Квадратичная функция - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Квадратичная функция:

• В этом параграфе вы повторите и расширите свои знания о функции и ее свойствах.
• Научитесь, используя график функции у = f (х), строить графики функций у = kf (x), у = f (х) + b, у = f(x + а).
• Узнаете, какую функцию называют квадратичной, какая фигура является ее графиком, изучите свойства квадратичной функции.
• Научитесь применять свойства квадратичной функ­ции при решении неравенств
• Расширите свои знания о системах уравнений с дву­мя переменными, методах их решения, приобретете новые навыки решения систем уравнений.

Функция

Перед изучением этого пункта рекомендуем повторить со­держание пунктов 31-37 на с. 291-294.

В повседневной жизни нам часто приходится наблюдать процессы, в которых изменение одной величины (незави­симой переменной) влечет за собой изменение другой ве­личины (зависимой переменной). Изучение этих процессов требует создания их математических моделей. Одной из таких важнейших моделей является функция. С этим понятием вы ознакомились в 7 классе. Напомним и уточним основные сведения.

Пусть X — множество значений независимой переменной. Функция — это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной.

Обычно независимую переменную обозначают буквой х, зависимую — буквой у, функцию (правило) — буквой f. Говорят, что переменная у функционально зависит от пере­менной х. Этот факт обозначают так: у = f (x).

Независимую переменную еще называют аргументом функции.

Множество всех значений, которые принимает аргумент, называют областью определения функции и обозначают D (f) или D (у).

Так, областью определения обратной пропорциональности

В функциональной зависимости каждому значению ар­гумента х соответствует определенное значение зависимой переменной у. Значение зависимой переменной еще назы­вают значением функции и для функции f обозначают f (х). Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обо­значают Е (f) или Е (у). Так, областью значений функции

Функцию считают заданной, если указана ее область определения и правило, с помощью которого можно по каж­дому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Функцию можно задать одним из следующих способов:

• описательно;
• с помощью формулы;
• с помощью таблицы;
• графически.

Чаще всего функцию задают с помощью формулы. Такой способ задания функции называют аналитическим. Если при этом не указана область определения, то считают, что областью определения функции является область опреде­ления выражения, входящего в формулу. Например, если функция задана формулой то ее областью определения является область определения выражения , т. е. промежуток

В таблице приведены функции, которые вы изучали в 7 и 8 классах.

Когда сделаны уроки

История развития функции

Определение функции, которым вы пользуетесь на дан­ном этапе изучения математики, появилось сравнительно недавно — в первой половине XIX века. Оно формировалось более 200 лет под влиянием бурных споров выдающихся математиков нескольких поколений.

Исследованием функциональных зависимостей между величинами начали заниматься еще ученые древности. Этот поиск нашел отражение в открытии формул для вычисления площадей и объемов некоторых фигур. Примерами таблич­ного задания функций могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и арабов.

Однако лишь в первой половине XVII века своим откры­тием метода координат выдающиеся французские матема­тики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) заложили основы для возникновения понятия функции.

В своих работах они исследовали изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

Важную роль в формировании понятия функции сыграли рабо­ты великого английского ученого Исаака Ньютона (1643-1727). Под функцией он понимал ве­личину, которая изменяет свое значение с течением времени.

Термин «функция» (от латин­ского functio — совершение, вы­полнение) ввел немецкий матема­тик Георг Лейбниц (1646-1716).

Он и его ученик, швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) под функцией понимали формулу, связываю­щую одну переменную с другой, то есть отождествляли функцию с одним из способов ее задания.

Дальнейшему развитию понятия функции во многом способствовало выяснение истины в многолетнем споре выдающихся математиков Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жана Лерона Д'Аламбера (1717-1783), одним из предметов которого было выяснение сути этого понятия. В ре­зультате был сформирован более общий взгляд на функцию как зависимость одной переменной величины от другой, в котором это понятие жестко не связывалось со способом задания функции.

В 30-х годах XIX века идеи Эйлера получили дальней­шее развитие в работах выдающихся ученых: русского ма­тематика Николая Лобачевского (1792-1856) и немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859). Именно тогда появилось такое определение: переменную величину у называют функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное значение величины у.

Такое определение функции можно и сегодня встретить в школьных учебниках. Однако более современный под­ход — это трактовка функции как правила, с помощью ко­торого по значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.

Когда на рубеже XIX и XX веков возникла теория мно­жеств и стало ясно, что элементами области определения и области значений совсем не обязательно должны быть числа, то под функцией стали понимать правило, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие единственный элемент множества У.

Свойства функции

Часто о свойствах объекта можно судить по его изобра­жению: фотографии, рентгеновскому снимку, рисунку и т. п.

«Изображением» функции может служить ее график. Покажем, как график функции позволяет определить не­которые ее свойства.

На рисунке 18 изображен график некоторой функции y=f(x)

Ее областью определения является промежуток [-4; 7], а областью значений — промежуток [-4; 4].

При х = -3, х = 1, х = 5 значение функции равно нулю.

Определение: Значение аргумента, при котором значе­ние функции равно нулю, называют нулем функции.

Так, числа -3, 1, 5 являются нулями данной функции.

Заметим, что на промежутках [-4; -3) и (1; 5) график функции расположен над осью абсцисс, а на промежут­ках (-3; 1) и (5; 7] — под осью абсцисс. Это означает, что на промежутках [-4; -3) и (1; 5) функция принимает по­ложительные значения, а на промежутках (-3; 1) и (5; 7] — отрицательные.

Каждый из указанных промежутков называют проме­жутком знакопостоянства функции f.

Определение: Каждый из промежутков, на котором функция принимает значения одного и того же знака, на­зывают промежутком знакопостоянства функции f.

Отметим, что, например, промежуток (0; 5) не является промежутком знакопостоянства данной функции.

Замечание. При поиске промежутков знакопосто­янства функции принято указывать промежутки макси­мальной длины. Например, промежуток (-2; -1) является промежутком знакопостоянства функции f (рис. 18), но в ответ следует включить промежуток (—3; 1), содержащий промежуток (-2; -1).

Если перемещаться по оси абсцисс от -4 до -1, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. Говорят, что на промежутке [-4; -1] функция убывает. С увеличением х от -1 до 3 график функ­ции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. Говорят, что на промежутке [-1; 3] функция возрастает.

Определение: Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух зна­чений аргумента и из этого промежутка таких, что , выполняется неравенство

Определение: Функцию f называют убывающей на не­котором промежутке, если для любых двух значений аргумента и из этого промежутка таких, что выполняется неравенство

Часто используют более короткую формулировку.

Определение: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргу­мента соответствует большее значение функции.

Определение: Функцию называют убывающей на не­котором промежутке, если для любых значений аргу­мента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей. Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей.

Например, на рисунке 19 изображен график функции Эта функция является возрастающей. На рисун­ке 20 изображен график убывающей функции у = -х. На рисунке 18 изображен график функции, не являющей­ся ни возрастающей, ни убывающей.

Пример №1

Докажите, что функция убывает на промежутке

Решение:

Пусть и — произвольные значения аргумента из промежутка причем Покажем, что то есть большему значению аргумента соответствует мень­шее значение функции.

Имеем: Обе части последнего неравен­ства являются неотрицательными числами. Тогда по свой­ству числовых неравенств можно записать, что , то есть

Заметим, что в подобных случаях говорят, что промежу­ток является промежутком убывания функции у = х2. Аналогично можно доказать, что промежуток является промежутком возрастания функции у = х2.

В задачах на поиск промежутков возрастания и убывания функции принято указывать промежутки максимальной длины.

Пример №2

Докажите, что функция — убывает на каждом из промежутков

Решение:

Пусть и — произвольные значения аргумента из промежутка причем . Тогда по свойству числовых неравенств — Следовательно, данная функция убывает на промежутке

Аналогично доказывают, что функция f (x) убывает на промежутке

Заметим, что нельзя утверждать, что данная функция убывает на всей области определения, то есть является убы­вающей. Действительно, если, например, то из неравенства не следует, что —

Пример №3

Докажите, что линейная функция f (х) = kx + b является возрастающей при k > 0 и убывающей при k < 0.

Решение:

Пусть и — произвольные значения аргумента, при­чем

Имеем:

Так как

Если , то то есть Следова­тельно, при данная функция является возрастающей.

Если , то , то есть . Следо­вательно, при данная функция является убывающей.

Как построить график функции у = kf (х), если известен график функции у = f (x)

В 8 классе вы ознакомились с функцией и узна­ли, что ее графиком является фигура, которую называют параболой (рис. 26).

Покажем, как с помощью гра­фика функции у = х2 можно по­строить график функции

у = ах2, где а .

Построим, например, график функции у = 2х2.

Составим таблицу значений функций у = х2 и у = 2х2 при одних и тех же значениях аргу­ментах:

Эта таблица подсказывает, что каждой точке гра­фика функции у = х2 соответствует точка графика функции у = 2х2. Иными словами, при любом значение функции у = 2х2 в 2 раза больше соответствующего значения функции у = х2. Следовательно, все точки графика функции у = 2х2 можно получить, заменив каждую точку графика функции у = х2 на точку с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на 2 (рис. 27). Используя график функции у = х2, построим график функции

Очевидно, что каждой точке графика функции

у = х2 соответствует единственная точка графика функции

Следовательно, все точки графика функции можно получить, заменив каждую точку гра­фика функции у = х2 на точку с той же абсциссой и орди­натой, умноженной на — (рис. 28).

Рассмотренные примеры подсказывают, как, используя график функции у = f (х), можно построить график функ­ции у = kf (х), где k > 0.

График функции у = kf (х), где k > 0, можно получить, заменив каждую точку графика функции у = f (x) на точ­ку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на k.

На рисунках 29, 30 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций и

Говорят, что график функции у = kf (x) получен из гра­фика функции у = f (х) в результате растяжения в k раз от оси абсцисс, если k > 1, или в результате сжатия в раз к оси абсцисс, если 0 < k < 1.

Рассмотрим функции и Каждой точке графика функции со­ответствует точка гра­фика функции Иными словами, при любом зна­чения функций и являются противоположны­ми числами. Следовательно, все точки графика функции можно получить, за­менив каждую точку графи­ка функции на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на -1 (рис. 31).

Теперь понятно, что пра­вило построения графика функции у = kf (x), где k < 0, такое же, как и для случая, когда k > 0.

Например, на рисунке 32 показано, как можно с помо­щью графика функции у = х2 построить график функции

Рисунок 33 иллюстрирует, как с помощью графика функ­ции можно построить графики функций и

Заметим, что при нули функций у = f (х) и у = kf (х) совпадают. Следовательно, графики этих функций пересе­кают ось абсцисс в одних и тех же точках (рис. 34).

На рисунке 35 изображены графики функций у = ах2 при некоторых значениях а. Каждый из этих графиков, как и график функции у = х2, называют параболой.

Точка (0; 0) является вершиной каждой из этих парабол.

Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Часто вместо высказывания «Дана функция у = ах2» употребляют «Дана парабола

у = ах2».

В таблице приведены свойства функции

Как построить графики функций y = f(x) + b и у = f(x + а), если известен график функции у = f(x)

Покажем, как, используя график функции у = х2, по­строить график функции у = х2 + 2. Составим таблицу значений этих функций при одних и тех же значениях аргумента.

Эта таблица подсказывает, что каждой точке гра­фика функции у = х2 соответствует точка графика функции у = х2 + 2. Иными словами, при любом х значение функции у = х2 + 2 на 2 боль­ше соответствующего значения функции у = х2. Следовательно, все точки графика функции у = х2 + 2 можно получить, заменив каждую точку графи­ка функции у = х на точку с той же абсциссой и с ордина­той, увеличенной на 2 (рис. 40).

Позднее на уроках геометрии вы более подробно ознакомитесь с парралельным переносом.

Говорят, что график функ­ции у = х2 + 2 получен в резуль­тате параллельного переноса графика функции у = х2 на две единицы вверх.

Аналогично график функ­ции у = х2 - 4 можно получить в результате параллельного переноса графика функции у = х2 на 4 единицы вниз (рис. 41).

Очевидно, что в результате параллельного переноса полу­чаем фигуру, равную фигуре, являющейся графиком ис­ходной функции. Например, графиками функций у = х2 + 2 и у = х - 4 являются парабо­лы, равные параболе у = х2.

Рассмотренные примеры подсказывают, как можно, используя график функции у = f (х), построить график функции у = f (x) + b.

График функции у = f (х) + b можно получить в ре­зультате параллельного переноса графика функции у = f (х) на b единиц вверх, если b > 0, и на — b единиц вниз, если b < 0.

На рисунках 42, 43 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций и

Покажем, как можно с помощью графика функции у = х2 построить график функции у = (х + 2)2. Пусть точка (х0; у0) принадлежит графику функции у = х2, то есть Докажем, что точка принадлежит графику функции у = (х + 2)2. Найдем значение этой функ­ции в точке с абсциссой Имеем: Следовательно, все точки графика функции у = (х + 2)2 можно получить, заменив каждую точку графика функции у = х2 на точку с той же ординатой и абсциссой, уменьшен­ной на 2 (рис. 44).

Также говорят, что график функции у = (х + 2)2 полу­чен в результате параллельного переноса графика функции у = х2 на две единицы влево. Рассмотрим еще один пример. Построим график функции Легко показать (сделайте это самостоятельно), что каждой точке графика функции у = х2 соот­ветствует точка графика функции у = (х - 2)2. Следовательно, график функции у = (х - 2)2 получают в ре­зультате параллельного переноса графика функции у = х2 на 2 единицы вправо (рис. 45).

Ясно, что в результате описанного параллельного переноса получаем фигуру, равную фигуре, являющейся графиком исходной функции. Например, графиками функций

у = (х + 2)2 и у = (х - 2)2 являются параболы, равные параболе у = х2.

Эти примеры подсказывают, как можно, используя график функции у = f (x), построить график функции у = f(х + а).

График функции у = f (х + а) можно получить в резуль­тате параллельного переноса графика функции у = f (x) на а единиц влево, если а > 0, и на -а единиц вправо, если а < 0.

На рисунках 46, 47 показано, как «работает» это прави­ло для построения графиков функций и

Пример №4

Постройте график функции

Решение:

1. Построим график функции
2. Параллельно перенесем график функции у = х2 на 1 еди­ницу вправо. Получим график функции у = (х - 1)2 (рис. 48).
3. Параллельно перенесем график функции у = (х - 1)2 на 3 единицы вверх. Получим график функции (рис. 48).

Описанный алгоритм построения представим в виде та­кой схемы:

Пример №5

Постройте график функции

Решение:

1. Построим график функции (рис. 49).
2. Параллельно перенесем график функции на 3 единицы влево. Получим график функции (рис. 49).
3. Параллельно перенесем график функции на 1 единицу вниз.

Получим искомый график. Схема построения имеет такой вид:

Из описанных преобразований следует, что графиком функции является парабола с вершиной в точке (-3; -1), равная параболе

Из этого примера становится понятным алгоритм по­строения графика функции

у = kf (х + а) + b, в частности у = k (х + а)2 + b.

Графиком функции у = k (х + а)2 + b, является парабола, равная параболе , вершина которой на­ходится в точке (—а; b).

Пример №6

Постройте график функции у = -2х2 - 20х - 47.

Решение:

Имеем:

Мы представили формулу, задающую данную функцию, в виде у = kf (х + а) + b, где

f (х) = х2, k = -2, а = 5, b = 3.

Схема построения имеет такой вид:

Построенный график является параболой с вершиной в точке (-5; 3), которая равна параболе (рис. 50).

Квадратичная функция, ее график и свойства

Определение: Функцию, которую можно задать форму­лой вида где х — независимая перемен­ная, а, b и с — некоторые числа, причем , называют квадратичной.

Квадратичная функция не является для вас новой. Так, в 8 классе вы изучали ее частный случай, а именно, функцию

Функциональная зависимость площади S круга от его радиуса r определяет квадратичную функцию которая, в свою очередь, является частным видом функции у = ах2.

На уроках физики вы ознакомились с формулой которая задает зависимость высоты h тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью от времени движения t. Эта формула задает квадратичную функцию

Покажем, как график квадратичной функции у = ах2 + bх + с можно получить из графика функции у = ах2.

Вы уже строили графики функций вида у = ах2 + bх + с, выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде. Имеем:

Введем обозначения

Тогда формулу можно представить в виде: Следовательно, схема построения искомого графика такова:

Графиком функции является парабола с вершиной в точке где равная параболе

Понятно, что ветви параболы у = ах2 + bх + с направлены так же, как и ветви параболы если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Общее представление о графике квадратичной функции дают координаты вершины параболы и направление ее ветвей. Это представление будет тем полнее, чем больше точек, принадлежащих графику, мы будем знать. Поэтому, не используя параллельных переносов, можно построить график квадратичной функции по такой схеме:

1. найти абсциссу вершины параболы по формуле
2. найти ординату вершины параболы по формуле где D — дискриминант квадратного трехчлена и отметить на координатной пло­скости вершину параболы;
3. определить направление ветвей параболы;
4. найти координаты еще нескольких точек, принадле­жащих искомому графику (в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют);
5. отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Пример №7

Постройте график функции Используя график функции, найдите область ее значений, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее значения функции.

Решение:

Данная функция является квадратичной функцией

-Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (а > 0).

Абсцисса вершины параболы орди­ната вершины

Следовательно, точка (—2; —9) — вершина параболы.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс:

Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках (-5; 0) и (1; 0).

* Формулу запоминать необязательно. Достаточно вычислить пересечение функции в точке с абсциссой

Найдем точку пересечения параболы с осью ординат: f (0) = -5. Парабола пересекает ось ординат в точке (0; -5).

Отметим найденные четыре точки параболы на коорди­натной плоскости (рис. 60).

Теперь понятно, что удобно найти значения данной функ­ции в точках —1, —3, —4 и, отметив соответствующие точки на координатной плоскости, провести через все найденные точки график данной функции.

Имеем:

Искомый график изображен на рисунке 61.

Область значений функции

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке при или при Наименьшее значение функции равно -9, наибольшего значения не существует.

О некоторых преобразованиях графиков функций

Как построить график функции у = f (—х), если известен график функции у = f (х)

Заметим, что если точка принадлежит графику функции у = f (x), то точка принадлежит графику функции у = f (-x). Действительно,

Следовательно, все точки графика функции можно получить, заменив каждую точку графика функции на точку с такой же ординатой и противоположной абсциссой.

На рисунке 66 показано, как с помощью графика функ­ции построен график функции

Позднее на уроках геометрии вы узнаете, что описанное преобра­зование графика функции у = f (х) называют осевой симметрией.

Как построить график функции у = f (| х |), если известен график функции у = f (х)

Воспользовавшись определением модуля, запишем:

Отсюда делаем вывод, что график функции при совпадает с графиком функции а при — с графиком функции

Тогда построение графика функции можно проводить по такой схеме:

1. построить ту часть гра­фика функции у = f (x), все точки которой имеют неот­рицательные абсциссы;
2. построить ту часть гра­фика функции у = f (—x), все точки которой имеют отрица­тельные абсциссы.

Объединение этих двух частей и составит график функции у = f ( | х | ).

На рисунке 68 показано, как с помощью графика функ­ции построен график функции у = ( | х | - 2)2.

Как построить график функции у = | f (х) |, если известен график функции у = f (х)

Для функции можно записать:

Отсюда следует, что график функции при всех х, для которых совпадает с графиком функции , а при всех , для которых , — с графиком функции

Тогда строить график функции можно по та­кой схеме:

1. все точки графика функ­ции с неотрицатель­ными ординатами оставить без изменений;
2. точки с отрицательными ординатами заменить на точ­ки с теми же абсциссами, но противоположными ордина­тами.

На рисунке 69 показано, как с помощью графика функции построен график функции

Пример №8

Постройте график функции

Решение:

Построение искомого графика можно представить в виде такой схемы :

(рис.70.)

Пример №9

Постройте график функции

Решение:

Построение искомого графика можно представить в виде такой схемы:

(рис. 71).

Решение квадратных неравенств

На рисунке 72 изображен график некоторой функции у = f (х), областью определения которой является множество действительных чисел.

С помощью этого графика легко определить промежутки знакопостоянства функции f, а именно: на каждом из промежутков и на каждом из промежутков и

Определив промежутки знакопостоянства функции f, мы тем самым решили неравенства и

Промежутки и вместе составляют множе­ство решений неравенства В таких случаях гово­рят, что множество решений неравенства является объединением указанных промежутков. Объединение про­межутков записывают с помощью специального символа .

Тогда множество решений неравенства можно записать так:

Множество решений неравенства можно запи­сать так:

Такой метод решения неравенств с по­мощью графика функции у = f (х) называют графическим.

Покажем, как с помощью этого метода решают квадрат­ные неравенства.

Определение: Неравенства вида где — переменная, а, b, и с — некоторые числа, причем называют квадратными.

Выясним, как определить положение графика квадратич­ной функции

относительно оси абсцисс.

Наличие и количество нулей квадратичной функции определяют с помощью дискриминанта D квадратного трехчлена если D > 0, то нулей у функции два, если D = 0, то нуль один, если D < 0, то нулей нет.

Знак старшего коэффициента квадратного трехчлена определяет направление ветвей параболы При ветви направлены вверх, при — вниз.

Схематическое расположение параболы относительно оси абсцисс в зависимости от знаков чисел a и D отображено в таблице ( — нули функции, — абсцисса вершины параболы):

Разъясним, как эту таблицу можно использовать для решения квадратных неравенств.

Пусть, например, надо решить неравенство где и . Этим условиям соответствует ячейка

таблицы. Тогда ясно, что ответом будет промежуток , на котором график соответствующей квадратичной функции расположен над осью абсцисс.

Пример №10

Решите неравенство

Решение:

Для квадратного трехчлена имеем: Этим условиям соответствует ячейка таблицы. Решим уравнение Получим Тогда схематически график функции можно изобразить так, как показано на рисунке 73.

Из рисунка 73 видно, что соответ­ствующая квадратичная функция при­нимает положительные значения на каж­дом из промежутков

Ответ:

Пример №11

Решите неравенство

Решение:

Имеем: Этим условиям соответствует ячей­ка таблицы. Устанавливаем, что Тогда схема­тически график функции

можно изобразить так, как показано на рисунке 74.

Из рисунка 74 видно, что решениями неравенства являются все числа, кроме

Заметим, что это неравенство можно решить другим спо­собом. Перепишем данное неравенство так: Тогда Отсюда получаем тот же результат.

Ответ:

Пример №12

Решите неравенство

Решение:

Имеем: Этим условиям соответ­ствует ячейка таблицы. В этом случае график функции не имеет точек с отрицательными ордина­тами.

Ответ: решений нет.

Пример №13

Решите неравенство

Решение:

Так как то данному случаю соответству­ет ячейка таблицы, причем Но в этом случае квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Следовательно, данное неравенство имеет един­ственное решение

Ответ: -5.

Системы уравнений с двумя переменными

В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения систем уравнений. Напомним, что его суть за­ключается в поиске координат общих точек графиков уравнений, входящих в систему. На уроках геометрии вы узнали, что графиком уравнения является окружность радиуса R с центром Вы также научились строить график квадратичной функции. Все это расширяет возможности применения графического метода для решения систем уравнений.

Пример №14

Решите графически систему уравнений:

Решение:

Первое уравнение системы равно­сильно такому: Его графиком является парабола, изобра­женная на рисунке 79.

Графиком второго уравнения яв­ляется прямая, которая пересекает построенную параболу в двух точках: (1; 0) и (4; 3) (рис. 79).

Как известно, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным. Поэтому найденные решения следует прове­рить. Проверка подтверждает, что пары чисел (1; 0) и (4; 3) действительно являются решениями данной системы.

Заметим, что эта система является «удобной» для гра­фического метода: координаты точек пересечения графиков оказались целыми числами. Понятно, что такая ситуация встречается далеко не всегда. Поэтому графический метод эффективен тогда, когда нужно определить количество ре­шений или достаточно найти их приближенно.

Рассмотренную систему можно решить, не обращаясь к графикам уравнений. Готовясь к изучению этой темы, вы повторили метод подстановки решения систем линей­ных уравнений. Этот метод является эффективным и для решения более сложных систем, в которых только одно уравнение является линейным, и для некоторых систем, в которых вообще линейных уравнений нет.

Решим систему методом подста­новки.

Выразим переменную через во втором уравнении системы:

Подставим в первое уравнение вместо у выражение

Получили уравнение с одной переменной. Упростив его, получим квадратное уравнение

Отсюда

Значения у, которые соответствуют найденным значени­ям х, найдем из уравнения

Ответ:

Пример №15

Определите количество решений системы уравнений

Решение:

Графиком первого уравнения системы является окруж­ность с центром (0; 0) радиуса 3.

Второе уравнение равносильно такому: Графиком этого уравнения является гипербола.

Изобразим окружность и гиперболу на одной коорди­натной плоскости (рис. 80). Мы видим, что графики пере­секаются в четырех точках. Следовательно, данная система имеет четыре решения.

Рисунок 80 также позволяет приближенно определить решения данной системы.

Не обращаясь к графическому методу, можно найти точные значения решений этой системы.

Готовясь к изучению этой темы, вы повторили метод сложения для решения систем линейных урав­нений. Покажем, как этот метод «работает» и при решении более сложных систем.

Умножим второе уравнение рассматриваемой системы на 2. Получим:

Сложим почленно левые и правые части уравнений: Отсюда или

Ясно, что для решения данной системы достаточно ре­шить две более простые системы.

Ответ:

Очевидно, что найти такое решение графическим методом невозможно.

В 8 классе вы ознакомились с методом замены пере­менных при решении уравнений. Этот метод применяется и для решения целого ряда систем уравнений.

Пример №16

Решите систему уравнений

Решение:

Пусть Тогда

Теперь первое уравнение системы можно записать так:

Отсюда

Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.

Ответ:

Пример №17

Решите систему уравнений

Решение:

Заметим, что данная система не изменится, если заме­нить на , а на . В таких случаях может оказаться эффективной замена

Запишем данную систему так:

Выполним указанную замену. Получим систему:

Ее можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно). Получаем:

Остается решить две системы:

Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для системы можно считать, что и — корни квадратного уравнения

Отсюда Следовательно, пары (1; 2) и (2; 1) являются решениями этой системы.

Используя этот метод, легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что система решений не имеет.

Ответ: (1; 2); (2; 1).

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Рассмотрим задачи, в которых системы уравнений второй степени используются как математические модели реальных ситуаций.

Пример №18

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 2 ч. С какой скоростью шел каждый турист, если для прохождения всего расстояния между пунктами одному из них нужно на 54 мин больше, чем другому?

Решение:

Пусть скорость первого туриста равна км/ч, а вто­рого — км/ч, До встречи первый турист прошел км, а второй — км. Вместе они прошли 18 км. Тогда

Все расстояние между пунктами первый турист проходит за ч, а второй за ч. Так как первому туристу для прохождения этого расстояния нужно на = = больше, чем второму, то

Получаем систему уравнений:

Тогда

Решив второе уравнение последней системы, получаем: Корень -36 не подходит по смыслу задачи. Следовательно,

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч.

Пример №19

Два работника могут вместе выполнить производственное задание за 10 дней. После 6 дней совместной работы одно­го из них перевели на другое задание, а второй продолжал работать. Через 2 дня самостоятельной работы второго ока­залось, что сделано всего задания. За сколько дней каждый работник может выполнить это производственное за­дание, работая самостоятельно?

Решение:

Пусть первый работник может выполнить все задание задней, а второй — за дней. За 1 день первый работник выполняет часть задания, а за 10 дней часть задания. Второй работник за 1 день выполняет часть задания, а за 10 дней часть задания. Так как за 10 дней совместной работы они выполняют все задание, то

Первый работник работал 6 дней и выполнил часть задания, а второй работал 8 дней и выполнил часть задания. Так как в результате было выполнено задания, то

Получили систему уравнений

решением которой является пара чисел Следовательно, первый работник может выполнить задание за 15 дней, а второй — за 30 дней.

Ответ: 15 дней, 30 дней.

Пример №20

При делении двузначного числа на произведение его цифр получим неполное частное 5 и остаток 2. Разность этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 36. Найдите это число.

Решение:

Пусть искомое число содержит десятков и единиц. Тогда оно равно Так как при делении этого числа на число получаем неполное частное 5 и остаток 2, то

Число, полученное перестановкой цифр данного, равно . По условию Получаем систему уравнений

решениями которой являются две пары чисел: или Но вторая пара не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, искомое число равно 62.

Ответ: 62.

Определение квадратичной функции

Моделируя реальные процессы при помощи функций, довольно часто приходят к так называемой квадратичной функции, частичным случаем которой является уже изученная функция .

В этом параграфе мы изучим: что такое квадратичная функция, каковы се свойства и график: что такое квадратичное неравенство, как решать квадратичные неравенства, исходя из свойств квадратичной функции.

В 7 классе мы начали изучать одно из важнейших понятий математики — понятие функции.

Что такое функция

Напомним, что переменную у называют функцией от переменной х, если каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. При этом переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у — зависимой переменной, или функцией (от аргумента х).

Если переменная у является функцией от аргумента х, то записывают: (читают: у равно от х). Значение функции при обозначают через . Так, если функция задана формулой у = 2х - 3, то можно записать Тогда, например,

Область определения и область значений функции

Множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), называют областью определения функции; множество значений, которые принимает зависимая переменная (функция), называют областью значений функции.

Область определения функции обозначают или , а область значений — или .

Так, областью определения линейной функции является множествен всех действительных чисел, то есть . Множеством значений этой функции также являйся множество всех действительных чисел: .

Если функция задана формулой и не указано, какие значения может принимать ар1умспт, то считают, что областью определения функции является множество всех действительных чисел, при которых выражение имеет смысл.

Если выражение является многочленом, то областью определения функции является множество всех действительных чисел; если — рациональная дробь, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме тех значений х, при которых знаменатель дроби равен нулю; если функция задана формулой , то областью определения функции является множество всех действительных чисел, при которых выполняется неравенство .

Рассмотрим, например, функцию Выражение имеет

смысл при всех значениях х, кроме х = 3. Поэтому областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, кроме х = 3, то есть

График функции

Графиком функции называют фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графики функций, которые мы изучали в 7 и 8 классах, а также их области определения и области значений приведены в таблице.

На рисунке 18 изображен график функции , областью определения которой является промежуток. Точка М(2; 4) принадлежит графику. Это значит, что при х = 2 значение функции равно .

Очевидно, что наименьшее значение функции равно -1. Это наименьшее значение функция принимает при х = 4. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при х = 0. Областью значений функции является промежуток [-1; 5].

Задание функции несколькими формулами

Существуют функции, которые па отдельных частях области определения задаются разными формулами. Например, если функция задана в виде

то это значит, что при значения функции нужно искать по формуле , при — по формуле , а при — по формуле. Так, .

Чтобы построить график такой функции (см. рис. 19), достаточно на промежутке построить график функции у = 2x + 3, на промежутке— график функции и на промежутке — график функции у = 4.

Описанным способом можно задать и функцию у = |х|:

График функции у = |х| изображен на рисунке 20.

График функции, формула которой содержит аргумент под знаком модуля

Построим график функции у = |х - 1| + |х + 1|.

Найдем значения х, при которых значения выражений х - 1 и х + 1, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Значения х = -1 и х = 1 разбивают координатную прямую на три промежутка (см. рис. 21).

Учитывая определение модуля числа, получим: если , поэтому и ; если , то , и ; если , то , и .

Чтобы получить график заданной функции, строим на промежутке график функции , на промежутке [-1; 1) — график функции и на промежутке — график функции . Искомый график изображен на рисунке 22.

Пример №21

Найти область определения функции .

Решение:

Область определения функции образуют тe значения х, при которых выражение 4 - 2х принимает неотрицательные значения, а выражение 2х — положительные значения. Следовательно, нужно решить систему неравенств Получим:

Свойства функций

Нули функции. Промежутки знакопостоянства

Рассмотрим функцию, график которой изображен на рисунке 24. При х = -1, х = 4 или х = 6 значения функции равны нулю. Такие значения аргумент а а называют нулями функции.

Определение: Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции.

Нулем функции является только одно значение х, а именно: , так как значение функции равно нулю только при .

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение .

Рис. 24

Функция, график которой изображен на рисунке 24. на промежутках |-3; -1) и (4: 6) принимает только отрицательные значения, а на промежутках (-1; 4) и (6; 7| — только положительные значения. Все эти промежутки называют промежутками знакопостоянства функции.

Возрастание, убывание функции

Рассмотрим график функции на рисунке 24. На промежутке [-3; 2| График «идет вверх»: при увеличении значений х из этого промежутка соответствующие значения функции увеличиваются. Например, возьмем значения аргумента и , тогда Так как то. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции . Говорят, что на промежутке ; функция возрастает (или является возрастающей). Такова же она и на промежутке [5; 7].

Па промежутке [2; 5] график функции «идет вниз»: при увеличении значений аргумента соответствующие значения функции уменьшаются. Говорят, что на этом промежутке функция убывает (или является убывающей).

Определение: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией; если же функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей функцией.

Например, на рисунке 25 изображен график функции, областью определения которой является промежуток |-1; 5|. Эта функция является возрастающей, так как она возрастает на всей области определения. Функция, график которой изображен на рисунке 26. является убывающей, так как она убывает на всей области определения — промежутке [-1; 5].

Возрастающими, например, являются функции (их графики всегда «идут вверх»), а убывающими — функции (их графики всегда «идут вниз»). Функция , график которой изображен на рисунке 24, не является ни возрастающей, ни убывающей. Она только возрастает или убывает на отдельных промежутках.

Функция , где , убывает на каждом из промежутков и но не является убывающей. Действительно, она не убывает на всей области определения , гак как при (см. рис. 27) имеем: .

Четные и нечетные функции

Рассмотрим функцию, ее график изображен на рисунке 28. Так как для любою значения х выполняем равенство , то . Функцию называют четной.

Определение: Функцию называют четной, если для любою значения х из определения области ее определения значение х также принадлежит области определения и выполняется равенство .

Область определения четной функции симметрична относительно начала координат, так как вместе со значением х она содержит и значение х.

График четной функции симметричен относительно оси у (см., например, рис. 28). поэтому для построения графика четной функции достаточно построить часть графика для , а потом симметрично отобразить эту часть относительно оси у.

На рисунке 29 изображен график функции . Так как для любою значения х выполняется равенство то . Функцию называют нечетной.

Определение: Функцию называют нечетной, если для любого значения х из области ее определения значение х также принадлежит области определения и выполняется равенство .

Область определения и график нечетной функции симметричны относительно начала координат. Поэтому для построения трафика нечетной функции достаточно построить часть графика для , а потом симметрично отобразить эту часть относительно начала координат.

Рассмотрим функцию . Область ее определения — множество всех действительных чисел — симметрична относительно начала координат. Для этой функции . Равенства не выполняются для всех значений х, например, дня . Эта функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция , где , также не является ни четной, ни нечетной, так как область определения функции (промежуток не симметрична относительно начата координат.

Итог. Чтобы исследовать функцию на четность, нужно:

1) найти область определении функции и выяснить, симметрична ли она относительно начала координат;

2) если обметь определенна симметрично относительно начала координат, то находим :

а) если для любого значения х из области определения функции выполняется равенство , то функция является четной;

б) если Оля нового значения х из области определения функции выполняется равенство , то функция является нечетной:

в) если хотя бы для одного значения д из области определения функции ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной;

3) если область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №22

Найти нули функции .

Решение:

Решим уравнение

Таким образом, функция имеет два нуля: х = 2 и х = 6.

Ответ. 2; 6

Пример №23

Доказать, что функция возрастает на промежутке

Решение:

Пусть и — два произвольных значения аргумента из промежутка , причем , a — соответствующие им значения функции, то есть. Покажем, что . Для этого рассмотрим разность

Так как то . Значения и принадлежат промежутку , поэтому (поскольку ) и

Тогда:

Большему значению аргумента из промежутка соответствует большее значение функции. Следовательно, функция на промежутке возрастает.

Пример №24

Четной или нечетной является функция:

Решение:

Областью определения каждой из данных функций является множество всех действительных чисел. Поэтому область определения каждой функции симметрична относительно начала координат. Для любого значения х имеем:

a) функция является нечетной;

б ) функция является четной;

в) . Возьмем х = 1 н найдем:Видим, что Функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ. а) Нечетная: б) четная; в) ни четная, ни нечетная.

Преобразование графиков функций

График функции y=f(x)±n, где n > 0

График функции

Пусть имеем график функции , а нужно построить графики функций . Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Для любого значения х значение функции на 2 больше соответствующего значения функции , а значение функции на 3 меньше соответствующего значения функции . (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений х.)

Поэтому график функции можно получить при помощи параллельного переноса графика функции вдоль оси у на 2 единицы вверх (см. рис. 33). График функции можно получить при помощи параллельного переноса графика функции вдоль оси у на 3 единицы вниз.

Если функцию записать в виде , то функции и будут функциями вида , где , а именно: .

Вообще, график функции , где можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх: график функции , где , можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вниз.

График функции y=f(x±m), где m > 0

График функции , где

Пусть имеем график функции , а нужно построить графики функций и . Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Из таблицы видно, что график функции можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 3 единицы вправо (рис. 34).

График функции можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 2 единицы влево (рис. 34).

Если функцию записать в виде , то функции и будут функциями вида , где , а именно: и

Вообще, график функции , где , можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо; график функции , где , можно получить из графика функции при помощи параллельного переноса вдоль оси х на m единиц влево.

График функции y=f(x±m)+n, где m > 0 и n > 0

График функции, где и .

Рассмотрим функцию . Еe график можно получить, если осуществить параллельный перенос график функции вдоль оси х на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 35).

График функции y=-f(x)

График функции .

Пусть имеем график функции а нужно построить график функции . Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Значения функции противоположны соответствующим значениям функции . Поэтому каждая точка графика функции симметрична соответствующей точке графика функции относительно оси х. Например, точка (2;-4) графика функции симметрична точке (2; 4) графика функции относительно оси х. Следовательно, график функции можно получить из трафика функции при помощи симметрии относительно оси х (рис. 36).

Если функцию записать в виде , то функция будет функцией вида .

Вообще, график функции можно получить ш графика функции при помощи симметрии относительно оси х.

График функции y=af(x), где a > 0

График функции , где

Пусть имеем график функции , а нужно построить графики функций . Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Для любого значения х значение функции в два раза больше соответствующего значения функции , а значение функции в два раза меньше соответствующего значения функции . (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений х.)

Поэтому график функции можно получить из графика функции , растянув последний or оси х в два раза, а график функции можно получить из графика функции сжав последний к оси х в два раза (см. рис. 37).

Гели функцию записать в виде , то функции и

будут функциями вида , где а > 0, а именно: .

Вообще, график функции , где , можно получить из графика функции , растянув последний от оси х в а раз при а > 1, и сжав его до оси х в раз при 0 а 1.

График функции y= [f(x)]

График функции .

По определению модуля числа имеем:

Таким образом, если , то значения функции равны, если то значения этих функций являются противоположными числами. Поэтому график функции можно получить так: строим график функции и ту его часть, которая находится ниже оси х, симметрично отображаем относительно этой оси.

На рисунке 38 изображен график функции . Сравните его с гpaфиком функции (рис. 35).

График функции y= f([x])

График функции

Отметим два свойства данной функции.

1. Функция является четной. Действительно, из тождества следует, что для любою значения х из области ее определения выполняется равенство. Следовательно, трафик функции симметричен относительно оси у.
2. Если , то. Поэтому при график функции совпадает с графиком функции .

Таким образом, график функции можно построить так: строим часть графика функции для ; выполнив симметрию построенной части относительно оси у, получаем вторую часть графика для .

На рисунке 39 изображен график функции у = (|л| 2)2 - 1. Сравните его с трафиком функции (рис. 35).

Пример №25

Построить график функции .

Решение:

Строим график функции . Параллельно переносим его вдоль оси х на 2 единицы влево, а потом вдоль оси у па 1 единицу вверх. Получаем искомый график (рис. 40).

Пример №26

Построить график функции .

Решение:

Последовательно строим графики следующих функций:

то есть .

График функции изображен на рисунке 41.

Пример №27

Построить график функции .

Решение:

Последовательно строим графики следующих функций:

График функции изображен на рисунке 42.

Функция y=ax²

Функция

Рассмотрим пример. Пусть тело свободно надает. Путь S, пройденный телом за время и можно найти по формуле

где g — ускорение свободного падения .

Перейдя к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функцию, которая задается формулой вида , где .

Нa рисунках 44 и 45 изображены графики функций , , которые являются частными случаями функции при а равно

График функции , где , как и график функции называют параболой.

Функции , где , имеет такие свойства:

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.
2. При а > 0 областью значений функции является промежуток ; при а 0 — промежуток
3. График функции — парабола.
4. Если х = 0, то у = 0. График проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы.
5. При а 0 все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси х; при а 0 — ниже этой оси. Говорят: при а > 0 ветви параболы направлены вверх; при а 0 — вниз.
6. При а> 0 функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке При а 0 функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке
7. Функция является четной, так как для любого значения х выполняется равенство . График функции симметричен относительно оси у.

Докажем, что функция при а> 0 возрастает на промежутке

Пусть — два произвольных неотрицательных значения аргумента, причем — соответствующие им значения функции, то есть , . Покажем, что Для этого рассмотрим разность:

Так как Учитывая, что а > 0, имеем:

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при а > 0 функция на промежутке возрастает.

То, что функция при а > 0 убывает на промежутке доказывается аналогично.

Вычисление квадратичной функции

Рассмотрим пример. Пусть тело движется прямолинейно вдоль оси х с ускорением . Если в начальный момент времени оно имело скорость , и находилось в точке с координатой , то координату х тела в момент времени г можно найти по формуле

В частности, если , то

Формула задает функцию, которую называют квадратичной.

Определение: Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где х — независимая переменная, a, b и с — некоторые числа, причем

Так, — квадратичные функции.

График квадратичной функции

Выясним сначала, что является графиком квадратичной функции Для этого преобразуем квадратный трехчлен так:

Записав квадратный трехчлен в виде , говорят, что из данного квадратного трехчлена выделили квадрат двучлена х - 2.

Вообще, выделить из квадратного трехчлена квадрат двучлена значит записать его в виде , где m и n — некоторые числа.

Итак, квадратичную функцию можно задать формулой . Поэтому ее график можно получить, если график функции параллельно перенести вдоль оси x на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 46).

Рассмотрим общий случай. Пусть имеется квадратичная функция Выделим из квадратного трехчлена квадрат двучлена:

Поэтому , где .

Следовательно, график функции можно получить из графика функции при помощи двух параллельных переносов вдоль осей координат (см. рис. 47). Графиком функции является парабола.

Точку (m;n), где , называют вершиной этой параболы. Ее осью симметрии является прямая х = m. При а> 0 ветви параболы направлены вверх, при а 0 — вниз.

Координаты вершины параболы можно найти по формулам

,

или по формулам

(ордината n вершины параболы является значением квадратичной функции при х = m).

Построение графика квадратичной функции

Рассмотрим квадратичную функцию

Так как , то график этой функции можно получить из графика функции при помощи двух параллельных переносов: вдоль оси х па 2 единицы влево и вдоль оси у на 1 единицу вниз (см. рис. 48).

Параболу, являющуюся графиком функции , можно построить и так:

1) находим координаты вершины параболы:

— абсцисса вершины;

— ордината вершины.

2) находим значения функции при нескольких целых значениях х близких к абсциссе вершины:

3) отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Получаем искомую параболу (рис. 49).

Положение графика квадратичной функции

В таблице показано положение графика функции в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D квадратного трехчлена .

При D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках; при D = 0 — касается этой оси; при D О — не имеет с осью х общих точек.

Пример №28

Построить график функции . Используя график, найти:

а) область значений функции;

б) промежуток, па котором функция возрастает; убывает.

Решение:

Найдем координаты вершины параболы:

Составим таблицу' значений функции для нескольких значений х:

Отметив точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получаем искомый график (рис. 50).

Из графика следует: а) областью значений функции является промежуток; б) функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Пример №29

Построить график функции

Решение:

Графиком данной функции является парабола. Нулями функции являются и . Нули параболы симметричны относительно ее оси, поэтому абсцисса ее вершины равна(середине отрезка с концами в нулях функции).

Находим ординату вершины: Ось у парабола пересекает в точке (0; 3). График функции изображен на рисунке 51.

Доказать, что функция принимает только положительные значения, и найти наименьшее значение функции.

Находим координаты вершины параболы

—абсцисса вершины; —ордината вершины.

Так как ветви параболы направлены вверх, то значение квадратичной функции при является наименьшим. Это наименьшее значение положительно, поэтому квадратичная функция принимает только положительные значения.

Неравенства второй степени с одной переменной

Неравенства вида

где х- — переменная, а, Ь, с — некоторые числа, причем называют неравенствами второй степени с одной переменной (или квадратными неравенствами).

Например, — квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств можно свести к нахождению промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные, неположительные, отрицательные или неотрицательные значения. Рассмотрим примеры.

Пример №30

Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим квадратичную функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось х. Для этого решим уравнение Его корнями являются Итак, парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами

Схематически изображаем параболу на координатной плоскости (рис. 53). Из построенного графика видим, что функция принимает положительные значения, если х принадлежит промежутку или промежутку (на этих промежутках парабола расположена выше оси х. Следовательно, множеством решений заданного неравенства является

Ответ. .

Используя схематическое изображение параболы (см. рис. 53), можно записать и множества решений следующих неравенств.

Пример №31

Решить неравенство

Решение:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Решив уравнение получим: Поэтому парабола пересекает ось х в точках с абсциссами и 4. Схематически изображаем данную параболу (рис. 54). Функция принимает неотрицательные значения, если х принадлежит промежутку . Этот промежуток и является множеством решений неравенства.

Ответ. .

Пример №32

Решить неравенство:

Решение:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение =0 не имеет корней, так как Следовательно, парабола не пересекает ось х. Схематически изображаем эту параболу (рис. 55). Функция при всех значениях х принимает положительные значения.

Поэтому множеством решений неравенства является множество всех действительных чисел, то есть , а неравенство решений не имеет.

Отвез, а); б) решений нет.

Итог. Чтобы решить неравенство вида

или где можно рассмотреть квадратичную функцию и:

1) найти нули функции;

2) если квадратичная функция имеет два нуля, то отметить их точками на оси х и через эти точки схематически провести параболу ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а 0;

если квадратичная функция имеет один нуль, то отметить его точкой на оси х и схематически провести параболу, которая касается оси х в этой точке; ветви параболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а 0;

если квадратичная функция не имеет нулей, то схематически провести параболу, расположенную в верхней полуплоскости ветвями вверх при а > О, в нижней полуплоскости ветвями вниз при а 0;

3) найти на оси х промежутки, на которых значения функции удовлетворяют соответствующему неравенству.

Пример №33

Решить неравенство

Решение:

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные, и упростим полученное в левой части выражение: Разделим обе части последнего неравенства на -4, получим неравенство

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение имеет корни и . Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами и . Изображаем схематически эту параболу (рис. 56). Множеством решений неравенства а значит, и заданного в условии неравенства, является промежуток.

Ответ. .

Пример №34

Найти область определения функции

Решение:

Область определения функции образуют те значения х при которых подкоренное выражение принимает неотрицательные значения.

Решим неравенство Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Уравнение имеет корни: и . Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами 0 и 2. Изображаем схематически эту параболу (рис.57). Неравенство выполняется, если х принадлежит промежутку [0; 2). Это и есть искомая область определения.

Ответ. [0; 2].

Пример №35

Найти область определения функции

Решение:

Область определения функции образуют те значения х, которые являются решениями системы неравенств

Корнями уравнения являются числа -4 и 1. Так как ветви параболы направлены вверх, то множеством решений первого неравенства системы является множество

Решим второе неравенство системы: множество решений второго неравенства.

Отметим на координатной прямой множества решений обоих неравенств.

Общие решения неравенств системы образуют множество

Ответ.

Пример №36

Решить неравенство

Решение:

Выражение имеет смысл при. Поэтому решения данного неравенства должны принадлежать промежутку

Так как множитель принимает только неотрицательные значения, а именно: при, то рассмотрим два случая:

1) х = 1. Тогда получим верное неравенство Следовательно, х = 1 —решение неравенства.

2) х > 1. Тогда множитель — положительный, и данное неравенство будет выполняться, если второй множитель неотрицательный. Имеем систему неравенств: Решив эту систему, найдем решения:

Ответ.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №37

Решить неравенство

Решение:

Дробь в левой части неравенства имеет смысл при . Так как при знаменатель дроби положителен, то данное неравенство будет выполняться, если Множеством решений квадратичного неравенства является промежуток Исключив из него число 2, получим множество решений данного неравенства:

Ответ.

Метод интервалов

Решим неравенство

Для этого рассмотрим функцию

и найдем значения х при которых она принимает положительные значения. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, а нулями — числа -1, 2 и 4. Нули разбивают область определения па четыре промежутка: и . На каждом из этих промежутков каждый из множителей произведения (х + 1 )(х - 2)(х - 4) имеет определенный знак. Знаки множителей и знаки произведения представлены в таблице.

Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутках Поэтому множеством решений неравенств является .

Отметим на координатной прямой нули функции и ее знаки на промежутках и (рис. 61). На каждом из этих промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через значения -1, 2 и 4 (нули функции) ее знак поочередно меняется. На крайнем справа промежутке как видно из таблицы, функция принимает положительные значения. Поэтому знаки функции на промежутках можно было найти так: отмечаем знаком «+» знак функции на крайнем справа промежутке а потом, используя свойство чередования знаков, определяем знаки функции на остальных промежутках, двигаясь справа налево.

Описанным способом можно найти знаки функции вила

где — некоторые попарно различные числа, на промежутках, которые определяются нулями этой функции. Зная знаки функции на промежутках, можно записать множества решений неравенств

Пример №38

Решить неравенство

Решение:

Отметим на координатной прямой нули функции — числа -3, -2 и 6. Отметим далее знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, они чередовались).

Множеством решений неравенства является объединение промежутков и (-2; 6).

Ответ.

Рассмотренный в примере метод решения неравенств называют методом интервалов.

Чтобы решить неравенство вида (1) методом интервалов, нужно:

1. отметить на координатой прямой нули функции
2. отметать знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа— знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались);
3. выбрав промежутки, на которых функция принимает значения соответствующего знака, записать множество решений неравенства.

Метод интервалов можно применить при решении не только неравенств вида (1), но и неравенств, которые путем преобразований сводятся к одному из неравенств этого вида. Рассмотрим пример.

Пример №39

Решить неравенство

Решение:

Приведем данное неравенство к виду (1). Для этого в выражении 1 - 2х вынесем за скобки множитель -2, а квадратный трехчлен разложим на множители:

Разделив обе части неравенства на -2, получим неравенство вида (1):

Отметим на координатной прямой нули функции и ее знаки на образованных промежутках.

На промежутках и функция принимает положительные значения, а при — значение 0. Поэтому если х принадлежит промежутку или промежутку

Ответ.

Если в неравенствах (1) не все числа являются попарно различными, то рассмотренный алгоритм определения знаков функции применять нельзя. Способ решения таких неравенств показан в следующем примере.

Пример №40

Решить неравенство

Решение:

Отметим на координатной прямой нули функции и ее знаки на образованных промежутках.

На крайнем справа промежутке все множители произведения являются положительными, поэтому на этом промежутке Двигаясь справа налево при переходе через значение х = 3, функция меняет знак, та как меняет знак множитель являющийся нечетной степенью двучлена х - 3. При переходе через значение х = I знак функции не меняется, так как не меняется знак множителя , являющегося четной степенью двучлена х - 1. При переходе через значение х = -0,5 функция меняет знак, так как меняет знак множитель х + 0,5 — нечетная (первая) степень двучлена х + 0,5.

Ответ.

Решение дробных рациональных неравенств

Метод интервалов можно применять и при решении дробных неравенств.

Решим неравенство

Рассмотрим функцию

1. Найдем область определения функции:
2. Найдем нули функции:
3. Отметим на координатной прямой точки, соответствующие числам -1, 2 и 4.

Знаки частного на промежутках определяем так же, как и знаки произведения

Функция принимает положительные значения на промежутках (-1; 2) и Поэтому множеством решений неравенства (2) является

Пример №41

Решить неравенство

Решение:

Приведем данное неравенство к неравенству, левой частью которого является дробь, а правой — нуль:

Нулем функции является х = 1; при х = -2 эта функция не определена. Отмстим на координатной прямой точки, соответствующие числам -2 и 1, а также знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались).

На промежутках функция принимает положительные значения, а при х - 1 — значение 0. Поэтому множеством решений неравенства является объединение промежутков

Ответ.

Системы уравнений с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными

Пусть известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см. Если длину одного из катетов обозначить через х см, а второго — через у см, то получим равенство

содержащее две переменные х и у. Такое равенство, как известно, называют уравнением с двумя переменными (или уравнением с двумя неизвестными).

Уравнения также являются уравнениями с двумя переменными.

Левой частью уравнения является многочлен второй степени, а правой — нуль. Такое уравнение называют уравнением второй степени с двумя переменными.

Уравнения являются соответственно уравнениями первой, второй и четвертой степеней.

Напомним, что решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство. Так, уравнение при х = 3, у = 4 превращается в верное числовое равенство Поэтому пара значений переменных х = 3, у = 4 является решением уравнения Это решение записывают еще и так: (3; 4). Решениями уравнения являются также пары (-3; 4), (4; 3), (0; 5), (-5; 0) и т. п.

Если на координатной плоскости отметить все точки, координаты которых являются решениями некоторою уравнения с двумя переменными, то получим график этого уравнения.

Так, графиком уравнения 2х - 5у = 1 является прямая, (графиком уравнения — окружность радиуса 5 с центром в начале координат (рис. 62). Уравнения и равносильны уравнениям . Поэтому их графиками являются соответственно парабола и гипербола.

Графический способ решения систем уравнений

В 7 классе мы рассматривали разные способы решения систем линейных уравнений: графический способ, способы подстановки, сложения. Пусть нужно решить систему оба уравнения которой являются уравнениями второй степени.

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы (рис.63). Графиком уравнения является окружность, а графиком уравнения -парабола. Эти графики имеют 3 общих точки: и . Легко проверить, что координаты каждой из этих точек являются решениями как первого, так и второго уравнений системы. Поэтому система имеет 3 решения: (0: 5), (-3; -4) и (3; -4).

Чтобы решить систему уравнений с двумя переменными графическим способом, нужно построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты оби/их точек этих графиков.

Решение систем уравнений

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему можно решить способом подстановки.

Пример №42

Решить систему уравнений

Решение:

Выразим из первого у равнения переменную у через переменную х:

Подставим во второе уравнение вместо у выражение Зх - 2 и решим полученное уравнение с одной переменной х:

По формуле находим:

Итак, система имеет два решения:

Ответ.

Решая систему уравнений способом подстановки, нужно:

1. выразить из некоторого уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить полученное выражение в другое уравнение вместо соответствующей переменной;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Пример №43

Решит систему уравнений

Решение:

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым уравнением, получим:

Отсюда: или

Итак, возможны два случая.

1)

— решения системы.

2)

— решения системы.

Ответ.

Замечания.

1. Систему из примера 2 можно решать способом подстановки, выразив из второго уравнения переменную у через переменную
2. Решая систему уравнений вида где а и b — некоторые известные числа, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Так, решая пример 2 мы получили систему . На основании упомянутой теоремы числа х и у являются корнями квадратного уравнения Решив уравнение, найдем: Тогда пары чисел (1: 3) и (3; 1) — решения данной системы.

Пример №44

Решить систему уравнений

Решение:

Положим: Получим систему линейных уравнений

решением которой является . Возвращаясь к замене, получим:

Решив последнюю систему способом подстановки, найдем: -2.

Ответ. (2; 2), (-2; -2).

Пример №45

Решить систему уравнений

Решение:

Запишем данную систему так: Разделим почленно второе уравнение на первое (так как и на ху х делить можно). Получим: , откуда

Подставим эти значения у в первое уравнение системы:

Ответ. .

Пример №46

Построить график уравнения

Решение:

Так как при допустимых значениях х выражение принимает неотрицательные значения, то Поэтому данное уравнение равносильно таким двум условиям: или Следовательно, графиком уравнения является полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат, находящаяся в верхней полуплоскости (рис. 64).

Пример №47

Построить график уравнения

Решение:

Если модуль числа равен 2, то этим числом является 2 или -2. Итак, 2х -у = 2 или 2х - у = -2. Поэтому графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями (рис. 65).

Пример №48

Решить систему уравнений

Решение:

Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, получим: , откуда . Подставив вместо х выражение во второе уравнение системы, получим:

Ответ.

Решение задач при помощи систем уравнений

Рассмотрим примеры.

Пример №49

Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Найти скорость движения каждой группы, если первой для преодоления всего пути между пунктами требуется времени на 0,9 ч больше, чем второй.

Решение:

Пусть скорость первой группы туристов х км/ч, а второй— у км/ч. Группы встретились через 2 ч, поэтому до встречи первая группа проплыла путь 2х км, а вторая — 2у км. Вместе они прошли 18 км. Получаем уравнение 2х + 2у = 18.

Чтобы пройти весь путь длиной 18 км, первой группе нужно ч, а второй ч. Так как первой группе на это нужно времени на 0,9 ч больше, чем второй, то: Получаем систему уравнений:

По условию задачи х > 0 и у > 0. Поэтому, умножив обе части второго уравнения на ху, получим:

Если х = 45, то у = 9 - 45 = -36 — не удовлетворяет неравенству у > 0.

Ответ. 4 км/ч; 5 км/ч.

Пример №50

Сад и огород имеют прямоугольную форму. Длина сада на 30 м меньше длины огорода, при этом его ширина на 10 м больше ширины огорода. Найти размеры сада, если его площадь , а площадь огорода—

Решение:

По условию задачи составляем таблицу.

Получаем систему уравнений:

Решим чту систему:

Значение не удовлетворяет условию задачи (ширина сада не может выражаться отрицательным числом). Поэтому:

Ответ. 30 м; 30 м.

Напоминаю:

Парабола имеет ряд интересных свойств. Представим себе, что парабола может отражать световые лучи. Если на параболу будет падать пучок лучей параллельно ее оси симметрии, то после отражения они пройдут через одну точку, которую называют фокусом параболы (на рисунке — это точка F). Наоборот, если в фокусе параболы поместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси симметрии.

На этом свойстве параболы основано строение параболических зеркал. Поверхность такого зеркала получают вследствие вращения параболы вокруг своей оси. Параболические зеркала используют при создании прожекторов, телескопов, автомобильных фар и т. п.

При определенных условиях камень, брошенный под углом к горизонту, движется «по параболе». То же можно сказать и о пушечном снаряде.

Парабола

Рассмотрим уравнение

Если и рассматривать как координаты точки, то уравнение (1) определит некоторое геометрическое место точек. Исследуем вид этого геометрического места. Заметим, что наше исследование будет неполным, так как останутся вопросы, которые нами пока не будут выяснены. Чем дальше мы будем продвигаться в изученйи математики, тем полнее будут проводиться исследования.

1) Так как при любом значении всегда неотрицательно, то , определяемое уравнением (1), всегда неотрицательно. Значит, любая точка, принадлежащая изучаемому геометрическому месту, не будет лежать ниже оси (рис. 18).

2) Так как и для —хи для х после возведения в квадрат получается одно и то же число, то точки, принадлежащие геометрическому месту и соответствующие значениям и , имеют одну и ту же ординату и поэтому расположены симметрично относительно оси (рис. 19).

3) Если положительно, то, чем больше , тем больше и . Поэтому по мере возрастания абсолютной величины абсциссы величина ординаты тоже возрастает. Следовательно,точки геометрического места удаляются от начала координат вправо вверх и влево вверх.

Геометрическое место, определяемое уравнением , называется параболой и имеет вид, изображенный на рис. 20. Эту кривую линию называют также графиком функции . Точка (0, 0) принадлежит геометрическому месту, поэтому можно сказать, что парабола проходит через начало координат. Эту точку называют вершиной параболы. Часть параболы, расположенная в первой четверти, и часть параболы, расположенная во второй четверти, называются ее ветвями.

Теперь рассмотрим уравнение

Оно определяет геометрическое место точек. Сравнивая уравнения (1) и (2), замечаем, что при одном и том же значения отличаются только знаками, именно , полученный из уравнения (2), всегда неположителен. Поэтому уравнение (2) тоже определяет параболу, вершина которой также находится в точке (0, 0), но ветви этой параболы идут от начала координат вниз вправо и вниз влево. График функции (2) изображен на рис. 21.

Перейдем к рассмотрению уравнения

Сравним его с уравнением (1).

Если положительно и больше единицы, то очевидно, что при одном и том же значении величина из уравнения (3) будет больше, чем величина , взятая из уравнения (1). Отсюда можно заключить, что кривая, определяемая уравнением (3), отличается от параболы (1) только тем, что ординаты ее точек растянуты в раз. Таким образом, кривая, определяемая уравнением (3), является более сжатой, чем парабола . Эту кривую тоже называют параболой.

Если , то получим параболу более раскрытую, чем парабола . Для а отрицательного получаем аналогичные выводы, которые ясны из рис. 22.

Теперь покажем, что кривая, определяемая уравнением , является параболой, только ее расположение относительно координатных осей другое, чем в разобранных случаях. Предварительно рассмотрим параллельный перенос осей координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости дана система координат (рис. 23). Рассмотрим новую систему координат . Предположим, что новая ось параллельна старой оси и новая ось параллельна старой оси . Начало координат новой системы— точка Масштаб и направление осей одинаковы в старой и новой системах координат.

Обозначим координаты нового начала относительно старой системы координат через и , так что Возьмем произвольную точку на плоскости; пусть ее координаты в старой системе будут и , а в новой и Тогда , , и (на основании формулы (2) из § 1 гл. 1)

Таким образом,

Переход от старой системы координат к указанной новой называется параллельным переносом или параллельным сдвигом осей координат. Приходим к выводу:

При параллельном сдвиге осей координат старая координата точки равна новой координате той же точки плюс координата нового начала в старой системе.

Исследование функции y=ax²+bx+c

Исследование функции

Функция, определенная уравнением

называется квадратичной функцией. Функция , рассмотренная выше, является частным случаем квадратичной функции. Поставим перед собой цель—выяснить, как изменится уравнение (1), если перейти к новым координатам. Возьмем новые оси координат так, чтобы они были параллельны старым, т. е. ось будет параллельна оси , а ось —оси . Масштаб и направление осей такие же, как и у старых. Пусть координаты нового начала в старой системе будут и . Подставим в уравнение (5) вместо и их выражения через новые координаты: , .Получим . Разрешив это уравнение относительно , будем иметь

Координаты нового начала находятся в нашем распоряжении, поэтому их можно выбрать так, чтобы выполнялись условия

В этих уравнениях два неизвестных: и . Найдем их:

Если взять новое начало в точке ,то в уравнении (2) скобки и сделаются равными нулю, т. е. уравнение (2) примет вид

Полученное уравнение имеет вид, рассмотренный выше. Таким образом, уравнение относительно новой системы координат определяет ту же параболу, что и уравнение *. Приходим к выводу:

Уравнение определяет параболу, вершина которой находится в точке и ветви которой направлены вверх, если , и вниз, если .

Тот же вывод можно высказать по-другому:

График квадратической функции есть парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если , и вниз, если .

Пример №51

Выяснить вид и расположение параболы, заданной уравнением

Решение:

Переносим начало координат в точку , координаты которой пока неизвестны. Старые координаты выражаются через новые по формулам

Подставляя эти выражения в уравнение (4), получим:

Выберем координаты нового начала так, чтобы соблюдались равенства

Решая полученную систему уравнений, будем иметь:

Следовательно, перенося начало координат в точку , преобразуем уравнение (4) в новое уравнение, которое имеет вид

Следовательно, уравнение (4) определяет параболу, имеющую вершину в точке , ветви параболы направлены вверх (рис. 24).

Приведем пример применения квадратичной функции в механике.

Пример №52

Найти траекторию тела, брошенного под углом к горизонту. Угол бросания , скорость бросания .Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение:

Выберем оси координат так: ось —вертикальная прямая, проведенная в точке бросания, ось — горизонтальная прямая, начало координат—точка бросания (рис. 25).

Если бы не действовала сила притяжения Земли, то тело, брошенное под углом к горизонту, по инерции двигалось бы по прямой . За сек оно прошло бы расстояние и, стало быть, находилось бы в точке . Но под действием силы притяжения Земли это тело, как свободно падающее, за сек пройдет вниз путь , следовательно, тело фактически будет в точке .

Вычислим координаты точки .

Найдем уравнение, связывающее с . Для этого из уравнения найдем и подставим это выражение в уравнение : и, следовательно,

или

Мы получили уравнение траектории тела. Как мы видим, это есть квадратичная функция рассмотренного вида, следовательно, тело, брошенное под углом к горизонту, движется в безвоздушном пространстве по параболе, расположенной вершиной вверх, поскольку коэффициент при отрицателен.

Какова наибольшая высота подъема тела над Землей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти вершину параболы. Как было выведено, вершина параболы имеет координаты

В нашей задаче поэтому координаты вершины равны

Найдем теперь дальность полета тела, т. е. абсциссу точки падения. Для этого приравняем в уравнении нулю, получим уравнение

решая которое найдем два значения и ; первое из них дает точку бросания, а второе—искомую абсциссу точки падения. Все эти рассуждения относятся к безвоздушному пространству; в воздухе и высота и дальность будут значительно меньше.

Квадратичная функция в высшей математике

При любом функция вида называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Если квадратичная функция принимает вид Ее график показан на рисунке.

График функции y=ya²

График функции

Пример 1. Исследуйте таблицу значений для функции , , ,. Определите, к какой функции относится каждый график на рисунке.

Если увеличить ординату каждой точки параболы в 2 раза, не меняя абсциссу, то получатся точки графика функции

То есть, график функции получается растяжением параболы от оси абсцисс в два раза.

График функции получается сжатием параболы к оси абсцисс в два раза.

Парабола «шире» параболы, соответствующей функции . Парабола получается от параболы преобразованием симметрии относительно оси абсцисс. Подобным образом параболы и симметричны относительно оси абсцисс.

График квадратичной функции

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии

• При ветви параболы направлены вверх, а при ветви параболы направлены вниз.

• При парабола, растягиваясь от оси абсцисс в вертикальном направлении, становится «уже» параболы .

• При парабола, сжимаясь к оси абсцисс в вертикальном направлении, становится «шире» параболы .

График функции y=x²+n

График функции

Пример 2.

Функции , , представлены в виде таблицы и графика. Начертите таблицу и график в тетради. Выясните, как изменится график функции в зависимости от значения .

Построим параболу и сдвинем ее на 1 единицу вверх вдоль оси . Вершиной параболы будет точка , а останется осью симметрии. Абсцисса каждой точки останется прежней, а ордината увеличится на одну единицу. То есть, ордината точки с абсциссой новой параболы будет

Парабола, соответствующая функции получается сдвигом параболы на 1 единицу вверх вдоль оси . Вершина параболы

Сравним параболы, соответствующие функциям и . Парабола, соответствующая функции , получается сдвигом параболы вдоль оси на 2 единицы вниз. Вершина параболы

Следовательно, расположение параболы по отношению к меняется но вертикали вдоль оси . Важно правильно отметить точку вершины параболы.

График функции получается сдвигом параболы вдоль оси .

• Парабола сдвигается на единиц вниз вдоль оси , если , а вверх если .

• Вершина параболы находится в точке .

Пример 3. Функции представлены в виде таблицы и графика. Начертите таблицу и график в тетради. Исследуйте, как изменится график функции в зависимости от значения .

График функции y=(x m)+2

График функции

Сдвинем параболу на 3 единицы влево. Точкой вершины параболы будет . Точка на сдвиженной параболе получается сдвигом на три единицы точки на данной параболе. Поэтому абсцисса точки будет , а ордината будет такой же как и ордината точки Так как ордината произвольной точки на данной параболе равна квадрату абсциссы, то получим То есть, для точки на сдвиженной параболе будет

Если параболу сдвинем на 3 единицы влево, то получится парабола

Если параболу сдвинем на 2 единицы вправо, то получится парабола,

Число меняет положение параболы вдоль оси (по горизонтали).

График функции получается сдвигом параболы на единиц вдоль оси абсцисс.

• Если , парабола сдвигается вдоль оси вправо, если -влево.

• соответствует абсциссе точки вершины параболы. Точкой вершины параболы будет

• Прямая является осью симметрии параболы.

График функции y=a(x-m)²+n

График функции

Обобщив рассмотренные построения, покажем построение параболы по графику функции Сначала рассмотрим примеры.

Пример 4. Исследуйте построение графика функции при помощи сдвига параболы

1. Постройте график функции

2. Так как , направление ветвей параболы не меняется. Поскольку , парабола «расширяется», потому что при одинаковом значении значение будет в 3 раза меньше. Например, точка данная на графике , для данной функции будет

3. Отметьте точку симметричную точке относительно оси

4. Начертите параболу, проходящую через точки , , . Это график функции

5. Так как сдвиньте данную параболу на 5 единиц вправо и 4 единицы вниз. Полученная парабола является графиком функции

Точка с координатами - вершина параболы Осью симметрии этой параболы является прямая .

Пример 5.

• Постройте график функции .

• Так как , ветви параболы функции направлены вниз. График этой функции будет «уже» параболы, соответствующей функции Потому что при соответствующих значениях значение по модулю будет в 2 раза больше. Например:

Отметьте эти точки и постройте график функции , соединив их сплошной кривой.

• Так как и , то при сдвиге параболы на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх получится график функции . Вершина параболы будет в точке .

• Прямая является осью симметрии параболы.

Представление квадратичной функции в разных формах и ее графики

Во всех случаях, если ветви параболы направлены вверх; если ветви параболы направлены вниз.

Точка вершины параболы и точки пересечения с осями координат важные точки параболы.

Шаги построения параболы:

1. Находится точка вершины и отмечается на координатной плоскости.

2. Находятся точки пересечения с осью (если есть) и осью .

3. Определяется ось симметрии

4. Отмечаются несколько точек на параболе относительно оси симметрии.

5. Строится парабола, проходящая через отмеченные точки.

Пример 1. Построим график функции . Так как , ветви параболы направлены вниз.

1. Отметим точку вершины параболы:

2. При то есть, парабола пересекает ось в точке

3. Начертим ось симметрии и отметим точку находящуюся на параболе .

4. Отметим точки симметричные точкам относительно прямой

5. Построим параболу, проходящую через отмеченные точки.

Пример 2. Построим график функции

• - точки пересечения с осью

• Ось симметрии проходит через точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от этих точек: .

• Абсцисса вершины параболы , ордината Отметим точку вершины на координатной плоскости.

• Проведем ось симметрии . Отметим две точки, симметричные относительно оси симметрии. Например, при и То есть, отметим точки

• Построим параболу, проходящую через отмеченные точки.

Пример 3. Выразите функцию, заданную графически и по кординатам вершины

1. Как видно из рисунка, вершина параболы находится в точке

2. Так как ветви параболы направлены вверх, то Учитывая значения и , функцию можно записать в виде

3. Записав координаты любой точки графика, например, или , в формулу функции, можно найти . Учтем точку

Формулой функции является

Нули квадратичной функции

Пересечение графика квадратичной функции с осью абсцисс.

В точках графика, которые находятся на оси абсцисс значение функции равно 0. Значения аргумента, при которых функция равна нулю, называются нулями функции. Определим число нулей для функции по значениям и .

• По значению можно определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз.

• По значению можно определить, находится ли точка вершины параболы выше, ниже или на оси абсцисс.

По точке вершины параболы и направлению ее ветвей вниз или вверх определим число точек пересечения графика с осью абсцисс на примерах.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Общий вид квадратичной функции

Любая квадратичная функция вида может быть представлена в виде выделением полного квадрата.

Обозначив , , получим

Осью симметрии параболы является прямая . Точкой вершины будет , , . Здесь, .

Пример 1:

Пример 2:

Если в уравнение вписать значения и , то данная функция примет вид: .

Свойства квадратичной функции можно обобщить нижеследующим образом.

При ветви параболы, являющейся графиком квадратичной функции, направлены вверх, при ветви параболы направлены вниз.

Абсциссой точки вершины параболы будет , а уравнением оси симметрии .

Парабола пересекается с осью ординат в точке .

Значение ординаты (т.е. ) точки вершины графика функции при будет наименьшим значением (НмЗ) функции, а при будет наибольшим значением (НбЗ) функции. Эти значения также называются максимальными и минимальными значениями функции.

Множество значений, принимаемых аргументом , является областью определения функции. Областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел. Значения, принимаемые функцией , образуют множество значений функции. Множеством значений функции при является множество всех действительных чисел, меньших или равных максимальному значению функции , а при множество всех действительных чисел, больших или равных минимальному значению функции . Если график «поднимается вверх» слева направо, то функция возрастает. Если график «опускается вниз» слева направо, то функция убывает.

Решение задач с применением квадратичной функции

Пример:

Каковы должны быть измерения хлева прямоугольной формы с периметром 200 м, чтобы площадь его была наибольшей?

Решение:

1. Допустим, что длина хлева с периметром 200 м равна . Запишем выражение, определяющее зависимость между шириной и длиной хлева

2. Напишем функцию, определяющую зависимость площади хлева от его длины.

3. Выделим полный квадрат функции :

4. Запишем координаты точки вершины и исследуем задачу.

Вершины находится в точке . Так как , эта точка является максимумом функции . То есть, функция получает максимальное значение при , и это значение равно 2500. Отсюда видно, что площадь прямоугольного хлева с периметром 200 м будет равна , если его длина будет равна 50 м, ширина также равна 50 м (т.е. он должен иметь форму квадрата).

Пример:

Группа студентов открыла компанию по производству компьютерных деталей. Прибыль, полученную от производства, можно выразить функцией . Здесь показывает число деталей, произведенных за неделю.

a) Найдите координаты точек пересечения графика данной функции с осью . Какую реальную информацию отражают эти координаты?

b) Найдите координаты точек пересечения графика данной функции с осью . Какую реальную информацию отражают эти координаты?

c) Для функции, выражающей прибыль, найдите координаты точки вершины графика. Какую реальную информацию отражают эти координаты?

d) Представьте в виде графика функцию, выражающую прибыль.

Решение:

а) В точках пересечения графика с осью значение функции

и точки пересечения графика с осью . Ординаты этих точек показывают, что прибыль равна нулю. То есть, если число деталей 10 или 40, то прибыль равна нулю. В экономике эту точку называют точкой «поворота».

b) Точка пересечения с осью :

Точка пересечения с осью То есть, если компания не будет производить никаких деталей, то еженедельные потери будут составлять 800 ман.

c) Абсцисса точки вершины графика функции:

Ордината: . Координаты точки вершины: Эти данные показывают, что компания может получать максимальный доход 450 ман. в неделю. А это возможно в случае производства 25 деталей.

Пример:

Если цена одной спортивной рубашки 8 руб, то магазин продаст 10 рубашек вдень. Владелец магазина считает, что снижение цены одной рубашки каждый раз на 2 руб может привести к ежедневному увеличению продажи рубашек на 5 штук. Какова должна быть цена рубашки, чтобы поступление от продажи было максимальным?

1. Примем число снижений цен на 2 руб за . Тогда цена одной рубашки будет

2. Количество рубашек, проданных ежедневно будет

3.

Функция выражает поступление от продажи.

Координаты точек вершин этой функции:

координаты точки вершины. Значит, если одна спортивная рубашка продается за руб., то ежедневное поступление от продажи будет максимальным и составит 90 руб (если расчеты владельца магазина верны).

Полезные знания:

Пример:

Трос (провод), поддерживающий вес моста, прикреплен к двум столбам, расстояние между которыми 370 м. Самая нижняя точка провода, являющегося по форме параболой, находится на расстоянии 25 м от земли. Высота каждого столба 50м. На какой высоте от земли находится точка на проводе крепления, расположенная на расстоянии 60 м по горизонтали, от одного из столбов.

Решение:

Нарисуйте схематично соответствующую параболу. Отметьте на ней данные из задачи. Расположите начало координат в точке вершины параболы, в самой низкой точке. Данные, соответствующие расстоянию от начала координат до столбов и высоте столбов:

Форму провода крепления можно выразить формулой По точке найдите .

Точка, находящаяся на расстоянии 60 м от одного из столбов, будет

находится на расстоянии от точки вершины параболы. Так как то указанная точка находится на расстоянии приблизительно 36,4 м от земли.

Функция y=[x] и ее график

Функция и ее график

Исходя из этих графиков, можно подвести нижеследующие обобщения.

Основные свойства функции

• График функции получается сдвигом графика единиц горизонтально (при направо, при налево) и единиц вертикально (при вверх, при вниз).

• - точка вершины графика, симметричного относительно прямой .

• При лучи, образующие график, направлены вверх, а при направлены вниз.

Пример №53

Постройте график функции .

Решение:

1. Отметьте точку вершины графика на координатной плоскости.

2. Отметьте какую-либо другую точку, например, , соответствующую функции.

3. Отметьте точку , симметричную точке относительно оси симметрии

4. Учитывая, что лучи направлены вниз, при , постройте график по трем отмеченным точкам.

Пример №54

Напишите соответствующую функцию по графику и данным точкам.

Решение:

1. Вершина графика находится в точке .

2. В уравнении вместо и напишем соответственно значение 0 и 3:

Запишем координаты точки в формуле:

Функция, соответствующая графику будет:

Проверка: Постройте график функции Обратите внимание на то, что ветви графика направленные вверх, более сжаты к оси ординат, чем у графика

Расстояние между двумя точками

На числовой оси

На координатной плоскости

Расстояние между точками и , то есть длину отрезка , можно найти из , применяя теорему Пифагора. Так как длины катетов и равны соответственно ,то .

Это формула расстояния между двумя точками. При решении задач на расстояние между двумя точками часто используется формула координат средней точки отрезка.

Область определения квадратичной функции

В 7 классе вы начали изучать одно из важнейших математических понятий - понятие функции. Напомним,что функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость, при которой каждому значению независимой переменной из некоторого множества соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную еще называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента (или просто функцией). Например, если , то является функцией аргумента .

Зависимость переменной от переменной записывают в виде: (читают: равно от »). Символом обозначают значение функции для значения аргумента, равного .

Пример №55

Рассмотрим функцию . Можно записать, что . Найдем, например, значение функции для , то есть найдем . Имеем: . Найдем значение этой функции в точках, которые равны 0; ; , - 1. Получим:

Отметим, что в записи вместо можно использовать и другие буквы: и т. п.

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Наибольшим значением функции называют наибольшее число из области значений функции, а наименьшим значением функции — соответственно наименьшее такое число.

Область определения функции обычно обозначают , а область значений - .

Если функция задана формулой и при этом не указана ее область определения, то будем считать, что эта область состоит из всех значений аргумента, при которых формула функции имеет смысл.

Пример №56

Найти область определения функции:

1)

2)

Решение:

1) Выражение имеет смысл при любом значении , поэтому область определения функции -множество всех чисел, т. е. промежуток .

2) Выражение имеет смысл при любом , кроме числа 8, поэтому областью определения функции является множество .

Ответ. 1); 2) .

Ответ можно было записать еще и так:

1) ; 2) .

Пример №57

Найти область определения и область значений функции: 1) ; 2) .

Решение:

1) Областью определения функции будет промежуток . Чтобы найти область значений функции, оценим выражение для всех значений . Имеем:

Таким образом, при любом значении , то есть областью значений функции будет промежуток .

2) Область определения функции состоит из таких значений , при которых выражения и одновременно принимают неотрицательные значения. Следовательно, чтобы найти эти значения, надо решить систему неравенств:

откуда получим, что

Очевидно, что решением системы является число 2, а значит, область определения функции содержит лишь число 2. Чтобы найти область значений этой функции, достаточно вычислить . Имеем: .

Ответ. 1) ; 2) .

Отметим, что наибольшим значением функции является число 2, а наименьшего значения у нее не существует.

Напомним,что

графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Пример №58

Построить график функции . По графику найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Областью определения функции является множество всех чисел. По определению модуля числа имеем: , если , и , если . Следовательно, функцию можно записать в виде:

График этой функции на промежутке совпадает с графиком функции , а на промежутке - с графиком функции .

График функции изображен на рисунке 34. Очевидно, что наименьшим значением этой функции является число 0, а наибольшего значения не существует.

Ответ. Наименьшее значение функции - 0, наибольшего не существует.

Свойства квадратичной функции

Рассмотрим функцию , график которой изображен на рисунке 37. При или значение функции равно нулю, то есть . В таком случае значения аргумента называют нулями функции.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Очевидно, что нули функции являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью абсцисс, а ординаты этих точек равны нулю, так как точки лежат на оси абсцисс.

Следовательно, чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение .

Пример №59

Найти нули функции .

Решение:

Решим уравнение , получим: . Следовательно, -2 и 4 - нули функции.

Ответ. -2; 4.

График, изображенный на рисунке 37, пересекает ось абсцисс в точках .

Этот график пересекает также и ось ординат в точке . Абсцисса этой точки равна нулю, ведь точка лежит на оси ординат. Следовательно, ордината точки пересечения графика функции с осью ординат равна числу , то есть значению функции для значения аргумента, равного нулю.

Пример №60

Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Решение:

Так как -2 и 4 - нули функции , то ее график пересекает ось абсцисс в точках и .

Так как , то график функции пересекает ось ординат в точке .

Нули функции (рис. 37) разбивают ее область определения - промежуток - на три промежутка: , и . Для значений из промежутка точки графика лежат выше оси абсцисс, а для значений из промежутков и - ниже оси абсцисс. Следовательно, на промежутке функция принимает положительные значения, то есть при , а на каждом из промежутков и - отрицательные значения, то есть при или .

Промежуток, на котором функция сохраняет свой знак, называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутки , и являются промежутками знакопостоянства функции , график которой изображен на рисунке 37.

Рассмотрим, как меняется (увеличивается или уменьшается) значение этой функции при изменении значений х от -4 до 4.

Из графика видим, что с увеличением значений от -4 до 2 значения увеличиваются (график «стремится» вверх), а с увеличением значений от 2 до 4 значения уменьшаются (график «стремится» вниз). Говорят, что на промежутке функция возрастает (или является возрастающей), а на промежутке функция убывает (или является убывающей).

Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следовательно, по определению, функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка, таких, что имеет место неравенство: .

Нa рисунке 38 изображен график функции , возрастающей на . При этом называют промежутком возрастания функции.

Аналогично, по определению, функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка, таких, что , имеет место неравенство .

Нa рисунке 39 изображен график функции , убывающей на . При этом называют промежутком убывания функции.

Выясним, какими свойствами обладают некоторые из ранее изученных функций.

Пример №61

Рассмотрим свойства функции , где (рис. 40 и 41).

1) Областью определения и областью значений функции является множество всех чисел. 2) Найдем нули функции, решив уравнение , получим, что - единственный нуль функции.

3) Найдем промежутки знакопостоянства функции. Пусть . Решив неравенство , получим: . Следовательно,

Решив неравенство , получим: Следовательно,

Пусть . Решив неравенство , получим:

Следовательно,

Решив неравенство , получим: Следовательно,

4) Проверим функцию на возрастание и убывание. Пусть и , то есть . Тогда

, так как и . Следовательно, при функция на возрастает.

Пусть и , то есть . Тогда , так как и . Следовательно, при функция на убывает.

5) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

Пример №62

Рассмотрим свойства функции (рис. 42 и 43).

1) Областью определения и областью значений функции является множество всех чисел, за исключением нуля.

2) Поскольку уравнение , решений не имеет, то у функции нет нулей.

3) Пусть . Тогда при и при .

Следовательно, при и при .

Пусть . Тогда при и при . Следовательно, при и при .

4) При функция убывает на каждом из промежутков и . При функция возрастает на каждом из промежутков и .

5) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Пример №63

Рассмотрим свойства функции (рис. 44).

1) Область определения функции - множество всех чисел. Область значений - промежуток .

2) Уравнение имеет единственное решение: . Следовательно, число 0 - единственный нуль функции. 3) при , то есть при или . Отметим, что не существует таких значений , при которых , поскольку неравенство не имеет решений.

4) Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

5) Наименьшее значение функции равно нулю, наибольшего - не существует.

Пример №64

Рассмотрим свойства функции (рис. 45).

1) Область определения и область значений функции -промежуток .

2) Уравнение имеет единственное решение - число 0, которое является нулем функции.

3) при , то есть при . Нет таких значений , чтобы имело место неравенство , так как неравенство не имеет решений.

4) Функция возрастает на промежутке .

5) Наименьшее значение функции - число 0, наибольшего - не существует. Систематизируем свойства этих функций в таблицу.

Простейшие преобразования графиков квадратичной функций

Раньше вы строили только графики функций вида .

Рассмотрим некоторые преобразования графика функции , которые значительно расширят перечень функций, графики которых мы сможем построить.

1. Построение графика функции , где .

Пример №65

Построить в одной системе координат графики функций , и .

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:

Из таблицы ясно, что для одного и того же значения значение функции на 2 меньше, а значение функции на 3 больше соответствующего значения функции . Поэтому график функции можно построить путем переноса каждой точки графика функции вдоль оси на 2 единицы вниз, а график функции - путем переноса каждой точки графика функции вдоль оси на 3 единицы вверх (рис. 48).

Таким образом,

• для построения графика функции , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вверх;
• для построения графика функции , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вниз.

Замечание. Вместо переноса графика функции вверх (вниз), можно переносить ось на то же расстояние в противоположном направлении.

2. Построение графика функции , где .

Пример №66

Построить в одной системе координат графики функций и .

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:

Для каждого значение функции равно значению функции при . В таблице это соответствие показано стрелками для значений функций при и при соответственно.

Следовательно, если все точки графика функции перенести вдоль оси на 2 единицы вправо, то получим график функции (рис. 49).

Пример №67

Построить в одной системе координат графики функций и .

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:

Рассуждая, как в примере 2, придем к выводу, что график функции можно получить путем переноса графика функции вдоль оси на 1 единицу влево (рис. 50).

Таким образом,

• для построения графика функции , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц вправо;
• для построения графика функции , достаточно график функции перенести вдоль оси на единиц влево.

Замечание. Вместо переноса графика функции влево (вправо) можно перенести ось на то же расстояние в противоположном направлении.

3. Построение графика функции .

Пример №68

Построить в одной системе координат графики функций и .

Решение:

Сначала составим таблицу значений данных функций для нескольких значений аргумента:

Из таблицы видим, что значения функции для одних и тех же значений противоположны соответствующим значениям функции . Графики этих функций изображены на рисунке 51.

Если провести отрезки, соединяющие точки графиков функций и для одного и того же значения (на рис. 51 они показаны пунктиром для , и ), то ось будет их срединным перпендикуляром. В таком случае говорят, что графики симметричны относительно оси .

Точки и называют симметричными относительно прямой , если прямая является срединным перпендикуляром отрезка (рис. 52).

Следовательно, графики функций и симметричны относительно оси .

4. Построение графика функции , где , .

Пример №69

Построить в одной системе координат графики функций , и .

Решение:

Сначала составим таблицу значений каждой из данных функций для нескольких значений аргумента:

При любом значение функции в 2 раза меньше соответствующего значения функции , а значение функции в 2 раза больше соответствующего значения функции . Поэтому график функции можно получить путем сжатия графика функции вдвое вдоль оси (рис. 53), а график функции - путем растяжения графика функции вдвое вдоль оси (рис. 54).

Таким образом, для построения графика функции , где , , достаточно график функции растянуть вдоль оси в раз, если , или сжать его вдоль оси в раз, если .

Выполняя последовательно два и более преобразований, можно строить графики функций , , где , и другие.

Пример №70

Построить график функции .

Решение:

График функции можно получить путем переноса графика функции вдоль оси на 2 единицы вправо, а затем - вдоль оси на 3 единицы вверх. График изображен на рисунке 55.

Пример №71

Построить график функции .

Решение:

Построим график функции . Растянув его вдвое вдоль оси , получим график функции .

Графики функций и симметричны относительно оси . Построение изображено на рисунке 56.

5. Построение графика функции .

По определению модуля числа имеем:

Следовательно, для тех значений , при которых , соответствующие значения функций и равны, а потому для таких значений графики этих функций совпадают. Для тех значений , при которых , соответствующие значения функций и являются противоположными числами, поэтому для таких значений графики этих функций симметричны относительно оси .

Для построения графика функции достаточно построить график функции и ту его часть, которая лежит ниже оси , симметрично отобразить относительно этой оси.

Пример №72

Построить график функции .

Решение:

Построим график функции . Затем ту его часть, которая лежит ниже оси , симметрично отобразим относительно этой оси. График изображен на рисунке 57.

Функция y=ax²+bx+c,a≠0. ее график и свойства

Функция . ее график и свойства

Одной из важнейших функций в курсе математики является квадратичная функция.

Функцию вида , где — переменная, , и — некоторые числа, причем , называют квадратичной функцией.

Математические модели многих реальных процессов в разнообразных сферах деятельности человека являются квадратичными функциями. В первую очередь это касается науки, в частности физики и экономики, а также техники.

Например, тело движется с ускорением и к началу отсчета времени прошло расстояние , имея в этот момент скорость . Тогда зависимость расстояния (в метрах), пройденного телом, от времени (в секундах) при равноускоренном движении задается формулой:

Тогда, если , то .

Пример №73

Зависимость между площадью использованной земли и валовым доходом из расчета на 10 гектаров сельскохозяйственных угодий в фермерском хозяйстве лесостепной полосы можно выразить функцией , где - площадь сельскохозяйственных угодий (в га), - валовой доход на 10 гектаров сельскохозяйственных угодий (в тыс. грн). С какой площади хозяйство будет иметь наибольшую прибыль? Какова будет эта прибыль?

Решение:

В формуле функции выделим полный квадрат:

таким образом, .

Полученное выражение принимает наибольшее значение при . Следовательно, хозяйство получит наибольшую прибыль с площади в 3 гектара.

Размер прибыли - значение функции при , то есть (тыс. грн). Следовательно, наибольшая прибыль составит 22,5 тыс. грн.

Ответ. 3 га; 22,5 тыс. грн.

Рассмотрим свойства квадратичной функции и ее график. Начнем с ее частного случая.

Пусть в формуле квадратичной функции , тогда имеем функцию .

Графиком функции , где , является парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, если (рис. 61), и вниз, если (рис. 62). Значение для функции является наименьшим, если , и наибольшим, если .

Систематизируем свойства в виде таблицы.

Теперь рассмотрим функцию . Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Таким образом,

Обозначив , получим, что .

Следовательно, график функции можно получить из графика функции с помощью двух преобразований - переносов вдоль координатных осей.

График функции - парабола с вершиной в точке , где (рис. 63).

Если , ветви параболы направлены вверх, если - вниз. Ветви параболы симметричны относительно прямой . В этом случае говорят, что прямая является осью симметрии параболы (рис. 63).

Отметим, что абсциссу вершины параболы удобно находить по формуле , а ординату - подставив найденное значение вместо в формулу , таким образом .

При построении графика функции следует соблюдать такую последовательность действий:

1. найти координаты вершины параболы , и обозначить ее на координатной плоскости;
2. построить еще несколько точек параболы и столько же точек, симметричных им относительно прямой ;
3. соединить полученные точки плавной линией.

Систематизируем свойства в виде таблицы.

Пример №74

Построить график функции и описать ее свойства.

Решение:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:

Таким образом, точка - вершина параболы. Тогда прямая является осью симметрии параболы.

Составим таблицу значений функции для нескольких пар точек параболы, симметричных относительно ее оси симметрии (благодаря симметрии ординаты в каждой такой паре будут одинаковы).

Отметим вершину параболы и точки из таблицы на координатной плоскости. Соединим их плавной линией и получим график функции (рис. 64).

Опишем свойства этой функции:

1. ;
2. ;
3. нули функции: и ;
4. 4 при или ; при ;
5. функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке ;
6. наименьшее значение функции: .

Пример №75

Вершиной параболы является точка . Найти коэффициенты и .

Решение:

Мы знаем, что , а по условию , тогда , откуда . Так как график функции проходит через точку , то, подставив координаты точки в формулу функции, получим верное равенство: , откуда .

Ответ. .

Квадратные неравенства

Неравенства вида , , , , где — переменная, и — некоторые числа, причем , называют квадратными неравенствами (или неравенствами второй степени с одной переменной).

Например, квадратными являются неравенства:

Решения квадратных неравенств можно рассматривать как промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные (для неравенств ), неотрицательные (для неравенств ), отрицательные (для неравенств ) и неположительные (для неравенств ) значения. Следовательно, чтобы решить квадратное неравенство, достаточно найти соответствующие промежутки знакопостоянства квадратичной функции.

Пример №76

Решить неравенство .

Решение:

Рассмотрим функцию . Графиком ее будет парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось , решив уравнение . Получим: - нули функции, то есть парабола пересекает ось в точках с абсциссами 1 и -4. Строим схематически график данной функции, зная ее нули и направление ветвей (рис. 65). По графику определяем, что функция принимает отрицательные значения при . Следовательно, множеством решений неравенства является промежуток .

Ответ. .

Пример №77

Решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) .

Решение:

Рассмотрим схематическое изображение графика функции (рис. 65).

1) Неравенству удовлетворяют те же значения , что и неравенству , а также числа -4 и 1 - нули функции, то есть те значения аргумента, при которых значение функции равно нулю. Значит, множеством решений неравенства является промежуток . 2) Из рисунка 65 видим, что функция принимает положительные значения при или . Множеством решений неравенства является объединение этих промежутков, то есть . 3) Неравенству удовлетворяют те же значения , что и неравенству , включая нули функции , то есть числа -4 и 1. Таким образом, множеством решений неравенства является .

Ответ. 1) ; 2) ;

3) .

Отметим, что для предложенного способа решения ни положение вершины параболы, ни расположение параболы относительно оси значения не имеют. Важно лишь знать абсциссы точек пересечения параболы с осью (нули функции) и направление ее ветвей (вверх или вниз).

Таким образом, решать квадратные неравенства следует в такой последовательности:

1. находим корни квадратного трехчлена (если они существуют);
2. если у неравенства строгий знак ( или ), то корни квадратного трехчлена отмечаем на оси «выколотыми» точками (они будут исключены из множества решений неравенства); если — нестрогий ( или ), то корни отмечаем закрашенными точками (они будут включены в множество решений неравенства);
3. схематически строим график функции , учитывая направление ветвей параболы и точки ее пересечения с осью (если они существуют);
4. находим на оси промежутки, на которых функция удовлетворяет данному неравенству;
5. записываем ответ.

Пример №78

Найти область определения функции .

Решение:

Областью определения данной функции является множество решений неравенства .

1) Корни квадратного трехчлена - числа 0 и 3.

2) Отмечаем корни на оси закрашенными точками, так как знак неравенства - нестрогий.

3) Схематически строим график функции . Это парабола, пересекающая ось в точках 0 и 3, ветви которой направлены вниз (рис. 66).

4) Неравенство имеет место при .

Ответ. .

Пример №79

Решить неравенство .

Решение:

1) Корень уравнения - число 3.

2) Отмечаем точку 3 на оси «выколотой», потому что знак неравенства - строгий.

3) Схематически строим график функции . Это парабола с вершиной на оси , ее ветви направлены вверх (рис. 67). С осью она имеет единственную общую точку -точку 3 (говорят, что парабола касается оси ).

4) Из рисунка 67 видим, что функция принимает положительные значения при любом значении , кроме . Имеем множество решений неравенства:

Ответ. .

Пример №80

Решить неравенство .

Решение:

Уравнение корней не имеет, так как . Следовательно, парабола не пересекает ось . Ветви параболы направлены вниз (рис. 68).

Так как все точки параболы лежат ниже оси , то множеством решений неравенства является множество всех чисел: .

Ответ. .

Пример №81

Решить неравенство .

Решение:

Из рисунка 68 видим, что ни одна из точек параболы не лежит выше оси и не принадлежит ей, поэтому неравенство не имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Пример №82

Решить систему неравенств:

Решение:

Решениями системы неравенств являются общие решения неравенств системы. Следовательно, чтобы найти решения системы, нужно решить отдельно каждое из неравенств и найти их общие решения.

Множеством решений неравенства является . Множеством решений неравенства является (решите эти неравенства самостоятельно).

Изобразим на координатной прямой полученные множества решений (рис. 69). Множеством решений системы будет их пересечение, то есть .

Ответ. .

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

В 7 классе вы решали системы двух линейных уравнений с двумя переменными, то есть системы, в которых оба уравнения имеют вид, где , , - числа, и - переменные. Таковой, например, является система:

Напомним, что решением системы уравнении с двумя переменными называют такую пару значении переменных. при которых каждое из уравнении системы обращается в верное числовое равенство. Так, решением вышеприведенной системы является пара чисел , то есть ; . Действительно: и - верные числовые равенства.

Уравнение при условии, что хотя бы один из коэффициентов или не равен нулю, называют уравнением первой степени с двумя переменными. Его можно заменить равносильным ему уравнением , левая часть которого - многочлен стандартного вида первой степени с двумя переменными, а правая - равна нулю.

Так можно определить степень любого уравнения с двумя переменными (а также и с большим количеством переменных). Для этого достаточно заменить уравнение равносильным ему уравнением, левая часть которого - многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Степень многочлена и будет степенью уравнения.

Так, например, - уравнение второй степени. Уравнение равносильно уравнению и, следовательно, является уравнением третьей степени.

Рассмотрим системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения являются уравнениями второй степени, и способы решения таких систем.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными графически

Системы уравнений второй степени с двумя переменными графически решают так же, как и системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Напомним последовательность действий для решения системы уравнений графически:

1. построить графики уравнений в одной системе координат;
2. найти координаты их точек пересечения или убедиться, что графики не имеют общих точек;
3. если координаты точек пересечения — целые числа, то выполнить проверку; если нет — найти решения системы приближенно;
4. записать ответ.

В отличие от линейного уравнения, графиком которого является прямая, графики уравнений второй степени довольно разные. Так, например, график уравнения (или равносильного ему уравнения ) - парабола, график уравнения (или равносильного ему уравнения ) - гипербола, а график уравнения - окружность.

Пример №83

Решить графически систему уравнений:

Решение:

Построим в одной системе координат графики уравнений и (рис. 72). График первого уравнения - окружность с центром в начале координат и радиусом 4. График уравнения - прямая, проходящая через точки и . Графики имеют две общие точки и . Проверкой убеждаемся, что эти пары чисел - решения системы. Ответ. , .

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом подстановки

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую систему легко решить способом подстановки. Напомним последовательность действий этого способа:

1. выразить в уравнении первой степени одну переменную через другую;
2. подставить полученное выражение во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующие значения второй переменной;
5. записать ответ.

Пример №84

Решить систему уравнений:

Решение:

Выразим переменную через переменную из второго уравнения: .

Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо получим уравнение с переменной :

.

После упрощений получим уравнение , корни которого ; .

По формуле найдем значения , соответствующие полученным значениям :

Таким образом, система имеет два решения:

и

Оформить решение в тетради можно так:

Ответ.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными способом сложения

Как и для систем двух линейных уравнений с двумя переменными, этот способ используют, если в результате почленного сложения уравнений системы получается уравнение с одной переменной.

Пример №85

Решить систему уравнений:

Решение:

Сложим почленно уравнения системы, получим: , то есть .

Подставив найденное значение , например, в первое уравнение системы, получим: , то есть .

Таким образом, , .

Оформить решение в тетради можно так:

Ответ. .

Пример №86

Решить систему уравнений:

Решение:

Умножим второе уравнение на -2:

Сложим почленно уравнения системы, получим: . Имеем уравнение: , корни которого: . Найдем соответствующие им значения , подставив найденные значения во второе уравнение исходной системы:

1) пусть , тогда , то есть ;

2) пусть , тогда , то есть .

Ответ.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными с помощью замены переменных

Некоторые системы уравнений второй степени (а также системы, которые содержат уравнение высших степеней) удобно решать, используя замену переменных.

Пример №87

Решить систему уравнений:

Решение:

Введем замену: , . Получим систему уравнений второй степени с переменными и :

Решив эту систему способом подстановки (сделайте это самостоятельно), получим и . Вернемся к переменным и : 1) если то Решив эту систему, получим: ; 2) если то Имеем еще две пары чисел: .

Ответ. .

Пример №88

Площади двух своих квадратов я сложил и получил

Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Найти стороны этих квадратов.

Система уравнений к задаче в современной записи имеет вид:

Чтобы ее решить, автор возводит в квадрат левую и правую части второго уравнения:

и подставляет найденное значение выражения в первое уравнение: Далее автор решает это уравнение, находя , а затем .

Диофант, не имея обозначений для нескольких неизвестных, при решении задачи выбирал неизвестную величину так, чтобы привести решение системы к решению единственного уравнения.

Пример №89

Записать два числа, если известно, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов - 208.

Современные математики свели бы эту задачу к системе:

Но Диофант в качестве неизвестной величины выбирал половину разности искомых чисел и получал (в современных обозначениях) систему:

Сначала складывая эти уравнения, а затем вычитая первое из второго, Диофант получал, что , и подставлял найденные выражения во второе уравнение исходной системы: чтобы получить уравнение с одной переменной: , откуда . (Диофант рассматривал лишь неотрицательные числа, поэтому корня не получил).

Тогда

В XVII—XVIII вв. приемы решения систем линейных уравнений в общем виде с помощью метода исключения неизвестных рассматривали математики Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и другие.

Благодаря методу координат, который предложили в XVII в. Ферма и Декарт, появилась возможность решать системы уравнений графически.

Система двух уравнений с двумя переменными как математическая модель текстовых и прикладных задач

Напомним, что в 7 классе вы решали текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений в такой последовательности, которую можно использовать и для решения более сложных задач:

1. обозначить некоторые две неизвестные величины переменными (например, и );
2. в соответствии с условием задачи составить систему уравнений;
3. решить полученную систему;
4. проверить соответствие найденных значений переменных условию задачи, ответить на вопрос задачи;
5. записать ответ.

Рассмотрим один из самых простых примеров, в котором система уравнений с двумя переменными является математической моделью текстовой задачи.

Пример №90

Сумма двух чисел равна 8, а их произведение равно 15. Найти эти числа.

Решение:

Обозначим неизвестные числа через и . Тогда . Имеем систему уравнений:

Решив систему (сделайте это самостоятельно), получим: или .

Следовательно, искомые числа - это 3 и 5.

Ответ. 3 и 5.

Отметим, что эту задачу, как и некоторые последующие в этом параграфе, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной.

Система уравнений с двумя переменными может служить математической моделью прикладной задачи. Напомним, что прикладные задачи - это задачи, которые содержат нематематические понятия, но могут быть решены методами математики.

Напомним также, что прикладную задачу целесообразно решать в такой последовательности:

1. сформулировать задачу языком математики, то есть построить математическую модель задачи;
2. решить полученную математическую задачу;
3. проанализировать ответ и сформулировать его на языке исходной прикладной задачи.

Пример №91

Площадь земельного участка прямоугольной формы равна 60 . Если длину этого участка уменьшить на 1 , а ширину увеличить на 2 , то получим земельный участок площадью 72 . Найти длину ограждения данного участка.

Решение:

Пусть длина данного участка равна м, а ширина - м. Тогда по условию . После уменьшения длины на 1 м она станет равна м, а после увеличения ширины на 2 м она станет равна м. По условию: . Составим систему уравнений:

Преобразуем второе уравнение системы:

Так как из первого уравнения системы известно, что , то во второе уравнение вместо подставим число 60. Получим:

Упростим первое уравнение системы: . Его корни: . Число -3 не удовлетворяет условию задачи, так как длина участка не может быть отрицательной. Таким образом, длина участка равна 10 м, и можем найти его ширину: 2 • 10 - 14 = 6 (м). Теперь найдем длину ограждения: .

Ответ. 32 м.

Пример №92

Из пункта вышел пешеход. Через 50 мин после этого оттуда же в том же направлении выехал велосипедист и догнал пешехода на расстоянии 6 км от пункта . Найти скорость пешехода и скорость велосипедиста, если велосипедист за 1 ч преодолевает на 1 км больше, чем пешеход за 2 ч.

Решение:

Пусть км/ч - скорость пешехода, км/ч -велосипедиста. Тогда пешеход преодолел 6 км за ч, а велосипедист - за ч. По условию пешеход был в дороге на больше, чем велосипедист, поэтому .

Велосипедист за 1 ч преодолевает км, а пешеход за 2 ч - км. По условию . Получаем систему уравнений:

Решив ее (сделайте это самостоятельно) и учтя, что по смыслу задачи и , получим: .

Ответ. Скорость пешехода - 4 км/ч, велосипедиста - 9 км/ч.