Исследование операций и методы оптимизации - концепция задачи, определение, классификация и анализ

Содержание:

Специалисты в различных областях часто сталкиваются с необходимостью решения задач по оптимизации. На практике проблемы оптимизации в осмысленном смысле разнообразны.

Например:

В экономике: в управлении банком:

1. задача инвестирования денег в различные проекты для достижения максимальной прибыли с минимальным риском;
2. в машиностроении: расчет оптимальной траектории полета ракеты, как контролировать полет ракеты при минимальном расходе топлива.
3. В социологии: как распределить дефицитные ресурсы в государстве для снижения социальной напряженности в обществе.

Есть много других примеров проблем оптимизации. Следует отметить, что важность и своевременность решения задач оптимизации, возникающих в экономике, науке, технике и социологии, привела к интенсивному развитию моделей и методов оптимизации за последние четыре десятилетия. Этому способствовало стремительное развитие компьютерного оборудования. Разработка оптимизационных моделей и методов также стимулировалась значительным увеличением размерности и сложности задач оптимизации, вызванных технологическим подъемом последних десятилетий.

Методы оптимизации являются частью дисциплины исследования операций.

Исследование операций - это совокупность научных методов решения задач эффективного управления организационными системами. Природа "организационных систем" может быть различной, то есть общие математические модели используются не только в решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социальных исследованиях и других практических областях.

Концепция задачи оптимизации, определение задачи

Управление любой системой реализуется как процесс, который подчиняется определенным закономерностям. Их знания помогают определить необходимые и достаточные условия для осуществления этого процесса. Для этого необходимо количественно определить все параметры, характеризующие процесс и внешние условия. Следовательно, целью исследования операций является количественное обоснование решений по организации управления.

При решении конкретной управленческой задачи она должна:

• Построение экономико-математических моделей для принятия решений в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
• Изучить взаимосвязи исследуемой системы и установить критерии эффективности, позволяющие оценить преимущества того или иного конкретного направления деятельности. Критерии, в зависимости от задачи, могут быть экономическими или технологическими (минимальная стоимость, максимальный крутящий момент). Какой бы критерий ни был принят в качестве характеристики, он должен предполагать максимальное (или минимальное) значение для наилучшего варианта.

Критериев может быть много, и в этом случае задача становится многокритериальной. Существуют методы решения многокритериальных задач, но можно также свести многокритериальную задачу к однокритериальной. Для этого один из критериев выбирается в качестве основного, а другие становятся второстепенными. В качестве характеристического критерия используется первичный критерий, а вторичные - ограничения задачи.

Operations Research (Исследование операций) - научная дисциплина, целью которой является разработка и применение методов оптимизации, основанных на математическом моделировании.

Анализ и оптимизация систем

В середине 20-го века во многих областях человеческой деятельности возникла необходимость изучения и совершенствования сложных систем, к которым относятся системы организационного характера: оборонные системы, производственные системы, отрасли промышленности, предприятия и др.

Расследование показало следующее:

В сложных системах взаимосвязь элементов гораздо важнее их свойств;
Элементы сложных систем могут быть разнородными, например, персонал, оборудование, транспорт, материальные ресурсы и т.д.
Исследования операций и системный анализ появились, когда во время Второй мировой войны в американских и британских вооруженных силах были созданы специальные группы для изучения военных операций.

В то время уже был накоплен опыт применения математических методов для моделирования и решения некоторых экономических задач, теоретически были установлены возможности решения сложных задач на ЭВМ. Позже были созданы первые компьютеры. Таким образом, потребности и возможности совпали. Появились новые идеи трансформации организационных систем с использованием методов математической теории игр. Сформулированная в то время методология, собравшая все научные достижения в изучении сложных систем, стала применяться не только в военных, но и в других областях.

Система - это совокупность элементов, которые взаимодействуют друг с другом для достижения общей цели системы.

Процесс относится ко всему, что происходит в системе. Если система функционирует, то происходит процесс.

Сложные организационные системы не могут быть изучены экспериментальными методами, невозможно описать изменения в системе только на основе каких-либо научных теорий, количество факторов достаточно велико.

Таким образом, сложные системы не могут быть смоделированы и усовершенствованы без использования компьютерной техники и технологий.

Классификация задач оптимизации

Решение задачи оптимизации означает нахождение оптимального решения из нескольких возможных вариантов.

Если оптимизация вычисляет оптимальные значения параметров под конкретную структуру объектов, то это является параметрической оптимизацией. Выбор оптимальной структуры - это оптимизация структуры.

Каждая задача оптимизации решается путем построения математической модели исследуемого объекта и проведения компьютерного эксперимента.

Основой вычислительного эксперимента является взаимодействие модели, алгоритма и программы. Схема показана на рисунке 1.

Рисунок 1: Схема вычислительного эксперимента. 

Первый этап предполагает построение эквивалента объекта, его модели, которая отражает его основные свойства в математической форме.

На втором этапе разрабатывается алгоритм реализации модели на компьютере. Модель должна быть представлена в подходящей форме, должен быть определен порядок вычислительных и логических операций.

Третий этап - создание программ для реализации алгоритмов.

Определение оптимальных значений параметров является этапом вычислительного эксперимента, который позволяет отработать управляющее воздействие.

Теория оптимизации - это совокупность математических результатов и методов, позволяющих избежать проверки всех вариантов решений.

Методы оптимизации - это процедуры построения алгоритмов поиска оптимального значения функции.

Основные концепции исследования операций

Предмет исследования операций достаточно широк, поэтому давайте посмотрим на некоторые определения для лучшего понимания.

Операция - это любая управляемая деятельность, направленная на достижение цели. Результат операции зависит от методов и техники ее проведения.

Определенный набор параметров - это решение. Оптимальными являются те решения, которые по тем или иным причинам предпочтительнее других.

При использовании количественных методов исследования операций строится математическая модель. Для этого модель упрощается, систематизируется и схема работы воспроизводится с помощью математического аппарата. Операционная модель представляет собой очень точное описание операции, и ее построение требует понимания сути описанных явлений.

Под эффективностью операции понимается степень ее адаптации к целям объективной функции. Практическая ценность исследования зависит от критерия эффективности.

Все факторы, включенные в описание операции, разделены на две группы:

• Постоянная, на которую нельзя повлиять (обозначается );
• Зависимый, который может быть свободно выбран в известных пределах ().

Критерий производительности, выраженный функцией, называется объективной функцией и зависит от обеих групп факторов. Объективная функция Z может быть записана в форме.

Все модели исследования операций разделены на классы:

Модели оптимизации. Проблемы этого класса возникают при попытках оптимизации управления и планирования сложных экономических систем;
При планировании и управлении сетью учитывается корреляция между моментом окончания набора операций и моментом начала всех операций. К задачам данного класса относится нахождение минимальной продолжительности набора операций, оптимального соотношения затрат и времени;
Класс проблем массового обслуживания посвящен изучению и анализу систем обслуживания с очередью запросов или заявок;
Проблемы управления запасами связаны с поиском оптимальной инвентарной стоимости и размеров заказов;
Класс проблем с распределением ресурсов имеет место при рассмотрении набора операций, которые необходимо выполнить с ограниченными ресурсами.
Существуют и другие классы моделей исследования операций, которые позволяют оценить успех операции.