Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Координаты на прямой:

Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление—положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О. Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.

Определение: Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.

Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором— букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.

Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным: если же его направление противоположно направлению оси, то—отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу: Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.

Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

(рис. 2 и 3).

Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, посколькуего начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

поэтому можно написать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Получен следующий результат:

Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.

Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси. Теперь дадим одно из самых важных определений:

Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.

Точку А, имеющую координатной число ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, будем обозначать ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений Будем также писать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то на основании формул (3) и (4) получим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала. Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.

Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Пример:

Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений,​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Даны две точки: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Длина отрезка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Даны две точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений; отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина | ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

Пример:

Начало отрезка АВ находится в точке ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а конец—в точке ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений; найти его направление и длину. Отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Так как он получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

Пример:

На координатной оси даны две точки: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Обозначая координату искомой точки С через ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решая последнее уравнение относительно ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, найдем:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Это и есть координата искомой точки.

Пример:

Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и конец ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений (рис. 5).

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решение:

Здесь ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений Применяя формулу (7), получим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Пример:

Найти точку ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, делящую расстояние между точками ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. По формуле (7) находим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решение:

Если ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, т. е. точка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений делит отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений пополам, тогда формула (7) перепишется так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Пример:

Найдем середину отрезка, заключенного между точками ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений (рис.6).

Решение:

Применяя формулу (8), получим, ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​