Касательная к графику функции и производная с примерами решения

Вы уже знаете, какую прямую называют касательной к окружности. А что понимают, например, под касательной к синусоиде? Прямая

Пусть даны график функции  и на ней точка  которая не является концом графика (рис. 60). Обозначим на данном графике по разные стороны от  произвольные точки  Прямые  — секущие. Если же точки  двигаясь по графику, приближать достаточно близко к  как угодно близко будут приближаться к некоторой прямой  Такую прямую  (если она существует) называют касательной к графику функции  в точке 

Если график функции такой, как показано на рисунке 61, то при неограниченном приближении точек  к точке  предельные положения секущих — прямые  — не совпадут. Говорят, что в точке  касательной к графику функции  не существует.

И если  — крайняя точка графика, то касательной к нему в точке  не существует.

Понятие касательной к графику часто используют для исследования функций. Рассмотрим этот вопрос сначала в общем виде.

Касательная — это прямая. Её уравнение имеет вид  где  — угловой коэффициент — тангенс угла между лучом касательной, расположенным выше оси  и положительным направлением этой оси. Обратите внимание на угловой коэффициент  касательной, проведённой к графику какой-либо функции в его точке с абсциссой  Если число  принадлежит промежутку возрастания функции, то соответствующее значение  положительное (рис. 62). Если  принадлежит промежутку убывания функции, то  — отрицательное (рис. 63). И наоборот: если каждому значению  из некоторого промежутка  соответствует положительное значение  то на  данная функция возрастает; если каждому значению  из некоторого промежутка  соответствует отрицательное значение  то на  функция убывает. Заслуживают внимания и те точки графика функции, в которых касательная не существует, и в которых она параллельна оси 

Итак, зная угловые коэффициенты касательных к графику функции в тех или иных точках, можно сделать вывод, возрастает данная функция в этих точках, или убывает.

Поскольку для исследования функций важно уметь определять угловой коэффициент касательной к её графику, то рассмотрим подробнее связь этого коэффициента с исследуемой функцией.

Пусть даны график функции  и на ней точку  в которой существует касательная к графику (рис. 64). Если абсцисса точки  равна  то её ордината —  Дадим значению аргумента  приращение  Тогда значению аргумента  на графике функции соответствует точка  с абсциссой  и ординатой 

Через точки  проведём прямые  параллельные осям абсцисс и ординат. Они пересекутся в некоторой точке  Тогда  — приращение аргумента, а  — приращение функции на 

Угловой коэффициент секущей  равен тангенсу угла  т. е. отношению 

Если  то секущая  поворачиваясь вокруг точки  приближается к касательной, проведённой в точке  к графику данной функции. Итак, если  — угловой коэффициент этой касательной и  то

Так определяется угловой коэффициент касательной к графику функции  в некоторой точке  если касательная в ней не параллельна оси  Если касательная к графику функции в некоторой точке параллельна оси  то угловой коэффициент этой касательной равен нулю.

К вычислению значения выражения   или  приводит решение многих задач по механике, электричеству, биологии, экономике, статистике и т. д. Именно поэтому это выражение получило специальное название — производная.

Производной функции  в точке  называют предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует.

Производную функции  в точке  обозначают  Её определение записывают также в виде равенства:

Пример:

Найдите производную функции  в точке 

Решение:

Дадим аргументу  приращение  Соответствующее приращение функции 

Тогда  Если 

Следовательно, 

Ответ. 

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

До сих пор речь шла о производной функции в точке. А можно рассматривать производную функции и как функцию. Пусть, например, дана функция Найдём её производную в произвольной точке  Для этого дадим значению приращение  Соответствующее ему приращение функции

Поэтому  Если 

Имеем 

Следовательно, производная функции  в каждой её точке  равна  Пишут:  или, если 

Обратите внимание! Производная функции в точке — это число. Когда же говорят о производной, не указывая «в точке», подразумевают производную как функцию: производной функции  есть функция  производной функции  есть функция  и т. д.

Зная это, производную функции в точке можно вычислять проще, чем по определению производной функции в точке. Пример 2. Дана функция Найдите  Решение. Производной функции  является функция  Поэтому 

 Нахождение производной называется дифференцированием.  Функция, которая имеет производную в точке  называется дифференцируемой в точке  Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Докажем, например, что линейная функция  дифференцируема в каждой точке  Действительно, приращению  её аргумента  соответствует приращение функции  Поэтому  и если  А это и значит, что в каждой точке  функция  имеет производную

 Пишут

 В частности:

 Производная постоянной равна нулю.

Из курса планиметрии известно, что уравнение прямой, проходящей через заданную точку  имеет вид  где  — угловой коэффициент прямой.

Поскольку для касательной к графику функции  угловой коэффициент равен значению производной в точке касания  то можем записать общий вид уравнения касательной, проведённой к графику функции  в точке касания 

До сих пор речь шла о касательных к криволинейным графикам. Но графиком функции может быть и прямая или часть прямой. Поэтому для обобщения договариваются касательной к прямой в любой её точке считать эту самую прямую. Касательной к отрезку или лучу в любой его внутренней точке считают прямую, которой принадлежит этот отрезок или луч.

Выше было установлено, что производная линейной функции равна коэффициенту при переменной, т.е 

Полученный результат имеет очевидный геометрический смысл: касательная к прямой — графику функции  — есть эта самая прямая, её угловой коэффициент равен 

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите угол, который образуете положительным направлением оси касательная к графику функции  в точке 

Решение:

Определим сначала угловой коэффициент этой касательной по формуле  — приращения функции и приращения аргумента соответственно.

Найдем приращение функции  в точке 

Найдём угловой коэффициент касательной:

Поскольку 

Известно также, что  поэтому  отсюда 

Пример:

Докажите, что для функции  производной есть функция 

Решение:

  Если  А это и означает, что производной функции  является функция 

Пример:

Напишите уравнение касательной к графику функции  в его точке с абсциссой 

Решение:

Способ 1. Уравнение касательной имеет вид  Угловой коэффициент  равен значению производной функции  в точке  Значит, уравнение касательной Координаты точки касания  Точка с такими координатами принадлежит касательной, поэтому  отсюда Следовательно, уравнение касательной имеет вид: 

Способ 2. Запишем общий вид уравнения касательной:

Найдём 

Подставим найденные значения в уравнение касательной: