Корень из числа - нахождение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Вам уже известно, что уравнение

при неотрицательном значении а имеет два корня:

где выражение обозначает арифметический квадратный корень из числа , т. е. такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Рассмотрим уравнение

где — некоторое действительное число, — натуральное число. Корень этого уравнения называют корнем -й степени из числа .

Корнем -й степени из числа называется такое число, -я степень которого равна .

Теоремы и доказательства

Теорема 1.

Из положительного числа существует единственный положительный корень степени .

Доказательство:

Пусть — положительное число. Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число , что

Доказательство существования искомого числа выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть. Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня -й степени из положительного числа с любой степенью точности.

Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6. Приближенными значениями этого корня с точностью до единицы являются число 1 с недостатком и число 2 с избытком, так как

Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа

Поскольку

то нужное значение находится между числами 1,8 и 1,9. Испытав числа

найдем, что значение корня третьей степени из числа 3 находится между числами 1,81 и 1,82.

Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью.

Докажем единственность положительного корня степени из положительного числа . Пусть есть два таких положительных числа и , что и Тогда .

Допустим, что , тогда по соответствующему свойству числовых неравенств получим, что , а это противоречит отношению .

Также ведет к противоречию и допущение о том, что

Поэтому для и остается единственная возможность: .

Неотрицательный корень -й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем -й степени.

Корень -й степени из числа обозначают . Число называют показателем корня, число — подкоренным выражением. Если подкоренное выражение неотрицательно, то обозначает арифметический корень.

Действие нахождения корня -й степени из числа называется извлечением корня степени . Это действие является обратным для действия возведения в натуральную степень (рис. 49). Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем.

Пример №1

а) Запись означает корень четвертой степени из числа 81.

б) Запись означает корень шестой степени из числа 64.

в) Запись означает корень пятой степени из числа -32.

г)

д)

Теорема 2.

Из положительного числа:

• а) не существует отрицательного корня нечетной степени;
• б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа.

Доказательство:

Пусть — положительное число.

Пусть степень корня — нечетное число. Допустим, что есть такое отрицательное число , для которого истинно равенство . Поскольку по условию — отрицательное число, то число также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел. Получается, что левый компонент равенства — отрицательное число, а его правый компонент — положительное число. Но такое невозможно. Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует.

Пусть степень корня — четное число. По теореме 1 существует единственный положительный корень уравнения . А если истинно равенство , то истинно и равенство . А это означает, что — отрицательный корень уравнения . Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Теорема 3.

Из отрицательного числа:

• а) не существует корней четной степени;
• б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число.

Доказательство:

Пусть — отрицательное число.

Пусть степень корня — четное число. Допустим, что есть такое число , для которого истинно равенство . Тогда число неотрицательно как произведение четного количества равных чисел . Получается, что левый компонент равенства — неотрицательное число, а его правый компонент — отрицательное число. Получили противоречие. Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа.

Пусть степень корня — нечетное число. Тогда корень степени из отрицательного числа не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве левый компонент был бы неотрицательным, а правый компонент отрицательным.

Поскольку — число отрицательное, то противоположное число положительное. В соответствии с теоремой 1 существует положительный корень уравнения , т. е. истинно равенство . Тогда . Поскольку по условию число нечетное, то . Значит, . А это и означает, что отрицательное число есть корень нечетной степени из отрицательного числа .

Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня.

Таким образом, если , то выражение имеет значение при любом натуральном значении , как четном, так и нечетном, а если , то выражение имеет значение только при нечетном натуральном значении .

По определению корня, при каждом значении , при котором выражение имеет значение, истинно равенство

Следствие 1.

Корни нечетной степени из противоположных чисел являются противоположными числами:

, если — нечетное число.

Действительно, если — нечетное число, то истинное равенство означает, что число является значением корня степени из числа .

Следствие 2.

Рассмотрим примеры решения уравнений вида .

Пример №2

Решим уравнение .

Уравнение имеет единственный корень. Он является положительным числом, пятая степень которого равна 11, т. е. числом .

Число иррациональное. С помощью калькулятора находим, что с точностью до тысячной оно равно 1,615.

Пример №3

Решим уравнение .

Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами. Положительный корень — это положительное число, четвертая степень которого равна 21, т. е. число . Отрицательный корень — число .

Числа и иррациональные. С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны 2,1407 и -2,1407.

Пример №4

Решим уравнение .

Уравнение имеет единственный корень. Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна -373, т. е. числом , или, используя представление с помощью арифметического корня, числом .

Число иррациональное. Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно -1,9308.

Свойства арифметического корня

Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства:

• если и , то ;
• если и , то ;
• если и , то неравенство равносильно неравенству .

Аналогичные свойства имеет корень -й степени и при .

Теорема 4.

При любом натуральном значении :

Доказательство:

Пусть и . Докажем, что . Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что:

Поскольку , то выражение имеет значение и это значение неотрицательно. Так же поскольку , то выражение имеет неотрицательное значение. Поэтому и выражение имеет неотрицательное значение.

Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим

Доказательство равенства проводится аналогично.

Следствие 1.

При любом нечетном натуральном значении :

• а) , если и — любые числа;
• б) , если — любое число и .

Действительно, если, например, и , то . Здесь использованы (1) и (4) — следствие 1 из параграфа 3, (2) — теорема 4, (3) — свойство дроби.

Теорема 4 дает правила извлечения корня из произведения и из дроби:

• чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить;
• чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Прочтение тождеств из теоремы 4 справа налево:

дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями:

• чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения.
• чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

а) ;

б)

;

в) ;

г) .

Теорема 5.

Если , то при любых натуральных значениях и истинны равенства и .

Доказательство:

Пусть . Тогда:

Докажем второе тождество. Выражение имеет значение, причем это значение неотрицательно. Поскольку

то выражение является значением корня степени из числа .

Следствие 2.

Если и — нечетные числа, то при любом значении истинны равенства и .

Действительно, если, например, , и — нечетные числа, то

Теорема 5 позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня:

• чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним;
• чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.

Пример №6

a) ;

б)

;

в) .

Следствие 3.

Если , то при любых натуральных значениях , и истинно равенство .

Действительно:

Доказанное утверждение выражает основное свойство корня:

• если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Пример №7

а) ;

б)

Можно доказать, что если , и — нечетные числа, то при всех значениях истинно равенство .

Теорема 6.

Если и , то неравенство равносильно неравенству при любом натуральном значении .

Доказательство:

Пусть и . Тогда выражения и имеют значения при любом значении .

Пусть . Допустим, что . Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим . Но это противоречит условию .

Пусть . Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в -ю степень, получим .

Следствие 4.

Если — нечетное число, то неравенство равносильно неравенству при любых значениях и .

Действительно, если и , то и . Неравенство по уже доказанному равносильно неравенству , или неравенству , или неравенству . Получили, что если и , то неравенство равносильно неравенству .

Равносильность неравенств в случаях, когда числа и имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично.