Метод математической индукции с примерами решения

Содержание:

Метод математической индукции

При решении математических задач иногда возникает потребность обосновать, что определенное свойство выполняется для произвольного натурального числа

Проверить данное свойство для каждого натурального числа мы не можем — их количество бесконечно. Приходится рассуждать так: 1) я могу проверить, что это свойство выполняется при

Такой способ рассуждений при доказательстве математических утверждений называется методом математической индукции. Он является одним из универсальных методов доказательства математических утверждений, в которых содержатся слова «для любого натурального п» (возможно, не сформулированные явно). Доказательство с помощью этого метода всегда состоит из двух этапов:

1) начало индукции: проверяется, выполняется ли рассматриваемое утверждение при ;

2) индуктивный переход: доказывается, что если данное утверждение выполняется для , то оно выполняется и для .

Таким образом, начав с , мы на основании доказанного индуктивного перехода получаем, что сформулированное утверждение справедливо и для то есть для любого натурального п.

На практике этот метод удобно применять по схеме, приведенной в таблице 14.

Схема доказательства утверждений с помощью метода математической индукции

1. Проверяем, выполняется ли данное утверждение при (иногда начинают с ).

2. Предполагаем, что заданное утверждение справедливо при где (другой вариант — при ).

3. Доказываем (опираясь на предположение) справедливость нашего утверждения и при

4. Делаем вывод, что данное утверждение справедливо для любого натурального числа (для любого ).

Пример:

Докажите, что для любого натурального

Решение:

► Для удобства записи обозначим

1. При равенство выполняется: то есть

2. Предполагаем, что заданное равенство верно при где то есть (1)

3. Докажем, что равенство выполняется и при , то есть докажем, что .

Учитывая, что и подставляя из равенства (1), получаем

что и требовалось доказать.

4. Итак, заданное равенство верно для любого натурального

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач:

Пример №429

Докажите, что делится на 81 при любом натуральном

Комментарий:

Поскольку утверждение необходимо доказать для любого натурального то используем метод математической индукции по схеме, приведенной в таблице 14. При выполнении индуктивного перехода (от к ), представим выражение, полученное при , как сумму двух выражений: того, что получили при , и еще одного выражения, которое делится на 81.

Доказательство:

1. ►Проверяем, выполняется ли данное утверждение при Если , данное выражение равно 0, то есть делится на 81. Таким образом, данное свойство выполняется при .

2. Предполагаем, что данное утверждение выполняется при , то есть что делится на 81.

3. Докажем, что данное утверждение выполняется и при , то есть что делится на 81.

Выражение в скобках — это значение заданного выражения при которое по предположению индукции делится на 81. Следовательно, каждое слагаемое последней суммы делится на 81, тогда и вся сумма, то есть , делится на 81. Таким образом, данное утверждение выполняется и при

4. Следовательно, делится на 81 при любом натуральном

Пример №430

Докажите, что если

Комментарий:

Поскольку утверждение должно выполняться, начиная с то проверку проводим именно для этого числа. Записывая предположение индукции, удобно воспользоваться тем, что по определению понятия «больше» тогда и только тогда, когда Доказывая неравенство при снова используем то же определение и доказываем, что разность между его левой и правой частями положительна.

Доказательство:

1. При получаем то есть — верное неравенство. Таким образом, при данное неравенство выполняется.

2. Предполагаем, что данное неравенство выполняется при (где ):

то есть (1)

3. Докажем, что данное неравенство выполняется и при то есть докажем, что

Рассмотрим разность:

(поскольку выражение в скобках по неравенству (1) положительно и при выражение также положительно). Следовательно, то есть данное неравенство выполняется и при

4. Итак, данное неравенство выполняется при всех натуральных