Математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Я подготовила на данной странице все темы по математике и получился полный курс лекций по предмету «Математика», который объединяет примеры решения задач, теоремы, доказательства и вычисления нескольких отраслей математической науки. В курсе лекций по предмету «Математика», значительное внимание уделено преобразованию выражений, решению уравнений, неравенств и их систем и изучению свойств функций. С решением задач, связанных с многочленами, рациональными дробями, степенями и корнями, будут рассмотрены новые виды функций: тригонометрические, показательные и логарифмические и соответствующие уравнения и неравенства.

Содержание:

Натуральные числа и действия с ними. Геометрические фигуры и величины

Много тысяч лет назад перед людьми уже возникала потребность считать членов семьи, скот, добычу на охоте, рыбу и тому подобное. Умение считать и вычислять нужны и сейчас.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., которые используют во время счета предметов, называют натуральными числами. Натуральные числа используют также для определения порядка размещения предметов.

Числа, которые мы используем для счета предметов, отвечают на вопрос: сколько? (один, два, три...).

Числа, которые мы используем для определения порядка размещения предметов, отвечают на вопрос: который? (первый, второй, третий...).

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись называют десятичной.

Все натуральные числа, записанные так, что за каждым числом идет следующее: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., образуют натуральный ряд чисел.

Если натуральное число записано одной цифрой, то его называют однозначным, двумя цифрами — двузначным и тому подобное.

Натуральный ряд чисел обладает следующими свойствами:

1. имеет наименьшее число — 1;
2. каждое последующее число больше предыдущего на 1;
3. не имеет наибольшего числа. Какое бы большое число мы не назвали, добавив к нему 1, получим еще большее число.

Чтобы легче было читать натуральные числа, их разбивают на группы справа налево, по три цифры в каждой группе. Самая первая группа слева может состоять из одной, двух или трех цифр. Например 57 403.

Каждая группа образует классы: единицы, тысячи, миллионы и т. д. Каждый класс имеет три разряда: единицы, десятки, сотни.

Если в числе отсутствует какой—то разряд, то в записи числа на его месте стоит цифра 0. Эта цифра служит также для записи числа "ноль". Это число означает "ни одного". Если счет футбольного матча 2 : 0, то это означает, что вторая команда не забила ни одного мяча в ворота первой. Ноль не является натуральным числом.

Миллион — это тысяча тысяч, его записывают так: 1 000 000. Миллиард — это тысяча миллионов, его записывают так: 1 000 000 000.
В таблице записаны числа 17 427 003 813, 132 518 000 237 и 215 305 289.

Пример 1. Запиши цифрами число 37 миллионов 142 тысячи 15.
Ответ: 37 142 015.

Пример 2. Запиши цифрами число тринадцать миллионов две тысячи.
Ответ: 13 002 000.

В младших классах уже подавали числа, меньше миллиона, в виде суммы разрядных слагаемых. Таким же образом можно подать любое натуральное число. К примеру, 7 213 049 = 7 000  000 + 200 000 + 10 000 + 3000 + 40 + 9.
Числа 7 000 000, 200 000, 10 000, 3000, 40, 9 в этом примере являются разрядными слагаемыми.
Рассмотренное число можно представить еще и так:

Кроме разрядных единиц 1, 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000, рассмотренных ранее, также имеем 1 000 000, 10 000 000, 100 000 000 и т. д.

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется и в настоящее время под названием римская нумерация. Мы используем ее для нумерации разделов книги, циферблата на часах, для обозначения веков и тому подобное.
Римские числа имеют следующий вид:

Натуральные числа (до 5000) записывают с помощью повторения этих цифр. При этом если меньшая цифра стоит после большей, то число является суммой соответствующих цифр: LX = 60, XVIII = 18; если меньшая цифра стоит перед большей, то число — это разница соответствующих цифр: XC = 90, VC = 95.

Сравнения натуральных чисел 

Одно из двух разных натуральных чисел всегда больше или меньше другого. Это означает, что натуральные числа можно сравнивать.

Число 5392 больше, чем число 837, потому что 5392 — четырехзначное число, а 837 — трехзначное.

Числа 5392 и 4542 — четырехзначные, но 5392 больше, чем 4542, так как тысяч в первом числе больше, чем во втором.

Число 5392 больше, чем число 5237, потому что хоть тысяч в обоих числах поровну, но сотен в первом числе больше, чем во втором.

Результат сравнения записывают в виде неравенства, используя знаки ">" (больше) или «<» (меньше).

Например: 1) 6 > 2 (читаем: «шесть больше двух»); 2) 3 < 7 (читаем: «три меньше семи»).

Запись 5 < 7 < 9 означает, что число 5 меньше числа 7, а число 7 меньше числа 9. Запись 5 < 7 < 9 называют двойным неравенством.

Можно сказать и иначе: число 7 больше 5, но меньше 9.

При сравнении многозначных натуральных чисел используют следующие правила.

Если два натуральных числа имеют разное количество знаков (цифр),  больше будет то, у которого больше знаков.

Например: 2735 > 982; 10271 < 100271.

Если два натуральных числа имеют одинаковое количество знаков, то большим числом является то, которое имеет больше единиц в высшем разряде. Если количество единиц в этом разряде одинаково, то сравнивают число единиц в следующем ниже разряде и т. д.

Например: 
7592 < 8012; 7512 > 7437; 10519 < 10521.

Сравнивать можно не только отдельные числа, но и значения числовых выражений. Сравним, например, произведение 25 • 3 и сумму 32 + 41. Значение произведения равно 75, а значение суммы составляет 73. Поскольку 75 > 73, то

25 • 3 > 32 + 41.

Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Из начальных классов известно, как складывать небольшие натуральные числа.

Рассмотрим задачу.

Задача №1

В 5-А классе 27 учеников, а в 5-Б — 29 учеников. Сколько учеников в двух классах?

Решение. 27 + 29 = 56.

Эта задача решается с помощью действия сложения. Складывать можно любые числа. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а число, полученное в результате сложения этих чисел, — суммой. В буквенном виде: если a и b — слагаемые, а с — сумма, то

Сложение натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а при любых значениях а и b.

Это свойство сложения называют переместительным свойством сложения:

От перестановки слагаемых сумма не меняется

2. (а + b) + с = а + (b + с) при любых значениях а, b и с. Это свойство называют сочетательным свойством сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Разложение чисел на разряды применяют при сложении многозначных чисел.

Сложим числа 345 и 623. Для этого каждое слагаемое разложим на разряды:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3).

Применив сочетательное и переместительное свойства сложения, получим:

345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3) = (300 + 600) + (40 + 20) + (5 + 3) = 900 + 60 + 8 = 968.

Этим объясняется сложение натуральных чисел «столбиком»:

Из свойств сложения следует, что сложение нескольких чисел можно выполнять в любой последовательности. Слагаемые группируют так, чтобы вычисление было удобным.

Пример: 27 + 56 + 72 + 73 + 14 = (27 + 73) +  (56 + 14) + 72 = 100 + 70 + 72 = 242.

Сумма двух натуральных чисел всегда больше, чем каждое из слагаемых:

Если хоть одно из слагаемых равно нулю, то их сумма равна второму слагаемому: 

Вычитание натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №2

Пешеход за два часа прошел 7 км. Сколько километров он прошел за второй час, если за первый преодолел 4 км?

В этой задаче число 7 является суммой числа 4 и неизвестного числа: 4 + х = 7.

Действие, с помощью которого по известной сумме и одному из слагаемых находят второе слагаемое, называют вычитанием.

Поскольку , то искомое слагаемое равно 7 — 4. Записывают так: 7 — 4 = 3. Следовательно, за второй часа пешеход прошел 3 км.

Число, от которого отнимают, называют уменьшаемым, а число, которое отнимают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

Итак:

Сложение и вычитание — взаимно обратные действия. Поэтому вычитание всегда можно проверить сложением. 7 — 4 = 3. Проверка: 3 + 4 = 7.

Поскольку а + 0 = а, то а — 0 = а и а — а = 0.

Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго (или второе число меньше первого).

Вычтем из числа 987 число 325. Для этого уменьшаемое и вычитаемое разложим на разряды:

987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5).

Итак: 987 — 325 = (900 + 80 + 7) — (300 + 20 + 5) = (900 — 300) + (80 — 20) + (7 — 5) = 600 + 60 + + 2 = 662.

Этим объясняется вычитание натуральных чисел «столбиком»: 

Рассмотрим свойство вычитания суммы из числа.

Задача №3

В классе 27 учеников. 12 из них занимаются плаванием, а семеро — легкой атлетикой. Сколько учеников не занимаются ни плаванием, ни легкой атлетикой? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. 27 — (12 + 7) = 27 — 19 = 8;
2-й способ. (27 — 12) — 7 = 15 — 7 = 8;
3-й способ. (27 — 7) — 12 = 20 — 12 = 8.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.

В буквенном виде:

 или  

Рассмотрим свойство вычитания числа из суммы.

Задача №4

В ящике 7 белых шаров и 8 черных. Ученик взял некоторые 3 шарика. Сколько шариков осталось в ящике? Ответ можно получить разными способами:

1-й способ. (7 + 8) — 3 = 12;
2-й способ. (7 — 3) + 8 = 12;
3-й способ. (8 — 3) + 7 = 12.

Чтобы вычесть число из суммы, можно отнять его от одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое.

В буквенном виде: 

 ( если  или ), или

 ( если  или ).

Этими правилами удобно пользоваться во время устных вычислений.

Примеры:

1) 225 – (125 + 37) = (225 – 125) – 37 = 100 – 37 = 73;

2) (432 + 729) – 232 = (432 – 232) + 729 = 2000 + 729 = 929.

• 1) Если от уменьшаемого отнять разность, то получим вычитаемое.
• 2) Если к разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое.

Умножение натуральных чисел

Как известно из младших классов, сумму одинаковых слагаемых можно записать короче с помощью умножения. Например: 45 + 45 + 45 + 45 = 45 4 = 180.

Читают так: «45 умножить на 4».

Вспомним, как называют числа при умножении:

Первый множитель показывает, какие слагаемые складывают, а второй — сколько таких слагаемых.

Произведение натуральных чисел а b означает сумму, которая состоит из b слагаемых, каждый из которых равен а:

a  b = a + a + a + ... + a.

b слагаемых 

Есть особые случаи умножения, когда множитель b равен нулю или единице:

При умножении любого числа на единицу получаем то же число, которое умножали.

При умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Вспомни, как умножали числа в начальных классах:

Так можно умножать любые натуральные числа.

Если множитель b больше 1, то от умножения натурального числа на b это число увеличивается в b раз. Например, 16 5 = 80, поэтому 80 в 5 раз больше числа 16.

Перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Так, например, вместо 7 • а пишут 7а, вместо 4 • (a + 2) пишут 4 (а + 2).

Свойства умножения

На рисунке 1 изображен ящик, содержащий 6 рядов по 5 пакетов сока в каждом. Общее количество пакетов можно вычислить, умножив 6 на 5, или 5 на 6. Результаты одинаковы: 6 • 5 = 30 и 5 • 6 = 30. Итак, 6 • 5 = 5 • 6. В буквенном виде.

Здесь подтверждается переместительное свойство умножения:

От перестановки множителей произведение не меняется.

Пусть в каждом пакете, изображенном на рисунке 1, 2 л сока. Как вычислить общее количество сока?

1-й способ. Известно, что пакетов всего 5-6, и в каждом — по 2 л сока. Поэтому всего в ящике 2 • (5 • 6) л сока.

2-й способ. В одном ряду 5 пакетов, а сока в каждом — 2 л, поэтому всего в этих 5 пакетах сока (2 • 5) л. Однако рядов 6, поэтому всего в ящике: (2 • 5) • 6 л сока.
Итак, (2 • 5) • 6 = 2 • (5 • 6). В буквенном виде:

Это сочетательное свойство умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения вытекает, что при умножении нескольких чисел можем группировать множители по своему усмотрению. Это позволяет упрощать вычисления.

Примеры:

Переместительное и сочетательное свойства умножения можно
использовать и для упрощения выражений.

Примеры:

На применении переместительного и сочетательного свойств умножения основывается и следующее правило умножения натурального числа на разрядную единицу, которое ты знаешь.

Чтобы умножить натуральное число на разрядную единицу (10, 100, 1000 ...), надо приписать справа к этому числу столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Примеры:

Вернемся к рисунку 1. Пусть имеем 4 ряда пакетов с яблочным соком и 2 — с апельсиновым. Тогда количество пакетов можно вычислить двумя способами:

(4 + 2) • 5  и  4 • 5 + 2 • 5.

В обоих случаях общее количество равно 30. Запишем это в буквенном виде:

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и эти произведения сложить.

Этот закон верен для любого количества слагаемых.

           и т. д.

Одинаковые значение имеют также выражения (7 – 2) • 5 и 7 • 5 – 2 • 5, поскольку (7 – 2) • 5 = 5 • 5 = 25 и 7 • 5 – 2 • 5 = 35 – 10 = 25 .
Поэтому распределительное свойство можно применять и для вычитания. В буквенном виде его записывают так:

Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и от первого произведения вычесть второе.

Распределительное свойство умножения можно использовать для вычислений и упрощения выражений.

Пример №1

Решение.

Пример №2

Упрости выражение:

Решение. 

Используя распределительное свойство умножения для выражений (а + b) • c  и  (a – b) • c, получим выражение, которое не содержит скобок. Говорят: раскрыли скобки.

Пример №3

Раскрой скобки:

Решение. 

Квадрат и куб натурального числа

Уже известно, что сумма, в которой все слагаемые равны между собой, можно записать короче — в виде произведения. К примеру,

В математике есть специальный способ и для записи произведения, в котором все множители равны между собой. К примеру,

Выражение 3⁴ называют степенью и читают так: «три в четвертой степени».

Примеры: 

В 5 классе мы рассмотрим только вычисления чисел во второй и третьей степенях. 

Произведение двух равных между собой чисел a • а называют квадратом числа а и записывают .

Запись читают так: «а в квадрате» (или «а во второй степени»).

Произведение трех равных между собой чисел а • а • а называют кубом числа а и записывают .

Запись читают так: «а в кубе» (или «а в третьей степени»).
Вычисление степени числа еще называют возведением в степень, а вычисление квадрата (куба) числа — возведением в квадрат (в куб) это число.

Примеры:

Пример №4

Возвести в квадрат и куб первые десять натуральных чисел.

Решение. Результаты можно записать в виде таблицы.

В математике нельзя найти произведение, состоящее из одного множителя. Поэтому договорились, что любое число в степени 1 равно самому этому числу. Например,   и вообще .

Возведение в степень — это новое, пятое арифметическое действие. Очередность его выполнения во время нахождения значения числового выражения определяется следующим правилом.

Если в числовое выражение входит степень (в частности, квадрат или куб числа), то сначала выполняется возведение в степень (в частности, в квадрат или в куб числа), а затем другие действия.

Пример №5

Найди значение выражения:

.

Решение.

Деление натуральных чисел

Рассмотрим задачу.

Задача №5

48 карандашей разложили поровну в 6 коробок. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение. Пусть в каждой коробке по  карандашей. Тогда . Только одно число при умножении на 6 дает 48. Это число 8. Следовательно, в каждой коробке по 8 карандашей.

По данному произведению 48 и одному из множителей 6 нашли неизвестный множитель, равный 8.

Действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут так: .

В записи:

Число a делят на натуральное число b тогда, когда хотят уменьшить a в b раз. Частное показывает, во сколько раз делимое больше чем делитель.

Правильность выполнения деления можно проверить с помощью умножения. Действительно, 48 : 6 = 8, поскольку 8 • 6 = 48.

Из последнего равенства можно сделать вывод, что 48 : 8 = 6. Поэтому действие деления является обратным к действию умножения.

Вспомним, как в начальной школе выполняли деление многозначных чисел.

Итого:   17 542 : 7 = 2506      и       8636 : 68 = 127.

 Поскольку .

Поскольку 

Делить на ноль нельзя!  Предположим, что 5 : 0 равно некоторому числу b. Тогда должно выполняться b • 0 = 5. Это равенство неверно. Выражение 0 : 0 не имеет определенного значения. Если 0 : 0 = с, то с • 0 = 0. Это равенство выполняется для множества значений с. Вывод: на ноль делить нельзя!

Удобным является деление чисел, которые заканчиваются нулями, на разрядную единицу (числа 10, 100, 1000 ...).

Чтобы разделить натуральное число, которое заканчивается нулями, на разрядную единицу, нужно отбросить с правой стороны в этом числе столько нулей, сколько их в разрядной единице.

Например, 

Деление с остатком

Деление одного числа на другое нацело не всегда возможно.
Например, нужно 19 яблок разделить поровну между пятью детьми (рис. 2).

Дадим сначала каждому по яблоку, потом еще по одному и еще раз по одному. Каждый получил по три яблока и 4 яблока останется в остатке. Остаток запишем в скобках:

Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

В числе 19 содержится 3 раза по 5 и еще 4. Итак, 19 = 5 • 3 + 4.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Вообще, если при делении числа а на число b получили неполное частное q и остаток r, то

Числовые выражения. Буквенные выражения и их значения. Формулы

Пример:

Поезд за первый час преодолел 60 км, а за второй — на 5 км больше. Сколько километров преодолел поезд за два часа?

Решение. За второй час поезд проехал 60 + 5 км. Поэтому за два часа он проехал 60 + (60 + 5) км.

Для решения задачи мы составили числовое выражение из чисел, знаков действий и скобок.

Выполнив действия, получим число 125 — значение этого выражения.

Пример №6

Поезд за первый час проехал 60 км, а за второй — на а километров больше. Сколько километров проехал поезд за два часа?

Решение. Аналогично предыдущему примеру получим: за 2 часа поезд проехал 60 + (60 + а) км. Запись 60 + (60 + а) — буквенное выражение, состоящее из цифр, букв, знаков действий и скобок.

Значение буквенного выражения зависит от значения буквы, которая входит в выражение.

Пример №7

Найди значение выражения 7 + b, если b = 5, 10.

Решение. Если b = 5, то 7 + b = 7 + 5 = 12; если b = 10, то 7 + b = 7 + 10 = 17.

Итак, выражения, состоящие из цифр, знаков действий и скобок, например:

3547 — 2793, 480 312 — 9279,
7257 — (8705 — 5744),

называют числовыми выражениями.

Если выполнить действия в числовых выражениях, то получим число, которое называют значением числового выражения.

Выражение, содержащее буквы, числа, знаки действий и скобки, называют буквенным, например
a + 400,   504 — a,   a : b,   (a + b) • c.

Пусть стороны прямоугольника равны а и b. Обозначим буквой S  его площадь. Поскольку площадь прямоугольника равна произведению длины сторон, то можно записать:

 

Ты знаешь из младших классов, периметр прямоугольника P равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то

 или 

Приведенные равенства справедливы при всех значениях букв, входящих в них. Их называют формулами.

Формула — это запись некоторого правила с помощью букв, которая устанавливает взаимосвязь между величинами.

Формулы помогают вычислить значение одной из величин по известным значениям остальных величин. Например, из формулы площади прямоугольника имеем:

Чтобы найти сторону прямоугольника, надо его площадь разделить на другую сторону.

Пусть — скорость движения, — время движения и — пройденное расстояние (путь). Равенство , которое устанавливает зависимость между этими величинами, называют формулой пути. Формула пути означает, что расстояние равно скорости, умноженной на время:

Из формулы пути, по правилу нахождения неизвестного множителя, имеем:
— Скорость равна расстоянию, разделенному на время.
— Время движения равно расстоянию, разделенному на скорость.

Уравнения

Задача:

Сергей и Виталий на рыбалке вместе поймали 8 карасей. Сергей поймал 3 карася. Сколько карасей поймал Виталий?
Пусть Виталий поймал карасей. Тогда, по условию задачи,
Есть равенство, содержащее неизвестное число.

Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением.

Имеем уравнение: Если вместо буквы поставить число 5, то получим верное числовое равенство Число 5 — корень (или решение) данного уравнения.

Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют решением, или корнем уравнения.

Иногда уравнение может иметь несколько корней (с такими уравнениями мы ознакомимся позже). Решить уравнение означает найти все его корни или показать, что их нет. Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо неизвестного и выполнить вычисления. Если получим верное равенство, то число является корнем уравнения.

Для решения простейших уравнений используют правила, известные из начальных классов.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы вычесть известное слагаемое.

Например:

14 + х = 58;  х = 58 – 14;  х = 44.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Например: 

х – 12 = 37;  х = 37 + 12;  х = 49.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Например: 

42 – х = 18;  х = 42 – 18;  х = 24.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Например: 

7•х = 56;  х = 56 : 7;  х = 8.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Например: 

х : 5 = 9;  х = 9 • 5;  х = 45.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Например: 

36 : х = 9; х = 36 : 9; х = 4.

Рассмотрим примеры решения сложных уравнений.

Пример №8

Реши уравнение 
Решение. Здесь  неизвестно уменьшаемое. Чтобы его найти, надо к 62 прибавить 35.

Имеем 

неизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо от 97 отнять 27.

Пример №9

Реши уравнение

Решение. 

Пример №10

Реши уравнение

Решение. Используя распределительное свойство умножения, имеем 

Итого, 

Пример №11

Реши уравнение

Решение. В этом уравнении неизвестный делитель. Чтобы его найти, надо 36 разделить на 3.

 Имеем 

неизвестное слагаемое, чтобы найти его, надо к 12 прибавить 18.

Текстовые задачи на движение

Рассмотрим основные виды текстовых задач на движение.
Мы уже много раз решали задачи на движение и знаем формулу пути

что выражает взаимосвязь величин: пройденное расстояние (путь),  скорость движения, то есть расстояние, которое преодолевают за единицу времени; время движения.

Также знаем формулы, по которым можно найти скорость, если известны пройденное расстояние и время движения:

и время, если известны пройденное расстояние и скорость:

Примечание: 1. В задачах на движение будем считать, что скорость движения на всем пути не менялась.

2. Единицы измерения скорости (км/ч, м/мин., м/с и т. д.) зависят от условия задачи. Если, например, жук за 5 мин. проползает 10 м, то его скорость 10 : 5 = 2 (м/мин.).

Рассмотрим теперь, как решаются задачи на движение по реке. В этих задачах есть своя особенность: нужно различать скорость движения по течению и скорость движения против течения.

Пусть, например, собственная скорость лодки (то есть ее скорость в стоячей воде) равна 15 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость, с которой лодка плывет по течению, состоит из ее собственной скорости и скорости течения: 15 + 2 = 17 (км/ч). А скорость, с которой лодка плывет против течения, получаем вычитанием скорости течения из собственной скорости лодки: 15 – 2 = 13 (км/ч).

Рассмотрим задачи, в которых действуют два участника движения.

Движение из одного пункта с отставанием. Пусть два объекта одновременно начинают движение в одном направлении из одной точки с разными скоростями = 5 км/ч и = 3 км/ч.

Тогда за первый час объект   опередит объект   на 2 км.

Расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени, называют скоростью удаления .

В случае движения двух объектов из одного пункта с отставанием  (если ),

Через час между объектами будет расстояние

Задача №6

Два автомобиля одновременно выехали в одном направлении. Скорость первого автомобиля 60 км/ч, скорость второго — 72 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 9 часов?

Решение. 

Движение из одного пункта в противоположных направлениях. Пусть два объекта одновременно начинают движение из одной точки в противоположных направлениях со скоростями = 5 км/ч и = 3 км/ч.

Тогда за первый час объект удаляется от объекта  на 8 км. В этом случае скорость удаления 

Через час между объектами будет расстояние 

Тогда за первый час расстояние между объектами сократится на 8 км.

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называют скоростью сближения .

В случае движения двух объектов навстречу друг другу 

Если начальное расстояние между объектами равно километров и объекты встретились через часов, то очевидно, что

Если , то через  часов расстояние между объектами сократится на расстояние

Задача №7

Два автобуса выехали одновременно из двух городов и встретились через 5 часов. Скорость одного 45 км/ч, а второго — на 10 км/ч больше. Найди расстояние между городами.

Решение. 1) 45 + 10 = 55 (км/ч) — скорость второго автобуса;

2) (45 + 55) • 5 = 500 (км) — расстояние между городами.

Движение в одном направлении вдогонку. Пусть два объекта одновременно начинают движение из различных точек в одном направлении со скоростями
= 5 км/ч и = 3 км/ч, причем объект, имеющий большую скорость, движется позади, и начальное расстояние между объектами больше чем 2 км.

Тогда за первый час объект   станет ближе к объекту   на 2 км. В этом случае 

Если начальное расстояние между объектами равно  км и объект  догнал объект  через  часов, то видно, что

Если , то через  расстояние между объектами сократится на расстояние

Задача №8

Из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км, одновременно начали движение в одном направлении пешеход со скоростью 5 км/ч и автобус, который догонял пешехода. Найди скорость автобуса, если он догнал пешехода через 2 часа.
Решение.  120: 2 = 60 (км/ч).
Тогда скорость автобуса равна 60 + 5 = 65 (км/ч).

Текстовые задачи экономического содержания

Экономика, или экономические науки — комплекс научных дисциплин о хозяйстве, а именно: об организации и управлении материальным производством, эффективном использовании ресурсов, распределении, обмене, сбыте и потреблении товаров и услуг и тому подобное.

Задачи экономического содержания — это задачи о стоимости товара, задачи на работу, задачи, связанные с бюджетом семьи, возможности осуществления масштабных покупок, задачи на налоги, работу банков, ведение фермерского хозяйства, использование природных ресурсов родного края и др.

В начальной школе и в этой лекции некоторые из текстовых задач экономического содержания вы уже решали. В этой лекции остановимся подробно на задачах о стоимости товара и задачах на работу.

Задачи о стоимости товара

Задача:

Один килограмм конфет стоит 25 руб. Сколько стоят 3 кг конфет?

Решение. 25 • 3 = 75 (руб.). В этой задаче, как и в задачах на движение, имеем зависимость между тремя величинами: стоимость товара, его цена и количество.

Пусть С — стоимость товара, a — его цена (то есть стоимость единицы товара — 1 штуки, 1 м, 1 кг, 1 л и т. д.), а n — количество товара в выбранных единицах. Тогда

Полученное равенство называют формулой стоимости. Она означает, что

стоимость товара равна цене, умноженной на количество товара.

Из формулы стоимости по правилу нахождения неизвестного множителя легко выразить величины а и n:

 и 

то есть

цена товара равна стоимости, разделенной на количество товара, а количество товара равно стоимости, разделенной на цену.

Задача №9

Литр сока стоит 24 руб. Сколько литров сока можно купить за 48 руб.?

Решение. 48 : 24 = 2 (л).

Задачи на работу

Задача:

Оля набрала на компьютере 9 страниц за 3 часа, а Татьяна — 8 страниц за 2 часа. Кто из девочек работал быстрее?

Решение. Оля набрала больше страниц, чем Татьяна, но она и работала больше времени. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти, сколько страниц набрала каждая девочка за 1 час. Оля набирала по 9: 3 = 3 страницы в час, а Татьяна — по 8 : 2 = 4 страницы в час. Итак, Татьяна работала быстрее, потому что через час она набрала больше страниц.

Скорость работы еще называют производительностью. В этой задаче производительность труда Оли составляет 3 страницы в час, а Татьяны — 4 страницы в час.

Если обозначить буквой A всю работу, производительность — буквой N, а время работы — t, то можем записать равенство:

Это равенство называют формулой работы. Она означает, что

работа равна производительности, умноженной на время работы.

Из формулы работы по правилу нахождения неизвестного множителя легко найти величины N и t:

 и  то есть

производительность равна работе, разделенной на время работы, а время равно работе, разделенной на производительность.

Задача №10

Олеся моет 4 тарелки за 1 мин. Сколько тарелок помоет Олеся за 5 мин.? Сколько нужно времени, чтобы Олеся помыла 24 тарелки?

Решение. За 5 мин. Олеся помоет 4 • 5 = 20 тарелок, а чтобы помыть 24 тарелки, ей нужно 24 : 4 = 6 мин.

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Рассмотрим текстовые задачи, одним из способов решения которых является составление уравнений.

Задача №11

В саду росли яблони и вишни — всего 32 дерева, причем яблонь было на 4 больше, чем вишен. Сколько яблонь и сколько вишен росло в саду?

Решение. Пусть в саду росло х вишен, тогда яблонь было Поскольку всего деревьев было 32, то получим уравнение

Упрощаем:  

Имеем:  

В саду росло 14 вишен, тогда яблонь было 14 + 4 = 18.

Задача №12

За смену мастер выточил втрое больше деталей, чем ученик. Сколько деталей выточил за смену ученик, если это количество на 18 меньше, чем количество деталей которое выточил мастер?

Решение. Пусть ученик выточил деталей, тогда мастер выточил в три раза больше —  деталей. Поскольку больше на 18, то получаем уравнение

Поскольку  то имеем

Итак, ученик выточил за смену 9 деталей.

Комбинаторные задачи

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, размещение элементов, имеющих определенные свойства, и тому подобное. Рассмотрим задачу.

Задача №13

На почте в продаже есть 5 различных конвертов и 3 различные марки. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Решение. 1-й способ. Нарисуем дерево возможных вариантов (рис. 5). Обозначим конверт буквой К, марку — буквой М. Рисуем от ствола 5 веток (ибо есть 5 видов конвертов). Поскольку имеем 3 марки, то от каждой из пяти полученных точек рисуем по 3 ветки. Считаем количество полученных внизу точек — 15 и получаем ответ к задаче. Дерево возможных вариантов позволяет решать разнообразные задачи, связанные с исчислением количества способов.

2-й способ. Выберем конверт. В комплект к нему можно выбрать любую из трех марок. Поэтому есть 3 комплекта, которые содержат избранный конверт. Поскольку конвертов всего 5, то количество различных способов составляет 

Пришли к важному правилу комбинаторики — правило произведения:

если элемент А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой элемент В можно выбрать (независимо от выбора элемента А) n способами, то пару элементов А и В можно выбрать m • n способами.

Правило произведения можно использовать, если нужно выбрать более 2-х элементов.

Задача №14

На почте в продаже есть 5 различных конвертов с различными марками и 4 различные поздравительные открытки. Сколькими способами можно купить комплект, содержащий конверт, марку и открытку?

Решение. способов.

Рассмотрим далее задачу, в которой нужно посчитать количество способов, которыми можно разместить в ряд определенное количество предметов.

Задача №15

Ребенок играет тремя игрушками: машинкой, трактором, самолетиком. Сколькими способами их можно выложить в ряд?

Решение. На первое место можем поставить одну из трех игрушек: машинку, трактор или самолетик. После этого на второе место можно поставить одну из двух следующих игрушек. После этого на третье место ставим одну игрушку, которая осталась после выбора первых двух. Используя правило произведения, найдем, что игрушки можно разместить шестью различными способами  Проверим решение задачи с помощью дерева возможных вариантов (рис. 6).

Вычислили количество способов, которыми можно разместить в ряд несколько предметов. Такие размещения называют перестановками.

Перестановки обозначают буквой  В задаче 15 количество перестановок из трех элементов равна  аналогично количество перестановок из двух элементов из четырех элементов из пяти и т. д.

Рассмотрим еще несколько комбинаторных задач.

Задача №16

Из данных чисел выбрать такие, которые при перестановке цифр образуют числа, в которых число единиц на 3 больше числа десятков: 42, 36, 74, 14, 85, 92, 47.

Решение. Переставляя цифры, имеем числа 24, 63, 47, 41, 58, 29, 74. Условие удовлетворяют числа 74 и 85.

Задача №17

В алфавите племени БАБА есть только две буквы «а» и «б». Запиши все слова племени, которые содержат: 1) две буквы; 2) три буквы.

Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова);
2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов). Заметим, что найденное количество слов согласуется с правилом произведения. Поскольку на каждое место есть два «претендента» — «а» и «б», то слов, содержащих две буквы, должно быть а три буквы —

Рассмотрим две задачи на нахождение конфигурации элементов, которые имеют определенные свойства.

Задача №18

В клетки квадрата (рис. 7) надо поставить числа 1, 2, 3 и 4 так, чтобы числа не повторялись ни в строках, ни в столбцах, ни по диагоналям (линиям, ведущим из левого нижнего угла в правый верхний и из правого нижнего угла в левый верхний).

Решение. Один из вариантов решения представлен на рисунке 8.

Задача №19

Сколькими способами можно разделить 5 конфет между тремя детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы по одной конфете?

Решение. Представим решение в виде таблицы.

Итак, всего есть 6 способов.

Задачи и упражнения на все действия с натуральными числами

Вычисляя значения числовых выражений, следует не забывать о порядке действий.

Порядок выполнения действий определяется следующими правилами:

• В выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках.
• В выражениях без скобок сначала выполняют возведение в степень, затем по порядку слева направо умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Пример №12

Вычисли: 

Решение:  

Пример №13

Найди значение выражение  если 

Решение:  Если 

Там, где это целесообразно, можно использовать свойства действий. Например, значение выражения можно вычислить так:

Отрезок и его длина

Если хорошо заостренным карандашом прикоснуться к листу бумаги или мелом прикоснуться к доске, то останется след, который дает представление о точке.

Отметь в тетради две точки А и В. Приложи к ним линейку и соедини (под линейку) эти точки (рис. 16). Получишь отрезок. Точки А и В — концы этого отрезка. Концы отрезка подписывают двумя большими латинскими буквами, дающими ему название. На рисунке 16 изображен отрезок AB, или ВА.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Для измерения длины отрезка (или, как говорят короче, для измерения отрезка) его сравнивают с выбранной единицей длины. Из начальной школы ты знаешь такие единицы длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Напомним, что 1 см = 10 мм, 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм = 100 см, 1 км = 1000 м.

Измеряют отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 17) или рулетки (рис. 18). Чтобы измерить отрезок с помощью линейки с делениями (рис. 19), надо один конец отрезка (левый) совместить с делением, которое обозначено числом 0. Тогда число, стоящее у другого конца, покажет длину этого отрезка. На рисунке 19 длина отрезка MN равна 4 см. Длину отрезка обозначают так же, как и сам отрезок, записывая MN = 4 см. На рисунке 20 изображен отрезок KL, длина которого 4 см 3 мм. Записывают: KL = 4 см 3 мм, или KL = 43 мм.

Два отрезка называют равными между собой, если их длины одинаковы.

Если, например, AB = 4 см и MN = 4 см, то отрезки AB и MN равны: AB = MN.
На рисунке 19 и рисунке 20 длина отрезка KL больше длины отрезка MN (говорят, что KL длиннее MN или MN короче KL). Записывают так:
KL > MN или MN < KL.

На рисунке 21 точка Р принадлежит отрезку AB. Эта точка разбивает отрезок AB на два отрезка АР и РB.

Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AP и РВ. это
записывают так: AB = АР + РВ. Откуда: AР = АВ — РВ и РВ = АВ — АР.

Напомним, как строят отрезки заданной длины.

Пусть, например, нужно построить отрезок, длина которого 5 см. Для этого:

1. обозначаем в тетради какую—нибудь точку и называем ее, например, буквой T;
2. прикладываем линейку так, чтобы ее ноль совпадал с точкой T;
3. обозначаем точку, которая совпадает с делением 5 см на линейке, и называем эту точку, например, F;
4. строим отрезок TF, он и будет искомым, поскольку его длина равна 5 см. Записываем TF = 5 см.

Луч, прямая

Продолжим отрезок AB с помощью линейки от точки В (рис. 40). На рисунке такое продление ограничено размерами листа, но можно предположить, что мы продолжили отрезок неограниченно. Если продолжить отрезок AB за его конец В неограниченно, то получим луч АВ. Точка A — начало луча AB. Конца у луча нет. При обозначении луча на первом месте пишут букву, которая означает начало луча.

Если продолжить отрезок AB за его конец A, то получим луч BA (рис. 41). Его начало — точка В.

Если продолжить отрезок AB за оба конца неограниченно (рис. 42), то получим фигуру, называемую прямой. Прямая не имеет начала и конца. Прямую, как и отрезок, обозначают двумя большими буквами, обозначающими любые две точки, лежащие на этой прямой.

Например, на рисунке 42 изображена прямая AB, или BA. Прямую AB можно обозначить одной малой буквой латинского алфавита, например прямая а.
О точках A и В будем говорить, что они принадлежат прямой а (или AB).

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Каждая точка, принадлежащая прямой, разбивает ее на два луча.
На рисунке 43 точка K разбивает прямую b на луче KM и KL. Эти лучи являются частью прямой и имеют единую общую точку K — начало этих лучей. Такие лучи называют дополняющими (один из них дополняет другой до прямой).

Точка, отрезок, луч, прямая — геометрические фигуры. Эти геометрические фигуры можно разместить на плоскости (рис. 44). Плоскость является одной из основных геометрических фигур. Представление о части плоскости дает, например, поверхность стола, стекла, потолка, если представить, что они неограниченно продолжены. Когда чертим фигуры, то частью плоскости может быть, например, лист тетради или школьная доска.

Координатный луч. Шкала

Начертим луч ОХ горизонтально вправо от точки О и запишем у его начала число 0 (рис. 53).

Выберем любой отрезок AB, длину которого возьмем за единицу. Такой отрезок называют единичным отрезком. Отложим от начала луча отрезок ОК, равен единичному отрезку. Против точки К запишем число 1. Говорят, что точка К соответствует числу 1 или число 1 изображено точкой К. Коротко это записывают так: К (1). Число 1 называют координатой точки К.
Чтобы изобразить на луче число 2, нужно отложить от начала луча один за другим два одиночных отрезка, число 3 — три единичных отрезка и т. д. Таким образом, каждому натуральному числу и числу 0 соответствует одна определенная точка луча ОХ. Получили координатный луч. Точку О, соответствующую началу координатного луча, называют точкой отсчета.
Если точка L на луче соответствует числу 6 (рис. 53), то длина отрезка OL равна 6 единиц.
Координатный луч позволяет сравнивать натуральные числа. Если координатный луч направлен слева направо, то из двух натуральных чисел большему соответствует точка, которая лежит справа, а меньшему — слева.

Пример 1. 2 < 5, поскольку точка A (2) лежит слева от точки В (5) (рис. 54).

Пример 2. На рисунке 55 точками обозначены натуральные числа , при которых неравенство будет правильным.

Длины отрезков измеряют линейкой с большими и малыми делениями (рис. 56). Они разбивают линейку на равные части. Длине каждого деления соответствует определенная единица измерения. Например, на линейке, изображенной на рисунке 56, большому делению соответствует 1 см, а малому — 1 мм.

Систему таких делений с соответствующими числами называют шкалой. Шкалы бывают не только на линейках, они могут быть различной формы. На рисунке 57 изображена шкала комнатного термометра. Каждое его деление соответствует одному градусу Цельсия (пишут 1°С). Термометр показывает 18°С. Координатный луч, линейка, комнатный термометр — примеры прямолинейных шкал. Шкалы часов (рис. 58), спидометра (рис. 59) — криволинейные.

Чтобы прочитать показатели на шкале, надо знать цену деления. Так, на рисунке 59 между числами 20 и 40 — четыре деления. Поэтому цена одного деления (40 — 20) : 4 = 5.

Угол. Виды углов

Проведем два луча: ОА и ОВ, исходящие из одной точки (рис. 81). Получили геометрическую фигуру, которую называют углом. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Лучи ОА и ОВ называют cтоpонaми угла, а точку О — вершиной угла. Углы обозначают значком угла и тремя большими латинскими буквами:  или (читают: « угол АОВ », или « угол ВОА »). При этом букву, обозначающую вершину угла (в нашем случае — О), пишут внутри. Угол иногда обозначают и одной буквой — названием его вершины, например А.

На рисунке 82 точки С и D лежат во внутренней области угла КАВ, точки М и N — вне этой точки, а точки L и P — на сторонах угла.

Два угла называют равными между собой, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпадали. На рисунке 83 углы АОВ и CMD равны между собой, так как при наложении они совпадают. Записываем так:

Если из вершины угла MON (рис. 84) провести луч ОК, то он разбивает угол MON на два угла МОК и KON. Каждый из этих углов меньше угла MON. Записываем так: и 

Если сторонами угла являются дополняющие лучи, то такой угол называют развернутым. На рисунке 85 — развернутый угол ABC. Развернутый угол можно разделить на два равных между собой угла. Для этого возьмем лист бумаги с прямым краем, который дает представление о развернутом угле, и составим его так, чтобы стороны угла совпали. Обозначим вершину угла точкой K
(рис. 86). Каждый из образованных таким образом углов называют прямым углом. Понятно, что прямой угол вдвое меньше развернутого.

Для построения прямого угла используют чертежный угольник (рис. 87). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч OA, надо:

1. разместить чертежный угольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой O, а одна из сторон соединилась с лучом OA;
2. провести вдоль другой стороны угольника луч OB (рис. 87).

В результате получим прямой угол AOB. Прямой угол часто обозначают значком . На рисунке 88 так обозначен угол BOA, а на рисунке 89 — угол POL.

Угол МОА на рисунке 88 меньше прямого угла BOA. Такой угол называют острым.

Угол KOL на рисунке 89 больше прямого угла POL, но меньше развернутого. Такой угол называют тупым.

Величина угла. Измерение и построение углов

Углы, как и отрезки, можно измерять.

Поделим прямой угол на 90 равных частей (рис. 102). Меру одной такой части берут за единицу измерения углов и называют градусом (от латинского  шаг, ступень). Обозначают так: 1°. Градусная мера прямого угла равна 90°, а развернутого — 180° (рис. 103).

Можно сказать иначе: прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°. Градусную меру угла обозначают так же, как и угол. Например, на рисунке 104 градусная мера угла АОВ равна 40°. Это записывают так:  Понятно, что градусная мера острого угла меньше 90°, а тупого — больше 90°, но меньше 180°.

Углы в градусах измеряют с помощью прибора, который называют транспортиром (рис. 105).

Шкала транспортира размещена на полукруге и имеет 180 делений. Каждое деление шкалы равно 1°. Центр транспортира обозначен точкой O.

Чтобы измерить угол, нужно наложить на него транспортир так, как показано на рисунках 106 и 107: центр транспортира должен совпадать с вершиной угла, а одна сторона угла должна пройти через начало отсчета на шкале. Штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла, показывает градусную меру этого угла:

 (рис. 106), (рис. 107).

Равные углы имеют равные градусные меры. Из двух углов большим считается тот, мера которого больше. Поскольку , то .

Транспортир также применяется для построения углов.

Например, построим угол AOB, градусная мера которого равна 50°. Для этого:

• произвольную точку обозначим через O;
• наметим луч OB;
• наложим транспортир так, чтобы центр транспортира совпадал с точкой O, а луч OB прошел через начало отсчета на шкале (рис. 108);
• поставим точку A против штриха на шкале, который соответствует 50°;
• проведем луч OA (рис. 109), угол AOB является искомым: .

 

Меры углов, как и длины отрезков, можно добавлять и отнимать. На рисунке 110 угол AOC  равен сумме углов AOB и BOC, . , , то .

Если , (рис. 111), то чтобы найти градусную меру угла MOK, нужно

Луч OK делит угол АОВ на два равных угла (рис. 112), его называют биссектрисой угла. Итак,

• луч, который выходит из вершины угла и разбивает его на два равных угла, называют биссектрисой угла.

Пример №14

ОК — биссектриса . Найди

Решение. .

Если взять угол, вырезанный из листа бумаги, то его биссектрису легко найти с помощью перегиба. Угол надо составить так, чтобы его стороны совпали. Тогда линия перегиба и будет биссектрисой этого угла (рис. 113).

Треугольник и его периметр. Виды треугольников

Особенно важную роль в математике играют треугольники.

Обозначим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и совместим их отрезками. Мы получим уже знакомую геометрическую фигуру — треугольник (рис. 139).

Точки A, B и C — вершины треугольника, отрезки AB, BC  и AC — стороны треугольника. Углы ABC, ACB  и BAC — углы треугольника.

Треугольник обозначают знаком  с названиями его вершин (читаем: «треугольник ABC»).

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Периметр треугольника (и, вообще говоря, любого многоугольника) принято обозначать буквой P. Если, например, стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 10 см, то его периметр Р = 6 + 7 + 10 = 23 (см) .

Если все стороны треугольника равны между собой, то его называют равносторонним. На рисунке 140 — равносторонний треугольник KLM, у него KL = LM = MK.

Поскольку кратчайшее расстояние от одной точки до другой — это расстояние по прямой, то отсюда следует свойство сторон треугольника:

• сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Можно убедиться в обратном: если сумма двух любых отрезков больше чем третий отрезок, то эти три отрезка могут быть сторонами треугольника.

В зависимости от величин углов треугольники делят на остроугольные (все углы острые — рис. 141), прямоугольные (один угол прямой — рис. 142) и тупоугольный (один угол тупой — рис. 143).

Если измерить углы некоторого треугольника транспортиром и найти их сумму, то получим 180°. В старших классах будет доказано важное свойство углов треугольника:

сумма всех углов треугольника равна 180°.

Поэтому любой треугольник может иметь не более одного прямого угла и не более одного тупого угла.

Прямоугольник. Квадрат

На рисунке 154 изображен четырехугольник, у которого все углы прямые. Такой четырехугольник, как ты знаешь из младших классов, называют прямоугольником.

Противоположные стороны прямоугольника равны между собой, то есть AB = DC и AD = BC. Стороны прямоугольника, которые не являются противоположными, называют длиной и шириной (это смежные стороны). Сумма длин всех сторон прямоугольника — это его периметр P.

Выведем формулу для вычисления периметра P прямоугольника, длина и ширина которого равны а и b соответственно (рис. 155).

Есть 

Выражение 2а + 2b можно записать иначе: 2 (а + b). Действительно, если в последнем выражении раскрыть скобки, то получим 2а + 2b. Итак, имеем формулу для вычисления периметра прямоугольника:

Задача №20

Периметр прямоугольника равен 30 см, а одна из его сторон — 5 см. Найди другую сторону.

Решение. Есть Р = 30 см, пусть а = 5 см. Тогда, подставив значения а в формулу, получим уравнение  Решим его:

Итак, вторая сторона равна 10 см.

Прямоугольник, у которого все стороны равны между собой, называют квадратом.

На рисунке 156 изображен квадрат, сторона которого равна а.
Очевидно, что периметр Р этого квадрата можно найти так:

Итак, имеем формулу периметра квадрата:

Площадь прямоугольника и квадрата

Чтобы узнать, сколько краски и обоев понадобится для ремонта квартиры, нужно знать площади пола, потолка и стен. Определение площади является важным для решения многих других практических задач.

За единицу площади берут площадь единичного квадрата, то есть такого квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, если длина стороны квадрата равна 1 м, то он имеет площадь 1 квадратный метр (записывают так: ); если длина стороны квадрата 1 см (рис. 157), то его площадь равна 1 квадратному сантиметру () и т. д.

Если площадь некоторой фигуры можно разбить на m квадратов со стороной 1 см, то ее площадь равна . Так, площадь фигуры на рисунке 158 равна . То есть определить площадь фигуры — это значит узнать, сколько единичных квадратов помещается в этой фигуре.

Из начальной школы известно, что для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

• для вычисления площади прямоугольника надо его длину умножить на ширину.

Если обозначим стороны прямоугольника а и b, а его площадь — S (от латинского слова superficies — поверхность), то получим формулу площади прямоугольника (рис. 159):

             

Для вычисления площади прямоугольника длины его сторон надо выразить в одних и тех же единицах: если а и b выражены в метрах, то площадь S измеряется в квадратных метрах; если а и b выражено в сантиметрах, то S — в квадратных сантиметрах и тому подобное.

Пример №15

Найди площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 8 см.

Решение. 1 дм = 10 см, то S = 10 • 8 = 80 ().

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 160).

Тогда площадь квадрата S со стороной a можно найти так:  S = а • а  или S = а². Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом этого числа.

Пример №16

Найди площадь квадрата со стороной 2 см 5 мм.

Решение. 2 см 5 мм = 25 мм. Поэтому

Рассмотрим прямоугольник ABCD, стороны которого равны 4 см и 5 см.
Ломаная KLMN разбивает его на две части (рис. 161). Одна из частей имеет площадь 12 , а другая — 8. Площадь всего прямоугольника 4 • 5 = 20 .

При этом 20 = 12 + 8. Итак,

площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Установим соотношение между единицами площадей. На рисунке 162 изображен квадрат, сторона которого равна 1 дм. Поэтому его площадь 1 дм². С другой стороны, квадрат состоит из 100 квадратиков со стороной 1 см. Поэтому его площадь равна 100 см². Итак,

Это можно было установить еще и так:

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Для измерения больших площадей (территории государств, материков) используют квадратный километр — 1 км². Это площадь квадрата, сторона которого 1 км, или 1000 м. Площадь такого квадрата можно найти еще и так: 

1000 м • 1000 м = 1 000 000 м² 

Итак,

Территория России составляет  17 130 000 км².

Площадь садов, огородов, других участков земли измеряют также в арах (от латинского слова area — площадь. ) и гектарах (от греческого слова hekaton — сто). Ар (сотка) — площадь квадрата со стороной 10 м. Поэтому 1 а = 100 м². Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м.
Поэтому 1 га = 10000 м², 1 га = 100 а, 1 км² = 100 га.

Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида

Спичечная коробочка, кирпич, деревянный брусок, ящик, пенал дают представление о геометрической фигуре, которую называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 176).

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые называют его гранями. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда попарно равны.

На рисунке 176 противоположными гранями является ABCD и MLKN, AMLB и DNKC, AMND и BLKC. Грани ABCD и MLKN называют еще основаниями параллелепипеда.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней — вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Всего ребер 12 — по 4 равных между собой. На рисунке 176: AB = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN и AD = BC = LK = MN. Ребра AM, BL, CK и DN называют еще высотами параллелепипеда.

Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер — это длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда (рис. 176), или его измерения.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его граней.

Задача №21

Найди площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a, b и с.

Решение. Пусть AB = a, MN = b, AM = c (рис. 176). У двух граней длины сторон равны а и b. Площадь каждой из них равна ab. Площадь каждой из двух следующих граней — bc, а двух оставшихся равна ас. Поэтому площадь поверхности S можно найти так: , или

Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называют кубом (рис. 177). Все грани куба — равные квадраты. Очевидно, что площадь поверхности куба с ребром a равна:

Еще одной важной и интересной фигурой является пирамида (рис. 178—180). Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Боковые грани пирамиды — треугольники, имеющие общую вершину, которую называют вершиной пирамиды, а основание пирамиды — произвольный многоугольник, противоположный этой вершине.

Называют пирамиду по количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Например, на рисунке 178 изображена шестиугольная пирамида, а на рисунке 179 — четырехугольная пирамида.

Простой пирамидой является треугольная пирамида (рис. 180). Все ее грани — треугольники. Поэтому каждая из них может считаться основанием.
Так же, как и в прямоугольном параллелепипеде, стороны граней называют ребрами пирамиды.

Боковые грани вместе с основанием пирамиды называют гранями пирамиды.
Например, в треугольной пирамиде: 6 ребер и 4 грани.

Форму пирамид имеют, например, древнеегипетские пирамиды. Одна известных — пирамида Хеопса, высота которой 147 м (рис. 181). 

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба

Спичечная коробочка полностью помещается в пенале, пенал — в коробке из-под обуви. Говорят, что объем пенала больше, чем объем спичечной коробки, а объем коробки из-под обуви больше, чем объем пенала.

Объем имеет каждое тело. Объем можно измерять и выражать числом, если задана единица объема. За единицу объема берут объем единичного куба, то есть объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т. д. Единицами объема, например, являются 1 кубический сантиметр (1 см³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 см (рис. 185); 1 кубический дециметр (1 дм³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 дм; 1 кубический метр (1 м³) — объем куба, длина ребра которого равна 1 м.

На рисунке 186 изображена фигура, которая состоит из 3 кубиков с ребром 1 см. Поэтому объем такой фигуры 3 см³.

Если измерения прямоугольного параллелепипеда выражено натуральными числами, то его объем показывает, сколько единичных кубов надо, чтобы его заполнить. Выведем правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Пусть его измерения: 5 см, 4 см и 3 см (рис. 187).

Вычислим, сколько единичных кубов с ребром 1 см, то есть кубов с объемом 1 см³ уместится в этом параллелепипеде. Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см, поэтому основание содержит 5 • 4 = 20  кубиков. Чтобы полностью заполнить параллелепипед, надо выложить три таких слоя, поскольку высота параллелепипеда 3 см. Таким образом, количество всех кубиков: 20 • 3 = 60. Объем одного кубика 1 см³, поэтому объем прямоугольного параллелепипеда 60 см³.

Мы нашли объем прямоугольного параллелепипеда как произведение трех его измерений 5 • 4 • 3 (см³). 

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Если обозначить объем буквой V (V — первая буква латинского слова volume — объем), а измерения — буквами a, b и с, то имеем формулу

Во время вычислений нужно следить, чтобы все измерения выражались в одних и тех же единицах длины: если, например, все измерения представлены в сантиметрах, то получим объем в см³.

Пример №17

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны  3 дм, 12 см и 60 мм. Найди объем параллелепипеда.

Решение. Выразим измерения в сантиметрах: 3 дм = 30 см, 60 мм = 6 см. Тогда

V = 30 • 12 • 6 = 2 160 (см³).

Произведение длины и ширины — это площадь основания. Итак,

объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Если обозначить площадь основания буквой S, а высоту — буквой h (рис. 188), то получим формулу

Объем куба, ребро которого равно а , вычислим по формуле:  V = a • a • a. Или

Именно поэтому третью степень числа называют кубом этого числа.

Найдем соотношение между единицами объема: 1 дм³ — это объем куба с ребром 1 дм или 10 см. Объем этого куба в кубических сантиметрах равен

 

Итак,  

Поскольку 1 м = 100 см, то 1 м³ = 100 • 100 • 100 = 1000000 см³. Итак,

Для измерения объема жидкости используют литр (1 л). Литр содержит 1 дм³   воды:

Для измерения очень больших объемов, например морей и океанов, используют 1 кубический километр — объем куба, ребро которого равно 1 км. Поскольку 1 км = 1000 м, то , то есть:

Для измерения небольших объемов используют единицу кубический миллиметр .

Дробные числа и действия с ними

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенные дроби

До сих пор рассматривались в 5-м классе натуральные числа и число 0. Но, как известно из младших классов, в математике существуют другие числа — дробные.

Возьмем полоску бумаги и примем ее длину за единицу. Поделим полоску на две равные части (рис. 206). Каждая из этих частей будет одной второй, или половиной этой полоски.

На рисунке 207 видим яблоко, разрезанное на три равные части. Каждая часть равна одной трети  яблока, а две части — двум третьим  яблока.

Числа  дробные. Дробные числа записывают с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты в виде . Такие записи называют обыкновенными дробями. Число b, записанное под чертой, называют знаменателем дроби, он показывает, на сколько равных частей разделена единица (целое). Число а, записанное над чертой, называют числителем дроби, он показывает, сколько взято равных частей единицы (целого).

Пример 1. Обычная дробь  — показывает, что целое число разделено на 5 равных частей и взято 3 такие части.

Пример 2. Если отрезок длиной 1 м разделен на 100 равных частей, то длина каждой части составляет 1 см.

Можно записать:   (одна сотая метра),
 (две сотых метра), 17 см =  (семнадцать сотых метра) и др.

Пример 3. Поскольку кг (одна тысячная килограмма).

Рассмотрим задачу на нахождение дроби от числа.

Задача 1. Сколько градусов составляет  развернутого
угла?

Решение. Развернутый угол поделим на 5 равных частей.  развернутого угла равна , тогда  развернутого угла — это

Рассмотрим задачу на нахождение числа по его дроби.

Задача 2. Дорога от A до B равна 120 км, что составляет   дороги от A до C. Какое расстояние между A и C?

Решение (рис. 208). Поскольку три четверти дороги составляет 120 км, то одна четвертая часть дороги равна 120 : 3 = 40 км. Тогда вся дорога в четыре раза длиннее, чем 40 км, то есть равна 40 • 4 = 160 км.

Дробные числа, как и натуральные, можно изображать на координатном луче. Например, для изображения дроби  (рис. 209) поделим единичный отрезок на 8 равных частей. Затем от начала луча отложим последовательно 3 такие части. Получим точку A, изображающую число  Можно записать  Длина отрезка ОА  равна  единицы.

Обыкновенные дроби и деление натуральных чисел

Разрезаем арбуз на две равные части. Если взять две половинки, то есть арбуза, то получим целый арбуз.

Итак  Аналогично  и т. д.

Пусть надо разделить три яблока между четырьмя детьми. Число 3 не делится нацело на 4. Поэтому сначала разделим каждое яблоко на 4 равные части — будем иметь 12 четвертей яблока. Дадим каждому по 3 такие части (рис. 222).
Итак, каждый ребенок получит по  яблока. Дробь  получили, поделив 3 яблока на 4 равные части, то есть 

Итак,

значение дроби равно частному от деления числителя дроби на его знаменатель:   
Вместе с тем

частное от деления одного числа на другое равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю: .
С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.

Например,

Если нацело разделить нельзя, то частное является дробным числом.

Например,

Пример №18

Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 3. Для этого надо найти такое число, поделив которое на 3, получим 4. Такое число 3 • 4, то есть 12.
Итак,
Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числителем этой дроби является произведение числа и этого знаменателя.

Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Разделим прямоугольник на 4 равные части (рис. 223). Две такие части вместе составляют половину прямоугольника. То есть   прямоугольника равны  прямоугольника. Поэтому говорят, что дроби  и  равны и записывают 

На координатном луче равные между собой дроби обозначают одной и той же точкой (рис. 224). Две равные дроби обозначают одно и то же число.

Пусть торт разрезали на 8 равных частей. На одну тарелку положили одну часть, а на другую — три (рис. 225). Одна часть торта — это 1/8 торта, а три — 3/8 торта. Поскольку 1 часть меньше, чем 3 такие же части, то

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, числитель которой больше, и та дробь меньше, числитель которой меньше.

На рисунке 226 точка  лежит левее точки 
Большей дроби на координатном луче соответствует точка, лежащая правее, а меньшей — точка, лежащая левее.

 

Правильные и неправильные дроби

Числитель обыкновенной дроби может быть меньше знаменателя, может равняться ему или быть больше знаменателя. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной дробью. К примеру, 
правильные дроби.

Правильная дробь меньше 1.

Например,  (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью. Например,  неправильные дроби.
Если числитель и знаменатель неправильной дроби равны между собой, то такая дробь равна 1.

Например,   (рис. 227). Вообще, если a —  произвольное число, то 

Если числитель неправильной дроби больше чем знаменатель, то эта дробь больше 1.

Например,  (рис. 227). Вообще, если а и b — натуральные числа и

Рассматривают также дроби вида  где b — натуральное число. Считают, что такие дроби равны 0. Например, .

Смешанные числа

На координатном луче (рис. 230) изображена дробь  

Она содержит 1 целую единицу и еще  единицы.

Это записывают так:   (читают: «одна целая три пятых»). Число это сумма  которая записана без знака сложения. Число 1 называют целой частью числа  а число его дробной частью. Эти числа   равны между собой.
Говорят, что из неправильной дроби   выделены целая и дробная части.
Чтобы выделить целую и дробную части из неправильной дроби  , разделим 8 на 5. Есть неполное частное 1 и остаток 3. Число 1 дает целую часть, а остаток 3 — числитель дробной части.

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо поделить числитель неправильной дроби на знаменатель. Тогда неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель неправильной дроби — знаменателем дробной части.

Пример №19

Из неправильной дроби  выдели целую и дробную части.
Решение. Делим 42 на 5. Есть неполное частное 8 и остаток 2. Следовательно,

Такие числа, как  называют смешанными числами (или смешанными дробями). Число 1 называют целой частью смешанного числа  а число   его дробной частью.

Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь будет натуральным числом — частным от деления числителя на знаменатель.
Например, и т. д.  Говорят, что числа   и  не имеют дробной части (или дробная часть равна нулю). Правильные дроби (  и т. д.) не имеют целой части. Говорят, что целая часть правильной дроби равна нулю.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

С обыкновенными дробями, так же, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

На рисунке 231 изображено сложение отрезков OA и AB: OA + AB = OB.

Длина отрезка OA составляет  единицы, длина отрезка AB равна  и длина отрезка OB равна  той же единицы.   это сумма чисел  и   запишем: 

Можно сформулировать правило: 

чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

. 
Вернемся к рисунку 231, видим, что ОВ – АВ = ОА,  поэтому 

Итак,

чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и оставить тот же знаменатель. В буквенном виде:

  (a > b или a = b).

При сложении дробей складываются их числители, а это — натуральные числа.

Поэтому здесь выполняется переместительное и сочетательное свойства сложения.

Пример №20

  

Пример №21

 

Если результатом является неправильная дробь, то принято из этой дроби выделять целую и дробную части.

Дробное число, содержащее целую и дробную части, можно превратить в неправильную дробь.

Пример №22

Представить в виде неправильной дроби число

Решение.   Запишем число 4 в виде дроби со знаменателем 7, а именно: 

Тогда 

Заметим, что 31 = 4 • 7 + 3.  

Итак,

чтобы превратить смешанную дробь в неправильную, надо умножить ее целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму числителем неправильной дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменений.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняются на основе свойств этих действий.

Рассмотрим примеры.

Пример №23

   
Сокращенная запись:

При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные — отдельно. Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получают неправильную дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и прибавляют ее к целой части, которую уже имеют.

Пример №24

 

Рассмотрим пример вычитания смешанных чисел, когда дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого. В таких примерах целесообразно целые части вычесть отдельно, а дробные — отдельно и сложить полученные числа.

Пример №25

  

Запишем это сокращенно 

Рассмотрим примеры, где от целого числа отнимают правильную дробь.

Пример №26

Выполни вычитание:

Решение. 1) Для нахождения разницы  представим 1 в виде дроби со знаменателем 13, а именно 
Имеем:  

2) Поскольку,  то имеем:  

В следующем примере дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №27

Выполни вычитание 
Решение. «Подготовим» уменьшаемое   к вычитанию так: 
 
Тогда 

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Наряду с обычными дробями для записи дробных чисел используют десятичные дроби.

Пример №28

Выразим расстояние 7 дм 3 см в дециметрах. 
Поскольку 

Поэтому  

Пример №29

 

Знаменатель дробной части числа равен 10, а числа  равен 100. Числа со знаменателями 10, 100, 1000...принято записывать без знаменателя с помощью запятой: сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части; целую часть отделяют от дробной части запятой.

Например,  (читают: «7 целых 3 десятых»),   (читают: «8 целых 17 сотых»). Числа 7,3 и 8,17 — десятичные дроби. В виде десятичной дроби можно записать любое число, знаменатель дробной части которого является единицей с одним или несколькими нулями. Цифры дробной части еще называют десятичными знаками. В числе 8,17 два десятичных знака: 1 и 7.

Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0.

Пример №30

    (читают: «0 целых 29 сотых метра»).

Пример №31

Выразим 9 кг 71 г в килограммах и запишем десятичной дробью. Поскольку   а поэтому  В дробной части
найденного  числа нет десятых частей килограмма (сотен граммов). Поэтому на первом месте после запятой пишут цифру (читают: «9 целых 71 тысячная килограмма »).

Итак,

чтобы записать обычную дробь, знаменатель дробной части которой — разрядная единица 10, 100, 1000 ..., в виде десятичной дроби,

• 1) записывают целую часть числа (она может быть равна 0) и ставят запятую;
• 2) справа от запятой записывают числитель дробной части, но он должен содержать столько знаков, сколько нулей в знаменателе. Если в числителе меньше знаков, чем нулей в знаменателе, то после запятой перед цифрами числителя надо дописать такое количество нулей, которого не хватает.

Например,

Десятичные дроби записывают по такому же принципу, что и натуральные числа в десятичной системе: каждая следующая единица, стоящая справа, в 10 раз меньше предыдущей. На первом месте после запятой стоит разряд десятых, на втором — разряд сотых, на третьем — разряд тысячных и т. д.

Десятичные дроби, как и обычные, можно изображать на координатном луче. Например, чтобы на координатном луче изобразить десятичную дробь 0,6, сначала запишем его в виде обыкновенной дроби: 0,6 =  Затем разделим единичный отрезок на 10 равных частей, каждая из которых составляет = 0,1 единичного отрезка, и отложим от начала луча шесть таких частей. Имеем точку A, что соответствует числу 0,6 (рис. 232).

Чтобы изобразить число 1,3, поделим отрезок между числами 1 и 2 на десять равных частей и отсчитаем 3 такие части справа от числа 1. Имеем точку B, соответствующую числу 1,3 (рис. 232).

Десятичная дробь. Запись десятичных дробей

Важно научиться сравнивать десятичные дроби. Начнем с такого примера.
Известно, что 3 дм = 30 см = 300 мм. Выразив 3 дм, 30 см и 300 мм в метрах, получим 3 дм = 0,3 м; 30 см = 0,30 м; 300 мм = 0,300 м.  

Поскольку 3 дм = 30 см = 300 мм, то 0,3 м = 0,30 м = 0,300 м.

Следовательно,

• если справа в десятичной дроби приписать один или несколько нулей или убрать один или несколько нулей, то получим дробь, равный данному.

Например: 7 = 7,00;  0,37 = 0,370;  1,0200 = 1,02 и тому подобное. Десятичные дроби записывают по тем же правилам, что и натуральные числа, поэтому сравнивать десятичные дроби можно по правилам, аналогичным правилам сравнения натуральных чисел.

Сначала надо сравнить целые части десятичных дробей: из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. К примеру:
(поскольку ),
(поскольку ).

Если целые части дробей, которые сравнивают, равны между собой, то сравнивают их десятичные части: из двух десятичных дробей с одной и той же целой частью больше та, у которой больше число десятых. Например: 14, 56 > 14,49. Если две десятичные дроби имеют равные целые части и десятые, то сравнивают сотые и т. д. Например:  14,49 > 14,47.
Иногда для того, чтобы сравнить десятичные дроби, нужно сначала уравнять в них число десятичных знаков, приписав справа одному из них нужное количество нулей. Например, нужно сравнить 7,23 и 7,237. Поскольку 7,23 = 7,230 и 7,230 < 7, 237, то 7,23 < 7,237.

Итак, имеем правило сравнения десятичных дробей:

из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть;

• если десятичные дроби имеют равные целые части, тем больше будет та дробь, у которой большее число десятых; если число десятых одинаковое, тем больше будет та дробь, у которой большее число сотых и т. д.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой. Например, на рисунке 241 дроби 1,4 и 1,40 изображаются одной и той же точкой A. Точка, что изображает меньшую десятичную дробь, лежит на координатном луче левее точки, изображающей большую десятичную дробь.
Например, на рисунке 241 точка A (1,4) лежит левее точки B (1,8).

Округление натуральных чисел и десятичных дробей

Предположим, например, что количество учащихся в школе на 1 сентября составляет 1682. Через некоторое время количество учащихся в школе может измениться. В числе может измениться цифра разрядов единиц, а возможно, и десятков. Поэтому можно сказать, что в школе учится примерно 1680 учеников. То есть мы заменили цифру единиц на ноль. В этом случае говорят, что число округлили до десятков. Это записывают так:  1682  1680. Знак  читают: «приближенно равно».

Округляя числа до заданного разряда, нужно, чтобы округленное число меньше отличалось от заданного числа. Так, округляя 1682 до сотен, имеем 1682 1700 (поскольку 1682 ближе к 1700, чем до 1600) (рис. 242).

Пусть, например, нужно округлить до десятков число 435. Это особый случай, поскольку число 435 равноудалено от чисел 430 и 440 (рис. 243). В таких случаях договорились округлять число «в сторону большего значения». Итак, 435  440. 

Имеем правило округления натурального числа:

округляя натуральное число до определенного разряда,

1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяют нулями;
2. если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю цифру, которая осталась, не изменяют; если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю цифру, которая осталась, увеличивают на единицу.

Пример №32

Округли число 85 357 до тысяч.

Решение. Подчеркнем цифру 5 в разряде тысяч 85 357. Цифры, стоящие справа от нее (то есть 3, 5 и 7), заменяем нулями. Следующая по уровню тысяч цифра 3, поэтому цифру тысяч 5 не меняем:

Ответ:  85 000.

Пример №33

Округли число 68 792 до самого высшего разряда.

Решение. Высшим разрядом данного числа является десятки тысяч. Поэтому цифры 8, 7, 9 и 2 заменяем нулями. Цифру в разряде десятков тысяч 6 увеличиваем на единицу, поскольку следующая за ней цифра 8. Итак, записываем так:

Ответ:  70 000.

На практике также часто возникает потребность округлить десятичные дроби. При этом будем пользоваться теми же правилам, что и для натуральных чисел.

Пример №34

Округли число 82,2732 до десятых.

Решение.  
При этом подчеркиваем цифру, которая стоит в разряде десятых. Цифры сотых, тысячных и десятитысячных заменяем нулями, а цифру десятых увеличиваем на 1, поскольку следующая за ней цифра 7. Однако 82,3000 = 82,3. Поэтому 82,2732 82,3. 

Пример №35

Округли число 32,372 до сотых.

Решение.  

Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде сотых, цифру тысячных заменяем нулем, а цифру сотых оставляем без изменений, поскольку следующая за ней цифра 2. Однако 32,370 = 32,37. Поэтому 32,372  32,37. 

Пример №36

Округли число 983,42 до десятков.

Решение. Если десятичную дробь округляют до разряда, высшего по единице, то дробную часть исключают, а целую часть округляют по правилу округления натуральных чисел. Поэтому 983,42  980. 

Итак, имеем правило округления десятичных дробей.

округляя десятичную дробь до определенного разряда,

1. все цифры, записанные с этим разрядом, заменяем нулями или отбрасываем (если они стоят после запятой);
2. если первой цифрой по этому разряду является 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не меняем; если первой цифрой по этому разряду есть 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличиваем на 1.

Если при округлении десятичной дроби последняя цифра, оставшаяся в дробной части, будет 0, то отбрасывать ее нельзя (как мы это делаем с точными числами). В этом случае цифра 0 в конце дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

Пример №37

Округли число 43,957 до десятых.

Решение. 43,957  44,0.  

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби записывают по тому же принципу, что и натуральные числа. Поэтому сложение и вычитание выполняют по соответствующим схемам для натуральных чисел.

Во время сложения и вычитания десятичные дроби записывают «столбиком» — одну под другой так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом. Таким образом, запятая будет стоять под запятой. Далее выполняем действие так же, как с натуральными числами, не обращая внимания на запятую. В сумме (или разности) запятую ставим под запятыми слагаемых (или запятыми уменьшаемого и вычитаемого).

Пример №38

37,982 + 4,473.

Объяснение. 2 тысячных плюс 3 тысячных равно 5 тысячных. 8 сотых плюс 7 сотых равно 15 сотых, или 1 десятая и 5 сотых. Записываем 5 сотых, а 1 десятую запоминаем и т. д.

Пример №39

42,8 — 37,515.

Объяснение. Поскольку уменьшаемое и вычитаемое имеют разное количество знаков после запятой, то можно приписать в уменьшаемом нужное количество нулей. Разберись самостоятельно, как выполнен пример.

 

Заметим, что при сложении и вычитании нули можно и не дописывать, а мысленно представлять их на тех местах, где нет разрядных единиц.
При сложении десятичных дробей выполняются изученные ранее переместительное и сочетательное свойства сложения: 

Умножение десятичных дробей

Чтобы выполнять умножение десятичных дробей, надо уметь умножать натуральные числа и научиться правильно определять запятые в полученном произведении. Рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задача №22

Стороны прямоугольника 3,7 дм и 4,5 дм. Найди его площадь.

Решение. Поскольку мы пока не умеем умножать десятичные дроби, решим эту задачу, используя правило умножения натуральных чисел. Для этого выразим данные в сантиметрах 3,7 дм = 37 см, 4,5 дм = 45 см. Тогда площадь прямоугольника равна 37 • 45 = 1665 (см²). 
Поскольку   Тогда 

Следовательно, площадь прямоугольника 16,65 дм².  

Ответ. 16,65 дм².  

Решая задачу, нашли, что 3,7 • 4,5 = 16,65. Произведение 16,65 можно найти проще: достаточно перемножить натуральные числа 37 и 45, не обращая внимания на запятые, а в найденном произведения отделить справа запятой две цифры — столько их есть после запятых в обоих множителях вместе.

Итак,

десятичные дроби умножают по следующему правилу:

• 1) перемножить натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
• 2) в произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их имеют оба множителя вместе.

Заметим, что во время умножения нет необходимости записывать запятую под запятой.

Пример №40

14, 37 • 0,8.

Объяснение. 1437 • 8 = 11 496, множители вместе имеют три десятичных знака после запятой, поэтому в произведении следует отделить справа запятой 3 знака.

Может случиться так, что в произведении, который получим после умножения натуральных чисел, будет меньше цифр, чем их надо отделить запятой. Тогда слева следует приписать нужное количество нулей.

Пример №41

0,032 •  1,04.

Объяснение. 32 • 104 = 3328. Множители вместе имеют 5 десятичных знаков после запятой.
Чтобы отделить столько же знаков, считая справа, надо слева в произведении дописать ноль как десятичный знак и один ноль, что означает ноль целых: 0,03328.

По рассмотренным правилам умножаем и десятичную дробь на натуральное число. 

Пример №42

0,26 • 14.

Объяснение. 26 • 14 = 364. Множители вместе имеют 2 десятичных знака. В произведении отделяем справа 2 знака.

При умножении десятичных дробей справедливы все изученные ранее свойства умножения.
Переместительное свойство:  

• сочетательное свойство:
• распределительное свойство:  

Отдельные случаи умножения десятичных дробей

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 5,725 на 10. Если умножить 5725 на 10 получим 57250, отделяем справа запятой три десятичных знака.

Итак, 5,725 • 10 = 57,250 = 57,25.

Аналогично можно получить

5,725 • 100 = 572,5 ;

5,725 • 1000 = 5725.

Полученные произведения 57,25; 572,5 и 5725 отличаются от первого множителя 5,725 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 10 запятую в нем переносим на одну цифру вправо, на 100 — на две цифры, при умножении на 1000 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

• чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе после единицы.

Если знаков не хватает, то справа дописывают нужное количество нулей.

Например,  4,7 • 100 = 470;          2,13 • 10 000 = 21 300. 

Умножим по правилу умножения десятичных дробей 137,8 на 0,1. Должны умножить 1378 на 1, получим 1378 и отделим справа два десятичных знака.

Итак, 137,8 • 0,1 = 13,78.  

Аналогично можно получить  137,8 • 0,01 = 1,378;     137,8 • 0,001 = 0,1378; 

Полученные произведения 13,78; 1,378; 0,1378 отличаются от первого множителя 137,8 лишь местом запятой: при умножении десятичной дроби на 0,1 запятую в нем переносим на одну цифру влево, на 0,01 — на две цифры, при умножении на 0,001 — на три цифры.

Обобщая, есть правило:

• чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этом дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе перед единицей (включая и ноль целых).

Если нулей не хватает, то дописывают слева нужное количество нулей.
К примеру,  4,7 • 0,01 = 0,047;  2,13 • 0,0001 = 0,000213.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Чтобы выполнить деление десятичной дроби на десятичную дробь, надо уметь выполнять деление натуральных чисел и научиться правильно определять запятые в полученном частном.

Сначала рассмотрим пример, который поможет сформулировать правило деления десятичной дроби на натуральное число.

Задача №23

Длина прямоугольника равна 15,6 дм, а ширина — в 4 раза меньше. Найди ширину прямоугольника.

Решение. Чтобы решить задачу, выразим длину прямоугольника в сантиметрах:
15,6 дм = 156 см. Имеем 156 : 4 = 39. Следовательно, ширина прямоугольника 39 см, то есть 3,9 дм.
Итак, 15,6 : 4 = 3,9.

Такой же результат можно было получить проще, не превращая дециметры в сантиметры.

Для этого нужно разделить 15,6 на 4, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Итак,

чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую, однако поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части;
2. при необходимости приписать справа после запятой нужное количество нулей, чтобы закончить деление.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример №43

Обрати внимание на то, что после деления 28 на 5 получили в частном 5 и остаток 3 десятых. Превратили 3 десятых в 30 сотых (приписав 0). Делим 30 сотых на 5, имеем в частном 6 сотых, а в остатке 0, деление завершено.

По этому же правилу можно выполнять деление натуральных чисел, если деления не выполняется нацело.

Пример №44

20 : 8 = 2,5.

С помощью деления можно находить десятичную дробь, равную данной обычной дроби, то есть превращать обычную дробь в десятичную.

Пример №45

Преврати дробь  в десятичную.

Решение.   

Итак,  
Учитывая, что 1,83 • 10 = 18,3, тогда  18,3 : 10 = 1,83.

При делении на 10 запятую переносим на одну цифру влево.
Поскольку 17,254 • 100 = 1725,4, то 1725,4 : 100 = 17,254. 
При делении на 100 запятую переносим на две цифры влево.

Обобщая, получаем правило:

• чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей содержит делитель.

Деление на десятичную дробь

Рассмотрим, например, частное 16 : 8 = 2. Умножим делимое и делитель, например, на 3. Имеем: (16 • 3) : (8 • 3) = 48 : 24 = 2. Видим, что частное 16 : 8 не изменилось. Поделим делимое и делитель частного 16 : 8 на 2. Получим: (16 : 2) : (8 : 2) = 8 : 4 = 2. Частное 16 : 8 снова не изменилось. Отсюда можно сформулировать правило, которое называют основным свойством частного:

• если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то частное не изменится.

Основное свойство частного позволяет свести деление на десятичную дробь к делению на натуральное число.

Пусть надо разделить 35,56 на 1,4.

Основное свойство частного подтверждается также и для десятичных дробей. Поэтому умножим делимое и делитель на такое число, чтобы делитель стал натуральным числом. Таким множителем будет 10, так 1,4 • 10 = 14. Итак, деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число:

Рассуждая так, вместо частного, например, 1,215 : 0,45, находим частное 121,5 : 45 = 2,7; вместо частного 0,044 : 0,016  — частное 44 : 16 = 2,75 и тому подобное.

Во всех случаях делимое и делитель умножаем на разрядную единицу 10, 100, 1000, ..., а для этого достаточно перенести запятую вправо на 1, 2 или 3 знака.

Получаем правило:

• чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их в делителе; после чего выполнить деление на натуральное число.

Если в делимом после запятой меньше цифр, чем в делителе, то к нему дописывают нужное количество нулей.

Например, 4,2 : 0,002 = 4200 : 2 = 2100. 

Поделим 3,748 на 0,1. После переноса запятой на 1 знак вправо в делимом и делителе имеем 3,748 : 0,1 = 37,48 : 1 = 37,48.  

Еще примеры:

4,973 : 0,01 = 497,3 : 1 = 497,3;   5,4 : 0,001 = 5400 : 1 = 5400.

Отсюда получаем правило:

• чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей содержит делитель перед единицей (включая ноль целых).

Проценты. Нахождение процентов от данного числа

Во время различных вычислений часто приходится определять части числа  (половину),  (четверть),   и т. д.

Удобнее в таких вычислениях находить сотые части числа, или проценты (Слово «процент» происходит от латинского слова per cent — «на сотню», что указывает на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр — сотая часть метра ) , поскольку при этом приходится умножать или делить на число 100.

Процентом  называют сотую часть  любого числа (или числового значения величины).

Для обозначения процента используют знак %:

Найти 1% от числа — значит найти одну сотую часть этого числа.

Задача №24

Найди 1 % от 400 руб.

Решение. Принимаем 400 руб. за 100 %. Чтобы найти 1 %, нужно 400 руб. поделить на 100. 400 : 100 = 4 руб.

Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром (или сотней). Например, килограмм — это один процент центнера, сантиметр — один процент метра, ар — один процент гектара.

Можно записать также:
 и т. д.

Чтобы превратить проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Поскольку 1 % равен сотой части величины, вся величина равна 100 %. Итак,

Чтобы превратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100.

К примеру:

Чтобы превратить обычную дробь в проценты, надо сначала преобразовать ее в десятичную дробь, а затем умножить на 100.

Например:

Некоторые из равенств между обыкновенными дробями и процентами целесообразно запомнить!

Рассмотрим задачу нахождения процентов от заданного числа.

Задача №25

Молоко содержит 4 % жира. Сколько жира содержится в 800 кг молока?

Решение. 1-й способ. Найдем сначала 1 % от числа 800. Для этого нужно 800 разделить на 100. Имеем 800 : 100 = 8. Полученный результат нужно умножить на количество процентов. Имеем 8 • 4 = 32 кг. Итак, в 800 кг молока содержится 32 кг жира.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 4 % = 0,04. Если выполнить умножение 800 на 0,04, то получим 800 • 0,04 = 32 кг.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько килограммов жира приходится на 1 %, затем умножили это количество на соответствующий процент, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и умножили данное число на эту дробь.

Нахождение числа по его проценту

Мы уже умеем находить процент от числа. Рассмотрим задачу нахождения числа по его проценту.

Задача №26

Ученик прочитал 120 страниц, что составляет 30 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение. 1-й способ. Найдем количество страниц, приходящихся на 1 %. Для этого надо 120 разделить на 30. Имеем 120 : 30 = 4. Чтобы узнать, сколько страниц в книге, надо умножить 4 на 100 (поскольку вся книга составляет 100 %).
Итак, 4 • 100 = 400, в книге 400 страниц.

2-й способ. Этот же результат можно было получить по-другому: 30 % = 0,3, если выполнить деление 120 на 0,3, то получим 120 : 0,3 = 400 страниц.

Итак, решая первым способом, мы нашли, сколько страниц приходится на 1 %, а затем это количество умножили на 100, а решая вторым способом, выразили процент десятичной дробью и поделили данное число на эту дробь.

Среднее арифметическое. Среднее значение величины

В повседневной жизни мы часто слышим слово «средний». Например, речь может идти о средней урожайности с 1 га сельскохозяйственной культуры на некотором участке, среднем количестве осадков в некотором месяце  в России, средней зарплате рабочих некоторого предприятия, средней скорости автомобиля и тому подобное.

Задача №27

Фермер выращивал на трех участках (по 1 га каждый) пшеницу трех сортов. С первого поля собрали 34,3 ц, со второго — 39,5 ц, а с третьего — 34,8 ц пшеницы. Сколько центнеров зерна собрал фермер в среднем с 1 га?

Решение. Найдем сначала, сколько центнеров пшеницы было собрано с трех участков вместе. Имеем 34,3 + 39,5 + 34,8 = 108,6 ц. Средний урожай с 1 га показывает, сколько центнеров зерна собрано с каждого гектара, если считать, что весь урожай распределен между тремя участками поровну. Для этого надо общее количество центнеров разделить на 3. Имеем 108,6 : 3 = 36,2 ц. Итак, средний урожай с 1 га составляет 36,2 ц.

Число, найденное при делении суммы чисел на количество слагаемых, называют средним арифметическим этих чисел.

Например, средним арифметическим чисел 2,5; 3,7; 2,8 и 4,2 является число 3,3, поскольку  (2,5 + 3,7 + 2,8 + 4,2) : 4 = 3,3.
 

Задача №28

Пешеход шел 2 часа со скоростью 4,2 км/ч и 3 часа со скоростью 4,7 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен идти, чтобы преодолеть то же расстояние за то же время?

Решение. Найдем расстояние, которое прошел пешеход: 4,2 • 2 + 4,7 • 3 = 22,5 км. Разделим это значение на использованное время: 22,5 : 5 = 4,5 км/ч. Итак, пешеход должен идти с постоянной скоростью 4,5 км/ч.

Такую скорость называют средней скоростью движения. Этот же ответ можно было бы получить, если найти среднее арифметическое скоростей за каждый час движения: (4,2 + 4,2 + 4,7 + 4,7 + 4,7) : 5 = 4,5 км/ч.

Чтобы найти среднюю скорость движения, надо весь пройденный путь разделить на все затраченное время.

Аналогично можно находить среднее значение любой величины.

Задача №29

Найди среднюю температуру воздуха в 7 часов утра за 5 дней, если она в течение этих дней была

Решение.

Делимость натуральных чисел

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Делители и кратные натурального числа

15 яблок можно разделить поровну между пятью детьми, дав каждому по 3 яблока. А если разделить (не разрезая) эти самые 15 яблок между шестью детьми, то каждый ребенок получит по 2 яблока и еще 3 яблока не будут разделены.

Число 15 делится на 5 без остатка (15 : 5 = 3). Говорят, что число 5 будет делителем числа 15. Число 15 не делится на 6 без остатка (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Поэтому число 6 не будет делителем числа 15. 

Делителем натурального  числа  называют натуральное число, на которое оно делится без остатка. 

Например, делителями числа 10 будут числа 1, 2, 5 и 10, а делителями числа 17 — 1   и 17. Число 10 имеет четыре делителя, а число 17 — два делителя, число 1 имеет только один делитель — 1.

В дальнейшем вместо слов "делится без остатка" для случая, когда делимым и делителем будут натуральные числа, будем использовать слово "делится".

Любое натуральное число  делится на 1 и . Следовательно, 1 и —  делители числа , причем 1 — наименьший делитель, — наибольший.

Пример №46

Найти все делители числа 18.

Решение. Два делителя числа 18 очевидные: 1 и 18. Чтобы найти другие, будем проверять подряд все натуральные числа, начиная с 2. Получим еще  четыре делителя: 2, 3, 6 и 9. Следовательно, число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Этот поиск чисел можно сократить, если, найдя один делитель, записать  сразу и другой, который является частным от деления числа 18 на найденный делитель. Таким образом, получим пары: 1 и 18, 2 и 9, 3 и 6. Во время вычисления их удобно записывать так:

 

Пусть на столе лежат коробки, в каждой из которых находится 12 карандашей. Не  вскрывая коробки, можно взять 12 карандашей, 24 карандаша, 36 карандашей, а вот 16 карандашей взять нельзя. Говорят, что числа 12, 24, 36 кратные числу  12, а число 16 не кратное числу 12.

Кратным натуральному числу  называют натуральное число, которое делится на .

Любое натуральное число  имеет множество кратных. Например, первые  пять чисел, которые кратны числу 12, такие: 12, 24, 36, 48, 60. Наименьшим кратным натурального числа будет само это число.

Вообще, все числа, которые кратны числу  можно получить, умножив последовательно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., а именно:

         

Заметим, что слова "делится" и "кратное" заменяют друг друга. Например,  выражения "40 делится на 8" и "40 кратно числу 8" имеют один и тот же смысл.

Пример №47

Найти наименьшее и наибольшее четырехзначные числа, кратные числу 23.

Решение.

1) 1000 — наименьшее четырехзначное число. 1000  : 23 = 43 (ост. 11).  Поэтому 23 • 44 = 1012   — наименьшее четырехзначное число, которое кратное числу 23.

2) 9999— наибольшее четырехзначное число. 9999 : 23 = 434 (ост. 17). Поэтому 23 • 434 = 9982 — наибольшее четырехзначное число, которое кратно числу 23.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Припустим, что нужно узнать, делится ли число 137 146 на 5. Для этого можно выполнить деление и получим ответ на поставленный вопрос. Но ответ можно найти значительно проще, не используя деление, при помощи признаков делимости. Рассмотрим некоторые из них.

Любое натуральное число, заканчивающееся цифрой 0, делится на 10. Чтобы получить частное, достаточно в делителе откинуть эту цифру 0. Например, 2730 : 10 = 273. При делении же числа 2734 на 10 получим неполное частное 273 и остаток 4 (то есть последнюю цифру записи этого числа). Поэтому если последняя цифра в записи натурального числа отличается от нуля, тогда это число не делится на 10. Собственно, имеем признак делимости на 10: 

на 10 делятся все те натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 10.

На 5 делится только числа, которые кратны числу 5, то есть числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Последней цифрой каждого из этих чисел будет или 0, или 5. Поэтому имеем признак делимости на 5:

• на 5 делятся все те натуральные числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Если запись числа заканчивается любой другой цифрой, тогда число не делится на 5.

На 2 делятся только числа, кратные числу 2, то есть числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Запись чисел, кратных числу 2, заканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называют четными цифрами. Остальные, 1, 3, 5, 7, 9, называют нечетными цифрами. Собственно, имеем признак делимости на 2:

• на 2 делятся все те числа натуральные числа, запись которых заканчивается четной цифрой.

Если запись числа заканчивается нечетной цифрой, то число не делится на 2. 

Натуральные числа, которые делятся на 2, называют четными числами, все остальные натуральные числа—нечетные. Например, числа 86, 104, 510, 78, 1112 — четные, а 87, 113, 2001, 405, 9999 — нечетные.

Признаки делимости на 9 и 3

Запишем несколько первых чисел, кратных числу 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...

Очевидно, что число, кратное числу 9, может заканчиваться любой цифрой. Поэтому делать вывод про делимость на 9 по последней цифре записи нельзя.  

Найдем сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые делятся на 9 и сумму цифр каждого из нескольких чисел, которые не делятся на 9. Результаты подадим в виде таблицы и выясним, как связана делимость самого числа на 9 с делимостью суммы его цифр на 9.

Сформируем признак деления на 9:

• на 9 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, тогда это число не делится на 9.

Подобно этому признак делимости на 3:

• на 3 делятся все те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, тогда это число не делится на 3.

Пример №48

Выяснить, делится ли на 3 число: 1) 2571; 2) 14 021.

Решение. 1) Сумма цифр числа 2571 ровно 2 + 5 + 7 + 1=15, сумма цифр делится на 3, поэтому число 2571 делится на 3.

2) Поскольку сумма цифр числа 14 021,  равная 1 + 4 + 0 + 2 + 1=8, не делится на 3, то и число 14 021 не делится на 3.

Простые и составные числа

Число 11 делится только на 1 и на себя. Другими словами, число 11 имеет только два делителя: 1 и 11. У числа 8 четыре делителя: 1, 2, 4 и 8. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, и 18.

Такие числа, как 8 и 18, называют составными числами, а такие, как 11,— простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: сам себя. Поэтому оно не будет ни простым, ни составным.

Первыми десятью простыми числами будут 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. В лекции приведём таблицу простых чисел от 2 до 997.

Наименьшее простое число — 2, наибольшего простого числа не существует. Какое бы простое число мы бы не взяли, существует число, большее него. Простых чисел множество. Среди простых чисел только число 2 будет четным, все остальные — нечетные.

Как узнать, что данное число будет простым или составным? Если число имеет делитель, отличный от 1 и самого себя, тогда это число имеет больше двух делителей и поэтому будет составным.

Пример №49

Простым или составным будет число 10 345?

Решение. Это число будет составным, так как имеет делителем число 5, отличное от 1 и 10 345.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больший за 1. Простое число так разложить на множители нельзя. 

Разложение чисел на простые множители 

Каждое составное число можно представить в виде произведении хотя бы двух множителей, отличными от единицы. Например, 330 = 10 • 33. Если среди таких множителей будут составные числа, тогда их можно подать в виде произведении двух множителей. Например, 330 = 10 • 33 = (2 • 5) • (3 • 11) = 2 • 3 • 5 • 11. Схематически это можно подать так:

Если составное число подано в виде произведения, все множители которого будут простыми числами, тогда говорят: составное число разложили на простые множители. Например,  12 = 2 • 2 • 3;  150 = 2 • 3 • 5 • 5;  900 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5  и так далее. Разложением простого числа на простые множители будем считать именно это число.

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать признаки делимости на 2, 3 и 5. При разложении многозначных чисел на простые множители используют схему, которая подана в следующем примере.

Пример №50

Разложить на простые множители число 420.

Решение. Запишем число 420 и справа от него проведем вертикальную черту. Это число делится на 2, ибо заканчивается цифрой 0. Запишем этот делитель 2 справа от черты, а частное 420 : 2 = 210 запишем под числом 420. Далее из числом 210 выполняем тоже самое: 210 : 2 = 105. Число 105 не делится на 2, ибо заканчивается непарной цифрой. Но 105 делится на 3, либо сумма его цифр (1 + 0 + 5  = 6) делится на 3. Имеем 105 : 3 = 35.  Далее 35 : 5 = 7.  Число 7— простое, поделив его на 7, получим 1. Разложение закончено. Собственно,  столбик чисел справа от черты состоит из простых множителей, произведение которых равно 420, то есть 420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7. 

Заметим, что произведение одинаковых множителей у разложении числа на простые множители можно заменить степенью. Например,  и так далее.

Образуя все возможные произведения из найденных простых множителей по двое, по три(и так далее), получим все остальные делители числа.

Пример №51

Найти все делители числа 84.

Решение. Разложим число 84 на простые множители: 84 = 2 • 2 • 3 • 7.  

Делителями числа 84 будет 1, простые числа 2, 2, 3, 7 и все возможные их произведения:

по два:  2 • 2 = 4,  2 • 3 = 6,   2 • 7 = 14,   3 • 7 = 21;

по три:  2 • 2 • 3 = 12,   2 • 2 • 7 = 28,  2 • 3 • 7 = 42;

по четыре:  2 • 2 • 3 • 7 = 84. 

Собственно, делителями числа 84  будут 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Наибольший общий делитель

Рассмотрим задачу.

Задача №30

Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить, имея 32 конфеты "Белочка" и 24 конфеты "Чебурашка", если нужно использовать все конфеты и в каждом подарке должны быть конфеты двух видов?

Решение. Каждое из чисел 32 и 24 должно делится на количество подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа и , а потом — все делители числа  и

Общими делителями  (их подчеркнуто) чисел 32 и 24 будут 1, 2, 4, 8, а наибольшими — 8. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 32 и 24.

Собственно, можно составить 8 подарков, в каждом из которых будут 4 конфеты "Белочка" (32 : 8 = 4) и 3 конфеты "Чебурашка"  (24 : 8 = 3).

Наибольшим общим делителем нескольких натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел  и  обозначают так:  НОД Для предыдущей задачи можно записать НОД (32; 24) = 8.

В рассматриваемой задаче нашли наибольший общий делитель небольших чисел 32 и 24, записав все делители каждого из них. Также для нахождения наибольшего общего делителя (в частности, больших чисел) используют такое правило:

• наибольший общий делитель нескольких чисел равен произведению общих простых множителей этих чисел.

Пример №52

Найти НОД (630; 1470).     

Решение. Разложим числа 630 и 1470 на простые множители и подчеркнем те из них, которые будут общими в двух раскладах (а именно 2, 3, 5 и 7):

То есть, НОД (630; 1470) = 2 • 3 • 5 • 7 = 210. 

Пример №53

Найти НОД (60; 140; 220).

Решение. 

То есть, НОД (60; 140; 220) = 2 • 2 • 5 = 20. 

Имеем такое правило:

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, достаточно:

1) разложить данные числа на простые множители; 2) выписать все общие простые множители в найденных раскладах и вычислить их произведение.

Если среди данных чисел будет число, на которое делятся все другие из данных чисел, тогда это число и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Пример №54

Найти НОД (8; 64; 320).

Решение. Поскольку числа 64 и 320 делятся на 8, то НОД (8; 64; 320) = 8.

Если разложения данных чисел на простые множители не имеют общих множителей, тогда наибольшим общим делителем этих двух чисел будет число 1.

Два натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.

Например, числа 12 и 35— взаимно простые, та как 12 = 2 • 2 • 3, 35 = 5 • 7 и НОД (12; 35) = 1. Числа же 15 и 18 не будут взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.

Наименьшее общее кратное

Рассмотрим задачу.

Задача №31

Какое наименьшее целое количество метров ткани должно быть в свитке, чтобы ее можно было бы всю разрезать без остатка по 4 м или по 6 м?

Решение. Число метров в свитке должно делиться и на 4, и на 6, то есть должно быть кратным и числу 4, и числу 6.

Запишем числа, кратные числуи числа, кратные числу

Общими кратными (они подчеркнуты) чисел 4 и 6 будут числа 12, 24, 36, ..., наименьшее из которых 12. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 4 и 6. Собственно, наименьшее количество метров ткани, которое должно быть в свитке, равно 12 м. Тогда ее можно разрезать по 4 м на 3 части (12 : 4 = 3) или по 6 м на 2 части (12 : 6 = 2). 

Наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Наименьшее общее кратное двух чисел  и  обозначают НОК  Собственно, можно записать НОК (4; 6) = 12. 

В рассматриваемой задаче мы нашли наименьшее общее кратное небольших чисел. Для больших чисел этот способ будет громоздким, поэтому наименьшее общее кратное находят по другому.

Пример №55

Найти НОК (30; 36)

Решение. Разложим данные числа на простые множители 30 = 2 • 3 • 5 и 36 = 2 • 2 • 3 • 3. Наименьшее общее кратное должно делится и на 30, и на 36. Поэтому оно должно содержать все простые множители и первого, и второго числа.

Рассмотрим разложение одного из этих чисел, например 30 = 2 • 3 • 5, и выясним, каких простых множителей второго числа в этом разложении нет. Такими множителями будут 2 и 3. На самом деле, в разложении 30 = 2 • 3 • 5 будет один множитель 2 и один множитель 3, а в разложении 36 = 2 • 2 • 3 • 3 два множителя 2 и два множителя 3. Собственно, чтобы найти НОК (30; 36), нужно разложение 30 = 2 • 3 • 5 дополнить множителями 2 и 3, каких не хватает, Имеем:

НОК 

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, достаточно:

1. разложить данные числа на простые множители;
2. дополнить разложение одного из них теми множителями разложения второго числа, каких не хватает в разложении первого:
3. вычислить произведение найденных множителей.

По этому правилу можно найти наименьшее общее кратное трех и больше чисел. Тогда разложение одного из этих чисел на простые множители нужно дополнить теми простыми множителями остальных чисел, которых не хватает в его разложении, и вычислить произведение найденных множителей.

Пример №56

Найти НОК (42; 66; 90).

Решение. 42 = 2 • 3 • 7;  66 = 2 • 3 • 11;  90 = 2 • 3 • 3 • 5. 

НОК

Если одно из данных чисел делится на все другие, тогда это число и будет их наименьшим общим кратным.

Пример №57

Найти НОК (6; 9; 36).

Решение. Поскольку число 36 делится как на 6, так и на 9, тогда  НОК (6; 9; 36) = 36.

Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел будет произведение этих двух чисел. Например, НОК (5; 8) = 5 • 8 = 40. 

Обыкновенные дроби 

Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a и b — любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби.

Основное свойство дроби. Сокращение дроби.

Напомним основное свойство частного: если делимое и делитель умножить на одно и то же отличное от нуля число, то частное от этого не изменится. Поскольку обыкновенную дробь можно рассматривать как частное деления, то это свойство можно применить и к обыкновенным дробям.

На рисунке можно увидеть, что  круга равна  круга, а  круга равна  круга. Поэтому можно записать:

Рассмотрим, например, равенство У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. В самом деле, 

Далее, рассмотрим равенство У этого равенства из левой части получим правую, если числитель и знаменатель дроби поделить на 2, то есть

Получим основное свойство дроби:

значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например: 

Из равенства  следует, что дроби  и  являются разными записями одного и того же самого числа. Поскольку  то дроби  и  являются также разными записями одного числа.

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число называют сокращением дроби. При этом одну дробь заменяют на другую, которая равна данной, но по сравнению с ней имеет меньший числитель и знаменатель.

Пример 1. дробь сокращена на 2.

Пример 2. дробь сокращена на 3.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называют сокращением дроби.

Как правило, действие деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число не пишут и после знака равенства сразу пишут сокращенную дробь.

Пример 3.  или  дробь сокращена на 4.

Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь сократить нельзя. Такую дробь называют несократимой дробью. Например: 

Чтобы из данной дроби получить несократимую дробь, надо числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель. Сокращать дробь можно двумя способами.

• І способ. Постепенно деля числитель и знаменатель на их соответствующие общие делители, пока не получим несократимую дробь.
• II способ. Сразу деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

Пример №58

Сократить дробь 

Решение. І способ.  сначала сократили на 2, потом на 3.

II способ. НОД (66; 78) = 6, поэтому  числитель и знаменатель сразу сократили на 6.

Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом уже сократить.

Пример 5.  Сократим на 3 • 3 • 5 и получим 

Наименьший общий знаменатель дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Мы уже умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

Например, 

А как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Пример №59

Сравнить дроби  и 

Решение. Используем основное свойство дроби и приведем дроби  и  к общему знаменателю.

Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 4, и на 6, то есть он является общим кратным чисел 4 и 6. Таких общих кратных множество: 12, 24, 36, 48, ... И дробь , и дробь  можно привести к знаменателю 12, 24, 36, 48, ... Наименьшее общее кратное знаменателей двух дробей (в нашем случае — 12) называют наименьшим общим знаменателем.

Итак, приведем дроби  и  к знаменателю 12. Найдем для этого дополнительный множитель для каждой дроби, то есть число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить дробь со знаменателем 12. Для этого нужно новый знаменатель 12 делим на знаменатели данных дробей: 12 : 4 = 3 и 12 : 6 = 2. Дополнительным множителем для дроби  будет число 3, а для дроби  — число 2. Дополнительные множители запишем слева над соответствующими числителями и подчеркнем их косой чертой:

Данные дроби привели к наименьшему общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, достаточно:

1. найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, которое и будет наименьшим общим знаменателем;
2. найти для каждой дроби дополнительный множитель, поделив наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на его дополнительный множитель.

После приведения дробей  и  к общему знаменателю можем их сравнить. Поскольку

   и   

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить полученные дроби.

Приводить к наименьшему общему знаменателю можно не только две дроби, но и три, четыре и т. д.

Пример №60

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби ,  и .

Решение. Наименьшим общим знаменателем будет число 24, ибо это наименьшее число, которое делится на все данные знаменатели. Получим:

Если наименьший общий знаменатель найти трудно, то знаменатели надо разложить на простые множители.

Пример №61

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби  и .

Решение. 48 = 2 • 2 • 2 • 2• 3;  60 = 2 • 2 • 3 • 5.  НОК (48; 60) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 240. Тогда

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы уже умеем складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями:

 или 

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, достаточно:

1. привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю;
2. сложить (вычесть) их по правилу сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример №62

Найти сумму 

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 30. Дополнительный множитель для первой дроби 5 (30 : 6 = 5), для второй дроби 3 (30 : 10 = 3). Записываем:

Как правило, подчеркнутую часть не записывают. Тогда запись имеет вид:

Результат действия принято записывать несократимой дробью, поэтому получили  сократив дробь  на 2. 

Пример №63

Найти разность 

Решение. Наименьший общий знаменатель этих дробей 24. Краткая запись решения:

Так же можно складывать и вычитать три, четыре и более дробей. Если результатом вычисления является неправильная дробь, то обычно ее записывают в виде смешанного числа.

Пример №64

Вычислить: 

Решение (рассмотри самостоятельно).

Для сложения дробей выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения дают возможность привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и сложению их дробных частей.

Если при сложении дробных частей получаем неправильную дробь, то в этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к целой части, которая уже есть.

Пример №65

  

Как правило, промежуточные вычисления выполняют устно и решение записывают короче:

При вычитании смешанных чисел используют свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы:

и  

(если  или )

а также прием вычитания из натурального числа и правильной дроби.

Пример №66

 , или короче: 

Пример №67

  , или короче:

Пример №68

 

Рассмотрим пример, в котором дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример №69

 Приведем дробные части к общему знаменателю:  Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо от целой части уменьшаемого взять одну единицу и превратить ее в дробь с необходимым знаменателем (в нашем примере это знаменатель 18). Потом:

 ,
или короче: 

Преобразование обычных дробей в десятичные. Бесконечные периодические десятичные дроби

Мы уже умеем превращать десятичные дроби в обычные или в смешанные числа, например:

Также мы умеем превращать обычные дроби со знаменателями 10, 100, 1000, ... в десятичные, например, 

Чтобы научиться превращать обычные дроби с другими знаменателями в десятичные, необходимо упомянуть, что обычная дробь является частным от деления числителя на знаменатель. Итак,

• чтобы превратить обычную дробь в десятичную, достаточно числитель поделить на знаменатель.

Например:

Если в десятичную дробь надо преобразовать смешанное число, достаточно числитель дробной части поделить на знаменатель и к образовавшейся десятичной дроби прибавить целую часть смешанного числа.

Пример №70

Представить число  десятичной дробью.

Решение.

Поскольку 

Попробуем преобразовать дробь в десятичную.

Итак,  Видим, что деление не закончилось, то есть получили бесконечную десятичную периодическую дробь. А во всех предыдущих случаях мы получали конечные десятичные дроби. Цифры 8 и 1, которые стоят рядом в записи бесконечной десятичной дроби и повторяются множество раз подряд, образуют период бесконечной десятичной дроби. Это записывают так: (читают: "ноль целых 81 сотая в периоде"). Итак, 

Как видим, при превращении обычной дроби в десятичную могут образовываться как конечные, так и бесконечные десятичные дроби. Конечные дроби образуются лишь тогда, когда в разложении знаменателя на простые множители нет простых множителей, кроме 2 и 5. В других случаях образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, дробь  преобразуется в периодическую десятичную дробь, так как 12 = 2 • 2 • 3, то есть в разложении есть множитель 3. Убедимся:

(читают: «нуль целых 41 сотая и 6 в периоде»).

Дробь  превратится в конечную десятичную дробь, ибо 20 = 2 • 2 • 5, то есть не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Действительно,

Преобразовать обыкновенные дроби в десятичные можно и другим способом: умножить числитель и знаменатель на необходимое количество двоек или пятерок так, чтобы количество двоек в знаменателе равнялась количеству пятерок. Тогда знаменатель будет кратным числу 10. Например:

Десятичное приближение обыкновенной дроби

При преобразовании обычных дробей в десятичные можно получать бесконечные периодические дроби. Выполняя вычисления с такими дробями, удобно пользоваться их приближениями, которые получают при округлении бесконечных дробей до определенного разряда. Образуется конечная десятичная дробь, которую называют десятичным приближением обычной дроби. Число, которое образовалось после округления, тем точнее, чем больше десятичных знаков в его приближении.

Примеры:

 Десятичные приближения этой дроби таковы:

 (округлено до единиц);

 (округлено до десятых);

 (округлено до сотых);

 (округлено до тысячных).

Чтобы найти десятичное приближение обычной дроби, которое округлено до данного разряда, достаточно:

• 1) выполнить деление до следующего разряда;
• 2) найденный результат округлить.

Пример №71

Округлить до тысячных и вычислить:  .

Решение. Поскольку а   

Умножение дробей

Существует много задач, при решении которых надо умножать обычные дроби. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача №32

Длины сторон прямоугольника равны  дм и  дм. Найти его площадь.

Решение. Чтобы решить задачу, запишем стороны прямоугольника десятичными дробями. Имеем:

 и 

Преобразим найденную десятичную дробь в обычную:

Этот же результат можно найти, не превращая обычные дроби в десятичные. Как видим, числитель дроби  равен произведению числителей: 3 • 43, а знаменатель — произведению знаменателей, а именно: 10 • 100. Найденная дробь  является произведением дробей  и . Имеем:

Произведение двух обычных дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей:

Если можно, то результат надо сократить, причем числитель и знаменатель лучше сократить перед вычислением их произведений, что упростит вычисление.

Пример №72

 

Если среди множителей есть натуральное число, то его заменяют дробью со знаменателем 1.

Пример №73

  или короче:

Если среди множителей есть смешанные числа, то их надо превратить в неправильные дроби, а затем применить правило умножения дроби на дробь.

Пример №74

 

Если из двух множителей одна — обычная дробь, а вторая обозначена буквой, то букву записывают за дробью на уровне черточки дроби. Напомним, что перед буквенным множителем и перед скобками знак умножения можно не писать.

Например, запись  означает произведение  

Можно убедиться, что все изученные ранее свойства умножения (переместительное, сочетательное и распределительное) справедливы и для умножения обычных дробей, а именно: если — дроби, то:

Кроме этого, 

Пример №75

Вычислить удобным способом:

Решение. 1) Используя переместительное и сочетательное свойства, имеем:

2) Используя распределительное свойство, имеем:

3) Представим сначала в виде суммы целой и дробной частей: , а затем применим распределительное свойство умножения. Имеем:

Нахождение дроби от числа

Рассмотрим задачу, сводящуюся к нахождению дроби от числа.

Задача №33

В классе 30 учеников,  из них парни. Сколько ребят в классе?

Рис. 3

Решение. (Рис. 3).

1) (уч.) — составляет от 30 учащихся;

2) (уч.) — составляет  от 30 учеников.

Итак, в классе 12 ребят.

Решение этой задачи можно записать иначе:

Итак, количество ребят в классе можно найти, если умножить количество всех учеников (30) на дробь . При решении задачи нашли дробь  от числа 30.

Задачи на нахождение дроби от числа решаются действием умножения.

Чтобы найти дробь от числа, достаточно число умножить на эту дробь.

Задача №34

Ширина прямоугольника равна 12 см, а длина составляет ширины. Найти длину прямоугольника.

Решение. Длина прямоугольника равна

Задача №35

В книге 140 страниц. В первый день ученик прочитал 0,3 от всего количества страниц. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

Решение. Поскольку  , то для решения задачи надо умножить 140 на ,  то есть Итак, в первый день ученик прочитал 42 страницы. Тот же результат получим, если умножить 140 на 0,3:  140 • 0,3 = 42.  

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения процентов от числа.

Задача №36

Турист должен пройти 12 км. За первый час он прошел 25 % этого расстояния. Сколько километров прошел турист за первый час?

Решение. Запишем 25 % десятичной и обычной дробью: . Умножим данное число на эту дробь:  или  

Итак, за первый час турист прошел 3 км.

Взаимно обратные числа

Рассмотрим дробь  и поменяем в ней числитель и знаменатель местами. Получим дробь .

Если теперь умножить дробь  на , то получим 1:

Также получим 1 при умножении  и т. д.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Легко сделать вывод: чтобы найти дробь взаимно обратную данной обычной дроби, надо числитель и знаменатель дроби поменять местами (например,  и  — взаимно обратные числа, можно говорить иначе: обратная к ). Число, обратное натуральному числу, — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель —  это самое натуральное число (обратным к числу 13 есть число ).

Пример №76

Найти число, обратное числу:

Решение. 1) Запишем в виде неправильной дроби Обратным к числу будет 

 Обратным к числу  будет число .

Пример №77

Найти значение произведения 

Решение.

Пример №78

Решить уравнение 

Решение. Поскольку произведение чисел  и  равно 1, то  — обратное к числу   Итак, 

Деление обычных дробей

Напомним, что деление — это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей можно найти второй множитель.

Поскольку  поскольку   

Выскажем предположение: чтобы поделить число на обычную дробь, надо умножить ее на число, обратное делителю. Действительно,  и Проверим наше предположение еще и на таком примере. 

Пример №79

Найти частное 

Решение. Заменим деление умножением на число, обратное к делителю, а затем выполним проверку:

Проверка. 

Частным двух дробей является дробь, равная произведению делимого на дробь, обратную делителю:

Рассмотрим еще один пример.

Пример №80

 .

Если среди данных есть смешанные числа, то их надо преобразовать в неправильные дроби и только после этого выполнить деление.

Пример №81

 

Если среди данных есть натуральные числа, то их записывают в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №82

 

Пример №83

 

Поскольку любое число, кроме нуля, имеет обратное число, то деление выполняем без ограничений, кроме деления на ноль. На ноль делить нельзя!

Нахождение числа по его дроби

Рассмотрим задачу, которая сводится к нахождению числа по его дроби.

Задача №37

Сергей прочитал 120 страниц. Это составляет  книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. Условие задачи изображено на рисунке 4.

Рис. 4

1) 120 : 3 = 40 (с.) — приходится на  книги;

2) 40 • 5 = 200 (с.) — всего 120 страниц.

Итак, в книге 200 страниц. Решение этой задачи можно записать иначе:

Итак, количество страниц в книге можно найти, если поделить число 120 на дробь .

В задаче известно, что  книги — это 120 страниц, а надо найти общее количество страниц. То есть известно, сколько составляет дробь от числа, а надо найти само число. Итак, имеем задачу на нахождение числа по его дроби. Решают ее действием деления.

Чтобы найти число по его дроби, достаточно на эту дробь поделить число, которое ему соответствует.

Задача №38

За первый час велосипедист проехал 16,8 км, что составляет   расстояния от деревни до города. Какое расстояние от деревни до города?

Решение. Расстояние от деревни до города равно

Задача №39

Рожью засеяно 1800 га, что составляет 0,9 поля. Найти площадь всего поля.

Решение. Поскольку , то для решения задачи надо поделить 1800 на . Получим: 

Итак, площадь всего поля 2000 га. Если 1800 поделить на 0,9, получим тот же результат: 

Рассмотрим, как можно применить это правило для нахождения числа по его процентам.

Задача №40

В школьной математической олимпиаде приняли участие 12 учащихся 6-го класса, что составляет 40 % всех учеников класса. Сколько учеников в классе?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такое число, 40 % которого равны 12. Запишем 40 % десятичной дробью и обычной дробью:

Поделим на эту дробь число, которое ей соответствует:

 или 

Итак, в классе 30 учеников.

Отношение и пропорции

Соотношение в математике (отношение, пропорция) — это взаимосвязь между двумя числами одного рода (предметами, действиями, явлениями, свойствами (признаками), понятиями, объектами, например, людьми (студентами), чайными ложками, единицами чего-либо одинаковой размерности), обычно выражаемое как «a к b» или a : b.

Отношение и основное свойство отношения

Рассмотрим задачу.

Задача №41

Длина дороги между селами равна 10 км. Заасфальтировано 8 км этой дороги. Во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части? Какая часть дороги заасфальтирована?

Решение. 1) Чтобы найти, во сколько раз длина всей дороги больше ее заасфальтированной части, надо 10 разделить на 8, то есть 

Следовательно, длина всей дороги в 1,25 раза больше ее заасфальтированной части.

2) Поскольку длина дороги 10 км, то 1 км составляет дороги, а потому 8 км составляют дороги, или (после сокращения ) дороги. Тот же результат получили бы, поделив 8 на 10.

При решении задачи мы нашли частные двух чисел. Такие частные называют отношением двух чисел.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Если две величины измеряются одной и той же единицей, то отношение их числовых значений называют отношением этих величин (отношение длин, отношение масс, соотношение площадей и тому подобное). Например, отношение 3 кг к 8 кг равно . Чтобы найти отношение 1 ч к 25 мин., необходимо представить 1 ч в минутах: 1 ч = 60 мин.; тогда искомое отношение равно

Поскольку отношение двух чисел можно записать дробью, а значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то

отношение двух чисел не изменится, если каждое из чисел отношения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Имеем основное свойство отношения.

Пример 1. 20 : 16 = 5 : 4 (разделили каждое из чисел отношения на 4).

Пример 2. Заменить отношение отношением натуральных чисел. 

І способ. 

ІІ способ. 

Для дроби  обратной есть дробь . Поэтому для отношения (или дроби ) отношение  (или дробь ) называют обратным. Например, для отношения  обратным является отношение , а для отношения 19 : 12 обратным является отношение 12 : 19.

Пропорция. Основное свойство пропорции

Отношения 12 : 3 и 20 : 5 равны, поскольку их значения равны 4. Поэтому можно записать равенство

12 : 3 = 20 : 5 или 

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, что означает «соразмерность», то есть определенное отношение частей между собой. С помощью букв пропорцию записывают так:

 или .

Эти пропорции можно прочитать так: «, разделенное на , равно , разделенному на », или: «отношение  к равно отношению к », или: « относится к , как относится к ».

В пропорции  или ,   и  называют крайними членами пропорции, а  и  — средними членами пропорции:

средние члены

крайние члены

В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля: 

Рассмотрим пропорцию . Используем основное свойство дроби: умножим числитель и знаменатель дроби на , а числитель и знаменатель дроби  на . Имеем: 

Полученные дроби являются равными, они имеют равные знаменатели, поэтому равными будут и их числители: .

Заметим, что  — это произведение крайних членов, а  — произведение средних членов пропорции. Пришли к основному свойству пропорции:

в пропорции   произведение крайних ее членов равно произведению средних:

 

Пример №84

Проверить, является ли равенство  пропорцией.

Решение. І способ (по определению пропорции). Поскольку 1,8 : 2 = 0,9 и 4,5 : 5 = 0,9, то равенство является пропорцией. 

ІІ способ (по основному свойству пропорции). Поскольку 1,8 • 5 = 9 и 2 • 4,5 = 9, то равенство является пропорцией. 

Пример №85

Проверить, можно ли из отношений  и  составить пропорцию.

Решение. Поскольку 7 • 4 = 28, 2 • 13 = 26, а , то составить пропорцию из данных отношений нельзя.

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример №86

Найти из пропорции 

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем: 

Пример №87

Решить уравнение 

Решение. Используя основное свойство пропорции, имеем:  

Рассмотрим пропорцию , откуда  4 • 12 = 8 • 6.

Последнее равенство можно получить, очевидно, и из таких пропорций: 

 (поменяли местами средние члены заданной пропорции);

 (поменяли местами крайние члены заданной пропорции);

 (поменяли местами средние и крайние члены заданной пропорции).

Отсюда следует, что средние члены или (и) крайние члены пропорции можно менять местами.

Прямая пропорциональная зависимость

Пусть 1 кг товара стоит 8 руб. Определим стоимость, например, 2 кг, 4 кг, 5 кг, 0,5 кг, 10 кг этого товара: 

Количество товара, кг	1	2	4	5	0,5	10
Стоимость товара, руб.	8	16	32	40	4	80

Каждый раз имеем разную стоимость товара, она зависит от количества приобретенного товара, а отношение стоимости товара к его количеству является числом постоянным. Оно равно стоимости 1 кг этого товара (в рублях), то есть 8:

Две величины, отношение соответствующих значений которых является постоянным, называют прямо пропорциональными.

Из соответствующих значений прямо пропорциональных величин можно составить пропорцию, например . Прямо пропорциональными величинами являются: стоимость товара и его количество; путь, пройденный телом с постоянной скоростью, и время; периметр квадрата и длина его стороны и тому подобное.

Поскольку 1 кг товара стоит 8 руб., а 2 кг стоят 16 руб., то замечаем, что вдвое большему количеству товара соответствует вдвое большая его стоимость. Поэтому прямо пропорциональные величины имеют следующее свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из прямо пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Задачи на прямо пропорциональные величины можно решать с помощью пропорции.

Задача №42

За 2,5 ч автомобиль проехал 170 км. Какое расстояние проедет автомобиль за 3,5 ч, если скорость его движения является постоянной?

Решение. Пусть за 3,5 ч автомобиль проехал км. Запишем условие задачи схематически:

2,5 ч — 170 км;

3,5 ч —  км.

Эту схему будем понимать так: 2,5 ч соответствуют 170 км, а 3,5 ч соответствуют км. Расстояние, которое проехал автомобиль с постоянной скоростью, и время являются величинами прямо пропорциональными: с увеличением в определенное количество раз времени движения в столько же раз увеличится расстояние, которое проехал автомобиль. Поэтому можно записать пропорцию:

Имеем: 

Ответ. 238 км.

Масштаб и нахождение расстояний на карте

Предположим, что нам необходимо рассмотреть карту (или план) некоторой местности (или здания или предмета). На карте (рис. 5) все размеры уменьшены в одно и то же количество раз. Во сколько раз на самом деле размеры больше, чем на карте, показывает масштаб карты.

На рисунке 5 карта выполнена в масштабе 1 : 100 000. Это означает, что все размеры на самом деле в 100 000 раз больше, чем соответствующие размеры на карте. Например, если на карте расстояние между селами Калиновка и Яблоневое равно 4 см, то на самом деле это расстояние составляет 4 • 100 000 = 400000 см,то есть 4000 м или 4 км. 

Рис. 5

Отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (или плана).

Следовательно, масштаб записывается как частное (например,  1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1000 000), делимым которого является единица, а делитель показывает, во сколько раз реальные размеры больше, чем размеры на карте (или плане). Так, масштаб  1 : 2000 означает, что одному сантиметру на плане отвечает 2000 см, то есть 20 м на местности.

Задачи, связанные с масштабом, решают не только в математике, но и в географии, геодезии и т. д. Эти задачи можно решить на основе определения масштаба.

Пример №88

Известно, что 100 м — это 1 см на карте. Какой масштаб этой карты?

Решение. 100 м = 10 000 см. Поэтому масштаб  1 : 10 000.

Пример №89

Масштаб карты 1 : 100 000. Между селами Вишневое и Яблоневое расстояние 6 км. Какое расстояние между изображениями этих деревень на карте?

Решение. Поскольку 100 000 см = 1 км, то 1 км — это 1 см на карте, поэтому расстояние 6 км — 6 см на карте (рис. 5).

Пример №90

Расстояние между двумя городами 400 км, а на карте этому расстоянию соответствует расстояние 10 см. Какой масштаб этой карты?

Решение. Одному сантиметру на карте отвечает 400 : 10 = 40 км, то есть 4 000 000 см. Поэтому масштаб карты 1 : 4 000 000.

Поскольку отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности является числом постоянным, то эти величины — прямо пропорциональны. Поэтому задачи, связанные с масштабом, можно также решать с помощью пропорции.

Задача №43

Расстояние между двумя городами на местности — равняет 280 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1 : 4 000 000?

Решение. Поскольку масштаб карты 1 : 4 000 000, то 1 см на карте — это 4 000 000 см = 40 000 м = 40 км местности. Пусть расстояние между городами на карте равно см. Запишем данные задачи схематически:

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте. Имеем пропорцию: 

 отсюда 

Ответ. 7 см.

Деление числа в данном отношении

Рассмотрим задачи, в которых требуется поделить число или значение величины в данном отношении, то есть на части, пропорциональные некоторым числам. Такие задачи называют задачами на деление числа в данном отношении или задачами на пропорциональное деление.

Задача №44

Сплав массой 30 кг состоит из железа и меди, которые взяты в отношении  3 : 2. Сколько в сплаве железа и сколько меди?

Решение. І способ. (Рис. 8). Массы железа и меди относятся как 3 : 2, то есть в сплав входит 3 части железа и 2 части меди. Всего имеем 3 + 2 = 5 (частей). Поскольку пяти частям соответствует 30 кг, то на одну часть припадает 30 : 5 = 6 (кг). Тогда железа в сплаве  6 • 3 = 18 (кг), а меди 6 • 2 = 12 (кг).

Рис. 8

ІІ способ. (Рис. 9).  Обозначим массу одной части буквою . Поскольку железа взято три части, то его в сплаве , а меди взято две части, поэтому ее в сплаве .

По условию имеем уравнение . Тогда . Итак, — масса одной части, то есть 6 • 3 = 18 (кг) — взято железа, 6 • 2 = 12 (кг) — меди.

Ответ. 18 кг железа и 12 кг меди.

Часто число или значение величины необходимо поделить на три и более частей. Так, например, если число надо поделить на три части, пропорционально числам 2, 3 и 4, то говорят, что число надо поделить в отношении 2 : 3 : 4; если отрезок надо поделить пропорционально числам 3, 7, 5 и 1, то говорят, что отрезок надо поделить в отношении 3 : 7 : 5 : 1.

Задача №45

Между мамой, папой и их сыном поделили яблоки в отношении 2 : 1 : 3. Сколько яблок получила мама и сколько папа, если сын получил 12 яблок?

Решение. Поскольку трем частям соответствуют 12 яблок, то на одну часть приходится 12 : 3 = 4 (яблока). Итак, папа получил 4 яблока, а мама — 4 • 2 = 8 (яблок).

Ответ. 4 яблока — папа, 8 яблок — мама.

Вероятность случайного события

Мы часто говорим: "это возможно", "это невозможно", "это маловероятно", "это весьма вероятно", "это обязательно произойдет", "этого никогда не будет". Все эти утверждения чаще всего употребляют, когда речь идет о возможности осуществление определенных событий.

О событиях "после 9 декабря наступит 10 декабря" и "после нагрева воды до 100°С она будет кипеть" можно сказать, что они произойдут закономерно. События "при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков", " при подбрасывании монеты выпадет герб", " в почтовый ящик придет 2 письма" могут состояться, а могут и не состояться. Такие события называют случайными.

Случайное событие — событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может не произойти.

Пример:

В ящике находятся всего 5 белых и 5 черных шариков. Из него наугад вынимают один шарик. Какие из событий , , , при этом могут произойти:

— вынут белый шарик; — вынут черный шарик; — вынут зеленый шарик; — вынут шарик?

Поскольку из ящика можно вынуть лишь то, что в нем находится, то вынуть белый или черный шарик можно, а зеленый — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который наугад вынимают из ящика, будет шариком, потому что там, кроме шариков, ничего нет. Итак, в вышеприведенном примере события и могут произойти, событие не может произойти, а событие обязательно произойдет.

Событие, которое при данных условиях обязательно произойдет, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях не может произойти, называют невозможным.

В рассмотренном примере: событие — вероятное, а событие — невозможное.

Если все шарики в рассмотренном примере одинаковы, то вероятность вынуть любой из них такая же, как и вероятность вынуть другой. Такие ситуации будем рассматривать и в дальнейшем.

Поскольку в ящике одинаковое количество белых и черных шариков, то имеем равные шансы наугад вытащить белый или черный шарик. Никаких других шариков в ящике нет, поэтому если вытаскивать шарики большое количество раз, после каждого из которых возвращать шарик в ящик, то можно сказать, что примерно в половине случаев будет извлечен белый шарик и в половине случаев — черный.

Число 0,5 (половина) — это вероятность случайного события "вынут белый шарик". Вероятность события A обозначают P(A) или p(A) (первая буква французского слова probabilite, что переводится как возможность, вероятность). Итак, можно записать: P(A) = 0,5 или p(A) = 0,5 (читают: «вероятность события A равна 0,5»). Если в задаче рассматривают только одно событие, то его вероятность можно обозначать P или p.

Эту вероятность можно получить, если количество белых шариков, то есть 5, поделить на количество всех шариков, то есть 10. Имеем  Можно сформулировать определение вероятности:

вероятностью случайного события A называют отношение количества случаев, способствующих появлению события A, к количеству всех возможных случаев.

Это можно записать формулой так:

,

где m — количество случаев, способствующие появлению события A, а n — количество всех возможных случаев.

Рассмотренное определение еще принято называть классическим определением вероятности.

Иногда вероятность выражают в процентах, тогда в приведенном примере  

Задача №46

В лотерее 100 билетов, из них 7 — выигрышные. Найди вероятность выигрыша (событие A); проигрыша (событие B) при покупке одного билета. 

Решение. 1) 2) Невыигрышных билетов: 100 — 7 = 93. Поэтому вероятность проигрыша  

Задача №47

Из коробки, в которой находятся только 6 красных карандашей, наугад вытаскивают карандаш. Найди вероятность таких событий:

A — вытянут красный карандаш;

B — вытянут синий карандаш.

Решение. Событие A является вероятным в данных условиях, поскольку в коробке только красные карандаши. Найдем его вероятность:  Событие B в данных условиях невозможно, так как в коробке нет синих карандашей (их количество равно нуль). Найдем вероятность событие B:

Приходим к выводу, что вероятность вероятного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.

Обратная пропорциональная зависимость

Пусть площадь прямоугольника равна 36 см², а длина и ширина прямоугольника являются натуральными числами. Некоторые из возможных значений длины и ширины  даны в таблице.

, см	36	18	12	9	6
, см	1	2	3	4	6

Каждый раз имеем разные значения длины и ширины прямоугольника, однако произведение этих значений является постоянным числом. Оно равно площади прямоугольника (в см²), то есть числу 36:

36 • 1 = 18 • 2 = 12 • 3 = 9 • 4 = 6 • 6 = 36.

Две величины, произведение соответствующих значений которых являются постоянными, называют обратно пропорциональными.

Заметим, что из соответствующих значений одной из двух обратно пропорциональных величин и значения, обратного второй величине, можно составить пропорцию. Действительно, выходя, например, из условия 12 • 3 = 9 • 4, можно составить пропорцию . Этим и объясняется название обратно пропорциональных величин. 

Обратно пропорциональными величинами являются длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника; скорость тела и время при постоянном пути; количество работников и время выполнения работы, если объем работы является постоянным, и тому подобное.

Рассмотрим два значения длины прямоугольника   и  и соответствующие им значения ширины  и . Вдвое большему значению длины прямоугольника соответствует вдвое меньшее значение его ширины. Можно сделать вывод о том, что обратно пропорциональные величины имеют такое свойство:

с увеличением (уменьшением) значения одной из обратно пропорциональных величин в несколько раз значение второй величины уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Отсюда можно сделать вывод, что если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равняется обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Действительно, в рассмотренном выше примере отношение значений  и  равно обратному отношению соответствующих значений  и :

Итак, задачи, связанные с обратной пропорциональной зависимостью, как и задачи, связанные с прямой пропорциональной зависимостью, можно решать с помощью пропорции.

Задача №48

10 рабочих выполняют определенную работу за 12 часов. Сколько времени понадобится для выполнения такой работы шести рабочим, если производительность труда всех рабочих одинаковая?

Решение. Число рабочих и время выполнения данной работы являются величинами обратно пропорциональными (при одинаковой производительности труда всех рабочих).

Пусть 6 рабочих выполняют работу за ч. Запишем условие задачи схематически:

10 раб – 12 ч
6 раб –  ч

Величины в задаче обратно (а не прямо) пропорциональны, при составлении соответствующего уравнения 12 и надо поменять местами. Итак, имеем уравнение

Отсюда  (ч).

Ответ. 20 ч.

Не любые две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, масса ребенка увеличивается при увеличении его возраста. Но эти величины не являются пропорциональными, поскольку при увеличении вдвое возраста ребенка его масса вдвое не увеличивается.

Процентное отношение двух чисел. Изменение величины в процентах

Мы знаем два вида задач на проценты: нахождение процентов от числа и нахождения числа по его процентам. Рассмотрим еще задачи, в которых надо найти, сколько процентов составляет одно число от другого, то есть процентное отношение двух чисел.

Мы умеем находить отношение двух чисел или величин. Например, отношение числа 8 к числу 16 равно  а отношение 9 кг к 5 кг равно  Поскольку отношение чисел или величин является дробью, его можно выразить в процентах, а именно: 

Говорят, что число 8 составляет 50 % числа 16, а 9 кг составляет 180 % от 5 кг.

• Чтобы найти процентное отношение двух чисел, достаточно найти отношение этих чисел и умножить его на 100 %.
• Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, достаточно первое число поделить на второе и найденное частное умножить на 100 %.

Задача №49

В классе 30 учеников, из них 27 посетили театр. Сколько процентов от учеников класса посетили театр?

Решение. 

Изменение величины часто характеризуют с помощью процентов. Рассмотрим две задачи экономического содержания.

Задача №50

До снижению цен MP3-плеер стоил 400 руб., а после снижения стал стоить 360 руб. На сколько процентов снизилась цена МРЗ-плеера?

Решение. Найдем сначала, на сколько руб. уменьшилась цена MP3—плеера: 400 — 360 = 40 (руб.). Определим, сколько процентов эта разница составляет от начальной цены МР3-плеера:

Итак, цена MP3-плеера снизилась на 10 %.

Задача №51

Вкладчик положил в банк 800 руб., а через год забрал 944 руб. Сколько процентов годовых начисляет банк?

Решение. Прибыль равна 944 — 800 = 144 (руб.). Найдем, сколько процентов это составляет от вклада:  Итак, банк начисляет 18 % годовых.

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась определенная величина, достаточно найти:

• 1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
• 2) сколько процентов составляет найденная разность от начального значения величины.

Процентные расчеты

Напомним, что проценты можно записывать в виде десятичных дробей:

или в виде обычных дробей: 

Вспомним, как решается каждая из трех типов задач на проценты.

Задача №52 (нахождение процентов от числа).

Вкладчик положил в банк 2500 руб. Банк начисляет 12 % годовых. Какую прибыль будет иметь вкладчик через год?

Решение. І способ.

1) 2500 : 100 = 25 (руб.) — это 1 %;

2) 25 • 12 = 300 (руб.) — прибыль вкладчика.

II способ. Поскольку 12 % = 0,12, то прибыль вкладчика можно найти как дробь от числа:  2500 • 0,12 = 300 (руб.). 

Задача №53 (нахождение числа по его процентам).

Ученик прочитал 63 страницы, что составляет 35% объема книжки. Сколько страниц в книжке?

Решение. І способ.

1) 63 : 35 = 1,8 (с.) — это 1 %;

2) 1,8 • 100 = 180 (с.) — в книжке.

II способ. 35 % = 0,35, то количество страниц можно найти как число по его дроби: 63 : 0,35 = 180 (с.).

Задача №54 (процентное отношение двух чисел).

Расстояние между городами равно 65 км. Велосипедист преодолел 39 км этого расстояния. Сколько процентов расстояния между городами проехал велосипедист?

Решение.

Рассмотрим более сложные задачи.

Задача №55

Первый мусоровоз вывез 32 % мусора, второй — 35 %, а третий — остальные 2,64 т. Сколько тонн мусора вывез первый мусоровоз и сколько второй?

Решение. Поскольку весь объем вывезенного мусора составляет 100 %, то  100 % — (32 % + 35 %) = 33 % — вывез третий мусоровоз, что составляет 2,64 т. Поэтому общий объем вывезенного мусора найдем как число по его дроби, то есть действием деления: 2,64 : 0,33 = 8 (т). Итак, первый мусоровоз вывез 8 • 0,32 = 2,56 (т),  а второй 8 • 0,35 = 2,8 (т). 

Задача №56

Масса двух арбузов вместе 27 кг, причем масса второго составляет 80 % от массы первого. Найти массу каждого из арбузов.

Решение. Пусть масса первого арбуза кг, тогда масса второго —  По условию задачи:

Решим это уравнение:

Итак, масса первого арбуза 15 кг.

0,8 • 15 = 12 (кг) — масса второго.

Окружность и длина окружности

Очень давно люди изобрели колесо и увидели его полезные в быту свойства. Геометрическими фигурами, которые дают представление о колесе, есть окружность и круг.

На рисунке 15 изображен чертежный инструмент — циркуль. На одной его ножке —острие, а на второй — грифель. Если поставить ножку с острием на бумагу в точку , то вторая ножка (с грифелем) во время вращения опишет окружность. Точку называют центром окружности. Все точки окружности лежат в одной плоскости и на одинаковом расстоянии от центра .

Это расстояние называют радиусом окружности. Например, на рисунке 16 это отрезок , соединяющий центр окружности — точку — с произвольной точкой этой окружности. Радиус окружности принято обозначать буквой . Отрезок , который соединяет две точки окружности и проходит через его центр (рис. 17), называют диаметром круга. Диаметр круга принято обозначать буквой . Он состоит из двух радиусов: и . Поэтому диаметр окружности вдвое больше радиуса:

                               Рис. 15                               Рис. 16                                Рис. 17 

Возьмем консервную банку (круглый стакан и т. д.), поставим ее на лист бумаги и обведем карандашом (рис. 18). На листе получим окружность. Если взять нить и обвить ею банку, а затем выпрямить эту нить, то длина нитки будет примерно равняться длине нарисованной окружности (рис. 19). 

                     Рис. 18                                                       Рис. 19

Измерим диаметр окружности и найдем отношение длины окружности к ее диаметру. Если замеры сделаны достаточно тщательно, то окажется, что это отношение чуточку больше 3.

Для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Это число обозначают греческой буквой  (читается: "пи"), его записывают бесконечной десятичной дробью: 

В дальнейшем для удобства вычислений будем использовать приближенное значение п: , или .

Если длину окружности обозначить буквой , то 

Отсюда

Длина окружности равна произведению числа на диаметр окружности.

Поскольку , то формулу для вычисления длины окружности можно записать и так: 

Задача №57

Найти длину окружности, радиус которой 3 см.

Решение.

Задача №58

Найти диаметр окружности, длина которой составляет 44 дм.

Решение. , поэтому  

Целесообразно взять . Имеем 

Круг. Площадь круга. Круговой сектор

Круг делит плоскость на две части. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с окружностью образуют круг (рис. 24). Центр, радиус и диаметр окружности одновременно являются центром, радиусом и диаметром круга. Расстояние от центра к любой точке круга не превышает радиуса круга.

Рис. 24 

Как найти площадь круга? В старших классах будет доказано, что 

площадь круга равна произведению числа  на квадрат радиуса: 

где  — радиус круга.

Задача №59

Найти площадь круга, радиус которого равен 2,5 см.

Решение.

Проведем два радиуса и круга (рис. 25). Они разбивают круг на две части, каждую из которых называют круговым сектором. Неокрашенному сектору соответствует угол , который меньше развернутого угла. Угол закрашенного сектора больше развернутого угла, поэтому его градусная мера больше 180°.

                                      Рис. 25                                                                    Рис. 26                  

На рисунке 26 диаметр AB разбивает круг на два полукруга. Угол каждого из них равен 180°. Сумма этих углов образует полный угол. Поскольку 180° + 180° = 360°, то приходим к выводу, что

градусная мера полного угла равна 360°.

Задача №60

Угол неокрашенного сектора на рисунке 25 равен 100°. Найти угол закрашенного сектора.

Решение. Для нахождения угла закрашенного сектора вычтем от меры полного угла меру угла неокрашенного сектора: 360° — 100° = 260°. Итак, искомый угол равен 260°.

Задача №61

Машенька нарисовала окружность, радиус которой равен 6 см. Затем она закрасила сектор круга, ограниченного этой окружностью, угол которого равен 90°. Найти площадь закрашенного сектора.

Решение. Поскольку 360° : 90° = 4, то 90° — это полного угла 360°. Поэтому Машенька закрасила круга.

Площадь круга

Площадь закрашенного сектора: 113,04 : 4 = 28,26 (см²). 

Столбчатые и круговые диаграммы

Графическая информация является достаточно наглядной и запоминается лучше, чем слова и цифры.

Диаграмма — это одно из графических средств изображения соотношения между величинами, которые сравнивают.

Рассмотрим пример построения столбчатой диаграммы.

Пример №91

Максимальная масса животных: ламы — 110 кг, оленя — 230 кг, тигра — 320 кг. Построим столбчатую диаграмму по этим данным: изобразим массы животных с помощью столбиков. Ширину этих столбиков выбираем одинаковую (например, 7 мм), а их высоты должны соответствовать массе каждого из животных. Чтобы изобразить 10 кг возьмем 1 мм. Тогда высота столба, изображающего массу ламы, будет 110 : 10 = 11 (мм), оленя — 230: 10 = 23 (мм) , тигра — 320 : 10 = 32 (мм). Получили столбчатую диаграмму (рис. 35).

Рис. 35

Иногда соотношение между величинами удобно изображать с помощью круговых диаграмм.

Пример №92

В течение недели библиотеку посетили 27 шестиклассников: 9 — из 6-А класса, 12 — из 6-Б и 6 — из 6-В.

Найдем, какую часть от количества всех шестиклассников,  посетивших библиотеку, составляет количество учеников из каждого класса: (для 6-А),  ( для 6-Б), (для 6-B).

Пусть количество всех шестиклассников, посетивших библиотеку, изображено в виде круга. Разделим этот круг на секторы, соответствующие дробям  Поскольку полный угол составляет 360°, то количество учеников 6-А класса, которые посетили библиотеку, будет изображено сектором, угол которого равен , 6-Б класса — сектором, угол которого равен , а 6-В — сектором, угол которого равен .

Строим круговую диаграмму (рис. 36).

Рис. 36

Диаграммы используют для наглядного изображения и анализа данных во многих науках: истории, географии, биологии и т. д.

В старших классах на уроках информатики будут рассматриваться различные способы построения диаграмм с использованием программных средств.

Цилиндр. Конус. Шар

Формы предметов, которые нас окружают, довольно разнообразны. Среди них встречаются предметы, имеющие форму цилиндра, конуса и шара (рис. 43).

              

Цилиндр          Конус               Шар                                   Рис. 44

                            Рис. 43 

Такие предметы, как стакан, колода, консервная банка, имеют форму цилиндра (рис. 44).

Слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции и переводится как «валик». Колонны многих зданий, построенных в те времена, имели форму цилиндра (рис. 45).

                                         Рис. 45                                                        Рис. 46 

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности (рис. 46). Основания цилиндра – равные между собой круги. На рисунке эти круги изображают в виде эллипсов (овалов). Радиусы этих кругов называют радиусами оснований цилиндра (или просто радиусами цилиндра). Отрезок, который соединяет центры оснований и образует с любым радиусом угол 90°, называют высотой цилиндра.

О предметах, изображенных на рисунке 47, говорят, что они имеют форму конуса. Слово «конус» переводится с древнегреческого как «шишка» или «верхушка шлема». Конус в определенной степени похож на пирамиду. У конуса также, как и у пирамиды, есть вершина и основание. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности (рис. 48). Если основанием пирамиды является многоугольник, то основанием конуса является круг. Радиус этого круга называют радиусом основания конуса (или радиусом конуса).

Рис. 47                                                      Рис. 48  

Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания и образующий с любым радиусом угол 90°, называют высотой конуса.

Такие предметы, как мяч, шарик, арбуз, глобус имеют форму шара (рис. 49). Поверхность шара называют сферой. Форму, близкую к форме шара, имеют Земля, Луна, Солнце и тому подобное.

                                         Рис. 49                                                    Рис. 50 

У шара (сферы), так же как и у круга (окружности), есть центр, радиус и диаметр.

Радиус шара (сферы), как и радиус круга (окружности), принято обозначать буквой r, а диаметр – буквой d. Понятно, что диаметр шара (сферы) вдвое больше радиуса шара (сферы):  d = 2r

Рациональные числа и действия над ними

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде ,  где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Положительные и отрицательные числа. Число 0

Из сообщений о погоде можно узнать, что температура воздуха была —5 градусов по Цельсию (или сокращенно: —5°C). На географической карте можно увидеть отметку —2210 (в метрах) для глубины Черного моря. Числа со знаком «минус» нужны в тех случаях, когда изменение величины может произойти в двух противоположных направлениях (повыситься или понизиться) относительно некоторой начальной, нулевой отметки.

Рассмотрим примеры.

Пример №93

При измерении температуры за начальную отметку принимают температуру замерзания воды (или таяния льда). Эту отметку обозначают числом 0, а температуру измеряют в градусах.

Термометр, размещенный на рисунке 59 слева, показывает 3 выше нуля, то есть 3°С тепла. Поэтому температуру записывают со знаком «+», а именно +3°С (читают: «плюс три градуса по Цельсию»). Термометр, размещен на рисунке 59 справа, показывает 2 градуса ниже нуля, то есть 2°С мороза. Такую температуру записывают со знаком «—», а именно —2°C (читают: «минус два градуса по Цельсию»).

Рис. 59

Пример №94

Чтобы задать положение некоторого места земной поверхности, за начальную отметку принимают уровень моря. Его обозначают числом 0.

Вершина самой высокой горы  лежит на высоте 2061 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы Роман—Кош — на 1545 м выше уровня моря, вершина самой высокой горы равнинной части Берди — на 515 м выше уровня моря. Самое глубокое место Балтийского моря — на 470 м ниже уровня моря, Каспийского моря — на 1025 м ниже уровня моря, Черного моря — на 2210 м ниже уровня моря (рис. 60).

Рис. 60

Положение некоторой точки, расположенной ниже уровня моря, обозначают числами со знаком «—», а положения некоторой точки, расположенной выше уровня моря, со знаком «+». Итак, можно сказать, что высота горы Говерла равна +2061 м, а глубина Черного моря в самом глубоком месте равна —2210 м.

Числа со знаком «—», например  называют отрицательными числами. Числа со знаком «+», например называют положительными числами. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

В записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут, например, вместо +6 записывают 6. Итак, числа +6 и 6 не отличаются друг от друга: +6 = 6. Так же и т. д.

Координатная прямая

Положительные и отрицательные числа и число 0 можно изобразить точками на прямой. Для этого начертим горизонтальную прямую и обозначим на ней точку О — начало отсчета (рис. 62). Точка О  делит прямую на два луча. Положительные числа принято обозначать справа от точки О , а отрицательные — слева. Именно поэтому направление справа от точки отсчета называют положительным направлением, а направление слева — отрицательным направлением. Положительное направление обозначают стрелкой.

Рис. 62

Выберем на положительном направлении единичный отрезок. Теперь на этой прямой обозначим числа (или точки, соответствующие этим числам). Чтобы обозначить, например, число 3, надо от точки О  отложить три единичных отрезка вправо. Чтобы обозначить число —4, надо от точки О  отложить четыре единичных отрезка влево.

Прямую с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и указанным положительным направлением называют координатной прямой.

Число, которому соответствует определенная точка на координатной прямой, называют координатой этой точки. На рисунке 62 точка M имеет координату 3, а точка K имеет координату —4. Это записывают так: M (3) (читают: «точка M с координатой 3») и K (–4) (читают: «точка K с координатой —4»).

Пример №95

Записать координаты точек A, B, C, D, E, K, изображенные на рисунке 63.

Рис. 63

Решение. 

Если координата точки известна, то эту точку можно обозначить на координатной прямой.

Пример №96

Начертить координатную прямую, взяв за единичный отрезок четыре клеточки. Обозначить точки:

Решение. (Рис. 64.)

Рис. 64

Пример №97

Начертить координатную прямую, обозначить на ней точку L (—1). Отметить на этой прямой точки, удаленные от точки L на 3 единицы.

Решение. Точка, удаленная от точки L (—1) на 3 единицы и размещенная справа от нее, имеет координату 2: M (2), а точка, удаленная на 3 единицы и размещенная слева от L (—1) , имеет координату —4: N (–4) (рис. 65).

Рис. 65

Противоположные числа. Целые числа. Рациональные числа

Точки A и B с соответствующими координатами 2 и —2 одинаково удалены от начала отсчета — точки O и находятся по разные стороны от нее (рис. 71). Чтобы попасть из точки O в точки A (2) и B (–2), надо отложить одинаковые расстояния,  равные двум единичным отрезкам, но в противоположных направлениях. Числа 2 и —2 называют противоположными числами.

Рис. 71

Два числа, отличающиеся друг от друга лишь знаками, называют противоположными числами.

Число 2 противоположно числу —2 и, наоборот, число —2 противоположно числу 2. Противоположными являются также числа —3 и 3; 4,7 и —4,7;  и ;  и  и т. д. 

Число 0 считают противоположным самому себе.

Число, противоположное числу , обозначают . Например, если если  (ибо число, противоположное числу —8,5, равно 8,5). Так же — (—5) = 5, —(—7) = 7, —0 = 0, вообще . Если  — число положительное, то  — число отрицательное, а если  — отрицательное число ,то  — число положительное.

Пример №98

Найти , если:

Решение. Число противоположное числу .

1) Поскольку противоположным числу 5 является число —5, то .

2) Противоположным числу —2 является число 2, поэтому .

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Целые числа:

Целые числа (положительные, отрицательные и число 0) и дробные числа (положительные и отрицательные) называют рациональными числами.

Например, рациональными являются числа:  

Модуль числа

Расстояние от точки A (–3) до начала отсчета точки O равно 3 единицы (рис. 73). Число 3 называют модулем числа —3. Пишут:  (читают: «модуль числа –3 равен 3»).

Рис. 73 (3 единицы; 2 единицы)

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Расстояние от начала отсчета до точки B (2) на координатной прямой равно 2 единицы (рис. 74), поэтому модулем числа 2 является именно число 2. Пишут: . Модуль числа ноль равен нулю: . Итак,

модулем положительного числа и числа 0 является именно это число, а модулем отрицательного числа — противоположное ему число.

Это правило можно записать с помощью фигурной скобки:

Пример №99

Пример №100

Решить уравнения:

Решение.

1) Существуют два числа, модули которых равны 4 — это числа 4 и —4. Следовательно, или . 2) Существует одно число, модуль которого равен нулю — это число 0. Поэтому . 3) Уравнение не имеет решений, поскольку модуль любого числа всегда является числом положительным или нулем, то есть модуль числа является неотрицательным числом.

Свойства модуля:

1. Модуль числа является всегда положительным числом или нулем: для любого числа .
2. Противоположные числа имеют равные модули: 

Пример №101

Найти целые числа, при которых неравенство будет правильным.

Решение. Необходимо найти целые числа, расстояния от которых до начала отсчета меньше 3,1. Такими целыми числами являются: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3.

Сравнение рациональных чисел

Мы уже умеем сравнивать положительные числа. Например, Известно, что число ноль меньше любого положительного числа. А как сравнивать числа, если среди них есть отрицательные?

Из 5—го класса известно, что из двух положительных чисел меньше то, которое на координатном луче расположено левее. Если любые два числа обозначить на координатной прямой, то получим аналогичный вывод:

• из двух чисел меньшим является то, которое на координатной прямой размещено левее, а большим — то, которое на координатной прямой размещено правее.

На координатной прямой (рис. 79) точка С (–2) лежит левее точки О (0). Поэтому . И это естественно: ведь, если утром температура была —2°С, а днем стала 0°С, то мы говорим, что температура повысилась, то есть увеличилась.

Поскольку точка А (–3) лежит левее, чем точка В (1), то .

Рис. 79

Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Точка С (–2) лежит справа от точки А (–3), поэтому . Отметим, что –2 лежит ближе к нулю, чем –3, поэтому . Имеем , но . Итак,

из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньший, и меньшим является то, модуль которого больше.

Например,    

().

Пример №102

Записать с помощью неравенства утверждения:
1)  — положительное число;
2)  — отрицательное число;
3)  — неотрицательное число;
4) — неположительное число.

Решение. 3) если число неотрицательное, то оно может быть положительным или равняться нулю. Это записывают так: . Знак означает: «больше или равно». Последнее неравенство читают так: « больше или равно нулю»; 4) если число  неположительное число, то оно может быть отрицательным или равняться нулю. Это записывают так: . Знак  означает «меньше или равно». Последнее неравенство читают так: « меньше или равно нулю».

Пример №103

Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство:

Ответ.

Сложение отрицательных чисел

Пусть в понедельник Иван взял у Сергея в долг 2 руб., а во вторник — еще 3 руб. Тогда за два дня вместе долг составляет 2 + 3 = 5 (руб.). Долг можно толковать как отрицательные числа. Поэтому сумму долга за два дня можно подать так:

В записи действий с отрицательными числами первый компонент, как правило, записывают без скобок: .

Замечаем, что в данном случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых: . Нахождение суммы чисел –2 и –3 можно записать так:

, или сокращенно 

Получаем правило сложения двух отрицательных чисел:

чтобы сложить два отрицательных числа, достаточно сложить их модули и перед полученным числом написать знак «—».

Примеры:

 

Сложение двух чисел с разными знаками

Предположим, что в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул долг, то есть отдал Сергею 3 руб. Поскольку долг можно толковать как отрицательные числа, а наличие — как положительные, то расчет между ребятами можно представить так: 

Числа —3 и 3 — противоположны, их сумма равна нулю.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Пример №104

 

Если в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб., а во вторник вернул 2 руб., то долг Ивана Сергею составляет 1 руб. Это можно записать так: .

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 2, а модуль суммы равен 1, то есть модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (минус), совпадает со знаком слагаемого, модуль которого является большим (числа —3).

Пусть в понедельник Иван задолжал Сергею 3 руб.., а вечером получил от родителей 5 руб. Когда Иван отдаст долг, то у него еще останется 2 руб. Тогда имеем: .

В этом равенстве модули слагаемых равны 3 и 5, а модуль суммы 2, то есть модуль суммы снова равен разности большего и меньшего модулей. Знак, стоящий перед найденным числом (плюс), снова совпадает со знаком слагаемого, модуль которого больше (числа 5).

Получаем правило сложения двух чисел с разными знаками:

чтобы сложить два числа с разными знаками, достаточно от большего модуля слагаемого вычесть меньший модуль и записать перед найденным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Выполняя вычисления, удобно сначала определить и записать знак суммы, а затем в скобках записать разность модулей.

Примеры:

 

Рассмотрим пример сложения дробей с разными знаками, в котором сначала нужно сравнить модули слагаемых, и лишь после этого применить правило.

Пример №105

 

Если к числу прибавить положительное число, то полученная сумма будет больше , а если прибавить отрицательное число, то полученная сумма будет меньше . В самом деле:

Свойства сложения

Для сложения рациональных чисел, как и для сложения положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел  и  выполняется равенство 

 +  =  + .

Проверим это свойство на примерах.

Пример №106

– 8 + (–3) = –11;  –3 + (–8) = –11, поэтому – 8 + (–3) = –3 + (–8).

Пример №107

–2 + 5 = 3; 5 + (–2) = 3, поэтому –2 + 5 = 5 + (–2).

Сочетательное свойство сложения.

Для любых рациональных чисел  ,  и выполняется равенство 

(a + b) + c = a + (b + c).

Проверим это свойство на примере.

Пример №108

(–2 + 7) + (–8) = 5 + (–8) = –3;
–2 + (7 + (–8)) = –2 + (–1) = –3, поэтому
(–2 + 7) + (–8) = –2 + (7 + (–8)).

Для любого рационального числа выполняются равенства:

a + 0 = 0 + a = a ;     a + (–a) = –a + a = 0.

Свойства сложения дают возможность упростить процесс вычисления суммы нескольких слагаемых, выбирая удобный порядок вычислений. Если необходимо сложить несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные числа, то можно отдельно сложить все положительные числа и отдельно все отрицательные, а потом к сумме положительных чисел прибавить сумму отрицательных. Если среди слагаемых имеются противоположные числа, то сумма этих слагаемых равна нулю. Такие слагаемые можно зачеркнуть (говорят, что слагаемые взаимно уничтожились).

Пример №109

Вычислить сумму:

Решение. Отметим, что среди слагаемых есть противоположные числа: —7 и 7, сумма которых равна нулю. Их можно зачеркнуть. Далее сгруппируем числа с одинаковыми знаками:

Вычитание рациональных чисел

Вычитание — это действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них находят второе слагаемое.

Например, —4 + 7 = 3, поэтому 3 — 7 = —4. Такой же результат получим, если к числу 3 прибавим число, противоположное числу 7, то есть число —7. Действительно, 3 + (—7) = = —4. Поэтому разность 3 — 7 можно представить суммой 3 + (—7), в которой к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому: 3 — 7 = 3 + (—7).

Получаем правило вычитания рациональных чисел:

чтобы из одного числа вычесть второе, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Запишем в виде формулы ( и  — любые рациональные числа): 

Когда уменьшаемое больше вычитаемого, то разность положительная (например, 5 — 3 = 2; —5 — (—7) = —5 + 7 = 2). Когда уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность отрицательная (например, 3 — 9 = 3 + (—9) = —6; —4 — 2 = —4 + (—2) = —6). Разность равна нулю, когда уменьшаемое и вычитаемое между собой равны (например, 7 — 7 = 0, —5 — (—5) = —5 + 5 = 0).

Поскольку вычитание можно заменить сложением противоположного к вычитаемому числа, то любую разность можно представить в виде суммы.

Пример №110

Вычислить:

Решение.

Пример №111

Упростить:

Решение. 

Раскрытие скобок

Вспомним, как к числу  прибавить сумму  и . Можно сначала к числу  прибавить , а потом к полученному результату прибавить :

Мы записали выражение без скобок. Такое преобразование выражения называют раскрытием скобок.

Пример №112

Раскрыть скобки в выражении .

Решение.

Пример №113

Раскрыть скобки в выражении  

Решение.

Выражение можно получить из выражения , а выражение   — из выражения , если не писать скобки и знак «+» и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками. Имеем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»:

чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», надо не писать скобки и знак «+», что стоит перед ними, и записать все слагаемые со своими знаками.

Пример №114

Раскрыть скобки и найти значение выражения 5,2 + (–7,2 + 3). 

Решение. 5,2 + (–7,2 + 3) = 5,2 – 7,2 + 3 = 1. 

Вспомним и запишем правило вычитания из числа суммы чисел  и :

Мы записали выражение без скобок. Рассмотрим еще пример раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–».

Пример №115

Раскрыть скобки в выражении .

Решение.

Выражение можно получить из выражения , а выражение — из выражения , если не писать скобки и знак «–» и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками. Получаем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–»:

• чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», надо не писать скобки и знак «–», что стоит перед ними, и записать все слагаемые с противоположными знаками.

Пример №116

Раскрыть скобки и найти значение выражения 

Решение. 

Пример №117

Упростить выражение: 

Решение. 

2) Как известно, при записи положительных чисел знак «+», как правило, не пишут. Так же знак «+» не пишут в начале примера перед скобками. Итак, вместо  пишут . Имеем

Умножение рациональных чисел

Рассмотрим сумму . Эта сумма равна числу —20. С другой стороны,  Отрицательный множитель, стоящий на первом месте, записывать в скобках не обязательно; можно писать так: . Итак, . Числа —5 и 4 имеют противоположные знаки, их произведение является числом отрицательным, а модуль их произведения (числа —20) равен произведению модулей множителей (чисел —5 и 4).

Действительно,

Имеем правило умножения двух чисел с разными знаками:

• произведением двух чисел с разными знаками является число отрицательное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №118

Сравнивая произведения и , приходим к выводу: при смене знака одного из множителей знак произведение меняется, а его модуль остается таким же.

Если же изменить знаки обоих множителей, то произведение изменит знак дважды и в результате знак произведения не изменится: 

Следовательно, произведением двух отрицательных чисел является число положительное. Получаем правило умножения двух отрицательных чисел:

• произведением двух отрицательных чисел является число положительное, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Пример №119

 

Если число  — положительное, отрицательное или ноль, то

Итак,

если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю. Наоборот: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример №120

Пример №121

Решить уравнение

Решение. Поскольку произведение , то или . Поэтому имеем  или 

Ответ. –7; 6.

Переместительное и сочетательное свойства умножения. Коэффициент буквенного выражения

При умножении рациональных чисел, как и при умножении положительных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства.

Переместительное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел и выполняется равенство

ab = ba.

Проверим это свойство на примерах. 

Пример №122

поэтому  

Пример №123

поэтому  

Сочетательное свойство умножения.

Для любых рациональных чисел ,  и  выполняется равенство

(ab)c = a(bc).

Проверим это свойство на примере.

Пример №124

, поэтому 

Заметим также, что для любого рационального числа  выполняются равенства: 

Свойства умножения дают возможность упростить процесс вычисления произведения нескольких множителей, выбирая удобный порядок вычислений.

Пример №125

 

Заметим, что произведение нескольких чисел, отличных от нуля, — число отрицательное, если количество отрицательных множителей нечетное. Если количество отрицательных множителей четное, то произведение — число положительное. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения дают возможность упрощать выражения. 

Пример №126

Упростить выражение

Решения. 

Число 30 называют коэффициентом полученного буквенного выражения . Например, выражение имеет коэффициент .

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Обычно коэффициент записывают перед буквенным множителем, а коэффициент 1 не пишут. Следовательно, , буквенное выражение имеет коэффициент 1. Вместо коэффициента –1 пишут только знак «–». Например, вместо пишут , то есть , буквенное выражение имеет коэффициент —1.

Распределительное свойство умножения

Для рациональных чисел, как и для положительных чисел, выполняется распределительное свойство умножения относительно сложения:

для любых рациональных чисел ,  и  выполняется равенство

(a + b)c = ac + bc.

Проверим это свойство на примере:

Пример №127

  поэтому 

Распределительное свойство умножения выполняется независимо от количества слагаемых в скобках. Замена выражения на выражение  (или выражения на выражение ) также называют раскрытием скобок.

Пример №128

Раскрыть скобки:

Решение. 

Запишем решение короче, учитывая знаки множителей:

 или короче:

Равенство, выражающее распределительное свойство умножения, можно записать, поменяв местами левую и правую части:

Это равенство означает: если произведения ( и  ) имеют общий множитель (в нашем случае ), то при сложении этих произведений общий множитель можно записать за скобками. В скобках остается сумма других множителей ( и ). Замена выражения на выражение (или выражения на выражение ) называют вынесением общего множителя за скобки.

Пример. Вынести за скобки общий множитель:

Решение. Заметим, что общий множитель целесообразно подчеркивать.

 или короче 

Правильно ли вынесен общий множитель за скобки, можно проверить, раскрыв скобки, а именно: 

Распределительное свойство умножения можно использовать для упрощения вычислений.

Пример. Вычисли: 

Решение. 

Подобные слагаемые и их приведение

Распределительное свойство умножения дает возможность выносить общий множитель за скобки.

Пример №129

Упрости выражение 7x – 6x + 3x.

Решение. Все слагаемые имеют общий множитель . Имеем:  В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых, она равна 4.

Поэтому

В выражении  слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга лишь коэффициентами. Такие слагаемые называют подобными.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Сложение подобных слагаемых называют приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, достаточно сложить их коэффициенты и найденный результат умножить на общую буквенную часть.

Пример №130

Привести подобные слагаемые:

Решение. 1) В этом примере все слагаемые подобны, поскольку у них общая часть . Складывая коэффициенты, имеем: Итак,

Выражение может содержать слагаемые с различными буквенными частями. Тогда слагаемые можно объединить в группы с одинаковой буквенной частью. Слагаемые из разных групп целесообразно подчеркивать по-разному.

Пример №131

Упростить выражение

Решение.

Пример №132

Решить уравнение

Решение. Раскроем скобки: Приведем подобные слагаемые Далее  

Деление рациональных чисел

Деление — это действие, во время выполнения которого по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Поскольку В последнем равенстве —10 — делимое, (—5) — делитель, 2 — частное; делимое и делитель — числа отрицательные, частное — число положительное. Модуль частного равен модулю делимого, что делится на модуль делителя. Действительно, 

Получаем правило деления двух отрицательных чисел:

частное от деления двух отрицательных чисел является числом положительным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №133

Поскольку   Если делимое и делитель — числа разных знаков, то частное — число отрицательное, а модуль частного равен модулю делимого, которое делится на модуль делителя. В самом деле, и Имеем правило деления двух чисел с разными знаками:

• частное от деления двух чисел с разными знаками является числом отрицательным; чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Пример №134

Пример №135

Решить уравнение

Решение. Раскроем скобки:  

Если — любое рациональное число, то

Если — любое рациональное число, отличное от нуля, то  и 

Напомним, что на ноль делить нельзя:

Решение уравнений и основные свойства уравнения

До сих пор мы решали уравнения, используя зависимости между компонентами действий. Рассмотрим основные свойства уравнения, которые предоставят возможность значительно упростить процесс решения знакомых нам видов уравнений и научиться решать новые виды уравнений.

Пример №136

Решить уравнение

Решение. По правилу нахождения неизвестного множителя имеем . Это же уравнение можно получить, если обе части исходного уравнения разделить на 3 или умножить обе части на .  Завершая решение уравнения, найдем .

Число 4 является как корнем уравнения (ибо 4 + 2 = 6), так и корнем уравнения (ибо ). Имеем такое свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если его обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Пример №137

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного слагаемого имеем . Это уравнение можно получить из первоначального, если перенести слагаемое 2 из левой части в правую, изменив знак этого слагаемого на противоположный (с «+» на «–»). Окончательно имеем .

Пример №138

Решить уравнение .

Решение. По правилу нахождения неизвестного уменьшаемого имеем х = 8 + 3. Это уравнение можно получить из исходного, если перенести слагаемое –3 из левой части в правую, изменив знак слагаемого на противоположный (с «–» на «+»). Итак,  корень уравнения.

Имеем еще одно свойство уравнения:

• корни уравнения не изменятся, если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, сменив при этом его знак на противоположный.

Исходя из приведенных свойств, составим общую схему решения уравнений, которую применим в следующем примере.

Пример №139

Решить уравнение

Решение.

1	Раскроем скобки
2	Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения
3	Перенесем слагаемые, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (чаще в левую), а остальные слагаемые —в другую часть уравнения, изменив при этом их знаки на противоположные
4	Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения
5	Найдем корень уравнения
6	Проверка (желательно)

Решение задач с помощью уравнений

Рассмотрим примеры решения текстовых задач с помощью уравнений.

Задача №62

В двух корзинах вместе 28 яблок, причем во второй на 4 яблока больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзинке?

Решение. Обозначим количество яблок в первой корзине буквой , тогда количество яблок во второй будет . Общее количество яблок по условию задачи равно 28. Имеем уравнение: 

.

Решим это уравнение: , 

Итак, в первой корзине было 12 яблок, а во второй — 12 + 4 = 16 (яблок).

Проверка. Во второй корзине яблок на 4 больше, чем в первой (16 — 12 = 4), в обеих корзинах вместе 28 яблок (12 + 16 = 28), что соответствует условию задачи.

Ответ. 12 яблок в первой корзине, 16 яблок — во второй.

Решив задачу с помощью уравнения, правильность ее решения надо проверить по условию задачи, а не по составленному уравнению.

Следовательно, решать задачу с помощью уравнения можно по следующему плану:

1. обозначаем некоторую неизвестную величину (число) буквой, например, ;
2. другие неизвестные величины выражаем через эту букву;
3. исходя из условия задачи, составляем уравнение;
4. решаем это уравнение;
5. находим неизвестные величины, если этого требует условие задачи;
6. проверка (необязательно);
7. ответ.

Задача №63

По трем ящикам разложили 35 банок консервов так, что в первом ящике стало в два раза меньше банок, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. По сколько банок консервов стало в каждом ящике?

Решение. Обозначим количество банок консервов в первом ящике буквой , тогда количество банок во втором ящике — , а в третьем — . В трех ящиках вместе банок, что по условию равно 35. Имеем уравнение:  

Решим его:  

В первом ящике 8 банок, во втором — (банок), в третьем — (банок).

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ. В первом ящике 8 банок, во втором — 16 банок, в третьем — 11 банок.

Перпендикулярные прямые

Две прямые, имеющие одну общую точку, называют прямыми пересекающимися. Их общую точку называют точкой пересечения.

На рисунке 89 прямые  и  пересекаются, — точка их пересечения. Две прямые, пересекаясь, кроме развернутых, образуют четыре угла с общей вершиной, градусная мера которых меньше 180°.

Рис. 89

Прямые и (рис. 90) пересекаются в точке О, причем один из образованных углов — прямой: . В этом случае прямые и называют перпендикулярными (от латинского слова perpendicularis — перпендикулярный).

Поскольку угол — развернутый , то . Аналогично рассуждая, имеем: .

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными.

Итак, на рисунке 90 прямые и перпендикулярны. Перпендикулярность прямых обозначают знаком . Записывают: , читают: «прямая перпендикулярна к прямой ».

                                         Рис. 90                                                         Рис. 91

Для построения перпендикулярных прямых можно использовать транспортир (рис. 91) или чертежный угольник.

Пример №140

Пусть дана точка М, которая не принадлежит прямой . Используя чертежный угольник, построй прямую, которая проходит через точку М и является перпендикулярной к прямой .

Решение.

1) Разместим угольник так, чтобы одна из сторон его прямого угла лежала на прямой , а вторая проходила через точку М (рис. 92).

2) Проведем отрезок вдоль стороны угольника от точки М к пересечению с прямой . Обозначим полученную точку буквой N (рис. 92).

3) Построим прямую (рис. 93). Запишем: . Аналогично можно с помощью угольника выполнить построение прямой, перпендикулярной к прямой , если точка М принадлежит прямой (рис. 94).

                                Рис. 92                                 Рис. 93                                Рис. 94

Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами).

На рисунке 95 изображены перпендикулярные отрезки и , а на рисунке 96 — перпендикулярные лучи  и .

                                            Рис. 95                                                           Рис. 96

Параллельные прямые

Две разные прямые, построенные на листе бумаги или доске, могут пересекаться в одной точке (рис. 104) или не пересекаться (рис. 105). Лист бумаги, доска дают представление о плоскости. Также представление о плоскости дают поверхность стола, оконное стекло и тому подобное.

               Рис. 104                              Рис. 105                              Рис. 106

Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными (от греческого слова parallelos – идущий рядом).

На рисунке 105 изображены параллельные прямые  и . Параллельность прямых обозначают знаком . Записывают: , читают: «прямая параллельна прямой ».

Представление о параллельных прямых дает нам, например, прямой участок железнодорожных рельсов (рис. 106).

Пример №141

Дана прямая и точка , которая не принадлежит прямой (рис. 107). С помощью угольника и линейки построить прямую, которая проходит через точку и параллельна прямой .

Решение. 1) Одну сторону прямого угла угольника прикладываем к прямой .

2) Ко второй стороне прямого угла угольника прикладываем линейку.

3) Передвигаем угольник вдоль линейки до тех пор, пока вторая сторона прямого угла угольника не пройдет через точку .

4) Вдоль этой стороны проводим прямую . Имеем .

Рис. 107

Приведенное построение основывается на таком свойстве:

• если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны (рис. 108).

Это свойство будет доказано в старших классах.

Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (или лучами).

        Рис. 108                               Рис. 109                                     Рис. 110

На рисунке 109 изображены параллельные отрезки и , а на рисунке 110 — параллельные лучи  и .

Координатная плоскость

Положение точки на координатной прямой определяется числом, которое называют координатой этой точки. А как определить расположение точки на плоскости?

Рассмотрим пример.

Пример №142

Петр купил билет в кинотеатр, на котором написано: «Ряд 4, место 7», а Мария: «Ряд 7, место 4». На рисунке 116 показаны места, на которых будут сидеть дети во время киносеанса. Расположение зрителя в зале кинотеатра можно записать так: для Петра (4; 7), а для Марии (7; 4), где в скобках сначала записан номер ряда, а за ним — номер места в этом ряду.

Рис. 116

Расположение зрителя в зале кинотеатра определяется двумя числами. Так же двумя числами определяется расположение точки на плоскости. 

Проведем две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются в точке O (рис. 117) — их совместному началу отсчета. Эти прямые называют осями координат, точку O — началом координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой ; вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой . Ось абсцисс и ось ординат образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

                                   Рис. 117                                                                  Рис. 118

Пример №143

На координатной плоскости обозначим точку A (рис. 118). Проведем через эту точку прямую , перпендикулярную к оси абсцисс, и прямую , перпендикулярную к оси ординат. Точка  принадлежит оси абсцисс и имеет координату —3, а точка принадлежит оси ординат и имеет координату 4. Число —3 называют абсциссой точки A, а число 4 — ординатой точки A.

Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки. Координаты точки записывают в скобках: , читают: «точка с координатами —3 и 4».

Записывая координаты точки, абсциссу всегда пишут на первом месте, а ординату — на втором.

Аналогично находим координаты точек и .

Пример №144

Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю; если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. На рисунке 119 точки имеют координаты: , .

Рис. 119

Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный в начале лекции: чтобы определить положение любой точки на плоскости, надо знать ее координаты. Каждой точке на координатной плоскости соответствует упорядоченная пара чисел — ее абсцисса и ордината. Напротив, каждой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Пример №145

Построим на координатной плоскости точку (рис. 120). Для этого:

1) на оси абсцисс найдем точку с координатой 3, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси абсцисс (ocи );

2) на оси ординат найдем точку с координатой —4, через нее проведем прямую, перпендикулярную к оси ординат (оси );

3) точку пересечения проведенных прямых обозначим буквой , эта точка является искомой, ибо ее абсцисса равна 3, а ордината равна —4.

Точку можно было построить иначе: отсчитав от точки O справа 3 единицы, а затем от полученной точки вниз 4 единицы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями, или координатными углами. Нумерацию четвертей и знаки координат в четвертях показано на рисунке 121.

                                          Рис. 120                                                         Рис. 121 

Примеры графиков зависимостей между величинами

На координатной плоскости можно строить графики зависимостей между различными величинами.

Пример №146

Метеорологи в течение суток измеряли температуру воздуха через каждые два часа. По результатам измерений была составлена таблица:

, ч	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
	4	2	0	—3	—4	—1	2	5	7	5	4	3	1

Эта таблица характеризует зависимость температуры воздуха от времени. Такую зависимость можно изобразить графически. Для этого построим прямоугольную систему координат (рис. 135). На оси абсцисс будем откладывать значение

Рис. 135

Рис. 136

времени (, ч) так, что одному делению будет соответствовать один час, а на оси ординат будем откладывать значение температуры () так, что одному делению будет соответствовать один градус. Далее на координатной плоскости построим все точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы, всего 13 точек: . Абсцисса каждой точки — значение времени, а ордината — значение температуры воздуха в это время. Если бы метеорологи измеряли температуру чаще (например, через каждый час или каждые 30 мин.), то получили бы значительно больше точек, которые бы лежали плотнее друг к другу на координатной плоскости. Если предположить, что резких скачков температуры не было и соединить найденные точки плавной линией, то получим график зависимости температуры воздуха от времени (рис. 136).

Построенный график наглядно описывает изменение температуры в течение суток. С помощью графика можно дать ответы на многие вопросы.

Пример №147

Пользуясь графиком, построенным в примере 146, найти:

1) какой была температура в 11 ч;

2) в котором часу температура составляла 3°С.

Решение. 1) На оси абсцисс, где отложено время , найдем число 11. Строим прямую, перпендикулярную к оси абсцисс, проходящую через точку (11; 0). Эта прямая пересекает график в точке . Найдем ординату точки . Она равна 1. Итак, в 11 час температура была 1 °С.

2) На оси ординат, где отложены значения температуры , найдем число 3. Строим прямую, перпендикулярную оси ординат, проходящую через точку (0; 3). Эта прямая пересекает график в трех точках:  и . Найдем абсциссы этих точек: 1, 13, 22 соответственно. Следовательно, температура 3°С была около 1 ч, около 13 ч и около 22 ч.

Пример №148

Мотоциклист двигался со скоростью 40 км/ч. Он посчитал зависимость расстояния (, км) от времени (, ч) и получил таблицу:

, ч	0	1	2	3	4	5
, км	0	40	80	120	160	200

Построим график этого движения. На оси абсцисс откладываем значение времени (, ч) так, что одному часу соответствуют две ячейки, а на оси ординат откладываем значение расстояния (, км) так, что одной ячейке соответствует расстояние 20 км. Построим точки ,  и . Приложив линейку к построенным точкам, видим, что они лежат на одной прямой. Соединив точки отрезками, получим график зависимости расстояния от времени при постоянной скорости (рис. 137).

Эту зависимость расстояния (в км) от времени (в ч) можно задать формулой .

Как и в предыдущем примере, пользуясь графиком, мы можем решить задачи двух типов: зная время, найти расстояние, которое преодолели за это время, и, наоборот, найти время, за которое преодолели некоторое расстояние.

Рис. 137

Целые выражения

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Выражения с переменными. Целые рациональные выражения.
Числовое значение выражения

Числовые выражения образуют из чисел с помощью знаков действий и скобок.
Например, числовыми выражениями являются:

и другие.

Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом
выражении, называют значением выражения.

Поскольку , то число 27 является значением
числового выражения .

Если числовое выражение содержит действие, которое невозможно выполнить,
говорится, что выражение не имеет смысла. К примеру, выражение не имеет смысла, поскольку  и следующее действие  выполнить невозможно.

Кроме числовых выражений в математике встречаются выражения,
содержащих буквы. Такие выражения мы называли буквенными.

Пример №149

Пусть необходимо найти площадь прямоугольника, длина которого равна 10 см, а ширина —  см. По формуле площади прямоугольника имеем:   если,
например, , то , а если , то . В выражении  буква может принимать различные значения, то есть ее значение можно менять. При этом будет меняться и значение выражения . Поскольку значение может изменяться (приобретать различные, в данном случае положительные значения), то букву в таком выражении называют переменной, а само выражение — выражением с переменной.

Например, выражения являются выражениями с переменными. 

Выражения с переменными образуют из чисел и переменных с помощью знаков арифметических действий и скобок.

Если в выражение с переменными вместо переменных подставим определенные числа, то получим числовое выражение. Его значение называют
числовым значением выражения для выбранных значений переменных.

Пример №150

Найти значение выражения:
1) , если ,    2) , если .
Решение. 1) Если , то ;
если , то .
2) Если , то .
Выражение, содержащее только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень, называют рациональным выражением. Например, рациональными являются выражения:

 .

Рациональное выражение, не содержащее деления на выражение с переменной, называют целым рациональным выражением. Если в рациональном выражении содержится деление на выражение с переменной, его называют
дробным рациональным выражением. Три первые выражения в приведенных
выше — целые, а три последние — дробные.

Выражения с переменными используют для записи формул.
Например, — формула расстояния; — формула периметра прямоугольника; (где — целое число) — формула четного числа; (где — целое число) — формула нечетного числа; (где — целое число) — формула числа, кратного числу 7.
Выражения, не являющиеся рациональными, будем рассматривать в старших
классах.

Тождественные выражения и тождественное преобразование выражения. Доказательство тождеств

Найдем значения выражений  и  для некоторых данных значений переменной . Результаты запишем в таблицу: 

Можно прийти к выводу, что значения выражений  и  для каждого данного значения переменной  равны между собой. По распределительному свойству умножения относительно вычитания . Поэтому и для любого другого значения переменной значение выражений и тоже будут равными между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Два выражения, соответствующие значения которых равны между собой при любых значениях переменных, называют тождественными или тождественно равными.

Например, тождественными являются выражения и , так как при каждом значении переменной эти выражения приобретают одинаковые значения (это следует из распределительного свойства умножения относительно сложения, поскольку ).

Рассмотрим теперь выражения и . Если  и , то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

;   .

Однако можно указать такие значения и , для которых значения этих выражений не будут между собой равны. Например, если ; , то
,    .

Итак, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие
значение выражений и  не равна друг другу. Поэтому выражения и не являются тождественно равными.
 

Равенство, которое является верным при любых значениях переменных, называют тождеством.

Исходя из вышеизложенного, тождествами, в частности, являются равенства:

и .

Тождествами являются равенства, которыми записаны известные свойства
действий над числами. Например,

;       ;     ;

;                   ;                           .

Тождествами являются и такие равенства:

;             ;          ;

;       ;          .

Тождествами также принято считать верные числовые равенства, например:
;      ;        .
Если в выражении привести подобные слагаемые, получим, что
. В таком случае говорят, что выражение заменили тождественным ему выражением .

Замену одного выражения другим, ему тождественным, называют
тождественным преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями являются раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т. д.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении
выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное
ему выражение, имеющее более короткую запись.

Пример №151

Упростить выражение: 1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) ;

2) ;

3) .

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество), используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

• выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым приведя к виду правой части;
• выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым приведя к виду левой части;
• выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым приведя обе части к одинаковым выражениям.

Пример №152

Доказать тождество: 1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) Преобразуем левую часть данного равенства:

.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства привели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства привели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

;

.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства привели к одному и тому же виду: . Поэтому данное равенство является тождеством.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение нескольких одинаковых множителей можно
записать в виде выражения, которое называют степенью.
Например,
.

Множитель, который повторяется, называют основанием степени, а число, которое показывает количество таких множителей, — показателем степени. В выражении число 4 — основание степени, а число 6 — показатель степени. Поскольку , то говорят, что число 4096 является шестой степенью числа 4.

Степенью числа  с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием и показателем записывают так: , читают:
« в степени » или «—я степень числа ».
По определению степени:  ,    и  
Нам уже известно, что вторую степень числа называют квадратом
числа , а третью степень числа называют кубом числа .
 

Пример №153

Представить в виде степени: 1) ;   2) ;   3) ;

4) .

Решение. 1) ;  2) ;   3) ;   

4) .

Вычисление значения степени является арифметическим действием, которое
называют возведением в степень.

Пример №154

Выполнить возведение в степень:
1) ; 2) ; 3) ; 4) 
 

Решение. 1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Выясним знак степени с натуральным показателем .
1) Если , то ; ; ... .  Итак, .
2) Если , то  как произведение положительных
чисел.
Итак, для любого .
3) Если , при нечетном значении имеем: как произведение нечетного количества отрицательных множителей; при четном значении имеем: как произведение четного количества отрицательных
множителей.

Итак, если — натуральное число, то

•  для любого ;
•  для любых  и ;
•  для любого  и нечетного ;
•  для любого  и четного .

Если выражение содержит несколько действий, то в первую очередь выполняют
действие возведения в степень, затем действия умножения и деления,
а затем — действия сложения и вычитания.

Пример №155

Найти значение выражения: 1) ;
2); 3) ; 4) .
Решение.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Примечание: во время вычислений можно также записывать каждое действие отдельно.

Свойства степени с натуральным показателем

Рассмотрим свойства степени с натуральным показателем.
Выражение является произведением двух степеней с одинаковыми основаниями. Применив определение степени, это произведение можно переписать так:
.

Итак, , то есть . Тем же способом нетрудно проверить, что . Поэтому произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Это свойство подтверждается для каждого произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Для любого числа и произвольных натуральных чисел m и выполняется равенство .

Доказательство. .
 

Равенство называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней. Например:
.

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Например, ;   ; .

Поскольку , то по определению частного , то есть . Тем же способом нетрудно убедиться, что . Поэтому частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разнице показателей делимого и делителя. Это свойство справедливо для каждого частного степеней с одинаковыми, отличными от нуля, основаниями при условии, что показатель
степени делимого больше показатель степени делителя.

Для любого числа  и произвольных натуральных чисел и , таких, что , выполняется равенство:

.

Доказательство. Поскольку, то есть ,
то по определению частного имеем .
Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а от показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Например,  ;   .

Выражение  — степень, основание которой является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием :
.

Тем же способом можно убедиться, что .
То есть степень при возведении в степень равна степени с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей данных степеней.

Для любого числа и произвольных натуральных чисел и  выполняется равенство:   
Доказательство.
Из доказанного свойства вытекает правило возведения степени в степень.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели степеней перемножают.

Например, ;  ;  

.

Выражение является степенью произведения множителей и . Это выражение можно представить в виде произведения степеней и :
.
Следовательно, .

Этим свойством при возведении в степень обладает любое произведение. 
Для любых чисел и и произвольного натурального числа выполняется равенство  .
Доказательство.

Это свойство степени распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,  и т. д.
Существует правило возведения произведения в степень.

При возведении произведения в степень надо возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.

Например,

Левую и правую части рассмотренных тождеств можно менять местами:

Рассмотрим, как упростить выражения, содержащие степени, и вычислить их значения.
 

Пример №156

Упростить .
Решение. .
 

Пример №157

Вычислить: 1) ; 2) ;
3) .
Решение. 1) .
2) Представим и в виде степени с основанием 3, то есть
. Итак, имеем:
.
3) Поскольку , имеем:.

Одночлен и стандартный вид одночлена

Рассмотрим выражения  .

Это — числа, переменные, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Целые выражения — числа, переменные, их степени и произведения — называют одночленами.

Выражения   не являются одночленами, поскольку содержат действия сложения, вычитания, деления.

Упростим одночлен , использовав распределительное и сочетательное свойства умножения:
.
Приведя одночлен к виду , говорят, что привели его к стандартному виду.

Если одночлен является произведением, имеющим один числовой множитель, который записан на первом месте, а другие множители являются степенями различных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

К одночленам стандартного вида относятся и такие одночлены, как 5, –9; ; .
Очевидно, что к стандартному виду можно привести любой одночлен.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом этого одночлена.

Например, коэффициентом одночлена является число –20, а коэффициентом одночлена  — число .
Коэффициентом одночлена является 1, поскольку , а
коэффициентом одночлена является –1, поскольку . То есть
вместо коэффициента –1 записывают только знак минус, а коэффициент,
равный 1, вообще не записывают.
Для каждого одночлена можно указать его степень.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, которые он содержит. Если одночлен не содержит переменных (то есть является числом), то считают, что его степень равна нулю.

Например, одночлен   — одночлен двенадцатой степени, поскольку ;   — одночлен восьмой степени, поскольку ; — одночлен четвертой степени; — одночлен первой степени. Одночлен –7 не содержит переменных, поэтому является одночленом нулевой степени.

Умножение одночленов и возведение одночленов в степень

Во время умножения одночленов используют свойства действия
умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Пример №158

Перемножить одночлены .
Решение.  .
Произведением любых одночленов является одночлен, который обычно
представляют в стандартном виде. Аналогично приведенному примеру, можно множить три и более одночленов.
При возведении одночлена в степень используют свойства степеней.

Пример №159

Возвести одночлен: 1) в куб; 2)  в четвертую степень.

Решение. 1) ; 2) .

Результатом возведения одночлена в степень является одночлен, который обычно записывают в стандартном виде.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №160

Упростить выражение .

Решение. 

.

Пример №161

Представить одночлен   в виде квадрата одночлена стандартного вида.

Решение. Поскольку , то .

Многочлен и подобные члены многочлена и их приведение. Степень многочлена

Выражение представляет собой сумму одночленов ,  и . Это выражение называют многочленом.

Многочленом называют сумму одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена. Например, многочлен  состоит из четырех членов: ; ; и .

Многочлен, содержащий два члена, называют двучленом, многочлен, содержащий три члена, — трехчленом. Например, ,  —
двучлены;  ,  — трехчлены. Одночлен считают отдельным видом многочлена.

В многочлене члены  и  —
подобные слагаемыми, поскольку они имеют одинаковую буквенную часть . Также подобными слагаемыми являются члены 8 и –9, у которых отсутствует буквенная часть.

Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример №162

Привести подобные члены в многочлене .
Решение.
.
Каждый член многочлена  является одночленом стандартного вида, причем этот многочлен уже не содержит подобных слагаемых. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Многочлен, состоящий из суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Пример №163

Приведены ли к стандартному виду многочлены:
1) ;  2) ; 3) ?
Решение. 1) Поскольку не является одночленом стандартного вида, то многочлен не является многочленом стандартного вида.
2) Многочлен является многочленом стандартного вида.
3) Многочлен содержит подобные слагаемые, поэтому не является многочленом стандартного вида.

Пример №164

Записать в стандартном виде многочлен
.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена, затем приведем подобные слагаемые:

Члены многочлена , имеющего стандартный вид,
являются одночленами соответственно пятой, шестой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена.
Итак, является многочленом шестой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлены   и   — первой степени; многочлен — второй; — пятой степени.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример №165

Определить степень многочлена
.
Решение. Сначала запишем многочлен в стандартном виде . Многочлен является многочленом второй степени, а потому и многочлен
является многочленом второй степени.
Члены многочлена можно записывать в разной последовательности.
Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по возрастанию или убыванию показателей степеней этой переменной.
Например,   или .

Любой многочлен является целым выражением. Но не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения ;
; не являются многочленами, поскольку они не являются суммой одночленов.

Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены  и . Для этого запишем их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Мы записали сумму многочленов   и в виде многочлена . Так же можно добавлять три и более многочленов. Сумма любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Теперь от многочлена вычтем многочлен . Для этого запишем их разность, потом раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Разность многочленов   и   мы представили
в виде многочлена . Разность любых многочленов является многочленом, который обычно записывают в стандартном виде.

Пример №166

Решить уравнение
.
Решение. Раскроем скобки в левой части уравнения:
.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, а те, что не содержат переменной, — в правую. Получаем:

Ответ: —3,5.

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу — записать многочлен в виде суммы или разности многочленов. В этом случае целесообразно использовать изученные в предыдущих классах правила взятия выражения в скобки, перед которыми стоит знак «плюс» или «минус».

Пример №167

Записать многочлен   в виде:

1) суммы двух многочленов, один из которых содержит переменную , а второй ее не содержит;
2) разности двух многочленов, первый из которых содержит переменную, а второй ее не содержит.

 Решение.

1)  ;

2) .

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен   на многочлен , используя распределительное свойство умножения:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен
, который получили, умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив найденные результаты.
Имеем правило умножения одночлена на многочлен:

чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Произведение любого одночлена на любой многочлен всегда можно представить в виде многочлена.

Пример №168

Выполнить умножение: .
Решение.

Записать это умножение можно короче, пропустив промежуточные
результаты:
.
 

Пример №169

Упростить выражение: .
Решение.
.
Пример №170

Решить уравнение
.
Решение. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 12:

.

Имеем:

Ответ: 2.

Разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть представляли натуральные числа в виде произведения. Например,
 и др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать на множители.
Например, и др.

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения одночлена на многочлен или произведения нескольких многочленов так, чтобы это произведение было тождественно равным данному многочлену.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительное свойство умножения , если его записать в обратном порядке: . Это означает, что многочлен разложили на два множителя и .

При разложении на множители многочленов с целыми коэффициентами множитель, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №171

Разложить выражение на множители:
1) ;   2) ;   3) .

Решение.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

.

2) Общим множителем является переменная , поэтому

.

3) В данном случае общим числовым множителем является наибольший общий делитель чисел 10 и 15 — число 5, а общим буквенным множителем является одночлен . Итак, .

Пример №172

Разложить на множители: 1) ; 

2) .

Решение. 1) В данном случае общим множителем является двучлен . Итак, .

2) Слагаемые имеют множители и , которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемом вынесем за скобки множитель –1, получим:.

Итак, .

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлену.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример №173

Найти корни уравнения .
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: .

Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, имеем: или , откуда или .
Ответ: 0; 1,4.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен . Обозначим многочлен буквой . Имеем:
.
В выражении подставим вместо многочлен и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
.
Итак,
.

Многочлен является суммой всех одночленов, полученных умножением каждого члена многочлена на каждый член многочлена .

Приходим к правилу умножения многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Процесс умножения многочлена на многочлен можно представить схематично:

Результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен.
Если первый из сомножителей произведения содержит членов, а второй — членов, то, умножив их, получим многочлен, содержащее членов, а после приведения подобных слагаемых это количество может уменьшиться.
 

Пример №174

Выполнить умножение .
Решение.

Пример №175

Упростить выражение .

Решение.

Если необходимо перемножить более двух многочленов, то сначала умножают любые два из них, затем полученный результат умножают на третий многочлен и т. д.
 

Пример №176

Выполнить умножение: .
Решение. Сначала умножим первый многочлен на второй, а затем полученный результат умножим на третий многочлен:
.

Разложение многочлена на множители методом группировки

Мы познакомились с разложением многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки. Существуют и другие способы разложения многочленов на множители, например, метод группировки.

Пример №177

Разложить на множители многочлен .
Решение. В данном случае у всех членов этого многочлена нет общего множителя. Поэтому здесь целесообразно применить именно метод группировки. Разобьем слагаемые на две группы так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
.
Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки:
.

Теперь полученный для обеих групп общий множитель  вынесем за скобки:.
Итак, .
Сгруппировать слагаемые данного многочлена можно было и другим способом.
Например,
.
Приходим к выводу, что для разложения многочлена на множители методом группировки следует выполнять действия в такой последовательности:

1. разбить многочлен на группы слагаемых, каждая из которых содержит общий множитель;
2. из ​​каждой группы вынести общий множитель за скобки;
3. образовавшийся общий для всех групп множитель вынести за скобки.

Для проверки правильности разложения следует перемножить полученные множители. Произведение этих множителей должно равняться данному многочлену.

Пример №178

Разложить на множители многочлен
.
Решение. 1—й способ. Сгруппируем члены многочлена в три группы по два слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:

2—й способ. Сгруппируем теперь члены многочлена в две группы по три слагаемых так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель. Получаем:

Пример №179

Разложить на множители трехчлен .
Решение. Учитывая, что  , можем переписать многочлен как сумму четырех слагаемых, сгруппировать их и дальше разложить на множители:

Если бы мы представили слагаемое в виде суммы двух каких-то других слагаемых, то не смогли бы применить группировку и разложить на множители. Предлагаем убедиться в этом самостоятельно. «Секрет» заключается в том, что именно слагаемые и  способствовали появлению общего множителя после разбиения многочлена на группы .

Квадрат суммы и квадрат разности

Возведем в квадрат двучлен  :

.

Итак,  .

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Это тождество позволяет возводить в квадрата сумму двух произвольных выражений не по правилу умножения многочленов, а сокращенно сразу записывать квадрат   в виде  . Поэтому формулу квадрата суммы называют еще формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Пример №180

Представьте выражение в виде многочлена.
Решение. 

.

Если промежуточные действия можно выполнить устно, то можем сразу
записывать ответ:

.

Возведем теперь в квадрат двучлен  :
.
Итак,
.

Получили формулу квадрата разности, которая также является формулой сокращенного умножения. Читают ее так.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Заметим, что формулу квадрата разности можно получить, если переписать разницу в виде суммы :
.

Пример №181

Возвести двучлен в квадрат.
Решение. По формуле квадрата разности имеем:
.
Нам уже известно, что , поэтому при возведении  квадрат выражений вида и целесообразно предварительно заменить их на противоположные им выражения:

Пример №182

Преобразовать в многочлен:
1) ;   2) .
Решение.

1) ;
2) .

Пример №183

Упростить выражение .
Решение. 

Разложение многочлена на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности можно использовать также для разложения на множители выражений вида  и . Для этого перепишем эти формулы, поменяв местами их левую и правую части.

Такой вид формул удобно использовать для преобразования трехчлена в квадрат двучлена.
Трехчлен вида или называют полным квадратом. Именно его можно представить в виде квадрата двучлена.

Например, и , поэтому трехчлены   и   являются полными квадратами.

Преобразование трехчлена, который является полным квадратом, в квадрат
двучлена называют свертыванием в полный квадрат.
Поскольку   и , то
свертывание в полный квадрат является разложением трехчлена на множители.

Пример №184

Разложить трехчлен на множители.
Решение. Поскольку    и , то трехчлен представляет собой квадрат суммы , следовательно, его можно разложить на множители:
.

Пример №185

Найти значение выражения ,  если .

Решение. Сначала свернем трехчлен в полный квадрат:

Теперь выполнить вычисления будет совсем несложно. Если
, то .

Пример №186

Преобразовать трехчлен в выражение, противоположное квадрату двучлена.
Решение. Вынесем за скобки –1, а полученное в скобках выражение свернем в полный квадрат:

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разницу на сумму :
.
Итак,

.

Получили еще одну формулу сокращенного умножения. Ее читают так.

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности
квадратов этих выражений.

Рассмотрим примеры применения этой формулы.

Пример №187

Выполнить умножение: 1) ;
2) .
Решение. 1)
, или сокращенно:.
2)
.

Пример №188

Представить произведение в виде многочлена.
Решение. 1—й способ. Вынесем в выражении  за скобки –1. Получаем:

2—й способ. В каждом из множителей сначала поменяем местами слагаемые:

 

Пример №189

Вычислить удобным способом .
Решение.

.

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождества    поменяем местами левую и правую части. Получаем:
.

Это тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Читают ее так.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Формулу разности квадратов двух выражений применяют для разложения на множители двучлена . Эту формулу можно использовать и для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Пример №190

Разложить на множители:
1) ;  2) .
Решение. 1) Поскольку , то по формуле разности квадратов:.

2) Поскольку , имеем:
.

Пример №191

Вычислить удобным способом: .
Решение.
.
Ответ: 2000.

Пример №192

Решить уравнение .
Решение. Поскольку , имеем:
 ;
или ;
следовательно, или .
Ответ: –5; 5.

Сумма и разность кубов

Умножим    на  :
.
Получаем тождество, которое называют формулой суммы кубов:

.
В правой части формулы множитель напоминает полный квадрат , но вместо удвоенного произведения  содержит . Трехчлен  называют неполным квадратом разности выражений и . Поэтому формулу суммы кубов читают так:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример №193

Разложить многочлен на множители.
Решение. Поскольку  , то данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений: 

По формуле суммы кубов имеем:

.

Итак, .
Теперь умножим на :
.
Получаем тождество, которое называют формулой разности кубов:
.

Трехчлен    называют неполным квадратом суммы выражений и , а формулу разности кубов читают так:
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример №194

Разложить многочлен на множители.
Решение. Поскольку   и ,  то данный многочлен можно превратить в разность кубов:
.
Далее применим формулу разности кубов:

Поменяв местами левые и правые части формул суммы и разности кубов, получим:

Эти тождества являются формулами сокращенного умножения и дают возможность сокращенно выполнять умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности и разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разницы равно сумме кубов этих выражений; произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равно разницы кубов этих выражений.

Пример №195

Преобразовать выражение    в многочлен.
Решение. Поскольку выражение    является неполным квадратом разности выражений и  , можем применить формулу суммы кубов:
.

Пример №196

Решить уравнение

.

Решение. Применим к левой части уравнения формулу разности кубов, получим:

Ответ: 0,125.

Применение нескольких способов разложения многочлена на множители

В предыдущих лекциях мы уже рассматривали несколько способов разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения. Иногда, чтобы разложить многочлен на множители, приходится применять несколько способов. В таком случае разложение на множители целесообразно начинать с вынесения общего множителя за скобки, если такой множитель существует.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №197

Разложить на множители многочлен .
Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель :
.
Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов:
.
Итак,  .

Пример №198

Разложить на множители многочлен .
Решение. Вынесем за скобки общий множитель , а к выражению в скобках применим формулу квадрата суммы:
.

Пример №199

Разложить на множители многочлен
.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель . Получим:

.

Многочлен , образовавшийся в скобках, можно разложить на множители способом группировки:

Окончательно имеем:

.

Универсального правила, по которому можно было бы раскладывать многочлены на множители, нет. Примеры, которые мы рассмотрели выше, позволяют лишь сформулировать правило — ориентир, которого желательно придерживаться при разложении многочленов на множители.

1. Если возможно, вынести общий множитель за скобки.
2. Проверить, не является ли выражение, полученное в скобках, квадратом двучлена или разностью квадратов, разностью или суммой кубов.
3. Если многочлен, полученный в скобках, содержит четыре или шесть слагаемых, проверить, не разлагается ли он на множители способом группировки.

Кроме предложенного правила, иногда помогают искусственные приемы.

Пример №200

Разложить на множители многочлен .
Решение. Поскольку первые три слагаемых являются квадратом двучлена, применим искусственную группировку, разбив многочлен на две группы, одна из которых содержит этот квадрат двучлена, а вторая — четвертое слагаемое:

.

Первую группу свернем в квадрат разности:
, после чего данный многочлен превратится в разность квадратов двух выражений:  , которую разложим на множители по формуле разности квадратов.
Итак, имеем:
.

Пример №201

Решить уравнение .
Решение. Найдем такое число, которое вместе с выражением образует квадрат двучлена. Таким числом является 16. В левой части уравнения добавим и вычтем число 16. Получим:

Далее разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов и решим полученное уравнение:

  или  ;
или .
Ответ: 10; 2.

Преобразование  
  называют выделением квадрата двучлена.

Не всякий многочлен второй степени можно разложить на множители. Например, на множители нельзя разложить многочлены . В частности, не разлагаются на множители многочлены второй степени, которые являются неполными квадратами суммы или разности и не содержат общего множителя. Например,   и др.

Функции

Функция — это в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Область определения и область значений функции. Способы задания функций. Функциональная зависимость между величинами как математическая модель реальных процессов

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между различными величинами. Например, периметр квадрата зависит от длины его стороны, площадь прямоугольника — от его размеров, масса куска мела — от его объема, расстояние, которое преодолевает движущийся объект, — от его скорости и времени движения и так далее.

Чтобы решить задачу практического содержания, целесообразно сначала создать ее математическую модель, то есть записать зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и др.

Рассмотрим примеры зависимостей между двумя величинами.

Пример №202

Пусть сторона квадрата равна  см, а его периметр равен см. Для каждого значения переменной  можно найти соответствующее значение переменной . Например,
если = 5, то = 4 • 5 = 20;
если = 8, то = 4 • 8 = 32;
если = 1,2, то = 4 • 1,2 = 4,8.

То есть периметр квадрата зависит от длины его стороны. Математическую модель этой зависимости можно записать формулой .

Поскольку каждому значению длины стороны квадрата соответствует определенное значение его периметра, говорится, что имеем соответствие между длиной стороны квадрата и его периметром (или зависимость между переменными и ). При этом считают, что значению = 5 соответствует значение = 20, или значение = 20  является соответствующим значению  = 5.

Переменную , значение которой выбирают произвольно, называют независимой переменной,  а переменную , каждое значение которой зависит
от выбранного значения ,  — зависимой переменной.

Пример №203

Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Расстояние, которое он при этом преодолеет, зависит от времени его движения. Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой , а расстояние, которое он преодолел (в километрах) — буквой . Для каждого значение переменной (где ) можно найти соответствующее значение .
Например,

• если = 1,5, то = 80 • 1,5 = 120;
• если = 3, то  = 80 • 3 = 240;
• если = 4,5, то = 80 • 4,5 = 360.

Зависимость переменной от переменной можно записать формулой,  где является независимой переменной, а — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой , а зависимую переменную — буквой . В примерах, которые мы рассмотрели, каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение зависимой переменной.

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую ​​зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Независимую переменную еще называют аргументом, а о зависимой
переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. В наших примерах — периметр квадрата является функцией от длины его стороны ; расстояние , которое преодолел автомобиль с постоянной скоростью, является функцией от времени движения . Значение зависимой переменной называют значением функции.

Все значения, которые приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Например, областью определения функции в первом примере являются все положительные числа .

Областью определения функции во втором примере являются все неотрицательные числа , значит, .  Область значений функции в примере 202 состоит из всех положительных чисел , а область значений функции в примере 203 — из всех неотрицательных чисел , то есть .

Пример №204

Функция задана формулой . Найти:
1) область определения функции;
2) значение функции, соответствующее значению аргумента, равного –2; 6; 10;
3) значение аргумента, при котором значение функции равно –1.
Решение. 1) Областью определения функции являются все такие значения , при которых дробь  имеет смысл. Знаменатель дроби равен нулю при . Следовательно, областью определения функции являются все числа, кроме числа 2.
2) Если , то ;   если , то ;
 если , то .
3) Чтобы найти , при котором  , надо подставить в формулу функции вместо число  –1.  Получаем уравнение:
 , корнем которого является число –6. Таким образом, значение   функция приобретает при .

Задавать функцию можно разными способами. В примерах, которые мы рассмотрели, функции заданы формулами:  ; ;  .

Такой способ задания функции достаточно удобный, потому что позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции, и компактный, поскольку в большинстве случаев формула имеет короткую запись.

Бывают и функции, которые для различных значений аргумента задаются различными формулами. Рассмотрим такую ​​функцию и ее записи.

Пример №205

Пусть дана функция

Эта запись означает, что для значений аргумента   значения функции вычисляются по формуле , а для значений аргумента — по формуле .
Например,
если  
если  
если  
если  

Задавать функцию можно таблицей. Такой способ задания функции называют табличным.  Рассмотрим его на примере.

Пример №205

Каждый час, начиная с восьми и до тринадцати, измеряли атмосферное давление и полученные данные заносили в таблицу:

Таблица задает соответствие между временем измерения и атмосферным давлением . Это соответствие является функцией, потому что каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . В этом примере является независимой переменной, а — зависимой переменной. Область определения функции состоит из  чисел 8; 9; 10, 11; 12; 13 (первая строка таблицы), а область значений — из чисел 752; 753; 754; 756 (вторая строка таблицы).

Табличный способ задания функции удобен тем, что для нахождения значений функции не надо ничего вычислять. Неудобным является то, что таблица, как правило, занимает много места и может не содержать именно то значение аргумента, которое нас интересует, например, если в первой строке таблицы такого значения нет. В частности, в примере 5 невозможно найти значение функции, соответствующее значению аргумента, которое равняется, например, 8,5 или 14. Задавать функцию можно также выражением. Такой способ задания функции называют описательным или словесным.

Пример №207

Каждому натуральному числу поставим в соответствие квадрат этого числа. Получим функцию, область определение которой состоит из всех натуральных чисел, а область значений — из квадратов этих чисел.
Функциональные зависимости, которые мы рассмотрели в примерах 2 и 5, являются математическими моделями реальных процессов: модель движения автомобиля с постоянной скоростью, модель измерения давления в течение некоторого времени. В дальнейшем при изучении алгебры мы будем неоднократно обращаться к математическим моделям реальных процессов.

График функции и графический способ задания  функции

В 6 классе мы уже рассматривали график зависимости между двумя величинами. Рассмотрим понятие графика функции.

Пример №208

Пусть дана функция ,.
Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

Обозначим на координатной плоскости точки , координаты которых представлены в таблице, то есть точки (—2; 6), (—1; 3), (0; 2), (1; 1,5), (2; 1,2), (3; 1) (рис. 6). Если взять другие значения в промежутке от —2 до +3 и вычислить соответствующие им значения по формуле , то получим другие пары значений и . Каждой из этих пар соответствует определенная точка координатной плоскости.
Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции , где   (рис. 7).

​​​​​​Графиком функции называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значением функции.

                         Рис. 6                                                         Рис. 7

Пример №209

Построить график функции  , где  .
Решение. Составим таблицу значений функции для целых значений аргумента:

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и совместим их плавной линией (рис. 8). Получим график функции   для .

Заметим, что чем меньше будет шаг (расстояние) между значениями аргумента, тем плотнее расположатся точки на координатной плоскости, а следовательно, точнее будет построен график.

По графику можно сразу указать, при каких значениях аргумента значения функции положительные, при каких — отрицательные, при каких равны нулю. По графику можно увидеть область определения и область значений функции.

Ноль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Пример №210

Используя график функции  , где   ,  найти: 1) нули функции; 2) область значений функции; 3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; 4) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Решение. График функции изображен на рисунке 8.

1) Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью .
Поэтому   и    — нули функции. Заметим, что нули функции можно найти, и не используя график данной функции. Например, достаточно решить
уравнение .

2) Функция может принимать любое значение от –1 до 8. Поэтому областью значений функции являются все значения  в промежутке .

3) Для значений таких, что , точки графика расположены выше оси абсцисс. Поэтому функция принимает положительные значения при .

  

                     Рис. 8                                     Рис. 9

На рис. 9 эта часть графика обозначена синим цветом. Также выше оси абсцисс находятся точки графика для .  Поэтому при   функция снова приобретает положительные значения (на рис. 9 эта часть графика также обозначена синим цветом). Следовательно, при   или  функция принимает положительные значения.

4) Для значений таких, что  ,  точки графика расположены ниже оси абсцисс (на рис. 9 эта часть графика обозначена красным цветом). Поэтому при    функция принимает отрицательные значения.

Используя график функции, для любого значения аргумента из области определения можно найти соответствующее ему значение функции. Также по графику можно составить таблицу значений функции.

Приходим к выводу: графиком можно задать функцию. Такой способ задания функции называют графическим. Он удобен своей наглядностью и часто используется для отображения явлений, сопровождающих практическую деятельность человека или происходящих в окружающем мире.

Пример №211

На рисунке 10 изображен график изменения температуры воздуха в течение суток, полученный с помощью специального прибора — термографа.

                                                    Рис. 10

Используя этот график, найти: 1) какой была температура в 10 ч; 2) во сколько температура была –4°С.
Решение. 1) Через точку оси с координатами (10, 0) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком температуры имеет координаты (10; 2). Итак, в 10 ч температура воздуха была 2°С.
2) Через точку оси с координатами (0; –4) проведем перпендикуляр к этой оси (рис. 10). Этот перпендикуляр пересекает график в точках (1; –4), (6; –4) и (22; –4). Следовательно, температура воздуха –4°С была в 1 час, в 6 часов и в 22 часа.

Заметим, что не каждая фигура на координатной плоскости может быть графиком некоторой функции. Например, фигура на рисунке 11 не является графиком ни одной из функций, поскольку существуют такие значения , которым соответствуют два значения . Например, значению соответствуют значения    и   .

                          Рис. 11

Это означает, что зависимость между и  , график которой изображен
на рисунке 11, не является функциональным, потому что существует хотя
бы одно значение , которому соответствует более чем одно значение . Графически это означает, что существует хотя бы одна прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, которая пересекает данную фигуру более чем в одной точке. Учитывая, что при функциональной зависимости каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции, то каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, должна пересекать график функции не больше, чем в одной точке.
Итак, чтобы фигура, которая изображена на координатной плоскости, была графиком некоторой функции, необходимо, чтобы каждая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, пересекала эту фигуру не более чем в одной точке.

Линейная функция, ее график и свойства

Пример 1.

Масса одного гвоздя 4 г, а масса пустого ящика — 600 г. Зависимость между массой (в г) ящика с гвоздями и количеством гвоздей в нем, равным  ( — натуральное число), можно задать формулой:
.

Пример 2.

Ежемесячная зарплата продавца составляет 1500 руб. и  премии в размере 1 % от стоимости реализованного товара. Зависимость между зарплатой (в руб.) и стоимостью (в руб.) реализованного товара можно задать формулой:
.
В обоих примерах функции заданы формулами вида  , где и — некоторые числа.

Линейной называют функцию вида , где — независимая переменная, и — некоторые числа.

Числа и называют коэффициентами линейной функции.
Выясним, как выглядит график линейной функции. В формуле независимая переменная  можно принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции состоит из всех чисел.

Пример №212

Построить график функции .
Решение. Функция является линейной. Составим для нее таблицу нескольких значений независимой переменной и соответствующих ей значений функции :

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице. С помощью линейки можно убедиться, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Эта прямая является графиком линейной функции    (рис. 18).

                                              Рис. 18

Графиком любой линейной функции является прямая.

Поскольку прямая однозначно задается двумя своими точками, для построения прямой, являющейся графиком линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, обозначить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример №213

Построить график функции .
Решение. Составим таблицу для двух произвольных значений аргумента.

Обозначим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую. Получаем график функции (рис. 19).

Если коэффициенты линейной функции являются дробными числами, то для
нахождения двух точек ее графика целесообразно подбирать такие целые значения аргумента, чтобы соответствующие им значения функции также выходили целыми.
Например, для функции удобно взять = — 1 и   = 5, тогда для построения ее графика получим точки (—1; —1) и (5; 1).
Если , формула будет иметь вид ,  то есть . Линейная функция, которая задана формулой , приобретает одни и те же значения при любых значениях .

                 Рис. 19                                            Рис. 20

Пример №214

Построить график функции .

Решение. Любому значению соответствует одно и то же значение , равное . Графиком функции является прямая, которая проходит через точки вида , где   — любое число. Выберем любые две из них, например (—5; —3) и (2; —3), и проведем через них прямую (рис. 20). Эта прямая и является графиком функции . Она параллельна оси .

Прямая вида  является параллельной оси .

Итак, чтобы построить график функции  , достаточно обозначить на оси точку с координатами и провести через нее прямую, параллельную оси .

Если , формула принимает вид .

Функцию вида , где — независимая переменная,   — число, отличное от нуля, называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, и к тому же при значение также равно 0, то графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

На рисунке 21 изображены графики функций и .

Обобщим свойства линейной функции .

1. Область определения функции состоит из всех чисел.
2. Область значений функции при состоит из всех чисел; при только из одного значения —.
3. Графиком функции является прямая.

                          Рис. 21

Одним из важных свойств функции является существование точек пересечения ее графика с осями координат.

Если на координатной плоскости график функции уже изображен, то такие точки можно найти непосредственно из графика. Например, на рисунке 18 точкой пересечения графика функции    с осью абсцисс является точка (4; 0), а с осью ординат — точка (0; 1). В таком случае говорят, что точки пересечения найдены графически. Но графический способ не всегда дает возможность определить точные значения координат таких точек. Например, на рисунке 19 определить абсциссу точки пересечения графика функции   с осью абсцисс можно только приближенно, например .
Итак, с помощью графика функции найти точные значения абсциссы точки пересечения с осью абсцисс или ординаты точки пересечения с осью ординат не всегда возможно.

Для многих функций координаты точек пересечения графика с осями координат можно найти, не выполняя построения графика, в частности, если функция задана формулой. В таком случае говорят, что координаты точек пересечения найдены аналитически, причем их значения будут точными, а не приближенными.

Пример №215

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

Решение. Точка пересечения графика с осью абсцисс принадлежит этой оси, следовательно, ее ордината должен быть равен нулю. Поэтому для поиска точки (или точек) пересечения графика функции с осью абсцисс достаточно в формулу, которая задана функция, подставить значение и решить полученное уравнение.
Подставим 0 вместо в уравнение . Получим уравнение . Откуда . Следовательно, (3; 0) — точка пересечения графика функции с осью абсцисс.
Точка пересечения графика с осью ординат принадлежит этой оси, следовательно, абсцисса этой точки должна быть равна нулю. Поэтому для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат достаточно в формулу, которой задана функция, подставить значение  и выполнить вычисления.

Подставим 0 вместо в уравнение . Получим , то есть . Следовательно, (0; —6) — точка пересечения графика функции с осью ординат.
Ответ: (3; 0); (0; —6).

Заметим, что существуют функции, графики которых могут не пересекать оси координат или хотя бы одну из них.

Линейные уравнения и их системы

На протяжении многих веков алгебра развивалась как наука об уравнениях.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных.

Общие сведения об уравнениях

Уравнением называют равенство, содержащее переменную.

Основные сведения об уравнении вы уже знаете из предыдущих классов. Напомним, что выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение, записанное справа, — правой частью уравнения. Если в уравнение вместо переменной подставить число 2, то получим правильное числовое равенство 4 • 2 – 6 = 2, поскольку числовые значения обеих частей уравнения станут между собой равны. В таком случае о числе 2 говорят, что оно удовлетворяет уравнение, то есть является его корнем.

Число, удовлетворяющее уравнение, называют корнем или решением уравнения.

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например, уравнение имеет только один корень — число 2. Уравнение  имеет два корня — числа 0 и 6. Любое значение переменной удовлетворяет уравнение ,  поэтому любое число является его решением, следовательно, это уравнение имеет множество корней. Но не существует никакого значения переменной , которое бы превращало уравнение   в верное числовое равенство, поскольку при каждом значении переменной значение левой части уравнения будет на 1 превышать значение правой его части. Поэтому уравнение не имеет корней.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Рассмотрим уравнения   и   . Каждое из них имеет единственный корень — число 4. Эти уравнения являются равносильными.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.

Пример №216

Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1)   и  ;   2)   и   ;
3)    и   .

Решение. 1) Корнем уравнения является число 7. Корень уравнения  — также число 7. Поэтому уравнения    и  — равносильные.

2) Оба уравнения   и      не имеют корней, поэтому являются равносильными.

3) Корнем уравнения является число 1, а корнем уравнения  —
 число 2. Поэтому уравнения    и    не являются равносильными.

При решении уравнений используют свойства, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения:

1. если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
3. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример №217

Выяснить, являются ли равносильными уравнения:
1)    и   ;
2)  и  ;
3)   и  ;
4)   и  .

Решение. 1) Уравнения и    являются равносильными, поскольку второе уравнение получаем из первого раскрытием скобок в его левой части.

2) Уравнения   и  —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем из первого приведением подобных слагаемых в его правой части.

3) Уравнения    и    —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем из первого переносом слагаемого из правой части уравнения в левую с изменением знака этого слагаемого на противоположный.

4) Уравнения    и    —  равносильные, поскольку второе уравнение получаем путем умножения на 2 обеих частей первого уравнения.

Линейные уравнения с одной переменной

Мы знаем, как решать уравнения ;  ;  . Каждое из этих уравнений имеет вид , где   — переменная,  и — некоторые числа.

Уравнение вида , где — переменная, и — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа и называют коэффициентами этого уравнения.
Если , то уравнение является уравнением первой степени с одной переменной. Поделив обе части такого уравнения на , получим , то есть единственным корнем этого уравнения является число .

Если и , то линейное уравнение имеет вид . Корнем такого уравнения является любое число, так как при любом значении значения левой и правой частей уравнения одинаковы и равны нулю. Поэтому уравнение имеет множество корней.

Если   а  , то линейное уравнение будет иметь вид . При этом не существует никакого значения переменной , которое бы превращало левую и правую части уравнения в одно и то же число. Ведь значение левой части уравнения при любом значении равно нулю, а значение правой части —
числу , отличному от нуля. Поэтому уравнение  при не имеет корней.

Систематизируем данные о решении линейного уравнения в виде схемы:

 

Пример №218

Решить уравнение:

1) ;  2) ;  3) .

Решение.

Процесс решения многих уравнений является приведением этих уравнений к линейным путем равносильных преобразований по свойствам уравнений.

Пример №219

Решить уравнения:
1) ;  2) .
Решение.

1. Избавимся знаменателей (если они есть):

2. Раскроем скобки (если они есть):

3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а остальные —в правую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные:

4. Приведем подобные слагаемые:  

5. Решим полученное линейное уравнение:

Пример №220

Решить уравнение   относительно .
Решение. Раскроем скобки в левой части уравнения: .
Перенесем слагаемое в левую часть, а — в правую. Имеем: ;   . Тогда: ;  ;  .
Ответ: .

Решение задач с помощью линейных уравнений. Уравнение как математическая модель задачи

Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.

Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:

1. обозначить переменной одну из неизвестных величин;
2. другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
3. по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
4. решить полученное уравнение;
5. проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения других неизвестных величин;
6. записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью линейного уравнения.

Задача №64

На свой день рождения сестренки–близняшки Наталья и Елена получили вместе 127 поздравительных SMS-сообщений, причем Наталья получила на 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько SMS-сообщений на свой день рождения получила каждая из сестер?

Решение. Пусть Елена получила сообщений, тогда Наталья — . А обе вместе — сообщений, что по условию равняется 127.
Имеем уравнение: . Отсюда .
Итак, Елена получила 57 сообщений, 57 + 13 = 70 (сообщ.) — получила Наталья.

Ответ: 70 сообщений; 57 сообщений.

Задача №65

Максимально возможная сумма кредита рассчитывается банком по формуле: ,  где — сумма кредита, — среднемесячная зарплата заемщика. Для кредита сроком на один год считают, что , сроком на два года — , сроком на три года — . Какой должна быть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика, чтобы банк предоставил ему кредит в сумме 30 000 руб. на:

1) 1 год;   2) 2 года;   3) 3 года?

Решение. По условию = 30 000 руб. Пусть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика составляет руб.

1) Имеем уравнение: ;  откуда .
Итак, среднемесячная зарплата заемщика должен быть не меньше 10 000 руб.
2) Имеем уравнение: ; откуда .
Итак, среднемесячная зарплата должна быть не менее 4286 руб.
3) Имеем уравнение: ; откуда .
Итак, если заемщик хочет получить кредит на три года, то его среднемесячная зарплата должна быть не менее 2728 руб.
Ответ: 1) 10 000 руб.; 2) 4286 руб.; 3) 2728 руб.

Задача №66

Из города А в город В, расстояние между которыми 310 км, выехал грузовик. Через 30 мин. после этого из города В в город А выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. Грузовик и легковушка встретились через 2 часа после выезда легковушки. Найти скорость каждого из этих автомобилей.

Решение. Пусть скорость грузовика — км/ч.
Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Поскольку машины выехали в противоположных направлениях и встретились,
то вместе они проехали 310 км.
Имеем уравнение: .
Решим его: ;
4,5  = 270;
= 60 (км/ч) — скорость грузовика;
60 + 20 = 80 (км/ч) — скорость легковушки.
Ответ: 60 км/ч; 80 км/ч.

Линейные уравнения с двумя переменными

В предыдущих лекциях мы рассматривали уравнения с одной переменной. Однако в алгебре встречаются уравнения и с несколькими переменными. В частности, мы рассмотрим уравнение с двумя переменными.

Пример №221

Сумма одного числа и квадрата второго равна 17. Если первое число обозначить через , а второе — через , то соотношение между ними можно записать в виде равенства , которое содержит две переменные   и . Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или уравнениями с двумя неизвестными).

Если ; , то уравнение превращается в верное числовое равенство. В таком случае говорят, что пара значений переменных ; является решением уравнения . Или сокращенно: пара чисел (1; 4) является решением уравнения.

Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, которая превращает уравнение в правильное числовое равенство.

Решениями уравнения также являются пары (–8; 5); (8, 3); (16; 1). При такой сокращенной записи решений уравнения важно знать, значение какой из двух переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. Если уравнение содержит переменные и , то на первом месте записывают значение переменной , а на втором — значение переменной .

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение произвольное значение одной из переменных и, решив полученное уравнение, найти соответствующее ей значение второй переменной.

Найдем таким способом еще несколько решений уравнения . Пусть , тогда  , откуда  ; пусть , тогда , откуда .
Получаем еще два решения уравнения: (13; –2) и (—19, 6).

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида, где и — переменные. Числа , и называют коэффициентами уравнения.

Уравнения с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также являются равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют те же свойства, что и уравнения с одним неизвестным:

1. если в уравнении раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;
2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;
3. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Пример №222

Рассмотрим уравнение  . Это уравнение с двумя переменными. Если в нем раскрыть скобки, затем перенести слагаемые, содержащие переменные, в одну часть уравнения, а те, которые не содержат, — в другую, дальше привести подобные слагаемые, получим уравнение , которое будет равносильно уравнению .

Используя свойства уравнений с двумя переменными, можно находить их решения и другим способом.

Пример №223

Рассмотрим уравнение . Используя свойства равносильности уравнений, выразим в этом уравнении одну переменную через другую. Например, переменную через переменную . Для этого сначала перенесем в правую часть уравнения: , затем обе части разделим на 5 и получим . Это уравнение равносильно уравнению . Теперь, имея формулу , можно найти сколько угодно решений уравнения . Для этого достаточно взять произвольное значение переменной и вычислить соответствующее ему значение переменной . Пары таких значений переменных   и   занесем в таблицу:

Пары чисел, записанные в столбцах таблицы, являются решениями уравнения . Это уравнение имеет множество решений.

График линейного уравнения с двумя переменными

Каждую пару чисел, которая является решением уравнения с двумя переменными и , можно обозначить точкой на координатной плоскости, абсциссой которой является значение , а ординатой — значение . Все такие точки образуют график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными и называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Выясним, как выглядит график линейного уравнения с двумя переменными.

Пример №224

Построить график линейного уравнения с двумя переменными .
Решение. Выразим переменную через переменную :
; следовательно,  .
Формула задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Для построения графика составим таблицу значений и для двух его точек:

График функции изображен на рисунке 28.
Поскольку уравнения   и являются равносильными,
то построенная прямая является также и графиком уравнения .

Пример №225

Построить график линейного уравнения с двумя переменными .
Решение. Уравнение равносильно уравнению . Это линейная функция, графиком которой является прямая, параллельная оси и проходящая через точку (0; –2) (рис. 29). Эта прямая также является и графиком уравнения .

                          Рис. 28                                                      Рис. 29

С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с двумя переменными , где  ,  является прямая.

Рассмотрим случай, когда .

Пример №226

Построить график уравнения .
Решение. Решением данного уравнения является каждая пара чисел вида (4, ), где — любое число, например (4; —2), (4; 0), (4; 3), (4; 7,5). График уравнения состоит из всех точек, абсциссы которых равны 4, а ординаты — любые числа.
Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (4; 0) параллельно оси (рис. 30).

Графиком уравнения ,  в котором хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля, является прямая.

Пример №227

На рисунке 31 изображен график уравнения , то есть , а на рисунке 32 — график уравнения ,  то есть .
1) Чтобы построить график уравнения = m, достаточно отметить на оси точку (0; m) и провести через нее прямую, параллельную оси .
2) Чтобы построить график уравнения = n, достаточно отметить на оси точку (n; 0) и провести через нее прямую, параллельную оси .

Рассмотрим случай, когда в линейном уравнении  оба коэффициента и равны нулю.

Пример №228

Пусть . Тогда имеем уравнение , например . Это уравнение не имеет решений, следовательно, его график не содержит ни одной точки, а потому не существует.

             Рис. 30                                        Рис. 31                                   Рис. 32

Пример №229

Пусть . Тогда имеем уравнение  . Любая пара чисел является решением этого уравнения, а его график — все точки координатной плоскости.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными и ее решение. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными графически

Пример:

Набор красок и набор кистей вместе стоят 96 руб., причем набор красок на 16 руб. дороже набора кистей. Сколько стоит набор красок и сколько — набор кистей?

Решение. Эту задачу можно решить арифметическим способом (по действиям) или с помощью уравнения с одним неизвестным. А еще ее можно решить с помощью линейных уравнений с двумя переменными.

Пусть набор красок стоит руб., а набор кистей —   руб. По условию вместе они стоят 96 руб., следовательно, имеем уравнение: . Поскольку набор красок дороже набора кистей на 16 руб., то имеем еще одно уравнение:  

Получили два уравнения с двумя переменными, которые являются математической моделью задачи. Чтобы решить задачу, надо найти такие
значения переменных и , которые одновременно превращали в верное
равенство каждое из полученных уравнений, то есть найти общее решение этих уравнений.

Если есть несколько уравнений, для которых нужно найти общее решение уравнений, говорится, что эти уравнения образуют систему уравнений. Записывают систему уравнений с помощью фигурной скобки. Составленную по условию данной задачи систему линейных уравнений с двумя переменными записывают так: 

Пара значений переменных   = 56, = 40 является решением каждого из уравнений системы. Такую пару чисел называют решением системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, которая является решением каждого из уравнений системы. Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графики уравнений. Такой способ решения систем уравнений называют графическим.

Пример №230

Решить систему уравнений:

Решение. Построим в одной координатной плоскости графики обоих уравнений (рис. 37).

Рис. 37

Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения , удовлетворяют данное уравнение. Аналогично координаты каждой точки прямой    удовлетворяют данное уравнение. Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первое, так и второе уравнение, то есть являются решением каждого из уравнений, следовательно, и решением данной системы уравнений. Поскольку графики пересекаются только в точке (2; 3), то система имеет единственное решение = 2; = 3. Проверкой (подстановкой в каждое из уравнений системы) убеждаемся, что найденная пара чисел действительно является решением данной системы. 

Это решение можно записать еще так: (2; 3), где на первом месте — значение переменной , а на втором — значение переменной .
Ответ: (2, 3).

Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения лишь приближенно. Но, подставив значения  = 2 и= 3 в каждое из уравнений данной системы, убеждаемся, что эта пара чисел является их решением, следовательно, пара (2; 3) оказалась точным решением.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных  и отличен от нуля. Графиками обоих уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые не пересекаются (параллельные), то система не имеет решений; если прямые совпадают, то система имеет множество решений.

Итак, чтобы решить систему уравнений графически, целесообразно
придерживаться такой последовательности действий:

1. построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости;
2. найти координаты точки пересечения графиков или убедиться, что графики уравнений не пересекаются (параллельны) или совпадают;
3. если координаты точки пересечения являются целыми числами, то выполнить проверку; если нет, то решение системы определить приближенно;
4. записать решение в ответ.

Пример №231

Решить систему уравнений: 

Решение. 1-й способ. Построим графики уравнений в одной координатной плоскости (рис. 38). Графики уравнений являются параллельными прямыми, следовательно, не имеют общей точки, поэтому система решений не имеет.

Поскольку рисунок не дает необходимой точности, убедиться, что система не имеет решений, можно и другим способом.

                           Рис. 38                                                         Рис. 39

2-й способ. Поделив обе части второго уравнения на 2, имеем:

Очевидно, что не существует таких значений переменных   и , для каких бы одновременно выполнялись равенства и . Следовательно, система уравнений решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример №232

Решить систему уравнений:

Решение. 1-й способ. Построим графики уравнений в одной координатной плоскости (рис. 39). Графики уравнений совпадают, поэтому данная система имеет множество решений. Любая пара чисел, которая удовлетворяет первое уравнение, удовлетворяет также и второе. Чтобы записать ответ к системе, выразим через  из первого уравнения: . Таким образом, любая пара чисел вида , где  — произвольное число, является решением данной системы.

2-й способ. Поделив обе части второго уравнения на 3, получим:

Очевидно, что имеем два одинаковых уравнения, следовательно, и графики
их совпадают. Затем рассуждаем так же, как в 1-м способе.
Ответ: , где — произвольное число.

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

Графический способ решения систем уравнений достаточно громоздкий и к тому же не всегда помогает найти точные решения. Рассмотрим другие (не графические) способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, которые называют аналитическими. Начнем со способа подстановки.

Пример №233

Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения выразим переменнуючерез переменную :

.
Подставим выражение   во второе уравнение вместо. Получим
систему:

Теперь второе уравнение системы (2) содержит только переменную . Решим его:

Подставим число 2 вместо в равенство . Получим соответствующее значение :

Пара (2; –1) является решением каждого из уравнений системы (2), следовательно, является решением системы (2). Эта пара является решением каждого из уравнений системы (1) и поэтому является решением системы (1).
Ответ: (2; 1).

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одинаковые решения, называют равносильными. Системы, которые не имеют решений, также считают равносильными.

Решая систему (1) способом подстановки, мы заменили ее равносильной ей системой (2), второе уравнение которой содержало только одну переменную.

Последовательность действий, которой следует придерживаться, решая систему линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки, рассмотрим на примере системы 

Способ подстановки удобно применять тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при переменных или равен 1 или –1. Именно переменную с таким коэффициентом целесообразно выражать через другую.

Способом подстановки можно решить и другие системы.

Пример №234

Решить систему:

Решение. В первом уравнении системы раскроем скобки, а обе части второго уравнения умножим на 6.

Имеем: 
Упростив каждое из уравнений системы, приведем ее к виду:

Далее применим способ подстановки. Выразим из первого уравнения через : . Подставив это выражение в другое уравнение и решив его, получим, что .
Найдем соответствующее ему значение : , то есть .

Ответ: (–3; 4).

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения

Теперь рассмотрим еще один аналитический способ решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными — метод сложения. Решая систему методом сложения, мы переходим от данной системы к равносильной ей системе, одно из уравнений которой содержит только одну переменную.

Пример №235

Решить систему уравнений:

Решение. В данной системе коэффициенты при переменной  являются противоположными числами. Сложим левые части уравнений системы и сложим правые их части. Сумма левых частей уравнений будет содержать подобные слагаемые, поэтому после их приведения получим уравнение с одной переменной:    .

Сложение уравнений системы, которое мы применили, называют почленным сложением. Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:

Из первого уравнения системы (2) имеем: . Подставив это значение во второе уравнение системы (2), получим, что .

Итак, пара чисел (–3; 2) является решением системы (2). Убедимся, что эта пара чисел является не только решением системы (2), но и решением системы (1). Для этого в каждое из уравнений системы (1) подставим вместо число –3, а вместо — число 2. Тогда в левой части первого уравнения получим 3 • (–3) + 5 • 2 = 1,
следовательно, значение левой и правой частей совпадают, поэтому пара (–3; 2) является решением первого уравнения. В левой части второго уравнения получим 4 • (–3) — 5 • 2 = –22, то есть значение левой части уравнения равно значению правой его части. Итак, пара (–3; 2) является решением и второго уравнения системы. Поскольку пара чисел (–3; 2) является решением каждого из уравнений системы (1), то она является решением системы (1).
Итак, системы (1) и (2) имеют одно и то же решение, поэтому являются равносильными.
Ответ: (–3; 2).

Методом сложения удобно решать системы, в уравнениях которых коэффициенты при одной и той же переменной являются противоположными
числами. 

Любую систему линейных уравнений с двумя переменными можно привести к виду, который будет удобным для применения метода сложения. Рассмотрим это на примере.
 

Пример №236

Решить систему 
Решение. Уравнения этой системы не имеют противоположных коэффициентов при одинаковых переменных, то есть вид системы не является удобным для применения метода сложения. Но если умножить обе части первого уравнения на число –2, то коэффициенты при переменной в обоих уравнениях станут
противоположными. После чего можно почленно сложить уравнения системы.
Запишем это решение:

Подставим найденное значение во второе уравнение системы, чтобы найти . Имеем: , откуда .
Окончательно имеем:

Ответ: (4; –5).

Последовательность действий, которой следует придерживаться, решая
систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, рассмотрим на примере системы

Решение задач с помощью системы линейных уравнений

Мы уже рассматривали задачи, которые можно решить с помощью уравнений. Математической моделью задачи может быть не только уравнение, но и система уравнений. Обычно это относится к тем задачам, где неизвестными являются значения двух или большего количества величин.

Пример №237

За 7 шоколадных батончиков и 2 плитки шоколада заплатили 85 руб. Сколько стоит батончик и сколько плитка шоколада, если известно, что три батончики дороже одной плитки на 3 руб.?

Решение. Пусть батончик стоит руб., а плитка шоколада —  руб. Тогда семь батончиков стоят  руб. , а две плитки шоколада — руб. Поскольку суммарно за такое количество батончиков и плиток шоколада заплатили 85 руб., имеем уравнение: .

Стоимость трех батончиков составляет  руб., и они дороже плитки шоколада на 3 руб. Поэтому получим еще одно уравнение: .

Чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны найти такие значения и , которые бы удовлетворяли оба уравнения, то есть удовлетворяли систему уравнений:

Решив эту систему, получим, что ; . Следовательно, стоимость шоколадного батончика — 7 руб., а стоимость плитки шоколада — 18 руб.

Ответ: 7 руб.; 18 руб.

Заметим, что эту задачу, как и некоторые другие из этой лекции, можно решить и с помощью уравнения с одним неизвестным. Но часто составить систему уравнений к задаче проще, чем составить к ней уравнение с одним неизвестным.

Решая задачу с помощью системы уравнений, следует соблюдать такую последовательность действий:

1. обозначить какие-то две неизвестные величины переменными (например, и );
2. по условию задачи составить систему уравнений;
3. решить полученную систему;
4. проанализировать найденные значения переменных в соответствии с условием задачи, ответить на вопрос задачи;
5. записать ответ.

Пример №238

За 2 часа против течения и 5 часов по течению моторная лодка преодолевает 120 км. За 2 часа по течению и 1 час против течения эта же самая лодка проходит 51 км. Найти собственную скорость лодки и скорость течения.
Решение. Пусть собственная скорость лодки км/ч, а скорость течения — км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна ( + ) км/ч, а скорость лодки против течения — ( – ) км/ч. За 5 ч по течению лодка проходит км, за 2 часа против течения — км, а вместе это составляет 120 км. Получаем уравнение: .
Рассуждая аналогично, можно по условию задачи составить еще одно уравнение: .

Имеем систему уравнений: 

Решив которую, получим: 

Итак, собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, а скорость течения — 1,5 км/ч.
Ответ: 6,5 км/ч;  1,5 км/ч.

Дроби. Дробные выражения. Рациональные выражения. Допустимые значения переменных

Мы ознакомились с целыми рациональными выражениями, то есть выражениями, которые не содержат деления на выражение с переменной. Примеры таких выражений:

Каждое целое выражение можно записать в виде многочлена. Например: 

В отличие от целых, выражения

содержат деление на выражение с переменной. Такие выражения называют
дробными рациональными выражениями.

Целые рациональные и дробные рациональные выражения называют
рациональными выражениями.

Рациональные выражения — это математические выражения, содержащие действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведение в степень с целым показателем.

Рациональное выражение вида   где а и b — выражения, которые содержат числа или переменные, называют дробью, где а — числитель этой дроби, b — его знаменатель.

Если числитель и знаменатель дроби — многочлены, то дробь называют рациональной дробью.

Целое рациональное выражение имеет смысл при любых значениях переменных, входящих в него, поскольку для нахождения значение этого выражения необходимо выполнить действия сложения, вычитания и умножения, что всегда возможно.

Рассмотрим дробное рациональное выражение  Значение этого выражения можно найти для любого значения х, кроме х = 3, так как при этом значении х знаменатель дроби превращается в ноль. Выражение   имеет смысл при всех значениях переменной х, кроме х = 3.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют
допустимыми значениями переменных.

Эти значения образуют область определения, или область допустимых значений переменных.

Пример №239

Найти допустимые значения переменных в выражениях:

Решение. 1) Выражение имеет смысл при любых значениях переменной m. 2) Допустимые значения переменной p — все числа, кроме –2, поскольку если , то знаменатель дроби обращается в ноль. 3) Знаменатель дроби  превращается в ноль, если x = 0 или х = 9 Поэтому допустимые значение переменной х — все числа, кроме 0 и 9. 4) Допустимые значение переменной у — все числа, кроме 3 и –3.
Сокращенно ответы можно записать так:
1) — любое число; 2) ; 3)  4) 
Рассмотрим условие равенства дроби нулю. Поскольку если то можно сделать вывод, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель а равен нулю, а знаменатель b не равен нулю.

Пример №240

При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: 
Решение. 1) Числитель дроби равен нулю, если х = 3. При этом значении переменной знаменатель не равен нулю, поэтому при х = 3 значение дроби равно нулю.
2) Числитель дроби равен нулю, если а = 2 или При каждом из этих значений знаменатель дроби не равен нулю. Поэтому при а = 2 и а = –1 значение дроби равно нулю.
3) Числитель дроби равен нулю, если b = 0 или   Но при b = 0 знаменатель дроби равен нулю, а при b = –3 знаменатель дроби не равен нулю. Поэтому дробь равна нулю только когда b = –3.
Ответ. 

Основное свойство дроби, сокращение дроби

Нам известно основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь,
равную данной. Иначе говоря, при любых натуральных числах a, b и с правильными являются равенства:

Докажем, что эти равенства правильные не только для натуральных чисел a, b и с, но и для любых других их значений, таких, как  и  

Докажем сначала, что Пусть  Тогда по определению частного a = bp. Умножим обе части этого равенства на c: 

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, имеем:

Поскольку  и , то . По определению частного имеем 
Поскольку  и  

Это равенство является тождеством.

Поменяем в этом тождестве местами левую и правую части:
                              
Это тождество позволяет заменить дробь  дробью , то есть
сократить дробь на общий множитель  числителя и знаменателя.

Свойство, выраженное тождествами  и , называют основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, то получим дробь, равную данной.

Рассмотрим примеры применения этого свойства при допустимых значениях всех переменных в дробях.

Пример №241

Сократить дробь 
Решение. Представим числитель и знаменатель этой дроби в виде произведений, содержащих их общий множитель — выражение 8a, и сократим дробь на это выражение:

Ответ. 
 

Пример №242

Сократить дробь 

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:  . Сократим дробь на общий множитель  числителя и знаменателя: 

Ответ. 

Итак, чтобы сократить дробь, необходимо:

1. разложить на множители числитель и знаменатель дроби;
2. выполнить сокращение на общий множитель числителя и знаменателя и записать ответ.

Тождество  позволяет приводить дроби к заданным знаменателям.
 

Пример №243

Привести дробь к знаменателю 
Решение. Поскольку  то, умножив числитель и знаменатель дроби на получим дробь со знаменателем 

Множитель  называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби 

Ответ. 
 

Пример №244

Привести дробь  к знаменателю 

Решение. Поскольку , то , умножив числитель и знаменатель дроби  на –1, получим дробь со знаменателем 

Дробь можно заменить тождественно равным выражением 
При этом поставили знак «минус» перед дробью и изменили знак числителя  
Ответ.  

Аналогично, например, дробь  можно записать так: 

Итак,

• если изменить знак в числителе или знаменателе дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Это правило можно записать с помощью тождеств:

Пример №245

Найти область определения и построить график функции 

Рис.1

Решение. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме тех, при которых знаменатель  превращается в ноль. Поскольку 2х – 4 = 0, когда х = 2, то область определения функции состоит из всех чисел, кроме числа 2. Упрощая выражение
 имеем 
Итак,  если 
Графиком функцииявляется прямая, заданная формулой но без точки с абсциссой 2, то есть точкиНа рисунке эту точку «выкалывают» (изображают «пустой»). График функции  представлен на рисунке 1.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример:

В буквенном виде это записывают так:

Это равенство верно для любых дробей. Докажем это равенство (при условии ).

Пусть   и  Тогда по определению доли  и 
Имеем: 

Поскольку  то, используя определение частного, получим:

Итак, если  ,  то 
Получаем правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

• чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример №246

Аналогично можно доказать тождество

на основе которого выполняется вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Имеем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

• чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

Пример №247

Рассмотрим более сложные примеры.
 

Пример №248

Найти сумму и разность дробей   и  
Решение. 

Ответ: 

Пример №249

Упростить выражение

Решение.

Ответ: 
 

Пример №250

Сложить дроби  
Решение. Знаменатель  Преобразуем вторую дробь так, чтобы знаменатели дробей стали одинаковыми:

тогда

Ответ: — 5.
Если в тождествах  и  поменять местами левые и правые части, то получим тождества:

С помощью этих тождеств дробь, числитель которой является суммой или разностью двух выражений, можно записать в виде суммы или разности двух дробей.

Пример №251

  

Пример №252

Записать дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: 
Решение. 

Ответ: 

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если дроби имеют разные знаменатели, то их, как и обычные дроби, сначала надо привести к общему знаменателю, после этого можно будет воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим сложение дробей  и Приведем эти дроби к общему знаменателю bd. Для этого числитель и знаменатель дроби  умножим на , а числитель и знаменатель дроби  умножим на  Дроби  и привели к общему знаменателю bd. Напомним, что d является дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби  a  b — дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби 

После приведения дробей к общему знаменателю можно воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

или в сокращенном виде:

Аналогично можно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример №253

Часто при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями удается найти более простой общий знаменатель, чем произведение их знаменателей. Рассмотрим пример, в котором знаменателями дробей являются одночлены.

Пример №254

Выполнить сложение  
Решение. Общим знаменателем дробей, знаменатели которых одночлены, будет также одночлен. Коэффициент этого одночлена должен делиться как на 6, так и на 8.

Наименьшим таким числом является 24 (НОК(6; 8) = 24). В общий знаменатель каждая из переменных должна входить с наибольшим показателем степени, с которым она входит в знаменатели дробей. Таким образом, общим знаменателем дробей является одночлен  Дополнительным множителем к числителю и знаменателю первой дроби является потому  что а к числителю и знаменателю второй дроби  потому что  Итак, имеем:

Ответ: 
Рассмотрим пример, в котором знаменатель дроби является многочленом.
 

Пример №255

Выполнить вычитание 
Решение. Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатели дробей на множители:

Самым простым общим знаменателем дробей будет выражение ху (у — х). Дополнительным множителем к первой дроби будет  а ко второму — х. Выполним вычитание:

Ответ: 

Итак, чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, надо:

1. разложить на множители знаменатели дробей, если это необходимо;
2. определить общий знаменатель, желательно самый простой;
3. записать дополнительные множители;
4. найти дробь, которая является суммой или разностью данных дробей;
5. упростить эту дробь и получить ответ.

Аналогично выполняют сложение и вычитание целого выражения и дроби.

Пример №256

Упростить выражение 

Решение. Запишем выражение а + 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание:

Ответ: 

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Напомним, что произведение двух дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей. В буквенном виде это записывают так:

Докажем, что это равенство является тождеством для всех значений а,

Пусть  Тогда по определению частного 
Поэтому   Поскольку то, используя определение частного еще раз, получим  Тогда, если  и  то
Сформулируем правило умножения дробей:

• чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить отдельно их числители и отдельно знаменатели и записать первое произведение числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример №257

Выполнить умножение 
Решение. 
Ответ: 
 

Пример №258

Выполнить умножение дроби на дробь 
Решение. Используем правило умножения дробей и разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

Ответ:  

Пример №259

Умножить дробь на многочлен 
Решение. Целое выражение ( многочлен  ) можно представить в виде дроби со знаменателем 1: 
Имеем: 

Ответ: 
Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и больше множителей.
 

Пример №260

Рассмотрим возведение дроби  в степень  где n — натуральное число. По определению степени имеем:

Следовательно,
Сформулируем правило возведения дроби в степень:

• чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель дроби.

Пример №261

Возвести в куб дробь 
Решение.

Ответ:  

Пример №262

Представить в виде дроби:

Решение.

 Ответ: 

Деление дробей

Чтобы найти частное двух дробей, надо делимое умножить на дробь, обратную к  делителю:

В буквенном виде это записывают так:

Докажем, что это равенство является тождеством для всех значений а, b, с и d (где  и ).

Поскольку

то по определению частного 
Итак, если  и , то

Дробь называют обратной к дроби 

Сформулируем правило деления дробей:

• чтобы поделить одну дробь на другою, надо первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй.

Пример №263

Разделить дробь  на дробь 

Решение. 
 Ответ: 

Пример №264

Выполнить деление 
Решение. 
Ответ: 

Пример №265

Разделить дробь  на многочлен 
Решение. Представим целое выражение в виде дроби со знаменателем 1: .
Выполним деление:

Ответ: 

Тождественные преобразования рациональных неравенств

Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений.

Пример №266

Доказать тождество

Решение. Упростим левую часть равенства:

С помощью тождественных преобразований привели левую часть равенства к правой. Итак, равенство является тождеством.

Пример №267

Упростить выражение

Решение. Сначала представим выражения в каждой из скобок в виде дробей, а затем выполним деление:

Запись решения можно представить иначе:

Ответ:

Представленное в примере выражение свели к рациональной дроби  В общем, каждое выражение, содержащее сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей, можно представить в виде рациональной дроби.

Пример №268

Доказать, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения   неотрицательное.
Решение. Преобразовать выражение, заданное в условии, можно по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем поделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на у, используя основное свойство дроби:

Следовательно, при всех допустимых значениях переменных выражение тождественно равно одночлену значение которого является неотрицательным при всех значениях 

Решение рациональных уравнений

Рассмотрим уравнение:

Левая и правая части каждого из этих уравнений являются рациональными выражениями.

Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из рассматриваемых уравнений левая и правая части — целые выражения. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если в уравнении хотя бы одна часть является дробным выражением, такое уравнение называют дробным рациональным уравнением. Среди рассмотренных выше уравнений последние два — дробные рациональные.

Решение целых рациональных уравнений мы рассмотрели в предыдущих классах. Рассмотрим методы решения дробных рациональных уравнений, то есть уравнений с переменной в знаменателе.
1. Использование условия равенства дроби нулю: дробь  равна нулю тогда и только тогда, когда   и 

Пример №269

Решить уравнение 
Решение. С помощью тождественных преобразований сведем уравнение к виду  где а и  — целые рациональные выражения. Имеем:

Чтобы дробь   была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель  не равен нулю. Итак,  При х = 3 знаменатель х — 2 отличный от нуля:   Итак, х = 3 — единственный корень уравнения.
Запись решения уравнения можно было закончить иначе, а именно:

Ответ. х = 3.

Итак, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1. с помощью тождественных преобразований свести уравнение к виду  
2. приравнять числитель а к нулю и решить полученное целое уравнение;
3. исключить из его корней те, при которых знаменатель дроби b равен нулю.

2. Использование основного свойства пропорции , если
 ( где  ) , то  

Пример №270

Решить уравнение 
Решение. Выполним сложение в правой части уравнения:

По основному свойству пропорции имеем:
 при условии, что    и  
Решим полученное уравнение:

Проверим условия  и  Если 

 Итак, х = 4 — корень уравнения.
Запись решения можно было закончить иначе, а именно:

Ответ:  

Следовательно, при решении дробного рационального уравнения можно:

1. с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду 
2. используя основное свойство пропорции , получить целое уравнение и решить его;
3. исключить из его корней те, при которых знаменатели b или d равны нулю.

3. Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей.

Пример №271

Решить уравнение 
Решение. Разложим на множители знаменатели дробей:

Общим знаменателем всех дробей являетсяУмножим обе части уравнения на это выражение при условии, что
 Имеем:

Отсюда х = 0 или х = 12.
Но, если х = 0, то общий знаменатель  превращается в ноль и дроби и  не имеют смысла. Поэтому число 0 не является корнем уравнения. Если же х = 12, то общий знаменатель дробей не обращается в ноль. Поэтому число 12 — корень уравнения.
Ответ. х = 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

1. разложить на множители знаменатели дробей, если это возможно;
2. найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;
4. решить полученное целое уравнение;
5. исключить из его корней те, при которых общий знаменатель дробей обращается в ноль.

Пример №272

Равносильны ли уравнения   и 
Решение. Напомним, что два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни; также равносильными считают уравнения, не имеющие корней.
Первое уравнение имеет единственный корень х = 2, а второе — два корня х = 0 и х = 2 (решите уравнение самостоятельно). Поэтому уравнения не является равносильными.
Ответ. Нет.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению степени  если  — натуральное число и 

В математике, а также при решении задач практического смысла, например по физике или химии, бывают степени, показатель которых ноль или целое отрицательное число. Степень с отрицательным показателем можно найти в научной и справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так:
. Как понимать смысл записи 

Рассмотрим степени числа 3 с показателями 1, 2, 3, 4 ...

В этой строке каждое следующее число в 3 раза больше предыдущего. Продолжим строку влево, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число  должно быть в 3 раза меньше  Но в 3 раза меньше числа 3 является число 1, следовательно, Такое же равенство  будет выполняться для любого основания а, отличного от нуля.

Степень числа а, не равная нулю, с нулевым показателем равна единице:
 (если  )
Слева в строке от числа  стоит число  Это число в 3 раза меньше 1, то есть равно  Итак, с Далее аналогично получим:  и т. д. Целесообразно принять следующее определение степени с целым отрицательным показателем 

Если  и  n — натуральное число, то 

Пример №273

Заменить степень с целым отрицательным показателем дробью: 
Решение. 

Пример №274

Заменить дробь степенью с целым отрицательным показателем: 

Решение. 

Пример №275

Выполнить возведения в степень:  
Решение. 

Рассмотрим возведение в отрицательную целую степень дробь 
Если  натуральное число и имеем:

Имеем:

 

Пример №276

Вычислить:
Решение.  2) Напомним, что действие возведения в степень выполняется раньше действия умножения. Имеем: 

Ответ. 

Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем выполняются и для степени с любым целым показателем (необходимо только заметить, что основание степени отлично от нуля).
Итак,
для любого  и любых целых m и n:

Для любых    и любого целого n:

Эти свойства можно доказать, опираясь на формулу и свойства степени с натуральным показателем.
Докажем, например, формулу  для случая, когда m и n — отрицательные целые числа. Пусть   где  и  — натуральные числа. Имеем:

Итак,  если m и n — отрицательные целые числа. Также эту формулу можно доказать, если один из показателей m и n — отрицательное целое число, а другой — положительное или равное нулю.

Пример №277

 

Пример №278

Упростить выражение 
Решение. 

Пример №279

Вычислить 
Решение. Представим числа 9 и 27 как степени числа 3 и выполним вычисления:

Ответ. 3.

Стандартный вид числа

В физике, химии, технике, астрономии часто имеют дело как с очень большими, так и очень малыми числами. Например, масса Земли равна 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг, а диаметр молекулы водорода 0,00000000025 м.

Читать или записывать очень большие и очень малые числа в виде десятичных дробей неудобно, также неудобно выполнять действия с этими числами. В таких случаях удобно использовать степень числа 10 с целым показателем и записывать число в виде  где целое число, Например,

Говорят, что числа 5 976 000 000 000 000 000 000 000 и 0,00000000025 записаны в стандартном виде.

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения  где  и целое число.

Если число записано в стандартном виде, то порядок степени  называют порядком числа. Например, порядок числа,  который выражает массу Земли в килограммах, равен 24, а порядок числа, который  выражает диаметр молекулы водорода в метрах, равен –10.

В стандартном виде можно записать любое положительное число. Порядок числа дает представление об этом числе.

Если порядок числа равен 4, то это означает, чтото естьЕсли порядок числа  равен  то  то есть 
Большой положительный порядок числа показывает, что число очень большое. Большой по модулю отрицательный порядок числа показывает, что число очень маленькое.
 

Пример №280

Подать число х = 272000 в стандартном виде.
Решение. В числе х поставим запятую так, чтобы в
целой части была одна цифра, отличная от ноля. В результате
получим 2,72. Запятой отделили 5 цифр справа, поэтому х
уменьшилось в  раз. Отсюда 
Ответ. 

Пример №281

Представить число х = 0,00013 в стандартном виде.
Решение. В числе х перенесем запятую на 4 знака вправо, имеем 1,3. При этом число х увеличили в раз.
Итак, 
Ответ: 

Пример №282

Выполнить действия и записать результат в стандартном виде: 
Решение. 

Ответ. 

Пример №283

Выполнить сложение   и записать в стандартном виде.
Решение. 

Ответ. 

Функция её  график и свойства

Пример №284

Пешеходу надо пройти 16 км. Если он будет идти со скоростью    км/ч, то зависимость времени t (в часах), которое он потратит на весь путь, от скорости движения выражается формулой   При увеличении значения  в несколько раз значение t уменьшается во столько же раз. Говорят, что переменные t и  обратно пропорциональны.

Пример №285

Площадь прямоугольника равна 32   а одна из его сторон — а см. Тогда другую сторону  (в см) можно найти по формуле  В этом примере переменные а и b также обратно пропорциональны.

В рассмотренных примерах переменные  и приобретают только положительные значения. Далее будем рассматривать функции, заданные  формулой  вида    ( где  ), которые могут приобретать как положительные, так и отрицательные значения. Каждую из таких функций называют обратной пропорциональностью.

Обратной пропорциональностью называют функцию, которую можно задать формулой вида  где х — независимая переменная, k — некоторое число, отличное от нуля.

Областью определения функции  есть множество всех чисел, кроме нуля, поскольку выражение  не имеет смысла, если х = 0.
Построим график функции  отдельно в случае, когда k > 0 и когда k < 0.

Пример №286

Построить график функции 
Решение. Составим таблицу значений функции  для нескольких значений аргумента:

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (рис. 2). Если бы в этой плоскости обозначить большее количество точек, координаты которых удовлетворяют формулу   а затем соединить их плавной линией, то получили бы график функции (рис. 3).

Кривую,  которая является графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух веток. Одна из них размещена в первой координатной четверти, а вторая — в третьей. Гипербола не пересекает координатных осей: на графике есть точки, в которой абсцисса х = 0, и нет точки, в которой ордината у = 0 (поскольку уравнение   не имеет решений).

                                                                      Рис. 2

Чем больше по модулю является значение х, тем меньшим модулем является значение  и наоборот, чем меньшим модулем является значение х, тем больше по модулю является значение  Это значит, что ветки гиперболы неограниченно приближаются к осям координат. Такой же вид имеет график функции  при любом  

                                                                  Рис. 3

                                                                      Рис. 4

Пример №287

Построить график функции  
Решение. Рассуждая аналогично предыдущему примеру , получим график функции  (рис. 4).
Это также гипербола, одна из веток которой размещена во второй четверти, а вторая — в четвертой. Такой же вид имеет график  функции  при любом k < 0.

Обобщим свойства обратной пропорциональности 

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.
2. Область значений функции состоит из всех чисел, кроме у = 0.
3. График функции — гипербола, ветки которой размещены в первой и третьей координатных четвертях, если k > 0, и в второй и четвертой, если k < 0.
4. Ветки гиперболы неограниченно приближаются к осям координат.

Пример №288

Построить в одной системе координат графики функций  и   Найти точки пересечения этих графиков и решение  уравнения 

                                                    Рис. 5

Решение. Графиком функции  есть гипербола, которая размещена в I и III четвертях, а графиком функции  является прямая, проходящая через точки (0; —3) и (3, 0) (рис. 5). Они пересекаются в точках (4, 1) и (—1; —4). Абсциссы этих точек x = 4 и x = –1 являются решениями уравнения   Действительно, если x = 4, то выражения  и  приобретают равные значения   и  Также равные значения эти выражения приобретают, если  
Итак, x = 4 и x = –1 — корни уравнения 

Предложенный метод решения уравнений называют графическим методом решения уравнений. Если абсцисса точки пересечения графиков функций — целое число, необходимо выполнить проверку, поскольку в большинстве случаев корни уравнения этим методом определяются приближенно.

Пример №289

Построить график функции 
Решение. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме тех, при которых знаменатель  обращается в ноль. Поскольку  когда x = 0 или x = 2, то область определения состоит из всех чисел, кроме чисел 0 и 2.
Упрощая выражение   имеем    Итак,   если  

                                                     Рис. 6

Графиком функции  является гипербола, задаваемая формулой  но без точки с абсциссой 2, то есть точки (2; —4).
График функции   представлен на рисунке 6.

Квадратные корни и действительные числа

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа а обозначается знаком √a; а называется подкоренным выражением.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Функция   её  график

Пример №290

Пусть сторона квадрата равна а см. Тогда его площадь (в см²) вычисляется по формуле 

В этой формуле каждому положительному значению переменной а отвечает
единственное значение переменной S.

Если обозначим независимую переменную через х, а зависимую — через у, то получим функцию, заданную формулой  В этой формуле переменная х может принимать любое значение (положительное, отрицательное, ноль).

Составим таблицу значений функции   для нескольких значений аргумента:

Обозначим на координатной плоскости точки, представленные в таблице (рис. 8). Если бы в этой же плоскости обозначить большое количество точек, координаты которых удовлетворяют формулу  а затем соединить их плавной линией, то получили бы график функции  (рис. 9). Кривую, которая является графиком этой функции, называют параболой, точку (0; 0) — вершиной параболы. Вершина параболы разбивает ее на две части, каждая из которых называется веткой параболы.

Сформулируем некоторые свойства функции 

1. Область определения функции состоит из всех чисел.
2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: 

Действительно, поскольку  для всех значений 

                                     Рис. 8                                                                         Рис. 9

3. График функции — парабола, ее ветки направлены вверх, а вершиной является точка (0; 0). Все точки графика, кроме вершины параболы, размещены выше оси абсцисс.
4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Это следует из того, что при любом значении х.
 

Пример №291

Решить графически уравнение 
Решение. Построим графики функций  и (рис. 10). График первой функции — парабола, а второй — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; 1).Абсциссы точек пересечения графиков  и 

                                          Рис. 10

Проверка:  и 

 и 
Итак, х = — 3 и х = 1 — корни уравнения 
Ответ. 

Пример №292

Между какими последовательными целыми числами содержится единственный корень уравнения 
Решение. Решим уравнение графически, построив графики функций  и  Поскольку   для всех значений х, то и   Поэтому Рассмотрим графики данных функций при х > 0.
Оба графика в этом случае размещены в I четверти (рис. 11).

                                          Рис. 11

Итак, единственный корень уравнения  находится между числами 1 и 2.
Ответ. Корень находится между 1 и 2.

Квадратный корень, арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, то легко можно найти его площадь. В то же время приходится часто решать обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №293

Площадь квадрата равна Чему равна его сторона?

Решение. Пусть сторона квадрата равна х см, тогда его площадь равна По условию  Это уравнение имеет два корня: числа 4 и –4. Действительно  и 
Поскольку длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, то условие задачи удовлетворяет только один из корней уравнения — число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения  то есть числа, квадраты которых равны 16 называют квадратными корнями из числа 16.
Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Пример №294

1) Квадратным корнем из числа 100 являются числа 10 и –10, так  = 100 и  = 100.

2) Квадратным корнем из числа 0 является 0, потому что 

3) Квадратный корень из числа пока найти не можете, поскольку среди известных вам цифр не существует числа, квадрат которого равен –16.

Число 4, которое является неотрицательным корнем уравнения  называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают  знак арифметического квадратного корня). Выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают так: квадратный корень из числа а (слово арифметический при чтении принято опускать).

Пример №295

 (поскольку  и  
2)  (поскольку   и 
3)  (поскольку    и  

4)  (поскольку    и 
Вообще, равенство  является правильным, если выполняются два условия: 
Поскольку  для всех значений переменной х, то 

Выражение  не имеет смысла, если а < 0.

Например, не имеют смысла выражения 
Вычисления арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел.

Пример №296

Найти значение корня 
Решение. По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем   Поэтому 

Пример №297

Вычислить 
Решение. Сначала необходимо найти значение выражения  а затем извлечь корень из полученного выражения:

Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение   где — некоторое число. Если то из определения квадратного корня следует, что   Если же  то уравнение не имеет решений, так как не существует числа х, для которого Систематизируем данные о решении уравнения   в виде таблицы:

Пример №298

Решить уравнение: 

Решение.  2) уравнение не имеет решений; 3) 
Ответ. 1) х = 49; 2) уравнение не имеет решений; 3) х = 13.

Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа. Числовые множества

Целые числа (положительные, отрицательные и 0), дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рациональных чисел — буквой Q. Чтобы записать, что определенное число принадлежит некоторому множеству чисел, используют знак  Например,  Если же число не принадлежит определенному множеству чисел, это записывают с помощью знака  Например, 

Любое рациональное число можно записать в виде   где m — целое число, n — натуральное число.

Например,

Рациональные числа можно представить в виде десятичной дроби. Для этого надо числитель дроби разделить на его знаменатель.
Например,

В последнем случае получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби  и   можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, приписав справа в виде десятичных знаков бесконечное количество нулей:

Итак,

• каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Обратное утверждение также верно:
каждая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторого рационального числа.
Например, 

В этих равенствах легко убедиться, выполнив деления.
Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде  где  целое число, а n — натуральное число.

Числа, которые нельзя записать в виде   где  целое число, a натуральное число, называют иррациональными числами.

Приставка "ир" означает отрицание, иррациональные означает не рациональные.

Примерами иррациональных чисел являются   и т. п. Приближенные значения этих чисел можно находить с определенной точностью (т. е. округлеными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой R. Поскольку каждое натуральное число является целым числом, то множество натуральных чисел является частью множества целых чисел (рис. 12).
Говорят, что множество N является подмножеством множества Z. Аналогично, множество Z  является подмножеством множества Q, а множество Q  —подмножеством множества R.

             Рис. 12
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных 
непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.
 

Пример №299

(так ) 2)  (так ).
В практических задачах, выполняя действия над действительными числами, их заменяют приближенными значениями, округляя до определенного разряда.

Пример №300

Вычислить  с точностью до тысячных.
Решение.  

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении и делении (на отличное от нуля число), возведении в степень действительных чисел применимы все свойства, что и для действий над рациональными числами.

Тождество   Уравнение 

Напомним, что для всех значений  равенство  является верным, если выполняются два условия: 
Подставив в последнее равенство вместо х его запись в виде  получим тождество

Для любого  выполняется тождество 
Пример 1. Вычислить: 
Решение. =
Рассмотрим уравнение где a — некоторое число.
Поскольку квадрат числа не может равняться отрицательному числу, то когда а < 0, уравнение  не имеет решений.

• Если а = 0, то единственным корнем уравнения является число 0.
• Если а > 0, то корнями уравнения  являются числа  и  

Действительно,

Для того  чтобы убедиться, что уравнение  где а > 0, других корней не имеет, обратимся к графической интерпретации решения этого уравнения. Построим график функции  и график функции  где а > 0 (рис. 13). Эти графики пересеклись дважды в точках с абсциссами и 

                      Рис. 13
Систематизируем данные для решения  уравнения  в виде таблицы:

Пример №301

Решить уравнения: 

Решение.  следовательно,  
2) уравнение не имеет решений;
3)  Корнями уравнения   являются иррациональные числа;
4) имеем   или   Решив первое из уравнений, получим  а второе  Следовательно, уравнение имеет два корня 

Ответ.  2) уравнение не имеет решений; 3) 

Арифметический квадратный корень из произведения, дроби и степени. Произведение и частное квадратных корней. Тождество 

Сравним значения выражений  и 

Итак,  Аналогичное свойство имеет корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть если  и   то 

Доказательство. Поскольку  и то выражения  и  имеют смысл и  Поэтому Кроме того,

Итак,  и  По определению квадратного корня имеем: 
Доказанная теорема распространяется на случай, когда множителей под знаком корня больше двух.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство. Докажем это следствие, например, для трех неотрицательных чисел  Имеем:

 

Пример №302

 

Если в равенстве  поменять местами левую и правую части, то получим тождество:

 

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №303

Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенного на корень из знаменателя, то есть, если  и  то

Доказательство. Поскольку  и то выражения  и имеют смысл и  Поэтому  Кроме того,

Итак,  и  По определению квадратного корня имеем:

Пример №304

Если в равенстве  поменять местами левую и правую части, то получим тождество:
 где 

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №305

Рассмотрим извлечение квадратного корня из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения а имеет место тождество

Доказательство. Поскольку  для любого а и  то по определению квадратного корня 
 

Пример №306

 
Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения а и натурального значения k имеет место тождество 
Доказательство.  По теореме о корне из квадрата имеем  Итак, 
 

Пример №307

 
 

Пример №308

Упростить выражение:  где р < 0.
Решение.  Поскольку для любого а , то  Итак, 
2)   Поскольку   поэтому 

Итак, если 

Ответ. 

Тождественные преобразования выражений, которые имеют квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

1. Вынесение множителя из-под знака корня.

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения 

В таком случае говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае вынесли из-под знака корня множитель 2.

Пример №309

Вынести множитель из-под знака корня в выражении  
Решение. Выражение  имеет смысл, если  (если  то  ). Представим выражение   в виде произведения  в котором  является степенью с четным показателем. Тогда 

Поскольку  то   Поэтому Итак,

Ответ:  

2. Внесение множителя под знак корня.

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:

Говорят, что внесли множитель под знак корня. В данном случае внесли под знак корня множитель 2.
Отметим, что под знак корня можно внести только положительный множитель.

Пример №310

Внести множитель под знак корня: 

Решение.  

2) Множитель m может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому следует рассмотреть два случая:
если  то  
если  то  
Ответ.  если  если  

3. Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни.

Используя правила умножения и деления корней, можно выполнять соответствующие действия над выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №311

Используя тождество  где  можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №312

Рассмотрим пример сложения квадратных корней.
 

Пример №313

Упростить выражение 
Решение. Слагаемые содержат общий множитель 
Вынесем его за скобки:  Конечно, решение записывают короче: 

Заметим, что выражения и  в данном примере называют подобными радикалами, мы их сложили, использовав правило приведения подобных слагаемых.

Пример №314

Упростить выражение 
Решение. В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня:

Получили сумму, которая содержит корни с одинаковым подкоренным выражением. Эта сумма равна 
Ответ.

Пример №316

Упростить выражение: 

Решение. 

Ответ. 

4. Сокращение дробей.

Пример №316

Сократить дробь:  
Решение. 1) Поскольку  то числитель дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений:

2) Учтем, что  и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе дроби:

Ответ. 

5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №317

Преобразовать дробь  так, чтобы она не содержала корня в знаменателе дроби.

Решение. Для выполнения задания достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на 

Ответ.
В таком случае говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №318

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 

Ответ. 

Функция   её график и свойства

Пусть S  — площадь квадрата, а см — его сторона. Поскольку то зависимость стороны квадрата a от его площади S можно задать формулой 

Рассмотрим функцию  Очевидно, что переменная x приобретает
неотрицательные значения:  Составим таблицу значений функции  для нескольких значений аргумента:

Обозначим эти точки на координатной плоскости (рис. 14).

Если бы в этой же плоскости обозначили большее количество точек, координаты которых удовлетворяют уравнение  а затем соединили их плавной линией, то получили бы график функции (рис. 15). Графиком этой функции является ветвь параболы.

Можно выделить следующие свойства функции  

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел: 
2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: 
3. График функции — ветвь параболы. График функции проходит через точку (0; 0). Все остальные точки графика размещены в первой координатной четверти.
4. Большему значению аргумента соответствует большее значения функции.

                                                          Рис. 14

                                                             Рис. 15

Последнее свойство позволяет сравнивать значения выражений, содержащих корни.

Пример №319

Сравнить числа:  и  и  и
Решение. 1) Поскольку

2) Поскольку  а потому 
3) Внесем множители обоих выражений под знаки корня:

Поскольку   а потому 

Пример №320

Решить графически уравнение 
Решение. Поскольку мы пока не умеем строить график функции   то поделим левую и правую части уравнения на 5:

Построим графики функций  и  (рис. 16).
Получили точку пересечения графиков с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся в том, что х = 4 — корень уравнения. В самом деле, 
Ответ: х = 4.

                                     Рис. 16

                                                                 Рис. 17

Пример №321

Построить график функции
 
Решение. График представлен на рисунке 17.

Квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, их решение

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека случаются задачи, приводящие к уравнениям, в которые переменная входит во второй степени.

Пример №322

Длина земельного участка на 15 м больше, чем ширина, а площадь равна   Найти ширину участка.
Решение. Пусть  — ширина участка, тогда ее длина  По условию задачи площадь участка равна  Поэтому  Отсюда имеем уравнение

Такое уравнение называют квадратным.
Уравнения   также квадратные.

Квадратным уравнением называют уравнение вида  где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем 

Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число с — свободным членом.

Уравнение  имеет следующие коэффициенты: а = 1; b = 15;
с = —375. В уравнении  коэффициенты: а = 5, b = —2, с = —7, а в уравнении  коэффициенты а = 3; b = 1 и с = 8.

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют сводным. Уравнение   является сводным, а уравнение  не является сводным.

Если в квадратном уравнении  хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Примеры неполных квадратных уравнений 
 В первом из них b = 0 и с = 0, во втором b = 0, в третьем с = 0.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 

Рассмотрим решение каждого из них.   Поскольку  то тогда уравнение имеет единственный корень х = 0.
2) Имеем Поскольку то и  Если  то    если  то уравнение не имеет решений.

Пример №323

Решить уравнения: 
Решение.   тогда  
2)  Уравнение не имеет решений.
3)  Разложим левую часть уравнения на множители:  Тогда  или 
Поскольку  имеем   Следовательно, уравнение имеет
два корня:   и 

Пример №324

Решить уравнение 
Решение  отсюда  или 
Уравнение имеет два корня 
Ответ.

Систематизируем данные о решении  неполного квадратного уравнения в виде таблицы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение и решим его в общем виде.
Умножим левую и правую части уравнения на 4а (поскольку  то и ):

Прибавим к обеим частям уравнения

Поскольку то имеем:

Выражение   называют дискриминантом квадратного
уравнения  (дискриминант — от латинского "различие").

Обозначают дискриминант буквой D. Следовательно,  
Продолжим решение уравнения:

Рассмотрим различные возможные случаи в зависимости от D.
Пусть
1) D > 0. Тогда
 или  
 или 

  или 
(При делении на 2а  иметь ввиду, что
Итак, если D > 0, то уравнение  имеет два различных корня:
   и   
Кратко это можно записать так:
 где 
Это формула корней квадратного уравнения.
 Тогда  

Если D = 0, то уравнение имеет один корень 

Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая

 Поэтому иногда говорят, что уравнение  при
D = 0 имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен 
3) D < 0. В этом случае уравнение  не имеет
корней, поскольку не существует такого значения х, при котором
значение выражения  было бы отрицательным.
Систематизируем данные о решении квадратного уравнения в таблице:

Пример №325

Решить уравнение: 

Решение.  

Уравнение не имеет решений.
Ответ.  3) уравнение не имеет решений.

Пример №326

Решить уравнение 
Решение. Умножим левую и правую части уравнения на (—7), чтобы его коэффициенты стали целыми числами: 
 Тогда  Поскольку 

 то имеем 

Ответ. 

Теорема Виета

Рассмотрим таблицу, в которой приведены квадратные уравнения, указаны их корни   и суммы корней  и их произведения 

Из таблицы видно, что сумма корней каждого из уравнений равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Такое свойство подтверждается для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни. Приведенное уравнения в общем виде принято записывать так: 

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Пусть   и корни приведенного квадратного уравнения  0, дискриминант которого 
Если D > 0, то уравнение имеет два корня:
 и 
Если D = 0, то уравнение  имеет один корень или два одинаковых корня.
Найдем сумму и произведение корней:

Итак,  Теорема доказана.

Доказанную теорему называют теоремой Виета — по имени выдающегося французского математика Франсуа Виета. Её можно сформулировать еще так:

• Если и  корни приведенного квадратного уравнения  то 

Последние два равенства, выражающие связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виета.

Франсуа Виет (1940—1603)

Используя теорему Виета, легко можно вывести соответствующие формулы
для любого квадратного уравнения

Поскольку то разделим левую и правую части уравнения на а. Имеем 
приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета: 
 

Если  и  корни квадратного уравнения 

Пример №327

Уравнение  имеет положительный дискриминант, поэтому оно имеет корни  и  По теореме Виета

Если в уравнении  число q является целым, то из равенства
 следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа q.

Пример №328

Найти подбором корни уравнения 
Решение. Пусть  и корни уравненияТогда и  Если  и  целые числа, то они являются делителями числа — 4, кроме того, их сумма равна –3. Нетрудно догадаться, что 
Ответ. 

Пример №329

Один из корней уравнения  равен 3. Найти и второй корень.
Решение. По условию  корень уравненияПусть второй корень этого уравнения. По теореме Виета: Учитывая  получаем:

Ответ. 

Пример №330

  и корни уравнения  Не решая уравнение, найти:

Решение. По теореме Виета 
Имеем:

Ответ. 
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа m и n  такие, что m + n = –p, а mn = q, то эти числа являются корнями уравнения .

Доказательство. По условию m + n = –p, а mn = q. Поэтому уравнение  можно записать так:

Подставим в это уравнение вместо переменной х поочередно числа m и  n:

Итак, m и n — корни уравнения  что и требовалось доказать.

Пример №331

Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого равны –5 и 2.
Решение. Уравнение имеет вид 
 По теореме, обратной теореме Виета:

Итак,   искомое уравнение.

Ответ. 

Решение задач с помощью квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно решать многие задачи в математике, физике, технике, практической деятельности человека.

Пример №332

Разница кубов двух натуральных чисел равна 279. Найти эти числа, если их разность равна 3.
Решение. Пусть меньшее из натуральных чисел равно  тогда большее равно По условию

Упростим полученное уравнения. Имеем  Отсюда  По смыслу задачи число  натуральное. Поэтому задачу удовлетворяет только число 4. Итак, первое искомое число 4, а второе 4 + 3 = 7.
Ответ. 

Пример №333

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем 432 места?
Решение. Пусть в кинотеатре х рядов, тогда мест в каждом ряду  Всего мест в зале  По условию 

Решая это уравнение , получим:

По смыслу задачи значение х — положительное число. Это условие удовлетворяет только первый корень. Итак, в кинотеатре 18 рядов.
Ответ. 18 рядов.

Пример №334

В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найти количество его сторон.
Решение. Пусть в многоугольника  сторон. Из каждой из  вершин выходят  диагонали. А значит, всего из всех  вершин выходят  диагонали. Но при этом каждая диагональ учтена дважды. Итак, всего диагоналей 
По условию задачи   Имеем,  Отрицательный корень не удовлетворяет условие задачи.
Ответ. 12 сторон.

Пример №335

Тело подброшено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Высота h (в м), на которой через t с будет тело, вычисляется по формуле  В какой момент времени тело будет на высоте 15 м?
Решение. По условию: отсюда  Решив это уравнение, имеем Оба эти корня уравнения являются  решением задачи, поскольку на высоте 15 м тело будет дважды: сначала при подъеме (это произойдет через 1 с), а второй раз — при падении (это произойдет через 3 с).
Ответ. 1 с; 3 с.

Квадратный трехчлен, его корни, разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения  и являются многочленами второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом  называют многочлен вида где х — переменная, а, b, с — числа, причем 

Пример 1. Выражение  является квадратным трехчленом, в котором а = 1, b = 2, с = —3.
Пример 2. Рассмотрим квадратный трехчлен 
Если то значение квадратного трехчлена равно нулю (действительно  Число — 1 является корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при которой значение этого трехчлена равно нолю.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо
решить уравнение 

Пример №336

Найти корни квадратного трехчлена
Решение. Решим уравнение  Получим   Итак, квадратный трехчлен имеет корни  и 
Ответ. 

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (два одинаковых корня) либо не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который называют также дискриминантом квадратного трехчлена  

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень (два равных корня), если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если известны корни квадратного трехчлена, то его можно разложить на линейные множители, то есть множители, которые являются многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если   и корни квадратного трехчлена  то 

Доказательство. Если    и корни квадратного уравнения  то по теореме Виета Для доказательства утверждения теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Итак,  что и требовалось доказать.
Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то его можно разложить на множители, которые являются многочленами первой степени.

Пример №337

Разложить на множители трехчлен:

Решение.
1) Корнями уравнения  являются числа 1 и 2,5.
Поэтому  Найденный результат можно записать иначе, умножив на –2 двучлен 
Имеем, 
2) Квадратное уравнение имеет два равных корня  Поэтому 
3) Квадратное уравнение  не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен  нельзя разложить на множители.

Пример №338

Сократить дробь 
Решение. Разложим на множители квадратный трехчлен 
Корнями уравнения  являются числа 1 и –0,5. Поэтому  Итак,

Ответ. 

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом ,  бывает удобно представить его в виде  где m и n — некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №339

Выделить из трехчлена  квадрат двучлена.
Решение. Вынесем за скобки множитель 2:

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 4х как произведение  добавим и вычтем 

Ответ. 

Пример №340

Дан квадратный трехчлен  При каком значении х он приобретает наибольшее значение и чему равно это значение трехчлена?
Решение. Выделим из данного трехчлена квадрат двучлена:

Выражение  при любом х отрицательное или равно нулю, причем это выражение равно нулю только для значения х = 3. Следовательно, квадратный трехчлен   приобретает  наибольшее значение, равное 16, если х = 3.

Решение  уравнений, которые сводятся к квадратным

1. Дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений часто сводят к решению квадратных уравнений.

Пример №341

Решить уравнение

Решение. Разложим на множители знаменатели дробей:

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение  при условии, что он не равен нулю. Имеем:

Если же  то  если же  то
 поэтому х = –2 — не является корнем уравнения. Итак,
единственный корень уравнения — число 3.
Ответ. 3.

2. Метод разложения многочлена на множители.

Некоторые уравнения можно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Пример №342

Решить уравнение 
Решение. Вынесем в левой части уравнения за скобки х:

Отсюда х = 0 или  Второе уравнение имеет корни:
х = 3, х = –5. Следовательно, уравнение  имеет три корня:
Ответ. 0; 3; –5.

3. Биквадратные уравнения.

Уравнения вида  где называют биквадратным уравнением. Это уравнение можно решить, вводя новую переменную, а именно, обозначив  через t. Есть 
Исходное уравнение примет вид  Такой метод решения называют методом замены переменной.

Пример №343

Решить уравнение 
Решение. Сделаем замену  тогда имеем уравнение  Это уравнение имеет корни 
Вернемся к переменной x.
1) Тогда 
2)  Тогда уравнение не имеет решений.
Итак, исходное уравнение имеет корни 
Ответ. 2; –2. 

4. Метод замены переменной.

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить с помощью замены переменной.

Пример №344

Решить уравнение 
Решение. Сделаем замену   Получим уравнение для  Оно имеет корни 

Вернемся к переменной x.
1) Тогда 
2) Тогда  уравнение не имеет решений.
Итак, исходное уравнение имеет два корня 
Ответ. 

Пример №345

Решить уравнение 
Решение. Поскольку  

то имеем уравнение:
Сделаем замену  Получим уравнение для t:

Решив его, получим Вернемся к переменной х.

Итак, исходное уравнение имеет корни: 
Ответ. 

Решение задач с помощью уравнений, которые сводятся к квадратным

Решение многих задач сводится к решению дробных рациональных уравнений.

Пример №346

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, выехали одновременно автомобиль и мотоцикл. Скорость автомобиля на 10 км/ч больше скорости мотоцикла, поэтому он приехал в пункт назначения на 1 час раньше. Найдите скорость мотоцикла и скорость автомобиля.

Ответ. Обозначим скорость мотоцикла х км/ч и систематизируем данные в виде таблицы:

Поскольку величина   час на 1 час меньше, чем величина  час, то имеем уравнение: 
Решив его, получим: Второй корень не удовлетворяет условие задачи. Следовательно, скорость мотоцикла 70 км/ч, а автомобиля   (км/ч).
Ответ. 70 км/ч; 80 км/ч.
 

Пример №347

Мастер и ученик, работая вместе, выполнили задание за 8 часов. За сколько часов может выполнить это задание каждый из них, работая отдельно, если мастеру на это нужно на 12 часов меньше, чем ученику?

Решение. Пусть мастеру, чтобы выполнить задачу, работая отдельно, нужно х ч, тогда ученику  ч.
За 1 ч мастер выполнит  часть задачи, а ученик  часть задачи. Вместе за один час они выполнят  часть задачи. По условию задачи мастер и ученик, работая вместе, выполнили задачу за 8 часов, поэтому за 1 час они выполняли  часть задачи. Итак, имеем уравнение:

Решив его, получим:  Второй корень не удовлетворяет условие задачи. Итак, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а ученик — за 12 + 12 = 24 (ч).

Ответ. Мастер — за 12 ч, ученик — за 24 ч.

Неравенства

Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовые неравенства

В предыдущих классах вы научились сравнивать любые числа и записывать результат сравнения в виде равенства или неравенства, используя знаки . Например, .

Выражение, которое слева от знака неравенства, называют левой частью неравенства, а выражение, которое находится справа — правой частью неравенства. Так, в предыдущем неравенстве, левой частью неравенства является число 5, а правой — 7.

Неравенство, обе части которого являются числами, называют числовым неравенством. Например:

.

Для двух произвольных чисел и   правильным является одно и только одно из соотношений: или  . Раньше мы использовали то или иное правило для сравнения чисел в зависимости от их вида (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми и разными знаменателями). Но было бы удобно иметь одно универсальное правило сравнения. 

Известно, что . Рассмотрим разность левой и правой части этого неравенства: , разность является положительной. Рассматривая разность между левой и правой частью неравенства  получим , разность отрицательна. В равенстве , рассмотрев левую и правую части, получим ,  разность равна нулю. 

Переходим к определению сравнения чисел.

 a > b, если a – b > 0; 

 a < b, если a – b < 0;  

 a = b, если a – b = 0; 

Пример №348

Сравнить и . 

Решение. Рассмотрим разность чисел  и . 

.

Разность отрицательная, поэтому .

Ответ: .

Напомним, что на координатной прямой меньшему числу соответствует точка, лежащая слева от точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1, точка, соответствующая числу  лежит слева от точки, соответствующей точке  , поэтому  . 

Рис. 1

Числовые неравенства бывают правильными и неправильными. 

Например,  — правильные числовые неравенства, а  — неправильные числовые неравенства.

Кроме знаков   и , которые называют знаками строгого неравенства, в математике используют знаки  (читают: "меньше или равно" или "не больше") и   (читают: "больше или равно" или "не меньше"). Знаки  и называют знаками нестрогого неравенства.  Неравенства, содержащие знаки   и  называются  строгими неравенствами,  а те неравенства, которые содержат знаки   и  — нестрогими неравенствами. 

Из обозначения соотношения "больше", "меньше"и "равно", приходим к выводу, что , если  и , если . 

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно  доказывать неравенства. 

Пример №349

Доказать, что для любого значения  можно составить неравенство.

Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Поскольку , для любого значения , получается неравенство , что и требовалось доказать. 

Условие примера 349 можно было сформулировать короче, например, доказать неравенство .

Пример №350

Доказать неравенство .

Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Поскольку , для любого значения , то . Итак, по определению, неравенство  верно при любом , что и требовалось доказать.

Пример №351

Доказать неравенство .

Решение. В выражении, которое находится в левой части неравенства, выделим квадрат двучленов: 

Для любых значений . Поэтому, , а .

Итак, , что и требовалось доказать. 

Напомним, что число  называют средним арифметическим чисел и . Для отрицательных чисел и число называют их средним геометрическим.

Пример №352

Доказать что среднее арифметическое двух отрицательных и не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

Решение. Рассмотрим левую и правую части неравенства и преобразуем их, учитывая, что для  Получим:

 для всех   Итак,  для любых значений , что и требовалось доказать. 

Заметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда  

Если  то 

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств. 

Свойство 1. Если  то ; если , то b > a. 

Доказательство. Поскольку то  Тогда но  поэтому,  Итак,  Аналогичное рассуждение можно провести, если 

Свойство 2.  Если , то ; если , то а < c.

Доказательство. По условию   Поэтому и  то есть и  — положительные числа. Рассмотрим разность Имеем (поскольку — положительные числа). Поэтому . Аналогичное рассуждение можно провести, если .

Геометрические иллюстрации к свойству 2 представлены на рисунках 2 и 3.

                           Рис. 2                                                                 Рис. 3

Свойство 3.  Если и p  — любое число, то

Доказательство. По условию  поэтому  Рассмотрим разность  и преобразуем это неравенство:  Получим 

Следствие. Если  то 

Доказательство. Поскольку  то то есть Но  поэтому  Итак, 

Из этого следствия вытекает: если некоторое слагаемое перенести из одной части неравенства в другую часть, при этом изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство. 

Свойство 4.  Если   и то  если   и  то 

Доказательство. Пусть  тогда  Рассмотрим разницу и преобразуем ее:  Если то  поэтому  если то поэтому 

Поскольку деление числа можно заменить на число противоположное делителю,  то аналогичное свойство сохраняется и для неравенства в случае деления его частей на отличное от нуля число 

Итак, 

Если обе части верного неравенства умножить или поделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; 

Если обе части верного неравенства умножить или поделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие. Если a > 0, b > 0 и , то 

Доказательство. Поделим левую и правую части неравенства  на положительное число  Получим:  то есть 

Пример №353

Дано  Сравнить:

Решение.

1) если к обеим частям правильного неравенства  прибавить 1, то по свойству 3 получим: 

2) если к обеим частям правильного неравенства  прибавить  –5, то по свойству 3 получим правильное неравенство  то есть 

3) если  обе части правильного неравенства умножить на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим правильное неравенство 

4) если  обе части правильного неравенства умножить на отрицательное число –1,  то по свойству 4 получим правильное неравенство 

5) если  обе части правильного неравенства  умножить на отрицательное число –10, то по свойству 4 получим правильное неравенство  то есть 

Написать решение таких примеров можно короче:

6) если  обе части правильного неравенства поделить на положительное число 8, то по свойству 4 получим правильное неравенство 

Ответ: 

Напомним, что в математике бывают так же двойные числовые неравенства,   Например, двойное неравенство означает, что одновременно сравниваются неравенства  и  Поскольку   и то для любого числа  по свойству 3 получаются неравенства  то есть 

Итак, если ко всем частям правильного неравенства прибавить одно и то же число, получится правильное неравенство. 

Аналогично вычисляем:

если  и , то 

если  и , то   что равно 

если  — положительные числа, и , то  то есть 

Свойства числовых неравенств, которые мы рассмотрели, можно использовать для оценки значения выражения. 

Пример №354

Найдите периметр квадрата со стороной  см, если 

Решение. Поскольку периметр квадрата вычисляется по формуле то все части неравенства  умножим на 4. Получается: 

Итак, периметр квадрата больше 12,8 см, но меньше 15,6 см.

Ответ: 

Пример №355

Дано:  Найти значение выражения:

Решение. Используем форму записи, предложенную выше. 

Ответ: 

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассматривать свойства неравенств. 

Пусть мы имеем два правильных неравенства одного и того же знака:  и  Сложим их числа в левой части, правой части и между результатами напишем тот же знак: Получим правильное числовое неравенство, действительно,  Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства, имеющие одинаковый знак. 

Свойство 5 (о почленном сложении неравенств). Если   и , то

Доказательство. К обеим частям неравенства  прибавим число  а к обеим частям неравенства — число получим два верных неравенства:  то есть  Доказано. 

Аналогично можно вычислить, если   и  то  

Заметим, что свойство 5 можно использовать и для неравенств с более чем двумя частями. 

Пример №356

Стороны некоторого треугольника равны см, см, и см. Вычислите периметр треугольника  (в см), если 

Решение. Приведем сокращенную запись решения: 

то есть 

Ответ: 

Почленное умножение двух и более частей неравенства происходит аналогично сложению. Почленно умножив правильные неравенства  и  получим правильное неравенство  так как  Если же почленно умножить правильные неравенства  и  то получим  — неправильное неравенство. Нужно заметить, что в первом случае, обе части неравенства были положительными ( и  ), а во втором случае некоторые были отрицательными и

Свойство 6 (о почленном умножении неравенств). Если  и , где   — положительные числа, то . 

Доказательство. Умножим обе части неравенства  на положительное число а обе части неравенства — на положительное число  получим два правильных неравенства  и  Тогда  (по свойству 2). Доказано. Аналогично можно доказать, что если  и  где — положительные числа, то 

Заметим, что свойство 6 можно использовать и для неравенств с более чем двумя частями. 

Следствие. Если  и  — положительные числа и , то , где  — натуральное число. 

Доказательство. Почленно перемножим правильных неравенств,  где и  — положительные числа, получим 

С помощью свойств неравенств, как мы уже выяснили, можно сравнивать сумму, разность, произведение и частное их чисел.

Пример №357

Дано:  Найти: 1) сумму  2) разность  3) произведение  4)  частное числа 

Решение. 

2) Чтобы вычислить разность преобразуем ее вид  и сравним сначала выражение Поскольку  то умножив обе части неравенства на число –1 и поменяв знак на противоположный, получим  то есть  Итак,

3)

4) Чтобы вычислить  преобразуем деление в умножение,  Вычислим выражение  Если   то есть  Итак,

Ответ:

 

С помощью свойств неравенств, которые мы рассмотрели, можно также доказывать неравенства. 

Пример №358

Доказать, что  если 

Решение. Применим к каждому множителю левой части неравенства, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши). Вычисляем:

Обе части каждого из этих неравенств по свойству 4 умножим на 2, получается:

Перемножим эти неравенства почленно:

Итак, что и требовалось доказать. 

Неравенства с переменными. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство  Это неравенство со сменной переменной. При одних значениях переменной оно превращается в верное числовое неравенство, а при других — превращается в неверное. является верным неравенством, а если подставить число 4, то получим неравенство  в этом случае неравенство неверное. В таком случае говорят, что число 8 является решением неравенства  (потому что число 8 удовлетворяет неравенству ), а число 4 — не является решением этого неравенства,  (потому что число 4 не удовлетворяет неравенству ). Также решением неравенства  являются числа .

Решением неравенства с одной переменной называют значения переменой, которые превращают его в верное числовое неравенство.   

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует. 

Пример №359

Решить неравенства: 

Решение. 

1)приобретает неотрицательное значение для всех  причем  тогда и только тогда, когда  Итак, решением этого неравенства будет любое положительное число.

2) Поскольку  для любого значения  то для любого значения  Поэтому значение выражения  так же положительное для любого значения  Итак, неравенство  является неверным для каждого значения  Это значит, что у неравенства нет решений. 

Ответ: 1) Ответом будет любое число больше 0. 2) Неравенство не имеет решений.  

Числовые промежутки. Пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать в виде числовых промежутков. 

Пример 1.

Рассмотрим двойное неравенство с одной переменной  Это неравенство удовлетворяют все числа, которые больше –4 и меньше 1, то есть те числа, чьи координаты лежат между числами –4 и 1. Множество всех чисел, которые удовлетворяют неравенство  называют числовым промежутком, или просто промежутком, от –4 от 1 обозначают (читают: "промежуток от –4 до 1"). Чтобы показать на координатной прямой множество всех чисел, принадлежащих промежутку , его выделяют штриховкой, как показано на рисунке 4. При этом точки –4 и 1 изображают "пустыми" или "выколотыми".

Число –1 удовлетворяет неравенство  а число 2 его не удовлетворяет. В таком случае говорят, что число –1 принадлежит отрезку , а число 2 не принадлежит (рис.5). Итак, каждое число, которое удовлетворяет неравенству  принадлежит промежутку и наоборот, каждое число, которое принадлежит промежутку , удовлетворяет неравенству 

                          Рис. 4                                                         Рис. 5

Пример 2. Двойное неравенство  удовлетворяют не только числа, расположенные между –4 и 1, а также сами числа –4 и 1. Множество таких чисел обозначают (читают: "промежуток от –4 до 1, включая –4 и 1"). В таком случае, на координатной прямой выделяют промежуток между числами –4 и 1, включая и сами числа –4 и 1 (рис 6.).

                            Рис. 6                                                         Рис. 7

Пример 3. Множество чисел, которые удовлетворяют двойное неравенство  обозначают как (читают: "промежуток от —4 до 1, включающий –4 "). Этот промежуток изображен на рисунке 7. 

Пример 4. Множество чисел, которые удовлетворяют двойное неравенство   обозначают как (читают: "промежуток от –4 до 1, включающий 1"). Этот промежуток изображен на рисунке 8. 

Пример 5. Неравенству  удовлетворяют все числа, которые больше числа 2, то есть те числа, которые на координатной прямой лежат справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают как (читают: "промежуток от 2 до плюс бесконечности"). Изображают лучом, который выходит из пустой точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример 6. Неравенству  удовлетворяют все числа, которые больше числа 2 и само число 2. Множество этих чисел обозначают как  (читают: "промежуток от 2 до плюс бесконечности, включающий 2"). Изображают лучом, который выходит из точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

                    Рис. 10                          Рис. 11                                  Рис. 12

Пример 7. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству  записывают так (читают: "промежуток от минус бесконечности до 4") Множество этих чисел изображено на рисунке 11. 

Пример 8. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству  записывают так: (читают: "промежуток от минус бесконечности до 4, включающий 4"), оно изображено на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка включается в промежуток (например, если это нестрогое неравенство), то рядом с ним пишут квадратную скобку, во всех других случаях используют круглые скобки. 

Множество всех чисел изображают координатной прямой и обозначают как  Множество, которое не содержит ни одного числа, обозначают и называют пустым множеством. 

Над множествами можно выполнять определенные действия (операции). Рассмотрим две из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств А и В называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из множеств А и В .

Пересечение множеств записывают с помощью символа  Изображают пересечение множеств в виде диаграмм Ейлера—Венна (рис. 13)  

 

           Рис. 13

Пример 9. Пусть даны множества  и  Тогда 

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие каждому из этих промежутков.

Пример 10.  (рис. 14)

                            Рис. 14                                                        Рис. 15

Пример 11.  Промежутки  и  не имеют общих точек (рис.15), поэтому их пересечением является пустое множество. записать это можно так: 

Объединением множеств А и В называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. 

Объединение множеств записывают с помощью символа Изображаются объединения так же в виде диаграмм Ейлера—Венна (рис. 16).

                 Рис. 16                                                Рис. 17

Пример 12. Пусть даны множества  и  Тогда .

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. 

Пример 13.  (рис. 17).

Заметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество  не является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства.

Неравенства вида  где х — переменная, a и b — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. 

Если  то обе части неравенства можно поделить на учитывая при этом свойства числовых неравенств, то есть если  то знак неравенства оставляем без изменений; если же  то знак неравенства изменяем на противоположный. 

Пример №360

Решить неравенства: 

Решение. 1) Поделим обе части неравенства на 2, получим:  Следовательно, решением неравенства является промежуток 

2) Поделим обе части неравенства на –3 и изменим при этом знак неравенства на противоположный, получим: то есть 

Ответ: 

Напомним, что ответ можно было записать и  так: 

 Неравенства, которые имеют одинаковые решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решения, тоже называют равносильными. 

Для неравенств с переменными выполняются те же свойства, которые справедливы для равенств:

1. если в какой-либо части неравенства раскрыть скобки и прибавить одинаковые слагаемые, то получится неравенство, равносильное данному;
2. если в неравенстве перенесли слагаемое из одной части в другую, при этом поменяв знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;
3. если обе части неравенства умножить или поделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному; если же обе части неравенства умножить или поделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный,  то получится неравенство, равносильное данному.

Чтобы решить уравнение, мы преобразуем его к самому простому равносильному ему уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, заменяя их простейшими неравенствами, равносильными данным. 

Пример №361

Решить неравенство 

Решение. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число 6, далее упростим левую часть неравенства и перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а слагаемые без переменной — в правую часть. 

Получаем неравенство, равносильное данному. Оно не имеет решений, поскольку при любом значении  левая часть неравенства равняется 0, а неравенство  неверно. 

Ответ: неравенство не имеет решений. 

Пример №362

Решить неравенство: 

Решение. Раскрываем скобки, получается:  

Получившееся неравенство равносильно данному и является верным для любого значения , поскольку при любом значении  левая часть будет равна нулю, а неравенство  является верным. Итак, решением неравенства будет любое число, то есть множеством решений будет промежуток  

Ответ: 

Из приведенных примеров можно сделать вывод, что

Неравенства такие как  или не имеют решений, или их решением является любое число.

Пример №363

Для любого значения  найти решение неравенства  где — переменная.

Решение.  Перенесем слагаемые, которые имеют переменную, в левую часть неравенства, остальные — в правую часть, чтобы преобразовать неравенство в линейное неравенство:

Значение неравенства  для разных значений  может быть положительным, отрицательным или нулем, поэтому рассмотрим каждый из 3 вариантов отдельно:

1) Если  то есть  то поделив левую и правую части неравенства на положительное число  получим:

2) Если  то есть  получим неравенство  у которого нет решений. 

3) Если   то есть  то поделив левую и правую части неравенства на отрицательное число  сменив знак на противоположный, получим: 

Ответ: если то  если  то решений нет; если  то 

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решения

Рассмотрим задачу. Велосипедист за 2 часа преодолевает расстояние, большее чем 24 км, а за 3 часа — расстояние, меньшее чем 39 км. Найти скорость велосипедиста. 

Решим ее. Пусть скорость велосипедиста равна  км/ч, тогда за 2 часа он преодолевает 2 км, а за 3 часа— 3 км. По условию задачи  и 

Нужно найти такие значения  , для которых будут верными неравенства и   и  то есть, найти общие решения для этих двух неравенств. В таком случае, говорят, что нужно решить систему неравенств, и объединяют их в систему: 

Поскольку оба неравенства линейные, то получается система линейных неравенств с одной переменной.

Решив каждое из неравенств системы, получаем:

То есть значение  может удовлетворять условию:   Итак, скорость велосипедиста больше 12 км/ч, но меньше 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждое неравенство системы

В самом деле, каждое из неравенств  и  является верным числовым неравенством. В таком случае, говорят что число 12,6 является решением данной системы неравенств. 

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при которой каждое из неравенств является верным. 

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать что решений нет.

Чтобы решить систему неравенств, нужно использовать такую последовательность действий:

1. решить каждое из неравенств системы;
2. изобразить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
4. записать ответ. 

Пример №364

Решить систему неравенств: 

Решение. Постепенно заменяем каждое неравенство системы простым неравенством, равносильным ему:

Обозначим на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенству   и которые удовлетворяют неравенству  (рис. 26). Множеством решений системы и пересечение этих множеств является промежуток 

                                               Рис. 26

Ответ: 

Ответ системы можно записать и так: 

Пример №365

Найти все целые решения системы неравенств: 

Решение. Сначала найдем все решения системы: 

                                                           Рис. 27

Получили, что решением системы является промежуток 

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Ими будут –5; –4; –3. Итак, целыми решениями этой системы являются числа –5; –4; –3.

Ответ: –5; –4; –3.

Пример №366

Решить систему неравенств: 

Решение. Имеем: 

Изобразим данные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видно, что у них нет общих решений, то есть пересечение промежутков является пустым множеством. Значит, система решений не имеет. 

                             Рис. 28

Ответ:  система решений не имеет. 

Пример №367

Решить неравенство 

Решение. Имеем двойное неравенство, перепишем его в виде системы неравенств: 

Решим эту систему: 

то есть  отсюда 

Ответ: 

Решение можно было записать и в другом виде: 

Ответ можно записать как 

Квадратичная функция

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида  Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трехчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Функция. Область определения, область значений и график функции

В 7 классе вы начали учить одно из важнейших математических понятий — понятие функции. 

Представим, что 

• функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость, при которой каждому значению независимой переменной из любого множества отвечает единственное значение зависимой переменной. 

Независимую переменную еще называют аргументом, а про зависимую переменную говорят, что она является функцией от этого аргумента (или просто функцией). Например, если  то  является функцией от аргумента 

Зависимость переменной  от переменной  записывают так: (читают так: " равен  от ". Символом  обозначают значение функции для значения аргумента, равного 

Пример. Рассмотрим функцию   Можно записать, что  Найдем, например, значения функции для то есть найдем  Имеем  Найдем значения этой функции в точках, которые равны   Вычисляем:  

Заметим, что при записи  зависимую  можно представить также как .

Все значения, у которых есть независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции.

Все значения, у которых есть зависимая переменная, образуют область значения функции.

Наибольшим значением функции называют наибольшее число из области значения функции, а наименьшим значением функции — соответственно наименьшее такое число.

Область определения функции  обычно обозначают как  а область значения — 

Если функция задана формулой и не обозначена ее область определения, то считается, что эта область складывается из всех значений аргумента, которые может содержать формула функции . 

Пример №368

Найти область определения функции:

Решение. 1) Уравнение  может содержать любые значения   поэтому областью определения функции  является множество всех чисел, то есть промежуток 

2) Уравнение  может содержать любое значение  кроме числа 8, поэтому областью определения функции   будет промежуток 

Ответ:  Ответ еще можно записать так: 

Пример №369

Найти область определения и значения функции: 

Решение. 1) Область определения функции  — промежуток  Чтобы найти область значения функции, сравним уравнение  для всех значений  Получим: 

Итак,  при любом значении  то есть областью значения функции  является промежуток 

2) Область определения функции  складывается из таких значений  для которых уравнение  одновременно содержит и отрицательные значения. Итак, чтобы найти эти значения, нужно составить и решить систему неравенств: 

Очевидно, что решением системы является  Так, область определения функции   содержит только число 2. Чтобы найти область значения этой функции, достаточно вычислить  Получиться: 

Ответ: 1) Область определения  область значения: область определения: число 2, область значения: число 0. 

Ответ можно записать и короче, например:

Заметим, что наибольшим значением функции  является число 2, а наименьшее значение у данной функции отсутствуют. 

Напомним, что

• графиком функции называют множество всех точек координатой плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты равны значению функции. 

Пример №370

Построить график функции  Из графика найти наибольшее и наименьшее значения функции. 

Решение. Областью определения функции  является множество всех чисел. По модулю числа получим:  если и  если  Итак функцию  можно записать так:

График этой функции на промежутке  соединяется с графиком функции   на промежутке  — с графиком функции 

График функции  изображен на рисунке 34. Очевидно, что наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует. 

Ответ: наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует. 

                    Рис. 34

Свойства функции

Рассмотрим функцию  график которой изображен на рисунке 37. Если  или  то значения функции равны нулю, то есть  Такие значения аргумента называют нулями функции. 

                                 Рис. 37

Значения аргумента, при котором значения функции равны нулю, называют нулем функции.

Понятно, что нули функции являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью абсцисс, а ординаты этих точек равняются нулю, ведь точки принадлежат оси абсцисс. 

Поэтому, чтобы найти нули функции  нужно решить уравнение 

Пример №371

Найти нули функции 

Решение. Имеем уравнение   отсюда  Тогда, —2 и 4 — нули функции. 

Ответ: —2 и 4.

График, изображенный на рисунке 37, пересекает весь абсцисс в точках  и  

Этот график пересекает так же и ось ординат в точке  Абсцисса этой точки равна нулю, ведь точка принадлежит оси ординат. Следовательно, ордината точки пересечения графика функции  с осью ординат равняется числу  то есть значению функции для значения аргумента, которое равно нулю.

Пример №372

Найти точки пересечения графика функции   с осями координат. 

Решение. Поскольку –2 и 4 — нули функции  то ее график пересекает ось абсцисс в точках  и   

Поскольку то график функции  пересекает ось ординат в точке 

Нули функции  разбивают ее область определения — промежуток  на три промежутка  и  Для значения  точки графика выше оси абсцисс при , а при   и  ниже. 

Промежуток, на котором функция сохраняет свой знак, называют промежутком знакопостоянства функции. 

Промежутки    и  являются промежутками знакопостоянства функции  график которой изображен на рисунке 37.

Рассмотрим, как изменится ( увеличится или уменьшится) значение данной функции со сменой значения  от –4 до 4. 

Из графика мы видим, что с увеличением значения  от –4 до 2 значение  увеличивается (график "поднимается в гору"), а с 2 до 4 значения  уменьшается (график "спускается с горы"). Говорят, что на промежутке  функция возрастает, а на промежутке функция убывает.

Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 

Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.  

Следовательно, функцию  называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых  и  из этого промежутка, таких что  выполняется неравенство 

На рисунке 38 изображен график функции , которая возрастает на промежутке  При этом промежуток называют промежутком возрастания функции.

                   Рис. 38

Аналогично, функцию  называют убывающей на некотором промежутке, если для любых  и  из этого промежутка, таких, что  выполняется неравенство 

На рисунке 39 изображен график функции , которая убывает на промежутке  При этом промежуток называют промежутком убывания  функции.

                    Рис. 39

Выясним свойства некоторых выученных ранее функций. 

Пример №373

Рассмотрим свойства функции  где  и ее график (рис. 40 и 41).

                       

Рис. 40                                                                Рис. 41

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел.

2) Найдем нули функции. Для этого решим уравнения  откуда  один ноль функции. 

3) Найдем промежутки знакопостоянства функции. 

Пусть   Решим неравенство  откуда  Следовательно  когда  Решим неравенство  откуда Следовательно,  если 

Пусть  Решим неравенство  откуда Следовательно,  если 

Решим неравенство  откуда  Следовательно  когда 

4) Проверим функцию  на возрастание и убывание. 

Пусть  то есть  Тогда , ведь   Следовательно, когда функция  убывает на 

5) Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №374

Рассмотрим свойства функции  (рис. 42 и 43)

 

                      Рис.42                                                            Рис.43

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел, кроме нуля.

2) Поскольку уравнение  где   не имеет решений, то функция не имеет нулей. 

3) Пусть  Тогда  если  и  если 

Пусть  Тогда  если  и  если  Следовательно,  если  и  если 

4) Если  то функция  убывает на каждом из промежутков  и  Если же  то функция  возрастает на каждом из промежутков  и  

5) Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №375

Рассмотрим свойства функции  (рис. 44).

1) Областью определения и областью значения функции является множество всех чисел. Область значения — промежуток 

2) Уравнение   имеет одно решение:  Следовательно, число 0 — единственный ноль функции.

                         Рис. 44                                                             Рис. 45

3)  когда  то есть  при  или  Заметим, что нет таких значений   при которых  поскольку неравенство  не имеет решений. 

4) Функция  убывает на промежутке  и возрастает на промежутке 

5) Наибольшее значение функции равно нулю,  наименьшего значения функция не имеет. 

Пример №376

Рассмотрим свойства функции  (рис. 45)

1) Область определения и область значения функции: 

2) Уравнение  имеет одно решение — число 0, которое и является нулем функции.

3)  когда  то есть  когда  Нет таких значений  при которых у функции нет решений. 

4) Функция  возрастает на промежутке 

5) Наименьшее значение функции равно нулю,  наибольшего значения функция не имеет. 

Систематизируем свойства этих функций в таблицу. 

Простейшие преобразования графиков функций 

Раньше вы строили только графики функций такого вида: 

Рассмотрим некоторые преобразования графика функции  чтобы расширить перечень функций, графики которых мы сможем построить.

1. Построение графика функции   где

Пример №377

Построить в одной системе координат графики функций  и 

Решение. Сначала сделаем таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента. 

Из таблицы следует, что для одного и того же значения  значение функции  на 2 меньше, а значение функции  на 3 больше чем значение функции   Поэтому, график функции  можно получить методом перенесения каждой точки графика функции  вдоль оси  на 2 единицы вниз, а график функции   — методом перенесения каждой точки графика функции  вдоль оси  на 3 единицы вверх (рис. 48).

                               Рис. 48

Для построения графика функции  где  n > 0, достаточно график функции  перенести вдоль оси у на n единиц вверх.

Для построения графика функции  где n > 0, достаточно график функции  перенести вдоль оси у на n единиц вниз.

Замечание. Вместо перенесения графика функции вверх или вниз, можно перенести ось  на то же самое расстояние в противоположную сторону. 

2. Построение графика функции  где 

Пример №378

Построить в одной системе координат графики функций  и 

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Для каждого  значение функции  равняется значению функции  для  В таблице это соответствие показано стрелками для значения функций  при  и  соответственно при 

Итак, если все точки графика функции  перенести вдоль оси  на 2 единицы вправо, то получим график функций  (рис. 49)

Пример №379

Построить в одной системе координат графики функций  и 

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Рассуждая, как в предыдущем примере, сделаем вывод, что график функции  можно получить , перенеся график функции  вдоль оси  на 1 единицу влево (рис. 50).

                               Рис. 49                                                       Рис. 50

Итак, 

чтобы построить график функции  где  достаточно график функции  перенести вдоль оси   единиц вправо;

чтобы построить график функции  где  достаточно график функции  перенести вдоль оси   единиц влево.

Замечание. Вместо перенесения графика функции влево (вправо) можно перенести ось  на то же самое расстояние в противоположную сторону. 

3. Построение графика функции  

Пример №380

Построить в одной системе координат графики функций  и 

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Из таблицы мы видим, что значения функции  для одних и тех же значений  противоположны соответствующим значениям функции  Графики этих функций изображены на рисунке 51. 

Если провести отрезки, то получатся точки графиков функций  и  для одного и того же значения (на рис. 51 они показаны пунктиром для ), то ось  для этих отрезков будет серединным перпендикуляром. В таком случае говорят, что графики симметричны относительно оси .

 

                                  Рис. 51

                Рис. 52

Точки  А и А₁ называют симметричными относительно прямой  если прямая  является серединным перпендикуляром отрезка  (рис. 52).

Итак, 

графики функций y = –f (x) и y = f (x) симметричны относительно оси x.

4. Построение графика функции 

Пример №381

Построить в одной системе координат графики  функций: 

Решение. Сначала, составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента: 

Для любого значения  значение функции  вдвое меньше чем соответствующее значение функции  а значение функции  вдвое больше чем соответствующее значение функции  Поэтому график функции  можно получить, уменьшив график функции  в два раза к оси  (рис. 53), а график функции  — растянув график функции в два раза от оси   (рис. 54)

                            Рис. 53                                                          Рис.54

Итак, 

для построения графика функции    достаточно график функции y = f (x) растянуть от оси x в k раз, если k > 1, или наоборот, сжать его до оси  x в k раз, если 0 < k < 1.

Выполняя последовательно два и более преобразования, можно построить график функций  где  и других.

Пример №382

Построить график функции 

Решение. График функции   можно получить, перенеся график функции  вдоль оси  на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси  на 3 единицы вверх. График изображен на рисунке 55.

Пример №383

Построить график функции 

Решение. Построим график функции  Далее, растянем его в 2 раза от оси , получим график функции  График функции   является симметричным графику функции  относительно оси .  График изображен на рисунке 56. 

                       Рис. 55                                                                          Рис. 56

Построение графика функции 

По определению модуля числа имеем: 

Итак, для тех значений  при которых  соответствующие значения функций  и  между собой равны, потому для таких значений  графики этих функций совпадают. Для тех значений , при которых соответствующие значения функций  и  являются противоположными числами, поэтому для таких значений  графики этих функций являются симметричными относительно оси . 

Для построения графика функции  достаточно построить график функции  и ту его часть, которая лежит ниже оси x, симметрично отобразить относительно этой оси.

Пример №384

Построить график функции 

Решение. Построим график функции  Дальше ту часть графика, которая лежит ниже оси , симметрично отобразим от этой оси. График изображен на рисунке 57. 

                                                    Рис. 57

Функция y = ax² + bx + c, a ≠ 0 и ее график и свойства

Одной из важнейших функций в курсе математики, является квадратичная функция.

Функцию вида y = ax² + bx + c,  где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причем a ≠ 0,  называют квадратичной функцией. 

Математические модели многих реальных процессов в разнообразных сферах деятельности людей являются квадратичными функциями. В первую очередь, это касается науки, в частности физики, экономики, техники. 

Задача: Тело, движущееся с ускорением  в течении   времени, прошло путь  имея в этот момент скорость   Тогда расстояние  (в метрах), которые преодолело тело за время  (в секундах), при равноускоренном движении вычисляют по формуле:

Например, если  то

Задача №67

Расстояние между площадью использованных земель и валовой прибылью из расчета на 10 га сельскохозяйственных пастбищ в некотором фермерском хозяйстве задается функцией  где  — площадь сельскохозяйственных пастбищ (в га), — валовая прибыль (в тыс. руб.) на 10 га сельскохозяйственных пастбищ. С какой площади хозяйство может получить валовую прибыль на 10 га сельскохозяйственных пастбищ? Какой будет эта прибыль?

Решение. В формуле функции выделим полный квадрат: 

поэтому, 

Выражение, которое мы получили, является наибольшим значением при  Итак, хозяйство имеет большую прибыль с пастбища площадью 3 га. 

Посчитаем эту прибыль:  для то есть (тыс. руб.) 

Ответ: 3 га, 22,5 тыс. руб.

Рассмотрим график и свойства квадратичной функции. Начнем с ее частного случая. 

Пусть у формулы квадратичной функции  тогда получим функцию 

Графиком функции  где   является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, если  (рис. 61) и вниз, если  (рис. 62) 

              Рис. 61                                                      Рис.62

Систематизируем свойства в виде таблицы

Теперь рассмотрим квадратичную функцию  Выделим из трехчлена   квадрат двучлена. 

Итак, 

Обозначим  Тогда  

Итак, график функции  можно получить из графика функции   с помощью двух преобразований — перенос вдоль координатных осей. 

 Графиком функции  является парабола с вершиной в точке  где  (рис. 63). 

Если  ветви параболы направлены вверх, если  — вниз. Ветви параболы симметричны относительно прямой В этом случае говорят, что прямая является осью симметрии параболы (рис. 63). Заметим, что абсциссу вершины параболы удобно находить с помощью формулы  а ординату — подставив найденное значение абсциссы в формулу  то есть 

При построении графика функции  следует поддерживаться такой последовательности действий: 

1) Найти координаты вершины параболы   и обозначить ее на координатной площади;

2) построит еще несколько точек параболы и столько де точек, симметричных им относительно прямой 

3) получить требуемые точки плавной линией. 

Систематизируем свойства в виде таблицы. 

Свойства функции   

Пример №385

Построить график функции и описать ее свойства. 

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: 

Следовательно, точка  — вершина параболы, обозначим ее на координатной плоскости. Тогда прямая  является осью симметрии параболы. 

Сделаем таблицу значений функции для нескольких точек параболы симметричных относительно ее оси симметрии (если симметрия графика координат в каждой паре симметричных точек будет одинакова). 

Обозначим вершины параболы и точки из таблицы на координатной плоскости. Соединим их плавной линией и получаем график функции  (рис. 64) 

                                     Рис. 64

Опишем  свойства этой функции: 

1) 

2) 

3) нули функции:  

4)  если  или    если 

5) функция возрастает на промежутке  убывает на промежутке 

6) наименьшее значение функции: 

Пример №386

Вершиной параболы  является точка  Найти  и  

Решение. Поскольку  а по условию то  откуда  Поскольку график функции проходит через точку  то, подставив координаты точки в формулу функции, получится верное уравнение:

 откуда 

Ответ: 

Квадратное неравенство

Неравенства вида    где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причем  называют квадратными неравенствами (или неравенствами второй степени с одной переменной).

Например, квадратными являются неравенства:  

Решение квадратных неравенств можно рассматривать как промежутки, на которых квадратичная функция  приобретает положительные (для неравенства ), отрицательные (для неравенства ) значения. Итак, чтобы решить квадратное неравенство, достаточно найти соответствующие промежутки знакопостоянства квадратичной функции. 

Пример №387

Решить неравенство 

Решение. Рассмотрим функцию  Графиком ее является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось  Для этого решим уравнение то есть найдем нули функции. Имеем:   

Итак, парабола пересекает ось  в точках с абсциссами 1 и –4. Построим схематично график функции  зная ее нули и направление ветвей (рис. 65). Из графика выясним, что функция приобретает отрицательное значение, если  Итак, множеством решений неравенства  является промежуток 

Ответ: 

              Рис. 65

Пример №388

Решить неравенство: 

Решение. Рассмотрим схематичное изображение графика функции  (рис. 65) 

1) Неравенство  удовлетворяют те же значения   что и неравенство  а так же –4 и 1 — нули функции, то есть те значения аргумента, при каких значения функций  равняется нулю. Итак, множеством решений неравенства  является промежуток 

2) Из рисунка 65 видим, что функция  приобретает положительное значение, если  или Множеством решений неравенства  является объединение этих промежутков, то есть 

3) Неравенство  удовлетворяют те же значения  что и неравенство включая нули функции  то есть числа –4 и 1. Итак, множеством решений неравенства  является 

Ответ: 

Напомним, что для представленного способа решения ни положение вершины параболы, ни соотношение параболы относительно оси не имеют значения. Важно только знать абсциссы точек пересечение параболы с осью   (нули функции) и направление ветвей параболы (вверх или вниз).

Итак, для решения квадратных уравнений следует придерживаться такой последовательности действий: 

1. Найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c  (если они существуют).
2. Если неравенство имеет строгий знак (больше или меньше), то корни квадратного трехчлена обозначаем на оси x "пустыми" точками (они исключаются из множества решений неравенства).
3. Схематично изображаем график функции y = ax² + bx + c , учитывая направление ветвей параболы и точки ее пересечения с осью x (если они существуют).
4. Находим на оси x  промежутки, на которых функция y = ax² + bx +с   удовлетворяет данное неравенство.
5. Записываем ответ. 

Пример №389

Найти область определения функции 

Решение.  Областью определения этой функции является решение неравенства 

1) Корнями квадратного трехчлена  являются числа 0 и 3. 

2) Изображаем корни на оси  закрашенными точками, поскольку знак неравенства является нестрогим. 

3) Схематично изображаем график функции   Это парабола, которая пересекает  в точках 0 и 3, ветви которой устремлены вниз (рис. 66). 

4) Неравенство решается при  

Ответ: 

           Рис. 66

Пример №390

Решить неравенство 

Решение. 

1) Корнем уравнения  является число 3.

2) Обозначаем точку 3 на оси  пустой, потому что знак неравенства — строгий. 

3) Схематично изображается график функции  (рис. 67). Это парабола с вершиной на оси , ее ветви направлены вверх. С осью  она имеет только одну общую точку — точку 3 (говорят, что парабола соприкасается с осью ). 

4) Из рисунка 67 делаем вывод, что функция содержит положительные значения при любом значении , кроме числа 3. Итак, множеством решений неравенства является 

Ответ: 

     Рис. 67

Пример №391

Решить неравенство 

Решение. Уравнение  не имеет корней, следовательно  Так, парабола  ось не пересекает, а ее ветви направлены вниз (рис. 68). Поскольку все точки параболы лежат ниже оси , то множеством решений неравенства является множество всех чисел, то есть 

Ответ: 

 

             Рис.68

Пример №392

Решить неравенство 

Решение. Из рисунка 68 мы видим, что ни одна из точек параболы не лежит на оси  и не принадлежит этой оси, поэтому неравенство  не имеет решений. 

Ответ: нет решений. 

Пример №393

Решить систему неравенств: 

Решение. Решением системы неравенств являются общие решения неравенств системы. Итак, чтобы найти решение системы, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти их общие точки. Множеством решений неравенств  является (решите это неравенство самостоятельно). Множеством решений неравенства является (решите это неравенство самостоятельно).

Изобразим на координатной прямой полученные множества решений неравенств (рис. 69). Множеством решений системы будет пересечение множеств решений неравенств, то есть 

  

                               Рис. 69

Ответ: 

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

В 7 классе вы решали систему двух линейных уравнения с двумя переменными, то есть системы, у которых уравнения должны выглядеть  где — числа,  и  — переменные. Например, такой является система 

Заметим, что решением системы уравнений с двумя переменными называют такую пару значений переменных, при которых каждое из уравнений системы преобразуется в верное числовое уравнение.

 Так, решением вышеприведенной системы является пара чисел  то есть  На самом деле:  и  — правильное числовое уравнение.

Уравнение  при условии, что хотя бы один из коэффициентов  или отличен от нуля, называют уравнением первой степени с двумя переменными. Эти уравнения можно заменить равносильными им уравнениями   левая часть которого — многочлен стандартного вида первой степени с двумя переменными, а правая — равняется нулю. 

Так, например,   — уравнение второй степени; уравнению  равносильно уравнение   и, следовательно, является уравнением третьей степени. 

Рассмотрим системы уравнений, у которых одно или оба уравнения являются уравнениями второй степени с двумя переменными, и способы решения таких систем. 

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными в виде графика

Системы уравнений второй степени с двумя переменными графически решают так же, как и системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 

Последовательность шагов для решения системы уравнений графически: 

1. построить графики уравнений в одной координатной плоскости;
2. найти координаты их точек пересечения или доказать, что графики уравнений не имеют общих точек;
3. если координаты точек пересекаются с целыми числами, то выполнить проверку; если нет, то решение системы найти приблизительно;
4. записать ответ.

Отличие от линейных уравнений состоит в том, что их график является прямой, а графики уравнений второй степени могут быть достаточно разными. Так, например, графиком уравнения   (или равносильному ему уравнения ) является парабола, графиком уравнения  ( или равносильному ему уравнения ) является гипербола, а графиком уравнения  является круг. 

Пример №394

Решите графически систему уравнений.

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений  и  Графиком уравнения является круг с центром в начале координат и радиусом 4. Графиком уравнения  является прямая, которая проходит через точки  и  Графики изображены на рисунке 72, они имеют две общие точки   и  Проверкой убедимся, что эти пары чисел являются решением системы. 

                                           Рис. 72

Решение системы уравнений второй степени с двумя переменными способом подстановки 

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему всегда можно решить способом подстановки.  Напомним последовательность шагов для решения системы уравнений этим способом:

1. выразить в уравнении первой степени одну переменную через другую;
2. подставить полученное выражение во второе уравнение системы вместо данной переменной;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти значение другой переменной;
5. записать ответ. 

Пример №395

Решить систему уравнений: 

Решение. Выразим из уравнения второй степени переменную  через переменную  

Подставим в первое уравнение вместо  выражение  и получаем уравнение с переменной 

После упрощения получим уравнение  корни которого 

Из формулы  находим значение , которые удовлетворяют найденным значениям 

Итак, система имеет два решения:  и 

Оформить решения в тетради можно еще так: 

 или 

 или 

Ответ: 

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом сложения

Как и для систем двух линейных уравнений с двумя переменными, этот способ используют, когда в результате почленного сложения уравнений системы получаем уравнение с одной переменной.

Пример №396

Решить систему уравнений:

Решение. Сложим почленно оба уравнения системы, получим:  то есть 

Подставив найденное значение  например, в первое уравнение, получим:

 то есть  Итак, 

Оформить решение в тетради можно так: 

Ответ: 

Пример №397

Решите систему уравнений 

Решение. Умножим второе уравнение на –2. Получим:

Сложим почленно уравнения системы, получим:  Получили уравнение:  корни которого:  Найдем значение  подставив эти значения  во второе уравнение исходной системы: 

1) пусть  тогда  то есть 

2) пусть  тогда  то есть 

Ответ: 

Решение систем уравнения второй степени с двумя переменными с помощью смены переменных

Некоторые системы уравнений второй степени (а также системы, которые содержат уравнения высших степеней) удобно решить, используя замену переменных. 

Пример №398

Решить систему уравнений 

Решение. Введем замену  Получим систему уравнений: 

Решив эту систему способом подстановки (сделать это самостоятельно), получаем  или 

1) если  то 

Решив эту систему, получим: 

2) если  то 

Получаем еще две пары чисел:  

Ответ: 

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним, что в 7 классе вы решали текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений в такой последовательности, которую можно использовать и для решения более сложных задач, а именно:

1. обозначить действия двух неизвестных величин переменными (например, x и y); 
2. по условию задачи составить систему уравнений; 
3. решить полученную систему;
4. проанализировать найденные значения переменных на соответствие условиям задачи, дать ответ на вопросы задачи;
5. записать ответ. 

Рассмотрим один из простейших примеров, где система уравнений с двумя переменными является математической моделью текстовой задачи. 

Задача №68

Сумма двух чисел равняется 8, а их произведение 15. Найти эти числа. 

Решение. Обозначим неизвестные числа через  и  Тогда,   Получим систему уравнений: 

Решив систему (сделать это самостоятельно), получим  или 

Итак, искомые числа 3 и 5. 

Ответ: 3 и 5. 

Заметим, что эту задачу, как и некоторые следующие задачи в этой лекции, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной. 

Система уравнений с двумя переменными может быть математической моделью прикладной задачи. Напомним, что прикладные задачи — те задачи, которые содержат не математические понятия, или могут быть решены методами математики. 

Вспомним, что прикладную задачу нужно решать в такой последовательности:   

1. формулируем задачу на математическом языке, то есть составляем математическую модель задачи;
2. решим математическую задачу, которая получилась;
3. анализируем ответ и формулируем его на математическом языке.

Задача №69

Площадь земельного участка прямоугольной формы равняется  Если длину этого участка уменьшить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то получим земельный участок с площадью  Найти длину забора данного участка. 

Решение. Пусть длина земельного участка равна  а ширина —  Тогда по условию  После уменьшения длины на 1 м она будет равна  а после увеличения ширины на 2 м она будет равняться  По условию  Получим систему: 

Покажем один из способов решения этой системы: 

Поскольку из первого уравнения системы известно, что  то во втором уравнении вместо  можно подставить число 60. Получим: 

После упрощения первого уравнения системы получим:  откуда  Число –3 не удовлетворяет условию задачи, поскольку длина участка не может быть отрицательной. Итак, длина данного участка равняется  10 м, тогда можно найти ширину:   Найдем длину забора: 

 Ответ: 32 м. 

Задача №70

Из пункта А вышел пешеход. Через 50 минут после этого оттуда в том же направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта А. Найти скорость пешехода и скорость велосипедиста, если велосипедист за 1 час преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 часа. 
Решение. Пусть  км/час — скорость пешехода,  — км/ч — велосипедиста. Тогда пешеход преодолел 6 км за ч, а велосипедист — за ч. По условию пешеход был в дороге 50 мин. ч  больше, чем велосипедист. Поэтому 

Велосипедист за 1 час преодолевает  а пешеход за 2 часа —  По условию  Получаем систему уравнений: 

Решив ее (сделать это самостоятельно) и учитывая, что вместо задачи   и   получаем 

Ответ: скорость пешехода 4 км/ч, велосипедиста — 9 км/ч.

Числовая последовательность 

Числовая последовательность — это последовательность чисел. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Числовые последовательности

Пример 1.

Запишем в порядке возрастания натуральные четные числа: 

Имеем последовательность четных натуральных чисел. На первом месте в ней записано число 2, на втором — число 4, на пятом — 10. Если продолжить записывать четные натуральные числа и дальше, то, например, на десятом месте будет число 20, на сотом — число 200. Выяснили, для любого натурального числа  можно найти натуральное четное число, что стоит на -м месте. Таким числом будет 2.

Числа, которые удовлетворяют последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым, то есть членами последовательности. Члены последовательности принято обозначать буквами с индексами, которые соответствуют порядковому номеру члена последовательности. Например:  (читают " первое,  второе,  третье,  четвертое" и так далее). В нашем случае,  Член последовательности с номером  или как говорят, -й член последовательности, обозначают  Саму последовательность принято обозначать  

Рассмотрим два соседних члена последовательности с номерами  и  и  ,  Член  называют следующим за , а член  предыдущим 

Поскольку в последовательности парных натуральных чисел на -м месте стоит число  то можно записать, что  

Получили формулу -го члена последовательности парных натуральных чисел. 

Эта последовательность содержит бесконечное количество членов, потому такую последовательность называют бесконечной. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Если же последовательность содержит конечное количество членов, то ее называют конечной.  

Пример 2. Последовательность натуральных чисел  является ограниченной. Она содержит 90 членов и может быть задана формулой го члена: 

Если мы знаем формулу го члена последовательности, то можем найти любой ее член. 

Пример 3.  Последовательность задана формулой  Найдем несколько ее членов:  — первый,  — седьмой,  — двадцатый,  — сотый. 

Формула го члена является достаточно удобным, но не единственным способом для задания последовательности. 

Пример 4.  Законченную последовательность можно задать списком ее членов. Например, 

Пример 5. Последовательность можно задать описанием ее членов. Например, последовательность натуральных чисел, которые являются делителями числа 18 и которые записаны в порядке возрастания:  можно назвать последовательностью натуральных делителей числа 18.

Пример 6. Ограниченную последовательность можно задать в виде таблицы. Например, 

Последовательность можно задавать, указывая первый или несколько первых членов последовательности, а потом — формулу, по которой можно находить другие члены последовательности из предыдущих. Такую формулу называют рекуррентной, а способ задания последовательности — рекуррентным. 

Пример 7.  Пусть первый член последовательности  равняется 2, а каждый следующий равняется квадрату предыдущего, то есть  Тогда из известного первого члена можно найти другие:  с известным вторым членом можно найти третий:  и так же далее. Считаем последовательность: 

Пример 8. Найдет третий, четвертый и пятый член последовательности  заданной рекуррентным способом:  

Вычисляем: 

Последовательности, которые мы рассмотрели выше, являются числовыми последовательностями, поскольку складываются из чисел. Иногда рассматривают последовательности, членами которых являются выражения, функции и т. д. Дальше будем рассматривать только числовые последовательности. 

Арифметическая прогрессия и ее свойства. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равняется 4, а каждый следующий, начиная со второго, равняется предыдущему + 3: 

Такую последовательность называют арифметической прогрессией. 

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавлено одно и то же число, называется арифметической прогрессией. 

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой (изначально от буквы латинского слова differentia — разность). Поэтому, если — арифметическая прогрессия, то справедливо равенство: 

Итак, для любого натурального числа  справедливо равенство:  тогда  то есть,  разность арифметической прогрессии можно найти, если от любого члена прогрессии отнять его предыдущий. 

Пусть первый член арифметической прогрессии равняется  а разность равна . Тогда

 

Отметим, что в каждой из приведенных формул коэффициент при разности на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. В самом деле, чтобы найти  зная , нужно  раз прибавить к  число , то есть к  прибавить  Получаем: 

Получили формулу   члена арифметической прогрессии. 

Рассмотрим несколько упражнений для доказательства этой формулы. 

Пример №399

Последовательность  — арифметическая прогрессия,  Найти двадцатый член этой последовательности.

Решение. 

Ответ: 25,2

Пример №400

Принадлежит ли арифметической прогрессии  число : 

Решение. У данной прогрессии  тогда  Составим формулу  члена этой прогрессии: 

 то есть 

1) Допустим, что число 82 является членом прогрессии  Тогда существует такое натуральное число  что  то есть  Получится уравнение: 

Так, число 82 является 26-м членом арифметической прогрессии, то есть 

2) Используя той самый способ, имеем:

 

Число  не является натуральным, поэтому арифметическая прогрессия числа 102 не содержит. 

Ответ: 1) да; 2) нет. 

Пример №401

Кубики сложены рядами так, чтобы в верхнем ряду было 4 кубика, а в каждом ряду, который ниже — на одно и тоже количество кубиков больше, чем в предыдущем. Видим, что в шестом ряду 14 кубиков. Сколько кубиков в третьем ряду?

Решение. Поскольку в каждом нижнем ряду на одно и то же количество кубиков больше, чем в предыдущем, то числа, которые равняются количеству кубиков в рядах, составляют арифметическую прогрессию.

В этой прогрессии  итак, нам нужно найти  Найдем сначала разность  этой прогрессии. Поскольку из формулы  члена  получим уравнение: 

Теперь, зная значение , найдем  

Итак, в третьем ряду 8 кубиков.  Также,  можно было найти и так: 

Ответ: 8 кубиков. 

Сделаем вывод по свойствам арифметической прогрессии. 

1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов, то есть: 

 где 

Доказательство. Для доказательства используем формулу  члена арифметической прогрессии, тогда 

 2. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух равноудаленных от него членов, то есть   

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству.

3) Если k, l, p и s — натуральные числа и  то  

Доказательства. Используем формулу  члена, тогда: 

Или  когда  то есть 

4) Любую арифметическую прогрессию можно задать формулой  где b и d — некоторые числа.

Доказательства. Из формулы  члена получим: 

 Найдя  получим: 

5) Последовательность  которая задана формулой вида  где b и d — некоторые числа, является геометрической прогрессией. 

Доказательство. Найдем разность  и  членов этой последовательности. 

Получили, что для любого  верно равенство   Итак, последовательность  является арифметической прогрессией, разность которой равняется 

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим  первых членов арифметической прогрессии   Обозначим через  их сумму: 

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Запишем эту сумму два раза, разместив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором — в порядке убывания: 

Теперь эти неравенства сложим почленно, получаем: 

Ведь по свойству 3  тогда каждая сумма в скобках в уравнении  равняется  поскольку    Тогда в правой части уравнения имеет  слагаемых, каждый из которых равен  Итак,    Поделив обе части этого уравнения на 2, получим формулу суммы  первых членов арифметической прогрессии: 

Если в предыдущей формуле  члена  заменить уравнением  получим:    то есть 

Получим еще одну формулу для вычисления суммы  первых членов арифметической прогрессии, которую удобно использовать, когда известен первый член и разность прогрессии. 

Используем эти две формулы для решения упражнений.

Пример №402

Найти сумму тридцати пяти первых членов арифметической прогрессии 

Решение. 1 способ. Поскольку  то  и  Тогда по формуле 1: 

2 способ. Поскольку  и легко найти, что  можем получить формулу 2: 

Ответ:  1425.

Пример №403

Найти сумму восемнадцати первых членов последовательности   заданной формулой  

Решение. Поскольку последовательность задана формулой   где  то она является арифметической прогрессией. 

Получаем: 

Найдем  

Ответ: –216. 

Пример №404

Найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны числу 7 и не превышают 999. 

Решение. Натуральные числа, кратные числу 7, удовлетворяют арифметическую прогрессию:  которую можно задать формулой  

Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают числа 999. Для этого решим неравенство и получаем, что 

Итак, 142 члена прогрессии не превышают числа 999. Найдем их сумму, то есть  

Имеем:  тогда

Ответ: 71 071. 

Пример №405

Из двух точек, расстояние между которыми 100 м, одновременно навстречу друг к другу начинают двигаться два объекта. Первый двигается равномерно со скоростью 9 м/с, а второй за первую секунду проходит 7 м, а за каждую следующую — на 2 м больше, чем за предыдущую. Через сколько секунд они встретятся? 

Решение. Пусть объекты встречаются через  секунд. Первый за этот час преодолел  Остальные преодолевает второй объект за первую, вторую , третью и следующие секунды, что удовлетворяет арифметическую прогрессию, у которой  Тогда за  секунд второй объект преодолевает расстояние  которое можно вычислить по формуле: 

По условию  тогда  откуда  Второй корень не отвечает условию задачи. Итак,  то есть встреча случится через 5 секунд. 

Ответ: 5 секунд. 

Геометрическая прогрессия, ее свойства. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Рассмотрим числовую последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на 2: 

Такую последовательность называют геометрической прогрессией.

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждое из которых, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой  (от первой буквы французского слова quotient — частное). Поэтому если  — геометрическая прогрессия, ей соответствуют уравнения: 

Итак, для любого натурального  имеем:  Тогда то есть  знаменатель геометрической прогрессии можно найти, если любой член прогрессии, начиная со второго, поделить на предыдущий. 

Заметим, что поскольку члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то и знаменатель  не может равняться нулю, то есть  

Если  то геометрическая прогрессия складывается из одинаковых чисел. Например, если  и  то получаем геометрическую прогрессию:  Заметим, что полученную последовательность можно также представить в арифметической прогрессии, первый член которой равняется —5, а разница равна 0. 

Пусть первый член геометрической прогрессии равняется  а знаменатель равен  Тогда, 

                        

и т. д. 

Отметим, что в каждой из полученных формул показатель степени числа  на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии, для которого записана эта формула. В самом деле, чтобы найти  имея  и  нужно раз умножить  на  то есть  умножить на  Имеем: 

Получили формулу  члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим несколько упражнений для доказательства этой формулы. 

Пример №406

Последовательность  — геометрическая прогрессия,  Найти 

Решение. 

Ответ: 

Пример №407

Найти знаменатель  геометрической прогрессии  если 

Решение. 1 способ. Имеем  Тогда   Но   то есть  то есть , ведь 

2 способ.  Поскольку   то  то есть , ведь 

Ответ: , так как 

Пример №408

Дан равносторонний треугольник, сторона которого 8 см. Середины этих сторон являются вершинами другого треугольника, а середины сторон другого треугольника являются вершинами третьего и так далее (рис. 75). Найти площадь пятого треугольника, построенного таким образом. 

Решение. Пусть — площадь первого, второго, третьего и далее треугольников. Найдем  

Поскольку стороны каждого следующего треугольника являются средними линиями предыдущего, то длина стороны каждого следующего треугольника будет вдвое меньше чем длина  предыдущего. Тогда сторона второго треугольника равняется 4 см, а его площадь  Сторона третьего треугольника равна 2 см, тогда  Очевидно, что  в 4 раза меньше чем  а  в 4 раза меньше чем  то есть придем к выводу, что площадь каждого следующего треугольника в 4 раза меньше площади предыдущего, поэтому найденные числовые значения площади   являются членами геометрической прогрессии со знаменателем  первый член которой равняется  Тогда числовое значение площади пятого треугольника является соответственно пятым членом этой прогрессии. Поэтому:

Ответ:  

Приведем некоторые важные свойства геометрической прогрессии. 

1. Квадрат некоторого члена геометрической прогрессии начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то есть 

, где n = 2, 3, 4, 5....

Доказательство. Воспользуемся формулой   члена геометрической прогрессии. Тогда: 

 Если все члены геометрической прогрессии явля.тся положительными числами, то  то есть, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних с ним членов. 

По одной из версий именно с этим свойством геометрической прогрессии и связанно ее название. 

2. Квадрат любого числа члена геометрической прогрессии начиная со второго, равно произведению двух равноудаленных от него членов, то есть 

 где 

Свойство доказывается аналогично предыдущему свойству. 

3. Если k, l, p и s — натуральные числа  то 

Доказательство. Используем формулу  члена геометрической прогрессии:

Но  потому 

Итак, 

Формула сложных процентов

Бухгалтерам и работникам банков часто приходится решать задачи на проценты. Рассмотрим задачу о процентных начислениях средств. С экономичной точки зрения денежные средства можно считать вознаграждением, которое платит лицо или учреждение (заемщик) за пользование в течение времени определенной суммой средств, полученных от другого лица или учреждения (кредитора). Размер этого вознаграждения зависит от суммы займа и срока пользования им.

Задача №71

Вкладчик открыл в банке депозит в размере 10 000 руб. под 11 % годовых (то есть банк обязуется выплатить проценты в размере 11 % за год от первоначальной суммы вклада). Сколько руб. в процентах получит вкладчик через год?

Решение.  потому вкладчик получит  руб. процентных средств.

Ответ: 1100 руб.

Если вкладчик решит держать средства в банке больше чем один год, не прибавляя новых средств и не забирая из банка вложенных  средств, то вычислить сумму процентов на счету у вкладчика через несколько лет можно при помощи формулы сложных процентов.  

Пусть вкладчик положил в банк  руб. под ,  еще называют процентным капиталом. Через год банк добавит вкладчику  руб. процентных средств. Поэтому на счету вкладчика через год будет  руб. Наращенный капитал обозначим  За второй год вкладчику будет добавлено  руб. процентных средств и его вклад равняется: 

Рассуждая аналогично и используя формулу   члена геометрической прогрессии  где  и  дойдем до вывода, что через  лет наращенный капитал станет: 

 руб.

Итак, 

Процентный капитал  вложенный  в банк под  годовых, через n лет станет наращенным капиталом  размер которого вычисляется по формуле:  которую называют формулой сложных процентов.

Задача №72

Вкладчик открыл в банке депозит на 5000 руб. под 12% годовых. Сколько средств будет на счету вкладчика через 3 года? Сколько процентных средств получит вкладчик через 3 года?

Решение.  Тогда  руб. Процентные средства можно найти как разность 

Итак,  руб.

Ответ.  руб.

Задача №73

Население некоторого города составляет 30000 жителей. Каждый год количество населения уменьшается на 0,2 %. Каким будет население этого города через 10 лет?

Решение. Поскольку население города ежегодно уменьшается на один и тот же процент, и этот процент от количества населения каждого следующего года, а не первоначального количества жителей, то можно воспользоваться формулой сложных процентов. 

Знаем, что (поскольку население уменьшается, то ),  Тогда: .

Ответ: 29405 жителей. 

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Рассмотрим  первых членов геометрической прогрессии  

Обозначим через  их сумму: 

Найдем формулу для вычисления этой суммы. Имеем (используя формулу  члена геометрической прогрессии): 

Умножим обе части этого уравнения на 

Отнимаем почленно от этого равенства предыдущее: 

Итак,  и 

Если  то получим формулу суммы  первых членов геометрической прогрессии:  

Если  то все члены прогрессии равны первому члену и тогда 

 Заметим, что полученную формулу (1) можно записать и в таком виде: 

Поскольку  то полученную формулу (1) суммы  первых членов геометрической прогрессии можно представить и в другом виде. На самом деле, 

Итак, 

Получаем еще одну формулу для вычисления суммы  первых членов геометрической прогрессии, которой удобно пользоваться, если известны первый и  члены прогрессии и ее знаменатель.

Используем эти формулы для решения примеров. 

Пример №409

Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии 

Решение. 1 способ. По условию: 

Тогда по формуле (1): 

2 способ. Мы видим, что  тогда  

Отсюда по формуле (2): 

Ответ: 1094. 

Пример №410

Найти сумму первых членов геометрических прогрессии  если 

Решение. Поскольку  то  следовательно  или 

Тогда появляются две прогрессии, которые удовлетворяют условию задачи:

1) если , то 

2) если  то 

Ответ: 252 или –84. 

Пример №411

Сократить дробь 

Решение. Слагаемые в числителе дроби являются последовательными членами геометрической прогрессии  первый член которой равняется 1, а знаменатель равняется  Из условия получается, что 

Найдем сумму всех шести членов этой прогрессии по формуле (1) и сократим их: 

Ответ: 

Функции, многочлены, уравнения и неравенства

Многочлен это сумма одночленов. Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и делить, выносить общий множитель за скобки. Неравенство — некоторое соотношение, связывающее неизвестный объект (неизвестные объекты) с известными объектами с помощью знаков неравенства (знаков , <, >... ).

Множества и операции над множествами

Вспомним известные вам числовые множества и расширим само понятие множества.

Числовые множества. Множество действительных чисел

Понятие числа является одним из основных  в курсе математики. Представления о числах (натуральных, целых, рациональных, иррациональных) у человечества складывались постепенно, в процессе практической деятельности. Все вышеупомянутые виды чисел вам встречались в школьном курсе математики. Напомним основные виды числовых множеств.

Из-за потребности в счете предметов появились натуральные числа.

•   Числа 1, 2, 3, 4, 5, ... , которые используют для счета предметов, называют натуральными числами.

Множество натуральных чисел обозначают буквой . Напомним, что запись означает, что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел, а запись  означает, что число   не принадлежит множеству натуральных чисел.

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае примерно 2100 лет назад, там их толковали как долг.

Числа  и называют противоположными. Например, противоположными являются числа 5 и —5, —0,8 и 0,8.

• Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 образуют множество целых чисел.

Множество целых чисел обозначают буквой .

Потребность в измерении величин привела к появлению дробных чисел. Так, например, длина веревки может составлять , или , или , а средняя масса ящика с фруктами — .  

• Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. 

Множество рациональных чисел обозначают буквой . Напомним, что любое рациональное число можно записать в виде , где — целое число, а — натуральное.
Например, ; ; ; .  

Рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби, для этого числитель дроби надо поделить на его знаменатель.
Например, ; ; 
В последнем случае получили бесконечную периодическую дробь.

В практической деятельности человека встречаются числа, которые не являются рациональными. Например, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом длиной   равна . Число  нельзя представить в виде .  

• Числа, которые нельзя представить в виде , где  — целое число, а  — натуральное число, называют иррациональными числами.

Напомним, что каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел. Это множество обозначают буквой .

Примерами иррациональных чисел являются также числа , ,  и тому подобное. Приближенные значения этих чисел (то есть округленные до некоторого разряда) можно находить с определенной точностью с помощью калькулятора или компьютера: ; ; .

Понятие множества и подмножества

Кроме множеств, которые мы рассмотрели выше, рассматривают и другие множества. Понятие множественного числа в более широком понимании является одним из основных в математике и поэтому не имеет определения. Под понятием множества будем понимать определенную совокупность объектов любой природы, сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Обычно множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество состоит из чисел 1, 2, 3, а множество из знаков и , то это записывают так: , . Числа 1, 2, 3 — элементы множества , а знаки , — элементы множества . Тот факт, что число 1 принадлежит множеству , записывают с помощью известного вам символа принадлежности: , а то, что число 1 не принадлежит множеству , записывают так: .

Множества, количество элементов которых можно записать натуральным числом, называют конечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом . Так, например, пустым является множество решений уравнения .

Множества, количество элементов которых нельзя записать натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными. Бесконечными множествами являются, например, множества , , , . Также к бесконечным множествам принадлежат известные вам числовые промежутки. Например, промежутки , ,  являются бесконечными множествами. Если концы промежутка ему не принадлежат, такой промежуток еще называют интервалом.

Множества удобно изображать с помощью диаграмм (кругов) Эйлера—Венна (рис. 1.1). Множества, являющиеся числовыми промежутками, удобно изображать на числовой прямой штриховкой (рис. 1.2).

                 

                    Рис. 1.1                                                       Рис. 1.2

• Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Записывают это так: . Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 1.3.

         Рис. 1.3

Пример №412

Пусть , , . Тогда множество является подмножеством множества : , множество не является подмножеством множества , поскольку множество содержит элемент , который не содержит множество .
Для вышеупомянутых числовых множеств можно записать: , , ,  и тому подобное.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции (действия), которые можно выполнять над множествами.

• Пересечением множеств и называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств, как и пересечение промежутков, записывают с помощью знака .

Пример №413

, , . Тогда , .

Пересечение множеств удобно изображать на диаграммах (рис. 1.4), а для числовых промежутков — на числовой прямой, например,  (рис 1.5).

            

        Рис. 1.4                                             Рис 1.5

• Объединением множеств и называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или .

Объединение множеств, как и объединение промежутков, записывают с помощью знака .

Пример №414

, , . Тогда , .

Объединение множеств также удобно изображать на диаграммах (рис. 1.6), а для числовых промежутков — на числовой прямой, например, (рис. 1.7).

               

         Рис. 1.6                                             Рис 1.7

Числовые функции. Область определения и множество значений функции

С понятием функции, одним из важнейших в современной математике, вы ознакомились в курсе алгебры.

В курсе алгебры и начале анализа будем использовать такое определение числовой функции:

• Числовой функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной из некоторого множества отвечает по определенному правилу единственное значение зависимой переменной.

Функции обычно обозначают латинскими (иногда греческими) буквами.

Рассмотрим функцию , в которой каждому натуральному значению от 1 до 5 соответствует число , которое вдвое больше . Это соответствие показано на рисунке 2.1. Стрелка указывает на число ,  соответствующее числу . Число называют значением функции в точке и обозначают через (на рис. 2.1 ).

Напомним, что независимую переменную еще называют аргументом функции, а зависимую переменную — значением функции или функцией от этого аргумента.

                Рис. 2.1

• Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать аргумент .

Обозначают это множество . Если функция задана в виде , например , то область определения функции обозначают через .

Например, областью определения функции из примера выше есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 5, то есть , а областью определения функции  является множество всех действительных чисел, записывают так: .

Пример №415

Найти область определения функции:

1);      2);      3).

Решение.

1) Областью определения функции является множество всех значений , для которых , то есть , поскольку знаменатель дроби не может равняться нулю. Итак, . Это запись области определения посредством объединения промежутков.

2) Областью определения функции является множество всех значений , для которых , то есть , поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным и, к тому же, отличным от нуля, потому что корень находится в знаменателе дроби. Итак, .

3) Областью определения функции является множество всех значений , для которых . Поскольку для всех значений и к тому же . Если , то получим, что область определения состоит из числа 0 и решений неравенства , то есть . Следовательно, .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

• Множеством (или областью) значений функции ) называют множество, состоящее из всех чисел , где .

Обозначают эту величину через  или . Для примера выше имеем: . 

Пример №416

Найти множество значений функции:

l) ;  2) .

Решение.1) Выражение может приобретать любое неотрицательное значение: . Умножим обе части этого неравенства на и изменим при этом знак неравенства на противоположный: . Добавим к обеим частям неравенства число . Тогда , то есть . Следовательно, множеством значений функции является промежуток . Имеем: .

2) Выделив квадрат двучлена, имеем: . Следовательно, . Поскольку , то . Имеем: .

Ответ. 1) ; 2) .

Как известно, функции являются математическими моделями реальных процессов и явлений окружающего мира. Поэтому их часто применяют для решения различных прикладных задач в физике, экономике, биологии и тому подобное.

Пример №417

Записать формулу для вычисления кинетической энергии шарика массой 50 г. Задает ли эта формула функцию? Если да, указать ее аргумент.

Решение. Из курса физики вы знаете, что кинетическую энергию , вычисляют по формуле . Имеем: , . Итак, —это функция от аргумента , где .

Пример №418

Начальная стоимость некоторого оборудования составляет 200 000 руб. Ежегодно она уменьшается на 5 %. 1) Записать функцию зависимости стоимости оборудования от количества лет эксплуатации . 2) Используя полученную функцию, найти стоимость оборудования через 4 года.
Решение. 1) Через год стоимость оборудования составит от начальной стоимости, то есть . Через 2 года — ; соответственно за лет эксплуатации — . Имеем функцию , где . 2)  (руб.).

Ответ. 1) ; 2) 162 901,25 руб.  

Заметим, что функцию зависимости стоимости оборудования от срока эксплуатации t можно было найти и по формуле сложных процентов: , то есть .

Способы задания функции

Функцию можно задавать разными способами: формулой, таблицей, графиком, словесно.

Рассмотрим эти способы.

В вышеупомянутых примерах: , , , , ,  функция задана формулой. Такой способ задания функции является достаточно удобным, ведь позволяет для произвольного значения аргумента из области определения функции вычислить соответствующее значение функции и во многих случаях выполнить обратную задачу.

Пример №419

Функция задана формулой . 1) Найти значение функции, если . 2) Сравнить и . 3) Для какого значения аргумента значение функции равно 0?

Решение. 1) .

 2); . Итак, .
3) Поскольку , то . Отсюда .

Ответ. 1) , 2) , 3) .

Пример №420

С помощью функции  описано изменение температуры воды в баке (в ) в зависимости от времени (в мин). Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Поскольку , то вычисляется по формуле: , итак, .

2) Поскольку , то .

3) Поскольку , вычисляем  по формуле , отсюда . 

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Другой важный способ задания функции — табличный. Из таблицы можно непосредственно найти значение функции, но лишь для конечного набора значений аргумента.

Пример №421

Каждый час, с девяти до пятнадцати, измеряли атмосферное давление и данные заносили в таблицу:

Область определения функции образуют числа 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (числа первой строки таблицы), а множество значений —753, 754, 755, 757 (числа второй строки таблицы).

Часто функцию задают с помощью графика. Графический способ задания достаточно удобен: он дает возможность наглядно увидеть свойства функции. На рисунке 2.2 изображена вольт—амперные характеристики некоторых электрических элементов, то есть зависимость силы тока от напряжения задано графически. Эта зависимость получена не с помощью формулы, а экспериментальным путем.

           Рис. 2.2

На рисунке 2.3 изображена кардиограмма человека. Кардиограмму можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время ее сокращений.

           Рис. 2.3

Пример №422

По графику функции (рис. 2.4) найти:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) значение функции, если ;

4) значение аргумента, при котором значение функции равно .

              Рис. 2.4

Решение. 1) Спроецируем все точки графика на ось . Получим промежуток , который является областью определения функции: .

2) Спроецируем все точки графика на ось . Получим промежуток , который является множеством значений функции: .

3) Находим по графику: ; .

4) Абсциссы точек пересечения прямой графика функции   таковы: и , поэтому , если или .

Прямая пересекает график функции в точке с абсциссой . Итак, , если .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; ; 4) , если  или ; , если .

Словесное задание функции состоит в том, что функциональную зависимость задают словами. Например: «каждому числу ставим в соответствие квадрат этого числа, уменьшенный на 10». Если сказанное задать формулой, то она будет выглядеть так: . Словесный способ задания функции используют очень редко.

Свойства функций

В этой лекции рассмотрим основные свойства функций.

Нули и промежутки знакопостоянства функции

На рисунке 3.1 изображено график функции , определенной на промежутке . Если , или , или , то значение функции равно нулю, то есть . Напомним, что такие значения аргумента называют нулями функции.

               Рис. 3.1

• Значения аргумента , при которых значения функции равны нулю, называют нулями функции.

Чтобы найти нули функции , надо решить уравнение .

Пример №423

Найти нули функции .

Решение. Имеем уравнение: , корни которого , — нули функции.

Ответ. ; .

Нули функции (рис. 3.1) разбивают её область определения на промежутки , , , . Для значений из промежутков и точки графика лежат выше оси абсцисс, а для значений из промежутков и — ниже оси абсцисс. Таким образом, в промежутках и функция принимает положительные значения , а на промежутках и — отрицательные значения .

• Промежуток, на котором функция сохраняет знак, называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутки , , , являются промежутками знакопостоянства функции , график которой изображен на рисунке 3.1.

Промежутки возрастания, убывания, постоянства функции

• Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Иначе говоря, функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых  и из этого промежутка, таких, что истинно неравенство . На рисунке 3.2 изображен график функции , которая возрастает на промежутке , при этом промежуток  называют промежутком возрастания функции.

        

                  Рис. 3.2                                            Рис. 3.3

• Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых  и из этого промежутка, таких, что , истинно неравенство . На рисунке 3.3 изображен график функции , которая убывает на промежутке , при этом промежуток называют промежутком убывания функции.

Легко увидеть, что график растущей на некотором промежутке функции во время движения вдоль графика слева направо (то есть в направлении роста аргумента ) «направляется вверх» ( «возрастает»), а график убывающей функции — «направляется вниз» ( «убывает»).

• Функцию называют монотонной на некотором промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает. 

На каждом из рисунков 3.2 и 3.3 функция является монотонной на промежутке , при этом промежуток называют интервалом монотонности функции.

Пример №424

Рассмотрим функцию , график которой изображен на рисунке 3.1. На промежутке функция возрастает, а на промежутках и убывает.

• Функцию называют постоянной на некотором промежутке, если для любых значений аргумента и из этого промежутка .

Например, функция постоянна на промежутке . Ее график — прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 3.4).

    Рис. 3.4

Пример №425

На промежутке рассмотрим функцию . На данном промежутке , а , поэтому , . Тогда . Следовательно, на промежутке функция постоянна.

Четность и нечетность функций

Область определения функции будем называть симметричной относительно нуля, если вместе с каждым числом область определения функции содержит также и число . Среди функций, область определения которых симметрична относительно нуля, различают четные и нечетные функции.

• Функцию называют четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого из области определения подтверждается равенство: .

Пример №426

Исследовать на четность функцию .

Решение. , то есть область определения функции симметрична относительно нуля. Кроме того, . Следовательно, функция — четная.

Ответ. Четная.

         Рис. 3.4

На рисунке 3.5 схематически изображен график функции . Он является симметричным относительно оси . Вообще, 

• график любой четной функции симметричен относительно оси ординат.

Действительно, когда функция — четная, то любым противоположным значениям аргумента и соответствует одно и то же значение функции , а точки и , как известно, симметричны относительно оси ординат.

• Функцию называют нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого из области определения подтверждается равенство:

Пример №427

Исследовать на четность функцию .
Решение. . Область определения симметрична относительно нуля. Кроме того, . Значит, функция  — нечетная.

Ответ. Нечетная.

       Рис 3.6

На рисунке 3.6 схематически изображено график функции . Он является симметричным относительно начала координат. Вообще,

• график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Действительно, когда функция — нечетная, то любым противоположным значением аргумента и соответствуют противоположные значения функции и , а точки и , как известно, — симметричны относительно начала координат.

Если область определения функции не является симметричной относительно нуля или не выполняется ни одно из равенств и , говорится, что функция является ни четной , ни нечетной.

Пример №428

Исследовать на четность функцию: 1) ;   2) .

Решение. 1) . Область определения функции не является симметричной относительно нуля, поскольку . Поэтому функция ни четная, ни нечетная.

2) . Область определения симметрична относительно нуля. Найдем . Имеем: . Поскольку и , то функция — ни четная, ни нечетная.

Ответ. 1) Ни четная, ни нечетная; 2) ни четная, ни нечетная.

Пример №429

Функция определена на множестве целых чисел. Исследовать эту функцию на четность.

Решение. (по условию). Область определения функции является симметричной относительно нуля. Заметим, что , а потому
и . Найдем . Имеем: . Итак, эта функция — четная.

Ответ. Четная.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Если график функции на промежутке является непрерывной линией, то в множестве значений функции есть наибольшее число и наименьшее число. Эти числа называют наибольшим и наименьшим значениями функции на промежутке .

Рассмотрим функцию , график которой изображен на рисунке 3.1. Эта функция определена на промежутке .

Наибольшим значением этой функции на данном промежутке является число 3, которого Функция достигает при .

Наименьшим значением функции на промежутке является число –2, которого функция достигает при .

Записывают это так: .

Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с ее множеством значений. Если наибольшим значением некоторой непрерывной функции на промежутке является число , a наименьшим — число , то множеством значений функции на промежутке  будет промежуток .

Так, множеством значений функции , изображенной на рисунке 3.1 и определенной на промежутке , является промежуток .

Пример №430

При каком значении с наименьшее значения функции равна ?

Решение. Преобразуем данный в формуле функции квадратный трехчлен: . Итак, . Поскольку , то наименьшим значением функции будет число . По условию . Итак, .

Ответ. .

Свойства и графики основных видов функций. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Обратная функция

В этой лекции вспомним материал, известный вам из предыдущих классов: графики и свойства основных видов функций; построение графиков с помощью геометрических преобразований. Также ознакомимся с понятием обратной функции.

Графики основных видов функций

• Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, в которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты вычисляют по формуле .

Из предыдущих классов мы уже знаем вид графиков функций , ,  , , . 

Функция 

Функцию вида , где и — некоторые числа, называют линейной. Графиком функции  прямая (рис. 4.1—4.3).

             

             Рис. 4.1                                       Рис. 4.2                               Рис. 4.3      

Функция 

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершиной является точка (рис. 4.4).

      Рис. 4.4

Функция 

Графиком функции является ветвь параболы, лежащей в четверти координатной плоскости (рис. 4.5).

      Рис. 4.5

Функция ,

Графиком функции ,  является гипербола, ветви которой лежат в  и четвертях, если (рис. 4.6), и во  и четвертях, если  (рис. 4.7).

         

       Рис. 4.6                           Рис. 4.7

Функция , где 

Графиком функции , где , является парабола с вершиной в точке (рис. 4.8). Ее можно построить следующим образом:

1) найти координаты вершины параболы: , ; если  — ветви параболы направлены вверх, если — вниз;

2) найти еще несколько точек, принадлежащих параболе (при построении можно использовать симметрию параболы относительно прямой )

3) совместить полученные точки плавной линией.

        Рис. 4.8

Пример №431

Схематически построить график функции и найти ее промежутки возрастания и убывания: 1) ; 2) .
Решение. 1) На рисунке 4.9 изображен график функции . Это прямая, которую проведем через точки и . Функция убывает на промежутке .

          Рис. 4.9
2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , . График функции схематически изображен на рисунке 4.10. Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

Ответ. 1) Убывает на , 2) убывает в , возрастает на .

Свойства основных видов функций

Систематизируем данные о свойствах основных видов функций в таблице. 

Построение графиков функций с помощью преобразований известных графиков функций

Напомним, как с помощью геометрических преобразований графиков функций можно строить графики других функций.

Построение графика функции , где  

Чтобы построить график функции , где , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вверх.

Чтобы построить график функции , где , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вниз.

Примечание. Вместо того чтобы переносить график функции вверх или вниз, можно перенести ось на столько же единиц в противоположную сторону.

Пример №432

Построить графики функций  и . 

Решение. Преобразуем график функции . Графики функций и изображены на рисунке 4.11

             Рис 4.11

Построение графика функции , где  

Чтобы построить график функции , где , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вправо; чтобы построить график функции , где , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц влево.

Примечание. Вместо того, чтобы переносить график функции вправо или влево, можно перенести ось y на столько же единиц в противоположную сторону.

Задание 3. Построить графики функций  и .

Решение. Преобразуем график функции . Графики функций ,  и изображены на рисунке 4.12.

                                     Рис. 4.12

Построение графика функции

Графики функций и симметричны относительно оси .

Пример №433

Построить график функции .

Решение. Графики функций и изображены на рисунке 4.13.

           Рис. 4.13

Построение графика функции , где ,

Чтобы получить график функции , где , , надо график функции растянуть от оси в раз, если , или сжать его к оси в раз, если .
 

Пример №434

Построить графики функций и .
Решение.  График функции изображен на рисунке 4.14. На рисунке 4.15 изображены графики функций , и .

        

             Рис. 4.14                                     Рис. 4.15

Выполняя последовательно два и более преобразований, можно строить графики функций вида , где , и некоторых других.

Пример №435

Построить график функции .

Решение. Перенесем график функции вдоль оси  на 3 единицы вправо, после чего — вдоль оси   на 2 единицы вверх. График функции изображен на рисунке 4.16.

            Рис. 4.16

Пример №436

Построить график функции .

Решение. График функции растянем втрое от оси , получим график функции (рис. 4.17). График функции симметричен графику функции относительно оси (рис. 4.17).

            Рис. 4.17

Обратная функция 

В ходе исследования функций мы неоднократно решали задачу нахождения значения функции для заданного значения аргумента . Часто приходилось решать и обратную задачу: находить значение аргумента , для которого функция приобретает заданное значение .

Пример №437

Дана функция . Найти значение аргумента, для которого значение функции равно 3.

Решение. Имеем: , откуда

Ответ. 5.

Пример №438

Дана функция . Найти значение аргумента, для которого значение функции равно 11.

Решение. По условию: , тогда  или . 

Ответ . , .

• Функцию, которая принимает каждое свое значение только в одной точке области определения, называют обратимой.

Следовательно, функция  является обратимой, а функция  не является обратимой.

Из равенства , где — обратимая функция, как из уравнения, найдем (если это возможно), получим: . Эту функцию называют обратной к функции . Поскольку в школьной математике принято обозначать аргумент через , а функцию через , окончательно получим: .

Пример №439

Для функции найти обратную.

Решение. Поскольку функция является обратимой, то для нее можно найти обратную. Выразим из , получим . Обозначим аргумент через , функцию — через  и окончательно получим .

Построив графики функций   и  в одной координатной плоскости, можно заметить, что они являются симметричными относительно прямой y = x (рис. 4.18).

Такое свойство имеют графики для любых обратимой и обратной к ней функций.

              рис. 4.18

• Графики функций и обратной к ней являются симметричными относительно прямой .

Можно доказать, что если функция является обратной к , то и , наоборот, функция является обратной к функции . О таких функциях и говорят, что они взаимно обратные.

Функции и — взаимно обратные.

Заметим, что для взаимно обратных функций справедливо такое свойство: областью определения обратной функции является множество значений прямой, а множество значений обратной функции — область определения прямой функции.

Пример №440

Для функции найти обратную.

Решение. Функция является обратимой, ее график изображен на рисунке 4.19. Имеем: . Поскольку для всех значений из области определения, то , то есть . Для таких имеем: .

Возвращаясь к традиционным обозначениям, получим, что , где , — функция, обратная к (рис. 4.19).

Ответ, , .

Уравнения

В предыдущих классах мы уже изучали некоторые виды уравнений: линейные, квадратные, биквадратные, дробно-рациональные и тому подобное. Систематизируем и углубим сведения об уравнениях.

Понятие об уравнении и его корни

Напомним, что

• уравнением называют равенство, содержащее переменную.

Уравнение с переменной в общем виде можно записать так: .

• Значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство, называют корнем (решением) уравнения.

Например, число 2 является корнем уравнения , так как , а 5 не является корнем этого уравнения, потому что .

• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решение уравнений методом равносильных преобразований

С понятием равносильных преобразований мы ознакомились еще в курсе алгебры 7—го класса. Уточним определение равносильности уравнений.

• Два уравнения называют равносильными в некотором множестве, если они на этом множестве имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, которые не имеют корней.

Уравнения и на множестве действительных чисел не являются равносильными, поскольку корнями первого будут числа 1 и –1, а второе имеет только один корень — число 1. На множестве неотрицательных чисел они будут равносильными, поскольку будут иметь один и тот же, единый для каждого из уравнений на этом множестве, корень — число 1.

Равносильные преобразования уравнений положены в основу соответствующего метода решения уравнений, который состоит в замене исходного уравнения равносильным ему уравнением (иногда несколькими уравнениями) или системой, содержащей другое , более простое уравнение и некоторые дополнительные ограничения для переменной, записанные в виде уравнения, неравенства и тому подобное. В таком случае говорят, что уравнение равносильно уравнению (совокупности уравнений) или системе.

В предыдущих классах мы уже рассматривали некоторые преобразования уравнений, сводящие уравнение к нему равносильного (к совокупности уравнений) или равносильной системе. В частности это:

1. раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в любой точке уравнения;
2. перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный;
3. умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число;
4. замена уравнения совокупностью уравнений и (при условии, что выражения и имеют смысл для всех полученных корней этой совокупности);
5. замена уравнений  системой .

Вспомним, как решить уравнение с помощью равносильных преобразований.

Пример №441

Найти корни уравнения .

Решение.

 (раскрыли скобки);

 (перенесли слагаемые);

(привели подобные слагаемые);

 (поделили обе части на –2);

 (получили корень).

Ответ. –5.

Пример №442

Решить уравнение .

Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, дальше сведем дроби к общему знаменателю:

;

;

упростим числитель: .

Уравнение равносильно системе : 

Корнями первого уравнения системы являются числа –2 и –3, но, учитывая вторую строчку системы, получим, что и , поэтому — единственный корень уравнения.

Ответ. –2.

Уравнения–следствия 

Большинство уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущих классах, удобно было решать методом равносильных преобразований. Преимуществами метода является то, что при таких преобразованиях каждое следующее уравнение является проще предыдущего, а множество корней последнего уравнения является множеством корней исходного. Однако равносильные преобразования иногда бывают довольно громоздкими или приводят к системам, решение которых может оказаться не только громоздким, но и потребует знаний, выходящих за пределы школьного курса математики. В таком случае целесообразно использовать другой подход — заменять исходное уравнение уравнением–следствием. 

• Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.

Пример №443

Рассмотрим два уравнения:  и .

Первое из них равносильно системе  из которой получаем корень . Корни второго уравнения: ; . Следовательно, уравнение является следствием уравнения .

Таким образом, можно сделать вывод, что при переходе от уравнения к уравнению–следствию возможно появление посторонних корней. Поэтому,

• решая уравнение с помощью уравнений–следствий, надо обязательно проверять, являются ли полученные корни уравнения–следствия корнями исходного уравнения.

Иначе говоря, надо выполнять проверку корней.

Пример №444

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку знаменатели дробей равны, то равными должны быть и числители. Имеем уравнение–следствие: , то есть , откуда ; . Выполним проверку корней.

Если , то: , поэтому 1 — корень уравнения.

 Если , то знаменатели дробей обращаются в ноль, поэтому число 2 не может быть корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем. Таким образом, число 1 — единственный корень исходного уравнения.

Ответ. 1.

Область допустимых значений уравнения

Напомним, что областью допустимых значений переменной в выражении называют все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Рассмотрим понятие области допустимых значений переменной в уравнении.

• Областью допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении  называют пересечение областей допустимых значений переменной в выражениях  и .

Мы уже упоминали, что равносильные преобразования иногда приводят к громоздким вычислениям. Определенные проблемы случаются и при использовании уравнений–следствий, например, иногда сложно выполнить проверку полученных из уравнения корней и выявить среди них посторонние. В частности, довольно сложной и громоздкой является проверка корней, которые являются иррациональными числами.

Решая рациональное уравнение, этих проблем можно избежать, если сначала найти ОДЗ переменной в уравнении. Тогда, получив корни уравнения–следствия, целесообразнее проверить, относятся ли они к ОДЗ, чем выполнять проверку подстановкой их в исходное уравнение. Те корни, которые не будут принадлежать ОДЗ, и будут посторонними. Этот способ является весьма полезным и в тех случаях, когда преобразования приводят к расширению ОДЗ исходного уравнения, что, в свою очередь, приводит к появлению посторонних корней. Рассмотрим это на примере.

Пример №445

Решить уравнение: .

Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении будут все значения , кроме числа –2. В дальнейшем записываем это так — .
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: .

Поскольку , имеем , тогда ; . Но –2 не принадлежит ОДЗ и поэтому является сторонним корнем. Итак, 3 —единственный корень уравнения.

Ответ. 3.

Простейшие уравнения с параметром 

Обычно в уравнениях буквами обозначают переменные, но иногда, кроме переменной, уравнение может содержать еще и другую букву, которой обозначено неизвестное постоянное число. Эту букву в уравнении называют параметром, а уравнение, которое его содержит, уравнением с параметром.

Если в уравнении есть параметр, то имеем уже не одно уравнение, а бесконечное их количество, которые будем получать для различных значений параметра. Для различных значений параметра количество корней уравнения также может быть разным.

• Решить уравнение с параметром означает для каждого значения параметра установить, имеет ли уравнение корни, и если да, то найти эти корни, которые в большинстве случаев будут зависеть от параметра.

В школьном курсе математики уравнениям с параметрами, как правило, выдвигают одно из двух требований: решить уравнение (имеется в виду, для каждого допустимого значения параметра) или найти значение параметра, при котором уравнение удовлетворяет определенное условие, как правило, по количеству или числовым значениям его корней. В зависимости от этих требований уравнение с параметрами можно условно разделить на два типа. При этом любое такое уравнение является по-своему уникальным, так как универсальных методов решения уравнений с параметрами не существует. Можно лишь отметить определенные действия, без выполнения которых решение уравнения с параметром не будет успешным.

Например, если поставлено требование решить уравнение, то сначала находят область допустимых значений параметра (если отличается от множества всех действительных чисел), затем исследуют все возможные случаи существования корней, находя значение параметра для каждого из этих случаев и соответствующие им корни. Все найденные значения параметра и соответствующие им корни отмечают в ответе к задаче, как правило, в форме «Если ..., то ...». При этом указанные в ответе значение параметра должны обязательно охватывать всю его область допустимых значений. Отсутствие в ответе хотя бы одного значения параметра из его области допустимых значений будет означать, что некоторые случаи существования корней не рассмотрены, поэтому ответ является неполным. Рассмотрим несколько уравнений такого типа на примерах, где — параметр.

Пример №446

Решить уравнение: .

Решение. Уравнение является линейным. Если бы оно не содержало параметра, корень мы бы находили делением обеих частей уравнения на коэффициент при переменной . Но этот коэффициент содержит параметр, поэтому при определенных значениях параметра может равняться нулю, и тогда выполнять деление нельзя. Итак, имеем случаи, когда , то есть когда или , и когда , то есть когда и . Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Пусть , тогда уравнение приобретает вид , решением которого является любое число.

2) Пусть , тогда уравнение приобретает вид и решений нет.
3) Пусть , , тогда , то есть ,  следовательно,  .

Ответ. Если , то  — любое число; если , корней нет; если  и , то .

Пример №447

Решить уравнение: .

Решение. Если , получим линейное уравнение, если , — квадратное. Рассмотрим эти случаи.

1) Пусть , тогда уравнение приобретает вид , следовательно, .

2) Пусть Находим дискриминант квадратного уравнения: .

Если , то есть , следовательно, , при условии, что , уравнение будет иметь два различных корня: .
Если , то есть , следовательно, , уравнение принимает вид: и имеет один корень .

Если , то есть  , уравнение корней не имеет.

Ответ. Если , то ; если или , то ; если , то ; если , то корней нет.

Рассмотрим теперь несколько примеров уравнений второго типа, то есть тех, в которых надо найти значение параметра, при котором должно выполняться определенное условие о количестве корней уравнения или их значений. В таких задачах чаще всего мы должны найти эти значения параметра и указать их в ответе.

Пример №448

При каких значениях параметра уравнение равносильно уравнению ?

Решение. Единственным корнем уравнения является число 3. Поэтому, по определению равносильных уравнений, уравнения тоже должно иметь только один корень и он должен быть числом 3. Предположим, что число 3 является корнем уравнения , тогда оно превращает уравнение в верное равенство. Подставим число 3 вместо в уравнение с параметром, получим: , то есть , следовательно, . Остается убедиться, что при найденном значении параметра других корней, кроме числа 3, уравнение не имеет. Подставив в уравнение   найденное значение параметра , получим уравнение , единственным корнем которого и будет число 3. Следовательно, при уравнения  и равносильны.

Ответ. .

Пример №449

При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два различных действительных корня?

Решение. Рассмотрим два случая: когда , то есть уравнение будет линейным, и когда , то есть уравнение будет квадратным.

1) Пусть , тогда , и уравнение приобретает вид: .

Тогда — его единственный корень. Значение параметра не удовлетворяет условие задачи, поскольку для этого значения уравнение имеет только один корень.

2) Пусть , тогда . Найдем дискриминант квадратного уравнения: . Уравнение будет иметь два различных действительных корня при , то есть когда . Решением этого неравенства является множество . Учитывая, что при этом еще и , то при   уравнение будет иметь два различных действительных корня.

Ответ. .
 

Пример №450

При каких значениях параметра уравнение  имеет единственный корень?
Решение. Уравнение равносильно системе: 

Из уравнения системы имеем: ; ; .
Исходное уравнение имеет только один корень в одном из следующих случаев:

1) и ; 2) ; ; 3) ; .

Рассмотрим эти случаи.

1) Пусть , то есть . Тогда = . Итак, удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть                Тогда .

2) Пусть                 Тогда .

Ответ. 1; 0; 2.

Неравенства

Неравенства, как и уравнения, играют значительную роль в курсе алгебры. В этой лекции систематизируем и углубим знания о неравенствах.

Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства

В предыдущих классах нам уже приходилось решать неравенства с одной переменной. Это были линейные и квадратные неравенства, например, и подобные.

• Значение переменной, которое превращает неравенство в верное числовое неравенство, называют решением неравенства.

Например, число 1 является решением неравенства , потому что , но 0 не является решением этого неравенства, потому что .

• Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Например, неравенство решений не имеет, а решением неравенства является промежуток .

• Неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.

Как и уравнения, неравенства тоже можно решать с помощью равносильных преобразований, то есть заменяя неравенство равносильным ему более простым неравенством (иногда несколькими простыми неравенствами) или системой неравенств, которая будет иметь то же множество решений, что и начальное неравенство. В таком случае говорят, что неравенство равносильно неравенству (совокупности неравенств) или системе неравенств.

Вспомним равносильные преобразования неравенств, с которыми мы ознакомились в курсе алгебры 9 класса: 

1. раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в любой части неравенства;
2. перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный;
3. умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число;
4. умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с изменением при этом знака неравенства на противоположный.

Вспомним, как решить неравенство с помощью равносильных преобразований.

Пример №451

Решить неравенство .

Решение.  (раскрыли скобки);

 (перенесли слагаемые);

 (привели подобные слагаемые);

 (поделили на отрицательное число).

Ответ. .

Отметим, что ответ можно записать и так: . 

Метод интервалов

Вспомним, как решить квадратное неравенство. 

Пример №452

Решить неравенство: .

Решение. Найдем корни квадратного трехчлена . Имеем: ; . Поскольку неравенство строгого знака, то эти числа не будут принадлежать множеству решений неравенства. Поэтому на числовой оси изображаем их «пустыми» точками. Через эти точки схематично проведем график функции ,  являющийся параболой, ветви которой направлены вверх (рис. 6.1).

           Рис. 6.1

Итак, множеством решений неравенства является объединение интервалов  и , на которых функция принимает положительные значения.

Ответ. .

Как и для уравнений:

• областью допустимых значений (ОДЗ) переменной для каждого из неравенств , , , называют пересечение областей допустимых значений переменной выражений и .

Решить неравенство можно и другим способом, основываясь, например, на свойствах непрерывных функций. Поскольку графиком функции является непрерывная линия, а нулями функции — числа –3 и 2, то эти числа разбивают числовую ось на три промежутка (интервала): , и , на каждом из которых функция знакопостоянная. Поэтому, чтобы найти знак функции на каждом из этих интервалов знакопостоянства, достаточно определить знак числа, которое является значением функции в одной (любой) точке интервала (такую ​​точку называть «контрольной»). Тот же знак будет и у функции в каждой точке этого интервала, то есть на этом интервале. Определив таким способом знак функции на каждом из интервалов знакопостоянства, легко записать решения неравенства. Например, , , поэтому , если . Аналогично, , , поэтому , если . Возьмем последнюю «контрольную» точку , , поэтому , если . Как видим, знаки функции на интервалах совпадают со знаками этой же функции, полученными в примере выше (рис. 6.1).

Способ решения неравенств, который мы только что использовали, называют методом интервалов. Он является универсальным, поэтому его можно применять для любых неравенств. Заметим, что проверять знак функции на интервалах с помощью «контрольных» точек удобнее, когда выражение разложено на линейные множители.

Рассмотрим несколько упражнений на применение метода интервалов для решения неравенств, областью допустимых значений которых является множество всех действительных чисел.

Пример №453

Решить уравнение: .

Решение. Нулями функции  являются числа –4 и 2. Обозначим их точками на числовой оси. Эти числа принадлежат множеству решений неравенства, поскольку неравенство является нестрогим. Итак, есть три промежутка знакопостоянства функции: (рис. 6.2).

              Рис. 6.2

В каждом из интервалов возьмем по одной «контрольной» точке, по которым определим знак каждого из множителей в левой части неравенства, следовательно, и всего выражения (рис. 6.3). Имеем:

, тогда ;

, тогда ;

, тогда ;

Следовательно, , когда .

          Рис. 6.3

Ответ. .

Пример №454

Решить неравенство: .

Решение. Разложим на множители левую часть неравенства способом группировки: . Получили неравенство, равносильное данному: . Обозначим числа 1, 2 и –2, которые являются нулями функции , на числовой оси «пустыми» точками, потому что знак неравенства является строгим (рис. 6.4). Определим знак функции на каждом из полученных промежутков (сделайте это самостоятельно). Есть решения неравенства: .

            Рис. 6.4

Ответ.  .

Примеры, которые мы рассмотрели выше, позволяют сделать вывод, что функция может изменить свой знак при переходе через свой ноль. Есть и другое условие изменения знака.

Рассмотрим хорошо известный нам график функции , для которой (рис. 6.5). Очевидно, если , то , а если , то .

Таким образом, функция может изменять знак еще в одном случае — при переходе через точки, не принадлежащие области определения функции.

     Рис. 6.5

Таким образом, учитывая, что знакопостоянство функции зависит не только от нулей функции, но и от ее точек разрыва (то есть функция может изменять знак при переходе как через свои нули, так и через свои точки разрыва), метод интервалов можно применять для решения любых неравенств.

Сформулируем алгоритм применения метода интервалов для решения неравенств. При этом заметим, что любое неравенство можно преобразовать так, чтобы ее правая часть была равна нулю.

• Чтобы решить неравенство вида (или , , ), надо:

1. Найти область определения функции и обозначить ее на числовой оси.
2. Найти нули функции (решить уравнение и обозначить их на области определения функции (для строгого неравенства — «пустыми» точками).
3. Определить знак функции на каждом из полученных промежутков (интервалов знакопостоянства), например, с помощью «контрольных» точек.
4. Записать ответ.

Рассмотрим пример на применение метода интервалов для рациональных неравенств.

Пример №455

Решить неравенство: .

Решение. Применим алгоритм решения неравенств методом интервалов. Для удобства разложим числитель и знаменатель дроби на множители и рассмотрим функцию .

1) . Обозначим эту точку «пустой» на числовой оси.

2) Нулями функции являются числа 1 и –3. Дополним этими точками числовую ось.

3) Определим знак функции на каждом из полученных промежутков с помощью «контрольных» точек. Имеем: , следовательно, на интервале функция принимает положительные значения, поэтому на рисунке над этим интервалом пишем знак «+»; , поэтому на интервале имеем «–»; , поэтому на интервале имеем «+»; , поэтому на интервале тоже есть «+» (рис. 6.6). Поскольку неравенство является нестрогим, то его решениями будут все промежутки, на которых стоит знак «+», включая концы, кроме «пустых» точек, то есть промежутки и .

          Рис. 6.6

Ответ. .

Пример №456

Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию . 

1) . Обозначим на числовой оси число 3 «пустой» точкой.

2) Нулями функции являются только числа 0 и 1, поскольку выражение нулей не имеет, следовательно, является знакопостоянным для любого значения переменной (легко проверить, что положительным). Поскольку , то для каждого значения его можно считать положительным числом, а следовательно, разделить на него обе части неравенства или не учитывать при решении, поскольку положительное число на знак неравенства не влияет. Обозначим нули функции 0 и 1 точками на той же числовой оси, где и область определения функции.

3) Определим знак функции на каждом из полученных промежутков (сделайте это самостоятельно) (рис. 6.7).

Поскольку неравенство является нестрогим, то его решением будет не только промежуток , но и число 0.

            Рис. 6.7

Ответ.

Простейшие неравенства с параметром

При решении неравенств с параметрами используют те же приемы решения, что и для уравнений с параметром. Рассмотрим несколько примеров неравенств с параметрами.

Пример №457

Решить неравенство: , где — параметр.

Решение. Неравенство является линейным. Если бы оно не содержало параметра, то для нахождения его решения мы бы делили обе части неравенства на коэффициент при переменной . Поскольку этот коэффициент может быть положительным, отрицательным или нулем и для каждого из этих случаев решения будут разными, рассмотрим каждый из них в отдельности.

1) Пусть .  Разделим левую и правую части неравенства на , и, поскольку , знак неравенства изменим на противоположный. Получим: .

2) Пусть . Получим неравенство , которое не имеет решений.

3) Пусть . Разделим левую и правую части неравенства на число , получим: .

Ответ. Если , то ; если , решений нет; если , то .

Пример №458

Решить неравенство: .

Решение. Неравенство является квадратным, для его решения найдем корни квадратного трехчлена . Имеем: .  Поскольку   для , то .

Имеем: ; .

Чтобы записать решения неравенства, надо выяснить взаимное расположение этих корней на числовой оси. Возможны три случая такого расположения: , и . Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1) Пусть , то есть . Тогда множеством решений неравенства будет промежуток (рис. 6.8).

2) Пусть , то есть . Тогда — единственное решение неравенства (рис. 6.9).

3) Пусть , то есть . Тогда множеством решений неравенства будет промежуток  (рис. 6.10).

             

          Рис. 6.8                                  Рис. 6.9                             Рис. 6.10

Ответ. Если , то ; если , то ; если , то .

Деление многочленов. Теорема Безу и следствия из нее

Ранее вы уже выполняли некоторые арифметические действия с многочленами, в частности, складывали, отнимали и умножали многочлены. В этой лекции узнаем, как поделить многочлен на многочлен, рассмотрим важную теорему о делении многочлена на двучлен и ее применения.

Многочлен от одной переменной

• Многочленом (полиномом) —й степени с одной переменной называют выражение вида , где  —переменная, а , , ...,  — числа, .

Запись многочлена в таком виде называют стандартным видом многочлена, слагаемое — старшим членом, — старшим коэффициентом, — свободным членом многочлена .

Если , где , то многочлен называют многочленом нулевой степени. Многочлен называют нулевым многочленом.

Значением многочлена при называют число , которое получают, если в вышеупомянутую запись многочлена вместо подставить и найти значение полученного выражения.

Например, если , то  —значение многочлена при .

Очевидно, что , . То есть значение любого многочлена для равно свободном члену этого многочлена, а для — сумме всех его коэффициентов.

Пример №459

Найти свободный член и сумму всех коэффициентов многочлена, который тождественно равен выражению .

Решение. Для выполнения требования задачи не обязательно приводить данное выражение к многочлену стандартного вида, ведь . Найдем значение выражения при : . Так же найдем сумму всех коэффициентов многочлена, равную значению выражения при . Имеем: .

Ответ. ; .

• Число называют корнем многочлена , если .

Например, корнями многочлена   являются числа 1 и –2,5 (проверьте это самостоятельно).

• Многочлены называют тождественно равными, если они одинаковой степени и их соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменных также между собой равны.

Деление многочленов

Как мы уже знаем, результатом сложения, вычитания или умножения многочленов является многочлен. Рассмотрим, как найти долю двух многочленов.

Обозначим действие деления многочленов аналогично действию деления натуральных чисел нацело, то есть без остатка. Ранее уже было согласовано, что в случае натуральных чисел вместо термина «делится без остатка» будем использовать «делится». Так же будем говорить и в теории деления многочленов.

Напомним, про натуральное число   говорят, что оно делится на натуральное число , если существует такое число , что . Аналогично определим и действие деления многочленов. 

• Говорят, что многочлен делится на многочлен (где — ненулевой многочлен), если существует такой многочлен , что для любого действительного значения оправдывается равенство: .

Многочлен при этом называют делимым, многочлен — делителем, а многочлен — частным.

Например, если  , это означает, что многочлен делится на двучлен , при этом в частном получаем многочлен , и наоборот, делится на , при этом в частном получаем .

Находить частное от деления многочлена на многочлен удобно способом, подобно делению чисел «в столбик», его еще называют делением «уголком».

Пример №460

Разделить многочлен на двучлен .

Решение. Выполним деление «уголком». Сначала найдем результат деления (старшего члена делимого) на (старший член делителя). Для этого выясним, какой одночлен при умножении на одночлен дает . Это будет . Очевидно, что . Этот результат умножения записываем под делителем и выполняем почленное вычитание: , в результате получим . К полученной разности прибавляем (следующий член делимого) и таким же образом продолжаем процесс деления.

 

В результате получим частное. Итак, . Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление, достаточно умножить делитель на полученное частное и сравнить полученный результат с делимым.

Если многочлен делится на ненулевой многочлен и подтверждается равенство , то, очевидно, что степень многочлена равна сумме степеней многочленов  и .

Как и для натуральных чисел, не всегда один многочлен делится на другой. Так, например, многочлен не делится на многочлен . Действительно, предположим, что существует многочлен такой, что для любого значения справедливо равенство: . При этом для получим равенство: , которое не является верным. Итак, многочлен не делится на многочлен .

Поэтому есть необходимость определить действие деления многочленов с остатком.

• Говорят, что многочлен делится на ненулевой многочлен с остатком, если существуют такие многочлены и , что для любого действительного значения х справедливо равенство , при этом степень многочлена меньше степень многочлена .

Отметим, что в равенстве многочлен называют неполным частным, а — остатком. Найти неполное частное и остаток от деления одного многочлена на другой можно «уголком». Выполним, например, деление многочлена на многочлен .

Получили неполное частное и остаток .

Итак, можем записать, что .

Дробь, числителем и знаменателем которой является многочлен с одной и той же переменной, называют правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя, и соответственно — неправильной, если степень ее числителя не меньше степени знаменателя. Деление многочленов (без остатка или с остатком), позволяет в неправильных рациональных дробях выделять целую часть.

Пример №461

Выделить целую часть дроби .

Решение. Выше мы уже разложили на множители многочлен, который является числителем дроби. Учитывая это, имеем: .

Ответ. .

Теорема Безу и ее следствия

Интересное свойство деления многочлена  на двучлен заметил французский математик Этьен Безу. Рассмотрим это свойство.

• Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Доказательство. Поскольку степень делителя (двучлена ) равна 1, то степень остатка должна быть нулевой (т.е. остатком является или некоторое отличное от нуля число, или остаток равен нулю, то есть на делится нацело).

Допустим остатком есть некоторое число . Тогда . Если , то , то есть . 

  Е. Безу (1730—1783)

Рассмотрим следствия из теоремы Безу.

• Следствие 1. Если число с является корнем многочлена , то этот многочлен делится на нацело.

Доказательство. Пусть является корнем многочлена , тогда , но , следовательно,  . 

• Следствие 2. Если многочлен делится на нацело, то число является корнем многочлена .

Доказательство. Если делится на нацело, то из равенства  имеем, что . Но , поэтому . Таким образом,  — корень многочлена . 

• Следствие 3. Если — попарно различные корни многочлена , то .

Доказательство. Поскольку — корень многочлена , то (по следствию 1). Но — также корень многочлена , поэтому . В равенство  подставим , получим , то есть ; поскольку , то , поэтому  — корень многочлена . Тогда , а .

Рассуждая так же дальше, получим: . 

• Следствие 4. Многочлен —й степени имеет не более чем различных корней.

Доказательство. Пусть многочлен —й степени имеет различных корней . Тогда (по следствию 3): . В левой части равенства имеем многочлен —й степени, а в правой — не менее —й, что невозможно. Поэтому многочлен —й степени имеет не более чем различных корней. 

Рассмотрим упражнения на применение теоремы Безу и ее следствий.

Пример №462

Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Решение. Пусть , — остаток от деления на . Учитывая, что и теорему Безу, получим, что . Тогда .

Ответ. –59.

Пример №463

Доказать, что выражение делится на выражение .

Решение. Поскольку и , то делится и на , и на . Пусть выражение тождественно равно многочлену . Тогда, по следствию 3,  имеем: . Это означает, что , а следовательно и , делится на выражение .

Пример №464

Многочлен при делении на дает в остатке 6, а при делении на дает в остатке 2.  Какой остаток получим от деления многочлена на ?

Решение. 1) Поскольку степень многочлена равна 2, то степень искомого остатка — не больше 1 или вообще в остатке 0 (нулевой многочлен).

Для решения задачи применим метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что остаток является многочленом первой степени, следовательно, имеет вид ( и   являются неопределенными, то есть пока неизвестными, коэффициентами).

2) Пусть . Поскольку при делении многочлена на в остатке имеем 6, то , а потому , следовательно, . Аналогично, , тогда , следовательно, .

3) Получим систему уравнений:  откуда 

4) Итак, остатком от деления на является двучлен .

Ответ. .

Теорема Безу и сведенное алгебраическое уравнение

• Уравнение вида , где ,  — некоторые числа, называют алгебраическим уравнением —й степени.

Числа называют коэффициентами алгебраического уравнения —й степени, — старшим коэффициентом, — свободным членом.

В таком виде можно записать и известные нам линейное уравнение: и квадратное: . Алгебраические уравнения, степень которых больше 2, принято называть алгебраическими уравнениями высших степеней. Ранее вы уже рассматривали те алгебраические уравнения высших степеней, которые можно было решить разложением на множители, степень которых не превышала 2, или введением новой переменной, чем также сводили уравнение к квадратному.

Рассмотрим еще один способ решения алгебраических уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Пусть — алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, а — его целый корень. Тогда, из следствия 3, имеем: , где  — некоторой многочлен -й степени, например . Из процесса деления многочленов «уголком» понятно, что если многочлен с целыми коэффициентами делится на двучлен , то частным тоже будет многочлен с целыми коэффициентами, поэтому, например,  — целое число. Поскольку многочлены в равенстве () между собой равны, то равны и их свободные члены, то есть: . А поскольку , и — целые числа, то число является делителем числа . Приходим к важному выводу:

• если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Это дает возможность искать целые корни алгебраического уравнения среди делителей свободного члена (если корни существуют). Но это еще не значит, что делители свободного члена обязательно будут корнями уравнения. Например, для уравнения делителями свободного члена являются числа ; , однако корнем уравнения есть только число 1. Для уравнения делителями свободного члена является числа 1 и –1, однако ни одно из них не является корнем уравнения.

Полученный вывод можно применить к любым алгебраическим уравнениям высших степеней. Наиболее удобно его использовать для приведенного уравнения. Напомним, что

• алгебраическое уравнение общего вида называют приведенным, если .

Пример №465

Решить уравнение: .

Решение. 1) Целые корни уравнения будем искать среди делителей числа –6, то есть среди чисел ; ; ; . Достаточно найти хотя бы один корень. Например, в нашем случае — корень уравнения. Обратите внимание, что когда корнем алгебраического уравнения является число 1,  сумма всех его коэффициентов равна нулю.

2) Выполним деление многочлена на двучлен «уголком», получим, что: .

3) Имеем уравнение, равносильное начальному: .

4) Теперь ищем корни многочлена среди делителей числа 6, а именно, среди чисел ; ; ; . Получим, что — корень многочлена (убедитесь в этом самостоятельно). Поделим   на "уголком", получим, что: .

5) Имеем уравнение, равносильное начальному: .

Квадратный трехчлен корней не имеет.

Итак, ; — корни исходного уравнения.

Ответ. ; .

Решение неприведенных алгебраических уравнений высших степеней

Для решения неприведенных алгебраических уравнений высших степеней можно применить вывод из предыдущего пункта. Достаточно часто неприведенные уравнения целых корней не имеют, однако имеют рациональные корни. Можно доказать, что

• если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет корень вида , то является делителем свободного члена, а — делителем старшего коэффициента.

Однако этот способ приводит к довольно громоздким вычислениям, поскольку корень придется искать среди множества чисел. Так, например, для уравнения  числителями дроби   могут быть числа ; ,

Рассмотрим более удобный способ решения такого уравнения, который заключается во введении новой переменной так, чтобы уравнение стало приведенным. Рассмотрим этот способ на примере.

Пример №466

Решить уравнение: .

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на . Имеем: , то есть . Пусть , тогда имеем приведенное уравнения 3-й степени: . Далее ищем корни этого уравнения среди делителей свободного члена (сделайте это самостоятельно), — единственный корень этого уравнения. Возвращаясь к замене, имеем: , поэтому , следовательно, .

Ответ. –0,2.

Метод математической индукции

Наблюдая за окружающим миром, люди, как правило, делают выводы на основе отдельных наблюдений. Например, наблюдая за тем, что после ночи наступает утро, а после вечера — ночь, человек делает вывод о наступлении определенного времени суток. Этот вывод является верным.

Выводы, которые сделаны на основе отдельных наблюдений, называют индуктивными, а сам метод таких соображений — индуктивным методом, или индукцией (от лат. inducatio — наведение). Наш пример по выводу о наступлении определенного времени суток является индуктивным.

Однако с помощью индуктивного метода не всегда можно получить правильные выводы. Например, в  веке выдающийся французской математик Пьер Ферма заметил, что числа вида , если , являются простыми. Действительно, числа ; ; ; ;  — простые. Ферма предположил, что и при любом другом натуральном числа такого вида будут простыми (их стали называть простыми числами Ферма). Но в другой выдающийся математик Л. Эйлер (1707—1783) показал, что при имеем число , которое уже не является простым. Итак, гипотеза Ферма, к которой он пришел индуктивным методом, была опровергнута.

    

Пьер Ферма (1607—1655)

    

Леонард Эйлер (1707—1783)

Таким образом, можно утверждать, что в одних случаях рассуждения по индукции приводят к верным выводам, а в других — к неверным. Поэтому появилась потребность в методе, который позволил бы устанавливать, в каких случаях гипотеза является истинной, а в каких — ошибочной. Таким методом является метод математической индукции.

Метод математической индукции:

Сформулируем суть метода математической индукции. 

• Если высказывания , в формулировке которого фигурирует натуральное число n, правильное для n = 1, а из предположения, что оно верно для n = k, следует, что оно является правильным для n = k + 1, то выражение верно для любого натурального n.

Это утверждение называют принципом математической индукции. Из этой формулировки ясно, что методом математической индукции можно доказывать только те утверждения, выводы которых зависят от натурального числа (иногда от нуля и натуральных чисел), то есть только математические.

Итак, чтобы доказать такое утверждение методом математической индукции, надо:

1. проверить, что утверждение подтверждается для n = 1 (иногда для некоторых последующих за ним натуральных чисел);
2. предположив, что утверждение подтверждается для n = k, доказать, что оно является правильным для n = k + 1.

Таким образом, на первом этапе проверяют правильность утверждения , которое называют базой индукции, а на втором — на основе утверждения (которое называют предположением индукции) доказывают утверждение . Это доказательство называют индуктивным переходом, а сам переход от к — шагом индукции.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, в формулировке которых фигурирует натуральное число n: числовые тождества, числовые неравенства, утверждение о делимости чисел, геометрические факты и тому подобное.

Доказательство числовых тождеств

Пример:

Доказать, что для любого  подтверждается равенство: .

Доказательство. 1) Проверим правильность утверждения для n = 1. Имеем: , равенство является верным.

2) Пусть равенство верно для , то есть: . Для n = k + 1  имеем равенство:  докажем его. Преобразуем левую часть этого равенства, учитывая наше предположение: .

Итак, левая часть равенства для n = k + 1 равна ее правой части, то есть равенство является верным и для n = k + 1. Поэтому, по принципу математической индукции, равенство верно для любого . 

Пример №467

Доказать, что для любого  
Доказательство. 1) Если , имеем  — правильное числовое равенство.

2) Предположим, что для справедливо равенство: .
Для имеем: .

Докажем это равенство. Преобразуем его левую часть: , получили правую его часть.
Итак, равенство для n = k + 1 является верным. Поэтому, по принципу математической индукции, равенство верно и для любого . 

Доказательство гипотез

Метод математической индукции поможет нам и в задачах, где сначала на основе нескольких наблюдений устанавливают некоторую закономерность или формулу для вычисления некоторой суммы или произведения, зависящую от натурального числа , а затем методом математической индукции доказывают ее истинность.

Пример №468

Найти формулу для вычисления произведения , где , , и доказать ее.
Решение. Сначала вычислим несколько первых значений этого произведения.

Для : ;

Для ; ;

Для ; . 

Выдвинем гипотезу о том, что , где , .

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. 1) Для n = 2 проверено выше.

2) Предположим, что для n = k  справедливо равенство: .

Запишем равенство для n = k + 1:  и  докажем его. Преобразуем левую часть этого равенства: , получили его правую часть.
Итак, для n = k + 1 наша гипотеза является истинной, поэтому предложенная формула является правильной для любого , . 

Ответ. .

Доказательство неравенств

Пример:

Доказать, что для всех ,  неравенств выполняется .

Доказательство. 1) Если n = 3, то, действительно, .

Допустим, n = k  выполняется .

Запишем неравенство для n = k + 1, имеем: .

Докажем, что оно является правильным.

Поскольку неравенство для n = k  предположительно является правильным, умножим обе его части на 2. Получим: , а учитывая, что , получим: .

Рассмотрим правую часть этого неравенства: . Поскольку , то . Поэтому, если , а , то . Следовательно, для n = k + 1 неравенство является правильным, а потому, по принципу математической индукции, неравенство  выполняется для любого  , . 

Пример №469

Доказать, что  для .

Доказательство. 1)Если n = 1, имеем: 

2) Предположим, что для n = k  выполняется неравенство: .

Запишем неравенство для n = k + 1: .

Докажем его. Для доказательства к обеим частям неравенства (), прибавим сумму .

Тогда, по свойствам числовых неравенств, получим верное неравенство: ,  левая часть которого тождественно равна левой части неравенства, которую надо доказать, а правую часть можно упростить. Для правой части получим: .

Итак, неравенство для n = k + 1 является верным, а потому верно для любого . 

Доказательство делимости выражений 

Пример №470

Доказать, что для любого целого значения число кратное числу 133.

Доказательство. 1) Для n = 0 имеем: — кратное числу . Следовательно, для n = 0 утверждение истинно.

2) Для n = k имеем: . Предположим, что это выражение кратно числу 133.

Для n = k + 1 имеем: . Докажем, что выражение кратно числу 133.

Имеем: .
Поскольку слагаемое кратное числу 133 (по предположению индукции) и слагаемое тоже кратно числу 133, то сумма также кратная числу 133.

Следовательно, по принципу математической индукции, число кратное числу 133 для любого целого . 

Доказательство геометрических фактов

Некоторые геометрические факты, условие которых связано с натуральным числом n, можно доказать методом ​​​​​​математической индукции.

Пример №471

На плоскости проведены n  прямых , никакие две из которых не параллельны и никакие три не имеют общей точки. Доказать, что эти прямые разбивают плоскость на  частей. 

Доказательство. 1) Очевидно, что одна прямая разбивает плоскость на 2 части; . Для n = 1 утверждение является верным.

2) Предположим, что прямых, удовлетворяющих условию, разбивают плоскость на частей.

Проведем еще одну прямую, теперь их . Эта прямая пересекает каждую из предыдущих прямых, при этом все точки пересечения будут разными (поскольку среди прямых нет параллельных и никакие три прямые не имеют общей точки). Эти точки делят прямых на частей, а именно отрезков и два луча. Каждый из этих отрезков или лучей делит ранее целую часть плоскости на две части, то есть количество частей увеличивается на и будет равно: . Итак, утверждение является верным для n = k + 1, а потому, по принципу индукции, утверждение задачи верно. 

Пример №472

Докажите, что кругов (), проведенных на плоскости, делят ее не более чем на частей.

Доказательство. 1) Очевидно, что один круг разбивает плоскость на две части; . Для n = 1 утверждение верно.

2) Предположим, что кругов разбивают плоскость не более чем на частей. Проведем -й круг. Этот круг может иметь с предыдущим не более чем общих точек, которые будут разбивать -й круг на дуг. Каждая из этих дуг делит ранее целую область на две, то есть количество частей плоскости увеличится не более чем на и будет равно: . Следовательно, утверждение задачи является верным для n = k + 1, а потому, по принципу математической индукции, и для любого натурального n. 

Степенная функция

Степенная функция — функция, где a (показатель степени) — некоторое действительное число.

Корень n-й степени. Арифметический корень n-й степени

Функция , где 

Рассмотрим функцию,. Ее называют степенной функцией с натуральным показателем. Степенные функции, для и , то есть функции и , нам уже известны. Их графики изображены на рисунках 9.1 и 9.2.

       

           Рис. 9.1                                     Рис. 9.2

Выясним свойства функции и особенности ее графика для любых значений , .

Сначала рассмотрим случай, когда — четное число.

На рисунке 9.2 изображен график функции , а на рисунке 9.3 — график функции . Функция , где — четное, является четной, так как , поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

     Рис. 9.3

График функции с четным натуральным показателем схематично изображен на рисунке 9.4.

 

     Рис. 9.4

Рассмотрим случай, когда — нечетное число.

На рисунке 9.5 изображен график функции , а на рисунке 9.6 — график функции . Функция при нечетном является нечетной, поскольку , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

            

         Рис. 9.5                            Рис. 9. 6

График функции с нечетным натуральным показателем , , изображен на рисунке 9.7.

         Рис. 9.7

Обобщим свойства функции , где — натуральное число, и представим их в виде таблицы.

Пример №473

Функция задана формулой . Сравнить: 1)  и ; 2) и .

Решение. Поскольку функция возрастает на , то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно:

1) , так как ;

2) , так как .

Ответ: 1) ;  2) .

Пример №474

Функция задана формулой . Сравнить: 1)  и ; 2) и ; 3) и ; 4) и .

Решение. 1) Поскольку на промежутке функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку , то .

2) На промежутке функция возрастает, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку , то .

3) Функция — четная, поэтому . Отсюда, .

4) Функция — четная, поэтому . На промежутке функция возрастает, поэтому , а следовательно .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Корень n-й степени

Напомним, что квадратным корнем из числа называют такое число, квадрат которого равен .

Например, числа 4 и –4 — квадратные корни из числа 16, так  и ; 0 — квадратный корень из числа 0, поскольку ; а квадратного корня из числа –9 не существует, потому что нет числа, квадрат которого равен –9.

Тем же способом введем определение корня —й степени из числа , где , .

• Корнем —й степени из числа называют такое число, -я степень которого равна .

Например, корень третьей степени из числа 64 равен 4, поскольку . Числа 3 и –3 являются корнями четвертой степени из числа 81, потому что и . Корнем пятой степени из числа –32 есть число –2, поскольку .

Арифметический корень n-й степени

Как и для квадратного корня, для корня —й степени рассмотрим понятие арифметического корня. Напомним, что арифметическим квадратным корнем из числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Арифметический квадратный корень из числа обозначают и читают так: квадратный корень из числа (слово «арифметический» при этом договорились не использовать). Напомним, что выражение имеет смысл для .

Аналогично обозначают арифметический корень —й степени.

• Арифметическим корнем -й степени из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, -я степень которого равна .

Арифметический корень -й степени из числа обозначают , при этом число называют показателем корня, а число — подкоренным выражением. Знак корня еще называют радикалом. Запись  читают так: корень -й степени из числа (здесь слово «арифметический» также не употребляют).

Если , то получим арифметический квадратный корень из числа , обозначаемый (показатель корня в этом случае не пишут). Если , получим — арифметический кубический корень из числа (слово «арифметический» во время чтения не используют).

Пример №475

Найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1)  (поскольку и );

2) (поскольку и );

3)   (поскольку  и  >0); 

4) (поскольку и ).

Из определения следует, что равенство , где , является верным, если выполняются одновременно два условия: 1) ; 2) . Поэтому, если в равенстве вместо подставить , то получим тождество .

• Для любого , , имеем тождество: 

Например, ; ; .

Пример №476

Найти значение выражения: .

Решение. Сначала надо найти значение подкоренного выражения , а затем из полученного значения извлечь корень 5-й степени:  (так как  и ).

Ответ. 3.

Тождества для корня n-й степени

Знак корня используют не только для записи арифметического корня -й степени из неотрицательного числа, но и для записи корня нечетной степени из отрицательного числа. Например,  (потому что );  (потому что );  (потому что ).
Поэтому равенство , где — любое число, — нечетное натуральное число, является верным, если выполняется только одно условие: . Приходим к выводу:

• для любого числа и нечетного числа , , , имеем тождество: .

Поскольку и , то . Вообще,

• для корней нечетной степени имеем тождество: .

Итак,

1) если , , , то выражение  означает арифметический корень -й степени из числа ;

2) если , то при нечетном выражение  означает корень -й степени из числа , а при четном это выражение не имеет смысла.

Приходим к выводу:

• выражение при четном имеет смысл только для ; при нечетном — для любого значения .

Пример №477

При каких значения имеет смысл выражение: 1) ; 2)

Решение. 1) Корень 7-й (нечетной) степени существует для любого значения подкоренного выражения, поэтому выражение имеет смысл для любого значения .

2) Корень 4-й (четной) степени имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение — положительное. Решим неравенство: , получим, что .

Ответ: 1) — любое число; 2) .

Уравнение , , :

Рассмотрим уравнение , , , . Решим его графически.

Пусть в уравнении имеем случай, когда — четное. Построим графики функций , — четное, и (рис. 9.8). Если , то графики будут пересекаться в двух точках, то есть уравнение будет иметь два корня. Поскольку и , то  и  — корни уравнения в случае четного . Если , то уравнение имеет единственный корень — число 0. Если , при четном  уравнение корней не имеет.

               

                 Рис. 9.8

Пусть — нечетное. Тогда для любого уравнение имеет единственный корень (рис. 9.9). Поскольку , то — единственный корень уравнения , когда — нечетное.

                 Рис. 9.9

Систематизируем данные о решения уравнения в виде схемы.

Пример №478

Решить уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение. 1) ; . Значит, ; .

2) Корней нет.

3) ; корень уравнения является иррациональным числом.

4) Имеем или ;

                    ;             ;

                    ;                        .

Следовательно, уравнение имеет два корня: 0 и 1.

Ответ. 1) 3; –3; 2) корней нет; 3) ; 4) 0; 1. 

Свойства арифметического корня n-й степени. Преобразования корней. Действия над корнями

Корень из произведения и дроби

Из курса алгебры 8 класса нам известно, что: 

если  и , то

если  и , то .

Такие же свойства имеет и арифметический корень —й степени для .

• Теорема 1 (про корень -й степени из произведения). Корень -й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней -й степени из этих чисел, то есть если и , то .

Доказательство. Поскольку и , то выражения  и имеют смысл и , . Поэтому . Кроме того, .

Итак,  и . Тогда, по определению арифметического корня -й степени, .  

Теорему можно применить и в случае, когда множителей под знаком корня более двух.

• Следствие. Корень -й степени из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней -й степени из этих множителей.

Доказательство. Докажем это следствие, например, для трех положительных чисел , , имеем: . 

По свойству о корне из произведения, например, имеем:

1) ;

2)

Примечание 1. Очевидно, что выражение при четном имеет смысл, когда , то есть когда числа и — одного знака, а значит, и тогда, когда и — отрицательные. В таком случае равенство в теореме 1 приобретает вид . Итак,

•  , если и — четное.

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество: , где ,

• Произведение корней -й степени из положительных чисел равно корню -й степени из произведения этих чисел.

Например, .

• Теорема 2 (о корне -й степени из дроби). Корень -й степени из дроби, числитель которой — неотрицательное число, а знаменатель — положительное число, равняется корню -й степени из числителя, разделенному на корень -й степени из знаменателя, то есть если и , то .

Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.

По теореме 2, например, имеем:
1) ; 2) .

Примечание 2. Очевидно, что корень из частного при четном имеет смысл, когда , , следовательно, и тогда, когда , . В этом случае . То есть, если ;  и  — четное, то .

Если в равенстве   поменять местами левую и правую части, получим тождество:  ; ;  .

• Частное, числитель которого — корень -й степени из неотрицательного числа, а знаменатель — корень -й степени из положительного числа, равняется корню -й степени из частного этих чисел.

Например, ; .

Корень из степени

• Теорема 3 (о корне -й степени из степени). Для любого , , ,  имеем: .

Доказательство. 1) Если — четное, то выражение имеет смысл для любого , поскольку в этом случае . Кроме того, . Тогда по определению корня —й степени .

2) Если — нечетное, то выражение также имеет смысл для любого , тогда по определению корня -й степени:
. 

По теореме 3, например, имеем: ; ; ; .

Пример №479

Упростить выражение:
1) ; 2) , если ; 3) ; 4) ; 5) , если ; 6) .

Решение. 1) .

2) . Поскольку , то , а потому .

3) .

4) . Поскольку для любого , то, а потому .

5) .

6) . Поскольку , то , а потому .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Пример №480

Построить график функции .

Решение. Поскольку , то .

Если , то , а потому , то есть ;

если , то , имеем , то есть .

Итак, 

График функции  изображен на рисунке 10.1.

         Рис. 10.1

Корень из под корня и степень корня

• Теорема 4. Если и  — натуральные числа и , то .

Доказательство. Поскольку , то выражения  имеют смысл и неотрицательные. Кроме того, . Тогда, по определению корня -й, степени: . 

По теореме 4, например, имеем: ; .

• Теорема 5. Если , , — натуральные числа и , то .

Доказательство. Используя предыдущую теорему, имеем: . 

Примечание 3. Если — четное число, то выражение  имеет смысл при любом действительном , и тогда для любого  имеет место равенство: (докажите самостоятельно).

Примечание 4. Договоримся, что корень первой степени из числа равен числу . Это позволяет использовать тождество и в случае, когда . Учитывая теорему 5 и примечания, например, имеем: ; ; .

• Теорема 6. Если — натуральное число,  — целое число и , то  .

Доказательство. Поскольку , то по определению корня -й степени: . 
Например, 1) ;  2) .

Преобразование выражений, содержащих корни

Свойства арифметического корня -й степени используют для тождественных преобразований выражений: вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, упрощение иррациональных выражений.

Вынесение множителя из-под знака корня

В выражениях, содержащих корни -й степени, как и в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни, можно выносить множитель из-под знака корня, используя при этом теорему о корне -й степени из произведения.

Пример №481

Вынести множитель из-под знака корня: 1); 2) .

Решение. 1) .

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №482

Вынести множитель из-под знака корня: 1); 2) ; 3).

Решение. 1) .

2).

Очевидно, областью допустимых значений выражения есть неотрицательные значения , то есть . Тогда , а следовательно, . Имеем: .

3) Область допустимых значений выражения можно найти из неравенства , то есть . Следовательно, , поэтому . Теперь выполним вынесение множителя из-под знака корня: .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4).

Пример №483

Упростить выражение: .

Решение. .

Ответ. .

Внесение множителя под знак корня

Рассматривая преобразование вынесения множителя из-под знака корня в обратном порядке, получим преобразование, которое называют внесением множителя под знак корня.

Пример №484

Внести множитель под знак корня: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2).

Обратите внимание, что под знак корня четной степени вносим только модуль множителя, знак множителя оставляем перед корнем.

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №485

Внести множитель под знак корня: 1) ; 2) , если ; 3) , если ; 4) .

Решение. 1) ;

2) Поскольку , то , поэтому .

3) Поскольку , то , поэтому .

4) Поскольку в условии не заданы ограничения для переменной , рассмотрим два случая.

Если , то .

Если , то .

Ответ. 1); 2) ; 3) ; 4) , если ; , если .

Пример №486

Внести множитель под знак корня: 1) ; 2) .

Решение. 1) ОДЗ: имеем: .

2) ОДЗ: имеем: .

Ответ: 1) ; 2) .

Пример №487

Упростить выражение .

Решение. Внесем множитель 5 под знак квадратного корня и дальше применим свойства корня -й степени: 

Ответ. .

Сокращение дробей

Сократить дробь: 1) ; 2) .

Решение. Выражения   и имеют смысл для и , поэтому . Имеем: .

2) Из условия следует, что ; . Для таких значений имеем: , кроме того, . Тогда: .
Ответ. 1) ; 2) .

Избавление от иррациональности в знаменателе

Напомним, что избавиться от иррациональности в знаменателе (числителе) дроби означает выполнить такие преобразования этой дроби, чтобы его знаменатель (числитель) не содержал знака корня.

Пример №488

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1); 2).
Решение. 1) .

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби  , умножим его числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к знаменателю, то есть на неполный квадрат разности чисел и . Имеем: . 

Ответ. 1) ; 2) .

Упрощение выражений

Пример №489

Упростить .

Решение. Отметим, что . Тогда . 

Ответ..

Пример №490

Упростить выражение, если . Найти область допустимых значений выражения А.

Решение. Упростим подкоренное выражение: 

.

.

ОДЗ: . Заметим, что , если , и , если .

Поэтому имеем два случая: 1) . Тогда .
2) . Тогда .
Ответ. , если ; , если .

Пример №491

Докажите, что .

Решение. Пусть . Поскольку , то .

Имеем: . Следствием из теоремы Безу находим корень: .

Тогда уравнение можно переписать в виде: . Многочлен корней не имеет, поэтому уравнение имеет единственное решение . Следовательно, .

Функция  и ее график

Рассмотрим функцию , где , .

Функция , где  — натуральное четное число

Рассмотрим сначала функцию , которую мы уже изучали в курсе алгебры 8 класса. Ее график изображен на рисунке 12.1. Областью определения функции является , а множеством значений — . Функция возрастает на .

                     Рис. 12.1

Рассмотрим общий случай функции , где — натуральное четное число. Функция определена для и является возрастающей. Множество ее значений: .

График функции , где — натуральное четное число, схематически изображен на рисунке 12.2.

                     Рис. 12.2

Функция , где  — натуральное нечетное число, 

Рассмотрим сначала график функции . Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

Обозначим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим график функции  (рис. 12.3). Множеством значений этой функции является множество всех действительных чисел, функция является возрастающей.

                              Рис. 12.3

В общем случае функция , где — натуральное нечетное число, , также определена для любого действительного значения аргумента, растет на , множеством ее значений является множество всех действительных чисел. График функции , где — натуральное нечетное число, , изображен на рисунке 12.4.

                                      Рис. 12.4

Свойства функции , , 

Обобщим свойства функции, которую мы только что рассмотрели, в виде таблицы.

Применение свойств функции  

Рассмотрим несколько упражнений, которые решим с помощью свойств функции .

Пример №492

Найти область допустимых значений выражения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. ОДЗ выражения в случае четного  находим, решив неравенство , если же — нечетное, то ОДЗ выражения совпадает с областью определения функции .

1) ; ; ;

2) ;

3) , следовательно, (рис. 12.5).

         Рис. 12.5

4) , решив это неравенство методом интервалов (рис. 12.6), получим, что .

         Рис. 12.6

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Пример №493

Найти множество значений функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Поскольку , то .

2) , тогда , поэтому .

3) Поскольку областью значений функции является множество , то областью значений функции также является множество .

4) , тогда . Имеем: , тогда , а потому . Итак, .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Пример №494

Сравнить числа: 1) и ; 2)  и ; 3) и ; 4) и .

Решение. Поскольку функция растет на всей своей области определения при любом натуральном , , то если и значения выражений и существуют, то .

1) Итак, .

2) Поскольку , а , то .

3) По свойствам корня -й степени превратим выражение , подав его в виде корня 8-й степени: . Поскольку , то .

4) Представим число в виде корней одной и той же степени: и . Поскольку , то .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Иррациональные уравнения

• Уравнение называют иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных уравнений и методы их решения.

Уравнение , , 

Рассмотрим уравнение , где  — какое-то число, , .

Пусть  — четное число. Найдем решение уравнения графически. Построим графики функций , — четное, и (рис. 13.1).

Если , то уравнение имеет решение. Поскольку , если , то — единственный корень уравнения в случае . Если же , то уравнение корней не имеет.

           Рис. 13.1

Если — нечетное, то для любого значения уравнение имеет только один корень (рис. 13.2). Поскольку , то — единственный корень уравнения.

Систематизируем данные о решении уравнения в виде схемы.

Пример №495

Решить уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) ;      2) ;       3) .              4) ; 

                         .           .        корней нет.              .

Ответ. 1) 8; 2) 49; 3) корней нет; 4) 43.

Уравнение вида , ,

Поскольку функция для любого каждое свое значение приобретает только один раз, то из равенства следует, что .

В случае нечетного функции и могут принимать любые значения. Поэтому уравнение для нечетного будет равносильно уравнению .

Если же — четное, то областью допустимых значений уравнения являются такие значения , для которых одновременно выполняются условия и . Поэтому в случае четного  уравнение  будет равносильно одной из систем или

В первой системе условие мы не писали, поскольку при выполнении условий и условие выполняется автоматически. Аналогично и во второй системе условие является лишним. Записывая систему для решения уравнения , какое из двух неравенств,  или , выбирать зависит от того, какое из них легче решить.

Систематизируем данные о решении уравнения  в виде схемы.

Пример №496

Решить уравнение: 1) ; 2) .

Решение. 1) , то есть .

2) Уравнение равносильно системе:  то есть: , откуда получим, что .

Ответ. 1) 13; 2) 2.

Уравнение вида , ,

Общим методом решения уравнения является возведение левой и правой частей уравнения в степень .

Если   — нечетное число, то возведение обеих частей уравнения в степень является равносильным преобразованием уравнения.

Следовательно, в случае нечетного  уравнение  будет равносильно уравнению , где .

Если — четное число, то левая часть уравнения   является неотрицательной, поэтому неотрицательной должна быть и правая его часть. Итак, для равносильных преобразований уравнения условие  является обязательным. После возведения обеих частей уравнения в степень , получим: , где (поскольку — четное), поэтому . Таким образом, в случае четного  уравнение равносильно системе .

Условие (ОДЗ уравнения) включать в систему необязательно, поскольку, как было отмечено выше, из равенства , где — четное число, автоматически следует, что

Систематизируем данные о решении уравнения в виде схемы.

Пример №497

Решить уравнение: 1) ; 2).

Решение. 1) Возведем левую и правую части уравнения в третью степень, получим уравнение: , решив которое, получим: ; .

2) Уравнение равносильно системе: , то есть .

— единственное решение системы, а следовательно, единственный корень уравнения.

Ответ. 1) 0; 2; 2) 4.

Решение иррациональных уравнений, содержащих несколько квадратных корней

Решение уравнения вида , где — некоторое число, и им подобные целесообразно начинать с нахождения ОДЗ уравнения, а дальше воспользоваться одним из двух нижеприведенных способов решения. 

1-й способ. Последовательность действий может быть такой:

1. найти ОДЗ уравнения;
2. записать уравнение так, чтобы обе его части стали неотрицательными, например, перенести слагаемые из одной части уравнения в другую;
3. возвести левую и правую части полученного уравнения в квадрат, упростить его и свести к более простому иррациональному уравнению;
4. решить полученное уравнение и из полученных корней вычеркнуть посторонние, то есть те, которые не принадлежат ОДЗ исходного уравнения.

Пример №498

Решить уравнение: .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения, решив систему , откуда получим, что .
Перенесем выражение в правую часть уравнения, получим: . Поскольку теперь обе части уравнения — неотрицательные, возведем их в квадрат и решим полученное уравнение: ;

                       ;

                                    ;

                                     ;

                                        ;

                                           .

Поскольку число 3 принадлежит ОДЗ исходного уравнения, то это и есть его корнем.

Ответ. 3.

2-й способ заключается в том, чтобы после нахождения ОДЗ уравнения обе его части возвести в квадрат, не требуя их неотрицательности. Но такой способ может привести к появлению посторонних корней. Для выявления посторонних корней можно предложить два подхода. Первый заключается в том, чтобы выполнить проверку полученных корней подстановкой в ​​исходное уравнение. Но если полученные корни — иррациональные, проверка будет довольно громоздкой. Второй подход заключается в том, чтобы перейти к системе, равносильной данному уравнению. Такую систему можно получить, если дополнить уравнение, в котором записаны левая и правая части, возведенные в квадрат, неравенством, что обеспечивает одинаковый знак обеих частей.

Пример №499

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения задается системой   то есть .

Левая и правая части заданного уравнения неотрицательные, поэтому их можно возводить в квадрат, а это приводит к достаточно громоздким вычислениям (проверьте это самостоятельно). Поэтому целесообразнее одно из иррациональных выражений, например , перенести в правую часть. Получим: . Возведем обе части уравнения в квадрат и решим его. Поскольку правая часть последнего уравнения может быть как положительной, так и отрицательной, то такое преобразование не является равносильным, поэтому полученный корень следует проверить. ;

                                   ;

                                                  ;

                                                        .

Проверка: .

Итак, число 1 — единственный корень уравнения.

Ответ. 1.

Пример №500

Решить уравнение: .

Решение. Найдем ОДЗ уравнения, решив систему неравенств:

из которой имеем: .
Обе части уравнения являются неотрицательными. Возведение их в квадрат приведет к громоздким вычислениям. Поэтому выражение перенесем в правую часть: . Полученное уравнение можно решить тем же способом, что и предыдущее, а можно подойти к решению иначе. Левая часть полученного уравнения — неотрицательная, поэтому неотрицательной должна быть и правая часть. Следовательно, уравнение равносильно системе:

    

Первое уравнение имеет корни , . Но только второе значение удовлетворяет как условие , так и ОДЗ уравнения. Поскольку все преобразования уравнения были равносильными, то проверка не является обязательной.

Итак, — единственный корень уравнения.

Ответ. –0,5.

Итак, решать уравнения, содержащие несколько знаков радикала, можно в такой последовательности:

1. найти ОДЗ уравнения;
2. возвести в квадрат обе его части;
3. после упрощений получить более простое иррациональное уравнение и решить его;
4. выполнить проверку полученных корней.

Или в такой последовательности:

1. найти ОДЗ уравнения;
2. возвести в квадрат обе его части;
3. составить систему уравнений, дополнив полученное после возведения в квадрат уравнение неравенством (или неравенствами), обеспечивающими одинаковый знак левой и правой частей уравнения;
4. решить полученную систему;
5. исключить из ее решений те, которые не принадлежат ОДЗ исходного уравнения.

Метод замены переменной в иррациональном уравнении

Некоторые иррациональные уравнения удобно решать, сводя их к рациональным заменой .
 

Пример №501

Решить уравнение .

Решение. Сделаем замену , очевидно, что . Тогда , откуда имеем ; . Условие удовлетворяет только . Возвращаемся к замене: ; откуда .

Ответ. 1.

Пример №502

Решить уравнение: .

Решение. Пусть , , тогда получим . Итак, имеем уравнение: , корни которого: , . Оба корня удовлетворяют условие . Возвращаемся к замене:

1) если , то ; тогда .

2) если , то ; тогда .

Ответ. 66; 731.

Пример №503

Решить уравнение: .

Решение. Пусть ,  и . Имеем уравнение: , то есть , откуда , . Учитывая ограничения на , имеем, что . Возвращаемся к замене: . Тогда: , то есть , следовательно, .

Ответ. .

Решить уравнение: .

Решение. Пусть. Учитывая, что , имеем уравнение: , откуда , . Возвращаемся к замене: 

1) Если , то . Имеем , откуда .

2) Если , то . Имеем , откуда .

Ответ. ; .

Решение иррациональных уравнений с параметрами

Рассмотрим, как решать иррациональные уравнения с параметрами.

Пример №504

Для всех значений параметра решите уравнение .

Решение. Надо рассмотреть два случая: и .

1) Пусть , тогда или .

Если , имеем уравнение: , тогда корнем является любое число из ОДЗ уравнения. Итак, .

Если , имеем уравнение: , которое не имеет корней.

2) Пусть , то есть , . Тогда в , то есть .

Если , то есть , то .

Если , то есть , то уравнение не имеет корней.

Ответ. Если , корней нет; если , то ; если или , то . 

Пример №505

Для всех значений параметра решите уравнение: .

Решение. Перепишем уравнение в виде: . ОДЗ уравнения: . Очевидно, что — корень уравнения для любого . Рассмотрим уравнение для . Для таких значений  имеем, что , и уравнение можно записать в виде: . Разделим обе его части на , получим: . Рассмотрим функцию для . Она является растущей, как сумма двух возрастающих функций, а ее наименьшее значение равно . Найдем это значение:  (рис. 13.3). Тогда для уравнение будет иметь единственное решение, но не будет иметь решений, если . Запишем уравнение в виде и найдем корень при условии, что . Имеем:

            Рис. 13.3

Поскольку  для .
Итак, окончательно имеем: , тогда .
Ответ. Если , то , если , то ; .

Пример №506

При каких значениях параметра уравнение имеет только один корень?

Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательная, то . Выполним замену: , тогда и . Исходное уравнение примет вид: , то есть . Имеем:  
Сложим почленно уравнения системы: . Разложим левую часть полученного уравнения на множители: .

Поскольку , , то , и уравнение равносильно уравнению . Возвращаясь к уравнениям системы, имеем: , . Найдем дискриминант этого уравнения: и его корни.

1) Пусть , то есть , имеем: , — единственный корень уравнения.

2) Пусть , но один из корней является отрицательным. Рассмотрим функцию . Тогда очевидно, что для того, чтобы один из корней был положительным, а другой — отрицательным, достаточно выполнения условия: (рис. 13.4).

           Рис. 13.4

Но ; тогда , то есть .

Ответ. ; . 

Пример №507

Сколько корней в зависимости от значений параметра  имеет уравнение ?

Решение. Область допустимых значений уравнения найдем из условия , то есть , следовательно, .

Решая уравнение, получим корни и для любого значения параметра и корень . Последний корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть или , что подтверждается при: или . Если или , то получим корень, который будет совпадать с ранее найденным ( и соответственно). Если же  или , то — третий корень уравнения.

Ответ. Если или , то уравнение имеет три корня, а если , то уравнение имеет два корня.

Иррациональные неравенства

• Неравенство называют иррациональным, если оно содержит переменную под знаком корня.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных неравенств и методы их решения.

Простейшие иррациональные неравенства

Простейшими считают неравенства вида: , , , , где , , .

Если — нечетное, то после вознесения обеих частей неравенства в степень получим неравенство, равносильное данному.

Пример №508

Решить неравенство: 1) ; 2) .

Решение. 1) Возведем обе части неравенства в третью степень, имеем: , то есть .

2) Имеем: , то есть .

Ответ. 1) ; 2) .

Если — четное число, то после возведения обеих частей неравенства в степень получим (на ОДЗ неравенства) неравенство, равносильное данному, лишь при условии . Следовательно, при решении простейших неравенств при четном  надо обращать внимание на число и на ОДЗ неравенства.

Пример №509

Решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) ОДЗ данного неравенства . На ОДЗ возведем в четвертую степень неотрицательные левую и правую части неравенства, получим: , то есть . Эти значения удовлетворяют и ОДЗ.

2) ОДЗ: . Имеем: , то есть . Но учитывая ОДЗ, получим, что .

3) Поскольку для всех из ОДЗ, решениями неравенства будут все значения с ОДЗ неравенства, то есть .

4) Поскольку для всех , удовлетворяющих ОДЗ неравенства, то неравенство решений не имеет.

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) нет решений.

Аналогично решают неравенства, когда под корнем есть некоторое выражение .

Пример №510

Решить неравенство: .

Решение. ОДЗ: . Учитывая ОДЗ, после возведения в степень имеем: . Тогда .

Ответ. .

Неравенства вида ,

Если — нечетное, то возведением в степень получим равносильное неравенство.

Пример №511

Решить неравенство: .

Решение. Имеем: , то есть .

Ответ. .

Если — четное, то ОДЗ неравенства определяем из системы: После возведения (на ОДЗ) в степень обеих частей неравенства  будем иметь: .

Поскольку (на ОДЗ),  , то условие будет выполняться автоматически. Итак,

• если — четное, то неравенство равносильно  системе неравенств.

Аналогично:

• неравенство равносильно системе неравенств .

Пример №512

Решить неравенство: .

Решение. Неравенство равносильно системе:  

Решим ее:                .

Ответ.

Неравенства вида ,

Рассмотрим неравенство . Поскольку , а , то должно выполняться условие . При этом условии возводим в квадрат  обе части начального неравенства, которые неотрицательные, и получим неравенство–следствие: . Поскольку это неравенство–следствие, дополним его еще неравенством для ОДЗ: . Таким образом,

• неравенство равносильно системе неравенств .

Аналогично

• неравенство равносильно системе неравенств .

Пример №513

Решить неравенство: .

Решение. Имеем равносильную неравенству систему неравенств: , .

Получим, что (рис. 14.1).

           Рис. 14.1

Ответ. .

Неравенства вида , 

Рассмотрим неравенство вида . Его ОДЗ: . Если , то для любого из ОДЗ неравенство будет правильным.

Если же , то обе части неравенства являются неотрицательными. Возведем их в квадрат и получим: . Поскольку , а , то неравенство (ОДЗ неравенства) выполняется автоматически.

Итак, подводя итог, имеем:

• неравенство равносильно совокупности систем 

Аналогично

•  неравенство равносильно совокупности систем 

Квадратная скобка означает объединение (знак совокупности), то есть каждую из систем неравенств надо решить отдельно, а в ответе полученные результаты объединить.

Пример №514

Решить неравенство: .

Решение. Неравенство равносильно совокупности систем:

1)    .

2)    . (рис. 14.2)

              Рис. 14.2

Объединяя полученные в пунктах 1) и 2) результаты, имеем: .

Ответ. .

Решение иррациональных неравенств, содержащих несколько квадратных корней

Неравенства вида ( или  ,  , ), где , и им подобные начинают решать с нахождения ОДЗ неравенства. После этого применяем приемы, известные нам по решению соответствующих уравнений и простейших неравенств.

Пример №515

Решить неравенство: . 

Решение. Найдем ОДЗ неравенства: , имеем .

Перенесем выражение в правую часть неравенства: , чтобы обе части неравенства стали неотрицательными. Возведем их в квадрат. Учитывая ОДЗ, имеем систему, равносильную данному неравенству:

Решим ее следовательно, , то есть .

Ответ. .

Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Некоторые более сложные иррациональные неравенства, первоначально записанные в виде (или , , ), где — иррациональное выражение, удобно решать методом интервалов. Воспользуемся соответствующим алгоритмом и применим его к решению иррациональных неравенств.

Пример №516

Решить неравенство: .

Решение. Перепишем неравенство в виде: и рассмотрим функцию: . ОДЗ неравенства: . Найдем нули функции , решив уравнение: .
Имеем: ;  ; откуда получим, что ; — нули функции . Числа 2 и 3 обозначим на числовой оси и определим знак функции на каждом из полученных промежутков (рис. 14.3).

           Рис. 14.3

Итак, имеем решение неравенства: .

Ответ. .

Пример №517

Решить неравенство: .

Решение. Перепишем неравенство в виде , упростим его левую часть:  и рассмотрим функцию ,  . Обозначим число 0 — точку разрыва функции на числовой оси. Найдем нули функции, решив уравнение . Получим, что (решите уравнение самостоятельно). Обозначим число 2 на той же числовой оси. На каждом из полученных промежутков определим знак функции (рис. 14.4). Следовательно, .

           Рис. 14.4

Ответ. .

Иррациональные неравенства с параметрами

Рассмотрим иррациональные неравенства с параметрами.

Пример №518

Для всех значений параметра решить уравнение .

Решение. Рассмотрим три случая: 1) ; 2) ; 3) .

1) , то есть . Тогда имеем неравенство: , следовательно, — любое число из ОДЗ переменной, то есть

2) , то есть . Поделим обе части неравенства на , где . Имеем: , тогда .

3) , то есть . Поделим обе части неравенства на , где . Имеем:, тогда .

Ответ. Если , то ; если , то ; если , то .

Пример №519

При каких значениях параметров и множество решений неравенства совпадает с промежутком ?

Решение. Имеем систему неравенств, равносильную данному неравенству:  тогда .
Множество решений первоначального неравенства должно совпадать с промежутком , если и . Отсюда , тогда .

Ответ. ; .

Степень с рациональным показателем, ее свойства. Преобразование выражений, содержащих степень

В предыдущих классах мы рассматривали степени с натуральными и с целыми показателями.

Определение степени с рациональным показателем

Вспомним основные понятия, связанные со степенью  — степень, — основание, — показатель, , , ;
, где ;  , где ;  , , .

Теперь рассмотрим понятие степени для выражений типа ; ; и  и т. д., то есть для степени с рациональным показателем.

Определение степени с рациональным показателем естественно сформулировать так, чтобы она имела те же свойства, что и ранее изученные нами степени с целыми показателями. Так, например, должно выполнятся свойство возведения степени в степень и . Тогда  ,  а потому, по определению корня -й степени, можно сделать вывод, что должен быть корнем -й степени из числа . Итак, сформулируем определение степени с рациональным показателем:

• если , — целое число, — натуральное число (),  то степенью числа с показателем  является выражение .

Например, ; ; ; ; ;  . И, наоборот, ; ; ; ; ; .

Если , то для , поэтому имеет смысл, если  и  — натуральные числа. Выражения , и т. д. — не имеют смысла.

Примечание. 1) Поскольку , то очевидно, для любого натурального и целого . 2) Для степень с дробным показателем не определена. Это не случайно. Поскольку , то должно выполняться равенство .

Рассмотрим, например, случай, когда . Тогда, по формуле , имеем: . Итак, если , то . Поэтому вышеприведенное определение степени с дробным показателем для отрицательных значений не рассматривают. Выражения ; ,  и т. д. — не имеют смысла.

Пример №520

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4).

Решение. 1) ,

2) ;

3) ;

4) .

Ответ. 1) 5; 2) ; 3) 216; 4) .

Свойства степени с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем имеет все те же свойства, что и степень с целым показателем, а именно:

• если , , и  — рациональные числа, то:       

Все указанные свойства легко доказать, используя определение степени с рациональным показателем и свойства корня -й степени.

Докажем, например, свойство о произведении степеней. Запишем рациональные числа и в виде дробей с одинаковыми знаменателями (как известно, любые две дроби можно всегда свести к общему знаменателю).

Пусть , . Тогда .  Итак, .

Для степени с рациональным показателем выполняются и следующие свойства:

• если , , — рациональное число, то .

Пример №521

Упростить выражение: 1) ; 2) ; 3) ; 4)  5) .

Решение. 1) .

2) ;

3).

4)

5) .

Пример №522

Найти значение выражения: 1) ; 2) ; 3) .
Решение. 1)

2) ;

3) ;
Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Заметим, что в последнем примере вычисления можно выполнить по определению степени с дробным показателем.

Пример №523

Вычислить: 1) ; 2) .
Решение. 1) ;

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №524

Построить график функции .

Решение. . Упростим формулу функции на , получим: . График функции изображен на рисунке 15.1.

           Рис. 15.1

Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Рассмотрим на примерах тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.

Пример №525

Упростить выражение: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) .

2) .

3) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Пример №526

Упростить выражение  и найти его значение, если , .

Решение. Введем обозначения: ; . Тогда ; . Перепишем выражение и упростим его: .

Найдем значение полученного выражения для заданных значений переменных и . Если , , то .

Ответ. ; .

Пример №527

Доказать, что значение выражения  не зависит от значения переменных. 

Решение. Обозначим же ,  имеем: 

Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменных. 

Нахождение значений степеней с помощью калькулятора или компьютера

Для вычисления значений степеней в большинстве калькуляторов используют  (в некоторых калькуляторах это клавиша  или ).

Пример №528

Вычислить с точностью до тысячных .

Решение. Сначала вводим основу степени — число 8, затем нажимаем клавишу , далее показатель степени 1,2 и клавишу . Округляем полученное значение до тысячных: .

Заметим, что в некоторых калькуляторах порядок вычислений может быть другим, поэтому перед использованием калькулятора советуем ознакомиться с инструкцией.

Также с помощью калькулятора можно находить значения корней -й степени. В некоторых калькуляторах есть клавиша  (или похожая на нее), что позволяет выполнять такие вычисления напрямую. Если такой клавиши нет, то вычисления выполняют, учитывая, что  .
Пример №529 

Вычислить с точностью до тысячных  .
Решение. . Схема вычисления может быть следующей: 

Имеем: .

Степенные функции, их свойства и графики

• Функцию вида , где — некоторое постоянное число, называют степенной. 

Например, , , — степенные функции.

Свойство степенной функции  и вид ее графика зависят от вида числа . Рассмотрим степенную функцию для различных видов числа , считая, что — рациональное число.

Случай, когда , мы подробно рассмотрели ранее.

Функция , если  

Рассмотрим функцию , которая имеет смысл для всех значений , кроме 0, потому выражение не имеет смысла. Поскольку при , то функция принимает только одно значение: . График функции изображен на рисунке 16.1.

       Рис. 16.1

Функция ,  — целое отрицательное число

В этом случае функция предназначена для всех значений , кроме . Если , то получим функцию , то есть , графиком которой является гипербола (рис. 16.2).

                 Рис. 16.2

Функция убывает на каждом из промежутков и , является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Те же свойства имеет функция для любого целого отрицательного нечетного , то есть когда . Схематически график функции , где — целое отрицательное нечетное число, изображен на рисунке 16.3.

              Рис. 16.3

Если , то имеем , то есть . Функция четная, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат, он изображен на рисунке 16.4.

        Рис. 16.4

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Те же свойства имеет функция для любого отрицательного четного числа , то есть когда . Схематически график функции , где — целое отрицательное четное число, изображен на рисунке 16.5.

         Рис. 16.5

Функция , где  —  не целое положительное число

В случае, когда — положительное, но нецелое число, областью определения функции является промежуток . Поскольку область определения функции не является симметричной относительно нуля, то функция ни четная, ни нечетная. На рисунке 16.6 изображены графики функций   , и график функции для наглядности их взаимного расположения.

                       Рис. 16.6

На рисунке 16.7 схематично изображен график функции , если , а на рисунке 16.8 — если , где —  не целое число. В каждом из этих случаев функция является возрастающей на промежутке .

       Рис. 16.7

        Рис. 16.8

Функция ,  — не целое отрицательное число

В этом случае областью определения является промежуток . Функция ни четная, ни нечетная. На рисунке 16.9 изображен график функции . На рисунке 16.10 схематично изображен график функции , когда ,  — не целое. Функция в этом случае приходит на .

         Рис. 16.9

          Рис. 16.10

Обобщим все упомянутые выше свойства функции в виде таблицы.

Пример №530

Дана функция . Сравнить: 1) и ; 2)  и .

Решение. . Функция возрастает на . Поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1) Поскольку , то .

2) Поскольку , то .

Ответ. 1) 2)  .

Пример №531

Дана функция . Сравнить: 1) и; 2) и .

Решение. 1) На промежутке функция возрастает, поэтому если , то и .

2) На промежутке функция  убывает, поэтому если , то .

Ответ. 1) ; 2) .

Решение уравнения , где — не целое число,

Если , то уравнение корней не имеет. Если и , то уравнение имеет только один корень . Если же  и , то уравнения корней не имеет.

Если , то уравнение имеет единственный корень, поскольку графики функций и , где , как в случае нецелого положительного , так и в случае целого отрицательного , пересекаются в одной точке. Чтобы найти этот единственный корень, нужно левую и правую части уравнения   возвести в степень . Имеем: , тогда .

Систематизируем данные о решении уравнения в виде схемы:

Пример №532

Решить уравнение: 1); 2) , 3) . 

Решение.

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Построение графиков степенных функций с помощью компьютера

Существует много программ, которые позволяют строить графики функций, а затем их анализировать. На рисунке 16.11 показано окно одной из программ, с помощью которой построены графики функций (зеленого цвета), (красного), (серого ) и (синего). Среди полезных опций подобных программ следует отметить опцию следования курсора вдоль графика (с помощью этой опции можно устанавливать координаты точек графика), нахождение точки пересечения двух графиков (с помощью этой опции можно, например, находить приближенное решение уравнения вида , где ), увеличивать или уменьшать отдельные участки графика и тому подобное.

Рис. 16.11

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге).

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Из курса геометрии вы уже знаете, что такое синус, косинус и тангенс угла , где . В этой лекции ознакомимся с понятиями синуса, косинуса и тангенса произвольного угла, а также с понятием котангенса угла.

Углы произвольной величины

Рассмотрим окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 17.1). Обозначим на положительной полуоси абсцисс точку , которая принадлежит кругу. Радиус будем называть начальным радиусом.

           Рис. 17.1

Повернем радиус ОА вокруг точки О на против часовой стрелки, получим радиус ОВ. Угол АОВ, который при этом образовался, называют углом поворота. В нашем случае угол поворота равен . Вернем теперь начальный радиус ОА на угол в направлении движения часовой стрелки, получим радиус ОС. В этом случае угол поворота равен . На рисунке 17.1 стрелками указано углы поворота и и направление поворота. Вообще,

• при повороте начального радиуса против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным (рис. 17.1).

Угол поворота может быть любым числом. На рисунке 17.2 имеем углы поворота и .

           Рис. 17.2

Покажем угол поворота . Поскольку , вернем начальный радиус ОА в положительном направлении на , а затем в том же направлении еще на (рис. 17.3). Если начальный радиус выполнит полный оборот против часовой стрелки, то получим угол поворота (рис. 17.4). Начальный радиус можно вернуть и более чем на полный оборот, например на рисунке 17.5 имеем угол поворота .

           

          Рис. 17.3                                 Рис. 17.4                                 Рис. 17.5

Если начальный радиус вернуть по часовой стрелке на , то есть в отрицательном направлении, получим угол поворота (рис. 17.6).

          Рис. 17.6

Пусть при повороте на начальный радиус ОА перешел в радиус ОВ (рис. 17.7). Если после этого радиус ОВ повернуть на угол или , то снова получим радиус ОВ. Из этого можно сделать вывод, что радиус ОА переходит в радиус ОВ как при повороте на угол , так и при повороте на угол , и вообще при повороте на угол , где — любое целое число, то есть .

          Рис. 17.7

Очевидно, что и любой угол можно представить в виде , где , , например, , а .

Пример №533

Среди углов поворота , , , найти те, при повороте на которые начальный радиус принимает то же положение, что и при повороте на угол .

Решение. Поскольку ; ; , , то таковы углы и .

Ответ. и .

Напомним, что координатные оси делят координатную плоскость на четыре четверти (рис. 17.8). Пусть при повороте на угол начальный радиус ОА перешел в радиус ОВ. Тогда угол называют углом той четверти, в которой содержится радиус ОВ.

Так, например, — угол первой четверти (рис. 17.1), — угол второй четверти (рис. 17.2), — угол третьей четверти (рис. 17.3), — угол четвертой четверти (рис. 17.1).

Углы ; ; ; ;   не принадлежат одной четверти.

          Рис. 17.8

Пример №534

Углом которой четверти является угол: 1) ; 2) ?

Решение. 1) , следовательно, — угол четверти.

2) , следовательно, — угол четверти.

Ответ. 1) угол четверти; 2) угол  четверти.

Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Пусть при повороте на угол начальный угол ОА перешел в радиус ОВ причем точка В имеет координаты (рис. 17.9 ).

          Рис. 17.9

• Синусом угла называют отношение ординаты точки В к длине радиуса: .
• Косинусом угла называют отношение абсциссы точки В к длине радиуса: .
• Тангенсом угла называют отношение ординаты точки В к ее абсциссе: , .
• Котангенсом угла называют отношение абсциссы точки В к ее ординате: , .

Заметим, что указанные определения не противоречат определениям синуса, косинуса и тангенса углов от до , ранее введенным в геометрии.

Единичная окружность

Как известно из курса геометрии, значения выражений , , , , зависят только от градусной меры угла и не зависят от длины радиуса . Поэтому удобно рассматривать круг с радиусом и центром в начале координат (рис. 17.10). Такой круг называют единичной окружностью.

          Рис. 17.10

Пусть при повороте на угол  начальный радиус переходит в радиус , где точка имеет координаты (рис. 17.10). Говорят, что углу соответствует точка единичного круга. Тогда

• синусом угла называют ординату точки единичного круга, то есть ;
• косинусом угла называют абсциссу точки единичного круга, то есть ;
• тангенсом угла называют отношение ординаты точки единичного круга к ее абсциссе, то есть , ;
• котангенсом угла называют отношение абсциссы точки единичного круга к ее ординате, т.е. , .

Определение тангенса можно сформулировать и так:

• тангенсом угла называют отношение синуса этого угла к его косинусу.

Действительно, поскольку , а , то  , где . Аналогично:

• котангенсом угла называют отношение косинуса этого угла к его синусу.

Действительно, , где .

Выражения и имеют смысл для любого значения . Выражение имеет смысл, когда , т.е. когда , , , ..., поскольку для этих углов абсцисса соответствующей точки единичной окружности равна нулю. Выражение имеет смысл, когда , то есть когда , , , ..., поскольку для этих углов ордината соответствующей точки единичной окружности равна нулю.

Итак, каждому допустимому значению угла соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями угла.

Тригонометрические значения некоторых углов

Найдем значения тригонометрических функций углов , , , ,  по определению.

На единичной окружности (рис. 17.11) обозначим точки для , , , , . Имеем: 

, значит, , , ,  — не существует.

, значит , , — не существует, .

, значит ,  , ,  — не существует.

, значит , ,  — не существует, .

Точка имеет те же координаты, и точка , поэтому ; ; ;  — не существует.

                     Рис. 17.11

Представим полученные значения в виде таблицы, дополнив ее значениями синуса, косинуса и тангенса острых и тупых углов, известных нам из курса геометрии. Неизвестные значения тангенса и котангенса для этой таблицы вычислим соответственно по формулам  и . 

Углы , указанные в первой строке этой таблицы, еще называют табличными углами. Имеем:

Пример №535

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) .
2) Запись означает . Имеем: .

3) .

4) . 

Поскольку , то; поэтому .

Следовательно, .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 

Нахождение тригонометрических функций с помощью калькулятора

Для нахождения синуса, косинуса и тангенса в калькуляторах есть соответствующие клавиши ,  и . Сначала переключатель надо зафиксировать в положении для задания углов в градусах. В некоторых калькуляторах это достигается с помощью клавиши и выбора соответствующего режима. В зависимости от типа калькулятора порядок вычислений может быть различным, поэтому советуем внимательно ознакомиться с инструкцией к калькулятору. Приведем порядок вычислений для двух наиболее распространенных типов калькуляторов.

В последних строках обеих таблиц воспользовались тем, что котангенс является числом, обратным к тангенса. В самом деле, .

 

Радианное измерение углов. Тригонометрические функции числового аргумента

Как известно, углы измеряют в градусах и его частях — минутах, секундах. Однако в математике, астрономии, физике и других науках используют еще и радианную меру угла, которая имеет определенные преимущества по сравнению с градусной.

Радианная мера угла

• Углом в 1 (один) радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна длине радиуса круга.

На рисунке 18.1 , поэтому мера угла равна 1 радиан (сокращенно «рад»).

       Рис. 18.1

Найдем связь между радианной и градусной мерами. Длина полукруга, радиус которого , равна , что в раз больше длины дуги . Поэтому развернутом углу соответствует дуга меры радианов. Итак,

• 

Отсюда имеем, что  рад, тогда  рад; , тогда .

Полезно помнить, что .

Полученные формулы, в частности, используют для перехода от градусной меры угла к радианной и наоборот, однако для этого можем применять и пропорцию, учитывая, что .

Пример №536

Найти радианную меру угла .

Решение. способ (по формуле).
 (рад).
 способ (с помощью пропорции).

Имеем пропорцию:

Получим уравнение: , откуда , то есть .
Ответ. .

Пример №537

Найти градусную меру угла 1,5 рад.

Решение. .

Ответ. .

Пример №538

Найти градусную меру угла .

Решение. Выполнить эту задачу можно таким же образом, что и предыдущую, но здесь целесообразнее будет заменить  на . Имеем .

Ответ. .

Пример №539

Найдем радианную меру табличных углов:

Тригонометрические функции числового аргумента

Используют радианной меру угла, так же как и градусную, в записях тригонометрических выражений. Так, запись означает синус угла, мера которого 2 радиана, запись — означает  косинус угла меры —  радиана, запись — тангенс угла, мера которого –3 радиана.

Каждому допустимому значению числа (угла, содержащего  радианов) соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями числового аргумента . Их называют тригонометрическими функциями числового аргумента.

Например, ; ; .

Пример №540

Найти значение выражения , если .

Решение. Если , то

Ответ. 1.

Нахождение значений тригонометрических функций числового аргумента с помощью калькулятора

Значение тригонометрических функций числового аргумента с помощью калькулятора находят так же, как и значения тригонометрических функций углов, которые заданы в градусах. Но в этом случае переключатель для задания углов в радианах надо выставить в положение . Напомним, что в некоторых калькуляторах это достигается с помощью клавиши  и выбора соответствующего режима. Проверьте на своем калькуляторе, что ; ; ; .

Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим свойства тригонометрических функций, которые непосредственно вытекают из их определений.

Область определения тригонометрических функций

Как мы уже отмечали ранее, выражения и имеют смысл для любого угла . Также имеют смысл выражения и для любого числа (угла  в радианах). Итак,

• областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел.

Это можно записать так: , или .

Выражение имеет смысл для любых углов , кроме , , , ..., то есть кроме углов, которые можно задать формулой , где . Поэтому выражение не имеет смысла для чисел (углов в радианах) вида , где .

• Областью определения функции тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел , где .

Выражение имеет смысл для всех углов , кроме углов , , , ..., то есть углов, которые можно задать формулой , где . Поэтому выражение не имеет смысла для чисел (углов в радианах) вида , где .

• Областью определения функции котангенса есть множество всех действительных чисел, кроме чисел , где .

Пример №541

Найти область определения функции .

Решение. Найдем значения , для которых котангенс не существует, решив уравнение: .

Далее имеем: ; , где .

Итак, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел , . Сокращенно это можно записать так:

Ответ. .

Множество значений тригонометрических функций

Синус и косинус угла являются соответственно ординатой и абсциссой точки единичной окружности. Поэтому ординаты и абсциссы точек единичной окружности приобретают все значения от –1 до 1. Итак,

• множеством значений функций синуса и косинуса является промежуток .

Такой же промежуток является множеством значений и для случая синуса и косинуса числового аргумента (угла в радианах). Итак, .

Рассмотрим несколько примеров на использование установленных фактов.

Пример №542

Существуют ли значения , при которых выполняется равенство: 1) ; 2) .

Решение. 1) Поскольку , то значение , при котором , существует.  2) Поскольку , то не существует значение , при котором .

Ответ. 1) да; 2) нет.

Пример №543

Найти множество значений функции: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Имеем: ;   (прибавили ко всем частям число 2)  .

Итак, .

2) Понятно, что , с другой стороны, , поэтому . Следовательно, ;   (отняли от всех частей число 3);  .

Итак, .

3) Поскольку , имеем: . Тогда (сравнили обратные выражения),  то есть ; имеем  (умножили все части на 15).

Итак. .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Пример №544

Найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство является верным для любого значения .

Решение. Заметим, что выражения и приобретают наименьшие значения, когда , a , то есть, например, для значения . Поскольку неравенство должно быть верным для любого значения , то должно быть правильным и для . Подставим в неравенство вместо  число , получим верное неравенство: , а после упрощений: , следовательно, . Таким образом, все значения , удовлетворяющие условие задачи, принадлежат промежутку . Проверим, все значения из полученного промежутка удовлетворяют условию задачи. Пусть . Для любого  выполняются неравенства: ; и . Поскольку , то, очевидно, что . Учитывая эти соотношения в начальном неравенстве, будем иметь . Таким образом, условие задачи удовлетворяют все значения , такие, что .

Ответ: .

Множество значений тангенса найдем с помощью графической интерпретации.

Рассмотрим прямую , проходящей через точку (1; 0) перпендикулярно к оси абсцисс. Она является касательной к единичной окружности (рис. 19.1). Пусть при повороте на угол начальный радиус единичной окружности переходит в радиус , а прямая пересекает прямую в точке . Пусть , поэтому ; . Проведем перпендикуляр  на ось абсцисс.

Тогда , поэтому , следовательно, , то есть  , и потому . Итак, ордината точки равна тангенсу .

Прямую, которая проходит через точку (1; 0) перпендикулярно к оси абсцисс, называют линией тангенсов.

В случае изменения положения точки на единичной окружности будет меняться и положение точки (рис. 19.1). Геометрическая интерпретация показывает, что ордината точки может принимать любые значения. Итак, множеством значений тангенса является множество всех действительных чисел.

             Рис. 19.1

Тем же способом определим и множество значений котангенса.

Прямую , которая проходит через точку (0; 1) перпендикулярно к оси ординат, называют линией котангенсов (рис. 19.2).

Можно доказать, что абсцисса точки пересечения прямой с линией котангенсов равна котангенсу .

             Рис. 19.2

По рисунку 19.2 понятно, что абсцисса точки может принимать любые значения, поэтому множеством значений котангенса есть множество всех действительных чисел.

Итак,

• множеством значений функций тангенса и котангенса является множество всех действительных чисел: .

Знаки тригонометрических функций

Синус угла является ординатой точки  единичной окружности. В и четвертях , а в и четвертях . Поэтому:

• , если — угол или четверти,
• , если — угол  или четверти .

Косинус угла является абсциссой точки единичной окружности. В и четвертях , а во и четвертях . Поэтому:

• , если — угол или четверти,
• , если  — угол или четверти .

Поскольку , a , то и  зависят от знаков и . В и четвертях и имеют одинаковые знаки, а во и четвертях — разные. Поэтому:

• и , если — угол или четверти,
• и , если — угол или четверти.

Выводы относительно знаков тригонометрических функций углов удобно запомнить по рисунку 19.3. 

                                                   Рис. 19.3

Пример №545

Сравнить с нулем числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Поскольку — угол  четверти, то ;

2) — угол четверти, поэтому ;

3) — угол  четверти, поэтому;

4) 2 радиана , тогда 2 радиана — угол четверти; поэтому .  

Ответ. 1) ;  2) ;  3);  4).

Четность и нечетность тригонометрических функций

Пусть при повороте на угол начальный радиус единичной окружности переходит в радиус , а при повороте на угол — в радиус (рис. 19.4). Точки  и — симметричные относительно оси абсцисс, поэтому они имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Имеем:

и , поэтому ;

и , поэтому ;

, поэтому ;
, поэтому .

        Рис. 19.4

Итак,

• косинус — четная функция; синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, то есть: ; ; ; .

Эти формулы помогают вычислять значения тригонометрических выражений. Например,

1) ; 2) ; 3); 4) .

Периодичность тригонометрических функций

Если при повороте на угол начальный радиус единичной окружности переходит в радиус  (рис. 19.4), то этот самый радиус получим и при повороте радиуса на угол, отличный от на полный оборот или любое количество полных оборотов, то есть на число  (или ), где . Отсюда,

• при изменении угла на целое число полных оборотов значения тригонометрических функций не меняются: или ;  или .

Итак, значения тригонометрических функций синуса и косинуса не меняются, если в их аргументы добавить (или отнять) число, кратное числу . Каждое такое число для синуса и косинуса является периодом, а  — наименьшим периодом. Функции, которые имеют такое свойство, называют периодическими.

Число также является периодом функций тангенса и котангенса, однако для этих функций можно найти и меньший период. Рассмотрим точки , и , которые лежат на одной прямой (рис. 19.5). Тогда прямые и совпадают, а потому пересекают ось тангенсов в одной и той же точке .

           рис. 19.5

Аналогично, прямые и пересекают ось котангенсов в одной и той же точке (рис. 19.6). Итак, если , то 

• при изменении угла на целое число полуоборотов значения функций тангенса и котангенса не меняются: ; или ; ; или .

            рис. 19.5

Исходя из периодичности, нахождение значений синуса и косинуса любого угла можно свести к нахождению значения этой же функции неотрицательного угла, меньшего  (или ), а значений тангенса и котангенса любого угла — к нахождению значения этой же функции неотрицательного угла, меньшего  (или ).

Пример №546

Вычислить: 1) ; 2) .

Решение. 1) 1-й способ. Подадим градусную меру угла в виде , где   и применим формулу . Имеем: .
2-й способ. От  вычтем два периода по . Имеем: .

2) Учитывая, что период тангенса равен , получим:

1-й способ: ;

2-й способ: .

Ответ. 1)  2) .

Иногда искать значение тригонометрической функции некоторого угла с помощью периодичности целесообразнее через значение этой функции отрицательного угла, который лежит в пределах от до (или от  до ), а дальше применить четность или нечетность соответствующей тригонометрической функции. Например,

;        .

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В этой лекции рассмотрим тождества, задающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Основное тригонометрическое тождество

Пусть при повороте на угол начальный радиус единичной окружности переходит в радиус (рис. 20.1).

    Рис. 20.1

Точка принадлежит окружности, радиус которой равен . Поэтому координаты точки удовлетворяют уравнению окружности:  . Но , , поэтому

• 

Это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством. Оно задает зависимость между значениями синуса и косинуса одного и того же угла, следовательно, дает возможность находить одно из этих значений через другое. Покажем это на схеме:

В формулах   и   знак перед радикалом выбираем в зависимости от четверти, в которой лежит угол .

Пример №547

Упростить выражение: 1) ; 2).

Решение. 1) .

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №548

Найти , если и .

Решение. Поскольку — угол четверти, то . Имеем: .

Ответ. 0,8.

Другие тригонометрические тождества

Мы уже знаем, что  (если ) и  (если ).

Перемножим эти равенства почленно: . Итак,

• (если , )

Это равенство является верным для всех значений , при которых и имеют смысл, то есть при условии, что  и . Тогда:

•  и .

Пример №549

Доказать тождество:
1) ; 2) .

Доказательство. Преобразуем левую часть каждого из тождеств: 1) , что и требовалось доказать. 

2) , что и требовалось доказать.

Пример №550

Найти значение выражения , если . 

Решение. 1-й способ. Поскольку , то . Разделим числитель и знаменатель дроби на , имеем: .

2-й способ. Поскольку , то , откуда . Имеем: .

Ответ. 2.

Следствия из основного тригонометрического тождества

Поделим обе части тождества на  (при условии, что ). Получим: , то есть

• 

Если обе части тождества разделить на (при условии, что ). Получим: , то есть 

• 

Пример №551 

Доказать, что при всех допустимых значениях  значение выражения не зависит от .

Доказательство. Преобразуем левую часть тождества: , получили число. Следовательно, значение выражения не зависит от .

Пример №552

Найти , , , если  и .

Решение. 1) .
2) Из тождества выразим , имеем: , поскольку  — угол четверти, то , поэтому  .
3) , поэтому .

Ответ. , , .

Формулы приведения

Тригонометрические функции углов , где ; ; ;  (или ) можно привести к тригонометрическим функциям угла с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Формулы приведения и правила для их применения

Некоторые из этих формул нам известны из курса геометрии. В частности, мы знаем, что:
; ; ; ;

или те же формулы в радианах: ; ; ; .

Применяя эти формулы и свойства тригонометрических функций, можно найти формулы приведения для различных углов.

Например, для угла , получим: .

А для угла , учитывая вышеупомянутые формулы, получим: .

Тем же способом можно найти формулы приведения для всех указанных в начале лекции углов. Всего таких формул тридцать две. Запишем их в виде таблицы:

Эти формулы не надо запоминать. Достаточно заметить в них определенную закономерность, сформулировать ее в виде правила и правило запомнить. Для этого условимся называть синус кофункцией косинуса, косинус — кофункцией синуса, тангенс — кофункцией котангенса и котангенс — кофункцией тангенса.

Теперь сформулируем правило для применения формул приведения.

• В правой части формулы приведения записываем тот знак ( или ), который имеет левая часть формулы при условии, что угол — острый, при этом для углов , название тригонометрической функции не меняем, а для углов , — название меняем на кофункцию.

Заметим, что только для удобства использования правила угол считаем острым. На самом деле, каждая из формул приведения является правильной для любого угла из области определения тригонометрической функции.

Обратите внимание, что последовательность рассуждений по упомянутым правилам можно кратко сформулировать в виде мнемонического правила: «Четверть. Знак. Название ». Рассмотрим пример на применение правила.

Пример №553

Записать через тригонометрическую функцию угла : 1) ;  2) .

Решение. 1) Четверть: угол — угол четверти (рис. 21.1). Знак: косинус во четверти — отрицательный, потому имеем . Название: для угла название тригонометрической функции сохраняется, то есть оставляем . Итак, .

       Рис. 21.1

2)  — угол  четверти (рис. 21.1), котангенс в четверти имеет знак . Поскольку , то название функции меняем на кофункцию (на ). Итак, .

Применение формул приведения

Формулы приведения помогают вычислять значения тригонометрических функций некоторых углов, превышающих (или ). Для формул приведения такие углы можно записывать одним из двух способов — или как сумму, или как разность. Например, угол  лежит на единичной окружности между углами и , поэтому его можно записать и как сумму , и как разность . 

Пример №554

Вычислить: 1) ; 2) .

Решение. 1) 1-й способ. . 2-й способ. . 

2)

Ответ. 1) –1; 2) .

С помощью формул приведения, периодичности, четности или нечетности тригонометрических функций нахождение значения тригонометрической функции любого угла можно свести к нахождению значения тригонометрической функции острого угла.

Пример №555

Вычислить: 1) ; 2)

Решение. Используем четность функции косинуса: 1)

2) Поскольку , поэтому .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №556

Упростить выражение:

Решение. Поскольку ;  , то .

Ответ. 0.

Пример №557

Доказать, что если , и — углы треугольника, то .

Решение. Поскольку , и — углы треугольника, то , тогда .
Имеем: .

Периодичность функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Гармонические колебания

Периодичность функций

Многие процессы и явлений в природе или технике на практике имеют повторяющийся характер: движение Земли вокруг Солнца, движение маятника, различные вращательные движения и тому подобное. Такие процессы называют периодическими, а функции, которые их описывают, — периодическими функциями.

Мы уже знаем, что тригонометрические функции являются периодическими, так как при изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций синуса и косинуса не изменяются. При изменении угла на целое число полуоборотов не меняются значения функций тангенс и котангенс. То есть тригонометрические функции синуса и косинуса не меняются, если к аргументу добавить некоторое число, кратное , а тангенса и котангенса — если добавить число, кратное .

Сформулируем определение периодической функции.

• Функцию y = f (x) называют периодической с периодом , если для любого x из области определения функции числа x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство: .

Поскольку ; для любого , то функции синуса и косинуса — периодические с периодом  . Периодами этих функций также будут числа, кратные , то есть числа  .

Для исследования свойств функций и построения их графиков важно знать наименьший положительный период функции. Докажем, что наименьшим положительным периодом функции  является число . Пусть T — произвольный период косинуса, тогда для любого x, следовательно и для . Подставив в это равенство вместо x число 0, получим: . Наименьшим положительным числом, для которого , является число . Итак, — наименьший положительный период функции .

Тем же способом можно доказать, что наименьшим положительным периодом функции также является число . Итак,

• наименьшим положительным периодом функций и  является число .

Поскольку ; и ; для любого x из области определения тангенса и котангенса соответственно, то функции тангенса и котангенса — периодические с периодом .

Докажем, что — наименьший положительный период функции . Пусть T — произвольный период функции , тогда для любого x из ее области определения, в том числе и для . Тогда . Наименьшим положительным числом, для которого , является число . Итак, — наименьший положительный период функции .

Тем же способом можно доказать, что наименьшим положительным периодом функции также является число . Итак,

• наименьшим положительным периодом функций и является число .

Периодичность функции используют для построения ее графика:

• для построения графика периодической функции с наименьшим положительным периодом Т₀ достаточно построить график на любом промежутке длиной Т₀ (например, ), а затем дополнить его полученным графиком, параллельно перенесенным вправо и влево вдоль оси абсцисс на расстояние kТ₀ , где k — любое натуральное число.

График функции y = sin x

Сначала построим график функции на промежутке . Составим таблицу ее значений:

Строим график функции на промежутке , учитывая, что . На рисунке 22.1 изображен график функции на промежутке .

       Рис. 22.1

Поскольку функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат. Выполним симметричное отображение линии, изображенной на рисунке 22.1, относительно начала координат и получим график функции на промежутке (рис. 22.2).

                 Рис. 22.2

Далее учтем периодичность функции , наименьшим положительным периодом которой является , а именно, полученный график дополним таким же, параллельно перенесенным влево и вправо вдоль оси абсцисс на . Получим график функции на всей области определения (рис. 22.3). Линию, которая является графиком функции , называют синусоидой.

                                                          Рис. 22.3

График функции y = cos x

Построить график функции   можно тем же способом, что и график функции . Однако мы учтем тождество . То есть график функции  получим из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс влево на расстояние (рис. 22.4). Графиком функции  является также синусоида, потому что это та же линия, являющаяся графиком функции , только размещенная иначе относительно системы координат. Иногда график функции называют еще косинусоидой, он изображен на рисунке 22.4.

                                                       Рис. 22.4

График функции y = tg x

Построим график функции  сначала на промежутке  используя таблицу ее значений.

График функции изображен на рисунке 22.5.

        Рис. 22.5

Заметим, что он не пересекает прямые и (поскольку тангенс в точках  и  не существует), при приближении x к значение  становится бесконечно большим, а при приближении к  — бесконечно малым. Далее учтем периодичность функции , наименьший положительный период которой равен , и получим график функции всей области определения (рис. 22.6). График функции называют тангенсоидой, он состоит из множества отдельных ветвей — ветвей тангенсоиды.

                    Hис. 22.6

График функции y = ctg x

Функция не определена для чисел , . График этой функции можно или сначала построить на промежутке и далее использовать периодичность функции, или воспользоваться формулой и выполнить последовательно два преобразования графика : параллельное перенесение на  влево вдоль оси абсцисс, а затем симметрично отобразить полученный график относительно этой оси.

График функции  изображен на рисунке 22.7. Графиком функции  также является тангенсоида, но размещена он иначе относительно системы координат. График функции   называют также котангенсоидой.

                        Рис. 22.7

Свойства тригонометрических функций

Обобщим изученные ранее свойства тригонометрических функций и свойства, полученные из их графиков (учитывая, что ), и занесем их в таблицы.

      

Теперь мы можем находить свойства не только функций, указанных в этих таблицах, но и других тригонометрических функций.

Пример №558

Найти нули функции .

Решение. Нулями функции является числа , .

Найдем такие значения x, для которых . Имеем: , то есть , откуда , , — нули функции.

Ответ. , .

Пример №559

Найти промежутки возрастания функции .

Промежутками возрастания функции  являются . Найдем такие значения x, для которых значение выражения  принадлежит этим промежуткам: ; . 

Следовательно, функция возрастает на промежутках , .

Ответ. , .

Для нахождения периодов некоторых тригонометрических функций воспользуемся свойством, которое примем без доказательства:

• Наименьший положительный период функций вида  и , где и — числа, равен , а функции вида и равен . 

Например, наименьшим положительным периодом функции будет , то есть , а для функции  будем иметь такой наименьший положительный период .

Рассмотрим, как найти наименьший положительный период функции, который является суммой нескольких периодических функций.

Пример №560

Найти наименьший положительный период функции .

Решение. Пусть имеем функции  и  с наименьшими положительными периодами и соответственно. Тогда , . Наименьшим положительным периодом функции будет наименьшее общее кратное (если оно существует) чисел и . Таким числом является число . Действительно, ;  . Следовательно, наименьшим положительным периодом функции является число .

Ответ. .

Заметим, что не всегда сумма нескольких периодических функций является функцией периодической. Так, например, функция  является периодической с периодом , а функция является периодической с периодом , однако функция не является периодической, так как не существует такого числа T, которое бы делилось нацело как на , так и на 2 (строгое доказательство этого факта не будем приводить).

Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований

Построить графики тригонометрических функций, отличные от тех, которые мы рассмотрели выше, можно с помощью преобразований графиков функций. Например, для построения графика функции достаточно график функции перенести вдоль оси y на одну единицу вниз (рис. 22.8).

                                                   Рис. 22.8

А для построения графика функции   достаточно график функции растянуть вдвое от оси абсцисс (рис. 22.9).

                                                   Рис. 22.9

Построение графиков тригонометрических функций с помощью компьютера

С помощью специальных компьютерных программ можно строить графики тригонометрических функций разного уровня сложности. На рисунке 22.10 изображен график функции , а на рисунке 22.11 — график функции , построенных одной из подобных программ.

                                                   рис. 22.10

Советуем перед использованием конкретной программы ознакомиться с файлом помощи (в большинстве программ для этого надо нажать клавишу , находясь в окне программы). Большинство программ имеет специальные опции или инструменты для работы с тригонометрическими функциями. Например, в некоторых из них опция «тригонометрический набор» позволяет по оси x откладывать отметки, которым соответствуют числа, зависящие от . Именно такой инструмент применен к графикам, изображенным на рисунках 22.10 и 22.11.

                                                   Рис. 22.11

По графикам легко определять свойства функций. Например, нулями функции   являются числа вида , , а функция убывает в промежутках , .

Гармонические колебания

Величины, изменяющиеся по закону , где , ,  — некоторые постоянные, играют важную роль в физике. Такими функциями описывают гармонические колебания — малые колебания подвешенного на пружине груза, малые колебания маятника, колебания в молекулах, которыми обусловлено поглощение инфракрасных лучей, различные колебания в электротехнике, например в колебательном контуре и тому подобное.

Если шарик, который подвешен на пружине, вывести из состояния равновесия, то в идеальной ситуации (если пренебрегать сопротивлением воздуха или нагреванием пружины) шарик будет осуществлять гармонические колебания. Координата отклонения шарики от положения равновесия будет зависеть от времени и определяться по формуле .

Параметры , , , которые полностью описывают гармонические колебания, имеют специальные названия: — амплитуда колебаний,  — циклическая (или круговая) частота колебаний, — начальная фаза колебаний (как правило, ). Исходя из физического смысла гармонических колебаний, получим, что , . 

Период функции , равный  , называю периодом гармонического колебания. Период гармонического колебания — это время одного полного колебания.

Тригонометрические формулы сложения

В этой лекции рассмотрим формулы, позволяющие записывать тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Косинус разности и суммы

Для того чтобы получить формулу для , сначала рассмотрим случай, когда  и .

Пусть при повороте на угол начальный радиус единичной окружности перешел в радиус , (рис. 23.1). Поскольку ; , то имеем вектор . Аналогично, . Тогда: . С другой стороны: . Но . Поэтому . Аналогично рассматривают и случаи, когда или . Получили формулу косинуса разности:

• 

Из этой формулы имеем: . Получили формулу косинуса суммы:

• 

       Рис. 23.1
 

Пример №561

Вычислить .

Решение. .

Ответ. .
 

Пример №562

Упростить выражение .
Решение. .

Ответ. .

Синус разности и суммы

Найдем формулу для .

.

Получили формулу синуса разности:

• .

Для будем иметь: .

Получили формулу синуса суммы:

• .

Пример №563

Найти , если  .
Решение. .

Поскольку — угол четверти, то . Имеем: .
Тогда .
Ответ. .

Пример №564

Упростить выражение .

Решение. Нетрудно заметить, что имеем правую часть формулы , где . Итак, .

Ответ. .

Тангенс разности и суммы

Выразим через и  при условии, что каждое из этих выражений имеет смысл, то есть при условии, что . Имеем: . Разделим числитель и знаменатель на произведение . Получим: .

Получили формулу тангенса разности:

• .

Для тангенса суммы имеем: .
Получили формулу тангенса суммы:

• .

Пример №565

Вычислить: 1)  ; 2) .

Решение. 1).
2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Метод вспомогательного угла

Для решения задач выражение иногда целесообразно представлять в виде синуса (или косинуса) суммы или разности двух аргументов. Для этого в указанном выражении вынесем за скобки множитель , получим: . Числовые коэффициенты, полученные перед тригонометрическими функциями в скобках, можно считать косинусом и синусом (или синусом и косинусом) некоторого угла, поскольку для них выполняется основное тригонометрическое тождество.

Действительно, . В частности, если введем обозначения , , где  — некоторый угол, то в скобках получим формулу суммы или разности синусов: .

А если введем обозначения ;  , то получим формулу разности или суммы косинусов: .

Угол , который мы ввели для упомянутого преобразования выражения, называют вспомогательным углом, поэтому такое преобразование получило название — метод вспомогательного угла.

Пример №566

Найдите все значения параметра , при которых возможно равенство: .

Решение. Поскольку , то имеем: .

Значит, , то есть . Поскольку  и , то ,  откуда .

Ответ: .

Формулы двойного, тройного и половинного аргумента. Формулы понижения степени

Рассмотрим формулы, которые являются следствием формул сложения.

Формулы двойного угла

Формула  является истинной для любых значений и . Если предположить, что , получим: , то есть

• .

Получили формулу синуса двойного угла.

Аналогично для формулы , когда , получим: , то есть

• .

Получили формулу косинуса двойного угла.

Если в полученную формулу сначала вместо подставить , а затем вместо подставить , получим еще две формулы косинуса двойного угла:

• и .

Так же из формулы имеем, что , то есть

• .

Получили формулу тангенса двойного угла, которая является истинной, когда и существуют.

Пример №567

Упростить выражение: 1);   2).

Решение. 1) .

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №568

Вычислить .

Решение. .

Ответ. .

Заметим, что полученные формулы можно применять для любого угла , ведь любой угол можно записать как двойной. Например, ; .

Формулы понижения степени

Если из формул   и выразить соответствия и  , получим:

•  и 

Эти формулы называют формулами понижения степени. Они дают возможность записать квадраты синуса и косинуса угла через косинус угла .

Поскольку , имеем еще одну формулу понижения степени:

• 

Эта формула истинна, если существует.

Пример №569

Снизить степень в выражении: 1) ; 2) ; 3).

Решение. 1) .

2) .

3).
Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Формулы половинного угла

Если в формулы , ,  вместо угла подставить угол , получим формулы половинного угла: 

• ; ; 

Пример №570

Найти , если и .

Решение. По формуле половинного угла имеем . Поскольку , то , то есть , следовательно, , и поэтому 

Ответ. .

Для можно получить еще две формулы, ведь  и . 

Итак, имеем:

•  и .

Пример №571

Вычислить .

Решение. 
Ответ. .

Формулы тройного угла

Выясним, как записать  через . Имеем:

.

Итак, имеем формулу синуса тройного угла:

• 

Тем же способом можно получить формулу косинуса тройного угла:

• 

Также имеем: .

Получили формулу тангенса тройного угла:

• 

Пример №572

Доказать тождество: .

Решение. Преобразуем левую часть тождества:

.

Получили правую часть тождества. 

Запись тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Для вычисления и упрощения выражений и в дальнейшем для решения тригонометрических уравнений могут быть полезными формулы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций угла к тангенсу вдвое меньшего угла. Имеем: .

Итак, получили формулы: 

• ; ; ; .

Применять эти формулы надо очень осторожно, поскольку в их левой и правой частях различные области допустимых значений переменной, что, например, при решении уравнений может привести к потере корней или появлению посторонних корней.

Пример №573

Найти и , если .

Решение. Имеем: .
Тогда .

Ответ. 

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Формулы преобразования тригонометрических функций в сумму

Рассмотрим еще несколько формул, которые являются следствиями из формул сложения.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение

Добавим почленно формулы сложения:

.

Пусть и . Тогда , , откуда  и . Подставим полученные для и выражения в полученную выше сумму. Получим формулу суммы синусов:

• 

Заменим в этой формуле  на , получим: .

Итак, имеем формулу разности синусов:

• .

Аналогично можно получить формулы суммы и разности косинусов:

• ; 

Поскольку , то последнюю формулу можно записать еще и так: .

Для суммы тангенсов имеем:

Получили формулу суммы тангенсов:

• 

Заменив в этой формуле  на  и учитывая, что , получим формулу разности тангенсов:

• 

Пример №574

Представить в виде произведения выражение: 1) ; 2) .

Решение. 1) По формуле суммы синусов: .

2) Используем формулу разности косинусов, учитывая, что по формуле приведения . Имеем: .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №575

Вычислить .

Решение. По формуле разности синусов: .
Ответ. 
 

Пример №576

Представить выражение в виде частного.

Решение. Поскольку , то выражение можно записать в виде разности тангенсов:
Ответ. .

Пример №577

Представить выражение в виде произведения.

Решение. Вынесем число 2 за скобки и учтем, что . Имеем .

Ответ. .

Пример №578

Пусть , ,  — внутренние углы треугольника. Доказать, что .

Доказательство. Поскольку ,  и , получим:

Отсюда . 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Добавим почленно формулы сложения: . Откуда имеем 

• 

Вычтем почленно от первой формулы сложения вторую: , отсюда

• 

Добавим почленно формулы сложения: , отсюда:

• 

Получили три формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример №579

Вычислить: .

Решение. По формуле произведения синусов имеем: .
Ответ. .

Пример №580

Упростить выражение: .

Решение. Применим формулу произведения косинусов: .

Ответ. .

Пример №581

Доказать, что .

Доказательство. Если в условии дана сумма синусов или косинусов, углы которых образуют арифметическую прогрессию, для упрощения такого выражения его целесообразно умножить и разделить на , где — разность прогрессии, а затем применить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Учитывая это, упростим левую часть равенства:

. 

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства — одни из самых сложных тем в  математике, которые могут возникать при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физике и в других областях.

Обратные тригонометрические функции. Их свойства и графики

Вы уже знакомились с понятием обратной функции. В этой лекции рассмотрим функции, обратные к тригонометрическим, которые принято называть обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Функция y = arcsin x

Рассмотрим функцию . Эта функция, определенная на всем множестве действительных чисел, не является монотонной, поскольку каждое свое значение приобретает в бесконечном множестве точек. Для ввода функции, обратной к функции , рассмотрим один из промежутков монотонности этой функции, содержащей точку 0, а именно  (рис. 26.1). На этом промежутке функция возрастает, приобретая все свои значения от до , следовательно, является обратимой. 

• Функцию, обратную к функции , где , называют арксинусом и обозначают .

                      Рис. 26.1

График функции изображен на рисунке 26.2, он является симметричным графику функции относительно прямой . , . На всей своей области определения функция  возрастает.

         Рис. 26.2

Учитывая определение функции арксинус, введем понятие арксинуса числа.

• Арксинусом числа , где , называют такой угол из промежутка , синус которого равен .

Из определения арксинуса числа следует, что  тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

К примеру, , так как    и  . , так как  и .

График функции симметричен относительно начала координат. Поэтому функция является нечетной, то есть . Примем этот факт без доказательства.

Пример №582

Найти область определения функции .

Решение. Поскольку , имеем: , откуда .

Ответ. .

Поскольку arcsin при условии, что , получим формулу: , где .
 

Пример №583

Найти  .

Решение. Пусть . Поскольку  то . Из тождества имеем: . Но , поэтому .

Ответ. 0,6.

Если рассматривать такой, что  и , то . Отсюда получим формулу: , где .
 

Пример №584

Вычислить: 1) , 2) .

Решение. 1) Поскольку , то .

2) , поэтому . Для поиска значений выражений и будем использовать периодичность тригонометрических функций и формулы приведения, что позволит свести выражение к виду , где , и использовать вышеупомянутую формулу.

Поскольку , воспользуемся формулой приведения: . Тогда , поскольку .

Ответ. 1) ; 2) .

Функция y = arccos x

Рассмотрим функцию , где, . На этом промежутке она является убывающей, а потому является обратимой (рис. 26.3).

                    Рис. 26.4

• Функцию, обратную к функции  где, , называют арккосинусом и обозначают .

График функции ,  изображен на рисунке 26.4, он является симметричным графику функции относительно прямой . , . На всей области определения функция  убывает.

          Рис. 26.4

Учитывая определение функции арккосинус, введем понятие арккосинуса числа.

• Арккосинусом числа , где , называют такой угол из промежутка , косинус которого равен .

Из определения арккосинуса числа следует, что , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Например, , так как и ;

, так как  и .

График функции  не является симметричным ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, поэтому функция ни четная, ни нечетная.

Пример №585

Найти множество значений функции .

Решение. Учитывая, что , умножим обе части этого неравенства на 0,5, а затем прибавим к ним , получим: .

Ответ. 

Из определения арккосинуса числа следует, что , где .

Рассматривая угол такой, что и , получим, что . Поэтому , если .

Пример №586

Вычислить .

Решение. Для нахождения значений выражений и надо привести их к выражению вида , где , а дальше применить формулу . Имеем: , поскольку .

Ответ. .

Пример №587

Доказать, что , где .

Доказательство. Пусть , . Тогда , то есть . По формуле приведения , поэтому . Поскольку , то . Итак, , , поэтому , отсюда получим: . Итак, . 

Занесем в таблицу значения и для некоторых значений : 

Замечаем, что для табличных значений  выполняется равенство: . Это равенство является истинным для любого значения из промежутка .

Пример №588

Доказать тождество , где . 

Доказательство. Докажем, что , .  Поскольку и , то есть обе части равенства принадлежат промежутку монотонности функции — промежутку , найдем синус обеих частей этого равенства: ; .

Итак, , то есть , . 

Функция y = arctg x

Рассмотрим функцию  (рис. 26.5), которая монотонно растет на промежутке . На этом промежутке она приобретает каждое свое значение из множества действительных чисел только один раз, поэтому является обратимой.

                         Рис. 26.5

• Функцию, обратную к функции , где  называют арктангенсом и обозначают .

График функции изображен на рисунке 26.6, он является симметричным графику функции относительно прямой . , . На всей области определения функция возрастает.

                  Рис. 26.6

• Арктангенсом числа , где — любое число, называют такой угол из промежутка  , тангенс которого равен .

Из определения арктангенса следует, что: тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) ;

Например, , так как  и . , так как  и .

График функции симметричен относительно начала координат, поэтому функция нечетная: .

Примем этот факт без доказательства.

Из определения арктангенса следует, что , где .

Пример №589

Найти .

Решение. Обозначим и учтем, что . Тогда .

Ответ. 0,2.

Если рассматривать угол такой, что  и , то . Получим формулу: , где .

Для поиска значений выражений и  сводим их к виду , где  , используя периодичность и формулы приведения, и дальше применяем формулу .

К примеру, 

Функция y = arcctg x

Функция  на промежутке монотонно спадает и каждое свое значение приобретает только один раз (рис. 26.7), поэтому является обратимой.

                        Рис. 26.7

• Функцию, обратную к функции , , называют арккотангенсом и обозначают .

График функции изображен на рисунке 26.8, он является симметричным графику функции относительно прямой . , . На всей области определения функция  убывает.

                 Рис. 26.7

• Арккотангенсом числа , где  — любое число, называют такой угол из промежутка , котангенс которого равен .

Из определения арккотангенса следует, что: тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Например, , так как  и ; , так как  и .

График функции   не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, поэтому функция ни четная, ни нечетная. Из определения арккотангенса следует, что , где .

Пример №590

Найти .

Решение. Пусть . Поскольку , то по формуле  имеем, что . Поскольку , получим: .

Ответ. 0,6.

Аналогично полученным ранее формулам для других обратных тригонометрических функций имеем: , где .

При нахождении значений выражений и с помощью периодичности и формул приведение, их сводят к виду , где , после чего используют формулу , где .

Например, .

Можно доказать, что , где , и , где .

Доказательство этих формул аналогично доказательствам в примерах, рассмотренных ранее.

Занесем в таблицу значение и для некоторых значений : 

Вычисление значений выражений, содержащих аркфункции

Рассмотрим, как вычислять значения выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример №591

Найти значение выражения: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2) .

Ответ. 1) ; 2) .

Свойства обратных тригонометрических функций

Обобщим свойства обратных тригонометрических функций, о которых мы узнали в этой лекции, в виде таблицы.

Теперь можем находить свойства не только функций, приведенных в таблице, но и других обратных тригонометрических функций.

Пример №592

Найти нули функции .

Решение. Нулем функции является число 1. Найдем значения x, для которых . Имеем уравнение: . ,  — его корни, следовательно, и нули функции.

Ответ. –1; –2.

Уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции

В этой лекции рассмотрим некоторые типы уравнений и неравенств, содержащих аркфункции, и методы их решения.

Равенство одноименных аркфункций

Учитывая монотонность аркфункций, уравнения вида  и  будут равносильны системе: , или ,  а уравнения вида и будут равносильны уравнению .

Пример №593

Решить уравнение .

Решение. Имеем систему: получим, что .

Ответ. –1.

Пример №594

Решить уравнение: .

Решение. Имеем: , откуда .

Ответ. 0.

Равенство аркфункции числу

Рассмотрим уравнение вида . Из графической интерпретации (рис. 27.1) видно, что при или уравнение решений не имеет, а при имеет единственный корень .

                                   Рис. 27.1

Тем же способом можно сделать выводы о решении подобных уравнений для других аркфункций. Эти выводы представим в виде таблиц.

      

Пример №595

Решить уравнение: 1) ; 2); 3) .

Решение.

Пример №596

Решить уравнение: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 

Замена переменной в уравнениях с аркфункциями

Уравнения вида , где — рациональная функция, а — аркфункция, сводят к алгебраическим уравнениям путем введения новой переменной . Решив уравнение и вернувшись к замене, получим одно или несколько простых уравнений с аркфункциями.

Пример №597

Решить уравнение: .

Решение. Замена: . Имеем уравнение: , откуда или . Возвращаясь к замене, получим 

Первое уравнение решений не имеет.

Из второго уравнения получим, что   т.е. .

Ответ. .

Для решения уравнений вида  используем формулу и сводим уравнения к уравнению, содержащему только или только . Далее, при необходимости, вводим новую переменную .

Пример №598

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , имеем: ; ; .

Ответ. 0,5.

Пример №599

Решить уравнение: .

Решение. Имеем: .
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть, уравнение примет вид: .
Приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение относительно , аналогичное уравнению в примере выше: .

Уравнение имеет единственный корень (решите самостоятельно).

Ответ. –1.

Уравнения вида приводим к уравнению, содержащему только или , с помощью формулы . Далее, по необходимости, вводим новую переменную .

Пример №600

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку уравнение примет вид: . После упрощений имеем: . Поскольку  , то уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Метод вычисления тригонометрической функции от обеих частей уравнения

Это наиболее универсальный метод для решения уравнений, содержащих аркфункции.

Если уравнение содержит разноименные аркфункции или аркфункции от различных аргументов, и одним из вышеупомянутых методов решить уравнение невозможно, надо вычислить некоторую тригонометрическую функцию от обеих частей уравнения. Если при этом область значений левой и правой частей не принадлежит промежуткам монотонности этой функции, то полученное алгебраическое уравнение будет уравнением-следствием, поэтому возможно появление посторонних корней. Проверка корней в этом случае обязательна.

Заметим, что решить такие уравнения иногда помогают формулы, доказанные выше.

Пример №601

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения: .

Найдем косинус от каждой части уравнения: . Воспользуемся формулой косинуса разности, получим , после упрощения которого получим: , откуда . Подставив (для проверки) полученные корни в уравнение, приходим к выводу, что –1 — посторонний корень. Итак, .

Ответ. 1.

Пример №602

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ: . Здесь удобнее найти от обоих частей синус. Имеем: ; . Решая это уравнение, получим, что или . Проверкой убеждаемся в том, что оба числа — корни исходного уравнения.

Ответ. 0; 1.

Заметим, что тригонометрическую функцию, значение которой от обеих частей уравнения будем находить, выбираем так, чтобы избежать громоздких преобразований. Полезно помнить, что если в уравнениях с арксинусом и арккосинусом функции одноименные, то лучше находить косинус, а если разноименные — синус.

Если от обеих частей уравнения находить значение тангенса или котангенса, может случиться потеря корней. Обычно это числа, не принадлежащие области определения функций тангенса или котангенса. Поэтому, если при решении уравнения переходим к уравнению или , то есть находим от обеих частей тангенс или котангенс, следует придерживаться такой последовательности действий:

1. найти все значения , для которых или , (если переходим к уравнению), или найти все значения , для которых или , (если переходим к уравнению );
2. проверить, какие из найденных в п. 1 значений х являются корнями исходного уравнения;
3. для всех остальных значений х решить уравнение (или ), что является уравнением–следствием, и проверкой выбрать из его корней те, которые являются корнями исходного уравнения;
4. записать ответ, учитывая результаты, полученные в п. 2 и 3.

Пример №603

Решить уравнение:  .

Решение. Те значения х, при которых левая часть равна , , не будут корнями этого уравнения, потому что правая часть не равна , . Возьмем функцию тангенс от обеих частей уравнения. Получим: . 

Отсюда , откуда или . Проверка показывает, что первый корень удовлетворяет уравнение, а второй — не удовлетворяет. .

Ответ. 0,5.

Простейшие неравенства, содержащие аркфункции

Неравенства вида , где — аркфункция, решают с учетом области определения этой функции и исходя из того, что функции и — возрастающие , а функции и — убывающие. Как решить такие неравенства, представлено в таблицах.

Аналогично решают неравенства вида , где — аркфункция.

Пример №604

Решить неравенство .

Решение. Имеем, учитывая, что — возрастающая функция: . Это неравенство равносильно системе неравенств:      система решений не имеет.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

Пример №605

Решить неравенство .

Решение. Имеем, учитывая, что — функция убывающая: . Отсюда       
Ответ. .

Пример №606

Решить неравенство: .

Решение. Поскольку  — функция убывающая, имеем: , то есть , следовательно, .

Ответ. .

Пример №607

Решить неравенство: .

Решение. Поскольку , то имеем: , , , окончательно: .

Ответ. .

Решение сложных неравенств, содержащих аркфункции

При решении более сложных неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, применяют приемы, которые использовались при решении уравнений, и приемы решения простейших неравенств, содержащих аркфункции.

Пример №608

Решить неравенство: .

Решение. Перепишем неравенство в виде: . Тогда , то есть , поэтому , следовательно, .

Ответ. .

Пример №609

Решить неравенство: .

Решение. Обозначив , получим квадратное неравенство: , откуда или . Возвращаясь к переменной , получим:  или .
Первое из полученных неравенств решений не имеет, а с другим получим: .

Ответ. .

Простейшие тригонометрические уравнения

• Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называют тригонометрическим уравнением.

Такие уравнения мы уже рассматривали в примерах, где искали отдельные их решения. Также тригонометрическими являются уравнения: ; ;  и тому подобное.

В этой лекции научимся находить множество всех решений уравнений вида , , , , где — любое число, — переменная или выражение с переменной, которые называют простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение cos t = a

Если  или , то уравнение решений не имеет, поскольку для любого значения . Пусть , тогда уравнение имеет решения. Проиллюстрируем их на единичной окружности. По определению, — это абсцисса точки единичной окружности. Поэтому решениями уравнения будут углы, абсциссы точек которых на единичной окружности равны . Для таких углов будет два, им на окружности соответствуют две точки (рис. 28.1 и 28.3), а для и — по одному углу (рис. 28.2).

                    
           Рис. 28.1                                       Рис. 28.2                                 Рис. 28.3

Поскольку и , то . Тогда . Учитывая, что функция является периодической с наименьшим положительным периодом , имеем формулы корней уравнения : , и , .

Эти решения уравнения можно объединить в одну формулу:

•                                       (1)

Если , , , получим частные случаи уравнения , которые удобнее решать не по формуле (1), а используя единичную окружность:

1) если , то , (рис. 28.2); 

2) если , то , (рис. 28.3);

3) если , то,  (рис. 28.2).

Представим решения уравнения в виде таблицы:

Пример № 610

Решить уравнение:  1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение. 1) ; . По формуле (1):

;

;

2) . Поскольку , то решений нет. 

3) . По формуле (1), имеем: . Значение можно найти лишь приближенно (например, с помощью калькулятора). В прикладных задачах находят приближенно: и так же приближенно записывают решения: . В математике же оставляют точное решение: .

4) — это частный случай. Итак, имеем: , то есть , . 

Ответ. 1) ; 2) Решений нет. 3) ; 4)

Уравнение sin t = a

Если  или , то уравнение решений не имеет, поскольку для любого значения . Пусть . Тогда уравнение имеет решения. Проиллюстрируем их на единичной окружности. По определению, — это ордината точки единичной окружности. Поэтому решениями уравнения будут углы, ординаты точек которых на единичной окружности равны . Для  таких углов будет два, им на круге соответствуют две точки (рис. 28.4 и 28.6), а для или — по одному углу (рис. 28.5).

                    
           Рис. 28.4                                       Рис. 28.5                                  Рис. 28.6

Поскольку  и , то . Тогда . Учитывая, что функция является периодической с наименьшим положительным периодом , имеем формулы корней уравнения :  и. Эти решения уравнения можно объединить в одну формулу:

•                                                       (2)

Действительно, если в формулу (2) подставить четное , то есть , получим, что . Если же подставить нечетное , то есть , получим, что .

Если , , , получим частные случаи уравнения , которые, как и в случае уравнения , удобнее решать, используя единичную окружность:

1) если , то , (рис. 28.5);

2) если , то , (рис. 28.6); 71

3) если , то , (рис. 28.5).

Представим решения уравнения в виде таблицы:

Пример №611

Решить уравнение: 1) ; 2); 3); 4) .
Решение. ; По формуле (2): .
2) ,то есть .
Поскольку ; .

3) . Поскольку , то решений нет.

4) . Имеем частный случай. тогда: , отсюда , то есть  
Ответ. 1) ; 2) ; 3) решений нет; 4) .

Уравнение tg t = a

Поскольку может принимать какие-либо действительные значения, то уравнение имеет решения для любого .

Найдем их на единичной окружности.

На линии тангенсов существует единственная точка , ордината которой равна (рис. 28.7). Соединим точку с центром окружности О. Луч  пересекает единичную окружность в точке , соответствующей углу , такому, что и . Тогда . Это и есть решение уравнения . Поскольку функция периодическая с наименьшим положительным периодом , то получаем формулу корней этого уравнения:

• .                                                            (3)

        Рис. 28.7

Пример №612

Решить уравнение: l) ; 2) .

Решение. По формуле (3) имеем:

Уравнение ctg t = a

Поскольку может принимать какие-либо действительные значения, то уравнение имеет решения для любого .

Найдем их на единичной окружности.

Рассуждая так же, как и для уравнения (рис. 28.8), получим, что множество решений уравнения можно задать формулой:

•                                                  (4)

        Рис. 28.8

Пример №613

Решить уравнение: 1) ; 2)

Решение. 1) По формуле (4) имеем: 

2) Поскольку неизвестный угол задан в градусах, то и формулу (4) также используем в градусах. Учитывая, что  имеем:

Ответ. 1) ; 2)

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим

Решение тригонометрических уравнений, не являющихся самыми простыми, с помощью тригонометрических формул и тождественных преобразований сводят к решению простейших тригонометрических уравнений.

Пример №614

Решить уравнение: 1); 2) .

Решение. 1) Поскольку , имеем:

2) Умножим обе части уравнения на 2, получим:  . Учитывая, что , получим частный случай простого уравнения:

Ответ. 1) ; 2)

Пример №615

Найти корни уравнения ,  принадлежащие промежутку .

Решение. Сначала найдем все корни уравнения, а затем выберем из них те, которые принадлежат данному промежутку. Сведем уравнение к простейшему методу вспомогательного угла. Поделим обе части уравнения на , получим:
. Учитывая, что , получим: .

Упростив левую часть, получим: , откуда , следовательно, .

Теперь из полученного множества корней выберем те, которые принадлежат промежутку . Запишем для корней условие их принадлежности этому промежутку . Решив  полученное неравенство, найдем именно то значение , при которых корни принадлежат данному промежутку: . Поскольку   , решениями неравенства является и  . Итак, данному промежутку принадлежат два корня уравнения. Найдем их:

1) если , то ;

2) если , то .

Ответ. ; .

Пример №616

Найти наибольший отрицательный корень уравнения .

Решение. Чтобы найти наибольший отрицательный корень уравнения, надо найти множество всех корней уравнения, а затем выбрать из него наибольшее отрицательное число. Преобразуем левую часть уравнения: . Имеем уравнение , которое равносильно системе: ; то есть 

Система равносильна уравнению: , которое является простейшим. Решим его: . Получили множество корней исходного уравнения.

Теперь выберем из этого множества наибольшее отрицательное число. Очевидно, что при все корни будут положительными, а при — отрицательными. Поскольку значение корня зависит от значения , то наибольшим корнем среди отрицательных будет тот, который получен для наибольшего отрицательного значения , то есть для .

Если , то .

Ответ. .

Посторонние корни тригонометрических уравнений

Если область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении, которое не является простым, не является множеством всех действительных чисел, то при решении уравнения приведением его к простому возможно появление посторонних корней. Это возможно тогда, когда преобразование тригонометрических выражений в уравнении приводит к расширению его ОДЗ.

В большинстве случаев избежать появления посторонних корней позволяет метод равносильных преобразований тригонометрических уравнений, который заключается в замене исходного уравнения равносильной ему системой уравнений и неравенств (дополнительных условий, связанных с ОДЗ переменной в уравнении, которые помогут выявить и исключить посторонние корни). Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример №617

Решить уравнение: .

Решение. Имеем равносильную уравнению систему: .

Решения системы покажем на единичной окружности. Договоримся, что решения тех соотношений системы, которые являются уравнениями (в нашем случае — первая строка системы), обозначать на окружности точками, а тех соотношений, которые не являются уравнениями, то есть отвечают за отбор корней (в нашем случае — это вторая строка системы ) обозначать на окружности «крестиками». Корнями уравнения являются значения , которым на единичной окружности соответствуют точки и . Корнями уравнения  являются значения , которым на единичной окружности соответствует точка . Учитывая, что вторая строчка системы имеет вид , обозначим точку «крестиком» (рис. 28.9). Это означает, что таким образом мы исключили ( «вычеркнули») точку, соответствующую посторонним корням, то есть исключили посторонние корни, которые появились после решения уравнения , которым мы заменили исходное уравнение.

         Рис. 28.9

Итак, множеством решений исходного уравнения являются те значения , которым на единичной окружности соответствуют точки без «крестиков». Это углы вида

Ответ. .

Пример №618

Решить уравнение .

Решение. Для решения этого и подобных ему уравнений, можно воспользоваться периодичностью тригонометрических функций. По условию, имеем равенство значений тангенсов углов и . Учитывая периодичность тангенса, эти значения могут быть равными только тогда, когда углы между собой равны или отличаются на число, кратное числу . Поэтому, с учетом этого и ОДЗ тангенса, уравнение , равносильно системе:  Из первого уравнения системы получим корни вида . Проверим, есть ли среди них посторонние, то есть те, которые не удовлетворяют хотя бы одно из условий или .

Если , , то есть  — нечетное, то , следовательно, корни имеют вид . Подставим эти корни, например, в уравнение . Получим: . Следовательно, для корней вида , условие  не выполняется, поэтому это посторонние корни.

Если , то есть  — четное, то , следовательно, которые имеют вид . Найдем значение выражений и для этих значений . Имеем: . 

Итак, корни вида удовлетворяют каждую из условий и . Приходим к выводу, что корнями исходного уравнения являются только числа вида .

Ответ. .

Решение тригонометрических уравнений с помощью замены переменных

В этой лекции рассмотрим те, отличные от простейших, тригонометрические уравнения, которые сводятся к алгебраическим уравнениям введением новой переменной (замены переменной).

Уравнение с очевидной заменой переменной

Если тригонометрическое уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию одного и того же аргумента (или сводится к следующему уравнению), то, введя вместо этой функции новую переменную, получим алгебраическое уравнение относительно новой переменной.

Пример №619

Решить уравнение: .

Решение. Пусть , тогда . Имеем уравнение: , корни которого: . Возвращаемся к замене: 1) , тогда , следовательно, . 2) , тогда , следовательно, , . 

Ответ.

Пример №620

Решить уравнение: .

Решение. Пусть £. Тогда имеем уравнение: , которое равносильно системе:, то есть откуда .
Возвращаемся к замене: , следовательно, .

Ответ. .

Рассмотрим уравнения, содержащие разноименные тригонометрические функции или одну и ту же функцию различных аргументов. Обычно после использования соответствующих тригонометрических формул удается свести такое уравнение к уравнению относительно одной тригонометрической функции одного и того же аргумента, после чего применяют замену переменных.

Уравнение вида 

В таких уравнениях используем  взаимную обратимость тангенса и котангенса, тем самым сводим уравнение к уравнению, содержащему только тангенс.

Пример №621

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения: и .

Поскольку , уравнение на ОДЗ приобретает вид: . Пусть . Имеем уравнение: корни которого и .

Возвращаемся к замене:

1) , тогда , следовательно, .

2) , тогда , следовательно, .

Ответ. ; .

Уравнение вида или ,

В таких уравнениях используем основное тригонометрическое тождество , которое позволяет выразить синус через косинус или наоборот, и свести уравнение к уравнению относительно одной из функций синуса или косинуса.

Пример №622

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , получим уравнение: . Упростив его левую часть, относительно получим уравнение вида: . Введем замену: .

Получим уравнение: , корни которого  и . Число — не удовлетворяет условие .

Возвращаемся к замене: , тогда , то есть , , следовательно, . 

Ответ. .

Уравнение вида и

Если в первом уравнении применим формулу , то получим уравнение относительно косинуса. Если во втором уравнении применим формулу  , то получим уравнение относительно синуса.

Пример №623

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , имеем уравнение: Пусть , имеем уравнение: , корни которого  и ,  из которых только удовлетворяет условие . Возвращаемся к замене: , то есть . 
Ответ.

Уравнения вида ; 

В уравнениях такого вида целесообразна замена . Тогда , то есть , откуда .

Заметим, что .
Итак, используя замену , следует помнить, что .

Пример №624

Решить уравнение: .

Решение. Замена: . Тогда , следовательно, . После замены имеем уравнение: , откуда и .

Учитывая, что , возвращаемся к замене только для  , имеем: . Введением вспомогательного угла запишем уравнение в виде: , откуда , следовательно,

Ответ. .

Другие случаи применения замены переменной

Рассмотрим еще несколько примеров решения тригонометрических уравнений с помощью замены переменной.

Пример №625

Решить уравнение: .
Решение. ОДЗ: ; ; ; . Поскольку , а  . Перепишем уравнение в виде: и обозначим . Имеем уравнение: , откуда . Возвращаемся к замене: , откуда , удовлетворяющий ОДЗ. Итак, имеем множество корней исходного уравнения: .
Ответ. .

Пример №626

Решить уравнение .

Решение. Преобразуем обе части уравнения: , то есть . Замена: . ​​Имеем уравнение: , корни которого: и .
Корень не удовлетворяет условие .

Возвращаемся к замене, получим уравнение:  . Перепишем его в виде: , тогда , откуда , следовательно, .

Ответ. .

Пример №627

Решить уравнение .

Решение. Заменой сведем уравнение к системе уравнений. Пусть . Тогда, по условию, . Кроме того: . 

Имеем систему уравнений: 

Получим, что (решите систему самостоятельно). Возвращаемся к замене, например, для переменной : . Тогда имеем уравнение: . Решив это уравнение, получим, что .

Ответ. .

Решение тригонометрических уравнений различными методами

В двух предыдущих лекциях мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к алгебраическим с помощью замены переменной. В этой лекции рассмотрим другие виды тригонометрических уравнений и методы их решения.

Метод разложения на множители

Пусть имеем уравнение , левую часть которого можно разложить на множители, то есть привести к виду: .

Тогда уравнение будет равносильно совокупности уравнений вида: при условии учета его ОДЗ.

Пример №628

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ: .

Учитывая, что , уравнение принимает вид: . Левую часть полученного уравнения можно разложить на множители: . Тогда имеем :  откуда . Итак, .

Ответ. .

Пример №629

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ: .

Учитывая, что , уравнение примет вид: . Таким образом, имеем уравнение: , которое равносильно совокупности двух простейших тригонометрических уравнений:  откуда получим: 
Ответ. 

Пример №630

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ: .

Учитывая, что , уравнение примет вид: . Разложим левую его часть на множители, получим: .

Уравнение равносильно совокупности уравнений (решите их самостоятельно):

Ответ. .
 

Пример №631

Решить уравнение: .

Решение. Если бы левая часть уравнения содержала множитель , то ее можно было привести к виду — , использовав 4 раза формулу . Поэтому умножим обе части уравнения на . Заметим, что этот прием обусловит появление посторонних корней вида , (решений уравнения ), так как умножение обеих частей на выражение, которое может быть равно нулю, не является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, если , то есть , левая часть исходного уравнения равна 1 или –1 соответственно для четных и нечетных , то есть не равна правой части. Поэтому, решая уравнение указанным методом, из полученных решений надо исключить те, при которых выражение, на которое мы умножили, равно нулю, то есть числа . Итак, после умножения на обеих частей уравнения, получим: . Переписав его в виде: , разложим левую часть на множители: и получим:       .

Далее из полученных корней удалим посторонние.

1) Пусть , то есть , но — целое,  — четное число и .

2) Пусть  , то есть . Тогда , то есть . Поскольку  — целое, то  — нечетное число. Тогда , то есть .

Итак, ; .

Ответ. .

Однородные тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение вида , где и — числа, , , называют однородным тригонометрическим уравнением 1-го порядка относительно и , так как каждый из этих слагаемых содержится в уравнении в первой степени. Уравнение сводят к простейшему делением обеих его частей на при . При этом потери корней не произойдет, поскольку значения , при которых , не являются корнями уравнения. Действительно, если , то уравнение примет вид . Поскольку , то тогда . Но не существует таких значений , что . Итак, если разделить обе части уравнения  на , получим равносильно ему уравнение: , которое является простейшим.

Пример №632

Решить уравнение: .

Решение. Поделим обе части уравнения на , получим: ; то есть . Имеем уравнение , откуда , .

Ответ. .

Тригонометрическое уравнение вида , где , , — числа, из которых хотя бы два отличных от нуля, называют однородным тригонометрическим уравнением 2-го порядка относительно и . Каждое слагаемое в уравнении — второй степени.

Если , то уравнение решают, поделив предварительно обе его части на (при условии ) с последующей заменой , при этом потери корней (по аналогии с однородным уравнением 1-го порядка) не произойдет. Если же , то выносим за скобки и применяем прием, известный нам из предыдущего пункта.

Пример №633

Решить уравнение: .

Решение. Те значения , при которых , не являются корнями уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на , корней не потеряем. Имеем: .

Получили уравнение: . Замена: . Имеем: , откуда . Возвращаемся к замене:

1), тогда, то есть , следовательно, .

2) , тогда , то есть , следовательно, 

Ответ. .

Среди тригонометрических уравнений случаются уравнения, вид которых отличается от упомянутого выше, но их можно привести к однородному уравнению. Для этого часто применяют формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Рассмотрим пример такого уравнения.

Пример №634

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , а , уравнение принимает вид: , а после упрощений получим однородное уравнение 2-го порядка: .

Далее решаем уравнение, как в предыдущем примере (решите самостоятельно).

Ответ. .

Уравнения вида , где

Один из способов решения такого уравнения — это метод вспомогательного угла.

Рассмотрим еще один способ решения уравнений такого типа. Он заключается в приведении этого уравнения к однородному с помощью формул двойного угла и основного тригонометрического тождества.

Рассмотрим этот способ на примере.

Пример №635

Решить уравнение: .

Решение. Поскольку ; ; , получим: . После упрощений получим однородное уравнение 2-го порядка: . Решив его как однородное уравнение 2-го порядка (сделайте это самостоятельно), получим корни .

Ответ. .

Пример №636

Найти корни уравнения: .

Решение. Воспользуемся методом вспомогательного угла. Поскольку  , поделим обе части уравнения на 13. Получим: . Поскольку правая часть уравнения содержит функцию синуса, выражение в левой части также приведем к функции синуса. Пусть , . Имеем: . Применим в левой части формулу сложения, получим: . Это уравнение можно решить или разложением на множители, или применить условие равенства двух одноименных функций (как в ранее рассмотренном примере). Запишем для полученного уравнения условие равенства двух синусов:  , имеем совокупность двух линейных уравнений с переменной (решите их самостоятельно). 

Ответ. ; , где .

Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Под универсальной тригонометрической подстановкой понимают запись основных тригонометрических функций через тангенс половинного угла: ; ; ; .

Следует помнить, что применение этих формул в уравнении сужает его ОДЗ на множество . Поэтому перед применением формул надо проверить, не являются ли числа этого множества корнями уравнения.

Пример №637

Решить уравнение .

Решение. ОДЗ уравнения — все действительные числа, кроме чисел , поэтому эти числа не могут быть корнями данного уравнения.

Применим формулу:  и замену:

Имеем уравнение: , откуда . Возвращаемся к замене: . Тогда.

Ответ. .

Пример №638

Решить уравнение .

Решение. После применения формулы ОДЗ уравнения сужается на множество , но эти цифры не являются корнями уравнения (проверьте самостоятельно). Применяя указанную формулу и замену  , получим ; откуда . Возвращаемся к замене: . Тогда .

Ответ. 

Тригонометрические уравнения с параметрами

Ранее мы уже рассматривали некоторые тригонометрические уравнения с параметрами. Рассмотрим несколько более сложных упражнений.

Пример №639

Для всех значений параметра решить уравнение: .

Решение. Перепишем уравнение в виде: . Введем вспомогательный угол. Для этого разделим обе части уравнения на , поскольку . Имеем: , то есть . Получили уравнение: Поскольку , то:

1) если , то есть или , корней нет;

2) если , то есть . Тогда , следовательно, .

Ответ. Если или , то решений нет; если , то .

Пример №640

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение не имеет решений.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

Получили уравнение: перепишем его в виде: .

1) Если , то имеем уравнение: , которое решений не имеет.

2) Если , то .

Поскольку , то по условию задачи необходимо выполнение одного из двух условий: или .

Из первого неравенства получим, что , а из второго, что или (решите неравенства самостоятельно). Итак, окончательно получим, что условие задачи удовлетворяют следующие значения параметра: или .

Ответ.  или .

Тригонометрические неравенства

• Неравенство, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называют тригонометрическим неравенством.

Тригонометрическими являются, например, неравенства:  , , и тому подобное.

Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими называют неравенства вида , , , и те, которые получим, если в них знак заменим на один из знаков ,  или . Общие формулы для решения этих неравенств достаточно громоздкие. Поэтому рассмотрим методы решения неравенств на примерах. Для наглядности будем использовать единичную окружность, линии тангенса и котангенса.

Пример №641

Решить неравенство .

Решение.  — это ордината точки единичного круга, соответствует углу . Обозначим на единичной окружности все точки, ординаты которых больше   — они лежат выше прямой  (рис. 31.1). Множество всех таких точек образует дугу . Если двигаться вдоль этой дуги против часовой стрелки, то есть в положительном направлении откладывания углов, то первая точка дуги соответствует углу , а последняя — углу .

                     Рис. 31.1

Каждый из этих углов является решением неравенства, поскольку неравенство нестрогого знака. Неравенство удовлетворяют все значения , точки которых принадлежат дуге : .

Функция синуса является периодической с наименьшим положительным периодом , поэтому множество всех решений неравенства имеет вид: .

Ответ. .

Ответ можно записать и в виде промежутка: .

Пример №642

Решить неравенство: .

Решение. Пусть . Имеем неравенство: . Обозначим на единичной окружности дугой все точки, ординаты которых меньше , это точки дуги , которые лежат ниже прямой (рис. 31.2). Если двигаться вдоль дуги в положительном направлении, то первая точка дуги соответствует углу , а последняя — углу .

                        Рис. 31.2

Концы дуги будут «пустыми», поскольку неравенство строгого знака. Решения неравенства — все углы , которым соответствуют точки, лежащие на дуге между точками и .  Учитывая периодичность синуса, имеем: . Возвращаемся к переменной : . Разделим все части полученного неравенства на 2, получим: .

Ответ..

Пример №643

Решить неравенство: .

Решение.  — это абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу . Обозначим на единичной окружности все точки, абсциссы которых меньше .  Эти точки лежат на дуге единичной окружности слева от прямой (рис. 31.3). 

                       Рис. 31.3

Первая точка дуги соответствует углу , а последняя — углу . Решениями неравенства являются все углы, которым соответствуют точки этой дуги, включая ее концы. Учитывая периодичность косинуса, имеем: .

Ответ. .

Пример №644

Решить неравенство: .

Решение. Пусть , имеем неравенство: .

Обозначим на единичной окружности все точки, абсциссы которых больше , то есть больше 0,5. Все они лежат на дуге , первая точка которой соответствует углу , а последняя (рис. 31.4). Все углы, лежащие между этими двумя углами, являются решениями неравенства.

            Рис. 31.4

Итак, имеем: . Возвращаемся к переменной :

, получим .

Ответ. .

Пример №645

Решить неравенство .

Решение. Период функции тангенс равен , поэтому сначала найдем решения неравенства на промежутке затем используем периодичность. Проведем линию тангенсов, — это ордината точки на линии тангенсов, что соответствует углу . Обозначим на линии тангенсов точку, ордината которой равна (рис. 31.5). Эта точка соответствует углу , а точки линии тангенсов, у которых ординаты меньше , соответствуют углам от  до .

             Рис. 31.5

Заметим, что угол будет решением неравенства, поскольку оно нестрогое, а угол  — не будет, поскольку не существует.

Итак, на промежутке  имеем решения неравенства: . Учитывая периодичность, окончательно получим: .

Ответ. .

Пример №646

Решить неравенство: .

Решение. Используя рисунок 31.5 и периодичность, имеем: .

Ответ.

Пример №647

Решить неравенство .

Решение. Используя линию котангенсов, получим решения неравенства на промежутке : (рис. 31.6).

               Рис. 31.6

Далее используем периодичность: . 

Ответ. .

Тригонометрические неравенства, приводящиеся к простейшим

Неравенства, отличные от простейших, можно привести к простейшим с помощью тригонометрических формул.

Пример №648

Решить неравенство: .

Решение. Упростим левую часть неравенства:. Получим неравенство , которое заменой приводится к простейшему: .

Тогда (рис. 31.7).

              Рис. 31.7

Возвращаясь к переменной , получим: . Итак, .

Ответ. 

Решение тригонометрических неравенств с помощью замены переменной

Как и тригонометрические уравнения, некоторые тригонометрические неравенства можно решить с помощью введения новой переменной.

Пример №649

Решить неравенство: .

Решение. Перенесем все слагаемые в правую часть неравенства и упростим полученное выражение: . Получим неравенство: . Замена: .

Имеем , то есть .

                          Рис. 31.8

Решая последнее неравенство (рис. 31.8), получим совокупность:   то есть для :  

Покажем на единичной окружности множество точек этой совокупности (рис. 31.9). С учетом периодичности имеем: .

                   Рис. 31.9

Ответ. .

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

Решая неравенство (или , , ), где — тригонометрическое выражение, не всегда можно свести его к одному из вышеупомянутых видов неравенств. В таком случае решить неравенство можно универсальным методом — методом интервалов.

• Алгоритм применения метода интервалов для решения тригонометрических неравенств может быть таким:

1. представить выражение в виде суммы тригонометрических функций в первой степени;
2. найти T — период , им будет наименьшее общее кратное периодов каждого из слагаемых;
3. решить уравнение на промежутке длиной T (лучше, когда концами этого промежутка будут нули функции , что в дальнейшем позволит компактнее записать ответ);
4. разбить промежуток T областью определения и нулями функции на конечное число промежутков и найти знак на каждом из них;
5. в зависимости от найденных знаков с учетом периодичности записать ответ.

Пример №650

Решить неравенство: .

Решение. Преобразуем левую часть неравенства: . Итак, имеем неравенство: . Наименьшим положительным периодом функции  является , а функции  является  . Поэтому наименьшим положительным периодом функции  является . Рассмотрим это неравенство на промежутке длиной . Для того чтобы выбрать «удобный» промежуток, сначала найдем нули функции, решив уравнение способом разложения на множители. Имеем: то есть . Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
откуда  следовательно, имеем множество нулей функции :  

Рассмотрим промежуток  длиной . Ему принадлежат 4 нуля функции: .

Обозначим их на числовой оси.

                       Рис. 3.10

Определим знак функции на каждом из полученных промежутков, подставляя в  по одному значению из каждого промежутка (рис. 31.10).

Прибавляя к полученным промежуткам период имеем множество решений неравенства: .

Ответ. .

Предел и непрерывность функции. Производная и ее применение

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — это величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Понятие предела последовательности

В 9 классе вы уже ознакомились с числовыми последовательностями. Числовую последовательность можно записывать в виде ряда цифр:  или с помощью общей формулы , где — -й член последовательности, .

Примерами числовых последовательностей являются арифметическая прогрессия, -й член которой задают формулой  , где — первый член последовательности, — ее разность, и геометрическая прогрессия, -й член которой задают формуле , где — первый член последовательности, — ее знаменатель.

Пример №651

Рассмотрим последовательность, которая задана формулой . Тогда 

Очевидно, что для любого выполняется неравенство и с увеличением числа значение стремится к нулю.

В таком случае говорят, что пределом числовой последовательности является число 0. Для записи этого факта используют понятие предела и обозначения , а именно:  (читают: «предел  при , стремящемся к бесконечности, равен нулю»).

Обозначение пришло в математику от латинского слова , что означает предел.

В общем случае запись значит, что пределом числовой последовательности является число .

Определение предела

Сначала рассмотрим функцию последовательности части числа.

Целая часть действительного числа — это наибольшее целое число, не превышающее . Целую часть числа  обозначают символом .

Например, ; ; ; .

Вернемся к примеру. Рассмотрим некоторое произвольное число и покажем, что найдется такое значение , что для всех модуль разности между значением и пределом числовой последовательности будет меньше .

Имеем:  или , то есть . Учитывая, что , получим . Обозначим . Тогда для всех будет выполняться неравенство .

Так, например, если , то .

Поэтому для всех значений имеем: , то есть все члены последовательности  будут лежать на расстоянии менее от предела числовой последовательности — числа 0.

Переходим к определению предела числовой последовательности.

• число A называют пределом числовой последовательности , если для любого   найдется такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство .

Это записывают так: .

Пример №652

Доказать, что , где , .

Доказательство. Докажем, что для любого найдется такое натуральное число , что для всех  выполняется неравенство: . Имеем: , то есть .

Итак, существует число , что для всех  выполняется неравенство: . 

Заметим, что таким же образом можно доказать, что , где и — некоторые числа. 

Пример №653

Доказать, что , где , .

Доказательство. Докажем, что для любого  найдется такое число , что для всех выполняется неравенство . Имеем: , то есть  . Итак, существует число , что для всех выполняется неравенство . 

Заметим, что таким же образом можно доказать, что , где и — некоторые числа.

Основные теоремы о пределах последовательностей

Рассмотрим правила вычисления пределов последовательностей.

• Теорема 1. Если последовательности и имеют пределы, то существуют предел их суммы, разности и произведения, причем ; .
• Теорема 2. Если последовательности  и имеют пределы, причем , то существует предел их частного, причем .
• Теорема 3. , где С — любое число. 
• Теорема 4. Если последовательность имеет предел, то имеет предел и последовательность , где — число, , причем . 

Примем эти теоремы без доказательства.

Пример №654

Вычислить .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на в самой высокой для этой дроби степени, то есть на . Получим: .

По теоремам о пределах и из вышеприведенных примеров получим: .

Ответ. 2.

Пример №655

Вычислить .

Решение. В числителе дроби имеем сумму первых членов арифметической прогрессии. Поэтому .

Итак, имеем: .

Поделим числитель и знаменатель дроби на и используем теоремы о пределах: .

Ответ. 0.

Пример №656

Вычислить .

Решение. Преобразуем выражение в скобках, помножив и поделив его на сопряженное ему выражение: .

Тогда: .

Ответ. 0.

Понятие предела функции на бесконечности

Кроме предела последовательности на бесконечности в математике также рассматривают предел функции на бесконечности, то есть .

• Число B называют пределом функции на бесконечности, если функция определена для всех достаточно больших по модулю значений x и для любого найдется такое число , что для всех x, удовлетворяющие условие , справедливо неравенство: .

Это записывают так: .

Правила вычисления пределов функций на бесконечности такие же, как и для пределов последовательностей.

Пример №657

.

Предел и непрерывность функции в точке

Понятие предела функции в точке

Пример №658

Рассмотрим функцию . Найдем значение этой функции в точке , имеем: . Составим таблицу значений функции в точках, которые на числовой прямой лежат достаточно близко к числу 3.

Из таблицы замечаем, что чем ближе аргумент x к числу 3, тем ближе значение функции к числу 2.

Говорят, что если аргумент стремится к числу 3 (обозначают так: ), то значение функции стремится к числу 2 (обозначают так: ). Для записи этого факта используют обозначение , а именно: (читают:  «предел  при x, стремящемся к 3, равен 2»). Число 2 при этом называют пределом функции в точке 3.

В общем случае запись значит, что пределом функции в точке является число .

Заметим, что в данном примере предел функции в точке 3 равен значению функции в этой точке 3. В таком случае говорят, что функция непрерывна в точке 3. 

• Функцию называют непрерывной в точке , если функция имеет значение в этой точке и выполняется равенство .

Заметим, что все известные нам ранее функции являются непрерывными в каждой точке своей области определения.

Например, функция непрерывная для всех значений (говорят, что такая функция непрерывна на ), а функция  непрерывная для всех значений x, за исключением значения . В таком случае говорят, что функция непрерывна на каждом из промежутков  и , а в точке имеет разрыв. Точка является точкой разрыва функции .

• Функцию называют непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Несмотря на то, что функция  в точке  имеет разрыв, предел функции в этой точке найти можно.

Пример №659

Рассмотрим функцию . Значения этой функции в точке не существует. Составим таблицу значений в точках, на числовой прямой расположенных достаточно близко к числу 2.

Итак, чем ближе аргумент x к числу 2, тем ближе значение функции к числу 4, поэтому .

К такому выводу можно прийти, рассмотрев график функции . Областью определения функции есть все значения x, за исключением числа 2. На области определения  .Поэтому графиком функции является прямая с «пустой» точкой  (рис. 33.1). Из графика видно, что при приближении аргумента к числу 2 значения функции приближается к числу 4.

       Рис. 33.1

Определение предела функции в точке

Вернемся к примеру. Запись означает, что точка x находится от точки 3 на незначительном расстоянии, например на расстоянии менее какого-то положительного числа . Это можно записать так: , учитывая, что расстояние между точками x и 3 на координатной прямой записывают как . Заметим, что запись  означает, что x стремится к числу 3, но не обязательно достигает этого значения, поэтому в определении предела в точке не рассматривают значение функции в этой точке.

Запись означает, что значение функции при условии, что , находится на незначительном расстоянии от числа 2, например на расстоянии менее некоторого положительного числа , то есть . Для любого можно найти такое значение , что для всех x таких, что и , будет выполняться неравенство:  . Действительно, пусть, например, , тогда . Поскольку , имеем: , то есть . Итак, .

Есть определение предела функции в точке

• число A называют пределом функции при   если для любого найдется такое число , что при всех таких, что , справедливо неравенство: .

Пример №660

Доказать по определению, что .

Решение. Рассмотрим такое, что . Имеем: \, то есть , следовательно, . Пусть , тогда . Следовательно, для любого нашлось такое , что для всех значений x таких, что и которые удовлетворяют условие , справедливо неравенство: . Итак, по определению, .

Заметим, что поскольку функция является непрерывной на , и в частности в точке 1, то значение предела можно будет найти без использование определения, так: .

Правила вычисления предела функции в точке

Рассмотрим основные правила вычисления предела в точке, которые примем без доказательства.

• Теорема 1. .
• Теорема 2. Если функции и имеют предел в точке , то существуют пределы их сумы, разности и произведения в этой точке, причем ; ; 
• Теорема 3. , где С — произвольное число. 
• Теорема 4. Если существует предел функции в точке , то в этой точке существует предел функции , где — некоторое число, , причем .
• Теорема 5. Если функции и имеют пределы в точке , причем предел функции отличается от нуля, то существует предел частного функций , причем .

Эти теоремы используют для вычисления пределов.

Пример №661

Вычислить предел: 1) ; 2) .

Решение. 1) 1-й способ. .

2-й способ. Поскольку функция непрерывная для , и в частности в точке 5, то .

2) Значение функции  в точке –2 существует, , поэтому функция в этой точке непрерывная. Итак, .

Ответ. 1)22; 2) 4.

Из упомянутых выше теорем и примеров можно сделать вывод:

• если существует значение функции в точке и функция в этой точке непрерывна, то .

Пример №662

Вычислить .
 
Решение. Значение выражения при не существует. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: . Поскольку , но , то полученную дробь можно сократить на , после чего получим дробь , для которого значение в точке существует. Итак, имеем:.

Ответ. 2.

Из теорем и примеров, которые мы рассмотрели, можно сделать вывод, что

если функции  и  непрерывные в точке , то сумма, произведение и частное функций также непрерывные в точке (для частного лишь при условии ).

Бесконечный предел функции

Мы уже рассмотрели конечные пределы при или , где — число. Однако в математике рассматривают также и понятие бесконечного предела.

Например, функция , график которой изображен на рисунке 33.2, определена для всех . Но если , то функция принимает сколько угодно большие значения. Говорят, что функция в точке имеет бесконечный предел, и записывают это так: .

          Рис. 33.2

Сформулируем определение бесконечного предела.

• Будем считать, что , если для произвольного числа существует такое число , что для всех x таких, что , выполняется неравенство: .

Пример №663

Доказать, что , где — рациональное число.

Доказательство. Докажем, что для произвольного числа существует такое число , что для всех x таких, что , выполняется неравенство: . Имеем , то есть . Итак, для произвольного числа существует такое  для всех x таких, что , справедливо неравенство: .

Так же можно доказать, что ; , где и — любые числа, , — рациональное число.

В математике также рассматривают понятие бесконечного предела на бесконечности, то есть предела вида .

• Будем считать, что , если для произвольного числа существует такое число , что для всех x, таких, что, оправдывается неравенство: .

Например, ; .

Пример №664

Найти предел .

Решение. Поскольку и , то говорится, что имеем неопределенность типа . Для вычисления этого предела поделим числитель и знаменатель на x в высшем степени — на : .

Но  и , поэтому .

Ответ. . 

Производная функции. Производные простейших функций

Приращение аргумента и приращение функции

На практике нас часто интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Приращение величины обозначают заглавной буквой греческого алфавита (дельта). Рассмотрим понятие приращения для функции.

Сначала рассмотрим понятие приращения аргумента. Пусть — некоторое фиксированное значение аргумента, а x — некоторое произвольное его значение.

• Разность  называют приращением аргумента (независимой переменной) в точке и обозначают (читают: «дельта икс»).

Итак, , отсюда .

Заметим, что значение может быть как положительным, так и отрицательным. Понятно, что когда , то , а когда , то (рис. 34.1).

              Рис. 34.1

Рассмотрим значение функции в точках и , то есть и . Значение функции изменилось при переходе от точки к точке на значение .

• Разность  называют приращением функции в точке и обозначают (читают: «дельта эф»).

Поскольку , , откуда (рис. 34.2).

                          Рис. 34.2

Пример №665

Найти приращение функции в точке , что соответствует приращению аргумента .

Решение. . Так , то .  Тогда .

Ответ. 0,3.

Производная функции

Для функции понятие производной является одним из важнейших понятий математического анализа. С помощью производной можно исследовать свойства функций, находить их наибольшее и наименьшее значения на промежутке и тому подобное. Производную применяют в физике, экономике, других науках.

• Предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента , когда , называют производной функции в точке .

Производную обозначают так: (читают: « штрих в точке ») или так: (читают:« штрих в точке  »). Определение производной в виде формулы можно записать так: .

Если учесть, что , то .

Функцию , имеющую производную в точке , называют дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке. Действие нахождения производной называют дифференцированием функции.

Найти производную функции в точке по определению можно по следующему алгоритму:

1) найти приращение функции ,  соответствующую приращению аргумента ;
2) найти отношение  и упростить его,
3) найти предел .

Пример №666

Найти производную функции в точке .

Решение. 1)

2).

3) .

Ответ. .

Пример №667

Имеет ли функция  производную в точке ? В случае положительного ответа, найти .

Решение. Имеем: . Поскольку функция для различных значений аргумента задана различными формулами: для — одной формулой, а для — другой, и дать ответ о существовании производной нужно именно в точке , то при решении задачи надо рассмотреть два случая и .

Если , то . Тогда .

Если , то . Тогда .
Итак, в обоих случаях , то есть  существует и .

Ответ. имеет; .

Производные простых функций

Поскольку для каждого значения значение или единственное, или вообще не существует, будем рассматривать производную  как функцию от .

Для некоторых функций можно найти формулы их производных. Это позволит находить производную функции в точке не по определению, а по формуле.

Найдем формулы производных некоторых простейших функций по определению, заменив в предложенном выше алгоритме на .

Пример №668

Пусть , где — число. Тогда по алгоритму: 1) ; 2) ; 3) .

Итак, .

Пример №669

Пусть . Тогда: 1) ;

2) ;

3) .

Следовательно, .

Пример №670

Пусть . Тогда:
1) ;

2)

3).

Следовательно, . 

Аналогично можно найти производные и других функций школьного курса математики.

Советуем запомнить производные функций, которые часто используются в курсе алгебры и начала анализа:

• 

Обратите внимание, что производная функции — это также функция, а производная функции в точке — это число. Значит, теперь, зная формулы производных, производные функций в точках можно вычислять значительно проще, чем по определению. Для этого достаточно в формулу производной функции подставить данную точку и выполнить вычисления.

Пример №671

Дана функция . Найти .

Решение. Известно, что производной функции  является функция . Тогда .

Ответ. ; .

Физический и геометрический смысл производной

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию производной.

Средняя и мгновенная скорости движения точки по прямой

Пусть точка движется по прямой, и известны ее координаты в момент времени . За интервал времени от до  точка преодолеет расстояние . Тогда среднюю скорость движения за это время можно определить по формуле .

Заметим, что если , то рассматривают интервал времени от , а соответствующее расстояние в этом случае равно . Тогда .

Итак, в обоих случаях средняя скорость точки, которая движется вдоль прямой, равна .

В каждый момент времени точка движется с определенной скоростью. Выясним, как найти мгновенную скорость движения в момент времени . Естественно предположить, что когда достаточно мало, то за этот интервал времени скорость практически не изменится, то есть средняя скорость по данный момент времени практически не будет отличаться от мгновенной скорости . Поэтому, чтобы найти мгновенную скорость, сначала найдем среднюю скорость , а далее — предел средней скорости при условии, что . Таким образом, .

Правая часть этого равенства является, по определению, производной функции в точке , то есть . Имеем:

• мгновенная скорость определена для любой дифференцируемой функции и при этом .

или коротко:

• производная от координаты по времени является скоростью.

В этом заключается физический смысл производной.

Рассуждая аналогично, можно показать, что

• производная от скорости по времени является ускорением.

Пример №672

Тело движется прямолинейно по закону  ( измеряется в метрах, — в секундах). Найти скорость точки в момент времени .

Решение. Поскольку  и , то .

Ответ. 10 м/с.

Касательная к графику функции

Рассмотрим график функции . Прямую , проходящую через любые две точки графика функции , называют секущей к этому графику (рис. 35.1). Из курса геометрии известно, что угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол  , равен . Используя понятие приращений функции и аргумента, это удобно записать так: .

• Касательной в точке к графику функции называют предельное положение секущей, проходящей через эту точку, когда .

                                      Рис. 35.1

На рисунке 35.1 прямая — касательная к графику функции , проведенная в точке . Для прямой имеем: . Поскольку , то . Значит, 

• угловой коэффициент касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой , равняется производной функции в этой точке: .

В этом заключается геометрический смысл производной.

Поскольку , где — угол, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс, то когда , угол — острый, а когда , то , то есть касательная параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), а в случае угол — тупой.

Пример №673

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции , в точке с абсциссой .

Решение, . Поскольку и , то .

Ответ. k = .

Пример №674

Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции , проведенной в точке .

Решение. . Пусть — угол наклона касательной оси абсцисс.

Поскольку и , то .

Ответ. 0,25.

Пример №675

На рисунке 35.2 изображен график функции , определенной на промежутке . Прямая — касательная к графику функции.

1) Используя график, найдите .

2) Укажите точки , для которых .

                   Рис. 35.2

Решение.

1) Прямая в точке с абсциссой образует с положительным направлением оси абсцисс угол . Поэтому .

2) Поскольку, то — абсцисса тех точек графика функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней). Это точки и (рис. 35.3).

                   Рис. 35.3

Ответ. 1) ; 2) .

Уравнение касательной к графику функции

Пусть — уравнение касательной к графику функции в точке . Поскольку , то уравнение касательной приобретает вид:. Поскольку касательная проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной, то есть , откуда .

Итак, зная и  , можем записать уравнение касательной к графику функции    в точке с абсциссой : , то есть

• 

Пример №676

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Решение. Имеем: ; ; . Подставим полученные значения в уравнение касательной, получим: . Упростив выражение в этом уравнении, получим: .

Ответ. .

Правила дифференцирования. Таблица производных

В этой лекции рассмотрим основные правила дифференцирования и производные степенных и тригонометрических функций. Для упрощения записей вместо ;  ; ;  и т. д. будем писать ; ; ,  и тому подобное.

Основные правила дифференцирования

Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда их сумма и разность также дифференцируемы в точке .

• Правило 1. (производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных).

Доказательство. Пусть . Тогда: 1)

2)
3)

Аналогично можно доказать, что . Следовательно, .

• Следствие. Производная суммы трех и более слагаемых равна сумме производных:

Пример №677

1) .

2) .

Рассмотрим правило дифференцирования произведения.

• Правило 2. 

Примем этот факт без доказательства.

• Следствие. , где — постоянная (постоянный множитель можно выносить за знак производной).

Доказательство. . 

Пример №678

 .

.

Пример №679

Найти уравнение касательной к графику функции , которая проходит через точку .

Решение. Поскольку , то точка не принадлежит графику данной функции. Пусть — точка касания, тогда . Поскольку , то .

В уравнении касательной подставим полученные для и выражения: . Поскольку точка принадлежит касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной, имеем: , или после упрощений: . Отсюда или .

Итак, таких касательных будет две.

1) Если , имеем уравнение касательной: , то есть

2)Если , имеем уравнение касательной: , то есть .

Ответ, .

Рассмотрим правило дифференцирования частного.

• Правило 3. 

Доказательство. Можно доказать тем же способом, которым доказали правило 1, но используем другой способ.

Пусть , откуда , поэтому . Тогда , то есть, . 

Пример №680

.

Производная степенной функции

Мы знаем, что ; . По формуле производной произведения: . Аналогично: .

Можно заметить следующую закономерность для натурального : .

Примем этот факт без доказательства.

Пусть теперь , где — целое отрицательное число. Тогда — число натуральное. Имеем: .

Следовательно, в этом случае также . Имеем:

• для любого целого n и любого x ( при ): .

Производную степенной функции с дробным показателем находят по этой же формуле (подробно об этом в 11 классе).

Пример №681

 

.

Пример №682

Найти производную функции в точке .

Решение. Поскольку , то . Тогда .

Ответ. –6.

Производные тригонометрических функций

Чтобы доказать формулы для производных синуса и косинуса, рассмотрим . Составим таблицу значений функции  для точек, близких к точке 0, с точностью (при этом можно использовать калькулятор или компьютер).

Анализируя значения в таблице, имеем: .

• Теорема 1 (производная синуса). Для  .

Доказательство. Пусть, тогда: 

1)
2) 

3)

Если , то , а потому , а .
Следовательно, .

• Теорема 2 (производная косинуса). Для каждого  

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 1.

• Теорема 3 (производная тангенса). Для каждого x из области определения функции тангенса  .

Доказательство. Учитывая, что  по формуле производной частного имеем: .

Итак, . 

• Теорема 4 (производная котангенса). Для каждого x из области определения функции котангенса  .

Доказательство аналогичное доказательству теоремы 3.

Пример №683

 .

Пример №684

Для функции найти  .
Решение. .

 

Ответ. 2.

Пример №685

Решить уравнение: , если .

Решение. 1) .

2) Есть уравнения: ; ;.

Ответ. .

Таблица производных

Систематизируем полученные производные функции в таблице, которую принято называть таблицей производных.

Производная сложной функции

Вы уже умеете находить производные функций, аргументами которых является переменная x, например, ; ; . Как найти производные функций, аргументами которых являются другие функции, например ;  и т. п., называемые сложными.

Сложная ​​функция

Пусть надо вычислить значение функции в точке . Обычно, сначала вычисляют значение выражения для , то есть , а затем из полученного числа добывают арифметический квадратный корень, то есть . Итак, .

Если обозначить , , то .

В таком случае говорят, что — сложная функция, а — ее внутренняя функция (или промежуточный аргумент).

Например, для функции  внутренней функцией является ; а для функции (которую еще можно записать так: ) внутренней функцией является .

Производная сложной функции:

• Теорема 1 (производная сложной функции). Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке x, причем .

Доказательство. Так как по условию функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. То есть для незначительного изменения аргумента в точке  соответствующее значение функции также почти не меняется, то есть при имеем: .

Из равенства получим: . Тогда . Пусть некоторой окрестности точки . Тогда можно записать так: 
При  будем иметь , а при будет .

Следовательно, при (и соответственно ) имеем: . 

Пример №686

Найти производную функции: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.
1) .

2) .

3) .

Пример №687

Найти производную функции .

Решение. Это сложная ​​функция , где . Тогда . Можно записывать кратко: .

Ответ. .

Пример №688

Найти производную функции .

Решение. Это сложная ​​функция , где . Тогда .

Ответ. . 

Пример №689

Найти производную функции .

Решение, , то есть , где . Итак, .

Ответ. .

Пример №690

На графике функции найти точку, в которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол .

Решение. 1)  — сложная функция. Тогда .

2) Пусть — абсцисса искомой точки, тогда , то есть . Имеем: , откуда , тогда , значит  — искомая точка.

Ответ. (0; 1).

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции

Из всех способов задания функции наиболее наглядным является график. В предыдущих классах вы научились «читать» графики, то есть определять свойства функции по ее графику.

С помощью производной можно решать обратную задачу: строить график функции, зная ее свойства.

Одна из основных задач при исследовании функции и построения ее графика — это нахождение промежутков возрастания, убывания и постоянства функции. Такое исследование можно провести с помощью производной.

Напомним, что

• функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции;
• функцию называют убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, еще называют промежутками монотонности.

На рисунке 38.1 изображен график возрастающей на промежутке функции . В какой бы точке этого промежутка мы не провели касательную к графику функции, угол , который она будет образовывать с положительным направлением оси абсцисс, будет острый. Поскольку — острый, то . Но , где — абсцисса точки касания, поэтому для любой точки выполняется неравенство .

                       Рис. 38.1

На рисунке 38.2 изображен график убывающей на промежутке функции . В каждой точке этого промежутка касательная к графику функции образовывает с положительным направлением оси абсцисс угол , который является тупым. Поскольку — тупой, то и поэтому для каждой точки .

                       Рис. 38.2

Итак, зная, возрастает или убывает функция на определенном промежутке, можно определить знак производной на этом промежутке. А можно и наоборот: по знаку производной функции на промежутке определить, возрастает эта функция, убывает или постоянная на этом промежутке.

• Теорема 1 (признак постоянства функции). Функция является постоянной на промежутке тогда и только тогда, когда для каждого x из этого промежутка.

• Теорема 2 (признак возрастания, убывания функции). Если  в каждой точке промежутка , то функция возрастает на . Если в каждой точке промежутка , то функция  убывает на .

Строгие доказательства этих теорем являются достаточно громоздкими, поэтому мы их не приводим. Заметим лишь, что теорему 1 еще называют необходимым и достаточным условием монотонности функции, а теорему 2 — достаточным условием возрастания или убывания функции.

Пример №691

Найти промежутки возрастания и убывания функции: 1) ; 2) .

Решение. 1) По теореме 2, чтобы найти промежутки возрастания функции, надо решить неравенство . Имеем: . Поскольку для всех значений x, то для всех значений x. Следовательно, функция возрастает на всей области определения, то есть на .

2) Имеем: . Но , поэтому для всех значений x, то есть для всех значений x. Следовательно, функция убывает на всей области определения, то есть на .

Ответ. 1) Возрастает на ; 2) убывает на .

На рисунке 38.3 схематично изображен график функции .

  Рис. 38.3

Поскольку , то , когда , то есть при , и , когда , то есть при .

Таким образом, на функция убывает, на функция возрастает, что подтверждается графиком. В точке , разделяющей два промежутка, на одном из которых функция убывает, а на другом возрастает, производная равна нулю: .

На рисунке 38.4 схематично изображен график функции .

  Рис. 38.4

Поскольку , то  , когда , то есть когда , а значит, при , и , когда . Таким образом, на функция возрастает на убывает, что подтверждается графиком. В точке , разделяющей эти два промежутка, производная не существует.

Итак, можем предположить, что два соседних промежутки, на одном из которых функция возрастает, а на другом убывает, могут разделяться точкой, в которой производная или не существует, или равна нулю. Если такая точка принадлежит области определения функции, то ее называют критической.

• Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, для которых производная функции не существует или равна нулю.

Для функции точка  является критической, а для  — нет, поскольку не принадлежит области определения. Итак, точки, не принадлежащие области определения, также могут делить график на промежутки, на одном из которых функция возрастает, а на другом убывает.

Исходя из приведенных соображений, можно сформулировать алгоритм исследования функции  на возрастание и убывание:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Критические точки функции.
4. Разделить найденными критическими точками область определения функции на промежутки и выяснить знак производной на каждом из них (для этого достаточно определить знак производной в одной произвольной точке промежутка).
5. По знаку производной определить промежутки возрастания и убывания функции.

Заметим, что если функция непрерывна в точке, являющейся концом промежутка возрастания или убывания, то эту точку присоединяют к этому промежутку. Таким образом, можно утверждать, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке , поскольку в точке функция непрерывная. Промежутки возрастания и убывания функции остаются без изменений, поскольку в точке эта функция не является непрерывной (имеет разрыв, ведь не принадлежит области определения функции).

Рассмотрим упражнения на нахождение промежутков возрастания и убывания функции, используя вышеприведенный алгоритм. Критические точки будем обозначать закрашенными (их будем присоединять к промежуткам монотонности), а точки, не принадлежащие области определения функции, изобразим «пустыми» (они не могут быть присоединены к промежуткам монотонности). Символом будем обозначать возрастание, а символом — убывание функции на промежутке.

Пример №692

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. 1)

2) ,

3) Производная существует для всех . Чтобы найти критические точки, решим уравнение . Имеем: , откуда .

4) Обозначим критические точки на области определения функции и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 38.5). На промежутке выберем, например, точку , имеем: . На промежутке выберем, например, , тогда . На промежутке выберем точку , имеем: . 

        Рис. 38.5

5)Итак, функция возрастает на промежутках и , убывает на промежутке .

Ответ. Возрастает на промежутках и  , убывает на промежутке .

Пример №693

Найти промежутки монотонности функции  .
Решение. 1) .
2)
3) , то есть , тогда , — критические точки.

4) Обозначим эти точки на области определения функции и выясним знак производной (рис. 38.6) на каждом из промежутков (сделайте это самостоятельно).

                 Рис. 38.6

5) Функция возрастает на промежутках  и , убывает на промежутках и .

Ответ. и — промежутки возрастания, и — промежутки убывания.

Зная промежутки монотонности, можно решать некоторые задачи, связанные с нахождением корней уравнения (их количества; приближенного значения корня). 

Пример №694

Доказать, что уравнение имеет только один корень.

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную:. Очевидно, что для всех , то есть возрастает на . Тогда график функции может пересекать ось абсцисс не более чем в одной точке, соответственно и уравнение будет иметь не более одного корня. Легко заметить, что — корень уравнения, ведь . 

Если функция является возрастающей (убывающей) на промежутке и на концах этого промежутка приобретает числовые значения различных знаков, это означает, что график функции  на промежутке пересекает ось абсцисс только в одной точке (рис. 38.7 и рис. 38.8).

           

                Рис. 38.7                                            Рис. 38.8

Пример №695

Имеет ли уравнение корень на промежутке ?

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее промежутки монотонности. Имеем: .

Решим уравнение: , откуда — критическая точка. Функция возрастает на промежутке (рис. 38.9), а потому растет и на промежутке , что является его подмножеством. На концах промежутка значения функции имеют разные знаки: ; , следовательно, график функции на промежутке пересекает ось x, и поэтому на этом промежутке уравнение имеет корень.

     Рис. 38.9

Ответ. Да.

Пример №696

Найти все значения параметра , при которых функция является возрастающей для всех значений x.

Решение. ; . Чтобы функция  росла на , для всех значений x: имеет сбываться неравенство . Однако этого недостаточно. Поскольку функция непрерывна на , то ко множеству значений x, в которых функция возрастает (убывает), могут также принадлежать и критические точки этой функции. Таким образом, задача сводится к отысканию таких значений , при которых неравенство справедливо для всех значений x. Поскольку , сначала рассмотрим случай, когда . Для имеем, что для всех значений x. Итак, — удовлетворяет условию задачи, то есть является ее решением.

Если , то — квадратичная функция. Для она приобретает неотрицательные значения, если одновременно выполняются условия и (рис. 38.10 и 38.11).

           

     Рис. 38.7                                  Рис. 38.8

Имеем: . Следовательно, , откуда получим, что ;

Учитывая решение , имеем:

Ответ. .

Экстремумы функции

Для исследования функции и построения ее графика важно знать точки экстремума и экстремумы функции.

Экстремумы функции

Исследуя поведение функции вблизи некоторой точки, удобно пользоваться понятием окрестности точки.

• Окрестностью точки называют любой промежуток, содержащий эту точку.

Например, окрестностью точки 2 может быть как промежуток (1,9; 2,1), так и промежуток  (1,5; 2,5), окрестностью точки –3 — промежуток (–3,8; –2,2). 

Рассмотрим график функции , изображенный на рисунке 39.1. Видим, что существует такая окрестность точки –2, что для всех точек из этой окрестности функция принимает наибольшее значение именно в точке –2.

            Рис. 39.1

Такую точку называют точкой максимума функции, а значение функции в этой точке — максимумом функции.

• Точку называют точкой максимума функции , если для всех x из некоторой окрестности точки справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Будем обозначать точки максимума через , а максимумы функции — через  или . Итак, в вышеупомянутом примере: ; . 

Возвращаясь к рисунку 39.1, замечаем, что существует некоторая окрестность точки 1, что для всех точек из этого окрестности функция приобретает наименьшее значение именно в точке 1. Такую точку называют точкой минимума, а значение функции в этой точке — минимумом функции.

• Точку называют точкой минимума функции , если для всех x из некоторой окрестности точки  справедливо неравенство /. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Через  обозначают точки минимума, а через или , — минимумы функции. В нашем примере: , а .

Точки максимума и минимума вместе называют точками экстремума (от лат. еxtremum — крайний), а значение функции в этих точках — экстремумами функции.

Заметим, что поскольку в точке максимума (минимума) функция приобретает наибольшее (наименьшее) значения по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности, то точки максимума (минимума) называют еще локальными экстремумами.

Необходимое условие экстремума

Сформулируем важную теорему, которую называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма), в которой утверждается, что точками экстремума могут быть только критические точки функции.

• Теория Ферма (необходимое условие экстремума). Если точка  является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Примем этот факт без доказательства и заметим, что теорема Ферма является лишь необходимым условием экстремума.  Условие не обязательно означает, что х₀ — точка экстремума функции.

Пример №697

В частности, для функции (рис. 39.2) и , но — не является точкой экстремума.

    Рис. 39.2

Пример №698

Рассмотрим функцию (рис. 39.3), для которой — точка минимума. Выясним, имеет ли функция производную в точке . Для этого найдем : .

Итак, — не существует, а потому функция производной в точке не имеет.

     Рис. 39.3

Из теоремы Ферма на этом примере приходим к выводу, что

• точками экстремума могут быть только ее критические точки.

Поэтому, ища точки экстремума функции, в первую очередь надо найти ее критические точки. Но помнить, что не каждая критическая точка является точкой экстремума (как в примере).

Достаточное условие экстремума

Выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума, можно с помощью теоремы — достаточного условия существования экстремума.

• Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция непрерывна в точке и:

1.   на промежутке и на промежутке , то является точкой максимума функции;
2. на промежутке  и на промежутке , то является точкой минимума функции .

Доказательство. 1) Функция непрерывна в точке , на интервале , поэтому функция возрастает на и для всех .

На промежутке функция убывает (доказательство аналогичное), поэтому для всех .

Итак, для всех из промежутка , так как  — точка максимума функции .

2) Доказательство аналогично пункту 1).

Коротко эту теорему можно переформулировать так.

• если в точке производная меняет знак с на (двигаясь в направлении возрастания x), то — точка максимума (рис. 39.4), а если с на , то точка — точка минимума (рис. 39.5).

Если изменения знаков не произошло (рис. 39.6 и 39.7), то  не является точкой экстремума.

Таким образом, можно сделать вывод, что задачи на нахождение промежутков возрастания, убывания функции и полученных экстремумов связаны между собой. Поэтому для нахождения экстремумов функции можно применить такой алгоритм.

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти критические точки функции.
4. Обозначить найденные критические точки на области определения и выяснить знак производной на каждом из полученных промежутков.
5. Для каждой критической точки по знаку производной на промежутках слева и справа от нее определить, является ли она точкой экстремума и какого именно — максимума или минимума. Записать результат.

Задачи на поиск точек экстремума и экстремумов функции

Рассмотрим несколько задач.

Пример №699

Найти точки экстремума функции у.

Решение. Воспользуемся вышеуказанным алгоритмом.

1) .

2)

3) , имеем уравнение: , откуда  — критические точки.

4) Обозначим критические точки на числовой оси и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 39.8):

  на 

 на 

 на 

          Рис. 39.8

Отсюда, .

Ответ. .

Пример №700

Найти точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

1)

2) .

3) , то есть ; откуда  — критические точки.

4) Обозначим критические точки на области определения функции и выясним знак производной на каждом из полученных промежутков (рис. 39.9).

                Рис. 39.9

5) Итак, , — точки экстремума.

Тогда, ; .

Ответ. , ; , .

Пример №701

Найти точки экстремума функции.

Решение. 1) .

Далее рассмотрим функцию отдельно для и для .

а) Если , то , тогда .

2) .

3) Уравнение решений не имеет. Для всех x таких, что , имеем: .

б) Если , то, тогда .

2) .

3) Уравнение имеет корни . Оба корня удовлетворяют условие . Итак,   — критические точки.

4) Знаки производной изображены на рисунке 39.10.

          Рис. 39.10

5) Имеем: .

Ответ. .

Пример №702

Найти точки максимума функции .

Решение. 1) .

2)

Производная существует во всех точках области определения функции.

3) Решим уравнение . Имеем: , откуда или — критические точки.
4) Функция является периодической с периодом . Исследуем знак производной на некотором промежутке длиной , например на  [–; ] . Этому промежутку принадлежат две из критических точек и . Знаки производной на промежутке изображены на рисунке 39.11. Учитывая периодичность функции, получим, .

                Рис. 39.11

Ответ. 

Применение производной при исследовании функций и построении их графиков

Ранее нам уже попадались функции, вид графиков которых в то время мы не знали. В таких случаях мы строили их графики по точкам. Так были построены, например, графики функций ; ; , где , т. д.

Однако, применяя такой способ построения для более сложных функций, можно потерять важные особенности графика функции. Чтобы избежать подобных ошибок, надо сначала исследовать поведение функции, выявить ее особенности и только потом строить график. К особенностям поведения функции относят и ее возрастание, убывание и экстремумы. Поэтому для построения графика будем использовать производную.

Исследовать функцию и строить ее график можно по следующему алгоритму:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
4. Найти производную и критические точки функции.
5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
6. Исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, если это возможно.
7. При необходимости найти еще несколько точек графика и, используя полученные результаты, построить график функции.

Применяя этот метод, следует помнить, что методами, которые нам известны, не всегда удается решить уравнение , то есть найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Также иногда трудно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения или вблизи точек разрыва. В таком случае целесообразно найти несколько точек графика, абсциссы которых очень близки к абсциссам упомянутых точек.

Результаты исследования по пункту 5 удобно представлять в виде таблицы.

Рассмотрим примеры исследования функции и построения ее графика по указанному алгоритму.

Пример №703

Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1) .

2) функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

3) , то есть — точка пересечения с осью . Пусть , тогда имеем: , откуда , следовательно, , и  — точки пересечения с осью .

4) ; тогда ; ; — критические точки.

5) Составим таблицу, в которой укажем промежутки возрастания, убывания, критические точки функции и выводы о поведении функции: 

6) Поскольку , то область определения не имеет концов.

7) Строим график функции, используя результаты исследования и значения функции еще в двух дополнительных точках: .

График изображен на рисунке 40.1.

           Рис. 40.1

Построение графика функции с помощью производной значительно расширяет круг задач, которые целесообразно решать графически (выяснение количества корней уравнения, поиск приближенных значений корней и т .д.).

Пример №704

1) Исследовать функцию  и построить ее график.

2) Сколько корней в зависимости от значений параметра имеет уравнение ?

Решение. 1) .

2) Поскольку область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция ни четная, ни нечетная.

3) Точка пересечения с осью : ; точки пересечения с осью : ; ; ; .

Следовательно, , — точки пересечения с осями координат  , тогда — критические точки.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

6) Точка не принадлежит области определения функции. Исследуем поведение функции в окрестности точки –1. Пусть сначала , но (говорят: слева от –1). Тогда и . Заметим, что при . Чем ближе x к числу –1, тем больше по модулю становится значение дроби и является отрицательным. Можно сказать, что при , при условии, что , значение функции стремится к .

Аналогично исследуем в случае , где : значение функции стремится к .

Проведем (пунктиром) прямую , тогда слева от прямой график будет идти вниз, а справа от прямой будет следовать вверх.

Прямую в таком случае называют асимптотой (подробнее об асимптоте пойдет речь далее). График функции изображен на рисунке 40.2.

                   Рис. 40.2

Теперь выясним, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений , графически. Рассмотрим графики функций  и , где  — число (рис. 40.3) и найдем количество точек их пересечения, это и будет количеством корней уравнения. Для различных значений их количество будет разным.

                   Рис. 40.3

По рисунку 40.3 имеем, что когда , то графики пересекаются в двух точках, а потому уравнение имеет два корня. Если , то графики пересекаются в одной точке, а потому уравнение имеет один корень. Если , графики не пересекаются, а потому уравнение не имеет корней. При графики пересекаются в одной точке, поэтому уравнение имеет один корень; а если , то графики пересекаются в двух точках, и уравнение имеет два корня.

Ответ. Если или , то уравнение имеет два корня; если или , то уравнение имеет один корень; если , то уравнение не имеет корней.

Пример №705

Найти множество значений функции и выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет корни?

Решение. Решим задачу графически , то есть найдем множество значений функции по ее графику. Для этого исследуем поведение функции.

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно нуля.

3) Точка пересечения с осью : ; ; точки пересечения с осью : , то есть  , откуда ; .

Следовательно, , — точки пересечения с осями координат.

4) . Тогда — критическая точка.

5) .

6) Точка принадлежит графику функции. График изображен на рисунке 40.4.

             Рис. 40.4

По графику легко установить, что на области определения функции, то есть множеством значений является промежуток . Чтобы уравнение  имело корни, нужно, чтобы значение выражения принадлежало множеству значений функции , то есть, чтобы исполнялось условие , откуда . Решим неравенство относительно , получим, что или (решите неравенство самостоятельно).

Ответ. ; или .

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Решение многих прикладных задач часто сводится к нахождению наибольшего и (или) наименьшего значения непрерывной на некотором промежутке функции. Поэтому задачу можно решить с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Рассмотрим функцию , которая задана на промежутке . Ее график изображен на рисунке 41.1.

   Рис. 41.1

Наибольшим значением этой функции на заданном промежутке будет , а наименьшим — . Это записывают так: ; .

Заметим, что на заданном промежутке функция имеет точку минимума: , но не имеет точек максимума.

От наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на промежутке, зависит ее множество значений на этом промежутке.

Так, множеством значений функции , заданной на промежутке, является множество .

То есть если — наименьшее значение непрерывной на промежутке функции , a — ее наибольшее значение, то множеством значений функции на промежутке  будет множество .

Если на промежутке функция имеет экстремумы, это еще не значит, что наибольшее или наименьшее значение функция принимает именно в точках экстремума. Рассмотрим функцию , определенную на , график которой изображен на рисунках 41.2—41.4.

       

Например, на отрезке наименьшее и наибольшее значения функция приобретает на концах промежутка , хотя имеет на этом промежутке точки максимума и минимума (рис. 41.2). Зато на промежутке наименьшее значение функция достигает в точке минимума (рис. 41.3), а на промежутке — наибольшее значение в точке максимума (рис. 41.4). Если же рассматривать промежуток , то наибольшего и наименьшего значений функция достигает соответственно в точках максимума и минимума (рис. 41.4). На рисунке 41.5 функция имеет аж две точки минимума на промежутке , но в одной из них не приобретает наименьшего на этом промежутке значения.

Можно сделать вывод, что когда функция непрерывна и монотонна (т. е. либо возрастает, либо убывает) на промежутке , то наибольшее и наименьшее значения эта функция будет приобретать именно на его концах (рис. 41.6 и 41.7).

Если же функция непрерывна на некотором промежутке и имеет на нем только одну точку экстремума, то именно в этой точке функция приобретает наибольшее (если эта точка — точка максимума) или наименьшее (если эта точка — точка минимума) значение на этом промежутке.

Итак, наибольшее значение на промежутке функция может принимать или в точке максимума, принадлежащей этому промежутку, или на его концах. Так же наименьшее значение на промежутке функция может принимать или в точке минимума, принадлежащей этому промежутку, или на его концах. Понятно, что эти значения зависят исключительно от заданного промежутка и поведения функции (ее монотонности) на нем.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на заданном промежутке можно использовать такой алгоритм:  

1. Проверить, что промежуток принадлежит области определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти критические точки функции.
4. Выбрать критические точки, принадлежащие данному промежутку.
5. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах промежутка.
6. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
7. Записать результат.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке

Рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке с помощью упомянутого алгоритма.

Пример №706

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение. 1) .

2)

3) Решим уравнение , тогда ; — критические точки.

4) .

5) .

6) Итак, ; .

Ответ. ; .

Пример №707

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Решение. 1) .

2) .

3) Производная существует во всех точках . Решим уравнение: (решите самостоятельно). Имеем решения .

4) Для , имеем, что ; а для , , имеем, что  .

5) .

6) Итак, ; .

Ответ.  

Практический смысл наибольшего или наименьшего значения некоторой величины

Решая прикладные задачи, связанные с наибольшим или наименьшим значениями некоторой величины, используют математическое моделирование так же, как для решения текстовых задач.

Заметим, что для решения некоторых прикладных задач надо знать наибольшее или наименьшее значения непрерывной функции не на промежутке , а на промежутке . Как правило, в таких случаях на промежутке функция имеет только одну критическую точку. Если это точка максимума, то именно в этой точке на промежутке функция приобретает наибольшее значение (рис. 41.8), а если  это точка минимума — то наименьшее (рис. 41.9). 

Пример №708

Забором длиной надо оградить с трех сторон участок прямоугольной формы как можно большей площади. Найдите размеры такого участка (рис. 41.10).

 Рис. 41.10

Решение. 1) Обозначим через x (в м) длину одной из двух параллельных сторон забора (рис. 41.11), тогда соседняя сторона будет иметь длину , где .

   Hис. 41.11

2) Составим функцию зависимости площади участка от длины ее стороны . Эта функция является математической моделью задачи. Поэтому задача нахождения размеров участка сводится к нахождению значения x, при котором функция на промежутке (0; 40)  будет приобретать наибольшее значение.

3) Найдем наибольшее значение функции , при условии . , тогда . Имеем, что (рис. 41.12).

             Рис. 41.12

4) Поскольку непрерывна на (0; 40) и имеет одну точку экстремума — точку максимума , то именно в этой точке и принимает наибольшее значение. Следовательно, размеры участка будут и

Ответ. 20 м и 40 м.

Итак, решать прикладные задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения некоторой величины можно по следующему алгоритму:

1. Одну из неизвестных величин обозначить через x и найти пределы значения x. Другие величины выразить через x.
2. Составить функцию — математическую модель задачи.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения полученной функции на промежутке для значений x.
4. Проанализировать полученный результат и записать ответ к задаче.

Пример №709

Из листа картона прямоугольной формы, размеры которого , вырезав в его углах квадраты, как показано на рисунке 41.13, изготовили открытую коробку наибольшего объема. Найдите объем этой коробки.

              Рис. 41.13

Решение. 1) Обозначим длину стороны вырезанного квадратика через , тогда каждая из сторон прямоугольника, который будет дном коробки, уменьшатся на и будут равны  и .

2) Составим функцию зависимости объема коробки от длины стороны вырезанных квадратов (рис. 41.14): , т. е. .

           Рис. 41.14

3) Найдем наибольшее значение функции на промежутке . Имеем , , когда ; .

Значение — не относится к промежутку , имеем: (рис. 41.15).

         Рис. 41.15

4) Поскольку непрерывна на и имеет точку максимума , то именно в ней приобретает наибольшее значение. Найдем его: .

Ответ. .

Нахождение наибольшего или наименьшего значения некоторой величины на координатной плоскости

Пример №710 

На графике функции найти точку, ближайшую к точке .

Решение. 1) Пусть — искомая точка, тогда . По формуле расстояния между двумя точками на координатной плоскости запишем расстояние между точками и :
.

Очевидно, что приобретает наименьшее значение тогда, когда наименьшее значение приобретает подкоренное выражение , где .
Обозначим подкоренное выражение через и найдем его наименьшее значение.

2) Имеем: .

3) Пусть , имеем уравнение: , откуда , причем это точка минимума: (рис. 41.15).

     Рис. 41.15

4) Поскольку — непрерывная на и имеет единственную точку минимума , то именно в этой точке функция принимает наименьшее значение.

5) Если , то .

Итак, — искомая точка.

Ответ. .

Применение производной к решению уравнений и неравенств и доказательству неравенств

Рассмотрим, как определенные свойства функций, в том числе и те, которые обычно находят с помощью производной, можно использовать для решения уравнений и неравенств, а также рассмотрим применение производной для доказательства неравенств.

Использование оценки левой и правой частей уравнения или неравенства

Нетрудно понять, что если в уравнении для всех значений x из ОДЗ уравнения выполняются неравенства , где , то уравнение не будут иметь решения. Если же выполняются неравенства , где , то уравнение на своей ОДЗ равносильно системе:
Рассмотрим это на примерах. 

Пример №711

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения: .

Рассмотрим непрерывную на функцию .

Функция на интервале имеет производную. .

, когда , то есть  — критическая точка функции.

непрерывна на , поэтому своих наибольшего и наименьшего значений она может принимать в точках 1; 0 или 2.

Имеем: ; , . Итак, наибольшее значение, равное 2, функция приобретает при , поэтому корнем уравнения является число 1.

Ответ. 1.

Заметим, что это уравнение можно было решить и ранее изученными методами.

Пример №712

Решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Левая и правая части неравенств — те же, что и в предыдущем примере, поэтому воспользуемся их оценкой и соображениями, проведенными ранее.

Пусть , .

1) Поскольку наибольшим значением является число 2, то неравенство справедливо только, когда , то есть при . Следовательно, число 1 — единственное решение неравенства.

2) Поскольку для любого , то неравенство выполняется для всех , то есть множеством решений неравенства является промежуток .

3) Поскольку для любого , то неравенство решений не имеет.

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Итак, оценкой левой и правой частей можно решать как некоторые уравнения, так и некоторые неравенства.

Пример №713

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения: . Рассмотрим функцию , определенную на . ;  для ; ; , то есть имеем три критические точки функции. Определим знак производной на полученных промежутках (рис. 42.1).

              Рис. 42.1

Учитывая непрерывность функции, и то, что , сделаем вывод, что наименьшим значением функции  есть число –1.

Поскольку , то . Итак, .

Тогда уравнение равносильно системе: 

Корни первого уравнения: , причем удовлетворяет и второе уравнение. Итак, — единственный корень исходного уравнения.

Ответ. 1.

Использование монотонности функций

С помощью графической интерпретации нетрудно убедиться, что когда функции и монотонные на или одна из них является постоянной, то их графики на или пересекаются в одной точке (рис. 42.2 и 42.4), либо не имеют общих точек вообще (рис. 42.3).

Это означает, что уравнение вида , если , будет иметь не более одного решения.

Пример №714

Решить уравнение: .

Решение. ОДЗ уравнения: . Функция является убывающей на своей области определения, поскольку убывающей является функция . Рассмотрим функцию . Поскольку для , то  возрастает на . Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что — единственный корень уравнения.

Ответ. 1.

Монотонность функций иногда помогает решать и системы уравнений.

Пример №715

Решить систему уравнений:
Решение. Поскольку областью допустимых значений системы является , , то .

Перепишем систему в виде:

Рассмотрим функцию . Тогда первое уравнение системы можно записать в виде . Имеем: . Поскольку для любого , в том числе и для , то функция возрастает на промежутке , а потому из равенства получим, что .

Подставим во второе уравнение вместо переменной переменную , получим: , то есть , отсюда . Поэтому .

Ответ. .

Пример №716

Решить неравенство: .

Решение. Перепишем неравенство в виде:  и рассмотрим функцию . Имеем: .

Уравнения не имеет корней, поэтому для всех , то есть функция возрастает на .

Кроме того, . Поэтому для всех получим, что , а для всех получим, что .

Следовательно, решением неравенства является промежуток .

Ответ. .

Доказательство неравенств с помощью производной

Производную используют и для доказательства некоторых неравенств. Рассмотрим это на примере.

Пример №717

Доказать, что , если .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Поскольку , для всех , то функция монотонно убывает на . Поэтому для всех справедливо неравенство: . Поскольку , то , то есть для всех . Следовательно, для всех .

Асимптоты графика функции

Понятие асимптоты графика функции уже встречалось нам ранее (рис. 40.2), это была вертикальная прямая. В этой лекции подробно разберемся, какую прямую называют асимптотой графика функции и как найти ее уравнение.

• Прямую называют асимптотой графика функции, если расстояние между этой прямой и точкой графика стремится к нулю при удалении этой точки от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Например, функция (рис. 43.1) имеет две асимптоты — вертикальную и горизонтальную .

    Рис. 43.1

Вертикальная асимптота

• Если существует такое число , что , то — вертикальная асимптота графика функции .

Исходя из понятия непрерывности функции, можно сделать вывод, что вертикальная асимптота, если она существует, может быть только в точке разрыва функции.

Пример №718

Имеет ли вертикальную асимптоту график функции ?

Решение. . Поскольку в точке функция имеет разрыв, то прямая может оказаться вертикальной асимптотой. Имеем: , следовательно, — вертикальная асимптота.

Ответ. Имеет.

Пример №719

Имеет ли вертикальную асимптоту график функции ?

Решение. . В точке функция имеет разрыв, поэтому — единственная прямая, которая может быть вертикальной асимптотой. Но  , поэтому  не является асимптотой графика данной функции.

Ответ. Нет.

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Поскольку асимптота графика — это прямая, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

• Если есть функция , для которой существуют и , причем и , то прямая при является наклонной асимптотой графика функции , а при — горизонтальной асимптотой, уравнение которой .

Примем это утверждение без доказательства.

Если , то получим — горизонтальную асимптоту.

Пример №720

Найти асимптоты графика функции .

Решение. Поскольку — точка разрыва функции и , то — вертикальная асимптота. 

Имеем далее:

Итак, , то есть существует наклонная асимптота.
, то есть ,

Следовательно, — наклонная асимптота.

Ответ. и .

Пример №721

Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Поскольку , то наклонных асимптот нет.

Ответ. Наклонных асимптот нет.

Пример №722

Найти наклонные асимптоты графика функции  .
Решение. Имеем:
Поскольку , следовательно, если асимптота существует, то она будет горизонтальной асимптотой.

.

Итак, имеем уравнение горизонтальной асимптоты: .

Ответ. .

Заметим, что график функции или любая кривая не может иметь более двух наклонных асимптот. Функция, которая имеет предел на бесконечности, при и при не может иметь разные значения каждого из этих пределов, поэтому и наклонных асимптот может быть не более двух. Если же значения этих пределов совпадают, то функция имеет только одну наклонную асимптоту.

Вторая производная. Выпуклость функции и точки перегиба. Применение второй производной для исследования функций и построения их графиков

Вторая производная функции

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Тогда ее можно рассматривать как функцию аргумента x. Если функция является дифференцируемой на некотором промежутке, то ее производную называют второй производной функции (или производной второго порядка) и обозначают так: или .

Пример №723

Найти производную второго порядка для функции .

Решение. . .

Ответ. .

Понятие выпуклости

Пусть Функция определена на промежутке и в точке  имеет производную. Тогда в этой точке существует касательная к графику функции.

• Функцию называют выпуклой вниз на промежутке , если для любой точки , где , график функции лежит выше касательной к этому графику, проведенной в точке (рис. 44.1).

        Рис. 44.1

Функцию называют выпуклой вверх на промежутке , если для любой точки , где , график функции лежит ниже касательной к этому графику, проведенной в точке  (рис. 44.2).

         Рис. 44.2

Пример №724

Функция , график которой изображен на рисунке 44.3, на промежутке является выпуклой вниз, а на промежутке — выпуклой вверх.

           Рис. 44.3

• Точку А графика непрерывной функции , в которой существует касательная к этому графику и при переходе через которую кривая, являющаяся графиком функции, меняет вид выпуклости, называют точкой перегиба функции.

На рисунке 44.4 точка А — точка перегиба графика функции.

      Рис. 44.4

Пример №725

Для функции , график которой изображен на рисунке 44.5, (0; 0) — точка перегиба.

    Рис. 44.5

Нахождение промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба

Рассмотрим функцию , которая является выпуклой вниз на промежутке (рис. 44.6). При возрастании аргумента мера угла , который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс, растет: при имеем, что . Поскольку , то растет и , но , поэтому возрастает и функция  . Поскольку возрастает на , то на .

                Рис. 44.6

Рассуждая аналогично (рис. 44.7, на котором для имеем, что ), приходим к выводу, что когда функция на промежутке является выпуклой вверх, то в .

                   Рис. 44.7

Можно доказать и обратные утверждения:

• если на промежутке дважды дифференцируемая функция имеет положительную вторую производную, то есть для всех , то график этой функции на является выпуклым вниз;
• если на промежутке дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную вторую производную, то есть для всех , то график этой функции на  является выпуклым вверх.

Итак, алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба может быть таким:

1. Найти область определения функции .
2. Найти вторую производную .
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
4. Обозначить найденные точки на области определения функции и выяснить знак второй производной на каждом из полученных промежутков.
5. По полученным знаками сделать вывод о выпуклость функции и абсциссы точек перегиба и записать ответ.

Пример №726

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

Решение. 1) .

2) .

3) Вторая производная существует во всех точках.

Решим уравнение , т.е. , откуда ; .

4) Обозначим числа и на области определения функции и выясним знак второй производной  на каждом из промежутков (рис. 44.8).

         Рис. 44.8

5) На промежутках и график функции выпуклый вниз, а на — вверх, поэтому и — абсциссы точек перегиба. Имеем: , . Итак , и — точки перегиба.

Ответ. и — промежутки выпуклости вниз, — промежуток выпуклости вверх, и — точки перегиба. 

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

Мы уже ранее рассматривали применение первой производной к исследованию функций и построению их графиков. Поэтому для более точного построения, алгоритм исследования функции и построения ее графика, который был сформулирован в предыдущей теме, можно дополнить поиском асимптот графика и исследованием функции на выпуклость и точки перегиба.

Итак, исследовать функцию и построить ее график можно по следующему алгоритму:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность (для тригонометрических функций).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
4. Исследовать поведение функции на концах промежутков ее области определения (если это возможно) и найти все асимптоты ее графика (если они существуют).
5. Найти производную и критические точки функции.
6. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.
7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
8. При необходимости найти еще несколько точек графика и, используя полученные результаты, построить график функции.

Пример №727

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. l) .

2) . Функция нечетная.

3) Если , то , следовательно — точка пересечения с осью . Если , то есть , то , снова имеем точку — точку пересечения с осью .

Следовательно, — единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

4) Поскольку и — точки разрыва функции и  и , то  и  — вертикальные асимптоты. Если , , то ; если , , то ;

Если , , то ; если , то . Найдем наклонные асимптоты :  

Итак, — наклонная асимптота.

5) .

Из уравнения имеем критические точки функции: ; ; .

6) Заполняем таблицу:

7) 

;

, если .

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице.

8) График функции изображен на рисунке 44.9.

                                   Рис. 44.9

Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция — математическая функция , где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция, ее свойства и график

Ранее вы уже рассматривали определенные классы степенных функций и степеней: степени с натуральным показателем, целым показателем, рациональным показателем. Напомним, что

 где 

 где  где 

А существует ли выражение  где  иррациональное число?

Степень с произвольным действительным показателем

Пусть  иррациональное число. Рассмотрим выражение  Для числа выберем последовательность рациональных чисел которые являются приближенными значениями числа с произвольной точностью. Запишем последовательность степеней с рациональными показателями  Эта последовательность и задает приближенное значение числа  с произвольной точность.

Пример №728

Рассмотрим степень  Поскольку  то следовательно  то есть 

Понятно, что такое оценивание для числа  является неточным, поэтому рассмотрим приведенные ниже десятичные приближения числа и применим для вычисления выражений вида  где  рациональное число, калькулятор:

 следовательно 

 следовательно 

 следовательно 

 следовательно 

Как видим, постепенно пределы значения выражения  как с недостатком, так и с избытком, приближаются к одному и тому же числу. Если значение  вычислить на калькуляторе, то получим Как и для степени с рациональным показателем, считают, что: для любого для любого 

Показательная функция и ее график

Функцию вида  где  называют показательной функцией.

Например, показательными являются функции и другие. Заметим, что показательная функция играет важную роль в жизни человека, поскольку является математической моделью определенных реальных процессов окружающего мира. Например, процессы количественных изменений популяризаций организмов или содержание радиоактивных веществ на протяжении длительного периода времени и тому подобное.

Функция вида существует и при В таком случае  то есть  для  Графиком функции  является прямая (рис. 1.1). Заметим, что когда  функцию не называют показательной.

Рис. 1.1

Рассмотрим показательную функцию  Поскольку  выражение  имеет содержание при любом  то 

• областью определения функции  является множество всех действительных чисел.

Рассмотрим несколько показательных функций и построим их графики по точкам.

Пример №729

Пусть имеем функцию  Составим таблицу ее значений для нескольких целых значений аргумента.

Отметим на координатной плоскости точки, которые получены в таблице (рис. 1.2). Если бы на этой плоскости отметили большее количество точек, координаты которых удовлетворяют равенство , а затем соединили их плавной линией, то получили бы график функции  (рис. 1.3).

Заметим, что выражение  где  является положительным для любого значения поэтому график функции  (и в частности ) не пересекает ось абсцисс. Но, если  Поэтому график функции  при  приближается к оси абсцисс, поэтому ось абсцисс является его асимптотой.

                                    Рис. 1.2                                                                 Рис. 1.3 

Пример №730

Пусть имеем функцию  Составим таблицу ее значений.

Рассуждая, как в примере выше, получим график функции  (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Свойства показательной функции

На рисунке 1.5 изображено окно одной из компьютерных программ, с помощью которой построены графики функций  (зеленого цвета),  (синего цвета), (красного цвета). Очевидно, можно прийти к выводу, что график функции  схематично выглядит так же, как график функции 

На рисунке 1.6 изображены графики функций  (синего цвета), (зеленого цвета), (красного цвета). Очевидно, что они выглядят, как график функции 

Рис. 1.5

Систематизируем свойства функции  для  и для  в виде таблицы.

Рис 1.6

Функция 

Свойства
Область определения
Множество значений
Четность, нечетность	Ни четная, ни нечетная	Ни четная, ни нечетная
Периодичность	Непериодическая	Непериодическая
Нули функций	Нет	Нет
Промежутки знакопостоянства	при	при
Промежутки монотонности	Убывает при	Возрастает при
Экстремумы	Нет	Нет
Асимптота
Особенности графика функции: проходит через точку (0; 1)

Свойства степени с рациональным показателем, которые мы рассмотрели в предыдущих классах, справедливы и для степени с действительным показателем.

Для любых  имеем 

Рассмотрим примеры использования свойств показательной функции.

Пример №731

Сравнить значения выражений: 

Решение. поэтому функция возрастает на  следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку  то и 

 поэтому функция  убывает на  следовательно, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку  то 

Ответ. 

Пример №732

Сравнить с единицей основание степени  если 

Решение. 1) Поскольку  При условии  то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому функция  возрастает, а значит 

 при условии  то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, поэтому функция  убывает, следовательно, 

Ответ.

Выражения, которые содержат степени с действительными показателями, можно упрощать так же, как и выражения с рациональными показателями.

Пример №733

Упростить выражение:

Решение. 

Ответ. 

Использование показательной функции для решения прикладных задач

Мы уже упоминали, что показательную функцию используют для описания разнообразных физических процессов. В частности, радиоактивный распад описывают формулой:

  

где  масса радиоактивного вещества в начальный момент времени ее масса в момент времени  период полураспада (промежуток времени, за который начальное количество вещества уменьшается вдвое). Очевидно, что правая часть этой формулы является показательной функцией.

Пример №734

Период полураспада некоторого изотопа плутония составляет 140 суток. Сколько плутония останется через 4 года, если его начальная масса составляла 10 кг?

Решение. По условию задачи имеем:  (сутки). Тогда 

Ответ. 

С помощью показательной функции можно также определять давление воздуха в зависимости от высоты.

Пример №735

Альпинист, находясь на высоте  определил, что давление воздуха составляет  Каким будет давление на высоте  при такой же температуре воздуха? 

Решение. Известно, что давление (при условии неизменности температуры воздуха) находят по барометрической формуле  где  и  высота в километрах. 

Тогда 

Ответ. 

Показательные уравнения

Уравнения называют показательными, если они содержат переменные только в показателях степеней. Например, показательным являются уравнения  и тому подобные.

Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

Простейшие показательные уравнения

Уравнение вида  считают простейшим. Поскольку  для  то когда  уравнение корней нет. 

Если  определим количество корней уравнения  графически. В случае функция  монотонно возрастает на  а в случае  монотонно убывает на  (рис. 2.1 и 2.2).

                                          Рис. 2.1                                                               Рис. 2.2

В обоих случаях функция  каждое свое положительное значение приобретает только единожды. Поэтому графики функций  и  где  пересекаются только в одной точке. Это значит, что уравнение  при  имеет только один корень.

Для того, чтобы найти этот корень, нужно число  записать в виде степени числа  то есть  Будем иметь уравнение отсюда получим, что 

Пример №736

Решить уравнения:

 

Решение. 

Ответ. 5.

Ответ. 1,4.

Ответ. 0; 2.

Как решить простейшее уравнение  в случае, когда число не является степенью числа  например  рассмотрим в следующей лекции.

Метод решения уравнения вида  можно распространить и на уравнение вида 

Если  то уравнение  равносильно уравнению 

Пример №737

Решить уравнение: 

Решение. 1) Сведем обе части уравнения к степени с одним и тем же основанием. Этим основанием будет число 2. Имеем: то есть  Отсюда следовательно, 

2) Поскольку  то начальное уравнение равносильно уравнению  которое, в свою очередь, равносильно уравнению  отсюда 

Ответ. 

Далее рассмотрим уравнения, внешний вид которых отличается от простейшего, и способы их решения.

Сведение показательного уравнения к простейшему вынесением общего множителя за скобки

Этот способ используют в случае, когда уравнение содержит несколько степеней вида  где  разные числа. Тогда, согласно свойствам умножения степеней с одинаковыми основаниями, можно записать, что  и вынести за скобки общий множитель. После упрощений получим уравнение вида  то есть простейшее.

Пример №738

Решить уравнение 

Решение.

 

Ответ. 2.

Уравнения вида  где  

Поделим левую и правую части уравнения  на  получим:  то есть  а значит 

Пример №739

Решить уравнение 

Решение. Поделим обе части уравнения на  то есть  отсюда  следовательно, 

Ответ. 1.

Введение новой переменной в показательных уравнениях

Довольно часто показательное уравнение можно привести к алгебраическому с помощью замены переменной  Понятно, что 

Пример №740

Решите уравнение 

Решение. Пусть  тогда 

Имеем уравнение:  корни которого 

Поскольку  то возвращаемся к замене только для 

Имеем:  Тогда  отсюда 

Ответ. 0.

Пример №741

Решить уравнение 

Решение. Пусть Имеем уравнение:  решив которое, получим корни  и  Поскольку  к замене возвращаемся только для  Имеем уравнение:  Тогда  то есть следовательно, 

Ответ. 4.

Однородные показательные уравнения

Уравнение вида  называют однородным показательным уравнением второй степени.

Для того чтобы решить это уравнение, нужно его левую и правую части поделить на  (или на ). Тогда получим уравнение вида:  а далее введем новую переменную 

Пример №742

Решить уравнение 

Решение. Поскольку  это уравнение сводится к однородному 

Поделим левую и правую его части на  будем иметь:  то есть 

Пусть  тогда 

Получим уравнение:  отсюда  Поскольку  возвращаемся к замене только для 

Тогда  то есть  следовательно, 

Ответ. 0.

Решение уравнений с помощью свойств показательной функции

Используем монотонность показательной функции.

Пример №743

Решить уравнение 

Решение. Очевидно, что число 2 является корнем уравнения (действительно, ). Осталось выяснить, имеет ли уравнение также другие корни. 

Поскольку  поделим обе части уравнения на  Получим  то есть имеем уравнение  Функция является убывающей на множестве действительных чисел, как сумма двух убывающих функций  и  а потому каждое свое значение приобретает только единожды.

Поэтому уравнение  имеет не больше чем один корень, а это значит, что и начальное уравнение имеет не больше одного корня. Поскольку один корень, число 2, мы уже нашли, то он и является единственным корнем уравнения.

Ответ. 2. 

Показательные неравенства 

Как и уравнение, неравенство называют показательным, если оно содержит переменную только в показателе степени. 

Например, показательными являются неравенства  и тому подобные.

Простейшие показательные неравенства

Простейшими показательными неравенствами называют неравенства вида  где 

Рассмотрим, например, неравенство  где и  Пусть  тогда неравенство приобретает вид 

Если  то функция  возрастает (рис. 3.1) и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, из неравенства  получается, что 

Если  то функция  убывает (рис. 3.2) и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, из неравенства  получается, что 

Рис 3.1                        Рис 3.2

Аналогично решают и неравенства вида где  Если  то некоторые из них не будут иметь решений, а решением некоторых будет любое число.

Пример №744

Решить неравенства:

Решение. 1) Имеем  Поскольку  функция возрастающая, то 

2) Имеем  Поскольку  функция убывающая, то 

3) Поскольку  для любого  то решением неравенства  является любое число.

4) Поскольку  для любого  то неравенство не имеет решений.

Ответ. 

Метод решения неравенства  где  можно обобщить для неравенства вида  Представим метод решения такого неравенства в таблице.

Неравенство вида 

Равносильно неравенству  (знак неравенства меняется на противоположный)	Равносильно неравенству  (знак неравенства не меняется)

Таким же образом решают неравенства вида 

Пример №745

Решить неравенства: 

Решение. 

Поскольку  то

 

Ответ. 

Поскольку  то

Ответ. 

Решение других видов показательных неравенств

Во время решения более сложных видов показательных неравенств используют те же приемы, что и для решения уравнений: способ вынесения общего множителя за скобки, замена переменной и так далее, это дает возможность сводить неравенство к простейшему.

Пример №746

Решить неравенство 

Решение. Имеем:  Вынесем в левой части общий множитель  за скобки  тогда  то есть  следовательно, 

Ответ. 

Пример №747

Решить неравенство 

Решение. Пусть  тогда  Имеем неравенство: 

Решив ее, получим, что  или  Поскольку  то возвращаемся к замене только для  

Получим:

Ответ. 

Пример №748

Решить неравенство 

Решение. Поскольку перепишем неравенство в виде 

Поскольку  поделим обе части неравенства на  

После упрощения имеем: 

Пусть  Имеем:  тогда 

Возвращаясь к замене, получим, что 

Поскольку  для  то соответственно для  выполняется неравенство 

Следовательно,  то есть 

Ответ. 

Применение метода интервалов

Поскольку метод интервалов является универсальным методом для решения неравенств, применим его к показательным неравенствам.

Пример №748

Решить неравенство 

Решение. Областью допустимых значений переменной в неравенстве является множество всех действительных чисел.

Найдем нули функции 

Для этого решим совокупность уравнений 

из которой получим нули функции: 

Отметим их на числовой оси (рис. 3.3) и найдем знак функции  на каждом из полученных интервалов.

Следовательно, 

Ответ. 

Рис. 3.3

Понятие логарифма. Свойства логарифмов

Мы научились решать уравнение  в случае, когда число  можно представить в виде степени с основанием  то есть  где  рациональное число. В этой лекции рассмотрим, как решать уравнение  в других случаях. Для этого нам нужно познакомиться с новым понятием — понятием логарифма.

Логарифм

Вернемся к уравнению  где  которое, как мы уже знаем, при  имеет корень. Этот корень — значение  — называют логарифмом числа  по основанию и обозначают так: 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в который нужно возвести  чтобы получить 

Например, потому что  потому что  потому что  потому что 

Поскольку уравнение  рассматривают для  то число  которое называют основанием логарифма является числом положительным и отличным от 1. Число  как было указано выше, положительное. Следовательно,

• выражение  имеет смысл, если  и 

Теперь, используя понятие логарифма, можем решить любое показательное уравнение вида  где  

Пример №750

Решить уравнения: 

Решение. 

По определению логарифма: 

Ответ. 

Ответ. 

Поскольку  корень уравнения, где  и  то есть  то: 

Эту формулу называют основным логарифмическим тождеством. Его используют для вычисления выражений, содержащих логарифмы, для доказательства свойств логарифмов и т. д.

Пример №751

Вычислить: 

Решение. 

Ответ. 

Основные свойства логарифмов

Кроме основного логарифмического тождества, нужно знать и другие важные равенства — свойства логарифмов. Рассмотрим их.

Теорема (основные свойства логарифмов).

Для любого  имеем 

Доказательство.  поскольку 

 поскольку 

3) Согласно основному логарифмическому тождеству Перемножим эти неравенства почленно: 

По определению логарифма имеем: 

4) Поделив почленно неравенство  на неравенство  получим:  Тогда по определению логарифма 

5) Поскольку  По определению логарифма 

Свойства 3 и 4 коротко формулируют так:

• логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей; логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Заметим, что свойство в случае, когда  четное целое число, то есть  можно рассматривать и для отрицательных значений Тогда

  где 

Рассмотрим примеры использования свойств логарифмов.

По свойствам 1 и 2, например, имеем: 

Прологарифмировать выражение означает выразить его логарифм через логарифмы положительных чисел и переменных, которые входят в него. С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, которые являются произведениями, частными или степенями. 

Пример №752

Прологарифмировать выражение  по основанию 2, где 

Решение. Согласно свойствам логарифмов имеем:

Ответ. 

Используем формулы логарифмов для произведения и частного для вычисления и упрощения выражений.

Пример №753

Вычислить 

Решение. 

Ответ. 

Иногда необходимо найти выражение по значению его логарифма. Такое действие называют потенцированием.

Пример №754

Найти  если 

Решение. Сначала преобразуем правую часть неравенства:

Следовательно,  а потому 

Ответ. 

Пример №755

Дано  Найти:

Решение. 

Ответ. 

Формула перехода к другому основанию

Прологарифмируем по основанию где  обе части основного логарифмического тождества 

Имеем:  учитывая свойство 5, получим: 

Отсюда

Получили формулу перехода от логарифма с основанием  к логарифму с основанием  (коротко говорят, что это формула перехода к другому основанию).

Пример №756

Вычислить 

Решение. Перейдем к основанию 2:

Ответ. 1,2.

Рассмотрим важные следствия перехода формулы к другому основанию. Пусть в этой формуле  тогда 

Следовательно,  и  взаимно обратные числа, а потому

Пример №757

Вычислить 

Решение. 

Ответ. 0,25.

Если в формуле перехода к другому основанию вместо  записать выражение  то получим: 

Следовательно,

 

Объединяя это свойство и свойство 5 с приведенными выше свойствами логарифмов, получим:

  где 

Пример №758

Вычислить 

Решение. 

Ответ. 

Заметим, что значение этого выражения можно было вычислить и с помощью формулы перехода к основанию 3.

Десятичный и натуральный логарифмы

Логарифм числа  по основанию 10 называют десятичным логарифмом и обозначают так: 

На большинстве калькуляторов и в компьютерных программах десятичный логарифм обозначают через  (то есть логарифм без указания основания). Следовательно, чтобы вычислить приближенное значение  с помощью калькулятора, используем формулу  а дальше выполняем вычисление:

  (с точностью до десятитысячных).

Пример №759

Пусть  

Найти 

Решение. 

Ответ. 

Рассматривая графики показательной функции  для разных значений  где  мы уже обратили внимание, что они проходят через точку  Среди этих графиков существует такое основание число, которое обозначают буквой  у которого касательная, проведена к графику функции в точке  образует с положительным направлением оси абсцисс угол  (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Угловой коэффициент этой касательной, как известно, равен тангенсу этого угла, то есть 

Число  играет важную роль в математическом анализе, а функцию  еще называют экспонентой.

Число  иррациональное, 

Логарифм числа  по основанию  называют натуральным логарифмом и обозначают так: 

Такое же обозначение натурального логарифма используют в большинстве калькуляторов и компьютерных программ.

Использование логарифмов для описания реальных процессов

С помощью логарифмов описывают реальные процессы в физике, химии, астрономии. Так, например, известный ученый, основатель теоретической космонавтики, сторонник освоения космического пространства, Константин Циолковский (1857—1935) вывел формулу для расчета абсолютной скорости, которую достигает ракета на момент, когда из нее вытечет все топливо. Эта формула содержит логарифм.

Во время строительства искусственных водоемов, например, нужно учитывать количество воды, которое будет прибывать туда в период наводнения, расчеты проводят с помощью логарифмов.

Двоичный логарифм числа (то есть логарифм по основанию 2) широко используют в теории информации. Так, например, с его помощью определяют количество цифр во внутренней компьютерной записи числа. На двоичных логарифмах основывается информационная энтропия (мера количества информации) и т. д.

В теории музыки для решения вопроса о том, на сколько частей делить октаву, нужно отыскать рациональное приближение для числа  что дает возможность после дополнительных вычислений обосновать классическое распределение октав на 12 полутонов.

Десятичные логарифмы и соответствующая логарифмическая шкала используются во многих областях науки, например: в физике (для измерения интенсивности звука в децибелах), астрономии

Рис. 4.2                                                           Рис. 4.3

(шкала яркости звезд), химии (активности водных ионов), сейсмологии (шкала Рихтера), теории музыки (нотная шкала, по отношению к частоте водных звуков), истории (логарифмическая шкала времени) и т. д.

В природе часто попадается особый вид спирали — логарифмическая спираль (рис. 4.2). Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позднее основательно исследована Я. Бернулли. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остается неизменной. Возможно, вследствие этого свойства, логарифмическая спираль является отпечатком многих форм, подобных раковине моллюска (рис. 4.3), цветку подсолнуха и тому подобное.

Экспонента в реальных процессах

Как указано выше, функцию  называют экспонентой. Функции вида  где  и  некоторые числа,  называют экспоненциальными. Эти функции играют важную роль в быту и науке. Рассмотрим несколько примеров.

Наверное, вы часто замечали, что когда снять кипящий чайник с огня, то он сначала быстро остывает, а затем остывание значительно замедляется. Это происходит потому, что скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Если сначала температура чайника равнялась  а температура воздуха  то через  секунд температуру  чайника можно найти по формуле  где  число, зависящее от формы чайника, его материала и т. п.

Изменения количества населения в населенном пункте на протяжении небольшого промежутка времени можно найти по формуле  где  количество человек при  количество человек на момент времени  некоторая константа.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Функцию вида  где   называют логарифмической функцией.

Например, логарифмическими являются функции:  и т. п.

При  выражение  имеет смысл только для положительных значений  Поэтому 

• областью определения функции  является промежуток

Рассмотрим графики логарифмической функции, построив их, как и для показательной функции, по точкам.

Пример №760

Рассмотрим функцию  Составим таблицу ее значений для нескольких значений аргумента 

Отметим полученные в таблице точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 5.1). Поскольку  график не пересекает ось ординат, но когда  то приближается к ней, то есть ось  асимптота этого графика. 

Рис. 5.1

Пример №761

Рассмотрим функцию  Составим таблицу ее значений.

График функции  изображен на рисунке 5.2.

Рис. 5.2

Если изобразить графики функций  и  на одном рисунке, то можно заметить, что они симметричны относительно прямой  (рис. 5.3).

Это объясняется тем, что функции  и  являются взаимно обратными.

Следовательно,

показательная функция  и логарифмическая функция  которые имеют одинаковые основания  являются взаимно обратными, а их графики соответственно симметричными относительно прямой 

Рис. 5. 3

Свойства логарифмической функции

Используя вывод о симметрии графиков функций и  относительно прямой  и наши знания о графике показательной функции, можно прийти к выводу, что графики всех функций вида  где  схематически выглядят так же, как график функции  в случае  как график функции 

Систематизируем свойства логарифмической функции при  и при  в таблицу.

Функция 

Свойства
Область определения
Множество значений
Четность, нечетность	Ни четная, ни нечетная	Ни четная, ни нечетная
Периодичность	Непериодическая	Непериодическая
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства
Промежутки убывания
Промежутки возрастания
Экстремумы	Нет	Нет
Асимптота
Особенности графика функции: проходит через точку (1;0)

Рассмотрим примеры использования свойств логарифмической функции.

Пример №762

Сравнить значения выражений:

 и   и 

Решение. 1) Функция  возрастает на  поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку  то 

2) Функция  убывает на  поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку  то 

Ответ. 

Пример №763

Сравнить число  с единицей, если: 

Решение. 1)Поскольку  то меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция  убывающая, а потому 

2)  то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Значит функция  возрастает, поэтому 

Ответ. 

Пример №764

Сравнить числа  и  если:

    

Решение. 1) Поскольку функция возрастающая, то  Поскольку функция  убывающая, то  Следовательно,  поэтому 

2) Поскольку 

Поскольку 

Следовательно,  поэтому 

Ответ. 

Пример №765

Найти область определения функции:

Решение. 1) Область определения будем искать из условия  Решив это неравенство, получим 

2) Область определения данной функции найдем из системы:

 Следовательно, 

Ответ. 

Анализируя расположения графиков логарифмической функции для  и  в координатной плоскости и их свойства, можно прийти к выводу, что

 если  и  размещены по одну сторону от числа 1, то есть  или 

 если  и  размещены по разные стороны от числа 1, то есть  или 

Это правило дает возможность сравнивать значения логарифмов с нулем и между собой.

Например,  потому что  потому что   потому что 

Логарифмическая функция как математическая модель реальных процессов

Например, логарифмическая функция моделирует такие процессы, как быстрое возрастание или затухание, закон изменения работы газа, закон изменения силы ощущения от силы возбуждения (психофизический закон Вебера), закон изменения давления от изменения высоты, длительность химической реакции и т. д.

Логарифмы используют и в банковском деле. Если, например, вкладчик открыл в банке депозит на определенную сумму средств под  годовых и хочет узнать, через сколько лет эта сумма удвоится, то выяснить это можно по формуле сложных процентов. Получим:

то есть  следовательно, 

Таким образом, чтобы вложенная сумма удвоилась, она должна находится в банке немного больше 6 лет.

Логарифмические уравнения

Уравнение называют логарифмическим, если переменная находится под знаком логарифма

Логарифмическими, например, являются уравнения  и т. п.

Рассмотрим некоторые виды логарифмических уравнений и методы их решения.

Простейшие логарифмические уравнения

Простейшим считается логарифмическое уравнение вида 

Функция  возрастает или убывает на всей своей области определения, а потому каждое свое значение приобретает только один раз. Поскольку множеством значений функции  является множество всех действительных чисел, то уравнение  имеет единственный корень при любом  который можно найти, используя определение логарифма: 

Пример №766

Решить уравнения:

               

Решение. 

Ответ. 

Ответ. 

Ответ. 

Уравнения вида 

Область допустимых значений переменной в уравнении  находим из системы неравенств 

Поскольку функция  монотонна при  (возрастает при  и убывает при ) и каждое свое значение приобретает только раз, то на своей ОДЗ уравнение  равносильно уравнению 

Тогда можно прийти к выводу, что уравнение  равносильно системе

 

Очевидно, что уравнение  дает возможность исключить из системы одно из неравенств, или  так как, исходя из уравнения, если справедливо одно из этих неравенств, автоматически справедливо и другое неравенство.

Следовательно, окончательно имеем:

уравнение  равносильно каждой из систем

  или 

Отметим, что из неравенств  или  выбираем то, которое будет легче решить. Если же оба неравенства являются сложными для решения, то, решив уравнение  выбираем из полученных корней те, которые будут удовлетворять хотя бы одно из этих неравенств.

Пример №767

Решить уравнение 

Решение. Уравнение равносильно системе:

 то есть 

Решив уравнение  получим: 

Первый корень удовлетворяет условие  а второй — нет. Следовательно, число 2 — единственный корень уравнения.

Ответ. 2.

Уравнения вида 

Уравнение вида  равносильно уравнению 

Заметим, что равенство  означает, что  поэтому решать неравенство  для нахождения ОДЗ переменной в уравнении нет необходимости.

Пример №768

Решить уравнение 

Решение. Имеем уравнение, равносильное данному:

 то есть 

Пусть  имеем уравнение:  отсюда  Возвращаемся к замене:  поэтому  поэтому  Но  поэтому 

Ответ. 

Приведение уравнений к простейшим с помощью свойств логарифмов

Чтобы привести логарифмическое уравнение, которое не является простейшим и содержит два и более логарифмов с переменной, к простейшему, целесообразно придерживаться такой последовательности действий:

1. Найти область допустимых значений переменной в уравнении.
2. С помощью свойств логарифмов привести уравнение к одному из видов, рассмотренных выше.
3. Решить полученное уравнение, проверить принадлежность полученных корней области допустимых значений переменной.
4. Записать ответ.

Пример №769

Решить уравнение 

Решение. 1) ОДЗ переменной в уравнении найдем из системы неравенств:  Имеем ОДЗ: 

2) Используя свойство  перепишем уравнение в виде 

3) На ОДЗ полученное уравнение равносильно уравнению  упростив которое, получим квадратное уравнение:  и его корни:  Очевидно, что из них только число 4 принадлежит ОДЗ.

Ответ. 4.

Пример №770

Решить уравнение 

Решение. 1) Область допустимых значений переменной в уравнении найдем из системы  Имеем ОДЗ: 

2) Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов, получим:  По свойству  перепишем уравнение в виде:  а по свойству  уравнение приобретет вид: 

3) Имеем:  Перепишем уравнение в виде:  и найдем его корни:  Области допустимых значений принадлежит только первый корень — число 2. 

Ответ. 2.

Пример №771

Решить уравнение 

Решение. 1) Найдем ОДЗ переменной в уравнении. Имеем:

 то есть 

2) Перепишем уравнение в виде:  и получим уравнение–следствие начального уравнения:  отсюда получим, что Тогда:

то есть 

Корнями первого уравнения из полученной совокупности уравнений являются числа из которых только  принадлежит ОДЗ.

Ответ. 

Замена переменной в логарифмических уравнениях

Часто логарифмическое уравнение можно свести к алгебраическому заменой переменной, например, 

Пример №772

Решить уравнение 

Решение. Пусть  имеем уравнение:

  корни которого  и 

Возвращаемся к замене:

 тогда  то есть  следовательно, 

 тогда  то есть  следовательно, 

Ответ. 

Пример №773

Решить уравнение 

Решение. Поскольку  где  то при условии  уравнение приобретет вид: 

Пусть  получим уравнение  корни которого 

Возвращаемся к замене:

 тогда  следовательно, 

 тогда  следовательно, 

Ответ. 

Пример №774

Решить уравнение 

Решение. Приведем все логарифмы в левой части уравнения к основанию 9, получим: 

Поскольку  то  Имеем: 

Пусть  имеем уравнение: 

Отсюда  (решите уравнение самостоятельно).

Возвращаемся к замене: 

Тогда  то есть  Следовательно, 

Ответ. 

Метод логарифмирования

Если обе части уравнения  положительные, то прологарифмировав обе его части по основанию  и учтя монотонность функции  (как для  так и для ), получим уравнение  равносильное данному. При этом основание  выбираем так, чтобы получить уравнение менее сложное, чем начальное.

Чаще всего метод логарифмирования применяют к уравнениям, которые содержат выражения вида  и(или)  где  и  некоторые логарифмические выражения.

Пример №775

Решить уравнение 

Решение. Обе части уравнения положительные, поэтому мы можем их прологарифмировать. Очевидно, что логарифмировать нужно по основанию 4, хотя можно было бы и по основанию 2, но нам необходимо получить наиболее простое уравнение. Следовательно, имеем: откуда, по свойствам логарифмов, получим: На первый взгляд уравнение будто стало громоздким, но его легко решить с помощью замены переменной.

Пусть  Получим уравнение: после упрощения которого получим квадратное уравнение  корни которого 

Возвращаемся к замене: Тогда то есть 

Ответ. 

Логарифмические неравенства 

Аналогично уравнениям, неравенство называют логарифмическим, если переменная находится под знаком логарифма.

Например, логарифмическими являются неравенства:

 и т. п.

Простейшие логарифмические неравенства

Если неравенство имеет вид:   где  число, то его считают простейшим.

Рассмотрим для примера неравенство  Число можно представить как  Имеем:

Если то функция  возрастает (рис. 7.1) и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Рис 7.1

Поэтому из неравенства  следует, что  Поскольку  (для любых ), то все значения  которые удовлетворяют неравенство  удовлетворяют также и неравенство  что является областью допустимых значений переменной в неравенстве. Окончательно имеем решение неравенства: 

Если  то функция  убывает (рис. 7.2) и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Рис. 7.2

Поэтому из неравенства  следует неравенство  Но в этом случае не обязательно все значения  которые удовлетворяют неравенство  будут удовлетворять также и условие  то есть область допустимых значений переменной в неравенстве, поэтому решения неравенства  в случае  можно записать так: 

Размышляя аналогичным образом, решают и неравенства вида 

Следовательно, при решении сложных логарифмических неравенств стоит помнить:

1) Если то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству, не содержащему логарифм, знак неравенства не меняем; если же  то знак неравенства меняем на противоположный.

2) В случае, когда в неравенстве, полученном из логарифмического, автоматически не выполняется условие  то обязательно учитываем ОДЗ переменной в неравенстве. Если же условие   выполняется автоматически, то обращать внимание на ОДЗ нет необходимости. 

Размышляя аналогично, решают и неравенство  и подобного ему вида.

Пример №776

Решить неравенства:

 

Решение.

Ответ. 

Ответ. 

Ответ. 

Ответ. 

Пример №777

Решить неравенство 

Решение. Поскольку  то 

Решим полученное неравенство:

 

Имеем: 

Ответ. 

Пример №778

Найти область определения функции

Решение. Областью определения функции являются решения неравенства: 

 из которого имеем:  то есть 

Имеем систему: 

Решим ее:  то есть 

Следовательно, 

Ответ. 

Неравенства вида 

Область допустимых значений переменной каждого из этих неравенств находим из системы неравенств: 

Далее переходим к неравенству между подлогарифмическими функциями с учетом зависимости знака неравенства от значения основания логарифма 

Если  то знак неравенства не меняется, и поэтому неравенство  равносильно системе условий: 

а неравенство  системе условий: 

Поскольку в каждой из систем  (или  то условие  выполняется автоматически, и его из системы можно исключить.

Если  то знак неравенства меняется на противоположный, и потому неравенство  равносильно системе  а неравенство  системе 

Поскольку в каждой из систем  (или  то условие  выполняется автоматически, и его из системы можно исключить.

Обобщим метод решения неравенства  в таблице (неравенство  решается аналогично).

Неравенство вида 

Равносильно системе  (знак неравенства меняется на противоположный)	Равносильно системе  (знак неравенства не меняется)

Пример №779

Решить неравенства:

Решение. 1) Поскольку  то при переходе к подлогарифмическим функциям знак неравенства меняем на противоположный:  Кроме того, учитываем, что  тогда условие  будет выполняться автоматически. Значит имеем:   то есть 

2) Поскольку  то при переходе к подлогарифмическим функциям знак неравенства не меняется:  Кроме того, учтем, что  тогда условие  будет выполняться автоматически. Значит имеем:  то есть 

Имеем: 

Отметим решение каждого из неравенств системы на числовой прямой соответствующими промежутками и найдем их пересечение (рис. 7.3). Получим, что 

Ответ. 

Рис. 7.3

Решение более сложных логарифмических неравенств

Для решения более сложных логарифмических неравенств можно использовать те же приемы, что и для решения логарифмических уравнений и простейших логарифмических неравенств. 

Пример №780

Решить неравенство 

Решение. 1) Область допустимых значений переменной в неравенстве найдем из системы  отсюда получим: 

На ОДЗ получим неравенство: 

Поскольку  переходим к рациональному неравенству, не изменяя знак неравенства: 

Поскольку  и  (учтено в ОДЗ), то условие выполняется автоматически. 

Далее имеем:  то есть  Следовательно,  А с учетом условия  (ОДЗ) окончательно получим, что  (рис. 7.4).

Ответ. 

Рис. 7.4

Пример №781

Решить неравенство 

Решение. Пусть 

Имеем неравенство:  отсюда  или (решите неравенство самостоятельно).

Возвращаемся к замене:

 тогда  то есть  следовательно 

 тогда  то есть  следовательно 

Окончательно получим, что  или 

Ответ. 

Решение неравенств, содержащих переменную в основании логарифма

Для решения неравенств вида  или  нужно рассмотреть два случая для основания:  и  то есть решить совокупность двух систем:

 или 

Отметим, что две системы каждой совокупности можно заменить одной, им равносильной:

 или 

Этот же метод используют и для решения неравенств вида  или  в том числе и в случае нестрогого неравенства.

Пример №782

Решить неравенство 

Решение. Если  то 

Если  то   Имеем совокупность двух систем:

Решим ее: 

Ответ. 

Отметим, как указано выше, что вместо совокупности двух систем, можно было решить только одну систему неравенств:

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Поскольку метод интервалов является универсальным для решения неравенств, то его можно использовать и для решения логарифмических неравенств.

Пример №783

Решить неравенство 

Решение. Рассмотрим функцию 

Очевидно, что 

Найдем нули функции. Имеем:  Корни первого уравнения:  но только число 0 принадлежит  Корнем второго уравнения является число –1. Следовательно, нулями функции  являются числа –1 и 0. Обозначим их на области определения функции и выясним знак функции на каждом из полученных интервалов (сделайте это самостоятельно, результат на рис. 7.5).

Следовательно, 

Ответ. 

Рис. 7.5

Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Для решения систем показательных и логарифмических уравнений будем использовать известные нам способы как решения уравнений, так и решения систем уравнений.

Способ подстановки 

Если одно из уравнений системы является линейным с двумя переменными или может быть приведено к такому, то в нем целесообразно одну из переменных выразить через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение системы.

Пример №784

Решить систему уравнений 

Решение. ОДЗ переменных в системе уравнений: 

Из первого уравнения системы имеем:  тогда  следовательно, 

Далее подставим выражение  вместо  во второе уравнение системы, получим:  Перепишем уравнение в виде  и найдем его корни:  Второй корень не удовлетворяет ОДЗ, следовательно,  тогда 

Ответ. (3; 1).

Пример №785

Решить систему уравнений 

Решение. Из первого уравнения системы, которое является простейшим показательным, имеем:  то есть 

Используем выражение  как подстановку во втором уравнении. Получим уравнение  которое равносильно системе:

 то есть 

Из второго уравнения системы имеем:  Тогда  оба удовлетворяют условие:  Тогда 

Ответ. (3; 1), (–0,5; 8).

Способ сложения

Этот способ используют, если в результате почленного сложения соответственно левых и правых частей уравнений системы ее удается значительно упростить или даже освободиться от одной из переменных.

Пример №786

Решить систему уравнений 

Решение. Складывая почленно уравнения системы, получим уравнение с одной переменной  корнем которого является число 7. Подставив 7 вместо  в первое уравнение исходной системы, получим:  тогда  следовательно, 

Ответ. (7; 2). 

Метод почленного деления

Этот метод используют, когда в результате почленного деления уравнений системы получаем уравнение, которое является более простым, нежели каждое из уравнений первоначальной системы.

Пример №787

Решить систему уравнений 

Решение. Поделим почленно первое уравнение системы на второе, получим простейшее показательное уравнение  откуда  Тогда из второго уравнения системы имеем, что  то есть  Следовательно, система приобретает вид:  Тогда, складывая уравнения почленно, получим:  Следовательно, система имеет два решения: 

Ответ. 

Метод логарифмирования

Иногда, чтобы упростить одно или оба уравнения системы, целесообразно их прологарифмировать.

Пример №788

Решить систему уравнений 

Решение. Прологарифмируем второе уравнение системы по основанию 3. Имеем:  то есть 

Перепишем первое уравнение первоначальной системы в виде  и подставим выражение  вместо в полученное выше уравнение  Получим:  Имеем квадратное уравнение:  корни которого  Далее подставим найденные значения  в первое уравнение системы:

1) Если  то есть  откуда  следовательно, 

2) Если  то есть  откуда  следовательно, 

Ответ. 

Замена переменной

Метод замены переменной используют также и для решения систем показательных и логарифмических уравнений.

Пример №789

Решить систему уравнений 

Решение. Из первого уравнения системы и свойств логарифма имеем: 

Пусть  Уравнение приобретает вид:  корень которого  Тогда  а это значит, что  Значит начальная система будет равносильна такой:

 из которой имеем: следовательно, 

Ответ. 

Во время решения систем уравнений довольно часто приходится комбинировать несколько методов решения.

Решение систем показательных и логарифмических неравенств с одной переменной

Напомним, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы. При этом для решения неравенств системы используем приемы, изученные ранее.

Пример №790

Решить систему неравенств 

Решение. Имеем: Следовательно, 

то есть 

Ответ. 

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром. Системы логарифмических и показательных уравнений с параметром

Показательные уравнение с параметром

Пример №791

Для всех значений параметра  решите уравнение 

Решение. Перепишем уравнение в виде: 

Далее рассмотрим два случая:

1) Если  то уравнение приобретет вид  Корней это уравнение не имеет.

2) Если  то уравнение приобретет вид  и будет иметь корень по условию  то есть когда  Тогда 

Если  или  то выражение  следовательно, уравнение  корней не имеет. 

Ответ. Если  или  корней нет; если  то 

Логарифмические уравнения с параметром

Пример №792

Для всех положительных значений параметра  решить уравнение 

Решение. Данное уравнение равносильно системе: 

 то есть 

Поскольку  и потому 

Имеем: 

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:  Уравнение имеет корни, если  то есть если  отсюда  следовательно,  Тогда при условии, что  имеем: 

Поскольку  то  Это неравенство равносильно такому:  а значит,  и  то есть оба корня  и  удовлетворяют условие  а следовательно, являются корнями начального уравнения.

Ответ. Если или  то корней нет; если  то 

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

Пример №793

Для всех значений параметра  решите неравенство 

Решение. Рассмотрим два случая:

1) Пусть  Прологарифмируем обе части неравенства по основанию  получим неравенство: 

Пусть Имеем неравенство:  отсюда  то есть 

Поскольку  следовательно, 

2) Пусть  Прологарифмируем обе части неравенства по основанию  и с учетом  получим: 

Пусть  Имеем неравенство:  откуда  или  Поэтому  или 

Поскольку  то  или  следовательно,  или 

Ответ. Если  то  если  то 

Пример №794

Решить неравенство  в зависимости от значений параметра 

Решение. Отметим, что если  или  то неравенство не имеет смысла. Получили ОДЗ параметра: 

Решим неравенство для допустимых значений параметра методом интервалов.

Пусть 

Для  имеем: 

Уравнение  является квадратным для любого значения  Найдем дискриминант уравнения: вычислим корни: 

Следовательно, 

Найдем нули функции  Имеем:  если  Тогда  причем  для всех допустимых значений параметра. Следовательно,  ноль функции  Обозначим  и нули функции на числовой оси, то есть обозначим на оси точку 1 и "пустые" точки  и 2. Но мы не знаем, как именно на оси разместить число  относительно начала отсчета (числа 0) и относительно чисел 1 и 2. Следовательно, стоит рассмотреть все возможные случаи размещения числа  на оси, а именно:   Рассмотрим каждый из них по отдельности, учитывая ОДЗ параметра 

1) Имеем:  отсюда  Тогда  (рис. 9.1).

Рис. 9.1

2) Имеем:  отсюда  Тогда  (рис.9.2).

Рис. 9.2

3) Имеем:  Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра  такой случай невозможен.

4) Имеем:  отсюда  Тогда  (рис. 9.3).

Рис. 9.3

5) Имеем:  Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра  такой случай невозможен.

6) Имеем:  Система не имеет решений, следовательно, для допустимых значений параметра  такой случай невозможен.

Все случаи рассмотрены, запишем ответ.

Ответ. Если  то если  то  если то 

Системы логарифмических и показательных уравнений с параметром

Пример №795

При каких значениях параметра решение системы 

удовлетворяет условие 

Решение. ОДЗ параметра:  Сложим уравнения системы почленно, получим уравнение: отсюда  Подставим найденное значение  в первое уравнение системы:  получим уравнение:  На ОДЗ параметра уравнение приобретет вид: 

Если  то уравнение  не имеем корней.

Если  то  то есть 

Следовательно,  тогда 

Найдем значения параметра для которых выражение удовлетворяет условие  Имеем уравнение:  Тогда  отсюда  следовательно, 

Ответ. 

Производные показательной, логарифмической и степенной функций

Ранее мы рассмотрели формулы для дифференцирования некоторых элементарных функций (в том числе функции  где  целое число). В этой лекции докажем формулы для нахождения производных показательной и логарифмической функций и степенной функции  где  любое число.

Производные показательных функций

Как известно из ранее изученного, число  как основа показательной функции  является таким, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (0; 1) равен 1. Это означает, что  Тогда, по определению производной, получим  то есть  или 

Теперь найдем формулу для вычисления производной показательной функции (по определению).

Следовательно, 

Теперь найдем формулу для вычисления производной показательной функции  где 

Согласно основному логарифмическому тождеству имеем, что  тогда 

Для нахождения производной функции  используем теорему о производной сложной функции.

Следовательно, 

Пример №796

 

Пример №797

Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

Решение. 

Тогда имеем уравнение касательной:  следовательно, 

Ответ. 

Пример №798

Найти промежутки возрастания и убывания функции 

Решение. 

3) Производная существует на всей области определения функции. Критические точки — решения уравнения  Поскольку  для  единая критическая точка функции.

4) Определяем знаки производной  на каждом из промежутков (рис. 10.1).

5) Следовательно, функция возрастает на  убывает на 

Ответ. Возрастает на  убывает на 

Рис. 10.1

Производные логарифмических функций

Рассмотрим функцию  где . Для всех  справедливо равенство  При этом правая и левая части равенства являются одной и той же функцией, определенной для . Поэтому 

Производную для  вычислим по формуле  и правилу вычисления производной сложной функции. Тогда

Но  поэтому имеем: 

Как известно,  Поскольку  Отсюда

Теперь найдем формулу для вычисления производной логарифмической функции  где 

Согласно формуле перехода к другому основанию имеем:

Тогда 

Следовательно,

 

Например, 

Пример №799

Найти точки экстремума и экстремумы функции 

Решение. 

3) Производная существует во всех точках области определения. Найдем критические точки функции:  Поскольку  то  Тогда  следовательно,  единственная критическая точка данной функции.

4)—5) Отметим критическую точку на  Поскольку  и  можно определить знаки производной на каждом из полученных промежутков (рис. 10.2).

Рис. 10.2

6) Следовательно, 

Ответ. 

Производная степенной функции

Мы знаем, что для любого и любого : 

Найдем формулу для нахождения производной степенной функции  где  произвольное число. Если  не целое, то областью определения функции  является  Для всех  используя основное логарифмическое тождество, можно записать, что 

Тогда  Следовательно, 

 где  любое число, 

Например, 

Пример №800

Найти производную функции: 

Решение. 1) Запишем функцию в виде  Тогда 

2) Поскольку 

Ответ. 

Пример №801

Найти угловой коэффициент  касательной к графику функции  проведенной в точке с абсциссой 

Решение. Запишем функцию в виде 

Тогда 

Поскольку 

Ответ. 

Интеграл и его применение

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

• о нахождении площади под кривой;
• пройденного пути при неравномерном движении;
• массы неоднородного тела, и тому подобных;
• а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл).

Первообразная и её свойства

Изучая математику в предыдущих классах, вы могли заметить, что ко многим известным нам действиям (операциям) существуют обратные. Обратным к сложению является действие вычитания, обратным к умножению (на число, отличное от нуля) является действие деления, обратным к действию умножения многочлена на многочлен является вынесение общего множителя за скобки и тому подобное.

Также существует операция, являющаяся обратной к нахождению производной функции (операция дифференцирования). Такую операцию называют интегрированием. 

Понятие первообразной

Мы уже умеем находить производную заданной функции  Но в математике часто приходится решать обратную задачу: находить функцию  по ее производной  Так, например, в физике, если мы знаем закон движения материальной точки  то можем найти закон изменения скорости  поскольку  Часто возникает потребность определить закон движения  по известной функции  то есть восстановить функцию по ее производной, или, как говорят математики, найти первообразную для данной функции.

Функцию  называют первообразной для функции  на данном промежутке, если для всех  из этого промежутка 

Нахождение функции  по ее производной  называют интегрированием (лат.  восстановление). Это действие является обратным дифференцированию. 

Пример №802

Для функции  на промежутке  первообразной является функция  поскольку для каждого  из этого промежутка справедливо равенство 

Отметим, что, например, функция  имеет ту же производную, что и функция  Действительно,  Поэтому функция  также является первообразной для функции  Понятно, что вместо числа 1 можно подставить любое другое число  получим Следовательно, можно прийти к выводу, что если задача нахождения первообразной имеет хоть одно решение, то она имеем множество решений.

Пример №803

Для функции  на ее области определения  одной из первообразных является функция ибо

Основное свойство первообразных

Выше мы уже выяснили, что задача нахождения первообразной имеет множество решений. Найти все эти решения дает возможность основное свойство первообразных.

Теорема (основное свойство первообразных). Каждая из первообразных для функции  на заданном промежутке имеет вид  где  одна из этих первообразных, а  произвольная постоянная.

Перед тем, как доказать эту теорему, отметим, что в ней коротко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число вместо  не подставили в выражение  получим первообразную для  на заданном промежутке;

2) какую бы первообразную  для функции  на заданном промежутке мы не нашли, всегда можно подобрать такое число  что для всех  из этого промежутка будет справедливо равенство 

Доказательство теоремы и сводится к доказательству этих двух свойств.

Доказательство. 1) По условию  одна из первообразных для  на данном промежутке, то есть  для любого  из этого промежутка. Пусть  Тогда

то есть  также первообразная для  на этом промежутке.

2) Пусть  другая первообразная для функции на заданном промежутке, то есть  для всех из этого промежутка. Рассмотрим производную разности функций 

Используя характеристику постоянства функции из курса алгебры и начал анализа 10 класса, приходим к выводу, что поскольку производная разности  равна нулю, то эта разность является константой, то есть функция  приобретает некоторое постоянное значение на данном промежутке. Следовательно, то есть  Таким образом, любая первообразная  функции  на данном промежутке может быть записана в виде 

Пример №804

Рассмотрим функцию  для которой на промежутке  одной из первообразных является функция  Действительно,  Тогда общий вид всех первообразных для функции можно записать в виде  где 

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых двух первообразных для функции  таковы, что их можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 11.1).

Рис. 11.1

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функций  называют неопределенным интегралом и обозначают символом  (читают: "интеграл эф от икс дэ икс").

В этой записи  называют подынтегральной функцией, называют переменной интегрирования. 

Таким образом, 

где  одна их первообразных, а  произвольная константа.

Например, поскольку  первообразная для 

Простейшие дифференциальные уравнения

В предыдущих классах, решая уравнение, вы искали значение переменной (корень уравнения), то есть некоторое неизвестное число. В математике также рассматривают уравнения, где неизвестными являются не числа, а функции. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. Среди функциональных уравнений попадаются такие, которые содержат производные искомых функций. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Примерами дифференциальных уравнений, где неизвестной выступает функция  являются уравнения:  и т. п.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, которая удовлетворяет это уравнение (то есть функцию, после подстановки которой в заданное уравнение, получаем тождество). Решить дифференциальное уравнение — означает найти все его решения.

Пример №805

Рассмотрим дифференциальное уравнение  Одним из решений этого уравнения является функция  Действительно,  Отметим, что для решения уравнения  нужно найти функцию, производная которой равна  то есть найти первообразную для функции  Используя основное свойство первообразной, можно прийти к выводу, что все функции вида  являются решениями данного дифференциального уравнения. Функцию  называют общим решением дифференциального уравнения 

Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных

Вы уже знаете, как проверить, является ли одна функция первообразной для другой. В этой лекции научим находить первообразные  (неопределенные интегралы) для некоторых известных функций.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В 10 классе мы составили таблицу производных. В дальнейшем для некоторых функций будем использовать также таблицу первообразных (неопределенных интегралов), которую составим на основе таблицы производных.

Здесь и в дальнейшем будем считать, что функция  является первообразной для функции  на таком промежутке, на котором определена каждая из функций  и .

Для обоснования формул из таблицы достаточно проверить, что производная от первообразной, записанной во втором столбике, равна функции, заданной в первом столбике.

Проверим, например, правильность нахождения первообразных для функции  и 

Поскольку  то  общий вид первообразных для функции 

Если имеем функцию  Рассмотрим функцию  и 

Если  тогда  если  тогда 

Следовательно, на каждом из промежутков  и  общий вид первообразных для функции  имеет вид 

Функция

Общий вид первообразных где  произвольная постоянная

Соответствующая запись с помощью неопределенного интеграла

Пример №806

Найти все первообразные для функции:

Решение. Учтем, что общий вид первообразных для функции  таков:

1) Тогда 

2) Поскольку 

3) Поскольку 

4) Имеем  Тогда 

Ответ. 

При нахождении первообразной (неопределенного интеграла) для некоторой функции, эту функцию предварительно упрощают. 

Пример №807

Найти неопределенный интеграл 

Решение. Поскольку  то 

Ответ. 

Часто в задачах ставится требование найти такую первообразную, которая бы удовлетворяла определенные условия, например, чтобы график этой первообразной проходил через определенную точку.

Пример №808

Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку 

Решение.  общий вид первообразных для функции 

2) По условию график искомой первообразной проходит через точку  Следовательно, координаты точки  должны удовлетворять уравнение первообразной,  то есть должно выполняться равенство  Поэтому, подставляя  вместо  а  вместо  в общий вид первообразных, получим:

 то есть  тогда 

Следовательно, искомая первообразная 

Ответ. 

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

В предыдущем пункте мы рассмотрели вопрос нахождения первообразных (неопределенных интегралов) для функций, которые являются производными известных вам функций. А можно ли найти первообразные для функций   и т. п.? Далее дадим ответ на этот вопрос.

Как и в случае производной, для нахождения первообразной недостаточно только таблицы первообразных. Нужно знать еще и правила нахождения первообразных (правила интегрирования). Эти правила похожи на правила дифференцирования. 

Правило 1. Если  первообразная для  а  первообразная для  то  первообразная для 

Доказательство. Поскольку  первообразная для  первообразная для  То есть  является первообразной для 

Пользуясь обозначением определенного интеграла, это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 2. Если  первообразная для  а  постоянная, то  первообразная для 

Доказательство. Учитывая то, что постоянный множитель можно вынести за знак производной, получим:  поэтому первообразная для 

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

 где  константа, то есть постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Правило 3. Если  первообразная для  а  и  некоторые константы, причем  то  первообразная для функции 

Доказательство. Учитывая правило дифференцирования сложной функции и то, что  имеем: 

поэтому  первообразная для функции 

Используя неопределенный интеграл, это правило можно записать так:

Рассмотрим примеры применения этих правил.

Пример №809

Найти общий вид первообразных для функций:

Решение. 1) Поскольку  первообразная для  первообразная для  то, используя правило 1, для данной функции получим общий вид первообразных: 

2) Поскольку  первообразная для  то для данной функции, используя правило 2, получим общий вид первообразных: 

Ответ. 

Пример №810

Найти 

Решение. Используя правила 1 и 2, получим:

Ответ. 

Пример №811

Найти общий вид первообразных для функции

Решение. Для  одной из первообразных является  Используя правило 3, получим общий вид первообразных: 

Ответ. 

Пример №812

Для функции найти первообразную  такую, что 

Решение. Используя правило 3 и тот факт, что одной из первообразных для функции  является  получим: 

Поскольку  получим:

  то есть  отсюда 

Следовательно, 

Ответ. 

В некоторых задачах для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) сначала целесообразно привести формулу функции к виду, удобному для интегрирования.

Пример №813

Найти  

Решение. Упростим подынтегральное выражение, применив формулу синуса суммы, получим:

Ответ. 

В некоторых задачах привести функцию к виду, удобному для интегрирования, можно с помощью некоторых искусственных приемов.

Пример №814

Найти первообразную функции 

Решение. Запишем дробь  в виде суммы двух дробей: 

Следовательно,  Тогда 

Ответ. 

Применение первообразной в физике

Если в задаче известен закон прямолинейного движения тела то, чтобы найти его скорость в момент времени  нужно найти производную:  Важной является также обратная задача: по данной в каждый момент времени скорости определить закон движения. Понятно, что  является первообразной функции 

Аналогично, поскольку ускорение  первообразная для функции  Таким образом, можно восстановить закон движения по заданной скорости, а скорость — по ускорению.

Пример №815

Точка движется по прямой с ускорением  Найти скорость точки  как функцию от времени, если на момент времени  скорость точки была 10 м/с. 

Решение. 1)  первообразная для  Имеем:

2) Поскольку для  известно, что  то есть  то  следовательно, 

Таким образом, получили закон скорости:  

Ответ. 

Пример №816

Скорость точки, двигающейся по прямой, задается уравнением  в секундах, в метрах за секунду, в метрах). На момент времени  точка отдалена на  от начала координат. На каком расстоянии от начала координат будет находиться точка в момент времени ?

Решение. 1) Поскольку первообразная для  то 

2) По условию  поэтому  следовательно, 

Тогда  закон движения тела.

3) Для  имеем: 

Ответ. 

Определенный интеграл, его физический и геометрический смысл

Ниже познакомимся с одним из важнейших понятий математического анализа — понятием определенного интеграла.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о площади криволинейной трапеции). Пусть дана непрерывная функция  которая на промежутке  приобретает только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, осью абсцисс и прямыми  называют криволинейной трапецией (рис. 13.1).

Каждая криволинейная трапеция имеет определенную площадь. Докажем, что площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью первообразной.

Рис. 13.1

Теорема (о площади криволинейной трапеции). Пусть  непрерывна на промежутке  функция, которая на этом промежутке приобретает только неотрицательные значения, а  первообразная для  на этом промежутке. Тогда площадь  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  осью абсцисс и прямыми  и  можно найти по формуле:

Доказательство. Пусть  произвольная точка из промежутка  Обозначим через  площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  осью абсцисс, прямой  и прямой, проходящей через точку  перпендикулярно к оси абсцисс (рис. 13.2). Понятно, что  функция от 

Рис. 13.2

Докажем, что  для любого  Для этого достаточно доказать (по определению производной), что 

Рассмотрим случай, когда  (случай  рассматривается аналогично). Поскольку  площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 13.3.

Рассмотрим теперь прямоугольник, имеющий такую же площадь  у которого одна из сторон равна отрезку с концами в точках  и  Такой прямоугольник изображен на рисунке 13.4. Поскольку функция  непрерывна, то высота этого прямоугольника равна  где  Поэтому  а значит 

Рис. 13.3                                                          Рис. 13.4

Поскольку  непрерывная функция, то  и  если  Следовательно,  при  то есть  А это значит, что  то есть  первообразная для функции 

По основному свойству первообразной для всех имеем:  где  одна из первообразных функции некоторая постоянная. Чтоб найти  вместо в формулу первообразной  подставим число  Очевидно, что  Тогда  следовательно, 

Таким образом,  Учитывая то, что искомая площадь криволинейной трапеции равна  подставим вместо  число  в последнюю формулу и получим: 

Пусть  первообразная для функции  на промежутке 

Разность  называют определенным интегралом функции  на промежутке  и обозначают  (читают "интеграл от  к  эф от икс дэ икс").

Для вычисления разницы  можно использовать любую из первообразных функции  общий вид которых  Но  Поэтому принято использовать ту первообразную, в которой 

Отметим, что в математике существует также другое обозначение определенного интеграла (через интегральные суммы).

Пример №817

Вычислить площадь  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  и прямыми 

Решение. На рисунке 13.5 изображена данная криволинейная трапеция. Для функции

Рис. 13. 5

 одной из первообразных является функция  Тогда 

Ответ. 

Задача 2 (о вычислении перемещения точки). Пусть скорость точки, двигающейся прямолинейно, в каждый момент времени  можно задать функцией  На прямой, вдоль которой двигается точка, выберем систему координат и обозначим через  координату точки в момент времени  Тогда перемещение точки за промежуток времени  будет равняться  Поскольку скорость является производной от координаты, то есть  первообразная для функции 

Следовательно, перемещение точки, двигающейся прямолинейно со скоростью  за промежуток времени  равно разности  где  первообразная для  то есть равна интегралу

Пример №818

Материальная точка двигается прямолинейно со скоростью  Найти перемещения точки за первые две секунды движения.

Решение. Имеем:  один из возможных законов движения данной материальной точки. Вычислим перемещения  точки за первые две секунды движения: 

Ответ. 

Геометрический смысл и физический смысл определенного интеграла

Исходя из вышеупомянутого, можно выяснить геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что:

• интеграл  от функции  которая непрерывна на промежутке  и приобретает на этом промежутке только неотрицательные значения, является площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми   и 

Геометрический смысл интеграла можно использовать для нахождения определенных интегралов в случае, когда первообразную функции  найти трудно или невозможно, а площадь фигуры найти легко, исходя из геометрических соображений.

Пример №819

Вычислить  используя геометрический смысл интеграла.

Решение. Искомый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями  и  (рис. 13.6). Возведем обе части  равенства  в квадрат и запишем его в виде  где  Следовательно, эта криволинейная трапеция является полукругом радиуса 1. Потому 

Ответ. 

Рис. 13.6

Физическое содержание определенного интеграла состоит в том, что:

• интеграл  является перемещением за промежуток времени  материальной точки, двигающейся прямолинейно со скоростью 

Вычисление определенных интегралов. Основные свойства определенных интегралов

В предыдущей лекции мы ввели понятие определенного интеграла  как разности  где первообразная для функции  рассмотрели его геометрический и физический смысл. В этой лекции мы рассмотрим методы вычисления определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона—Лейбница

Из предыдущей лекции нам известно, что: 

Эту формулу называют формулой Ньютона–Лейбница. Разность  еще обозначают так:  Используя это обозначение, формулу Ньютона–Лейбница записывают еще и в таком виде: 

Формула Ньютона–Лейбница является одной из важнейших в курсе математического анализа. Ее используют для вычисления определенных интегралов в случае, когда для подынтегральной функции  можно найти первообразную  Именно такие определенные интегралы и рассматривают в школьном курсе математики. При этом заметим, что условие  для любого  не является обязательным, обязательной является только непрерывность функции  на промежутке 

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона–Лейбница.

Пример №820

Вычислить 

Решение. Для функции  одной из первообразных является  поэтому по формуле Ньютона–Лейбница имеем:

Ответ. 1.

Пример №821

Вычислить 

Решение. Сначала найдем первообразную для функции  Используя правила нахождения первообразных и таблицу первообразных, имеем:  Следовательно, 

Ответ. 

Отметим, что нахождение первообразной не обязательно записывать отдельно, как мы это сделали в примере 2. Оформить решение можно было так:

Пример №822

Вычислить интеграл 

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде, удобном для интегрирования:  Для нахождения первообразной используем правило 3 и таблицу первообразных. 

Получим: 

Используя формулу Ньютона–Лейбница, получим:

Ответ. 

Отметим, что в последнем примере вынесение за скобки общего множителя   упрощает вычисление.

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим простейшие свойства определенного интеграла. Определенный интеграл вида  мы рассматривали в случае  но его можно рассматривать также в случае  При этом имеют место такие свойства.

Свойство 1. При перестановке границ интегрирования интеграл меняет знак:

Доказательство. Поскольку  и 

Свойство 2. Для любого  имеем: 

Доказательство. 

Рассмотрим еще несколько свойств определенного интеграла.

Свойство 3. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, то есть 

Доказательство. Пусть первообразная для  первообразная для  тогда первообразная для  Имеем:

Понятно, что свойство 3 справедливо для любого количества слагаемых.

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

Доказательство. Пусть  первообразная для  тогда функция  будет первообразной для  Имеем:

Два последних свойства можно было использовать и для вычисления интегралов.

Пример №823

Вычислить интеграл 

Решение. Последовательно применим свойства 3 и 4, получим:

Ответ. 

Свойство 5. Если  то

Доказательство. Пусть  первообразная для  тогда

Пример №824

Вычислить  если:

если 

Решение.

Ответ. 

Использование искусственных приемов для вычисления определенных интегралов

Как и для нахождения первообразных (неопределенных интегралов), для нахождения определенных интегралов можно использовать некоторые искусственные приемы, которые дадут возможность представить подынтегральную функцию в виде, удобном для интегрирования, например в виде суммы или разности более простых, чем в условии, функций, то есть функций из таблицы первообразных.

Пример №825

Вычислить интеграл 

Решение. Превратим выражение  так:

 Тогда

Ответ. 

Вычисление площадей плоских фигур и другие применения интеграла

Рассмотрим использование определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения и некоторых других задач.

Вычисление площадей плоских фигур

Как мы уже знаем, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции  прямыми  и  при условии, что  для всех  вычисляют как разность  где  первообразная функции  (рис. 15.1). С другой стороны, по формуле Ньютона–Лейбница

Следовательно, можно прийти к выводу, что 

• площадь  криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции  прямыми  и  при условии, что  для всех  вычисляют по формуле 

Рис. 15.1

Пример №826

Вычислить с помощью определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  и 

Решение. Имеем (рис. 15.2):

Ответ. 1,5.

Рис. 15.2

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком функции  снизу — графиком функции  а также вертикальными прямыми  причем функции  непрерывны на  и для всех  справедливы неравенства  (рис. 15.3).

Рис. 15.3

Площадь этой фигуры  равна разности площадей  где  площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  Имеем:

Используя свойства интеграла, получим:

Эта формула будет верной и в случае, когда одно или оба условия  и  не выполняются. Так как в этом случае достаточно перенести плоскую фигуру вдоль оси ординат на  единиц, выбрав произвольным образом так, чтобы вся фигура разместилась выше оси абсцисс (15.4). 

Рис. 15.4

Тогда площадь искомой фигуры

Следовательно,

• площадь  плоской фигуры, ограниченной непрерывными на промежутке  функциями  и  такими, что  для всех  и прямыми  и  вычисляют по формуле

Пример №827

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и 

Решение. 1) Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение:

 откуда  Ординаты обеих точек пересечения равны 1.

2) Изобразим схематически графики функций и абсциссы их точек пересечения (рис. 15.5).

3) Тогда:

Ответ. 

Рис. 15.5

Пример №828

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и 

Решение. 1) Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций:

Ординаты точек пересечения 

2) Изобразим графики функций схематически (рис. 15.6).

Рис. 15.6

3) Следовательно, 

Ответ. 

Вычисление объемов тел

С помощью определенного интеграла можно вычислять объемы тел. Пусть есть тело определенного объема  и некоторая прямая, перпендикулярно к которой проведены плоскости, пересекающие это тело (рис. 15.7).

Рис. 15.7

Допустим, что все значения  плоскостей сечения тела, появившихся при этом, нам известны. Площадь, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает ее в некоторой точке  принадлежащей отрезку  Поэтому каждому числу  ставится в соответствие одно число  площадь сечения тела плоскостью, проходящей через эту точку, перпендикулярно к оси абсцисс. Таким образом, на отрезке  задана некоторая функция  Если функция  непрерывна на , то объем тела  можно найти по формуле

Доказательство этой формулы является довольно громоздким, поэтому мы его не приводим.

По этой формуле можно находить объемы тел вращения.

Пример №829

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на функции  такой, что  для каждого  и прямыми  и  Доказать, что объем тела, которое появилось вследствие вращения этой трапеции вокруг оси абсцисс, можно вычислить по формуле 

Доказательство. Рассмотрим тело, заданное в условии (рис. 15.8). Каждая плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс и пересекающая отрезок  в точке  дает в сечении тела круг, радиус которого равен  (рис. 15.9). Тогда имеем площадь такого круга:  Следовательно, для объема тела получим:

 

Рис. 15.8                                                     Рис. 15.9

Пример №830

Найти объем тела, появившегося вследствие вращения вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями  и 

Решение. Криволинейная трапеция, которую вращают вокруг оси  изображена на рисунке 15.10. Найдем объем появившегося тела вращения:

Ответ. 

Рис. 15.10

Применение определенного интеграла в физике

Рассмотрим одно из применений определенного интеграла в физике.

Пусть материальная точка двигается вдоль оси абсцисс под действием силы, проекция которой на эту ось — непрерывная на некотором промежутке функция  Пусть отрезок  принадлежит промежутку непрерывности функции, и под действием этой силы материальная точка переместилась из точки  в точку  (рис. 15.11). Тогда работу  этой силы можно вычислить по формуле 

Примем этот факт без доказательства.

Рис. 15.11

Пример №831

Вычислить работу силы  во время растяжения пружины на  если для растяжения пружины на  нужна сила 

Решение. 1) По закону Гука сила  пропорциональна растяжению (или сжатию) пружины, то есть  где  величина растяжения (или сжатия), а постоянная.

2) Поскольку для  имеем, что  то можем найти  Тогда  Следовательно, 

3) Найдем работу  для растяжения пружины на 

Ответ. 

Основы комбинаторики, теории вероятности и статистики

Элементы комбинаторики в теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество, то размещением (сочетанием) элементов называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество элементов множества.

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения

Комбинаторика — раздел математики, который изучает вопросы выбора и расположения элементов некоторого  конечного множества в соответствии с заданными условиями. 

Рассмотрим примеры задач из комбинаторики. 

Пример 1. Сколькими способами легкоатлет, собирающийся на тренировки, может взять с собой пару спортивной обуви, имея 5 пар кроссовок и 2 пары кедов?

Очевидно, что выбрать одну из пар обуви, кроссовки или кеды, можно 5+2+7 способами. 

Обобщая, получаем комбинаторное правило суммы. 

Если некоторый элемент A можно выбрать k₁ способами, а элемент B (независимо от выбора элемента A) — k₂ способами, то выбрать A или B можно k₁ + k₂ способами. 

Это правило распространяется на три и более элементов. 

Пример 2. В меню школьной столовой есть на выбор 4 вида пирожков и 3 вида сока. Сколько разных вариантов выбора завтрака состоящего из одного пирожка и одного стакана сока в столовой этой школы?

           

                                                                Рис. 76

Пирожок ученик может выбрать 4 способами  для каждого пирожка и сок 3 способами (рис. 76). Итак, ученик имеет    вариантов выбора завтрака. 

Обобщая, получаем комбинаторное правило произведения. 

Если некоторый элемент A можно выбрать k₁ способами  после каждого такого выбора (независимо от выбора элемента A) другой элемент B можно выбрать k₂ способами, то пару элементов A и B можно выбрать k₁ k₂  способами.

Это правило так же  распространяется на три и более элементов. 

Пример №832

Сколько трехзначных чисел можно сложить из цифр 1, 2, 3, 4, если в числе: 1) цифры не повторяются; 2) цифры повторяются?

Решение. 1) Имеем 4 способа для сотен числа (рис. 77). После того как место сотен заполнено (например, цифрой 1), для десятков остается 3 способа, рассуждая дальше, для единиц — 2 способа. Итак, получили:  4 способа,  после каждого из них — 3 способа  после каждого из них — 2 способа. По правилу сложения получим  числа. 

2) Если цифры в числе повторяются, то каждое из трех мест можно заполнить 4 способами (рис. 78), и тогда таких чисел будет 

Ответ: 1) 24 числа; 2) 64 числа.

      

       Рис. 77                     Рис. 78

Заметим, что не пользуясь комбинаторными правилами, подобные задачи мы могли бы решить только путем перечисления всех чисел, которые удовлетворяют условиям задачи, а такие решения, безусловно, являются очень громоздкими. 

Пример №833

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если в числе цифры не повторяются?

Решение. Четное пятизначное число можно получить, если последней цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней цифрой является 6: (рис. 79), 

                                               Рис. 79

а тех, у которых последней цифрой является 8 — так же 24. По комбинаторному правилу сумма всех четных чисел будет  

Ответ: 48. 

Пример №834

Азбука племени АБАБ содержит только две буквы "а" и "б". Сколько слов в языке этого племени состоят: 1) из двух букв; 2) из трех букв?

Решение. 1) аа, ба, аб, бб (всего четыре слова); 

2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (всего восемь слов).

Заметим, что найденное количество слов согласуется с комбинаторным правилом сложения. Поскольку на каждое место есть два претендента — "а" и "б", то слов, которые содержат эти две буквы, может быть  а три буквы —   

Пример №835

В футбольной команде с 11 игроками нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Капитаном можно выбрать любого из 11 игроков. После этого его заместителя — любого из 10 игроков, которые остались. Таким образом (по правилам складывания), получим  разных способов. 

Ответ: 110 способов.

Пример №836

В стране Чудосвет 10 городов, каждые два из которых оснащены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение. Поскольку каждая авиалиния соединяет два города, то первым из них может быть любой город из 10, а вторым — любой из 9, которые остались. Итак, количество таких авиалиний составляет  Однако, при этом каждая из авиалиний посчитана дважды. Поэтому всего их будет 

Комбинаторные задачи неразрывно связаны с задачами теории вероятностей, еще одной отрасли математики, которую мы рассмотрим ниже.

Случайное событие. Частота и вероятность случайных событий

Любая точная наука изучает не сами явления, происходящие в природе, а их математические модели. В математических задачах часто рассматривают явления, которые, в отличие от первого варианта, могут сбыться, а могут не сбыться. Такие явления называют случайными.

Теория вероятностей — математическая наука, которая изучает закономерности случайных явлений. 

Пусть проводится определенный опыт (эксперимент), результат которого изменить невозможно. Итак, опыты в теории вероятности называют случайными. При этом целесообразно выполнять только такие опыты, которые можно повторить, хотя бы теоретически, при одних и тех же условиях достаточное количество раз.

Случайными опытами являются, например, подкидывания монет, покупка лотерейного билета, стрельба по мишени. 

Итак, 

• случайный опыт — это опыт (эксперимент), результат которого зависит от случая, и который можно повторить много раз при одних и тех же условиях. 

Результатом случайного опыта является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое при одних и тех же условиях может случиться, а может не случиться. 

Примерами случайных событий являются "выпадание единицы на игральном кубике", "выпадание решки при подкидывании монеты", "выигрыш 10 руб. при покупке лотерейного билета". Такие случаи, как "закипание воды при ее нагревании до " или "уменьшение длины проволоки при ее охлаждении" нельзя назвать случайными, потому что они закономерные. Случайные события, как правило, обозначают большими латинскими  буквами: 

Пример №837

В ящике есть только белые и черные шарики. Какие из событий  при этом могут сбыться: 

 достанут белый шарик, — достанут черный шарик

 — достанут зеленый шарик,  —достанут ли шарик?

Решение. Поскольку из ящика можно достать только те шарики, которые в нем есть, значит, оттуда, по условию, можно достать только черные и белые шарики, а зеленые — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который достанут из ящика, будет шариком, поскольку там нет ничего, кроме шариков. Получается, событие  невозможно. 

Ответ: 

Событие, которое при данных условиях обязательно сбудется, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях никогда не сбудется, называют невероятным.

В примере 1  и — случайные,  — вероятное, а  — невозможное события. 

Пример №838

Пусть проводится некоторый случайный опыт, например определенный стрелок стреляет по мишени. Нас волнует, как математически оценить шансы стрелка попасть в мишень при одних и тех же неизменных условиях. 

Чтобы это выяснить, рассмотрим понятия частоты опыта и вероятность частоты опыта. 

Если в неизменных условиях проведено n случайных опытов и в n(A) опытах A случится, то число n(A) называют частотой опыта A, а отношения  — относительной частотой события A.

Пример №839

Разные ученые в разное время проводили опыт, который предполагал многократное подкидывание монеты и рассматривание случая  — выпадание аверса. Результаты этих опытов систематизированы в таблице. 

Получилось, что монеты в опытах разных ученых были разными, но сами опыты, который они приводят, можно считать одинаковыми. Эти опыты, проведенные разными учеными в разные эпохи в разный странах, дают приблизительно один и тот же результат: случайная частота события близка к числу 0,5. В данном случае число 0,5 называют статистической вероятностью события. 

Если во время проведения достаточно большого количества случайных опытов, значение относительной частоты случайных событий  является близким для некоторого числа, то это число называют статистической вероятностью события .

Вероятность принято обозначать латинской буквой  (от французского , что переводиться как "возможность", "вероятность"). Так, для примера можно написать: 

 но 

Сделаем вывод, что 

• вероятность случайного события можно найти с большей точностью, если случайный опыт провести большое количество раз. Чем больше проведено случайных опытов, тем ближе будет значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события. 

Вернемся к вопросу, сформулированному в примере выше, то есть к математической оценке шансов стрелка попасть в мишень. Теперь понятно, чтобы оценить вероятность попадания стрелком в мишень (событие А), необходимо, чтобы он сделал достаточное количество выстрелов (в одних и тех же условиях) Тогда относительную частоту события А можно будет считать вероятностью попадания стрелка в мишень. Пусть, например, в течение определенного промежутка времени проделано 1000 выстрелов, из которых 781 оказались удачными. Тогда относительную частоту  можно считать вероятностью попадания этого стрелка в данную мишень. Если известна вероятность события А, то можно приблизительно оценить, сколько раз событие А сбудется, если узнать определенное количество опытов. 

Пример №840

Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,781. Сколько приблизительно выстрелов в яблочко будет, если стрелок стрелял 50 раз?

Решение. Пусть в серии из 50 выстрелов получили  раз. Тогда — относительная частота получения приблизительно равна вероятности, то  значит 

Ответ: 39 точных выстрелов. 

Классическое определение вероятности

Провести многочисленные опыты для того чтобы найти статистическую вероятности опыта, бывает сложно, а иногда — невозможно. Поэтому во многих подобных задачах вероятность можно вычислять, используя классическое определение вероятности.

Рассмотрим пример.

Пример №841

В ящике лежат два шарика: черный и белый. Каждый раз достают один шарик. 

Рассмотрим случаи:  — достанут белый шарик,  — достанут черный шарик,  — достанут красный шарик, — достанут шарик. 

Как видим из лекции, случай — невозможен, случай —вероятный, а случаи  и  — случайные.

Поскольку белых и черных в ящике поровну, то шансы вытянуть черный шарики являются одинаковыми с шансами вытянуть белый шарик. Других шариков в ящике нет, так что каждый раз доставая шарик, будем получать половину случаев с белым шариком, половину с черным. 

Из данных условий, число 0,5 (половина) — это статистическая вероятность случайного события "достать белый шарик". 

Эту вероятность можно получить, если количество белых шариков, то есть 1, поделить на количество всех шариков 

Итак, сформулируем классическое определение вероятности.

Вероятность случайного события A равняется  отношению количества событий, которые способствуют появлению события A, к количеству всех возможных событий. 

В виде формулы это определение можно записать так:

где n — количество всех возможных событий; m — количество событий, которые способствуют появлению события A.

Иногда вероятность представляют в виде процентов, тогда 

Возвращаясь к рассмотренному примеру, можно легко найти вероятность событий  и  Итак, 

Итак, сделаем вывод:

• вероятность возможного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.

Вероятности событий  и  в данном случае одинаковые, ибо  Такие события называют равновероятными. 

Равновероятные события — события, вероятность которых одинаковая в этом опыте. 

Рассмотрим еще примеры.

Пример №842

Из 30 учеников класса 12 имеют высокие оценки по алгебре. Какая вероятность того, что случайно выбранный ученик класса получит высокую оценку по алгебре?

Решение. Имеем: 

Ответ: 0,4

Пример №843

Одновременно подкинули два игральных кубика. Какая вероятность того, что сумма очков, которые выпадут:

1) равняется 6;       2)меньше 5?

Решение. Составим таблицу суммы очков, которые могут выпасть на двух игральных кубиках при их одновременном подкидывании.  — количество всех возможных случаев. 

1) Получим 5 случаев, поэтому ;

2) Получим 6 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках меньше 5. Поэтому  и  

Ответ: 

Пример №844

В коробке 20 черных шариков, 25 зеленых, а остальные — белые. Сколько белых шариков в коробке, если вероятность вытянуть белый шарик:

1) равна  2) меньше 

Решение. Пусть в коробке было  белых шариков.

Тогда 

Итак, вероятность вытянуть белый шарик равняется 

1) по условию  тогда  то есть 

2) по условию  Чтобы решить неравенство, умножим его обе части на слагаемое  Получим:  откуда 

Итак, если вероятность вытянуть белый шарик меньше   то в коробке не больше 11 белых шариков. 

Ответ: 1) 15; 2) не более 11.

Пример №845

Владелец мобильного телефона забыл две последние цифры своего пин-кода, но помнит, что они разные. Зайти вероятность того, что он получит доступ к телефону с первой попытки.

Решение. Двумя остальными цифрами могут быть такие комбинации как:  Всего их 100. Но среди них есть 10 комбинаций, у которых цифры одинаковые:   Поскольку владелец помнит, что они не повторяются, то у него есть выбор из 90 комбинаций  Итак,  Найдем вероятность того, что владелец получит доступ к телефону с первой попытки, то есть  Тогда 

Ответ: 

Начальные сведения о статистике. Статистические данные, способы их предоставления и обработки

В практической деятельности людям часто приходится собирать, обрабатывать и исследовать различные данные, связанные с процессами массового характера. Такое данные называют статистическими. На вопросы, связанные со статистическими данными, отвечает математическая статистика. 

Математическая статистика — раздел математики, изучающий математические методы систематизации, обработки и исследования статистических данных для научных и практических выводов. 

Название "статистика" происходит от латинского  что переводится как "состояние", "положение". 

Пример №846

Во время государственной итоговой аттестации по математике 50 девятиклассников получили следующие баллы: 

 

Систематизируем эти данные по уровням достижений в виде таблицы: начальный уровень (1–3 балла), средний (4–6 баллов), достаточный уровень (7–9 баллов), высокий уровень (10–12 баллов). 

После обработки, результаты статистических данных представляют в виде таблиц, графиков и диаграмм. 

Пример №847

Представим результаты рассмотренного примера разными способами.

 1. Таблица:

 

2. Столбчатая диаграмма:

Рис. 83

3) В виде круглой диаграммы.

                                          Рис. 84

Результаты статистических достижений представляют в виде графика в том случае, когда статистические данные содержат некоторую величину, которая изменяется, например, в течение дня, месяца, года.

Пример №848

В таблице приведена чистая прибыль малого предприятия (в руб.) за каждый из восьми лет. 

           

Представим эти данные в виде графика (рис. 85) 

                                      Рис. 85

Представлять результаты статистических данных в виде таблиц, диаграмм, графиков можно используя специальные программы на компьютере, например, Microsoft Excel или аналогичные программы. 

Средним значением статистических измерений называют среднее арифметическое статистических данных. 
Напомним, что для того чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сумму поделить на их количество. 

Пример №849

Каким является среднее значение чистой прибыли малого предприятия за последние восемь лет (см. пример выше)?

Решение.

 

Ответ: 51,1625 тыс. руб. 

Мы рассмотрели способы систематизации небольшого количества данных. А каким образом можно систематизировать явления массового характера, содержащие больше тысячи объектов? 

Пример №850

С центральной площади небольшого города отправляются четыре автобуса №1, 2, 3 и 4. Местная власть хочет выяснить, на каком из маршрутов может быть больше автобусов, а на каком — меньше. Решение этой проблемы связанно с определенными закономерностей и объективными условиями жизни всех жителей города, но это вычисление было бы дорогим и слишком долгим. 

На практике же делают выборку, то есть описывают выборочно несколько десятков или сотен людей, после чего систематизируют данные в таблицы.  Пусть было описано 200 жителей, которые пользуются автобусами №1, 2, 3 и 4. Жители, пользующиеся несколькими маршрутами, назвали маршрут, который используют чаще. Полученные данные были внесены в статистическую таблицу: 

Такую таблицу называют частотной, а ее числа — частотами. Эти числа показывают, как часто происходит то или иное действие. Сумму частот всех значений выборки называют объемом выборки. В нашем случае объемом выборки является число 200, то есть количество описанных жителей, или  

Относительной частотой значения выборки называют записанное в процентах отношение его части к объему выборки. Например, относительная частота маршрута № 1 равна 

Если, например, город должен между маршрутами №1, 2, 3, 4 разделить 50 автобусов, то на маршрут №1 можно выделить 12 автобусов: то есть 24% от  50. Представим конечный результат в виде таблицы: 

Множество и его элементы

Сначала вспомним и расширим понятие множества.

Ранее мы уже рассматривали числовые множества: натуральных чисел  целых чисел  рациональных чисел  действительных чисел 

Понятие множества в более широком понимании является одним из основных в математике и потому не может обозначаться через какие-то элементарные понятия. Будем понимать под понятием множества совокупность объектов любой природы, а сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество  состоит из чисел 1, 2, 3, 4, то это записывают так:  Числа 1, 2, 3, 4 — элементы множества . Тот факт, что число 1 принадлежит множеству  записывают при помощи известного нам символа зависимости  а именно:  Если число 5 не принадлежит множеству , то это записывают так: 

В математике также рассматривают множество, которое не содержит никакого элемента, то есть пустое множество. Его обозначают символом  Так, например, пустым множеством является множество действительных корней уравнения 

Если каждый элемент множества B является элементом множества  A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A.

Записывают это с помощью символа подмножества:  а схематично можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера, которые еще называют диаграммами Эйлера-Венна (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Пример №851

Пусть  Тогда множество  является подмножеством множества  то есть  Множество  не является подмножеством множества  поскольку множество  содержит элемент 5, который не содержится в множестве 

Пример №852

Для известных нам числовых множеств имеем:   и т.п.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Равенство множеств

Рассмотрим множества  и  Эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называют равными и записывают так: 

Множества  и  содержат конечное число элементов. Такие множества называют конечными, а в противоположном случае — бесконечными. Значит,

конечные множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Обозначение равных множеств (как конечных, так и бесконечных) можно сформулировать и через понятие подмножества:

два множества называют равными, если каждое из них является подмножеством другого.

Упорядоченные множества

Вернемся к множествам  и  которые мы уже рассмотрели выше и выяснили, что  Замечаем, что порядок размещения элементов в каждом из множеств  и  разный. Для равенства множеств порядок размещения значения не имеет. Но часто в математике этот порядок имеет значение, то есть важно, какой элемент множества стоит на первом месте, какой — на втором, какой — на третьем и так далее. Множества, для которых порядок размещение элементов имеет значение, называют упорядоченными. Для записи упорядоченных множеств вместо фигурных скобок используют круглые. Если множества  и  рассматривать как упорядоченные, то их запись будет выглядеть так:  и  В этом случае они уже не будут равными, то есть  поскольку для равенства упорядоченных множеств важен еще и порядок размещения элементов во множестве, которые далее в теории множеств и задач по комбинаторике будем коротко называть порядком элементов.

Неупорядоченные множества можно упорядочивать по разным правилам.

Пример №853

Дано неупорядоченное множество  Упорядочить  по: 1) возрастанию; 2) убыванию; 3) возрастанию модулей ее элементов.

Решение.   Заметим, что, например,  но 

 Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, комбинации

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучают способы выбора и размещения элементов из некоторого конечного множества соответственно с заданными условиями. Выбранные (или выбранные и соответственно размещенные) группы элементов называют соединениями. Комбинаторика изучает такие соединения: размещение, перестановка, комбинация и т. д.

Прежде чем перейти к изучению соединений, вспомним некоторые комбинаторные правила.

Правило суммы и правило произведения

Много комбинаторных задач можно решить с помощью двух важных правил, которые называют соответственно правилом суммы и правилом произведения.

Пример №854

В овощном отделе супермаркета есть 5 сортов яблок красного цвета и 4 сорта зеленого. Сколькими способами можно выбрать для покупки килограмм яблок одного сорта?

Понятно, что выбрать яблоки сорта красного цвета можно 5 способами, а выбрать яблоки зеленого цвета — 4 способами. Следовательно, выбрать один из сортов яблок можно 5 + 4 = 9 способами.

Обобщив, получим комбинаторное правило суммы:

если некоторый элемент A выбрать  способами, а некоторый элемент  способами (причем любой выбор элемента A отличается от выбора элемента B), то выбрать A или B можно  способами.

Понятно, что это правило можно расширить на три и более элемента.

Пример №855

В школьной столовой можно выбрать обед из 4 первых и 4 вторых блюд. Сколько разных вариантов обедов, состоящих из одного первого и одного второго блюд можно выбрать в этой столовой?

Понятно, что первое блюдо можно выбрать 4 способами и к каждому первому блюду выбрать второе 3 способами (рис. 17.1).

Следовательно, есть  разных вариантов обедов.

Первые блюда

Вторые блюда

Рис. 17.1

Обобщив, получим комбинаторное правило произведения:

• если некоторый элемент A выбрать  способами, а после каждого такого выбора другой элемент B можно выбрать  способами, то пару объектов A и B можно выбрать  способами.

Это правило также можно распространить на три и более элементов. Рассмотрим несколько более сложных задач.

Пример №856

Сколько трехзначных чисел можно сложить из 5, 6, 7, 8, если в числе:

1) цифры не повторяются;    2) цифры повторяются?

Решение. 1) Имеем 4 способа для сотен числа (рис. 17.2). После того, как место сотен заполнено (одной из данных 4 цифр), для десятков остается 3 способа (3 оставшиеся цифры), размышляя дальше, для 1 — 2 способа. Следовательно, имеем: 4 способа, и после каждого из них — 3 способа, и после каждого из них — 2 способа. Согласно правилу произведения имеем  числа.

2) Если цифры в числе повторяются, то каждое из трех мест можно заполнить 4 способами (рис. 17.3), и тогда всех чисел будет 

Рис. 17.2                                           Рис. 17.3

Ответ. 1) 24 числа; 2) 64 числа.

Отметим, что, не пользуясь комбинаторными правилами, такие задачи мы смогли бы решать только методом перебора всех чисел, удовлетворяющих условие, а такое решение, безусловно, является очень громоздким.

Пример №857

Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 5; 6; 7; 8; 9, если в числе цифры не повторяются?

Решение. Четное пятизначное число можно получить, если последней цифрой будет 6 или 8. Чисел, у которых последней цифрой является 6, будет  у которых последней является цифра 8 —тоже 24 (рис. 17.4). Согласно комбинаторному правилу суммы четных чисел будет 

Рис. 17.4

Ответ. 48 чисел.

Понятие факториала

Важным в комбинаторике является понятие факториала.

Факториалом числа  где  целое неотрицательное число, называют произведение всех натуральных чисел от 1 до 

Обозначают факториал числа  так  (читают: "эн факториал"). Следовательно,  Например,  По определению считают, что 

Пример №858

Упростите выражение 

Решение. 1-й способ. 

2-й способ. 

Ответ. 5.

Теперь перейдем к рассмотрению соединений, являющихся одними из основных понятий комбинаторики.

Чтобы понять, какими бывают соединения и чем они отличаются одно от другого, допустим, что мы имеем определенное количество предметов (элементов некоторого множества) и определенное количество мест, на которых их нужно разместить (упорядоченно или неупорядоченно), причем количество мест не превышает количество предметов.

Размещение

Пусть дано множество  состоящее из  элементов, и  мест, на которых их нужно разместить.

Размещением из  элементов по  называют любое упорядоченное подмножество  из  элементов множества  причем два таких подмножества считают разными, если они отличаются составом или порядком элементов.

Пример №859

Пусть дано множество  Из трех элементов множества  можно составить такие размещения, то есть упорядоченные множества подмножества : 

1) по одному элементу:  их будет 3;

2) по два элемента:  их будет 6;

3) по три элемента:  их будет 6.

Количество размещений из  элементов по  обозначают через  (читают: "а с эн по эм")

В примере имеем: 

Найдем общую формулу для нахождения 

Пример №860

Пусть дано множество изэлементов  Вычислить 

Решение. Будем из данных  элементов составлять упорядоченные подмножества из элементов, иначе говоря, размещать  элементов по  местам. На первое место можно поместить любой из  элементов (рис. 17.5), то есть имеем  способов.

Рис. 17.5

 Обозначение  происходит от первой буквы слова  что по-французски означает "размещение".

На второе место — уже  элементов, которые остались после выбора первого, на третье — , которые остались после выбора первых двух, и так далее. На последнее место под номером  можно выбрать только один из  элементов, оставшихся после выбора  предыдущих.

Используя комбинаторное правило произведения, получим:

Эту формулу можно запомнить с помощью такого правила:

 это произведение  натуральных чисел, начиная с числа  записанных в порядке убывания.

По полученной формуле  (что совпадает с ранее вычисленным в примере), а 

Если полученное по формуле для  выражение умножить и поделить на  то получим еще одну формулу для вычисления количества размещений с  по 

Пример №861

Школьное расписание содержит 6 уроков в день. Найти, сколько существует вариантов такого расписания при выборе из 10 предметов, при условии, что ни один из предметов не повторяется в расписании дважды.

Решение. Понятно, что вариантов таких расписаний будет

Ответ. 

Пример №862

Сколько разных правильный дробей можно составить из чисел  используя их для записи и числителя, и знаменателя дроби?

Решение. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить  штук, но только половина из них будут правильными. Следовательно, имеем такое количество дробей: 

Ответ. 21. 

Комбинаторные формулы могут содержаться в уравнениях и неравенствах или в системах уравнений.

Пример №863

Решить неравенство 

Решение. ОДЗ переменной в неравенстве:  По формуле размещений имеем:  Тогда неравенство приобретет вид:  то есть является квадратным:  отсюда 

Учитывая ОДЗ, получим, что 

Перестановки

Допустим, что мы имеем определенное количество предметов и такое же количество мест, на которых их нужно разместить.

Перестановкой из n элементов называют любое упорядоченное множество из всех этих элементов, причем два таких множества считают разными, если они отличаются между собой порядком элементов.

Количество перестановок из n элементов обозначают  (читают: "пэ зэ эн")

( Обозначение  происходит от первой буквы слова  что по-французски означает "перестановка".) Найдем формулу для . Из определения перестановки понятно, что  Тогда, учитывая формулу размещений  и то, что  получим: Следовательно,

Пример №864

Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг? 

Решение. Очевидно, что искомое количество способов равно количеству перестановок с 5 элементов: 

Ответ. 120.

Пример №865

Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр  если в каждом числе ни одна из цифр не повторяется?

Решение. Из пяти цифр  можно создать  перестановок. Но пятизначное число не может начинаться с цифры ноль. Перестановок, начинающихся с цифры 0, следовательно, не удовлетворяющих условие задачи, будет  Следовательно, искомое количество пятизначных цифр равно: 

Ответ. 96.

Пример №866

Ребенок выкладывает в ряд шесть кубиков с числами от 1 до 6. Сколько существует способов такого выкладывания, чтобы числа 1 и 2 оказались рядом?

Решение. Условно объединим кубики 1 и 2 в один "кубик". Тогда будем иметь не 6, а 5 кубиков, которые можно разместить в ряд  способами. При каждом таком размещении кубики с числами 1 и 2 можно поменять между собой местами  способами. Следовательно, согласно комбинаторному правилу произведения, окончательно получим: 

Ответ. 240 способов.

Комбинации (сочетания)

Пусть дано множество  состоящее из  элементов.

Комбинацией (сочетанием) из  элементов по  называют любое подмножество   из  элементов множества  причем два таких подмножества считают разными, если они отличаются только составом элементов.

Количество комбинаций из по  обозначают (читают: "цэ из эн по эм"). (Обозначение  происходит от первой буквы слова  что на латыни означает "совмещать", а также от французского слова  что переводится, как "комбинация".)

Обратите внимание, что для комбинаций порядок элементов значения не имеет.

Найдем формулу для 

Пример №867

Пусть дано множество из элементов,  Вычислить 

Решение. Сначала составим упорядоченные подмножества из  элементов по , их, как известно,  Но для комбинаций нас не интересует порядок элементов в каждом таком подмножестве. Элементы каждого такого подмножества можно переставить между собой  способами. Следовательно, число  в  раз меньше числа  То есть:

Следовательно, 

Например, 

Пример №868

В вазе 7 красных и 5 белых роз. Сколькими способами из вазы можно выбрать:

1) три розы;   2) две красные и одну белую розу?

Решение. 1) Имеем множество из 12 элементов. Нужно найти количество подмножеств из трех элементов этого множества.

Поскольку порядок элементов в подмножестве не имеет значения, то выбрать 3 розы из 12 можно  способами. Следовательно, 

2) Поскольку порядок элементов в подмножествах, которые мы выбираем, не важен, то две красные розы можно выбрать  способами, а одну белую  способами. Поэтому, согласно комбинаторному правилу произведения, две красные и одну белую розу можно выбрать  способами. Имеем:

Ответ. 

Подытожим существенные признаки тех соединений, которые мы рассмотрели в этой лекции.

Если во время выбора  элементов из  элементов,  порядок элементов имеет значение, то имеем размещение (или перестановку), а если нет — комбинацию.

Обратите внимание, что для решения комбинаторных задач, в которых мы ищем количество подмножеств данного множества,  удовлетворяющие определенное условие, важно правильно выяснить, о каком именно соединении (размещении, перестановке или комбинации) идет речь в задаче, и далее использовать соответствующую формулу этого соединения. 

Установить вид соединения поможет такая схема.

Как определить количество подмножеств

Пусть  количество элементов множества,  количество элементов подмножества, 

Порядок элементов имеет значение?

Да	Нет
Выбираем все  элементов?	Имеем комбинацию
Если да, то имеем перестановку
Если нет, то имеем размещение

Примером использования схемы может быть такая задача.

В классе 30 учеников, сколькими способами можно...

Условие задачи	...выстроить всех учеников класса в одну шеренгу	...выбрать старосту класса и его заместителя	...выбрать трех дежурных по классу
Характерные признаки соединения	1) Все 30 учеников; 2)порядок имеет значение.	1) Только 2 ученика из 30; 2) порядок имеет значение.	1) Только 3 ученика из 30; 2)порядок не имеет значения.
Вывод насчет вида соединения	ПЕРЕСТАНОВКА	РАЗМЕЩЕНИЕ	КОМБИНАЦИЯ
Решение задачи

Случайный опыт и случайное событие. Вероятность события

Любая точная наука изучает не сами явления, которые происходят в природе, а их математические модели. При этом часто приходится учитывать и случайные факторы, в результате которых явление может как произойти, так и не произойти. Такие явления называют случайными. 

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

В этой лекции вспомним то, что нам известно из предыдущих классов, научимся решать задачи на вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики и узнаем кое-что новое.

Допустим, что проводят определенный опыт (эксперимент, наблюдение, испытание и т. п.), результат которого предсказать невозможно. Такие опыты в теории вероятностей называют случайными. При этом целесообразно проводить только те опыты, которые возможно повторить, хотя бы теоретически, произвольное количество раз при одних и тех же условиях.

К случайным опытам можно отнести подбрасывание монеты или игрального кубика, покупку лотерейного билета, стрельбу по мишени и т. п. Следовательно,

• случайный опыт — это опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), результат которого зависит от случая, и который можно повторить много раз в одних и тех же условиях.

Результатом случайного опыта является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое в одних и тех же условиях может состояться, а может и не состояться.

Примерами случайных событий является выпадение единицы при подкидывании игрального кубика, выпадение герба при подкидывании монеты, выигрыш определенного приза при покупке лотерейного билета и т. д. Такие события, как закипание воды, когда ее температура достигла  или увеличение длины провода при его нагревании, являются закономерными, поэтому их нельзя назвать случайными.

Случайные события, как правило, обозначают большими латинскими буквами: 

Пример №869

В ящике только белые и черные шарики. Из него наугад вытаскивают один шарик. Какие из событий при этом могут произойти:

вытащен белый шарик;

 вытащен черный шарик;

 вытащен зеленый шарик;

 вытащен шарик?

Решение. Поскольку из ящика можно выбрать только то, что в нем есть, то вытащить белый или черный шарик можно, а зеленый — нет. Можно также утверждать, что любой предмет, который наугад вытаскивают из ящика, будет шариком, поскольку там кроме шариков ничего нет. Значит события  и  могут состояться (а могут и не состояться); событие  не может состояться, а событие  обязательно состоится.

Ответ. 

Событие, которое при данных условиях обязательно состоится, называют вероятным.

Событие, которое при данных условиях не может состояться, называют невозможным.

В примере 1 событие и событие — случайные, — вероятное, а  — невозможное.

Вероятное событие часто обозначают буквой  а невозможное — буквой 

Несовместимые события. Полная группа событий. Равновероятные события

События A и B называют несовместимыми в данном опыте, если они не могут произойти одновременно, в другом случае события называют совместимыми.

Пример №870

Пусть при однократном подкидывании игрального кубика событие A — выпадение единицы; B  — выпадение шестерки;  выпадение числа, кратного числу 3. Тогда события  и  — несовместимы в данном опыте, поскольку одновременное выпадение единицы и шестерки невозможно. События и  — совместимы в данном опыте, поскольку при выпадении на игральном кубике шестерки события и  произошли одновременно.

События  называют попарно несовместимыми, если любые два из них являются несовместимыми.

Если события  попарно несовместимы и в результате опыта может произойти одно и только одно из них, то говорят, что события  образуют полную группу событий. Множество всех таких событий называют пространством элементарных событий, при этом сами события  называют элементарными событиями.

Пример №871

Пусть событие  означает, что в результате подбрасывания игрального кубика выпало  очков;  Тогда события  являются попарно несовместимыми, но такими, что не создают полную группу событий. А события  являются попарно несовместимыми и создают полную группу событий.

Из этого примера понятно, что выпадение, например, единицы и двойки являются равновозможными событиями. Поэтому события  и  называют равновероятными.

Равновероятными событиями называют такие события, вероятности которых одинаковы в данном испытании.

Так, например, равновероятными являются выпадение герба и цифры при подбрасывании монеты. Но если стрелок попадает в мишень с вероятностью  то для этого стрелка попадание и промах не являются равновероятными событиями.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт, результатом которого может быть одно из  случайных событий, причем эти события создают определенную группу равновероятных событий. Как мы уже знаем, такие события называют элементарными событиями, при этом опыт называют классическим.

Примером классического опыта является пример этой лекции, элементарные события которого — это события 

Случай, в результате которого происходит событие A, называют случаем, который способствует появлению события A.

Вспомним известное нам из предыдущих классов классическое определение вероятности:

• вероятность события A равна отношению количества случаев  способствующих появлению события A, к количеству всех возможных случаев 

Отметим, что это определение не противоречит статистическому определению вероятности и дает возможность прийти к тем же выводам:

• вероятность вероятного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1.

Действительно, если событие  вероятное, то количество случаев, способствующих появлению события  равно количеству всех возможных случаев, то есть  поэтому  Если событие  невозможно, то количество случаев, способствующих появлению события равно нулю, то есть  а потому Если  произвольное случайное событие, то  а потому  то есть 

Рассмотрим несколько упражнений для нахождения вероятности события.

Пример №872

В коробке 5 белых и 15 черных шариков. Наугад вынимают один из них. Событие A состоит в том, что вытащен белый шарик. Какова вероятность события A?

Решение. Из коробки можно вытащить с равной вероятностью любой из  шариков, поэтому  Поскольку белых шариков 5, то количество случаев, способствующих событию  равно 5, то есть  Следовательно, 

Ответ. 0,25.

Пример №873

На карточках записаны натуральные числа от 1 до 20. Наугад вытаскивают одну из карточек. Какая вероятность того, что число, записанное на карточке, является делителем числа 20?

Решение. Понятно, что  Пусть событие A состоит в том, что вытащена карточка, число на которой является делителем числа 20. Натуральными делителями числа 20 являются шесть чисел: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Следовательно,  и тогда 

Ответ. 0,3.

Пример №874

Одновременно подбросили два игральных кубика. Какая вероятность того, что сумма очков, выпавшая на кубиках:

1) равна 8;    2) больше 9?

Решение. Составим таблицу суммы очков, которую можно получить при одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Тогда  количество всех возможных случаев. 

1) Есть пять случаев, когда сумма очков на обоих кубиках равна 8, значит  Тогда 

2) Есть шесть случаев, когда сумма очков на обоих кубиках больше 9, потому  Значит 

Ответ. 

Нахождение вероятности с помощью формул комбинаторики 

Часто в задачах на вычисление вероятности используют формулы комбинаторики. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример №875

Пусть есть пять отрезков, длина которых 1 см, 3 см, 5 см, 7 см, 9 см. Наугад выбираем три из них. Какова вероятность того, что из них можно составить треугольник?

Решение. Количество  всех возможных случаев — это количество способов, которыми можно выбрать 3 отрезка из 5, и не имеет значения, в каком порядке. Следовательно, 

Треугольник можно составить только из таких групп отрезков: 3 см, 5 см и 7 см или 3 см, 7 см и 9 см или 5 см, 7 см и 9 см. Поэтому  следовательно, 

Ответ. 0,3.

Пример №876

В корзине 10 яблок и 8 груш. Наугад из корзины берут два фрукта. Какова вероятность, что:

1) оба из них — яблоки;

2) один из них — яблоко, второй — груша.

Решение. Для обоих заданий  количество всех возможных случаев выбора двух фруктов.

1) Выбрать два яблока можно способами. Следовательно,  и тогда 

2) Выбрать одно яблоко можно способами, и после каждого такого выбора грушу можно выбрать  способами. Согласно комбинаторному правилу произведения  следовательно, 

Ответ. 

Операции над событиями. Аксиомы теории вероятностей и основные следствия из них

В этой лекции мы рассмотрим основные операции над событиями и аксиоматическое определение вероятности.

Операции над событиями

Суммой двух событий A и B считают событие C, которое считают состоявшимся, если произошло хоть одно из событий A и B.

Записывают это так:  (или ).

Пример №877

Если стрелок сделал два выстрела по мишени и событие  попадание во время первого выстрела, а событие  попадание во время второго выстрела, то событие  попадание стрелка в мишень хотя бы во время одного выстрела.

Если события  и  несовместимы, то событие  состоит в том, что произойдет одно из них. Например, если  выпадение числа 1 при подбрасывании игрального кубика, а  выпадение числа 2, то  это выпадение или числа 1, или числа 2 при однократном подбрасывании кубика.

Произведением двух событий называют событие C, которое считают произошедшим, если состоялись оба события A и B.

Записывают это так:  (или  или ).

Возвращаясь к примеру, отметим, что событие  это попадание стрелка в мишень при обоих выстрелах.

Нетрудно заметить аналогию между суммой двух событий и объединением множеств (числовых промежутков), произведением двух событий и пересечением множеств (числовых промежутков).

Событием, противоположным к событию  называют событие , которое считают состоявшимся, если не состоялось событие  и наоборот.

Так, например, если  выпадение герба при однократном подбрасывании монеты, то  выпадение цифры; если  выпадение числа 1 при однократном подбрасывании игрального кубика, то  выпадение любого из чисел 2, 3, 4, 5 или 6 при однократном подбрасывании кубика.

Рассмотрим свойства операции над событиями.

Коммутативные законы

Ассоциативные законы

Дистрибутивные законы

Закон двойственности (или законы де Моргана)

Примем эти свойства без доказательств.

Рассмотрим несколько задач.

Пример №878

Может ли сумма двух событий равняться их произведению?

Решение. Да, если события эквивалентны, то есть если произошло событие  то обязательно произошло и событие  и наоборот. Например, биатлонист стреляет по мишени, попадание в которую приводит к ее разрушению. При этом никаким другим способом ее разрушить невозможно. Тогда, если  это попадание в мишень, а  разрушение мишени, то  и  значит 

Пример №879

Пусть событие  является случайным случаем события  то есть из того, что событие произошло, обязательно следует, что произошло событие 

1) Что означают события: 

2) Следует ли  из 

Решение. На рисунке 19.1 с помощью кругов Эйлера схематически изображено условие задачи.

Рис. 19.1

1) Понятно, что и 

2) Ответ: нет. Ведь событие  может состояться, а событие — нет. Примером такой ситуации может быть элементарное событие  Отметим, что наоборот, из следует .

Пример №880

В классе 22 ученика, 12 из которых посещают секцию баскетбола (событие ), 8 — секцию волейбола (событие ), а 2 — и баскетбола, и волейбола (событие ). Выразить  через  и . Что означают события:

Решение. Изобразим условие задачи при помощи кругов Эйлера (рис. 19.2). По рисунку видим, что 

Рис. 19.2

Далее:

1)  означает, что 18 учеников посещают секции игры с мячом;

2)  означает, что 10 учеников посещают только секцию баскетбола;

3)  означает, что 6 учеников посещают только секцию волейбола;

4)  означает, что 4 ученика не посещают секции игры с мячом.

Пример №881

Подбрасывают две монеты. Рассмотрим события:  появление герба на первой монете;  появление цифры на первой монете; появление герба на второй монете;  появление цифры на второй монете;  появление хотя бы одного герба;  появление хотя бы одной цифры;  появление одного герба и одной цифры;  появление двух цифр;  появление двух гербов. Каким из них равносильны события:

Решение. 

Пример №882

В ящике лежат 4 шарика. Известно, что шарик может быть или белым, или черным. Пусть событие ровно один шарик белый; хотя бы один шарик белый; ровно два шарика белых;  не менее двух шариков белые;  ровно два шарика белые; все четыре шарика белые. Что означают события:  Сходятся ли события  и Сходятся ли события  и 

Решение. 

Поскольку  и сходятся,  и  не сходятся.

Аксиомы теории вероятности и ее основные следствия

Аксиоматическое строение теории вероятности появилось в начале 30-х годов  века благодаря академику Колмогорову. Аксиомы теории вероятности вводят так, чтобы вероятность события имела основные свойства статистической вероятности (известной нам из предыдущих классов), которая отражает практический смысл теории вероятностей. Тогда аксиомы теории вероятностей хорошо согласовываются с практикой. Также аксиомы теории вероятностей хорошо согласовываются и с классическим определением вероятности. Дадим определение вероятности, основывающееся на аксиоматическом строении теории вероятности.

Вероятностью называют функцию  которая приобретает действительные значения и для которой справедливы такие аксиомы:

А1. Каждому случайному событию соответствует число  причем 

А2. Вероятность вероятного события равна 1.

А3. Вероятность суммы несовместимых в данном испытании событий  и 

равна сумме их вероятностей, то есть .

Из аксиом теории вероятностей получим такие следствия.

Следствие 1. Если события  попарно несовместимы в данном испытании, то 

Следствие 2. Если  создают определенную группу событий, то

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть 

Следствие 4. Вероятность невозможного события равна нулю.

Отметим, что обратное к следствию 4 утверждение не является правильным, а именно равенство  не значит, что  невозможное событие.

Вычисление вероятности событий с использованием аксиом теории вероятностей и следствий из них

Рассмотрим задачи, решить которые целесообразно по аксиомам теории вероятностей и следствий из них.

Пример №883

В букете 5 белых, 2 желтых и 3 красных розы. Наугад выбирают одну из них. Какова вероятность, что она не является белой?

Решение. 1-й способ (по классическому определению вероятности). Очевидно, что  Тогда 

2=й способ (по аксиоме ).  Пусть событие  выбрана желтая роза,  выбрана красная роза. Очевидно, что события  и  несовместимы. Событие  выбрана желтая или красная роза, то есть не белая. По аксиоме  имеем: 

Ответ. 0,5.

Пример №884

Группе школьников из 20 учеников выдали путевки: 8 — в Одессу, 12 — в Миргород. Путевки между учениками будут распределены методом жеребьевки. Какова вероятность того, что брат и сестра из этой группы школьников будут отдыхать вместе?

Решение. Обозначим:

событие  брат и сестра будут отдыхать вместе;

событие  брат и сестра будут отдыхать вместе в Одессе;

событие  брат и сестра будут отдыхать вместе в Миргороде.

Очевидно, что  и  несовместимые события, причем  Тогда 

Имеем:  тогда 

Ответ. 

Формула  дает возможность решать задачи на вычисление вероятности некоторого события через вероятность противоположного ему события, так как из этой формулы имеем:  Понятно, что этот подход используют тогда, когда вероятность события  найти легче, чем вероятность события 

Пример №885

Загадали одно из трехзначных чисел (от 100 до 999). Какова вероятность того, что в этом числе хотя бы две цифры будут одинаковыми?

Решение. Пусть  событие, вероятность которого нужно найти, тогда  событие, которое состоит в том, чтобы все цифры в числе были разными. Найдем вероятность события по классическому определению вероятности. Имеем:  количество размещений из трех разных цифр, причем среди них тех, которые начинаются с цифры 0, потому  Тогда

Следовательно,  а значит 

Ответ. 0,28.

Независимые события. Условная вероятность

Если на определенном опыте или испытании имеем два совместимых события, возникает вопрос, как наступление одного из событий влияет на наступление другого. В этой лекции мы рассмотрим именно это.

Независимые события:

Событие A называют независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, состоялось ли событие B.

Пример №886

Рассмотрим опыт, который состоит в двух последовательных подбрасываниях монеты; событие выпадение герба при втором подбрасывании; выпадение герба при первом подбрасывании. Понятно, что  и вероятность события  не зависит от того, состоялось ли событие  Следовательно, события и  в данном примере независимые.

Пример №887

Опыт состоит в однократном подбрасывании игрального кубика. Событие выпадение нечетного количества очков; событие  выпадение количества очков меньше 4. Понятно, что  Если же состоялось событие то есть выпало 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, то вероятность события  будет равна  Поскольку  то события  и не являются независимыми в данном испытании.

Теорема (о вероятности произведения двух независимых событий). Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий, то есть 

Примем эту теорему без доказательства.

Из теоремы имеем важное следствие. 

Следствие. Если события  независимы в совокупности, то есть осуществление произвольного количества из них не изменяет вероятность осуществления других, то

Отметим, что этим следствием нужно пользоваться осторожно, поскольку события могут быть попарно независимыми, но не являться независимыми в совокупности.

Возвращаясь к примеру, отметим, что событие  состоит в том, что герб выпал как при первом, так и при втором подбрасывании. Поскольку события  и  независимы, можем применить теорему о вероятности произведения двух независимых событий. Имеем:

Тот же результат можно было получить, решая задачи с классическим определением вероятности.

Рассмотрим еще пример.

Пример №888

Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти вероятность того, что 6 очков впервые выпадет во время третьего подбрасывания.

Решение. Рассмотрим события:  выпало 6 очков впервые при третьем подбрасывании;  выпало 6 очков при м подбрасывании  Тогда  Понятно, что  и  и  независимы в совокупности. Следовательно, имеем

Ответ. 

Условная вероятность

Для количественной характеристики зависимости одного события от другого вводят понятие условной вероятности.

Если вероятность события A вычисляют при условии, что событие B состоялось, тогда вероятность события A называют условной и обозначают 

Это определение дает возможность иначе определить независимые события, а именно:

события A и B называют независимыми между собой, если  или 

Это определение можно трактовать так, что выполнение одного из событий не влияет на вероятность выполнения другого.

Пример №889

Из ящика, в котором лежит 5 черных и 3 белых шарика, последовательно наугад вынимают два шарика. Рассмотрим события:  первый шарик черный;  второй шарик белый. Зависимы ли события  и  если:

1) после вынимания первого шарика его возвращают в ящик;

2) после вынимания первого шарика его не возвращают в ящик?

Решение. Понятно, что 

1) Если после того, как первым вытащен черный шарик, его возвращают в ящик, то в ящике снова стало 5 черных и 3 белых шарика.

А потому  Следовательно,  События  и  независимы. 

2) Если после того, как первым вытащен черный шарик, его не вернули в ящик, то в ящике стало 4 черных и 3 белых шарика.

А потому  Имеем  События  и  не являются независимыми.

Ответ. 1) Да; 2) нет. 

Можно дать и другое определение условной вероятности, по которому можно ее вычислить.

ЕслиA и B — два совместимых в одном испытании события, причем  то число  называют условной вероятностью события A при условии, что событие B состоялось, или просто условной вероятностью события A.

Следовательно, имеем: 

Пример №890

В комоде лежат 5 черных и 3 красных шарика. Два раза подряд наугад из комода вынимают по одному шарику, не возвращая их обратно в комод. Найти вероятность того, что вторым был вытащен красный шарик, при условии, что первым был вытащен черный.

Решение. Пусть событие означает, что первым был вытащен черный шарик; событие  означает, что вторым был вытащен красный шарик. Тогда событие  значит, что последовательно был вытащен сначала черный, а потом красный шарик;  вторым вытащен красный шарик, при условии, что первым был вытащен черный.

1-й способ. После того, как произошло событие (первым вытащен черный шарик), в комоде осталось 4 черных и 3 красных, а потому  (по классическому определению вероятности).

2-й способ.  (по классическому определению вероятности);

 Тогда 

Ответ. 

Используя второе определение условной вероятности, можно сформулировать теорему, которую еще называют теоремой умножения вероятностей:

(учитывая, что  и  одно и то же событие).

Отметим, что эта формула имеет смысл и когда A и B совместимы.

Следствие 1. Если события A и B независимы, то есть  и  то 

Эту формулу мы знаем еще из предыдущего пункта этой лекции.

Следствие 2. 

Следствие 3. 

Пример №891

  деталей, производимых на заводе, бракованные. Среди качественных деталей  высшего сорта. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет высшего сорта?

Решение. Пусть событие  означает, что деталь не бракованная; а событие  что деталь высшего сорта. Тогда 

Следовательно, 

Ответ. 0,594.

Пример №892

Шесть карточек разрезанной азбуки содержат буквы, из которых можно сложить слово "ракета". Карточки перемешивают, а потом по одной выкладывают слева направо. Какова вероятность того, что снова сложится слово "ракета"?

Решение. Рассмотрим события:  снова сложилось слово "ракета";  на м месте оказалась нужна буква.

Буква "р" первой может сложиться с вероятностью  после чего остается 5 букв, из которых 2 буквы "а", следовательно,  и так далее. Тогда 

Ответ. 

Следует отметить, что эту задачу, как и другие из этой лекции, можно было решить с помощью классического определения вероятности, а именно 

Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий

Ранее мы уже несколько раз рассматривали задачи, в которых нужно было найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий. Рассмотрим универсальную задачу.

Пример №893

Пусть события  независимы в совокупности, а событие  означает, что состоялось хоть одно из этих событий. Докажем, что

 или  где 

Доказательство. Найдем вероятность противоположного события:  Поскольку события  независимы в совокупности, то и события  также независимы в совокупности. Тогда  Следовательно,  Обратите внимание, если  то 

Рассмотрим, как применять доказанную формулу 

Пример №894

Вероятность того, что при нажатии стартера мотор заработает, равна  Найти вероятность того, что для запуска мотора понадобится не больше двух нажатий.

Решение. Имеем:  где событие  состоит в том, что мотор заработал при м нажатии стартера. Тогда, если событие  состоит в том, что для запуска мотора нужно не больше двух нажатий, то по формуле 

Ответ. 

Пример №895

Сколько раз достаточно подбросить монету, чтобы с вероятностью  быть уверенным в том, что хотя бы один раз выпадет герб?

Решение. Пусть событие  состоит в том, чтобы хоть один раз выпал герб, а событие в том, что при м подбрасывании выпал герб  Понятно, что  для всех  Поэтому  Остается найти такое  чтобы  то есть  Тогда  но 

Поскольку  следовательно,  Таким образом, подбросив монету 7 раз, можно с вероятностью  быть уверенным, что хоть один раз выпадет герб. 

Ответ. 7 раз.

Пример №896 (задача де Мере).

Шевалье де Мере, друг математика Б. Паскаля, предлагал партнерам игру по таким правилам: он будет подбрасывать два игральных кубика 24 раза и выиграет, если хоть один раз выпадет две шестерки. Его соперник подбрасывает один раз четыре игральных кубика и выиграет, если выпадет хотя бы одна шестерка. Казалось, что шевалье де Мере выбрал для себя более благоприятные условия, но играя много раз, он больше проигрывал, чем выигрывал. Почему?

Решение. Пусть событие  выпадение двух шестерок при подбрасывании двух кубиков, тогда  Событие  выпадение хотя бы одной шестерки при подбрасывании четырех кубиков, тогда Событие выигрыш шевалье де Мере, то есть выпадение двух шестерок (событие ) хотя бы один раз в серии из 24 подбрасываний двух кубиков, тогда: 

Поскольку  то шевалье де Мере чаще проигрывал, нежели выигрывал. 

Случайная величина и ее математическое ожидание

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. В этой лекции рассмотрим простейший вид случайной величины, а именно, когда случайный опыт имеет бесконечное множество элементарных следствий. Такие случайные величины называют дискретными. Более сложные виды случайных величин рассматривают в высших учебных заведениях.

Случайная величина

Рассмотрим случайный опыт, который состоит в одновременном подбрасывании трех монет. Тогда количество гербов, которые могут при этом выпасть, равно одному из чисел 0; 1; 2 или 3, то есть это количество приобретает некоторое случайное значение.

Случайной величиной называют величину, которая в результате случайного опыта приобретает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Договоримся случайные величины обозначать большими латинскими буквами а значения, которые они приобретают, соответственно маленькими буквами 

Так, если, например, количество гербов, которые появились при подбрасывании трех монет, то 

Пример №897

Проводят один опыт, в результате которого событие  может произойти с вероятностью  Рассмотрим случайную величину количество появления события в данном опыте. Будем считать, что случайная величина приобретает значение 0, если событие  не произошло, и значение 1, если произошло. Имеем:  Обозначим вероятности, соответствующие этим значениям, соответственно  и  Тогда очевидно, что  (по условию), а  Полученные данные удобно подать в виде таблицы.

В таком случае говорят, что закон распределения случайной величины  задан в виде таблицы. Отметим, что закон распределения случайной величины можно задавать не только в виде таблицы, а и другим способом, но для случайной величины, которая в данном опыте имеет бесконечное множество значений  (их еще называют элементарными значениями), табличный вид является наиболее удобным.

В общем виде таблицу распределений можно записать так:

Первый ряд таблицы содержит все возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а второй — их вероятности. Такую таблицу называют еще рядом распределения.

Таким образом, для описания случайной величины нужно знать ее возможные значения  и соответствующие им вероятности 

Поскольку опыты, которые рассматривают для случайной величины, имеют бесконечное множество попарно несовместимых элементарных следствий, которые создают полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1, то есть 

Рассмотрим пример.

Пример №898

Закон распределения некоторой случайной величины  задан в виде таблицы:

Найти 

Решение. Поскольку  имеем уравнение:  откуда 

Ответ. 0,3.

Следовательно, если закон распределения некоторой случайной величины задан таблицей, то можно найти вероятность приобретения случайной величиной определенного значения. Например, тот факт, что случайная величина  приобретает значение 3 с вероятностью  записывают так: 

Пример №899

Закон распределения случайной величины  задан в таблице:

Найдите: 

Решение. 

 это вероятность того, что случайная величина  приобрела значение, меньшее, чем 6, то есть значение 2 или 4. Имеем:

Ответ. 

Пример №900

Стрелок стреляет по мишени дважды. Вероятность попадания при каждом выстреле равна  Случайная величина  количество попаданий. Запишите закон распределения этой случайной величины.

Решение. Очевидно, что результатом опыта могут быть 0, 1 или 2 попадания.

Следовательно, если 

Имеем закон распределения: 

Отметим, что в задачах, связанных с законом распределения, удостовериться в правильности результатов можно проверкой, что сумма вероятностей равна 1.

Действительно, 

Математическое ожидание случайной величины

Закон распределения случайной величины полностью ее характеризует, но для решения некоторых практических задач достаточно знать только некоторые числовые параметры, характеризующие существенные свойства закона распределения. Их принято называть числовыми характеристиками случайной величины. В школьном курсе математики рассматривают только одну из основных числовых характеристик, а именно математическое ожидание. Другие числовые характеристики случайной величины рассматривают в высших учебных заведениях.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называют число, которое равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание случайной величины будем обозначать Следовательно, если имеем ряд распределения:

Так, в примере 1 а в примере 4 

Вероятное содержание математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением, которое может приобретать случайная величина.

Пример №901

В ящике лежат 5 белых шариков и 3 черных. Из ящика наугад вынимают 3 шарика. Пусть  количество белых шариков среди вытащенных.

Найти:

1) закон распределения случайной величины ;   2) 

Решение. 1) Если 

если 

если 

если 

Получили ряд распределения:

Ответ. 

Уравнения, неравенства и их системы

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Методы решения уравнений с одной переменной

Вспомним основные методы решения уравнений с одной переменной.

Равносильные превращения

Одним из самых распространенных методов решения уравнений является метод равносильных превращений. Рассмотрим два подхода этого метода.

Первый состоит в том, что в начале решения уравнения находим область допустимых значений переменной в уравнении (ОДЗ). Как правило, это определенная система условий (уравнений или неравенств) для переменной, то есть определенные ограничения для ее значений. Далее решаем уравнение в зависимости от его типа или вида известным нам для этого вида уравнений способом, а полученные корни проверяем на принадлежность ОДЗ. Следует отметить, что систему условий, которой мы задавали ОДЗ, особенно тогда, когда нахождения значений переменной из таких условий является достаточно громоздким, необязательно решать. Достаточно только удостовериться, что полученные корни удовлетворяют эту систему условий.

Второй подход состоит в том, что начальное уравнение заменяют определенной системой условий (уравнений, неравенств и т. п.), одно из которых является уравнением–следствием (или совокупностью уравнений–следствий) начального уравнения, а все другие условия ОДЗ – переменной этого уравнения. То есть суть этого подхода состоит в замене начального уравнения равносильной ему системой условий (уравнений, неравенств и т. п.). Решения такой системы и будут корнями начального уравнения.

Рассмотрим оба подхода на примерах.

Пример №902

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ:  На ОДЗ уравнение равносильно уравнению  корни которого  причем второй корень не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно,  единственный корень начального уравнения.

Ответ. 

Пример №903

Решить уравнение 

Решение. Перепишем уравнение в виде: чтобы обе его части стали неотрицательными. Метод решения этого уравнения состоит в возведении в квадрат левой и правой его частей, которые являются неотрицательными числами при всех допустимых значениях переменной 

Чтобы обеспечить равносильность такого превращения, заменим полученное уравнение равносильной ему системой условий, что учитывает ОДЗ переменной в уравнении. Имеем:

Уравнение в свою очередь, равносильно системе 

 Поэтому имеем систему: 

Поскольку оба корня уравнения удовлетворяют условие  то числа 1 и  являются корнями начального уравнения.

Ответ. 

Метод разложения на множители

Пусть имеем уравнение  левую часть которого можно разложить на множители, то есть свести к виду: 

Поскольку произведение нескольких множителей равно нулю, если равен нулю хотя бы один из множителей, то далее решаем каждое из уравнений:  и проверяем, принадлежат ли полученные корни этих уравнений области допустимых значений переменной начального уравнения.

Пример №904

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ:  Имеем:

Ответ. 

Введение новой переменной

Введение новой переменной в уравнение, иначе говоря, замена переменной, — один из самых употребляемых подходов к решению уравнений. Это обусловлено тем, что этот метод можно удачно применять к широкому классу уравнений из абсолютно разных разделов математики. Его применяют и для рациональных уравнений высших степеней, где введение новой переменной дает возможность понизить степень уравнения и свести его к уравнению, которое является квадратным или может быть сведено к квадратному. Замену переменной используют также для решения тригонометрических,  иррациональных и трансцендентных (показательных, логарифмических и т. п.) уравнений. Введение новой переменной помогает свести эти уравнения к рациональным уравнениям, а потом и к простейшим, в сравнении с начальными, тригонометрическим, иррациональным или трансцендентным (или их совокупностей). 

Вспомним, как применяют этот метод, на примерах.

Пример №905

Решить уравнение 

Решение. Если раскрыть скобки, то получим рациональное уравнение четвертой степени.

Возведем второе слагаемое левой части уравнения в квадрат, получим уравнение: 

Понизим степень уравнения введением новой переменной.

Пусть  Имеем уравнение:  то есть  следовательно,  Возвращаемся к замене:

тогда  то есть  значит 

 тогда  то есть значит 

Ответ. 

Пример №906

Решить уравнение 

Решение. Имеем логарифмическое уравнение, ОДЗ: 

Учитывая ОДЗ, упростим каждое из слагаемых левой части уравнения:

Тогда получим уравнение 

Введем новую переменную, чтобы свести это уравнение к квадратному.

Пусть  где  имеем уравнение:  откуда  но  не удовлетворяет условие 

Возвращаемся к замене:  отсюда  тогда  следовательно, 

Ответ. 

Применение свойств функций

Иногда уравнения целесообразно решать, применяя свойства функций, являющихся левой и правой частями уравнения, или уравнение, к которому можно привести равносильными превращениями.

Рассмотрим примеры уравнений и случаи, когда целесообразно применять свойства функций. 

Допустим, что ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством. Тогда, учитывая, что корни уравнения должны принадлежать ОДЗ, приходим к выводу, что 

• если ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством, то уравнение корней не имеет.

Пример №907

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ переменной в уравнении найдем из системы 

 то есть  Очевидно, что система не имеет решений, следовательно, ОДЗ переменной в уравнении является пустым множеством (не имеет ни одного числа), потому уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней не имеет.

Допустим, что ОДЗ переменной в уравнении является бесконечным множеством, то есть ОДЗ содержит всего несколько чисел. Тогда

• чтобы найти корни уравнения, достаточно в уравнение вместо переменной подставить числа из ОДЗ и выбрать из них те, которые превратят уравнение в правильное числовое неравенство.

Пример №908

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ найдем из системы неравенств:

 то есть откуда имеем:  то есть 

Следовательно, ОДЗ содержит всего два числа. Проверим, являются ли они корнями уравнения.

Пусть  тогда  потому 1 не является корнем уравнения.

Пусть  тогда то есть  потому  корень уравнения.

Ответ. 

Рассмотрим, как решать уравнения вида  с помощью оценивания левой и правой частей уравнения. 

Если в уравнении  для всех  ОДЗ имеем:  (где  некоторое число), то уравнение не имеет корней.

Пример №909

Решить уравнение 

Решение. Поскольку 

С другой стороны, 

Следовательно,  потому уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Если в уравнении  имеем  для всех  ОДЗ, то уравнение равносильно системе уравнений 

Пример №910

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ: Оценим левую часть уравнения:  потому  Оценим правую часть уравнения:  потому  Следовательно,  и  поэтому начальное уравнение равносильно системе уравнений 

откуда следовательно,  

Ответ. 0.

Теперь вспомним, как решить уравнение с помощью монотонности его левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение  например, при условии, что  возрастающая на некотором промежутке  функция, а  убывающая на этом промежутке функция (или является постоянной) (рис. 22.1—22.3).

Рис. 22.1                                       Рис. 22.2                             Рис. 22.3

Тогда уравнение  имеет единственное решение (рис. 22.1 и 22.3) или не имеет решений вообще (рис. 22.2). Аналогично решаем уравнение и в случае, когда  убывает на  а  возрастает на  или является устойчивой. Следовательно, 

если в уравнении  одна из функций  или  возрастает на некотором промежутке, а другая — убывает на этом промежутке или одна из функций является монотонной, а другая — постоянной, то уравнение  имеет не больше одного корня на этом промежутке.

Часто корнем такого уравнения является целое число, которое можно найти подбором.

Пример №911

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ:  Функция  возрастает на  убывает на  (самостоятельно схематически начертите график функции  чтобы удостовериться в этом). Поэтому уравнение  имеет не более одного корня. Легко удостовериться, что число 1 — корень уравнения, потому что  поэтому других корней нет.

Ответ. 1.

Пример №912

Решить уравнение 

Решение. Очевидно, что число 2 является корнем уравнения (действительно, ). Остается выяснить, имеет ли это уравнение другие корни.

Поделим левую и правую части уравнения на  Получим: 

Функция  убывающая на  как сумма двух убывающих функций и  а функция  является постоянной. Поэтому прямая  и график функции  могут пересечься на  не более, чем в одной точке, а потому начальное уравнение может иметь не более одного корня. Следовательно, 2 — единственный корень начального уравнения.

Ответ. 2.

Уравнения, содержащие знак модуля

Сначала рассмотрим простейшие уравнения, содержащие знак модуля. Простейшим будем считать уравнение, которое по определению модуля легко заменить равносильным ему уравнением (или совокупностью уравнений), не содержащим знаков модуля.

Как решить уравнение вида  где  напомним с помощью схемы.

Пример №913

Решить уравнение 

Решение. Поскольку  то уравнение равносильно совокупности уравнений:

 Имеем совокупность двух квадратных уравнений: 

Корнями первого из них являются числа 1 и а второго — числа 

Ответ. 

Уравнение вида  также является простейшим. Очевидно, что равенство  справедливо для каждого из случаев  и 

Уравнение  равносильно совокупности уравнений 

Пример №914

Решить уравнение 

Решение. Имеем: 

Ответ. 

Уравнение вида также можно считать простейшим. Поскольку левая часть уравнения  является неотрицательной, то и правая часть должна быть неотрицательной, то есть, чтобы уравнение имело решения, должно выполняться условие  Тогда по этому условию  или 

Уравнение  равносильно системе 

Пример №915

Решить уравнение 

Решение. Имеем: 

 получим, что 

Ответ. 5.

Теперь рассмотрим более сложные уравнения. Это, как правило, уравнения, содержащие сумму нескольких слагаемых, при этом все или некоторые из них содержатся под знаком модуля. Например, уравнение вида  и т. п.

Чтобы решить такое уравнение, нужно заменить его равносильным, не содержащим знаков модуля. Освободиться от знаков модуля в таких уравнениях можно по алгоритму, который еще называют методом интервалов для раскрытия модуля. Такое название связано с тем, что раскрывают знак модуля на промежутках знакопостоянства функций, содержащихся под знаком модуля.

Следовательно, упомянутые уравнения можно решать по такому алгоритму, которые включает и метод интервалов для раскрытия модуля.

1. Найти ОДЗ переменной в уравнении.
2. Найти нули каждой из функций, которая содержится под знаком модуля (иначе говоря, нули подмодульных выражений).
3. Обозначить нули подмодульных выражений на ОДЗ, тем самым поделив ОДЗ на промежутки знакопостоянства каждой из подмодульных функций.
4. На каждом из промежутков раскрыть знаки модуля и получить уравнение–следствие начального уравнения. Решить каждое из полученных уравнений. Корни, которые не будут принадлежать промежутку, на котором рассматриваем уравнение, исключаем, так как для начального уравнения они являются посторонними.
5. Записываем ответ.

Как решить уравнение по этому алгоритму, рассмотрим на примере.

Пример №916

Решить уравнение 

Решение. 1) ОДЗ: 

2) Найдем нули подмодульных выражений: следовательно,  нули подмодульных выражений.

3) Обозначим точками числа 1 и 3 на числовой оси, получим три промежутка:  (рис. 22.4).

Рис. 22.4

4) Если  потому  потому  Следовательно, на промежутке имеем уравнение:  из которого 

Но  а потому не является корнем начального уравнения.

Если  потому  потому  Следовательно, на промежутке  имеем уравнение:

 из которого  Поскольку  то является корнем начального уравнения.

Если  поэтому поэтому  Следовательно, на промежутке  имеем уравнение:

 из которого 

Поскольку  то является корнем начального уравнения.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

Ответ. 

Решение текстовых и прикладных задач с помощью уравнений

Ранее мы уже рассматривали уравнения как математические модели текстовых и прикладных задач. Например, мы рассматривали задачи, математическими моделями которых в 7 классе были линейные уравнения или их системы, в 8 классе — квадратные уравнения или те, которые сводятся к ним, в 9 классе — системы уравнений с двумя переменными.

Вспомним алгоритм математического моделирования задачи с помощью уравнения:

1. обозначить переменной одну из неизвестных величин;
2. другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
3. по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
4. решить полученное уравнение;
5. проанализировать решения уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значение других неизвестных величин;
6. записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №917

На свой день рождения сестры—близняшки Наталья и Елена получили 127 поздравительных сообщений, причем Наталья получила на 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько сообщений на свой день рождения получила каждая из сестричек?

Решение. Пусть Елена получила  сообщений, тогда Наталья  А обе вместе  сообщений, что по условию равно 127. Имеем уравнение:

 Тогда  Следовательно, Елена получила 57 сообщений. 

(сообщ.) — получила Наталья.

Ответ. 57 сообщений; 70 сообщений.

Пример №918

Из Кропивницкого в Каменец—Подольский, расстояние между которыми 560 км, выехали одновременно легковой автомобиль и грузовой. Скорость легкового была на 10 км/ч больше скорости грузовика, поэтому он прибыл к пункту назначения на 1 час раньше грузовика. Найдите скорость грузовика и скорость легкового автомобиля.

Решение. Пусть скорость грузовика  км/ч, систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Поскольку значение величины  на 1 ч меньше значения величины 

 то имеем уравнение:  

Корней у него два:  но  не соответствует смыслу задачи, поэтому решением задачи является только следовательно, скорость грузовика 70 км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля  (км/ч).

Ответ. 70 км/ч. 80 км/ч.

Пример №919

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить определенную работу за 8 часов. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из них самостоятельно, если мастеру на это нужно на 12 часов меньше, чем его ученику?

Решение. Пусть мастеру, чтобы выполнить определенную работу самостоятельно, нужно часов, тогда ученику  часов. Когда объем работы в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что продуктивность труда — это объем работы, который может быть выполнен за единицу времени. Тогда за один час мастер выполнит  часть работы, а его ученик  часть, это и есть их продуктивность труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 часов, поэтому мастер выполнил  часть работы, а его ученик  Учитывая, что они выполнили весь объем работы, имеем

уравнение:  корнями которого являются числа: 

Второй корень не соответствует смыслу задачи, поскольку является отрицательным. Следовательно, мастер, работая отдельно, может выполнить работу за 12 часов, а его ученик — за  (часов).

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в таблицу:

Ответ. 12 ч. 24 часа.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в таблицу, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

Методы решения неравенств с одной переменной 

Вспомним основные методы решения неравенств с одной переменной.

Равносильные превращения неравенств и систем неравенств

Как и для решения уравнений, для неравенств часто используют метод равносильных превращений.

Пример №920

Решить неравенство 

Решение. Перепишем неравенство в виде: 

Получили квадратное неравенство. Корнями квадратного трехчлена   являются числа  и 

Схематически изобразим график функции  являющейся параболой, ветви которой направлены вверх (рис. 23.1).

Следовательно, имеем решения неравенства: 

Ответ. 

Рис. 23.1

Пример №921

Решить неравенство 

Решение. Превратим левую часть неравенства:

Неравенство приобретет вид: 

Получим (рис. 23.2):

 

Ответ. 

Рис. 23.2

Метод равносильных превращений используют и для решения систем неравенств с одной переменной.

Напомним, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, нужно придерживаться такого алгоритма:

1. решить каждое из неравенств системы;
2. изобразить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
4. записать ответ.

Пример №922

Решить систему неравенств:

 

Решение. Постепенно заменяя каждое из неравенств ему равносильным, более простым, имеем:

Обозначим на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенство и множество чисел, которые удовлетворяют неравенство  (рис. 23.3). Множеством решений системы является пересчение этих множеств, то есть промежуток 

Ответ. 

Рис. 23.3

Пример №923

Решить неравенство 

Решение. ОДЗ переменной в неравенстве найдем из системы

 Следовательно, 

Учитывая ОДЗ, возведем в квадрат неотрицательные левую и правую части неравенства. Следовательно, начальное неравенство равносильно системе:

Решив второе неравенство, получим:  Учитывая ОДЗ, имеем решения начального неравенства:  (рис. 23.4).

Ответ. 

Рис. 23.4

Замена переменных в неравенствах

Метод введения новой переменной используют и для решения неравенств.

Пример №924

Решить неравенство 

Решение. Пусть  Имеем неравенство:  Решим его, заменив полученное неравенство равносильной ему совокупностью систем неравенств:

Поскольку  то возвращаемся к замене только для  Имеем:  следовательно, 

Ответ. 

Метод интервалов

Для решения неравенств часто используют метод интервалов. Его считают универсальным для решения неравенств, поскольку этим методом можно решить любое неравенство вида  (или  или  или ), где  функция непрерывная или такая, что имеет конечное число точек разрыва.

Напомним алгоритм решения неравенств методом интервала.

Чтобы решить неравенство вида  (или   нужно:

1. Найти область определения функции  и обозначить ее на числовой оси.
2. Найти нули функции , решив уравнение  и обозначить их на области определения функции (для строгого неравенства "пустыми" точками).
3. Определить знак функции  на каждом из полученных промежутков (интервалов знакопостоянства), например, по значению  где  любое число, принадлежащее промежутку.
4. Записать ответ.

Обратите внимание, что число  из интервала знакопостоянства, с помощью которого устанавливаем знак функции  на этом интервале, мы еще называли "контрольной" точкой.

Пример №925

Решить неравенство 

Решение. 1) Пусть  Тогда 

2) Найдем нули функции  Имеем уравнение: которое равносильно совокупности уравнений  из которого получим, что  нули функции. Обозначим их на 

3) Находим знаки функции  на каждом из полученных промежутков (рис. 23.5).

Рис. 23.5

4) Имеем: 

Ответ. 

Применение свойств функций

Во время решения неравенств можно также использовать свойства функций: область значений, монотонность, непрерывность и т. п.

Пример №926

Решить неравенство 

Решение. Поскольку а  то неравенство может выполняться только при одновременном выполнении условий:  и  то есть начальное неравенство равносильно системе уравнений 

Среди решений второго уравнения есть число 2, которое удовлетворяет и первое уравнение системы. Следовательно, 2 — единственное решение неравенства.

Ответ. 2.

Пример №927

Решить неравенство 

Решение. ОДЗ:  На ОДЗ функция возрастает, а функция  убывает. Поэтому графики этих функций имеют не более, чем одну точку пересечения (рис. 23.6). 

Рис. 23.6

Очевидно, что число 4 является решением уравнения  потому что является абсциссой точки пересечения графиков функций  и  Если  то график функции  лежит ниже графика функции  Учитывая, что знак неравенства нестрогий, окончательно получим его решение: 

Ответ. 

Неравенства, содержащие знак модуля

Сначала рассмотрим простейшие неравенства, содержащие знак модуля.

Рассмотрим неравенство вида  число.

Начнем с неравенства  Если  то, очевидно, решением неравенства является любое число, поскольку  для 

Если  то обозначим на числовой оси числа  и корни уравнения  Они разбивают числовую ось на три интервала знакопостоянства функции  (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Взяв по "контрольной точке" из каждого интервала, легко удостовериться, что неравенства будут удовлетворять только значения:  или 

Обобщая результат, получим:

• если  то множеством решений неравенства  являются все числа из ОДЗ переменной выражения  а если  то неравенство равносильно совокупности неравенств

 

Размышляя аналогично, решают неравенство вида 

Пример №928

Решить неравенство 

Решение. Неравенство равносильно совокупности неравенств 

Далее имеем: 

Ответ. 

Рассмотрим неравенство вида 

Начнем с неравенства  Если  то, очевидно, решений нет, поскольку  для 

Если  то размышляя, как при решении неравенства  (рис. 23.8), получим, что решениями неравенства  являются те значения  для которых 

Рис. 23.8

Обобщая, получим: 

• если  то неравенство  решений не имеет;
• если  неравенство равносильно неравенству 

Размышляя аналогично, решают неравенство 

Пример №929

Решить неравенство 

Решение. Имеем: 

Ответ. 

Отметим, что когда  не является линейной функцией, для решения двойного неравенства  или  целесообразно перейти к равносильной ему системе неравенств

 или 

Для решения более сложных неравенств, содержащих знак модуля, применяют тот же подход, что и для решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, то есть раскрывают модули на интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули, получаем неравенство–следствие начального, решаем его и отбираем только те его решения, которые принадлежат промежутку, на котором получено это неравенство–следствие. Объединение всех полученных на промежутках решений и будет решением первоначального неравенства. 

Рассмотрим на примере, как решить такое неравенство и оформить запись его решения.

Пример №930

Решить неравенство 

Решение. 1) ОДЗ: 

2) Найдем нули подмодульных выражений:

 то есть 

Следовательно,  и  нули подмодульных выражений.

3) Обозначим полученные нули на числовой оси (рис. 23.9) и получим три промежутка:  и 

Рис. 23.9

4) Если  то есть  и   и  Следовательно, на промежутке  имеем систему неравенств:

Если  то есть  и   и  Следовательно, на промежутке  имеем:

Если  то есть  и   и  На промежутке  имеем систему:

Отметим, что решение можно было оформить короче, записав и решив равносильную начальной совокупность трех систем неравенств:

Понятно, что количество систем в совокупности не может превышать количество полученных для раскрытия модулей интервалов.

Ответ. 

Также для решения неравенств используют и другие методы или комбинации нескольких методов.

Системы уравнений и методы их решения

Вспомним основные подходы к решению систем уравнений.

Способ подстановки

Допустим, имеем систему двух уравнений с двумя переменными, одно из уравнений которой является линейным. В таком случае систему целесообразно решать способом подстановки. Напомним последовательность действий для решения этого способа:

1. из линейного уравнения системы выразить одну переменную через другую;
2. подставить полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее ему значение второй переменной.

Пример №931

Решить систему уравнений 

Решение. Из первого уравнения имеем:  Подставим  вместо  во второе уравнение, получим уравнение с переменной  то есть квадратное уравнение  корнями которого являются числа 3 и  Тогда, если  если  то 

Ответ. 

Способ сложения

Этот способ применяют, если в результате почленного сложения левых и правых частей уравнений системы получаем уравнение с одной переменной.

Пример №932

Решить систему уравнений 

Решение. Умножим левую и правую части второго уравнения на –2; система приобретет вид: 

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений. Получим уравнение:  то есть  корнем которого будет 

Подставим полученное значение в первое уравнение начальной системы:  Имеем:  откуда 

Следовательно, решениями системы являются пары чисел 

Ответ. 

Иногда в результате почленного сложения уравнений системы во время решения систем можно получить известные формулы, которые упростят процесс решения.

Пример №933

Решить систему уравнений 

Решение. Складывая почленно уравнения системы, получим: Следовательно, по формуле сложения:  Тогда 

Если первое уравнение системы умножить на  а потом добавить ко второму, то получим:  Следовательно, по формуле сложения: Тогда   Получили систему двух линейных уравнений:  Сложив их почленно, получим: 

 отсюда 

Отняв от второго уравнения системы первое, получим:  отсюда  

Следовательно,  где 

Ответ. 

Равносильные превращения и использование уравнений–следствий

Во время использования уравнений–следствий не следует забывать о возможном появлении посторонних корней. Поэтому из множества полученных корней нужно исключить посторонние, выполнив проверку полученных корней.

Пример №934

Решить систему уравнений 

Решение. Запишем второе уравнение системы в виде  и возведем его левую и правую части в квадрат. Получим:

 то есть  Учитывая из первого уравнения, что  получим, что  отсюда  поэтому 

Следовательно, систему можно переписать в виде:

 Решим ее: 

Очевидно, что пары чисел  являются решениями полученной системы. Проверкой убеждаемся, что они удовлетворяют начальную систему.

Ответ. 

Введение новой переменной

Этот метод также часто используют для решения систем уравнений.

Пример №935

Решить систему уравнений 

Решение. Пусть  тогда  Пусть 

тогда 

Имеем систему уравнений с переменными  и  Из первого уравнения получим, что  и подставим полученное выражение вместо  во второе уравнение:  Имеем квадратное уравнение  корни которого  и  Поскольку  то значение  находим только для 

Если  то есть  Возвращаемся к замене:

 то есть  следовательно, 

Ответ. 

Применение свойств функций 

Иногда для решения систем уравнений, как и для уравнений, применяют свойства функций, аналитические выражения которых содержат уравнения системы.

Пример №936

Решить систему уравнений 

Решение. ОДЗ:  Поскольку для  и  с ОДЗ справедливы неравенства  и  то знак равенства в обоих неравенствах достигается только при  поэтому  единственное решение системы.

Ответ. 

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним ориентировочный алгоритм решения текстовых задач с помощью системы двух уравнений с двумя переменными:

1. обозначить некоторые две неизвестные величины переменными (например,  и );
2. по условию задачи составить систему уравнений (математическую модель задачи);
3. решить полученную систему;
4. проанализировать найденные значения переменных на соответствие условию и смыслу задачи, дать ответ на вопрос задачи;
5. записать ответ.

Пример №937

За 2 часа против течения и за 5 часов по течению моторная лодка преодолевает 120 км. За 2 часа по течению и за 1 час против течения эта же лодка преодолевает 51 км. Найти собственную скорость лодки и скорость течения.

Решение. Пусть собственная скорость лодки  км/ч, а скорость течения км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна  км/ч, а против течения  км/ч. За 5 часов по течению лодка преодолевает  км, а за 2 часа против течения  км, а вместе — 120 км. Имеем первое уравнение: Размышляя аналогично, составим второе уравнение: 

Имеем систему уравнений:  решив которую, получим: 

Следовательно, собственная скорость лодки — 16,5 км/ч, а скорость течения — 1,5 км/ч.

Ответ. 16, 5 км/ч; 1,5 км/ч.

Пример №938

Площадь земельного участка прямоугольной формы равна  Если длину этого участка уменьшить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то площадь участка станет 

Найти длину ограждения этого земельного участка.

Решение. Пусть длина данного участка равна  м, а ширина  м. Занесем условие задачи в таблицу:

По условию задачи имеем систему уравнений: 

Раскрыв скобки во втором уравнении, перепишем систему в виде: Поскольку  то во второе уравнение вместо  подставим 60 и выразим переменную  через переменную  далее решим систему способом подстановки: 

Из первого уравнения имеем:  Число –3 не соответствует содержанию задачи, поскольку длина участка не может быть отрицательной. Следовательно, длина участка 10 м, тогда ширина: 

Найдем длину ограждения как периметр соответствующего прямоугольника: 

Ответ. 32 м.

Пример №939

Из пункта  вышел пешеход. Через 50 мин. после него оттуда же в том же направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта . Найти скорости пешехода и велосипедиста, если велосипедист за 1 ч преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч.

Решение. Пусть  км/ч — скорость пешехода,  км/ч — велосипедиста. Оба до встречи преодолели расстояние длиной 6 км. Занесем условие задачи в таблицу:

Поскольку пешеход пребывал в пути на 50 мин. дольше, чем велосипедист, а 50 мин.  ч, имеем уравнение: 

Поскольку велосипедист за 1 ч преодолевает  км и это на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч, то есть  км, имеем еще одно уравнение:  Получили систему уравнений: 

Решив ее (сделайте это самостоятельно) и учтя, что по смыслу задачи  и  получим 

Ответ. 4 км/ч; 9 км/ч.

Задачи с параметрами

В предыдущих классах мы уже рассматривали задачи с параметрами, в основном это были уравнения, неравенства и системы уравнений.

Напомним, что обычно в уравнениях, неравенствах или их системах буквами обозначают переменные, но иногда в условии может попасться буква, которой обозначено неизвестное постоянное число, то есть параметр.

В таком случае мы имеем уже не одну задачу, а много задач, которые получаем для разных значений параметра. При этом задача при некоторых значениях параметра может не иметь решений, при некоторых значениях параметра иметь единственное решение, а при некоторых — множество решений и т. п.

Напомним также, что все задачи с параметром можно условно поделить на два типа, в зависимости от условия, выдвигаемого в задаче. Если нужно решить уравнение (неравенство, систему уравнений и т. д.), как правило, для каждого допустимого значения параметра, то это один тип задач. А если нужно найти значение параметра, при котором уравнение (неравенство, система уравнений и т. д.) удовлетворяет определенное условие, чаще это требование касательно количества или числовых значений его решений, то это второй тип задач с параметрами.

Отметим, что важным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. В задачах первого типа все найденные значения параметра и соответствующие им решения записывают в ответе к задаче обычно в виде "Если..., то...". Отсутствие в ответе хотя бы одного значения параметра из его области допустимых значений будет означать, что некоторые случаи существования решений не рассмотрены.

Рассмотрим несколько примеров таких задач с параметром, обозначив параметр буквой 

Простейшие задачи с параметром

Пример №940

Решить уравнение 

Решение. Для решения задачи достаточно рассмотреть два случая:

 то есть  Имеем уравнение:  которое не имеет корней.

 то есть  Имеем уравнение:  откуда 

 следовательно, 

Ответ. Если  то корней нет; если  то 

Пример №941

Найти все значения параметра  для каждого из которых числа  и  которые удовлетворяют систему уравнений  удовлетворяют также и неравенство 

Решение. Решая систему способом сложения, имеем: 

Искомые значения  должны удовлетворять условие  то есть  Следовательно, 

Ответ. 

Пример №942

Решить неравенство 

Решение. Рассмотрим такие случаи:

  Тогда, поделив левую и правую части уравнения на  получим  Учтя еще раз, что  получим 

 Тогда имеем:  неравенство не имеет решений;

Тогда, поделив левую и правую части уравнения на и изменив знак неравенства на противоположный, получим: 

Поскольку  то полученное неравенство удовлетворяет любое значение 

Ответ. Если  если  то неравенство не имеет решений; если  любое число.

Параметр в задачах, связанных с корнями квадратного уравнения

Довольно часто рассматривают задачи с параметром, которые связаны с корнями квадратного уравнения или квадратного трехчлена. В первую очередь, это задачи, связанные с размещением корней квадратного уравнения относительно некоторого числа или некоторых чисел. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то можно найти корни по формуле, а потом сравнить их с заданным числом или заданными числами. Если же дискриминант квадратного уравнения не является полным квадратом, то предложенный путь в большинстве случаев является довольно громоздким. В таком случае рассматривают геометрическую интерпретацию. 

Пример №943

При каких значениях параметра  оба корня квадратного трехчлена  принадлежат промежутку 

Решение. Имеем дискриминант квадратного трехчлена:  и его корни  то есть  и  Очевидно, что уравнение имеет два разных корня при любом значении  Запишем для полученных корней требование задачи:

  то есть  следовательно, 

Ответ. 

Пример №944

При каких значениях параметра  корни  уравнения  удовлетворят условие 

Решение. 1) Если  то уравнение становится линейным:  Корнем его является число 0,5, удовлетворяющее требование задачи. Следовательно, значение параметра  является решением задачи.

2) Если  то имеем квадратное уравнение. Его дискриминант  не является полным квадратом, следовательно, в отличие от ранее рассмотренного примера, корни уравнения будут иррациональными, а значит решать задачу тем же способом, который мы использовали ранее, нецелесообразно.

В этой задаче воспользуемся графической интерпретацией — размещением графика квадратичной функции на координатной плоскости и ее свойствами, в частности, направлением ветвей параболы и тем, что нулями функции (абсциссами точек пересечения с осью ) являются корни соответствующего квадратного уравнения.

Обозначим  Разместим параболу  в координатной плоскости так, чтобы ее нули, то есть корни  соответствующего квадратного уравнения, принадлежали промежутку  то есть удовлетворяли условие  Поскольку размещение оси ординат в таких задачах не влияет на решение, ось  на рисунке изображать не будем. Таких размещений для нашей параболы всего два: если  то ветви направлены вверх (рис. 25.1), а если  то вниз (рис. 25.2).

Рис. 25.1                                               Рис. 25.2

Каждое из этих размещений можно задать системой условий, где  абсцисса вершины параболы:

 (рис. 25.1)   или    (рис. 25.2)

Каждая из этих систем содержит необходимые и достаточные условия для размещения параболы именно так, как изображено на рисунках 25.1 и 25.2.

Эти две системы можно объединить в одну: 

Решая ее, получим систему рациональных неравенств:

Решив каждое неравенство этой системы (сделайте это самостоятельно), и найдя пересечение полученных решений, получим, что 

Ответ. 

В примере 5 мы рассмотрели задачу о размещении корней квадратного трехчлена относительно данного промежутка. В похожих на эту задачах может ставиться требование и к размещению корней относительно данного числа.

Все возможные размещения корней относительно некоторого числа и необходимые и достаточные условия для этого систематизированы в таблице.

Таким образов в таблице можно систематизировать условия для размещения корней квадратного трехчлена относительно данного промежутка.

Некоторые задачи с параметрами, которые связаны с корнями квадратного трехчлена, можно решить по теореме Виета. 

Пример №945

При каких значениях параметра  множеством решений неравенства  является промежуток длиной 5?

Решение. Множество решений данного неравенства будет отрезком только тогда, когда квадратный трехчлен  имеет два разных корня. Найдем дискриминант соответствующего квадратного трехчлена: Поскольку  то трехчлен имеет два разных корня  и  а решением неравенства является промежуток  (рис. 25.3).

Рис. 25.3

Тогда для выполнения требования задачи нужно, чтобы 

Но 

По теореме Виета:  Следовательно:  Тогда  то есть Следовательно,  или 

Ответ. 

Решение задач с параметрами аналитическими методами

Рассмотрим примеры задач с параметрами, которые можно решать аналитическими методами.

Пример №946

Решить уравнение 

Решение. Рассмотрим отдельно каждый из двух случаев:  и 

1) Если , получим уравнение:  которое не имеет корней.

2) Если , имеем уравнение: 

Преобразуем левую часть уравнения и приведем его к простейшему тригонометрическому уравнению:

Поскольку  то полученное уравнение имеет корни, если 

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

 Решим ее: 

следовательно, 

Для этих значений  имеем корни:   то есть 

Для других значений  уравнение корней не имеет.

Ответ. Если  или  то корней нет; если 

 то 

Пример №947

Решить уравнение 

Решение. Пусть  Имеем уравнение:

Следовательно, возвращаясь к замене, получим, что  или  Тогда:

1) если  то уравнение  корней не имеет, а для уравнения  имеем корень: 

2) если  то ни одно из уравнений корней не имеет;

3) если  то каждое из уравнений имеет корень. Для  имеем:  а из уравнения  получим: 

Ответ. Если  если  то корней нет; если 

Пример №948

Решить неравенство 

Решение. 1) Если  и   для всех  Поэтому  а значит неравенство выполняется для  поэтому любое значение  является его решением.

2) Если  то неравенство перепишем в виде  Это неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Для системы  имеем:  то есть 

1-й случай:  то есть  значит  Тогда  (рис. 25.4).

2-й случай:  то есть  значит  Тогда  (рис. 25.5).

Рис. 25.4                                                            Рис. 25.5

Для системы  имеем:  то есть 

Поскольку  поделим обе части последнего неравенства системы на  Получим: 

Чтобы эта система имела решения, должно вполняться условие:  (рис. 25.6), то есть  Тогда 

Рис. 25.6

Ответ. Если  если  если 

Пример №949

При каких значениях параметра  система

 имеет решения?

Решение. ОДЗ параметра:  Имеем:

 Из системы имеем: 

Сложив уравнения почленно, получим: а отняв почленно, будем иметь 

Следовательно, в результате равносильных превращений получили систему

уравнений: 

Учитывая множество значений косинуса, система будет иметь решения только в случае одновременного выполнения условий:  и  Следовательно, для значений  (с учетом ОДЗ параметра) имеем:

 отсюда получим, что 

Ответ. 

Графические приемы решения задач с параметрами

Некоторые задачи с параметрами целесообразно решать, используя графические образы уравнений вида  где  параметр, или 

Рассмотрим это на примерах.

Пример №950

При каких значениях параметра  решением неравенства  является отрезок длиной 

Решение. Пусть  тогда 

Отдельно рассмотрим каждый из случаев  и 

1) Если  то имеем неравенство  решением которого является промежуток  длина которого больше  Следовательно, при  требование задачи не выполняется.

2) Если  решим неравенство  графически. График функции  это полукруг радиуса 3 с центром в начале координат, а график функции  где  это прямая, проходящая через начало координат и лежащая во  и  координатных четвертях. Графики изображены на рисунке 25.7, откуда имеем, что решением неравенства  является промежуток  где  абсцисса точки пересечения графиков, то есть корень уравнения  Тогда должно выполняться равенство  поэтому 

Рис. 25.7

Теперь, зная корень уравнения, подставим его в уравнение, чтобы найти соответствующее ему значение параметра:  тогда  Но  следовательно, 

Ответ. 

Пример №951

Для каких значений параметра  система уравнений

имеет ровно два решения?

Решение. Перепишем систему, выделив предварительно полные квадраты в левой части каждого из уравнений, в виде:

Тогда первое уравнение системы является уравнением окружности с центром  радиуса 2.

Второе уравнение системы тоже является уравнением окружности с центром  радиуса 1.

Следовательно, задачу целесообразно решать графически.

Рис. 25.8

Чтобы система имела два решения, нужно, чтобы расстояние  между центрами окружностей удовлетворяло неравенство:  где  и  радиусы окружностей. 

Поскольку  имеем неравенство: значит 

Ответ. 

Лекции по предметам:

1. Алгебра
2. Линейная алгебра
3. Векторная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика