Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений
Координаты на прямой:
Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление—положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).
Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О. Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.
Определение: Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.
Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором— букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.
Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным: если же его направление противоположно направлению оси, то—отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:
Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.
Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу: Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.
Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:
(рис. 2 и 3).
Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.
Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать
(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или
Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, посколькуего начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)
поэтому можно написать
Получен следующий результат:
Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.
Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси. Теперь дадим одно из самых важных определений:
Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.
Точку А, имеющую координатной число , будем обозначать .
Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты: Будем также писать
Если даны точки и , то на основании формул (3) и (4) получим
т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала. Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.
Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:
Пример:
Если даны точки ,, то отрезок , а его длина . Если даны точки и , то отрезок , а его длина . Даны две точки: . Длина отрезка . Даны две точки и ; отрезок , а его длина | .
Пример:
Начало отрезка АВ находится в точке , а конец—в точке ; найти его направление и длину. Отрезок . Так как он получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна .
Пример:
На координатной оси даны две точки: и . Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении . Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть
Обозначая координату искомой точки С через и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что . Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь
Решая последнее уравнение относительно , найдем:
Это и есть координата искомой точки.
Пример:
Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка и конец (рис. 5).
Решение:
Здесь Применяя формулу (7), получим
Пример:
Найти точку , делящую расстояние между точками и в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь . По формуле (7) находим
Решение:
Если , т. е. точка делит отрезок пополам, тогда формула (7) перепишется так:
Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.
Пример:
Найдем середину отрезка, заключенного между точками и (рис.6).
Решение:
Применяя формулу (8), получим,
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |