Классическое определение вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Классическое определение вероятности:

Пусть событие А — некоторый исход испытания и

— конечная система всех возможных и единственно возможных попарно несовместных элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Таким образом, событие А происходит тогда и только тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные или благоприятствующие исходы или так называемые шансы для события А).

Предположим, что события системы (1) равновозможны, т. е. нет основания предполагать, что одно из событий системы (1) превалирует, в смысле появления, перед другими. Иногда это можно установить, используя свойство симметрии.

Определение: Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А> к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если

Так как, очевидно, , то

т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Замечание. Из определения вероятности следует, что равновозможные элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов = 0 и мы имеем

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие А достоверно, то, очевидно, = и, следовательно,

Приведем некоторые элементарные теоремы о вероятностях.

Определение: Два события А и В называются эквивалентными:

если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое.

С точки зрения теории вероятностей такие события считаются равными.

Например, если в урне содержатся только белые и черные шары, то появление черного шара и появление небелого шара есть события эквивалентные.

Теорема: Эквивалентные события имеют одинаковые ве-роятности, т. е. если А = В, то

Действительно, каждый элементарный исход для события А является таковым же для события В и обратно. В силу формулы (2) справедливо равенство (4).

Определение: Говорят, что из события А следует событие , если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Например, для любых событий Аи В имеем

Теорема: Если то

В самом деле, пусть события А и В включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем — число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий А и В, а — общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события А является также элементарным исходом для события Б, то и, следовательно,

таким образом, неравенство (5) доказано.

Определение: Событие А, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие А представляет собой невыпадение герба, т. е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что: 1) событие А + достоверно; 2) событие невозможно.

Теорема: Вероятность противоположного события равна дополнению вероятности данного события А до 1, т. е.

Действительно, пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит п событий, из которых благоприятны событию А. Тогда элементарных исходов неблагоприятны событию А, т.е. благоприятствуют событию А. Таким образом, имеем

Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление вероятностей событий.

Пример:

Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения герба (событие В)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; число их = 4.

Событию А благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых = 3. Следовательно,

Событию В благоприятствует один исход ГГ . Поэтому

Пример:

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (х, у), где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6; общее число элементарных исходов = 36.

Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых = 5.

Следовательно,

Статистическое определение вероятности:

Классическое определение вероятности события предполагает, что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда более удобное для приложений.

Пусть производится п однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А.

Определение: Отношение числа появлений тп события А к общему числу испытаний п называется относительной частотой (частостью) события А.

Таким образом, обозначая через W_n (А) относительную частоту события А при испытаниях, будем иметь

Очевидно,

Из формулы (1) получаем

т. е. число появлений события А равно его относительной частоте умноженной на число испытаний.

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т. е. при числе испытаний относительная частота W_n(A) события А колеблется около некоторого постоянного числа р, причем эти отклонения тем меньше, чем больше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания. Это число р называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Определение: Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний.

Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения величина

представляет собой среднее значение числа появления события А при п испытаниях.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Пример:

В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность р поражения цели этим стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелов?

Решение:

Используя статистическое определение вероятности, имеем

Отсюда число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет

Классическое определение вероятности (Формула)

Классическое определение вероятности. Если исходы опыта равновозможны, то вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов опыта, т.е.

где – число исходов опыта, благоприятствующих событию, а – число всех возможных исходов.

Свойства вероятностей

1. Вероятность любого события –– есть число, заключенное между нулем и единицей, т.е. Вероятность невозможного события равна 0, а вероятность достоверного события равна 1.
2. Если события A и B несовместны, то
3. Вероятность любого события A в сумме с вероятностью противо- положного события равна единице:

Если вероятность интересующего нас события A по каким-либо причинам вычислить трудно, то можно попытаться вычислить вероятность противоположного события, а затем с помощью свойства 3 вычислить искомую вероятность события A.

Пример №1

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

A – на обеих костях выпало одинаковое число очков;

B – сумма числа очков не меньше 11;

C – число очков на первой кости больше, чем на второй;

D – сумма очков четная;

E – сумма числа очков больше трех.

Решение. Число очков, благоприятствующих каждому из названных событий, легко подсчитать, если все возможные исходы опыта перечислить в виде табл. 2.1.1. В каждой клетке таблицы первая цифра указывает число очков на первой кости, вторая –– на второй кости.

Если кости симметричны и однородны, то все перечисленные исходы опыта равновозможны. Тогда (благоприятствуют исходы: 11, 22, 33, 44, 55, 66), (благоприятствуют три исхода: 56, 65, 66) Непосредственный подсчет числа благоприятствующих исходов дает .

Ответ.

Пример №2

а) В урне содержится N шаров, из них R красного цвета. Наугад выбрано шаров. Какова вероятность того, что из них окажутся красного цвета? Какова вероятность того, что среди выбранных шаров хотя бы один будет красным?

б) Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованных, наугад извлекаются три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий:

A – среди выбранных изделий ровно два бракованных;

B – выбраны только бракованные изделия;

С – среди выбранных изделий содержится хотя бы одно бракованное.

Решение. а) Если шары тщательно перемешаны и выбираются наугад, то равновозможен выбор любых шаров. Поэтому применимо классическое определение вероятности. Поскольку выбор бесповторный и нас интересует только состав, то выбрать любые шаров можно способами. Сформировать выборку требуемого состава можно, если из R красных шаров выбрать любые шаров (это можно сделать способами) и к ним добавить любых не красных шаров (это можно сделать способами).

По комбинаторному принципу число благоприятствующих исходов равно Искомая вероятность равна ,

Пусть означает наличие в выборке красных шаров. Выбор хотя бы одного красного шара равносилен появлению хотя бы одного из несовместных событий или или … или . Поэтому вероятность выбора хотя бы одного красного шара равна

б) Выбрать любых три изделия из 10 можно способами. Поэтому имеем равновозможных исходов.

Событию A благоприятствуют те исходы, при которых из семи годных изделий выбирается одно (это можно сделать способами) и из трех бракованных –– два (это можно сделать способами). По комбинаторному принципу число благоприятствующих событию A исходов равно Поэтому т.е. примерно один шанс из шести. Событию B благоприятствует всего один исход и его вероятность

Вероятность события проще вычислить, определив сначала вероятность события , которое состоит в том, что выбраны все годные изделия. Выбрать три годных изделия из семи можно способами. Поэтому и

Ответ.  

                

Пример №3

При раздаче тщательно перемешанных карт (в колоде 36 карт) игрок получает шесть карт. Какова вероятность того, что игрок получит два туза, два короля и две дамы любой масти?

Решение. Шесть карт данному игроку можно сдать способами, так как выбор бесповторный и нас интересует только состав выбора. Выбрать два туза, два короля и две дамы можно способами. Поэтому искомая вероятность равна

Ответ. .

Пример №4

В течение недели независимо друг от друга происходят четыре события. Найдите вероятности следующих событий:

A – все четыре события произойдут в разные дни недели;

B – все четыре события произойдут в один день;

C – все эти события произойдут в последние три дня недели;

D – хотя бы в один день недели произойдут два или более из этих событий.

Решение. Дни недели можно представить в виде ящиков, а события в виде шариков. Тогда распределение событий по дням недели можно считать раскладкой шариков по ящикам. Так как каждый из четырех шариков можно поместить в любой из семи ящиков, то существует равновозможный способ разложить четыре шарика по семи ящикам. Из них событию A благоприятствуют способов, так как для каждого последующего шарика остается на один пустой ящик меньше.

Поэтому

Событию B благоприятствует всего семь способов. Поэтому

Все четыре события могут произойти в последние три дня недели 3⁴ способами. Поэтому

Событие D противоположно событию A. Поэтому

Ответ.

Пример №5

10 книг, из которых четыре имеют красный переплет, наугад ставят на полку. В предположении, что все расстановки книг на полке равновозможны, найти вероятность того, что книги с красными переплетами окажутся стоящими подряд.

Решение.

10 книг можно на полке расставить способами. Для подсчета благоприятствующих комбинаций представим сначала, что красные книги связаны в одну пачку и переставляются как единая книга. Тогда переставить эту пачку и остальные шесть книг можно способами. После того, как эта перестановка совершилась и красные книги оказались стоящими подряд, развяжем пачку и на заданных четырех местах переставим красные книги между собой. Это можно сделать способами. По комбинаторному принципу всего благоприятствующих способов Поэтому искомая вероятность равна

Ответ.

Замечание. Пусть одинаковых предметов необходимо распределить между людьми. Это можно сделать способами. К такому выводу приводят следующие соображения. Добавим к этим предметам черный шар, поставим предметы и шары в один ряд, и будем их переставлять между собой. Число различимых перестановок будет равно  так как именно таким числом способов можно из места выбрать место и поставить на эти места черные шары, а на остальные места поставить предметы. Вместе с тем число  равно числу способов одинаковых предметов распределить между людьми: первому достанутся предметы до первого черного шара, второму – от первого до второго черного шара и т.д. Если -й и -й шары стоят рядом, то -му человеку не достанется ничего.

Пример №6

Случайным образом 12 одинаковых шаров размещаются в шести ящиках. Какова вероятность того, что ровно два ящика останутся пустыми?

Решение. Согласно предыдущему замечанию распределить 12 шаров по шести ящикам можно способами. Имеется вариантов выбрать два пустых ящика из шести. В остальных четырех ящиках должно быть хотя бы по одному шару. Для этого размещаем в каждый из них по одному шару, а остальные шаров раскладываем произвольным образом в эти же четыре ящика. Это можно сделать способами. Всего получается   C благоприятствующих способов. Вероятность того, что останутся два свободных ящика, равна

Ответ.

Классическое определение вероятности и решение задач

Проводить многократные испытания для определения статистической вероятности события достаточно сложно, а иногда - невозможно. Однако во многих прикладных задачах вероятность можно определить, используя классическое определение вероятности.

Пример №7

В ящике лежат два шара: белый и черный. Из ящика наугад вынимают один шар.

Рассмотрим события:

- вынут белый шар;

- вынут черный шар;

- вынут красный шар;

- вынут шар.

Как известно из предыдущего параграфа, событие - невозможное, событие - достоверное, а события и - случайные.

Так как белых и черных шаров в ящике поровну, то шансы быть вынутым у черного шара будут теми же, что и у белого. Никаких других шаров в ящике нет, поэтому, если испытание с вытаскиванием шара проводить многократно, каждый раз возвращая шар в ящик, можно сделать вывод, что приблизительно в половине случаев будет вынут белый шар и еще в половине случаев - черный.

В данных условиях число 0,5 (половина) - это статистическая вероятность случайного события «вынуть белый шар».

Эту вероятность получим, если количество белых шаров, то есть 1, разделим на количество всех шаров .

Сформулируем классическое определение вероятности:

вероятность случайного события равна отношению количества случаев, способствующих появлению события , к количеству всех возможных случаев.

В виде формулы это определение можно записать так:

, где — количество всех возможных случаев; — количество случаев, способствующих появлению события .

Иногда вероятность представляют в процентах, тогда .

Возвращаясь к примеру 1, можно легко найти вероятности событий , и : .

Таким образом, приходим к важному выводу:

вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события равна любому числу от 0 до 1.

Вероятности событий и в данном испытании одинаковы, потому что . Такие события называют равновероятными.

Равновероятные события — события, вероятность которых одинакова в данном испытании.

Рассмотрим еще примеры.

Пример №8

Из 30 учеников класса 12 имеют по алгебре оценки высокого уровня. Какова вероятность того, что наугад выбранный учащийся этого класса имеет по алгебре оценку высокого уровня?

TYI 12

Решение:

Имеем:

Ответ. 0,4.

Пример №9

Одновременно бросили два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков:

1) равна 6; 2) меньше 5?

Решение:

Составим таблицу суммы очков, которые могут выпасть на двух игральных кубиках, брошенных одновременно. - количество всех возможных событий.

1) Имеем 5 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках равна 6, поэтому и .

2) Имеем 6 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках меньше чем 5. Поэтому и .

Ответ. 1) ; 2) .

Пример №10

В коробке лежат шары: 20 черных, 25 зеленых, а остальные - белые. Сколько белых шаров в коробке, если вероятность вытащить белый шар:

1) равна ; 2) меньше чем ?

Решение:

Пусть в коробке белых шаров. Тогда:

и . Следовательно, вероятность вытащить белый шар равна .

1) По условию- , тогда ; то есть .

2) По условию- . Чтобы решить неравенство, умножим обе его части на положительное число , получим: , откуда . Следовательно, если вероятность вытащить белый шар меньше, чем , то в коробке не более 11 белых шаров.

Ответ. 1) 15; 2) не более 11.

Пример №11

Владелец мобильного телефона забыл две последние цифры своего PIN-кода, но помнит, что они разные. Найти вероятность того, что он разблокирует телефон с первой попытки.

Решение:

Двумя последними цифрами PIN-кода могут быть следующие комбинации: 00, 01, 02, 03, ... , 97, 98, 99. Всего их 100. Но среди них есть 10 комбинаций, с одинаковыми цифрами: 00, 11, 22, ... , 88, 99. Так как владелец телефона помнит, что цифры разные, то он будет выбирать из 90 комбинаций . Следовательно, . Ищем вероятность того, что владелец получит доступ к телефону с первой попытки, а значит, . Тогда р .

Ответ..

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например, стрелок стреляет по мишени. В данном случае выстрел - это испытание, попадание или промах - событие. Другой пример: из урны, в которой находятся шары разного цвета, извлекается один шар. В данном случае извлечение шара из урны - это испытание. Появление шара определенного цвета - событие.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Например, бросается игральная кость. В данном случае выпадение целого числа является событием достоверным, выпадение числа 2 - событием случайным, выпадение числа 8 - событием невозможным.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» - события несовместные, а получение тех же оценок по трем разным дисциплинам - события совместные.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Например, два студента пришли сдавать зачет. Обязательно произойдет одно из следующих событий: оба студента сдадут зачет (событие А), только один студент сдаст зачет (событие В), ни один из студентов не сдаст зачет (событие С). События А, В, С являются единственно возможными.

События называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Например, появление герба или решки при бросании монеты есть события равновозможные. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания должно произойти одно и только одно из этих событий.

Например, студент отвечает на вопросы экзаменационного билета. Билет содержит два вопроса. Возможны следующие исходы испытания: студент ответит на оба вопроса (событие), ответит на один вопрос (событие не ответит ни на один вопрос (событие. События образуют полную группу.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Например, событие, состоящее в том, что студент в данный момент находится в аудитории, и событие, состоящее в том, что он находится вне аудитории, являются противоположными.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления.

Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера. Количественной мерой возможности наступления события является вероятность. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее. Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами, или случаями. При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн», т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов, т.е. где Р(А) – вероятность события А; m – число случаев благоприятствующих событию А; n – общее число случаев.

Пример №12

При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение:

Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А - «появление четного числа очков» - благоприятствуют 3 исхода (случая) - выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

где - статистическая вероятность события A; w(A) - относительная частота события А; т - число испытаний, в которых появилось событие А; п - общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р*(А) является характеристикой опытной, экспериментальной. Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(A) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива, т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки.

Полагая, что вероятность события А - попадания брошенной точки на фигуру g -пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем

где - соответственно площади областей g и G.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной (плоская фигура) или трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, приходим к следующему определению.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

Пример №13

Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.

Решение:

Обозначим моменты прихода в определенное место первого и второго студентов соответственно через х и у. В прямоугольной системе координатвозьмем за начало отсчета 10 часов, а за единицу измерения - 1 час. По условиюЭтим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 1.2). Событие А - встреча двух студентов - произойдет, если разность между хи не у превзойдет 1/4 часа (по абсолютной величине), т.е.

Решение этого неравенства есть полоса которая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g. По формуле (1.3)