Метод сигнальных графов в электротехнике (ТОЭ) - формулы и определения с примерами

Содержание:

Метод сигнальных графов

Общие представления о сигнальных графах:

Решение уравнения электрического равновесия сложных цепей даже в численной форме весьма трудоемко. Задача анализа цепи становится особенно сложной тогда, когда неизвестные токи и напряжения или комплексные частотные характеристики должны быть найдены в виде аналитических соотношений. В этих случаях весьма полезным может оказаться применение метода сигнальных графов, который позволяет упростить решение уравнений электрического равновесия линейных электрических цепей в аналитическом виде (символьной форме).

Как известно, сигнальный граф, или направленный граф прохождения сигналов, представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи. Узлы (вершины) такого графа соответствуют входящим в эту систему неизвестным величинам (токам и напряжениям ветвей, контурным токам, узловым напряжениям) и величинам, характеризующим внешние воздействия на цепь (токам независимых источников тока, э. д. с. независимых источников напряжения, контурным э. д. с., узловым токам). Ветви сигнального графа отображают причинно-следственные связи между величинами, соответствующими отдельным узлам. В рамках метода сигнальных графов эти величины называются сигналами. Каждой ветви сигнального графа приписывается определенное направление и присваивается весовой коэффициент, который называется передачей ветви. Узлы сигнального графа обозначают теми же буквами, что и соответствующие узлам величины; направления ветвей показывают стрелками, около которых указывают передачу ветви.

Если ветвь с передачей А направлена от узла

следовательно, при прохождении через ветвь сигнал умножается на передачу ветви. Разрешим уравнение (4.33) относительно

Сигнальный граф, соответствующий этому уравнению (рис. 4.18,6), будет отличаться от сигнального графа, соответствующего уравнению (4.33), направлением и передачей ветви. Таким образом, вид сигнального графа зависит от того,

относительно какой из величин разрешено заданное уравнение, т. е. от того, какая из величин рассматривается как причина, а какая — как следствие.

Если в узле сходится несколько ветвей (рис. 4.19, а), то значение сигнала в этом узле будет равно сумме сигналов всех входящих в него ветвей:

где N — число ветвей, направленных к узлу — передача ветви, направленной от узла к узлу Ветви, направленные от узла на сигнал в этом узле не влияют и при подсчете не учитываются. В число ветвей, направленных к рассматриваемому узлу, могут входить и ветви, начинающиеся в данном узле (рис. 4.19, б). Такие ветви называются петлями. Значение переменной в узле, к которому подключена одна или несколько петель, находится по общему правилу (4.35), например (на рис. 4.19,6)

Из выражения (4.36) видно, что при наличии петель, подключенных к какому-либо узлу, переменная, соответствующая этому узлу, входит и в левую, и в правую часть уравнения (4.35).

Рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к сигнальным графам.

Истоком называется узел сигнального графа, от которого направлены все примыкающие к нему ветви. Узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие к нему ветви, называется стоком. Узлы, которые имеют как входящие, гак н исходящие ветви, называются смешанными. Например, в графе (рис. 4.18, а) узел — исток, узел — сток; в графе (рис. 4.19, 6) узлы — истоки, узел — сток, узел — смешанный.

Если сигнал, соответствующий некоторому узлу сигнального графа, не выражается через сигналы других узлов, то такой узел является независимым. Если сигнал, соответствующий какому-либо узлу, выражается через сигналы других узлов, то такой узел является зависимым. К независимым узлам относятся истоки, к зависимым—стоки и смешанные узлы Очевидно, что уравнения вида (4.35) могут быть составлены только для зависимых узлов.

Пример №1

В сигнальном графе (рис. 4.20) узлы — истоки, узел — сток, узлы относятся к смешанным. Для зависимых узлов — можно составить систему уравнений

Путь между узлами сигнального графа — это непрерывная последовательность однонаправленных ветвей, связывающая узел  с узлом  и проходящая через каждый узел графа не более одного раза. Произведение передач ветвей, образующих путь между узлами  называется передачей пути  Так, между узлами сигнального графа (рис. 4.20) можно указать три пути с передачами (ветви d, g, k и р), =dgmp и = denp. Последовательность ветвей d, с, m и р не образует пути от вершины к вершине так как направление ветви с не совпадает с направлением пути.

Замкнутый путь, который начинается н заканчивается в одном узле, называется контуром. Очевидно, что петля есть частный вид контура, в который входит одна ветвь. Произведение передач всех ветвей, входящих в j-й контур, называется передачей контура  На рис. 4.20 можно выделить четыре контура с передачами  = be (ветви b и е), = gc (ветви g и с), = а (петля а) и = f (петля f). Ветви k и m не образуют контура, так как они не представляют собой замкнутой последовательности однонаправленных ветвей. Такие ветви называются параллельными.

Два контура или контур и путь называются соприкасающимися, если они имеют общие узлы. Если два контура или контур и путь не имеют общих узлов, то они являются несоприкасающимися. На рисунке контуры с передачами =gc и          = a и =f являются иесоприкасающимися, а контуры с передачами = be и = gc, = be и = be и  = а — соприкасающимися. Контур с передачей = f не соприкасается с путями но соприкасается с путем Как видно из примера 4.13, каждому сигнальному графу можно однозначным образом поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых узлов.

Для решения обратной задачи — построения сигнального графа, соответствующего заданной системе уравнений, эта система уравнений должна быть приведена к причинно-следственной форме, т. е. каждое из входящих в систему уравнений должно быть разрешено относительно одной из переменных (различных для каждого из уравнений). Далее, определяется общее число узлов графа N, которое равно сумме числа неизвестных переменных и числа ненулевых свободиых членов уравнений. Построение сигнального графа начинается с нанесения точек, соответствующих его узлам. Затем узлы графа, в соответствии с системой уравнений, приведенной к причинно-следственной форме, соединяются между собой ветвями так, чтобы сумма сигналов всех ветвей, сходящихся в каждом узле, равнялась бы значению сигнала этого узла.

Хотя свойства сигнального графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости чертежа, с целью повышения наглядности рекомендуется истоки располагать в левой части чертежа, стоки — в правой, а остальные узлы — между ними.

В связи с тем что одну н ту же систему уравнений можно различными способами привести к причинно-следственной форме, каждой системе уравнений можно поставить в соответствие некоторое множество графов. Различные графы, соответствующие одной и той же исходной системе уравнений, называются равносильными. Рассмотрим несколько примеров построения графов, соответствующих заданной системе уравнений.

Пример №2

Построим сигнальный граф, соответствующий системе уравнений

Приведем данную систему уравнений к причинно-следственной форме, для чего разрешим первое уравнение относительно второе — относительно а третье — относительно

Число независимых переменных в этой системе уравнений равно трем, число ненулевых свободных членов — двум, следовательно, общее число узлов сигнального графа равно пяти. Располагая в левой части чертежа независимые узлы, соответствующие свободным членам а в правой части узлы, соответствующие неизвестным величинам и соединяя их ветвями в соответствии с системой уравнений, преобразованной к причинно-следственной форме, получим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.21, а.

Исходная система уравнений может быть приведена к причинно-следственной форме и другим способом. Прибавляя к правой и левой частям первого уравнения  второго третьего и выполняя преобразования, получим

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.21, б.

Графы (рис. 4.21, а, б) имеют различную структуру и передачи ветвей, однако они соответствуют одной и той же исходной системе уравнений и поэтому являются равносильными. Очевидно, что если первое уравнение, входящее в исходную систему, разрешить не относительно а относительно то получатся другие варианты представления исходной системы уравнений в причинно-следственной форме, каждому из которых можно поставить в соответствие сигнальные графы, равносильные графам, изображенным на рис. 4.21.

Пример №3

Составим сигнальный граф, соответствующий узловым уравнениям цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Узловые уравнения данной цепи были получены при рассмотрении примера 4.4.

Разрешая первое из уравнений относительно а второе — относительно получаем

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, приведенный на рис. 4.22.

Пример №4

Используя метод контурных токов, составим систему уравнений для определения тока цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Построим также сигнальный граф, соответствующий этой системе уравнений.

Контурные уравнения рассматриваемой цепи были сформированы при рассмотрении примера 4.3. Дополняя эти уравнения соотношением, связывающим ток с контурными токами получаем

Разрешим каждое из этих уравнений относительно одной из неизвестных величин:

Этой системе уравнений соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.23.

Преобразования сигнальных графов

Используя правила построения сигнальных графов, соответствующих заданной системе уравнений, можно убедиться, что каждому равносильному преобразованию исходной системы уравнений соответствует некоторое преобразование сигнального графа и, наоборот, каждому преобразованию сигнального графа соответствует определенное преобразование исходной системы уравнений. На практике оказывается, что преобразования сигнальных графов выполняются проще и в более наглядной форме, чем преобразование соответствующих им уравнений. Поэтому при анализе цепей во многих случаях преобразование уравнений электрического равновесия заменяется преобразованием соответствующих сигнальных графов

Рассмотрим основные преобразования сигнальных графов.

Объединение параллельных ветвей. Две параллельные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей А + В. Действительно в соответствии с рис. 4.24, а сигнал в узле, к которому сходятся ветви с передачами А и В, исходящие из узла будет равен

Последнему уравнению соответствует сигнальный граф, имеющий одну ветвь с передачей А + В, направленную от узла к узлу (рис. 4.24, б). Правило объединения параллельных ветвей обобщается на любое число параллельно включенных ветвей, его можно применять для объединения петель, подключенных к одному узлу (рис. 4.25).

Объединение последовательности однонаправленных ветвей. Две последовательно включенные однонаправленные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей АВ.

Действительно, графу, приведенному на рис. 4.26, а может быть поставлена в соответствие система уравнений

Исключая из (4.37) переменную получаем

Уравнению (4.38) соответствует сигнальный граф, содержащий одну ветвь с передачей АВ (рис. 4.26, б). Рассмотренное преобразование представляет собой частный случай устранения смешанного узла сигнального графа.

Устранение промежуточного узла. Смешанный узел, к которому подключено несколько не образующих контуров ветвей, причем только одна из ветвей направлена к узлу (рис. 4.27, а) или только одна из ветвей направлена от узла (рис. 4.27, в), называется промежуточным.

Для устранения промежуточного узла первого типа, в которой входит только одна ветвь, составим систему уравнений

и исключим из нее переменную

Системе уравнений (4.39) соответствует граф, не содержащий промежуточного узла (рис. 4.27, б). Аналогичным образом устраняется промежуточный узел, в который входит несколько ветвей, а выходит только одна (рис. 4.27, г).

Устранение контура. Сигнальному графу, изображенному на рис. 4.28, а, может быть поставлена в соответствие система уравнений

Подставляя первое из этих уравнений во второе, получаем

Уравнению (4.40) соответствует преобразованный граф, приведенный на рис. 4.28, б.

Исключение петли. Исключение петли с передачей А, подключенной к какому-либо узлу сигнального графа, сопровождается умножением передач ветвей, входящих в этот узел, на 1/(1 — А).

Действительно, для сигнального графа, приведенного на рис. 4.29, а, можно составить систему уравнений

Приводя в первом из этих уравнений подобные члены н разрешая его относительно получаем

Как видно из соответствующего системе уравнений (4.41) сигнального графа (рис. 4.29, б), после устранения петли передачи ветвей, входящий в узел  оказались умноженными на 1/(1-С), а передача ветви, выходящей из узла осталась без изменения.

Применяя операцию устранения петли, преобразовавшей граф (см. рис. 4.28, б) можно заменить одной ветвью (см. рис. 4.28, в).

Инверсия (изменение направления) ветви. Рассмотрим некоторый граф (рис. 4.30, а), которому соответствует система уравнений

Пусть необходимо изменить направление какой-либо ветви, например, направленной из вершины в вершину С этой целью разрешим первое из уравнений (4.42) относительно

Системе уравнений (4.43) соответствует сигнальный граф, изображенный на рис. 4.30, б. Как видно из сравнения рис. 4.30, а и б, инвертирование ветви, направленной от узла  к узлу  сопровождается изменением передач и точек подключения всех ветвей, ранее направленных к узлу 

Ветвь с передачей А, направленная от узла  к узлу   заменяется направленной от узла  к узлу с передачей l/А. Все ветви, ранее направленные к узлу  заменяются ветвями, направленными к узлу передачи этих ветвей умножаются на —1/А. Ветви, не направленные ранее к узлу при инвертировании ветви, направленной к остаются без изменений.

Расщепление узла. В связи с тем что сигнал в каждом узле сигнального графа определяется только сигналами входящих в него ветвей, любой узел сигнального графа может быть расщеплен на два узла: один — содержащий все ветви, направленные к узлу, другой — направленные от узла. Так, узел графа, изображенного на рис. 4.31, а, может быть расщеплен на два узла (рис. 4.31, б). Узел, который содержит только исходящие из него ветви (исток), может быть расщеплен на произвольное количество узлов, не превышающее числа исходящих из него ветвей (рис. 4.31, в).

Удлинение узла. В ряде случае возникает необходимость во введении в сигнальный граф дополнительного узла, сигнал в котором совпадает с сигналом в одном из узлов сигнального графа. Такая операция называется удлинением узла . Для удлинения узла этот узел должен быть соединен с вновь вводимым узлом ветвью, передача которой равна единице. Например,

для удлинения узла (рис. 4.32, а) введем новый узел и соединим его с узлом ветвью, передача которой равна единице (рис. 4.32, б).

Совместное проведение описанных преобразований позволяет, как правило, существенно упростить структуру сигнального графа. Конечной целью преобразований обычно является получение наиболее простого графа, не допускающего дальнейших упрощений. Такой граф называется конечным. Конечный граф не содержит смешанных узлов, а включает в себя только стоки и истоки.

Пример №5

Упростим сигнальный граф, изображенный на рис. 4.23. Для этого последовательно исключим контур (рис. 4.33, а), петлю (рис. 4.33, б), промежуточный узел (рис. 4.33, в) и объединим параллельные ветви (рис. 4.33,г). Преобразованный граф, (рис. 4.33, г) не содержит смешанных узлов и не подлежит дальнейшему упрощению. Этот граф является конечным.

Применение сигнальных графов к анализу цепей

Применение метода сигнальных графов при анализе цепей оказывается весьма эффективным в тех случаях, когда требуется определить ток или напряжение только одной из ветвей цепи, а также найти ее комплексные частотные характеристики.

Как отмечалось, используя различные преобразования, исходный сигнальный граф можно привести к конечному. Если истоками графа являются узлы, сигналы которых есть комплексные изображения величин, характеризующих внешние воздействия на зажимах i—i', а стоками — узлы, сигналы которых представляют собой комплексные изображения искомых токов или напряжений ветвей, подключенных к зажимам j—j', то, используя конечный граф, можно записать соотношения, в явной форме выражающие зависимость искомых неизвестных токов и напряжений от величин, характеризующих внешние воздействия. Передача ветви  конечного графа, связывающей исток со стоком будет равна комплексной частотной характеристике цепи измеренной в режиме, когда все источники внешнего воздействия, за исключением выключены.

Трудоемкость преобразования сигнального графа к конечному во многом определяется выбором исходной системы уравнений электрического равновесия и тем, каким образом осуществлен переход от исходной системы уравнений к сигнальному графу. Для уменьшения числа узлов сигнального графа в качестве исходной системы уравнений рекомендуется применять систему уравнений электрического равновесия цепи, составленную по методу узловых напряжений или контурных токов, дополнив ее уравнениями, связывающими искомые токи и напряжения с контурными токами или узловыми напряжениями.

Пример №6

Определим ток цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а, преобразуя сигнальный граф этой цепи (см. рис. 4.23) в конечный.

Граф, приведенный на рис. 4.23, соответствует контурным уравнениям рассматриваемой цепи, дополненным уравнением, выражающим связь искомого тока с контурными токами (см. пример 4.16). Преобразование этого графа в конечный было проведено в примере 4.17. Непосредственно по виду конечного графа записываем выражение для искомого тока

которое совпадает с выражениями для этого тока, полученными с использованием метода наложения (см. пример 4.8) и теоремы об эквивалентном источнике (см. пример 4.12).

Передача ветви, связывающей исток J и сток равна комплексному коэффициенту передачи цепи по току от зажимов 5—5' к зажимам 6—6' (номера зажимов совпадают с номерами ветвей) в режиме, когда источник закорочен:

Передача ветви, направленной от истока к стоку равна передаточной проводимости цепи в режиме, когда ветвь с источником тока разомкнута:

Следует отметить, что сведение исходного сигнального графа к конечному, особенно для сложных цепей, может оказаться трудоемким. Кроме того, если необходимо определить несколько неизвестных величин, эту процедуру приходится выполнять несколько раз. Поэтому в таких случаях для нахождения комплексных частотных характеристик цепи и неизвестных токов и напряжений целесообразно воспользоваться формулой Мейсона, которая позволяет вычислять передачи ветвей конечного графа непосредственно по исходному сигнальному графу, не прибегая к его преобразованиям.

Формула Мейсона имеет вид

где — определитель сигнального графа, численно равный определителю исходной системы уравнений; — передача k-гo пути от истока к стоку — алгебраическое дополнение k-гo пути. Суммирование производится по всем возможным путям из узла в узел Определитель сигнального графа

где —сумма передач всех контуров сигнального графа; — сумма произведений передач всех возможных пар несоприкасающихся контуров; —сумма произведений передач всех несоприкасающихся троек контуров и т. д. Алгебраическое дополнение k-гo пути также вычисляется по формуле (4.45), но при этом учитываются только контуры, не касающиеся пути

Пример №7

Используя формулу Мейсона, определим передаточную проводимость цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а).

Сигнальный граф, составленный с использованием контурных уравнений цепи, был приведен на рис. 4.23 (см. пример 4.16). Этот граф содержит единственный контур, передача которого

Используя выражение (4.45), найдем определитель сигнального графа

Между узлами существует единственный путь, проходящий по ветвям с передачами — и —1. Передача этого пути Единственный контур сигнального графа имеет общую вершину  с данным путем, поэтому = 1.

Подставляя полученные значения в формулу Мейсона, получаем

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с выражениями для полученными другими методами (см. примеры 4.8, 4.12, 4.18).

Пример №8

Используя формулу Мейсона, определим комплексный коэффициент передачи по току цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Сигнальный граф рассматриваемой цепи изображен на рис. 4.23. Выражение для определителя этого графа было получено в примере 4.19. Между узлами существуют два пути с передачами

Алгебраическое дополнение первого пути

Алгебраическое дополнение второго пути равно единице. Используя формулу Мейсона, находим

Нетрудно убедиться, что полученное выражение совпадает с выражениями для найденными другими методами.