Несобственные интегралы - определение с примерами решения

Содержание:

Несобственные интегралы:

При введении понятия определенного интеграла Римана предполагалось что:

1. промежуток интегрирования является конечным;
2. подынтегральная функция f(х) является ограниченной.

Обобщим понятие определенного интеграла на два случая, когда:

1. промежуток итерирования является бесконечным;
2. подынтегральная функция f(x) неограниченна в окрестности некоторых точек отрезка интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков. На прямой

Рассмотрим для определенности полупрямую . Для этого предположим, что функция f(x) определена для всех и пусть она интегрируема на любом конечном отрезке

Тогда на отрезке существует определенный интеграл Римана

. Этот определенный интеграл является функцией верхнего предела А:

Рассмотрим предел этой функции F(a) при

Определение 21.1.1. Предел (21.1.1) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на полупрямой и обозначается символом

При этом говорят, что несобственный интеграл (21.1.2) сходится, и пишут равенство:

Символ (21.1.2) употребляют и в случае, если предела (21.1.1) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (21.1.2) расходится.

Аналогично определяется и несобственный интеграл для функции f(x), определенной на полупрямой и интегрируемой по Риману на любом отрезке

Если для функции f(х) имеют смысл несобственные интегралы, т.е. каждый из этих интегралов сходится, где а - любое действительное число, то несобственный интеграл сходится и справедливо равенство:

Следует отмстить, что в приложениях важную роль играет интеграл Пуассона:

Геометрически, он равен площади неограниченной криволинейной трапеции (см. рис. 21.1)

Пример:

Исследовать сходимость несобственного интеграла

Решение:

Поскольку функция интегрируема на отрезке [2;A], где , применяя определение 25.1.1, получим:

Следовательно, несобственный интеграл сходится и справедливо равенство:

Пример:

Исследовать сходимость несобственного интеграла: где а - произвольное действительное число.

Решение:

Поскольку функция интегрируема на любом отрезке то, применяя определение 21.1.1, получим:

Так как

а = 1, то при а > 1 несобственный интеграл сходится, а при

- расходится.

При исследовании сходимости несобственных интегралов целесообразно применять достаточные признаки сходимости.

Предполагая, что функции f(х) и g(x) определены, неотрицательны и интегрируемы по Риману на любом отрезке [а,А],, сформулируем признаки сравнения.

Теорема 21.1.1. Пусть на полупрямой выполняется неравенство:. Тогда из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

Теорема 21.1.2. Пусть на полупрямой функция f(x) удовлетворяет неравенству , где с и а - постоянные величины, а > 1. Тогда интегралсходится. Если же существует такая постоянная с > 0, что на полупрямой справедливо неравенство то интеграл расходится.

Теорема 21.1.3. Пусть функция f(x) является ограниченной по сравнению с g(x) при , тогда, если интеграл сходится, то сходится и , а если интеграл расходится, то расходится и интеграл

Введем понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Если же интеграл

сходится, а интеграл расходится, то несобственный интеграл называется условно сходящимся.

Интегралы от неограниченных функций

Во всех предыдущих рассуждениях мы предполагали, что подынтегральная функция f(х) непрерывна на промежутке интегрирования. Поэтому, если мы хотим, чтобы некоторые неограниченные функции интегрировались в каком-то смысле, то нам нужно обобщить понятие определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена и неограниченна на полуинтервале [а,b), причем она ограничена на любом отрезке ,, заключенном в интервале Точку b при этом будем называть особой. Будем также предполагать, что функция f(x) интегрируема на отрезке . Тогда можно говорить о функции:

значение которой зависит от следовательно, можно рассматривать правый предел при

Определение 21.2.1. Правый предел (21.2.1) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода от функции f(х) на отрезке и обозначается символом:

При этом говорят, что несобственный интеграл (21.2.2) сходится, и пишут равенство:

Символ (21.2.2) применяют и в случае, если указанного предела (21.2.3) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (21.2.3) расходится.

Из определения 21.2.1. следует, что если f(x) > 0 на [a,b), то несобственный интеграл численно равен площади неограниченной области G (см. рис. 21.2).

Действительно,

где , а если то

и площадь . В свою очередь,

согласно определению несобственного интеграла.

Итак, под несобственным интегралом будем понимать интеграл, определенный формулой (21.2.3).

Аналогично определяется и несобственный интеграл

от функции f(x), определенной на полуинтервале (a,b] и интегрируемой на всех отрезках

Если же функция f(x) определена на интервале (a, b) и если при некотором выборе точки существуют несобственные

интегралы , то по определению положим:

При этом в рассматриваемом случае существование и величина

интеграла не зависит от выбора точки . Действительно, в этом случае функция f(x), очевидно, интегрируема на любом отрезке и равенство (21.2.5) равносильно равенству:

причем переменные стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Поэтому, естественно ограничиться изучением несобственных интегралов определяемых (21.2.3) и (21.2.4).

Пример №1

Функция неограниченна и, следовательно, не интегрируема по Риману.

Несобственный же интеграл существует:

Пример №2

Для функции несобственный интеграл не существует, так как

На несобственные интегралы легко переносятся многие свойства интеграла Римана. Так, например, если функция f(x) непрерывна на полуинтервале

какая-либо первообразная функция f(х) на полуинтервале [a,b), то

где Равенство (21.2.6) понимается в том смысле, что или обе части равенства одновременно имеют смысл и тогда они равны, или они одновременно не имеют смысла.

Сформулируем и докажем критерий сходимости несобственных интегралов:

Теорема 21.2.2. Пусть функция f(x) определена и неотрицательна на полуинтервале [a,b). Тогда для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно,чтобы интегралы были ограничены в совокупности, т. е. чтобы существовала постоянная М > 0, такая, что , для любого числа , причем в этом случае

Доказательство. Обозначим через

Если , то в силу неотрицательности функции f(x) значение интеграла является неотрицательным числом:

Поэтому справедливо неравенство из которого следует, что - монотонно возрастающая функция. Поэтому предел существует и он будет конечный, если - ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие:

Ясно, что

Из теоремы следует, что для того, чтобы несобственный интеграл расходился, необходимо и достаточно, чтобы функция была не ограничена сверху:

Поэтому когда несобственный интеграл расходится, то пишут:

Сформулируем далее теоремы, которые называются признаками сравнения несобственных интегралов. Для этого предположим, что: 1) функции f(x) и g(x) определены и f(x) > 0, g(x) >0 на , 2) f(x) и g(x) интегрируемы по Риману на любом отрезке

Теорема 21.2.3. Пусть функция f(x) является ограниченной по сравнению с функцией g(x) в некоторой окрестности точки Ь:, тогда, если: сходится, то сходится и интеграл расходится, то расходится и интеграл

Следствие. Пусть и l тогда:

1) если интеграл сходится и то и интеграл также сходится;

2) если интеграл расходится и , то и иитеграл также расходится.

В частности, если . то интегралы исходятся или расходятся одновременно.

Пример №3

Исследовать сходимость несобственного интеграла:

Решение:

На полуинтервале для функции , точка b является особой. Так как эта функция интегрируема на любом отрезке , то, согласно определению 21.2.1, получим:

Вычислим полученные пределы:

Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при и расходится при

В качестве функции сравнения часто бывает достаточно брать

, так как известно поведение интеграла:

Отметим, что если функция f(x) непрерывна на полуинтервале и b - особая точка, то интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода при помощи замены:

В результате этой замены переменной, получим равенство:

Из этого равенства следует, что если сходится интеграл

, т.е. существует предел: , то существует и предел , что означает сходимость несобственного интеграла первого родаи равенство этого интеграла интегралу . И обратно, из сходимости несобственного интеграла первого рода следует сходимость несобственного интеграла второго рода и равенство этих двух интегралов.

Отмстим, что несобственные интегралы первого рода широко применяются в экономических исследованиях. Так эффективность функционирования розничной торговли; валовой доход (сумму торговых сделок) розничной торговли от реализации товаров и услуг; общая сумма текущих издержек обращения и капиталовложений, сводимых к текущим затратам; совокупная денежная оценка полезности времени, расходуемого населением на приобретение товаров в розничной торговле и др. описывается при помощи несобственных интегралов.

Несобственные интегралы в высшей математике

Определенные интегралы с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции.(Несобственные интегралы I рода).

Теорема: Пусть функция f(х) непрерывна на интервале (или интервалах ). Если существует предел (или пределы соответственно), то существует интеграл (или интегралы соответственно).

Определение: Определенный интеграл с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции называется несобственным интегралом I рода

Замечание: Несобственный интеграл I рода вычисляется в смысле главного значения.

В дальнейшем будем изучать только интегралы другие интегралы рассматриваются аналогично.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

(применим метод замены переменной интегрирования) = (пересчитаем пределы интегрирования)

Определение: Несобственный интеграл I рода называется сходящимся, если пределы в указанных выше равенствах конечны, в противном случае несобственный интеграл I рода называется расходящимся.

Пример:

Выяснить сходимость интеграла

Решение:

Рассмотрим возможные случаи:

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится при и сходится при Этот интеграл часто используется в теории рядов (см. ниже). Рассмотрим признак сходимости несобственного интеграла I рода:

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на интервале и удовлетворяют неравенству Тогда: из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

На интервале справедливы неравенства Так как

сходится, то по признаку сходимости сходится и интеграл

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

На интервале справедливы неравенства Так как

расходится то по признаку сходимости расходится и интеграл

Следствие из теоремы. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл .

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Так как и интеграл сходится, то по признаку сходимости сходится и интеграл

Определенные интегралы с конечными пределами интегрирования от функций, имеющих точки разрыва второго рода на интервале интегрирования. (Несобственные интегралы II рода).

Определение: Если функция f(х) не существует хотя бы в одной точке то интеграл называется несобственным интегралом II рода.

32. Если функция f(х) в точке терпит разрыв II рода, то обычное определение определенного интеграла как предела интегральной суммы непригодно.

Вычисление определенного интеграла с конечными пределами от разрывной на интервале интегрирования функции производится посредством предельного перехода

Определение: Если приведенные пределы существуют и конечны, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Рассмотрим признак сходимости несобственных интегралов II рода:

Теорема: Пусть функции f(х) и g(x) непрерывны на интервале и удовлетворяют неравенству , а в точке обе функции терпят разрыв II рода.

Тогда:

• из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Применение определенного интеграла в науке и технике

1. Работа по сжатию пружины

Пусть тело массой m прикреплено к пружине с коэффициентом упругости k. Требуется вычислить работу, которую совершит сила упругости при растяжении пружины от а до b (Рис. 13):

Рис. 13. Вычисление работы упругой силы. Из физики известно, что сила упругости а работа

Отсюда находим, что Если выполняется неравенство т.е. она совершается против силы упругости. В противном случае работа совершается силой упругости.

Работа по откачке жидкости из резервуара

Пусть резервуар представляет собой параболоид вращения и имеет высоту Л. Резервуар заполнен жидкостью с плотностью р. Вычислить работу, которую надо совершить при полной откачке жидкости из резервуара (Рис. 14).

Рис. 14. Вычисление работы по откачке жидкости из параболоида.

Параболоид вращения задается уравнением На слой жидкости, расположенный на высоте между действует сила тяжести где g - ускорение свободного падения, dm - масса рассматриваемого слоя жидкости. В силу того, что (dV - объем рассматриваемого слоя жидкости), то Для тела вращения, которым является резервуар с жидкостью, элемент объема Работу, которую надо совершить по откачке этого слоя жидкости, равна Следовательно, работа по откачке всей жидкости из резервуара равна

3. Работа по постройке пирамиды

Пусть необходимо построить пирамиду высотой h со стороной основания а из материала с плотностью р . Требуется найти работу по возведению этой пирамиды (Рис. 15, обозначения расставить самостоятельно).

Рис. 15. Вычисление работы по постройке пирамиды.

Для того, чтобы увеличить высоту пирамиды на надо затратить материал массой Так как треугольник ЕОВ подобен треугольнику В силу того, что треугольник ЕАВ подобен треугольнику Отсюда следует, что т.е. FG =

Таким образом, сила тяжести, действующая на выделенный слой материала, будет равна Элемент работы определяется формулой Тогда работа по возведению всей пирамиды будет равна

4. Давление жидкости на вертикально погруженную стенку

Пусть в жидкость с плотностью р вертикально погрузили пластину. Требуется вычислить давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину (Рис. 16). Давление на глубине х обозначим через Р(х), тогда давление в слое жидкости от х до х + dx будет равно где

Рис. 16. Вычисление давления жидкости на вертикально погруженную жидкость.

f(x) - функция которая описывает форму пластины. Отсюда находим давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Вычислить давление жидкости на пластину, имеющую форму полуокружности с радиусом R, диаметр которой совпадает с поверхностью (Рис. 17).

Решение:

Рис. 17. Вычисление давления жидкости на пластину, имеющую форму полуокружности с радиусом R.

В данном примере следовательно, давление жидкости на пластину равно Используя метод замены переменной интегрирования, показать самостоятельно, что давление равно

5. Вторая космическая скорость

Известно, что на любое тело массой m, которое находится на высоте х над поверхностью Земли, имеющей массу M и форму шара радиусом R, действует сила притяжения Земли - гравитационная постоянная. Второй космической скоростью называется такая скорость, при которой тело не возвращается на Землю. Это означает, что телу придается такая кинетическая энергия (y - скорость движения), что оно может быть удалено в бесконечно удаленную точку по отношению к Земле. Для того чтобы удалить тело в бесконечно удаленную точку по отношению к Земле, необходимо совершить работу против сил гравитации

Приравнивая полученное выражение для работы значению кинетической энергии, получим выражение для второй космической скорости

Несобственные интегралы первого рода

Несобственный интеграл первого рода – обобщение понятия интеграла Римана на бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка Δ составить суммы
Римана вида (1) § 24 нельзя.
Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена на промежутке   и интегрируема на любом конечном отрезке
Несобственным интегралом 1-го рода функции y=f(x) на промежутке Δ называется  Несобственный интеграл обозначается 
Таким образом:
(1)
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично:
(2)
для функции y=f(x), определенной на промежутке и интегрируемой на
любом конечном промежутке [a b] и  (3)
где с – промежуточная точка , и интегралы в правой части формулы (3) вычисляются по формулам (1) и (2).

Пример:

Пример:

Пример:

Исследовать на сходимость 

Таким образом, интеграл сходится, если α > 1 и расходится, если α ≤ 1.
 

Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции определены на промежутке , интегрируемы на любом конечном промежутке [a b] и пусть

Тогда из сходимости  следует сходимость  , а из расходимости
 следует расходимость .
 

Доказательство следует из неравенства: 
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть - положительны удовлетворяют условиям определения 1 на этом
промежутке исходятся или расходятся одновременно.
 

Доказательство. Пусть  ε >0 и такое, что A -ε − > 0, тогда из определения предела
такое, что 
И далее доказательство следует из теоремы 1.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в
качестве g(x) часто используют функцию 

 

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл при  следовательно, (см. пример 3), интеграл сходится.
 

Определение 2. Несобственный интеграл  называется абсолютно-
сходящимся, если сходится интеграл 
Несобственный интеграл называется условно-сходящимся, если
- сходится, а интеграл  - расходится.
 

Теорема 3. Пусть  - сходится, тогда  - также сходится.
Доказательство. Пусть  - сходится, тогда по критерию Коши (см.
теорему 5 § 3) выполняется неравенство
и по критерию Коши
- сходится.
 

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость 
- сходится, (см. пример 1), тогда по признаку сравнения
- сходится и, следовательно,  - сходится абсолютно.

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы

 

n.1. Исследуем интегралы на сходимость.

следовательно, сходится 
Аналогично: сходится.
 

n.2. Исследуем интеграл  на абсолютную сходимость:

сходится (согласно п. 1), поэтому  расходится, ⇒ по признаку сравнения
расходится, поэтому сходится условно.
Аналогично:  -сходится условно.
 

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы  - интегралы Френеля.

Рассмотрим сходится условно (см. пример 6), поэтому и сходится условно.
Аналогично  сходится условно.
Значения интегралов: 
 

Замечание. Функции  также называемые интегралами Френеля используются в оптике; c (t) и s (t) через  элементарные функции не выражаются.
 

Замечание. Кривая, заданная параметрически в виде:  называется
клотоидой (спиралью Корню). Используется при проектировании и строительстве дорог и транспортных развязок (угловое ускорение машины, движущейся по кривой с постоянной скоростью, равно нулю).

Замечание.  называется интегралом Дирихле; 

Интегралы Дирихле и Френеля являются примерами интегралов от
функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.
Еще один такой пример – интеграл Пуассона (Эйлера-Пуассона или Гауссов
интеграл): Интеграл сходится и 
 

Несобственные интегралы второго рода

Несобственный интеграл второго рода – обобщение понятия интеграла Римана на случай, когда подинтегральная функция – неограниченна. Согласно необходимому условию интегрируемости функции (см. теорему 1 § 24) интегрируемая на промежутке Δ = [a b] функция ограничена на этом промежутке.
Определение 1. а) Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Δ = [a b), интегрируема на отрезке  Несобственным интегралом 2-го рода Таким образом:
(1)
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
б) Аналогично (2)  для функции y=f(x) определенной на промежутке интегрируемой на отрезке
в) Если же то

Если хотя бы один из пределов не существует, то интеграл расходится.

Пример №5

Так как оба предела равны −∞, то интеграл расходится.

Пример №6

Исследовать на сходимость 

Таким образом интеграл сходится, если и расходится, если α ≥ 1.

Теорема 1. (признак сравнения). Пусть такие, как в определении 1а) , и пусть
Тогда из сходимости несобственного интеграла  следует сходимость
несобственного интеграла а из расходимости несобственного интеграла
следует расходимость несобственного интеграла
 

Теорема 2. (предельный признак сравнения). Пусть положительны удовлетворяют условиям определения 1а) , и пусть
Тогда интегралы  сходятся или
расходятся одновременно.
Доказательство теорем 1 и 2 аналогично доказательству теорем.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в
качестве g (x) часто используют функцию  .
 

Пример №7

Исследовать на сходимость интеграл 
 

Решение.
интеграл сходится.

 

Пример №8

Исследовать на сходимость  (интеграл Эйлера).
 

Решение. Проверим сходимость. проинтегрируем
по частям  
Таким образом  и можно
доопределить подинтегральную функцию до непрерывной на отрезок 
поэтому интеграл  – сходится.
Вычислим интеграл.