Объёмы поверхностей геометрических тел - определение и примеры с решением

Содержание:

Объёмы поверхностей геометрических тел:

То, чем в предыдущие эпохи занимались только зрелые умы ученых мужей, в более позднее время стало доступным для понимания юношей.

С древних времен люди применяли геометрию для решения конкретных житейских проблем — нахождения объемов сосудов, строений и кораблей, количества краски, необходимой для ремонта помещения. На основании практического опыта были разработаны методы вычисления объемов тел и площадей поверхностей. Но нахождение соответствующих формул, а тем более их доказательств заняло немало страниц в истории геометрической науки. Многие выдающиеся ученые внесли свой вклад в развитие теории объемов, а популяризаторы математики — в упрощение и доступное изложение этой теории.

Основной целью данной главы является формирование представлений об объемах и площадях поверхностей, обоснование соответствующих формул для основных пространственных фигур. Вы. научитесь использовать различные методы нахождения объемов, как строго геометрические, так и те, которые объединяют в себе геометрию и начала анализа. При изучений объемов тел полезно будет вспомнить и систематизировать материал о площадях фигур на плоскости. Подходы, которые применялись для получения основных формул площадей, будут надежным фундаментом для построения теории объемов.

В данной главе речь пойдет о всех основных фигурах, которые вы изучали в течение года, в частности о тесной связи многогранников и тел вращения. Это даст вам возможность, с одной стороны, вспомнить основные факты из курса геометрии, а с другой — на основании формул для площадей поверхностей многогранников получить соответствующие результаты для тел вращения.

Задачи данной главы содержат много геометрических конфигураций, что позволит вам переосмыслить весь курс стереометрии с точки зрения применения своих знаний на практике, в частности для нахождения, пожалуй, самых распространенных в жизни геометрических величин — объемов и площадей поверхностей. Ради этого бесценного опыта вы и изучали, в конце концов, геометрию в пространстве.

Объемы

Понятие объема хорошо известно на уровне повседневного опыта: мы покупаем пакет сока определенного объема, рассчитываем, какой объем займет в квартире новая мебель, берем для приготовления блюда кастрюлю соответствующего объема. Придадим этим наглядным представлениям об объеме тела определенную математическую строгость.

Понятие объема многогранников

Для дальнейших рассуждений полезно объединить практический опыт и известную уже теорию площадей многоугольников. По аналогии с ней мы и будем строить теорию объемов пространственных тел, в первую очередь многогранников.

Объем характеризует величину части пространства, которую занимает геометрическое тело, и измеряется, как и площадь, в определенных единицах. Единицей измерения площадей является площадь единичного квадрата, а за единицу измерения объема принимается объем единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины. Например, если за единицу измерения длины принимается 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м, то за единицу измерения объема принимается объем куба с ребром 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м. Соответствующая единица объема называется кубическим миллиметром (1 мм³), кубическим сантиметром (1 см³), кубическим дециметром или литром (1 дм³ или 1 л), кубическим метром (1 м³). Таким образом, вычисление объемов тел разной формы основано на сравнении с объемом единичного куба.

Измерить объем тела на практике можно, например, погрузив его в воду и подсчитав количество вытесненной телом воды. Но во многих случаях это не целесообразно, поэтому очень полезно вывести и научиться применять формулы для вычисления объемов. Соответствующая теория основана на аксиомах объема многогранников.

1. Равные многогранники имеют равные объемы.
2. Бели многогранник составлен из нескольких многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
3. Объем куба с ребром, равным единице длины, равен единице объема.

Итак, объем многогранника — это положительная величина, Числовое значение которой удовлетворяет аксиомам объема. : - Как правило, объем обозначают буквой V.

Приведенные аксиомы имеют и практическую основу. Действительно, все пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда и одинаковые размеры, содержат одинаковое количество сока.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Если же каждый из двух пакетов можно разлить в одинаковое количество маленьких пакетиков, то сумма объемов этих пакетиков будет равна объему каждого из них, то есть данные пакеты имеют одинаковый объем.

Тела, составленные из одних и тех же многогранников, называются равносоставленными. Например, равносоставленными будут тела, изображенные на рисунке 190, а, б: прямая треугольная призма и прямой параллелепипед. Действительно, каждая из этих фигур составлена из двух одинаковых прямых призм, таких как на рисунке 190, в.

Очевидно, что объемы равносоставленных многогранников равны по второй аксиоме. Интересно, что обратное утверждение неверно (в отличие от аналогичной теоремы для площадей). Так, многогранники равного объема не всегда можно разбить на конечное число равных многогранников. В частности, куб и правильный тетраэдр равных объемов (рис. 190) не являются равносоставленными.

Объем параллелепипеда

Простейшей фигурой с точки зрения вычисления объема является прямоугольный параллелепипед.

Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

где — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Приведем рассуждения, на которых основано доказательство данной теоремы.

Сначала рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями а, 1, 1. Так как в отрезке а единица измерения длины помещается а раз, то единичный куб помещается в параллелепипед также а раз. Значит, объем прямоугольного параллелепипеда равен а (рис. 191, а).

Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 равен (рис. 191, б), а прямоугольного параллелепипеда с измерениями — равен abc (рис. 191, в).

Полное доказательство данной теоремы приведено в Приложении 2.

Следствие (формула объема куба)

Объем куба равен кубу его ребра:

где а - ребро куба.

Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений, а параллелограмма — произведению его стороны на проведенную к ней высоту. По аналогии нетрудно предположить, что объем произвольного параллелепипеда также можно найти через площадь основания и соответствующую высоту.

Теорема (формула объема параллелепипеда)

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту:

где — площадь основания параллелепипеда, h — высота.

Доказательство:

Очевидно, что для прямоугольного параллелепипеда данная формула верна. Докажем ее для наклонного параллелепипеда (рис. 192). Проведем через ребра ВС и AD плоскости, перпендикулярные основанию ABCD. Дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой и отсечем треугольную призму Эти призмы равны, так как совмещаются параллельным переносом на вектор . Значит, полученный параллелепипед имеет тот же объем, что и исходный.

При описанном преобразовании параллелепипеда площадь его основания и высота сохраняются, а две боковые грани становятся перпендикулярными плоскости основания ABC. Если выполнить аналогичное преобразование с помощью плоскостей, проходящих через АВ и DC перпендикулярно основанию ABCD, получим прямой параллелепипед с основанием ABCD, равновеликий исходному. При этом высоты параллелепипедов также сохраняются.

Теперь проведем через точки А я В плоскости, перпендикулярные АВ (рис. 193). Дополняя прямой параллелепипед одной треугольной призмой (I) и отсекая равную ей другую призму (2), получим прямоугольный параллелепипед, равновеликий предыдущему.

Объем полученного прямоугольного параллелепипеда равен . Так как при описанных выше преобразованиях данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз образуется параллелепипед, равновеликий предыдущему, а площадь

основания и высота сохраняются, то и объем исходного параллелепипеда можно вычислить с помощью полученной формулы. Итак, объем наклонного параллелепипеда

Таким образом, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле

Теорема доказана.

Пример №1

В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 6 см. Найдите объем данного параллелепипеда, если две его боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°.

Решение:

Пусть дан параллелепипед (рис. 194), в основании которого лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Боковые ребра параллелепипеда равны и имеют длину б см. Противолежащие боковые грани параллелепипеда параллельны, следовательно, наклонены к плоскости его основания под равными углами.

Пусть грани перпендикулярны грани ABCD, а грани образуют с ABCD угол 30°. Проведем в плоскости перпендикуляр к AD. По свойству перпендикулярных плоскостей , следовательно, — высота данного параллелепипеда. Так как является перпендикуляром, — наклонной, KD — ее проекцией на плоскость ABC, причем , то по теореме о трех перпендикулярах . Значит, угол равен углу между плоскостями . По условию . Из прямоугольного треугольника получим: = 3 см.

Таким образом,

Ответ: 36 см³.

Объем призмы

На плоскости для получения формулы площади треугольника было удобно дополнить треугольник до параллелограмма. Далее, для получения формулы площадей других многоугольников, целесообразно было разбить их на треугольники. Применим аналогичные приемы для вывода формулы объема призмы.

Теорема (формула объема призмы)

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

где — площадь основания призмы, h — ее высота.

Доказательство:

Пусть дана треугольная призма . Дополним ее до параллелепипеда , как показано на рисунке 195. Дополняющая призма симметрична данной относительно центра симметрии параллелепипеда точки О. Значит, она равна данной призме. Тогда, по аксиомам объема, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Но значит,

Применим только что выведенную формулу объема треугольной призмы к рассмотрению произвольной призмы.

Разобьем основание призмы на треугольники, а призму — на соответствующие треугольные призмы с высотой h (рис. 196).

По аксиоме, объем данной призмы равен сумме объемов составляющих ее треугольных призм:

где — площади треугольников, на которые разбито основание призмы.

Теорема доказана.

Пример №2

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения: , где I — боковое ребро призмы, — площадь перпендикулярного ему сечения. Докажите.

Решение:

Рассмотрим наклонную призму F₁ с ребром АА₁ = I (рис. 197). Проведем два ее перпендикулярных сечения, расстояние между плоскостями которых I и которые не имеют с данной призмой общих точек. При этом получим прямую призму F₂ и многогранник F₃ (рис. 197). Многогранник, гранник, как совмещаются параллельным переносом на вектор . Поэтому их объемы равны. Эти многогранники имеют общую часть F₃. Отсюда по аксиоме объема следует, что объемы призм F₁ и F₂ также равны. Но последняя призма является прямой, и ее объем равен . Значит, объем данной призмы равен .

Объем цилиндра

При обосновании формулы площади круга в планиметрии мы использовали вписанные в окружности и описанные около них многоугольники. Применим аналогичные рассуждения и в пространстве, заменив круг на цилиндр, а многоугольники — на призмы. Дадим соответствующие определения.

Определение:

Прямая призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

При этом цилиндр называется описанным около призмы. Очевидно, что боковые ребра призмы — образующие цилиндра, а высоты прямой призмы и описанного около нее цилиндра равны (рис. 198).

Определение:

Прямая призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

При этом цилиндр называется вписанным в призму (рис. 199). Очевидно, что высоты прямой призмы и вписанного в нее цилиндра равны.

Теорема (формула объема цилиндра)

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

где — площадь основания цилиндра, h — высота, R — радиус цилиндра.

Доказательство:

Впишем в данный цилиндр радиуса R и высоты h правильную п-угольную призму с площадью основания S'_n и опишем около него правильную n-угольную призму с площадью основания (рис. 200). Тогда, по доказанному при обосновании формулы для площади круга,

Отсюда следует, что при неограниченном возрастании п объемы вписанных призм и объемы описанных призм стремятся к величине . Значит, существуют призмы, содержащиеся в данном цилиндре, и призмы, содержащие его, объемы которых сколь угодно мало отличаются от . Тогда объем цилиндра выражается формулой V = .

Теорема доказана.

Пример №3

Основание прямой призмы — треугольник со стороной с-и прилежащими к ней углами . Диагональ грани, содержащей сторону с, образует с плоскостью основания призмы угол ф. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

Решение:

Пусть дана прямая треугольная призма , в основании которой лежит треугольник . Так как , то — наклонная, АВ — ее проекция на плоскость ABC. Значит, по определению угол равен углу между АВ и плоскостью ABC. По условию (рис. 201).

Рассмотрим цилиндр, описанный около данной призмы. Его основания описаны около оснований призмы, высота равна высоте призмы.

По теореме синусов для треугольника ABC имеем:

Из прямоугольного треугольника

Следовательно, объем цилиндра равен:

Ответ:

Объемы пирамиды, конуса и шара

Рассмотрим способ вычисления объемов тел, в основе которого лежит понятие интеграла, известное из курса алгебры и начал анализа.

Общая формула объема

Пусть тело Т, объем которого требуется вычислить, расположено между двумя параллельными плоскостями . Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскостям (рис. 202). Пусть плоскость а задана уравнением х = а, а плоскость — х = Ь (а<Ь).

Будем рассматривать случай, когда любое сечение тела Ф(х) плоскостью, перпендикулярной-оси Ох и пересекающей эту ось в точке (х;0;0), является кругом или многоугольником (такой случай возможен, если Ф(х) — точка).

Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x). Допустим, что S(x) — непрерывная функция при . Разобьем отрезок [a;b] на n равных отрезков точками и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох (рис. 203).

Эти плоскости разобьют тело Т на n тел: . Если сечение Ф(х₁) — круг, то объем тела Т, приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф(х₁) и высотой Если сечение Ф(х₁) — многоугольник, то объем тела T_i приближенно равен объему прямой призмы с основанием ф(х, ) и высотой

Учитывая, что объем цилиндра и призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть получаем:

При неограниченном возрастании n правая часть данной формулы приближается сколь угодно близко к объему тела Т. С другой стороны, так как S(x) непрерывна на , это же выражение приближается к соответствующему интегралу. Итак,

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла. Будем называть ее интегральной формулой объема.

Из этой формулы вытекает интересное и удобное в применении следствие, формулировка которого принадлежит итальянскому математику Бонавентуре Кавальери.

Принцип Кавальери

Если при пересечении двух тел F₁ и F₂ плоскостями, параллельными одной и той же плоскости а, в сечениях получаются фигуры с равными площадями, то объемы данных тел равны.

Это утверждение легко вывести из интегральной формулы объема, если расположить систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскости а (рис. 204). Применение интеграла и принципа Кавальери позволяет значительно упростить нахождение формул, выражающих объемы многих важных тел.

Объем пирамиды и конуса

В пунктах 15.3 и 15.4 мы установили, что объемы призмы и цилиндра определяются одной и той же формулой:

Поэтому вполне естественно предположить, что будут совпадать формулы для объемов пирамиды и конуса.

Теорема (формула объема пирамиды)

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

где — площадь основания пирамиды, h — высота.

Доказательство:

Разместим пирамиду в системе координат так, чтобы ось Ох была направлена вдоль высоты, а основание' принадлежало бы плоскости (рис. 205). Пусть некоторая плоскость параллельна основанию пирамиды и пересекает ее высоту в точке (х;0;0). Обозначим через S(x) площадь сечения пирамиды этой плоскостью. По доказанному в п. 10.2 она отсекает пирамиду, подобную данной. В частности, подобными являются многоугольники основания и сечения. Пусть k — коэффициент подобия. Тогда

Отсюда

Применяя теперь для пирамиды интегральную формулу объема, получим:

Теорема доказана.

Следствие (формула объема усеченной пирамиды)

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

где h - высота усеченной пирамиды, площади ее оснований.

Доказательство:

Дополним данную усеченную пирамиду до полной с высотой Н (рис. 206). Тогда высота дополняющей пирамиды будет равна H-h. Из подобия полной и дополняющей пирамид, площади оснований которых равны соответственно, получаем:

По аксиомам объема, объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополняющей пирамид. Следовательно,

Формула доказана.

Заметим, что при доказательстве теоремы об объеме пирамиды и ее следствия, кроме интегральной формулы объема, мы применили только тот факт, что плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, для площади основания S(x) и высоты h-x которой верна формула

Но эта формула, по доказанному в п. 13.2, также верна и для конуса (рис. 207). Поэтому аналогичными формулам объема и их доказательствам для пирамиды и усеченной пирамиды будут формулы объема и их доказательства для конуса и усеченного конуса.

Теорема (формула объема конуса)

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту:

где — площадь основания конуса, R — радиус, h — высота.

Следствие (формула объема усеченного конуса)

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле

где h - высота усеченного конуса, - площади его оснований, - радиусы его оснований.

С помощью вписанных и описанных призм мы вывели формулу для объема цилиндра. Подобную связь можно установить также для конусов и пирамид.

Определение:

Пирамида называется вписанной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.

При этом конус называется описанным около пирамиды.

Очевидно, что высоты пирамиды и описанного конуса равны, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса (рис. 208).

Определение:

Пирамида называется описанной около конуса, если их вершины совпадают, а основание пирамиды описано около основания конуса.

При этом конус называется вписанным в пирамиду.

Очевидно, что высоты пирамиды и вписанного конуса равны, а высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса (рис. 209).

Рассмотрим правильные л-угольные пирамиды, вписанные в данный конус, и правильные л-угольные пирамиды, описанные около него (рис. 210).

Если число n сторон оснований этих пирамид неограниченно возрастает, то площади их оснований стремятся к площади круга, лежащего в основании конуса. Следовательно, их объемы стремятся Тогда существуют вписанные в конус и описанные около него пирамиды с объемами, сколь угодно мало отличающимися от

Из этих рассуждений становится понятным другое обоснование формулы объема конуса

Объем шара и его частей

Непосредственно получить только из геометрических рассуждений формулу для объема шара очень сложно. Но с помощью интегральной формулы объема и принципа Кавальери доказательство соответствующих результатов является простым и наглядным.

Теорема (формула объема шара)

Объем шара радиуса R вычисляется по формуле

Доказательство:

Найдем сначала объем полушара, применив принцип Кавальери.

Пусть дан полушар F_l радиуса R. На плоскость а, содержащую основание полушара, поставим цилиндр, радиус и высота которого также равны R. В цилиндр впишем конус, вершина которого совпадает с центром основания цилиндра в плоскости а, а основание — с другим основанием цилиндра (рис. 211).

Сравним объем V₁ полушара с объемом V₂ тела F₂, ограниченного нижним основанием цилиндра и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.

Проведем плоскость , параллельную плоскости а и удаленную от нее на расстояние х . Эта плоскость пересечет данный полушар по кругу радиуса и площади , а тело F₂ — по кольцу. Так как осевое сечение конуса является равнобедренным прямоугольным треугольником, внешний радиус кольца равен R, а внутренний — х. Значит, площадь полученного кольца составит и будет равна площади сечения полушара. По принципу Кавальери, объем полушара равен объему тела F₂, то есть разности объемов цилиндра и конуса:

Объем шара вдвое больше объема полушара, следовательно, вычисляется по формуле . Теорема доказана.

Пример №4

Сечение шара, удаленное от его центра на 1 см, имеет площадь 8л см². Найдите объем шара.

Решение:

Пусть дан шар с центром О. Сечение шара некоторой плоскостью а является кругом с центром , причем . Так как О удалена от а на 1 см, то = 1 см.

Пусть точка К сферы, ограничивающей шар, принадлежит данному сечению (рис. 212). Тогда площадь сечения равна , откуда (см). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

По формуле объема шара

Ответ:

Найдем теперь объемы частей шара.

Определение:

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.

На рисунке 213 плоскость сечения, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного плоскости сечения,— высотами сегментов. Так, на рисунке 213 — высота меньшего сегмента, — высота большего сегмента.

Теорема (формула объема шарового сегмента)

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле

где R — радиус шара, Н — высота сегмента.

Доказательство:

Применим для шарового сегмента интегральную формулу объема.

Введем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром шара.

Тогда часть шара, ограниченная плоскостями , является шаровым сегментом с высотой Н (рис. 214).

Радиус сечения шарового сегмента плоскостью, пересекающей ось Ох в точке (х;0;0), равен Следовательно, площадь этого сечения По интегральной формуле объема для шарового сегмента получаем:

Теорема доказана.

Заметим, что при Н -2R из только что доказанной формулы следует еще один способ нахождения формулы объема шара:

Определение:

Шаровым сектором называется тело, ограниченное сферической поверхностью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, основанием которого является основание сегмента, а вершиной - центр шара.

Очевидно, что если шаровой сегмент меньше полушара, его дополняют конусом для получения шарового сектора; если же шаровой сегмент больше полушара, то для получения шарового сектора конус из него удаляют (рис. 215).

Теорема (формула объема шарового сектора)

Объем шарового сектора вычисляется по формуле

где R — радиус шара, Я — высота соответствующего шарового сегмента.

Доказательство:

Рассмотрим случай шарового сектора, высота Я соответствующего шарового сегмента для которого меньше R (рис. 216).

Тогда его объем равен сумме объема сегмента и объема конуса V₂. Следовательно,

Случай, когда высота Н больше или равна R, рассмотрите самостоятельно.

Теорема доказана.

Определение:

Шаровым слоем (поясом) называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Расстояние между этими плоскостями называется высотой шарового слоя, а сечения, ограничивающие слой,— основаниями шарового слоя (рис. 217).

Заметим, что объем шарового слоя можно вычислить двумя способами:

1. как разность объемов двух шаровых сегментов;
2. как разность объема шара и объемов двух сегментов, не входящих в слой.

Объемы подобных тел

Из повседневного опыта нам хорошо известно, что при увеличении размеров предмета его объем также увеличивается. Например, легко сравнить объемы двух аквариумов, размеры одного из которых вдвое меньше соответствующих размеров другого (рис. 218): объемы отличаются в 8 раз.

Кроме того, можно проследить за подобными с коэффициентом k многоугольниками на плоскости. Как известно, их периметры отличаются в k раз, площади — в k² раз. Естественно предположить, что объемы подобных с коэффициентом k пространственных тел отличаются к³ раз. Проверим это для тел, формулы объема которых нам уже известны.

Итак, для всех рассмотренных тел верно следующее утверждение: объемы тел, подобных с коэффициентом k, относятся как k³.

Этот факт верен и для любых простых тел, то есть тел, которые можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любые многогранники, подобные с коэффициентом к, имеют объемы, которые отличаются в k³ раз.

Пример №5

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Решение:

Пусть дана пирамида с вершиной S и высотой SO. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает SO в точке (рис. 219).

По условию = Но отсекаемая пирамида подобна данной, причем отношение их высот равно коэффициенту подобия, то есть По свойству объемов подобных тел объем отсекаемой пирамиды в 8 раз меньше объема данной пирамиды. Следовательно, данная плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем в отношении 1:7.

Ответ: 1:7.