Методы математической статистики - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Предмет математической статистики (МС) - любой объект, изучаемый с количественной стороны в целях более точной оценки его качественного состояния.

При этом имеются в виду групповые объекты, т.е. явления массовые, в сфере которых проявляют свое действие статистические законы.

Единица наблюдения - составной элемент или член группового объекта.

Статистическая совокупность - множество относительно однородных, но индивидуально различимых единиц, объединенных для совместного (группового) изучения. Например, недопустимо изучать показатели изменчивости человеческого организма, объединяя в одну совокупность людей разного возраста и пола.

Статистический комплекс слагается из разнородных групп, каждая из которых состоит из однородных элементов, для совместного (комплексного) изучения. Вопрос о форме объединения экспериментатор решает сам в зависимости от объекта и цели исследования.

Признак - свойство, проявлением которого один предмет отличается от другого.

Пример:

Исследуется признак

Характерное свойство признаков - варьирование величины признака в определенных пределах. Эти колебания величины одного и того же признака, наблюдаемые в массе однородных элементов статистической совокупности, называются вариациями, а отдельные числовые значения варьирующего признака называются вариантами.

Признаки делятся на качественные (атрибутивные) и количественные.

Качественные признаки не поддаются непосредственному измерению и учитываются по наличию их свойств у отдельных членов изучаемой группы.

Пример:

Признак

Количественные признаки поддаются непосредственному измерению или счету. Их делят на мерные и счетные.

Мерные признаки варьируют непрерывно, их величина может принимать в определенных пределах (от - до) любые числовые значения. Аналог мерного признака в теории вероятностей есть непрерывная случайная величина.

Счетные признаки варьируют прерывисто (дискретно), их числовые значения часто выражаются целыми числами (число зерен в колосьях и т.п.).

Аналогом счетного признака в теории вероятности является дискретная случайная величина.

Признаки обозначаем так же, как случайные величины:  их варианты соответственно 

Признаки варьируют под влиянием различных, в том числе и случайных причин. Наряду с естественным варьированием на величине признака сказываются и ошибки, неизбежно возникающие при измерении изучаемых объектов.

Погрешность или ошибка - разница между результатами измерений и действительно существующими значениями измеряемого признака.

Технические ошибки - связаны с неточностью измерительных приборов и инструментов.

Личные ошибки возникают из-за личных качеств исследователя, его навыков и мастерства.

Случайные ошибки возникают из-за целого ряда других, не поддающихся регулированию и неустранимых причин.

Технические + личные ошибки = систематические ошибки. Их можно преодолеть соответствующими методами.

Случайные ошибки, как независимые от воли человека, остаются и сказываются на результатах наблюдений. Следовательно, варьирование признака складывается из естественной изменчивости признака и ошибок измерений.

При измерении количественного признака и при вычислении его характеристик применяются два вида округления:

• -    округление с недостатком: если за последней сохраняемой цифрой следуют цифры 0, 1,2, 4, то они отбрасываются. Например, точность измерения  т.е. последняя сохраняемая цифра - вторая после запятой. Тогда 
• -    округление с избытком: если за последней сохраняемой цифрой следуют цифры 5, 6, 7, 8, 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например, 

Наблюдения над объектами могут охватывать все члены изучаемой совокупности без единого исключения или ограничиваться обследованием лишь некоторой части данной совокупности.

В первом случае наблюдения полные или сплошные, во втором - частичные или выборочные.

Полное обследование совокупности позволяет получить исчерпывающую информацию об объекте, но требует больших затрат времени, труда, ресурсов и в некоторых случаях невозможно или нецелесообразно. Например, чтобы определить всхожесть партии семян, нецелесообразно высеивать всю партию. Невозможно учесть всех обитателей фитопланктона для небольшого водоема и т.п.

Определение. Генеральной совокупностью называется вся совокупность объектов для изучения.

Выборкой или выборочной совокупностью называется отобранная тем или иным способом часть генеральной совокупности.

Количество членов генеральной совокупности обозначается  теоретически  Объем выборки обозначается 

Чтобы выборка наиболее полно отображала структуру генеральной совокупности, необходимо, чтобы она была представительной (репрезентативной), т.е. для каждого элемента генеральной совокупности должна быть одинаковая возможность (вероятность) попасть в выборку, т.е. выборка должна быть случайной.

Отбор в выборку может быть повторный, если учтенная единица возвращается в генеральную совокупность и может попасть в выборку повторно.

Бесповторный отбор - учтенная единица не возвращается в генеральную совокупность, т.е. каждая отобранная единица регистрируется только один раз.

Таким образом, повторный отбор не влияет на состав генеральной совокупности и вероятность каждой единицы попасть в выборку не меняется. При бесповторном отборе вероятность единиц генеральной совокупности попасть в выборку изменяется, т.к. предшествующий отбор влияет на результаты последующего и на состав генеральной совокупности.

Идеальный случайный выбор производится по методу жеребьевки или лотереи, а также с помощью «случайных чисел». Существуют типический, серийный, механический и другие разновидности отборов.

Типический отбор используют тогда, когда генеральная совокупность расчленяется на отдельные типические группы. В таких случаях из каждой группы случайным образом отбирают одинаковое или пропорциональное число единиц. Затем вычисляют групповые характеристики, объединяемые далее в общую характеристику генеральной совокупности.

Серийный отбор используют, когда генеральная совокупность делится на серии обычно по территориальному принципу. Например, из 30 групп подростков намечено исследовать выборочно 6 групп, т.е. работают не с отдельными единицами, а с целыми сериями относительно однородных единиц.

Механический отбор используется, когда генеральную совокупность разбивают на несколько равных частей или групп. Затем из каждой группы отбирают по одной единице. Например, при исследовании посева ржи на урожайность намечено отобрать 100 растений, следовательно, поле должно быть разделено на 100 равных частей, из каждой части отбирается одна единица.

Отбор будет также механическим если из генеральной совокупности в выборку попадет каждая десятая, сотая и т.д. единица.

Систематизация наблюдений

Процесс систематизации результатов массовых наблюдений, объединения их в относительно однородные группы по некоторому признаку  называется группировкой.

Наиболее распространенная форма группировки - статистические таблицы.

Особая форма группировки - статистические ряды, видное место среди них занимают вариационные ряды.

Определение. Вариационным рядом или рядом распределения называется двойной ряд чисел, показывающий как числовые значения признака (варианты) связаны с их повторяемостью в данной статистической совокупности.

Пример:

 - количество изготовленных на станке деталей в смену. Количество смен 

Число  называется абсолютной частотой или просто частотой (или весом) варианты  Относительная частота варианты  где - объем выборки, 

Ранжированный вариационный ряд выстроен по возрастанию или убыванию членов ряда.

В примере имеем ранжированный вариационный ряд вида:

Вариационные ряды есть безынтервальные, если признак дискретный, и интервальные, если признак непрерывный. Если признак варьирует дискретно, но в широких границах, то по данным наблюдений можно построить интервальный вариационный ряд. Будем рассматривать равноинтервальные ряды. Если признак варьирует непрерывно, то из интервального ряда можно построить безынтервальный ряд, т.е. разделение на ряды (безынтервальные и интервальные) по типу признака (дискретный или непрерывный) не однозначное.

Для получения хорошо обозримого вариационного ряда и обеспечения достаточной точности вычисляемых по нему числовых характеристик следует разбить вариацию признака (в пределах от  до  варианты) на такое число классов  чтобы не искажались типичные черты варьирования и ряд получался не слишком растянутым:

 где  - ширина классового интервала,  - число классов, на  которые необходимо разбить вариацию признака.

Существует формула Стерджеса  и при  можно использовать формулу  (Брукс, Карузерс). На практике можно руководствоваться следующими правилами:

Техника построения вариационного ряда:

1. Найдем 
2. Вычислим 
3. Значение  должно попасть примерно в середину первого классового интервала, поэтому нижняя граница  первого классового интервала будет  Прибавив к  число  получим верхнюю границу первого классового интервала, затем найдем верхнюю границу второго классового интервала и т.д. до тех пор, пока не получим интервал, в который попадет 
4. Верхние границы интервалов уменьшаем на величину  равную точности, принятой при измерении признака, для того, чтобы избежать момента, когда варианта совпадает с границей.
5. Подсчитаем количество вариант  попавших в каждый интервал.

Пример:

Наблюдается признак  - количество пропусков занятий (лекций и практических) в семестре у 64 студентов.

Выборка имеет вид: 8, 10, 6, 10, 8, 5, 11, 7, 10, 6, 9, 7, 8, 7, 9, 11, 8, 9, 10, 8, 7, 8, 11, 8, 7, 10, 8, 8, 5, 11, 8, 10, 12, 7, 5, 7, 9, 7, 10, 5, 8, 9, 7, 12, 8, 9, 6, 7, 8, 7, 11, 8, 6, 7,9, 10,6, 6,6,7,8, 10, И, 12.

Если  то ряд будет безынтервальным, классами данного ряда будут сами ранжированные варианты:

Полученный вариационный ряд выражает зависимость между отдельными вариантами и частотой (повторяемостью) вариант.

Пример:

Наблюдается признак  - среднегодовая температура в некотором населенном пункте Крыма в течение ста лет, 

Выборка имеет вид:

1) Лимиты выборки: 

Классовые интервалы:

4) Уменьшаем верхние границы интервалов на величину точности, принятой при измерении, т.е. на величину  для подсчета 

Итак, интервальный вариационный ряд имеет вид:

Соответствующий безынтервальный ряд, построенный по интервальным данным, будет иметь вид:

где  - серединное значение  интервала, называется классовой вариантой, в отличии от варианты статистической совокупности.

Графики вариационных рядов

Более наглядное изображение закономерности варьирования количественного признака - график вариационного ряда.

Полигон распределения

Полигон распределения (или многоугольник распределения) строится для безынтервального ряда: по оси  откладываем статистические варианты или классовые варианты  по оси  - частоты  Полученные точки соединяем ломаной линией, которая называется вариационной кривой или кривой распределения. Полученная при этом плоская фигура называется полигон или многоугольник распределения.

Гистограмма распределения частот

Гистограмма распределения частот  строится для интервального ряда: по  откладываем границы классовых интервалов, по  - соответствующие частоты  Гистограмма - клеточная диаграмма; ширина клетки равна  высота клетки равна  Площадь клетки  Площадь всей гистограммы 

Пример:

 Гистограмма данного распределения изображена на рис. 5.2. Если на приведенной гистограмме верхнее основание клетки поделить пополам точкой, соединить полученные точки ломаной, то получим вариационную кривую.

Аналогично можно построить гистограмму относительных частот (высота клетки равна  или гистограмму плотности частот  (при этом высота клетки равна  или гистограмму плотности относительных частот  (высота клетки равна 

Кумулята

Кумулята (или график накопленных частот  в отличие от вариационной кривой, имеющей куполообразную форму, имеет вид -образной кривой.

По оси  откладываем значения вариант  по оси  - накопленные частоты  полученные точки соединяем ломаной, график которой называется кумулятой.

Пример:

Огива

По оси  откладываем накопленные частоты  по оси  - значения вариант  Полученные точки соединяем ломаной линией, график которой называется огива

Пример:

Огива данного распределения приведена на рис. 5.4. Огива служит для сравнения вариационных рядов с разным количеством наблюдений.

Эмпирическая функция распределения

Эмпирическая функция распределения  - накопленные относительные частоты  По оси  откладываем варианты  по оси  Полученные точки соединяем ломаной линией, график которой называется эмпирической функцией распределения 

Пример:

Эмпирическая функция данного распределения приведена на рис. 5.5.

Аналогом  в теории вероятностей является функция распределения  - накопленные вероятности.  есть оценка теоретической функции распределения  по данным наблюдений.

Основные характеристики варьирующих признаков

Средние величины:

Средние величины обладают способностью характеризовать целую группу однородных единиц одним (средним) числом. Например, средний рост, средняя продуктивность, средняя успеваемость и т.п.

Значение средних заключается в их свойстве аккумулировать или уравновешивать все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качественное своеобразие варьирующего объекта, позволяет отличать один групповой объект от другого.

Средние величины могут характеризовать только однородную совокупность вариант, в противном случае средняя величина фиктивная. Средняя величина -это абстрактная величина, т.к. в действительности не существует, а иногда и не может существовать, но очень подходит для сравнения признаков.

При вычислении средних величин не обязательно группировать исходные данные в вариационный ряд.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая  - центр распределения, около которого группируются все варианты статистической совокупности.

В случае, если выборка не сгруппированная, то  вычисляем по формуле:

 где  - объем выборки. При этом  называется «простая арифметическая средняя». Если выборка сгруппированная, то  вычисляем по формуле:

 где  - частота варианты  называется «взвешенная арифметическая средняя».

Свойства 

1) если каждую варианту  уменьшить или увеличить на одно и то же число  уменьшится или увеличится на это же число.

2) Если каждую варианту  разделить или умножить на одно и то же постоянное число  уменьшится или увеличится в  раз.

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая  вычисляется по формуле  если выборка не сгруппирована, и по формуле  если выборка сгруппирована.

Пример:

Измерение диаметров нефтяных пятен при загрязнении водоема дало следующие результаты: 15, 20, 10, 25, 30 м.

Требуется определить средний диаметр нефтяного пятна. Применим формулу 

Средняя арифметическая диаметров  не дает верного результата. Проверим по правилу единства суммарного действия: общая

площадь всех пяти пятен равна  Если взять пять одинаковых кругов диаметром  то общая площадь составит  что гораздо меньше общей фактической площади. Если же взять пять одинаковых кругов диаметром  то , то общая площадь будет 

Средняя кубическая

Средняя кубическая  вычисляется по формуле  если выборка не сгруппирована, и по формуле  если выборка сгруппирована.

Средняя кубическая  является характеристикой объемных признаков.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая  вычисляется по формуле выборка не сгруппирована, и по формуле  если выборка сгруппирована. Средняя гармоническая применяется при усреднении меняющихся скоростей.

Пример:

Пять рабочих в течение одного часа (60 мин.) изготовили: первый - 10 деталей, второй - 20, третий - 25, четвертый - 30, пятый - 20. Всего за один час изготовлено 105 деталей. Средние количества деталей за один час  По  легко определяется общее количество деталей, изготовленных за 1 час пятью рабочими.

С помощью  определим среднее время, затраченное одним рабочим на изготовление одной детали:

Найдем количество минут, затраченное на одну деталь каждым рабочим:

Найдем среднее время, затраченное на одну деталь одним рабочим:

Количество деталей в среднем изготовленных за час будет:

Аналогичный результат получим, если используем формулу среднего гармонического:

Следовательно, в случае усреднения меняющихся производительностей ил скоростей надо применять 

Показатели вариации

Лимиты и размах выборки:

Простейшими показателями вариации (показателями разнообразия) являются лимиты:  и размах выборки 

Пример:

Признаки  имеют одинаковые лимиты и размах, но степень разнообразия в группах явно различная. Размах  не отражает существенные черты варьирования. Но в некоторых случаях лимиты могут служить единственной характеристикои признака, например, при описании простеиших: кишечная амеба - 20-30 мк, инфузория толстых кишок - 30-150 мк.

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение  вычисляется по формуле  если выборка не сгруппирована, и по формуле  если выборка сгруппирована.

В условиях предыдущего примера линейные отклонения признаков:

Отсюда 

Следовательно, признак  варьирует сильнее, чем признак 

Дисперсия

Дисперсия  имеет наибольшее распространение по сравнению с другими показателями вариации (dispersio - рассеяние, лат.).

 есть среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от центра распределения 

Расчетная формула дисперсии:

Таким образом,  т.е. дисперсия равна среднему арифметическому

квадрата величины минус квадрат среднего арифметического.

Аналог в теории вероятностей - дисперсия  .

Свойства дисперсии:

1) если каждую варианту  уменьшить или увеличить на одно и то же число  то дисперсия не изменится. Действительно

Следовательно, можно вычислять не только по  но и по их отклонениям  от постоянного 

2) Если каждую варианту  разделить или умножить на одно и то же постоянное число  уменьшится или увеличится в  раз. Действительно

Следовательно, при наличии в совокупности многозначных вариант их можно сократить на некоторое постоянное число  Полученный после вычисления результат надо умножить на  что и дает искомую величину дисперсии.

Свойства  используются в методе «условных вариант» для расчета числовых характеристик выборки. Заметим, что  называется выборочной дисперсией и является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, которую используют в прикладных расчетах и теоретических выкладках, необходимо «исправить» выборочную дисперсию  ввести в ее формулу поправку Бесселя - множитель на «смещенность»; полученная дисперсия называется исправленной:  

При  можно использовать 

Пример:

Пусть признак  имеет распределение:

Обозначим сумму квадратов отклонений значений признака от центра  Тогда для признака 

Дисперсия выборочная 

Дисперсия исправленная 

Пусть признак  имеет распределение:

Дисперсия выборочная 

Дисперсия исправленная 

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (СКО) более удобная характеристика, чем дисперсия, т.к. выражается в тех же единицах, что  Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии. Существует СКО выборочное  и СКО исправленное 

В условиях предыдущего примера

При одинаковых лимитах и размахе дисперсия и СКО не одинаковы. На их величине сказался различный характер варьирования признака.

Поправка Шеппарда.

При создании безынтервального вариационного ряда из интервального ряда частоты  относят к средним значениям классовых интервалов без учета внутриклассового разнообразия. Но варианты внутри классов распределяются неравномерно, накапливаясь больше у тех границ, которые ближе к  Следовательно, при вычислении обобщающих характеристик для непрерывно варьирующих признаков допускают систематическую погрешность. Чем шире классовый интервал, тем больше эта погрешность. Учитывая это, в 1898 г. В. Шеппард установил, что разность между фактической и расчетной величиной дисперсии составляет  где  - ширина классового интервала, т.е. поправка Шеппарда должна вычитаться из величины  Обычно поправку применяют при требовании высокой точности расчетов или при большом числе наблюдений  поправка не используется.

Пример:

Введем поправку Шеппарда: 

Анализируя результат, приходим к выводу, что в этом примере данную поправку можно не использовать.

Коэффициент вариации

Дисперсия  являются основными показателями разнообразия вариант в изучаемой группе. При этом СКО  служит непосредственным показателем разнообразия только при соблюдении следующих условий: 1) сравниваются только одинаковые признаки;

2) средние сравниваемых групп незначительно отличаются друг от друга. Если указанные условия не выполняются и необходимо сравнить разнообразие разных признаков или одинаковых при значительном различии средних, то СКО непосредственно не может быть использовано. В этих случаях используют не абсолютные, а относительные показатели вариации.

Коэффициент вариации  есть среднее квадратическое отклонение, выраженное в процентах от величины средней арифметической:

Примеры:

1) Сравнить два варьирующих признака. Для первого признака среднее  для второго  Следует ли отсюда, что  варьирует сильнее, чем 

Следовательно, сильнее варьирует признак 

2) Средняя длина зеркального карпа в одном садке  а во втором садке  В данном случае вывод делаем по СКО: во

втором садке разнообразия больше и рыбы менее стандартны.

Отметим, варьирование признака  считается слабым, если  средним, если  значительным, если

Структурные средние

На величину средней арифметической  могут значительно влиять крайние члены ранжированного вариационного ряда, которые как раз и наименее характерны для данной совокупности. Структурные средние представляют собой конкретные варианты имеющейся совокупности, которые занимают особое место в ряду распределения.

Медиана

Медиана  - средняя, которая делит ряд распределения на две равные части. По обе стороны от медианы располагается одинаковое число вариант.

Если число вариант небольшое, то данные ранжируют и при нечетном  центральная варианта и есть медиана. Например,

В данном случае медиана 

Если число вариант четное, то медиана равна полусумме его центральных членов. Например, 

В этом случае медиана 

Если имеем вариационный интервальный ряд, то медиану находим по формуле 

Вначале находим класс или интервал, к которому принадлежит медиана  обозначим его -класс. Для этого частоты  ряда кумулируют (накапливают) в направлении от меньших к большим значениям классов до величины, превосходящей половину всех членов данной совокупности, т.е.  Первая величина в ряду накопленных частот, которая больше  соответствует медианному классу; частота этого класса  нижняя граница -класса обозначается  -величина классового интервала;  - накопленная частота класса, предшествующего -классу.

Пример:

Если из интервального вариационного ряда сформирован безынтервальный вариационный ряд, то медиану находим по формуле 

где  - классовая варианта предшествующего класса;  - классовая варианта -класса .

Пример:

Пример:

По предыдущей формуле: 

Мода

Мода  - значение, наиболее часто встречающееся в данной совокупности. Класс с наибольшей частотой называется модальным -класс).

Если ряд безынтервальный, то  есть то значение  для которого частота будет наибольшей. В примере* 

Если ряд интервальный, то моду находим по формуле

где  - нижняя граница  -класса, т.е. класса с наибольшей частотой 

 - частота класса, предшествующего  -классу;

 - частота класса, следующего за  -классом;

 - ширина классового интервала.

Пример:

 

Квантили

Квантили - значения признака  отсекающие в пределах статистического ряда определенную часть его членов.

Квартили - три значения признака  - делящие ранжированный вариационный ряд на четыре равные части.

Децили - девять значений делят ряд на десять равных частей.

Перцентили - 99 значений делят ряд на 100 равных частей. Обозначают перцентили 

Точечные и интервальные оценки генеральных параметров

Числовые показатели, характеризующие генеральную совокупность, называются генеральными показателями. Например, математическое ожидание генеральной совокупности  дисперсия  и т.д.

Числовые показатели, характеризующие выборку, называются выборочными характеристиками или статистиками. Например,  и т.д.

Выборочные характеристики - это величины случайные, варьирующие около своих генеральных параметров и являющиеся их приближенными оценками.

Пусть исследуется количественный признак  и из генеральной совокупности извлечено  выборок по  наблюдений:

По каждой выборке подсчитаем некоторую статистику  генерального параметра  Получим ряд возможных значений случайной величины  или ее выборочное распределение: 

В большинстве случаев средние характеристики имеют нормальный закон распределения.

Определение. Характеристики, вычисленные одним числом, называются точечными оценками генеральных параметров.

Такие оценки должны удовлетворять условиям:

1. состоятельность, т.е. оценка  стремится по вероятности к оцениваемому параметру 
2. эффективность, т.е. оценка  должна иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими аналогичными оценками. Например, для трех показателей, описывающих положение центра нормального распределения признака  - наиболее эффективной будет оценка  наименее эффективной -  Для дисперсий этих оценок характерно неравенство
3. несмещенность оценки, т.е. математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра:  При соблюдении этого условия оценка не содержит систематических ошибок в сторону занижения или завышения.

Доказано, что наилучшими оценками для генеральных параметров дисперсии  являются соответственно 

При выборке малого объема точечная оценка параметра может значительно отличаться от генерального значения. В таких случаях используют интервальные оценки. Интервальная оценка определяется двумя числами - границами интервала; такая оценка позволяет установить точность и надежность оценки.

Пусть по данным выборки подсчитана статистика  - оценка генерального параметра  тем точнее определяет  чем меньше  или при  где  называется точностью оценки.

Так как работаем со статистическим материалом (массовыми однородными объектами), то категорически утверждать, что оценка  удовлетворяет неравенству  нельзя. Можно говорить лишь о вероятности  с которой это неравенство осуществляется.

Определение. Доверительной вероятностью или надежностью называется вероятность 

На практике наиболее часто задают надежность  равную 0,9; 0,95; 0,99; 0,9999, в зависимости от объекта и целей исследования  - вероятность практически достоверного события).

Противоположная вероятность  называется уровнем значимости  - вероятность практически невозможного события),  0,1; 0,05; 0,001; 0,0001. Интервал  называется доверительным,  - нижняя граница,  - верхняя граница интервала.

Говорим, что доверительный интервал заключает в себе  с вероятностью (надежностью) 

Для любой выборочной характеристики по соответствующей методике можно найти доверительный интервал с надежностью 

Например, пусть количественный признак  распределен нормально, причем  неизвестно, а  известно. Найдем доверительный интервал параметра  (по-другому,  есть истинное значение случайного признака Будем оценивать неизвестное математическое ожидание признака  по выборочной средней  С одной стороны  С другой стороны

 Для  Тогда 

Обозначим  и найдем  называется точностью оценки или ошибкой выборки. Необходимый объем выборки  вычисляется по формуле . Следовательно,  Итак, имеем  и  Отсюда  и значение  можно найти по таблице функции 

Таким образом, интервал  будет доверительным для параметра  с надежностью 

Пример:

Количественный признак  распределен нормально и  Найти доверительный интервал для параметра  с надежностью  если проведено  наблюдений и 

Точность оценки 

Доверительный интервал: 

Надежность  указывает, что, если будет произведено большое количество  выборок, то в 95% из них параметр  действительно заключен в этих границах; в 5% этих выборок параметр  может выйти за эти границы, т.е. доверительная вероятность  не связана с оцениваемым параметром, она связана с границами доверительного интервала, которые изменяются от выборки к выборке.

Рассмотрим случай, когда СКО  неизвестно и признак  распределен нормально. Задача была решена английским статистиком В. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Случайная величина  имеет закон распределения, который называется -распределением или распределением Стьюдента. Это распределение определяется параметром  - объемом выборки и не зависит от 

Дифференциальная функция этого распределения (плотность вероятности) обозначается  Тогда 

Доверительный интервал: 

Величина  табулирована при любых 

Пример:

Количественный признак  генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объемом  найдены  Требуется оценить неизвестное значение  признака  с помощью доверительного интервала при надежности 

При  найдем по таблице значение 

Замечание. Можно доказать, что при -распределение стремится к нормальному распределению. Поэтому при оценке  нормально распределенного признака при  можно вместо -распределения пользоваться нормальным распределением.

Построение нормальной кривой по опытным данным

Пусть признак  по предположению имеет нормальное распределение. Тогда плотность вероятности имеет вид:

Если  то случайная величина  называется нормальной нормированной случайной величиной, ее плотность вероятности Изменим обозначение аргумента  Положим,  получим

Сравниваем (5.1) и (5.2), получим: 

Если параметры  неизвестны, то в качестве их оценок принимаем  и СКО выборочное  Тогда 

Пусть имеем безынтервальный вариационный ряд, где  - середина интервала (класса) шириной  Тогда вероятность попадания случайной величины  в этот интервал приближенно равна произведению  на длину интервала 

Величина  определяет теоретическую долю попавших в данный интервал

наблюдений выборки объемом  Отсюда теоретическая частота 

Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений следующий:

1) поданным наблюдений вычислим параметры 

2) найдем выравнивающие (теоретические) частоты по формуле 

где  - сумма наблюдаемых частот (объем выборки),  - разность между двумя соседними вариантами - дифференциальная функция Лапласа, табулированная;

3) строим точки  в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной кривой. В этой же системе координат строим полигон распределения наблюдаемых частот.

Пример:

Пусть статистическое распределение признака имеет вид:

Найдем выравнивающие (теоретические) частоты  Данные сведем в расчетную таблицу.

На рис.5.6 построены нормальная (теоретическая) кривая и полигон наблюдаемых частот. Сравнение графиков показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

Статистическая гипотеза

Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Методы математической статистики позволяют проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например  о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.

Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.

Проверить статистическую гипотезу - это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Проверка осуществляется с помощью статистического критерия.

Определение 1. Статистический критерий - правило, устанавливающее условия, по которым статистическая гипотеза принимается или отвергается.

Этот критерий называют еще критерием согласия (имеется в виду согласие принятой гипотезы с результатами, полученными из выборки).

Определение 2. Статистический критерий - это случайная величина  с известным законом распределения, которая служит для проверки гипотезы.

Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой гипотезой и обозначают  Вместе с гипотезой  выдвигается альтернативная или конкурирующая гипотеза, которая обозначается  Например: 

При проверке статистических гипотез можно допустить ошибку двух видов. Относительно гипотезы  может быть два предположения: гипотеза верна или гипотеза ложна - и два действия: гипотеза отвергается или принимается.

Определение. Уровнем значимости  критерия называется вероятность допустить ошибку I рода: 

Чем меньше уровень значимости  тем меньше вероятность отвергнуть правильную гипотезу. Поэтому 

Тогда вероятность события  равная  называется доверительной вероятностью или надежностью.

Определение. Критической областью  проверяемой гипотезы, называется множество тех значений характеристики  при которых  отвергается.

Критическая область  выбирается так, чтобы:

1. вероятность попадания  при условии справедливости  была равна  при минимальном 
2. вероятность попадания  если справедлива  должна быть такой, что вероятность ошибки II рода, т.е.  должна быть минимальной. Вероятность не допуска ошибки II рода  называется мощностью критерия  эта величина должна быть максимальной.
3. единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок I и II рода состоит в увеличении объема выборки.

Критерии согласия

Обычно эмпирические  и теоретические  частоты различаются. Возможно, что расхождение случайно и связано с ограниченным числом наблюдений; возможно, что расхождение неслучайно (значимо) и объясняется тем, что для вычисления выравнивающих частот была выдвинута статистическая гипотеза о том, что генеральная совокупность распределена нормально, а в действительности это не так. Распределение генеральной совокупности, которое она имеет в силу выдвинутой гипотезы, назовем теоретическим.

Возникает необходимость установить критерий (правило), который позволит судить, является ли расхождение между  случайным или значимым.

Если расхождение случайно, то говорим, что данные выборки согласуются с гипотезой о распределении генеральной совокупности и, следовательно, гипотезу можно принять. Если же расхождение значимо, то гипотезу следует отвергнуть.

Критерий согласия (критерий соответствия) - критерий, который позволяет судить о том, что расхождение эмпирического и теоретического распределений случайно или значимо (принимать гипотезу или отвергать).

Критерий «хи-квадрат» Пирсона

Критерий «хи-квадрат» Пирсона 

Пусть количественный признак  задан статистическим распределением в виде интервального или безинтервального вариационных рядов (эмпирическое распределение 

Выдвигается нулевая гипотеза  относительно закона распределения признака  (теоретическое распределение 

Вычисляется статистическая характеристика:

Критерий  позволяет судить, является ли расхождение между  (или  случайным (незначимым) или неслучайным (значимым). Чем больше согласуются теоретическое и эмпирическое распределения, тем меньше число .

Величина  - случайная, ее дифференциальная функция распределения зависит только от числа  степенной свободы.

Число степеней свободы  равно числу классов  минус число независимых условий (связей), наложенных на частоты  Примерами таких условий может быть:  если мы требуем, чтобы  Это требование накладывается во всех случаях.

Если подбираем теоретическое распределение с тем условием, чтобы совпадали теоретическое и статистическое средние, то  - классовая варианта. Если требуем совпадений теоретической и статистической дисперсий, то  и т.д.

В случае, если признак  распределен нормально, то оценками  будут  (дисперсия либо выборочная, либо исправленная), т.е. на выборку наблюдений наложены две независимых связи. Число степеней свободы в этом случае  

Если проверяем равномерный закон распределения, то его параметры  находим по значениям  (две связи), тогда 

В случае закона Пуассона параметр  (одна связь) и 

Если проверяем биномиальный закон распределения, то  (обязательная связь) и 

Если закон показательный, то его параметр  вычисляется через  (одна связь) и 

Вычисляем число степеней свободы  для данного теоретического закона распределения и задаем уровень значимости 

Итак, при проверке гипотезы о нормальном распределении  где  - число классов, на которые разбиты данные наблюдений. Далее, при выбранном уровне значимости  (или доверительной вероятности  по таблице приложения найдем  Если расхождение случайно, то  и гипотеза о нормальном распределении выборки принимается. Если расхождение значимо, то  гипотеза отвергается.

При использовании критерия «хи-квадрат» необходимо интервалы с числом  объединять в один интервал, после чего заново подсчитать окончательное число Sклассов.

Пример:

Пусть количественный признак  задан статистическим распределением:

Такое задание признака  называется безинтервальным рядом. По данному

вариационному ряду вычислим основные числовые характеристики:

 - центр распределения выборки

У нас  - мера разброса  около 

 - мера разброса  около 

Выдвигаем нулевую гипотезу  признак  распределен нормально. Для вычисления  необходимо найти теоретические (выравнивающие) частоты

 (или  Напомним что  - четная, т.е.   - теоретическая частота,  относительная частота.
Приведем расчетную таблицу.

Сравниваем графы  (или  видим, что есть расхождение. Случайное оно или неслучайное?
Вычисляем   Дополним таблицу:

Вычисляем число степеней свободы  для нормального закона распределения:  - число классов или групп в статистическом распределении, тогда  степеней свободы.

Задаем уровень значимости  По таблице приложений  находим значение 

Вывод:  следовательно, расхождение  (или  и случайное (незначимое) и гипотеза о нормальном распределении признака  принимается.

Критерий Романовского

Найдем величину (число) 

В примере 

Если  то расхождение между теоретическим (предполагаемым нормальным) и статистическим случайно или незначимо.

У нас:  - гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Если  то гипотезу отвергаем.

Критерий Колмогорова.

Этот критерий в расчетную таблицу требует еще три графы.

Графа  - накопленные  графа  - накопленные 

Найдем величину

В примере 

Вычислим  В примере 

По таблице  находим вероятность 

Вывод. Если  то гипотеза отвергается. Если  значительно больше 0,05, то гипотеза принимается.

В примере:  - гипотеза о нормальном распределении принимается.