![](https://www.evkova.org/stc/img/evkova.png)
Координаты на плоскости - определение и вычисление с примерами решения
Координаты на плоскости:
Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке
Определение: Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) направления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.
Назовем одну из осей осью или осью абсцисс, другую—осью
или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.
Возьмем произвольную точку , лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось
через
, а проекцию на ось
через
. Обозначим координату точки
(по оси
) через
, а координату точки
(по оси
) через
. Введем определение:
Определение. Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось . Ординатой точки называется координата ее проекции на ось
.
Абсциссу точки обычно обозначают буквой , ординату— буквой
. Точку
, имеющую абсциссу
и ординату
, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так:
.
Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.
Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.
Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.
Третьей четвертью—та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой,—та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7). На рис. 8 указаны Заметим, что абсцисса
по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как
(см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки
от оси абсцисс, так как
.
Пример:
Найти точку (рис. 9).
Решение:
Возьмем на оси точку
с координатой
, ее координатный отрезок
. На оси
возьмем точку
с координатным отрезком
. Восставим перпендикуляры к осям из точек
и
, точка их пересечения и даст искомую точку
.
Пример:
Найти расстояние между точками и
. Иначе говоря, нужно найти длину отрезка
(рис. 10).
Решение:
Обозначим проекцию точки на ось
через
, а ее проекцию на ось
— через
. Проекцию точки
на ось
обозначим через
и через
— ее проекцию на ось
. Тогда
. Из точки
проведем прямую, параллельную оси
, до пересечения с прямой
в точке
. Рассмотрим треугольник
По теореме Пифагора имеем
. to
,
, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки
, и
будут равны
Подставляя полученные выражения в
, получим
откуда
т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей, координат.
Примечание. Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.
Пример:
Найти расстояние между точками и
.
Решение:
Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти длину отрезка , если даны
и
.
Решение:
Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти точку , делящую отрезок
в отношении
, если известны координаты точек
и
.
Решение:
По условию задачи надо найти такую точку , чтобы было выполнено равенство
Обозначим, как и выше, проекции точки на оси через
и
, а проекции точки
—через
и
; тогда
(рис. 11).
Кроме того, обозначим координаты искомой точки через
и
, а ее проекции на оси — через
и
, т. е.
Так как прямые и
параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что
Но поэтому, подставляя в равенство
, будем иметь уравнение
решая которое найдем абсциссу точки :
Рассуждая аналогично о проекциях на оси , т.е. о точках
и
, по- лучим ординату точки
, делящей отрезок в отношении
,
Итак, искомая точка имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).
Пример:
Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок , где
и
.
Здесь .
Решение:
Применяя формулы (2) и (3), получим:
Пример:
Найти точку, делящую расстояние между точками и
в отношении 3:1.
Здесь .
Решение:
По формулам (2) и (3) находим:
Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка делит отрезок
пополам, то
, поэтому
т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.
Пример:
Даны три вершины треугольника: ,
и
. Найти длину биссектрисы угла
(рис. 12).
Решение:
Найдем длины сторон и
. Для этого применим формулу (1):
Обозначим точку пересечения биссектрисы угла с противоположной стороной
через
, а ее координаты—через
и
. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка
делит отрезок
в отношении
; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:
т.е. (5,6).
Теперь вычисляем длину биссектрисы как расстояние между точками и
:
Пример:
Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки ,
(рис. 13).
Решение:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через середину стороны
; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:
т. е. . Точка
пересечения медиан делит отрезок
в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2) и (3):
Итак, искомая точка Задача 5. Записать условие того, что точка
находится на расстоянии 5 от точки
. По формуле (1) имеем
или, возводя обе части равенства в квадрат, получим
Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными и
. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки
. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки
равно 5. Это геометрическое место есть окружность.
Следовательно, можно сказать, что уравнение есть уравнение окружности с центром в точке
и радиуса 5.
В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными и
и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |