Кратный интеграл - определение с примерами решения

Содержание:

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции вводится понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. Определенный интеграл существует для трех типов функций: непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных. Задача интегрирования может быть также сформулирована и для функции n переменных, заданной в ограниченной области

Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача: Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью

Для этого разобьем основание S на конечное число элементарных ячеек и в каждой из этих ячеек выберем точку Объем такого элемента равен Объем всей фигуры можно приближенно найти как сумму с любой степенью точности в зависимости от числа ячеек и, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеек бесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - конечной замкнутой областью S плоскости и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта S и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Двумерной интегральной суммой от данной функции определенной на области S называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области S на значения функции в точке

Двойным интегралом от функции определенной на области S называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа N элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения области S на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Теорема. Если область S с кусочно-непрерывной границей I ограничена и замкнута, а функция непрерывна в области S, то двойной интеграл

, т.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области S на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу. В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонами . Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что Тогда:

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования S представляет собой криволинейную трапецию: где - однозначные непрерывные функции на отрезке [а,b]. Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точку х па отрезке [а,b) оси Ох, пересекает границу области интегрирования S только в двух точках: в точке входа Такая область называется стандартной относительно оси Оу.

Теорема. Если для функции f(x,y) определенной в области S (стандартной относительно оси Оу), существует двойной интеграл и существует интеграл то .

При этом, интеграл называется повторным.

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной у (при этом переменная х рассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной х.

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на n-мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функция у = f(M) определена и ограничена в замкнутой области . Область D разбивается на N элементарных частей пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает n -1.

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма: где - объемная мера области ; V-объемная мера области D.

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

n-кратным интегралом функции у = f(M) по области D называется предел интегральной суммы при и, соответственно, - наибольшая протяженность элементарной области для данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения D на части и от выбора точек в каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

где

Очевидно, что в n-кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбу

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и n -мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции:

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению:

Величина , называется колебанием функции в элементарной области и является величиной положительной при любом i.

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области D. При вычислении n-кратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности n -1.

Свойства n-кратного интеграла

1. Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в , относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве , (m
2. Если две функции f(M) и g(M) интегрируемы в D, то сумма этих функций также интегрируема в D и
3. Если функция f(M) интегрируема в D, а С - постоянная величина, то функция С f(M) также интегрируема в D и
4. Пусть область D является объединением областей и , а пересечение этих областей есть множество S, размерность которого меньше N. Если функция f(M) интегрируема в D, то она интегрируема в и и при этом
5. Если функция f(M) определена и интегрируема в D, и при этом (за исключением, быть может, некоторой части D с размерностью меньше n), то
6. Если две функции /fМ) и g(M) определены и интегрируемы в D, причем то
7. Если функция f(M) определена и интегрируема в D, то также интегрируема в D, причем
8. Если функция f(M) = С является постоянной , то .
9. Если функция f(M) определена и интегрируема в D и ограничена снизу и сверху значениями к к К, соответственно

Понятие о двойном интеграле

Мы рассматривали определенный интеграл, как предел суммы для случая, когда функция f(x) определена на отрезке , который называется отрезком интегрирования. В настоящем параграфе мы обобщим понятие интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая область на плоскости, или некоторая область в пространстве, при этом мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема.

Пусть - ограниченная плоская область (см. рис. 21.3). Рассмотрим функцию z = f{x,y), определенную и непрерывную в области , ограниченной замкнутой линией L. Разобьем область о на элементарные области , произвольной формы, при-чем через , обозначим сами элементарные области и их площади. В каждой из элементарных областей произвольно выберем точки , и вычислим значения функции в этих точках: . Составим сумму произведений значений функции на площади :

которая называется интегральной суммой.

Предел этой интегральной суммы при неограниченном увеличении числа делений и неограниченном уменьшении каждой из элементарных областей , если он существует, называется двукратным (двойным) интегралом от функции f(x,y) и обозначается

Если - максимальное расстояние между двумя точками элементарной области - наибольшее из этих чисел: то неограниченное уменьшение каждой из элементарных областей равносильно тому, что . Тогда можно записать:

где f(х,у) - подынтегральная функция, а - область интегрирования.

Если отнести область к прямоугольной системе координат (см. рис. 21.3), то (элемент площади) и тогда справедливо равенство:

Геометрический смысл двойного интеграла состоит в том, что он равен объему цилиндра с основанием о и ограниченного сверху поверхностью

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении "внутреннего интеграла" (записанного в скобках) х (у) считается постоянным (рис. 21.4):

или (рис. 21.5)

Если область интегрирования о отлична от областей, указанных на рисунках 21.4 и 21.5, то ее разбиваем на части прямыми, параллельными оси Ох и оси Оу, чтобы каждая из полученных частей имела соответствующий вид.

Пример №1

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями:

Решение:

Построим на плоскости хОу область а (см. рис. 21.6).

Из рисунка 21.6 мы видим, что область отлична от областей, указанных на рисунках 21.5 и 21.6, так как ни одну из границ в направлении оси Ох или оси Оу нельзя записать одним уравнением

Поэтому разобьем заданную область на части прямыми

(абсцисса точки пересечения прямых _у = 5х и х + у = 5) и

(абсцисса точки пересечения прямых ). Тогда заданный интеграл будет равен сумме трех интегралов по областям: ABC, CBED, DEF:

• Заказать решение задач по высшей математике

Понятие о тройном интеграле

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть задана замкнутая пространственная область V, в которой задана непрерывная функция . Разобьем область V на и элементарных пространственных областей . Составим сумму произведений значений функции на объемы элементарных областей:

которая называется интегральной суммой.

Обозначим - максимальное расстояние между двумя точками элементарной пространственной области -наибольшее из этих чисел: . Предел этой интегральной суммы, при неограниченном увеличении числа делений n и неограниченном уменьшении (при ) каждой из элементарных областей, если он существует, называется трехкратным (тройным) интегралом от функции f (х, у, z) и обозначается

. Итак, по определению:

Если ввести в пространстве прямоугольные координаты, то будет справедливо равенство:

При вычислении тройного интеграла, он сводится к двойному интегралу, путем проектирования поверхности, ограничивающий объем V , на плоскость хОу в виде области и определение координат точек входа и выхода прямой, параллельной оси Oz и проведенной через точку (х, у) области и вычисления интеграла , считая х и у постоянными, а затем вычисляется двойной интеграл:

или

Кратные интегралы (двойные и тройные) удовлетворяют следующим основным свойствам:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак кратного интеграла.
2. Кратный интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме кратных интегралов от отдельных слагаемых.
3. Если подынтегральная функция интегрируема в области, а эта область разбита на две непересекающиеся части, то кратный интеграл по области равен сумме кратных интегралов по непересекающимся частям.

Пример №2

Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной плоскостями:

Решение:

Область V является треугольной пирамидой (см. рис. 21.7), ограниченной плоскостью х + у + z = 5 . Спроектируем поверхность, ограничивающую объем V, на плоскость хОу, получим греугольник ЛОВ, при этом z будет изменяться от до . Двойной интеграл вычислим, используя формулу (21.3.1).