![](https://www.evkova.org/stc/img/evkova.png)
Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения
Содержание:
Вам уже известно, что уравнение
при неотрицательном значении а имеет два корня:
где выражение обозначает арифметический квадратный корень из числа
, т. е. такое неотрицательное число, квадрат которого равен
.
Рассмотрим уравнение
где — некоторое действительное число,
— натуральное число. Корень этого уравнения называют корнем
-й степени из числа
.
Корнем -й степени из числа
называется такое число,
-я степень которого равна
.
Теоремы и доказательства
Теорема 1.
Из положительного числа существует единственный положительный корень степени .
Доказательство:
Пусть — положительное число. Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число
, что
Доказательство существования искомого числа выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть. Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня
-й степени из положительного числа с любой степенью точности.
Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6. Приближенными значениями этого корня с точностью до единицы являются число 1 с недостатком и число 2 с избытком, так как
Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа
Поскольку
то нужное значение находится между числами 1,8 и 1,9. Испытав числа
найдем, что значение корня третьей степени из числа 3 находится между числами 1,81 и 1,82.
Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью.
Докажем единственность положительного корня степени из положительного числа
. Пусть есть два таких положительных числа
и
, что
и
Тогда
.
Допустим, что , тогда по соответствующему свойству числовых неравенств получим, что
, а это противоречит отношению
.
Также ведет к противоречию и допущение о том, что
Поэтому для и
остается единственная возможность:
.
Неотрицательный корень -й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем
-й степени.
Корень -й степени из числа
обозначают
. Число
называют показателем корня, число
— подкоренным выражением. Если подкоренное выражение
неотрицательно, то
обозначает арифметический корень.
Действие нахождения корня -й степени из числа
называется извлечением корня степени
. Это действие является обратным для действия возведения в натуральную степень
(рис. 49). Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.
Пример №1
а) Запись означает корень четвертой степени из числа 81.
б) Запись означает корень шестой степени из числа 64.
в) Запись означает корень пятой степени из числа -32.
г)
д)
Теорема 2.
Из положительного числа:
- а) не существует отрицательного корня нечетной степени;
- б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа.
Доказательство:
Пусть — положительное число.
Пусть степень корня — нечетное число. Допустим, что есть такое отрицательное число
, для которого истинно равенство
. Поскольку по условию
— отрицательное число, то число
также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел. Получается, что левый компонент
равенства
— отрицательное число, а его правый компонент
— положительное число. Но такое невозможно. Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует.
Пусть степень корня — четное число. По теореме 1 существует единственный положительный корень
уравнения
. А если истинно равенство
, то истинно и равенство
. А это означает, что
— отрицательный корень уравнения
. Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня.
Теорема 3.
Из отрицательного числа:
- а) не существует корней четной степени;
- б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число.
Доказательство:
Пусть — отрицательное число.
Пусть степень корня — четное число. Допустим, что есть такое число
, для которого истинно равенство
. Тогда число
неотрицательно как произведение четного количества равных чисел
. Получается, что левый компонент
равенства
— неотрицательное число, а его правый компонент
— отрицательное число. Получили противоречие. Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа.
Пусть степень корня — нечетное число. Тогда корень
степени
из отрицательного числа
не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве
левый компонент
был бы неотрицательным, а правый компонент
отрицательным.
Поскольку — число отрицательное, то противоположное число
положительное. В соответствии с теоремой 1 существует положительный корень
уравнения
, т. е. истинно равенство
. Тогда
. Поскольку по условию число
нечетное, то
. Значит,
. А это и означает, что отрицательное число
есть корень нечетной степени
из отрицательного числа
.
Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня.
Таким образом, если , то выражение
имеет значение при любом натуральном значении
, как четном, так и нечетном, а если
, то выражение
имеет значение только при нечетном натуральном значении
.
По определению корня, при каждом значении , при котором выражение
имеет значение, истинно равенство
Следствие 1.
Корни нечетной степени из противоположных чисел являются противоположными числами:
, если
— нечетное число.
Действительно, если — нечетное число, то истинное равенство
означает, что число
является значением корня степени
из числа
.
Следствие 2.
Рассмотрим примеры решения уравнений вида .
Пример №2
Решим уравнение .
Уравнение имеет единственный корень. Он является положительным числом, пятая степень которого равна 11, т. е. числом .
Число иррациональное. С помощью калькулятора находим, что с точностью до тысячной оно равно 1,615.
Пример №3
Решим уравнение .
Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами. Положительный корень — это положительное число, четвертая степень которого равна 21, т. е. число . Отрицательный корень — число
.
Числа и
иррациональные. С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны 2,1407 и -2,1407.
Пример №4
Решим уравнение .
Уравнение имеет единственный корень. Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна -373, т. е. числом , или, используя представление с помощью арифметического корня, числом
.
Число иррациональное. Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно -1,9308.
Свойства арифметического корня
Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства:
- если
и
, то
;
- если
и
, то
;
- если
и
, то неравенство
равносильно неравенству
.
Аналогичные свойства имеет корень -й степени и при
.
Теорема 4.
При любом натуральном значении :
Доказательство:
Пусть и
. Докажем, что
. Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что:
Поскольку , то выражение
имеет значение и это значение неотрицательно. Так же поскольку
, то выражение имеет неотрицательное значение. Поэтому и выражение
имеет неотрицательное значение.
Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим
Доказательство равенства проводится аналогично.
Следствие 1.
При любом нечетном натуральном значении :
- а)
, если
и
— любые числа;
- б)
, если
— любое число и
.
Действительно, если, например, и
, то
. Здесь использованы (1) и (4) — следствие 1 из параграфа 3, (2) — теорема 4, (3) — свойство дроби.
Теорема 4 дает правила извлечения корня из произведения и из дроби:
- чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить;
- чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.
Прочтение тождеств из теоремы 4 справа налево:
дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями:
- чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения.
- чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного.
Пример №5
а) ;
б)
;
в) ;
г) .
Теорема 5.
Если , то при любых натуральных значениях
и
истинны равенства
и
.
Доказательство:
Пусть . Тогда:
Докажем второе тождество. Выражение имеет значение, причем это значение неотрицательно. Поскольку
то выражение является значением корня степени
из числа
.
Следствие 2.
Если и
— нечетные числа, то при любом значении
истинны равенства
и
.
Действительно, если, например, ,
и
— нечетные числа, то
Теорема 5 позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня:
- чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним;
- чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
Пример №6
a) ;
б)
;
в) .
Следствие 3.
Если , то при любых натуральных значениях
,
и
истинно равенство
.
Действительно:
Доказанное утверждение выражает основное свойство корня:
- если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.
Пример №7
а) ;
б)
Можно доказать, что если ,
и
— нечетные числа, то при всех значениях
истинно равенство
.
Теорема 6.
Если и
, то неравенство
равносильно неравенству
при любом натуральном значении
.
Доказательство:
Пусть и
. Тогда выражения
и
имеют значения при любом значении
.
Пусть . Допустим, что
. Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в
-ю степень, получим
. Но это противоречит условию
.
Пусть . Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в
-ю степень, получим
.
Следствие 4.
Если — нечетное число, то неравенство
равносильно неравенству
при любых значениях
и
.
Действительно, если и
, то
и
. Неравенство
по уже доказанному равносильно неравенству
, или неравенству
, или неравенству
. Получили, что если
и
, то неравенство
равносильно неравенству
.
Равносильность неравенств в случаях, когда числа и
имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |