной цепи (рис. 11.11), к которой приложена несимметричная система напряжений, прежде всего найдем по (11.16)-(11.18) симметричные составляющие приложенных напряжений. Симметричные составляющие токов определим на основании закона Ома:

Затем по (11.13)-(11.15) находим токи

Итак, расчеты методом симметричных составляющих основываются на применении принципа наложения. Поэтому этот метод можно применять только к линейным цепям или к цепям, которые приближенно рассматриваются как линейные.

Пример №46

Линейные напряжения на обмотках двигателя сопротивления двигателя (в рассматриваемом режиме) и

Нейтральный провод отсутствует. Требуется определить линейные токи.

Решение:

Фазные напряжения источника питания могут быть взяты любыми, лишь бы их разности были равны заданным линейным напряжениям. Для расчетов удобно выбрать фазные напряжения, как показано на рис. 11.12, где вектор направлен ПОД прямым углом к векторам . Напомним, что указанный произвол в выборе фазных напряжений не отражается на их симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей, а сказывается лишь на симметричных составляющих нулевой последовательности, которые в данной задаче для расчета не нужны, так как токи нулевой последовательности протекать не могут.

Из треугольника АВС (рис. 11.12) находим

Положим

По (11.17)и (11.18) определим

Находим симметричные составляющие токов по закону Ома:

По найденным симметричным составляющим токов и формулам (11.13)-(11.15)находим линейные токи:

Их ,действующие значения

Симметричные составляющие напряжений н токов в несимметричной трехфазной цепи

Рассмотрим пример трехфазной несимметричной цепи (см. рис. 11.7), у которой Если к такой цепи приложить симметричную систему напряжений любой последовательности, то в ней возникнет несимметричная система токов, которая в общем случае содержит симметричные составляющие всех трех последовательностей. Справедливо и обратное положение: симметричная система токов любой последовательности вызывает в такой цепи систему напряжений, которая в общем случае содержит составляющие всех трех последовательностей. Если к цепи приложена несимметричная система напряжений, то симметричные составляющие токов любой последовательности оказываются зависящими от симметричных составляющих напряжений всех трех последовательностей.

Расчет цепи с несимметричной нагрузкой

В нормальных условиях несимметричные режимы в высоковольтных трехфазных цепях встречаются относительно редко (преимущественно в цепях с дуговыми электроплавильными печами и однофазными электротяговыми двигателями). Обычно несимметричные режимы получаются в аварийных условиях, когда в какой-либо цепи появляется несимметрия. Различают два вида несимметрии - поперечную и продольную. Поперечная несимметрия у симметричной трехфазной цепи возникает при несимметричной нагрузке. К ней, в частности, относятся различные виды несимметричных коротких замыканий (замыкания между фазами, замыкание одной или двух фаз на землю). Продольная несимметрия возникает, если в рассечку фаз линии включаются элементы с неодинаковыми сопротивлениями или при обрыве одного или двух проводов (несимметричный участок линии).

Для расчетов несимметричных режимов трехфазных цепей удобно пользоваться принципом компенсации, заменяя несимметричный приемник или несимметричный участок в линии источниками ЭДС (напряжений), значения которых до окончания всего расчета остаются неизвестными. Целесообразность этого приема заключается в том, что после такой замены цепь становится симметричной и для нее разноименные симметричные составляющие токов и напряжений не зависят друг от друга. Связи же между симметричными составляющими токов и напряжений различных последовательностей, обусловленные несимметрией, вводятся позднее.

Рассмотрим метод расчета на примере схемы рис. 11.13, содержащей симметричную динамическую и несимметричную статическую нагрузки. Пусть заданы ЭДС генераторов и сопротивления элементов схемы. Требуется найти токи и напряжения. На рис. 11.13 схема и сопротивления несимметричной нагрузки не показаны, так как на первом этапе расчета они не нужны.

Заменим несимметричную нагрузку тремя источниками ЭДС с неизвестными напряжениями и получим симметричную схему, которая помимо генератора с симметричной системой ЭДС содержит источники с несимметричными напряжениями

Разложим напряжения на симметричные составляющие и приняв фазу А за основную. В результате получим симметричную схему (рис. 11.14 ), причем в ответвлении, где была несимметричная нагрузка, находятся источники трех симметричных систем напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей.

В симметричной цепи симметричная система напряжений какой-либо последовательности вызывает симметричную систему токов той же самой последовательности. Следовательно, можно составить три независимые схемы, показанные на рис. 11.15, а - в. Для упрощения в этих схемах не учтены частичные емкости линии.

Режим фазы А исходной схемы (см. рис. 11.13) определим путем наложения режимов этих трех схем.

Конфигурации схем прямой и обратной последовательностей всегда одинаковы. Схема нулевой последовательности обычно существенно отличается. В данном примере она не имеет разветвления, так как в правой части трехфазной цепи (см. рис. 11.13) токов нулевой последовательности не может быть. Следует обратить особое внимание на то, что сопротивление в нейтральном проводе вводится в схему нулевой последовательности утроенной величиной.

Из рассмотрения составленных схем видно, что наибольшие значения симметричных составляющих напряжений обратной и нулевой последовательностей наблюдаются в месте подключения несимметричного приемника, так как в схемах именно там находятся источники ЭДС обратной и нулевой последовательностей.

Для дальнейшего расчета целесообразно преобразовать схемы отдельных последовательностей к простейшему виду, не затрагивая при этом ветвей с источниками неизвестных напряжений

В схеме прямой последовательности заменим ветви генератора и симметричного приемника эквивалентным генератором (рис. 11.16, а):

в схеме обратной последовательности объединяем ветви генератора и симметричного приемника (рис. 11.16, 6):

Схема нулевой последовательности в данном примере в преобразовании не нуждается, так как она имеет простейший вид. Для каждой из трех схем напишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

где

В этих трех уравнениях шесть неизвестных:, Дополнительные три уравнения, связывающие эти шесть неизвестных величин, могут быть составлены на основании заданной схемы и параметров несимметричного приемника. Составим дополнительные уравнения для некоторых видов несимметричных приемников. Для приемника,

представленного на рис. 11.17, а,

или

Для приемника, показанного на рис. 11.17,6

или

При отсутствии соединения несимметричного приемника с землей, например, для схемы, приведенной на рис. 11.17, в, симметричные составляющие токов нулевой последовательности равны нулю и составление схемы цепи нулевой последовательности на предыдущих этапах расчета выпадает. Получаются два основных уравнения с четырьмя неизвестными. и нужно составить только два дополнительных уравнения, а именно:, или

Аналогично составляют дополнительные уравнения и при других видах статической несимметричной нагрузки. При совместном решении уравнений Кирхгофа для схем различных последовательностей с дополнительными уравнениями определяются симметричные составляющие тока фазы А в ответвлении к несимметричному приемнику. Затем находят распределение этих составляющих по отдельным ветвям схем прямой, обратной и нулевой последовательностей. Зная составляющие токов в любой ветви, вычисляют действительный ток в каждой фазе и составляющие падений напряжения различных последовательностей, а затем и фазные напряжения на отдельных участках схемы.

Приведем расчет режима схемы (см. рис. 11.13) для случая несимметричной нагрузки, представленной на рис. 11.17, а при условии, что ( однофазное замыкание на землю). Составим дополнительные уравнения

Вычитая (11.24) из (11.23), получаем ( Подставляя этот результат в 11.23, Заменяем в (11.21) , затем их суммируем и с учетом ( 11.22) получим

откуда

Симметричные составляющие напряжений (в месте замыкания на землю) определяются из (11.21):

Для схем рис. 11.15, а

Симметричные составляющие напряжений на выводах генератора могут быть найдены по тем же схемам на рис. 11.15:

Расчет цепи с несимметричным участком в линии

Рассмотрим метод расчета на примере цепи, представленной на рис. 11.18. Пусть заданы ЭДС генератора и все сопротивления элементов схемы. Требуется найти токи и напряжения.

Заменим несимметричный участок схемы тремя источниками ЭДС с неизвестными напряжениями и Разложим неизвестные напряжения на симметричные составляющие , приняв фазу А за основную, и составим три независимые схемы (рис. 11.19, а, 6, в) прямой, обратной и нулевой последовательностей. Напишем для этих схем уравнения по второму закону Кирхгофа:

В этих трех уравнениях шесть неизвестных. Дополнительные три уравнения составляются на основании схемы и параметров несимметричного участка цепи.

Составим дополнительные уравнения для некоторых видов несимметричных участков цепи.

Для схемы, представленной на рис. 11.20, а,

на рис. 11.20, 6,

на рис .. 11.20, в,

В этих дополнительных уравнениях нужно напряжения и токи выразить через их симметричные составляющие.

Решив совместно основные и дополнительные уравнения, найдем симметричные составляющие токов, а затем определим и все остальные искомые величины.

В специальных курсах, в которых рассматривают несимметричные режимы трехфазных цепей, дают обоснования к о м п л е к с н ы м р а с ч е т н ы м с х ем а м. При этом схемы отдельных последовательностей соединяют друг с другом в одну сложную (комплексную) схему таким образом, чтобы удовлетворялись условия, вытекающие из особенностей того или иного вида поперечной или продольной несимметрии. Расчет ведут непосредственно по этим схемам, без привлечения дополнительных уравнений, зависящих от вида несимметрии, так как условия несимметрии учитываются особыми способами соединения схем различных последовательностей друг с другом. Для расчета несимметричных режимов сложных разветвленных цепей широко применяются моделирование схем и вычисления на эвм.

Пример №47

Провод фазы А линии, питающей трехфазный асинхронный двигатель, оборвался (рис. 11.21, а). При определенных условиях, рассмотрение которых выходит за рамки данного курса, двигатель может продолжать работать, получая питание по двум фазам.

Пусть в рассматриваемом режиме линейные напряжения В и двигатель работает, имея сопротивления Определить токи в питающих проводах и напряжения !

Решение:

Примем, что линейные напряжения между выводами А, В и С создаются тремя источниками симметричных фазных эдс с .

Заменим несимметричный участок схемы (обведенный на рис. 11.21, а штриховой линией) источниками ЭДС и составим схемы прямой, обратной и нулевой последовательностей (рис. 11.21, б). Схема нулевой последовательности разомкнута, так как отсутствует четвертый провод.

Запишем основные уравнения для схем прямой и обратной последовательностей

и добавочные уравнения

Выразив в этих уравнениях токи и напряжения через их симметричные составляющие, получим

Решив уравнения (r) и (д), найдем, что Подставив

Затем вычтем последнее уравнение из (а) и получим

Следовательно,

Несинусоидальные токи

В предшествующих главах рассматривались линейные цепи с неизменными параметрами r, L, С и М при действии источников постоянных или синусоидальных ЭДС или токов.

На практике ЭДС, напряжения и токи обычно в большей или меньшей степени отличаются от постоянных или синусоидальных, причем зависимость от времени может быть периодической, почти периодической и непериодической.

Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи

В машинных генераторах переменного тока вследствие отличия кривой распределения магнитной индукции вдоль зазора от синусоиды кривые наводимых в обмотках ЭДС отличаются от синусоидальных. В цепях, содержащих элементы с нелинейными сопротивлениями, индуктивностями или емкостями (например, вентиль, электрическую дугу, катушку со стальным магнитопроводом), даже при синусоидальных ЭДС возникают несинусоидальные токи и несинусоидальные напряжения. Так, на рис. 12.1 показаны примеры кривых тока в цепи с насыщающимся реактором (рис. 12.1,а) и в цепи управляемого вентиля (рис. 12.1, 6).

Генераторы периодических импульсов применяются в различных устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики, вычислительной техники, обработки данных, в автоматизированных системах управления. Форма импульсов может быть различной: пилообразной (рис. 12.2, а и 6), ступенчатой (рис. 12.3, а) и прямоугольной (рис. 12.3, 6). При прохождении этих импульсов через различные электрические цепи их форма существенно изменяется.

На рис. 12.1-12.3 все кривые строго периодичны (период повторения Т) и представляют собой примеры ,несуидальных токов

При передаче, например, радиотелеграфных и телефонных сигналов встречаются кривые тока, которые не строго периодичны, но имеют периодически изменяющуюся огибающую с периодом и на малом интервале времени могут считаться синусоидальными с периодом При несоизмеримости нет такого периода Т, через который эти кривые в точности повторяются. Поэтому их нельзя назвать периодическими, но они очень близки по своим свойствам к периодическим кривым и могут быть названы

почти периодическими (в частном случае, когда , где k - целое число, эти кривые периодические с периодом ). Примером почти периодической кривой является ток в цепи динамика радиоприемника при передаче периодически изменяющегося звука.

Кроме указанных типов несинусоидальных кривых с явно выраженным периодом повторения мгновенных значений или огибающей часто приходится иметь дело с непереодическими периодами, т. е. с кривыми, у которых нет периода повторения. Эти кривые могут быть вполне определенными, как, например, при передаче последовательности импульсов, но могут быть и случайными, например, в случае шумов и помех.

Во всех задачах, где приходится иметь дело со сложными несинусоидальными кривыми токов и напряжений, очень важно уметь свести сложную задачу к более простой и применить методы расчета более простых задач. В настоящей главе рассматриваются методы расчета линейных цепей при несинусоидальных периодических или почти периодических токах и напряжениях, которые можно разложить на гармонические составляющие.

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Эйлера - Фурье. Как известно, всякая периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд:

Первый член ряда называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член - о снов ной синусоидной или 1-й гармоникой, а все остальные члены вида при k > 1 носят название высших гармоник; - основная частота (угловая); Т - период несинусоидальной периодической функции. Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или, короче, гармоник, записывается и в иной форме:

Здесь

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период .

Зная коэффициенты ряда (12.2), легко перейти к форме (12.1), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по k от , можно ряду (12.2) придать более компактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k = О, что соответствует выражению (12.3), так как Выражению (12.2а) можно придать несколько иной вид, если воспользоваться формулами Эйлера для тригонометрических функций времени:

и вместо (12.2а) получим

где согласно (12.3)

Учитывая, что и что сумма двух комплексно сопряженных величин равна их удвоенной действительной части, выражение (12.26) можно упростить. Оно принимает вид

Комплексная форма ряда Фурье [(12.2в) и (12.3а)] имеет большое значение при переходе от дискретного спектра к непрерывному.

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12.4, а), удовлетворяет условию

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричвными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12.4, б)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат.

В этом случае ряд не содержит синусов:

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12.4, в)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены в приложении 3. Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы. Например, если перейти от функции, выражаемой рядом ( 12.1 ), к, т. е. сместить начало отсчета времени на , то получим ряд

где

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектором

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью (спектр амплитуд) и (спектр фаз) от частоты .

Пример №48

Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью t с высотой , следующих один за другим через интервалы времени (рис. 12.5, а). Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и автоматики.

Решение:

Найдя коэффициенты разложения по формулам (12.3) или выписав их из таблицы (приложение 3), представим рассматриваемую функцию в виде ряда

где

Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис. 12.5, 6. Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции. Эта функция реально существует только в тех точках, где

Пример №49

Построить спектр той же функции, что в примере 12.1, при начале отсчета времени, сдвинутом на (рис. 12.6, а).

Решение:

Эта функция симметрична относительно оси ординат, и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид:

Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис. 12.6, 6. Естественно, что спектр амплитуд остался прежним. Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для и переходя от записи (12.2) к (12.2а), можно этому выражению придать следующий вид:

Действительно, при k = О

т. е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных и при суммировании членов для положительных и отрицательных k дают амплитуду, равную

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12.6, в).

Такое рассмотрение гармонических составляющих как совокупности колебаний положительных и отрицательных частот во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при k < О являются не чем иным, как удобным математическим выражением гармоник, имеющих положительную частоту, соответствующую модулю k.

Пример №50

Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью т с периодом повторения , причем может принимать любое значение в интервале

Решение:

Выпишем из таблицы приложения 3 разложение этой функции в тригонометрический ряд:

где

Раскладывая каждую из гармоник на сумму двух синусоид, соответствующих положительным и отрицательным значениям k [ см. (12.2а)], придадим выражению иную форму:

где постоянная составляющая получается при раскрытии неопределенности:

Обозначив , получим для следующее выражение:

На рис. 12. 7, а - в видно, что вне зависимости от периода повторения импульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя ct.) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую). Чем больше период повторения импульсов, тем большее число гармонических составляющих укладывается на одном и том же участке огибающей и тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники. Кроме того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.

Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при .

Пример №51

Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т. Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, в частности при рассмотрении импульсных и релейных систем автоматики.

Решение:

Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из

выражения (12.12), приведенного в предыдущем примере, при ,

Таким образом, спектр периодической последовательности кратковременных импульсов приближенно может быть выражен бесконечным множеством равных по амплитуде гармоник с частотами, кратными основной частоте импульсов . Амплитуда гармоник в , раз меньше, чем высота импульсов. Это соответствует среднему участку спектра, представленного на рис. 12.7, при стремлении периода огибающей, которая изображена на этом рисунке штриховой . линией, к бесконечности, если, конечно, по оси абсцисс откладывать не

Максимальные, действующие и средние значения несинусоидальных периодических ЭДС, напряжений и токов

Периодически изменяющаяся несинусоидальная величина помимо своих гармонических составляющих характеризуется тремя значениями: максимальным значением за период, средним квадратичным за период или действующим значением

и средним по модулю значением

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс и в течение половины периода функция ни разу не изменяет знака, то среднее по модулю значение равно среднему значению за половину период а:

причем в последнем выражении начало отсчета времени должно быть выбрано так, чтобы . Если за весь период функция ни разу не изменяет знака (см., например, рис. 12.4, 6), то среднее по модулю значение равно постоянной составляющей

При несинусоидальных периодических процессах, как и при синусоидальных, обычно под значением ЭДС, тока или напряжения понимают действующее значение.

Если кривая периодически изменяющейся величины разложена в тригонометрический ряд, то действующее значение может быть найдено· следующим образом:

(такое возведение ряда в квадрат вполне допустимо, так как ряд абсолютно сходится при любом значении ).

Каждый из интегралов в последней сумме равен нулю, и, следовательно, равно нулю среднее за период значение от произведений мгновенных значений различных гармонических составляющих функции . Учитывая это, для действующего значения получим

и

Таким образом, действующее значение периодической несинусоидальной величины зависит только от действующих значений ее гармоник и не зависит от их начальных фаз

Если, например, напряжение и состоит из ряда гармоник и т. д., действующие значения которых и т. д., то действующее напряжение

Аналогично для тока i

Часто среднее по модулю и действующее значения несинусоидальной величины могут быть рассчитаны непосредственно на основании интегральных соотношений (12.14) и (12.13). В этих случаях нет необходимости в предварительном разложении функции на гармонические составляющие.

Пример №52

Найти средние по модулю и действующие значения функций, изображенных на рис. 12.8.

Решение:

Для функции, изображенной на рис. 12.8, а, непосредственно из определения действующего и среднего по модулю значений следует, что

В случае рис. 12.8,б по (12.13)

и по (12.14)

В случае 12.8,в по (12.13)

и по (12.14)

Расчет действующего значения по (12.17) приводит к тем же результатам.

Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических кривых

При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, пользуются коэффициентом формы кривой коэффициентом амплитуды , коэффициентом искажения ,

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения к среднему по модулю значению:

Для синусоиды

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения к действующему значению:

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой:

Для синусоиды

В электронике и радиотехнике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник, который определяется как отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

При отсутствии постоянной составляющей

Для синусоиды k = О.

Пример №53

Определить коэффициенты для кривых, изображенных на рис. 12.8, а и 6.

Решение:

Для кривой на рис. 12.8, а по известным действующему и среднему по модулю значениям находим, что , и по разложению функции на гармоники (см. приложение 3, п. 4)

Аналогично для кривой получаем

Кривые напряжения промышленных сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электроэнергетике вводят понятие . По стандарту напряжение промышленной сети считается практически синусоидальным, если действующее значение всех высших гармоник не превышает 5 % действующего значения напряжения основной частоты. Коэффициент искажения такой кривой с точностью до долей процента равен единице.

Значения простейших кривых приведены в приложении 3. Сопоставляя значения коэффициентов первых четырех кривых, можно установить, что чем острее кривая, тем больше значения .

Измерение несинусоидальных токов и напряжений приборами различных систем может давать неодинаковые результаты.

Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем реагируют на действующее значение измеряемой величины. Магнитоэлектрические приборы сами но себе измеряют постоянную составляющую, а с выпрямителями - среднее по модулю значение. Амплитудные электронные вольтметры реагируют на максимальные значения. Так как обычно этими приборами пользуются для измерения действующих значений синусоидальных величин, то их шкалы часто градуируют на в приборе выпрямительной системы и на в амплитудном электронном.

Отношения при несинусоидальных напряжениях нередко сильно отличаются от коэффициентов , и соответственно приборы выпрямительной системы и амплитудные электронные приборы дают большую погрешность при измерении действующих значений таких несинусоидальных величин

Пример №54

Найти показания вольт метров различных систем, подключенных к источнику ЭДС с максимальным значением напряжения 100 В, для различных случаев формы кривой, представленных на рис. 12.8.

Решение:

В первых двух случаях магнитоэлектрический прибор, реагирующий на постоянную составляющую, покажет нуль. Показания же приборов остальных систем будут различными

В случае кривой на рис. 12.8, а электродинамический прибор покажет 100 В, прибор выпрямительной системы 111 В, а амплитудный электронный прибор .

В случае кривой на рис. 12.8, 6 электродинамический прибор покажет , прибор выпрямительной системы 50•1,11 = = 55,5 В, а амплитудный электронный прибор

В случае кривой на рис. 12.8, в электродинамический прибор покажет , прибор выпрямительной системы 20- 1,11 = 22,2 В, а амплитудный электронный прибор 71 В. Магнитоэлектрический прибор покажет постоянную составляющую.

Таким образом, вольтметры разных систем могут показывать совершенно различные значения напряжений и зависимости от формы кривой напряжения.

Несинусоидальные кривые с периодической огибающей

Кроме несинусоидальных периодических функций, разлагаемых в тригонометрический ряд на гармонические составляющие с частотами, кратными основной частоте, в электротехнике встречаются несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими, также разлагаемые на гармонические составляющие. Период напряжений или токов, описываемых такими кривыми, обычно во много раз превышает период любой из составляющих и может стремиться к бесконечности. К числу явлений, характеризуемых такими кривыми, относятся биение модуляции.

Биения. Простейший случай биений получается в результате сложения двух синусоид с равными амплитудами и близкими, но не равными частотами , причем

Преобразуя сумму синусов, получаем

Будем считать, что кривая представляет собой синусоиду с угловой частотой, амплитуда которой изменяется по косинусоиде со значительно меньшей угловой частотой

Частотой биения называется частота, равная числу максимумов огибающей кривой .в единицу времени (рис. 12.9).

Период биений в общем случае не равен периоду кривой . Действительно,

Очевидно, что только при (целое нечетное число) период биений совпадает с периодом кривой . Во всех остальных случаях кривая на участках двух соседних периодов биений не повторяется и период кривой превышает период биений. При несоизмеримости угловых частот их отношение является иррациональным числом, т. е. не существует такой частоты, на которую без остатка делятся частоты Следовательно, период функции равен бесконечности и кривая не периодическая, хотя она и разлагается на две синусоиды.

Модулированные колебания. Синусоидально (гармонически) изменяющаяся величина задается тремя параметрами: амплитудной , угловой частотой ro и начальной фазой ,. Все эти величины постоянны и не зависят от времени.

Однако для передачи разшlчного рода сигналов применяются генераторы, в которых одна из этих величин сравнительно медленно изменяется по некоторому заданному закону. Изменение во времени одного из параметров , называют модуляцией. Изменение амплитуды называется амплитудной модуляцией, изменение частоты - част от ной модуляцией, изменение начальной фазы - фазовой модуляцией (последние два вида модуляции в книге не рассмотрены).

Рассмотрим простейший пример функции, изменяющейся с частотой и с амплитудой модулированной гармоническим сигналом с частотой относительно среднего значения , т. е. с законом изменения

(рис. 1"2.10, а):

Частота называется несущей частотой, частота -модулирующей частотой, a m -коэффициентом модуляции. Коэффициент модуляции характеризует степень отличия максимальной и минимальной амплитуд от среднего значения Обычно m меньше единицы.

Амплитудная модуляция широко применяется в радиовещании и радиосвязи, где несущая частота - это частота радиосвязи, а модулирующей служит, например, одна из звуковых частот передаваемой речи или музыки.

При определении токов или напряжений в цепях, схемы которых содержат источники ЭДС, модулированных по амплитуде, последние могут быть разложены на синусоидальные составляющие. Действительно, после преобразования произведения

в выражении (12.27) получим где и начальная фаза каждой из трех гармонических составляющих

Таким образом, простейшие модулированные по амплитуде колебания могут быть представлены в виде суммы трех синусоидальных колебаний с несущей частотой , боковыми частотными и постоянными амплитудами. Дискретный спектр амплитуд функции (12.28) представлен на рис. 12.10,6.

При иррациональности отношения несущей и модулирующей частот они несоизмеримы, а следовательно, кривая не периодическая. Тем не менее эта кривая совершенно точно может быть представлена в виде суммы трех синусоидальных составляющих различных частот.

Представляет интерес сопоставить спектр модулированных колебаний со спектром огибающей колебаний (рис. 12.11,а). Спектр огибающей содержит постоянную составляющую и 1-ю гармонику с амплитудой Учитывая, что , запишем огибающую (по аналогии с примером 12.2) в виде

и представим спектр в виде трех спектральных линий: на нулевой частоте (постоянная составляющая) и на частотах и , расположенных сим с метрично относительно постоянной составляющей (рис. 12.11,6). Сопоставляя

спектр модулированных колебаний (рис. 12.10, 6) ·и симметричный спектр огибающей ), легко заметить, что они отличаются только сдвигом 110 оси частот на интервал, равный несущей частоте.

Это соотношение между частотными спектрами огибающей и модулированных колебаний имеет большое значение, когда рассматривают различные случаи амплитудной модуляции.

Модулированные имnульсы. Передача сигналов может производиться как при помощи изменения параметров синусоиды, так и путем изменения параметров последовательности импульсов (см. пример 12.3). Изменение во времени амплитуды импульсов носит название амплитудно импульсной модуляции (АИМ), изменение продолжительности импульсов t - широтно-импульсной модуляции (ШИМ), изменение частоты импульсов -частотно-импульсной модуляции (ЧИМ), а изменение фазы импульсов -фазо-импульсной модуляции (ФИМ).

Рассмотрим простейший пример амплитудно-импульсной модуляции при (см. пример 12.4), если амплитуда импульсов изменяется во времени (рис. 12.12, а) по закону

Согласно (12.12а) спектр модулированных импульсов приближенно описывается уравнением

После преобразования произведения 1 косинусов получим

Таким образом, спектр модулированных импульсов (рис. 12.12,6) представляет собой периодическую функцию, повторяющую с периодом симметричный спектр модулирующей огибающей (рис. 12.11, 6). Чтобы спектр модулированных колебаний на каждом из интервалов частот без искажений воспроизводил спектр модулирующей огибающей, необходимо выполнить условие

Это очень важное в практике радиотехники, телемеханики и автоматики неравенство было получено акад. В. А. Котельниковым.

Действующие значения ЭДС, напряжений и токов с периодическими огибающими

Несинусоидальные функции, получающиеся в результате биений и модуляции, являются либо периодическими, либо при несоизмеримости частот почти периодическими. Хотя в последнем случае период кривой возрастает до бесконечности и говорить о действующем значении не имеет смысла, формула (12.17) дает значение, близкое к действующему за период огибающей функции. (Строго говоря, действующие значения за различные периоды огибающей при несоизмеримости частот оказываются различными, так как одной и той же фазе огибающей соответствуют различные фазы несущей частоты. Однако при это различие настолько ничтожно, что им можно пренебречь.)

Под действующим значением колебаний с периодической огибающей, описываемых функцией

обычно понимают действующее значение огибающей, деленное на

где

Соответственно для модулированных по амплитуде импульсов действующее значение огибающей умножается на Выражением (12.32) можно пользоваться, если исследуется непериодический процесс в электрической цепи за достаточно большой промежуток времени.

Покажем, что для рассмотренных случаев биений и модуляции расчет по (12.17) и (12.32) дает одинаковые результаты. Действительно, в случае биений получим по (12.17)

и по формуле (12.32)

В случае амплитудной модуляции получим по формуле (12.17)

то же получается и по (12.32).

Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи распадается на три этапа.

1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (получение дискретного спектра).
2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности.
3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Суммирование составляющих в общем виде часто бывает затруднительно и далеко не всегда необходимо, так как уже на основании дискретного спектра можно судить о форме кривой и об основных величинах, ее характеризующих.

Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Если, например, несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих, то источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами.

Так, если ЭДС (рис. 12.13,а)

то действие источника такой (12.33) ЭДС аналогично действию трех последовательно соединенных источников ЭДС (рис. 12.13, б):

Применив принцип наложения и рассмотрев действие каждой из составляющих ЭДС в отдельности, можно найти составляющие токов во всех участках цепи.

Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС , соответственно равны , то общий ток

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению п задач с синусоидальными ЭДС, где п - число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянными ЭДС.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для k-й гармоники в k раз больше, а емкостное, наоборот, в k раз меньше, чeм для первой:

Активное сопротивление также зависит от частоты - увеличивается с ростом последней вследствие поверхностного эффекта. Если расчет ведется для гармоник невысоких частот и относительно малых сечений проводов, можно не учитывать изменения сопротивления с частотой и считать, что при всех частотах активное сопротивление равно сопротивлению при постоянном токе.

Если источник несинусоидальной ЭДС подключен непосредственно к емкостному элементу, то для k-й гармоники тока

где

Чем больше k, тем меньше значение емкостного сопротивления для этой гармоники. Следовательно, высшая гармоника ЭДС или напряжения, даже если ее амплитуда составляет незначительную долю амплитуды основной гармоники, может вызвать ток в емкости, соизмеримый с током основной гармоники и даже его превышающий. Поэтому и при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидален из-за высших гармоник.

При подключении источника синусоидальной ЭДС к индуктивному элементу ток k-й гармоники

где

С увеличением порядка k-й гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому в токе индуктивного элемента высшие гармоники всегда имеют относительно меньшее значение, чем в напряжении; даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока нередко приближается к синусоиде.

Если задача поставлена иначе, заданы не ЭДС, а токи несинусоидальных источников, то принцип решения задачи остается тем же.

Источник несинусоидального тока всегда можно представить в виде параллельного соединения ряда источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока. Так, если к узлам ветви или выводам двухполюсника подводится несинусоидальный ток (рис. 12.14, а)

то источник такого тока действует подобно параллельному соединению трех источников (рис. 12.14,6):

Рассчитав напряжения на сопротивлении от каждой из составляющих тока, легко найти мгновенное значение полного напряжения как сумму отдельных составляющих.

При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник. Действительно, при определении мгновенных значений тока по комплексному необходимо вектор, изображающий комплексную амплитуду каждой гармоники, вращать со своей угловой скоростью kro и строить зависимость от времени его проекции на ось мнимых величин. Так как для различных гармоник частоты вращения различны, то геометрическое суммирование векторов, изображающих комплексные амплитуды, дает возможность определить мгновенное значение их суммы только в момент времени t = О и в общем случае не имеет смысла. При вычерчивании кривых отдельных гармоник следует всегда иметь в виду, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложено , то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов надо откладывать углы

Пример №55

В схеме высокочастотного лампового генератора, изображенного на рис. 12.15, а, известны анодный ток i электронной лампы Л, и ЭДС = 1 кВ источника питания. Этот ток при заданных напряжениях на сетке и аноде электронной лампы (в амперах)

Найти ток i' в источнике питания и ток i" в конденсаторе

Решение:

Для определения токов и напряжений необходимо независимо рассчитать три схемы, Изображенные на рис. 12.15,6-г. На схемах показаны ЭДС , токи источников различных частот и значения параметров

Рассчитав токи в каждой из схем, получаем округленно для постоянной составляющей, для 1-й гармоники , для 2-й гармоники и .

Просуммировав мгновенные значения различных гармонических составляющих, получим

На рис. 12.16 построен график составляющих и результирующего тока i". Так как по оси абсцисс отложено (, то при построении синусоиды 2-й гармоники начальная фаза (90° ) разделена на номер гармоники (90° /2 = 45° ).

Пример №56

Определить напряжения и" на вторичных выводах четырехполюсника в режиме холостого хода при известном напряжении на первичных выводах и' (рис. 12.17)

Для четырехполюсника теоретически или экспериментально получена зависимость передаточной функции от частоты

где - модуль и аргумент комплексной функции .

Напряжение на первичных выводах представляет собой сигнал, модулированный по амплитуде, спектр которого задан уравнением (12.28).

Решение:

Напряжение и' на первичных выводах четырехполюсника согласно (12.28)

причем , и будем искать напряжение на вторичных выводах в виде суммы

где

Для рассматриваемого четырехполюсника при холостом ходе

где

На рис. 12.18, а, 6 построены графики .

Чтобы рассматриваемый сигнал проходил через четырехполюсник без существенных искажений, т. е. и" мало отличалось от и', необходимо выбрать параметры четырехполюсника, удовлетворяющие условию .

Как следует из рис. 12.1 О и 12.18, при этом условии напряжения на входе и выходе четырехполюсника практически не будут отличаться, так как для всех трех составляющих сигнала

Резонанс в цепи несинусоидального тока

При несинусоидальных напряжениях и токах явление резонанса усложняется, так как возможны отдельные резонансы гармонических составляющих.

Предположим, что источник несинусоидального напряжения, состоящего из трех гармоник, подключен к последовательному контуру (рис. 12.19).

Ток каждой из гармоник

Если, например, индуктивность L изменять от нуля до бесконечности, то действующее значение каждой · из составляющих тока будет изменяться по резонансной кривой от при до при и далее будет снижаться до нуля при

На рис. 12.19 штриховой линией построены резонансные кривые для трех гармонических составляющих периодического несинусоидального тока. Значения индуктивности L при резонансахобратно пропорциональны квадрату номера гармоники:

Кривая общего действующего тока

при достаточно малом r имеет три резко выраженных максимума, соответствующих резонансным значениям индуктивности.

Аналогичные зависимости получаются и при изменении емкости или частоты, если, конечно, в последнем случае форма кривой напряжения остается неизменной.

В цепях, содержащих источники несинусоидальных ЭДС и токов, резонансные явления могут применяться для выделения требуемых частот и, наоборот, для подавления нежелательных частот.

Пример №57

Несинусоидальное напряжение и' на выводах 1-1' четырехполюсника (рис. 12.20, а) получено в результате двухполупериодного выпрямления синусоидального напряжения с угловой частотой ro (см. приложение 3, строка 9)

Последовательный контур и параллельный настроены в резонанс на 2-ю гармонику и . Найти действующее значение напряжения и" на выводах 2-2' и коэффициент искажения в режиме холостого хода при следующих параметрах:

Решение:

В напряжении и" выделяется 2-я гармоника, так как для нее сопротивление последовательного контура и проводимость параллельного контура равны нулю, в то время как для всех остальных гармоник соответствующие сопротивление и проводимость конечны и растут с номером гармоники. В режиме холостого хода, как следует из рис. 12.20,а, для каждой гармоники где

Разложив напряжение и' в ряд по формуле, приведенной в строке 9 приложения 3, получим, что постоянная составляющая и" равна нулю (постоянного тока в последовательном контуре нет), 1-й гармоники и" нет, так как ее не содержит напряжение и' (нет и всех высших нечетных гармоник).

Для 2-й гармоники , поэтому напряжения на входе и выходе четырехполюсника одинаковы:

Для 4-й гармоники И, следовательно, Для 6-й гармоники и

Восьмой и более высокими гармониками можно пренебречь.

Таким образом, действующее напряжение на вторичных выводах

действующее напряжение основной (2-й) гармоники, и коэффициент искажения .

В целях улучшения формы кривой и" целесообразно включить параллельно контуру , конденсатор и обеспечить для напряжения 4-й гармоники резонанс токов в контуре . В этом случае для 4-й гармоники и, следовательно,

Для 6-й гармоники и получается

Действующее напряжение и коэффициент искажения (рис. 12.20, 6).

Такая схема представляет собой частный случай полосового фильтра и может быть применена для увеличения частоты вдвое (умножитель частоты). На аналогичном принципе основываются устроители частоты и умножители частоты большей кратности.

Мощность в цепи несинусоидального тока

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период

Если мгновенные значения напряжения и тока выразить в виде тригонометрических рядов, то получим

Так как среднее за период значение произведения мгновенных значений синусоид различной частоты равно нулю и тригонометрические ряды абсолютно сходятся при любых частотах , то

или после интегрирования

где

Из этого выражения следует очень важный вывод, что средняя мощность несинусоидального тока равна сумме средних мощностей отдельных гармоник (постоянная составляющая рассматривается как нулевая гармоника с

(равенство Парсеваля).

Полученная таким образом мощность представляет собой активную мощность или энергию, необратимо преобразуемую в единицу времени в данном участке цепи в тепловую, механическую или какую-либо иную форму энергии.

Кроме понятия активной мощности Р по аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной мощности S, определяемой как произведение действующих значений тока и напряжения:

Активная мощность меньше полной; исключение составляет только мощность в цепи, сопротивление которой - чисто активное, т. е. и, следовательно, S=P.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и иногда приравнивают косинусу некоторого условного' угла

Можно дать геометрическую интерпретацию углу &, пользуясь понятием эквивалентных синусоидов тока и напряжения, действующие значения которых равны действующим значениям несинусоидальных величин. Если между эквивалентными синусоидами напряжения и тока будет такой угол сдвига фаз, при котором мощность, выделяемая в цепи, равняется мощности несинусоидального тока, то этот угол сдвига и равен условному углу .

Формально можно ввести понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей:

В цепях передачи сигналов (несинусоидальные функции) отсутствуют искажения, если сопротивление приемника Z (см. рис. 3.22) равно внутреннему сопротивлению источника , так как в этом случае при любой частоте напряжение приемника равно половине ЭДС , источника

Пример №58

Вычислить Р, Q и S, если напряжение и ток состоят из двух гармоник: 1-й и 3-й. Известны действующие значения гармоник напряжения и тока , а также углы сдвига фаз между гармониками напряжения и тока

Решение:

В этом случае мощности

Очевидно, что только при условиях Оба эти условия выполняются только при чисто активном со про rивлении приемника, т. е. при одинаковых формах кривых тока и напряжения

Высшие гармоники в трехфазных цепях

В трехфазных цепях кривые напряжения во второй и третьей фазах со сдвигом на треть периода обычно в точности воспроизводят форму кривой напряжения в первой фазе. Так, например, если напряжение в фазе А может быть представлено некоторой функцией времени , где Т - период основной частоты

Рассмотрим гармонику порядка k функции во всех трех фазах. Пусть

Учитывая, что и подставляя вместо t соответственно и получаем ;

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что напряжения гармоник порядка, кратного трем, где n - любое целое число, во всех фазах в любой момент времени имеют одно и то же значение и направление. При гармоники трех фаз образуют симметричную систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз 1-й гармоники. При гармоники образуют симметричную систему напряжений с последовательностью, обратной основной.

Таким образом, гармоники порядка 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. образуют системы напряжений прямой последовательности, гармоники 2, 5, 8, 11, 14 и т. д. образуют системы напряжений образной последовательности. Наконец, гармоники 3, 6, 9, 12 и т. д. образуют системы напряжений нулевой последовательности. При наличии постоянной составляющей в напряжении каждой из фаз она может рассматриваться как нулевая гармоника порядка, кратного трем (k = О), т. е. образующая нулевую последовательность.

В большинстве практически важных случаев в напряжениях отсутствуют как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Рассмотрим различные схемы соединения трехфазных цепей.

Если фазы генератора соединены звездой, то при несинусоидальном фазном напряжении линейные напряжения, равные разностям напряжений двух смежных фаз, не содержат гармоник напряжений порядка, кратного трем, так как последние образуют системы нулевой последовательности.

Отсутствие гармоник порядка, кратного трем, в линейных напряжениях приводит к тому, что при несинусоидальных напряжениях отношение линейного напряжения к фазному меньше

Действительно, фазное напряжение

а линейное напряжение

Отсюда следует, что

При симметричной нагрузке фазные токи основной частоты и все высшие гармоники, за исключением высших гармоник порядка, кратного трем, образуют системы прямой и обратной последовательностей и дают в сумме нуль. Гармоники же порядка, кратного трем, образуют систему нулевой последовательности, т. е. имеют в любой момент времени одинаковые значения и направления. ·Поэтому ток в нейтральном проводе равен утроенной сумме токов высших гармоник нулевой последовательности

При отсутствии нейтрального провода токи в каждой из фаз не могут содержать высших гармоник порядка, кратного трем, так как в этой схеме сумма токов в любой момент времени должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности и между нейтральными точками генератора и симметричного приемника может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем.

Если фазы генератора соединены треугольником, то при несинусоидальных ЭДС в фазах сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре генератора, не равна нулю, как при синусоидальных ЭДС, а равна тройной сумме высших гармоник порядка, кратного трем. Если включить вольтметр в рассечку треугольника (рис. 12.21), то вольтметр измерит гармоники ЭДС порядка, кратного трем, так как остальные в сумме дадут нуль, т. е.

Открытый треугольник с ЭДС, содержащими высшие гармоники, применяется как утроитель частоты.

Если фазы соединены в замкнутый треугольник, то ЭДС гармоник порядка, кратного трем, вызывают внутренний ток в генераторе. Этот ток протекает в замкнутом треугольнике генератора даже и в режиме холостого

хода генератора. Составляющая фазной ЭДС, содержащая гармоники порядка, кратного трем, однако, не выявляется между выводами фаз, так как она компенсируется падением напряжения на внутреннем сопротивлении фазы генератора. Фазное напряжение, равное в данном случае линейному

Поэтому во внешней цепи, подключенной к генератору, обмотки которого соединены треугольником, токи не содержат гармоник порядка, кратного трем

Фазный ток генератора при симметричной нагрузке

а линейный ток во внешней цепи

Пример №59

Найти показания приборов при разомкнутом и замкнутом ключе S в трехфазной цепи (рис. 12.22, а), имеющей соединенную звездой трехфазную систему источников (вторичные обмотки трехфазного трансформатора) с фазными ЭДС (в вольтах):

Сопротивление источника для 1-й гармоникиПриемником служат три конденсатора, соединенных звездой. Для 1-й гармоники

Решение:

Найдем показания приборов (индексы токов и напряжений соответствуют обозначениям приборов в схеме). Для случая звезды без нейтрального провода (ключ S разомкнут)

Для случая звезды с нейтральным проводом (ключ S замкнут)

Близость к резонансу на 3-й гармонике привела к очень большому значению тока 3-й гармоники в нейтрали. В этом случае оказалось, что линейное напряжение, которое не содержит 3-й гармоники, меньше фазного, так как вследствие почти резонансного режима 3-я гармоника фазного напряжения больше основной

Пример №60

Найти показания приборов при тех же фазных ЭДС и сопротивлениях, что и в примере , но при соединении фаз источника и приемника треугольником (рис. 12.22, 6).

Решение:

В этом случае 3-я гармоника замыкается в контуре генератора и . Так как остальные составляющие те же, что и в примере 12.12, то

Таким образом, 3-я гармоника влияет только на внутренние токи источника и не сказывается на распределении токgв и напряжений приемника.

Элементы теории графов и ее применение

Были даны основные понятия, относящиеся к топологическим графам, которые показывают геометрическую структуру электрической цепи. Применение топологических графов полезно, например, для выбора системы независимых контуров при расчете режима цепи методом контурных токови вообще при составлении топологических уравнений.

Для исследования сложных электрических систем, в особенности цепей с обратной связью, существенное сокращение объема вычислений дает применение сигнальных графоф, которые показывают графически соотношения между неизвестными и заданными переменными величинами (токами, напряжениями, потенциалами, ЭДС) системы уравнений, определяющих режим цепи. Сигнальный граф, как и топологический, состоит из ветвей, которые соединяются в узлах. Однако у злы сигнального графа соответствуют не узлам электрической схемы, а переменным величинам; направленные ветви сигнального графа отображают причино следственные связи между величинами, представленными в виде узлов, которые называют сигналами.

Достоинство сигнальных графов состоит не только в их наглядности; применение сигнальных графов во многих случаях позволяет определить зависимость любой переменной величины - сигнала от других переменных непосредственно по конфигурации графа.

В качестве примера рассмотрим построение сигнального графа системы уравнений, составленных для контурных токов схемы на рис. 13.l, а:

Из (13.l) следует, что

Последним уравнениям соответствует сигнальный граф (рис. 13.l, 6). Пользуясь методом узловых потенциалов и принимая , составляем для той же схемы (рис. 13.1,а) выражения, определяющие потенциалы и узлов 1 и 2 в виде

где

Этим уравнениям удовлетворяет сигнальный граф, изображенный на рис. 13.l, в. Легко заметить, что уравнения (13.2) и (13.3), представленные на рис. 13.1 сигнальными графами, записаны в форме «причинно-следственных» отношений, так как каждая переменная выражена в явном виде через другие переменные.

Введем дополнительные термины, применяемые для сигнальных графов.

Истоком сигнального графа (истоком) называется узел, от которого направлены все примыкающие к нему ветви. Истоку (обозначен жирной точкой) соответствует независимая переменная, представляющая обычно физическую причину. На рис. 13.1,б и в изображены истоки для источника ЭДС и источника тока

Стоком сигнального графа называется узел, к которому направлены все примыкающие ветви и который изображает зависимую переменную (сигнал).

Передача ветви характеризует интенсивность передачи сигнала по этой ветви и в общем случае выражается в виде или (рис. 13.2), где - сигналы в узлах - передача сигнала из узла

Истоки содержат только выходящие ветви, а стоки - только входящие.

На рис. 13.1,б и в нет стоков, так как в (13.2) и (13.3) каждый ток и потенциал выражены не только через независимые переменные (ЭДС и ток источника), но и через ток другого контура и потенциал другого узла. В этом случае, чтобы, например, для потенциала узла J получить сток, следует добавить ветвь с передачей, равной единице (штриховая линия и узел, обозначенный кружком на рис. 13.1, в). Такое изменение графа называется удлинением узла.

Любой другой узел, кроме истоков и стоков, соответствует, как уже отмечено, одной из зависимых переменных системы уравнений и может быть назван

промежуточным узлом. Передача ветви может быть размерной или безразмерной величиной. Например, в сигнальном графе на рис. 13.1, б передача от источника ЭДС имеет размерность проводимости; все остальные передачи безразмерные. В сигнальном графе на рис. 13.1, в передача от источника тока имеет размерность сопротивления, а остальные передачи безразмерные.

Узловой сигнал в любом узле, кроме узлов истока, равен сумме сигналов, поступающих по ветвям, направленным к этому узлу. Ветви, направленные от узла, не влияют непосредственно на его узловой сигнал, но создают сигналы в других узлах, к которым они направлены.

В дальнейшем будем пользоваться без специальных оговорок более кратким термином «граф» вместо «сигнальный граф».

Применение топологических уравнений для построения сигнальных графов

Для построения графа на основании законов Кирхгофа следует придерживаться определенной последовательности. Сначала выбирается дерево, содержащее ветви с источниками ЭДС или без источников ЭДС, но не содержащее источников тока. Так, для построения графа схемы рис. 13.3, а на рис. 13.3, б выбрано дерево из трех ветвей с произвольными положительными направлениями напряжений . Затем напряжения ветвей связи выражаются через напряжения ветвей дерева, а токи ветвей дерева - через токи ветвей связи; в результате получаются уравнения

токи ветвей связи

и токи ветвей дерева

Наконец, напряжения на ветвях дерева выражаются через сопротивления, токи и ЭДС ветвей:

Последовательность построения узлов и ветвей графа соответствует последовательности записи уравнений (13.4)-(13.7). На рис. 13.3,в изображен граф для заданной мостовой схемы, полностью удовлетворяющей приведенным системам уравнений. Если в схеме есть ветви, содержащие только идеальные источники

Для иллюстрации построения графов методом узловых потенциалов и методом контурных токов выберем схему, показанную на рис. 13.4, а.

Пользуясь методом узловых потенциалов, записываем для этой схемы уравнения

где

Из (13.8) потенциалы узлов

Уравнениям ( 13. 9) удовлетворяет граф, показанный на рис. 13.4, 6.

Пользуясь методом контурных токов, записываем для схемы рис. 13.4, а уравнения

где

Из этих уравнений контурные токи

На рис. 13.4, в построен граф, удовлетворяющий (13.11).

Таким образом, в зависимости от выбранного метода расчета и составления уравнений получаются различные графы для одной и той же схемы. При этом легко убедиться, что графы, построенные на основании законов Кирхгофа, сложней графов, построенных на основании уравнений для контурных токов или узловых потенциалов

Преобразования графов и их связь с преобразованиями электрических схем. Для получения правил преобразования графов рассмотрим ряд примеров.

Исключим из системы уравнений (13.2) ток , а из системы уравнений (13.3) потенциал q>2; в результате после элементарных преобразований получим

Полученным уравнениям соответствуют графы, показанные на рис. 13.5. Из сравнения первых из уравнений (13.2) и (13.12), а также из сопоставления графа, приведенного на рис. 13.1, 6, с графом, показанным на рис. 13.5, а , следует, что операция исключения контурного тока из системы контурных уравнений приводит к устранению контура в заданной схеме (рис. 13.1, а) и узла с током в графе на рис. 13.1, 6. В результате исключения этого узла получается в графе на рис. 13.5, а простейший контур, состоящий из петли с передачей, равной произведению передач ветвей и , и ветви от источника тока с передачей, равной произведению передач ветвей . Исключение потенциала в графе на рис. 13.1, в приводит- к аналогичному результату, что непосредственно следует из сравнения графов на рис. 13.1, в и рис. 13.5, 6.

Таким образом, решению уравнений методом последовательного исключения неизвестных величин соответствует преобразование графа. Такие простейшие преобразования уравнений и графов показаны в табл. 13.1.

Исключение неизвестных из системы уравнений автоматически приводит к исключению соответствующих узлов в графе. Например, исключив из системы уравнений (13.8) или (13.9) для схемы рис. 13.4, а и графа, показанного на рис. 13.4, 6, потенциал получим

Этим уравнениям соответствует граф, изображенный на рис. 13.6, не имеющий узла с потенциалом. При этом исключение второго узла привело к тому, что в узлах с потенциалами появились петли с передачами, равными произведениям передач ветвей, которые непосредственно примыкают к первому и третьему узлам, а также изменились передачи ветвей между узлами .

Прежде чем перейти к расчету режимов в линейных цепях при помощи графов, необходимо дать определения пути, передачи пути, контура, передачи контура, определителя и минора прямого пути сигнального графа.

Путь - непрерывная последовательность ветвей (в указанном направлении) между двумя узлами, вдоль которой. каждый узел и каждая ветвь в этой последовательности встречаются не более 1 раза; прямой путь - путь, начинающийся в истоке и заканчивающийся в стоке; передача пути П - произведение передач ветвей вдоль этого пути (имеющего определенное направление); контур - замкнутый путь (имеющий определенное направление), который начинается и заканчивается в одном и том же узле и вдоль которого любой другой узел этого контура и любая ветвь этого контура встречаются не более одного раза (в частном случае контур может состоять из одной ветви - петли); передача контура L - произведение передач ветвей этого контура; определитель графа D - определитель системы уравнений, для которой построен граф; минор прямого пути D' - определитель части графа, получающейся из исходного при исключении ветвей прямого пути и ветвей, имеющих общие узлы с ветвями прямого пути (определитель части графа, не соприкасающийся с прямым путем).

В приведенных выше примерах были показаны некоторые преобразования графов, вытекающие преимущественно из простых преобразований системы контурных и узловых уравнений схемы. Поскольку метод графов может быть

применен для анализа и других систем (не электрических), то рассмотрим еще один случай преобразования в более общей форме. На рис. 13.7,а изображен граф с четырьмя ветвями и одним контуром, истоком и стоком . Исключая из этого графа узел с сигналом при помощи равенства , получаем для узлов уравнения

Этим уравнениям соответствует граф, приведенный на рис. 13.7,6. После подстановки значения х3 из первого уравнения системы (13.13) во второе определяется сигнал

Таким образом, исключение петли приводит к графу (рис. 13.7, в) с одной ветвью, передача которой равна , где произведение abd равно передаче пути между узлами с сигналами , а произведение bс равно передаче контура L.

Применение сигнальных графов для расчета передаточных функций

Прежде чем получить общую формулу для определения передаточных функций линейной электрической цепи произвольной конфигурации при помощи графов, рассмотрим несколько достаточно общих примеров.

На рис. 13.8 изображен четырехконтурный граф, часть узлов которого для упрощения рш;унка обозначена цифрами, с контурными передачами , истоком и стоком Требуется определить передаточную функцию - передачу графа между узлами

Для узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 справедливы уравнения Искомую передачу графа определим, постепенно исключив остальные неизвестные, начиная с х 5, из системы уравнений. Иначе говоря,

откуда

Затем из уравнения

определим

и т. д. В результате получим связь между в виде

откуда

Искомая передаточная функция

Числитель этого выражения равен произведению передачи прямого пути на определитель который получается вычитанием из единицы передачи всех контуров, не касающихся пути с передачей П', и суммированием произведения контурных передач не касающихся друг друга контуров и пути с передачей П'. Знаменатель в этом случае равен определителю графа на рис. 13.8, который получается вычитанием из единицы всех передач контуров графа и суммированием с полученной разностью попарных произведений передач всех не соприкасающихся друг с другом контуров.

В качестве второго примера рассмотрим граф, показанный на рис. 13.9, для которого нужно найти передаточную функцию между узлами

Запишем уравнения для узлов 2, 3, 4, 5 и 6:

Исключив из этих уравнений неизвестные сигналы в узлах графа, начиная от его конца, получим

Поскольку то

Наконец,

или окончательно

Числитель полученного выражения (13.16) равен произведению передачи прямого пути от истока на определитель D', т. е. . Поскольку путь с передачей П' проходит через все узлы схемы, то определитель числителя получается равным единице (D' = 1). Знаменатель выражения (13.16) определяется аналогично знаменателю (13.15) и получается вычитанием передач всех трех контуров из единицы и суммированием с полученным выражением произведения передач двух несоприкасающихся контуров

При определении передачи от истока к любому узлу графа можно, не применяя преобразований, непосредственно пользоваться общим решением уравнений, определяющих режим цепи. Однако прежде чем дать общее решение этой задачи, рассмотрим еще граф в виде полного треугольника (рис. 13.10, а). Можно показать, что такой граф получается для электрической схемы, имеющей форму полного пятиугольника, у которого потенциал одного из четырех независимых узловых уравнений исключен.

Для этого графа справедливы уравнения

или где

Определить любой из узловых сигналов, например , считая его стоком (штриховая линия на рис. 13.10), можно, записав решение системы уравнений (13.17) при помощи определителей

где главный определитель системы уравнений

и

Определитель (13.19) можно представить состоящим из отдельных групп слагаемых

где, как нетрудно проверить,

-сумма передач всех (восьми на рис. 13.10) контуров графа ;

-сумма произведения передач попарно не соприкасающихся друг с другом контуров графа (не имеющих общих точек);

- сумма произведений передач троек не соприкасающихся контуров графа (у графа на рис. 13.10 одна тройка).

Как следует из (13.21), сумма произведений передач четного числа контуров входит в определитель со знаком плюс, а нечетного - со знаком минус.

Определитель

где - передачи прямых путей от истока к стоку (рис. 13.10,б); - определитель части графа, не касающейся пути с передачей , поскольку путь с передачей проходит через все узлы графа.

Обобщив результаты приведенных примеров, получим, что в общем случае передаточная функция (передача графа) между заданным истоком и выбранным стоком определяется по формуле Мезона (записана при расчете комплексным методом)

где суммирование выполняется для всех прямых путей.

Если схема цепи содержит несколько источников ЭДС и тока, т. е. у графа несколько истоков, то для определения какой-либо неизвестной величины, которую следует представить в виде стока, необходимо применить метод наложения.

Пример №61

Пользуясь графом (см., рис. 13.4,б), определить ток в сопротивлении схемы, показанной на рис. 13.4, а.

Решение:

Так как в схеме два источника (ЭДС и тока ), то для определения тока найдем потенциал пользуясь методом наложения.

Потенциал, создаваемый ЭДС, определяется по (13.26) и

где передачи контуров графа В числитель полученного выражения входит передача контура, не касающегося пути с передачей

Потенциал , создаваемый источником тока находится по той же формуле (13.26) и

где передача пути и

Потенциал создаваемый обоими источниками, равен:

Искомый ток(положительное направление от узла 3).

В заключение полезно подчеркнуть, что, пользуясь графами и формулой (13.26), можно во многих случаях сразу определять искомые величины, не решая совместно систему топологических уравнений цепи, как и показано в примере 13.1. При некотором навыке можно составить граф непосредственно по схеме цепи без записи системы уравнений.

Применение матриц и сигнальных графов к расчету соединений четырехполюсников

При каскадном соединении пассивных и неавтономных активных четырехполюсников без соблюдения принципа согласования, при параллельном, последовательном и других видах соединений параметры соединения или эквивалентного четырехполюсника проще рассчитываются при матричной форме записи уравнений или с применением сигнальных графов.

Для расчета параметров ·четырехполюсника, эквивалентного каскадному соединению двух четырехполюсников (рис. 13.11), следует пользоваться системой уравнений типа А (8.1 ).

Будем считать известными матрицы коэффициентов первого четырехполюсников. Согласно (8.lб) уравнения в матричной форме каждого четырехполюсника

Из рис. 13.11 ясно, что и Поэтому в первой системе уравнений (13.27) можно заменить и равными им величинами из второй системы, т. е. записать

Запишем еще уравнения в матричной форме для эквивалентного четырехполюсника

причем, очевидно, что Сравнение систем уравнений (13.28) и (13.29) показывает, что

откуда по правилу умножения матриц (строка на столбец) получаем

В случае каскадного соединения нескольких, т. е. цепочки, четырехполюсников нужно, применяя это правило, последовательно заменять эквивалентными соседние пары заданных четырехполюсников. Перемножаемые матрицы, которые называют цепочечными, должны быть записаны в том же rrорядке, в котором соединены четырехполюсники. Рассмотрим параллельное соединение двух четырехполюсников (рис. 13.12); в этом случае

и для расчета параметров эквивалентного четырехполюсника проще воспользоваться системой уравнений типа У. Действительно, в матричной форме для заданных четырехполюсников аналогично (8.2

и для эквивалентного четырехполюсника

Сложив левые и правые части уравнений (13.32), получим

где учтено равенство напряжений.

Из сопоставления (13.33) и (13.34) следует, что матрица проводимостей эквивалентного четырехполюсника равна сумме- матриц проводимостей параллельно соединенных четырехполюсников:

При последовательном соединении двух четырехполюсников (рис. 13.13) для расчета параметров эквивалентного четырехполюсника проще всего применить уравнения типа Z. Для заданных четырехполюсников согласно (8.3)

а для эквивалентного

Так как и то

Аналогично можно nоказать, что при последовательном соединении первичных выводов (как на рис. 13.13) и параллельном соединении вторичных (как на рис. 13.12) суммируются матрицы и , т. е. для эквивалентного четырехполюсника При параллельном соединении первичных (как на рис. 13.12) и последовательном соединении вторичных выводов (как на рис. 13.13) суммируются матрицы , т. е. для эквивалентного четырехполюсника

Применение матриц возможно при каскадном соединении любых пассивных и неавтономных активных четырехполюсников. Для всех остальных типов соединений должно выполняться так называемое условие регулярности. Это значит, что после соединения четырехполюсников через оба первичных (1 и 1') и оба вторичных (2 и 2') вывода каждого четырехполюсника должны протекать соответственно равные по значению и обратные по направлению токи. Например, у верхнего из четырехполюсников на рис. 13.13 через оба первичных вывода должен проходить ток , через вторичные - ток нижнего - токи что и показано на рисунке

Всегда регулярны параллельные соединения уравновешенных четырехполюсников, «подобных» четырехполюсников (схемы одинаковы, значения параметров соответственно пропорциональны), четырехполюсников, у которых выводы 1' и 2' соединены накоротко (например, Т- и П-образные неуравновешенные). Всегда регулярно последовательное соединение четырехполюсников, у которых соответственно выводы 1' и 2' первого и 1 и 2 второго соединены накоротко (например, неуравновешенных Т- или П-образного и перевернутого Т- и П образного).

Матричная форма записи уравнений применяется и для определения параметров четырехполюсников со сложной структурой, если можно такой четырехполюсник представить в виде сочетания двух или нескольких простых.

Для каждой системы уравнений четырехполюсника можно составить сигнальный граф. Например, для уравнений типа А (8.1) и типа Н (8.4) получаем графы, показанные на рис. 13.14,а и 6. При расчете коэффициентов четырехполюсника, эквивалентного регулярному соединению двух четырехполюсников, можно объединить их графы по правилу: сток напряжения и (или) тока одного объединяется соответственно с истоком напряжения и (или) тока другого для образования связи, которая получается при соединении четырехполюсников.

Рассмотрим в качестве примера каскадное соединение двух четырехполюсников ( см. рис. 13.11 ), заданных уравнениями типа А (8.1) или уравнениями типа Н (8.4). В первом случае объединяем истоки первого четырехполюсника со стоками второго , так как по рис. 13.11Граф соединения изображен на рис. 13.15.

Коэффициенты эквивалентного четырехполюсника можно найти либо преобразованием графа, либо по формуле Мэзона.

В первом случае надо устранить узлы сохранив все пути между истоками и стоками Граф на рис. 13.15 не имеет контуров, и его называют каскадным. На рис. 13.16 показан граф после устранения узлов и объединения параллельных ветвей. По графу на рис. 13.16 сразу могут быть записаны коэффициенты

По формуле Мэзона (13.26) любой из коэффициентов записывается сразу, так как контуров нет и = 1, т. 'е. передаточная функция равна Например, коэффициент (между истоком и стоком на рис. 13.15 два сквозных пути с передачами и

Bo втором случае (уравнения типа Н) объединяются те же истоки и стоки (рис. 13.17). Коэффициенты матрицы !! эквивалентного четырехполюсника, как и в первом случае, проще рассчитываются по формуле Мэзона. Граф имеет один контур с передачей, т. е.

Вычислим, например, коэффициент . Между истокоми стоком два сквозных пути: первый с передачей и с определителем (контур не касается первого пути) и второй с передачей (нет несоприкасающихся контуров). Итак

Определение коэффициентов матрицы Н эквивалентного четырехполюсника при заданных матрицах Н" и нь двух каскадно соединенных четырехполюсников без применения графов требует довольно длинного совместного решения двух систем уравнений типа Н (для первого и второго четырехполюсников).

Объединение графов предъявляет определенные требования к форме графа каждого четырехполюсника, так как объединяются сток и исток.

Классический метод расчета переходных процессов

В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменений, называемых часто коммутационными , которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают перехожные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) время после коммутации. Если нет специального указания, будем считать, что начало отсчета времени переходного процесса t = О начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначим О-, а сразу после мгновенной коммутации О+.

Сформулируем два закона коммутации:

1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который и назван моментом коммутации t = О+, или, короче, t = О, сохраняет значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, т. е. при t = 0-, и дальше начинает изменяться именно с этого значения:

Так, при включении ветви с катушкой, в которой не было тока, ток в этой ветви в момент коммутации равен нулю. Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа.

2. На емкостном элементе напряжение ( и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения:

Так, при включении ветви с конденсатором, который не был заряжен, напряжение на конденсаторе в момент коммутации равно нулю. Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, и в цепи не будет выполняться опять-таки второй закон Кирхгофа

С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока и напряжения объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергии магнитного поля и энергии электрического поля ). Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла, так как реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью и не могут ее обеспечить.

В этой главе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Поэтому исключается из рассмотрения нелинейный элемент - электрическая дуга, которая может возникнуть при коммутациях. Чтобы исключить влияние дуги, будем считать, что длительность коммутации по сравнению с продолжительностью переходного процесса очень мала, т. е. теоретически мгновенная.

Записанные выше законы коммутации для тока и напряжения ис в ветвях, содержащих реактивные элементы, при некоторых коммутациях не выполняются. Такие коммутации называют «некорректными» (приводят к требованию скачкообразных изменений токов и напряжений ).

Переходный, установившийся и свободный процессы

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на достаточно простом примере - включении последовательного контура (rLС-цепи) к источнику ЭДС е, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением.

Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени

где i - ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током, или просто током;

Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или тока), называют установившимися. После окончания переходного процесса источник ЭДС, изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим. Источники постоянной и изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (или тока) создают принужденный, или установившийся, режим.

Когда наступит установившийся режим, уравнение (14.1) примет вид

где - ток и напряжение установившегося режима, или просто установившиеся ток и напряжение.

Вычитая уравнение (14.2) из уравнения (14.1) и обозначая

получаем или

Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно тока и напряжением свободного процесса, или просто свободными током и напряжением.

Уравнения (14.4) показывают, что при переходе цепи от одного . установившегося состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, . конечно, от ЭДС е источника.

Уравнение (14.3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов - установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к утаившемуся режиму. Следователь во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие в общем случае принужденного, а при постоянных и периодических ЭДС или токах источников установившегося режима и свободного процесса:

Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей. Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение Таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (14.4а), и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14.1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Поэтому переходный ток и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.

Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются ·постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации

Начальными условиями назовем значения переходных токов в .индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = О, т. е те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия оказываются еще независимыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.

Короткое замыкание rL цепи

Короткое замыкание

Ветвь ·с сопротивлением и индуктивностью, например реальная катушка, внезапно замыкается ключом накоротко (рис. 14J). Ток в катушке до коммутации был постоянным

Найдем закон изменения тока в катушке. Установившийся ток в катушке после коммутации равен нулю.

Следовательно,

Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению первого порядка

общее решение которого, как легко проверить подстановкой,

В (14.8) А -постоянная интегрирования и -корень характеристического уравнения

соответствующего однородному дифференциальному уравнению (14.7)

При t = О из (14.8) следует, что , и, так :как по первому закону коммутации , т. е. при имеем , то

Таким образом, после коммутации

(рис. 14.2).

Величина .имеющая размерность времени, называется постоянной времен и rL-цепи и может быть определена как время, в течение которого свободный ток уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением . В самом деле

Для графического определения проведем касательную к кривой в любой ее точке С. Значение подкасательной · BD может быть найдено из треугольника CBD, а

где - масштабы, т. е. постоянная времени численно равна длине любой подкасательной. В частности, она численно равна длине подкасательной для касательной , проведенной в начальной точке

Величина, обратная постоянной времени,

называется затухание rL-цепи. Свободный ток затухает тем медленнее, и, следовательно, новый принужденный режим не устанавливается тем дольше, чем больше постоянная времени или чем меньше коэффициент затухания , т. е. чем больше индуктивность L и чем меньше сопротивление r.

Электродвижущая сила самоиндукции

равна при t = О напряжению на сопротивлении r и в момент коммутации поддерживает значение тока на начальном уровне.

С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания rL-цепи характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в магнитном поле катушки

в течение переходного процесса превращается в сопротивлении r в тепло:

Заметим, что теоретически процесс исчезновения тока в короткозамкнутой катушке длится бесконечно долго, чем и объясняется необходимость в качестве верхнего предела у интеграла взять бесконечность. Однако практически для многих катушек этот переходный процесс закончится весьма быстро. Постоянная времени rL-цепи обычно лежит в пределах от нескольких микросекунд до долей секунды. Последнее значение относится к большим катушкам со стальным магнитопроводом и значительным числом витков.

Если до короткого замыкания в катушке был переменный ток, то характер переходного процесса нисколько не изменится, но i (О) равно значению тока в катушке i (О-) в момент короткого замыкания.

С переходным процессом в rL-цепи приходится считаться во многих случаях электротехнической практики, например при измерении сопротивления r обмотки трансформатора с большой индуктивностью (рис. 14.3), которая питается от источника постоянной ЭДС Е через дополнительный резистор с сопротивлением R.

Напряжение на обмотке измеряется милливольтметром. Если после отсчета показаний амперметра и милливольтметра отключить обмотку трансформатора от источника напряжения, то ее ток замкнется через милливольтметр. Так как ток обмотки трансформатора может быть достаточно большим и в момент отключения рубильника не изменяется скачком, то милливольтметр можно сжечь. Обмотку возбуждения мощной электрической машины при необходимости быстро снять возбуждение не отключают от цепи питания (постоянное напряжение), а замыкают на разрядное сопротивление, в котором энергия магнитного поля превращается в тепло (рис. 14.4). Если просто разомкнуть цепь обмотки возбуждения, то даже при наличии электрической дуги ток очень быстро уменьшится до нуля будет очень велико). Так как обмотка возбуждения имеет большую индуктивность L., то в ней возникает весьма значительная ЭДС самоиндукции , которая может пробить изоляцию на корпус машины или изоляцию между витками

Включение rL-цепи на постоянное напряжение

Дифференциальное уравнение при включении rL-цепи (рис. 14.5) на постоянное напряжение (к источнику ЭДС Е = И) неоднородное

и имеет решение в виде суммы установившейся и свободной составляющих

У становившаяся составляющая тока

Однородное уравнение совпадает с (14.4), и его решение - с (14.8). Ток в цепи где

Постоянная интегрирования А определяется с учетом известного начального условия. До коммутации тока в цепи не было, поэтому согласно первому закону коммутации при t = О

Напряжение на индуктивности

Поскольку до включения напряжение на индуктивном элементе было равно нулю, а момент коммутации , то переходное и свободное напряжения на индуктивности изменяются скачком. Кривые изменения приведены на рис. 14.6. Как и следовало ожидать, они показывают, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется известное время (теоретически бесконечное) до наступления установившегося режима со значением тока Ток i возрастает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи , т. е. чем медленнее затухает свободный ток. Энергия, получаемая от источника, идет частично на увеличение энергии магнитного поля катушки, а частично переходит в тепло

Пример №62

В цепи с параметрами = 20 Ом, L= 0,6 Гн, подключенной к источнику постоянной ЭДС с напряжением И = 220 В (рис. 14.7), происходит внезапное уменьшение сопротивления от значения до = 12 Ом (ключ замыкает некоторую часть резистора с сопротивлением = 8 Ом). Найти закон изменения тока в цепи.

Решение:

На основании (14.8) и (14.5) напишем сразу выражение для свободного тока

и для переходного тока

Из условия отсутствия скачка тока при t = О получаем

откуда А = - 7,3.

Следовательно,

Отметим, что постоянная времени цепи после коммутации определяется параметрами Кривые· токов показаны на рис. 14.8. Из них видно, что ток i посте пенно возрастает от меньшего значения до большего Переходный процесс при внезапном увеличении сопротивления аналогичен рассмотренному, только ток будет постепенно уменьшаться.

Включение rL-цепи на синусоидальное напряжение

При включении rL-цепи (см. рис. 14.5) на синусоидальное напряжение u = установившийся ток также синусоидальный:

где а свободный ток определяется равенством (14.8), так как однородное дифференциальное уравнение прежнее.

Переходный ток i равен:

В рассматриваемой цепи до включения тока не было. Поэтому при t = О имеем

Окончательно получаем

Напряжение на индуктивности

При t = О для напряжения на индуктивности получим что легко установить и непосредственно. Действительно, в момент включения напряжение на индуктивном элементе равно напряжению источника, так как напряжение на резистивном равно нулю.

Кривая тока изображена на рис. 14.9, а. Она показывает, что по мере затухания тока переходный ток стремится к значению установившегося тока. Однако через промежуток времени от Т/4 до ЗТ/4 после включения, что зависит от угла ток может достигать значений, превышающих амплитуду установившегося тока.

Наибольшего возможного значения ток достигает, если в момент включения цепи установившийся ток равен амплитуде, т. е. (или , а постоянная времени цепи весьма велика затухает очень медленно. При этих условиях и приложенное напряжение в момент коммутации проходит через нулевое значение. Кривая тока при и достаточно больших значениях т приведена на рис. 14.9, б. Примерно через половину периода после включения цепи ток достигает почти удвоенной амплитуды установившегося тока

Итак, при включении rL-цепи к источнику синусоидального напряжения переходный ток ни при каких условиях не может превысить удвоенной амплитуды установившегося тока.

Начальное значение свободного тока равно абсолютному значению и противоноложно по знаку начальному значению установившегося тока. Поэтому, если в момент включения установившийся ток проходит через нуль, то начальное значение свободного тока также равно нулю. Свободный ток вообще не возникает, и в цепи сразу устанавливается установившийся режим. Это будет, как показывает формула (14.16), при .

В разветвленной цепи с одним индуктивным элементом постоянная времени свободной составляющей любого из токов

где - входное сопротивление цепи по отношению к выводам ветви с индуктивным элементом, например для цепи рис. 14.10 после коммутации

Короткое замыкание rC-цепи

Предположим, что конденсатор емкостью С был заряжен от источника постоянной ЭДС (рис. 14.11) до напряжения , а затем замкнулся ключ и конденсатор разряжается через резистор 1·.

Ветвь с резистором и конденсатором в дальнейшем будем называть сокращенно rС-цепью.

Исследуем возникающий переходный процесс.

Установившееся напряжение на конденсаторе и установившийся ток i равны нулю. Ток и напряжение равны свободным составляющим. Выберем положительные направления напряжения на конденсаторе и тока совпадающими (как и при расчете режимов в цепях переменного тока), так что ток

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации

На основании (14.19) и (14.20а) составим дифференциальное уравнение для напряжения:

Это однородное уравнение первого порядка. Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корень

Общее решение

Величина , имеющая размерность времени, называется постоянной времени-цепи. Обратная ей величина ' называется коэффициентом затухания гС -цепи. Постоянная времени т тем больше, чем больше емкость и сопротивление. Следовательно, чем больше емкость С и сопротивление r, тем медленнее в цепи затухают свободные ток и напряжение, тем медленнее происходит разрядка конденсатора.

Постоянную интегрирования А определим из начальных условий. Согласно закону коммутации напряжение на емкости в момент коммутации (т. е. при t = О) не может измениться скачком, поэтому

Для напряжения на конденсаторе получим:

и ток согласно (14.19)

Кривые изменения ис и i приведены на рис. 14.12.

С -энергетической точки зрения процесс :короткого замыкания rС-цепи характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло в резисторе

Отметим, что практически ветвь с сопротивлением и емкостью всегда имеет и какую-то индуктивность, хотя бы и очень малую. Поэтому и в данном случае ток начнется с нуля (т. е. не изменится скачком), но очень быстро достигнет значения, весьма близкого к, и затем будет уменьшаться практически экспоненциально (14.23).

Если конденсатор в цепи рис. 14.11 до включения рубильника питался от источника синусоидальной ЭДС, то - значение напряжения на конденсаторе в момент коммутации.

Если положительное направление тока i (рис. 14.11) выбрать противоположным положительному направлению напряжения , то знаки в формулах (14.19) и (14.23) изменятся на обратные.

Включение rС-цепн на постоянное напряжение

Рассмотрим переходный процесс при включении rС-цепи на постоянное напряжение И (рис. 14.13). Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, или с учетом (14.19) Соответствующее однородное уравнение, т. е. уравнение для свободного процесса, совпадает с (14.20). Поэтому свободное напряжение на емкости

Переходное напряжение на емкости

Так как конденсатор не был заряжен, т. е. при t = О напряжение (О) = О, ТО А= -U и

Для тока получим

Начальное значение тока i (О+) может быть получено и непосредственно

Так как , то все напряжение источника равно напряжению Кривые изменения (рис. 14.14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, и ток спадает тем медленнее, чем_ больше постоянная времени цепи t, т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение

Отметим аналогию законов изменения тока в rL-цепи и напряжения в rС-цепи при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств (14.14) и (14.25) и кривых на рис. 14.6 и 14.14. Аналогично также изменение величин и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения rL- и rС-цепей на синусоидальное напряжение.

К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.

Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении rС-цепи, не зависит от значения r

Включение rС-цепи на синусоидальное напряжение

При включении rС-цепи (см. рис. 14.13) на синусоидальное напряжение Установившееся напряжение на емкости где

Изменение свободного напряжения на емкости по-прежнему определяется соотношением (14.24), и переходное напряжение на емкости

где постоянная времени цепи .

Начальные условия дают при t =О.

Отсюда

и напряжение на емкости

ток

При t = О ток Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена и напряжение питания равно напряжению на резисторе.

Полученное выражение для тока объясняет возникновение больших толчков тока при включении ненагруженной кабельной сети, т. е. сети, в которой распределение энергии происходит по кабелям. На рис. 14.15 приведена эквивалентная схема ненагруженной кабельной сети, где С - эквивалентная емкость, учитывающая емкость каждой фазы на землю и емкость между фазами. Если сеть достаточно мощная, то поперечные сечения кабелей значительны и сопротивления r малы. Поэтому при включении сети в момент, когда напряжение одной из фаз проходит через амплитудное значение, наблюдаются весьма значительные толчки тока.

Кривая изменения напряжения аналогична кривой тока на рис. 14.9, а. Спустя время от Т /4 до 3 Т /4 после включения напряжение может достигать значений, превышающих амплитуду установившегося режима. Максимальное значение ис получается, если в момент включения цепи установившееся напряжение равно амплитудному значению , а постоянная времени цепи. Кривая для аналогична кривой тока на рис. 14.9, б. Примерно через половину периода после включения цепи напряжение достигает почти удвоенной амплитуды установившегося режима, т. е.

Итак, в этом случае переходное напряжение на емкостном элементе ни при каких условиях не может превышать удвоенной амплитуды установившегося режима.

Если в момент включения установившееся напряжение на емкостном элементе проходит через нуль, то начальное значение его свободной составляющей также равно нулю, т. е. свободного напряжения на емкостном элементе вообще нет и в цепи сразу возникает установившийся режим.

Совершенно так же, как и для цепи на рис. 14.10, но заменяя индуктивность емкостью, можно показать, что в раз. ветвленной rС-цепи с одним конденсатором постоянная времени

Переходные процессы в rLС-цепи (последовательном контуре)

По второму закону Кирхгофа свободные напряжения на всех элементах неразветвленной цепи взаимно уравновешиваются. Поэтому в последовательном контуре при отсутствии источников, т. е. при

где

Подставляя значение i в уравнение (14.30), после дифференцирования получаем для дифференциальное уравнение второго порядка:

Заряд на конденсаторе удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению:

Тождественность дифференциальных уравнений указывает на одинаковый закон изменения

Для решения любого из этих дифференциальных уравнений составим характеристическое уравнение

Характер свободного процесса зависит только от параметров rLС-цепи, т. е., иначе говоря, от вида корней характеристического уравнения. Так как эти корни определяются равенством

то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения, который и определяет, будут ли корни действительными или комплексными.

Апериодическая разрядка конденсатора

Апериодической разрядкой конденсатора, заряженного до напряжения , через резистор и катушку индуктивности называется разрядка, при которой напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения И O до нуля, т. е. не происходит перезарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает, что при разрядке конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой доле переходят в энергию магнитного поля катушки," а большая ее часть поглощается в резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электрического поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле катушки.

Апериодическое решение однородного дифференциального уравнения, т. е. в рассматриваемом случае апериодический характер свободного процесса (разрядки конденсатора), имеет место, если корни характеристического уравнения (14.35) действительные, т. е. если

или

Назовем критическим сопротивлением контура такое его наименьшее значение, при котором свободный процесс имеет еще апериодический характер:

Корни действительные и различные, если вьполняется неравенство

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка, и в частности (14.32), при различных корнях записывается в виде

где при условии (14.36) - действительные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, а - действительные и различные корни характеристического уравнения.

Заметим, что корни обязательно отрицательные, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.

Согласно (14.31) ток

При разрядке конденсатора установившееся напряжение на нем и ток равны нулю, поэтому их переходные значения равны свободным:

Из начальных условий и определим значения постоянных интегрирования. Подставив начальные условия в (14.38) и (14.39), получим

откуда

При этих значениях постоянных интегрирования напряжение (14.38) и ток (14.39)

Так как произведение корней характеристического уравнения равно его свободному члену, т. е. , то

Напряжение на индуктивности

Ток и напряжения на емкостном и на индуктивном элементах состоят из двух экспоненциальных составляющих, коэффициенты затухания которых равны и определены равенствами (14.35).

Кривые изменения и их составляющих приведены на рис. 14.17 и 14.18. Они показывают, что напряжение монотонно уменьшается с начального значения , а ток, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем также уменьшается. Касательная к кривой в начале координат горизонтальна, так как производная напряжения пропорциональна току и в начальный момент равна нулю

Поскольку , максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения получаются в один и тот же момент времени Это время можно найти, приравняв нулю производную

Напряжение на индуктивном элементе изменяется от значения - , так как при t = О и ток, и напряжение равны нулю, и, следовательно, напряжения равны по абсолютному значению. Напряжение по абсолютному значению сначала уменьшается, затем проходит через нуль в момент, когда ток максимален (что следует из соотношения , и возрастает до некоторого положительного максимума, после чего уменьшается и стремится к нулю. Пока ток алгебраически уменьшается (в интервале от нуля до ), ЭДС самоиндукции , поддерживая его, будет согласно закону Ленца положителной, а напряжение - отрицательным. Когда ток начинает алгебраически возрастать, ЭДС самоиндукции противодействует ему и будет отрицательной, а напряжение - положительным.

Максимум кривой и точка перегиба кривой i получаются в один и тот же момент времени , что следует в свою очередь из равенства. Этот момент времени можно найти, приравняв нулю производную .

Отметим также влияние индуктивности на протекание процесса. Из выражений (14.35) следует, что увеличение индуктивности L приводит к уменьшению абсолютных значений и, стало быть, к замедлению нарастания тока и спада напряжения на конденсаторе. Наоборот, при малой индуктивности L ток растет быстро и быстро спадает напряжение на конденсаторе. Такой случай фактически получается при разрядке конденсатора через резистор.

Предельный случай апериодической разрядки конденсатора

Предельный случай апериодической разрядки конденсатора имеет место, если сопротивление контура , т. е. корни характеристического уравнения (14.34) действительные и равные:

Общее решение однородного дифференциального уравнения (14.32) дается в этом случае формулой

[ в случае цепи с тремя равными корнями

На основании (14.31) для свободного тока получим

При начальных условиях и находим постоянные интегрирования Подставив значения в (14.43) и (14.44), получим напряжение на емкостном элементе и ток:

Определим также напряжение на индуктивном элементе:

Кривые изменения по форме не отличаются от приведенных на рис. 14.17 и 14.18.

Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора

Разрядка будет периодической или колебательной, если сопротивление контура меньше критического: т. е. корни характеристического уравнения (14.34) комплексные и сопряженные. Обозначим в (14.35)

так что

где - угловая частота и - период собственных или свободных колебаний контура. Для корней получим

Решение дифференциального уравнения (14.32) при комплексных корнях его характеристического уравнения удобно записать в виде

(но можно и в виде суммы двух экспонент с комплексными показателями)

Ток

Так как переходные напряжение и ток по-прежнему равны их свободным значениям и начальные условия такие же, как и в двух предыдущих случаях, то по формулам (14.52) и (14.53) получим

Из последних соотношений находим

Подставив значения в (14.52) и (14.53) и обозначив для краткости

получим окончательные выражения:

Кривые изменения даны на рис. 14.19. Ток и напряжения представляются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой собственных колебаний контура и коэффициентом затухания причем как , так и определяются только параметрами контура r, L и С. Начальная фаза зависит также только от параметров контура, в то время как зависят и от параметров контура, и от начального напряжения на конденсаторе.

Быстроту затухания рассматриваемых колебаний характеризуют отношением напряжений в моменты времени

Это отношение, называемое декрементом колебания, -постоянная величина, не зависящая от времени t, а зависящая лишь от параметров rLСконтура.

Часто быстроту затухания колебаний характеризуют натуральным логарифмом этого отношения

Если кривая затухает медленно, то отношение ее значений, отстоящих на время друг от друга, близко к единице, логарифмический декремент близок к нулю. На рис. 14.20 представлены кривые изменения отношения амплитуд колебаний в конце 1, 2, 3-го и т. д. периодов к начальной амплитуде, построенные для разных значений логарифмического декремента

Сопротивление r оказывает существенное влияние на скорость затухания колебательной разрядки конденсатора. Кроме того, как показывает равенство (14.49), по мере увеличения сопротивления r уменьшается частота собственных колебаний и увеличивается их период . Когда r достигнет значения , частота собственных колебаний будет равна нулю, период - бесконечности, что соответствует апериодической разрядке.

При колебательной разрядке конденсатора через идеальную катушку (r = О) получим

т. е. затухание процесса равно нулю, а частота собственных колебаний имеет наибольшее возможное значение и равна резонансной частоте последовательного контура.

Из равенств (14.54)-(14.56) следует, что будут изменяться гармонически с угловой частотой

Ток i отстает по фазе на от напряжения на индуктивном и опережает на напряжение на емкостном элементах. Поскольку сопротивление отсутствует, первоначальный запас энергии остается неизменным и энергия попеременно переходит из электрического поля в магнитное, и наоборот

Включение rLС-цепи на постоянное напряжение

Условимся называть последовательный контур (рис. 14.21) апериодическим, если каждая из составляющих его свободного тока изменяется по экспоненциальному закону. Сравнивая включение апериодического контура на постоянное напряжение И с апериодической разрядкой конденсатора, заключаем, что установившийся ток по-прежнему равен нулю, а установившееся напряжение на емкостном элементе теперь равно не нулю, а И. Поэтому в отличие от апериодической разрядки конденсатора теперь , т. е. знаки коэффициентов изменяются на обратные. Переходные напряжения и ток

Кривые даны на рис. 14.22. Напряжение монотонно возрастает от нуля до напряжения источника ,

причем точка перегиба кривой при получается в момент, когда ток достигает максимального значения. Касательная к кривой в начальный момент t = О горизонтальна, так как ток. в начальный момент равен нулю. Кривые тока i и напряжения по характеру.

Включение rLС-цепи на постоянное напряжение при исследуется аналогично. Сравнивая включение колебательного контура с колебательной разрядкой конденсатора, заключаем, что свободные напряжения и ток в рассматриваемом случае изменяются так же, как и при колебательной разрядке, только теперь и знак коэффициента А изменяется на обратный. Поэтому" как было показано выше, знаки свободных

напряжений на емкостном (14.54) и на индуктивном (14.56) элементах и тока (14.55) тоже изменяются на обратные:

Кривые даны на рис. 14.23. Ток совершает затухающие колебания относительного нулевого значения. Напряжение колеблется около своего установившегося значения и не может превзойти 2. Оно достигает наибольшего значения примерно через половину периода после включения цепи. Этим пользуются в импульсной технике для получения напряжения на конденсаторе, равного двойному значению напряжения исtочника питания. Так же как и при колебательной разрядке конденсатора, заслуживает внимания случай включения на постоянное напряжение идеального колебательного контура (r = О). В этом случае выполняются равенства (14.58). Поэтому из (14.62)-(14.64) для тока и напряжений на емкости и индуктивности имеем

Ток и напряжения изменяются гармонически с частотой свободных колебаний , при_ этом напряжение колеблется в пределах от О до 2U.

С энергетической точки зрения процесс включения rLС-цепи на постоянное напряжение интересен тем, что при любых r, L, С половина энергии, полученной от источника за время переходного процесса, перейдет в тепло, а другая половина запасется в электрическом поле конденсатора.

Действительно, энергия, поступающая от источника

или

Как частный случай, из доказанного следует, что те же самые энергетические соотношения будут иметь место и при L= О, т. е. при включении rС-цепи на постоянное напряжение. Аналогично рассматриваются явления, возникающие при включении апериодического и колебательного контуров на синусоидальное напряжение u=

Общий случай расчета переходных процессов классическим методом

Порядок анализа переходных процессов в разветвленных цепях рассмотрим на достаточно простом примере расчета тока в цепи рис. 14.24, чтобы нетрудно было проследить путь анализа и все его этапы. Далее будут даны необходимые пояснения.

1. Для цепи после коммутации составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

где После подстановки в (14.65) и дифференцирования уравнений (14.656 и в) получим систему уравнений для трех неизвестных токов:

2. Независимые начальные условия - ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе неизвестны. Поэтому определим их из расчета режима цепи до коммутации с применением законов коммутации.

Считая, что до коммутации в левом контуре был установившийся режим, при постоянной ЭДС Е конденсатор был заряжен до напряжения т. е. а ток был равен нулю, т. е. Это и есть независимые начальные условия.

3. Запишем искомую величину в виде суммы установившейся и свободной составляющих:

4. У становившуюся составляющую найдем, рассчитав режим цепи постоянного тока (ЭДС в цепи постоянная) после коммутации.

В установившемся режиме после коммутации ток есть только во внешнем контуре,

5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Из системы трех уравнений (14.66) с тремя неизвестными можно исключить токи и для полученного дифференциального уравнения записать характеристическое уравнение. Однако для определения корней можно составить главный определитель системы (14.66) и приравнять его к нулю:

Корень соответствует установившемуся режиму, который уже найден. Два других корня определяются из характеристического уравнения Они могут быть действительные разные , равные или комплексные сопряженные (действительная часть корней не может быть положительной, так как в рассматриваемых цепях переходные процессы затухают).

6. Запишем свободную составляющую с постоянными интегрирования, обращая внимание на вид корней (действительные различные, равные, комплексные сопряженные):

Далее для определенности будем предполагать случай действительных разных корней.

7. Искомое решение с двумя постоянными интегрирования

8. Для определения двух постоянных интегрирования запишем полученное решение и его производную для начального момента времени

Это два алгебраических уравнения, из которых можно найти постоянные при известных значениях и Начальное значение тока определим из системы дифференциальных уравнений цепи (14.65), записанной для момента

В этой системе алгебраических уравнений с тремя токами, производной тока и напряжением две величины и были уже найдены с применением законов коммутации. Следовательно, остальные три величины и можно вычислить.

Для определения начального значения производной дифференцируем систему уравнений Кирхгофа (14.65) и подставляем

Это система трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными , которые и можно вычислить. В рассматриваемой задаче достаточно найти

При трех корнях характеристического уравнения потребовалось бы еще раз продифференцировать уравнения Кирхгофа для определения третьего начального значения -второй производной искомой величины при, и т. д.

9. После определения постоянных и остается подставить их в искомое решение, и расчет закончен.

Для определения других токов и напряжений не требуется заново выполнять все ,этапы расчета. Действительно,

О Системе дифференциальных уравнений. Необходимое число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, определяется так же, как и при расчете установившихся режимов в цепях постоянного и переменного токов. Независимые контуры выбираются по тем же правилам, , что и для цепей постоянного и переменного токов

Независимые начальные условия. В цепи рис. 14.24 ЭДС Е постоянная. Если ЭДС синусоидальная то ток до коммутации т. е. напряжение т.е.

У становившийся режим после коммутации. При синусоидальной ЭДС в цепи рис. 14.24 ток

и аналогично

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения п-го порядка, как известно, составляется алгебраизацией соответствующего однородного уравнения. Например, у дифференциального уравнения тока

характеристическое уравнение

имеет п корней, среди которых могут быть действительные и комплексные сопряженные, различные и одинаковые. Степень· п называется порядком цепи. Так были получены характеристические уравнения цепей.

Однако, как указывалось выше, при анализе переходных процессов классическим методом в цепи, для которой составлена система уравнений Кирхгофа, можно получить характеристическое уравнение, составив главный определитель системы дифференциальных уравнений. Для понижения порядка определителя, при помощи которого находятся корни характеристического уравнения, можно записать уравнения цепи с контурными токами. Например, для цепи на рис. 14.24, выбрав контуры с токами составим систему уравнений

главный определитель которой

Уравнение имеет те же корни, что и характеристическое уравнение (14.68), т. е. также является характеристическим.

Нетрудно заметить, что элементы определителя [в отличие от элементов это собственные и обшие комплексные сопротивления контуров той же самой цепи при замене оператором

и т.д.

Таким образом, определитель (14.69) можно записать сразу без составления дифференциальных уравнений.

Составив комплексное входное сопротивление цепи для источника синусоидальной ЭДС (вместо источника ЭДС Е в цепи рис. 14.24) после замены оператором р получим

Как будет показано, уравнение - это тоже характеристическое

Источник ЭДС можно считать включенным в любую из ветвей цепи, т. е.

- это тоже характеристические уравнения.

Рис. 14.25

Рис. 14.26

Характеристическим является и уравнение

где главный определитель системы, составленной методом узловых потенциалов с заменой оператором р. Например, для цепи на рис. 14.24 (с двумя узлами) определитель (первого порядка)

Число корней характеристического уравнения не может быть больше числа накопителей энергии в цепи после коммутации, т. е. числа ее индуктивных и емкостных элементов. Если схема замещения цепи не содержит особых контуров, состоящих только из емкостных элементов и источников ЭДС, и особых сечений, у которых в каждой ветви· есть индуктивные элементы или источники тока, то число корней характеристического уравнения равно числу накопителей энергии. На рис. 14.25, а и 6 штриховой линией показаны особые контур и сечение. Число корней для цепи на рис. 14.25, а равно не 4, а 3 (один емкостной контур), для цепи на рис. 14.25, 6 оно равно не 5, а 4 ( одно индуктивное сечение).

Наличие индуктивных связей не увеличивает числа корней характеристического уравнения. Например, для цепи на рис. 14.26, а запишем характеристическое уравнение, составив входное сопротивление для источника ЭДС после развязки индуктивной связи (рис. 14.26,6):

или

у которого два корня. Для цепи на рис. 14.26, а при отсутствии индуктивной связи характеристическое уравнение

или

т. е. тоже второго порядка (корни, конечно, другие).

Корни характеристического уравнения определяются только топологией цепи после коммутации и значением ее параметров. В общем случае они одинаковы для любого из токов и напряжений цепи. Но следует обратить внимание на то, что в частных случаях, например в цепях на рис. 14.27, а и б, общее правило не выполняется. В цепи на рис. 14.27, а после замыкания рубильника · задано напряжение между узлами 1 и 2. Поэтому на переходный процесс в каждой из ветвей с индуктивным и емкостным элементами не влияет вторая ветвь. Цепь на рис. 14.27, б после коммутации распадается на две отдельные цепи.

Рис. 14.27

Рис. 14.28

Корни характеристического уравнения, как указывалось, имеют отрицательные действительные части ( свободные составляющие процесса затухают). Это справедливо для всех цепей с потерями, в которых действуют только независимые источники ЭДС и тока. Следовательно, на комплексной плоскости точки, изображающие корни, располагаются на левой полуплоскости. В цепях с зависимыми источниками, например четырехполюсники - операционные усилители с обратной связью, возможно самовозбуждение. В этом случае характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень (полюс передаточной функции) с положительной действительной частью, изображающая точка которого находится на правой полуплоскости (неустойчивость). Существуют критерии (Гурвица, Михайлова, Найквиста), дающие возможность судить об устойчивости без вычисления корней характеристического уравнения, т. е. полюсов [5].

Пример №63

Найти ток в цепи на рис. 14.28 при параметрах Выбранные положительные направления то ков и напряжения на конденсаторе показаны на рисунке.

Решение:

1) Дифференциальные уравнения цепи после коммутации

2) Независимые начальные условия

3) Искомый ток

4) После коммутации ток (замыкается в ветви с индуктивным элементом; источник ЭДС не создает тока в ве,ви с ЭДС гак как ток второго источника тоже замыкается в ветви с индуктивным элементом).

5) Входное сопротивление для источника ЭДС, включаемого в ветвь с ключом,

Характеристическое уравнение 0 имеет корни

6) Свободная составляющая тока при различных действительных корнях

7) Искомое решение записывается в виде

8) Для определения постоянных интегрирования составим систему уравнений

Для решения этой системы необходимо найти начальные значения тока и его производной из системы уравнений Кирхгофа с учетом независимых начальных условий. При

Так как уже найдены независимые начальные условия, то это система пяти алгебраических уравнений с пятью неизвестными. После решения находим

Для определения дифференцируем систему уравнений Кирхгофа и подставляем t = 0

Здесь пять неизвестных, любую из которых можно найти. Чтобы вычислить производную проще всего сложить третье и четвертое уравнения. Их сумма и первое уравнение - это два уравнения с двумя неизвестными, откуда находим Теперь из системы уравнений относительно определяем

9) Ответ:

Пример №64

Для цепи на рис. 14.29 заданы параметры: Найти ток после коммутации.

Решение:

2)

3)

4)

5) Входное сопротивление для источника ЭДС, включаемого в ветвь ключа (источник тока идеальный). Из характеристического уравнения находим

6)

7)

8) при из первого уравнения Кирхгофа

Рассмотренный метод расчета переходных процессов применим и к цепям, схемы замещения которых содержат управляемые источники.

Пример №65

К выходным выводам гиратора, схема замещения которого приведена на рис. 8.12, присоединена

Рис. 14.29

Рис. 14.30

Гиратор подключается к источнику с постоянной ЭДС Е и внутренним сопротивлением 1·н, (рис. 14.30). Определить напряжение

Решение:

Дифференциальные уравнения цепи где

После иск:1ючения токов получим дифференциальное уравнение ,для напряжения где

Начальное условие Напряжение (источник постоянной· ЭДС), г. е., как следует и, уравнения, Свободная составляющая rне корень находи1ся из характеристического уравнения т.е. Так как

Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью

Рассмотрим переходный процесс в цепи на рис. 14.31, а, у которой две катушки для упрощения вычислений с одинаковыми сопротивлениями и одинаковыми индуктивностями имеют индуктивную связь. Вторая катушка замкнута накоротко, а первая подключается к источнику постоянного напряжения .

Рис. 14.31

Токи в катушках связаны уравнениями Кирхгофа

Начальные условия нулевые, Установившиеся значения ТОКОВ

Для определения корней характеристического уравнения составим главный определитель и приравняем его к нулю:

откуда находим два корня Напомним, что учет индуктивной связи не увеличивает числа корней характеристического уравнения.

Токи

Чтобы вычислить постоянные кроме начального значения нужно найти

Умножим (14.72) на и (14.73) на М и вычтем (14.73) из (14.72) при

откуда находим

При из (14.74) следует

Отсюда определяем постоянные интегрирования Аналогично находим и токи катушек

На рис. 14.31, 6 построены кривые изменения токов Одна из свободных составляющих токов затухает медленнее, т. е. имеет большую постоянную времени, определяемую суммой индуктивности L и взаимной индуктивности М, а вторая затухает быстрее, так как ее постоянная времени определяется разностью L- М. Для сравнения на рис. 14.31, 6 показано, как изменялся бы ток первой катушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (штриховая кривая). В первые моменты после включения ток первой катушки увеличивается быстрее, чем он возрастал бы при разомкнутой второй катушке. В этом можно убедиться, подсчитав начальные значения производных в обоих случаях. При замкнутой второй катушке, как было найдено,

а при разомкнутой второй катушке

В первом случае производная больше, поэтому ток растет быстрее.

Начиная по абсолютному значению уменьшается и знак его производной изменяется на обратный. Кроме того, как показано на рис. 14.31, 6, ток , начиная с некоторого момента времени, растет медленнее, чем при разомкнутой второй катушке.

Попутно отметим, что, поскольку при включении токи катушек имеют противоположные направления, механические силы их взаимодействия стремятся оттолкнуть катушки друг от друга.

Рассмотрим энергетические соотношения.

Для этого умножим на обе части уравнения (14.72) и на обе части уравнения (14.73) и представим их в виде

Подставив в предыдущее уравнение, получим

Проинтегрировав в пределах от О до будем иметь

Отсюда следует, что получаемая от источника энергия преобразуется частично в тепло -джоулевы потери обеих катушек (первые два слагаемых левой части последнего равенства), а частично запасается в магнитном поле обеих катушек (три последних слагаемых левой части этого равенства). Так как знаки токов различны (рис. 14.31, 6), то последний член отрицателен. Более подробный анализ показывает, однако, что знак суммы трех последних членов всегда положителен, так что за любой промежуток времени от О до энергия источника частично переходит в тепло, а частично расходуется на увеличение энергии магнитного поля катушек.

Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно изменяющегося напряжения (интеграл Дюамеля)

Пусть произвольный пассивный линейный двухполюсник подключается :к источнику непрерывно изменяющегося с момента t = О напряжения и (рис. 14.32, а). Требуется найти ток i (или напряжение) в любой ветви двухполюсника (рис. 14.32, б) после замыкания :ключа.

Задачу решим в два приема. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения (напряжение постоянное и численно равно единице).

Единичный скачок (единичное ступенчатое воздействие) задается единичноii ступенчатой функцией - функцией Хевисайда 1 (t), изображенной на рис. 14.33, которая и представляет собой с точки зрения теории электрических цепей единичное постоянное напряжение (или так), действующее на входе цепи с момента t = О+, так что

Функция h (t), численно равная искомому току (или напряжению), при действии единичного скачка называется переходной функцией или переходной характеристикой. Это реакция цепи на единичный скачок

Например, для переходная функция тока , для переходная функция напряжения на емкостном элементе Если определяются и ток, и напряжение, можно соответственно обозначить

Переходную функцию h (t) при любой схеме пассивного двухполюсника можно найти классическим методом (или операторным методом, или методом интеграла Фурье - см. ниже). Таким образом, в дальнейших расчетах функцию h (t) будем считать известной.

Так как включается пассивный двухполюсник, то при t < О токи и напряжения в любой ветви равны нулю. Поэтому при t < О следует считать h (t) = О.

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток.

Непрерывно изменяющееся напряжение и (t) заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками Ли (см. рис. 14.32, а). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при t = О постоянного напряжения и (О), а затем как включение элементарных постоянных напряжений Ли, смещенных относительно друг друга на интервалы времени Лt и имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент t от постоянного напряжения и (О) равна и (О) h (t). Составляющая тока в момент t от элементарного скачка напряжения включаемого в момент времени равна Здесь аргументом переходной функции служит время поскольку элементарный скачок напряжения начинает действовать на время , позднее замыкания ключа, или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом , начала действия этого скачка и моментом времени t равен

Рис. 14.32

Рис. 14.33

Элементарный скачок напряжения

где масштабный коэффициент. Поэтому искомая составляющая тока

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от t = О до момента t, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения и (0), получаем

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения называется формулой или интегралом Дюамеля (первой формой записи интеграла Дюамеля). Аналогично решается задача при подключении цепи к источнику тока.

Учитывая теорему свертки двух функций

преобразованием (14.78) можно получить и другие формы записи.

Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы

В дальнейшем под произвольной формой напряжения будем понимать его изменение, определяемое кусочно аналитической функцией, т. е. функцией, аналитически заданной на каждом конечном интервале и имеющей в точках стыка интервалов разрывы непрерывности первого рода.

Пусть произвольный пассивный двухполюсник подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рис. 14.34. Для вычисления тока определим, как и выше, переходную функцию

Так как в промежутке включаемое напряжение задано функцией и то, воспользовавшись формулой (14.78), можем написать для этого промежутка времени

Рис. 14.34

В следующем промежутке напряжение задано другой функцией причем в момент оно изменяется скачком от значения до значения Для учета скачка напряжения в точке будем считать, что в этот момент к двухполюснику прикладывается отрицательное постоянное напряжение, равное . Кроме того, учтем составляющие тока от начального скачка напряжения и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой и действующего от

В результате получим

В этом равенстве в третьем члене аргументом переходной функции служит величина , так как напряжение включается в момент. Аргумент переходной функции в обоих интегралах один и тот же, поскольку он имеет смысл промежутка времени, прошедшего от включения элементарного скачка напряжения до рассматриваемого момента времени t (см. рис. 14.32, а). Однако, разумеется, пределы изменения t в обоих интегралах различны.

Наконец, для промежутка времени учтем, что в момент включается постоянное напряжение и что элементарные скачки, определяемые кривой напряжения , действуют до момента времени Поэтому

Рассмотрим еще переходные процессы при включении произвольного активного двухполюсника к источнику напряжения любой формы.

Найдем ток i в любой ветви активного двухполюсника (в частности, и в ветви ключа). Расчет проведем по принципу наложения. Сначала будем считать двухполюсник пассивным, т. е. учтем только включаемый источник напряжения . Расчет тока при этом проведем по формулам Дюамеля. Затем учтем только источники активного двухполюсника, т. е. найдем ток в той же ветви, считая, что источник напряжения не действует и что его внутреннее сопротивление равно нулю. Расчет тока в этом случае выполним, например, классическим методом (см.* 14.14). Суммируя найденные составляющие токи, получаем искомый ток.

Отметим еще, что при подаче на вход идуктивного двухполюсника ряда импульсов напряжения (рис. 14.35) расчет токов в любой ветви также можно провести при помощи формулы Дюамеля.

При действии последовательности прямоугольных импульсов расчет можно вести и без применения формулы Дюамеля. В самом деле, для учета действия любого прямоугольного импульса можно считать, что в момент начала его действия включается источник постоянного напряжения, равный численно напряжению импульса, а в момент окончания действия импульса включается такой же источник с напряжением противоположного знака.

Пример №66

Найти ток (рис. 14.36) для промежутков времени и , если , L = 4 мГн при , покатанном на рис. 14.37.

Решение:

Переходная функция тока

где (цепь с одним индуктивным элементом) и по (14.18)

постоянная времени

При t = О по первому закону коммутации , т. е. и h (О) = О, следовательно, А= -0,5 и .

Уравнение напряжения источника (рис. 14.37)

Применяя формулу Дюамеля (14.80) для промежутка получаем

Проверив, убедимся, что .

Для промежутка времени согласно (14.81)

При измениться не должен, несмотря на скачок напряжения источника. Проверив, убедимся, что

Кривая тока , приведена на рис. 14.38.

Переходная и импульсная переходная характеристики

В линейной теории цепей автоматического управления и в других дисциплинах часто пользуются понятиями переходной характеристики и импульсной переходной характеристики какой либо системы или цепи. Первая из них введена для двухполюсника.

Аналогично вводят понятие переходной характеристики любой цепи или системы, например для четырехполюсника переходной характеристикой называется реакция (напряжение или ток) на выходе при единичном ступенчатом воздействии на входе.

Понятие переходной характеристики h (t) как реакции (отклика) системы (или t,мс как выходной величины, за которую может быть принята любая из функций системы) на единичное ступенчатое воздействие, приложенное к ее входу (причем, за вход системы может быть принята любая ветвь или два вывода), применимо не только к электрическим цепям, но и к любым физическим системам - механическим, пневматическим, гидравлическим, электромеханическим и т. д. Так, переходные характеристики rL-, rC- и ,·LС-цепей, если, например, в качестве выходной величины выбраны токи, даются формулами (14.14), (14.26), (14.60), (14.63) при U = 1, а если набраны напряжения на емкостных элементах, то формулами (14.25), (14.59), (14.62) также при U= 1.

Переходная характеристика введена в основном по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие - скачкообразное, и поэтому довольно тяжелое для любой системы внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы именно при таком воздействии. Иные, например, всевозможные плавные воздействия будут для системы легче.

2. Если определена характер!;fстика h (t), то при помощи интеграла Дюамеля можно определить реакцию системы при любой форме внешних воздействий. Существует еще один вид внешнего воздействия, называемый ед и н и чн ы м им п ул ь с о м, дельта-функцией 8 (t) или функцией Дирака, которое определяется как производная по времени единичной функции

и представляет собой предельный случай импульса очень большого значения и очень малой продолжительности (рис. 14.39), когда его длительность стремится к нулю, но площадь сохраняется равной единице.

Действительно, оставляя сейчас в стороне вопрос о законности операций дифференцирования разрывной функции , но отметив, что в теории обобщенных функций эти операции достаточно строго обоснованы, найдем площадь единичного импульса:

Рис.14.39.

Импульсной переходной функцией или характеристикой (весовой функцией) системы (например, четырехполюсника) k (t) называется реакция на выходе, если на входе действует внешнее возмущение в виде единичного импульса . Поскольку внешние возмущения связаны равенством (14.83), то при получаем, что подобным же равенством связаны и их реакции на выходе системы, т. е.

В справедливости (14.84) можно убедиться непосредственно, вычислив h (t), k (t) и dh (t)/dt для любой цепи.

Если же , то соотношение (14.84) обобщается:

Например, если при включении rСцепи на единичный импульс напряжения в качестве выходной величины рассматривается ток, то

Так как при t = О в составе приложенного напряжения имеется дельта функция и в этот момент по второму закону коммутации , то дельта-функция должна быть и в составе тока, что и объясняет наличие второго слагаемого в правой части (14.85).

Импульсная переходная характеристика k (t) введена по тем же двум причинам, что и h (t).

1. Единичный импульс - скачкообразное и поэтому довольно тяжелое возмущение для системы или цепи; оно тяжелее, чем плавное возмущение. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи на это возмущение.

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная k (t), вычислить, реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение. Реализацию внешнего воздействия в виде единичного импульса напряжения обычно представляют как экспоненциальное воздействие с очень большой начальной ординатой и очень малой постоянной времени , так что

где - площадь, ограничиваемая экспоненциальным импульсом, т. е.

Запись интеграла Дюамеля при помощи импульсной переходной характеристики

Пусть на входе пассивной системы или цепи действует источник непрерывно изменяющегося напряжения (или тока) (рис. 14.40). Определим реакцию на выходе, например ток в момент времени t. Разобьем кривую на отдельные импульсы шириной и высотой для момента времени t = t. Для единичного импульса, действующего в момент времени реакция на выходе по определению равна импульсной переходной характеристике , где промежуток времени от момента t действия импульса до момента t. Но площадь рассматриваемого импульса не равна единице, а равна . Поэтому реакция от него на выходе в момент t будет равна . Суммируя действия всех импульсов, каждый из которых имеет бесконечно малую площадь, , получаем реакцию на выходе

или с учетом (14.79)

При напряжении произвольной формы (см. рис. 14.34) по формулам (14.87) или (14.88) определяется ток в интервале времени В промежутке

или

При нужно, очевидно, заменить верхний предел t у второго интеграла на

Реакции цепи h (t) и k (t) на действие единичного скачка и единичного импульса, а значит, и применения интегралов Дюамеля предполагают нулевые начальные условия. В противном случае необходимо воспользоваться методом наложения.

Если переходная или импульсная переходная характеристика известна (найдена), то интегралы Дюамеля можно найти при помощи стандартных программ на ЭВМ.

Метод переменных состояний

Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.

Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):

Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь переменными, которые называются п ер е м е н н ы м и с о с т о ян и я, служат переменная х и ее производные.

Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений r, L, С, М) и действующих источников , определяется независимыми начальными (t = О) условиями - токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах , которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса.. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи и напряжения , Действующие источники можно назвать входными величинами , искомые величины -выходными. Для цепи с n независимыми токами и напряжениями должны быть заданы еще n независимых начальных условий.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:

или короче

где Х матрица-столбец (размера n х 1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F -матрица-столбец (размера n х 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А -квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица размера п х т (матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид

или короче

где W -матрица-столбец (размера ; М - матрица связи (размера ); N - матрица связи (размера

Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны· и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.

Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е. , и переменными состояния , а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41, 6), у которой каждый заданный ток представлен источником тока , а каждое заданное напряжение -источником напряжения (ЭДС) , Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения и токи (сначала учитываем действие источников , затем и далее источников, действующих в цепи):

Так как то

т. е.

Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений резистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.

Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме[3].

Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = О, то уравнения (14.91) упрощаются

и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде

где Х (О) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния; - матричная экспоненциальная функция. Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество. При решение уравнения (14.91) представим в виде

где Ф (t) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим

Сравним (14.96) с (14.91а)

и, умножив на после интегрирования найдем, что

где 0 - переменная интегрирования, или

Подставим это выражение в (14.95):

В. частности, при t = О имеем Х (О)

Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде

(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начщtьном состоянии).

Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов. Выходные величины можно найти ПО (14.92)

Если состояние цепи задано не при t = О, а при , а нижний предел интеграла не

Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспонциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения матрицы А, т. е. корни уравнения

где 1 - единичная матрица порядка n, которые определяются из уравнения

где - элементы матрицы А.

Собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения цепи. Матричная экспонента, аргумент которой - матрица , имеющая порядок n, представима конечным числом n слагаемых. Если собственные значения различны, ТО

где - функции времени; и т.д.

Далее для определения составляем алгебраическую систему n уравнений

Наконец, определив из (14.100), по (14.99) находим и затем Х (t) по (14.97).

Пример №67

Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при

Решение:

Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока Независимые начальные условия:Дифференциальные уравнения цепи

Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:

т. е. согласно (14.91) и матрица-столбец начальных значений

Вычислим собственные значения; по (14.98)

откуда Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения и

Находим коэффициенты по (14.100), т. е. из системы уравнений

откуда

и по (14.99)

ток

Значения тока , вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0-0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5 % приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.

Если среди n собственных значений матрицы А есть q кратных то для n - q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по от обеих частей уравнения с корнем , т. е.

Если в цепи действует только один источник ЭДС (или тока), представляющий единичный скачок 1 (t), т. е. F (t) = = 1 (t), и начальные условия нулевые, то решение (14.97) запишется в виде

Для выходных величин по (14.92а) получим

Это будут переходные функции цепи h (t). Импульсные переходньiе функции k (t) определяются по (14.84) или ( 14.85).

Более общим путем вычисления матричной экспоненциальной функции служит ее представление бесконечным рядом

но ряд при больших t медленно сходится. При ограничении конечным числом слагаемых вычисление сводится к умножению и суммированию матриц. Такие операции есть в математическом обеспечении ЭВМ. Известен метод вычисления матричной экспоненциальной функции, основанный на критерии Сильверста [1 2].

Уравнения состояния цепей, порядок которых больше двух-трех, проще решаются не аналитическими, а численными методами, дающими возможность автоматизировать расчет в случае применения ЭВМ.

Численные методы решения уравнений состояния

Интегрирование дифференциальных уравнений, составленных методом переменных состояния в форме Коши (14.91), чаще выполняется численными методами на ЭВМ с применением циклических программ. Интервал времени, в течение которого необходимо найти значения искомых величин, разделяется на малые равные (или неравные) промежутки - шаги , и в результате расчета получаются значения этих величин в отдельные (дискретные) моменты времени Предполагается, что значения искомых величин в начальный момент времени = О известны (начальные условия задачи). Математиками разработаны различные методы численного решения уравнений, записанных в форме Коши, из которых далее рассматриваются более простые - одношаговые. В одношаговых методах искомые величины в момент времени определяются по уже найденным значениям на предыдущем одном шаге записывается так:

где матрица-столбец переменных состояния для k-го шага; - то же для (k - 1)-ro шага (в момент ); - матрица-столбец производных (точнее, угловых коэффициентов касательных) переменных состояния в момент (в начале предыдущего шага). Метод основан на разложении каждой переменной состояния в ряд Тейлора

и учете его первых двух членов. Метод назван явным, так как искомое решение для k-го шага не входит в правую часть алгоритма (14.101), связывающего значения на последующем и предыдущем шагах.

После подстановки (14.916), записанного для (k - 1)-ro шага, в (14.101) получим

Формула (14.102) - это рекуррентное соотношение, которое дает возможность непосредственно определять последующие значения переменных состояния по найденным на предыдущем шаге. Чем меньше шаг h, тем точнее расчет, но больше объем вычислений. Погрешность расчета пропорциональна

В алгоритмах Рунге-Кутта более высокого порядка искомые величины для k-ro шага опреде;1яются с учетом их значений в нескольких промежуточных точках предыдущего (k - 1)-ro шага, так что точность расчета увеличивается. Если в правой части (14.101) производные для предыдущего (k - 1)-ro шага заменить производными для данного k-го шага, то получим

Алгоритм называется неявным методом Эйлера так как правая часть (14.103) содержит производные для того же шага, для которого определяются переменные состояния. После подстановки (14.916), записанного для момента , в (14.103) получим

откуда

Погрешность расчета того же порядка, что и для явного метода Эйлера. Лучшую точность обеспечивает метод трапеций (относится к неявным), так как в правой части содержит средние значения производных (k - 1)-го и k-ro шагов:

После подстановки (14.916), записанных для моментов , в (14.105) получим

откуда

Погрешность расчета пропорциональна

Полная погрешность зависит не только от выбранного метода расчета, т. е. от методической погрешности (алгоритмической), но и от погрешности округления из-за ограниченного количества разрядов цифровых значений величин, что относится, конечно, к любым расчетам электрических цепей.

С ростом числа шагов погрешность интегрирования может увеличиваться, т. е. численное решение может давать значения, все более отличающиеся от истинных. В этом случае получается численно неустойчивый алгоритм, который нельзя использовать для расчета переходного процесса. Устойчивость явного метода Эйлера зависит от шага h. Для цепей с одним накопителем алгоритм получается устойчивым при где - постоянная времени цепи. Для цепи с несколькими накопителями при действительных корнях характеристического уравнения необходимо выбрать где - минимальный коэффициент затухания, а при наличии и комплексных корней шаг h должен быть еще и меньше минимального значения

Неявный метод Эйлера и метод трапеций устойчивы при любом шаге. Поэтому выбор шага диктуется только необходимой ,точностью расчета, которая, однако, при уже выбранном шаге еще неизвестна, что относится и к явным методам. Подробно вопросы устойчивости рассмотрены в (10].

Пример №68

Для цепи примера 14.6 (рис. 14.42) сравнить результаты расчета тока явным методом Эйлера, неявным методом Эйлера и методом трапеций с данными аналитического расчета, приведенными в примере 14.6, при шаге h = 0,005 с.

Решение:

Обозначим переменные состояния , так что Явный метод Эйлера. Согласно (14.102)

и после выполнения операций сложения и умножения матриц получим

Результаты расчета приведены в табл. 14.2.

Неявный метод Эйлера. В (14.104) входит обратная матрица

где

После подстановки матриц

в (14.104) получим

Результаты расчета приведены в табл. 14.3.

Метод трапеций. В (14.106) входят матрицы

После подстановки этих матриц в (14.106) получим

Результаты расчета приведены в табл. 14.4.

Сравнение значений тока , рассчитанных аналитичесrсим методом (см. табл. 14.1) и численными методами (табл. 14.2-14.4), показывает, что, кu и должно быть, наиболее близкие к приведенным в табл. 14.1 значения тожа i1 получаются методом трапеций (отличие не более 1 %, а начиная с k = 3 не более 0,2 %).

Для устойчивых методов точность решения повышается при уменьшении шаrа h, однако при этом возрастает время решений и увеличивается погрешность, связанная с округлением результатов вычисления на ЭВМ, так как · растет общее количество вычислений. Поэтому существующие стандартные программы решения дифференциальных уравнений снабжаются автоматическим выбором шага интегрирования: шаr увеличивается, если обеспечена заданная точность решения, в противном случае он дробится до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

При решении задач с применением ЭВМ часто нецелесообразно разделять задачи по признаку установившихся и переходных процессов. Программа решения задачи в случае переходных процессов всегда по истечении определенного времени приводит к решению для установившегося режима. Поэтому все соображения по расчету с применением ЭВМ, в равной степени могут быть отнесены как к переходным, так и к установившимся процессам.

Дискретные модели электрической цепи

С применением любого неявного метода интегрирования дифференциальных уравнений можно составить эквивалентную схему электрической цепи, содержащую только действующие в цепи источники, резистивные элементы и зависимые источники, заменяющие индуктивные и емкостные элементы. Режим такой схемы описывается не системой дифференциальных уравнений, а системой алгебраических уравнений, которые составляются и решаются теми же методами, что и для цепей постоянного и переменного токов (с уравнениями Кирхгофа, контурными токами, узловыми потенциалами).

Рассмотрим замену индуктивного и емкостного элементов. Для индуктивного элемента (рис. 14.43, а) откуда следует, что в момент ток

или с применением среднего значения интеграла (метод трапеций)

Обозначив

получим

Этому соотношению между током и напряжением индуктивного элемента для k-ro шага соответствует эквивалентная схема или дискретная модель на рис. 14.43, 6. При постоянном шаге h сопротивление RL не изменяется от шага к шагу; ток источника зависит от значений тока и напряжения элемента на предыдущем шаге. Источник тока можно по известному правилу заменить источником ЭДС (рис. 14.43, в).

Для емкостного элемента (рис. 14.44, а) , откуда следует, что в момент напряжение

или с применением среднего значения интеграла

Обозначив

получим

Эквивалентная схема или дискретная модель показана на рис. 14.44, 6. Источник ЭДС можно заменить источником тока (рис. 14.44, в).

В системе уравнений, составленной после замены индуктивных и емкостных элементов, например методом контурных токов или методом узловых потенциалов матрицы при постоянном шаге достаточно вычислить 1 раз, что упрощает составление программ для эвм.

Отметим, что формирование уравнений с переменными состояния более трудоемко по сравнению с получением уравнений для дискретной модели.

Чтобы составить дискретные модели для момента времени = О, необходимо знать начальные значения всех величин, входящих в составляемую систему уравнений.

На рис. 14.45, а представлена дискретная модель с зависимыми и независимыми источниками тока для цепи на рис. 14.28. Модель имеет три узла. Расчет целесообразно выполнить методом узловых потенциалов.

Матрица проводимостей

где , Независимые начальные условия (см. рис. 14.28) Для вычисления начальных значений потенциалов необходимо заменить индуктивный и емкостный элементы источниками и (рис. 14.45, 6). Как следует из рис. 14.45, 6, потенциалы

Для расчета режима дискретной модели можно, когда это целесообразно, выбрать и метод расширенных узловых уравнений, в том числе и для цепей с управляемыми источниками.

Дискретные модели (см. рис. 14.43, 6, в и 14.44, 6, в) составлены с применением метода трапеций. Как указывалось, дискретные модели можно получить и на основе иных неявных алгоритмов, но, конечно, другие

Пример №69

Для цепи примера 14.6 составить дискретную модель с источника ми ЭДС. Записать уравнения для расчета токов методом контурных токов.

Решение:

Дискретная модель цепи по казана на рис. 14.46. Выбрав в качестве контурных токи , запишем уравнения

где согласно (14. 107)

Из той же схемы на рис. 14.46 находим для предыдущего шага

После подстановки этих выражений и численных значений в уравнения контурных токов получаем систему уравнений

Решение совпадает с результатами, приведенными в примере 14.7 при расчете методом трапеций (табл. 14.4), так как дискретные модели на рис. 14.43 и 14.44 были состав лены также с применением метода трапеций.

Переходные процессы при «некорректных» коммутациях

До сих пор рассматривались такие цепи и режимы их работы, для которых удовлетворялись законы коммутации

1 де t =(О-) -момент времени непосредственно перед коммутацией, а t = =(О+) -момент времени сразу после коммутации.

Рассмотрим теперь такие цепи и их режимы, для которых законы коммутации (14.111) не соблюдаются («некорректные» коммутации). Пусть в цепи, питаемой от источника постоянного напряжения U (рис. 14.47), мгновенно отключается ветвь с резистором 1·3. Токи во всех ветвях непосредственно перед коммутацией и легко определяются. После коммутации ток i в контуре, составленном из первой и второй ветвей, удовлетворяет дифференциальному уравнению

решение которого

где

Для определения постоянной А'нельзя воспользоваться первой из формул (14.111), так как до отключения ветви с сопротивлением токи

были различны, а после ее отключения они, очевидно, одинаковы, и, в частности, в первый момент после коммутации (О+)= Значит, токи в момент разрыва третьей ветви кточом (мгновенноrо) должны измениться скачком, что приведет к возникновению бесконечно больших напряжений на индуктивных элементах. Но так как токи во всех ветвях схемы на рис. 14.47 конечны, то для промежутка коммутации (от t = О- до t =О+) алгебраическая сумма бесконечно больших напряжений на индуктивных элементах и напряжений на резистивных элементах должна уравновеситься приложенным напряжением U:

Интегрируя это равенство за промежуток коммутации, т. е. от t = О- до t = О+, и учитывая, что ввиду конечности правой части при t = О и стремления промежутка интегрирования к нулю интеграл от правой части равен нулю, получаем

Перепишем ( 14.114) так:

или

или

Из (14.115) следует, что потокосцепление контура , составленного из первой и второй катушек ( иначе говоря, сумма потокосцеплений с обеими катушками), до и после отключения ветви осталось неизменным:

Отсюда находим

далее из (14.113) находим постоянную

Следует иметь в виду, что бесконечно большие напряжения на индуктивных элементах противоположных знаков (рис. 14.48, построен в предположении, что А > О) появились вследствие предположения о том, что коммутация произошла за бесконечно малый промежуток времени: . Эти импульсы напряжения имеют бесконечно малую длительность. Но интегралы от этих импульсов (14.114) имеют конечные значения и равны приращениям потокосцеплений каждой из катушек. На том же рис. 14.48 показано, что токи в катушках при t = О изменяются скачком и ток i в катушках после отключения ветви с сопротивлением изменяется в соответствии с постоянной времени и стремится к значению

Подчеркнем, что разность энергий, запасенных в магнитных полях обеих катушек до коммутации,

и после коммутации

т.е.

положительна и расходуется на выделение тепла в сопротивлении искры или дуги, которая может появиться между контактами выключателя, и на возможное излучение энергии. При решении задачи была принята идеализация процесса выключения, т. е. мгновенная коммутация. На самом деле она происходит хотя и весьма быстро, но за конечное время . При этом в сопротивлении возникающей между контактами выключателя электрической искре и расходуется часть энергии . Кроме того, катушки индуктивности обладают распределенной емкостью между витками и между расходящимися контактами выключателя существует емкость, что приводит к образованию сложного колебательного контура, который может излучать энергию (на высокой частоте), на что расходуется другая часть энергии . Если учесть все эти процессы, то никакие бесконечно большие напряжения на индуктивных элементах не возникнут и токи в них не будут изменяться скачком, т. е. будут справедливы законы коммутации.

И в других цепях с катушками индуктивности при «некорректных» коммутациях, приводящих к скачкам токов в индуктивных элементах, постоянные интегрирования следует определять с применением обобщенного первого закона коммутации -неизменности в момент коммутации потокосцеплений контуров, или более подробно: потокосцепление любого замкнутого контура в первый момент после коммутации (t =О+) равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входящих в него индуктивных элементов, которые последние имели непосредственно перед коммутацией (t= = 0-); некоторые из этих индуктивных.

элементов перед коммутацией могли и не составлять замкнутого контура, а образовали его лишь после коммутации. Рассмотрим теперь процессы, возникающие, например, при одновременном включении двух заряженных до разных напряжений конденсаторов к заряженному до напряжения U конденсатору (рис. 14.49). Полагаем, что сопротивления проводов, соединяющих конденсаторы , пренебрежимо малы. Поэтому постоянные времени, обусловленные ими, также ничтожны. При этих условиях напряжения на всех трех конденсаторах в момент замыкания ключа могут изменяться скачком и через них могут проходить бесконечно большие токи. Все три конденсатора до включения рубильника были заряжены до различных напряжений и имели заряды Токи конденсаторов будут существовать только в течение бесконечно малого промежутка времени перезарядки от t = О-· до t = О+. Так как напряжение источника И и сопротивление последовательного участка цепи r конечны, то суммарный ток i должен оставаться конечным и импульсы токов в трех параллельно соединенных конденсаторах должны взаимно уравновешиваться, т. е.

Интегрируя это равенство по времени

или

или

или приходим к равенству

Отсюда следует, что изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е. сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t = 0-) равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации (t =О+) - закон сохранения заряда или второй обобщенный закон коммутации. Этот же результат получается, если учесть, что после коммутации (t =О+) напряжения на всех параллельно включенных конденсаторах равны:

На основании (14.117) и (14.118) получаем.

откуда определяется

Все три конденсатора заменяются одним с емкостью С= С 1 + С2 + Сз, и напряжение найдeм после коммутации определяется дифференциальным уравнением

решение которого известно: где

На основании сказанного выше поэтому И ТОК

Легко показать, что энергия, запасенная в конденсаторах до коммутации

больше энергии электрического поля эквивалентного конденсатора С после коммутации

а избыток ее

перейдет в тепло в сопротивлениях контактов ключа, сопротивлениях проводов и в энергию излучения сложного колебательного контура, который получится, если учесть, что соединительные провода всегда имеют индуктивность, хотя и очень малую.

Подчеркнем, что при наличии сопротивлений во всех трех ветвях с конденсаторами напряжения на них в момент коммутации скачком не изменяются, токи в них остаются конечными, т. е. выполняется второй закон коммутации.

Определение переходного процесса и установившегося режима при воздействии периодических импульсов напряжения или тока

Для определения переходных процессов и установившихся режимов в линейных цепях при воздействии периодических импульсов напряжения или тока известно много методов. Некоторые из них основаны на суммировании токов или напряжений, созданных отдельными импульсами. В других методах для этой цели вводится периодическая импульсная реакция цепи. Третьи методы для той же цели вводят другую специальную характеристику цепи, так называемую эшелонную функцию.

Рассмотрим метод, основанный на непосредственном суммировании токов или напряжений, созданных отдельными импульсами, что реализуется учетом запаздывания последующих импульсов относительно предыдущих.

Поясним суть метода на примере расчета тока i в простейшей rС-цепи (рис. 14.50, а), которая в момент t = О подключается к источнику, создающему бесконечную последовательность импульсов напряжения, представленную на рис. 14.50, б. Найдем сначала ток в цепи от воздействия первого импульса напряжения при при Переходная функция цепи находится известными методами:

Применяя интеграл Дюамеля при , получаем

Для получаем

где

Перейдя к поставленной задаче, напишем формулу для тока i в промежутке времени, когда действует (n + 1)-й импульс напряжения, · т. е. при

Как было указано выше, ток i представим в виде суммы токов, каждый из которых создается одним отдельно взятым импульсом напряжения. Первый импульс напряжения дает составляющую тока, определяемую формулой (14.120). Второй импульс запаздывает по отношению к первому на время Т, равен

Для учета составляющей тока от третьего импульса напряжения нужно в (14.120) вместо t подставить t - 2Т и т. д. Составляющая тока от n-ro импульса равна . Кроме того, следует учесть действие (n + 1)-го импульса напряжения, который на рассматриваемом промежутке времени еще не закончился. Созданную им составляющую тока найдем по формуле (14.119) с учетом запаздывания во времени nТ, т. е. вместо t подставим в (14.119) t - nТ.

Результирующий ток

Суммируя первые п слагаемых, представляющих собой геометрическую прогрессию со знаменателем , для интервала получаем

Далее запишем ток в промежутке времени, соответствующем (n + 1)-й паузе, т. е. при

Для определения тока установившегося режима преобразуем (14.123) и (14.122), введя замену , где t' - время, отсчитываемое от начала действия (n + 1)-го импульса напряжения.

Для (14.122) получим

Для (14.123) будем иметь

Полагая в (14.124) и (14.125), что , находим установившийся ток. В течение действия импульса

в течение паузы

Если источник напряжения, начиная с момента t = О, создает бесконечную последовательность импульсов без пауз, т. е. , то ток и для этого случая получим из(14.119), (14.120), (14.12 1), (14.122) и (14.126), положив в них

При более сложной форме напряжения источника иногда целесообразнее рассматривать его как наложение импульсов на некоторое постоянное или какое-либо иное напряжение.

Операторный метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов требует в общем случае многократного решения систем алгебраических уравнений для нахождения начальных значений функции и ее производных, что и представляет основную трудность расчета этим методом, и для определения постоянных интегрирования по начальным условиям. Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также операторным методом, основанным на пре . образовании Лапласа. Это было впервые показано русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в его монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений» (Киев, 1862). В конце XIX в. английский ученый О. Хевисайд независимо пришел к операторному методу и впервые применил его к расчету электромагнитных переходных процессов. Однако Хевисайд не приводил математических обоснований метода.

Применение преобразования Лапласа к расчету переходных процессов

Дальнейшему развитию операторного исчисления способствовали своими трудами советские и зарубежные ученые В. С. Игнатовский, Д. Р. Карсон, Б. Ван-дер-Поль, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, К. А. Круг, А. И. Лурье и др. М. Е. Ващенко-Захарченко показал также, что операторный метод применим не только к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их системами, но также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных производных, т. е., говоря на языке электротехники, к расчету переходных процессов в цепях с распределенными параметрами. Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной ограниченной функции действительной переменной (например, времени t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t < О, сопоставляется другая функция F (р) комплексного переменного называемая изображением

Это сопоставление производится по формуле

которая представляет собой прямое преобразованием Лапласа функции и обозначается так:

где F (р) называется лапласовым изображением функции

Обратно: если нужно по имеющемуся изображению F (р) найти оригинал , то это может быть выполнено в общем случае при помощи обратного преобразования Лапласа (интеграла Бромвича)

которое представляет собой решение интегрального уравнения (15.1) относительно неизвестной функции и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (15.3) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F (р).

Интеграл (15.3) обозначается еще так:

Переходные процессы, описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с (15.1) приходится находить изображения производных и интегралов от оригинала. При этом оказывается, что изображения производных и интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и от начальных значений самой функции, ее производных и интегралов. Поэтому система интегродифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений, т. е. производится алгебраизация исходной системы интегродифференциальных уравнений.

При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций, а затем при помощи обратного преобразования, вытекающих из него формул или специальных таблиц - оригиналы, т. е. искомые функции времени.

Ряд таких функций и их изображений приведен в приложении 4. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в справочниках.

Необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учитываются при переходе от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений. Приведем (без вывода) формулы для изображений производных и интегралов от оригинала. Если

и т.д.

Отметим, что если функция и ее производные , . . . при t = О изменяются скачком, то в (15.5) нужно подставлять их значения с учетом этих скачков, т. е. справа от нуля, что и от, мечено в их аргументах знаком О+.

Если начальные значения функции и ее производных при t = О+ равны нулю, то изображения первой и последующих производных находятся особенно просто:

и т.д.

Изображения интегралов от оригинала имеют вид

Если интеграл изменяется скачком, то нужно брать его значение справа от нуля, что и обозначено в его верхнем пределе знаком О+.

Итак, если начальные (т. е. при t = О или в случае скачков при t =О+) значения функции, ее производных и интегралов равны нулю, то комплексное переменное р можно рассматривать как оператор; умножая на оператор изображение данной функции, получаем изображение ее производной (15.6), деля на оператор изображение этой функции, получаем изображение ее интеграла (15.7). В частности, изображения постоянной величины А и экспоненты , соответственно равны

Нужно иметь в виду, что при расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображения функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу - находить функции (оригиналы) по их изображениям. Для этого, как указывалось, можно пользоваться таблицей, приведенной в приложении 4, или справочником. Часто изображение имеет вид рациональной дроби

при , причем дробь несократимая, т. е. многочлены общих корней не имеют, и - действительные числа.

Оригинал изображения (15.9) можно найти по формуле, называемой теоремой разложения:

которая представляет собой сумму вычетов подынтегральной функции выражения (15.3) относительно всех ее полюсов Здесь - простые корни характеристического уравнения 0, причем один из них может равняться нулю;

Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя (15.9) есть множитель р, т. е. знаменатель (15.9) имеет один нулевой корень. Необходимо найти оригинал для изображения , где в составе уже нет множителя р. Предполагая, что уравнение имеет n различных и не равных нулю корней, получаем другую форму теоремы разложения:

Если уравнение имеет комплексные сопряженные корни, то нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей в правых частях равенств (15.10) или (15.11) для каждого из комплексных сопряженных корней в отдельности. Известно, что функции с действительными коэффициентами от комплексных сопряженных значений независимого переменного - сами комплексные сопряженные. Поэтому если корни - комплексные и сопряженные, то достаточно вычислить слагаемое сумм (15.10) или (15.11) только для корня а для корня взять значение, сопряженное этому слагаемому, т. е.

Если среди корней многочлена есть кратные, то можно записать теорему разложения аналогично формулам (15.10) или (15.11), но с двойной суммой в правой части ( одна сумма - по числу корней, а вторая - для каждого корня по порядку его кратности ). Однако эта формула довольно сложна и здесь не приводится.

Если изображение F (р) наряду с п простыми полюсами в точках имеет, например, еще один полюс кратности в точке т. е.

то, применяя формулу вычета в кратном полюсе, получаем

Это соотношение позволяет учесть кратные корни характеристического уравнения.

Если нужно вычислить начальное (при t = О+) и установившееся (при ) значения оригинала, т. е. и , то можно, конечно, пользоваться формулами (15.10) или (15.11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются гораздо проще по так называемым предельным соотношениям:

и

Дополнительно отметим, что теорема разложения применима не толькq к рациональным дробям, но и для и , содержащих трансцендентные, например экспоненциальные, круговые и гиперболические функции.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим rLС-цепь (рис. 15.1), которая была подключена к источнику ЭДС и в момент t = О переключается к источнику ЭДС .

Дифференциальное уравнение цепи после коммутации

где напряжение и ток при выбранных положительных направлениях (рис. 15.1) связаны соотношениями

и

Напряжение , а также ток , как и при расчете переходного процесса классическим методом, должны быть определены расчетом режима цепи до коммутации, т. е. при действии источника ЭДС

Перейдем в (15.15) от оригиналов к изображениям. С учетом (15.5), изображения постоянной величины (15.8) и (15.7) получим алгебраическое уравнение

Заметим, что в соответствии со сказанным выше нужно было бы писать . Но так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком при t = О, будем писать короче: .

Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением rLСцепи в операторной форме или о п ер а т о р н ы м сопротивлением:

Сопротивление в операторной форме уже встречалось и теперь получено вполне строго. Напомним, что сопротивление rLС-цепи в операторной форме построено так же, как и комплексное сопротивление, если в последнем заменить через р. Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью:

Операторная ЭДС цепи, стоящая в числителе ( 15.17), состоит не только из операторного изображения ЭДС источника, т. е. Е (р), но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т. е. током в индуктивности и напряжением на емкости . Иными словами, наличие двух дополнительных ЭДС Li (О) и, которые можно назвать внутренними или расчетными ЭДС, указывает на то, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительное направление ЭДС Li (О) совпадает с положительным направлением тока ветви, а направление ЭДС противоположно направлению тока. При этом, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Например, при синусоидальной ЭДС, изображение которой (см. приложение 4) , для тока получим изображение

т. е. рациональную дробь (15.9), у которой корни уравнения определяют установившуюся составляющую тока (синусоидальный ток), а корни уравнения = О, т. е. согласно (15.18) Z (р) = О - характеристического уравнения последовательного контура, и определяют свободную составляющую тока.

Особенно просто выглядит выражение (15.17) при нулевых начальных условиях, т. е. при

оно аналогично закону Ома в комплексной форме.

Для любого узла разветвленной цепи

поэтому, обозначив изображения токов , на основании (15.1) получим первый закон Кирхгофа в операторной форме:

причем некоторые из токов могут быть изображением токов источников тока.

Для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей,

Переходя к изображениям, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:

что можно переписать и так:

В последних выражениях и - начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.

Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при

он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.

Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме записи тем же законам в комплексной форме. Нужно только иметь в виду, во-первых, что в каждой k-й ветви при ненулевых начальных условиях, т. е. при и , действуют не только внешняя ЭДС , но еще и внутренние ЭДС , и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление.

Изображение каждого из токов системы уравнений (15.22), так же как и тока в цепи на рис. 15.1, получается в виде (15.9) - отношения двух полиномов с действительными коэффициентами. При этом предполагается, что рассматриваются, как и ранее, линейные цепи с сосредоточенными параметрами, в которых действуют источники ЭДС (и тока), изображения которых записываются (см. приложение 4) в виде отношения полиномов (например, постоянные, синусоидальные и экспоненциальные ЭДС, единичный скачок и единичный импульс).

Если изображение равно сумме нескольких рациональных дробей (15.9), то теорема разложения применяется отдельно к каждой из дробей.

Отношение изображений искомой величины к заданной называется передаточной или схемной функцией в операторной форме К (р), причем К (р)" = и составляется так. же, как для цепей переменного тока К (р) = ·

Так как корни характеристического уравнения цепи зависят только от ее топологии и параметров, то их можно найти, сделав предположение, что в цепи

действует только один источник ЭДС. Наиболее простое изображение имеет единичный импульс При действии такой ЭДС изображение тока в ветви с источником

где - входное операторное сопротивление цепи относительно выводов источника. Входное операторное сопротивление составляется так же, как входное комплексное сопротивление, т. е. Из (15.23) следует, что уравнение = О - это характеристическое уравнение цепи.

Аналогично можно показать, что, приравняв нулю входную проводимость цепи относительно двух ее любых узлов, также получаем характеристическое уравнение.

Эквивалекrные операторные схемы

При расчете переходного процесса операторным методом желательно сразу записывать уравнения Кирхгофа в операторной форме, а также уравнения с применением методов расчета, которые основаны на уравнениях Кирхгофа (контурные токи, узловые потенциалы и т. д.). Каждую из этих систем уравнений можно написать, составив для заданной цепи эквивалентную операторную схему.

Как следует из (15.17) и (15.21), в каждой ветви с параметрами r, L и С должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС , а в цепях с индуктивно связанными элементами еще и ЭДС На рис. 15.2 показан переход от индуктивных и емкостных элементов с мгновенными значениями (оригиналами) токов и напряжений к элементам операторной схемы (учитываются внутренние ЭДС). Сопротивления элементов операторной схемы записаны в соответствии с (15.18). Источники ЭДС (рис. 15.2) могут быть по известным правилам заменены источниками тока.

Для расчета переходного процесса после коммутации в цепи рис .. 15.1 операторная схема показана на рис. 15.3. При расчете тока сразу можно записать выражение (15.17). Далее для краткости аргумент р у изображений будем опускать, если это не может вызвать недоразумений. Отметим, что применение операторного метода для расчета переходного процесса в сложных цепях на ЭВМ не дает преимуществ по сравнению с классическим методом.

Пример №70

Определить ток i в цепи на рис. 15.4,а после размыкания рубильника, если r = 3,67 Ом, R = 10,0 Ом, С = 37 мкф,

Решение:

Операторная схема показана на рис: 15.4, 6. Операторное изображение ЭДС (см. приложение 4)

Для определения напряжения нужно рассчитать режим в цепи рис. 15.4, а до коммутации. Комплексная амплитуда тока напряжение на конденсаторе

т. е. до коммутации

Ток в схеме на рис. 15.4, б

Функция имеет три корня: . По теореме разложения (15.10) с учетом замечания о комплексных сопряженных корнях получаем оригинал

Пример №71

Найти ток в цепи на рис. 15.5, а после коммутации. Параметры цепи:

Решение:

На рис. 15.5, б показана операторная схема, при составлении которой учтено, что до коммутации ток в индуктивном элементе ( отрицательное, так как полярность напряжения конденсатора до коммутации обратна принятому на рис. 15.5, а положительному направлению ).

Составим уравнения по методу контурных токов:

Решив эти два алгебраических уравнения относительно тока , получим

Согласно (15.8) оригинал первого слагаемого равен 2,5. Для второго слагаемого оригинал есть в приложении 4:

Если параметры отдельных элементов цепи зависят от частоты, то аналитический расчет переходного процесса также целесообразно выполнить операторным методом или с применением преобразования Фурье.

Пример №72

Определить ток в rС-цепи (рис. 14.13) при ее подключении к источнику постоянного напряжения И = 10 В. Запаздывание поляризации в диэлектрике конденсатора задано частотной характеристикой Сопротивление резистора r = 1 МОм.

Решение:

В операторной форме емкость . Операторное сопротивление конденсатора

ток

и по теореме разложения (15.10)

где - корни характеристического уравнения

После подстановки численных значений получается

где t - в миллисекундах.

Сведение расчета переходного процесса к нулевым начальным условиям

При изучении переходных процессов в электрических машинах, в схемах автоматического регулирования и в других случаях часто сводят их расчет при ненулевых начальных условиях к расчету при нулевых начальных условиях следующим приемом.

Пусть к выводам 1 -2 активного двухполюсника ключом Р подключается ветвь с операторным сопротивлением (рис. 15.6,а). Если в подключаемой ветви есть источники ЭДС и тока или заряженные конденсаторы, то отнесем их в состав активного двухполюсника.

Для расчета тока в подключаемой ветви (в ветви ключа) или в какой-либо иной ветви активного двухполюсника определим прежде всего напряжение и м на выводах 1-2 ключа до его включения, обусловленное всеми источниками .активного двухполюсника. В ветвь ключа включим (рис. 15.6, 6) два источника с противоположно направленными ЭДС . При этом режим в цепи не изменится.

Теперь рассмотрим включение ключа. Так как система линейна, будем вести расчет методом наложения. Прежде всего найдем токи при действии всех источников активного двухполюсника и той ЭДС, которая действует противоположно напряжению (рис. 15.6, в). В этой схеме включается ветвь с источником ЭДС, равной и противоположной по направлению эквивалентной ЭДС активного двухполюсника. Поэтому в этой схеме ток в ветви ключа после его замыкания остается равным нулю, а значит, для всей схемы в целом это будет режим до коммутации. Остается учесть последнюю ЭДС е (t), действующую в ветви ключа в том же направлении, что и напряжение (рис. 15.6, г), т. е. рассчитать переходный процесс при включении ветви с источником ЭДС е (t) к пассивному двухполюснику или, иначе говоря, при нулевых начальных условиях.

Если при включении рубильника определяется ток в какой-нибудь ветви активного двухполюсника, то нужно в соответствии со сказанным учесть, что он состоит из тока, существовавшего в этой ветви до коммутации, и тока, который возникает в этой ветви после включения источника ЭДС е (t) к пассивному двухполюснику (рис. 15.6,г). Если, в частности, рассчитывается ток в ветви ключа (равный нулю до коммутации), достаточно рассчитать режим в схеме на рис. 15.6, г

Свести расчет переходных процессов в цепи с ненулевыми начальными условиями к расчету при нулевых начальных условиях можно, применяя как классический, так и операторный метод. Сопротивление может быть в общем случае входным сопротивлением другого пассивного двухполюсника, подrшючаемого к выводам 1-2.

Аналогично можно показать, что отключение любой ветви, не содержащей индуктивного элемента, можно свести к включению в нее источника тока с током, равным и противоположным по направлению току в этой ветви до коммутации

Пример №73

Найти ток в конденсаторе (рис. 15.7) после включения ключа, если ,

Решение:

Будем считать активным двухполюсником всю схему, кроме ключа, т. е. согласно рис. 15.6 . Выбрав положительное направление напряжения на ключе, как указано на рис. 15.7, найдем это напряжение:

Входное сопротивление активного и соответствующего пассивного двухполюсника (рис. 15.6,г)

Изображение искомого тока найдем по закону Ома в операторной форме ( 15.19):

Приравнивая нулю, находим корни характеристического уравнения: Оригинал (ток i) найдем по теореме разложения (15. 10). В соответствии с замечаниями, сделанными о применении теоремы разложения при комплексных корнях,

Определение свободных составляющих по их изображениям

Операторные схемы составлялись для расчета переходных токов и напряжений, состоящих из установившихся (принужденных) и свободных составляющих. После расчета изображений этих токов и напряжений и перехода к оригиналам определяются суммы установившихся и свободных составляющих токов и напряжений. Но установившиеся составляющие могут быть найдены непосредственно известными методами расчета пеней постоянного и переменного токов. В этом случае операторным методом нужно рассчитать только свободные составляющие, для которых операторные схемы и изображения, конечно, более простые, чем для токов и напряжений, содержащих и установившиеся, и свободные составляющие. Операторные схемы для свободных составляющих Содержат только внутренние (расчетные) ЭДС и (или соответственно источники тока).

Пример №74

Определить ток i в цепи примера 15.1.

Решение:

Операторная схема для расчета свободной составляющей тока показана на рис. 15.8. Она не содержит источника

ЭДС Е (р), изображение которого было найдено в примере 15.1.

Рассчитаем установившиеся ток и напряжение на конденсаторе после коммутации:

Так как Напряжение определяется расчетом цепи до коммутации (см. пример 15.1) и

По закону Ома

где

Оригинал [ см. (15.8)]

Спектральный (частотный) метод анализа электрических цепей. Преобразование Фурье и его основные свойства

Было дано разложение периодической функции с периодом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье:

где принимает дискретные значения:

Подставляя значения в (16.1) и обозначая интервал между соседними частотами

получаем

Здесь поэтому

Устремляя Т к бесконечности, заключаем, что если функция абсолютно интегрируема в бесконечных пределах (т. е. если конечен интеграл то конечное значение имеет также интеграл при любых При этом же условии

т. е. приближенно

Но так как при , сумма в правой части (16.2) переходит в интеграл, а приближенное равенство (16.2) -в точное (при этом заменяется на, а дискретные значения частоты -на непрерывно изменяющуюся частоту

Поскольку , функция , за данная на промежутке , является уже непериодической функцией. Поэтому можно утверждать, что формула (16.3) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непрерывно изменяющимися частотами m и бесконечно малыми амплитудами. В самом деле, выражение

представляет собой бесконечно малую по амплитуде гармонику частоты . Конечно, эта бесконечно малая гармоника частоты может быть найдена только по заданной функции . Суммируя затем гармонические составляющие (внешний интеграл по ) при изменении от О до (т. е. учитывая все бесконечное множество гармоник с непрерывно изменяющимися частотами), получаем заданную функцию

Иными словами, непериодическая функция характеризуется непрерывным спектром частот, в то время как периодическая функция -дискретным. Формула (16.3) называется интегралом фУРЬЕ в тригонометрической форме. Отметим, что абсолютная интегрируемость функции в бесконечных пределах является для вывода формулы (16.3) достаточным условием, но не необходимым.

Ввиду четности относительно формулу (16.3) перепишем еще в виде

Подчеркнем, что при решении электротехнических задач гармоники с отрицательными частотами физического смысла не имеют. Однако введение их позволяет представить функцию вместо формулы (16.3) более симметричной формулой (16.4).

Далее в силу нечетности функции относительно аналогично (16А) найдем, что

Умножив (16.5) на и сложив с (16.4), получим интеграл Фурье в кqмплексной форме, который часто имеет преимущества при расчетах:

Если функция задана на промежутке от О до , а на промежутке от до О равна нулю, то соответственно

Внутренний интеграл с заменой на t (значение определенного интеграла не зависит от того, как обозначена переменная интегрирования) может быть переписан так:

Комплексная функция частотыдает закон изменения комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты ro и называется спектральный плотностью (спектральной или амплитудно-фазовой характеристикой; годографом) или, короче, спектром заданной функции называется амплитудно-частотной характеристикой (четная функция частоты), - фазочастотной характеристикой (нечетная функция частоты). Само соотношение (16.9 а) называется односторонним прямым преобразованием Фурье.

Если при t < О функция , то вместо одностороннего преобразования Фурье следует найти спектральную плотность при помощи двустороннего преобразования

С учетом (16.9 6) перепишем (16.8) так:

Таким образом, функция по модулю и фазе характеризует гармонику частоты , а выражение представляет собой гармонику с частотой функции . Эта гармоника выражена в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и называется элементарной. Соотношение (16.10) называется обратным преобразованием Фурье:

Сравнивая формулы прямого и обратного преобразований Лапласа (15.1) и (15.2) с формулами прямого (16.9) и обратного (16.10) преобразований Фурье, заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при и применимо для более узкого класса функций, что и было отмечено выше. Следовательно, частотный спектр функции получается из ее лапласова изображения F (р) по формуле

Выше было показано, что операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа, применим для расчета переходных процессов. Поэтому и частотный метод, основанный на преобразованиях Фурье, может быть как частный случай операторного метода применен для тех же целей

Спектры непериодических функций

Применение прямого преобразования Фурье (16.9) дает возможность определить, в частности, спектры входных воздействий - сигналов электрической цепи.

В качестве примеров определим спектральные плотности некоторых сигналов - функций .

На рис. 16.1 построен прямоугольный импульс длительностью , высотой По (16.96) спектральная плотность

т. е. амплитудно-частотная характеристика

и значение фазы равно О при положительных значениях синуса и при отрицательных. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики показаны на рис. 16.2.

Теоретически спектр прямоугольного импульса неограничен, но удельный вес гармоник с ростом частоты уменьшается (рис. 16.2).

Если , то при получаем дельта-функцию или единичный импульс (см. рис. 14.39). Спектральная плотность единичного импульса

или , т. е. в отличие от импульса конечной длительности у дельта-функции удельный вес всех составляющих спектра одинаковый. При другой форме импульса получается и иной спектр. Так для косинусоидальноrо импульса длительностью (рис. 16.3) спектральная

плотность

или, так как

В частности, при получим

Амплитудно-частотная характеристика

показана на рис. 16.4. С ростом частоты, как и у прямоугольного импульса, удельный вес гармоник уменьшается, но распределение спектральной плотности иное.

Если на интервале укладывается целое число периодов Т, т. е. (рис. 16.5), то, преобразуя в (16.13) синус суммы и синус разности двух углов и учитывая равенства

получаем

и амплитудно-частотная характеристика

Эта характеристика представлена на рис. 16.6 для случая n = 2. Спектральная плотность равна нулю при частотах ro, для которых , т. е. при Наибольшее значение получается при частоте , а именно. Если частота остается постоянной, а длительность импульса растет, т. е. за время

укладывается большее число периодов Т, то максимальное значение становится все более заметно выраженным (увеличивается пропорционально числу периодов n). В пределе при вместо импульса (рис. 16.5) получается гармоническая функция частотой , в спектре которой остается одна спектральная линия на частоте

Единичный скачок 1 (t) (см. рис. 14.33) не относится к абсолютно интегрируемым функциям. Поэтому следует сначала найти спектральную плотность функции , которая относится к абсолютно интегрируемым, а затем устремить к нулю. Согласно (16.9а)

и в пределе получим и , т. е. удельный вес составляющих спектральной плотности уменьшается с ростом частоты, а

Тот же результат, как следует из (16.11), получается после замены в операторном изображении 1/р единичного скачка [см. (15.8)] оператора .

Чтобы определить спектральную плотность гармонического колебания , начинающегося с момента t = О, которое также не относится к абсолютно интегрируемым, сначала найдем спектральную плотность для затухающего колебания Согласно (16.9а)

В пределе при

Спектральная плотность бесконечно большая при частоте гармонического колебания

Между спектрами непериодической функции и периодической функции, которая получается повторением непериодической, существует связь. В качестве примера сравним спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 16.1) и периодической последовательности импульсов (см. рис. 12.6, а).

Спектральная плотность импульса (16.12)

а комплексные амплитуды последовательности импульсов (12.За) при периоде Т и частоте

и постоянная составляющая

Из сравнения последних выражений ясно, что при всех частотах амплитуды спектра периодической функции отличаются от значений спектральной плотности непериодической только постоянным множителем т.е.

Иначе говоря, дискретный спектр амплитуд периодической функции вписывается в график амплитудно-частотной характеристики, соответствующей непериодической функции, как показано на рис. 16.7 для случая . Если период Т растет, т. е. импульсы следуют все реже, то дискретный спектр становится все гуще, так как уменьшаются частота и расстояние между соседними спектральными линиями, равное В пределе при дискретный спектр сливается в сплошной, а амплитуды гармоник становятся бесконечно малыми.

Точно так же для импульсов другой формы по спектральной плотности можно найти комплексные амплитуды гармоник ряда Фурье для периодической последовательности импульсов при любом периоде Т

Теорема Рейли

Умножим обе части равенства (16.10) на , проинтегрируем по до и изменим порядок интегрирования:

На основании (16.96)

Поэтому

Считая, что при t < О, запишем в левой части у интеграла пределы от О до Ввиду четности функции частоты заменим нижний предел у интеграла правой части на О и удвоим результат. В итоге получим

Полагая, что - напряжение, приложенное к резистору сопротивлением 1 Ом, получим, что левая часть (16.15) - это энергия, выделяющаяся в этом резисторе за время от О до Следовательно, интеграл правой части (16.15), представляющий собой площадь, ограниченную квадратом амплитудно-частотной характеристики дает энергию, выделяющуюся в резисторе сопротивлением 1 Ом при напряжении В этом и заключается физический смысл теоремы Рейли.

Дифференцирующие и интегрирующие цeпи

Составим передаточную функцию по напряжению

для четырехполюсника рис. 16.8, считая, что сопротивление нагрузки настолько

велико, что ток (например, к выводам 2-2' подключен усилитель).

Из схемы рис. 16.9 следует, что

т.е. и

При выборе параметров С, r и области изменения частоты таких, что , имеем

и и

Так как - спектральная характеристика производной , то цепь рис. 16.8 осуществляет дифференцирование (и одновременное ослабление) входного напряжения . Проводя аналогичные расчеты для цепи на рис. 16.9, получим

Выбрав параметры r, С и область изменения частоты так, что , получим

Так как - спектральная характеристика интеграла · от напряжения , то цепь рис. 16.9 осуществляет интегрирование (и одновременно ослабление) входного напряжения .

Расчет переходных процессов

Рассмотрим rLС-цепь (рис. 15.1), которая была подключена к источнику ЭДС и в момент t = О переключается к источнику ЭДС . Найдем согласно (16.9а) частотный спектр ЭДС :

Закон Ома для частотных спектров при ненулевых начальных условиях получим из (15.17) при

Знаменатель этого выражения

представляет собой комплексное сопротивление rLС-цепи, применявшееся ранее для расчета установившихся (гармонических) процессов. Как показывает (16.23), оно находит применение и для расчета переходных процессов, когда токи и напряжения изменяются во времени не гармонически, а по самым различным законам.

В самом деле, при помощи по (16.23) найдем частотный спектр тока , а далее по формуле, аналогичной (16.10),- и ток переходного процесса

Из (16.24) заключаем, что ток также может быть представлен в виде суммы элементарных гармоник с частотами, непрерывно изменяющимися от до до , а величина ., представляет собой элементарную гармонику с частотой функции . Аналогичен расчет для любой линейной цепи.

Пример №75

Найти ток при включении rС-цепи на экспоненциальное напряжение

где . Построить годограф входного напряжения.

Решение:

Прежде всего убедимся, что функция представима интегралом Фурье. Действительно, функция абсолютно интегрируема в бесконечных пределах, так как интеграл

конечен при любом

По (16.9а) или по известному лапласову изображению функции найдем ее частотный спектр:

откуда получаем амплитудно- и фазо-частотную характеристики напряжения на входе:

Отсюда следует, что включение апериодического напряжения можно рассматривать как включение бесконечно большого числа элементарных гармонических колебаний, частоты которых изменяются непрерывно от нуля до бесконечности.

На рис. 16.10 даны амплитудно- и фазочастотные характеристики . На рис. 16.11 построен годограф напряжения при изменении , который представляет собой полуокружность, что следует из выражения для . Комплексное сопротивление цепи

Так как начальные условия нулевые, то на основании закона Ома для частотных спектров

и соответствующее операторное изображение тока

Применяя для вычисления тока теорему разложения (15.10), обозначим

и найдем корни характеристического уравнения

Вычислив значения множителей обоих слагаемых теоремы разложения

после простых преобразований получим

Тот же результат можно получить при по мощи обратного преобразования Фурье (16.10).

Этот и другие примеры показывают, что расчеты переходных процессов операторным и спектральным методами весьма похожи друг на друга. Но в отличие от реальных спектров операторные изображения - это абстрактные математические величины, которые, правда, упрощают расчет. Преимущества спектрального метода сказываются при экспериментально найденных входных сигналах и входных или передаточных функциях цепи

Приближенный метод определения оригинала по действительной частотной характеристике

Для любой линейной электрической цепи по законам Кирхгофа можно составить систему интегродифференциальных уравнений, описывающих процессы в этой цепи. То же самое можно сделать для любой динамической системы: электромагнитной, механической или электромеханической. В электрических цепях и динамических системах любую величину можно рассматривать как входную и считать ее изменение во времени заданным. Любую другую величину можно рассматривать как выходную и определять ее изменение. Переходя в уравнениях, характеризующих эти системы, от оригиналов к изображениям, можно исключить изображения всех остальных величин, кроме входной И выходной , И составить передаточную функцию

Например, для четырехполюсника на рис. 16.9 передаточная функция была найдена т. е. после перехода к операторному изображению

Пусть входная величина задана в виде единичного скачка (рис. 14.33). Операторное изображение согласно (15.8)

При действии на входе единичного скачка 1 (t) выходная величина - это переходная функция h (t), т. е.

Будем рассматривать такие цепи или системы, для которых h (О) = О, т. е.

[см. (14.84)].

Таким образом, изображением производной передаточной функции цепи, т. е. импульсной передаточной функции цепи, является передаточная функция К (р). Заменив в правой части (16.28) р на , получим в соответствии с обратным преобразованием Фурье (16.10)

где , или с учетом формулы Эйлера

У четырехполюсника с и линейной фазовой характеристикой, при напряжении на входе получается на выходе напряжение Зависимость выходного напряжения от времени определим по (16.10):

Следовательно, напряжение повторяет по форме напряжение на входе , но с запаздыванием на время которое зависит от скорости изменения фазовой характеристики четырехполюсника с ростом частоты:

Поэтому четырехполюсник с постоянной амплитудной и линейной фазовой характеристиками не вносит ни амплитудных, ни фазовых искажений.

Амплитудно-частотная характеристика -четная функция частоты, а фаза-частотная характеристика - нечетная. Докажем это в общем случае для цепи или системы с сосредоточенными параметрами, у которых К (р) представляет собой частное от деления двух многочленов. Полагая , убеждаемся, что действительные части числителя и знаменателя будут содержать только четные, а мнимые - только нечетные степени . Поэтому функция , равная частному от деления квадратных корней из суммы квадратов действительных и мнимых частей числителя и знаменателя, будет четной функцией , а функция , равная разности арктангенсов от отношений мнимой к действительной части числителя и соответственно знаменателя, будет нечетной функцией частоты.

На основании сказанного заключаем, что подынтегральная функция второго интеграла -нечетная, а так как пределы этого интеграла равны по абсолютному значению и противоположны по знаку, то этот интеграл равен нулю. Подынтегральная функция первого интегралачетная. Поэтому

Но, во-первых, до момента t = О в цепи не была запасена энергия и не действовали источники. Во-вторых, функция k (t) определяется как оригинал - формулами обратного преобразования Лапласа или Фурье и в силу условий этих преобразований, как было указано выше, равна нулю при t < О. Следовательно, заменив t на -t, из (16.30) получим

Обозначим

следовательно,

где -действительная, а - мнимая частотные характеристики системы. Заметим, что действительная частотная характеристика -четная функция ro, а мнимая -нечетная. Из последнего соотношения следует, что передаточная функция может быть найдена, если задана какая-либо пара частотных характеристик: амплитудная и фазовая или действительная и мнимая. Перепишем (16.30) и (16.31) так:

Складывая почленно последние равенства, получаем

Наконец, интегрируя t и учитывая условие h (О) = О, находим, что

Полученное соотношение дает возможность по действительной частотной характеристике системы определить ее передаточную функцию h (t), ·т. е. переходный процесс при воздействии на цепь или систему единичного скачка напряжения (или тока).

Интеграл (16.33) вычисляют, ограничив верхний предел частотой, при которой подынтегральная функция становится малой. Составлены программы вычислений не только для ЭВМ, но и для микрокалькуляторов. Возможно применение графоаналитического метода [12].

Расчет по действительной характеристике рассматривался при действии на входе цепи или системы единичного возмущения. Если же на входе цепи действует возмущение, изображение которого , то аналогично (16.27)

и производная так что вместо (16.29) получаем

Введем обобщенную частотную характеристику цепи

которая учитывает как саму цепь, так и внешнее воздействие.

Так как внешнее воздействие известно, то известна и его частотная характеристика . Поэтому можно найти обобщенные амплитудную и фазовую характеристики цепи

и переходный процесс.

Итак, переходный процесс в линейной электрической цепи однозначно определяется ее частотными свойствами, т. е. амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками. И, нао9орот, по переходной функции цепи можно рассчитать ее частотные характеристики.

Линейные цепи с переменными параметрами

В этой главе рассматриваются линейные цепи, у которых хотя бы один из параметров резистивных, индуктивных или емкостных элементов зависит от времени. Параметры элементов r (t), L(t), С (t) могут изменяться периодически, в частности по гармоническому или по какому-либо другому закону (экспоненциальному, линейному и т. д.). Получить зависимость параметра от времени можно различными путями. Приведем некоторые примеры. · Периодическое скачкообразное изменение сопротивления резистивного элемента можно получить, например, при помощи электронного ключа, включающего в цепь попеременно два резистора с различными значениями сопротивления. Зависящим от времени может быть сопротивление между контактами рубильника, подключающего цепь к источнику питания. У двух последовательно включенных катушек будет зависеть от времени суммарная индуктивность, если положение одной из них относительно другой изменяется в пространстве. Барьерная емкость электронно-дырочного перехода, управляемая напряжением смещения, представляет собой емкостный элемент с переменным параметром.

Элементы и уравнения цепи с переменными параметрами

В цепи с переменными параметрами напряжение и ток резистивного элемента связаны соотношением и = r (t) i, потокосцепление и ток индуктивного элемента -соотношением , напряжение и ток этого элемента -соотношением

заряд и напряжение емкостного элемента -соотношением , а ток и напряжение -соотношением

Поэтому режим линейной цепи с переменными параметрами (параметры зависят. от времени, но не от токов и напряжений) описывается системой линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Общего аналитического метода решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нет. Режим некоторых достаточно простых цепей может быть определен непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений. Исследование установившегося режима в цепи с гармоническими источниками питания и периодически изменяющимся параметром возможно методом комплексных амплитуд или гармонического баланса. Для численного расчета применяются те же методы, что и при расчете переходных процессов в линейных цепях с постоянными параметрами.

Интегрирование дифференциальных уравнений цепи

В качестве примера расчета установившегося режима и переходного процесса непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений рассмотрим процессы в цепи на рис. 17.1,а с источником постоянной ЭДС Е и внутренним сопротивлением Сопротивление резистора изменяется периодически скачками

С целью упрощения выкладок заменим ЭДС Е источником тока J = (рис. 17.1, 6) и изменение сопротивления от значения до значения - изменением общего сопротивления R = от значения до значения , начиная с момента времени t = О (рис. 17.2). Наиболее просто определяется напряжение конденсатора после чего можно найти токи

В установившемся режиме, выбирая начало отсчета времени t' = О при изменении сопротивления от значения до значения , получаем напряжение , где и В частности, при t' = О и t' = Т /2 напряжение и

Выбирая начало отсчета времени t" = О при изменении сопротивления от значения до значения , получаем , где И2 = R2J и р2 = = -1/R2C. В частности, при t" = О и t" = Т /2 напряжение ис2 (О) = И 2 + В и ие2 (Т/2) = И 2 + Ва 2, где а2 = еР, т/2. Согласно второму закону коммутации должно быть

или

Из (17.3) определяются постоянные интегрирования

Во время переходного процесса в интервале времени (рис. 17.2) (n = 1)

При t = О начальное условие и получаем , т.е. В интервале времени

При t = Т /2 из условия отсутствия скачкообразного изменения напряжения следует равенство из которого определяется постоянная

В интервале времени

При t = Т должно быть откуда

В интервале времени

При t = 3Т/2 должно быть

В интервале времени (n = 3)

Продолжив аналогичные вычисления, получим для любого n-ro периода в интервалах времени соответственно

где

В частности, при , т. е. для установившегося режима, получается (17.4), как и должно быть.

Аналогично можно найти решение при периоде Т, состоящем из двух неравных интервалов.

Аналитическое решение дифференциального уравнения rС-цепи можно найти и при некоторых других законах изменения сопротивления.

В качестве примера рассмотрим разрядку конденсатора (рис. 17.3), заряженного до напряжения V, через резистор, сопротивление которого изменяется периодически по закону

Определим закон изменения напряжения .

Решение дифференциального уравнения цепи ,т.е. можно найти методом разделения переменных. Так как

где и после интегрирования или

При t = О согласно начальным условиям

При линейном изменении сопротивления дифференциальное уравнение можно решить методом подстановки. Дифференциальное уравнение заряда q конденсатора в цепи на рис. 17.4, а с линейно нарастающим сопротивлением резистора

где имеет решение

Постоянная интегрирования А определяется из начальных условий. При t = О заряд q = 0, т. е.

На рис. 17.4, 6 построена зависимость 1 заряда от времени при численных значениях а= Ь =С= V = 1, т. е. при q = t/(1 + t). Для сравнения на том же рисунке построена кривая 2 изменения заряда при а = С = V = 1 и Ь = О, т. е. при постоянном сопротивлении. Конечно, в первом случае конденсатор заряжается медленнее

Установившейся режим в цепи с периодически изменяющейся индуктивностью при гармоническом напряжении источника питания

Рассмотрим режим в последовательном контуре при гармоническом напряжении на его выводах, начальную фазу которого выберем такой, что

Индуктивность контура изменяется по закону

где - частота изменения индуктивности, а - глубина модуляции.

Дифференциальное уравнение цепи

или где - потокосцепление. Периодическое изменение потокосцепления L(t) i можно трактовать как одновременное периодическое изменение не только его индуктивности L(t), но и сопротивления , где учтено, что Напомним, что при постоянной индуктивности в установившемся режиме ток изменяется гармонически с частотой ro0 приложенного напряжения и резонанс в контуре наблюдается при совпадении частоты приложенного напряжения с частотой свободных колебаний

В случае периодического изменения индуктивности с частотой ro при гармонически изменяющемся напряжении и установившийся ток состоит из бесконечного числа гармонических колебаний с так называемыми комбинационными частотами . Такую цепь можно рассматривать как генератор высших гармоник, одна из которых может совпасть с частотой свободных колебаний, т. е. вызвать резонанс. Установившийся ток будем искать в виде суммы членов бесконечного ряда

где сопряженные комплексы, а первое и второе слагаемые (17.8) представляют собой сопряженные комплексные функции времени. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только первое слагаемое правой части (17.8) и искать решение (17.7а) или (17.76) по действительной части (17.8), которая равна удвоенной действительной части первого слагаемого правой части ( 17.8).

Переписав (17.6) в виде

найдем

Во второй сумме правой части (17.9) номер k слагаемого с на единицу меньше, чем множитель k + 1 при в показателе степени, а в третьей сумме - на единицу больше. А так как индекс суммирования k во второй и третьей суммах пробегает последовательно все значения от , то можно (17.9) переписать так:

где

Подставим в (17.7а) выражение для тока в виде первой суммы из (17.8) и выражение для из (17.10). После дифференцирования и интегрирования получим

При этом, как и выше для тока , вместо правой части (17.8) записана только действительная часть, т. е. удвоенная действительная часть ее первого слагаемого.

Система уравнений (17.11) должна удовлетворяться при произвольных значениях t, а значит, для любого значения k при -1, О, 1, ... . . . , , т. е. она распадается на бесконечное число рекуррентных уравнений вида (записаны далее для действующих значений)

где только при k = о.

Перепишем линейную систему алгебраических уравнений (17.12) в развернутом виде:

В пяти выписанных уравнениях имеется семь неизвестных комплексов тока, так что в них нет равенства количества уравнений и числа неизвестных .

Баланс, строго говоря, может быть, если рассматривать бесконечное число уравнений и неизвестных. Отметим, что поскольку цепь линейная, амплитуды гармоник тока пропорциональны амплитуде напряжения питания.

При решении практических задач комплексными значениями высших гармоник начиная с некоторого k пренебрегают так, чтобы получить в оставшихся уравнениях баланс числа уравнений и неизвестных, после чего они могут быть решены однозначно.

В частном случае при , где п - целое число, вместо системы (17.12) получается бесконечное число рекуррентных уравнений вида

Эти уравнения, так же как и уравнения (17.12), могут быть переписаны в развернутой форме, и замечания об их решении были даны выше.

В итоге заключаем, что в рассматриваемом частном случае, когда частоты приложенного напряжения и изменения параметра связаны между собой соотношением , будут иметь место принужденные колебания с комбинационными частотами , где k = О, 1, 2, ... ,

Отметим, что с энергетической точки зрения энергия, выделяемая в резистивном элементе контура, покрывается не только за счет энергии внешнего источника, но и за счет работы, производимой при изменении параметра .

Аналогичным образом рассматривается и более общий случай при изменении индуктивности по периодическому закону:

Все вышеизложенное относилось к простому последовательному колебательному контуру. Однако приведенная методика применима и для цепи, в которой контур включен последовательно с любым пассивным двухполюсником с заданным входным сопротивлением

В этом случае окончательные уравнения будут иметь вид, аналогичный уравнениям простого колебательного контура, с той лишь разницей, что к слагаемым ( 17 .11 ), учитывающим падения напряжения на резистивном и индуктивном элементах, должно быть добавлено падение напряжения на выводах двухполюсника.

Свободный процесс в цепи с периодически изменяющейся индуктивностью

Для последовательного контура с гармонически изменяющейся индуктивностью значения комплексных собственных частот , можно получить из уравнений (17.12) после деления на j, полагая в них и приравнивая нулю их правые части:

Бесконечный определю ель для системы однородных уравнений ( 17.13) в развернутом виде (далее -для трех его строк, соответствующих k = -1, k = О и k = + 1) может быть записан следующим образом:

Из (17.13) и (17.14) следует наличие зависимости частот свободных колебаний , т. е. характера свободных колебаний в контуре с периодически изменяющейся индуктивностью, от аргумента а. в соотношении (17.6).

Представляет также интерес приближенный анализ процессов в последовательном колебательном контуре (рис. 17.5), закон изменения индуктивности которого дан на рис. 17.6. Пусть при начинается разрядка конденсатора. Допустим также, что доб-

ротность контура велика. В течение первой четверти периода разрядка конденсатора приводит к нарастанию тока (рис. 17.6), который при прохождении через максимум получает скачкообразное приращение вследствие уменьшения индуктивности L. При прохождении тока через нуль индуктивность скачком возвращается к исходному значению, и далее процесс повторяется. Каждый раз при скачкообразном уменьшении индуктивности ток получает приращение. Если это приращение больше, чем уменьшение максимального значения тока за половину периода разрядки конденсатора, то· процесс в контуре становится нарастающим. Поступление энергии в колебательный контур происходит из цепи, которая обусловливает такое изменение (модуляцию) индуктивности. Из рис. 17.6 ясно, что частота модуляции параметра вдвое превышает собственную частоту контура.

Аналогично можно рассмотреть нарастание колебательных процессов в контуре и при скачкообразном изменении емкости [10].

Численные методы расчета переходных процессов

Как было показано, непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений цепи с переменными параметрами возможно только при некоторых законах изменения переменного параметра в достаточно простых цепях. Поэтому для решения большинства задач расчета переходных процессов необходимо обратиться к численным методам.

Чтобы сравнить результаты расчета переходного процесса разными методами, в качестве примера выберем цепь на рис. 17.4, а, для которой возможно и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения.

Пример №76

Построить зависимость заряда q конденсатора от времени t для цепи на рис. 17.4, а при И = 1 В = const, r = 1 + lt Ом и С = 1 Ф.

Решение:

Явный метод Эйлера. В начальный момент времени постоянная времени цепи . Выберем шаг h = 0,25 с, что удовлетворяет условию .

Дифференциальное уравнение цепи или при заданных параметрах . Для момента времени

и по (14.101) (6)

После подстановки из формулы (а) в формулу (6) получаем рекуррентное соотношение

Зависимость q (t) построена на рис. 17.7 (кривая 3) совместно с аналитически полученной (кривая 2), которая была уже показана на рис. 17.4, б. Значения в моменты времени t = 1, 2, 3, 4, 5, 6 с приведены еще в табл. 17.1.

На рис. 17.7 построена еще зависимость q (t), полученная явным методом Эйлера при h = 0,5 с (кривая 4). Видно, что с увеличением шага точность полученных результатов падает.

Неявный метод Эйлера. Для момента времени вместо уравнения (а) запишем уравнение

и по (14.103)

После подстановки из формулы (г) в формулу (в) получаем

Зависимость q (t) показана на рис. 17.7 (кривая 5). Значения в те же моменты времени, что и для кривой а, приведены в табл. 17.1.

Метод трапеций. Согласно (14.105)

После подстановки из (г) получим

Зависимость q (t) показана на рис. 17.7 (кривая 6). Значения qk в те же моменты времени, что и для кривых 3 и 5, приведены в табл. 17.1. Как и должно быть, методом трапеций получен более точный результат, чем методами Эйлера

Пример №77

Определить методом трапеций напряжение в rС-цепи, подключаемой к источнику постоянной ЭДС Е = 2 В, при r

Решение:

Согласно (17.2)

или

По (14.105)

где

После подстановки всех значений получаем рекуррентное соотношение

Результаты расчета для некоторых значений k приведены ниже

При конденсатор заряжается, естественно, медленнее. Например, при t = 200 с напряжение не 1,613 В, а 1,264 В. Если в цепи скачком изменяется индуктивность или емкость, то, как было указано следует пользоваться обобщенными законами коммутации и выбирать в качестве искомых величин потокосцепление или заряд.

Частотные электрические фильтры

В электрических, радиотехнических и телемеханических установках и устройствах связи часто ставится задача: из многих сигналов, занимающих широкую полосу частот, выделить один или несколько сигналов с более узкой полосой частот. Сигналы (напряжения и токи) заданной полосы выделяют при помощи электрических фильтров. Так, в радиоприемнике из сигналов многочисленных радиостанций фильтры выделяют сигнал одной принимаемой станции.

Полосы пропускания и задерживания

В энергетических системах при передаче сигналов телеуправления, телеизмерения и автоконтроля по линиям электропередачи высокого напряжения фильтры отделяют эти сигналы от тока промышленной частоты (50 Гц). В установках частотного телеуправления многими объектами, например на газопроводе, фильтры выделяют сигналы управления, предназначенные каждому объекту. При организации по воздушным линиям электропроводной связи одновременно нескольких телефонных разговоров (высокочастотная телефонная связь) на приемной станции устанавливаются фильтры для разделения телефонных сигналов отдельных. абонентов.

Один из простейших фильтров состоит из катушки и конденсатора, включенных последовательно или параллельно, т. е. представляет собой последовательный или параллельный контур. Однако в качестве пассивных фильтров чаще применяются четырехполюсники из катушек индуктивности и конденсаторов и каскадные соединения четырехполюсников.

К электрическим фильтрам различной аппаратуры предъявляются неодинаковые и даже противоречивые требования. В одной части полосы частот; которая называется - полосой пропускания, сигналы не должны ослабляться, а в другой, называемой полосой задерживания (непропускания), ослабление сигналов не должно быть меньше определенного значения. Дополнительно могут накладываться определенные условия на вид фазовой характеристики фильтра.

К фильтрам предъявляются и конструктивные требования в отношении их габаритов, массы, используемых материалов. Эти требования могут оказать решающее влияние на выбор одноr о и, вариантов схем с аналогичными частотными характеристиками. Фильтр следует считать идеальным, если в полосе пропускания отсутствуе1 ослабление сигналов и фазо 'Iастотная характеристика линейная {нет искажения формы сигналов), а вне полосы пропускания сигналы на выходе фильтра отсутствуют. Практически, конечно, создать идеальный фильтр нельзя, но можно получить в полосе пропускания достаточно малое {теоретически равное нулю) ослабление сигналов, по крайней мере на некоторых частотах, если фильтр составлен из конденсаторов и катушек с малыми потерями. Если применяются конденсаторы и катушки с достаточно большими добротностями {соответственно больше 1000 и 50), то при анализе работы таких фильтров потерями в конденсаторах и катушках часто пренебрегают.

В зависимости от диапазона частот, относящихся к полосе пропускания, различают низкочастотные, высокочастотные полосовые и заграждающие (режекторные) фильтры. Полоса пропускания низкочастотного фильтра до rpaничной , высокочастотного - от граничной , полосового и заграждающего На рис. 18.1 для этих четырех типов фильтров показаны частотные характеристики коэффициента затухания

в предположении, что фильтры идеальные.

Расчет фильтров по заданным характеристическим параметрам

У симметричного фильтра с согласованной нагрузкой коэффициент затухания а - это постоянная ослабления А. Характеристика не получается идеальной, как на рис. 18.1, даже если принять, что потери в катушках и конденсаторах отсутствуют.

Простейший симметричный фильтр имеет Т- или П-образную схему (рис. 8.7) и коэффициент {для Т-образной схемы его значение найдено в примере 8.3; то же значение получается и для П-образной схемы). Известно также [ см. {8.34а)], что для всех симметричных четырехполюсников Следовательно, для Ти П-образных фильтров при согласованной нагрузке

y низкочастотных Т- и П-образных фильтров (рис. 18.2, а и б), которые называются фильтрами типа k, сопротивления

-действительная величина и

Полосой пропускания считают диапазон частот, в котором А = О, а полосой задерживания - диапазон частот, в котором . Поэтому в полосе пропускания Косинус изменяется в пределах от + 1 до -1, т. е. нижняя граничная частота полосы пропускания 2 верхняя граничная частота полосы пропускания

Так как в полосе задерживания а В первом случае и для ch А получается невыполнимое условие: . Во втором случае =или

Характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника [ см. (8.22)] Для Т-образной схемы после подстановки (см. пример 8.3) получается и аналогично для П-образной сопротивление Заменив и их значениями для низкочастотного фильтра, получим, что характеристические сопротивления зависят от частоты:

где

При , т. е. в полосе пропускания, -активные сопротивления, которые изменяются с ростом частоты от значения k до О у Т-образного и до у П-образного фильтров. При , т. е. в полосе задерживания, -реактивные сопротивления, которые изменяются с ростом частоты от О до у Т-образного и от оо до О у П-образного фильтров. Следовательно, добиться работы фильтра на согласованную нагрузку невозможно. Изменение сигнала при несогласованной нагрузке оценивают коэффициентом затухания а (18.1).

При расчете индуктивности и емкости фильтра задают граничную частоту (18.2) и сопротивление нагрузки, которое выбирают равным параметру k • (18.5)

Пример №78

Для низкочастотного П-образноrо фильтра (рис. 18.2,6) заданы граничная частота и параметр k = 600 Ом. Считая, что фильтр работает на согласованную нагрузку, построить зависимость

с переходом от А в неперах в (18.3) к А в децибелах. Результаты расчета приведены в табл. 18.1 и показаны на рис. 18.3 (кривая 1)

Пример №79

Для фильтра примера 18.1 при постоянном сопротивлении нагрузки (рис . .18.4) рассчитать частотную характеристику коэффициента затухания

Решение:

Напряжения , как следует из рис. 18.4, связаны соотношением

После подстановки численных значений получим

где в килогерцах.

Результаты расчета приведены в табл. 18.1 и показаны на рис. 18.3 (кривая 2).

Сравнение кривых 1 и 2 на рис. 18.3 показывает, что в реальных условиях работы фильтра при постоянном сопротивлении нагрузки (кривая 2) наблюдается подавление сигналов и в полосе пропускания, а их подавление в полосе задерживания меньше, чем было бы при согласованной нагрузке (кривая 1).

Если при некоторой частоте в полосе задерживания задается требуемая постоянная ослабления или необходимый коэффициент затухания , которые больше, чем у одного Т- или П-образного фильтра - звена (рис. 18.2), то применяется каскадное соединение звеньев.

Аналогично анализируется работа и рассчитываются элементы высокочастотных, полосовых и заграждающих фильтров типа k. Высокочастотный Тили П-образный фильтр получается при замене продольных индуктивных элементов низкочастотного фильтра емкостными и поперечных емкостных - индуктивными, у полосового фильтра продольные элементы - последовательные LС-контуры и поперечные - параллельные LС-контуры, а у заграждающего фильтра наоборот. Для увеличения постоянной ослабления каскадное соединение фильтров типа k можно заменить более сложными Т- или П-образными схемами - фильтрами типа или мостовыми [6].

Так как добиться согласованной нагрузки фильтра в требуемой полосе пропускания нельзя, то на практике элементы фильтра рассчитывают по заданным рабочим параметрам или передаточным функциям при известном постоянном сопротивлении нагрузки.

Расчет фильтров по заданным рабочим параметрам

Рассмотрим часто применяемый на практике синтез полиномиальных фильтров с передаточной функцией вида

по заданной частотной характеристике рабочей постоянной ослабления .

Для таких фильтров в полосе пропускания задается максимально допустимое значение , а в полосе непропускания, начиная с некоторой частоты, - минимально допустимое значение.

Расчет элементов фильтра выполняется при нормированных параметрах для так называемого низкочастотного (НЧ) протипас последующим переходом к необходимым параметрам и требуемому типу фильтра: высокочастотному, полосовому, заграждающему. Наиболее простое решение задачи синтеза получается, если сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника считать, как и бывает часто в реальных цепях передачи сигналов, одинаковыми резистивными с нормализацией к значению Ом. У полосы пропускания ограничное значение частоты выбирается равным 1, т. е. вводится относите;rьная частота - -заданная граничная частота, так что Для НЧ-прототипа можно поэтому считать -заданной характеристику, представленную на рис. 18.5. На этом рисунке - максимально допустимое ослабление в полосе пропускания, - граничная частота полосы эффективного непропускания или полосы задерживания, начиная с которой ослабление не должно быть меньше требуемого значения В 110.croce частот от не задается и может быть любым

Для аналитического решения -задачи реализации фильтра, отвечающего поставленным требованиям, необходимо выбрать функцию, которая с достаточной точностью аппроксимирует зависимость, показанную на рис. 18.5. Эта характеристика часто аппроксимируется полиномами Баттерворта или Чебышева при при . В обоих случаях получаются полиномиальные фильтры, имеющие цепную (лестничную) схему (продольные индуктивные и поперечные емкостные элементы у НЧ-прототипа).

У фильтров Баттерворта рабочая постоянная ослабления монотонно растет с увеличением частоты:

где п - порядок фильтра (суммарное число индуктивных и емкостных элементов). Коэффициент определяет неравномерность характеристики в полосе пропускания и может быть найден из (18.6) при

где заданная неравномерность в децибелах.

При обычно выбираемом значении у фильтра любого порядка на граничной частоте постоянная ослабления , т. е. неравномерность затухания сигналов у фильтров любого порядка в полосе пропускания (рис. 18.6).

Чем выше единственный параметр фильтра - порядок n, тем круче нарастает вне полосы пропускания и меньше значения в полосе пропускания (лучшее приближение к характеристике идеального фильтра, но фильтр состоит из большего числа элементов).

При помощи фильтров Чебышева можно получить более резкое нарастание c в полосе задерживания, т. е. лучшие фильтрующие свойства. У этих фильтров рабочая постоянная ослабления

где полином Чебышева можно записать и в форме

так что при

любом порядке полином

При и любом n полином , т. е. на граничной часnоте у фильтров Баттерворта и Чебышева одинаковые значения (при равных ). В полосе пропускания характеристика фильтров Чебышева имеет колебательный харатер с наименьшими значениями = О и наибольшими , причем число наибольших и наименьших значений (не считая значения на rранице полосы пропускания) равно порядку n. На рис. 18.7 показана характеристика при Вне полосы пропускания характеристика как и у фильтра Баттерворта, монотонно нарастает.

Как укюывалось, фильтры Чебышева обеспечивают по сравнению с фильтрами Баттерворта более быстрый рост рабочей постоянной ослабления вне полосы пропускания, но в полосе пропускания нелинейность фазо-частотной характеристики у них больше. У фильтра Баттерворта рабочая постоянная ослабления приближается к значению только вблизи граничной частоты и нелинейность фазо-частотной характеристики меньше. Поэтому в полосе пропускания фильтры Баттерворта создают меньшие амплитудные и фазовые искажения сигналов (при тех же значениях , чем фильтры Чебышева.

Реализация низкочастотных фильтров

Рассмотрим реализацию фильтров при заданных для полосы пропускания значениях , а для полосы задерживания - при значениях, и равных резистивных сопротивлениях нагрузки и генератора

Прежде всего определим порядок фильтра Баттерворта из (18.6). При частоте ,

откуда т.е.

Так как n- целое число, а правая часть (18.9) - любое положительное число, то вместо знака равенства поставлен знак Выбрать n меньше правой части нельзя, поскольку не будет обеспечено требуемое значение Аналогично для фильтра Чебышева из (18.7) получается

Фильтр НЧ может быть составлен по одной из двух цепных схем на рис. 18.8 с нормированными значениями L и С' индуктивностей и емкостей.

Для определения параметров фильтра необходимо составить передаточную или входную функцию, которая будет содержать искомые значения всех L и С'.

Значения L и С' при заданном зависят только от порядка фильтра n. Потому составлены табл. 18.2 и 18.3 значений нормированных параметров НЧ-прототипа, из которых можно сразу выписать эти значения после того, как найден порядок фильтра.

Для фильтров Чебышева в табл. 18.3 указаны только нечетные значения порядка п, так как при четных п в начале координат значение полинома не равно О, а рабочая постоянная ослабления при должна быть равна О. Более подробные таблицы даны в [8].

Чтобы найти истинные значения параметров, необходимо вычислить денормирующий множитель

который численно равен R при Параметры:

Пример №80

Задано: Реализовать фильтр Чебышева и при частоте сравнить полученное значение

Решение:

Частота По (18.10) находим , т. е. нужно принять n = 5. Такое же значение n получается и из (18.8).

Выберем схему фильтра по рис. 18.8, 6 с , у которой меньше катушек индуктивности. Из табл. 18.3 выписываем нормированные значения параметров: По формулам денормирования Рабочая постоянная ослабления по (18.7) где что, как и должно быть, больше , так как

Реализация высокочасrотных и полосовых фильтров

Для реализации высокочастотного фильтра (ВЧ) при заданных сначала определяются параметры НЧ-прототипа. При нормированных значениях частот фильтра ВЧ ,в нормированные частоты НЧ-прототипа Для перехода к фильтру ВЧ индуктивные элемент

ты в схеме полученного НЧ-прототипа заменяются емкостными и наоборот. Нормированные значения параметров фильтра ВЧ рассчитываются по формулам

после чего проводится денормирование

Пример №81

Задано: Реализовать высокочастотный фильтр Баттерворта и построить частотную характеристику

Решение:

Частота и у НЧ-прототипа По (18.9) , т. е. нужно принять n = 4. Число катушек и конденсаторов одинаково, т. е. можно выбрать любую из схем рис. 18.8. Выберем прототип по рис. 18.8, б и найдем по табл. 18.2 нормированные значения параметров .Нормированные значения параметров фильтра ВЧ: По формулам денормирования ;Схема фильтра ВЧ показана на рис. 18.9, а. По (18.6) для НЧ-прототипа. Чтобы построить график , надо заменить в полученной по (18.6) зависимости частотой Зависимость построена на рис. 18.9, б.

У полосового фильтра с «симметричной характеристикой» задаются две граничные частоты и две частоты , начиная с которых ослабление не может быть меньше требуемого значения (рис. 18.10). Для НЧ-прототипа с по заданным частотам определяется нормированная частота , после чего, как и ранее, реализуется НЧ-прототип. При переходе к схеме полосового фильтра индуктивные элементы заменяются последовательным LС-контуром, а емкостные - параллельным.

При денормировании индуктивность последовательного контура определяется из соотношенияа емкость , емкость параллельного контура - из соотношения, а индуктивность

Частотную характеристику полосового фильтра можно построить по характеристике НЧ-прототипа, заменяя каждое значение частоты двумя значениями причем ,

Аналогичны приемы построения заграждающего фильтра, который практически применяется реже.

Из-за потерь в катушках и конденсаторах реальная характеристика отличается от характеристики фильтра из чисто реактивных элементов. Если добротность катушек достаточно велика (> 50), порядок фильтра не слишком большой (11 < 10) и добротность конденсаторов мноr о больше, чем у катушек, что для реальных фильтров всегда выполняется, то потерями можно пренебречь.

При источнике питания, который можно считать идеальным источником ЭДС или тока, для расчета вместо рабочей постоянной ослабления выбирают одну из передаточных функций (по напряжению, по току и т. д.).

Активные rС-фильтры

Активным элементом rС-фильтров обычно служит оgерационный усилитель (ОУ), охваченный отрицательной обратной связью. На рис. 18.11 приведена схема одного из простейших активных гС-фильтров низких частот первого порядка. Считая, что у ОУ бесконечно большое входное сопротивление и равное нулю выходное сопротивление, составим передаточную функцию по напряжению

Для ОУ по определению

где - внутренний коэффициент усиления ОУ (т. е. без учета обратной связи через сопротивление )

Так как входной ток ОУ равен О, то ток в сопротивлениях одинаков и из уравнения по внешнему контуру с учетом обозначения получаем . Для входной (интегрирующей) rС-цепи и с учетом равенства получаем После подстановки в (18.14) находим, что

и

где - постоянная времени интегрирующей цепи, и амплитудно-частотная характеристика, если считать граничной частото

где относительная частота.

Обратная величина в логарифмическом масштабе определяет коэффициент затухания фильтра

т. е. это фильтр Баттерворта первое о порядка.

Фильтр второго порядка содержит два резистора 1· и два конденсатора С. Фильтры более высокого порядка получают каскадным соединением фильтров первого и второго порядков. Высокочастотный фильтр с той же граничной частотой, что и у низкочастотного, получается, если rюменять местами включения резисторов r и конденсаторов С. Для создания простых полосового или заграждающего фильтров соединяют соответственно последовательно или параллельно фильтры НЧ и ВЧ.

При передаточная функция при

получается , т. е. усиление сигналов, а при а > О - ослабление.

Пример №82

Построить зависимость для rС-фильтров НЧ первого и вnорого порядков с ОУ, у которых , , при Схема фильтра второго порядка приведена на рис. 18.12.

Решение:

Передаточная функция при нулевой частоте по ( 18.15)

и по (18.16)

Зависимость показана на рис. 18.13 (кривая 1).

Для схемы второго порядка (рис. 18.12) расчетом, аналогичным приведенному для фильтра первог0 порядка, получается

Зависимость показана на рис. 18.13 (кривая 2). У фильтра второго порядка в полосе пропускания (при ш, OI О Jto 1 ). усиление сигнала меньше, чем у фильтра первого порядка, а в полосе задерживания больше ослабление сигнала, чем у филы ра первого порядка.

На рис. 18.14 показана еще одна схема низкочастотного ,·С-фильтра, у которого конденсатор включен в цепь обратной связи. Считая ОУ идеальным, получим при обозначениях , и такое же значение затухания, как и для фильтра на рис. 8.11.

Аналогично составляются и ·схемы высокочастотных, полосовых и заграждающих фильтров

Пример №83

Найти полосу пропускания фильтра по рис. 18.15, считая, по ОУ идеальный и граничной выбрана частота, при которой затухание равно 3 дБ.

Решение:

Для схемы рис. 18.15 и

Исключив из этих соотношений ток I и напряжение и считая , получим где Затухание а = 3 дБ с при,

Так как то этот фильтр ВЧ с полосой пропускания от , до бесконечности.

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников

В предыдущих главах рассматривались методы анализа линейных электрических цепей, а именно при заданных структуре цепи и ее параметрах определялись различные свойства и процессы в цепи.

Однако часто приходится решать и обратную задачу для линейной пассивной цепи: так подобрать структуру и параметры, чтобы при заданном законе , изменения во времени входной величины получить заданный закон изменения во времени выходной величины .

Переходя к лапласовым изображениям получим, ЧТО задана передаточная функция цепи Поэтому задачу синтеза цепи поставим так: по заданной передаточной функции цепи К (р) или (переходя к преобразованиям Фурье) по заданной частотной характеристике цепи найти структуру (схему) цепи и ее параметры

При синтезе пассивных двухполюсников в качестве выходной величины возьмем напряжение на выводах двухполюсника а в качестве выходной - ток на входе . При этом .

Таким образом, для двухполюсника в качестве передаточной функции можно выбрать входное сопротивление или обратную величину - входную проводимость. Они могут быть заданы аналитически или графически (в виде частотных характеристик).

На рис. 19.1, а и 6 приведены две различные дифференцирующие цепи. Они имеют одинаковые передаточные функции

где для цепи рис. 19.1, а, а для цепи рис. 19.1, б

Этот пример показывает, что одну и ту же передаточную функцию или частотную характеристику могут иметь различные цепи, т. е. задача синтеза цепи по заданным имеет неоднозначное решение. В некоторых случаях она вообще может не иметь решения, если для цепей, состоящих из резисторов, катушек и конденсаторов, параметры r, L или С получаются отрицательными. Поэтому решение задачи синтеза распадается обычно на два этапа.

На первом этапе следует установить, реализуема ли физически цепь, заданная передаточной или входной функцией при помощи пассивных линейных элементов с параметрами r, L и С. Если же для цепи заданы частотные характеристики , то их следует с достаточной точностью аппроксимировать функциями, которые заведомо допускают физическую реализацию цепи.

Для решения задачи, которая ставится на первом этапе, следует рассмотреть свойства входных и передаточных функций и их частотные характеристики.

На втором этапе следует реализовать требуемую функцию цепи методами, разработанными в теории синтеза цепей, т. е. определить ее структуру и параметры, причем часто стремятся к уменьшению числа элементов синтезируемой цепи и выбирают метод синтеза, учитывающий неоднозначность решения в смысле структуры синтезируемой цепи. Важно отметить, что функции цепи к (р), z (р) и У(р) являются функциями комплексного переменного или комп- и лексной частоты р = а + jro. Как известно из теории функций комплексного переменного, функции цепи однозначно определяются распределением их нулей и полюсов

Энергетические функции

Рассмотрим электрическую цепь, схема замещения которой содержит резистивные, индуктивные и емкостные элементы и источники ЭДС (источники тока будем считать преобразованными в источники ЭДС). Выберем систему независимых контуров так, чтобы источники ЭДС находились в ветвях связи. Схему с источниками ЭДС, которые включены и в ветви дерева, можно привести к указанному виду переносом ЭДС. Запишем в матричной форме уравнения для п главных контуров

где - контурный ток, равный току в ветви связи, - ЭДС в ветви связи.

Чтобы составить баланс мощностей, умножим (19.1) слева на и просуммируем по всем n контурам:

где правая часть - мгновенная мощность всех источников ЭДС.

Обозначив

и получим

где F (t), T(t), V(t) называются энергетическими функциями.

В цепи синусоидального тока

(начальная фаза тока, как и при любых расчетах цепей, выбрана произвольно),

Среднее значение F (t) за период F = (вторая сумма - гармоническая двойной частоты, и ее среднее значение равно нулю). Удвоенное значение 2F - активная мощность, т. е.

Аналогично средние значения T(t) и V(t): среднее значение энергии, накапливаемой в магнитном поле, т. е. максимальное значение; среднее значение энергии, накапливаемой в электрическом поле,т. е. , а 2 V - максимальное значение

Функцииназываются обобщенными энергетическими, хотя не имеет размерности энергии или мощности.

Составим еще баланс мощностей в комплексной форме. Уравнения для главных контуров:

Умножив слева на получим

В частности, для двухполюсникаи входное сопротивление

Для любого реактивного двухполюсника

и

- теорема сопротивления. В операторной форме (заменив на р) входное сопротивление

где и аналогично записываемые две другие функции теряют физический смысл, но применяются при решении задач синтеза.

При действительном значении сопротивление

т. е. действительное. Действительная часть сопротивления в операторной форме

Следовательно, при и . Функции с такими двумя свойствами называются положительными действительными (вещественными) функциями. Те же свойства и у проводимости двухполюсника

Входные функции. Положительные действительные функции

Как известно входные операторные сопротивления Z (р) и проводимости У(р) двухполюсников представляются рациональными дробями, т. е. отношением двух многочленов:

и обладают четырьмя важными свойствами.

1. При действительных значениях р (р = s) функции Z (р) и У(р) - действительные, так как коэффициенты полиномов G (р) и Н (р), т. е. - действительные. Коэффициенты получаются суммированием, умножением или делением действительных величин - параметров ветвей r, L, М и С.

2. Синтез будем проводить для пассивных двухполюсников, у которых все нули и полюсы входных функций z (р) и У(р) расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (переходный процесс затухает) или на мнимой оси этой плоскости, причем в последнем случае все полюсы и нули простые. Если хотя бы один мнимый корень был бы, например, кратности т, то соответствующее ему решение характеристического уравнения имело бы вид

Это приводило бы к нарастающему свободному процессу, что невозможно в пассивном двухполюснике.

При сформулированных выше условиях оказывается, что все коэффициенты полиномов G (р) и Н (р) должны быть положительными.

Убедиться в этом можно, представив, например, полином G (р) в следующем виде:

Для каждой пары комплексных и сопряженных корней и будем иметь

Для действительных корней будем иметь множители Следовательно, при все коэффициенты при р в множителях полинома G (р) неотрицательны, а поэтому, выполнив в (19. 7) перемножение всех множителей, получим положительные коэффициенты

3. Действительные части входных функций Z (р) и У(р) положительны или равны нулю, т. е. или при условии, что Rep = . Докажем это свойство, т. е. что если для чисто реактивной цепи. Например, для LC -цепи

Это выражение для Z (р) по форме полностью совпадает с комплексным сопротивлением цепи, приведенной на рис. 19.2:

Очевидно, что при и. Таким образом, для любой чисто реактивной цепи, состоящей из элементов L и С, может быть при построена аналогичная цепь, но уже содержащая резистивные элементы r и g. Так как для аналогичной цепи , что ясно из физических соображений, то получаем, ·что и для исходной чисто реактивной цепи Сказанное тем более справедливо, если исходная цепь содержит резистивные элементы.

4. Степени n и m полиномов G (р) и Н (р) числителя и знаменателя не должны отличаться друг от друга больше чем на единицу. Нетрудно убедиться непосредственно, что для любого двухполюсника это правило выполняется (требование размерности). Функции, обладающие этими свойствами, относятся к положительным действительным функциям (ПДФ).

Таким образом, для того чтобы рациональная дробь (19.5) была операторным выражением входных функций Z (р) или У(р) и, следовательно, могла быть реализованной в виде электрической цепи, она должна быть положительной действительной функцией.

Сказанное относится к любым пассивным двухполюсникам, содержащим не только реактивные, но и резистивные элементы.

Реактивные двухполюсники

В частном случае реактивных двухполюсников входные функции Z (р) и У(р) - ПДФ и обладают рядом дополнительных свойств.

1. В соответствии со сказанным выше степени n и m полиномов G (р) и Н (р) числителя и знаменателя в (19.5) не должны разниться больше чем на единицу. Но в данном частном случае, кроме того, степень р каждого из последующих членов G (р) и Н (р) меньше степени предыдущего на две единицы.

Для доказательства этого положения выразим входной ток реактивного двухполюсника через его входное напряжение Q 1 , пользуясь методом контурных токов. Согласно . где - входное сопротивление двухполюсника; -определитель цепи, состоящей из п контуров (и, следовательно, имеющий п строк и п столбцов); -его алгебраическое дополнение, т. е. определитель n -1-го порядка.

В каждом элементе содержатся (в случае реактивного двухполюсника) реактивные сопротивления вида

т. е. в каждом элементе определителя есть мнимый множитель и действительный (записан в скобке). Вынесем за скобки из всех элементов определителей и получим

или

где - действительные величины, а элементы этих определителей имеют вид Раскрывая определители и группируя в них члены с одинаковыми степенями , получаем

откуда и следует утверждение, что для реактивного двухполюсника наивысшие степени полиномов числителя и знаменателя разнятся на единицу и что степень у каждого из последующих членов полиномов числителя и знаменателя меньше, чем у предыдущего, на две единицы.

Переписав (19.9) в операторной форме, вместо получаем

Найдем корни полиномов числителя и знаменателя х относительно и обозначим их для числителя и для знаменателя. В результате получим

где

Эта формула известна под названием теоремы Фостера. При значениях , равных корням знаменателя, у входной функции будут полюсы (аналогично резонансу токов в простейшей цепи), а при значениях , равных корням числителя, у входной функции - нули (аналогично резонансу напряжений в простейшей цепи).

Переписав (19.11) в операторной форме, получим

2. Как было показано, у всех реактивных двухполюсников возрастает с ростом частоты, так как (19.3), откуда вытекает свойство чередования полюсов и нулей . Простейший пример чередования был уже получен в для кривой: вслед за полюсом (при ) следовал нуль (при); кроме того, для всех выполнялось неравенство . Для всех схем, которые рассматриваются ниже, это положение будет подтверждено. Сопротивление х, увеличиваясь, например, от (полюс функции), проходит через нуль (нуль функции) и, продолжая увеличиваться, возрастает до (снова полюс функции). Затем х скачком изменяется от и процесс повторяется, так что . Те же рассуждения остаются справедливыми, если х начинает увеличиваться с нуля. Отметим, что изменяется знак х при каждом переходе через нуль и через полюс.

Таким образом, в силу чередования нулей и полюсов функции х для корней ее числителя и знаменателя имеем

Соответствующая функция Z (р) называется ректансной

Частотные характеристики реактивных двухполюсников

В зависимости от расположения нулей и полюсов возможны четыре типа частотной характеристики многоэлементного реактивного двухполюсника, состоящего из последовательно и параллельно соединенных индуктивных и емкостных элементов.

1. Частотная характеристика с двумя внешними полюсами (рис. 19.3), называемая характеристикой . В этом случае при входное сопротивление двухполюсника бесконечно велико, т. е. через него не может проходить ни постоянный ток , ни переменный ток бесконечно большой частоты.

2. Частотная характеристика с двумя внешними нулями (рис. 19.4), называемая характеристикой 0-0. В этом случае при входное сопротивление двухполюсника равно нулю, т. е. через него может проходить как постоянный ток, так и переменный ток бесконечно большой частоты.

3. Частотная характеристика с внешним нулем при и внешним полюсом при (рис. 19.5), называемая характеристикой . В этом случае через двухполюсник может проходить постоянный ток и не может проходить переменный ток бесконечно большой частоты.

4. Частотная характеристика с внешним полюсом при и внешним нулем при (рис. 19.6), называемая характеристикой . В этом случае через двухполюсник не может проходить постоянный ток и может проходить переменный ток бесконечн0 большой частоты. На рис. 19.3-19.6 частоты, соответствующие нулям функции х (m), обозначены нечетными индексами, а соответствующие полюсам - четными. На тех же рисунках частоты, соответствующие нулям функции , обозначены на оси абсцисс кружками, а соответствующие полюсам -крестиками. Значения при определяются по схемам, приведенным на тех же рисунках.

Из тех же рисунков следует, что общее . число нулей и полюсов на единицу больше общего числа элементов L и С реактивного двухполюсника или, что то же самое, общее число частот последовательного и параллельного резонансов на единицу меньше числа последних.

Это правило не выполняется, если все ветви, сходящиеся в каком-либо узле схемы двухполюсника, имеют индуктивности или емкости, а также если есть емкостные контуры и индуктивные сечения. У таких двухполюсников число частот резонансов может быть меньше, чем число элементов двухполюсника без одного. Например, у двухполюсника на рис. 19.7 характеристика при четырех элементах имеет не три, а две резонансные частоты

И, наконец, следует отметить, что чем больше нулей и полюсов имеет частотная характеристика х (ro), тем более многочисленной будет группа реактивных двухполюсников с различными схемами, но с одинаковыми по виду частотными характеристиками

Синтез реактивных двухполюсников

Метод Фостера Пусть входная функция реактивного двухполюсника, например Z (р) или , задана выражениями (19.12) и (19.11). Требуется составить его схему и найти параметры, т. е., как говорят, реализовать двухполюсник по частотной характеристике

Как было указано выше, задачи синтеза неоднозначны, т. е. целый ряд схем могут иметь один и тот же вид частотной характеристики.

Поэтому обычно выбирают типовые схемы, к которым прежде всего относятся так называемые канонические схемы. При реализации 110 методу Фостера различают два вида канонических схем реактивных двухполюсников. Первая каноническая схема составляется из последовательно включенных параллельных LС-контуров, причем один или два из них могут быть неполными из-за отсутствия в них либо индуктивности. либо емкости. На рис. 19.8,а приведена схема с двумя неполными контурами

Вторая каноническая схема составляется из параллельно включенных последовательных контуров, причем один или два из них могут быть неполными. На рис. 19.8, 6 приведена схема с двумя неполными контурами

Для синтеза первой канонической схемы запишем комплексное сопротивление i-ro контура схемы (рис. 19.8,а):

где - резонансная частота i-ro контура.

В операторной форме

где Заметим, что полюсы комплексные сопряженные т. е. лежат на мнимой оси.

Таким образом, для синтеза первой канонической схемы нужно представить Z (р) в виде суммы простых дробей вида

(19.13), дополненной слагаемым , если схема имеет неполный контур с индуктивностью и дополненной еще слагаемым , если схема имеет неполный контур с емкостью . Иными словами, для синтеза первой канонической схемы заданную равенством (19.10) функцию Z (р) следует представить в виде

причем число слагаемых суммы равно числу точек параллельного резонанса у частотной характеристики х (ro) или, что то же самое, числу пар полюсов у сопротивления Z (р), не считая полюсов при .

Первое слагаемое будет в (19.14), если в (19.10) для Z (р) коэффициент отличен от нуля. В этом случае до разложения Z (р) на простые дроби из него нужно выделить целую часть . Второе слагаемое будет в (19.14), если в знаменателе Z (р) есть множитель р, который можно вынести за скобки. Если в схеме рис. 19.8, а есть неполный контур с индуктивностью , то это обеспечивает условие при для характеристик типа и . Если в схеме рис. 19 .8, а есть неполный контур с емкостью , то это обеспечивает условие при для характеристики типа .

Значения всех коэффициентов А находятся из простых соотношений:

Отсюда следует, что для определения следует предварительно найти все корни знаменателя относительно , т. е. представить его в виде (19.12).

Переходя ко второй канонической схеме, записываем комплексное сопротивление i-ro контура (рис. 19.8, 6):

где резонансная частота i-ro контура.

Поскольку все ветви в схеме рис. 19.8, 6 соединены параллельно, проще иметь дело с входной проводимостью У(р) = 1/Z (р). Запишем в операторной форме:

где Как и для первой схемы, нули , т. е. полюсы ,- комплексные сопряженные т. е. лежат на мнимой оси. Для синтеза второй канонической схемы нужно проводимость У(р) разложить на простые дроби вида (19.16), дополнив разложение слагаемым , если степень многочлена числителя У(р) на единицу больше степени его знаменателя, и дополнив результат еще слагаемым , если знаменатель дроби У(р) имеет корень р = О. Формула для У(р) совпадает с (19.14); а значения коэффициентов А находятся по формулам, аналогичным соотношениям (19.15)

Пример №84

Дана входная функция реактивного двухполюсника

Построить частотную характеристику и реализовать двухполюсник в виде первой и второй канонических схем.

Решение:

Поскольку решение проводится методом Фостера, находим корни и знаменателя Z (р). В данном случае их легко найти, решив биквадратное уравнение откуда

Подставив и обозначив будем иметь

По выражению на рис. 19.4 по строена частотная характеристика реактивного двухполюсника, относящаяся к типу 0-0. В самом деле, легко видеть, что при сопротивление , т. е. характеристиках имеет два внешних нуля. Кроме того, имеет две точки параллельного резонанса (при ) и одну точку последоватепьноrо резонанса при

Разумеется, все полюсы и нули Z (р) лежат на мнимой оси.

Отметим, что задачу можно было бы поставить несколько иначе. Реактивный двухполюсник можно было бы прямо задать частотной характеристикой вида

где определены данными выше значениями, а К может быть найдено, если задано значение для одной из нерезонансных частот. Например, при рад/с задано х = 146 Ом, откуда получаем

Для реализации двухполюсника в виде первой канонической схемы, что задает структуру искомой схемы (рис. 19.4), представим Z (р) в виде

откуда

Аналогично находим остальные параметры:

Для реализации двухполюсника в виде второй канонической схемы, что также задает его искомую структуру (рис. 19.9), представим У(р) в виде

Из схемы рис. 19.9 следует, что У(р) имеет два внешних полюса (при р = О и р = ) и один внутренний полюс (при ). В силу ранее доказанного свойства между тремя полюсами входной функции У (р) должны располагаться два ее нуля, что и приводит к тому же виду частотной характеристики , которая приведена на рис. 19.4.

Найдем постоянные и параметры:

Синтез реактивных двухполюсников

Метод Кауэра Метод Кауэра выгодно отличается от метода Фостера тем, что для его применения не требуется отыскания корней знаменателя (19.5) входной функции Z (р) или числителя (19.5) для У(р). По методу Кауэра реактивный двухполюсник реализуется в виде так называемых первой или второй цепных схем. Первая из них составляется из продольных индуктивных и поперечных емкостных элементов (рис. 19.10), вторая, наоборот,- из продольных емкостных и поперечных индуктивных элементов (рис. 19.11). Первая цепная схема может начинаться с индуктивного элемента, причем в последней (самой правой) ветви могут быть либо индуктивный и емкостный элементы, включенные последовательно (рис. 19.10, а и 6), либо только один индуктивный элемент (рис. 19.10, в и г). То же касается и второй цепной схемы (рис. 19.11,а-г).

Алгоритм метода Кауэра заключается в постепенном выделении слагаемых вида Ар или В/р сначала из входной функции Z (р) или У(р), а затем из всех последующих остатков, получающихся после выделения предыдущей части, и в реализации выделяемых частей при помощи индуктивных или емкостных элементов. Алгоритм применяется до тех пор, пока остаток не будет равен нулю.

Переходя к реализации первой цепной схемы, выбираем сначала в качестве входной функции Z (р) такую, которая имеет полюс при Это означает, что степень числителя G (р) на единицу больше степени знаменателя Н (р) [ см. (19.5)]. Разделив числитель G (р) на знаменатель Н (р), выделяем целую часть , соответствующую полюсу Z (р) при Получим (рис. 19.12,а) где - остаток от деления, представляющий собой правильную дробь, степень числителя которой на единицу меньше степени знаменателя. Это следует из отмеченного выше свойства полиномов G (р) и Н (р), у которых степень р каждого из последующих членов на две единицы меньше степени предыдущего. У проводимости , степень числителя которой, как и у Z (р), на единицу выше степени знаменателя, аналогично выделим целую часть (рис. 19.12,б):

Аналогично поступим с (рис. 19.12,в):

и так продолжаем до тех пор, пока остаток не будет равен нулю

Легко видеть, что описанный алгоритм реализуется в виде цепной дроби

Отсюда следует, что входная функция Z (р) реализуется в виде схемы, у которой первый продольно включен-• ный элемент - индуктивный , второй поперечно включенный - емкостный , третий продольный - снова индуктивный и т. д. (рис. 19.10, а). Если число i - нечетное, то последний элемент справа будет индуктивный а если четное, то емкостный .

При составлении первой цепной схемы слагаемые полиномов числителя и знаменателя следует располагать по убывающим степеням р, т. е. выделяемые целые части получаются в результате деления члена с наивысшей степенью р в числителе на такой же член в знаменателе. Если Z (р) имеет нуль при , т. е. степень его числителя меньше степени знаменателя на единицу, то нужно применить вышеприведенный алгоритм по отношению к обратной величине 1/Z (р) = У(р). В результате деления в качестве первого члена получится поперечная емкостная проводимость , в качестве второго - продольная индуктивная и т. д., т. е. в этом случае схема начинается с поперечного емкостного элемента (рис. 19.10, г и б) и заканчивается либо индуктивным , либо емкостным

При реализации второй цепной схемы надо выбрать в качестве входной функции операторную проводимость У(р), если степень многочлена ее знаменателя нечетная, т. е. входная функция имеет полюс при р = О. В этом случае У(р) представляется также в виде цепной дроби, но последовательным делением выделяются части, имеющие полюсы при р = О, т. е. члены вида . При этом получаем и т. д. до тех пор, пока остаток не будет равен нулю. Этот алгоритм показан на рис. 19.13. Соответствующая ему цепная дробь имеет вид

Для построения цепной дроби (19.18) следует расположить слагаемые полиномов числителя и знаменателя по возрастающим степеням р. Если же степень знаменателя входной проводимости У(р) четная (а степень числителя - нечетная), то алгоритм построения цепной дроби нужно применить к обратной величине, т. е. от входной проводимости У(р) перейти к входному сопротивлению Z (р).

Пример №85

По тем же данным, что и в примере 19.1, реализовать методом Кауэра двухполюсник в виде первой и второй цепных схем.

Решение:

Представим в виде первой цепной схемы входную операторную проводимость:

Выделим первое слагаемое делением числителя У(р) на знаменатель:

Первым элементом первой цепной схемы будет поперечный емкостный (рис. 19.14). В соответствии с ранее введенными обозначениями запишем

Слагаемое выделяем делением числителя на знаменатель, иначе говоря, делителя первой операции на остаток:

Вторым элементом схемы рис. 19.14 будет продольный индуктивный поэтому

Слагаемое выделяем делением числителя на знаменатель, иначе говоря, делителя второй операции на остаток:

Третьим элементом схемы рис. 19.14 будет поперечный емкостный , поэтому

Четвертым, и последним, элементом схемы рис. 19.14 будет продольный индуктивный

Для реализации двухполюсника в виде второй цепной схемы расположим полиномы числителя и знаменателя У(р) по возрастающим степеням р и, выполняя деление, выделим слагаемые вида А/р:

Первым элементом второй цепной схемы будет поперечный индуктивный (рис. 19.15). В соответствии с введенными выше обозначениями запишем

Слагаемое выделяем делением числителя на знаменатель, иначе говоря, делителя первой операции на остаток:

Вторым элементом схемы рис. 19.15 будет продольный емкостный поэтому

Как и выше, слагаемое выделяем делением числителя на знаменатель, иначе говоря, делителя второй операции на остаток:

Третьим элементом схемы на рис. 19.15 будет поперечный индуктивный

Согласно предыдущему запишем

Четвертым, и последним, элементом схемы на рис. 19.15 будет продольный емкостный Отметим в заключение, что все четыре схемы, изображенные на рис. 19.4, 19.9, 19.14, 19.15, имеют одинаковые частотные характеристики, подобные приведенной на рис. 19.4, и реализуют одну и ту же входную функцию, заданную в виде операторного сопротивления Z (р) или операторной проводимости У(р) = 1/Z (р). У всех схем одинаковое (минимально необходимое) число элементов -четыре (два индуктивных и два емкостных). Для всех четырех схем или, что то же самое, . Однако структура этих схем и их параметры различны, что и подтверждает отмеченную выше многозначность решения задачи синтеза. Выбор той или другой схемы определяется удобством реализации ее индуктивных и емкостных элементов, в одних схемах индуктивности получаются больше, в других -емкости

Синтез двухполюсников с потерями

Метод Фостера в нём указано, что для реализации входных функций Z (р) или У(р) двухполюсника с потерями они должно быть заданы как положительные действительные функции. Там же были сформулированы свойства, которым должны удовлетворять функции Z (р) и У(р).

Первое свойство проверяется легко и обеспечивается тем, что коэффициенты многочленов G (р) и Н (р) в (19.5) задаются действительными.

Второе свойство проверяется применением, например, критериев Гурвица или Рауса к каждому из многочленов G (р) и Н (р) в отдельности. Эти критерии рассматриваются в курсе высшей математики (в разделе «Линейная алгебра»). Они позволяют установить отсутствие или наличие хотя бы одного нуля у этих многочленов в правой полуплоскости.

Третье свойство проверяется применением теоремы Штурма, которая сводится к установлению наличия или отсутствия нулей у вспомогательных функций при изменении от нуля до бесконечности. Теорема Штурма рассматривается в курсе высшей алгебры.

Четвертое свойство устанавливается непосредственно, поскольку полиномы G (р) и Н (р) задаются. В дальнейшем будем считать, что входные функции Z (р) или У(р) -положительные действительные (ПД).

Рассмотрим сначала в качестве входной функции сопротивление Z (р). Отметим, что корни многочлена Н (р) могут лежать на мнимой оси, на отрицательной действительной полуоси и в любых точках левой полуплоскости. Здесь обращается внимание на корни знаменателя z (р) потому, что метод Фостера основывается на разложении Z (р) на простейшие дроби. Для реализации Z (р) выделим сначала все слагаемые, соответствующие корням Н (р), расположенным на мнимой оси, т. е. реактивное сопротивление . Учитывая разложение, получим

причем -ПДФ, все полюсы которой лежат на отрицательной действительной полуоси и в любых точках левой полуплоскости.

Далее найдем частоту , при которой имеет минимум, определим и вычтем , т. е. составим выражение

Эта операция называется приведением функции к виду минимального активного сопротивления, т. е. к такой функции , для которой при частоте получаем

Подчеркнем, что, приводя к виду минимального активного сопротивления, нельзя вычитать произвольное А. Если, например, взять ; и не будет соблюдено условие положительности действительной части функции

Таким образом, приведение к виду минимального активного сопротивления вытекает из требования, чтобы рассматриваемые функции были ПДФ. У ПДФ в общем случае полюсы лежат на отрицательной действительной полуоси и в любых точках левой полуплоскости. Поэтому она может быть разложена на совокупность дробей вида

Каждая простая проба первой суммы реализуется схемой из параллельно соединенных элементов (рис. 19.16,а). В самом деле,

где и постоянная находится аналогично (19.15):

Каждая простая дробь второй суммы реализуется схемой из параллельно соединенных элементов

где , а постоянная находится также аналогично (19.15):

Каждая дробь третьей суммы реализуется, например, схемой, приведенной на рис. 19.16, в. Однако следует заметить, что в общем случае не все параметры схемы рис. 19.16,в получаются положительными, т. е. дроби третьей суммы, а значит, и входное сопротивление Z (р) двухполюсника в целом не всегда реализуемы этим методом.

Рассмотрим далее в качестве функции проводимость У(р). Отметим, что ее реализация методом разложения на простые дроби производится · в том же порядке, что и функции Z (р). Получив функцию , аналогичную , т. е. ПДФ, и считая, что ее полюсы расположены на отрицательной действительной полуоси и в любых точках левой полуплоскости, представим ее аналогично (19.21) совокупностью простых дробей вида

Простая дробь первой суммы реализуется схемой рис. 19.17,а, так как

где и постоянная находится аналогично (19.15):

Простая дробь второй суммы реализуется схемой рис. 19.17. 6, так как

где , а постоянная находится также аналогично (19.15):

Дробь третьей суммы реализуется схемой рис. 19.17, в, так как

Однако и здесь в общем случае не все параметры (рис. 19.17, в) получаются положительными, т. е. дроби третьей суммы, а значит, и входная проводимость У(р) двухполюсника в целом не всегда реализуемы этим методом.

Пример №86

Дана ПДФ

Требуется реализовать Z (р) методом Фостера

Решение:

Корни уравнения Н (р) = О находим любыми известными методами:

Выделяем слагаемые, соответствующие полюсам Z (р), расположенным на мнимой

По формулам (19.15) находим

поэтому

Найдем минимальное активное сопротивление. Для этого определим

и, приравняв нулю производную

найдем, что при частоте минимальное активное сопротивление . Выделяем R из состава

оно реализуется схемой рис. 19.16, 6 с параметрами

На рис. 19.18 представлена полученная схема двухполюсника.

Синтез двухполюсников с потерями

Метод Кауэра Для реализации ПДФ Z (р) методом Кауэра, т. е. методом разложения в цепную дробь, выделим сначала, как и раньше, совокупность всех слагаемых , которые соответствуют полюсам, расположенным на мнимой оси , . Далее выделим : минимальную действительную часть и получим функцию , которая уже не имеет полюсов на мнимой оси. Но возможно, что они есть у обратной функции . У проводимости выделим, как и раньше, все слагаемые , соответствующие ее полюсам, расположенным на мнимой оси. Далее выделим из минимальную действительную часть и получим функцию , которая уже не имеет полюсов на мнимой оси. Однако возможно, что их имеет обратная функция и т. д. Продолжив этот процесс, получим цепную дробь вида

которой соответствует цепная схема двухполюсника, представленная на рис. 19.19.

Конечно, у этой цепной схемы отдельные элементы или даже контуры могут отсутствовать Вполне возможно. что на отдельных этапах расчета у рассматриваемых сопротивлений или проводимостей полюсы на мнимой оси могут отсутствовать. Но, следуя методу Бруне, их можно ввести искусственно, применяя, например, отрицательные индуктивности. Эти индуктивности в окончательную схему двухполюсника не войдут, если их заменить трансформаторами без поrерь с надлежащим образом подобранными положительными индуктивностями первичной и вторичной обмоток и с коэффициентом связи, равным единице.

Передаточная функция пассивного четырехполюсника

Цепи минимальной фазы Для четырехполюсника передаточная функция может быть, например, задана как отношение лапласовых изображений выходного и входного напряжений, т. е.

Полагая , получаем передаточную функцию в комплексной форме, т. е. частотную характеристику четырехполюсника, которая равна отношению частотных спектров выходного и входного напряжений, полагая , получаем передаточную функцию в комплексной форме, т. е. частотную характеристику четырехполюсника, которая равна отношению частотных спектров выходного и входного напряжений:

Составим отношение напряжений четырехполюсника (см. рис. 8.1 и 8.2, а). Из второго уравнения (8.2) при сопротивлении нагрузки получим

так как , откуда определим

Было показано, что сопротивления ветвей, а также входные и взаимные проводимости в операторной форме представляют собой отношения многочленов относительно р (иначе говоря, рациональные дроби). Поэтому передаточная функция К (р) также представляется отношением многочленов:

где m и n - целые положительные числа, причем m < n.

Обозначим полюсы К (р), т. е. корни знаменателя (19.25), через , а нули К (р), т. е. корни ее числителя,- через и перепишем К (р) так:

где .

Для частотной характеристики будем иметь

где амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики четырехполюсника

Выясним свойства передаточной функции К (р) по расположению ее полюсов и нулей на комплексной плоскости. Отметим, что при учете резистивных элементов четырехполюсника или приемника все корни знаменателя [т. е. все полюсы К (р)] лежат в левой полуплоскости. Выше уже обращалось внимание на то, что при учете резистивных элементов (потерь) все корни характеристического уравнения действительные и отрицательные или если они комплексные, то у них отрицательные действительные части. Только при этих условиях все свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь все корни знаменателя будут чисто мнимыми.

Иначе обстоит дело с нулями К (р), т. е. с корнями его числителя . При учете потерь они могут располагаться в любой части комплексной плоскости (их положение никак не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений). При отсутствии резистивных элементов все корни числителя (как и знаменателя) К (р) находятся на мнимой оси.

Рассмотрим АЧХ К и ФЧХ при изменении частоты . На рис. 19.20 показаны пара нулей и пара полюсов передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости. Модули выражений геометрически представляют собой расстояния от нулей и полюсов до точки М, перемещающейся по мнимой оси снизу вверх, что соответствует изменению частоты . Аргументы выражений и обозначены соответственно буквами

Рисунок показывает, что если ни один из нулей не лежит на мнимой оси, т. е. если четырехполюсник имеет потери, то ни один из модулей , а значит, согласно (19.26) и , не обращается в нуль при изменении Физически это означает, что если на вход четырехполюсника подано гармоническое напряжение, то при любой его частоте на выходе будет какое-то напряжение. Это утверждение справедливо, если ни одна ветвь между выводами выхода не является чисто реактивной. Рисунок показывает также, что если ни один из полюсов не лежит на мнимой оси, то ни при какой частоте не обращается в бесконечность. Как следует из (19.24), обращение в бесконечность означало бы, что при входном· напряжении, равном нулю, на выходе могло бы быть некоторое конечное напряжение. Но при учете потерь в четырехполюснике и при отсутствии напряжения на его входе не будет напряжения и на его выходе.

Вообще говоря, если корни числителя и знаменателя расположены в левой или правой полуплоскости, но вблизи мнимой оси, то при прохождении М вблизи нулей функция будет иметь минимумы, а при прохождении вблизи полюсов функция будет иметь максимумы

Вблизи точек, где расположены минимумы (максимумы) , фазовая характеристика увеличивается (уменьшается) на . В самом деле, если точка L- нуль , то при движении И'З точки М' в М" аргумент увеличится почти на Если же L- полюс , то поскольку двучлен относится к знаменателю К (р), приращение будет равно , т. е. при прохождении точки М вблизи максимума аргумент уменьшится на n. При перемещении хотя бы одного нуля из левой в правую полуплоскость в симметричное положение относительно мнимой оси (ю точки L в точку 1',) АЧХ не изменится, а ФЧХ изменится, так как теперь при прохождении точки М вблизи L приращение

аргумента Gудет равно не Значит, одной и той же АЧХ соответствуют две различные ФЧХ Рисунок 19.21 показывает, что при переходе любого нуля из левой полуплоскости в правую аргумент двучлена увеличивается при положительном значении частоты (см. последовательные положения точек N, N', N", N"', N""). Следовательно, при сумма аргументов двучленов , если они лежат в правой полуплоскости, больше, чем при расположении нулей в левой полуплоскости. Более подробное исследование показывает, что для заданной А ЧХ минимальное значение аргумента при люGом выбранном положительном значении частоты будет у передаточной функции, все нули которой расположены в левой полуплоскости.

В соответствии с этим электрическая цепь, все нули передаточной функции которой лежат в левой полуплоскости и, значит, аргумент имеет наименьшее возможное значение, называется минимально фазовой цепью. Если хотя бы один нуль передаточной функции электрической цепи расположен в правой полуплоскости, она называется неминимально-фазовой цепью.

Из сказанного вытекает, что для неминимально-фазовых цепей однозначной связи между не существует. Как было указано, причиной этого является расположение хотя бы одного нуля функции в правой полуплоскости.

А так как все нули функции для минимально-фазовых цепей расположены в левой полуплоскости, то для них ФЧХ может быть однозначно определена по АЧХ. Выше были получены соотношения (16.31) и (16.32). Они косвенно подтверждают, что между , а также между действительной частотными характеристиками электрической цепи при некоторых условиях может быть определенная связь, так что, зная одну из них, можно найти другую и наоборот. Выражения (16.31) и (16.32) можно рассматривать как особого рода интегральные уравнения, из которых, зная, можно найти , а также, зная , можно найти и наоборот.

Наконец, из сказанного вытекает, что две электрические минимально-фазовые цепи, имеющие одинаковые А ЧХ, имеют и одинаковые ФЧХ. Такого утверждения нельзя сделать для не минимально-фазовых цепей.

Пример №87

Определить относится ли цепь рис. 19.22 к минимально-фазовым.

Решение:

Составим изображения тока I (опуская аргумент р) и напряжения на выходе

Передаточная функция

Функция К (р) имеет нуль при р = , т. е. он лежит В kевой полуплоскости, поэтому цепь рис. 19.22 минимально-фазовая.

Пример №88

Определить, относится ли к минимально-фазовым цепь рис. 19.23. Она называется фазовращателем на том основании, что при неизменной амплитуде входного напряжения и изменении его частоты амплитуда выходного напряжения остается неизменной, а фаза изменяется.

Решение:

Найдем изображения токов

Определим изображения потенциалов точек с и d:

Найдем изображение выходного напряжения:

Передаточная функция

Функция К (р) имеет нуль при р = а = , т. е. в правой полуплоскости, и фазовращатель является примером неминимально-фазовой цепи. и

Далее

т. е. цепь на рис. 19.23 - действительно фазовращатель: ее АЧХ не зависит от частоты, а ФЧХ от частоты зависит.

Упомянем, наконец, о цепи, которая является так называемым запаздывающим звеном, встречающимся, например, в системах автоматического управления. Ее передаточная функция

А ЧХ цепи постоянна и никак не зависит от ФЧХ Таким образом, запаздывающее звено также является примером неминимально-фазовой цепи.

Синтез мостовых четырехполюсников

Как и для двухполюсников, синтез четырехполюсников производится по заданной передаточной функции К (р) или частотной характеристике . При этом вместо могут быть заданы в отдельности АЧХ . Как и для двухполюсников, задача синтеза может быть поставлена для реактивных четырехполюсников и для четырехполюсников с потерями. Аналитически передаточная функция К (р) четырехполюсника обычно задается отношением двух полиномов с действительными коэффициентами

т. е. отношением лапласовых изображений двух величин, одна из которых принята за выходную, а другая - за входную. Для передаточной функции четырехполюсника необязательно должны выполняться все условия, необходимые для входных функций двухполюсника Z (р) или У (р) [ т. е. К (р) необязательно ПДФ], а именно:

1. наивысшие степени многочленов могут отличаться больше чем на единицу;
2. действительная часть может быть отрицательной;
3. нули К (р), т. е. нули многочлена , могут располагаться не только в левой, но и в правой полуплоскости в случае неминимально-фазовой цепи.

Вместе с тем полюсы К (р) могут располагаться, как и у двухполюсников, только в левой полуплоскости и на мнимой оси. Если бы это было не так, то система была бы неустойчивой.

Любопытно отметить, что у некоторых четырехполюсников неминимальнофазового типа постоянная ослабления не зависит от частоты. Это получается, если нули функции располагаются в правой полуплоскости и являются зеркальными отображениями относительно мнимой оси полюсов функции , расположенных в левой полуплоскости. Сказанное вытекает из (19.26) и (19.27), так как при указанных условиях остается постоянной, а зависит от частоты. Например, такими свойствами обладают симметричные мостовые (Х-образные) четырехполюсники (см. рис. 8.9, а). Отметим, что эти четырехполюсники применяются в цепях проводной и радиосвязи для коррекции фазы выходных напряжений или токов.

Для синтеза четырехполюсника в ряде случаев могут применяться изложенные выше общие методы синтеза двухполюсников.

Рассмотрим реализацию реактивного симметричного мостового четырехполюсника по одной из заданных его передаточных функций (питание от источника напряжения) при заданном резистивном сопротивлении нагрузки

Разложим полином на нечетную и четную составляющие:

Запишем второе уравнение (8.2) четырехполюсника в операторной форме, опуская аргументы р у изображений:

так как .

Из уравнения (19.29) найдем

и

где для симметричных мостовых четырехполюсников .

Приравняв правые части (19.28) и (19.30), получим

откуда следует

По схемы рис. 8.9, а (аналогично расчетам в примере 8.4);

Пример №89

Дана передаточная функция реактивного четырехполюсника. Реализовать его в виде симметричной мостовой схемы, если сопротивление нагрузки = 100 Ом.

Решение:

В соответствии с ( 19.28)

Находим:

Далее по (19.31) найдем элементы искомой схемы (рис. 19.24):

Синтез фильтров Баттерворта и Чебышева по передаточным функциям

Синтез фильтров Баттерворта и Чебышева может быть выполнен по различным передаточным функциям. Будем далее считать, что заданы нормированная передаточная функция

при питании от источника тока и сопротивление нагрузки

По этой функции определяется коэффициент затухания (не постоянная ослабления)

где - относительная частота, - граничная частота полосы пропускания.

У идеального фильтра должно быть а = О в полосе пропускания и бесконечно большое а в полосе задерживания, т. е. = 1 в полосе пропускания и = О в полосе задерживания.

Передаточная функция идеального фильтра показана на рис. 19.25. Так как построить фильтр с идеальной характеристикой невозможно, то как и при расчете фильтров по рабочим параметрам, идеальную характеристику необходимо аппроксимировать.

При аппроксимации полиномом Баттерворта получится зависимость, аналогичная (18.6):

где принято , т. е. неравномерность в полосе пропускания равна 3 дБ. Коэффициенту затухания (19.33) соответствует согласно (19.32) передаточная функция Баттерворта

В качестве примера на рис. 19.25 показаны передаточные функции при n = 2 и n = 3. Зависимости при тех же n такие же, как на рис. 18.6.

В операторной форме К (р) = так как при это сопряженные комплексные функции.

В операторной форме получим передаточную функцию после замены

Все корни уравнения расположены в плоскости на окружности единичного радиуса - в так называемой квадратной симметрии (рис. 19.26 для случая n = 4), причем они ни при каком п не лежат на мнимой оси. Корни функции , лежащие в левой полуплоскости, принимаются за полюсы функции

К (р) на том основании, что· рассматривается пассивный фильтр, у которого не может быть корней с положительной действительной частью Поэтому К (р) можно представить в виде

где корни знаменателя, лежащие в левой полуплоскости, после решения уравнения определятся из соотношений

при

Определив по (19.37) при заданном п все корни , можно найти по

(19.36) все коэффициенты полинома знаменателя. Их значения приведены в табл. 19.1.

Пример №90

Найти функцию Баттерворта, аппроксимирующую нормированную характеристику фильтра низкой частоты так, чтобы при она составила не более 3 % от ее значения при = О.

Решение:

Найдем n. По условиям задачи

и функция Баттерворта

У фильтра Чебышева аналогично (18.7) коэффициент затухания

где в полосе пропускания полином Чебышева

Для передаточной функции Чебышева получим

Как указывалось, от значения зависит неравномерность затухания сигналов в полосе пропускания (неравномерность тем слабее, чем меньше ) и, например, при = 1 получается .

Вместо (19.3 4) у фильтра Чебышева

и для нахождения полюсов следует решить уравнение , т. е. уравнение

Обозначим , и вместо (19.39) запишем

Считая Ф комплексным числом (Ф =вместо (19.43) получим

где учтено, что

Приравняем действительные и мнимые части в (19.44):

Уравнение (19.45) удовлетворяется только при (так как ), т. е.

при k = О, 1, 2, ... , 2n - 1.

Следовательно, из (19.46) получаем или

Корни уравнения

Эти корни, попарно симметричные относительно оси мнимых величин, лежат на вычерченном в плоскости р = эллипсе, уравнение которого

К полюсам функции К (р) относятся только лежащие в левой полуплоскости р, т. е. с учетом (19.47)

Следовательно

В табл. 19.2 приведены значения коэффициентов знаменателя К (р) для некоторых значений n при . В (8] помещены таблицы коэффициентов и при других значениях в. Коэффициент введен в числитель (19.51) для того, чтобы иметь К (О)= 1, как и должно быть.

Пример №91

Составить функцию Чебышева для фильтра НЧ при заданной максимальной неравномерности в полосе пропускания Граничная частота = 2 кГц. Максимально допустимый коэффициент затухания в полосе задерживания = 40 дБ при частоте . Фильтр подключается к источнику тока. Сопротивление нагрузки = R = 1 00 Ом; его нормированное значение = 1 Ом.

Решение:

При находим сначала коэффициент неравномерности , что следует из (1 9.38). Из той же формулы (1 9.38) при имеем

откуда

Теперь найдем n из (1 8.8):

откуда n = 2,568.

Так как n должно быть целым числом, берем n = 3. По габл. 1 9.2 найдем коэффициенты для функции К (р):

и с учетом условия К (О) = 1 функцию Чебышева:

Для пассивного четырехполюсника (рис. 19.27), в том числе и для фильтра, согласно уравнению (8.3)

или откуда находим, что

Нормированное значение передаточной функции при

Для нахождения по К (р) в отдельности сопротивлений следует при четной степени полинома

числителя (у функций Баттерворта и Чебышева - это полином нулевой степени) разделить числитель и знаменатель К (р) на нечетную часть знаменателя, т. е. привести к виду (19.52).

Из (8.3) следует, что - это входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов при разомкнутых первичных , т. е. сопротивление двухполюсника с выводами 2-2' (четырехполюсник на рис. 19.27 подключен к источнику тока).

Так как реализуется фильтр НЧ без потерь, имеющий цепную схему (рис. 18.8), то следует применить синтез двухполюсника методом Кауэра с разложением в цепную дробь.

Пример №92

Найти параметры фильтра примера 19.8, порядок которого n = 3.

Решение:

На рис. 19.28 показаны две схемы фильтра с тремя элементами (n = 3). Однако должна быть выбрана схема рис. 19.28, б, так как на входе фильтра включен источник тока, т. е. индуктивный элемент не участвует в работе фильтра. После деления числителя и знаменателя передаточной функции, полученной в примере 19.8, на нечетную часть знаменателя получим

Для определения параметров схемы рис. 19.28, 6 разложим проводимость в цепную дробь (см. также пример 19.2):

Денормирующий множитель = 100, и по (18.12) = 1,334 мкФ; = 9,336 мГн; = 1,607 мкФ.

Для высокочастотных, полосовых и заграждающих фильтров сначала проводится синтез НЧ-прототипа, как и при реализации фильтров по рабочим параметрам.

В этой главе были рассмотрены только некоторые задачи синтеза по заданным входным функциям или входным частотным характеристикам и передаточным функциям. Алгоритмы решения достаточно простые и могут быть запрограммированы для вычисления параметров схем на ЭВМ.

Частотные характеристики и передаточные функции у рассматриваемых цепей однозначно связаны с реакцией h (t) или k (t) на единичный скачок или единичный импульс. Поэтому синтез во временной области можно свести к синтезу в частотной области.

Для четырехполюсников возможна постановка задачи синтеза не только по передаточной функции в режиме холостого хода, при согласованной или произвольной нагрузке, но и по заданным коэффициентам той или иной системы уравнений, по вторичным или рабочим параметрам, как, например, при реализации фильтров.

Синтез цепей применяется для создания фильтров, фазовращателей и всевозможных корректирующих устройств в измерительной технике, проводной и радиосвязи и в системах автоматического управления. Применение синтеза позволяет создавать такие цепи, которые в совокупности с уже заданными цепями должны обеспечить желаемые передаточные функции и частотные характеристики всей системы в целом.

Установившиеся режимы в цепях с распределенными параметрами

В предыдущих главах книги уже рассматривались линии электропередачи при частоте 50 Гц и напряжениях до 35 кВ небольшой длины, в которых можно пренебречь токами, обусловленными емкостью между проводами (токами смещения) и проводимостью изоляции (токами утечки через гирлянды изоляторов и токами, обусловленными коронным электрическим разрядом вблизи поверхности проводов).

Токи и напряжения в длинных линиях

При больших напряжениях, встречающихся в электроэнергетике, и при больших. частотах, с которыми имеет дело электросвязь, а также при значительной длине линий пренебрегать токами смещения и утечки недопустимо. Следовательно, ток в проводах не одинаков в разных сечениях линии.

Ток в проводах линии вызывает падение напряжения в активном сопротивлении проводов и создает переменное магнитное поле, которое в свою очередь наводит вдоль всей линии ЭДС самоиндукции. Поэтому напряжение между проводами также не остается постоянным вдоль линии.

Чтобы учесть изменение тока и напряжения вдоль линии, нужно считать, что каждый сколь угодно малый элемент линии обладает сопротивлением и индуктивностью; а между проводами - проводимостью и емкостью, т. е. рассматривать линию как цепь с распреденными параметрами. Такую линию называют длинной.

Будем считать сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость равномерно распределенными вдоль линии, что является некоторой идеализацией действительных условий. Такую линию условимся называть однородной.

Об идеализации надо говорить потому, что в реальных воздушных линиях электропередачи (ЛЭП) и связи утечку тока через гирлянды изоляторов нужно рассматривать как совокупность ряд сосредоточенных процессов. Кроме того, провес проводов на длине пролета ЛЭП изменяет равномерность распределения их емкости, индуктивности и сопротивления. У линии связи - двухпроводного кабеля со скрученными проводами строго говоря, также есть неравномерность распределения параметров.

Уравнения однородной двухпроводной линии

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют напряжения и токи в любом сечении двухпроводной линии. Условимся называть верхний провод (рис. 20.1) двухпроводной линии прямым, а нижний - обратным. Положительные направления тока и напряжения выберем, как показано на рис. 20.1.

Пусть известны первичные параметрами однородной линии отнесенные к единице ее длины: - сопротивление прямого и обратного проводов; - индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами; - проводимость (утечка) между проводами; - емкость между проводами.

Длинную линию можно представить в виде множества соединенных в цепочку бесконечно малых элементов длиной dx, каждый из которых имеет сопротивление и индуктивность , проводимость и емкость (рис. 20.1). Сопротивление и индуктивность будем считать включенными в один провод.

Обозначим через х расстояние от начала линии до текущего элемента ее длины. Мгновенные значения напряжения и тока в начале выбранного элемента линии dx обозначим через и и i, а в начале следующего - через и+

Для элемента линии длиной dx на основании законов Кирхгофа

Приводя подобные члены, пренебрегая величинами второго порядка малости и сокращая на dx, получаем дифференциальные уравнения

Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях тока и напряжения во времени.

У становившийся режим в однородной линии

Рассмотрим установившийся режим в длинной линии при синусоидальном напряжении источника питания. Переписывая уравнения (20.1) и (20.2) для установившегося режима и вводя комплексные напряжения, токи, сопротивления и проводимости, получаем

где - комплексное сопротивление и - комплексная проводимость линии единичной длины. Подчеркнем, что lo и Хо не являются величинами, обратными друг другу.

Продифференцируем уравнения (20.3) и (20.4):

и заменим согласно (20.4) и (20.3). В результате получим

Дифференциальные уравнения (20.5) и (20.6), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, одинаковы. Поэтому достаточно найти, например, закон изменения напряжения а ток можно получить из (20.3).

Решение (20.5) - линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - имеет вид

где коэффициент распространения

- комплексные постоянные интегрирования.

Ток согласно уравнению (20.3)

Знаменатель (20.9), имеющий размерность сопротивления, называют волновым сопротивлением Для однородной линии, рассматриваемой между ее входными и выходными выводами как четырехполюсiiик, волновое сопротивление совпадает с характеристическим, т. е.

Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются вторичными параметрами однородной линии. Подставив в (20.9), запишем

Выразив комплексы имеющие размерность напряжение в показательной форме

запишем мгновенные значения напряжения и тока:

Каждое из слагаемых правой части двух последних выражений можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты х и затухающую· в направлении движения. В самом деле, каждое из слагаемых в любой фиксированной точке представляет собой периодическую функцию времени. В любой же фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающее колебание вдоль линии (т. е. с изменением х). Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны.

Фазовой скоростью волны с называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течении времени t и по мере увеличения расстояния х, пройденного волной, остается постоянной, т. е

откуда следует, что0 и

Аналогичное исследование второго слагаемого правой части равенства (20.13) дало бы для фазовой скорости такое же значение, но с обратным знаком. Отсюда заключаем, что эти слагаемые могут рассматриваться как волны, движущиеся в противоположных направлениях.

Длиной волны называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на 21t. Следовательно, для первого слагаемого равенства (20.13) получим

откуда и

т. е. за время, равное периоду, волна пробегает расстояние, равное длине волны.

УСЛОВИМСЯ ВОЛНУ, движущуюся ОТ начала линии, называть прямой, а движущуюся от конца линии -обратной (встречной). Затухающая прямая волна представлена на рис. 20.2.

Для ее изображения строят огибающие и вписывают волну в область, ограниченную огибающими.

Выберем теперь положительные направления напряжений и токов отдельных волн. Так как оба слагаемых в правой части равенства (20. 7), определяющие напряжение , входят с положительными знаками, то вполне естественно выбрать положительные направления напряжений прямой и обратной волн совпадающими с положительным направлением напряжения , т. е. от прямого провода линии к обратному (см. рис. 20.1).

Для тока существуют две возможности. Можно оставить оба слагаемых в правой части равенства (20.12) с различными знаками или же поставить между слагаемыми знак плюс, а минус включить в состав второго слагаемого. Будем определять ток как разность токов прямой и обратной волн, т. е. положительное направление тока прямой волны выберем совпадающим с положительным направлением тока , а положительное направление тока обратной волны - противоположным положительному направлению тока

В соответствии с этим можно записать

Из (20.18) вытекает, что токи и напряжения как прямой, так и обратной волны связаны между собой законом Ома:

Введенные понятия о прямых и обратных волнах в линиях при установившемся синусоидальном режиме облегчают представление и анализ процессов. Однако нужно иметь в виду, что физически существуют в линии только результирующие ток и напряжение и что разложение их на прямые и обратные волны следует считать лишь удобным приемом.

Кривые распределения мгновенных значений напряжений и токов также имеют волнообразный характер (рис. 20.3). Они показывают, что в каждый данный момент времени как результирующие токи и напряжения, так и -r:оки и напряжения прямой и обратной волн в различных точках линии могут различаться не только по значению, но и по знаку. Отметим, наконец, что все полученные результаты применимы и к трехфазным симметричным или несимметричным, но транспонированным линиям. В этом случае напряжение - это фазное напряжение и ток, а параметры должны быть отнесены к одной фазе

Пример №93

Трехфазная линия передачи электроэнергии Куйбышев -Москва длиной 1 = 900 км в начальном периоде ее эксплуатации работала при напряжении = 400 кВ и частоте = 50 Гц. Согласно одному из вариантов проекта первичные параметры линии имеют следующие значения: = 0,08 Ом/км; = 1,336· Гн/км; Ф/км; потери в изоляции и на корону составляют 2000 Вт/км на одну фазу.

Определить вторичные параметры, длину волну и фазовую скорость.

Решение:

Из формулы найдем проводимость:

Комплексные сопротивление и проводимость на I км:

Характеристики линии:

Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями

В (20.7) и (20.12) постоянные можно определить, если известны граничные условия.

Пусть заданы напряжение и ток в начале линии (х = О). Отметим, что выбрать произвольно и - значит задать определенное сопротивление нагрузки в конце линии. Если же, наоборот, задано сопротивление нагрузки то выбрана может быть только одна из величин

Из (20.7) и (20.12) при х = О получим

Подставив в (20.7) и (20.12), для напряжения в любой точке линии (на расстоянии х от ее начала) получим

Группируя члены в правой части и вводя гиперболические функции и , будем иметь

Эти формулы позволяют определить ток и. напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии.

Пусть теперь заданы значения напряжения в конце линии, т. е. задан режим приемника, а значит, и сопротивление

В этом случае целесообразно отсчитывать расстояние текущей точки от конца линии. Обозначив его через х', получим х = 1- х', где 1- длина всей линии. При новом обозначении из. (20.7) и (20.12) найдем

Обозначим еще и условимся, отсчитывая расстояния от конца линии, обозначать их для упрощения записи снова через х. При этом никакой путаницы внесено не будет, так как в каждом конкретном случае по заданным напряжениям и токам видно, откуда отсчитываются расстояния. Следовательно,

где - напряжение прямой волны, а - обратной. Из (20.22) при х = О получим

откуда

Подставляя (20.23) в (20.22), группируя члены и вводя гиперболические функции , получаем

К (20.24) относятся все замечания, сделанные выше относительно (20.21). Соотношения для линий постоянного тока, у которых сопротивление проводов и утечка между проводами, обусловленная несовершенством изоляции, равномерно распределены вдоль линии, могут быть .получены как частный случай из выведенных соотношений (20.24) при = О. В самом деле, = О означает, что при постоянных во времени токах и напряжениях отсутствуют ЭДС самоиндукции (но не магнитное поле между проводами) и токи смещения между проводами (но не электрическое поле между ними). Поэтому, положив в (20.8) и (20.10) ro = о, получим для линий постоянного тока

Кроме того, для линий постоянного тока не приходится говорить ни о каких фазовых соотношениях, т. е. ни о каких сдвигах по фазе между напряжениями и токами. Поэтому, например, формулы (20.24) для линии постоянного тока перепишутся так:

Пример №94

По результатам примера 20.1 определить: 1) ток в Москве (конец линии); 2) напряжение и ток на Волжской ГЭС им. В. И. Ленина в Куйбышеве (начало ЛИНИИ); 3) СДВИГ фаз между напряжениями в начале и в конце линии; 4) КПД линии, если в конце линии (в Москве) известны:

Решение:

1) Ток в Москве при активном сопротивлении нагрузки

2) Значения гиперболических функций от комплексного аргумента можно найти, например, по таблицам или при помощи микрокалькулятора по формулам

Напряжение и ток на ГЭС найдем по (20.24):

т. е. ток в начале линии опережает по фазе напряжение на угол 15° 40'

3) Так как , то сдвиг фаз между напряжениями в начале и в конце линии равен 47° 30'.

4) Активная мощность, отдаваемая ГЭС в линию,

и кпд линии

Характеристики однородной линии

В связи с тем что напряжения и токи в линиях можно получить наложением прямых и обратных волн, принимают определенные наименования введенные выше величины. Комплексная величина называется коэффициентом распространения, с коэффициентом ослабления, - коэффициент (иногда добавляют наедини цудлины). В .самом деле, из формул (20.13), (20.14) и последующих видно, что сх характеризует ослабление (затухание) амплитудпрямой и обратной волн, а . входящее в аргумент синуса, характеризует изменение фазы волны в зависимости от координаты х точки линии. Коэффициент ослабления определяют в децибелах (или неперах) на единицу длины (см. при-мер 20.1), а коэффициент фазы - в радианах на единицу длины.

Для подсчета и для построения их частотных характеристик можно обратиться к формулам

которые получены из (20.8). В частности, в отношении коэффициента фазы надо сделать вывод, что он монотонно возрастает с увеличением частоты.

Сопротивление определяет токи прямой и обратной волн по соответствующим напряжениям (20.19). Средние значения модуля для воздушных линий 300-400 Ом, а для кабелей 60-80 Ом. У кабелей емкость значительно больше, а индуктивность меньше, чем у воздушных линий, так как провода кабеля расположены ближе друг к другу, а относительная диэлектрическая проницаемость изоляции - порядка 4-5. Поэтому кабелей в 6 -8 раз меньше, чем воздушных линий.

Построение частотных характеристик для может быть выполнено по (20.10) и (20.11). На рис. 20.4 даны кривые изменения модуля и аргумента волнового сопротивления для воздушных и кабельных линий. Из (20.10) видно, что при

а при

Как для воздушной, так и для кабельной линии всегда , что объясняется в отношении всех линий незначительным значением проводимости утечки и дополнительно в отношении кабельных линий -довольно большой емкостью

Поскольку практически , аргумент комплекса в знаменателе выражения (20.1 О) близок к 90° и больше аргумента комплекса в числителе. Поэтому аргумент волнового сопротивления обычно отрицателен.

Из (20.11) следует, что = О при

Фазовая скорость волн в линиях определяется, как следует из (20.15), коэффициентом фазы

Ниже будет показано, что для линий без искажений и для линий без потерь

где - скорость света в вакууме; - относительные диэлектрическая

и магнитная проницаемости диэлектрика, окружающего провода.

У ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ и при отсутствии потерь скорость волн с практически равна В кабелях скорость волн в 2 - 2,5 раза меньше

В воздушных линиях с потерями фазовая скорость, хотя и немного, но все же меньше На рис. 20.5 показаны зависимости фазовой скорости от частоты для однородных воздушных и кабельных линий связи. Из них видно, что при фазовая скорость в воздушных линиях с медными и биметаллическими проводами почти достигает , в то время как в линиях со стальными проводами и кабельных линиях она при еще примерно вдвое меньше

В воздушных ЛЭП, для которых скорость с близка к при f = 50 Гц, длина волны

Например, строительство Волжских гидростанций потребовало сооружения линий длиной около 1000 км для передачи энергии этих гидростанций в Москву. Даже на таких линиях укладывается сравнительно небольшая доля длины волны и нельзя наблюдать волнообразного изменения тока или напряжения по длине, а можно наблюдать лишь их монотонное изменение.

Волнообразное изменение напряжения и тока вдоль линии можно наблюдать в устройствах связи, где линии соединяют, например, радиопередатчик с антенной. Для передатчиков, рабоt_ающих в диапазоне коротких волн, длина линии может быть во много раз больше ДЛИНЫ ВОЛНЫ

Входное сопротивление линии

При исследовании процессов в линии часто важно знать входное сопротивление линии. Под входным сопротивлением линии понимают сопротивление двухполюсника, которым можно заменить линию вместе с приемником на ее конце при расчете режима в начале линии. По определению и с учетом (20.24) получим

Входное сопротивление при любом сопротивлении нагрузки можно выразить через входные сопротивления линии при холостом ходе и коротком замыкании Из (20.31) находим при

холостом ходе

и при коротком замыкании

Разделив числитель и знаменатель правой части (20.31) на с учетом (20.32) и (20.33) получим

Этой формулой удобно пользоваться, если известны , которые могут быть определены, например, из опытов холостого хода и короткого замыкания линии.

Анализ показывает, что изменяются волнообразно как при изменении длины линии /, так и при изменении частоты. Сказанное иллюстрируют рис. 20.6- 20.8.

На рис. 20.6 показано изменение для медной двухпроводной воздушной линии связи при диаметре провоrюв 3 мм и при частоте в зависимости от длины линии 1. На рис. 20.7 дано изменение а на рис. 20.8 - изменение медной линии связи в функции частоты при и при (в обоих случаях

Отметим также, что через входные сопротивления линии при холостом ходе и коротком замыкании легко выразить Перемножив, а затем разделив подленно (20.32) и (20.33) и извлекая корень, получим

Коэффициент отражения волны

Было показано, что при произвольном сопротивлении нагрузки в конце линии коэффициент [см. (20.23)], т. е. в линии возникает обратная волна. Это можно учесть, введя так называемый комплексный коэффициент волны и определив его в общем случае как отношение комплексов напряжений или токов обратной и прямой волн в любой точке линии:

В более узком смысле слова коэффициент отражения определяется в точках, где есть какая-либо неоднородность (конец или начало линии).

Отсутствие обратной волны имеет то преимущество, что вся мощность, переносимая прямой волной к концу линии, поглощается сопротивлением нагрузки. При наличии обратной волны часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной. Поэтому мощность в сопротивлении нагрузки будет меньше, если считать, что мощность источника остается неизменной.

Согласованная нагрузка линии

Если в конце линии включено сопротивление нагрузки, равное волновому: , обращаясь к формулам (20.23), находим т. е. отраженная волна не возникает. Такую нагрузку называют согласованной нагрузкой или нагрузкой без отражения

При этом, как следует из (20.37), коэффициент отражения Из написанных выше соотношений с учетом (20.38) получим

Отсюда" следует

т. е. для любой точки линии отношение комплексов равно волновому сопротивлению Поэтому режим работы генератора, питающего такую линию, не изменится, если в любом сечении линии ее разрезать и вместо отрезанной части линии включить волновое сопротивление. Режим работы оставшегося участка линии также не изменится.

Из (20.31) следует, что для согласованной линии входное сопротивление

Полагая начальную фазу напряжения в конце линии равной нулю, т. е., запишем на основании (20.39) и (20.40) мгновенные значения напряжения и тока в любой точке линии:

Полученные соотношения изображены на рис. 20.9. Точки пересечения оси абсцисс с кривыми напряжения и тока сдвинуты на расстояние , причем согласно сказанному в угол

Поэтому, применяя термины, справедливые, строго говоря, только для синусоидальных величин, можно сказать, что ток опережает по фазе напряжение на угол Напряжение и ток. в различных точках линии различаются не только по амплитуде, но и по фазе.

Мощность в любом сечении линии

Эта мощность уменьшается по мере удаления от начала, так как на каждом элементе длины линии

мощность потерь равна сумме потерь в сопротивлении проводов и в проводимости изоляции на элементе линии dx. Равенство средней и правой частей соотношения (20.44) можно показать после преобразований.

Мощность, передаваемая по согласованной линии, называется естественной или натуральной. Режим передачи естественной мощности может иметь место в линиях, если сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению. Средние значения естественной МОЩНОСТИ ДЛЯ ЛИНИЙ 500, 400, 220, 11 О и 35 кВ соответственно равны 600, 360, 120, 30 и 3 МВт. Отсюда видно, как сильно увеличивается естественная мощность с увеличением напряжения линии.

Мощность, получаемая линией, мощность в конце линии .

На основании (20.39) и (20.40)

и кпд линии

Все сказанное здесь о согласованной линии применимо и к бесконечно длинной линии, поскольку в последней не может возникнуть отраженная волна.

Линия без искажений

Если считать токи и напряжения линии связи и телемеханики несинусоидальными, но периодическими, то, разлагая их в тригонометрические ряды (дискретные спектры), можно к каждой гармонике применить полученные результаты. Однако токи и напряжения таких линий, соответствующие передаваемым по ним речи и музыке и другим сигналам, - непериодические функции времени. В этом случае найденные соотношения можно применить, разлагая непериодические токи и напряжения в непрерывный спектр.

Подчеркнем некоторые особенности линий связи. У кабельных линий связи из-за близкого расположения проводов относительно друг друга индуктивное сопротивление мало по сравнению с активным и им в первом приближении можно пренебречь. Точно так же активной проводимостью между проводами можно пренебречь по сравнению с реактивной проводим6стью Поэтому, полагая и и, следовательно, , из общих формул (20.27) и (20.10) получим

Из этих соотношений видно, что коэффициент ослабления cr и коэффициенты фазыпропорциональны квадратному корню из частоты. Поэтому гармоники более высоких частот затухают сильнее, что приводит к искажению речи, музыки и других сигналов, т. е. к так называемым амплитудным искажениям. Фазовая скорость также зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости от частоты приводит к изменению формы кривых токов и напряжений в конце линии по сравнению с их формой в начале линии. Эти искажения называются фазовыми. Амплитудные искажения также изменяют форму кривых. Подчеркнем особо, что при высоких частотах и согласно (20.27) ;. Поэтому фазовая скорость не зависит от частоты и фазовые искажения практически отсутствуют. Далее отметим, что из-за амплитудных и фазовых искажений кабельные линии связи без особых приспособлений непригодны для передачи речи, музыки и других сигналов на большие расстояния.

Воздушная или кабельная линия связи, не снабженная специальными усилителями, пригодна для передачи сигналов, если коэффициент ослабления cr не зависит от частоты и невелик. Так как сохранение тембра звука, разборчивости речи и формы сигнала определяется высшими гармониками, то исследование выражения cr на минимум как для кабельных, так и для воздушных линий связи надо проводить, полагая частоту достаточно большой, а следовательно, выражения достаточно малыми.

При этих условиях из (20.27) после некоторых преобразований будем иметь

Рассматривая функцию отношения , найдем минимум cr в функции z. Приравняв , получим значение z, при котором минимально:

Любопытно отметить, по это условие было получено Хевисайдом еще в 1893 г.

Значение и коэффициент фазы найдем из общих формул (20.27) для сх и с учетом условия (20.47):

Линию, удовлетворяющую условию (20.47), у которой, следовательно, коэффициент ослабления не зависит от частоты и минимален, называют линией без искажения.

При тех же условиях согласно (20.10) волновое сопротивление

Иначе говоря, волновое сопротивление линии без искажений не зависит от частоты и активное.

Фазовая скорость в линиях без искажений также не зависит от частоты:

Холостой ход, короткое замыкание и нагрузочный режим линии с потерями

Рассмотрим холостой ход линии. Если в нагрузочном режиме напряжение и ток в конце линии были и , то после отключения приемника напряжение на конце ее при неизменном напряжении в начале линии изменится. Изменив напряжение в начале линии так, якобы напряжение в конце линии осталось равным , из (20.24) при холостом ходе получим

Если теперь, не изменяя напряжения в начале линии, закоротить ее на конце, ток на конце уже не будет равен и в ряде случаев возрастет. Изменив напряжение в начале линии так, чтобы ток в конце короткозамкнутой линии стал равным [2, из (20.24) получим

На основании соотношений (20.24), (20.51) и (20.52) можно при этих условиях написать

Полученные формулы показывают, что действительные ток и напряжение в любой точке линии могут быть разложены на составляющие холостого хода и короткого замыкания, чем иногда удобно пользоваться в расчетах. Например, при расчете распределения тока и напряжения вдоль нагруженной линии с потерями можно сначала найти составляющие напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании в отдельности, а затем, геометрически суммируя их, получить действительные токи и напряжения.

При холостом ходе напряжения и токи в любой точке линии можно определить, заменив их модулями:

На рис. 20.10 построены кривые в зависимости от х, а также кривые , ординаты которых пропорциональны и . Эти кривые показывают, что и изменяются с чередующимися максимумами, причем значения их постепенно увеличиваются, а отношение максимума к минимуму стремится к единице. В конце линии ток равен нулю, а напряжение имеет максимум. Характер изменения кривых тот Же, что и кривых , НО С меньшими пульсациями.

Входное сопротивление линии при холостом ходе было найдено выше (20.22). С изменением длины линии 1 мнимая часть комплекса изменяет знак, т. е. реактивная составляющая имеет то емкостный, то индуктивный характер. Подобным же образом зависит входное сопротивление линии при холостом ходе и от частоты. При изменении частоты изменяется не только значение, но и знак аргумента входного сопротивления.

Отметим, что при холостом ходе коэффициент отражения (20.37) в конце линии . Это значит, что комплексные напряжения (и ток) прямой и обратной волн в конце линии равны по абсолютному значению и по знаку (находятся в фазе), т. е. отражение волны от разомкнутого ·конца линии происходит без перемены знака.

На. рис. 20.11 и 20.12 приведены для некоторого момента времени кривые напряжения и тока прямой и обратной волн при холостом ходе, а также кривые результирующих напряжения и тока холостого хода.

Аналогично может быть найдено распределение токов и напряжений при коротком замыкании линии. На основании (20.52) значения напряжений и токов в любой точке линии могут быть определены по формулам

Полученные соотношения показывают, что кривая аналогична кривой , на рис. 20.10, а кривая аналогична кривой .

Входное сопротивление линии при коротком замыкании было найдено выше (20.33). Отметим, что и в этом случае реактивная составляющая в зависимости от длины линии и от частоты изменяет знак. Как следует из соотношения (20.47), при коротком замыкании коэффициент отражения в конце линии Это означает, что комплексные напряжения (и ток) прямой и обратной волн равны по абсолютному значению и противоположны по знаку (находятся в противофазе), т. е. отражение волны от короткозамкнутого конца линии происходит с переменой знака. Кривые прямой и обратной волн напряжения и тока, а также кривые результирующих напряжения и тока при коротком замыкании.,аналоrичны соответственно кривым тока и напряжения при холостом ходе.

Пример №95

По данным примера 20.2 определить напряжение в конце линии (в Москве) и ток в начале линии (на ГЭС) при сбросе всей нагрузки в конце линии и сохранении фазного напряжения на ГЭС, равного 220 кtэ.

Решение:

Повышение напряжения при холостом ходе

Интересно отметить, что и ток в начале линии при холостом ходе получился на 45 % больше того же тока в режиме нагрузки: = (792/548), хотя напряжение в начале линии во втором случае почти равно напряжению в первом случае

Линии без потерь

Если положить равными нулю сопротивление проводов линии и проводимость утечки между проводами , то получим так называемую линию без потерь.

Для высокочастотных коротких. линий, применяемых в радиотехнике, часто с достаточно большой точностью можно пренебречь сопротивлением и утечкой по сравнению с и Поэтому в радиотехнике очень часто рассматривают двухпроводные воздушные линии и коаксиальные кабели как линии без потерь. Вообще же говоря, линию без потерь следует рассматривать как идеализацию действительной линии. Из (20.8), (20.10), (20.15) :и (20.16) для такой линии получим

т. е. в линии без потерь нет ослабления волн, а 'волновое сопротивление активное и не зависит от частоты. Точно так же и фазовая скорость в линиях без потерь не зависит от частоты. Заметим, что линии без потерь такие же, как и для неискажающий линии с потерям

Преобразуем формулу . (20.56)' для фазовой скорости к другому виду. Это преобразование проведем, например, для двухпроводной линии. Емкость единицы длины двухпроводной линии, Ф/км

а индуктивность той же линии, Гн/км

здесь - радиус провода; d - расстояние между осями проводов.

Подставив значения в (20.56), получим

где - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды между проводами. Но, как известно, скорость света в вакууме

и для фазовой скорости можно записать

Для воздушных линий И фазовая скорость в вакууме совпадает со скоростью света .. Для кабельных линий Аргумент волнового сопротивления линии без потерь , т. е. токи прямой и обратной волн совпадают по фазе с напряжениями.

Уравнения длинной линии с гиперболическими функциями от комплексноrо аргумен;rа (20.21) и (20.24) для линии без потерь переходят в уравнение с круговыми функциями от действительного аргумента. Если заданы напряжение в начале линии, то

Если заданы напряжение в конце линии, то

Входное сопротивление линии согласно (20.31) и (20.54) - (20.57)

Переходя в (20.64) к мгновенным значениям при , получаем

Кривые распределения мгновенных значений тока и напряжения вдоль линии на расстоянии, равном длине волны, при для трех моментов времени представлены на рис. 20.13. Кривые и выражения (20.66) показывают, что распределение напряжения и тока вдоль линии в каждый данный момент является синусоидальным. Из рис. 20.13 видно, как изменяются кривые распределения тока и напряжения в линии на протяжении трети периода. Разумеется, изменение тока или напряжения во времени в любой фиксированной точке линии также будет синусоидальным.

Остановимся еще на свойствах линий без потерь длиной в четверть и в половину длины волны. При и из уравнений (20.64) получим

В этом случае напряжение (ток) в начале линии пропорционально току (напряжению) в конце и опережает его по фазе на 90° . Для поддержания постоянного напряжения в конце линии , которое может изменяться вследствие изменения нагрузки на конце линии, необходимо в начале линии поддерживать постоянным не напряжение , а ток

Для линии длиной в половину волны

т. е. напряжение и ток в начале линии равны по абсолютному значению и противоположны по фазе напряжению и току в конце линии. Если не считать изменения фазы на 180° , питание приемника от источника энергии происходит таким образом, как будто бы самой линии передачи нет.

Стоячие волны

Рассмотрим режимы, при которых активная мощность в конце линии без потерь равна нулю. Это может быть при холостом ходе, коротком замыкании и чисто реактивной нагрузке.

При холостом ходе из (20.64) следует

При мгновенные значения напряжения и тока

и представляют собой уравнения стоячих волн. Математически уравнение стоячей волны представляется произведением двух функций, причем аргумент одной зависит только от времени, а другой - только от координаты.

Стоячей волной называется процесс, получающийся от наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.

Действительно, при холостом ходе и, как следует из (20.37), -Выражение для напряжения (20. 70) можно представить в виде суммы (а для тока - в виде разности) напряжений (токов) прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами:

При холостом ходе на конце линии (х = О) и в точках, отстоящих от конца на расстояниях - целое число, имеем в любой момент времени максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлам и (рис. 20.14). На расстояниях же от конца линии наблюдаются узлы напряжения и пучности тока. Узлы и пучности тока и напряжения неподвижны. Узлы тока совпадают с пучностями напряжения и наоборот. Ток опережает по фазе напряжение на 90° на участках, для которых знаки одинаковы , и отстает по фазе на 90° от напряжения, если знаки противоположны

Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь

т. е. число реактивное, и характер его определяется длиной линии и частотой (или длиной волны). Изменение абсолютного значения и характера входного сопротивления в зависимости от длины линии показано на рис. 20.15. От х = О до линия представляет собой емкостное сопротивление, а от и т. д.- индуктивное сопротивление

При линия может быть представлена параллельным резонансным контуром, а при и т. д. - последовательным резонансным контуром. При коротком замыкании из (20.64) получим

Мгновенные значения

т. е. напряжение и ток представляют собой также стоячие волны. Для любого момента времени на конце линии (х = О) и в точках, отстоящих от него на целое число полуволн, имеем узлы напряжения и пучности тока, а в точках, отстоящих от конца линии на расстояния, равные нечетному числу четвертей длин волн получаются пучности напряжения и узлы тока (рис. 20.16). При этом пучности напряжения и пучности тока, а также узлы напряжения и узлы тока сдвинуты на четверть длины волны относительно друг друга. Напряжение опережает по фазе ток на 90° на участках линии, на которых знаки одинаковы и отстает на 90° от тока, если знаки противоположны

Входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь

также чисто реактивное и в зависимости от длины линии и частоты может быть индуктивным или емкостным. Изменение входного сопротивления в зависимости от длины корт замкнутой линии показано на рис. 20.17. Из него видно что ОТ Х = 0 ДО , и т. д. линия представляет собой индуктивное сопротивление, а - емкостное сопротивление. При и т. д. линия может быть заменена последовательным резонансным контуром, а при и т. д. - параллельным резонансным контуром.

Для получения линии, согласованной с нагрузкой, приходится включать индуктивные или емкостные элементы параллельно и последовательно приемнику. В качестве такого элемента при высоких частотах может служить короткозамкнутая или разомкнутая линия без потерь. Но, воспользовавшись линией для согласования, разумно взять ее наименьшей длины, т. е., как показывают рис. 20.15 и 20.17, вместо емкостного элемента выбрать разомкнутую линию длиной менее , а вместо индуктивного - короткозамкнутую длиной менее . Длину разомкнутой линии без потерь х можно определить при заданном из формулы

Эту же длину х можно найти и из кривой , приведенной на рис. 20.15, если построение выполнено достаточно точно. Длину короткозамкнутой линии без потерь x можно определить при заданном из формулы

Длину х можно также найти прямо из кривой приведенной на рис. 20.17.

При чисто реактивном сопротивлении нагрузки в линии также будут стоячие волны. Действительно, как было только что показано, емкостный и индуктивный элементы могут быть заменены отрезками разомкнутой или короткозамкнутой линии. Следовательно, линия с реактивным сопротивлением нагрузки ничем не отличается от разомкнутой или короткозамкнутой линии большей длины. Только в конце линии с рес1ктивным сопротивлением нагрузки не будет ни пучности, ни узла тока или напряжения (рис. 20.18).

В узлах 1 ок или напряжение равны нулю в любой момент времени, поэтому мощности, в них всегда равна нулю и энергия через эти точки проходить не может. Следовательно, передачу энергии по линии осуществляют только бегущие волны. В случае стоячих волн движение энергии вдоль линии возможно только на участках между двумя смежными узлами тока и напряжения и связано с обменом энергией между электрическим и магнитным полями на каждом из таких участков. В разомкнутой или короткозамкнутой линии длиной несколько меньше четверти волны движение энергии (обмен энергией

между генератором и линией) происходит вдоль всей линии, так как только на конце линии есть узел тока (разомкнутая линия) или узел напряжения (короткозамкнутая линия).

Предположим теперь, что у линии без потерь активное сопротивление нагрузки Обозначив и подставив в выражения (20.64), после простых. преобразований получим

В этих уравнениях напряжение и ток представлены суммами двух слагаемых. Первое из них - бегущая волна, а второе - стоячая волна. Таким образом, если линия не согласована с нагрузкой, то напряжение и ток в линии можно представить суммой бегущих и стоячих волн. Чем сильнее К отличается от единицы в ту или другую сторон ну, тем резче выявятся стоячие воды. При К = О (холостой ход) и (короткое замыкание) в линии наблюдаются только стоячие волны. Чем ближе К к единице, тем резче проявляются бегущие волны. Стоячие волны отсутствуют при К= 1 или , т. е. при 'согласованной нагрузке.

Применение линий без потерь

Линия без потерь длиной в четверть волны применяется в качестве согласующего элемента между какой-либо линией без потерь и приемником с резистивным сопротивлением на ее конце не равным волновому сопротивлению линии. Например (рис. 20.19), при помощи линии длиной в четверть волны можно согласовать линию (без потерь)

питающую антенну, с самой антенной, входное сопротивление которой чисто активное.

Найдем входное сопротивление четвертьволновой линии, нагруженной на антенну, при на основании (20.65):

Так как

Для согласования питающей линии с антенной необходимо, чтобы , где - волновое сопротивление питающей линии.

Отсюда требуемое значение волнового сопротивления

В этом случае четвертьволновая линия без потерь называется четвертьволновым трансформатором, так как она как бы приводит (трансформирует) волновое сопротивление питающей линии к сопротивлению нагрузки. Линия без потерь длиной в четверть волны, замкнутая в конце подогревателем термопары, т. е. практически накоротко, применяется (как вольтметр) для измерения распределения напряжения в двухпроводной линии, питаемой генератором с длиной волны л (рис. 20.20). Термопара присоединяется к милливольтметру, измеряющему ее ЭДС. Кроме того, дается специальная градуировочная кривая, т. е. зависимость ЭДС термопары от тока нагрева ее спая.

Соотношение между напряжением в пучности (начало короткозамкнутой линии) и током в пучности (ее конец) определяется из (20.64): l, т. е. .

Определив по показаниям милливольтметра ток в пучности четвертьволновой линии, при помощи последней формулы вычисляют напряжение в ее начале, т. е. напряжение между проводами исследуемой линии. Перемещая место присоединения четвер-rьволновой линии вдоль исследуемой линии, можно измерить распределение напряжения вдоль последней.

Как видно из рис. 20.17, входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной бесконечно велико, поэтому ее подключение не влияет на распределение напряжения вдоль исследуемой линии.

В сантиметровом и дециметровом диапазонах волн для измерения комплексного входного сопротивления какого-нибудь приемника применяют так называемую измерительную линию в виде отрезка коаксиальной линии без потерь. В коаксиальной линии прорезают щель, в которую вводят зонд, представляющий собой небольшой стерженек (или рамку). Щель вырезается параллельно линиям поверхностного тока в оболочке коаксиальной линии. Как показывают анализ и опыт, наличие щели изменяет лишь в слабой степени первоначальную конфигурацию поля в измерительной линии. Зонд, который извлекает небольшую часть энергии, проходящей по измерительной линии, соединяется с индикатором. Показания индикатора пропорциональны напряженности электрического поля, а следовательно, и напряжению в данном

сечении измерительной линии. Перемещая зонд вдоль щели, можно исследовать поле внутри измерительной линии. В конце линии присоединяют приемник, комплексное входное сопротивление которого измеряется. По распределению напряжений вдоль измерительной линии можно определить сопротивление нагрузки (рис. 20.21).

Распределение напряжения и тока вдоль линии определяется уравнениям (20. 7) и (20.9). При отсчете координаты от начала линии

Комплексный коэффициент отражения

где - его модуль. (20.77)

Модуль р коэффициента отражения можно вычислить, определив коэффициент бегущей волны напряжения:

где - минимальное и максимальное напряжения в линии, измеряемые непосредственно индикатором. В точке , где прямая и обратная волны находятся в противофазе, имеем

В точке, где они совпадают по фазе, напряжение максимально:

Следовательно,

откуда

С учетом (20. 77) запишем

Найдем сопротивление нагрузки (х = l):

Так как в точке минимума напряжения векторы и находятся в противофазе, то и

Подставив значение этой разноqи в выражение для , получим

Учитывая, что

и выражая р через , после преобразований находим, что

Таким образом, для вычисления необходимо измерить , т. е. коэффициент бегущей волны напряжения и расстояние от приемника до ближайшего минимума напряжения.

Пример №96

Найти входное сопротивление короткозамкнутой двухпроводной линии длиной l = 35 м для генератора, работающего на волне длиной = 50 м. Диаметр проводов линии 2r = 4 мм, расстояние между проводами d = 13,54 см. Найти индуктивность катушки, . эквивалентной по сопротивлению этой линии.

Решение:

Пренебрегая потерями, найдем волновое сопротивление линии:

Входное сопротивление

Линия представляет для генератора индуктивную нагрузку, что ясно уже из того, что Индуктивность эквивалентной катушки

Линия как четырехполюсник

Сравнивая основные уравнения длинной линии (20.24) с уравнениями типа А четырехполюсника (8.1), можно заключить, что длинная линия является пассивным симметричным четырехполюсником, коэффициенты которого

Но, . как известно, симметричный четырехполюсник может быть представлен симметричной схемой замещения, например Т- или П-образной.

Определим сначала сопротивления симметричной Т-образной схемы (рис. 8.7,а), которой можно заменить длинную линию при заданной частоте.

Симметричная Т-схема является схемой замещения симметричного четырехполюсника, если равны какие-либо два коэффициента (например, ) четырехполюсника и Т-схемы, так как пассивный симметричный четырехполюсник задается двумя независимыми параметрами.

Для Т -образной схемы в примере 8.3 было получено

Приравняв значения для длинной линии (20.78) и для Т-схемы (20.79), получим

Теперь найдем сопротивления симметричной П-образной схемы (рис. 8. 7, 6), приравняв коэффициенты линии и схемы.

Таким же расчетом, как в примере 8.3, для П-схемы получается (Приложение 2)

Приравняв значения для линии (20.78) и для П-схемы (20.81), получим

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрам

В цепях с распределенными параметрами, например в длинных линиях, обмотках электрических машин и трансформаторов :и т. п., включение и отключение какого-либо участка сопровождаются переходными процессами (так же как и в цепях с сосредоточенными параметрами). При большой протяженности линий изменение внешних электрических и магнитных полей, например при грозовых разрядах, также вызывает переходные процессы. Переходные процессы в линиях возникают и при передаче телеграфных и телефонных сигналов, импульсов телемеханики или специальных импульсов телеконтроля для проверки линий и выявления места их повреждения.

Возникновение переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

Во всех случаях при анализе переходных процессов в цепях с распределенными параметрами необходимо исходить из общих закономерностей и дифференциальных уравнений. Так как линия является наиболее распространенным примером цепи с распределенными параметрами, в дальнейшем изложении речь будет идти о переходных процессах в линиях.

Общее решение уравнений однородной линии

Для изучения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами рассмотрим дифференциальные уравнения, полученные для однородной двухпроводной линии:

где - параметры единицы длины линии, а х - координата выбранной тачки, отсчитываемая от начала линии.

Если можно пренебречь потерями в линии, т. е. считать, что· , то уравнения (21.1) принимают вид

В общем случае решение этих уравнений для однородной линии (т. е. при , не зависящих от х) записывается так:

где называется скоростью волны и численно равна фазовой скорости. Здесь функции представляют собой распределения вдоль линии напряжений прямой и обратной волн в момент времени . t = О. Напряжение и ток волны связаны между собой законом Ома для воды:

- характеристическое или волновое сопротивление линии без потерь.

Рассмотрим каждую из составляющих выражения (21.За) в отдельности и проследим, как зависят от времени t и координаты х составляющие напряжения

Допустим, что в некоторый момент времени распределение напряжения вдоль линии может быть представлено кривой

изображенной на рис. 21.1, а. Тогда в момент времени распределение напряжения вдоль линий может быть записано так:

где

Из последнего выражения видно, что кривая по отношению к кривой смещена вправо на расстояние , т. е. увеличение t приводит к перемещению кривой в направлении возрастания х. Иными словами, выражает напряжение волны, движущейся в сторону возрастания координаты х, т. е. прям ой в о л н ы. Точка линии с координатой , для которой справедливо условие, что при , называется ф р о н т о м прямой волны. Фронт прямой волны движется в сторону возрастания координаты х со скоростью с

Если в точке , совпадающей с фронтом волны в момент , установить прибор, записывающий мгновенное значение напряжения, то он запишет кривую 1 (рис. 21.1, 6). Эта кривая представляет собой зеркальное изображение кривой при соответствующем изменении масштаба вдоль оси абсцисс. Прибор, установленный в точке (рис. 21.1, а), запишет аналогичную кривую 2, которая, однако, смещена в сторону возрастания времени на величину

где - расстояние между точками

При исследовании изменения напряжения волны в зависимости от времени целесообразно выражению (21.6) придать следующий вид:

В точке с координатой напряжение волны описывается ,той же функцией но с запаздыванием во времени на . Рассуждая совершенно аналогично, можно показать (рис. 21.1,в и г), что составляющая представляет собой

напряжение волны, движущейся в сторону убывания координаты х, т. е. обратной волны:

Координата фронта обратной волны характеризуется условием при при Фронт обратной волны движется в сторону убывания координаты х со скоростью с. Скорость движения волн в воздушных линиях примерно равна скорости света в вакууме:· км/с. В кабелях скорость распространения волн меньше (примерно вдвое), чем в воздушных линиях.

Если известны зависимости и в какой-либо точке линии и скорость волны с, то по уравнению (21.За) подобно тому, как это сделано на рис. 21.1, легко построить кривые в любой момент времени.

Так как между напряжением и током волны существует прямая пропорциональность (21.4) и коэффициент пропорциональности (21.5) зависит только от параметров линии, то в дальнейшем часто будем рассматривать только напряжение волны. При исследовании волн в линиях иногда удобно выражать каждую из волн только в функции времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например , и принимая за начало отсчета времени момент, когда фронт волны дойдет до этой точки. Так, например, для , изображенных на рис. 21.1 черными линиями, такими точками соответственно являются

Если известны функции то переход к общему выражению каждой из волн выполняется согласно (21.За) так:

В любой момент времени напряжение и ток в линии можно рассматривать как сумму напряжений и токов только двух волн - прямой и обратной. Каждую из двух волн в свою очередь иногда целесообразно представить на основании принципа наложения в виде суммы отдельных волн более простой формы.

При анализе отражения волн оказывается недостаточным подразделение волн на прямые и обратные. Пусть, например, прямая или обратная волна движется по линии и падает на узел соединения с линией, имеющей другие параметры. В месте соединения двух линий эта волна распадается на две, одна из которых проходит из первой линии во вторую, а другая отражается от места соединения двух линий. По аналогии с оптикой первую, исходную волну называют падающей (пад), а две другие - соответственно отраженной (отр) и преломленной или проходящей

При отражении волны от конца линии преломленной волны, естественно, нет.

Так как скорость волны в линии конечна (у воздушной линии , у кабеля ), то линию можно при

Возникновение волн с прямоугольным фронтом

Для выяснения физической стороны возникновения движения волны рассмотрим незаряженную линию, которая в момент времени t = О присоединяется к источнику постоянного напряжения (внутреннее сопротивление источника равно нулю). Для источника синусоидального напряжения промышленной частоты : 6000 км) в воздушной линии за время прохождения волной расстояния в пределах нескольких десятков километров его напряжение также можно считать постоянным.

После подключения источника к линии возникает волна с напряжением , которая заряжает последовательно один элемент линии за другим до напряжения

Предположим, что в момент t волна достигла сечения

(рис . .21.2). В этот момент во всех точках х левее сечения напряжение между проводами равно , а правее этого сечения · напряжение равно нулю.

На поверхности верхнего провода происходит накопление положительного заряда, и левее сечения тп заряд на единицу длины , а правее он равiн нулю. За время dt волна переместится правее сечения на расстояние При этом элемент линии dx получит заряд , который должен пройти по верхнему проводу через сечение mn и через любое сечение верхнего провода левее mn. Распространение заряда создает на всем протяжении верхнего провода от источника до сечения mn ток

В контуре, образуемом этой цепью, возникает магнитный поток; линии которого лежат в плоскостях, перпендикулярных осям проводов. При перемещении волны на расстояние магнитный поток увеличивается на величину . При возникновении потока dФ в контуре mpqn наводится ЭДС самоиндукции

действующая против направления движения стрелки часов. Таким образом, ЭДС самоиндукции у фронта волны, направленная по линии qp, равна и противоположна напряжению:

откуда

что соответствует (21.5). Энергия, отдаваемая в единицу времени источником, равна В единицу времени волна перемещается на расстояние, равное с. На каждом единичном отрезке линии, пройденном волной, запасается энергия в электрическом поле и в магнитном поле.

На основании закона сохранения энергии

Подставив в левую часть этого уравнения , получим соотношение

т. е. для волны значения энергии электрического и магнитного полей на участке линии, пройденном волной, равны между собой.

Рассмотренная волна имеет прямоугольную форму

и называется волной с прямоугольным фронтом.

Если к линии подключается источник с резистивным внутренним сопротивлением , ток и напряжение волны становятся меньше. В этом случае

и по-прежнему

откуда

При подключении генератора с индуктивным внутренним сопротивлением фронт волны искажается и волна перестает быть прямоугольной.

Включение наrрузки. Волны прямоугольной формы возникают и при подключении к заряженной линии премника с резистивным сопротивлением. Рассмотрим линию с волновым сопротивлением , заряженную до напряжения . Если в момент времени t = О в конце линии включается приемник с сопротивлением нагрузки (рис. 21.3), то в конце линии возникает обратная волна, движущаяся от конца линии к ее началу.

Напряжение и ток этой волны могут быть легко рассчитаны при помощи уравнений, составленных по закону Ома для волны и для сопротивления нагрузки:

откуда

На рис. 21.3 показаны прямоугольные волны напряжения и тока, возникающие в этом случае.

Отключение источника. При отключении линии от источника питания в ней также возникают волны.

Пусть в линии с сопротивлением нагрузки установился ток Если в момент t = О отключить источник энергии (рис. 21.4), то ток в начале линии мгновенно спадет до нуля и возникнет волна с напряжением и током

В результате наложения этой волны на предшествующий режим ток в линии , а напряжение

Если ток нагрузки меньше зарядного тока при включении линии к источнику постоянного напряжения , то напряжение и на пройденном волной участке сохранится после отключения некоторая доля напряжения того

же направления (рис. 21.4). Если же то линия на участке, пройденном волной, зарядится в противоположном направлении.

Отключение приемника. При отключении приемника (рис. 21.5) в линии возникает такая же волна, как и при отключении источника. Разница заключается только в том, что эта волна имеет противоположный знак и распространяется в обратном направлении.

В результате наложения этой волны на предшествующий режим ток в линии , а напряжение

При отключении приемника обратная волна вызывает повышение· напряжения в линии, которое тем больше, чем больше волновое сопротивление линии. В случае отключения приемника от воздушных линий перенапряжения могут быть весьма значительными.

При помощи аналогичных рассуждений могут быть найдены волны, возникающие в более сложных случаях.

Пример №97

Найти волны, возникающие при подключении в произвольной точке нагруженной линии дополнительного приемника с сопротивлением (рис. 21.6).

Решение:

При подключении приемника справа и слева от .места подключения пойдут волны с равными значениями напряжений и токов:

Ток в приемнике равен сумме токов обеих волн и по закону Кирхгофа

а напряжение на приемнике с сопротивлением равно сумме и напряжения этих волн:

Учитывая, что , из выражений для получаем

На рис. 21.6 показано распределение тока и напряжения в линии после подключения дополнительного приемника. Справа от места включения ток складывается с током , и так как, то суммарный ток меньше . Слева от места включения ток направлен противоположно току , т. е. вычитается из тока , и так как , то суммарный ток больше / н· Напряжения справа и слева складываются с , и так как , то напряжение на линии уменьшается. Полученные токи и напряжения волн можно рассматривать как результат наложения на предшествующий режим токов и напряжений, получающихся при подключении к незаряженной линии источника с ЭДС и внутренним сопротивлением r д· Так как этот источник подключается одновременно к двум одинаковым линиям (справа и слева от места подключения), то при расчете напряжения волны сопротивление z, делится на два

Пример №98

Найти волны, возникающие при отключении нагруженной линии посредине (рис. 21.7).

Решение:

После отключения от места размыкания пойдет прямая волна с током, равным , и напряжением и обратная волна с током и напряжением . В результате наложения этих волн на предшествующее распределение напряжения и тока на участках слева и справа от

места отключения ток уменьшается до нуля, а напряжение на участке слева от места отключения повышается до , а справа от этого места уменьшается до

Общие случаи нахождения волн, возникающих при переключениях

Рассмотренные выше примеры возникновения волн могут быть при помощи принципа наложения сведены к случаю включения источника заданной ЭДС или заданного тока в пассивную цепь. Этот метод может быть распространен на многие случаи расчета волн, возникающих при всякого рода переключениях.

Если, например, к линии, в общем случае заряженной, подключается некоторый в общем случае активный двухполюсник А (рис. 21.8, а), то для нахождения возникающих волн необходимо определить напряжение на разомкнутом рубильнике и рассчитать токи в схеме с сосредоточенными параметрами, изображенной на рис. 21.8,6, при нулевых начальных условиях (П - соответствующий пассивный двухполюсник). Так как напряжения волн в первой и второй линиях отличаются от токов постоянными множителями , то при расчете токов в схеме с нулевыми начальными условиями обе линии могут быть заменены сосредоточенными сопротивлениями, равными , и токи, рассчитанные в этих сопротивлениях, будут равны токам волн, возникающих в· линиях.

Если рубильник не включается, а отключается (рис. 21.8,в), то задача решается еще проще. В этом случае, зная ток в размыкаемом рубильнике, необходимо рассчитать токи в линиях при подключении источника тока противоположного знака непосредственно к концам отключаемой ветви. Токи в сосредоточенных сопротивлениях

схемы, изображенной на рис. 21.8,г, равны искомым токам волн в линиях.

Таким образом, расчет волн, возникающих при переключениях, может быть сведен к расчету эквивалентных схем с сосредоточенными параметрами.

Пример №99

Найти волну, возникающую в линии (провод -земля) с волновым сопротивлением , при подключении к ней источника с ЭДС , внутренними сопротивлением r и индуктивностью L (рис. 21.9, а).

Решение:

Составив эквивалентную схему с сосредоточенными параметрами. (рис. 21.9,6) и, рассчитав токи волн в линии, находим для тока волны в начале линии (х = О) выражение, аналогичное (14.14):

где

В любой точке линии при t > х/с в соответствии с (21.7) ток прямой волны

Ток волны для этого случая показан на рис. 21.9, а.

Пример №100

Найти волну, возникающую в линии с волновым сопротивлением , при подключении к ней источника с синусоидальной ЭДС , внутренним сопротивлением r и индуктивностью L (рис. 21.9, в).

Решение:

Эквивалентная схема та же, что и в предыдущем примере (рис. 21.9,6). Рассчитаем ток в этой схеме:

В произвольной точке линии с координатой х nри 1-> х/с

Ток волны показан на рис. 21.9, в.

Отражение волны с прямоугольным фронтом от конца линии

Отражение от резистивного элемента. Рассмотрим волну с прямоугольным фронтом

движущуюся по однородной линии и падающую на приемник с резистивным сопротивлением (рис. 21.10,а и 6). Когда волна дойдет до конца (рис. 21.10, в), она частично отразится. В рассматриваемом случае падающая волна движется в направлении возрастания х (в прямом направлении) и может называться прямой. Отраженная

волна движется в обратном направлении и может называться обратной. Однако при исследовании отражения волны удобнее пользоваться понятиями «падающая и отраженная» волны, а не «прямая и обратная». Для определения условий отражения волны найдем ток в сопротивлении Напряжение в конце ,линии

Поэтому ток отраженной волны и напряжение Напряжение

откуда

Из (21.20) следует, что ток в сопротивлении равен току, который получился бы в схеме с источником напряжения и сопротивлениями и, включенными последовательно.

Напряжение в конце линии зависит от значения и знака отраженной волны (рис. 21.10,г). Из (21.19) и (21.20) находим

где -коэффицnент отражения.

Следовательно,

Если линия на конце разомкнута и , т. е. волна отражается полностью без перемены знака. Напряжение в конце удваивается: , а ток .

Если линия на конце короткозамкнута , , т. е. волна отражается полностью с переменой знака. Напряжение в конце линии

Если и отраженной волны нет. Как только волна дойдет до конца, в цепи сразу установится неизменный ток, и вся энергия, доставляемая падающей (бегущей) волной, поглощается в сопротивлении (согласованная нагрузка). При падении отраженной волны на начало линии она должна рассматриваться как падающая, движущаяся в обратном направлении. Волна, отраженная от начала линии, будет прямой. Рассмотрение таких многократных отражений приведено в конце главы

Отражение от неоднородности. Если в конце линии имеется узел соединения различных линий или разветвление, то этот узел следует рассматривать как неоднородность, аналогичную некоторому сопротивлению , включенному в конце линии. Если, например, в конце линии с волновым сопротивлением параллельно подключены две линии с волновыми сопротивлениями (рис. 21.11, а), то по этим линиям пойдут волны, сумма токов которых равна току направленному к узлу по первой линии; такой узе.1 подобен сопротивлению

Все выводы об отражении волны от резистивного элемента, сделанные выше, могут быть распространены и на рассматриваемое разветвление линий.

Общий метод определения отраженных волн

Как видно из рассмотренных примеров, на практике часто однородность линии нарушается - в линию включаются элементы с сосредоточенными параметрами, присоединяются линии с различными волновыми сопротивлениями, причем могут встретиться узлы параллельного включения нескольких линий. Для определения переходных режимов при падении волны на узел, так же как и при переключениях, разработан общий метод, который применим при любой схеме соединения линий и цепей с сосредоточенными параметрами.

Пусть вдоль линии с волновым сопротивлением движется волна произвольной формы , причем • Эта волна может быть и прямоугольной формы (см. рис. 21.2), и в виде импульса (см. рис. 21.1), и любой иной формы (см., например, рис. 21.9). Волна падает на узел 2 -2' соединения или разветвления, схема которого может быть также любой (см. например, рис. 21.11, а и 6).

Во всех случаях часть цепи, присоединенную к линии в точках 2 -2' справа, можно рассматривать как пассивный двухполюсник (рис. 21.12, а), напряжение которого представляют собой некоторые функции времени.

Так как выводы двухполюсника 2 - 2' относятся и к линии с волновым сопротивлением , то напряжение на этих выводах равно · сумме напряжений падающей и отраженной волн, а ток - разности токов волн

Решив совместно два эти уравнения, получим

Последнее выражение является основным расчетным уравнением для определения напряжения и тока в месте отражения волны. Из {21.27) следует, что ток и напряжение в линии в месте отражения волны такие же, как и при замене линии, по которой движется волна, эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами, состоящей из последовательно включенных источника с ЭДС и волнового сопротивления (рис. 21.12, б).

Вся часть цепи справа от узла 2 - 2' может быть также представлена эквивалентной схемой из элементов с сосредоточенными параметрами. Например, при падении волны на узел соединения двух линий справа от узла еще нет зарядов и могут возникнуть только преломленные волны, движущиеся от узла в прямом направлении. Поэтому между токами и напряжениями в линиях справа от узла существует зависимость . Следовательно, при расчете волны, отраженной от узла, каждая линия, примыкающая к узлу, может быть заменена резистивным элементом с сопротивлением, равным волновому ,

Таким образом, решение задачи о переходном режиме в длинной линии при падении волны на узел разветвления может быть сведено к расчету переходного процесса в схеме замещения с сосредоточенными параметрами при помощи одного из описанных в предыдущих главах методов {например, классического или операторного).

На основании сказанного можно сформулировать следующее правило. При падении на узел волны с напряжением , движущейся по линии с ' волновым сопротивлением , напряжение и ток в этом узле будут такими же, как и при подключении источника с ЭДС, равной напряжению , и внутренним сопротивлением непосредственно к рассматриваемому узлу.

Схемы замещения для расчета напряжения в узлах цепей, показанных на рис. 21.11, приведены на рис. 21.13, а и б.

Зная напряжение , легко определить отраженную волну:

По известным значениям напряжений и токов падающей и отраженной волн, а следовательно, прямой и обратной волн можно найти распределение напряжения и тока вдоль линии в любой момент времени при помощи выражений (21.9) и построить графики, аналогичные приведенным на рис. 21.1.

При решении задачи операторным методом зависимость между и представляется в виде

где - входное сопротивление пассивного двухполюсника в схеме замещения (рис. 21.12, б).

Уравнение (21.27) и формулы (21.28) принимают вид

Исключая из этих уравнений, получаем

и соответственно

где р(р) - коэффициент отражения в операторной форме:

Пример №101

Волна прямоуrощ.ной формы, напряжение которой , переходит с линии с волновым сопротивлением на линию с волновым сопротивлением (рис. 21.14, а). Найти напряжение и ток отраженной волны.

Решение:

Составим эквивалентную схему (рис. 21.14, б). Напряжение определим непосредственно из схемы

волна, которая пойдет по линии с (преломленная волна), имеет напряжение

Как видно из выражения для , в случае, если , напряжение преломленной волны больше, чем падающей. Такое возрастание напряжения имеет место при переходе волны с кабельной линии на воздушную. Если, например, волновое сопротивление кабельной линии 50 Ом, а воздушной 600 Ом, то при переходе волны с кабельной линии на воздушную напряжение волны увеличивается почти в 2 раза Поэтому при подключении потребителя к кабельной питающей линии между кабелем и приемником избегают включать воздушную линию. Наоборот, с целью снижения напряжения волны, приходящей к потребителю по воздушной линии, между линией и приемником можно включить участок кабеля.

Волна, отразившаяся от узла 2-2'

Таким образом, волна отражается от места перехода на линию с другим волновым сопротивлением точно так же, как и от резистивного элемента, включенного в конце линии. Если , то отраженная волна имеет обратный знак. Если , то отражение происходит без перемены знака. При волна переходит с одной линии на другую без отражения.

Пример №102

Волна прямоугольной формы с напряжением падает на катушку с индуктивностью L и сопротивлением r, включенную в конце линии (рис. 21.15, а).

Построить распределение напряжения и тока после отражения волны от конца линии.

Решение:

Составим схему замещения для этого случая (рис. 21.15, б) и запишем дифференциальное уравнение по закону Кирхгофа:

Его решение дает для t > О при нулевых начальных условиях

где, а время t отсчитывается с момента прихода волны к концу линии.

На рис. 21.16 и 21.17 построены зависимости от времени для случая и нанесены значения , определенные по (21.28):

График распределения падающей и отраженной волн вдоль линии и суммарное значение тока и напряжения в линии для момента времени, коr да отраженная волна пройдет расстояние , представлен на рис. 21.18.

Так как напряжение и ток падающей волны не зависят от времени (постоянные), то в результате отражения напряжение распространяется влево от узла со скоростью с. Закон распределения тока и напряжения в линии после отражения волны может быть получен непосредственно из выражений для путем замены t на

Эти выражения справедливы для интервала времени, когда волна уже отразилась от конца, но вторично отраженная от начала линии волна еще не дошла до рассматриваемой точки, т. е

здесь отсчитывается от узла 2 -2' влево, а за начало отсчета времени принят момент падения волны на узел 2 -2'

Как видно из рис. 21.18, в первый момент падения волны на индуктивный элемент последний подобен разрыву линии и волна отражается с таким же знаком, как и от разомкнутого конца линии. По мере нарастания тока в индуктивном элементе напряжение и ток отраженной волны уменьшаются, приближаясь асимптотически к тем значениям, которые получаются при отражении волны от конца линии, замкнутого на резистивный элемент r. Если , то в некоторый момент времени отраженная волна изменяет знак (рис. 21.18).

Таким образом, в момент падения волны на катушку индуктивности напряжение удваивается, создавая опасность пробоя ее изоляции. С этим явлением приходится часто встречаться на практике, если линия подключена к трансформатору.

Пример №103

Волна прямоугольной формы с напряжением (рис. 21.19, а) переходит с линии с волновым сопротивлением на линию с волновым сопротивлением • В Месте соединениями двух линий (узел 2 -2') параллельно линии включен конденсатор емкостью С. В конце второй линии (узел 3 -3') включен индуктивный элемент L. Построить распределение напряжения и тока вдоль линии, когда волна, проходящая во вторую линию, еще не достигла ее конца.

Решение:

Составим для узла 2 -2' схему замещения (рис. 21.19, б). Включение источника с ЭДС и сопротивлением создает на узле 2 -2' напряжение

где

Зависимость для случая представлена на рис. 21.20. Как видно из графика, напряжение на узле нарастает плавно до значения и, следовательно, вправо от этого узла пойдет волна с пологим фронтом, напряжение которой равно

Одновременно от узла 2 -2' отразится волна с напряжением

Таким образом, слева от узла 2 -2' существуют две волны, движущиеся одна навстречу другой, -падающая и отраженная, а справа идет одна преломленная волна. На рис. 21.21 представлены в отдельности напряжения и токи падающей, преломленной и отраженной волн, а также результат их наложения.

Из приведенного расчета очевидно, что в момент падения волны на конденсатор напряжение на нем остается равным нулю, а ток равен удвоенному току волны. Таким образом, емкостный элемент в момент падения волны производит такое же действие, как и короткое замыкание. Только по мере зарядки конденсатора ero действие уменьшается, и по истечении времени, в несколько раз превышающего постоянную времени t, в узле 2 -2' устанавливается такое же напряжение, как если бы конденсатора не было вовсе. Ток слева от yзJJa 2-2' больше, чем справа, на ток зарядки конденсатора.

Как видно из всех приведенных расчетов, индуктивный элемент L, включенный в конце второй линии, не оказывает влияния ни на составление эквивалентной схемы, ни на распределение токов и напряжений. Действительно, до тех пор, пока волна не дойдет до конца второй линии, распределение токов и напряжений в линии не зависит от нагрузки в конце второй линии. Только после тоrо как волна во второй линии дойдет до узла 3-3', начинает сказываться ero влияние.

Отражение волны от узла 3 -3' может быть рассмотрено аналогично предыдущему при помощи схемы замещения для этого узла. На рис. 21.22 изображена схема замещения для определения напряжения на узле 3 - 3' при падении на неrо волны, прошедшей уже через узел 2 -2' (мимо емкости). В этом случае напряжение источника ЭДС в схеме замещения уже не постоянно, а плавно нарастает по закону Решение задачи производится так же, как и в случае изменения напряжения по произвольному закону в цепи с сосредоточенными параметрами.

Качественное рассмотрение переходных процессов в линиях, содержащих сосредоточенные емкостные и индуктивные элементы

Как видно из -рассмотренных примеров, конденсатор и катушка, включенные в цепь с распределенными ·параметрами, производят различное действие. В момент падения волны индуктивный элемент подобен разрыву в месте его включения, но по мере нарастания тока его действие все более соответствует короткому замыканию. Емкостный элемент, наоборот, в первый момент оказывает действие, подобное короткому замыканию между точками его включения. По мере того как конденсатор заряжается, ток уменьшается. При полной зарядке конденсатор аналогичен разрыву между точками его включения. Основываясь на этих рассуждениях, можно рассмотреть прохождение прямоугольной волны через узлы схемы, в которых емкостный и индуктивный элементы включены различным образом.

Пусть в месте перехода с одной линии на другую с такими же параметрами параллельно линии включен индуктивный элемент (рис. 21.23,а). Сначала, пока ток в элементе не достиг заметного значения, процессы происходят так, как будто бы элемента нет вовсе, и ток и напряжение волны при переходе с одной линии на другую не изменяются.

Однако по мере нарастания тока в индуктивном элементе его влияние становится все больше и ток и напряжение волны во второй линии уменьшаются. По истечении достаточно большого времени волна от индуктивного элемента отражается полностью, как от короткозамкнутого конца линии, а напряжение и ток проходящей волны становятся равными нулю. Таким образом, с первой линии во. вторую поступает импульс с крутым фронтом, затухающий по экспоненциальному закону.

Если в месте перехода с одной линии на другую последовательно с линией включен конденсатор (рис. 21.23, 6), то в первый момент, пока он не заряжен, волна проходит так, как если бы две линии были включены последовательно. По мере зарядки конденсатора он как бы отключает вторую линию от первой и делает невозможным переход волны с первой линии на вторую. Если назвать переход волны с одной линии на другую при последовательном включении емкостного или индуктивного элемента переходом «через емкость» или «через индуктивность», а при параллельном включении - «мимо емкости» или «мимо индуктивности», то можно заметить следующие закономерности.

При прохождении волны мимо индуктивности или через емкость фронт волны сохраняется крутым и в первый момент при равенстве волновых сопротивлений линий максимум напряжения (тока) проходящей волны равен напряжению (току) падающей волны. С течением времени напряжение (ток) проходящей волны убывает, снижаясь до нуля.

При прохождении волны через индуктивность или мимо емкости фронт волны сглаживается и напряжение (ток) волны лишь с течением времени при равенстве волновых сопротивлений линий достигает значения напряжения (тока) падающей волны. Графики распределения напряжений и токов для двух последних случаев представлены на рис. 21.23, в и г

Отраженные волны имеют характер, обратный характеру проходящих волн.

Если фронт проходящей волны становится пологим, то фронт отраженной волны остается крутым и наоборот - проходящей волне с крутым фронтом соответствует отраженная волна с пологим фронтом. Если волна прямоугольной формы имеет ограниченную длину (рис. 21.24, а), то ее можно рассматривать как сумму двух волн и бесконечной длины, равных по абсолютному значению, но противоположных по знаку, сдвинутых одна по отношению к другой на расстояние . Прохождение такой волны через индуктивность может рассматриваться как наложение токов и напряжений, подобных изображенным на рис. 21.23, в для положительной и отрицательной волн (рис. 21.24, 6). Аналогично можно построить кривые напряжения и тока для прохождения импульса мимо индуктивности или мимо емкости, а также через емкость.

Многократные отражения волн с прямоугольным фронтом от резистивного элемента

Включение источника. Для исследования многократных отражений волн при наличии поглощения энергии на концах линии рассмотрим включение линии, замкнутой на приемник с резистивным сопротивлением Питающий генератор с постоянной ЭДС имеет чисто резистивное внутреннее сопротивление . В общем случае . Вычислим коэффициенты отражения в начале и конце линии:

Первая прямая волна имеет напряжение а первая отраженная обратная волна в соответствии с - напряжением

Аналогично определяются отраженные волны: И т. д.

Таким образом, для k-й волны

а для k + 1-й соответственно

Наложение этих волн дает значение напряжений (и токов) в любой момент времени.

Пример №104

Найти распределение напряжения и тока в линии с волновым сопротивлением подключаемой к генератору с постоянным напряжением (внутреннее сопротивление Сопротивление нагрузки

Решение:

По формулам (21.34) полу чаем Рассмотрим систему многократных отражений волн от начала и конца линии и результаты запишем в виде табл. 21.1, где обозначают напряжение и ток в начале линии, а - в конце линии.

Пример №105

То же, что в предыдущем примере, но сопротивление

Решение:

В этом случае из (21.34) получаем . Аналогично предыдущему, рассматривая систему многократных отражений, можно решение задачи записать в виде табл. 21.2. На рис. 21.25, а и б показано изменение тока , поступающего в линию от источника, в зависимости от времени для двух случаев, рассмотренных в примерах 21.8 и 21.9: а) б) . На тех же рисунках показано изменеюrе напряжения в конце _линии. Повышение напряжения и наибольшее значение напряжения сравнении с установившимся значение получается, когда первая волна дошла до ем наблюдается, только если конца линии

В случае а) напряжение и ток совершают колебания вокруг некоторых установившихся значений напряжения и тока приближаясь с течением времени к этим значениям. При , что соответствует холостому ходу , колебания не затухают. Период таких колебаний Т = 2 • 21/с. На рис. 21.26 показано, как при этом изменяются ток в начале линии и напряжение в конце линии.

Время Т называется периодом собственных колебаний длинной линии, а -ее собственной частотой:

В реальных линиях и колебания всегда затухают.

В случае б) напряжение и ток апериодически нарастают до установившихся значений

Если сопротивление равно нулю, то и каждая волна, приходящая к началу линии, увеличивает ток на График изменения тока в начале линии для этого случая представлен на рис. 21.27. При (т. е. при бесконечно мощном источнике) и при отсутствии потерь ток в линии возрастал бы до бесконечности. В реальных линиях скачки тока постепенно уменьшаются и он приближается к некоторому предельному значению - току короткого замыкания линии.

Для приближенного рассмотрения процессов в реальных линиях с потерями сопротивление проводов rл может быть условно разделено пополам и отнесено: -к началу линии; - к ее концу. Эти сопротивления могут быть при расчетах включены в

Включение нагрузки. Если линия, заряженная до напряжения , разряжается с одного из концов через резистивный элемент с сопротивлением r (рис. 21.28), то изменение напряжения и тока в линии может быть определено аналогично предыдущему. Так как напряжение на рубильнике перед его включением равно -,

Находим коэффициенты отражения для начала и конца линии в соответствии с (21.34): и Токи волн

Учитывая равенство , можно заметить, что каждая последующая обратная волна тока компенсирует предыдущую прямую волну и ток в начале линии всегда равен току последней прямой волны. Ток в сопротивлении r по абсолютному значению такой же и противоположен по знаку.

Таким образом, ток в сопротивлении и напряжение

На рис. 21.28, а-в показаны кривые изменения во времени для случаев: В первом случае напряжение и ток уменьшаются скачкообразно через каждые 21/с, не изменяя знака; во втором случае р1 < О и эти изменения знакопеременные. Если же, то первая прямая волна снимает с линии половину напряжения, а первая обратная волна - вторую половину и процесс заканчивается через 21/с. Все это напоминает случаи апериодической, колебательной и предельной апериодической разрядок конденсатора.

Последний случай имеет большое практическое значение, так как аналогичнь1й принцип применяется в радиотехнике для получения импульсов прямоугольной формы, продолжительность которых зависит от длины линии.

Выше были рассмотрены некоторые простейшие примеры многократных отражений волн от концов линии'. Во всех примерах прямая и обратна волны представлялись как результат наложения многократно отраженных волн. Те же результаты можно получить, если рассматривать только результирующие значения прямой и обратной волн непосредственно, анализируя уравнения (21.9) и граничные условия на концах линии. Такой метод позволяет свести задачу к решению уравнений в конечных разностях, что упрощает расчет сложных случаев многократных отражений волн

Блуждающие волны

Помимо появления волн при включении, отключении, коротком замыкании или изменении нагрузки, а также при случайных заземлениях возможны еще волны под действием атмосферных явлений. Соседство грозовых туч, снег, дождь, движение воздуха, особенно во время восхода и заката солнца, - все это может привести к накоплению на изолированных проводах статических зарядов. Значительные заряды могут образоваться, если по соседству с линией находятся грозовые тучи. Грозовая туча, имеющая, предположим, отрицательный заряд, действует таким образом, что разделяет в проводах на соответствующей длине линии положительные и отрицательные заряды (электростатическая индукция). Положительные заряды в проводах находятся в связанном состоянии с зарядами тучи и могут быть сосредоточены на небольшой длине линии, а свободные отрицательные заряды распространяются по всей длине линии и через несовершенную изоляцию стекают на землю; благодаря малой плотности этих зарядов их влиянием на процессы в линии можно пренебречь.

Когда грозовая туча внезапно разрядится с соседними облаками или с землей, бывшие до этого в связанном состоянии положительные заряды на проводах уже не удерживаются зарядами тучи. Поэтому от места накопления зарядов в ту и другую сторону пойдут волны. В начальный момент (t = О), когда заряды неподвижны, ток в линии равен нулю:

и, следовательно,

Накопленные заряды в линии после их освобождения (r = О) от удерживающих сил (от влияния грозовой тучи) распадаются на две одинаковые волны с половинными значениями напряжений. Волны начинают перемещаться в противоположные стороны (рис. 21.29) со скоростью с. Пока волны не разойдутся, напряжения в соответствующих точках складываются и токи вычитаются. В дальнейшем эти половинные волны перемещаются независимо друг от друга к концам линии.

Многократное отражение блуждающих волн происходит аналогично рассмотренным выше многократным отражением прямоугольных волн. Если, например, линия с обоих концов разомкнута и отражение у концов линии происходит полностью и без перемены знака, то после отражения волны движутся навстречу друг другу, накладываясь друг на друга при встрече, как показано на рис. 21.29.

Нелинейные цепи. Общая характеристика нелинейных цепей и методов их расчета

В предыдущих главах рассматривались только линейные элементы электрических цепей, для которых зависимости между напряжениями, токами, зарядами и магнитными потоками (или потокосцеплениями) выражаются линейными функциями

и параметры резистивных, индуктивных и емкостных элементов R, L и С постоянные или изменяются во времени по заданному закону.

Нелинейные цепи содержат элементы, которые не могут быть описаны при помощи постоянных коэффициентов, а характеристики являются нелинейными функциями одной или нескольких переменных. В этом случае зависимости (22.1) - это нелинейные вольт-амперные , вебер-амперные и кулон-вольтные q (и) характеристики, причем они часто бь1вают справедливы только при постоянных (не зависящих от времени) токах и напряжениях. В более общих случаях характеристики зависят от скорости изменения переменных, т. е. выражаются функциями двух (или большего числа) переменных, например

Так, например, вольт-амперная характеристика германиевого диода для напряжения прямой полярности оказывается разной при постоянном или медленно изменяющемся токе и при ero быстрых изменениях. На рис. 22.1 показаны статическая для германиевого диода при постоянном токе и динамическая характеристики при импульсе тока i продолжительностью 1 мкс. Из графика видно, •по эти характеристики очень сильно различаются. Статические характеристики применимы только при импульсах с пологим фронтом продолжительностью ,не менее нескольких миллисекунд.

Резко различаются статические и динамические характеристики ламп накаливания, терморезисторов и других нелинейных резисторов, в которых изменение свойств обусловлено изменением температуры. На рис. 22.2 показаны характеристики терморезистора, снятые

при медленном изменении тока , при настолько быстром изменении тока (прямая) i (и), что температура терморезистора сохраняется, и при наложении на постоянный ток переменного (кривые вблизи рабочей точки А) при высокой частоте тока (сплошная линия) и при низкой частоте переменного тока малой амплитуды (штриховая линия).

Существенно отличаются одна от другой характеристики магнитопроводов, снятые при разных частотах. Даже для феррита, структура которого обеспечивает отсутствие влияния вихревых токов, с изменением частоты тока изменяется зависимость между индукцией В и напряженностью Н или между потоком Ф и током i. На рис. 22.3 показаны половины петли гистерезиса, полученные для феррита при переменном синусоидальном точке различных частот. Для диапазона частот О- 250 Гц характеристики практически совпадают, однако дальнейшее повышение частоты приводит к большему отставанию индукции от внешнего магнитного поля, и петля гистерезиса расширяется.

Все перечисленные особенности характеристик нелинейных элементов при переменных токах крайне затрудняют расчет и исследование нелинейных цепей. При расчете нелинейных цепей переменного тока необходимо учитывать зависимость характеристика нелинейного элемента от динамики процесса и вводить динамические параметры (сопротивления, индуктивности, емкости). Только при относительно низких частотах можно пользоваться статическими характеристиками и соответственно дифференциальными параметрами и, основываясь на них, производить расчет цепей переменного тока.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением относительно малых скоростей изменения напряжений и токов, при которых характеристики, полученные для постоянных токов, совпадают с характеристиками для мгновенных значений

При рассмотрении нелинейных электрических и магнитных цепей существенно различаются методы подхода и характер решаемых задач. Нелинейные элементы электрических цепей обычно представляют собой известные резистивные или емкостные устройства, характеристики и (i) или q (и) которых заданы на основании экспериментально полученных зависимостей. Так, например, для нелинейных резистивных двухполюсников, таких как полупроводниковый, вакуумный или ионный диод, бареттер, лампа накаливания, могут быть заданы экспериментальные характеристики, снятые при постоянном токе - статические (табл. 22.1). При этом для одних элементов, например полупроводниковых и электронных диодов, эти характеристики справедливы и при достаточно высоких скоростях изменения токов, т. е. статические характеристики совпадают с динамическими. Такие элементы (пj)И заданных ограничениях на скорость изменения тока) будем называть без ын ер ц ионным и.

Для других нелинейных элементов, например лампы накаливания, бареттера и др., нелинейность характеристик которых обусловлена тепловым действием и изменением сопротивления при нагреве, приведенные характеристики справедливы только при постоянном токе или для действующих значений переменных токов. Такие элементы (при заданных ограничениях на частоту переменного периодического тока) будем называть инерционными.

Нелинейные элементы магнитных цепей далеко не всегда имеют заранее заданные вебер-амперные характеристики. Обычно они синтезируются и рассчитываются на основе известных характеристик стали или других материалов, из которых выполнены магнитопроводы рассматриваемых магнитных цепей. Расчет магнитных цепей обычно основывается на известных зависимостях между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля В (Н) - в общем случае векторными величинами. Но в большинстве задач, решаемых в теории магнитных цепей, можно не учитывать анизотропию свойств стали и, переходя от векторных понятий теории поля к скалярным понятиям теории цепей, считать, что вектор, выражающий элемент пути интегрирования dl в определении магнитного напряжения совпадает а с положительным направлением вектора Н, а вектор, выражающий элемент поверхности dS в определении магнитного потока совпадает с положи- s тельным направлением вектора В.

Таким образом, расчет нелинейной электрической цепи является чистой задачей теории цепей, в то время как расчет магнитной цепи обычно включает понятия теории поля. Элемент магнитной цепи задается его вебер-амперной характеристикой, которая может быть рассчитана на основании свойств стали магнитопровода. Эта характеристика в зависимости от необходимости учитывать гистерезис может быть как однозначной, так и неоднозначной, и при числе п обмоток магнитопровода магнитный поток представляет собой функцию n токов

где - ток и число витков обмотки с номером k. При этом если ток с магнитным потоком Ф составляет правовинтовую систему, то он записывается со знаком плюс, а если левовинтовую - то со знаком минус. При постоянном токе не имеет принципиального значения, является ли характеристика нелинейного элемента симметричной или несимметричной. В цепях переменного тока зависимость характеристики от полярности приложенногd напряжения или направления тока очень существенна, так как только при несимметрии характеристики можно получить постоянную составляющую и четные гармоники тока при синусоидальном напряжении источника.

Симметричными характеристиками обладают терморезисторы, например бареттер (табл. 22.1), некоторые типы газоразрядных приборов, катушки со стальными магнитопроводами при отсутствии постоянного или остаточного подмагничивания; конденсаторы с сегнетодиэлектриками и др. Для нелинейных элементов с симметричными характеристиками справедливы следующие равенства: для резистивных и (i) = - и ( - i), для индуктивных ф (i) = = - Ф ( - i) и для емкостных q (и) = = -q(-u).

Несимметричными характеристиками обладают электронные лампы, полупроводниковые диоды и транзисторы, многие типы газоразрядных приборов и ряд других нелинейных резисторов. Для резисторов с несимметричными характеристиками причем это неравенство весьма существенно. Несимметричная характеристика может быть получена и искусственно - путем введения в цепь, содержащую элемент с симметричной характеристикой, дополнительного источника постоянной ЭДС.

Нелинейные двухполюсники и четырехполюсники

Все рассмотренные выше нелинейные элементы могут быть представлены в виде резистивных , индуктивных Ф (i) и емкостных q (и) двухполюсников. Характеристики приведены в табл. 22.1.

Каждый нелинейный резистивный двухполюсник или элемент (НЭ) обозначается на схеме так, как показано на рис. 22.4. Он характеризуется предельно допустимой рассеиваемой мощностью , которая зависит от условий его охлаждения. Установкой специальных теплоотводящих устройств предельно допустимая мощность может быть увеличена. Нелинейный резистивный двухполюсник характеризуется сопротивлениями, зависящими от напряжения или тока:

статическим

и дифференциальным

В зависимости от участка характеристики, на котором работает нелинейный резистор, применяются различные схемы замещения резистора, справедливые только для данного участка характеристики. Вблизи рабочей точки характеристики (точка А на рис. 22.5, а) с координатами нелинейную зависимость можно разложить в ряд Тейлора:

Если рабочая точка находится на линейном участке, как на рис. 22.5, а, то можно ограничиться только первыми двумя членами ряда и вблизи рабочей точки характеристики описать уравнением

и

Нелинейный резистивный элемент имеет для этого линейного участка характеристики в качестве схемы замещения линейный активный двухполюсник (рис. 22.5, 6) с входным сопротивлением и источником ЭДС В отличие от линейных резистивных четырехполюсников у нелинейных четырехполюсников параметры не могут быть заданы тремя или четырьмя постоянными величинами, а задаются двумя семействами экспериментальных характеристик.

Для нелинейных резистивных четырехполюсников наибольшее распространение получило задание параметров семействами входных и выходных характеристик, снимаемых при различных значениях тока или напряжения на второй паре выводов четырехполюсника. В отличие от проходных линейных четырехполюсников, у которых к первичным выводам подключается источник, а к вторичным - приемник, у нелинейных четырехполюсников большей частью как к первичным, так и к вторичным выводам подключаются источники и выбираются указанные на рис. 22.6 положительные направления токов и напряжений Один из первичных и вторичных выводов четырехполюсника (например, 1' и 2') обычно является общим, и по существу четырехполюсник является трехполюсником, что показьmает штриховая линия на рис. 22.6).

Входные характеристики выражаются семейством функции при различных значениях , а выходные - семейством при различных значениях В табл. 22.2 приведены семейства таких характеристик для различных нелинейных четырехполюсников. Наибольшее значение имеют выходные характеристики. Входные характеристики часто мало зависят от напряжения или тока на выходе, а иноrда сливаются с одной из осей координат, так как токи или напряжения на входе весьма малы. К нелинейным четырехполюсникам условно можно отнести фотодиоды и фототранзисторы, ток которых зависит от управляющего светового потока Ф. Электронная лампа, транзистор и тиристор по существу являются трехполюсниками.

Однако один из этих полюсов можно считать общим и относительно этоrо полюса определять напряжения двух друrих полюсов, т. е. нелинейный элемент рассматривать как четырехполюсник. В табл. 22.2 в качестве общего полюса приняты: катод для электронной лампы и тиристора, эмиттер для биполярного транзистора и исток для полевого транзистора.

Все приведенные в табл. 22.2 нелинейные четырехполюсники пассивные, так как они не обладают источниками электроэнергии и напряжение на входе и выходе равно нулю, если к этим выводам не подсоединены источники.

Режим нелинейного четырехполюсника при равенстве нулю токов на входе и выходе называется режимом двойного холостого хода. Для фотодиодов и фототранзисторов таким режимом является равенство нулю светового потока Ф, освещающего элемент, и тока на выводах. Обычно нелинейные четырехполюсники рассматриваются совместно с источниками питания постоянного напряжения, включаемыми в первичную и вторичную цепи, и в этом случае их называют неавтономными активными элементами цепи. Характеристики - безынерционные (не зависящие от частоты в допустимом диапазоне частот).

Каждый из нелинейных четырехполюсников характеризуется предельным значением напряжения И доп, ·которое допустимо подводить из условия пробоя изоляции, и предельными по условиям нагрева значениями тока доп и мощности потерь Р доп в элементе.

Рабочая область выходной характеристики четырехполюсника оrраничивается значениями (рис. 22. 7). Нелинейные двухполюсники и четырехполюсники часто включаются в цепь с источниками как постоянного, так и переменного . напряжения. При этом амплитуды переменных токов и напряжений бывают достаточно малы, поэтому можно линеаризовать нелинейную характеристику так, как это сделано для двухполюсников на рис. 22.5.

Таким образом, при малых отклонениях от рабочей точки для переменных составляющих токов, напряжений, магнитных потоков и зарядов в нелинейных цепях могут быть построены эквивалентные линейные схемы, дающие ВОЗМОЖНОСТЬ для некоторой области переменных составляющих приближенно провести расчет цепи.

Анализ нелинейной цепи в этом случае распадается на три этапа: J.) определение рабочих точек на характеристиках нелинейных элементов; 2) определение дифференциальных параметров нелинейных элементов и составление эквивалентной линейной схемы замещения; 3) определение переменных составляющих режима, которое производится методами теории линейных цепей.

Определение рабочих точек на характеристиках нелинейных двухполюсников и четырехполюсников

Если для нелинейного двухполюсника нелинейная характеристика задается функцией одного переменного i (и), то характеристика нелинейного четырехполюсника, как указывалось, описывается двумя функциями двух переменных.

Одна из этих переменных обычно является аргументом, а вторая - параметром, и функция задается семейством кривых, полученных для различных постоянных значений параметра.

При описании нелинейного четырехполюсника эти две функции и их аргументы и параметры могут быть выбраны различно. Так, для нелинейного четырехполюсника, показанного на рис.' 22.8, его характеристики можно задать уравнениями для входа и , для выхода и , для напряжений и , для токов . Здесь в скобках первая величина является аргументом, а вторая - параметром. Выбор той или иной пары уравнений и аргументов и параметров обусловлен удобством решения поставленных конкретных задач. Теория нелинейных четырехполюсников получила наиболее широкое развитие в' связи с применением транзисторов. В качестве характеристик такого четырехполюсника обычно применяются зависимости напряжений от токов для входа и выхода, причем в качестве параметра для характеристик входа принимается напряжение на выходе , а для характеристик выхода - ток на входе . Такие характеристики

называются смешанными. При помощи этих характеристик могут быть легко найдены рабочие точки на нелинейных характеристиках в любых схемах включения четырехполюсников и определены параметры их линейных схем замещения вблизи рабочей точки.

Рассмотрим наиболее общий случай включения нелинейного резистивного четырехполюсника (рис. 22.8), когда его первичная и вторичная цепи подключены к активным нелинейным двухполюсникам с нелинейными характеристиками При этом входная и выходная характеристики четырехполюсника заданы семействами характеристик при значениях параметров для входа для выхода.

Входную и выходную характеристики построим в третьем и первом квадрантах, как показано на рис. 22.9. Четырехполюсник, к вторичным выводам которого подключен двухполюсник , можно со стороны первичных выводов рассматривать как некоторый двухполюсник, характеристику которого получим простым построением.

Для этой цели, начертив в первом квадранте внешнюю характеристику 1 активного двухполюсника представляющую собой нагрузочную характеристику на вторичных выводах четырехполюсника, найдем точки пересечения 1, 2, 3 этой характеристики с соответствующими выходными характеристиками 'четырехполюсника при По этим точкам на оси находим токи • По найденным токам во втором квадранте построим вспомогательную характеристику (кривая II).

По значениям параметра на характеристиках 1 и 11 найдем соответствующие значения и для них на входных характеристиках - точки а, b и с. Соединив эти точки, получим входную характеристику 111 четырехполюсника, к вторичным выводам которого подключен двухполюсник -

Таким образом, четырехполюсник с подсоединенным к вторичным выводам двухполюсником эквивалентен двухполюснику с характеристикой III. Рабочую точку А определим как точку пересечения внешней характеристики (кривая IV) двухполюсника, подсоединенного к первичным выводам четырехполюсника, с входной характеристикой III.

Зная рабочую точку, можно определить дифференциальные параметры линеаризованного четырехполюсника в этой точке, составить эквивалентную схему замещения для переменной составляющей и решать линейную задачу для малых отклонений от рабочей точки. При этом на характеристиках рис. 22.9 процесс изображается некоторой замкнутой кривой или участком прямой, расположенной вблизи точки А, подобно тому как это показано на рис. 22.2. Изменяя параметры двухполюсников, подключенных к нелинейному четырехполюснику, можно изменять положение рабочей точки А на характеристике четырехполюсника и таким образом управлять параметрами эквивалентной линейной цепи, преобразующей переменный сигнал, как, например,

в различного рода электронных усилителях переменного тока. При построении цепи с нелинейными четырехполюсниками обычно исходят из желаемой рабочей точки на характеристике и соответствующим выбором сопротивлений резисторов и постоянных ЭДС источников питания обеспечивают требуемый режим.

Пусть, например, для нелинейного четырехполюсника известны семейства входных характеристик при заданных и2 и выходных при заданных (рис. 22.10, а). Если к выводам четырехполюсника подключены источники (рис. 22.10, б) с ЭДС и сопротивлениями , то для входной и выходной цепей уравнения Кирхгофа имеют вид На рис. 22.10, а эти уравнения выражаются прямыми, проходящими через рабочую точку А на входной и выходной характеристиках. При анализе цепи, задаваясь ЭДС и сопротивлениями , по точкам пересечения прямых с характеристиками определяют рабочую точку А. При синтезе, наоборот, выбрав рабочую точку А на входной и выходной характеристиках и подставив значения для рабочей точки А, по формулам (22.10) опредешцот необходимые значения и (считая, что ЭДС известны).

Схема замещения нелинейного четырехполюсника для переменной составляющей тока и ее параметры

Из табл. 22.2 видно, что для всех нелинейных четырехполюсников и управляемых двухполюсников задаются семейства входных и выходных характеристик. Входные характеристики приводятся только для электронных ламп и биполярных транзисторов, а для остальных элементов они не имеют существенного значения в силу малых значений токов или напряжений на входе. То же относится и к электронным лампам в режиме отрицательного сеточного напряжения.

Для четырехполюсника (например, биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером) характеристики описываются функциями двух переменных

где индексом «об» обозначены общие токи и напряжения, состоящие из постоянных и переменных составляющих (рис. 22.11, а и 6):

В рабочей точке А эти функции можно разложить в ряд Тейлора и, принебрегая более высокими членами ряда, записать

Переходя к рассмотрению только переменных составляющих и обозначая их вместо соответственно , получаем

Здесь параметры четырехполюсника

должны быть определены для заданной рабочей точки А.

Параметр имеет размерность сопротивления и представляет собой ·входное сопротивление биполярного транзистора . Безразмерный коэффициент выражает обратную связь по напряжению. У биполярных транзисторов он пренебрежимо мал, и в практических расчетах принимается Безразмерный коэффициент выражает передачу по току, а параметр имеет размерность проводимости и выражает выходную проводимость транзистора при постоянном токе базы.

Для биполярных транзисторов значения параметров обычно лежат в следующих пределах:

Для переменных составляющих токов и напряжений уравнению (22.14) соответствует схема замещения с управляемым источником (ИНУН), показанная на рис. 22.12. Здесь

Аналогичная схема замещения может быть применена для электронных ламп и полевых транзисторов, для параметров которых приняты несколько иные обозначения.

Для электронных ламп

и соответственно при

Для полевых транзисторов

и соответственно аналогично электронным лампам

Все рассмотренные в табл. 22.2 элементы характеризуются направленным действием от входа к выходу, т. е. относятся к невзаимным четырехполюсникам

Явления в нелинейных цепях постоянного и переменного токов

В некоторых случаях нелинейность не приводит к существенно новым явлениям, отсутствующим в линейных цепях, но усложняет расчет цепи. Однако в большинстве электротехнических устройств с нелинейными элементами не только возникают явления, принципиально неосуществимые в линейных цепях, но на нелинейности цепи основывается принцип действия устройства.

Такие явления, как вьmрямление и стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, усиление мощности, преобразование различных сигналов, получение. модулированных колебаний различной формы, скачкообразное изменение •тока при плавном изменении напряжения питания (релейный эффект), запоминание сигнала, основаны на принципиально нелинейных эффектах.

В нелинейных цепях, питаемых только от источников с синусоидальными ЭДС или токами одной частоты, возникают токи различных частот. Из спектра частот тока можно выделить постоянную составляющую и использовать ее в качестве источника постоянного тока. На этом принципе основано устройство выпрямителей. Из спектра частот тока могут быть выделены те или иные высшие гармоники и использованы в качестве источников более высоких частот. Это является основой построения умножителей частоты. Нелинейность характеристики цепи может обеспечить неизменность постоянного напряжения или амплитуды основной гармоники на одном из участков цепи при значительных изменениях напряжения источника, т. е. дает возможность получить стабилизаторы напряжения.

Еще большие возможности открываются применением нелинейных элементов в цепях, питаемых от источников различных частот. Применение источников постоянного тока наряду с источниками переменного синусоидального тока дает возможность управлять переменным током, воздействовать на его значение. В нелинейных цепях можно получить переменный ток значительной мощности за счет энергии источников постоянного тока и, наоборот, получить мощный сигнал ПОСТОЯННОГО тока за счет энергии переменного тока. Это является основой построения различных усилителей сигналов.

Включение нескольких источников синусоидальных напряжений различных частот в нелинейную цепь приводит к появлению кроме гармонических составляющих токов каждой из этих частот еще ряда боковых частот - к получению модулированных колебаний.

В цепях с нелинейными элементами получают самые различные переходные процессы, которые применяются для: формирования различных импульсов в устройствах автоматики и радиотехники.

Особое значение для практики имеют гистерезисные характеристики нелинейных элементов, которые дают возможность запоминать сигналы. Применение быстродействующих элементов, обладающих этими свойствами, явилось основой цифровой вычислительной техники. В нелинейных цепях, питаемых только от источников постоянного напряжения, возможно возникновение периодических автоколебательных режимов с токами, по форме более или менее близкими к синусоидальным. Подобные режимы наблюдаются и в цепях, питаемых от источников переменного напряжения. В этих случаях амплитуда тока может изменяться с некоторой частотой автоколебаний. Все перечисленные явления получили широкое применение в самых различных технических устройствах современной электротехники, и их анализ очень важен, хотя и сопряжен с математическими трудностями.

Методы расчета нелинейных цепей

В теории линейных электрических цепей с постоянными параметрами весь анализ сводится к решению системы линейных дифференциальных или алгебраических уравнений. Математический аппарат для решения подобных уравнений был полностью разработан еще в начале прошлого века. Задача теории в последнее время сводилась к тому, чтобы· найти наиболее экономичный и наглядный метод инженерного расчета, анализа или синтеза цепи, в том числе и численных методов. При этом для решения широко применяются принципы наложения и взаимности.

Значительно сложнее обстоит дело с расчетом нелинейных электрических цепей. Сама теория нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в нелинейных электрических цепях, разработана значительно меньше. Для нелинейных уравнений каждого типа существуют свои методы подхода и решения, причем многие нелинейные уравнения не имеют аналитических решений, требуют построения специальных функций или применения численных методов. Особенно усложняется расчет нелинейных цепей тем, что в большинстве задач характеристики нелинейного элемента заданы графически и отсутствует достаточно простое и точное математическое описание этих характеристик. Однако инженерная практика требует получения хотя бы грубо ориентировочных расчетных соотношений, которые дают количественную оценку процессов, происходящих в нелинейных цепях. Именно поэтому в отличие от теории линейных цепей, где может быть получено решение задачи с любой точностью, основой теории нелинейных цепей является получение приближенных решений, дающих в основном качественную оценку процессов.

Развитие теории нелинейных электрических цепей относится в основном к нынешнему веку. В этой области ведущее значение имеют работы русских и советских ученых А. М. Ляпунова, Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и многих других. Из зарубежных работ большое значение для развития нелинейной электротехники имели исследования Пуанкаре, Вандер-Поля, Рюденберrа и др.

Можно назвать следующие методы приближенного расчета установившихся и переходных процессов в нелинейных цепях, получившие преимущественное распространение в практике инженерных расчетов.

1. Методы малого параметра и условной линеаризации. Одним из методов расчета нелинейной цепи является такое ее упрощение, основанное на пренебрежении относительно малыми величинами, чтобы можно было применять методы расчета линейных цепей, но при решении «квазилинейной» задачи вводить некоторые коррективы, обусловленные нелинейностью. Например, при анализе нелинейных цепей переменного тока, в которых значение высших гармоник относительно невелико, несинусоидальные токи заменяют эквивалеметными синусоидальными и применяют комплексный метод расчета, но с учетом нелинейной зависимости между действующими значениями и фазами эквивалентных синусоид тока и напряжения. Разновидностью метода малого параметра является метод гармонического баланса. При расчете цепи этим методом рассматривают амплитуды основных гармонических составляющих токов и напряжений в нелинейной электрической цепи и пренебрегают действием всех высших гармоник. При этом иногда полагают, что амплитуды гармонических составляющих медленно изменяются, но нет необходимости учитывать спектр гармоник, связанных с изменением амплитуды. Такое упрощение задачи по существу является заменой нелинейной зависимости линейной, справедливой только для определенного значения амплитуд тока или напряжения. Поэтому метод условной линеаризации иногда называется методом гармонической линеаризации. Он был применен в работах Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси, затем в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова и получил дальнейшее развитие в работах Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова и других применительно к задачам теории автоматического регулирования.

При расчете переходных процессов метод условной линеаризации основывается на приближенной замене нелинейной функции линейной и применении решений линейного уравнения с последующим уточнением результата введением поправок. Этот метод дает очень приближенное решение задачи, однако он наиболее прост и поэтому применяется для ориентировочного расчета процессов, анализ которых более точными методами представляет значительные трудности.

2. Метод аналитической апроксимации нелинейной характеристики. Сущность метода заключается в приближенном выражении нелинейной характеристики некоторой аналитической функцией такого вида, чтобы достаточно просто решалось нелинейное дифференциальное уравнение цепи. У спешное применение метода зависит от того, насколько точно удалось подобрать аналчтическое выражение для нелинейной характеристики и насколько просто решается полученное дифференциальное уравнение. При решении дифференциального уравнения иногда пренебрегают некоторыми членами ввиду их относительной малости, рассматривая их как своего рода малый параметр. Этот метод при расчете нелинейных цепей переменного тока применяется в сочетании с методом гармонической линеаризации и дает возможность аналитически найти первую гармонику тока или напряжения в нелинейной цепи.

3. Метод кусочно-линейной апроксимации характеристики и припасовывания линейных решений. Сущность метода заключается в замене нелинейной характеристики некоторой ломаной линией и решении задачи методами линейной электротехники. Решения, полученные для каждого из участков ломаной, «припасовываются» одно к другому соответствующим выбором постоянных интегрирования. Метод получил широкое применение для решения самых различных задач.

4. Итерационный метод. Применяя этот метод, сначала находят приближенное решение или задаются им, а затем его уточняют путем многократной подстановки каждого решения в исходное уравнение цепи. Итерационные методы применяются и для численного решения задачи при помощи ЭВМ.

5. Графический метод. Сущность метода заключается в сведении дифференциальных уравнений цепи к системе нелинейных уравнений и получении решения графическими построениями. Этим методом просто и точно рассчитывают переходные процессы в цепях с постоянными ЭДС, описываемых дифференциальными уравнениями первого, а в несколько измененном виде - второго порядка. Для установившихся режимов в цепях с переменными ЭДС этот метод применяется в . сочетании с методом малого параметра и условной линеаризации. Применительно к расчету переходных процессов графические методы качественного анализа процессов получили развитие в работах А. А. Андронова, С. Э. Хайкина и А. А. Витта и известны под названием метода фазового пространства.

6. Метод последовательных интервалов. Сущность метода заключается в замене дифференциального уравнения алгебраическим, содержащим приращения исследуемых величин за соответствующие интервалы времени. Решение задачи получается в результате множества элементарных расчетов, выполняемых обычно при помощи ЭВМ. С применением этого метода может быть проведено численное решение тех же задач, что и графическим методом. Метод последовательных интервалов менее нагляден, чем графический, однако он хорошо сочетается с применением цифровых вычислительных машин, что делает этот метод наиболее распространенным.

Из перечисленных методов графический метод нагляден и часто дает удовлетворительную точность решения задачи. Аналитический метод обычно менее нагляден, иногда громоздок, однако при помощи аналитического расчета удается получить общие расчетные зависимости. Численные итерационные методы и метод последовательных интервалов при малой наглядности позволяют получить наиболее точный результат.

В практических задачах поэтому невозможно меняют то или иное сочетание различных методов расчета. При решении задач надо иметь в виду приближенный характер задания нелинейных зависимостей, которые могут существенно изменяться с течением времени, а особенно при замене деталей устройства. Поэтому простота и наглядность решения часто более желательны, чем точность математического описания нелинейного элемента и полнота исходных уравнений.

Все перечисленные методы приобретают особое значение в связи с применением ЭВМ. Применение ЭБМ для решения конкретных задач при заданных параметрах и характеристиках электрических цепей дает возможность рассчитывать режим в сложных линейных и нелинейных цепях практически с любой требуемой точностью. При этом методы решения линейных и нелинейных задач различаются значительно меньше, чем при аналитических расчетах.

В связи с этим при рассмотрении явлений в нелинейных электрических цепях далее предпочтение отдается простоте и наглядности метода расчета и возможности суждения о явлении без erd точного количественного анализа, который в случае необходимости всегда может быть произведен при помощи ЭВМ.

О применимости методов расчета и принципов линейной электротехники к нелинейным цепям

Все методы, основанные на законах Кирхгофа в Форме , применимы к расчету нелинейных цепей, постоянного тока. Они применимы и для мгновенных значений переменных i и и.

Все методы и принципы, основанные для резистивных элементов на пропорциональности напряжения току (закон Ома), неприменимы к нелинейным цепям. Вместо закона Ома необходимо пользоваться нелинейной зависимостью), поэтому невозможно использовать принцип наложения и вытекающий из него принцип эквивалентного генератора в формулировке.

Для нелинейной цепи принцип эквивалентного нелинейного генератора можно формулировать следующим образом: любая резистивная нелинейная активная цепь, рассматриваемая относительно двух выводов, эквивалентна нелинейному активному двухполюснику, который состоит из источника ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании присоединенного к ним внешнего участка цепи (режим холостого хода), и последовательно с источником включенного пассивного нелинейного двухполюсника.

Характеристика этого пассивного нелинейного двухполюсника зависит и· от источников ЭДС и токов рассматриваемого активного двухполюсника.

В справедливости принципа легко убедиться, если расчетным путем или экспериментально определить характеристику рассматриваемого нелинейного активного двухполюсника. Точка пересечения характеристики с осью напряжения (при токе, равном нулю) дает значение ЭДС эквивалентного источника а перенесение начала координат в эту точку дает характеристику , пассивного нелинейного двухполюсника, включенного последовательно с экnи- . валентным источником ЭДС.

Полностью применим при расчете нелинейных цепей принцип компенсации, являющийся следствием выполнения уравнений Кирхгофа. Неприменим для нелинейных цепей принцип взаимности. Даже в случае линеаризации нелинейных характеристик, при которой для малых сигналов возможно применять принцип наложения, нельзя применять принцип взаимности.

Электрическая цепь, содержащая нелинейные и линейные элементы, должна быть разделена на линейную и нелинейную части, для каждой из которых применимы свои методы и принципы расчета.

Для цепей, содержащих безынерционные нелинейные элементы, неприменим комплексный метод описания и расчета цепей переменного тока.

Для цепей, содержащих инерционные нелинейные элементы, в которых мгновенные значения токов и напряжений связаны линейной зависимостью с коэффициентом пропорциональности, зависящим от действующих значений токов или напряжений, комплексный метод применим с учетом зависимости комплексных величин от действующих значений токов или напряжений.

Аналитическое описание нелинейных характеристик

Характеристики нелинейных элементов обычно задаются (в результате проведения экспериментов) в виде таблиц значений аргумента и функции или в виде графиков, которыми часто иллюстрируются таблицы экспериментальных значений.

Для анализа нелинейных цепей часто необходимо иметь аналитическое описание нелинейных характеристик в виде одной или нескольких функций, определяемых для каждого из участков характеристики.

Если из физических соображений можно предложить аналитическую форму описания нелинейной функции, то входящие в эту функцию постоянные могут быть найдены по правилам аппроксимации при помощи известных математических программ, обычно основывающихся на минимизации модуля или среднеквадратичного расхождения между аналитической функцией и экспериментальными данными. Стандартные программы для решения таких задач имеются в программном обеспечении ЭВМ.

Далеко не всегда при помощи одной аналитической функции с достаточной точностью удается описать всю заданную характеристику. Более точным и универсальным методом аналитического описания нелинейной характеристики является кусочно-аналитическое описание функции на отдельных участках.

Будем считать, что характеристика задана рядом точек

Наиболее грубо аппроксимация нелинейной характеристики может быть выполнена при помощи кусочно-постоянных или кусочно-линейных функций.

В первом случае на участке эта функция постоянна, например

и полученная характеристика представляет собой ступенчатую функцию.

Во втором случае на этом участке

и полученная характеристика имеет вид ломаной линии с точками излома в заданных точках характеристики (как, например, далее, на рис. 27.4).

Более точным описанием экспериментальной зависимости является ее задание в виде совокупности отрезков квадратичных или кубических парабол, коэффициенты которых определяются из условия отсутствия разрыва производных в точ:ках сопряжения. Метод аппроксимации экспериментальных зависимостей квадратичными полиномами называют параболическими сплайнами, а кубическими полиномами - кубическими сплайнами (от английского слова spline, что значит обшивать гибкой рейкой углы в строительных конструкциях).

Для параболического сплайна аппроксимация на участке от выражается функцией

где коэффициенты определяются из условия непрерывности функции и ее производной в точках сопряжения:

и

Таким образом, при п заданных точках имеется 2 (n - 1) уравнений в точках сопряжения и требуется еще два дополнительных условия для однозначного определения 2n коэффициентов парабол (22.19). Обычно эти два условия задаются в виде значений первой и второй производных функции у (х) или их линейной комбинации на одном или обоих концах интервала описания функции. Поэтому они называются краевыми условиями.

При аппроксимации кубическими сплайнами узлы аппроксимации и узлы сопряжения совпадают. Поэтому для нахождения коэффициентов кубических полиномов используют условия: прохождение сплайна через узлы

равенство в узлах nервых производных

равенство в узлах вторых производных

Как и в случае параболического сплайна, для однозначного определения коэффициентов необходимо задать еще два краевых условия.

Кубические сплайны выражают через значения вторых производных в узлах

где , или через значения первых производных , т. е. наклоны нелинейных характеристик

Для определения коэффициентов или требуется решить систему n - 1 линейных уравнений

Для решения системы уравнений (22.26) дополнительно должны быть ;заданы краевые условия по первым производным или по вторым производным ;. В последнем случае система (22.26) дополняется уравнениями

Так как объем вычислений для параболических и кубических сплайнов примерно одинаков, но последние облад.ают более высокой точностью и более широкими возможностями, на практике преимущественное распространение получили кубические сплайны. Можно избежать необходимости решения системы (22.26), если одновременно со значениями функции в узлах аппроксимации задавать значение первой или второй производных или вычислять эти коэффициенты по отношению

Достоинствами сплайн-аппроксимации являются высокая гибкость и точность описания при достаточно редком расположении точек.

Таким образом, в случае применения ЭВМ нетрудно получить аналитически с необходимой точностью значение переменной у при заданном х или обратной функции х ( v), так как строки х и у равноправны.

Если известны n линейных уравнений для линейной части цепи и n нелинейных характеристик в виде аппроксимирующих функций, то решение задачи анализа или синтеза нелинейной электрической цепи может быть произведено при помощи ЭВМ по одной из стандартных программ решения системы алгебраических уравнений. В программах широко применяется метод итераций, рассмотренный в следующих главах.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

При постоянных токах в качестве нелинейных могут рассматриваться только цепи с резистивными элементами. Участок с нелинейным индуктивным элементом для постоянного тока должен рассматриваться как место замыкания цепи накоротко (R = О), а с емкостным элементом - как разрыв цепи.

Электрические цeпи с нелинейными двухполюсниками и методы их анализа и синтеза

Если характеристика нелинейного двухполюсника пересекает ось тока или напряжения в точке, не совпадающей с началом координат, то двухполюсник является активным. Для него всегда может быть составлена схема замещения в виде нелинейного пассивного двухполюсника, характеристика которого проходит через начало координат, и последовательно с ним включенного идеального источника напряжения или параллельно с ним включенного идеального источника тока. Параметры первой схемы определяются по точке пересечения характеристики с осью абсцисс (рис. 23.1, а и 6), а второй - с осью ординат (рис. 23.1, в и г). В первом случае нелинейный активный двухполюсник с характеристикой эквивалентен последовательному соединению источника ЭДС и пассивного нелинейного двухполюсника с характеристикой. При этом . Во втором случае он эквивалентен параллельному соединению источника тока и пассивного нелинейного двухполюсника с характеристикой

Таким образом, любая электрическая цепь, содержащая п нелинейных двухполюсников, может быть представлена в виде активного многополюсника с числом пар полюсов п и подключенных к его выводам n нелинейных двухполюсников. Для n = 3 схема изображена на рис. 23.2. Типичные примеры пассивных нелинейных резистивных двухполюсников представлены в табл. 22.1.

При анализе и синтезе цепей с нелинейными двухполюсниками применяются различные методы. Выбор анализа цепи существенно зависит от формы задания нелинейной характеристики. Если она задана в аналитической форме, то решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений, состоящих из п нелинейных уравнений вида , и п линейных уравнений вида

или

При n = 1 простое решение может быть получено аналитически или графически. При n > 1 решение более сложно и выполняется обычно при помощи эвм.

Если нелинейные характеристики заданы в виде таблицы экспериментальных данных, то решение требует графических построений или итерационных интерполяционных процедур, выполняемых для n > 1 при помощи ЭВМ.

Синтез электрических цепей с нелинейными двухполюсниками обыxно проще, чем анализ. В этом случае задаются рабочие точки А на всех п нелинейных характеристиках и для решения задачи требуется решить линейную задачу синтеза, в которой все нелинейные резистивные элементы заменяются линейными резистивными двухполюсниками с сопротивлениями, где с индексом А обозначены величины, относящиеся к рабочим точкам.

Если рабочие точки не фиксированы, а заданы только области, прилегающие к рабочим точкам, то н этих случаях применяется линеаризация нелинейных характеристик на определенных их участках. В этом случае как анализ, так и синтез выполняется средствами теории линейных цепей и все нелинейные элементы заменяются линейными активными двухполюсниками. После решения задачи обязательно требуется проверить принадлежность полученных решений принятым линейным участкам нелинейных характеристик. В случае нарушения этого условия требуется корректировка линейных схем замещения нелинейных резистивных элементов и повторное решение задачи.

Если в цепи имеются участки с последовательным или параллельным соединением различных нелинейных резистивных двухполюсников, то эти участки можно заменить эквивалентными нелинейными двухполюсниками с характеристиками, получающимися путем суммирования напряжений или токов исходных нелинейных двухполюсников. Таким образом, количество не линейных элементов цепи может быть существенно уменьшено

Пример №106

На: рис. 23.3, а изображена схема последовательного соединения двух нелинейных резисторов с характеристиками , представленными на рис. 23.3, б. Построить характеристику нелинейного двухполюсника, эквивалентного последовательному соединению.

Решение:

Так как по второму закону Кирхгофа , то, построив для выбранных значений соответствующие значения U, получим (рис. 23.3, б) требуемую характеристику .

Пример №107

Для схемы рис. 23.3, а при заданных (рис. 23.3, б) характеристиках и значении ЭДС Е найти ток и напряжения

Решение:

Записав уравнение по второму закону Кирхгофа в форме построим на одном графике (рис. 23.4) зависимости - Последняя строится по характеристике смещением на значение ЭДС Е (точка а на рис. 23.4) и зеркальным отражением относительно вертикальной оси со знаком минус). По точке пересечения Ь двух зависимостей находим , сумма которых равна Е (рис. 23.3, а).

Пример №108

Для параллельного соединения двух нелинейных резисторов (рис. 23.5, а) с известными характеристиками построить эквивалентную характеристику

Решение:

Так как по первому -закону Кирхгофа , то, суммируя токи на графике при выбранных значениях (рис. 23.5, б), получим характеристику

Электронные стабилизаторы напряжений

Одним из простейших нелинейных электронных устройств является стабилизатор напряжения, выполненный на основе полупроводникового стабилитрона (см. табл. 22.1). Схема стабилизатора изображена на рис. 23.6, а, а характеристика стабилитрона I (U) припринятой (обратной по сравнению с табл. 22.1) полярности напряжения и тока - на рис. 23.6, 6. На схеме - балластное сопротивление, - сопротивление нагрузки, подключенной к выходным выводам стабилизатора, на входе которого известно напряжение питания

Как видно из рис. 23.6, б характеристика нелинейного двухполюсника на значительном участке может быть заменена прямой линией, пересекающей ось абсцисс в точке Уравнение этой прямой , на линейном участке характеристики. Линейная схема замещения стабилитрона для этого участка предс;rавлена на рис. 23.6, в при , а схема стабилизатора - на рис. 23.6, г, где ЭДС

Напряжение на выходе стабилизатора может быть рассчитано по формуле (1.34) для схемы с двумя узлами:

Практическое значение имеет отношение малого приращения напряжения на входе к малому приращению напряжения на выходе (в относительных

Это отношение называется коэффициентом стабилизации и характеризует стабилизирующие свойства нелинейного четырехполюсника. У линейного четырехполюсника , т. е. нет стабилизации

Определив

и получим

Таким образом, коэффициент стабилизации тем больше, чем больше и и чем меньше При или при четырехполюсник не стабилизирует напряжение, так как .

Из выражения (23.5) может сложиться · впечатление, что стабилизирующие свойства схемы не зависят от сопротивления нагрузки. Однако это справедливо только при условии, что рабочая точка находится на линейном участке характеристики стабилитрона. Для проверки этого условия следует по (23.3) определить значение при заданном Если полученное значение лежит на прямой линии выше границы Ь линейного участка характеристики стабилитрона (рис. 23.6, 6), то схема стабилизирует и формула (23.5) справедлива. Если же это значение окажется ниже границы - точки Ь, то применение формулы (23.5) недопустимо.

Электрические цепи с нелинейными четырехполюсниками и методы их анализа и синтеза

Нелинейные резистивные четырехполюсники различной физической природы приведены в табл. 22.2. На определенных участках их характеристик для нелинейных четырехполюсников могут быть составлены линейные схемы замещения. Однако для этих схем, как правило, не выполняется принцип взаимности и диапазон изменения входных и выходных величин, для которого справедливы линейные уравнения, бывает ограничен. Эти ограничения иногда настолько существt:нны, что именно они являются основой для построения четырехполюсников, обладающих требуемыми особыми свойствами.

Общий случай построения рабочей точки на характеристике нелинейного четырехполюсника. Было принято, что как к входу, так и к выходу четырехполюсника подключены источники постоянного напряжения, и определялись токи в первичной и вторичной цепях, соответствующие рабочей точке.

Для суждения о четырехполюснике как преобразователе входного сигнала важно знать, как изменяется напряжение на сопротивлении нагрузки во вторичной цепи при изменении напряжения в первичной цепи. Такой нелинейной характеристикой четырехполюсника является его проходная характеристика, выражающая нелинейную зависимость напряжения на выходе от напряжения или тока на входе. Эта характеристика может быть получена путем графического построения. Она может быть также определена приближенно расчетом параметров четырехполюсника в линейной области с определением границ этой области, вне которой предполагается насыщение.

Пусть, например, для нелинейного пассивного четырехполюсника - биполярного п-р-п транзистора, выделенного на рис. 23.7, а штриховой линией abcd, заданы семейства характеристик, построенных на рис. 23.7, 6 в первом и третьем квадрантах. Четырехполюсник невзаимный, так как характеристика зависит от тока , а характеристика не зависит (практически) от значений Таким образом, это четырехполюсник направлен

ного действия, поскольку влияют на зависимость , а обратное влияние отсутствует. Питание к коллектору К транзистора подведено от источника ЭДС через резистор с сопротивлением , так что ток и напряжение к между коллектором К и эмиттером Э связаны уравнением линейной части схемы

На рис. 23.7, б эта зависимость изображена прямой линией. Точки пересечения прямой с характеристиками дают значения при выбранных значениях тока базы (на рисунке ток отложен в относительных единицах , где в качестве единицы измерения принят интервал изменения тока базы ). Так как характеристика задана, то можно найти значения для всех точек пересечения и для каждого значения определить соответствующее значение Проходная характеристика активного четырехполюсника , выделенного на рис. 23.7, а штриховой линией aefq, приведена в четвертом квадранте рис. 23.7, б. Она построена по точкам О- 6, найденным описанным методом.

На рис. 23.8 приведено условное обозначение этого активного нелинейного четырехполюсника.

Если на выходе четырехполюсника сопротивление нагрузки равно , то характеристика может быть получена аналогичным построением. Применяя принцип эквивалентного генератора, можно определить параметры линейной части цепи между коллектором и эмиттером

и, производя аналогичное построение для , определить проходную характеристику нагруженного четырехполюсника. Приближенно проходная характеристика в виде отрезков прямой может быть получена путем линеаризации характеристик транзистора и определения В-параметров в некоторой рабочей точке А. Найдя значения в этой точке по характеристикам рис. 23.7, б, получим для переменных составляющих схему замещения, отличающуюся от рис. 22.12 только подключением резистивного элемента к выходным выводам 2 -2' схемы.

В этом случае, как следует их схемы рис. 22.12, в соответствии с (22.16)

Эта зависимость, выражаемая прямой линией с отрицательным наклоном и проходящая через точку А, изображена на рис. 23.9. Границы этой прямой определяются точками а и b на рис. 23.7,б. При значениях , выходящих за пределы наклонного участка, который ограничен точками а и b, напряжения остаются постоянными

Если требуется в задаче синтеза определить параметры линейной части цепи, обеспечивающие выбранную рабочую точку А, задаются значениями и и для этой точки по уравнению (23.6) определяют при заданной ЭДС при заданном

Усилители постоянного напряжения

Одной из весьма важных областей применения нелинейных четырхполюсников является построение усилителей постоянного напряжения, которые имеют линейную характеристику в достаточно большом интервале изменения напряжения входа

где - коэффициент усиления.

Нелинейность характеристики сказывается при значениях напряжения за пределами интервала

Для усилителей постоянного напряжения весьма существенно обеспечение «нуля», т. е. выполнение условия при . Одна из простейших схем усилителя постоянного напряжения представлена на рис. 23.10, а. Здесь два делителя напряжения обеспечивают равенство при , а значения сопротивлений рассчитываются так, чтобы входное сопротивление было максимальным, а выходное минимальным. При этом усилитель имеет отрицательный коэффициент усиления (при выбранной полярности напряжений), который практически неизменен в диапазоне (рис. 23.10, б).

Для решения ряда задач вычислительной техники и электронного моделирования получили широкое распространение операционные усилители постоянного тока, у которых на участке линейности характеристик и внутренний коэффициент усиления особенно в микроэлектронном исполнении - как элемент интегральной схемы.

Логические элементы дискретной техники

На основе применения нелинейных двухполюсников и четырехполюсников, характеристики которых с достаточной для практики точностью могут быть описаны кусочно-линейными функциями, создаются лоr'ические элементы дискретной техники. При помощи логических элементов производится преобразование двоичных сигналов, уровень которых имеет два четко выраженных диапазона. Если напряжение сигнала И лежит в пределах , то сигналу присваивается значение О, а если в пределах В промежутке считается, что сигнал отсутствует. Преобразование двоичных сигналов описывается логическими операциями, выполненными между входными переменными и выходной переменной у.

Основных элементарных логических операций три: операция типа ИЛИ (дизъюнкция).

Она записывается так:

и выражает логическое сложение. Если хотя бы одна из входных переменных равна единице, то и у= 1

Если обе переменные равны нулю, то и у=О; операция типа И (.коньюнция). Она записывается так:

и выражает логическое умножение. Если хотя бы одна из входных переменных равна нулю, то их произведение у = О. Если обе переменные равны единице, то у = 1; операция типа НЕ (отрицание).

Она записывается так:

и выражает логическое отрицание. Если х = О, то у = 1, и, наоборот, если х = 1, то у= о.

Более сложные логические операции представляют собой сочетание последовательно производимых элементарных лоrических операций.

Реализация логических операций типа И или ИЛИ осуществляется при помощи полупроводниковых диодов, а типа НЕ - при помощи усилителей постоянного напряжения.

Рассмотрим электронные схемы, выполняющие каждую из названных логических операций. Наиболее просто реализуется элемент типа ИЛИ (рис. 23.11, а). Если напряжения подаются к резистору R через диоды-вентили, то напряжение на выходе равно большему из этих напряжений, что соответствует операции типа ИЛИ. Условное обозначение элемента типа ИЛИ показано на рис. 23.11, 6, а напряжение на выходе при различных сочетаниях напряжений на входах иллюстрируется графиком, показанным на рис. 23.11, в.

Так, например, при диод VDJ пропускает ток, а диод VD2 заперт и напряжение на нем отрицательное. Напряжение на выходе равно Это соответствует . Здесь предполагается, что диоды обладают идеальными характеристиками {см. рис. 25.1, г).

Для получения элемента типа И требуется вспомогательный источник напряжения, значение ЭДС Е которого немного выше, чем напряжение на входе при х = 1. Схема такого элемента показана на рис. 23.12, а. Напряжение на выходе равно меньшему из напряжений на входе и только при , соответствующих , его значение соответствует у= 1. Условное обозначение элемента типа И показано на рис. 23.15, б, а напряжение , при различных сочетаниях напряжений на входах иллюстрирует рис. 23.12, в.

Элементом типа НЕ является одноэлементный усилитель постоянного напряжения, отрицательный коэффициент усиления которого задается делителем напряжения на входе, реализуемым при помощи резисторов (рис. 23.13, а). Его условное обозначение показано на рис. 23.13, б, а зависимость иллюстрируется графиком на рис. 23.13, в. Каскадным соединением элементов типа ИЛИ и И с элементом типа НЕ получают более сложные логические элементы типа ИЛИ - НЕ. И- НЕ и др. Они достаточно просто выполняются в иптегра:1ьных схемах, и для таких элементов приняты условные обозначения, приведенные на рис. 23.13,г и д.

Расчет нелинейных цепей методом итераций

Распространенным методом решения нелинейных алгебраических уравнений является метод итераций, т. е. последовательного применения одних и тех же математических операций, приводящих в результате их многократного повторения к получению требуемого ТОЧНОГО решения.

Метод итераций имеет несколько разновидностей, основанных на применении различных линейных схем замещения нелинейных элементов. В зависимости от принятых схем замещения для получения решения требуется повторение большего или меньшего числа одних и тех же математических операций (итераций). Рассмотрим каждую из этих разновидностей на примере расчета произвольной электрической цепи с одним нелинейным элементом J (U) (рис. 23.14, а), линейная часть которой может быть представлена в виде эквивалентного генератора с ЭДС и входным сопротивлением (рис. 23.14. 6). Характеристика нелинейного элемента ( U) может быть задана аналитически, в виде. графика или таблицы значений . По этой характеристике для каждого значения U или J может быть найдено соответствующее значение или U

Расчет начинается с задания начальноrо или нулевого приближенного значения - точки на характеристике с координатами Вблизи окрестности этой точки характеристика может быть описана различными линейными функциями

Наиболее просто и в то же время грубо на основании принципа компенсации нелинейный элемент можно заменить источником ЭДС или источником тока Такая замена приводит к методу простых итераций.

Несколько более сложно применение линейной схемы замещения нелинейного элемента в виде пассивного линейного элемента с сопротивлением Такая замена приводит к методу итераций по статическому сопротивлению. Еще более сложно применение линейной схемы замещения нелинейного элемента в виде активного линейного элемента с ЭДС , сопротивлением и источником тока Такая замена приводит к методу итераций по дифференциальному сопротивлению.

Рассмотрим каждый из методов итераций на примере монотонной характеристики нелинейного элемента , показанной на рис. 23.15, а. Графическое решение задачи получается, как и в примере 23.2, пересечением характеристики I (И) и прямой, выражаемой уравнением (точка а на рис. 23.15, а).

При решении задачи методом простой итерации можно, например, задавшись начальным приближением в точке с координатами , заменить нелинейный элемент источником тока В этом случае решение линейного уравнения дает в точке q0 первое приближение для напряжения и по характеристике I (И) в точке находится первое приближение для тока . Так последовательно, применяя уравнение получаем итерационный процесс, который на рис. 23.15, а изображается последовательностью точек и т. д. При определенных соотношениях параметров он сходится и приводит в точку а, дающую решение нелинейного уравнения, которое выражается условием Приведенная итерационная процедура характеризуется схемой замещения нелинейного элемента источником тока (рис. 23.15, б) на каждом шаге итерации

Сходимость простейшей итерационной процедуры обеспечивается далеко не всегда. Можно доказать, что условием сходимости такого итерационного процесса является неравенство

или

которое должно выполняться вблизи ТОЧКИ а.

Если начальное приближение далеко от этой точки, то могут встретиться задачи, при решении которых итерационный процесс не приводит в точку а, а завершается циклом расчетов, при которых , а . Для процедуры, рассмотренной на рис. 23.15, а, условие сходимости принимает вид

А это значит, что крутизна прямой в координатах должна быть больше, чем крутизна касательной к нелинейной характеристике в точке а. Невыполнение этого условия иллюстрируется точкой а' на рис. 23.15, а, для которой наклон прямой меньше, чем наклон касательной к характеристике , и итерационный процесс расходится даже при очень близком к точке а начальном приближении (точка

Иные условия сходимости итерационной процедуры получаются, если нелинейный элемент заменить не источником тока, а источником ЭДС (рис. 23.16, 6). В этом случае итерационный процесс на графике выражается переходами не в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки на рис. 23.15, а), а в противоположном направлении (рис. 23.16, а). Теперь уравнение итерации имеет вид

и каждое следующее приближение определяется по точке пересечения прямой с вертикальной прямой, выражающей характеристику источника напряжения

В этом случае условие сходимости

противоположно условию, справедливому для предыдущего примера. Точка а, которая на рис. 23.15, а характеризовалась устойчивым итерационным процессом, теперь не может быть найдена методом итераций с , так как итерационный процесс расходится (рис. 23.16, а), а точка а' соответствует сходящейся итерационной процедуре.

Более легкие условия сходимости совпадает применение итераций при замене нелинейно1-о элемента пассивным линейным элементом со статистическим сопротивлением для точки соответствующего приближения (рис. 23.17, 6). Такая итерационная процедура иллюстрируется построением, показанным на рис. 23.17, а. В этом случае каждое следующее приближение находится из уравнения

или после исключения тока

где последовательность расчетных точек

Условие сходимости итерационного процесса в этом случае имеет следующий вид:

где определяются в точке а. Это условие легче выполняется, чем условия (23.11) и (23.13), и итерационный процесс сходится быстрее.

Аналогично может быть построена итерационная процедура, если переход из точки в точку осуществлять не приВ этом случае уравнение итерации принимает ВИД

и условие сходимости записывается так:

Еще быстрее сходится итерационная процедура, если в точке каждого приближения нелинейную характеристику заменить касательной в этой точке. Так, в точке начального приближения р0 (рис. 23.18, а) характеристика линеаризованного участка кривой описывается уравнением

где , а в точке k-го приближения - уравнением

где

Схема замещения для этого участка характеристики показана на рис. 23.18, 6. Зная координаты точки начального (нулевого) приближения , можно найти значение напряжения точки следующего (первого) приближения, решив линейную задачу, для которой

откуда, исключив ток I, получаем

и соответственно

Итерационный процесс, соответствующий этому уравнению, на рис. 23.18, а показан точками т. д. Сопоставив рис. 23.18, а с рис. 23.15, а и рис. 23.17, а, можно заметить, что теперь итерационный процесс сходится значительно быстрее, чем в ранее рассмотренных случаях итераций. Улучшение сходимости достигнуто за счет дополнительной информации о значении производной, для определения которой, однако, необходимо иметь аналитическое выражение нелинейной характеристики в каждой из точек k-го итерационного процесса.

Выше были рассмотрены различные итерационные процедуры для расчета нелинейных цепей с одним нелинейным элементом. Описанные приемы могут быть распространены на системы с многими нелинейными элементами.

Алгоритм, основанный на последнем из описанных приемов, известный под названием метода Ньютона - Рафсона, имеется в математическом обеспечении ЭВМ. В следующих примерах расчет цепи с применением метода итераций сравнивается с графическим решением.

Пример №109

Задан нелинейный активный двухполюсник (АН на рис. 23.19, а), для которого схема замещения состоит из последовательного соединения пассивного резистивного элемента, статическое сопротивление которого , и источника ЭДС (рис. 23.19, 6). К выводам двухполюсника подключен нелинейный пассивный двухполюсник, статическое сопротивление которого

Характеристики нелинейных пассивных двухполюсников заданы графически (рис. 23.20), ЭДС Е = 10 В. Требуется определить ток в цепи и напряжения на ее участках. Решение выполнить графически и методом итераций.

Решение:

Графическое решение. Записав по второму закону Кирхгофа уравнение

построим на рис. 23.20 график Точка пересечения этого графика с характеристикой дает решение задачи: I =

Решение методом итераций. При замене нелинейных элементов их статическими сопротивлениями (см. рис. 23.17, б) аналогично формуле (23.17) получаем

Расчет по этой формуле при помощи заданных характеристик и выбранном значении приведен в табл. 23.1.

Из расчета видно, что после пятого шага при возможной точности расчета по заданным характеристикам ; следовательно, итерационный процесс завершился, дав результат, совпадающий с решением графическим методом

Пример №110

На рис. 23.21 изображена схема нелинейного моста, для которой ток в диагонали с сопротивлением представляет знакопеременную функцию ЭДС Е, т. е. обращается в нуль при определенном значении Е, Cответствующем условию баланса моста. Такая схема применяется для контроля отклонений ЭДС от некоторого заданного значения.

В общем случае все сопротивления и нелинейные характеристики могут быть различными.

При симметричном мосте Определить зависимость .

Решение:

По методу контурных токов, принимая в качестве двух первых контурных токов два тока нелинейных элементов и , запишем уравнения

где - контурные токи, а и - напряжения на нелинейных элементах.

Выразив контурный ток из третьего уравнения и подставив его в первые два, получим

где

Графическое решение. Построив в координатах зависимости

по точке пересечения находим токи затем вычисляем токи для каждого значения ЭДС Е.

Решение методом итераций. Задавшись в качестве начального приближения токами и, следовательно, напряжениями , по формулам

находим первое приближение и все последующие и т. д.) до выполнения условия 1, а далее вычисляем .

Пример №111

Для примера 23.5 найти зависимость ,

Решение:

Так как в этом случае , то из условия симметрии и, следовательно, Подставив численные значения, найдем , где ток - в амперах, ЭДС - в вольтах или ·

Так как ток в диагонали , то, подставив и выражение для из примера 23.5, получим откуда при получаем Е = 1,6 В. При большем значении ЭДС, а при меньшем

Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую систему, в которой существует магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называется магнитной цепью.

Магнитное поле в вещественных средах описывается тремя векторами:

1. вектором магнитной индукции В, характеризующим силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера, а при изменении магнитного поля - возбуждение электрического поля по закону электромагнитной индукции (Фарадея);
2. вектор намагниченности материала М, выражающим магнитный момент единицы объема намагниченного вещества или сумму магнитных моментов элементарных магнитных диполей в единице его объема;
3. вектор напряженности магнитного поля Н, который выражается через первые два вектора как разность этих векторов, взятых с соответствующими коэффициентами, зависящими от выбранной системы единиц измерения. В системе СИ

где - магнитная постоянная

При расчете магнитных цепей основными скалярными величинами, характеризующими магнитную цепь, являются:

1) магнитный поток Ф, который определяется как поток вектора магнитной индукции через поверхность поперечного сечения магнитопровода:

2). магнитодвижущая сила (МДС) F, которая выражается через электрический ток i в проводах, обмотках и т. д., создающий магнитное поле:

где w - число витков катушки.

В качестве положительного направления магнитного потока через элемент поверхности выбирается направление вектора dS, а в качестве положительного направления МДС - направление вектора поверхности S, ограниченной контуром тока i, при правовинтовой системе координат или по правилу правого винта. Направление магнитного потока относительно тока определяется тем же правилом. В основе расчета магнитной цепи лежат два закона:

1) закон непрерывности линий магнитной индукции

или при охвате поверхностью S нескольких сечений магнитопровода

Этот закон аналогичен первому закону Кирхгофа для электрической цепи;

2) закон полного тока

Этот закон аналогичен второму закону Кирхгофа, так как интеграл по контуру / можно представить в виде суммы криволинейных интегралов на участках цепи, например от точки а к точке b, каждый из которых можно по аналогии с электрической цепью назвать м а гни т н ы м напряжением

В результате уравнение (24.6) может быть записано аналогично уравнению второго закона Кирхгофа для нелинейной электрической цепи

Единицы магнитных величин в системе СИ: магнитный поток - вебер (1 Вб = = 1 В • с), магнитная индукция - тесла , намагниченность и напряженность магнитного поля - ампер на метр (1 А/м), магнитное напряжение - ампер (1 А).

Роль вольт-амперных характеристик элементов нелинейных электрических цепей в магнитных цепях играют ампервеберные характеристики , которые чаще принято выражать в виде вебер-амперных характеристик

При построении этих характеристик для каждого из участков магнитной цепи необходимо знать свойства материала, выражаемые зависимостью В (Н). Для немагнитного участка магнитной цепи (воздух, диэлектрик, немагнитные проводящие материалы) намагниченность Для ферромагнетиков эта зависимость значительно сложнее и задается экспериментально полученными характеристиками магнитных материалов

Ферромагнитные материалы и их характеристики

Зависимость В (Н) для ферромагнитных материалов не имеет точного аналитического выражения, поэтому для каждого ферромагнитного материала эту зависимость изображают в виде кривой намагничивания В (Н), определяемой экспериментально.

Впервые зависимость магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля бьmа установлена в 1871 г. русским физиком А. Г. Столетовым и опубликована в его докторской диссертации «Исследование о функции намагничивания мягкого железа». Эта работа послужила основой для расчета электрических машин и сыграла громадную роль в развитии электротехники.

Если ток в обмотке кольцевого магнитопровода, изготовленного из ферромагнитного материала, плавно изменять в пределах от положительного максимального значения до отрицательного максимального значения -, то зависимость индукции от напряженности магнитного поля получается в виде петли, называемой петьлей магнитного. Эта петля в первом цикле намагничивания и размагничивания не замкнута. При повторных изменениях тока в тех же самых пределах получается ряд петель, которые сначала отличаются друг от друга. После ряда циклов перемагничивания получается симметричная петля (рис. 24.1).

Каждый из отрезков, отсекаемых петлей гистерезиса на оси ординат, определяет остаточную индукцию , а каждый отрезок, отсекаемый той же петлей на оси абсцисс, - коэрцитивную (задерживающую) с ил у - Часть петли, лежащая во втором квадранте, ограниченная изменением индукции от и называется кривой размагничивания или спинкой кривой намагничивания. Этой кривой пользуются при расчете постоянных магнитов. основной кривой намагничивания называют геометрическое место вершин замкнутых симметричных гистерезисных петель при различных максимальных значениях тока (штриховая линия на рис. 24.2).

На рис. 24.3 показаны основные кривые намагничивания В (Н) различных марок электротехнических сталей.

Для расчета цепей с постоянными магнитами имеют большое значение так называемые частые гитеризистные этих циклов очень узки и в расчетах могут быть заменены прямыми линиями, проходящими через вершины частных гистерезисных циклов. Отношение магнитноq индукции к напряженности частного гистерезисного цикла называется коэффициентом возврата

Для характеристики свойств стали пользуются еще понятием абсолютной или относительной магнитной проницаемости, представляющей собой нелинейную функцию напряженности магнитного поля. При меры характеристик В (Н) и для магнитно-мягких материалов приведены на рис. 24.4. Графики даны для пяти материалов: J -особо чистое железо; 2 -99,98 % Fe; 3 -пермаллой (78 % Ni); 4 - технически чистое железо (99,92 % Fe); 5 -никель. Примеры спинки характеристик В (Н) для магнитно твердых материалов приведены на рис. 24.5. Графики даны для шести материалов: 1 -ЮНДК - 25 БА [А!+ + Ni + Си + Со (25 %) + NЬ]; 2 - ЮНДК 35 (ТSБА); 3 - ПЛК78; 4 - 5 ; 6 -25БА

Анализ и синтез неразветвленных магнитных цепей

В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках один и тот же магнитный поток и, следовательно, различные участки цепи оказываются соединенными последовательно. Примеры неразветвленной магнитной цепи, целиком состоящей из ферромагнитных материалов (без воздушных зазоров или диэлектрических участков), приведены на рис. 24.6, а и 6. В первом случае (рис. 24.6, а) магнитный поток создается· одной обмоткой с числом витков и током Магнитная цепь состоит из двух ферромагнитных участков с поперечными сечениями и средними длинами Во втором случае (рис. 24.6, 6) магнитный поток создается тремя обмотками с числами витков и токами . Предполагается, что магнитопровод состоит из ферромагнитного материала и имеет поперечное сечение S и длину /. Зная магнитные характеристики стали, можно построить цепи вебер-амперную Ф(F).

В. первом случае

где

Во втором случае

где

По аналогии с электрической цепью для каждого из участков магнитной цепи можно ввести понятие статического магнитного сопротивления

Так как, зависит от Н, то и сопротивление не постоянное, представляет собой функцию

В неразветвленных магнитных цепях могут содержаться воздушные учас:rки - зазоры, в которых магнитное поле воздействует на проводники с токами, производя, таким образом, механическое действие на магнитоэлектрическую систему. В этих случаях строгий учет влияния воздушного участка магнитной цепи требует изучения неоднородного поля в воздушном зазоре. В приближенных расчетах обычно для этого участка вводятся некоторые средние эквивалентные размеры «площади сечения» воздушного зазора и его длины Так, в магнитной цепи электромагнита, показанной на рис. 24.7, а, для воздушных зазоров можно принять в качестве действительное значение каждого из зазоров, а в качестве s. - величину на 15-20% большую, чем площадь торцов П-образной части магнитопровода.

Уравнение этой магнитной цепи

где

и значения определяются по характеристике стали В (Н) при

Для каждого из ферромагнитных участков цепи по известным характеристикам стали могут быть построены вебер-амперные характеристики , а для воздушных промежутков определены магнитные сопротивления Дальнейшее исследование цепи аналогично графическому расчету электрической цепи, схема которой представлена на рис. 24.7, б. Здесь каждому участку магнитной цепи соответствует аналогичный участок электрической цепи с указанием его обозначения.

Аналогично расчету нелинейной электрической цепи (см. рис. 23.4) можно построить графики , по точке пересечения А

определить соответствующие значения

Построение, выполненное на рис. 24.8, соответствует задаче анализа: заданы геометрические размеры магнитопровода, его материал, МДС и требуется определить значение магнитного поля в воздушных зазорах

При решении задачи синтеза обычно задают требуемое значение магнитной индукции в зазоре и магнитный поток Для каждого участка магнитопровода определяются значения индукции, а по характеристике стали - соответствующие значения Н на каждом из участков магнитной цепи и По уравнению (24.13) находится требуемая МДС

В рассмотренных задачах предполагалось, что во всех участках магнитной цепи один общий магнитный поток Ф, который нигде не разветвляется. Такое допущение является достаточно грубым. В действительности ток в обмотке создает не только рассмотренный выше основной поток, но и поток рассеяния, замыкающейся частично через изоляцию обмотки и окружающий обмотку воздух. Кроме того, часть магнитного потока например в магнитной системе, изображенной на рис. 24.7, а, замыкается через воздух между стержнями П-образного участка магнитопровода и магнитный поток в сечении оказывается меньше, чем внутри намагничивающей обмотки. Все это приводит к необходимости рассмотрения разветвленных и распределенных магнитных цепей, расчет которых требует применения методов теории поля

Примеры магнитных цепей электрических магнитных и измерительных приборов

Выше были рассмотрены простейшие магнитные цепи. В реальных магнитных и электромеханических системах магнитные цепи значительно сложнее - разветвленные и распределенные. Некоторые примеры магнитных цепей представлены на рис. 24.9: на рис. 24.9, а изображена трех стержневая магнитная цепь трансформатора, собранная из Ш-образных листов; на рис. 24.9, б схематически изображена магнитная цепь электрической машины постоянного тока; на рис. 24.9, в показана магнитная система электромагнитного реле, контакты которого замыкаются при притяжении якоря (подвижной части) к сердечнику электромагнита; на рис. 24.9, г и д показаны магнитные системы магнитоэлектрического измерительного прибора и магнето (устройства зажигания газовой смеси двигателей внутреннего сгорания), в которых магнитное поле создается постоянными магнитами (N - S). Во всех конструкциях магнитная цепь более сложная и ее только приближенно можно описать нелинейной магнитной цепью с параметрами, соответствующими участкам разветвленного магнитопровода, и аналогичной нелинейной резистивной цепью.

Расчет разветвленных магнитных цепей

Расчеты разветвленных магнитных цепей основаны на применении законов Кирхгофа для магнитных цепей. Вследствие нелинейной связи между индукцией и напряженностью магнитного поля для ферромагнитных материалов расчеты таких цепей обычно ведутся графическими и итерационными методами аналогично методам расчета нелинейных электрических цепей. При расчете магнитной цепи, как и при расчете электрической цепи, прежде всего нужно указать на схеме направления МДС, если известны направления токов и расположение обмоток, или задаться положительными направлениями МДС, если их нужно определить. Затем необходимо задаться положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы и ее расчету.

Пример №112

На рис. 24.10, а изображен разветвленный магнитопровод, выполненный из электротехнической стали 1512 (см. рис. 24.3). Определить значения магнитной индукции во всех участках магнитной цепи, если сечения участков , длины участков

Решение:

Эквивалентная схема для заданной магнитной цепи представлена на рис. 24.10, 6. Составим для этой схемы уравнения по законам Кирхгофа

Чтобы решить полученную систему уравнений, надо построить характеристики для всех участков магнитной цепи:

С этой целью зададимся рядом значений магнитных потоков и найдем индукции в различных участках , , а затем по кривой намагничивания определим напряженности магнитного поля. По известным значениям напряженности магнитного поля вычислим магнитные напряжения на участках для различных потоков. Результаты вычислений представлены в табл. 24.1.

По данным таблицы построим (рис. 24.10, в) кривые и . Так как значения магнитных потоков должны удовлетворять уравнению , то построим еще одну вспомогательную кривую Для этого суммируем ординаты кривых и при одних и тех же значениях магнитного напряжения

Ординаты точки пересечения кривых с кривой определяет поток Вб, так как для этой точки справедливы уравнения

Чтобы найти потоки , проведем через точку прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривыми и в точках ; отрезки и определяют потоки и Зная потоки, легко определить магнитные индукции:

Пример №113

На рис. 24.11, а изображена магнитная система, выполненная из электротехнической стали 1512. Пользуясь методом итерации, определить значения магнитной индукции во всех участках магнитной цеiiи, если сечения участков ; длины участков =

Решение:

При помощи эквивалентной электрической схемы, показанной на рис. 24.11, 6, получим для магнитных напряжений следующие расчетные уравнения:

где -статические магнитные проводимости соответствующих участков магнитной цепи, определяемые по формулам

Все расчеты по этим уравнениям сведены в табл. 24.2.

Расчет магнитной цепи с постоянным магнитом

На рис. 24.12 схематически показан стальной магнитопровод' в виде кольца с воздушным зазором. Определим магнитный поток в воздушном зазоре, если магнитопровод предварительно намагничен до насыщения. Размеры магнитопровода и кривая размагничивания В (Н) для материала заданы.

Если в магнитопроводе нет воздушного зазора, что соответствует введению в воздушный зазор пластины из маrнитноrо материала с очень большим значением то после намагничивания магнитная индукция в магнитопроводе равна остаточной индукции а напряженность маrнитноrо поля равняется нулю. Это непосредственно следует из закона полного тока , поскольку намагничивающий ток отсутствует. На петле гистерезиса такое состояние соответствует верхней точке кривой размагничивания (см. рис. 24.1 и 24.5).

При наличии воздушного зазора напряженность поля не равна нулю, что легко показать, пользуясь законом полного тока. Магнитная цепь в этом случае состоит из двух участков: стального магнитопровода, в котором напряженность поля Н ст можно считать одинаковой во всех точках средней линии, и воздушного зазора, напряженность маrнитноrо поля в котором связана с магнитной индукцией известной зависимостью

При незначительной длине воздушного зазора можно принять сечение воздушного зазора равным сечению магнитопровода , т. е. считать индукцию во всех точках магнитной цепи одинаковой:

Выбирая путь интегрирования вдоль средней линии по направлению вектора магнитной индукции , напишем следующее выражение:

откуда

где называется коэффициентом размагничивания по индукции

Следовательно, в этом случае несмотря на отсутствие намагничивающих токов напряженность магнитного поля во всех точках кольцевого магнитопровода не равна нулю. В воздушном промежутке направление вектора напряженности поля совпадает с направлением вектора магнитной индукции, а внутри магнитопровода, как следует из (24.14), они направлены противоположно (рис. 24.12).

Отрицательное значение напряженности магнитного поля внутри сердечника означает, что при наличии воздушного зазора магнитная индукция меньше остаточной индукции ,

Так как отрицательному значению напряженности магнитного поля Нет соответствуют положительные значения индукции , то магнитное состояние магнитопровода определяется одной из точек кривой размагничивания (второй квадрант петли гистерезиса).

Для расчета рассматриваемой магнитной цепи построим зависимость магнитного потока от магнитного напряжения взятого в направлении вектора между точками а и b концов магнитопровода; эта зависимость получается из кривой размагничивания путем простого умножения ее ординат на

и абсцисс - на , (рис. 24.13). На том же рисунке построим зависимость магнитного потока воздуха от магнитного напряжения, взятого в направлении между теми же 1 очками а и b магнитопровода. Это напряжение

откуда

Из последнего выражения следует, что магнитный поток пропорционален магнитному напряжению (прямая линия на рис. 24.13). Отметим, что магнитное сопротивление воздушного зазора в действительности несколько меньше определяемого по формуле так как магнитный поток в воздушном зазоре распределяется по большей площади, чем поперечное сечение магнитопровода

Так как магнитный поток в магнитопроводе равен потоку в воздушном зазоре, т. е. и магнитное напряжение то магнитный поток определится ординатой точки пересечения кривой и прямой (рис. 24.13).

Опустив из точки перпендикуляр н'а ось абсцисс, получим отрезок От, определяющий магнитное напряжение между точками а и b

Определим теперь магнитный ток в воздушном заборе в гом случае, если после намагничивания стального магнитопровода длина воздушного зазора будет уменьшена введением ферромогнитного диска с площадью Магнитную проницасмоС11, материала ;щека будем считать такой высокой. что магнитным сопротивлением диска можно пренебречь.

В этом случае длина зазора станет меньше, а значит, уменьшится его магнитное сопротивление до величины · Зависимость магнитного потока в воздушном зазоре от напряжения представится прямой в с большим углом наклона к оси абсцисс, чем у прямой (рис. 24.13). Но ноток в стальном магнитопроводе будет расти не по кривой размагничивания Фе, , а по кривой частного цикла, т. е. , которую можно заменить приближенно прямой линией. Точка пересечения с прямой и определяет искомое значение потока в воздушном зазоре

Если магнитопровод намагнитить при вставленном стальном диске, то магнитный поток будет значительно больше и определится ординатой точки При удалении диска из воздушного зазора магнитопровод будет размагничиваться и поток уменьшится до значения, определяемого ординатой точки При введении стального диска в зазор магнитный поток возрастет только до значения, определяемого ординатой точки

Из графического построения, приведенного на рис. 24.13, видно влияние параметров магнитной цепи на значение магнитного потока. В частности, увеличение длины магнита и применение материала с большей коэрцитивной силой приводит к относительному увеличению абсцисс кривой , а увеличение сечения магнита и применение материала с большей остаточной индукцией при той же коэрцитивной силе приводит к увеличению ординат кривой . И увеличение абсцисс, и увеличение ординат приводит к возрастанию магнитного потока Ф.

Пример №114

Определить магнитную индукцию в воздушном зазоре гальванометра в двух случаях:

1. Магнитная цепь подковообразного магнита (рис. 24.14), состоящая из постоянного магнита J, полюсных наконечников 2 и сердечника 3, была намагничена до насыщения в собранном виде.

2. Намагничивание до насыщения производилось при вынутом цилиндрическом сердечнике, и сердечник был вставлен после намагничивания.

Магнитным рассеянием, а также магнитным сопротивлением сердечника и полюсных наконечников пренебречь. В первом случае расчетные размеры: длина средней линии магнита ; сечение магнита ; длина воздушного зазора ; сечение воздушного зазора. При вынутом сердечнике . Кривая размагничивания магнита (спинка) характеризуется следующими данными

Кривую возврата считать прямой с наклоном

Решение:

Строим зависимость

Строим зависимость (рис. 24.15)

При вынутом сердечнике

При вставленном сердечнике

Прямые на рис. 24.15 соответственно 0-3 и 0:....1.

Из графика находим при вставленном сердечнике (точка 3). Индукции

При вынутом сердечнике (точка J).

Наклон кривой возврата

При вынутом и вновь вставленном сердечнике (точка 2 на кривой возврата) находим: . По сравнению с индукцией в зазоре при намагничивании в собранном виде индукция уменьшилась на

Нелинейные цепи с источниками напряжения и тока одинаковой частоты

Применение источников синусоидального напряжения (даже только одной частоты) в цепях с нелинейными резисторами значительно расширяет число практических задач, решаемых при помощи нелинейных резисторов. Во-первых, появляется возможность применять в электрических цепях наряду с нелинейными резистивными элементами также нелинейные реактивные элементы - индуктивные катушки и конденсаторы, и, во-вторых, к задаче воздействия на значение напряжения или тока добавляется задача изменения формы кривой напряжения или тока.

В цепях с нелинейными резистивными элементами, имеющими несимметричные характеристики, можно осуществить выпрямление напряжения и тока. В цепях с нелинейными реактивными элементами, имеющими обычно симметричную характеристику, можно получить утроение частоты. В цепях с нелинейными резистивными и реактивными элементами возможна стабилизация тока или напряжения.

Рассмотрим примеры решения каждой из этих трех задач и особенности возникающих явлений.

Форма кривой тока в цепях с вентилями

Нелинейный резистивный элемент с наиболее резко выраженной несимметрией характеристики (относительно начала координат), т. е. элемент с односторонней проводимостью, называется электрическим вентилем. Односторонней проводимостью обладают меднозакисные, селеновые, германиевые, кремниевые и другие полупроводниковые вентили, ртутные вентили, транзисторы, газотроны, тиратроны и электронные лампы всех типов.

Статическая вольт-амперная характеристика для мгновенных значений и и i таких элементов показана на рис. 25.1, а. В зависимости от реальных параметров цепи ее можно приближенно представить в виде ломаных линий, изображенных на рис. 25.1, 6 и в. Характеристики полупроводниковых и электронных (кенотроны) вентилей ближе к изображенной на рис. 25.1, 6, а характеристики ртутных вентилей и газотронов - к показанной на рис. 25.1, в. Ограничимся процессами при таких скоростях изменения тока, для которых можно считать, что динамическая характеристика элемента совпадает со статической. Такие элементы будем называть безынерционными.

Элементы с характеристиками, показанными на рис. 25.1, 6 и в, можно представить схемами замещения, состоящими из идеального вентиля и последовательно с ним включенного резистивного элемента с сопротивлением или источника ЭДС Е. Под идеальным вентилем понимается такой элемент, сопротивление которого при одной полярности напряжения равно нулю, а при другой полярности равно бесконечности. Характеристика идеального вентиля представляется положительным участком оси i и отрицательным участком оси и (рис. 25.1, г).

Расчет цепи графическим методом. Чтобы построить кривую тока в цепи с односторонней проводимостью и проверить допустимость идеализации характеристики вентиля, рассмотрим схему выпрямителя (рис. 25.2), состоящего из последовательно соединенных источника синусоидального напряжения , вентиля с характеристикой i (и), представленной на рис. 25.1, а, и линейного сопротивления нагрузки r.

Так как то, зная зависимость i (и) и параметр r, можно построить кривую путем суммирования абсцисс кривой i (и) и прямой (рис. 25.2). На этом же рисунке внизу построена зависимость напряжения от времени t при трех различных амплитудах (кривые 1, 2, 3). Находя по характеристике для каждого мгновенного напряжения соответствующее значение тока, нетрудно по точкам построить зависимость тока i от времени t (справа на рис. 25.2).

Как видно из построения, кривая i (t) состоит из чередующихся положительных и отрицательных полуволн. Так как угол наклона характеристики при положительных значениях напряжения во много раз больше, чем при отрицательных, то положительные полуволны тока значительно больше отрицательных. Различие в абсолютных значениях полуволн тока тем заметнее, чем больше амплитуда напряжения источника. При достаточно большой амплитуде (например, кривая 1) отрицательной полуволной тока можно пренебречь и считать, что кривая тока состоит только из положительных полуволн, каждая из которых имеет форму половины синусоиды (однополупериодное выпрямление). При выпрямлении малых напряжений (например, кривая 3) ток обратной полуволны может оказаться одного порядка с током положительной полуволны. В этом случае выпрямляющее действие вентиля сказывается значительно меньше.

Часто выпрямитель работает в таком режиме, при котором ток положительной полуволны много больше тока отрицательной полуволны и последним можно пренебречь. В этом случае с вполне допустимой для практики точностью характеристику реального вентиля (рис. 25.1, а) можно заменить характеристикой идеального вентиля (рис. 25.1, г) и рассчитывать цепь методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики.

Простейшие выпрямители

Рассмотрим теперь простейшие схемы, предназначенные для выпрямления, т. е. преобразования переменного тока в постоянный. Расчет проведем методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики.

Для однополупериодного выпрямителя с резистивным сопротивлением нагрузки питаемого от источника синусоидального напряжения и (рис. 25.3, а), на рис. 25.3, 6 построены кривые токи i и напряжения на сопротивлении нагрузки в предположении, что вентиль идеальный.

Напряжение на сопротивлении нагрузки несинусоидальное и имеет наряду с постоянной составляющей , равной (см. приложение 3), еще первую и все четные гармоники. Если схему с вентилем применяют для получения постоянного напряжения, то перед потребителем с сопротивлением включают фильтр низкой частоты, пропускающий только постоянную составляющую и не пропускающий все гармоники, начиная с первой.

Рассмотрим, каковы значения тока, напряжения и мощности источника в цепи (рис. 25.3, а) при отсутствии фильтра.

Действующее напряжение питания Действующий ток, как и в цепях синусоидального тока,

но интеграл, стоящий под знаком корня, в 2 раза меньше его значения при отсутствии вентиля, когда протекает синусоидальный ток. Поэтому

т. е. действующий ток зависит от действующего напряжения источника по линейному закону. Действующее напряжение на сопротивлении нагрузки

Активная мощность в сопротивлении нагрузки в 2 раза меньше мощности, выделяемой при отсутствии выпрямителя:

Полная мощность источника питания

и, следовательно, коэффициент мощности выпрямителя

То обстоятельство, что коэффициент мощности не равен единице, объясняется в рассматриваемом случае не наличием реактивных элементов, а искажением формы кривой тока по отношению к форме кривой напряжения источника питания.

Для сопротивления нагрузки действующее напряжение в раз меньше, чем для источника, и, следовательно,

Реактивная мощность источника

так как напряжение содержит только основную гармонику, а 1-я гармоника тока i1 (см. приложение 3 и рис. 25.3) совпадает по фазе с синусоидальным напряжением питания и.

На аналогичном принципе построены и более сложные схемы выпрямителей двух, трех и большего числа фаз. На рис.. 25.4, а изображена схема двухполупериодного выпрямителя со средней точкой. Токи, проходящие через оба вентиля-диода 1 , в сопротивлении нагрузки совпадают по направлению. В течение одного полупериода ток проходит через верхнюю часть вторичной обмотки трансформатора и первый диод по пути О-а-1-0'-О, а в течение другого полупериода - через нижнюю часть обмотки и второй диод по пути О-b-2-0' -0.

Если принять характеристику диода идеальной, то постоянная составляющая напряжения на сопротивлении нагрузки раз меньше максимального значения напряжения и, питающего один диод, однако, так же как и в схеме однополупериодного выпрямителя, постоянная составляющая в раз меньше амплитуды общего напряжения на вторичной обмотке трансформатора (между выводами а и b). Выпрямленное напряжение (рис. 25.4, б) теперь не содержит основной гармоники (с частотой питающего напряжения). Действующее значение выпрямленного напряжения (рис. 25.4, 6) равно действующему напряжению между точками а и О или О и b.

Фильтр, не пропускающий высшие гармоники, применяемый для сглаживания напряжения ин, в этом случае должен быть рассчитан на частоты, начиная со 2-й гармоники и выше.

Для двухполупериодного выпрямления широко применяются мостовые схемы. На рис. 25.4, в изображена принципиальная схема мостового выпрямителя. К выводам а -b моста, составленного из четырех диодов, подведено синусоидальное напряжение и. В течение первой половины периода (рис. 25.4, г) напряжение и положительное, ток протекает через диод 1 в направлении от а к n, через сопротивление нагрузки и диод 3 в направлении от р к b. Напряжение на диодах 1 и 3, пропускающих ток в это в направлении, практически равно нv.1ю, и, следовательно, оно полностью ложиться на каждый из диодов 2 и 4, нс проводящих ток в направлении от n к b и от а к р. Таким образом, в течение первой половины Периода (штриховая линия на рис. 25.4, г).

Во время второй половины периода напряжение и < О. Теперь проводят ток диоды 2 и 4, а напряжение и ложится по.1носrью на непроводящие диоды 1 и 3. Таким образом, во время второй половины периода

Напряжение на сопротивлении нагрузки, так как , а при Зависимость от времени показана на рис. 25.4, г. Максимальное значение выпрямленного напряжения равно амплитуде переменного напряжения питания, и, следовательно, постоянная составляющая выпрямленного напряжения на сопротивлении нагрузки раз меньше амплитуды напряжения питания.

Трехфазные выпрямители различаются в зависимости от включения нейтрального провода в питающей сети.

Схема трехфазного выпрямителя для сети с выводом нейтрального провода (N) (рис. 25.5, а) содержит три диода, каждый из которых пропускает ток только тогда, когда напряжение данной фазы (относительно нейтрали) выше, чем напряжение на двух других фазах (рис. 25.5, 6). Каждый из диодов пропускает ток в течение одной трети периода, и напряжение на приемнике ин пульсирует с частотой в 3 раза большей, чем частота сети. Оно кроме постоянной составляющей содержит гармоники, кратные трем (см. приложение 3).

При идеальных диодах (см. рис. 25.1, г) постоянная составляющая

где - амплитуда фазного напряжения; - его действующее значение.

Выпрямленное напряжение содержит меньше высших гармоник, чем в рассмотренных однополупериодных и двухполупериодных схемах выпрямителей.

Еще меньше пульсации напряжения в трехфазной мостовой схеме выпрямителя (рис. 25.6, а). Напряжение на сопротивлении нагрузки равно разности потенциалов между точками 1 и 2:

Диоды включены так, что потенциал точки 1 равен большему, а потенциал точки 2 - меньшему из потенциалов трех фаз. Включение аналогично схемам логических элементов, где вентилями выбирается большее или меньшее из напряжений цепей входа.

Напряжение на приемнике пульсирует с частотой в 6 раз большей, чем частота сети, и кроме постоянной составляющей содержит гармоники, кратные шести (рис. 25.6, 6).

При этом постоянная составляющая в 2 раза больше, чем в схеме с нейтральным проводом:

где - амплитуда и действующее значение линейного напряжения сети

Выше были рассмотрены только простейшие выпрямители с резистивным сопротивлением нагрузки. На практике при рассмотрении цепей с выпрямителями обычно необходимо учитывать кроме сопротивления также индуктивность и емкость фильтра. В этих случаях при расчете токов можно пользоваться методами расчета переходных процессов и производить «припасовывание» решений, полученных для каждого из линейных участков характеристики вентиля. Рассмотрим включение цепи, представленной на рис. 25.7, а, при нулевых начальных условиях. Характеристику диода примем идеальной.

Пусть напряжение

и замыкание рубильника происходит при t = О. Тогда сразу же после включения рубильника в сопротивлении нагрузки и в конденсаторе фильтра возникают токи

через диод проходит ток

В некоторый момент времени диод перестает пропускать ток (i = О), так как напряжение на нем становится отрицательным, и конденсатор начинает разряжаться через сопротивление нагрузки. Для этого момента времени

откуда

Начиная с момента

Разрядка конденсатора происходит до того момента, когда отрицательное напряжение на диоде снизится до нуля и диод начнет пропускать ток. Этому соответствует момент времени , для которого

Последнее уравнение аналитически не решается, и значение можно определить графически по точке пересечения кривых (рис. 25.7, 6) или решением уравнения (25.16) относительно методом итераций. Начиная с момента времени диод опять пропускает ток до тех пор, пока в момент времени диод снова не перестанет пропускать ток. Таким образом, в цепи почти сразу устанавливается периодический процесс с периодом Т. В интервале времени сопротивление диода бесконечно велико, а в течение времени его сопротивление равно нулю. Чем . больше емкость С и больше сопротивление , тем меньше переменная составляющая тока в сопротивлении нагрузки. В случае напряжение на конденсаторе устанавливается постоянным и равным

Рассмотренная · простейшая схема выпрямителя с конденсатором часто применяется в электронной технике. На этом . принципе, например, основано амплитудное выпрямление, при котором выпрямленное напряжение равно максимальному значению переменного напряжения. На принципе амплитудного выпрямления основана работа электронного вольтметра, реагирующего на максимальное значение переменного напряжения.

Вентильные элементы широко применяются при обратном преобразовании модулированных колебаний (детектировании) с целью выделения модулирующего сигнала. Если, например, к цепи, изображенной на рис. 25.4, а, подвести модулированное по амплитуде напряжение (рис. 12.10, а), то в составе спектра выпрямленного напряжения ин будет основная гармоника, изменяющаяся с частотой (штриховая линия на рис. 25.8). Применением фильтра можно выделить эту гармонику и не пропустить ни постоянной составляющей, ни высших гармоник.

Цепь с электрической дугой

Если нелинейность вентиля дает возможность создать выпрямляющие устройства, то нелинейность электрической дуги редко используется для получения новых явлений. Большей частью в электрических устройствах нелинейность электрической дуги приводит к нежелательным высшим гармоникам в системе, вызывающим дополнительные потери и затрудняющим расчет цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника синусоидального напряжения , электрической дуги и катушки индуктивности с параметрами L и R (рис. 25.9, а).

Вольт-амперные характеристики электрической дуги для различных скоростей изменения тока неодинаковы и различаются тем больше, чем выше скорость изменения тока. Однако при малых частотах (например, 50 Гц) для приближенных расчетов можно считать характеристику дуги не зависящей от скорости изменения тока. Характеристика электрической дуги большой мощности (например, дуги электросталеплавильной печи) представлена на рис. 25.9, 6. На рис. 25.9, в показана приближенная кусочно-линейная аппроксимация этой характеристики в виде ломаной линии.

До тех пор пока напряжение на дуге не достигнет величины , дуга не горит и цепь разорвана. При повышении напряжения на дуге до значения дуга зажигается и на ней устанавливается напряжение Снижение напряжения со значения до обычно не происходит мгновенно, однако при

малых частотах тока и упрощенном рассмотрении задачи без учета инерционности дуги можно пренебречь этим временем и считать, что сразу же после зажигания на дуге устанавливается напряжение Напряжение на дуге остается неизменным вплоть до момента, когда ток в цепи проходит через нуль и дуга гаснет.

Выбирая за начало отсчета времени момент зажигания дуги, переходный процесс в цепи можно выразить так же, как и при включении напряжения к RL-цепи, причем угол

Решение этой задачи по методу наложения дает при i > О:

где

В момент, когда i = О, дуга гаснет. Дальнейший режим в цепи существенно зависит от напряжения источника в момент этого первого погасания дуги (рис. 25.9,г). Если , то после первого зажигания дуги сразу же нащупает установившийся режим. После первого погасания дуги она не горит до тех пор, пока напряжение на ней не достигнет - Начиная с момента, когда , дуга снова горит и ее ток меняется по тому же закону, что и ранее, только имеет отрицательный знак

Графики зависимости напряжения источника , напряжения на дуге и и тока i представлены на рис. 25.9, г.

Как видно из графика, при установившийся режим тока в цепи слагается из ряда импульсов разной полярности, описываемых уравнением (25.17). Интервалы между двумя импульсами составляют участки оси абсцисс 1-2, 1' -2' и т. д.

При достаточно больших значениях перерыва в токе может и не быть. Если при i = О напряжение , то дуга горит без перерывов и ток изменяет знак не при В этом случае установившийся режим наступит не сразу и, следовательно, угол сх изменяется от начального значения сх8 до. некоторого наибольшего значения сху, соответствующего установившемуся режиму. Напряжение источника, при котором изменяется полярность тока дуги, также увеличивается от начального значения до установившегося

Значение может быть определено из условия, что время между моментами зажигания дуги и прохождения тока через нуль равно половине периода. Тогда

и, следовательно,

При этом . Очевидно, что условием непрерывного горения дуги является неравенство

Рассмотренное решение является простейшим примером определения токов в цепях, содержащих мощные электрические дуги. Аналогично при помощи метода кусочно-линейного выражения характеристики дуги и припасовывания отдельных решений могут быть решены значительно более сложные задачи для цепей, содержащих катушки и конденсаторы.

Формы кривых тока и напряжения в цепях с нелинейными реактивными элементами

В катушках со стальными магнитопроводами при синусоидальных напряжениях на выводах токи обычно оказываются несинусоидальными, и, наоборот, при синусоидальных токах в напряжениях появляются высшие гармоники.

Рассмотрим форму кривой тока при синусоидальном напряжении и = на выводах катушки со стальным магнитопроводом. Допустим, что сопротивление обмотки катушки ничтожно мало и им, так же как и потоком рассеяния, при расчете напряжения на катушке можно пренебречь. В этом случае между потоком в магнитопроводе и напряжением на выводах катушки существует простая зависимость

где w -число витков обмотки. Отсюда

Здесь и в дальнейшем мгновенные значения потока и потокосцепления следовало бы обозначать , так как строчные буквы для потока и потокосцепления писать не принято. Однако для упрощения записи будем иногда писать короче:

Таким образом, при синусоидальном напряжении магнитный поток также синусоидален и отстает по фазе от напряжения на угол , его амплитуда

Первоначально рассмотрим магиитеристику намагничивания, например, топровод, выполненный из магнитномягкой стали с малыми потерями, для которой петлей гистерезиса можно пренебречь и считать, что зависимости Ф (i) и соответственно i (Ф) однозначны. Зная зависимость Ф (t) и имея кривую i (Ф), легко найти зависимость i (t).

Расчет rрафический. Для рассматриваемого случая кривая i (t) построена на рис. 25.10. Как видно из построения, кривая тока имеет заостренную форму. Чем больше амплитуда магнитного потока, тем сильнее сказывается насыщение стали, острее кривая тока и резче в ней выступают в первую очередь третья, а затем и пятая гармоники.

Основная гармоника тока (рис. 25.10) совпадает по фазе с магнитным потоком и отстает от напряжения на четверть периода. Активная мощность, потребляемая от источника синусоидального напряжения, равна нулю.

Расчет аналиrический. К тем же выводам можно прийти, выражая характеристику намагничивания, например, в виде

Подставив , находим

Учитывая, что

после преобразований получим

Это выражение показывает, что кривая i (t) имеет в сравнении с синусоидой заостренную форму, так как максимумы 1-й и 3-й гармоник совпадают при и т. д., следовательно,

·Рассмотрим теперь случай, когда катушка со стальным магнитопроводом питается от источника синусоидального тока и петлей гистерезиса можно пренебречь.

Графический расчет. Аналогично предыдущему по известным кривым i (t) и характеристике Ф (i) на рис. 25.11 построена кривая магнитного потока Ф (t). Полученная кривая имеет тупую (приплюснутую) форму. Кривая напряжения на катушке, построенная путем графического дифференцирования кривой магнитного потока, имеет заостренную форму

Расчет аналитический. То же можно показать, пользуясь приближенным аналитическим выражением кривой намагничивания

Подставив , получим

или после преобразований, учитывая (25.22),

Напряжение

Последнее выражение показывает, что кривая имеет заостренную форму, так как максимумы 1-й и 3-й гармоник Совпадают при а отношение амплитуды 3-й гармоники к 1-й для напряжения в 3 раза больше, чем для потока. Таким образом, при синусоидальном намагничивающем токе относительно небольшая несинусоидальность кривой магнитного потока приводит к более значительному отличию от синусоиды кривой напряжения на катушке

Сложнее расчет при учете потерь стали, если нельзя пренебречь гистерезисом и необходимо учитывать неоднозначность зависимости между i и Ф. Эта зависимость - петля гистерезиса - показана на рис. 25.12. Графическое построение для расчета тока катушки выполняется по точкам аналогично рис. 25.10 и для случая питания катушки от источника синусоидального напряжения показано на рис. 25.12. Как видно из построения, максимумы тока и магнитного потока во времени совпадают, но ток проходит через нуль несколько раньше, чем магнитный поток достигает нуля, что обусловлено гистерезисом.

При аналитическом решении этой задачи обычно ток в катушке со сталью представляют в виде суммы двух составляющих. Зависимость одной из них от магнитного потока выражается однозначной функцией, подобной (25.20), а зависимость второй от магнитного потока изображается эллипсом, оси которого соответствуют максимальной индукции в стали и коэрцитивной силе.

Все большее применение в технике получают сегнетоэлектрика. Конденсаторы с сегнетоэлектриками имеют нелинейную характеристику q (и). Эта зависимость аналогична кривой Ф (i) у катушек со стальным магнитопроводом. Если учесть, что ток в конденсаторе выражается подобно тому, как и напряжение на катушке и (t), то, выполняя построения, аналогичные рис. 25.10 или 25.11, легко установить характер кривых тока и напряжения для конденсатора с сегнетодиэлектриком.

При достаточно большом синусоидальном напряжении на конденсаторе кривая тока имеет заостренную форму [аналогично и (t) на рис. 25.11], а при синусоидальном токе в конденсаторе на нем возникает несинусоидальное напряжение заостренной формы [ аналогично i (t) на рис. 25.10]. В обоих случаях в несинусоидальных кривых наиболее резко выступает 3-я гармоника. При последовательном соединении линейного и нелинейного или нескольких различных нелинейных индуктивных элементов и питании такой цепи от источника синусоидальной ЭДС как ток, так и напряжение на различных участках оказываются обычно несинусоидальными. В этих случаях токи и напряжения можно определять также на основании графических построений или аналитических расчетов.

Пример №115

Цепь состоит из линейного и нелинейного индуктивных элементов, включенных последовательно; напряжение питания гармоническое: (рис. 25.13, а). Зависимость задана графически (рис. 25.13, 6). Построить зависимости

Решение:

Потокосцепление первой катушки и, следовательно, общее потокосцепление

Так как общее напряжение

то кривая -также синусоидальная: (рис. 25.13, 6).

На этом же рисунке построены прямая и суммарная кривая для положительных значений этих величин. Зная для любого момента времени значение (например, точки 1 и 2), графически определим соответствующие значения ' и и построим графики Это построение выполнено на рис. 25.13, б. Как видно и1 построения, при данном значенииимеет в сравнении с синусоидой наостренную форму, а , наоборот, притупленную. Если теперь определить путем графического дифференцирования напряжения , то легко убедиться в том, что оба напряжения несинусоидальные: напряжение имеет притупленную форму, а напряжение - заостренную.

Пример №116

Катушка со стальным магнитопроводом в ее номинальном режиме питается от источника синусоидального напряжения = 127 В, ток в катушке = 1 А. При этом амплитуда магнитной индукции = 1 Тл. Определить максимальное значение тока при ошибочном включении катушки на напряжение 220 В. Материал магнитопровода - сталь 1561.

Решение:

По характеристике стали 1561 (см. рис. 24.3) при = 1 Тл определяем = 180 А/м. При увеличении напряжения в 220/127 = раз магнитный поток, а следовательно, и амплитуда магнитной индукции увеличатся в раз и составят = = 1,73 Тл. По характеристике стали для этого значения индукции = 6000 А/м и, следовательно, максимальное значение тока возрастет в = 6000/180 = = 33,3 раза и составит = 47 А. Из этого примера видно, что при ошибочном включении катушки на напряжение в раз больше номинального, максимальное значение тока может возрасти бол'ее чем в 30 раз и форма кривой тока вместо практически синусоидальной при номинальном режиме станет резко несинусоидальной с острыми пиками

Рассматривая форму несинусоидальных кривых, получаемых в цепях с реактивными нелинейными элементами, можно заметить, что во всех случаях кривые симметричны относительно оси абсцисс и, следовательно, не содержат четных гармоник. Отсутствие четных гармоник - следствие симметрии нелинейных характеристик реактивных элементов (рис. 25.10, 25.11 и 25.13).

Утроители частоты

Как было показано выше, при питании цепей с нелинейными элементами от источника синусоидального напряжения на отдельных участках возникают резко несинусоидальные напряжения, в которых при симметрии нелинейных характеристик обычно наиболее резко выделяется 3-я гармоника. Это явление положено в основу устройства различных типов утроителей частоты.

Схема одного из типов утроителей частоты изображена на рис. 25.14. Утроитель частоты состоит из трех одинаковых однофазных трансформаторов, первичные обмотки которых соединены в звезду, а вторичные - в открытый (разомкнутый) треугольник.

В токах симметричного приемника, соединенного звездой, при отсутствии нейтрального провода, как известно, отсутствуют гармоники, кратные трем. Следовательно, токи в первичной цепи каждого из трансформаторов могут состоять только из 1-й, 5-й, 7-й и других нечетных гармоник, не кратных трем. Если в первом приближении пренебречь более высокими гармониками, чем 3-я, то можно считать, что токи в первичных цепях синусоидальны. Трансформаторы работают в режиме насыщения магнитопроводов, поэтому магнитные потоки, а следовательно, и напряжения на вторичных обмотках несинусоидальны и в числе прочих гармоник содержат гармоники, кратные трем.

При соединении вторичных обмоток в разомкнутый треугольник сумма напряжений всех гармоник, не кратных трем, обращается в нуль, а 3-я, 9-я и так далее гармоники суммируются и как было показано выше, при напряжение на вторичных выводах равнин цепей с нелинейными элементами но утроенной сумме гармоник, кратных от источника синусоидального напряжения.

Если звезда, составленная из нелинейных элементов, подключена к трехфазному источнику питания с выведенной нейтральной точкой, то утроение частоты можно получить, не прибегая к трансформации напряжения.

На рис. 25.15 изображена схема утроителя частоты, который состоит из трех катушек с ферромагнитными магнитопроводами, соединенных звездой. Так как в токах системы без нейтрального провода отсутствуют гармоники, кратные трем, и, следовательно, токи в катушках практически синусоидальны, то в потоках и, следовательно, в напряжениях на катушках содержатся гармоники, кратные трем. При синусоидальных ЭДС источника питания с частотой между нейтральными точками N - п возникает напряжение, изменяющееся с частотой Зсо, амплитуда которого тем больше, чем сильнее сказывается насыщение стали. Вместо насыщающихся катушек со стальными магнитопроводами в качестве нелинейных сопротивлений могут быть включены нелинейные конденсаторы или нелинейные резисторы. Во всех случаях между точками N и п возникает напряжение тройной частоты.

Трехфазные цепи с нелинейными элементами, имеющими симметричные характеристики, применяются и при осуществлении иных задач. В этих случаях появление высших гармоник может носить паразитный характер. Так, например, в дуговой сталеплавильной печи, схема которой подобна рис. 25.15, а сопротивлениями нагрузки являются мощные электрические дуги с нелинейными характеристиками, между точками N и п может возникнуть напряжение тройной частоты с таким максимальным значением, которое может представлять опасность для обслуживающего персонала. Утроение частоты получают не только в трехфазных, но и в однофазных системах. На рис. 25.16 изображена мостовая схема с конденсаторами, два из которых имеют одинаковую линейную характеристику , а два других - одинаковую нелинейную характеристику сегнетодиэлектрика. Если к одной из диагоналей моста подключить источник синусоидального напряжения , то при соответствующем выборе параметров цепи на выводах второй диагонали получится напряжение тройной частоты

Пример №117

Построить график напряжения в цепи (рис. 25.16) при известном синусоидальном напряжении питания и заданных характеристиках конденсаторов (рис. 25.17).

Решение:

Для мгновенных значений напряжений справедливы следующие равенства:

Так как при отсутствии тока во второй диагонали заряды обоих включенных последовательно конденсаторов в любой момент времени равны. то, имея характеристику и зная, что , построим и как сумму и разность прямой и кривой (рис. 25.17). По характеристикам для заданного построим зависимость (рис. 25.17).

Формы кривых тока и напряжения в цепях с терморезисторами

Выше были рассмотрены цеnи. в которых нелинейная зависимость связывала мгновенные ·значения тока и напряжения, тока и магнитного потока или напряжения и заряда (бзынерционные элементы). Предполагаюсь, что нелинейная характеристика не зависит ни от времени, ни от скорости процесса.

Однако существуют сопротивления, для которых эти допущения несправедливы. К их числу в первую очередь относятся терморезисторы, в которых нелинейность характеристики обусловлена тепловыми процессами, происходящими достаточно медленно. При частоте 50 Гц и выше за четверть периода (промежуток времени, за который ток нарастает от нуля до наибольшего значения) температура терморезистора вследствие инерционности обычно изменяется так мало, что приближенно можно считать температуру постоянной.

Таким образом, в пределах периода тока сопротивление можно рассматривать как неизменное, т. е. между мгновенными значениями и и i существует линейная зависимость при постоянной температуре. При изменении действующего значения тока изменяется температура терморезистора, а следовательно, и сопротивление. Поэтому между действующими значениями тока и напряжения существует нелинейная зависимость. Такие элементы, как терморезисторы, для которых зависимость между действующими или амплитудными значениями основных величин (например, в случае терморезисторов напряжения и тока) нелинейна, а зависимость между мгновенными значениями этих величин остается линейной, называют условно-нелинейными

В качестве примера рассмотрим лампу с угольной нитью накаливания, подключенную к источнику синусоидального напряжения На рис. 25.18 слева показана нелинейная характеристика , связывающая действующие значения тока и напряжения Эта характеристика одинакова для постоянного и переменного токов. Для холодной лампы зависимость между мгновенными значениями тока i и напряжения и изображается прямой, касательной к кривой в начале координат. По мере увеличения действующего значения тока l возрастает температура нити и соответственно уменьшается сопротивление. Теперь уже зависимость между выражается прямой, проходящей ,через начало координат и пересекающей кривую в точке с координатами , т. е. действующими значениями напряжения и тока при данной температуре нити.

На рис. 25.18 построены кривые i (t), получающиеся при одном и том же значении в первый момент включения, когда сопротивление лампы равно сопротивлению холодной лампы , и при установившемся режиме нагрева нити лампы, когда Так как зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения терморезисторов линейная, то при синусоидальном напряжении ток также синусоидальный

Отсутствие высших гармонических в кривых тока и напряжения весьма облегчает расчет цепей с терморезисторами. При отсутствии катушек индуктивности и конденсаторов расчет схемы с терморезисторами на переменном токе ничем не отличается от расчета нелинейных цепей при постоянном токе.

Замена реальных нелинейных элемеиrов условно-нелинейными

У терморезисторов условную нелинейность их характеристик вносит тепловая инерция. У конденсаторов и катушек условная нелинейность может быть следствием инерционного изменения взаимного расположения пластин конденсаторов или обмоток катушек индуктивности, происходящего под влиянием электростатических или электродинамических сил. Так, некоторые электромеханические системы (например, конденсаторы электростатических вольтметров или катушки электродинамических амперметров) являются условно нелинейными емкостными или индуктивными элементами. Для них зависимости между мгновенными значениями заряда q и напряжения и или потока Ф и тока i остаются линейными при нелинейности характеристик, связывающих действующие значения .

Для нелинейных индуктивных и емкостных элементов, не содержащих движущихся частей, таких примеров нет. Однако простота расчета цепей с терморезисторами и сложность точного рас

чета нелинейных цепей заставляют искать приближенные методы анализа электрических цепей, содержащих нелинейные элементы L и С, подобные расчету цепей с терморезисторами. Таким приближенным методом является расчет с допущением, что при нелинейной зависимости между действующими значениями сохраняется прямая пропорциональность между мгновенными значениями i и Ф или и и q. При этих допущениях реальные нелинейные элементы заменяются условно-нелинейными и расчет ведется без учета высших гармоник или с заменой несинусоидальных кривых i (t), Ф (t), и (t) или q (t) эквивалентными синусоидами.

Разумеется, что анализ цепей с условно-нелинейными элементами справедлив только в тех случаях, когда высшие гармоники не играют существенной роли, а более важна нелинейная зависимость между действующими значениями. Такой анализ относится к методам условной линереализации

Учет реальных свойств стальных магнитопроводов

Выше в большинстве примеров рассматривались характеристики катушек со сталью без учета потерь в стали, т. е. той части энергии, которая расходуется на нагрев стали, обусловленный гистерезисом и вихревыми токами.

При инженерных расчетах технических устройств, содержащих стальные магнитопроводы и работающих при переменном токе, такое допущение делать нельзя, так как именно этими явлениями и обусловлены потери энергии, значение которых определяет тепловой режим работы устройств.

Вихревые токи возникают в стальном магнитопроводе под влиянием электрического поля, наводимого в магнитопроводе переменным магнитным потоком. На рис. 25.19, а распределение вихревых токов в массивном магнитопроводе схематически показано штриховыми линиями.

Кроме потерь энергии вихревые токи производят размагничивающее действие, которое сильнее сказывается в середине магнитопровода и меньше у его поверхности. Это объясняется тем, что средние участки магнитопровода охватываются большими вихревыми токами, чем участки, близкие к поверхности магнитопровода. Поэтому распределение магнитного поля по сечению магнитопровода оказывается неравномерным. Индукция больше у поверхности магнитопровода и меньше внутри него. Внутренние участки магнитопровода как бы экранируются вихревыми токами.

Для уменьшения потерь энергии от вихревых токов и их экранирующего действия магнитопровод собирают из отдельных электрически изолированных один от другого листов (рис. 25.19, 6). В таком магнитопроводе вихревые токи уменьшатся, так как будут замыкаться по узким вытянутым путям, представляющим большое сопротивление. Кроме того, уменьшится экранирующее действие, так как весь магнитопровод разделен на отдельные листы, находящиеся в одинаковых условиях. Неравномерность распределения магнитного потока в пределах каждого листа при достаточно малой его толщине незначительна. Применяются также магнитопроводы, собранные из электрически изолированных тонких стальных проволок.

Для уменьшения вихревых токов листы и проволоку, из которых собирается магнитная цепь, изготовляют из специальных сортов электротехнической стали, содержащей различные присадки (примеси), снижающие удельную проводимость. Чтобы потери энергии от вихревых токов не были чрезмерно велики, толщину листов берут тем меньше, чем выше _частота. При частоте

применяют листы толщиной 0,25 - 0,5 мм, при звуковых частотах порядка сотен и тысяч герц применяют листы толщиной 0,02-0,05 мм. При более высоких частотах применяют магнитопроводы из более тонких лент. Для частот до 30-50 МГц применяют магнитопроводы, выполненные из Магнитодиэлектрики - ферритов. Магнитодиэлектрики состоят из ферромагнитного порошка с размерами частиц порядка нескольких микрон и связывающего эти частицы диэлектрика. Расчет распределения магнитного потока в стальных магнитопроводах и подсчет потерь от вихревых токов рассматриваются в теории электромагнитного поля. Если можно пренебречь неравномерностью распределения магнитного потока в поперечном сечении листов, из которых собран магнитопровод, то для мощность вихревых токов получается следующая зависимость:

где -коэффициент, зависящий от сорта стали и размеров стальных листов; -амплитуда магнитной индукции; G - масса рассматриваемой части магнитопровода.

Периодическое перемагничивание стали сопряжено с потерями энергии, обусловленными гистерезисом. Мощность потерь от гистерезиса пропорциональна частоте и определяется по различным эмпирическим формулам, например

где - коэффициент, зависящий от сорта стали; n = 1,6 при значениях Вт в пределах от 0,1 до 1 Тл и п = 2 при значениях в пределах от 1 до 1,6 Тл.

То обстоятельство, что потеря энергии от вихревых токов и от гистерезиса имеют различную зависимость от частоты, позволяет отдельно рассчитать или измерить их, если известны суммарные потери в магнитопроводе для двух (или более) значений частоты, но при одном и том же значении индукции .

Рассмотрим простейшую магнитную цепь, представленную на рис. 25.20, а, допуская, что активным сопротивлением обмотки и индуктивностью рассеяния, обусловленной частью магнитного потока катушки, замыкающейся через воздух, можно пренебречь. При этих допущениях и синусоидальном напряжении магнитный поток в стальном магнитопроводе синусоидальный (25.18), а ток в катушке имеет несинусоидальную форму (рис. 25.20, 6).

На практике при расчете режима катушки со стальным магнитопроводом целесообразно заменить реальный стальной магнитопровод некоторым условно-нелинейным элементом, в котором синусоидальный магнитный поток возникает под действием также синусоидального тока (рис. 25.20, 6), в известной степени эквивалентного действительному несинусоидальному току i. Условием эквивалентности является; во-первых, равенство действующих значений токов , во-вторых, равенство потерь, обусловленных токами и i.

Замена реальной кривой тока эквивалентной синусоид позволяет при расчете цепи пользоваться комплексным методом и векторными диаграммами. Векторная диаграмма рассматриваемой простейшей цепи изображена на рис. 25.20, в, а соответствующая ей эквивалентная схема - на рис. 25.20, г

Для определения параметров эквивалентной синусоиды - действующего значения и угла сдвига фаз о относительно магнитного потока или активной (потерь) и реактивной (намагничивающей) составляющих (рис. 25.20, в) - обычно пользуются реальными характеристиками стального магнитопровода, снятыми при переменном токе заданной частоты. Значения зависят от числа витков катушки w, от размеров стального магнитопровода и от максимального значения магнитной индукции в стальном магнитопроводе

При расчете таких цепей в качестве характеристик магнитопровода удобнее пользоваться не непосредственно значениями , а не зависящими от числа витков катушки величинами: реактивной мощностью

которую называют намагничивающей, и активной мощностью

соответствующей потерям в сталии равной сумме потерь, обусловленных вихревыми токами и гистерезисом:

Все эти мощности относят к единице массы стального магнитопровода G, и в качестве характеристик стали принимают

выражающие удельную намагничивающую и удельные потери, обусловленные гистерезисом и вихревыми токами.

Значения зависят от марки (сорта) стали способа ее намагничивания (ток или магнитный поток синусоидальный) и особенно от максимального значения индукции Так, как магнитная система обычно рассчитывается для

практически синусоидальной формы кривой магнитного потока, то значения определяют для синусоидального магнитного потока.

На рис. 25.21 приведены полученные экспериментально зависимости и от максимального значения индукции для электротехнической стали с толщиной листов 0,5 мм марки 1512 (электротехническая высоколегированная сталь с низкими потерями, применяемая в трансформаторах) при частоте = 50 Гц.

Аналогичные графики или таблицы есть и для других марок стали. Зная величины , легко перейти к составляющим тока и проводимости в эквивалентной схеме катушки. Действительно, по закону электромагнитной индукции напряжение И связано с максимальным значением магнитного потока соотношением (25.19):

или в комплексной форме

где - сечение магнитопровода, а коэффициент

Подставив это выражение в (25.28) и (25.29), получим составляющие тока

или составляющие проводимости в эквивалентной схеме (рис. 25.20, г)

Как видно из полученных выражений, при заданных постоянных значениях частоты числа витков катушки w, сечения S и массы G стального магнитопровода составляющие тока пропорциональны , а проводимости пропорциональны

Таким образом, построив зависимости этих величин от средней по сечению индукции , в свою очередь пропорциональной напряжению И, можно судить о характере нелинейности рассматриваемого элемента

На рис. 25.22 построены зависимости для стали 1512. Из графика видно, что ток увеличивается с изменением напряжения по закону, близкому к прямолинейному, и соответственно эквивалентная активная проводимость изменяется мало. Во многих случаях проводимость можно считать постоянной. Как уже было указано, потери от вихревых токов пропорциональны квадрату магнитной индукции и, следовательно, составляющая , обусловленная вихревыми токами, постоянна. Потери же от гистерезиса зависят от магнитной индукции по более сложному закону и только в ограниченном диапазоне изменения индукции пропорциональны квадрату индукции. Некоторая зависимость от Вт обусловлена изменением формы гистерезисной петли с увеличением индукции. Так как для стали 1512 при малых значениях индукции отношение высоты к ширине петли гистерезиса меньше, чем для больших значений индукции, то с ростом индукции значение убывает

Кривая зависимости значительно отличается от прямой и аналогична кривой намагничивания стали. Некоторое различие форм кривой и кривой намагничивания вызвано различными значениями коэффициента амплитуды кривой тока при разных степенях насыщения стали. Если при малых значениях индукции этот коэффициент близок к значению характеризующему синусоиду то при насыщении стали он сначала увеличивается до двух и даже несколько выше, а при сильном насыщении может несколько снизиться. Поскольку зависимость нелинейна, то проводимость значительно изменяется с изменением напряжения . Таким образом, при расчете катушек и трансформаторов со стальными магнитопроводами необходимо считаться с нелинейностью реактивной проводимости в схемах замещения (рис. 25.20, г).

Расчет тока в катушке со стальным магнитопроводом

Рассмотрим катушку со стальным магнитопроводом при достаточно низкой частоте переменного тока, так что емкостью между витками катушки можно пренебречь.

На рис. 25.23, а схематически показана картина магнитного поля катушки. Часть магнитных линий замыкается помимо магнитопровода, через воздух, и определяет индуктивность рассеяния и индуктивное сопротивление Катушка имеет активное сопротивление обмотки r

Так как эти сопротивления при синусоидальном токе вызывают падение напряжения , то эквивалентная схема катушки отличается от схемы, только наличием · последовательно включенного сопротивления (рис. 25.23, б). Соответственно векторная диаграмма (рис. 25.23, в) отличается от диаграммы, изображенной на рис. 25.20, в, только составляющими падения напряжения

Если задано напряжение питания то из-за падения напряжения непосредственно нельзя найти и эквивалентные нелинейные проводимости , соответствующие данному режиму. В этом случае необходимо вести расчет либо итерационным методом, либо графически, преобразовав схему к более удобному для расчета виду.

Рассмотрим примеры расчета этими методами

Пример №118

Магнитопровод катушки имеет сечение , массу G = 1,4 кг и выполнен из стали марки 1512. Число витков обмотки w = 1200. Сопротивление . Напряжение питания U = 220 В. Рассчитать ток в катушке итерационным методом.

Решение:

Первоначально - в нулевом приближении (индекс О) - задаемся Индукция

По графику рис. 25.21 находим (для большей точности следует пользоваться не графиками а соответствующими таблицами).

Далее рассчитываем

т. е.

Так как действительное значение U отличается от то для определения следующего приближения, применяя метод пропорциональных величин, получаем

Теперь, задавшись, повторяем аналогичный расчет и получаем

Следующее приближение

дает еще более близкое решение. Так, после ряда последовательных приближений получаем и, следовательно, итерационный процесс закончен. Для заданной катушки

Пример №119

Произвести графический расчет катушки примера 25.4.

Решение:

Для этой цели преобразуем источник напряжения 220 В в источник тока J, подключенный параллельно нелинейному участку с проводимостью (рис. 25.24, а). Кроме того, последовательное соединение элементов преобразуем в параллельное с проводим остями (рис. 25.24, 6)

Теперь схема имеет вид включенных параллельно двух линейных (g и b) и двух нелинейных элементов, к которым подведен ток

Зависимости от напряжения могут быть найдены по известным характеристикам стали (рис. 25.22) и формулам (25.32). На основании этих зависимостей и известных значений g и Ь можно построить зависимость полной проводимости между точками А и В от напряжения Такое построение выполнено на рис. 25.25. Кроме того, между полной проводимостью и напряжением существует зависимость, определяемая законом Ома:

Точка пересечения двух графиков дает искомое значение

По графику рис. 25.25 получаем . Дальнейший расчет токов ничем не отличается от расчета, проведенного в примере 25.4.

Сравнивая оба метода расчета, можно заметить, что метод последовательных приближений дает более точное решение задачи, а графическое решение более наглядно; на основании полученного графического построения легко судить о влиянии от дельных параметров схемы на результаты расчета. Для расчетов при помощи ЭВМ метод последовательных приближений (итераций) является основным

Понятие о расчете условно-нелинейных маmитных цепей

Применяя аналогичную методику, можно рассчитывать и магнитные цепи переменного тока. Так же как и в магнитных цепях постоянного тока, расчета магнитной цепи переменного тока лежит заданная зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля. Однако теперь эти величины характеризуются не только модулем, но и фазой. Так как комплекс напряженности магнитного поля связан с комплексом МДС равенством

где l - длина средней магнитной линии в стали, а , где S - сечение стали, то от векторной диаграммы и Ф, изображенной на рис. 25.20, в, легко перейти к векторной диаграмме в стали, показанной на том же рисунке. Отношение комплексов действующих значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля представляет собой комплексное число

где называется комплексной относительной магнитной пронициемостью.

Понятие комплексной проницаемости было введено профессором Московского университета В. К. Аркадьевым в 1913 г. и получило широкое применение при расчете магнитных цепей переменного тока.

Значение может бьпь непосредственно рассчитано на основании известных удельных мощностей Выразив через, согласно (25.28)-(25.30) и (25.33) получим с учетом (25.34) для сопряженной комплексной мощности магнитной цепи

где V - объем стали.

Решив последнее уравнение относительно , и учитывая, что отношение массы стали G к ее объему V представляет собой ее плотность d, получим

Действительная часть комплексной магнитной проницаемости пропорциональна реактивной мощности намагничивания , а мнимая часть - потерям в стали

Наряду с комплексной проницаемостью иногда целесообразно пользоваться понятием комплексного магнитного удельного сопротивления

где

При параллельном соединении участков магнитной цепи у доб нее пользоваться понятием а при последовательном соединении более простые выражения получаются с

Рассмотрим теперь простейшую магнитную цепь, состоящую из стального магнитопровода длиной и сечением , с воздушным зазором длиной и сечением

Определим магнитный поток в цепи, создаваемый МДС . Расчет магнитного потока в цепи можно произвести аналогично расчету магнитной цепи постоянного тока:

где магнитные сопротивления

Из (25.40) видно, что действительная составляющая пропорциональна реактивной мощности намагничивания, а мнимая - потерям в стали. В полученном выражении зависит от магнитной индукции в стали.

Для решения задачи воспользуемся методом последовательных приближений. Задавшись приближением и определив по графику или по таблице соответствующие ему , по (25.38) рассчитаем нулевое приближение Подставив полученное значение в (25.40) и (25.39), найдем первое приближение магнитного потока , а следовательно, и магнитной индукции, Для нового значения определим по графику или таблице соответствующие ему , по (25.38) получим первое приближение , а по (25.39) - второе приближение для магнитного потока. Так, после ряда последовательных приближений можно получить решение задачи с необходимой точностью.

Аналогичным путем могут быть рассчитаны и более сложные разветвленные магнитные цепи, содержащие несколько намагничивающих обмоток.

При решении этих задач может быть также применен графический метод.

Пример №120

Магнитопровод катушки выполнен из стали 1512 (толщина листа 0,5 мм), характеристики которой приведены на рис. 25.21, 25.22. Требуется определить значение магнитной индукции в магнитопроводе при МДС F = 1000 А. Размеры: Плотность стали

Решение:

Для удобства расчета последующего приближения по предыдущему формулы (25.38)-(25.40) преобразуем следующим образом:

Направив вектор по действительной оси и подставив числа, получим

По этой формуле при помощи графика, изображенного на рис. 25.22, произведем расчет ряда приближений. Результаты расчета приведены в табл. 25.1. Как видно из расчета, в данном случае ряд последовательных приближений сходится весьма медленно и потребовалось 17 приближений для получения удовлетворительной точности результата.

Однако расчет можно значительно упростить, если, рассмотрев первые два приближения, начать процесс сначала, задавшись в качестве нулевого приближения средним значением индукции, полученным в результате первых двух приближений.

Так, задавшись вначале и получив (табл. 25.1), можно начать расчет снова, принимая в качестве нулевого приближения

Ряд последовательных приближений для этого случая совпадает с приближениями 16 и 17 предыдущего случая (табл. 25.1 ). Очевидно, что теперь достаточно двух приближений для получения удовлетворительной точности

Условно-нелинейная схема замещения трансформатора

Рассмотренная схема замещения катушки со стальным магнитопроводом может быть основой для построения схемы замещения трансформатора с ферромагнитным магнитопроводом (рис. 25.26). Первичная обмотка трансформатора имеет витков, сопротивление и индуктивность рассеяния , а вторичная обмотка витков, сопротивление и индуктивность рассеяния Магнитный поток в стальном магнитопроводе создается МДС

Положительные направления токов выбраны в соответствии с рис. 25.26.

Уравнения электрических цепей · обмоток при выбранных положительных направлениях всех величин имеют следующий вид:

Переходя к эквивалентным синусоидам токов, напряжений и магнитного потока в стали, получим в комплексной форме следующие уравнения:

Для составления электрической схемы замещения трансформатора вводят приведенные к первичной обмотке значения напряжений, токов и параметров вторичной обмотки:

С учетом обозначения первое и третье уравнения (25.43) после преобразования принимают следующий вид:

Электрические схемы замещения, соответствующие уравнениям (25.42) и (25.44), представлены на рис. 25.27, а и 6. У словно-нелинейная комплексная проводимость

где

Так как для магнитной цепи

то

где определяется согласно (25.40) и зависит от амплитудного значения магнитной индукции, характеристик стали и геометрических размеров магнитопровода.

Для магнитной цепи трансформатора, подобно тому как это делалось для магнитных цепей постоянного тока, также может быть построена эквивалентная схема или электрическая схема замещения магнитной цепи (рис. 25.27, в).

Здесь соответствует уравнению (25.46), а

где магнитные сопротивления рассеяния обмоток 1 и 2, через которые могут быть выражены индуктивности рассеяния

Аналогично однофазному трансформатору могут быть составлены схемы замещения для трехфазного трансформатора (рис. 25.28). Магнитная система трансформатора представляет собой трехфазный магнитопровод, на каждом из стержней которого расположены первичная и вторичная обмотки фаз А, В и С. Для каждой из фаз трансформатора справедливы уравнения (25.43) и электрическая схема замещения (рис. 25.27, в). Однако выражение для магнитного потока в стали (25.46) будет справедливо только при равенстве магнитных потенциалов точек 1 и 2 магнитной цепи (рис. 25.28, а). Последнее выполняется только при условии

где - магнитный поток, замыкающийся помимо магнитопровода, или полной симметрии трехфазной системы, для которой

В общем случае, особенно для трехфазной цепи с нейтральным проводом, необходимо рассчитывать разветвленную магнитную цепь, для которой электрическая схема замещения показана на рис. 25.28, 6. На рисунке не показаны цепи магнитных потоков рассеяния (см. рис. 25.27, в), так как они не влияют на распределение магнитных потоков в стальном магнитопроводе.

Сопротивление представляет собой сопротивление магнитному потоку, который замыкается между точками 1 и 2 магнитопровода через воздух и стальной кожух трансформатора. Так как при этом в кожухе трансформатора возникают потери на вихревые токи и гистерезис, то это сопротивление содержит мнимую составляющую и выражается комплексным числом. Рассмотрение аналогичных схем замещения магнитной цепи трансформатора имеет большое значение при расчете несинусоидальных магнитных потоков трансформатора, для которых составляющие частот, кратных трем, совпадают по фазе и замыкаются через кожух трансформатора.

Феррорезонанс

В цепях с нелинейной катушкой индуктивности и конденсатором плавное изменение напряжения может вызывать скачки фазы и амплитуды основной гармоники тока и наоборот - плавное изменение тока может сопровождаться скачкообразным изменением фазы и амплитуды основной гармоники напряжения на некоторых участках цепи. Явление изменения знака угла сдвига фаз между основными гармониками напряжения и тока при изменении напряжения или тока источника питания, обусловленное нелинейностью катушек со сталью, носит название феррорезонанса.

В линейных цепях подобные явления принципиально невозможны. Точный анализ феррорезонанса с учетом несинусоидальности формы кривых представляет значительные трудности. Поэтому в дальнейшем применяется упрощение, при котором напряжение, ток и магнитный поток заменяются эквивалентными синусоидами, а индуктивность принимается условно-нелинейной и зависящей от тока. Кроме того, предполагается, что катушки со сталью не имеют потерь, т. е. угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидами напряжения и тока катушки , и что зависимость между их действующими значениями задана.

Феррорезонанс напряжений. Рассмотрим последовательное соединение катушки со стальным магнитопроводом и конденсатора (рис. 25.29). Напряжение на катушке без потерь опережает ток , напряжение на конденсаторе отстает от тока на . Напряжение питания Так как напряжения имеют противоположные фазы, то Зависимость напряжения на катушке от тока задана кривой (рис. 25.30, а). Зависимость напряжения на конденсаторе от тока представлена на том же рисунке наклонной прямой линией, проходящей через начало координат.

Емкость С можно всеr да выбрать такой, чтобы прямая пересекла кривую Разность ординат кривой и прямой дает кривую , определяющую значения общего напряжения при разных значениях тока. Точка пересечения кривой с осью абсцисс соответствует феррорезонансу напряжений

В данном случае, как и в некоторых линейных цепях, резонанс напряжений достигается из-за изменения индуктивности, однако в отличие от линейных цепей это изменение индуктивности происходит не независимо от тока в цепи, а как следствие зависимости эквивалентной индуктивности катушки со сталью от действующего значения тока / (рис. 25.30, а). Так как действующее напряжение И - положительная величина, то кривая совпадает с кривой только при При кривая представляет собой зеркальное изображение кривой .

Участки графика вблизи точки чисто теоретические. Практически из-за потерь в стали и в сопротивлении обмотки, а особенно из-за искажения формы кривых тока и напряжения кривая имеет несколько иной вид (рис. 25.30, 6).

Если цепь питается непосредственно от источника напряжения, то при изменении напряжения возможны скачкообразные изменения тока. При плавном изменении напряжения питания от нуля до (рис. 25.30, б) ток по фазе отстает от напряжения изменение его значения происходит по участку характеристики О 1. В точке 1 происходит скачок, при котором ток возрастает до значения , соответствующего точке 2; по фазе теперь ток опережает напряжение , как видно из рис. 25.30, а), т. е. происходит опрокидывание фазы. Дальнейшее возрастание напряжения сопровождается плавным увеличением тока. Уменьшение напряжения до значения И 3 снова вызывает скачок тока, соответствующий переходу ТОЧКИ 4 В ТОЧКУ 5.

Угол сдвига фаз между напряжением и током в точках 1 и 5 носит индуктивный характер, в точках 2 и 3 - емкостный, а в точке 4 он близок к нулю. График изменения тока и напряжений в зависимости от общего напряжения И показан на рис. 25.31. На участке значения с различны в зависимости от того, происходит ли увеличение напряжения от значения или уменьшение от значения

Некоторому значению напряжения источника на характеристике соответствуют три значения тока и (рис. 25.30, 6). Точке а соответствует ток, получающийся в цепи при повышении напряжения от значения меньшего, чем , до значения . Точке с соответствует ток, получающийся при снижении напряжения от значения большего, чем а до значения

Точка b, лежащая в промежутке между точками скачкообразного изменения тока (точки 1 и 4), не может быть достигнута при питании цепи от источника напряжения. Характеристику при всех значениях тока можно получить в случае питания цепи не от источника заданного напряжения, а от источника заданного тока. Если, например, последовательно с источником напряжения, намного превышающего , включить резистор с достаточно большим сопротивлением, то, изменяя его сопротивление, можно задавать любое значение тока /. Таким образом, плавно изменяя ток, можно снять всю кривую , показанную на рис. 25.30, б.

Сравнивая кривые , представленные на рис. 25.31, заметим, что при наклон кривой много меньше, чем наклон кривой . Малый наклон характеристики в области больших насыщений стали позволяет осуществить феррорезонансные стабилизаторы напряжения.

Феррорезонанс токов. Если катушка со стальным магнитопроводом и конденсатор соединены не последовательно, а параллельно (рис. 25.32), то в цепи также могут возникнуть резонансные явления. Однако в этом случае при питании цепи от источника заданного напряжения не происходит скачков тока и наоборот - при питании цепи от источника заданного тока возможны скачки напряжения, сопровождающиеся изменением знака угла сдвига фаз между напряжением и током.

Так же как и в предыдущем случае, построим зависимости от напряжения источника (рис. 25.33). Так как при отсутствии потерь ток в конденсаторе опережает напряжение на угол , а эквивалентная синусоида тока в катушке отстает от напряжения на , то общий ток Разность

абсцисс графиков дает кривую , абсциссы которой определяют общий ток при различных значениях напряжений (рис. 25.33).

Из построения видно, что при некотором значении напряжения ток в катушке компенсирует ток в конденсаторе и наступает ф ер р о р ез о н а н с т о к о в

На рис. 25.34 построена зависимость - штриховая линия. Полученная кривая носит теоретический характер. Практически из-за потерь в стали и несинусоидальности тока в катушке даже при равенстве действующих значений общий ток не равен нулю. На практике зависимость между общим током и напряжением имеет вид сплошной кривой на рис. 25.34.

Можно подобрать такое значение напряжения , при котором реактивная составляющая первой гармоники равна току В этом случае общий ток содержит только активную составляющую первой гармоники и высшие гармоники тока в катушке. Обычно амплитуда активной составляющей значительно меньше амплитуд высших гармоник, причем наибольшую амплитуду имеет третья, так что общий ток изменяется с тройной частотой.

Если питать цепь не от источника заданного напряжения, а от источника заданного тока, то наблюдаются скачки напряжения. Плавное увеличение тока от нуля до приводит к изменению напряжения по участку характеристики 01 (рис. 25.34). Дальнейшее увеличение приводит к резкому возрастанию напряжения и изменению знака угла сдвига фаз между (переход из точки 1 в точку 2). При малых токах реактивное сопротивление цепи емкостное, а при больших токах - индуктивное. Последующее увеличение тока сопровождается увеличением напряжения по участку 2-3. Уменьшение тока приводит к плавному уменьшению напряжения по участку 3-4. При снижении тока до значения происходит скачкообразное уменьшение напряжения, сопровождающееся изменением знака угла сдвига фаз.

Явления, аналогичные феррорезонансам тока и напряжения, могут наблюдаться в случае линейной индуктивности и нелинейной емкости· или нелинейных индуктивности и емкости.

Стабилизаторы переменного напряжения

Стабилизаторы напряжения представляют собой такие четырехполюсники, в которых значительное изменение напряжения на входе вызывает лишь незначительное изменение напряжения на выходе. Ранее был рассмотрен электронный стабилизатор в цепи постоянного тока.

Аналогичные стабилизирующие цепи могут быть осуществлены и при помощи реактивных элементов (сочетания нелинейных и линейных индуктивных или емкостных элементов). Так, цепь, изображенная на рис. 25.16, при соответствующем выборе ее параметров является стабилизатором напряжения.

Зависимость между действующими значениями напряжения и тока для нелинейной емкости, рассматриваемой как условно-нелинейный элемент, выражается кривой (рис. 25.35), а для линейной емкости - прямой . При этом Построив (при отсутствии нагрузки) зависимость тока в одной из ветвей моста от суммы напряжений [ кривая , можно, зная , определить графически

Как видно из рис. 25.35, на параллельных участках кривых изменение практически не приведет к изменению и, следовательно, коэффициент стабилизации очень велик. Наличие высших гармоник несколько снижает его значение.

В качестве второго примера стабилизирующего устройства рассмотрим простейший феррорезонансный стабилизатор напряжения (рис. 25.36). В цепи феррорезонанса напряжений при напряжении питания большем, чем напряжение опрокидывания фазы на рис. 25.31), изменение напряжения питания от а на значительную величину (рис. 25.37) сопровождается незначительным изменением напряжения на катушке от Таким образом, в цепи, представленной на рис. 25.36, получается стабилизация напряжения

Сущность явления стабилизации заключается в таком изменении параметров последовательно включенных элементов нелинейной цепи с изменением напряжения питания, при котором относительное изменение напряжения на одном из участков цепи оказывается значительно ниже, чем на входе. Так, в цепи, изображенной на рис. 25.36, с увеличением напряжения питания ток резко возрастает и его увеличение приводит к уменьшению индуктивности катушки со стальным магнитопроводом, в то время как емкость конденсатора остается без изменения. Таким образом, относительное изменение напряжения на катушке (выводы 2 -2') оказывается значительно меньшим, чем на выводах 1-1'

Вместо конденсатора в цепь можно включить и линейный резистор или катушку с линейной характеристикой, однако эффект стабилизации будет меньше, так как изменение тока в катушке со стальным магнитопроводом, а следовательно, и в ее эквивалентной индуктивности при изменении напряжения питания в этих случаях меньше.

Присоединение приемника к вторичным выводам стабилизатора создает ветвь, параллельную нелинейной катушке, в результате ток в катушке уменьшается. С изменением напряжения питания полное сопротивление между выводами 2 -2' изменяется меньше, чем при отсутствии нагрузки, а следовательно, ухудшаются стабилизирующие свойства цепи. Коэффициент стабилизации нагруженного стабилизатора обычно ниже, чем при холостом ходе.

Из-за несинусоидальности форм кривых токов и напряжений в нелинейных цепях напряжение обычно содержит высшие гармоники даже при питании стабилизатора от источника синусоидального напряжения U. Только у мостовых стабилизаторов с терморезисторами напряжение на выходе близко по форме к синусоиде.

Так, например, если мостовая схема, показанная на рис. 25.16, выполнена не на конденсаторах, а на терморезисторах с различными нелинейными характеристиками , то при соответствующем выборе этих характеристик можно получить стабилизацию напряжения и практическую независимость его от напряжения источника питания . Построением зависимостей и как на рис. 25.35 можно показать, что если эти характеристики на участке вблизи некоторого значения тока в ветвях параллельны и , то при напряжении питания напряжение не изменяется при изменении тока Таким образом, вблизи значения тока изменение напряжения источника питания не сопровождается изменением напряжения и условие его стабилизации выполняется. Токи в ветвях цепи синусоидальные, напряжение также имеет синусоидальную форму и частоту синусоидального напряжения источника питания

Нелинейные цепи с источниками эдс (напряжения) и тока различных частот

Выше были рассмотрены нелинейные цепи с однородными источниками питания: либо постоянными ЭДС, либо синусоидальными ЭДС определенной частоты . Применение наряду с источником ЭДС частоты источника постоянной ЭДС, источника переменной ЭДС другой частоты или последовательности импульсов расширяет область технического применения цепей с нелинейными параметрами.

Включение источника постоянной ЭДС в нелинейную цепь позволяет смещать участок характеристики, в пределах которого происходит изменение переменного тока, - так называемый рабочий участок характеристики. Изменение рабочего участка характеристики может происходить непроизвольно в результате действия постоянных ЭДС, присущих данной цепи, или устанавливается специально, например для получения несимметричных зависимостей в цепях с нелинейными элементами, имеющими симметричные характеристики. Последнее дает возможность применять нелинейные элементы с симметричными характеристиками для получения несинусоидальных токов, содержащих четные гармоники.

Изменяя постоянную ЭДС, можно воздействовать на значение переменной составляющей тока, возникающего под действием переменной ЭДС. Таким образом, при nомощи напряжения одного источника питания можно воздействовать на ток второго источника питания - управлять этим током.

Рассмотрим основные явления в цепях с источниками питания различных частот

Вентили в цепях с постоянными и переменными ЭДС

В цепях с вентильными элементами при наличии постоянных и переменных ЭДС кривая тока может очень значительно отличаться от кривых токов простейших выпрямителей.

Рассмотрим цепь однополупериодного выпрямителя, в которой наряду с переменной ЭДС действует постоянная ЭДС (рис. 26.1).

На рис. 26.1 построена характеристика последовательного соединения идеального вентиля и линейного резистивного элемента с сопротивлением r. Внизу показана зависимость напряжения от времени для двух случаев и Справа построена зависимость тока от времени для этих двух случаев. При кривая тока.

При кривая тока также представляет собой ряд импульсов, однако форма их другая. Аналитически зависимость тока от времени может быть выражена так:

Обычно импульсы тока характеризуются углом отсечки который определим из соотношения

Продолжительность каждого из импульсов найдем из условия , откуда

В зависимости от направления действия и значения ЭДС может изменяться в пределах от

Напряжение на сопротивлении нагрузки равно напряжению и в течение интервалов времени

Как видно из графика, введение ЭДС привело к изменению рабочего участка нелинейной характеристики. Если при рабочий участок характеристики ограничен точками 1 и 2, то при он смещен влево и ограничен точками 3 и 4. Рассмотренный пример соответствует зарядке аккумуляторной батареи с ЭДС Е 0 от однополупериодного выпрямителя.

В качестве второго примера цепи с вентилями рассмотрим устройство, применяемое для преобразования напряжения синусоидальной формы в напряжение трапециевидной формы. На рис. 26.2 представлена схема замещения для газоразрядного стабилитрона, подключенного к источнику переменного напряжения и 1 • Такие преобразователи формы кривой применяются в устройствах электронной автоматики. При напряжении в резисторе с сопротивлением протекает только тогда, когда При этом напряжение между точками А и В по абсолютному значению оказывается равным (вентили в схеме замещения идеальные). При токе напряжение на выводах А и В равно Таким образом, для напряжения может быть записано следующее· выражение:

Зависимости от времени показаны на рис. 26.2 справа

Если , то кривая напряжения приближается к прямоугольной форме.

Из рассмотренных примеров видно, что при помощи включения вентилей и источников постоянных ЭДС в цепь, состоящую из источников синусоидальных ЭДС и резисторов, можно получить различные кривые напряжения, имеющие форму отрезков синусоид. Так могут быть получены и кратковременные импульсы (см., например, ), и прямоугольные продолжительностью около половины периода -

Сложнее решаются задачи при наличии реактивных элементов в цепи, содержащей вентили. Предположим, что в схеме, изображенной на рис. 26.1, вместо сопротивления нагрузки r включен индуктивный элемент с индуктивностью L. Тогда с момента времени , определяемого из условия напряжение - это напряжение на индуктивном элементе, т. е. (рис. 26.3). Ток определяется из уравнения, и следовательно,

Этот ток (рис. 26.3) будет в цепи до момента времени , когда ток равен нулю и вентиль запирается. Из построений видно, что при наличии в цепи индуктивного элемента ток протекает значительно дольше, чем при резистивном элементе (см. рис. 26.1), напряжение на индуктивном элементе изменяет знак и в момент скачком спадает до нуля

Управляемые вентили в простейших выпрямителях и преобразователях постоянного тока в переменный

Выше рассматривались двухэлектродные неуправляемые вентильные элементы. На практике большое распространение получили трехэлектродные управляемые вентили. К их числу относятся ртутные вентили с управляющим электродом (игнитроны и экзитроны) и управляемые полупроводниковые приборы - тиристоры.

Упрощенно управляемый вентиль можно представить себе в виде ключа, который замыкается в тот момент, когда на управляющий электрод поступает положительный импульс (при условии, что в этот момент напряжение на аноде положительно), а размыкается в тот момент, когда ток вентиля снижается до нуля. Изменяя момент поступления управляющего импульса, можно изменять интервал времени в течение которого через вентиль проходит ток, и, следовательно, управлять постоянной составляющей выпрямленного напряжения.

Простейший однополупериодный выпрямитель с управляемым вентилем тиристором VS и активным сопротивлением нагрузки r показан на рис. 26.4, а. Изменяя фазу, управляющих импульсов , можно изменять момент возникновения тока в цепи и, таким образом, управлять выпрямленным напряжением. Временная диаграмма процессов в выпрямителе показана на рис. 26.4, 6 и в. Из графика видно, что в случае однополупериодного выпрямления, изменяя фазу от нуля до , можно изменять выпрямленное напряжение ДО нуля.

а

Аналогично можно управлять значением выпрямленного напряжения в случае двухполупериодного, трехфазного и многофазного выпрямления.

При помощи управляемых вентилей можно не только изменять значение выпрямленного напряжения, но и преобразовывать постоянный ток в переменный. Пример простейшего однофазного преобразователя постоянного тока в переменный показан на рис. 26.5, а. Здесь на управляющие электроды тиристоров VSJ и VS2 попеременно с частотой и сдвигом во времени на поступают положительные импульсы , по очереди отпирающие тиристоры VSJ и VS2. В каждый момент отпирания последующего тиристора конденсатор С начинает разряжаться через тиристор, ранее проводивший ток, и снижает его ток до нуля, приводя к отключению тиристора.

Временная диаграмма поочередной работы тиристоров (токи ), управляемых импульсами , схематично показана на рис. 26.5, 6- е. Если при тиристор VS1 проводит ток и напряжение на нем а тиристор VS2 заперт и напряжение на нем примерно равно , то конденсатор С заряжен до напряжения В момент t = О на управляющий электрод тиристора VS2 поступает отпирающий импульс (рис. 26.5, в). Разрядка конденсатора С через последовательно включенные тиристоры VS1 и VS2 практически мгновенно приводит к уменьшению до нуля тока в тиристоре VS1 и нарастанию тока в тиристоре VS2.

По мере перезарядки конденсатора С ток уменьшается до установившегося значения. Переходный процесс изменения тока тиристора VS2 можно рассчитать по схеме рис. 26.5, ж, где - эквивалентное сопротивление отпертого тиристора VS2. После завершения переходного процесса перезарядки конденсатора С через резисторы и тиристор VS2 напряжение на конденсаторе (рис. 26.5, е).

В момент t = , в цепь управления первого тиристора поступает импульс , тиристор VS1 отпирается, а тиристор VS2 запирается; процесс повторяется, но теперь первая и вторая ветви меняются ролями. Так, поочередно с периодом , отпираются и запираются тиристоры VS1 и VS2 и через резисторы и тиристоры VS1 и VS2 протекают импульсы переменного тока (рис. 26.5, г и д).

Разность токов определяется из уравнения (рис. 26.5, а) и при изменяется по тому же закону, что и напряжение

Вместо резисторов могут быть включены две секции первичной обмотки трансформатора, вторичная обмотка которого может служить источником переменного напряжения с частотой В этом случае МДС трансформатора пропорциональна и вследствие индуктивности обмотки трансформатора и цепи источника имеет кривую, более близкую к синусоиде, чем в цепи рис. 26.5, а.

Такого рода схемы (инверторы) применяются для получения переменного тока от источника постоянной ЭДС.

На аналогичном принципе основаны трехфазные инверторы, преобразующие постоянный ток источника в трехфазный переменный ток.

Транзисторные усилители переменного напряжения

Был рассмотрен нелинейный четырехполюсник, на вход которого подается сумма постоянного и изменяющегося синусоидального переменного напряжения. Было показано, что, если переменная составляющая тока и напряжения не выходит за пределы области, прилегающей к рабочей точке (см. рис. 22.10), для переменных токов и напряжений справедливы линейные уравнения (22.15). Это дает возможность при помощи транзисторов (или электронных ламп) построить усилители переменного напряжения. Схема простейшего усилителя переменного напряжения с биполярным транзистором изображена на рис. 26.6, а. Для постоянных составляющих токов цепей базы и коллектора соответствующим выбором ЭДС источника постоянного тока и сопротивлений резисторов может быть задана рабочая точка А, лежащая в области, где справедливы линейные уравнения (22.15) и получается схема замещения транзистора для переменных составляющих токов и напряжений по рис. 22.12. При этом предполагается, что ко9ффициент и схема является неавтономным активным четырехполюсником.

Для постоянных составляющих уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, имеют вид

и дают возможность по характеристикам транзистора найти необходимые значения сопротивлений резисторов усилителя при выбранных значениях и координат рабочей точки А.

Кроме постоянной составляющей на вход транзистора через разделительный конденсатор достаточно большой емкости поступает входной сигнал, в простейшем случае синусоидальный, . Он вызывает на выходе усилителя переменный сигнал , той же частоты , амплитуда которого может быть определена на основании схемы замещения усилителя для переменных составляющих. С учетом схемы замещения транзистора (см. рис. 22.12) она показана на рис. 26.6, 6. Значения сопротивлений и коэффициента передачи определяются уравнениями (22.16). Заменяя параллельное соединение одним сопротивлением и преобразуя цепь выхода с применением принципа эквивалентного генератора, можно упростить схему замещения (рис. 26.6, в). Здесь

где - коэффициент передачи в режиме холостого хода.

Значения емкостей разделительных конденсаторов выбираются так, чтобы при частоте ro их реактивными сопротивлениями можно было пренебречь по сравнению со значениями Таким условием могут служить неравенства

Коэффициент усиления напряжения при сопротивлении нагрузки усилителя

Все сказанное справедливо только в том случае, если сигнал мал и рабочие участки на характеристиках не выходят за пределы допустимости их линеаризации и выполнения линейных уравнений (22.15). При больших сигналах усилитель выходит за пределы линейной зоны и выходной сигнал искажается. В этом случае амплитуда сигнала на выходе практически не изменяется с изменением амплитуды сигнала на входе

Д.пя рассматриваемой схемы усилителя передаточная характеристика схематически показана на рис. 26.7, а.

На рис. 26.7,6 показана форма сигнала на выходе при двух различных сигналах на входе; зависимость 1 соответствует малому сигналу, лежащему в линейной зоне характеристики а зависимость 2 - сигналу большой амплитуды, выходящей за пределы линейной зоны усилителя. Штриховой линией показан сигнал, который был бы при отсутствии нелинейных амплитудных искажений, т. е. при

Катушки со стальными магнитопроводами в цепях с постоянными и переменными

ЭДС В цепях с нелинейными катушками смещение рабочего участка характеристики может явиться результатом как появления постоянной составляющей тока в основной обмотке, так и применения добавочной обмотки постоянного подмагничивания с постоянным током

Питание от источника тока. Рассмотрим замкнутый стальной магнитопровод с двумя обмотками (рис. 26.8). Ток в обмотке постоянный Зависимость магнитного потока в стали Ф от МДС F задана кривой намагничивания.

Пусть в обмотке ток синусоидальный: В таком случае МДС

На рис. 26.8 внизу построена зависимость F(t); справа путем графического построения, ясного из рисунка, получена кривая Ф(t). Напряжение на обмотке найдено графическим дифференцированием кривой Ф(t):

Как видно из построения, кривые наряду с нечетными гармониками содержат и четные. Кривая Ф(t) имеет постоянную составляющую

Значение меньше постоянного магнитного потока , создаваемого током , что является результатом несимметрии кривой Ф (F) относительно точки 3. Таким образом, переменный ток в обмотке изменяет постоянную составляющую магнитного потока, оказывая своего рода размагничивающее действие.

Если произвести построения, аналогичные рис. 25.10, для различных значений , то можно заметить, что чем больше , тем в меньших пределах при одном и том же значении изменяется Ф и соответственно меньше Таким образом, постоянная составляющая существенно влияет на зависимость между напряжением и переменной составляющей тока .

Питание от источника иапряжеии. Пусть теперь обмотка подключена не к источнику синусоидального тока, а к источнику синусоидального напряжения В этом случае при достаточно малом сопротивлении обмотки магнитный поток в стали изменяется по синусоидальному закону, а ток отличается от синусоиды (рис. 26.9). Интегрируя выражение (26.11), получаем

где

Поток в данном случае, является неопределенной постоянной интегрирования. Очевидно, что чем больше ток подмаrничивания , тем больше поток , однако простой зависимости между этими величинами нельзя усмотреть. Если при известных значениях поток можно было найти путем

графического построения Ф (t), то при питании обмотки от источника напряжения , зная ток , затруднительно определить Ф01 . Задачу приходится решать обратным путем: задаваться некоторым значением , строить кривую и затем находить ток , создающий магнитный поток при заданном переменном напряжении

Для решения этой задачи необходимо учесть, что ток в катушке со стальным магнитопроводом при питании цепи от источника напряжения, не содержащего постоянной составляющей, не может иметь постоянной составляющей. Действительно, обмотка катушки со стальным магнитопроводом имеет активное сопротивление r, а напряжение, ток и магнитный поток связаны уравнением

Если в напряжении нет постоянной составляющей, а в производной от периодической функции принципиально не может быть постоянной составляющей, то, следовательно, нет постоянной составляющей и в токе , как бы ни мало было сопротивление r.

Эти соображения позволяют, задаваясь значением , найти соответствующее значение На рис. 26.9 для заданного значения (26.14), и некоторого значения в нижней части рисунка построена кривая F (t). Среднее значение F(t) за период как раз равно

Так же как и в предыдущем случае, значение магнитного потока при том же больше, чем постоянная составляющая магнитного потока

На рис. 26.9 штриховой линией выполнено построение кривых магнитного потока Ф и тока при том же напряжении , но для. Из построения видно, что постоянный тококазывает существенное влияние на максимальное значение переменного тока с увеличением постоянного тока может значительно возрасти и переменный ток

Влияние постоянного тока на переменный ток имеет большое практическое значение, например для построения магнитных усилителей.

Все приведенные выше выводы были сделаны на основании графического решения задачи. Совершенно аналогичные выводы можно сделать, решая задачу аналитически (применяя соответствующую аппроксимацию характеристики катушки со стальным магнитопроводом).

Пример №121

Найти закон изменения магнитного потока в магнитопроводе, намагничиваемом током в обмотке с числом витков , при постоянном подмагничивании . Кривая намагничивания на ограниченном участке вблизи точки , (рис. 26.8) задана полиномом

Решение:

Подставив в выражение (26.15), получим

Преобразовав квадрат синуса, находим, что

где

Таким образом, чем больше , тем больше 2-я гармоника и больше изменение постоянной составляющей магнитного потока .

Этот вывод справедлив только для ограниченного диапазона изменения , в котором справедлива аппроксимация (26.15). Так как действительная зависимость не имеет максимума, то должно быть заведомо меньше , что соответствует максимуму функции (26.15).

Пример №122

Найти закон изменения магнитного потока в магнитопроводе, к одной обмотке которого с числом витков подведено напряжение , а ко второй (с числом витков ) - постоянный ток. Кривая намагничивания на участке вблизи точки 3 (рис. 26.9) задана полиномом

Решение:

Подставив в (26.16) , находим , что где

Решив уравнение, получим

Легко заметить, что имеет отрицательный знак и по абсолютному значению тем больше, чем больше

Это решение справедливо только для ограниченного диапазона изменения Действительно, у зависимости , определяемой реальной кривой намагничивания, нет точек экстремума, а уравнение (26.16) дает экстремум в точке, где . Таким образом, рассмотренный расчет пригоден только для таких пределов изменения при которых

Удвоитель частоты

Возникновение четных гармоник в магнитном потоке при постоянном подмагничивании положено в основу магнитного удвоения частоты.

Удвоитель частоты состоит из двух стальных магнитопроводов а и б с тремя обмотками каждый. Схема соединения обмоток представлена на рис. 26.10.

Каждая пара обмоток с числами витков соединена последовательно, однако если в цепи обмоток потокосцепления складываются, то в цепях обмоток они вычитаются. При отсутствии тока в обмотках и любом напряжении питания в обмотках наводятся равные и противоположные по знаку ЭДС и, следовательно, . Постоянный ток обмоток нарушает симметрию схемы. При

на выводах обмоток появляется напряжение , изменяющееся с частотой, в 2 раза большей, чем основная частота - частота напряжения Напряжение при постоянном подмагничивании можно определить графически, пользуясь характеристиками стальных магнитопроводов.

Ток в обмотках создает дополнительные МДС . В магнитопроводе а МДС складывается с МДС , а в магнитопроводе б она вычитается из , Таким образом, току соответствуют различные суммарные МДС в магнитопроводах а и б:

На рис. 26.11 изображена кривая намагничивания стальных магнитопроводов и показаны изменения магнитных потоков при изменении в обмотках от нуля (точки 1 и 2) до + (точки 3 и 4). Как видно из рисунка, из-за нелинейности характеристики равные изменения МДС вызывают различные изменения магнитных потоков в магнитопроводах а и б. Вследствие насыщения стали увеличение МДС вызывает меньшее изменение потока, чем ее уменьшение,

Сложность определения напряжения существенно зависит от того, питается ли цепь обмоток от источника синусоидального тока или от источника синусоидального напряжения

Питание от источника тока. В этом случае, зная токи , найдем закон изменения потока в магнитопроводах а и 6, выполнив построения, аналогичные показанным на рис. 26.8. На рис. 26.12 представлены зависимости от времени. Для определения напряжения

на рис. 26.12 построена зависимость от времени. Графическое дифференцирование этой кривой дает Как видно из построения, напряжение содержит только четные гармоники и, следовательно, основная частота напряжения на вторичных выводах в 2 раза выше частоты напряжения источника питания.

Последнее можно показать и аналитически, представив потоки в виде гармонических рядов и учитывая идентичность магнитных систем а и 6:

Очевидно, что , а следовательно, и напряжение содержат только четные гармоники, а и соответственно , наоборот, только нечетные.

Напряжение, пропорциональное Напряжение, пропорциональное , наводится также и в цепи обмоток Это напряжение может создать значительный дополнительный переменный ток двойной частоты в обмотках , что приведет к уменьшению и мощности на вторичных выводах. Поэтому в цепь включена катушка индуктивности Lпредставляющая большое сопротивление для переменного тока, наводится также и в цепи обмоток Это напряжение может создать значительный дополнительный переменный ток двойной частоты в обмотках , что приведет к уменьшению и мощности на вторичных выводах. Поэтому в цепь включена катушка индуктивности 1..,, представляющая большое сопротивление для переменного тока

Питание от источника напряжения. Несколько сложнее решается задача, если, как это обычно имеет место на практике, к цепи обмоток подведено синусоидальное напряжение. В этом случае первоначально не известен закон изменения напряжения на каждой из обмоток систем а и 6, но по аналогии с построением, выполненным на рис. 26.9, можно полагать, что напряжения на этих обмотках не будут синусоидальными.

Для нахождения токов и напряжений удобно оперировать не с потоками каждой из систем а и 6, а с потокосцеплениями первой

и второй

цепей или их приращениями

Построим зависимости приращений потоков от тока (рис. 26.11 и 26.13). Для магнитопровода а кривая подобна кривой намагничивания, сдвинутой в направлении отрицательных Ф и F (начало координат совмещается с точкой 1), а для магнитопровода 6 - в сторону положительных Ф и F (начало координат совмещается с точкой 2)

На рис. 26.14 показана зависимость приращений потокосцеплений обмоток обмоток от тока Построение выполнено для случая . Для первой пары обмоток потокосцепления складываются:

а для второй пары обмоток вычитаются:

Таким образом, зависимости и для обеих цепей не одинаковы.

Если к цепи обмоток приложено напряжение , изменяющееся по косинусоиде изменяется синусоидально:

а ток ·несинусоидален.

По графику и по известной зависимости на рис. 26.14 построена зависимость . Продифференцировав графически по времени, определим и , так как

Как видно из построения, и изменяются с двойной частотой, причем кривая симметрична относительно оси ординат, а кривая симметрична относительно начала координат

Пример №123

Рассчитать напряжение , если удвоитель (рис. 26.10) питается от источника тока при подмаrничивании , а нелинейная характеристика стального магнитопровода может быть аппроксимирована полиномом

Решение:

Учитывая, что МДС в магнитопроводах а и б выражаются уравнениями (26.17), а потокосцепления вторичной цепи

найдем зависимость от токов

По (26.25) напряжение определяется дифференцированием:

Интересно заметить, что изменение на фазы тока и напряжения первичной цепи не изменяет фазы напряжения на выводах вторичной цепи. Это вытекает как из построений, проведенных на рис. 26.11 и 26.12, так и из расчета. При расчете по (26.26) - (26.29) следует иметь в виду, что аппроксимация (26.26) ·пригодна только при ограниченных пределах изменения МДС. Легко показать, что МДС в каждом магнитопроводе не должна превышать значение, соответствующее экстремуму функции (26.26) в точке, где Следовательно, должно быть таким, чтобы максимальное значение МДС каждого магнитопровода не превышало

Итак, удвоитель частоты (рис. 26.10) дает возможность преобразовать электрическую энергию при частоте в энергию при частоте . Поскольку такая трансформация обусловлена нелинейностью системы, а для нелинейных систем неприменим принцип взаимности, следовательно, это устройство не может быть непосредственно применено для обратной трансформации электроэнергии при частоте , подводимой к вторичным выводам, в энергию при частоте ro на первичных выводах.

Однако при наличии в первичной цепи резонансного контура колебания во вторичной цепи с частотой 2ro могут привести к возникновению в первичной цепи незатухающих колебаний с частотой ro, причем фаза этих колебаний при одном и том же токе i2 в зависимости от начальных условий может измениться на угол rr. Это явление носит название параметрического резонанса, оно было впервые исследовано Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси еще в 1934 г. и получило применение в запоминающих устройствах, которые называют пакраметронами.

Метод гармонического баланса

При анализе периодических процессов в нелинейных цепях широкое распространение получил метод гармонического баланса. Основой этого метода являются разложение несинусоидальных величин в нелинейных элементах на гармонические составляющие и анализ уравнений системы для основной гармоники. Рассмотрим применение метода гармонического баланса на примере анализа установившихся режимов в параметроне.

Простейшая схема индуктивного параметрqна может быть получена из удвоителя частоты (рис. 26.10), если его питание производить от цепи 2-2', а в цепь 1 -1' кроме резистора r включить конденсатор емкостью С, которая выбирается так, чтобы в этой цепи возникал ток с частотой в 2 раза меньшей, чем частота напряжения источника питания. Обозначим частоту напряжения источника питания и будем искать условия, при которых в цепи 1 -1' может возникнуть ток с частотой . Если к выводам 2 -2' удвоителя частоты (рис. 26.10) подвести синусоидальный ток с частотой , а цепь обмоток 1 разомкнуть, то в обмотках цепи 1 наведутся равные по значению и противоположные по направлению ЭДС, сумма которых даст напряжение , равное нулю. Однако при наличии в цепи 1 тока с частотой ro влияние цепи 2 на цепь / уже начинает сказываться и при определенных условиях может сопровождаться передачей энергии из цепи 2 в цепь /. Это непосредственно вытекает из уравнения цепи 1, если к выводам 2 -2' подключен источник тока, изменяющегося с частотой

Решим задачу методом аналитической аппроксимации в сочетании с методом гармонического баланса.

При наличии токов во всех трех обмотках МДС магнитопроводов а и 6 соответственно

Зависимость между потоком и МДС выражается уравнением (26.26). Потокосцепление цепи 1

Составим дифференциальное уравнение цепи 1 по второму закону Кирхгофа

и будем искать решение для установившегося тока в цепи 1 в виде

считая, что

В соответствии с методом гармонического баланса пренебрегаем всеми высшими гармониками в цепи 1.

Выразим в (26.31) через (26.26) и (26.30). После преобразований получим

где

Подставив из (26.33) и (26.34) в (26.35) и преобразовав степени синуса и косинуса по известным тригонометрическим формулам, для первой гармоники получим

где

Импульсное воздействие в цепях с неоднозначными нелинейностями

Рассмотрим переходные процессы при импульсном воздействии на катушку со стальным магнитопроводом, выполненным из жесткой стали с прямоугольной характеристикой намагничивания. Малый постоянный наклон характеристики стали в области насыщения или прямых возврата можно описать некоторой линейной индуктивностью L. объединенной с индуктивностью рассеяния и включенной последовательно с неоднозначным нелинейным индуктивным элементом с прямоугольной характеристикой.

Схема замещения цепи показана на рис. 27.11,а. Здесь r и L - линейные параметры цепи, а - нелинейная характеристика, изображенная на рис. 27.11,6. Из характеристики видно, что в зависимости от предшествующего режима, задаваемого сигналом , потокосцепление может иметь любое значение, лежащее между, и магнитопровод может запоминать некоторую информацию, которую несет сигнал .

Пусть напряжение на входе цепи имеет форму прямоугольного импульса высотой И и продолжительностью 't (рис. 27.12, а). Исследование переходного процесса в магнитопроводе, характеристика которого (рис. 27.11, 6) имеет прямоугольную форму, проведем методом кусочно-линейной аппроксимации, описывая характеристику магнитопровода уравнениями

Переходный процесс при этом рассчитывается путем припасовывания решений дифференциальных уравнений для каждого из линейных участков характеристики.

Рассмотрим случай перемагничивания магнитопровода по кривой 1 -b2 -3. В этом случае

для участка 2 -3 характеристики.

Решение линейного дифференциального уравнения для каждого из трех участков получим в следующем виде:

Полученное решение соответствует линии характеристики на рис. 27.11,6 для случая Зависимости для этого случая показаны на рис. 27.12, б и в.

Если в полученном решении , то это соответствует выходу на насыщение и линии 1-b-c-d-4 на характеристике. В этом случае нужно рассматривать ·четыре участка характеристики, для которых имеем следующие уравнения:

Решения для этого случая имеют вид

Зависимости для этого случая показаны на рис. 27.12, г -е.

Два случая намагничивания магнитопровода с прямоугольной петлей гистерезиса рассмотрены весьма упрощенно. Здесь не учитывались вязкости ферромагнетика, распределенность обмотки, отличие характеристики от прямоугольной. Однако даже такое упрощенное рассмотрение дает достаточное представление о процессах и позволяет сделать вывод о возможности применения магнитопроводов в качестве запоминающих устройств вычислительной техники.

Понятие о триггере

Распространенным запоминающим устройством цифровой вычислительной машины является электронный элемент с двумя устойчивыми состояниями, получивший название триггер. Он представляет собой два нелинейных обычно одинаковых четырехполюсника направленного действия, каждый из выходов которых подключен к входу другоrо. Схематически такое соединение представлено на рис. 27.13,а. Здесь - дополнительные сигналы, поступающие на входы четырехполюсников. Для каждого из четырехполюсников зависимость между выражается кривой, приведенной на рис. 23.9, и отличается от характеристики усилителя постоянного тока (рис. 23.10) только положением начала координат. На рис. 27.13, б в координатах и., 1, и., 2 построена передаточная характеристика каждого из усилителей при Характеристики представлены тремя отрезками прямых . Они пересекаются в трех точках а, b, с, которые соответствуют трем возможным состояниям равновесия. Точки а и с являются точками устойчивого равновесия, а точка в - неустойчивого. В точке а напряжение и Если напряжениям присвоить значения 1 и О, то для ТОЧКИ а имеем , а ДЛЯ ТОЧКИ С, наоборот,

Если на вход второго четырехполюсника кроме напряжения поступит дополнительно сигнал , то характеристика сместится на

значение сигнала , так как теперь Имеет вид ломаной , изображенной штриховой линией в верхней части рис. 27.13, 6. Эта характеристика 2 - 2' -2 имеет только одну точку пересечения с характеристикой 1 -1 (точка с).

Таким образом, если до прихода сигнала триггер находился в состоянии, соответствующем точке а, то теперь он перейдет в состояние, выражаемое точкой с. Переход из точки а в точку с на рис. 27.13, 6 показан штрихпунктирной линией. После снятия сигнала триггер останется в состоянии с, запомнив, таким образом, поступивший сигнал. На рис. 27.13, в схематически показана временная диаграмма перехода триггера из точки а в точку с при поступлении импульса Второй импульс той же полярности не приведет к каким-либо изменениям. Возврат из точки с в точку а возможен только после поступления отрицательного импульса или положительного импульса

На рис. 27.14 представлена схема триггера, выполненная на двух биполярных транзисторах с п-р-п переходами. Здесь конденсаторы повышают быстродействие перехода триггера из одного состояния в другое, а диоды VDJ и VD2 не пропускают импульсы отрицательного знака. Действие конденсаторов емкостью проявляется при переключении триггера из состояния а в состояние с (см. рис. 27.13,6) и наоборот. Переключение сопровождается переходным процессом, показанным штриховыми линиями на рис. 27.13, в

Изображение переходных процессов на фазовой плоскости

С повышением порядка уравнения расчет существенно усложняется. Требуется применение новых методов расчета. Одним из таких методов является изображение переходных процессов в пространстве состояний или в фазовом пространстве. Переходные процессы можно рассматривать в различных системах координат. До сих пор переходные процессы рассматривались в координатах По оси абсцисс откладывалось время, а по оси ординат - исследуемая величина.

Однако те же явления исследуются и в другой системе координат.

Так например на рис. 27.10 показано изображение переходного процесса в координатах . Для переходного процесса, описываемого нелинейным дифференцильным уравнением порядка п или п нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка, всегда можно выбрать п таких переменных, называемых координатами состояния, что система уравнений принимает вид

где - координата состояния; =- ее производная по времени; и; - внешнее воздействие на электрическую цепь; - некоторая нелинейная функция в отличие от линейных цепей, где - линейная алгебраическая функция.

Если электрическая цепь не подвержена каким-либо внешним переменным воздействиям, то . Для этого случая пространство состояний называется фазовым пространством. Наиболее широкое распространение изображение переходных процессов в фазовом пространстве получило для систем второго порядка. В этом случае переходный процесс изображается на плоскости координат , называемой ф аз о в о й п л о с к о с т ь ю, некоторой кривой, которая лежит в области, ограниченной по обеим осям координат, а· уравнения (27.34) имеют вид

Исследование переходных процессов в электрических цепях на фазовой плоскости впервые бьmо проведено академиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси и получило дальнейшее развитие в работах А. А. Андронова, С. Э. Хайкина, А. А. Витта и их учеников.

Изображение процессов на фазовой плоскости может дать представление о характере процесса без решения дифференциального уравнения в конечном виде.

При выборе координат для описания переходного процесса возможны различные варианты. Обычно отдает ся предпочтение такому выбору координат, при котором В этом случае обычно· обозначают и записывают уравнения (27.35) в виде

Каждому состоянию цепи соответствует точка на фазовой плоскости, которую называют из об ражающей или представляющей точкой. Всякое изменение состояния цепи на фазовой плоскости изображается некоторой кривой, которую I называют ф аз ов ой траекторией.

Если процесс описывается уравнениями (27.36), то в верхней ·полуплоскости и представляющая точка может перемещаться только направо - в направлении возрастающих значений х. Для нижней полуплоскости, наоборот, у < О и представляющая точка может перемещаться только влево. Таким образом, движение представляющей точки происходит только по направлению движения часовой стрелки.

Если процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то все фазовые траектории лежат на одной кривой и представляющая точка может перемещаться только по этой кривой. Если процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то в зависимости от начальных условий представляющая точка может оказаться в любом месте фазовой плоскости.

Рассмотрим фазовые траектории простейших процессов в линейных и нелинейных цепях. Пусть rL-цепь с током переключается без разрыва тока к источнику постоянного напряжения U (рис. 27.15, а). Переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

или при обозначении i через х, а di/dt - через у уравнением

На рис. 27.15,б изображена фазовая траектория переходного процесса в виде прямой, проходящей через точки (О, U/L) и (U /r, О). Для верхней полуплоскости у = dx/dt > О и, следовательно, представляющая точка перемещается в направлении возрастающих значений х. Для нижней полуплоскости у < О и представляющая точка перемещается в направлении отрицательных значений х. Точка равновесия А лежит на оси х и соответствует установившемуся режиму.

В зависимости от начального значения тока (в момент t = О) фазовая траектория может начаться в различных точках прямой - в верхней или в нижней полуплоскости. С течением времени (вне зависимости от начальных условий) движение представляющей точки происходит в направлении точки А со скоростью, которая уменьшается по мере приближения к точке А. Если rL-цепь замыкается накоротко ( U = О), то фазовая траектория проходит через начало координат (на рис. 27.15,6 изображена штриховой линией). Аналогичные фазовые траектории получаются и для переходных процессов в rС-цепях.

Если индуктивность нелинейная и характеризуется графиком, то, полагая , получаем нелинейное уравнение

которое выражает на фазовой плоскости все возможные переходные процессы в схеме рис. 27.1. Фазовая траектория для данного случая показана на рис. 27.16. В последовательном контуре, т. е. в rLС-цепи (рис. 27.17,а), фазовые траектории переходных процессов сложнее. Рассмотрим случай контура без потерь (r = О), который подключается к источнику постоянного напряжения U. Начальные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости могут быть любые. Дифференциальное уравнение переходного процесса в этом случае известно:

Обозначив, запишем (27.39) в виде

и после интегрирования получим

где k - постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

Уравнение (27.40) на фазовой плоскости изображается семейством эллипсов (рис. 27.17, 6), причем вертикальные оси эллипсов равны 2k, а горизонтальные Полученные эллипсы соответствуют незатухающим синусоидальным колебаниям. Амплитуда колебаний тока равна полуоси эллипса, направленной по оси абсцисс, а частота равна отношению вертикальной полуоси к горизонтальной.

Так как при t = О задано и , то фазовая траектория проходит через точку с координатами и амплитуда колебаний тока

В реальном колебательном контуре всегда есть некоторые потери и сопротивлением r нельзя пренебречь. За период колебаний амплитуда тока уменьшается и фазовые траектории имеют вид спиралей, завивающихся вокруг начала координат. При малых потерях за один период колебаний в контуре теряется энергия

а общая энергия, запасенная в контуре, Отношение радиусов двух соседних витков равно

Полученное выражение справедливо только при (малых потерях), когда при подсчете потерь можно пренебречь уменьшением амплитуды колебаний за один период. В общем случае колебательный процесс описывается уравнениями (14.55) и (14.56), которые являются параметрическими уравнениями спирали. Отношение представляет собой величину, обратную декременту колебания.

По мере увеличения сопротивления шаг спирали увеличивается и при семейство спиралей вырождается в семейство параболических кривых, проходящих через начало координат. Фазовые траектории при и изображены на рис. 27.17, в и г. Если сопоставить фазовые траектории для трех различных значений r (рис. 27.17), то можно отметить некоторые общие свойства этих кривых. Все кривые пересекают ось х под прямым углом с переменой знака dy/dx. Во всех трех рассмотренных случаях имеется только одна точка равновесия, лежащая в начале координат, однако характер равновесия различный.

При r = О равновесие наименее устойчивое. Достаточно бесконечно малого отклонения от точки равновесия, чтобы начался незатухающий колебательный процесс с бесконечно малой амплитудой колебания. При этом представляющая точка совершает периодические движения по орбите с цен1ром в точке равновесия. Точка равновесия такого типа называется центром.

При все процессы, возникающие в цепи, - колебательные затухающие и представляющая точка после любого принужденного отклонения от равновесия возвращается в исходное положение равновесия, совершая при этом несколько оборотов вокруг точки равновесия. Такого рода точка равновесия называется устойчивым фокусом.

Если , то представляющая точка, возвращаясь апериодически в состояние равновесия, движется по параболе и не совершает более полуоборота вокруг начала координат. Точка равновесия такого типа называется устойчивым узлом.

При построении фазовых траекторий процессов, описываемых дифференциальным уравнением второй степени, удобно пользоваться методом изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым (возможным фазовым траекториям) имеют одинаковый наклон. Если известно семейство изоклин, то фазовые траектории могут быть построены геометрическим путем без дополнительного анализа процессов в цепи

Пример №124

Построить фазовые траектории rLС-цепи (рис. 27.17,а) при методом изоклин.

Решение:

Дифференциальное уравнение цепи

Обозначив r/L = 2at и применив ранее принятые обозначения i = х, di/dt = у и 1/LC = , получим

Если dy/dt заменить (dy/dx)dx/dt = = (dy/dx)y, то, исключив время в (27.44), получим уравнение

Так как во всех точках изоклин должно выполняться равенство dy/dx = const = 0, то уравнением изоклины является уравнение прямой

Наклон этих лучей зависит от параметров контура и наклона 0 касательных к интегральным кривым в точках их пересечения с данной изоклиной.

Из последнего уравнения следует, что ось х является изоклиной с , а ось у совпадает с изоклиной . Уравнение изоклины, называемой изоклиной горизонтальных касательных, имеет вид у = ; следовательно, она лежит во втором и четвертом квадрантах.

Полагая , где n -целое число, получим семейство изоклин, представленных на рис. 27.18. Здесь короткими штрихами показан наклон интегральной кривой к изоклинам.

Проводя интегральные кривые так, чтобы они пересекли каждую изоклину под соответствующим углом, получаем фазовые траектории переходных процессов.

На рис. 27.18 показаны две фазовые траектории для разных начальных условий (:rочки а1 и а2), Зная фазовые траектории, т. е. имея зависимость

можно путем графического интегрирования найти соответствующие зависимости х (t) в обратном виде:

Затруднение при вычислениях интеграла (27.48) вблизи точек у = О, связанное с обращением подынтегральной функции в бесконечность, можно обойти, заменив участок фазовой траектории дугой окружности с центром, лежащим на оси х, и выполнив аналитическое интегрирование.

Колебательный процесс разрядки конденсатора через нелинейный индуктивный элемент

Если в rLС-цепи содержатся нелинейные элементы, то аналитический расчет переходного процесса очень усложняется. В этих случаях целесообразно пользоваться графическим построением процесса на фазовой плоскости, которое может быть произведено относительно просто.

Рассмотрим цепь, содержащую линейные элементы r, С и нелинейный индуктивный элемент с заданной характеристикой В этом случае уравнение (27.43) принимает вид

Обозначив получим

где

известные функции или х, показанные на рис. 27.19.

Уравнение изоклин получается после замены dy/dx постоянной величиной 0 и имеет следующий вид:

Семейство изоклин, построенных по этому уравнению, схематически показано на рис. 27.20. Там же построена одна фазовая траектория переходного процесса разрядки конденсатора в цепи с нелинейным индуктивным элементом.

Применение численных методов для расчета nepexoдних процессов в нелинейных цепях

По существу задача расчета переходных процессов в нелинейной цепи, как и в линейной цепи, сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с заданными начальными условиями (задача Коши). Если для линейных цепей решение многих задач может быть получено аналитически, то нелинейные задачи аналитически обычно не решаются. Поэтому здесь, как правило, нужны численные методы решения дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является процедура, рассмотренная в примере 27.2.

Как и в случае линейных цепей, метод называется явным, если вычисляется непосредственно по той или иной формуле. В неявных методах для нахождения x требуется решить нелинейное уравнение или систему нелинейных уравнений.

Рассмотрим для простоты нелинейную цепь, которая описывается дифференциальным уравнением первого порядка, составленным относительно производной координаты состояния (искомой величины),

где - нелинейная функция координаты состояния и времени (если от времени зависит внешнее воздействие), зависящая от решаемой задачи. Будем считать, что известно начальное значение и существует единственное решение уравнения (21.52). В дискретные моменты времени значения можно получить из (27.52), если для производной считать, что

где h -шаг интегрирования по времени.

В этом случае

что соответствует явному методу Эйлера или Рунrе-Кутта первого порядка. Как указывалось, этот метод наиболее прост, но дает значительную погрешность, так как производная в начале k-ro интервала интегрирования принимается неизменной для всего интервала. Уточнения можно добиться, повышая порядок метода, который определяет, сколько раз на каждом шаге вычисляется значение производной.

В методе Рунrе-Кутта второго порядка учитываются два значения производной: в начале интервала

и внутри него при

Вместо (27.53) получается

что соответствует при а. = 0,5 модифицированному, а при а. = 1 -исправленному методам Эйлера

В практике вычислений на ЭВМ наиболее широкое распространение по лучил метод Рунrе-Кутта четвертого порядка, сочеrающий относительную простоту вычислений с высокой точностью полученного решения, так как учитываются четыре значения производной:

Применяются и неявные методы Рунrе-Кутта, в которых значения m1 входят в обе части (27.58) и требуется их совместное решение.

Пример №125

Для цепи, схема которой изображена на рис. 27.1, при помощи ЭВМ рассчитать переходный процесс, если цепь подключается: а) к источнику постоянного напряжения U, б) к источнику синусоидального напряжения.

Решение:

Для аппроксимации нелинейной характеристики катушки со стальным магнитопроводом применен кубическиjt сплайн, построенный по 6 точкам характеристики, приведенным в табл. 27.2.

В расчете переходного процесса при синусоидальном воздействии принимается во внимание нечетность кривой намагничивания

Уравнение цепи приведем к виду

Оно решено методом Рунrе-Кутта второго порядка с шагом h = 5 • 10-4 с при помощи ЭВМ. На рис. 27.21 приведены кривые , полученные при Ом. Следует отметить существенное отличие этих кривых от экспонент, получающихся для линейной цепи.

На рис. 27.22 приведена кривая i (t) при. Как следует из полученного решения, в начальный период наблюдается более чем десятикратное превышение максимального значения тока установившегося режима.

Для решения уравнений высокого порядка вводят дополнительные переменные х, чтобы получить систему уравнений первого порядка. Отметим, что при описании нелинейной цепи в пространстве состояний непосредственно получается система дифференциальных уравнений первого порядка, как и для линейной цепи. Решение системы уравнений получают применением (27.53) (27.58) для каждой из переменных.

При итерационном решении нелинейных дифференциальных уравнений наряду с точностью, которая определяет близость полученного дискретного решения к точному непрерывному , следует также иметь в виду устойчивость вычислительных процессов. Решение дифференциального уравнения возможно, если при уменьшении шага h полная погрешность может быть сделана как угодно малой.

Система дифференциальных уравнений называется жесткой, если якобиан ее правых частей имеет собственные числа с резко различающимися по значению отрицательными действительными частями. Так, например, для нелинейной системы уравнений

матрица Якоби в точке, соответствующей начальным условиям х (О)= у (О)= 1

имеет действительные собственные числа

Для жестких систем, как правило, явные методы оказываются неустойчивыми, а неявные - устойчивыми. Для решения жестких систем разработан ряд специальных методов.

При задании характеристик нелинейных элементов, необходимых для вычисления правых частей уравнения типа (27.52), в случае расчета на ЭВМ и табличном задании нелинейности целесообразно применить сплайн-аппроксимацию, как в примере 27.4.

Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях можно также применять аналоговые вычислительные машины, непосредственно предназначенные для решения дифференциальных уравнений. В этом случае нелинейные характеристики набираются в блоке нелинейности путем их кусочно-линейной аппроксимации при помощи диодов, резисторов и источников ЭДС.

Учебник онлайн:

1. Электрическая ёмкость и ее расчет
2. Линейные н нелинейные диэлектрики и конденсаторы
3. Сопротивление и его расчет
4. Линейные и нелинейные резисторы
5. Индуктивность и ее расчет
6. Энергия в электрических цепях
7. Линейные электрические цепи
8. Нелинейные электрические цепи
9. Магнитные цепи и их расчёт
10. Цепи переменного тока
11. Символический метод расчета цепей
12. Четырехполюсники
13. Линейные диаграммы
14. Круговые диаграммы
15. Цепи с взаимной индукцией
16. Трехфазные цепи
17. Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях
18. Нелинейные цепи переменного тока
19. Переходные процессы
20. Переходные процессы в линейных цепях
21. Переходные процессы в нелинейных цепях
22. Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
23. Переходные процессы в колебательных контурах
24. Расчет переходных процессов
25. Классический метод расчета переходных процессов
26. Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки
27. Операторный метод расчета переходных процессов
28. Метод пространства состояний электрических цепей
29. Синтез электрических цепей
30. Цепи с распределенными параметрами
31. Электрическая энергия, ее свойства и применение
32. Электрическая цепь
33. Электрический ток
34. Электрические цепи постоянного тока
35. Методы анализа сложных электрических цепей
36. Метод узловых напряжений
37. Метод узловых потенциалов
38. Принцип и метод наложения
39. Входные и взаимные проводимости
40. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
41. Метод контурных токов
42. Метод свертывания электрической цепи
43. Метод преобразования схем электрических цепей
44. Параллельное соединение генераторов
45. Метод узловых и контурных уравнений
46. Метод эквивалентного генератора
47. Теоремы теории цепей
48. Теорема обратимости (или взаимности)
49. Теорема компенсации
50. Теорема об изменении токов в электрической цепи при изменении сопротивления в одной ветви
51. Теорема об эквивалентном источнике
52. Применение матриц к расчету электрических цепей
53. Дуальные цепи
54. Электромеханические аналогии
55. Индуктивно связанные электрические цепи
56. Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей
57. Электрическое поле и его расчёт
58. Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи
59. Энергия магнитного поля
60. Синусоидальные Э.Д.С. и ток
61. Электрические цепи с взаимной индуктивностью
62. Резонанс в электрических цепях
63. Соединение звездой и треугольником в трехфазных цепях
64. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
65. Метод симметричных составляющих
66. Цепи периодического несинусоидального тока
67. Резонанс токов
68. Трехфазные симметричные цепи
69. Трехфазные несимметричные цепи
70. Вращающееся магнитное поле
71. Электрические цепи синусоидального тока
72. Электрические цепи несинусоидального тока
73. Несинусоидальный ток
74. Электрические цепи с распределенными параметрами
75. Резистивные электрические цепи и их расчёт
76. Гармонические напряжения и токи
77. Энергетические характеристики двухполюсников
78. Комплексные функции электрических цепей
79. Гармонические колебания в колебательном контуре
80. Частотные характеристики линейных электрических цепей
81. Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
82. Операторные передаточные функции
83. Свободные колебания в пассивных электрических цепях
84. Цепи с распределёнными параметрами
85. Волновые параметры длинной линии
86. Колебания в линиях без потерь
87. ЭДС и напряжение в электрической цепи
88. Закон Ома для участка цепи
89. Электрическое сопротивление
90. Закон Ома для замкнутой цепи
91. Энергия и мощность электрического тока
92. Закон Джоуля — Ленца для тока
93. Режимы работы электрических цепей
94. Однофазные электрические цепи переменного тока
95. Однофазные цепи синусоидального тока
96. Законы и правила Кирхгофа для электрических цепей
97. Линии с распределенными параметрами
98. Идеализированные пассивные элементы
99. Идеализированные активные элементы
100. Топологии электрических цепей
101. Уравнения электрического равновесия цепей
102. Линейные цепи при гармоническом воздействии
103. Нелинейные резистивные цепи
104. Преобразование схем электрических цепей
105. Установившиеся процессы в линейных электрических цепях
106. Методы расчета простых электрических цепей
107. Метод сигнальных графов