Объем пространственных фигур - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Исследование. Соберите не менее 4 призм различных размеров из кубиков и изобразите полученные призмы.

1. Предположим, что ребро каждого кубика, из которых состоит призма, равна 1 единице, площадь грани равна 1 квадратной единице, а объём равен 1 кубической единице.
2. Данные для каждой призмы запишите в таблицу.
3. Какая связь существует между площадью основания призмы и высотой?
4. Вытащите один кубик из угла конструкции и изобразите вид впереди, сверху и сбоку каждого кубоида.

Если тело можно разделить на конченое число треугольных пирамид, то оно называется простым телом. Для простых тел объём - положительная величина, численное значение которой удовлетворяет следующим свойствам.

1. Объёмы конгруэнтных тел равны.
2. Объём куба, ребро которого равно единице, равен кубической единице.
3. Если тело можно разделить на простые части, то его объём равен сумме объёмов полученных частей.

Тела, имеющие одинаковые объёмы называются равновеликими. Объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого являются натуральными числами, равен

количеству кубических единиц, из которых он состоит. Можно также показать, что объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого заданы любыми действительными числами равен произведению трёх измерений: . Формулу объёма можно записать как произведение площади основания и высоты с. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты:

Следствие: Объём куба с ребром а равен:

Объём любой прямой призмы равен произведению площади основания и высоты. Справедливость данного утверждения проверим на прямой призме, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Достроим основание призмы до прямоугольника, получим призму, достроенную до прямоугольного параллелепипеда. Объём полученной призмы равен .

Плоскость , проходящая через диагональ параллелепипеда делит призму на две конгруэнтные треугольные призмы. Значит, объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник будет:

В треугольнике ABC, являющимся основанием прямой призмы, проведём высоту так, чтобы она пересекала противоположную сторону во внутренней области: . Плоскость, проходящая через ребро АА' перпендикулярно ребру ВС имеет одинаковую высоту с призмой, и делит её на две призмы, в основании которых лежат прямоугольные треугольники. Объём заданной призмы равен сумме объёмов полученных призм. Значит, объём прямой призмы с произвольным треугольником в основании равен произведению площади основания и высоты.

Если основанием прямой призмы является произвольный многоугольник, то её также можно разделить на треугольные призмы и найти её объём как сумму объёмов данных призм. Наклонную призму АВСА'В'С' преобразуем в прямую призму равного объёма. Для этого:

1. проведём плоскость перпендикулярную боковым рёбрам;
2. отделим оставшуюся при сечении верхнюю часть призмы;
3. переместим и соединим её с оставшейся внизу частью;
4. высота полученной прямой призмы является боковым ребром наклонной призмы, т.е. , основание же является перпендикулярным сечением наклонной призмы. Объём данной прямой призмы является также объёмом наклонной призмы.

Следствие. Объём наклонной призмы равен произведению перпендикулярного сечения и ребра призмы: . Угол между перпендикулярным сечением и основанием равен углу между боковым ребром и высотой призмы.

Поэтому, .

Таким образом объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Принцип Кавальери для нахождении объёмов

Если площади сечений параллельных основаниям двух тел равны, то равны и их объёмы, при условии, что основания лежат в одной плоскости, а высоты равны. Этот принцип открыл итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 - 1647).

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания и высоты.

Пример №1

Найдём объём правильной пятиугольной призмы, стороны основания которой равны 4 см, а длина бокового ребра 9 см. Центральный угол правильного пятиугольника равен 360 : 5 = 72° значит апофема равна:

Площадь правильного многоугольника равна полупроизведению периметра и апофемы.

Исследование. 1. Диагонали куба деляг его на 6 конгруэнтных пирамид. Основание каждой пирамиды - грань куба, а высота

каждой пирамиды равна

а)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

б)Докажите, что объём каждой пирамиды равен

Объём пирамиды

Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основанию на высоту.

Пусть, ТАВС - треугольная пирамида с вершиной Т и основанием ABC. Достроим эту пирамиду до треугольной призмы. Полученная призма состоит из трёх пирамид:

1)заданной пирамиды ТАВС;

2)пирамиды TCNM;

3)пирамиды ТМВС.

Основания 2-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины Т общая. Поэтому их объёмы равны. Основания 1-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины С общая. Поэтому и их объёмы равны. Тогда объём заданной пирамиды равен . Основание любой пирамиды всегда можно разделить на треугольники и найти объём пирамиды суммировав объёмы всех полученных пирамид. Таким образом, объём любой пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: .

Подобие фигур в пространстве

Подобные фигуры имеют одинаковую форму и пропорциональные размеры.

Например, прямоугольные треугольники на рисунке подобны, так как отношения соответствующих сторон равны.

Прямоугольные параллелепипеды на рисунке подобны, так как отношения соответствующих линейных размеров равны и соответствующие грани являются подобными четырёхугольниками. Правильные многогранники подобны. В частном случае подобными являются все кубы, правильные тетраэдры и т.д.

Подобные фигуры

Если при преобразовании расстояние между любыми двумя точками, меняется в одинаковое число раз, то такое преобразование называется подобием. Одна и другая, полученная при преобразовании подобием, фигура называются подобными фигурами. Коэффициент подобия равен отношению расстояний между парой любых двух соответсвующих точек.

Пример №2

Определим подобны или нет фигуры на рисунке.

Площади поверхностей и объёмы подобных фигур

Исследование. Покажите подобны или нет следующие фигуры.

Призмы А и В (прямоугольные параллелепипеды) подобные призмы

с коэффициентом подобия равным .

Для данных призм найдите:

а)отношение площадей полных поверхностей;

б)отношение объёмов.

а)площадь полной поверхности призмы А

площадь полной поверхности призмы В

Отношение полной поверхности призмы А к полной поверхности призмы В

б)объём призмы А

объём призмы В

Отношение объёма призмы А к объёму призмы В

Если коэффициент подобия двух пространственных фигур равен , то отношение площадей (боковых, полных, оснований) равно , а отношение объемов равно Коэффициент подобия:

Пирамида, полученная сечением плоскости параллельной основанию, подобна данной. Коэффициент подобия можно найти из отношения соответствующих линейных размеров.

Например, на рисунке даны высоты. Тогда, отношения их боковых поверхностей, основании и полных поверхностей равно квадрату отношения высот.

Объём усечённой пирамиды

Исследование. В древнем Египте объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды вычисляли по формуле . Однако доподлинно не известно каким образом эта формула была получена. Выведите формулу, выполнив следующие шаги:

• а)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания у ед.
• б)Запишите объём правильной четырёхугольной пирамиды, со стороной основания х ед.
• в)Покажите зависимость между высотами Н и h, как
• г)Покажите, что объём усечённой пирамиды находится по формуле .

Объём усечённой пирамиды можно также найти как разность объёмов пирамид, при сечении плоскостью параллельной основанию.

Здесь V - объём усечённой пирамиды, S₂ и S₁ площади нижнего и верхнего оснований. h - высота усечённой пирамиды, h₁ - высота меньшей пирамиды.

Так как эти пирамиды подобны, то отношение площадей равно квадрату отношений высот. Запишем это равенство и найдём высоту меньшей пирамиды.

Учитывая выражение

в равенстве

получим:

Объём усечённой призмы

Объём усечённой пирамиды с площадями оснований и , и высотой вычисляется по формуле

Задачи на сечение плоскостью

Пример:

На рисунке показано сечение куба, с ребром а, плоскостью АВDО. Точки D и С являются серединами рёбер. Найдём площадь сечения.

Решение:

Дано: куб, длина ребра которого равна а точки D и С середины рёбер.

Найдите:

Для удобства повернём куб и отметим данные задачи на рисунке. Из по теореме Пифагора:

Ответ:

Симметрия в пространстве

В пространственных фигурах также можно наблюдать различную симметрию. Известно, что в параллелепипеде диагональные сечения являются параллелограммами и диагонали ВD₁ и DВ₁ пересекаясь в точке О делятся пополам.

Можно показать, что другие диагонали также пересекаются в точке О и делятся пополам. Значит, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.

В пространстве, помимо симметрии относительно точки и прямой, рассматривается симметрия относительно плоскости.

Если отрезок АА' пересекает плоскость а посередине, и перпендикулярен плоскости, то говорят, что точки А и А' симметричны относительно плоскости а.

Если точки фигуры, симметричные некоторой плоскости, также принадлежат этой фигуре,то эту плоскость называют плоскостью симметрии, а фигуру называют симметричной относительно плоскости.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры разные, кроме центра симметрии имеет ещё три оси и три плоскости симметрии. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей противоположных граней, называется осью симметрии,а плоскость, проходящая перпендикулярно через середину рёбер называется плоскостью симметрии. Параллелепипед, у которого два линейных размера равны, имеет 5 плоскостей симметрии. Данные изображения нарисуйте в тетрадь.

Точка пересечения диагоналей куба является его центром симметрии. Прямые, проходящие через середину параллельных рёбер, не принадлежащих одной грани (их всего 6) и прямые, проходящие через центры противоположных граней(их всего три), являются осями симметрии куба. У куба 9 плоскостей симметрии. Они изображены на следующих рисунках.

Вращательная симметрии

Вращательная симметрия пространственных фигур похожа на вращательную симметрию плоских фигур. Однако, для объёмных фигур она определяется при помощи оси вращения.

Вращательная и осевая симметрия широко применяется при изучении строения молекул веществ.

Пример №3

На рисунке показан вид сверху деталей, в виде правильных треугольных призм. Из них сконструирована правильная шестиугольная призма с центром основания О. Сколько деталей понадобилось для этого?

Основанием призмы является правильный шестиугольник, состоящий их 6 конгруэнтных треугольников. Каждый треугольник заполнен призмами. По изображению видно, что в один треугольник помещено 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 призм . Для правильной шестиугольной призмы таких призм нужно будет 6 • 25 = 150.