Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126).

На рисунке 127 показано образование конуса при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой , которой принадлежит катет . При этом ломаная описывает поверхность конуса, гипотенуза — боковую поверхность, а катет — основание конуса (рис. 128). Саму гипотенузу называют образующей конуса, неподвижную точку — вершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет , — осью конуса, а перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса.

Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка.

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей:

Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130.

Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132).

Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является равнобедренным треугольником, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133).

Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса.

Теорема 6.

Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость касается конуса с осью по образующей (рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая перпендикулярна образующей , пересекает ось конуса в точке , отличной от вершины . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную оси , она пересечет конус по кругу с центром и плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу соответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной на плоскость , поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая перпендикулярна наклонной , т. е. прямой .

Таким образом, прямая перпендикулярна прямым и , которые пересекаются и лежат в плоскости , поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Значит, плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости .

Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса.

Теорема 7.

Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость проходит через образующую конуса с осью и перпендикулярна плоскости (рис. 136). Докажем, что плоскость касается конуса, т. е. что точки образующей , и только они, являются общими точками конуса и плоскости .

Точки образующей принадлежат и конусу, и плоскости . Пусть — какая-либо точка плоскости вне образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси , она пересекает поверхность конуса по окружности с центром , образующую — в некоторой точке и плоскость — по прямой . Пусть — прямая, которая перпендикулярна плоскости и пересекает ось в точке . Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая , проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции . Значит, — касательная к окружности , и поэтому точка находится вне окружности , а значит, и вне конуса.

Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса.

Пусть есть конус с вершиной (рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник и через его вершины проведем образующие . В результате получим тело , являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды.

Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138).

Теорема 8.

Объем конуса равен третьей доле произведения площади Рис. 139 т его основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть конус с осью (рис. 139). В него впишем правильную пирамиду , а около него опишем правильную пи-рамиду . В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника и высоты пирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами.

Будем увеличивать количество сторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной неограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса.

В описанном процессе высота пирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — и — стремятся к площади круга, являющегося основанием конуса. Значит, объем конуса равен третьей доле произведения площади основания конуса и его высоты :

Теорема 9.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то:

• а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом.

Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания.

Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143).

Пример:

Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований и равны и соответственно, а образующая равна (рис. 144).

Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен . Пусть образующая достроенного конуса равна .

Боковую поверхность усеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей и полного и достроенного конусов. Пусть и — длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса.

Тогда:

Найдем , учитывая подобие треугольников и :

Значит,

Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей.

Пример:

Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем усеченного конуса равен третьей доле произведения высоты конуса и суммы площадей и оснований конуса и их среднего геометрического :