Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте! Вы начинаете изучать предмет геометрия

Геометрия — одна из самых древних наук. Ее название можно объяснить тем, что развитие геометрии было тесно связано с разнообразной практической деятельностью человека: обозначением границ, строительством дорог, зданий и других сооружений. На странице в виде лекций для всех классов школы изложен теоретический и практический материал по всем темам геометрии, к каждой теме подобраны примеры с выполнением заданий и решением задач. 

Желаю вам успехов в изучении предмета "Геометрия" и удовольствия от учёбы!

Содержание:

Геометрические фигуры. Точка, прямая, луч

Из уроков математики вам уже известны некоторые геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок, луч, угол (рис. 1), треугольник, прямоугольник, круг (рис. 2). На уроках геометрии вы расширите и углубите знания об этих фигурах, ознакомитесь с новыми важными фигурами и их свойствами.

Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур.

Самая простая геометрическая фигура — это точка.

Из точек складываются все другие геометрические фигуры. Итак, любое множество точек является геометрической фигурой.

Часть геометрической фигуры также является геометрической фигурой.

Геометрической фигурой является и объединение нескольких геометрических фигур. На рисунке 3 фигура состоит из прямоугольника и двух треугольников.

Одной из основных геометрических фигур является плоскость. Представление о части плоскости дает поверхность стола, стекла, потолка и т. д.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 1                                                                                     Рис. 2

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 3                                             Рис. 4                                           Рис. 5

Плоскость в геометрии считают ровной и неограниченной; она не имеет края и не имеет толщины. Вы будете изучать часть школьного курса геометрии, которая называется планиметрией. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Прямые можно проводить с помощью линейки (рис. 4). При этом изображаем часть прямой, а всю прямую воображаем бесконечной в обе стороны. Прямые чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, d, ..., а точки — большими латинскими буквами A, B, C, D...

На рисунке 5 изображена прямая a и точки A, B, C. Точки A и B лежат на прямой a; говорят также, что точки A и B принадлежат прямой a, или что прямая a проходит через точки A и B. Точка С не лежит на прямой a; иначе говоря, точка C не принадлежит прямой a, или прямая a не проходит через точку C.

Какой бы не была прямая, существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые ей не принадлежат.

Для удобства вместо слов «точка A принадлежат прямой a» пользуются записью Aa, а вместо слов «точка C не принадлежат прямой  a» — записью C ∉ a. Обратим внимание, что через точки A и B нельзя провести другую прямую, которая не совпадает с прямой a.

Через любые две точки можно провести прямую, и к тому же только одну.

Здесь и дальше, говоря о «двух точках», «двух прямых» считаем, что эти точки, прямые — разные. Прямую, на которой обозначены две точки, например A и B, можно записать двумя буквами: AB или BA. На рисунке 5 точка C не принадлежит прямой AB (это записывают так CAB), говорят также, что точки A, B и C не лежат на одной прямой. Точки M, K и P лежат на одной прямой (рис. 6), причём точка K лежит между точками M и P.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 6                                                                        Рис. 7

Из трёх точек на прямой одна, и только одна лежит между двумя другими.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. На рисунке 7 прямые a и b пересекаются в точке T, а прямые m и n не пересекаются. Проведём прямую и обозначим на ней точку A (рис. 8). Эта точка делит прямую на две части, каждую из которых вместе с точкой A называют лучом, который выходит из точки A. Точка A называется началом каждого из лучей. Лучи обозначают двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — некую точку на луче (например, луч OK на рисунке 9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 8                                                     Рис. 9                                    Рис. 10

Два луча, которые имеют общее начало и дополняют один другого до прямой, называют дополнительными. На рисунке 10 луч BC является дополняющим для луча BD, и наоборот, луч BD является дополняющим для луча BC.

Отрезок. Измерение отрезков. Расстояние между двумя точками

Отрезком называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой,  лежащих между двумя её точками, вместе с этими точками. Эти точки называют концами отрезка.

На рисунке 16 изображен отрезок AB; точки A и B — его концы. На рисунке  17 точка M  принадлежит отрезку CD, а точка  ему не  принадлежит. На рисунке 18 отрезки KL и FN  имеют единственную общую точку O. Говорят, что отрезки KL и FN пересекаются в точке O.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 16                                             Рис. 17                                  Рис. 18

На практике часто приходится измерять отрезки, то есть находить их длины. Для этого необходимо иметь единичный отрезок (единицу измерения). Единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Для измерения отрезков используют разные измерительные инструменты. Одним из таких инструментов является линейка с делениями. На рисунке 19 длина отрезка AB равна 3 см, а на рисунке 20 длина отрезка CD — 1 см 5 мм, или 1,5 см, или 15 мм. Записывают это так: AB = 3 см, CD = 1,5 см = 15 мм.

Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля.

Другими инструментами, которыми можно измерять длины отрезков, являются складной метр (рис. 21), рулетка (рис. 22), клеёнчатый сантиметр (рис. 23).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 19                                                                                Рис.20

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 21                                                                 Рис. 22

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 23

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 24

На рисунке 24 изображен отрезок AB. Точка делит его на два отрезка: AC и CB. Видим, что AC = 4 см, CB = 1 см, AB = 5 см. Таким образом, AC + CB = AB.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается какой-либо его точкой.

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. На рисунке 24 расстояние между точками A и  равно 4 см.

Два отрезка называют равными, если равны их длины.

Из двух отрезков большим считают тот, длина которого больше. На рисунке 25 длина отрезка MN  равна длине отрезка AB, поэтому эти отрезки равны. Можно записать: MN = AB. На этом же рисунке длина отрезка MN больше, чем длина отрезка PL. Говорят, что отрезок MN больше, чем отрезок PL, записывают так: MN > PL. На рисунках равные отрезки принято обозначать одинаковым количеством чёрточек, а неравные — разным количеством чёрточек. Точку отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка, называют серединой отрезка.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 25

На рисунке 26 AC = 2 см, CB = 2 см, тому С — середина отрезка AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 26

Угол. Измерение углов. Биссектриса угла

Угол это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые выходят из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. На рисунке 32 изображён угол с вершиной O и сторонами OA и OB. Такой угол можно назвать по-разному: углом O, или углом AOB, или углом BOA. Во втором и  третьем вариантах названия угла буква О, которая обозначает его вершину, ставится посередине. Слово «угол» можно заменить знаком ∠, записав угол так: ∠O, или ∠AOB, или ∠BOA.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются дополнительными лучами (рис. 33).

Любой угол делит плоскость на две части. Если угол не является развёрнутым, то одну из частей называют внутренней, а вторую — внешней областью этого угла (рис. 34).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 32                                                                                   Рис. 33

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 34                                                                                              Рис. 35

На рисунке 35 точки A, B иC  принадлежат внутренней области угла (лежат в середине угла), точки M и N принадлежат сторонам угла, а точки P и Q  принадлежат внешней области угла (лежат вне  угла). Если угол является развёрнутым (равен 180°), то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. За единицу измерения углов принимают градус — угол, который составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач развёрнутого угла. Обозначают градус знаком °. Для измерения углов используют транспортир (рис. 36).

На рисунке 37 градусная мера угла AOB равна 50°, а угла COD — 110°. Коротко говорят: «угол AOB  равен 50°, угол COD равен 110°»; записывают так: ∠ AOB = 50°, ∠COD = 110°.

Каждый угол имеет определённую градусную меру, больше нуля. Развёрнутый угол равен 180°.

Очень маленькие углы измеряют в минутах и секундах. Минута — это Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач часть градуса, секунда — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач часть минуты. Минуты обозначают знаком +, секунды — знаком ++. Итак, 1° = 60+, 1+ = 60++. На местности углы измеряют астролябией (рис. 38).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 36                                                                                         Рис. 37

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 38                                                                                       Рис. 39

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 40

На рисунке 39 луч OK выходит из вершины угла AOB  и лежит в его внутренней области, то есть луч OK проходит между сторонами угла AOB. На рисунке 40 луч OM делит угол AOB на два угла: BOM  и MOA. Видим, что ∠BOM = 40°, ∠MOA = = 80°, ∠AOB = 120°. Таким образом, ∠AOB = ∠BOM + ∠MOA.

Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, который проходит между его сторонами.

Два угла называются равными, если их градусные меры равны.

Из двух углов большим считают тот, градусная мера которого больше. На рисунке 41 градусная мера угла M  равна 50°,  градусная мера угла K также равна 50°. Поэтому эти углы равны. Можно записать: ∠M = ∠K. На этом же рисунке градусная мера угла P  равна 70°, поэтому угол P больше угла M.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 41

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 42

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 43

Записывают это так: ∠P > ∠M. На рисунках равные углы принято обозначать одинаковым количеством дужек, неравные — разным количеством дужек.

Угол называется прямым, если его градусная мера равна 90°, острым — если он меньше  прямого, тупым — если он больше  прямого, но меньше  развёрнутого (рис. 42). Прямой угол на рисунках обозначают значком Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит его на два равных угла.

На рисунке 43 луч OP — биссектриса угла AOB.

Взаимное размещение прямых на плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Аксиомы, определения, теоремы

Аксиомы геометрии — это утверждения об основных свойствах простейших геометрических фигур, принятые как исходные положения.

В переводе с греческого слово «аксиома» означает «принятое положение».

Напомним некоторые уже известные вам аксиомы

  • І. Какой бы не была прямая, существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые не принадлежат ей.
  • ІІ. Через любые две точки можно провести прямую, и к тому же только одну.
  • ІІІ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • IV. Каждый отрезок имеет определённую длину, больше  нуля.
  • V. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  • VI. Каждый угол имеет определённую градусную меру, больше  нуля. Развёрнутый угол равен 180°.
  • VII. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами.

Утверждение, в котором объясняется содержание того или иного понятия (название), называют определением. Вам уже известны некоторые определения, например, определение отрезка, угла, биссектрисы угла.

Математическое утверждение, справедливость которого устанавливается с помощью рассуждений, называют теоремой, сами рассуждения называют доказательством теоремы.

Каждая теорема содержит условие (то, что дано) и вывод (то, что необходимо доказать). Условие теоремы принято записывать после слова «дано», а вывод — после слова «доказать». Доказывая теорему, можно использовать аксиомы, а также ранее доказанные теоремы. Никакие другие свойства геометрических фигур (даже если они кажутся нам очевидными) использовать нельзя.

Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны этих углов являются дополняющими лучами.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 54

На рисунке 54 углы AOK и KOB — смежные, сторона OK у них — общая, а OA и OB являются дополнительными лучами.

Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

 Доказательство. Пусть ∠ AOK и ∠ KOB — смежные углы (рис. 54). Поскольку лучи OA и OB образуют развёрнутый угол, то ∠AOK + ∠KOB  = ∠AOB = 180°. Следовательно, сумма смежных углов равна 180°. Теорема доказана.

Утверждения, которые вытекают непосредственно из аксиом или теорем, называют следствиями.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом,— прямой.

 Следствие 2. Угол, смежный с острым углом,— тупой, а смежный с тупым углом,— острый.

Задача №1

Найти меры смежных углов, если один из них на 56° больше  другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через x, тогда градусная мера большего угла будет x + 56°. Поскольку сумма смежных углов равна 180°, то можно составить уравнение x + x + 56° = 180°. Решив его, получаем x = 62°. Значит, один из искомых углов равен 62°, а второй 62° + 56° = 118°.

Ответ. 62° и 118°.

Вертикальные углы. Угол между двумя пересекающимися прямыми

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.

На рисунке 59 прямые AB и CD пересекаются в точке K. Углы AKC и DKB — вертикальные, углы AKD  и CKB  тоже вертикальные.

Теорема (свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 59                                                                                              Рис. 60

Доказательство. Пусть AKC и DKB вертикальные углы (рис. 59). Поскольку углы AKC и AKD смежные, то ∠AKC + ∠AKD = 180°. Также смежные углы AKD и DKB, поэтому ∠AKD + ∠DKB = 180°. Имеем:

AKC = 180° – ∠AKD и ∠DKB = 180° – ∠AKD.

Правые части этих равенств равны, поэтому равными являются и левые части. Значит, ∠AKC = ∠DKB. Теорема доказана

Задача №2

Два из четырёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, относятся  как 4 : 5. Найти градусную меру каждого из образовавшихся углов.

Решение. Два угла, образовавшиеся в результате пересечения двух прямых, или смежные, или вертикальные (рис. 60). Поскольку вертикальные углы равны ∠ AKD = ∠ CKB, ∠ AKC = ∠ BKD, то углы, о которых идёт речь в задаче,— это смежные углы. Например, ∠ AKD и ∠ AKC. Поскольку ∠ AKD : ∠ AKC = 4 : 5, то можем обозначить ∠ AKD = 4x, ∠ AKC = 5x. По свойству смежных углов: 4x + 5x = 180°. Отсюда x = 20°. Тогда ∠AKD = 4•20° = 80°, ∠AKC = 5•20° = 100°. Далее: ∠CKB = ∠AKD = 80°, ∠BKD = ∠AKC = 100°.

Ответ. 80°; 100°; 80°; 100°.

Углом между пересекающимися прямыми  называют меньший из углов,  образованных при пересечении этих прямых.

Например, угол между прямыми AB и DC из предыдущей задачи равен 80°. Угол между прямыми не может превышать 90°.

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 68

Пусть при пересечении двух прямых a и b один из образованных углов равен 90° (угол 1 на рис. 68). Тогда ∠3 = 90° (как вертикальный с углом 1).Угол 2 является смежным с углом 1, тогда ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 90° = 90°. Угол 4 вертикальный с углом 2, поэтому ∠4 = ∠2 = 90°. Значит, если один из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 90°, то остальные из этих углов  тоже прямые. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, или что они перпендикулярны.

Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 68 прямые a и b перпендикулярны. Перпендикулярность прямых можно записать с помощью знака ⊥. Запись ab читаем так: «прямая a перпендикулярна прямой b».

Для построения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник (угольник). На рисунке 69 через точку B, которая не принадлежит прямой a, проведена прямая b, перпендикулярная  прямо a. На рисунке 70 проведена прямая c, перпендикулярная  прямой a, через точку C, которая принадлежит прямой a. В обоих случаях построена единственная прямая, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна прямой a.

Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 71 отрезок AB перпендикулярен отрезку CD, на рисунке 72 луч KL перпендикулярен  отрезку MN, а на рисунке 73 луч PQ перпендикулярен лучу OS. Для записи перпендикулярности отрезков лучей также используют знак ⊥.

Перпендикуляром к прямой, проведённым из данной точки, называют отрезок прямой, перпендикулярной данной, один из концов которого — данная точка, а второй — точка пересечения прямых. Длину этого отрезка называют расстоянием от точки до прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 69                                                                                      Рис. 70

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 71                                                       Рис. 72                                    Рис. 73

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачm

Рис. 74

На рисунке 74 из точки A проведён перпендикуляр AB к прямой m. Точку B называют основанием перпендикуляра. Длина отрезка AB — расстояние от точки A до прямой.

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 84 прямые a и b параллельны. Параллельность прямых записывают с помощью знака ||. Запись a || b читают так: «прямая a параллельна прямой b».

Для построения параллельных прямых используют угольник и линейку. На рисунке 85 через точку B, которая не принадлежит прямой a, проведена прямая b, параллельная прямой a.

Издавна истинной считают такую аксиому, которая выражает основное свойство параллельных прямых.

VIII. Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Эту аксиому называют аксиомой параллельности прямых или аксиомой Эвклида. Именно этот учёный первым предложил её как пятый постулат. (Постулат — допущение, исходное положение, которое принимают без доказательства; аксиома.)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 84                                                                                  Рис. 85

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 86                                                     Рис. 87                                       Рис. 88

Отрезки или лучи называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 86 отрезок AB параллельный отрезку MN, на рисунке 87 отрезок CD параллельный лучу PK, а на рисунке 88 луч GN параллельный лучу FL. Для записи параллельности отрезков и лучей также используют знак ||.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 89

Задача №3

Доказать, что когда прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Доказательство. Пусть a и b — параллельные прямые, и прямая c пересекает прямую в точке K (рис. 89).

Допустим, что прямая c не пересекает прямую a, то есть является параллельной a. Тогда выходит, что через точку K проходят две прямые c и b, параллельные a. Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Наше предположение неправильное (ошибочное), поэтому прямая c пересекает прямую a. Утверждение доказано.

Заметим, что способ рассуждений, которым мы доказали утверждение предыдущей задачи, называется доказательством от противного. Чтобы доказать, что прямые a и c пересекаются, мы предположили противоположное тому, что нужно доказать, то есть предположили, что a и c не пересекаются. Исходя из этого предположения, в процессе рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельности прямых. Это означает, что наше предположение неправильное, и поэтому с пересекает a.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки параллельности прямых

Прямая c называется секущей  относительно прямых a и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 97). При пересечении прямых a и b секущей c образовалось восемь углов, обозначенных на рисунке 97. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

внутренние односторонние углы: 4 и 5; 3 и 6; внутренние разносторонние углы: 4 и 6; 3 и 5; соответственные углы: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8.

Рассмотрим признаки параллельности прямых.

Признак (в геометрии) — это теорема, которая утверждает, что при выполнении определённых условий можно установить параллельность прямых, равенство фигур, принадлежность  фигур к определённому классу и т. д.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 97                                                              Рис. 98

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 99                                                                                           Рис. 100

Теорема (признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых AB и CD секущей KL образовались равные соответственные углы ∠ KMB = ∠ MND = α (рис. 98).

Предположим, что данные прямые AB и CD не параллельны, а пересекаются в некой точке F (рис. 99). Не изменяя меры угла KMB, перенесём его так, чтобы вершина угла — точка M — совпала с точкой N, луч MK совпал с лучом NM, а луч MB занял положение луча NF1 (рис. 100). Тогда ∠ MNF1 = ∠ KMF = α. Поскольку луч NF1 не совпадает с лучом NF, так как F NF1, то ∠MNF1 ≠ ∠MNF. Но  мы установили, что ∠MNF = α  и ∠MNF1 = α.

Пришли к противоречию. Поэтому наше предположение о том, что прямые AB и CD не параллельны,— неверно. Значит, прямые AB и CD параллельны, что и требовалось доказать.

Дальше рассмотрим следствия из доказанной теоремы. Следствие — это утверждение, которое вытекает непосредственно из теоремы.

Следствие 1. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние разносторонние углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей c внутренние разносторонние углы равны, например ∠1 = ∠2 (рис. 101). Поскольку углы 1 и 3 — вертикальные, то они равны: ∠1 = ∠3. Следовательно, ∠2 = ∠3. Эти углы — соответственные, поэтому по признаку параллельности прямых имеем: a || b.

Следствие 2. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых и секущей c сумма внутренних односторонних углов равна 180°, например ∠ 1 + ∠ 2 = 180° (рис. 102). Углы 2 и 3 — смежные, поэтому ∠3 + ∠2 = 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 101                                                                              Рис. 102

Из этих двух равенств вытекает, что ∠ 1 = ∠ 3. Эти углы являются соответственными, а поэтому прямые a и b — параллельны по признаку параллельности прямых.

Следствие 3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

На рисунке 103: ac и bс. Учитывая следствие 2, имеем: a || b.

Заметим, что следствия 1–3 можно также рассматривать как признаки параллельности прямых.

Задача №4

Параллельны ли прямые AB и MN на рисунке 104?

Решение. ∠BCD = ∠ACK (как вертикальные). ∠BCD = = 27°. Поскольку 27° + 153° = 180°, то сума внутренних односторонних углов BCD и CDN равна 180°. Поэтому, по следствию 2, AB || MN.

Ответ. Да.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 103                                                                                 Рис. 104

Свойство параллельных прямых. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Рассмотрим свойство параллельных прямых.

Теорема 1 (свойство параллельных прямых). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Докажем, что a || b.

Применим доказательство от противного. Допустим что прямые a и b не параллельны, а пересекаются в некоторой точке N (рис. 131). Значит, через точку проходят две прямые a и b, параллельные c. Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, наше предположение неверное. Поэтому a || b. Теорема доказана.

Далее рассмотрим свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема 2 (свойство соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство. Пусть параллельные прямые AB и CD пересечены секущей NK (рис. 132). Докажем, что ∠NAB = ∠ACD. Допустим, что ∠NAB ≠ ∠ACD. Проведём прямую AB1 так, чтобы выполнялось равенство  ∠ NAB1 = ∠ ACD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 131                                                                               Рис. 132

По признаку параллельности прямых прямые AB1 и CD параллельны. Но по условию  AB || CD. Пришли к тому, что через точку A проходят две прямые AB и AB1, параллельные CD, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Наше предположение ошибочно. Поэтому соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны: ∠NAB = ∠ACD.

Теорема о свойстве соответственных углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, является обратной признаку параллельности прямых.

Поясним, как это следует понимать. Каждая теорема содержит условие и вывод. Если поменять местами условие и вывод теоремы, то получим новое утверждение (верное или неверное), условием которого будет вывод данной теоремы, а выводом — условие данной теоремы. Если полученное при этом утверждение является истинным, его называют теоремой, обратной данной.

У теоремы, которая выражает признак параллельности прямых, условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны» (это дано), а выводом — вторая часть: «прямые параллельны» (это нужно доказать). Легко увидеть, что последняя рассмотренная нами теорема и есть обратная признаку параллельности прямых. Условие этой теоремы: «прямые параллельны» (это дано), а вывод — «соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны» (это нужно доказать).

Не у каждой теоремы есть обратная. Например, теорема о вертикальных углах: «вертикальные углы равны» не имеет обратной  теоремы. Утверждение: «если два угла равны, то они вертикальны» — ошибочное.

Рассмотрим дальше следствия из теоремы 2.

Следствие 1 (свойство внутренних разносторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей). Внутренние разносторонние углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 133                                           Рис. 134                                      Рис. 135

Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (рис. 133). Докажем, что внутренние разносторонние углы, например 1 и 2, равны. Поскольку a || b, то соответственные углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 вытекает, что ∠1 = ∠2.

Следствие 2 (свойство внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей). Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.

Доказательство.  Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (рис. 134). Докажем, что сумма внутренних односторонних углов, например 1 и 2, равна 180°. Поскольку a || b, то соответственные углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 — смежные, поэтому ∠3 + ∠2 = 180°, но ведь ∠1 = ∠3. Поэтому ∠1 + ∠2 = 180°. Теорему 2 и её следствия 1 и 2 можно также рассматривать, как свойства параллельных прямых.

Задача №5

Найти неизвестный угол x по рисунку 135.

Решение. Поскольку внутренние разносторонние углы, образованные при пересечении секущей c прямых a и b, равны (оба по 80°), то a || b. Соответственные углы, образованные при пересечении секущей d параллельных прямых a и b, равны. Поэтому x = 70°.

Треугольники

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, которая состоит из трёх точек,  не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. 

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. На рисунке 176 изображен треугольник ABC. Его вершинами являются точки A, B и C, а сторонами — отрезки AB, BC иCA. Запись со знаком Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а именно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  ABC читается так: «треугольник ABC».

Углами треугольника ABC называют углы BAC, ABC и BCA. Часто их обозначают одной буквой ∠ A, ∠ B  и ∠ C. Стороны треугольника также можно обозначать маленькими буквами латинского алфавита a, b и c соответственно обозначениям противоположных углов. Каждый треугольник имеет три вершины, три стороны и три угла.

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром. Периметр обозначают буквой P, например, периметр треугольника  ABC можно обозначить так: PГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC. Получаем: PГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC = AB + BC + CA.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 176

Задача №6

Одна из сторон треугольника на 7 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 47 см.

Решение. Обозначим длину одной стороны треугольника — x см, тогда длина второй будет равна (x + 7) см, а третьей — 2x см. По условию x + (x + 7) + 2x = 47. Решив это уравнение, получим x = 10 (см). Следовательно, длина одной стороны треугольника равна 10 см, второй — 17 см, третьей — 20 см.

Ответ. 10 см, 17 см, 20 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 177                              Рис. 178                                   Рис. 179

В зависимости от углов различают такие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. У остроугольного  треугольника все углы острые (рис. 177), прямоугольный треугольник имеет прямой угол (рис. 178), а тупоугольный треугольник имеет тупой угол (рис. 179)

Равенство геометрических фигур

Напомним, что два отрезка называются равными, если равны их длины, а два угла называются равными, если равны их градусные меры.

Рассмотрим два равных отрезка AB и KL, длина каждого из которых 2 см (рис. 184). Представим себе, что, например, отрезок AB начертили на прозрачной плёнке. Перемещая плёнку, отрезок AB можно совместить с отрезком KL. Следовательно, равные отрезки AB  и KL можно совместить наложением.

Так же можно совместить наложением два равных угла (рис. 185). Таким образом приходим к общему обозначению равных фигур:

две геометрические фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 184                                                                                      Рис. 185

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 186

Заметим, что это определение не противоречит определениям равных отрезков и равных углов, которые вы уже знаете. 

Рассмотрим вопрос равенства треугольников. На рисунке 186 изображены равные треугольники ABC и KLM. Каждый из них можно наложить на другой так, что они полностью совместятся. При этом попарно совместятся их вершины A и K, B  и L, C  и M, а значите, и стороны этих треугольников AB и KL, AC и KM, BC и LM  и углы A и K, B и L, C и M. Таким образом, если треугольники  равны, то элементы (то есть стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника: AB = KL, AC = KM, BC = ML, ∠ A = ∠ K, ∠ B = ∠ L, ∠ C = ∠ M.

Для обозначения равенства треугольников используют обычный знак равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKLM. Заметим, что имеет значение порядок записи вершин треугольника. Запись Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM означает, что ∠ A = ∠ K, ∠ B = ∠ L, ∠ C = ∠ M, а запись Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачLKM другое: ∠ A = ∠ L, ∠ B = ∠ K, ∠ C = ∠ M.

Первый и второй признаки равенства треугольников

Равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Это важно для практики, например для установления равенства двух земельных участков треугольной формы, которые нельзя наложить один на другой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 193                                                       Рис. 194

При решении многих теоретических и практических задач удобно использовать  признаки равенства треугольников.

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников ). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB = A1B1, AC = A1C1 и ∠ A = ∠ A1 (рис. 193).

Поскольку ∠ A = ∠ A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1Cтак, что вершина A совместится с вершиной A1, сторона AB накладывается на луч A1B1, а сторона AC — на луч A1C1. Поскольку AB = A1B1 и AC = A1C1, то совместятся точки B и B1, C и C1. В  результате три вершины треугольника ABC совместились с соответствующими вершинами треугольника A1B1C1. Следовательно,  треугольники ABC  и A1B1C1 полностью совместились. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач A1B1C1. Теорема доказана.

Задача №7

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что точка O является серединой каждого из них. Доказать равенство  треугольников AOC и BOD.

Доказательство (рис. 194). По условию задачи AO = OB  и CO = OD. Кроме того, ∠ AOC = ∠ BOD (как вертикальные). Поэтому по первому признаку равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AOC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BOD.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие  треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC  и A1B1C1, у которых AB = A1B1, ∠ A = ∠ A1  и ∠ B = ∠ B1 (рис. 195).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 195                                                                                  Рис. 196

Поскольку AB = A1B1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, а вершины C и Cокажутся по одну сторону от прямой A1B1. ∠ A = ∠ Aи ∠ B = ∠ B1, поэтому при наложении луч AC накладывается на луч A1C1, а луч BC — на луч B1C1. Тогда точка C — общая точка лучей AC и BC — совместится с точкой C1 — общей точкой лучей A1C1 и B1C1. Значит, три вершины треугольника ABC совместились с соответственными вершинами треугольника A1B1C1; треугольники ABC  и A1B1C1 полностью совместились. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABCГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1. Теорема доказана.

Задача №8

Доказать равенство углов A и C (рис. 196), если ∠ ADB = ∠ CDB  и ∠ ABD = ∠ CBD.

Доказательство. Сторона BD — общая сторона треугольников ABD и CBD. По условию ∠ ADB = ∠ CDB и ∠ ABD = ∠ CBD. Поэтому по второму признаку равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач CBD. Равны и все соответственные элементы этих треугольников. Значит, ∠ A = ∠ C.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а его третью сторону — основанием. На рисунке 217 изображен равнобедренный треугольник ABC, AB — его основа, AC и BC — боковые стороны.

Треугольник, все стороны которого имеют разные длины, называют разносторонним. Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 218 изображен разносторонний треугольник KLM, а на рисунке 219 — равносторонний треугольник EFT.

Следовательно, в зависимости от сторон, различают такие виды треугольников: разносторонние, равнобедренные равносторонние.

Рассмотрим свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Теорема 1 (свойство углов равнобедренного треугольника ). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 217). Докажем, что у него ∠ A = ∠ B.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ACB = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCA (по первому признаку), поскольку AC = , СB = CA и ∠ C — общий для треугольников ACB и BCA. Из равенства треугольников  вытекает, что ∠ A = ∠ B. Теорема доказана.

Следствие. В равностороннем треугольнике все углы равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 217                                  Рис. 218                                         Рис. 219

Доказательство. Рассмотрим равносторонний треугольник EFT (рис. 219), у которого EF = FT = ET. Поскольку EF = FT, то его можно считать равнобедренным с основанием ET. Поэтому ∠ E = ∠ T. Аналогично (считая основанием FT), имеем, что ∠ F = ∠ T. Следовательно, ∠ E = ∠ T = ∠ F.

Задача №9

На рисунке 220 AB = BC; AD = EC. Доказать, что ∠ BDE = ∠ BED.

Доказательство. 1) Поскольку AB = BC, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC — равнобедренный с основанием AC. Поэтому ∠ BAC = ∠ BCA.

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BAD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCE (по первому признаку). Поэтому BD = BE.

3) Значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BDE — равнобедренный с основой DE. Поэтому ∠ BDE = ∠ BED, что и требовалось доказать.

Теорема 2 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник , у которого ∠ A = ∠ B (рис. 221). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ACB = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BCA (по второму признаку), так как ∠ A = ∠ B, ∠ B = ∠ A и AB — общая сторона для треугольников ACB и BCA. Из равенства треугольников вытекает, что AC = BC. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — равнобедренный с основанием AB. Теорема доказана.

Заметим, что рассмотренная теорема является обратной теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника.

Следствие. Если у треугольника все углы  равны, то он равносторонний.

Доказательство. Пусть в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC : ∠ A = ∠ B = ∠ C. Поскольку ∠ A = ∠ B, то AC = BC. Поскольку ∠ A = ∠ C, то AB = BC. Следовательно, AC = BC = AB, таким образом  треугольник ABC — равносторонний.

Задача №10

На рисунке 222 ∠ 1 = ∠ 2. Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM — равнобедренный.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 220                                                        Рис. 221                                 Рис. 222

Доказательство. ∠ KLM = ∠ 1 (как вертикальные), ∠ KML = ∠ 2 (как вертикальные). Но по условию ∠ 1 = ∠ 2. Поэтому ∠ KLM= ∠ KML. Следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KLM — равнобедренный.

Медиана, биссектриса и высота треугольника. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

У каждого треугольника есть несколько отрезков, которые имеют специальные названия.

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника со серединой противоположной стороны.

На рисунке 231 отрезок AM1 — медиана треугольника ABC. Точку M1 называют основанием медианы AM1. Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 232 отрезки AM1, BM2, CM3 — медианы треугольника ABC. Медианы треугольника имеют интересное свойство.

В любом  треугольнике медианы пересекаются в одной точке (она называется центроидом треугольника) и в этой точке делятся в отношении 2:1, начиная от вершины.

На рисунке 232 точка M — центроид треугольника.

Это свойство будет доказано в старших классах.

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

На рисунке 233 отрезок AL1 — биссектриса треугольника ABC. Точку L1 называют основанием биссектрисы AL1. Любой  треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 234 отрезки AL1, BL2, CL3 — биссектрисы треугольника.

Мы докажем, что в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке (она называется инцентром).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 231                                                                               Рис. 232

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 233                                                                           Рис. 234

На рисунке 234 точка I — инцентр треугольника.

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, которая содержит его противоположную сторону.

На рисунке 235 отрезок AH1 — высота треугольника ABC. Точку H1 называют основанием высоты AH1. Любой треугольник имеет три высоты. На рисунке 236 отрезки AH1, BH2, CH3 — высоты остроугольного треугольника ABC, на рисунке 237 эти отрезки — высоты прямоугольного  треугольника ABC с прямым углом C, а на рисунке 238 эти отрезки — высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом A.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 235                                                                                       Рис. 236

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 237                                                                                       Рис. 238

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 239

В старших классах будет доказано, что в любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке (она называется ортоцентром треугольника). На рисунках 236 и 238 точка H — ортоцентр треугольника, на рисунке 237 ортоцентр треугольника совпадает с точкой C — вершиной прямого угла треугольника ABC.

Рассмотрим ещё одно важное свойство равнобедренного треугольника.

Теорема (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). В равнобедренном  треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AN — его биссектриса (рис. 239). Докажем, что AN является также медианой и высотой.

1) Поскольку ∠ BAN = ∠ NAC, AB = AC, а отрезок AN — общая сторона треугольников ABN и CAN, то эти треугольники равны по первому признаку.

2) Поэтому BN = NC. Следовательно, AN — медиана треугольника.

3) Также имеем ∠ BNA = ∠ CNA. Так как эти углы смежные и равны, то ∠ BNA = ∠ CNA = 90°. Следовательно, AN является также высотой.

Теорема доказана.

Поскольку биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают, то справедливы такие следствия из теоремы.

Следствие 1. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Следствие 2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию,  является медианой и биссектрисой.

Третий признак равенства треугольников

Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного  треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 — два треугольника, у которых AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C(рис. 246). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1. Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы вершина Aсовместилась с вершиной A, вершина C1 — с вершиной C, а вершины B1 и B были бы по разные стороны от прямой AC. Возможны три варианта: луч BB1 проходит в середине угла ABC (рис. 247), луч BB1 совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 248), луч BB1 проходит вне угла ABC (рис. 249). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно). Поскольку по условию AB =A1B1 и BC = B1C1, то треугольники ABB1 и CBB1 — равнобедренные с основанием BB1. Тогда ∠ ABB1 = ∠AB1B и ∠ CBB1 = ∠ CB1B. Поэтому ∠ ABC = ∠ AB1C.

Следовательно, AB = A1B1, BC = B1C1, ∠ ABC = ∠ A1B1C1. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1 по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 246                                                                          Рис. 247

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 248                                                                          Рис. 249

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 250

Задача №11

На рисунке 250 AC = AD и BC = BD. Докажите, что CO = OD.

Доказательство. 1) У треугольников ABC и ABD сторона AB — общая и AC = AD, BC = BD. Поэтому эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

2) Тогда ∠ CAB = ∠ DAB, AB — биссектриса угла CAD.

3) Поэтому AO — биссектриса равнобедренного треугольника ACD, проведённая к основанию. Эта биссектриса является также медианой. Следовательно, CO = OD, что и требовалось доказать.

Сумма углов треугольника

Докажем одну из важнейших теорем геометрии.

Теорема (о сумме углов треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 265.

 Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и докажем, что ∠ A  + ∠ B + ∠ C = 180°.

1) Проведём через вершину A прямую MN, параллельную BC (рис. 265). Обозначим ∠ B = ∠ 1, ∠ C = ∠ 2, ∠ BAC = ∠ 3, образовавшиеся углы ∠ MAB = ∠ 4, ∠ NAC = ∠ 5. Углы 1 и 4 — внутренние разносторонние углы при пересечении параллельных прямых BC и MN секущей AB, а углы 2 и 5 — внутренние разносторонние углы при пересечении этих же прямых секущей AC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 4 и ∠ 2 = ∠ 5.

2) Углы 3, 4 и 5 в сумме равны развёрнутому:

∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 = 180°.

Тогда, учитывая, что ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 5, имеем

∠ 3 + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°, или

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, что и требовалось доказать.

Следствие. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые; треугольник не может иметь больше одного прямого или тупого угла.

Доказательство. Допустим, что у треугольника только один острый угол. Тогда сумма двух других углов (не острых) не меньше 180°. Это противоречит доказанной теореме. Наше предположение неверно. Следовательно, у каждого треугольника по крайней мере два угла острые, а потому треугольник не может иметь больше одного прямого или тупого угла.

Учитывая это следствие, можно  сказать, что остроугольный  треугольник имеет три острых угла; прямоугольный  треугольник имеет один прямой и два острых угла; тупоугольный треугольник имеет один тупой и два острых угла.

Задача №12

Пусть биссектрисы углов B и C пересеклись в точке I.

Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. ∠ ICB =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; ∠ IBC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 266). Тогда ∠ ВIС = 180° – (∠ ICB + ∠ IBC) = 180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° –Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° –Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180° – 90° +Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 90° +Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (использовали то, что сумма углов каждого из треугольников BCI и ABC  равна 180°), что и требовалось доказать.

Задача №13

Пусть высоты BH2 и CH3 остроугольного треугольника ABC пересеклись в точке H. ∠ A = α (рис. 267). Найти ∠ BHC.

Решение. Рассмотрим треугольник H2BC. ∠ H2BC = 180° – (90° + ∠ АCB) = 90° – ∠ ACB. В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач H3CB: ∠ H3CB = 180° – (90° + ∠ ABC) = 90° – ∠ ABC. Тогда в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачHCB: ∠ BHC = 180° – (∠ HBC + ∠ HCB) = 180° – (90° – ∠ ACB + +90° – ∠ ABC) = ∠ ACB + ∠ ABC = 180° – ∠ A = 180° – α.

Значит, ∠ BHC = 180° – α.

Ответ. 180° – α

Задача №14

Медиана CN треугольника ABC равна половине стороны AB. Доказать, что треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C.

Доказательство (рис. 268). Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и N — середина отрезка AB, то CN = AN = BN.Следовательно, треугольники ANC и CNB — равнобедренные. Поэтому ∠ A = ∠ AСN; ∠ B = ∠ BСN. Таким образом,∠ C = ∠ A + ∠ B. Но ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°. Поэтому ∠ A + ∠ B = = 180° – ∠ C. Значит, ∠ C = 180° – ∠ C. Отсюда ∠ C = 90°. Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C, что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 266                                  Рис. 267                                                Рис. 268

Внешний угол треугольника и его свойства

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 276 угол BAK — внешний угол треугольника ABC.

Чтобы не путать угол треугольника с внешним углом, его иногда называют внутренним углом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 276

Теорема 1 (свойство внешнего угла треугольника). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть ∠ BAK — внешний угол треугольника ABC (рис. 276). Учитывая свойство смежных углов , получаем: ∠ BAK = 180° – ∠ BAC.

С другой стороны, учитывая теорему о сумме углов треугольника, ∠ B + ∠ C = 180° – ∠ BAC. Поэтому ∠ BAK = ∠ B +  ∠ C, что и требовалось доказать.

Следствие. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Задача №15

Один из внешних углов треугольника равен 120°. Найти внутренние углы, не смежные с ним, если они относятся как 3:5.

Решение. Пусть ∠ BAK — внешний угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC (рис. 276), ∠ BAK = 120°. Поскольку ∠B : ∠C = 3 : 5, то можем обозначить ∠ B = 3x, ∠ C = 5x. Используя теорему о внешнем угле треугольника, имеем: 3x + 5x = 120°, отсюда x = 15°. Тогда ∠ B = 3•15° = 45°, ∠ C = 5•15° = 75°.

Рассмотрим ещё одно важное свойство треугольника.

Теорема 2 (о соотношении между сторонами и углами треугольника). В треугольнике: 1) напротив большей стороны лежит больший угол; 2) напротив большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. 1) Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC (рис. 277). Докажем, что ∠ С > ∠ B. Отложим на стороне AB отрезок AK, который равен отрезку AC (рис. 278). Поскольку AB > AC, то точка K принадлежит отрезку AB. Поэтому угол ACK является частью угла ACB и ∠ ACK < ∠ ACB.

Треугольник AKC — равнобедренный, поэтому ∠ AKC = ∠ ACK. Но угол AKC — внешний угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач KBC. Поэтому ∠ AKC > ∠ B. Значит, и ∠ ACK > ∠ B, а поэтому ∠ ACB > ∠ B.

2) Пусть в треугольнике ABCС > ∠ B (рис. 277). Докажем, что AB > AC. Допустим противоположное, то есть что AB = AC или AB < AC. Если AB = AC, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — равнобедренный, и тогда ∠ C = ∠ B. Это противоречит условию. Если же допустить, что AB < AC, то по первой части этой теоремы получаем, что ∠ C < ∠ B, что также противоречит условию . Наше предположение ошибочно. Следовательно, AB > AC. Теорема доказана.

Прямоугольные треугольники. Свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 283

Напомним, что треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой. На рисунке 283 — прямоугольный треугольник ABC, у него ∠ C = 90°. Сторону прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называют гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников.

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно, сумма углов треугольника равна  180°, прямой угол составляет 90°. Поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна: 180° – 90° = 90°.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.

Это свойство является следствием теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника, поскольку прямой угол больше острого.

3. Катет прямоугольного треугольника , который лежит напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC  с прямым углом C и углом A, равным 30° (рис. 284). Приложим к треугольнику ABC  треугольник ACD, равный ему. Тогда ∠ B = ∠ D = 90° – 30° = 60° и ∠ DAB = 30° + 30° = 60°. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABD — равносторонний. Поэтому DB AB. Поскольку BC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BD, то BC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAB, что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 284                                                                     Рис. 285

4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, который лежит напротив этого катета, равен 30°.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет BC равен половине гипотенузы AB (рис. 285). Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ACD. Поскольку BC =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AB, то BD = AB = AD. Имеем равносторонний треугольник ABD, поэтому ∠ B = 60°. В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABCBAC = 90° – 60° = 30°, что и требовалось доказать.

Рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников.

Из первого признака равенства треугольников вытекает:

  • если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Из второго признака равенства треугольников вытекает:

  • если катет и прилегающий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилегающему к нему углу  другого, то такие треугольники равны.

Если у двух прямоугольных треугольников есть одна пара равных острых углов, то другая пара острых углов — также равные углы (это вытекает из свойства 1 прямоугольных треугольников ). Поэтому имеем ещё два признака равенства прямоугольных треугольников:

  • если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны;
  • если катет и противоположный угол одного прямоугольного треугольника  соответственно равны катету и противоположному углу другого, то такие треугольники равны .

Теорема (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 — прямые и AC = A1C1, AB = A1B1 (рис. 286). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1.

Приложим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, а вершина C — с вершиной C1 (рис. 286, слева). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABB1 — равнобедренный, поскольку AB = AB1. AC — высота этого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Отсюда AC является также медианой, поэтому BC = CB1. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачA1B1Cпо третьему признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь ещё одно свойство прямоугольного треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

Доказательство. Из точки B проведём перпендикуляр BK к стороне BC так, что BK = CA (рис. 287). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKCB — прямоугольные, к тому же BC — общий катет этих треугольников и AC = BK (по построению). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачKCB (по двум катетам), тогда ∠ АВС = ∠ KСВ. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачNBC — равнобедренный и BN = CN. Аналогично можно доказать, что CN = AN. Таким образом, BN  = CN = AN. Поэтому CN — медиана и CNГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , что и требовалось доказать.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 286                                                                                             Рис. 287

Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника  меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC  и докажем, что сторона треугольника, например AB, меньше суммы двух других сторон AC и CB.

1) Отложим на продолжении на стороны AC отрезок CK, равный стороне BC (рис. 300). В равнобедренном треугольнике BCKCBK = ∠ CKB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 300

2) ∠ ABK > ∠ CBK, поэтому ∠ ABK > ∠ AKB. Поскольку в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, то AB < AK. Но AK = AC + CK = AC + BC. Значит,

AB < AC + BC.

Аналогично можно доказать, что AC < AB + BC, BC < AB + AC. Теорема доказана.

Следствие. Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Доказательство. Отняв от обеих частей неравенства  AB < AC + BC, например AC, получим ABAC < BC. Значит, BC > ABAC. Аналогично имеем: AC > BCAB, AB > BC AC.

Поскольку, например, BC > ABAC  и BC > ACAB, то, обобщая, получаем BC > | ABAC |.

Из теоремы о неравенстве треугольника и следствия из неё получаем важное соотношение между сторонами треугольника:

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности.

Например, | ABAC | < BC < AB + AC.

Задача №16

Две стороны треугольника равны 0,7 см и 1,7 см. Какова длина третьей стороны, если она измеряется целым числом сантиметров?

Решение. Пусть неизвестная сторона треугольника равна a см. Тогда 1,7 – 0,7 < a < 1,7 + 0,7 или 1 < a < 2,4. Поскольку a — целое число, то a = 2 (см).

Ответ. 2 см.

Задача №17

Периметр равнобедренного треугольника 60 см, а две его стороны относятся, как 2:5. Найти стороны треугольника .

Решение. Обозначим стороны треугольника, отношение которых 2:5, 2x см и 5x см. Поскольку неизвестно, какая  из них — основание, а какая — боковая сторона, то рассмотрим два случая.

1. Основание равно 5x см, а боковая сторона — 2x см. Тогда вторая боковая сторона также равна 2о см. Но в этом случае не выполняется неравенство треугольника. Действительно, 2x + 2x < 5x. Этот вариант невозможен.

2. Основание равно 2x см, а боковая сторона — 5x см. Тогда другая боковая сторона также равна 5x см. В этом случае неравенство треугольника выполняется.

Значит, по условию задачи имеем уравнение: 2x + 5x + 5x = 60, x = 5 (см). Основание треугольника равна 2•5 = 10 (см), а боковая сторона: 5•5 = 25 (см).

Ответ. 10 см; 25 см; 25 см.

Окружность и круг. Геометрические построения

Окружностью называют геометрическую фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, который соединяет центр с любой точкой окружности, называют радиусом. На рисунке 320 изображена окружность с центром в точке О и радиусом OK. Из определения окружности вытекает, что все радиусы имеют одну и ту же длину. Радиус окружности часто обозначают буквой r.

Отрезок, который соединяет две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 321 отрезок MN — хорда окружности, а отрезок AB — её диаметр. Поскольку диаметр окружности состоит из двух радиусов (например, диаметр AB состоит из радиусов OA и OB), то его длина вдвое больше длины радиуса. Кроме того, центр окружности является серединой любого диаметра.

Окружность на бумаге изображают с помощью циркуля (рис. 322). На местности для построения окружности можно использовать верёвку (рис. 323).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 320                                     Рис. 321                                       Рис. 322

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 323                                                                                Рис. 324

Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью, называют кругом (рис. 324). Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, которая является границей данного круга.

Рассмотрим некоторые свойства элементов окружности.

Теорема 1 (о сравнении диаметра и хорды). Диаметр — наибольшая из хорд.

Доказательство. Пусть AB — произвольный диаметр окружности, радиус которой равен r, а MN — хорда окружности, отличная от диаметра (рис. 325). Докажем, что AB > MN.

AB = 2r. В треугольнике MON, исходя из неравенства треугольника, имеем  MN < MO + ON. Значит, MN < 2r. Поэтому AB > MN. Теорема доказана.

Теорема 2 (об угле, под которым виден диаметр из точки окружности). Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом.

Доказательство. Докажем, что ∠ APB = 90°.

1) В треугольнике AOP AO = PO (как радиусы). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач AOP — равнобедренный и ∠OAP = ∠OPA.

2) Аналогично ∠OPB = ∠OBP.

3) Значит, ∠ APB = ∠ A + ∠ B. Но в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач APB: ∠ APB +  ∠ A + ∠ B = 180°. Поэтому ∠ APB + ∠APB = 180°; 2•∠ APB  = 180°; ∠ APB = 90°. Теорема доказана.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 325                                                                                             Рис. 326

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 327                                                                          Рис. 328

Теорема 3 (свойство диаметра окружности, перпендикулярного хорде). Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Доказательство. Пусть диаметр AB окружности перпендикулярен хорде MN, которая отлична от диаметра (рис. 327). Докажем, что ML = LN, где L — точка пересечения AB и MN.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач MON — равнобедренный, т. к. MO = ON (как радиусы). OL — высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Поэтому OL также является медианой. Значит, ML = LN.

Если MN — диаметр окружности, то утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.

Теорема 4 (свойство диаметра окружности, проходящего через середину хорды). Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является другим диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Доказательство. Пусть диаметр AB проходит через точку L — середину хорды MN, которая не является другим  диаметром окружности (рис. 328). Докажем, что ABMN.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMON — равнобедренный, т. к. MO = (как радиус). OL— медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Поэтому OL также является высотой. Следовательно, OL MN, а поэтому и AB MN. Теорема доказана.

Касательная к окружности, её свойства

Прямая и окружность могут иметь две общие точки (рис. 335), одну общую точку (рис. 336) или не иметь общих точек (рис. 337).

Прямую, которая имеет две общие точки с окружностью, называют секущей. На рисунке 335 OK — расстояние от центра окружности — точки О — до секущей. В прямоугольном треугольнике OKA сторона OK является катетом, а AO — гипотенузой. Поэтому OK < OA. Следовательно, расстояние от центра окружности до секущей меньше радиуса.

Касательной к окружности  называют прямую, которая имеет одну общую точку с окружностью. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 336 прямая а — касательная к окружности, точка K — точка касания.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 335                                            Рис. 336                                              Рис. 337

Если прямая и окружность не имеют общих точек, то расстояние OK больше радиуса окружности OA (рис. 337). Расстояние от центра окружности до прямой, которая не пересекает эту окружность, больше радиуса.

Теорема 1 (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство. Пусть прямая a — касательная к окружности с центром в точке О, точка K — точка касания (рис. 338). Докажем, что прямая а перпендикулярна OK. Допустим, что прямая а не перпендикулярна OK. Проведём из точки О перпендикуляр OM к прямой a. Поскольку у прямой и окружности только одна общая точка K, то точка M, которая принадлежит прямой, лежит за окружностью. Поэтому длина отрезка OM больше длины отрезка OA, который является радиусом окружности. Поскольку OA = OK (как радиусы), то OM > OK. Но, по предположению, OM — катет прямоугольного треугольника KOM, а OK — его гипотенуза. Пришли к противоречию со свойством прямоугольного треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 338                                                                            Рис. 339

Наше предположение ошибочно. Значит, aOK. Теорема доказана.

Следствие. Расстояние от центра окружности до касательной к этой окружности равно радиусу окружности. 

Теорема 2 (обратная теорема о свойстве касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, который лежит на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. Пусть OK — радиус окружности с центром в точке О. Прямая а проходит через точку K так, что aOK (рис. 339). Докажем, что OK — касательная к окружности. Допустим, что прямая а имеет с окружностью ещё одну общую точку — точку M. Тогда OK = OM (как радиусы) и треугольник OMK — равнобедренный. ∠ OMK = ∠ OKM = 90°. Поэтому ∠ OMK + ∠ OKM = 180°, что противоречит  теореме о сумме углов треугольника.

Наше предположение ложно. Прямая а не имеет других общих точек с окружностью, кроме точки K. Поэтому прямая а — касательная к окружности. Теорема доказана.

Задача №18

Через данную точку P окружности с центром О провести касательную к этой окружности (рис. 340).

Решение. Проведём радиус OP, а потом построим прямую m, перпендикулярную радиусу (например, с помощью угольника). По теореме 2 прямая m является касательной к окружности.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром в точке О, которые проходят через точку А и касаются окружности в точках B и C (рис. 341). Отрезки AB и AC называют отрезками касательных, проведенными из точки А.

Теорема 3 (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки). Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 340                                                                              Рис. 341

Доказательство. На рисунке 341 треугольники OBA и OCA — прямоугольные, OB = OC (как радиусы), OA — общая сторона этих треугольников. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач OBA = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач OCA (по катету и гипотенузе). Поэтому AB = AC. Теорема доказана.

Окружность, вписанная в треугольник

Рассмотрим важное свойство биссектрисы угла.

Теорема 1 (свойство биссектрисы угла). Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Доказательство. Пусть AK — биссектриса угла A, KB и KC — перпендикуляры, проведённые из точки K к стороне угла (рис. 348). Докажем, что KB = KC.

Поскольку ∠ BAK = ∠ KAC и AK — общая сторона прямоугольных треугольников ABK и ACK, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABK = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACK (по гипотенузе и острому углу). Поэтому KB = KC. Теорема доказана.

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

При этом треугольник называется описанным вокруг окружности.

Теорема 2 (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 348                                                                              Рис. 349

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть биссектрисы углов A и B этого треугольника пересекаются в точке I (рис. 349). Докажем, что эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

1) Поскольку точка I принадлежит биссектрисе угла A, то она равноудалена от сторон AB и AC: IM = IK, где M и K — основы перпендикуляров, опущенных из точки I на стороны AC и AB соответственно.

2) Аналогично, IK = IL, где L — основа перпендикуляра, опущенного из точки I на сторону BC.

3) Значит, IM = IK = IL. Поэтому окружность с центром в точке I и радиусом IM проходит через точки M, K и L. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках M, K и L, поскольку они перпендикулярны радиусам OM, OK иOL.

4) Поэму окружность с центром в точке I  и радиусом IM является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана.

Следствие 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. По доказательству предыдущей теоремы точка І — точка пересечения биссектрис углов А и В треугольника ABC. Докажем, что биссектриса угла С также проходит через точку І. Рассмотрим прямоугольные треугольники CMI и CLI (рис. 349). Поскольку IM = IL, а CI — общая сторона этих треугольников, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCMIГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCLI (по катету и гипотенузе). Поэтому ∠ MCI = ∠ LCI, CI — биссектриса угла C треугольника ABC. Значит, биссектрисы всех трёх углов треугольника проходят через точку I, поэтому все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I. Следствие доказано.

Напомним, что точку пересечения биссектрис треугольника называют инцентром

Следствие 2. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Задача №19

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке K,  стороны BC в точке L, а стороны CA в точке M. Доказать, что:

AK = AM = p BC; BK = BL = pAC; CM = CL = p AB, где — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач полупериметр треугольника ABC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 350

Доказательство. Используя свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, имеем AM = AK, BK = BL , CL CM (рис. 350). Обозначим AM =AK = x, BK = BL = y, CL = CM = z.

Тогда периметр треугольника P = 2x + 2y + 2z = 2 (x + y + z), поэтому p = x + y + z. Следовательно, x = p – (y+z); x = p – BC. Получаем AM = AK= p BC.

Аналогично доказывают, что BK = BL = p АC, CM = CL = p AB.

Окружность, описанная вокруг треугольника

Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

На рисунке 355 прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 355

Теорема 1 (свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AB, K — середина этого отрезка (рис. 355). Рассмотрим произвольную точку P серединного перпендикуляра и докажем, что PA = PB.

Если точка P совпадает с K, то равенство PA = PB очевидно. Если точка P отлична от K, то прямоугольные треугольники PKA и PKB равны по двум катетам. Поэтому PA = PB. Теорема доказана.

Окружность называют описанной вокруг треугольника, если она проходит через все вершины треугольника.

При этом треугольник называют вписанным в окружность.

Теорема 2 (об окружности, описанной вокруг треугольника). Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC этого треугольника пересеклись в точке О (рис. 356). Докажем, что эта точка является центром описанной вокруг треугольника окружности.

1) Поскольку точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне AB, то она равноудалена от вершин A и B: OA = OB.

2) Аналогично, OA = OC, поскольку точка O принадлежит серединному перпендикуляру к стороне .

3) OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром в точке O и радиусом OA проходит через вершины A, B и C  треугольника ABC. Значит, эта окружность описана вокруг треугольника  ABC. Теорема доказана.

Следствие 1. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Опустим из точки O перпендикуляр OK на сторону BC (рис. 356). Этот перпендикуляр является высотой равнобедренного треугольника OBC, которая проведена к основанию BC. Поэтому он также является медианой. OK принадлежит серединному перпендикуляру к стороне BC. Значит, все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке O. Следствие доказано.

Следствие 2. Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Задача №20

Доказать, что центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ABC — прямоугольный (∠ C = 90°), CO — его медиана (рис. 357). Поскольку медиана  прямоугольного треугольника , которая проведена к гипотенузе, равна половине гипотенузы , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но AO = OB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 356                                                                                            Рис. 357

Поэтому AO = BO = CO. Значит, точка O  равноудалена от вершин треугольника ABC. Поэтому окружность, центр которой точка O, а радиус OA, проходит через все вершины треугольника ABC. Значит, окружность, центр которой — середина гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы, является описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC.

Взаимное расположение окружностей

Рассмотрим взаимное расположение двух окружностей, центры которых точки O1 и O2, а радиусы соответственно r1 и r2.

І. Две окружности не пересекаются, то есть не имеют общих точек (рис. 366 и 367). Возможны два варианта расположения:

1. (Рис. 366). Расстояние между центрами окружностей O1O2 = O1A1 + A1A2 + A2O2 = r1 + A1A2 + r2 > r1 + r2. Следовательно, O1O2 > r1 + r2;

2. (Рис. 367). O1A1 = O1O2 + O2A2 + A2A1;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 366

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 367                                                                               Рис. 368

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 369                                                                                            Рис. 370

r1 = O1O2 + r2 + A2A1. Поэтому O1O2 = (r1 r2) – A2A1 < r1r2. Значит, O1O2 < r1 r2, где r1 > r2.

Две окружности называют концентрическими, если они имеют общий центр (рис. 368). В этом случае O1O2 = 0.

ІІ. Две окружности имеют одну общую точку (рис. 369 и 370). В этом случае говорят, что окружности касаются, а общую точку называют точкой касания окружностей. Возможны два варианта расположения:

1. (Рис. 369). Касание двух окружностей называют внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей точки. В этом случае:

1) O1O2 = O1A + AO2 = r1 + r2;

2) в точке А существует общая касательная l  к двум окружностям;

3) lO1O2.

2. (Рис. 370). Касание двух окружностей называют внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей точки. В этом случае:

1) O1O2 = O1AO2A = r1r2, где r1 > r2;

2) в точке А существует общая касательная l  к двум окружностям;

3) lO1O2.

ІІІ. Две окружности имеют две общие точки (рис. 371). В этом случае говорят, что окружности пересекаются. Применяя в треугольнике O1B1O2 неравенство треугольника и следствие из него, получим:

r1r2 < O1O2 < r1 + r2, где r1 r2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 371

Задача №21

Расстояние между центрами двух окружностей O1O2 = 10 см. Определить взаимное расположение этих окружностей , если их радиусы равны:

1) r1 = 6 см, r2 = 4 см;

2) r1 = 8 см, r2 = 4 см;

3) r1 = 5 см, r2 = 3 см.

Решение: 1) 10 = 6 + 4, O1O2 = r1 + r2; внешнее касание окружностей;

2) 8 – 4 < 10 < 8 + 4, r1r2 < O1O2 < r1 + r2; окружности пересекаются;

3 ) 10 > 5 + 3 , O1O2 > r1 + r2; окружности не пересекаются.

Задачи на построение и их решение

Во время изучения курса геометрии мы не единожды выполняли различные геометрические построения: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, строили углы и т. д. При этом использовали линейку с делениями, транспортир, чертёжный треугольник, циркуль. Теперь рассмотрим построения фигур, которые можно осуществить с помощью «классических» инструментов: линейки без делений и циркуля. Эти инструменты  использовали ещё в Древней Греции.

Что можно делать с помощью двух упомянутых инструментов? Линейка даёт возможность провести произвольную прямую, построить прямую, проходящую через заданную точку, и прямую, проходящую через две заданные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, окружность с центром в данной точке и радиусом, который равен данному отрезку. В некоторых случаях вместо окружности нам нужна будет некая её часть (дуга окружности). Заметим, что никаких других построений в задачах на построение выполнять не разрешается. Например, с помощью линейки (даже с делениями) не разрешается откладывать отрезок заданной длины, нельзя использовать угольник для построения перпендикулярных прямых.

Решить задачу на построение означает указать последовательность простейших построений, после выполнения которых получим заданную фигуру; затем — доказать, что построенная фигура имеет свойства, предусмотренные условием, то есть является искомой фигурой.

Рассмотрим простейшие задачи на построение.

Построение отрезка, равного данному

Задача №22

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Решение. Изобразим фигуры, заданные условием задачи: отрезок AB  и луч с началом в точке K (рис. 376). Построим циркулем окружность с центром в точке K и радиусом AB (рис. 377). Эта окружность пересечёт луч в некоторой точке D. Очевидно, что KDAB. Поэтому KD — искомый отрезок.

Заметим, что вместо окружности, можно было провести некоторую её часть (дугу), которая наверняка бы пересекала луч (рис. 378).

Построение треугольника по трём сторонам.

Задача №23

Построить треугольник с заданными сторонами a, b и c.

Решение. Пусть заданы три отрезка a, b и c (рис. 379).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 376                                 Рис. 377                                         Рис. 378

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 379                                                                               Рис. 380

1) С помощью линейки проведём произвольную прямую р и обозначим на ней произвольную точку B ((1) на рис. 380).

2)  С помощью циркуля отложим на прямой p отрезок BC = a (дуга (2) на рис. 380).

3) Раствором циркуля, равным b, опишем дугу (3) окружности с центром в точке C (рис. 380).

4) Раствором циркуля, равным c, опишем дугу (4) окружности с центром в точке  B (рис. 380).

5) Точка A — точка пересечения дуг (3) и (4). Треугольник ABC — искомый.

Доказательство этого факта является очевидным, поскольку стороны треугольника ABC равны заданным отрезкам a, b и c: BC = a, AC = b, AB = c.

Примечание. Если бы построенные дуги (3) и (4) не пересеклись, то треугольник построить было бы невозможно. Из неравенства треугольника: каждая из сторон должна быть меньше суммы двух других.

Построение угла, равного данному

Задача №24

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Пусть заданы угол A и луч с началом в точке O (рис. 385). Нужно построить угол, равный углу A, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом.

1) Возьмём на сторонах угла A произвольные точки B и C (рис. 385).

2) Построим треугольник OKM, равный треугольнику ABC, так, чтобы AB = OK, AC = OM, BC = KM (рис. 386).

3) Тогда ∠ KOM = ∠ BAC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 385                                                                                             Рис. 386

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 387

4) Значим, ∠ KOM — искомый. Доказательство этого вытекает из построения, т. к. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачOKM = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABC, поэтому ∠ KOM = ∠ A.

Построение биссектрисы данного угла

Задача №25

Построить биссектрису данного угла.

Решение. Пусть задан угол А, необходимо построить его биссектрису (рис. 387).

1) Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке A (дуга (1) на рис. 387), которая пересекает стороны угла в точках B и C.

2) Из точек  и C опишем дуги с такими же радиусами (дуги (2) и (3)) до их пересечения в середине угла (точка D).

3) Луч AD — искомая биссектриса угла A.

Доказательство. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACD (по трём сторонам), поэтому ∠ BAD = ∠ CAD, значит AD — биссектриса A.

Деление данного отрезка пополам

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 390

Задача №26

Построить середину данного отрезка.

Решение. Пусть AB — заданный отрезок, необходимо построить его середину (рис. 390).

1) Из точки A раствором циркуля, большим, чем половина отрезка AB, опишем дугу (1) (рис. 390).

2) Из точки B таким же раствором циркуля опишем дугу (2) до пересечения с дугой (1) в точках M и N.

3) MN пересекает AB в точке P. P —искомая точка.

Доказательство. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAMN = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачBMN (по трём сторонам). Поэтому ∠ AMP = ∠ BMP. MP — биссектриса равнобедренного треугольника AMB с основанием AB, поэтому она является также медианой. Значит, P — середина AB.

Построение прямой, перпендикулярной данной прямой

Задача №27

Через данную точку М провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 391                                                                                         Рис. 392

Решение. Возможны два варианта:

1. Точка M принадлежит прямой а:

1) на данной прямой a произвольным раствором циркуля отложим от точки M два равных отрезка MK = ML (дуги (1) на рис. 391);

2) из центров K и L раствором циркуля, равным KL, опишем дуги (2) и (3) до их пересечения в точке B;

3) прямая BM перпендикулярна прямой a.

Доказательство. BM — медиана равностороннего треугольника BKL, поэтому она является также высотой. Значит, BMa.

2. Точка M не принадлежит прямой а:

1) из точки M произвольным радиусом (большим, чем расстояние от точки M к прямой a) проведём дугу (1), которая пересекает прямую a в точках B и C (рис. 392);

2) из центров B и C этим же раствором циркуля опишем дуги (2) и (3) к их пересечению в точке N (отличной от точки M);

3) прямая MN перпендикулярна прямой a.

Доказательство. Пусть точка F — точка пересечения прямых BC и MN. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачBMN = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачCMN (по трём сторонам). Поэтому ∠ BMN = ∠ CMN. MF — биссектриса равнобедренного треугольника BМC, проведенная к его основанию. Поэтому MF является также высотой. Значит, MFBC, поэтому MNa.

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Одним из методов решения более сложных задач на построение является метод геометрических мест.

Геометрическим местом точек называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, которые имеют определённую особенность. Рассмотрим несколько геометрических мест точек плоскости.

1. Геометрическое место точек, равноудалённых од данной точки на заданное расстояние, — окружность, радиус которой равен заданному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки не превышает заданного расстояния,— круг, радиус которого равен заданному расстоянию.

3. Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — биссектриса этого угла.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 395                                                                                     Рис. 396

Доказательство. 1) Пусть точка K равноудалена от сторон AB  и AC  угла A (рис. 395). То есть перпендикуляры KB и KC, опущенные из этой точки на стороны угла, — равны. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABK = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачACK (по катету и гипотенузе).

Поэтому ∠ BAK = ∠ CAK. Значит, AK — биссектриса угла.

2) Пусть точка K принадлежит биссектрисе угла. По свойству биссектрисы угла: KB = KC.

Следовательно, доказали, что геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.

4. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Доказательство. 1) Пусть точка P  равноудалена от концов отрезка AB, то есть PA = PB (рис. 396). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачABP — равнобедренный с основанием AB, поэтому медиана этого треугольника PK является его высотой. Значит, AK = KB и PKAB. Поэтому PK — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

2) Пусть точка P  принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра: PA = PB.

Следовательно, доказали, что геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

5. Геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на заданное расстояние, — две прямые, параллельные данной прямой, каждая точка которых находится на заданном расстоянии от прямой.

Доказательство. 1) Докажем, что когда пряма b параллельна прямой a, то две произвольные точки прямой b равноудалены от прямой a.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 397                                                                                 Рис. 398

Пусть M1 и N1 — произвольные точки прямой b. Опустим перпендикуляры M1M и N1N на прямую a (рис. 397). ∠M1MN = ∠N1NM = 90°. Поскольку a || b, то ∠MM1N1 = ∠NN1M1 = 90°. Проведём секущую MN1. Тогда ∠ N1MN = ∠ M1N1M (как внутренние разносторонние). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMM1N1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачN1NM (по гипотенузе и острому углу), отсюда M1M = N1N, то есть точки M1 и N1 прямой b равноудалены от прямой a.

2) Докажем, что когда две произвольные точки M1 и N1 прямой b лежат на одинаковом расстоянии от прямой a и по одну сторону от нее, то прямая b параллельна прямой a (рис. 398).

Пусть M1M и N1N — перпендикуляры к прямой a. По условию M1M = N1N.

Поскольку ∠ M1MN = ∠ N1NK, то MM|| NN1. Поэтому ∠MM1N  = ∠N1NM(внутренние разносторонние углы). Значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачMM1N = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачN1NM1 (по І признаку). Поэтому ∠M1N1N = ∠M1MN = 90°. Но углы M1N1N и N1NK — внутренние разносторонние для прямых a и b. Поэтому a || b.

Таким образом, геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на заданное расстояние d, являются две прямые, параллельные данной, каждая точка которых находится на заданном расстоянии от прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 399

На рисунке 399: b1 || a, b2 || a, M1M = M2M = d. Расстояние d также называют расстоянием между параллельными прямыми (например, b1 и a).

Суть метода геометрических мест в задачах на построение состоит в следующем. Пусть необходимо построить точку A, которая удовлетворяет двум условиям. Строим геометрическое место точек, которое удовлетворяет первому условию — фигура F1, и геометрическое место точек, которое удовлетворяет второму условию — фигура F2. Искомая точка A принадлежит как F1, так и F2, а потому является точкой их пересечения.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 400                                                                                                Рис. 401

Задача №28

В данный угол вписать окружность данного радиуса.

Решение. Пусть дан угол A (рис. 400), в который нужно вписать окружность с радиусом r (то есть такую окружность с радиусом r, которая касается сторон угла).

Сначала найдём центр этой окружности— точку O. Эта точка удовлетворяет двум условиям: 1) принадлежит биссектрисе угла (т. к. равноудалена от сторон угла); 2) находится на расстоянии r, например от стороны угла AC.

Отсюда построение:

1) строим биссектрису угла A — луч AK (рис. 401);

2) строим прямую, перпендикулярную прямой AC, которая проходит через некоторую точку M, что лежит в середине угла;

3) обозначим на построенной прямой точку P, которая находится на расстоянии r от прямой AC;

4) проводим через P прямую PT, перпендикулярную прямой PN; тогда прямые PT и AC — параллельны, каждая точка прямой PT находится на расстоянии r от прямой AC;

5) прямая PT пересекает луч AK в точке O. Эта точка и есть центр окружности, вписанной в угол A, с радиусом r;

6) описываем окружность с радиусом r и центром в точке O, она касается сторон угла.

Доказательство этого вытекает из построения.

Четырехугольники

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Простая замкнутая ломаная

Ломаная:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть дано конечное число точек, например, пять (рис. 1, а). Последовательно совместим данные точки отрезками в последовательности: АВСDE
(рис. 1, б). Получили фигуру, которую называют ломаной ABCDE. На рис. 1, в) данные точки совместили в другой последовательности и получили ломаную ADСВE.
Определение. 
Ломаной называют фигуру, которая состоит из конечного числа точек — вершин и отрезков, их последовательных соединений —звеньев, и при этом никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой.

Обозначают ломаные по вершинам в последовательности их соединения. Первую и последнюю вершины называют концами ломаной. Два звена, имеющих общую вершину, называют соседними. Например, в ломаной ABCDE (рис. 1, б) АВ и ВС — соседние звенья, АВ и СD — не соседние.

Простая ломаная

В ломаной ABCDE (рис. 1, б) нет точек самопересечения: никакие два ее не соседних звена не имеют общей точки. Такую ломаную называют простой. Ломаная ADСВE (рис. 1, в) имеет точку самопересечения: два не соседних звена АD и ВЕ пересекаются. Эта ломаная не является простой.

Определение.

Простой ломаной называют ломаную, у которой  не соседние звенья  не имеют общих точек.

Замкнутая ломаная:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если соединить отрезком АD  концы ломаной ABCD (рис. 2, а), то получим новую ломаную с теми же вершинами и добавленным звеном АD (рис. 2, б). Концы в новой ломаной совпадают. Естественно, такую ломаную называют замкнутой.

Определение.

Замкнутой ломаной называют ломаную, у которой совпадают концы.

Обозначая замкнутую ломаную, каждую вершину записывают один раз. В
замкнутой ломаной звеньев столько, сколько вершин. Например, закрытая ломаная MOPKL состоит из пяти вершин: M, O, P, K и L и пяти звеньев: MO, ОР,
РK, KL
и LM.

Четырехугольник и его элементы

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 3, а) - в) изображены фигуры, каждая из которых состоит из четырех
отрезков, образующих простую замкнутую ломаную, и части плоскости, ограниченной этой ломаной. Такие фигуры называют четырехугольниками.

Определение.

Четырехугольником называют фигуру, которая состоит из простой замкнутой ломаной, образованной четырьмя звеньями, и частями площади, которую ограничивает ломаная.

Вершины и стороны

Звенья ломаной, которые образуют четырехугольник, называют сторонами
четырехугольника
, а их концы — его вершинами. Из определения простой замкнутой ломаной следует, что никакие три вершины четырехугольника не лежат на одной прямой. Часть плоскости, ограниченную сторонами четырехугольника, называют внутренней областью четырехугольника. Обозначают четырехугольник по вершинам, как и соответствующую ломаную. Например, на рисунке 3 а) изображен четырехугольник ABCD.
Две вершины четырехугольника, которые являются концами одной его стороны, называют соседними, а вершины, не являющиеся концами одной стороны, — противоположными.

Стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, называют соседними, а
стороны, не имеющие общей вершины, — противоположными. У каждого четырехугольника две пары противоположных вершин и две пары противоположных сторон.

На рис. 3 а) изображен четырехугольник ABCD. Точки A, B, C и D — его вершины, отрезки АВ, ВС, СD и — стороны. Внутренняя область закрашена. A и C, B и D — пары противоположных вершин; АВ и СD, АD и ВС — пары противоположных сторон. В любом четырехугольнике каждая сторона меньше суммы трех других сторон (см. Примеры решения задач на с. 15).
Периметром четырехугольника называют сумму длин всех его сторон.
Обозначают буквой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Диагонали и их обозначение

Диагональю четырехугольника называют отрезок, который соединяет его противоположные вершины.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач


В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD, а в четырехугольнике MOPK
диагонали MP и OK (рис. 4).

Углы

Пусть дан четырехугольник ABCD (рис. 5, а). При вершине А построим угол, сторонами которого являются лучи АВ и АD, содержащий внутренние точки четырехугольника (рис. 5, б). Такой угол называют углом четырехугольника АВСD при вершине А. На рис. 5, в) изображен угол четырехугольника ABCD при вершине B.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
У каждого четырехугольника есть четыре угла. Углы при двух противоположных
вершинах называют противоположными, а углы при соседних вершинах — соседними или прилегающими к одной стороне.
Угол, смежный с углом четырехугольника, называют внешним углом
четырехугольника.

Выпуклые и невыпуклые четырехугольники

Четырехугольники разделяют на выпуклые и невыпуклые (вогнутые).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 6 а) - г) изображен четырехугольник ABCD. Он лежит в одной полуплоскости (с одной стороны): относительно прямой AB (рис. 6, а), прямой (рис. 6, б), прямой CD (рис. 6, в) и прямой AD (рис. 6, г). Можно сказать иначе: ни одна из прямых, содержащая стороны четырехугольника, не разделяет его на части. Такой четырехугольник называют выпуклым.

Определение

Выпуклым четырехугольником называют четырехугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Четырехугольник MOPK, изображенный на рис. 7 а) - г), относительно прямых MO и MK лежит в одной полуплоскости (рис. 7 а) - б). В отношении же прямых OP и PK четырехугольник MOPK лежит в разных полуплоскостях (рис. 7 в) - г), то есть прямые OP и PK разделяют его на две части.
Невыпуклым (вогнутым) четырехугольник называют четырехугольник, для
которого существует прямая, содержащая его сторону и в отношении которой он лежит в разных полуплоскостях.
Далее мы будем изучать только выпуклые четырехугольники.

Теорема о сумме углов четырехугольника

Теорема. Сумма углов четырехугольник равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник
(рис. 8). Докажем, что ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Проведем одну из его диагоналей, например, AC. Она разделит четырехугольник ABCD на два треугольника ABC и ADC. Углы, на которые диагональ разделяет
углы четырехугольника, обозначим как 1-4. По теореме о сумме углов треугольника: ∠1 + ∠В + ∠3 = 180° (для треугольника ABC), ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° (для
треугольника ADC). По частям добавим полученные равенства:
∠1 + ∠В + ∠3 + ∠2 + ∠D + ∠4 = 180° + 180°.
(∠1 + ∠2) + ∠B + ∠D + (∠3 + ∠4) = 360° ∠A + ∠B + ∠D + ∠C = 360°.

Задача №29

Доказать, что в любом четырехугольнике каждая сторона меньше суммы трех других сторон.

Доказательство. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник (рис. 9). Докажем, например, что AB < BC + CD + AD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, AC. Из треугольника АВС по неравенству треугольника имеем:
AB < BC + AC;                                                                                             (1)
из треугольника ACD:
AC < CD + AD.                                                                                             (2)
Если в неравенстве (1) заменить длину стороны АС большей суммой длин отрезков CD и AD (2), то AB < BC + CD + AD.

Задача №30

Найти углы четырехугольника, если они пропорциональны числам  1, 2, 3 и 4.
Решение
Обозначим углы данного четырехугольника x°, 2x°, 3x° и 4x°. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360°, то x + 2x + 3x + 4x = 360 получаем:
10x = 360; x = 36 Тогда 2x = 72; 3x = 108; 4x = 144.
Ответ: 36°; 72°; 108°; 144°.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 10) диагональ АС принадлежит ему и разделяет его на два треугольника: ABС и АСD. Аналогично диагональ BD принадлежит ему и разделяет его на два треугольника: ABD и CBD. В невыпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 11) такое свойство присуще только для одной диагонали — диагонали BD; диагональ АС не разделяет четырехугольник на два треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. В выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник (рис. 10). Каждая из диагоналей принадлежит четырехугольнику и разделяет его на два треугольника. Докажем, что диагонали AC и BD пересекаются.
Из того, что диагональ четырехугольника разделяет его на два треугольника, следует, что противоположные вершины выпуклого четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. А это значит, что отрезок AC пересекает прямую BD, а отрезок BD пересекает прямую AC. Отсюда следует, что прямые AC и BD пересекаются, а их общая точка принадлежит каждому из отрезков AC и BD. Итак, диагонали AC и BD пересекаются, что и требовалось доказать

Замечание. В невыпуклом четырехугольнике (рис. 11) один из углов больше
развернутого. Диагонали невыпуклого четырехугольника не пересекаются, одна из диагоналей принадлежит четырехугольнику и разделяет его на два треугольника.

Параллелограмм

Определение параллелограмма

На рис. 13 пара параллельных прямых a и b пересекается другой парой
параллельных прямых c и d. В результате пересечения образовался четырехугольник ABCD. Такой четырехугольник называют параллелограммом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Параллелограмм является выпуклым четырехугольником, поэтому он имеет все его свойства. В частности, каждая диагональ разделяет его на треугольники, диагонали пересекаются, сумма всех его углов равна 360°. Установим другие свойства параллелограмма.

Свойства углов и сторон параллелограмма

Из определения параллелограмма следует такое утверждение.

Следствие. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к любой его
стороне, равна 180°.

Действительно, углы, прилегающие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними при пересечении параллельных прямых секущей, и по свойству параллельных прямых их сумма равна 180°. В параллелограмме ABCD (рис. 13): ∠А + ∠B = 180°, ∠В + ∠С = 180°, ∠С + ∠D = 180° и ∠D + ∠А = 180°.

Теорема. У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм (рис. 14, а). Докажем, что AB = CD, BC = AD и ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей параллелограмма, например, AC. Она
разделяет параллелограмм на два треугольника: ΔABC и ΔCDA (рис. 14, б). Для удобства углы, на которые диагональ АС разделяет углы A и C, обозначим как 1-4.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них AC — общая сторона, ∠1 = ∠3 как внутренние разносторонние при AB || CD и секущей AC, ∠2 = ∠4 как внутренние разносторонние при || AD и секущей AC. Итак, ΔABC = ΔCDA по стороне и двум прилегающим углам (второй признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что AB = CD, BC = AD и ∠B = ∠как соответствующие элементы равных треугольников (рис. 14, в).
4. Углы A и C равны как суммы равных углов: ∠A = ∠1 + ∠2, ∠С = ∠3 + ∠4.
Теорема доказана. 

Свойство диагоналей параллелограмма

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм. Проведем его
диагонали AC и BD, которые по свойству параллелограмма пересекаются (рис. 15). Обозначим точку их пересечения через O. Докажем, что АО = ОС и BО = ОD.
1. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Рассмотрим два из них, которые содержат противоположные стороны параллелограмма, например, ΔАОD = ΔСOВ. В них AD = BC (доказанное свойство) ∠1 = ∠3 как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей AC, ∠2 = ∠4 как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей BD. Итак, ΔАОD = ΔСOВ.
2. Из равенства треугольников следует, что АО = ОС и = ОD.
Теорема доказана. 
 

Высоты параллелограмма

На рис. 16 изображен параллелограмм ABCD и параллельные прямые a и b,
которым принадлежат противоположные стороны AD и BC параллелограмма. MN, BP, ST и LO — общие перпендикуляры к прямым a и b. Все они равны и каждый из них называют высотой параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Высотой параллелограмма
называют общий перпендикуляр к прямым, содержащий противоположные стороны параллелограмма. Высотой параллелограмма называют также и длину перпендикуляра.

В основном высоты параллелограмма проводят из его вершин. В параллелограмме ABCD на рис. 17 а) проведения высоты BN и BM с вершины B, а на рис. 17, б) — высоты CK и CP из вершины C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Признаки параллелограмма

Определение параллелограмма дает основной признак–условие, по которому можно установить, является ли данный четырехугольник параллелограммом — параллельность противоположных сторон. Установим другие признаки параллелограмма.

1. Признак параллелограмма по паре противоположных сторон.
Построим параллельные прямые (рис. 19, а). Отложим на них равные отрезки: AD = BC (рис. 19, б). Проведем отрезки AB и CD (рис. 19). Получим четырехугольник ABCD, у которого две стороны параллельны и равны. Будет ли он параллелограммом? Ответ на этот вопрос дает теорема.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то он параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны, например, AB = CD и AB || CD (рис. 20). Докажем,
что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, AC. По
свойству выпуклого четырехугольника, она разделит его на два треугольника:
ABC и DCA.
2. ΔABC = ΔCDA — по двум сторонам и углу между ними (второй признак
равенства треугольников). В этих треугольниках AC — общая сторона, AB = CD
по условию, ∠BAC = ∠DCA как внутренние разносторонние при AB || CD и
секущей AC.
3. Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что ∠BCA = ∠DAC как
соответствующие углы равных треугольников

4. Поскольку углы BCA и DAC — внутренние разносторонние при прямых BC
и AD и секущей AC, то из их равенства следует параллельность прямых BC и AD.
5. Итак, четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению (AB || CD
по условию, BC || AD — доказано). 

Признак параллелограмма по равенству противоположных сторон

Построим угол A, меньше развернутого, и отложим на его сторонах отрезки АВ = a; AD = b (рис. 21, а). Опишем окружность с центром в точке В, радиус которой равен b, и окружность с центром в точке D, радиус которой равен a (рис. 2,1 б). С — точка пересечения окружностей.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединяем точку C с точками B и D (рис. 21, в). Получаем четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Будет ли четырехугольник, противоположные стороны которого равны, параллелограммом? Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, BD (рис. 22, а). Она разделяет его на два треугольника BAD и DCB,  равные по трем сторонам.
2. Для удобства обозначим углы как 1-4 , на которые диагональ BD делит углы B и D четырехугольника (рис. 22, б). Из равенства треугольников следует, что ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
3. Поскольку углы 1 и 2 — внутренние разносторонние при прямых AD и BC и
секущей BD, то из их равенства следует, что AD || BC (по признаку параллельности
прямых). Поскольку углы 3 и 4 — внутренние разносторонние при прямых AB и CD и секущей BD, то из их равенства следует, что AB || CD.
4. Итак, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны, а следовательно, по определению, он  является параллелограммом. Теорема доказана. 

Признак параллелограмма по диагоналями

Проведем прямые a и b, которые пересекаются в точке О (рис. 23, а). Отложим на прямой a равные отрезки OA и OC, а на прямой b — равные отрезки OB и OD (рис. 23, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Последовательно соединим отрезками точки A, B, C и D (рис. 23 в).
Будет образованный четырехугольник ABCD параллелограммом? Ответ на
этот вопрос дает теорема.
Теорема. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся
пополам, то он параллелограмм.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, у которого диагонали пересекаются в точке О и каждый из них точка пересечения делит пополам: ОA = ОC, OB = OD (рис. 24, а). Докажем, что ABCD — параллелограмм.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = OC, BO = OD — по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные).
2. Из равенства треугольников AOB и COD следует равенство углов BAO и DCO (рис. 24, б). Поскольку эти углы — внутренние разносторонние при прямых AB и CD и секущей AC, то прямые AB и CD — параллельны.
3. Аналогично, из равенства треугольников AOD и COB следует параллельность АD и BC (рис. 24, в).
4. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны (AB || CD и AD || BC). Итак, ABCD — параллелограмм (по определению).

Задача №31

Найти углы параллелограмма, если разность двух из них равна 120°.
Решение
Поскольку заданные углы равны, то они не могут быть противоположными.
Итак, эти углы прилегающие к одной стороне, поэтому их сумма равна 180°.
Пусть х — градусная мера меньшего угла, тогда х + 120° — градусная мера большего угла. Получаем уравнение: х + х + 120 = 180; 2х = 60; х = 30; х + 120 = 150. Итак, 30° — меньший угол; 150° — больший угол.
Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, то углы данного параллелограмма равны 30°; 150°; 30°; 150°.
Ответ: 30°; 150°; 30°; 150°.

Задача №32

Найти стороны параллелограмма, если одна из них вдвое больше другой, а периметр параллелограмма равен 42 см.
Решение
Поскольку заданные стороны равны, то они не противоположные. Таким образом, данные стороны соседние. Их сумма равна полупериметру, то есть 42 : 2 = 21 (см). Пусть х — меньшая сторона (в см), тогда 2х — большая сторона (в см).
Получаем уравнение: х + 2х = 21; 3х = 21; х = 7; 2х = 14; х = 7.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то стороны данного параллелограмма равны 7 см; 14 см; 7 см; 14 см.
Ответ: 7 см; 14 см; 7 см; 14 см

Задача №33

Доказать, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство. Пусть АВСD — параллелограмм (рис. 25), у которого
биссектриса угла А, точка М лежит на стороне АС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. ∠ВАМ = ∠DAM — по определению биссектрисы.
2. ∠AMB = ∠DAM — как внутренние разносторонние при параллельных прямых AD и ВС и секущей АМ.
3. Поскольку углы АМВ и ВАМ равны углу DAM, то они равны между собой.
4. Итак, треугольник АВМ — равнобедренный (признак по углам).

Задача №34

Доказать, что угол между высотами параллелограмма, проведенный из вершины тупого (острого) угла параллелограмма равен острому (тупому) углу параллелограмма.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда высоты проведены из вершины
тупого угла. Пусть ВМ и BK — высоты, проведенные из вершины тупого угла В
параллелограмма АВСD (рис. 26).
Обозначим острый угол параллелограмма через α, то есть ∠А = ∠C = α.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники АВМ и СВK прямоугольные (∠М = ∠K = 90°), следовательно,
АВМ = 90° – α и ∠CBK = 90° – α. Тогда ∠MBK = ∠АВС – (∠АВМ + ∠СBK) = ∠ABC – (90° – α + 90° – α) = ∠ABC – (180° – 2α). Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180°, то получаем: ∠АВС = 180° – α. Итак, ∠MBK = 180° – α – (180° – 2α) = 180° – α – 180° + 2α = α, то есть ∠MBK = ∠А, что и требовалось доказать. Случай, когда высоты проведены с вершины острого угла, доказывают аналогично.

Задача №35

Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть АBCD — четырехугольник, у которого ∠А = ∠С = α и
В = ∠D = β (рис. 27).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме о сумме углов четырехугольника имеем: α + β + α + β = 360°
2 (α + β) = 360° α + β = 180°. Итак, ∠А + ∠В = 180° и ∠А + ∠D = 180°. Углы А и В — внутренние односторонние при прямых AD и ВС и секущей АВ. Поскольку
А + ∠В = 180°, то по признаку параллельности, AD || ВС. Углы А и D — внутренние односторонние при прямых АВ и СD и секущей АD. Поскольку ∠А + ∠D = 180°, то АВ || CD. Таким образом, в четырехугольнике ABCD АВ || CD и ВС || АD. Итак, ABCD —параллелограмм.

Прямоугольник

Определение и свойства прямоугольника
На рис. 33 изображены параллелограммы, у которых один из углов прямой. По
свойствам параллелограмма все остальные его углы тоже прямые. Такие параллелограммы называют прямоугольниками.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Основное свойство прямоугольника по определению — все его углы прямые, а следовательно, равны.
По рисункам прямоугольников легко выявить характерное свойство их диагоналей: они равны.

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный прямоугольник. Докажем, что
его диагонали AC и BD — равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и DCA, гипотенузами у которых являются соответственно диагонали прямоугольника BD и CA (рис. 34). У этих треугольников катет AD — совместный, катеты AB и CD равны как противоположные стороны прямоугольника. Итак, ΔABD = ΔDCA по двум катетам.
2. Из равенства треугольников ABD и DCA следует равенство их гипотенуз BD и
CA. Итак, BD = CA.

Следствие. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена
от всех вершин.

Признак прямоугольника

Определение прямоугольника содержит основной признак–условие, по которому параллелограмм является прямоугольником: углы параллелограмма должны быть прямыми. Установим признак прямоугольника с диагоналями.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим точку O и проведем через нее прямые a и b (рис. 35, а). Отложим от точки O на этих прямых равные отрезки OA, ОВ, OC и OD (рис. 35, б). Последовательно совместим точки A, B, C и D отрезками. Очевидно, что образованный четырехугольник является прямоугольником. Докажем это.

Теорема. Если в четырехугольнике диагонали равны и точка пересечения делит их пополам, то данный четырехугольник является прямоугольным.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, в котором диагонали AC и BD равны, O — точка их пересечения и AO = OC, BO = OD (рис. 35, в).
Докажем, что ABCD — прямоугольник.
1. Из условия AO = OC и BO = OD следует, что данный четырехугольник ABCD
является параллелограммом (теорема–признак параллелограмма по диагоналям)

2. Докажем, что углы A и D параллелограмма ABCD равны, а значит, и прямые. Рассмотрим треугольники BAD и CDA, содержащие эти углы. В треугольниках
BAD и СDA сторона AD — общая, AB = CD (как стороны параллелограмма), AC = BD — по условию. Итак, ΔBAD = ΔCDA по трем сторонам.
3. Из равенства треугольников BAD и CDA следует, что ∠BAD = ∠CDA.
Поскольку ∠BAD + ∠СDA = 180° (свойство соседних углов параллелограмма),
то ∠BAD = ∠CDA = 90°. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то все остальные углы параллелограмма ABCD тоже являются прямыми. Следовательно, он является прямоугольником. Теорема доказана.

Ромб

Определение и свойства ромба
На рис. 36 изображен параллелограмм ABCD, у которого соседние стороны AB и
AD равны. По свойству сторон параллелограмма все остальные стороны параллелограмма тоже равны. Такой параллелограмм называют ромбом.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является параллелограммом, то он имеет все его свойства. Основное свойство ромба по определению — равенство его сторон.
Установим другие характерные свойства ромба, по которым он отличается от параллелограмма, который не является ромбом.

Теорема (свойство диагоналей ромба).
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный ромб, О — точка пересечения его
диагоналей AC и BD (рис. 37). Докажем, что AC перпендикулярна BD, а углы, на которые разделяет диагональ ромба его угол, равны. Например, ∠ABD = ∠CBD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольник ABС. По определению ромба, AB = BC. Итак,
ΔABC — равнобедренный с основанием AC.
2. По свойству диагоналей параллелограмма, O — середина AC. Итак,
BO — медиана равнобедренного треугольника ABC.

3. По свойству медианы равнобедренного треугольника, BO — высота и
биссектриса треугольника ABC. Итак, AC, а значит, ACBD и ∠ABO =
= ∠CBO. Теорема доказана. 
 

Признаки ромба

Определение ромба содержит основной признак ромба — условие, при выполнении которого параллелограмм является ромбом — равенство всех его сторон. Установим другие признаки ромба.
Непосредственно с признаками параллелограмма по равенству противоположных сторон из определения ромба следует признак ромба.

Признак. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

Установим признак ромба с диагоналями. Проведем две перпендикулярные прямые a и b, которые пересекаются в некоторой точке О (рис. 38, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отложим на прямой а равные отрезки OA и ОС, а на прямой bОВ и OD (рис. 38, б). Последовательно соединяем точки A, B, C и D отрезками. Имеем следующий признак ромба.

Теорема. Если диагонали четырехугольника перпендикулярны и в точке
пересечения делятся пополам, то четырехугольник является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, у которого диагонали AC и BD перпендикулярны и в точке O — пересечения диагоналей — делятся пополам: AO = OС, ВО = OD. Докажем, что четырехугольник ABCD (рис. 38, в) является ромбом.
1. Поскольку AO = OC и BO = OD, то по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2. ΔAОВ = ΔСОВ — по двум катетами. Итак, AB = ВС.
3. Поскольку ABCD является параллелограммом, то AB = CD и ВС = AD. Значит, все
стороны параллелограмма ABСD равны. Следовательно, он является ромбом.

Квадрат

На рис. 39 изображен ромб ABCD, у которого угол A прямой, а значит и все другие углы прямые. Такой ромб называют квадратом. Его можно рассматривать и как прямоугольник, у которого все стороны равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение Квадратом называют ромб, у которого все углы прямые; или
прямоугольник, у которого все стороны равны.

Поскольку квадрат является одновременно и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он имеет все свойства.

Задача №36

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С, в
котором СМ — медиана, то есть АМ = МВ (рис. 40, а). Проведем луч СМ и отложим на нем от точки М отрезок MD = CM (рис. 40, б). Соединим точку D с точками А и В.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Образованный четырехугольник CADB — параллелограмм (признак по диагоналям) (рис. 40, в). По свойству углов параллелограмма ∠АDВ = ∠ACB = 90°,
СAD = 180° – ∠ACB = 180°– 90° = 90°; ∠СВD = ∠CAD = 90°. Итак, в параллелограмме CADB все углы прямые, и он является прямоугольником. По свойству диагоналей прямоугольника, AB = CD. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №37

Найти углы ромба, у которого высота, опущенная из вершины тупого угла, делит противоположную сторону пополам.
Решение.
Пусть ABCD — ромб, у которого точка М — середина AD и BMAD, то есть ВМ — высота (рис. 41, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем диагональ BD (рис. 41, б). Имеем: ΔАВМ = ΔDBM — по двум катетам (ВМ — совместный, АМ = MD — по условию). Из равенства треугольников следует, что AB = BD.
2. Поскольку AB = AD (как стороны ромба), то у треугольника ABD все стороны равны, то есть он является  равносторонним. Тогда ∠А = 60° как угол равностороннего треугольника.
3. ∠А = ∠С = 60° (как противоположные углы ромба). Углы B и D равны
180° – 60° = 120°.
Ответ: 60°; 120°; 60°; 120 °. 

Задача №38

Точка М принадлежит прямой, содержащей диагональ параллелограмма и не является точкой пересечения диагоналей. Она равноудалена от концов другой диагонали. Доказать, что параллелограмм является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения его
диагоналей. Точка М, принадлежащая прямой АС, равноудалена от точек В и D,
то есть МВ = МD (рис. 42). Докажем, что ABCD — ромб.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Треугольник BMD — равнобедренный (МВ = МD — по условию).
2. За свойством диагоналей параллелограмма точка О — середина BD. Итак, отрезок МО является медианой треугольника BMD, а значит, и его высотой (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Отсюда следует, что
MABD, или CABD.
3. Таким образом, в параллелограмме ABCD диагонали СА и BD перпендикулярны. Итак, по признаку ромба параллелограмм ABCD является ромбом.

Теорема Фалеса

Рассмотрим некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Даны параллельные прямые a и b. На прямой a последовательно отложим равные отрезки, например Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 43, а). Через концы отрезков проведем параллельные прямые, которые пересекают прямую b в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Какими по длине являются отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 43 б)? Ответить на вопрос легко, опираясь на свойство параллелограмма. Образованные четырехугольники Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпо определению являются параллелограммами. По свойству параллелограмма, их противоположные стороны равны:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем прямую c, не параллельную прямой a (рис. 43, в). Будут ли в
таком случае равными отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпрямой c?
Ответ на вопрос дает теорема.

Теорема Фалеса
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла, то на другой стороне образуются равные между собой отрезки.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть на одной стороне произвольного угла A отложены равные отрезки, например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Через концы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямые, пересекающие
вторую сторону угла соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 44, а) Докажем, что
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство.
1. Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую с, параллельную другой стороне угла.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— точки пересечения прямой с соответственно с прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
(рис. 44, б).
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— как противоположные стороны параллелограммов
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3.Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по стороне и двум прилегающим углам:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач∠1 = ∠2 как вертикальные, ∠3 = ∠4 как внутренние разносторонние приГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и секущей с.
4. Из равенства треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачследует равенство отрезков
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 
 

Разделение отрезка на равные части

На основе теоремы Фалеса можно делить отрезок на равные части.
 

Задача №39

Разделить данный отрезок АВ на Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равных частей (рис. 45, а).
Пусть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                                     Построение
1. Проводим произвольный луч АМ (рис. 45, б).
2. Отложим на луче АМ равные отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 45, в).
3. Проводим отрезок А5В.
4. Через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпроведем прямые, параллельные отрезку
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки их пересечения с отрезком AB (рис. 45, г).
5. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по теореме Фалеса). Итак, отрезок АВ разделен на 5 равных частей.

Средняя линия треугольника

На рис. 46, а отрезок МK соединяющей точки М и K — середины сторон АВ и
ВС треугольника АВС. Такой отрезок называют средней линией треугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, который
соединяет середины двух его сторон.

На рисунке 46, б) проведены все три средние линии треугольника. Легко увидеть, что каждая из средних линий параллельная одной из сторон треугольника и
равна ее половине. Докажем это утверждение на основе теоремы Фалеса и
свойств параллелограмма.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — произвольный треугольник (рис. 47, а). Точка
М — середина стороны АВ. Проведем через точку М прямую  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 47, б).
Она пересекает сторону ВС в точке K.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Фалеса, точка K — середина стороны ВС. Итак, МK — средняя линия треугольника — является отрезком прямой а и параллельна стороне АС, то есть МK || АС. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1. Проведем через точку K прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 47, г). По теореме Фалеса, она пересечет сторону АС в точке Р, которая является серединой АС. Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. В четырехугольнике АМKР противоположные стороны параллельны, то есть он параллелограмм. По свойству сторон параллелограмма МK = AР (рис. 47, г).
3. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Задача №40

В треугольнике АВС через точку М — середину стороны АВ, и точку Р — середину отрезка МВ, проведены прямые, параллельные стороне АС, пересекающие сторону ВС соответственно в точках K и А (рис. 48). Найти длину стороны АС, если РО = 12 см.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме Фалеса, точка K — середина отрезка ВС, а точка В — середина отрезка ВK. Итак, МK — средняя линия треугольника АВС, а РО — средняя линия треугольника МВK. По свойству средней линии МK = 2РО = 2 · 12 = 24 (см). АС = 2МK = 2 · 24 = 48 (см).
Ответ: АС = 48 см. 

Задача №41

В треугольнике АВС проведены медианы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые пересекаются в точке О (рис. 49). Точка М — середина отрезка ОВ, а точка K — середина отрезка ОС. Доказать, что четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является параллелограммом.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является средней линией треугольника АВС. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Отрезок МК является средней линией треугольника ОВС. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. По условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, выходит, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Из равенств Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выходит, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, по свойству параллелограмма, четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является параллелограммом.

Задача №42

Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1. Отрезок MN является средней линией треугольника АВС
(рис. 50). Итак, MN || ΑС и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Отрезок PK является средней линией треугольника АDС. Итак, PK || ΑС и
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Из условий MN || и PK || следует, что MN || PK.
4. Из равенств Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачследует, что MN = PK. Таким образом, по признаку параллелограмма четырехугольник МNKP является параллелограммом.

Трапеция

Определение трапеции и ее свойства:
На рис. 51 изображены четырехугольники, у которых две стороны параллельные, а две другие — непараллельные. Такие четырехугольники называют трапециями.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие — непараллельные.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные —
боковыми сторонами.
1. В любой трапеции основания неравны: если бы основания были равны, то четырехугольник был бы параллелограммом и боковые стороны были бы параллельными, что невозможно по определению.
2. В любой трапеции при большем основании один или оба углы острые.
Доказательство этого утверждения приведено в «примерах решения задач».
Трапецию, в которой один из углов при основании прямой, называют прямоугольной трапецией.
3. В любой трапеции сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°. Сумма углов, прилегающих к основанию, не равна 180° (если эта сумма
равнялась бы 180°, то боковые стороны были бы параллельными).

Средняя линия трапеции

На рис. 52 ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Точки М и N — середины соответственно боковых сторон АВ и CD. Отрезок MN называют средней
линией трапеции.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

На основе теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника докажем свойство средней линии трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их
полусумме.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция с основаниями AD и BC,
MN — ее средняя линия (рис. 53). Докажем, что: а) MN || AD (MN || BC)
б) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проведем через вершину B и точку N прямую. Поскольку BC || AD, то
прямая BN пересекает прямую AD. Пусть T — точка пересечения прямых BN и AD.
2. Рассмотрим треугольники NCB и NDT. В них CN = ND по условию, ∠CNB = ∠DNT (как вертикальные), ∠NCB = ∠NDT (как внутренние разносторонние при параллельных прямых BC и AD и секущей CD). Итак, ΔNCB = ΔNDT по стороне и двум прилегающим углам.
3. Из равенства треугольников NCB и NDT следует, что BC = DT и BN = NT.
4. В треугольнике ABT точка M — середина AB, а точка N — середина ВТ, поэтому MN — средняя линия треугольника ABT. По теореме о средней линии
треугольника:
1) MN || , а, следовательно, MN || AD и MN || BC (так AD || BC).

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку DT = BC, то получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Высота трапеции

На рис. 54 ST, BK, FL, CM и OP — общие перпендикуляры к параллельным прямым и b, которым принадлежат основания трапеции ABCD. Каждый из перпендикуляров называют высотой трапеции.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Высотой трапеции
называют общий перпендикуляр к параллельным прямым, которым принадлежат основания трапеции. Высотой называют также и длину этого перпендикуляра.

Проводят высоты трапеции преимущественно из вершин при меньшем основании.

Равносторонняя трапеция

На рис. 55 изображена трапеция ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны. Такую трапецию называют равносторонней или равнобедренной.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Равносторонней трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Можно предположить, что углы при основании трапеции равны. Докажем этот факт.

Теорема. У равносторонней трапеции углы при основании равны.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольная равносторонняя трапеция с большим основанием AD (рис. 56, а). Докажем, что: а) ∠A = ∠D; б) ∠B = ∠C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Отложим на большем основании AD отрезок AP, равный меньшему
основанию BC.
2. Образовавшийся четырехугольник ABCP является параллелограммом (признак по паре противоположных сторон) (рис. 56, б). Итак, AB || и по свойству сторон параллелограмма AB = CP.

3. Из равенств AB = CP и AB = CD (по условию) следует, что CP = CD. Итак, ΔPCD — равнобедренный с основанием РD (рис. 56, в).
4. ∠CPD = ∠D как углы при основании равнобедренного треугольника PCD.
CPD = ∠A как соответствующие углы при параллельных прямых AB и и секущей AP.
Итак, ∠A = ∠D, то есть углы при большем основании равны.
5. Поскольку ∠B = 180° – ∠A и ∠C = 180° – ∠D и ∠A = ∠D, то ∠B = ∠C, то есть углы трапеции при меньшем основании тоже равны. Теорема доказана.

Теорема. Диагонали равносторонней трапеции равны.

Доказательство. Пусть АВСD — равносторонняя трапеция с большим основанием
AD. Докажем, что диагонали AC и BD равны (рис. 57).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA, сторонами которых являются диагонали BD и AC. ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними: AD — общая;
AB = CD (по определению равносторонней трапеции) ∠BAD = ∠CDA (доказано свойство углов).
2. Из равенства треугольников ABD и DCA следует, что BD = AC (как соответствующие стороны треугольников). Теорема доказана.

Задача №43

Доказать, что в любой трапеции хотя бы один угол при большем основании острый.
Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция (рис. 58). Отложим
на большем основании AD отрезок АМ, равный меньшему основанию ВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Образуем четырехугольник АВСМ, который является параллелограммом (признак по парной противоположности сторон АМ = ВС — по построению, АD || ВС — как основания трапеции). Итак, АВ || СМ.
2. ∠CMD = ∠А — как соответствующие углы при АВ || СМ и секущей AD.
3. Поскольку в любом треугольнике по  крайней мере два угла острые, то среди углов треугольника CMD хотя бы один из углов М или D острый.
4. Поскольку ∠CMD = ∠А, то и среди углов А и D хотя бы один угол острый. 

Задача №44

Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

Доказательство. 1. Пусть ABCD — произвольная трапеция с основаниями AD = а и
ВС = b (рис. 59). Проведем ее среднюю линию РK.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку РK параллельна основам трапеции AD и ВС, то она пересечет диагональ АС в точке — середине АС (по теореме Фалеса для угла ВАС), а
диагональ BD в точке N — середине BD (по теореме Фалеса для угла АBD).
Таким образом, отрезок MN, который соединяет середины диагоналей, принадлежит средней линии трапеции, а следовательно, параллелен ее основаниям.

2. Поскольку PK = PM + MN + NK, то MN = PK – (PM + NK).
3. Отрезок РМ является средней линией треугольника АВС, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачОтрезок NK является средней линией треугольника BCD, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как средняя линия трапеции ABCD. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №45

Найти периметр равносторонней трапеции, у которой высота и средняя линия соответственно равны 12 см и 23 см, а угол при основании — 30°.
Решение.
Пусть ABCD — равносторонняя трапеция, у которой ∠А = 30°, средняя линия
MN = 23 см, а высота ВK = 12 см (рис. 60).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По свойству средней линии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Из треугольника АВКГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (свойство катета ,  который лежит напротив угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач );

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. 94 см.

Задача №46

Доказать, что точка пересечения диагоналей равносторонней трапеции
равноудалена от концов большего основания (меньшего основания).

Доказательство. Пусть в равносторонней трапеции ABCD (AB = CD) диагонали
АС и BD пересекаются в точке О. Проведем BKAD и CMAD (рис. 61).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку ΔBKD = ΔCMA (по гипотенузе АС = BD и катетам BK = CM), то ∠BDK = ∠CAM. Итак, треугольник AOD равнобедренный, поэтому AO = DO. Из равенства диагоналей АС = BD и их частей AO = DO следует, что ВО = СО. Тогда точка О является равноудаленной от концов большего основания и равноудалена от концов меньшего основания, что и требовалось доказать.

Задача №47

Доказать, что в равносторонней трапеции перпендикуляр, опущенный из вершины меньшего основания к большему, делит ее на части, большая из которых равна средней линии трапеции.

Доказательство. Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (AD || BC) и АВ = СD.
Проведем AD и CKAD. MN — средняя линия трапеции (рис. 62).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку прямоугольные треугольники АВЕ и DCK равны (по гипотенузе
АВ = СD и острым углам ∠А = ∠D), то АЕ = DK. Четырехугольник BCKE является прямоугольником, поэтому EK = BC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось доказать.

Задача №48

Доказать: если диагонали равносторонней трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте.

Доказательство. Пусть в равносторонней трапеции ABCD (AD || BC, АВ = DC) диагонали АС и BD пересекаются в точке О под углом 90°, KL — средняя линия
(рис. 63).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Образующиеся треугольники AOD и BOC прямоугольные и равнобедренные
(см. задачу выше). Поскольку в треугольнике АOD АО = OD, то ∠OAD = 45°. Аналогично, из треугольника BOCОВМ = 45°. Проведем через точку В высоту
трапеции MN. Образовались прямоугольные треугольники с острым углом 45°, то есть треугольники AON и BOM равнобедренные: AN = ON, BM = OM. Получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось
доказать.

Углы, связанные с кругом. Вписанные и описанные четырехугольники

Центральные углы, дуги и их угловые меры

На рис. 64 изображены углы, вершинами которых  является центр круга. Соответственно и называют такие углы центральными.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Центральным углом называют угол, вершиной которого является центр данного круга.
Центральный угол может быть меньше развернутого (рис. 64, а), развернутым (рис. 64, б) и больше развернутого (рис. 64, в).
Стороны центрального угла пересекают круг в двух точках, которые разделяют круг на части — дуги. Одна из дуг принадлежит центральному углу, а другая — не принадлежит. Чтобы отличать две дуги с одинаковыми концами, на одной из них или на обоих указывают некоторую промежуточную точку. Обозначают дуги по концам или концам и промежуточной точки, используя знак Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 65, а) центральному углу принадлежит дуга АСВ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи не принадлежит дуга ADB Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач О дуге, которая принадлежит центральному углу, говорят, что она соответствует центральному углу, или, наоборот, центральный угол соответствует дуге.

Определение. Каждая дуга на окружности имеет угловую (градусную) меру. Угловой степенью дуги является градусная мера, соответствующая центральному углу.

На рис. 65, а) ∠AOB = 90°, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На рис. 65, б) ∠MOK = 225°,
следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угловая (градусная) мера окружности равна 360°, полукруга — 180°, четверти круга — 90°. Сумма мер двух дуг, которые дополняют друг друга в круге, равна
360°. На рис. 65, а) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на рис. 65, б) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вписанный угол

На рис. 66, а) изображены угол BAC, вершиной которого является точка окружности, а его стороны AB и AC пересекают этот круг. Угол BAC называют вписанным в круг.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают этот круг, называют углом, вписанным в круг.

Центр окружности может лежать внутри вписанного угла (рис. 66, а), на его стороне (рис. 66, б) или вне угла (рис. 66, в).
Стороны и вершина вписанного угла разделяют круг на три дуги. Одна из
них относится к  углу, а две другие — не принадлежат. В случае, когда дуга принадлежит вписанному углу, говорят, что угол опирается на эту дугу. На рис. 66, а) вписанный угол ВАС опирается на дугу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачкоторой соответствует центральный угол ВОС. Говорят, что вписанному углу ВАС отвечает центральный угол ВОС.

Теорема.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен половине центрального угла, который ему соответствует.

Доказательство. Пусть дана произвольная окружность с центром О. ∠АВС — вписанный угол, тогда соответствующий ему центральный угол ∠АОС.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассматриваем три случая размещения центра окружности относительно угла АВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1 случай. Центр окружности В принадлежит одной из сторон угла АВС, например, стороне ВС (рис. 67, а).
1. ΔАВО — равнобедренный с основанием АВ (ОА = ОВ как радиусы).
2. ∠АОС — внешний угол треугольника АВО: ∠AОС = ∠ВАО + ∠АВО = 2∠АВС.

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2 случай. Центр окружности В лежит внутри угла АВС (рис. 67, б). Проведем луч , который пересекает дугу АС в точке D. Луч ВD разделяет угол АВC на вписанные углы АВD и СBD, сторона BD проходит через центр круга. Поэтому согласно результатам, полученным в случае 1, получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3 случай. Центр окружности В лежит вне угла АВС (рис. 67, в). Через центр окружности О проведем луч BD. Получаем, что луч ВС принадлежит углу АВD и разделяет его на два угла. Поэтому согласно результатам, полученным в случае 1, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Следствия.
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
(рис. 68, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на полукруг (диаметр), является прямым
(рис. 68, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рис. 68, а) углы АМВ, ANB, AKB вписаны и опираются на дугу АВ.
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 68, б) АВ — диаметр круга. Вписанные углы АМВ, ANB и AKB опираются на диаметр АВ. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вписанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник и его свойства
На рис. 69, а) дана окружность с центром О, все вершины четырехугольника АВСD лежат на круге.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник называют вписанным в круг, или вписанным четырехугольником.

Определение. Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности, называют вписанным четырехугольником.

Если четырехугольник вписан в круг, то центр круга равноудален от вершин четырехугольника и является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам (рис. 69, б).

Теорема. Если четырехугольник вписан в круг, то сумма его противоположных углов равна 180°.

Доказательство. Пусть дана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD, вписанный в этот круг (рис. 70). Докажем, что ∠A + ∠С = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Противоположные углы любого вписанного четырехугольника опираются на
дуги, которые дополняют друг друга в круге. Например, угол А опирается на
дугу BCD, а угол С — на дугу BAD. Суммой дуг BCD и BAD является круг. По теореме о степени вписанного угла получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
Из теоремы следует: если сумма противоположных углов четырехугольника не равна 180°, то вокруг него нельзя описать круг. Например, можно описать круг вокруг параллелограмма с острым углом, в частности, вокруг ромба.

Признак вписанного четырехугольника

Имеет место и теорема, обратная доказанной. Она устанавливает, при каких
условиях вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то вокруг четырехугольника можно описать круг.

Cледствия.
1. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг каждой равносторонней трапеции можно описать круг.

Доказательство теоремы представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше».

Описанный четырехугольник

Описанный четырехугольник и его свойства

Пусть окружность с центром О касается всех сторон четырехугольника АВСD.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник называют описанным вокруг круга, или описанным
четырехугольником.

Определение. Описанным четырехугольником называют четырехугольник, все стороны которого касаются круга.

Такой четырехугольник изображен на рис. 71, а). Если четырехугольник описан вокруг окружности, то центр окружности равноудален от всех сторон четырехугольника и является точкой пересечения биссектрис углов четырехугольника (рис. 71, б).

Теорема. Если четырехугольник описан, то суммы его противоположных
сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD — описанный четырехугольник (рис. 71, б). Докажем, что АВ + СD = AD + BC.
Обозначим точки касания сторон четырехугольника в круге через M, N, Р и K. Известно, что отрезки касательных, проведенные из одной точки в круг, равны.
Есть АМ = АK, МВ = BN, DP = KD, PC = NC.
Сложим по частям эти равенства АМ + МB + DР + РС = АK + BN + KD + NС; АВ + DC = AK + KD + BN + NС; АВ + DC = AD + BС

Признак описанного четырехугольника

Справедливая и обратная теорема, выражающая признак описанного четырехугольника.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника
равны, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Следствие. Круг можно вписать в любой ромб.

Центром круга вписанного в ромб, является точка пересечения диагоналей, а его диаметр равен высоте ромба. Доказательство теоремы представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше».

Задача №49

Доказать, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают круг, измеряется полуразностью дуг, которые лежат между его сторонами.

Доказательство. Пусть S — точка, которая лежит вне данного круга (рис. 72).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем из точки S два луча, которые пересекают окружность в точках А и С,
B и D. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем хорду СВ (или AD). Имеем: ∠АСВ = ∠ASB + ∠CBS (как внешний угол треугольника CBS). Отсюда ∠ASB = ∠ACB – ∠CBS. Поскольку
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(по свойству вписанных углов), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.

Задача №50

Доказать, что равные хорды стягивают равные дуги.

Доказательство. Пусть в круге с центром О проведены равные хорды АВ и CD
(рис. 73).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Соединим концы хорд с центром круга. Треугольники АОВ и DOC равны по трем сторонами (АВ = CD, OA = OB = OC = OD как радиусы круга). Из равенства треугольников следует равенство углов АОВ и COD. Эти углы являются центральными.
Итак, дуги Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачимеют одинаковую градусную меру.

Задача №51

Доказать, что угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой дуг, одна из которых лежит между сторонами угла, а другая — между их продолжениями.

Доказательство. Пусть даны окружность с центром в точке О и точка М, лежащая внутри соответствующего круга (рис. 74).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка М является вершиной угла АМВ. Начертим лучи, дополняющие к
сторонам этого угла, до их пересечения с окружностью. Получим точки С и D. Проведем хорду ВС. Поскольку угол АМВ — внешний угол треугольника ВМС, то
АМВ = ∠1 + ∠2. По свойству вписанного угла имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №52

Доказать, что угол между касательной и хордой, которые имеют общую точку на окружности, равны половине угловой меры дуги, которая лежит внутри этого угла.

Доказательство. Пусть дан круг с центром в точке О, проведем касательную ВА
(А — точка касания) и через точку А проведем хорду АС (рис. 75, а). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем через точку А диаметр AD, который образует с касательной АВ прямой угол (свойство касательной к окружности) (рис. 75, б). Соединим точки D и С.
АСD = 90°, поскольку он опирается на диаметр круга. Из треугольника ACD:
DAC + ∠CDA = 90°. ∠BAD = ∠DAC + ∠CAB = 90°. Отсюда ∠CDA = ∠CAB.
Поскольку угол CDA вписан в круг, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
что и требовалось доказать.

Задача №53

Доказать, что любая трапеция, вписанная в круг, является равносторонней.

Доказательство. Пусть ABCD — вписанная трапеция (рис. 76).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По свойству вписанного четырехугольника ∠A + ∠C = 180°, то есть
C = 180° — ∠A (1). По свойству углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, ∠A + ∠В = 180°, то есть ∠В = 180° – ∠А (2). Из равенств (1) и (2) следует, что ∠В = ∠C, а следовательно, и ∠A = ∠D. Поскольку углы при основании трапеции равны, то она равносторонняя (признак равносторонней трапеции с углами при основании).

Задача №54

В описанном четырехугольнике ABCD AB : BC : CD = 3 : 5 : 7. Найти стороны четырехугольника, если его периметр равен 30 см.
Решение.
Обозначим стороны АВ, ВС и CD через 3k см, 5k см и 7k см. По свойству описанного четырехугольника AB + CD = BC + DA. Итак, 3k + 7k = 5k + .
Откуда DA = 3k + 7k – 5k = 5k. Получаем уравнение 3k + 5k + 7k + 5k = 30;
20k = 30; k = 30 : 20 = 1,5. Таким образом, АВ = 3 · 1,5 = 4,5 (см), ВС =
= 5 · 1,5 = 7,5 (см), CD = 7 · 1,5 = 10,5 (см). AD = 5 · 1,5 = 7,5 (см).
Ответ: 4,5 см; 7,5 см; 10,5 см; 7,5 см.

Для тех, кто хочет знать больше

Теорема. Если в выпуклом четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольный четырехугольник, у которого одна из сумм противоположных углов равна 180°. Например, ∠А + ∠С = 180°. Тогда по теореме о сумме углов четырехугольника ∠В + ∠D = 360° – 180° = 180°. Докажем, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать круг.
Через любые три вершины четырехугольника, которые могут быть вершинами треугольника, всегда можно провести окружность. Пусть окружность проведена, например, через вершины А, В и С. Возможны три случая размещения четвертой вершины D относительно круга. Точка D лежит: а) внутри круга (рис. 77, а) б) вне круга (рис. 77, б) в) на окружности (рис. 77, в).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Предположим, что точка D лежит внутри круга. Продолжим отрезок AD по
прямой до пересечения с окружностью. Е — точка пересечения прямой AD и окружности. Соединим точки С и Е. Образуется вписанный четырехугольник АВСЕ. Имеем: ∠В + ∠Е = 180° (по доказанному свойству вписанного четырехугольника), ∠В + ∠D = 180° (по условию). Отсюда ∠Е = ∠D, что невозможно, так как угол D — наружный угол треугольника DCE, а следовательно, ∠D > ∠E. Таким образом, точка D не может лежать внутри круга.
б) Предположим, что точка D лежит вне круга. Обозначим буквой Р точку пересечения отрезка AD с окружностью и соединим ее отрезком с точкой С. Образовавшийся  круг вписан в  четырехугольник ABCP. Имеем: ∠В + ∠Р = 180° (по свойству вписанного четырехугольника), ∠В + ∠D = 180° (по условию). Отсюда ∠Р = ∠D, что невозможно, так как угол Р — внешний угол треугольника РСD, а значит, ∠Р > ∠D. Таким образом, точка D не может лежать вне круга.
Из а) и б) следует, что точка D лежит на окружности. Итак, существует круг, который проходит через все вершины четырехугольника ABCD.

Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть АВСD — произвольный четырехугольник, у которого АВ + CD = BС + AD. Докажем, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Проведем в четырехугольнике биссектрисы двух соседних углов, например, А и В. Тогда точка O пересечения биссектрис равноудалена от трех сторон AD, AB и BC четырехугольника и поэтому можно провести окружность с центром О, которая касается этих трех сторон. Для четвертой стороны CD возможны три случая размещения относительно данного круга.
Сторона CD: а) пересекает круг (рис. 78, а), б) лежит вне круга (рис. 78, б),
в) является касательной к окружности (рис. 78, в).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

а) Предположим, что СD является секущей в круге. Проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную СD и касательную к кругу. Тогда имеем: АВ + СD = ВС + АD (по условию),
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству описанного четырехугольника). Выполнив по частям вычитание равенств, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем в четырехугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что сторона Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна сумме трех других
его сторон, что  невозможно. Итак, СK не может быть секущей для круга.
б) Аналогичными соображениями устанавливается невозможность второго случая: сторона СD вне круга. Итак, круг, касаясь трех сторон четырехугольника, касается и четвертой его стороны. Теорема доказана.

Пропорциональные отрезки

Отношение двух отрезков

Определение. Отношением двух отрезков называют число, равное отношению длин этих отрезков.
Поскольку длины отрезков являются положительными числами, то их отношение является положительным числом.
Отношение отрезков Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают в виде дроби Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или частного AB : СD. Если, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пример. Пусть AB = 4 см, CD = 6 см. Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Сравнение отрезков по их отношению

Если известно отношение двух отрезков, то можно сравнить их длину.
Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач больше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач раз). Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в 4,5 раза больше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач меньше, чем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть длина отрезка АВ составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач длины отрезка CD.
2. Пропорциональные отрезки.
Даны четыре отрезка AB = 3 см, CD = 5 см, MN = 6 см и PK = 10 см (рис. 80).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть отношения отрезков АВ и CD и отрезков MN и PK равны. В таком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK.

Определение. Два отрезка называют пропорциональными к двум другим отрезкам, если отношение первой пары отрезков равно отношению отрезков второй пары, или, по-другому, их отношения равны.

По определению, отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если их длины образуют верную числовую пропорцию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку в пропорции можно менять местами средние или крайние члены, то пропорциональность отрезков AB и CD  к отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно записать и в виде пропорции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса).
На рис. 81 через точки A, B и C прямой а проведены параллельные прямые,
пересекающие прямую b соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Будут ли отрезки прямой a пропорциональны соответствующим отрезкам прямой b, например, отрезки AB и BC к отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Ответ на вопрос дает такая теорема.

Теорема.
Если две прямые пересечь параллельными прямыми, то любые два образованных отрезка одной прямой пропорциональны соответствующим отрезкам другой прямой.

Теорема справедлива как в случаях, когда отношение отрезков является частью целых чисел, так и в случаях, когда отношения не являются частью целых чисел. Ограничимся доказательством теоремы, когда отношение является частью целых чисел.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Через произвольные точки прямой а, например А, В и С, проведем параллельные прямые, которые пересекают прямую b соответственно в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что, например, отрезки АВ и ВС пропорциональны отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(m и n — целые числа). Поделим отрезок ВС на n равных частей, тогда отрезок АВ разделится на m таких частей (рис. 82). Отрезок АС будет разделен на (m + n) равных частей-отрезков.
Через точки деления проведем прямые, параллельные прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Фалеса отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет разделен на m равных частей, а отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на n равных частей. Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачбудет разделен на (m + n) равных частей (отрезков). Обозначим длину одного из этих отрезков через l. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  отрезки АВ и ВС пропорциональны отрезкам  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема об отрезках параллельных прямых

На рис. 84, а) стороны угла C пересечены параллельными прямыми. Есть ли на сторонах угла отрезки, пропорциональные отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельных прямых?

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема.
Если стороны угла пересечь параллельными прямыми, то отрезки этих параллельных прямых с концами на сторонах угла пропорциональны отрезкам, лежащим на сторонах угла, начиная от вершины к соответствующим параллельным прямым.

Доказательство. Пусть даны угол C и параллельные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в которых точки А и В лежат на одной стороне угла, а точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на другой его стороне. Докажем, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую a || BC. Есть прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересеченные параллельными прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и BC. По обобщенной теореме Фалеса: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку четырехугольник  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелограмм, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку по обобщенной теореме Фалеса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Задача №55

Основания трапеции равны 14 см и 21 см. Боковые стороны, равные 5 см и 12 см, продлены до пересечения. Вычислить периметр треугольника, образованного меньшим основанием и продолжением боковых сторон трапеции.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — данная по условию трапеция, у которой продолжения боковых сторон пересекаются в точке М (рис. 85). По теореме об отрезках параллельных прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть МВ = а см и МС = b см. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: 48 см. 

Задача №56

Даны отрезки а, b и с (рис. 86 а). Построить отрезок х такой, что а : b = с : х.

Решение.
Дано: a, b, c — заданные отрезки.
Построить: отрезок х такой, что а : b = с : х.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Строим произвольный угол ВАС (рис. 86, б). На стороне АВ последовательно откладываем отрезки АМ = а и МР = b, а на стороне АС — отрезок AN = с.
2. Проведем прямую MN, а через точку Р — прямую PK такую, что PK || MN (K — точка пересечения прямых АС и PK). По обобщенной теореме Фалеса
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, NK — искомый отрезок х.

Задача №57

(Теорема о биссектрисе треугольника). Доказать, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть BD — биссектриса треугольника АВС (∠1 = ∠2) (рис. 87). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Через вершину С проведем прямую с, параллельную прямой BD. Точка М — точка пересечения прямых с и АВ. В образованном треугольнике ВМС углы,
прилегающие к стороне СМ, обозначим как 3 и 4.
2. Имеем: ∠3 = ∠2 как внутренние разносторонние при BD || СМ и секущей ВС, ∠4 = ∠1 как соответствующие углы при BD || СМ и секущей АМ. Поскольку ∠1 = ∠2, то и ∠3 = ∠4. Итак, треугольник ВСМ — равнобедренный (признак по углами). Итак, ВС = ВМ.
3. Поскольку BD || СМ, то по обобщенной теореме Фалеса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заменив в полученной пропорции отрезок ВМ равным ему отрезком ВС,
имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Задача №58

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника.

Доказательство. Пусть О — точка пересечения двух медиан (AD и BE) треугольника АВС (рис. 88).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим четырехугольник MNDE, где M и N — середины отрезков АО и ВО. Поскольку отрезок MN является средней линией треугольника АОВ, то MN || AB
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отрезок DE является средней линией треугольника АВС, поэтому DE || AB и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отсюда следует, что MN || DE и MN = DE, то есть четырехугольник MNDE —параллелограмм с диагоналями MD и NE. Итак, МО = OD, и поскольку МО = АМ,
то АМ = МО = OD. Таким образом, точка О делит медиану AD в отношении AO : OD = 2 : 1. В таком же отношении эта точка делит и медиану ВЕ. Третья медиана по аналогичным соображениям точкой ее пересечения как с первой, так и со второй медианой тоже должна делиться в отношении 2 : 1. При этом третья медиана не может пересекать медианы AD и BE в точках, отличных от О, поскольку тогда на ней было бы две разные точки, делящие бы ее в отношении 2 : 1, начиная от вершины, что было бы  невозможно.

Подобные треугольники

Определение подобных треугольников
На рисунке 90 а) - в) изображены пары фигур, одна из которых образована растяжением или сжатием другой без изменения формы и пропорций.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

О таких фигурах говорят, что они одинаковой формы и разных размеров, и
называют их подобными.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники ABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изображены на рис. 91, тоже можно назвать подобными. Удвоив стороны треугольника ABC, не меняя его формы (углов), можно получить треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В этих треугольниках попарно равны углы (∠A = ∠A1Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ), а стороны, лежащие против равных углов, попарно пропорциональны: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы попарно равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Если треугольник  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC, то записывают:
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что выполняются равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Коэффициент пропорциональности сторон называют коэффициентом подобия
треугольников.
На рис. 91 треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC с
коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это можно записать так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Треугольник ABC подобен треугольнику Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с коэффициентом подобия
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Основная теорема о подобных треугольниках

Всегда ли существуют треугольники, подобные данному? Как построить треугольник, подобный данному? Ответы на эти вопросы дает теорема о подобии треугольников.

Теорема.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник. Прямая a пересекает
его стороны AB и BC соответственно в точках M и K. a || AC. Докажем, что ΔBMK ~ ΔBAC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Рассмотрим треугольники BMK и BAC (рис. 92). У них ∠B — общий, ∠M = ∠A как соответствующие углы при MK || AC и секущей AB. ∠K = ∠C как соответствующие углы при MK || AC и секущей BC.
2. По доказанному свойству отрезков параллельных прямых: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, ΔBMK ~ ΔBAC по определению.

Признаки подобия треугольников

Для установления подобия треугольников необязательно проверять равенство всех углов и пропорциональность всех сторон. Достаточно проверить только некоторые из них. Условия, достаточные для подобия треугольников, называют признаками подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 93). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. На стороне BA треугольника ABC (или на ее продолжении) откладываем отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую, параллельную прямой AC, которая пересекает сторону BC в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме о подобии треугольников.
3. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по стороне и двум прилегающим углам. У них: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  по построению, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по условию, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как углы, равные углу A.
4. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Следствие. Если в прямоугольных треугольниках есть по одинаковому острому углу, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Теорема.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ABC  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 94). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Аналогично доказательства первого признака, строим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Для этого на стороне AB треугольника ABC откладываем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачОтсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по двум сторонам и углу между ними. У них:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по построению, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Третий признак подобия треугольников

Теорема.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть в треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ABC, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (1) (рис. 95). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Как и для доказательства первых двух признаков, строим вспомогательный треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подобный треугольнику ABC, и доказываем, что он равен треугольнику  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Откладываем на стороне AB треугольника ABC отрезок
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По теореме о сходстве:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Из равенств (1) и (2) следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана.

Задача №59

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки, которые относятся как 2 : 3. Найти основания трапеции, если ее средняя линия равна 15 см.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — трапеция, в которой О — точка пересечения диагоналей.
ОС : ОА = 2 : 3 (рис. 98), MN — средняя линия, MN = 15 см.
1. ΔAOD ~ ΔСОВ по двум углам: ∠ВОС = ∠DOA как вертикальные;
ОСВ = ∠OAD как внутренние разносторонние при AD || BC и секущей АС.
2. Из подобия треугольников следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3.  По  свойству средней линии трапеции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда
AD + BC = 2MN = 2 · 15 = 30 (см).
4. Пусть ВС равна х см, тогда АD равна (30 – х) см. Складываем пропорцию: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИмеем 3х = 2 (30 – х); 3х + 2х = 60; 5х = 60; х = 12. Следовательно, ВС = 12 см, тогда АС = 30 – 12 = 18 (см).
Ответ: 12 см; 18 см.

Задача №60

Если две секущие окружности пересекаются в некоторой точке, и не принадлежат кругу, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения каждой секущей с кругом есть величина постоянная.

Доказательство. Пусть к окружности с центром в точке О проведены две секущие
АВ и CD, которые пересекаются в точке М. Докажем, что МА · МВ = МС · MD. Рассмотрим два случая размещения точки М: 1) точка М находится в круге (рис. 99, а); 2) точка М находится вне круга (рис. 99, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1 случай. Пусть в круге с центром О хорды АВ и CD пересекаются в точке М.
1. В треугольниках МАС и MDB углы при вершине М равны как вертикальные
(∠АМС = ∠DMΒ). ∠A = ∠D, поскольку каждый из них опирается на ту же дугу ВmС. Итак, ΔМАС ~ ΔMDB по первому признаку подобия.
2. Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или МА · МВ = МС · MD.
2 случай. Пусть точка М находится вне круга.
1. В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
M — общий для этих треугольников. Итак, ΔМВС ~ ΔMDA по двум углам.
2.  Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или МА · МВ = МС · MD.

Задача №61

Если из точки, взятой снаружи круга, проведены в него секущая и касательная, то произведение секущей и ее внешней части равно квадрату касательной.

Доказательство. Пусть в круг с центром в точке О проведена касательная KA (А — точка касания) и сечение KB, пересекающая окружность в точках С и В (рис. 100).
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Угол KAC, образованный касательной KA и хордой АС. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Угол АВС — вписанный. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. В треугольниках KAC и KBAK — совместный и ∠KAC = ∠KAB. Итак, ΔKAC ~ ΔKBA по двум углам.
4. Из подобия треугольников имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что
и требовалось доказать.

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике

Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Установим ряд теорем, которые выражают соотношение между элементами
прямоугольного треугольника. Рассмотрим сначала понятие, через которые раскрывается суть этих теорем.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть дана прямая a и точка A, которая ей не принадлежит (рис. 102, а). Проведем через точку A прямую b, перпендикулярную прямой a. Пусть B — точка пересечения прямых a и b. Тогда, как известно, отрезок AB называют перпендикуляром, опущенным из точки на прямую a, точку Bоснованием этого перпендикуляра. Отрезок AC, соединяющий точку A и точку C прямой и не являющийся перпендикуляром к прямой а, называют наклонной к прямой a. Точку C наклонной, принадлежащей прямой а, называют основанием наклонной. Отрезок BC, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, называют проекцией наклонной на прямую (рис. 102, б). На рис. 102 в) MK — перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую m. MP и ML— наклонные к прямой m. PK и LK — их проекции.

Определение.
Наклонной к прямой
, проведенной из данной точки, называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямой и который не является перпендикуляром к этой прямой. Конец, принадлежащий данной прямой, называют основанием наклонной. Если из одной точки к прямой провели перпендикуляр и наклонную, то проекцией наклонной называют отрезок, соединяющий основание наклонной и основание перпендикуляра.

  1. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести один и только один перпендикуляр к этой прямой (поскольку через данную точку можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную к данной прямой).
  2. Перпендикуляр к прямой и проекция наклонной меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, что и перпендикуляр (наклонная лежит в прямоугольном треугольнике против большего угла — прямого угла, а перпендикуляр и проекция лежат против острых углов).

Теоремы о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике

Среднее пропорциональное двух чисел (величин).
Пусть есть два отличных от нуля числа a и b. Число c, при котором является верной пропорция Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют средним пропорциональным (геометрическим) к числам a и b. По основным свойствам пропорции имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Определение. Средним пропорциональным (геометрическим) двух чисел называют число, квадрат которого равен произведению этих чисел.

Например, для чисел 4 и 9 средним пропорциональным является число 6, так как 4 * 9 = 36 = 62 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Среднее пропорциональное (геометрическое) двух чисел равно арифметическому квадратному корню из произведения этих чисел.
Установим элементы прямоугольного треугольника, которые являются средними пропорциональными между другими элементами.

Теорема.
В прямоугольном треугольнике:

  • 1) высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она разделяет гипотенузу;
  • 2) катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом C и острым углом A, равным α. Обозначим буквой a катет, который лежит против угла A, буквой b — катет, лежащий против угла B, с — гипотенузу (рис. 103, а).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем CD — высоту треугольника, обозначим ее через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 103, б). Поскольку CD является перпендикуляром к прямой AB, а CB и AC — наклонные к
ней, то отрезки BD и AD являются их проекциями. Обозначим BD как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекция катета a на гипотенузу с), AD — как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (проекция катета b на гипотенузу с).
Докажем, что:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Высота CD разделяет прямоугольный треугольник ABC с острым углом α на
два прямоугольных треугольника: ADC и CDB, в которыхГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть в каждом из треугольников один из острых
углов равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому по следствию из первого признака подобия треугольников ΔADC ~ ΔСDВ и каждый из этих треугольников подобен треугольнику AСB.

1. Рассматриваем подобные треугольники: ADC и CDB. По определению подобных треугольников катеты CD и AD треугольника АDС пропорциональны катетам DB
и CD треугольника CDB (как противоположные равных углов).
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. а) Рассматриваем подобные треугольники ACB и CDB. По определению подобных треугольников катет СВ и гипотенуза АВ треугольника АСВ пропорциональны катету DB и гипотенузе СВ треугольника CDB. Имеем:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
б) рассматриваем подобные треугольники ADC и ACB. По определению подобных
треугольников катет AD и гипотенуза АC треугольника АDС пропорциональны катету AC и гипотенузе AB треугольника ACB. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана.

Теорема Пифагора

Следствием теоремы о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике является теорема, которая устанавливает зависимость между гипотенузой и катетами произвольного прямоугольного треугольника. Названа эта теорема в честь выдающегося греческого математика Пифагора.

Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Доказательство. Пусть АВС — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD — высота треугольника (рис. 104). Обозначим BC = a, AC = b,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Сложим по частям равенства: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезки гипотенузы и их
сумма равна гипотенузе с, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТеорема
доказана.

Следствия.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Катет прямоугольного треугольника равен квадратному корню из разности квадратов его гипотенузы и другого катета:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №62

Найти катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 8 см, а другой катет — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С отрезок CD — высота (рис. 106), AD = 8 см и СВГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найдем АС.
1. Обозначим длину DB через х см, тогда АВ = (х + 8) см. По теореме о катетах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку х + 4 > 0, то х + 4 = 6; х = 2. Следовательно, BD = 2 см и АВ = 2 + 8 = 10 (см).
2. По теореме о катетах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №63

В равносторонней трапеции большее основание равно 15 см, боковая сторона — 5 см, а высота — 3 см. Найти меньшее основание трапеции.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (рис. 107), в которой AD = 15 см, AB = CD = 5 см. BM и CK — высоты, ВМ = СK = 3 см.
1. Высоты ВМ и СK разделяют трапецию ABCD на два равных прямоугольных
треугольника ABM и DCK (по гипотенузе и катету) и прямоугольник МВСK. Итак, АМ = KD и МK = ВС. Отсюда следует, что BС = AD – 2AM.
2. Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора находим
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТаким образом, ВС = 15 – 2 · 4 = 7 (см).
Ответ: 7 см. 

Задача №64

Основания трапеции равны 4 см и 17 см, а диагонали — 13 см и 20 см. Найти высоту трапеции.
Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — трапеция (рис. 108) с основаниями AD = 17 см и ВС = 4 см, диагоналями АС = 13 см и BD = 20 см и высотами ВМ и СK (ВМ = СK).
Высоту трапеции, например, СK, можно определить на основе теоремы Пифагора из треугольника АСK, но для этого нужно найти длину отрезка АК. Найдем ее с помощью уравнения. Поскольку МВСK — прямоугольник, то МK = ВС = 4 см. Пусть АМ = х см, тогда АК = (х + 4) см, MD = (17 – х) см. Из треугольника АСKГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника DBMГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, АМ = 1 см, тогда АК = 5 см и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачСK = ВМ = 12 см.
Ответ: 12 см.

Задача №65

Даны отрезки a и b (рис. 109). Построить отрезок х такой, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Дано: a и b — отрезки.
Построить: отрезок х такой, что а : х = х : b.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отрезок х является средним пропорциональным между отрезками а и b. Строим его как высоту прямоугольного треугольника, который  делит гипотенузу на отрезки а и b.
1. На произвольной прямой m последовательно откладываем AD = а и DB = b. Получаем отрезок АВ = а + b (рис. 110).
2. Находим точку В — середину отрезка АВ — и описываем окружность с центром О, радиус которой равен ОА.
3. Через точку D проводим прямую с, перпендикулярную АВ; обозначаем точку С — точку пересечения прямой с и окружности. Отрезок CD — искомый.
Поскольку вписанный угол АСВ опирается на диаметр, то он является прямым. Итак, CD — высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Задача №66

(Теорема, обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, у которого СВ = а, АС = b и
АВ = с, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 111).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построим прямоугольный треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с прямым углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и катетами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Пифагора его гипотенуза Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, данный треугольник АВС и построенный Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой, то и угол С — прямой.
Теорема доказана.

Задача №67

Сторона равностороннего треугольника равна а. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности и радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть АВС — равносторонний треугольник со стороной а. Проведем высоту ВН (рис. 112). В равностороннем треугольнике высота является одновременно и
медианой, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачВ прямоугольном треугольнике АВН:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим радиус описанной окружности через R, а радиус вписанной — через r. Поскольку в равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и является точкой пересечения его медиан, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству медиан треугольника), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Многоугольники

Многоугольник и его элементы
На рис. 113 изображены фигуры, каждая из которых состоит из простой замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все эти фигуры имеют общее название — многоугольники. Два вида многоугольников — треугольники и четырехугольники — мы изучали ранее.

Определение.
Многоугольником
называют фигуру, которая состоит из простой замкнутой ломаной и части плоскости, которую она ограничивает.

Отрезки, которые образуют ломаную, называют сторонами многоугольника, а
их концы — его вершинами. Часть плоскости, ограниченную ломаной, называют внутренней областью многоугольника. Обозначают многоугольник с вершинами, как и соответствующую ломаную. Две вершины многоугольника, которые являются концами одной стороны, называют соседними. Стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называют соседними или смежными. Никакие три последовательные вершины многоугольника не лежат на одной прямой.
Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Обозначают периметр буквой Р.

Угол многоугольника

На рис. 114 изображен угол D пятиугольника и шестиугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение.
Углом многоугольника
при данной его вершине называют угол, образованный двумя лучами, которые выходят из этой вершины и содержат стороны многоугольника.

У каждого многоугольника одинаковое количество вершин, сторон и углов. Если число сторон многоугольника известно, то вместо слова «много» используют соответствующее число. Так получаем треугольник, пятиугольник, двадцатиугольник и тому подобное. Если число сторон n, говорится n-угольник. При этом n — некоторое натуральное число, равное или более 3. Треугольник является многоугольником с наименьшим количеством сторон. Итак, в n-угольнике n сторон, n вершин и n углов.
Каждая сторона многоугольника меньше суммы всех других его сторон (см. примеры решения задач).

Диагональ многоугольника

Определение. Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две его несоседние вершины.

В треугольнике нет диагоналей (любые две его вершины соседние) в четырехугольнике меньше всего диагоналей — две.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники и их свойства

На рис. 115, а) изображен четырехугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой из прямых, содержащих его сторону, то есть каждая из этих прямых не разделяет его на части.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как известно, такой четырехугольник называют выпуклым. Так же размещены
относительно прямых, содержащих их стороны, и многоугольники на рис. 115 б) - в). Естественно, что их тоже называют выпуклыми.

Определение.
Выпуклым многоугольником
называют многоугольник, который лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.

Для выпуклых многоугольников, как и для выпуклых четырехугольников, справедливы следующие свойства.

Свойства.
Каждый из углов меньше развернутого. Каждая из диагоналей принадлежит многоугольнику и разделяет его на части (многоугольники).

На рис. 116 а) изображен четырехугольник, у которого есть прямая, содержащая
его сторону и относительно которой он лежит в разных полуплоскостях (делится на части).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такой четырехугольник, как известно, называют невыпуклым. В многоугольниках, изображенных на рис. 116 б) - в), также есть прямые, содержащие стороны и разделяющие многоугольники на части. Поэтому их также называют невыпуклыми.

Определение.
Невыпуклым многоугольником
называют многоугольник, у которого есть прямая, содержащая его сторону, относительно которой он лежит в разных полуплоскостях (делится на части).

Свойства.
В невыпуклых многоугольниках существует угол, больший развернутого.
В невыпуклых многоугольниках существует диагональ, которая ему не
принадлежит и не разделяет его на части.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Как известно, сумма углов треугольника равна 180° (рис. 117, а), а четырехугольника — 360° (рис. 117, б) (поскольку является суммой углов двух треугольников, на которые он делится диагональю: 180° · 2 = 360°).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По рис. 117 в) легко увидеть, что сумма углов выпуклого пятиугольника равна 540° (поскольку является суммой углов трех треугольников: 180° · 3 = 540°).
Аналогично получаем, что сумма углов выпуклого восьмиугольника (рис. 117, г) равна 180° · 6 = 1080°.
Обобщением полученных геометрических фактов является такая теорема.

Теорема. Сумма углов любого выпуклого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачугольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство.
1. Если n = 3, то n-угольник является треугольником. Сумма его углов равна
180 ° · (4 – 2) = 180°, что доказано ранее.
2. Докажем, если n > 3, то теорема справедлива для любого выпуклого n-угольника. Если n > 3, то любой n-угольник делится на n – 2 треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника. Итак, сумма углов n-угольника равна 180° · (n – 2). Теорема доказана. 
Например, сумма углов выпуклого шестиугольника (n = 6) равна
180° · (6 – 2) = 720°.

Внешний угол многоугольника

Как известно, внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом треугольника. На рис. 118 а) ∠MAB — внешний угол треугольника АВС.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично обозначают и внешний угол любого многоугольника (рис. 118, б).

Определение.
Внешним углом
выпуклого многоугольника при данной его вершине называют угол, смежный с углом многоугольника при этой вершине.

На рис. 118, б) угол KВА — внешний угол при вершине В пятиугольника АВСDЕ, а углы СDР и МDЕ — два внешние угла при вершине D. При каждой вершине многоугольника можно построить два внешних угла.

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанный многоугольник
На рис. 119 изображены треугольник, четырехугольник, шестиугольник и восьмиугольник, вершины каждого из них лежат на окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие многоугольники называют вписанными в окружность, а об окружности говорят, что она описана вокруг многоугольника.

Определение. Вписанным многоугольником называют многоугольник, все
вершины которого лежат на окружности.

Центром окружности, описанной около многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин, то есть точка пересечения срединных перпендикуляров ко всем его сторонам. Вписанным может быть только тот многоугольник, у которого все срединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

Описанный многоугольник

На рис. 120 изображены треугольник, четырехугольник, пятиугольник и восьмиугольник, в которых каждая из сторон примыкает к некоторой точке окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Такие многоугольники называют описанными вокруг окружности, а об окружности говорят, что она вписана в многоугольник.

Определение. Описанным многоугольником называют многоугольник, все
стороны которого касаются  окружности.

Центром окружности, вписанной в многоугольник, является точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника. Такова точка пересечения биссектрис углов многоугольника. Многоугольник является описанным тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

Задача №68

Сколько диагоналей имеет произвольный n-угольник?
Решение.
Из любой вершины многоугольника можно провести (n – 3) диагонали (исключаем саму вершину и две соседние с ней). Тогда из всех n вершин можно провести Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей, потому что в произведении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  каждая диагональ посчитана дважды.

Итак, n-угольник (n > 3) имеетГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей. Так, в четырехугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали; в пятиугольникеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей; в двадцатиугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналей. 

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Сумма угла многоугольника и внешнего с ним угла при одной
вершине равна 180°, а при n вершинах равна 180° · n. Поскольку сумма всех углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n – 2), то сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 

Задача №69

Найти двумя способами угол 15-угольника, у которого все углы равны.

Решение.
1 способ.
Сумма углов 15-угольника равна 180° · (15 – 2) = 180° · 13 = 2340°. Поскольку все углы равны, то один угол 15-угольника равен 2340° :  15 = 156°.
2 способ.
Поскольку углы 15-угольника равны, то равными являются и внешние углы. Один внешний угол равен 360° : 15 = 24°. Один угол многоугольника равен 180° – 24° = 156°.
Ответ: 156°. 

Задача №70

Найти число сторон выпуклого многоугольника, если у него 35 диагоналей.

Решение.
Пусть число сторон многоугольника равно n, тогда число его диагоналей равноГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(не удовлетворяет условие n ≥ 3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площади многоугольников

Что такое площадь? Основные свойства площади

Измерение площадей, как и любых величин, осуществляют с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Такими единицами длины могут быть миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр, а также любой отрезок, принятый за единичный. Квадрат, сторона которого равна какой-нибудь линейной единице, называют единичным, а его площадь называют квадратной единицей: квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром и тому подобное.
Измерить площадь какой-либо плоской фигуры (в частности, многоугольника) значит найти число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в фигуре, площадь которой измеряют, по-другому — сколько раз единица измерения и ее части помещаются в этой фигуре.
Основными свойствами измерения площадей фигур являются такие утверждения.

Свойства:

1. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где S — площадь, E — единичный квадрат.

2. Плоская фигура с выбранной единицей измерения имеет единственную площадь, которая является положительным числом.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где S — площадь, F — геометрическая фигура.

3. Равные фигуры имеют равные площади.
Если 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Если фигура разделена на части, то ее площадь равна сумме площадей частей.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Определение. Равновеликими  называют фигуры, которые имеют одинаковые
площади.

В отдельных случаях площадь фигуры можно установить непосредственным
подсчетом единичных квадратов, которые помещаются в ней. В большинстве же случаев число, которое является площадью фигуры, определяют с помощью формул. Опираясь на основные свойства площадей, выводят формулы, позволяющие по длинами некоторых элементов вычислять площади фигур основных видов (треугольников, параллелограммов, ромбов, трапеций, кругов и т. д.). Площади других фигур находят делением на фигуры или дополнением к фигурам, для которых способы отыскания площадей известны.

Площадь прямоугольника

Теорема.
Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон:
S = a · b.

Теорема о площади прямоугольника справедлива как в случаях, когда длины сторон являются рациональными числами (целыми или дробными), так и тогда, когда длины являются иррациональными числами. Ограничимся доказательством теоремы для случаев, когда длины сторон являются натуральными числами.
Доказательство.
Пусть ABCD — произвольный прямоугольник, у которого AD = a и AB = b (на рис. 121 a = 8, b = 5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поделим сторону AD на a равных частей, а сторону AB — на b равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Получаем b прямоугольных полос, каждая из которых состоит из a единичных квадратов. Итак, всего образуется ab единичных квадратов. Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь прямоугольного треугольника

Теорема.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABC — произвольный прямоугольный треугольник с прямым углом С, катеты которого BC и AC соответственно равны a и b (рис. 123 а). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Через вершины острых углов проведем прямые, перпендикулярные к катетам, точка D — точка их пересечения (рис. 123, б). Образуется прямоугольник CBDA со сторонами a и b, площадь которого равна ab.
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(согласно аксиоме 2). Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема доказана. 

Площадь произвольного треугольника

Теорема.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны и высоты, проведенной к ней:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник, у которого BC = a, AD
высота, проведенная к ВСГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Возможны три случая размещения точки D — основание высоты AD относительно стороны ВС (рис. 124 а) - в).
1 случай. Точка D — основание высоты совпадает с одним из концов стороны ВС, например, с точкой В (рис. 124, а). Тогда ВС и АD являются катетами. Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2 случай. Точка D лежит внутри стороны BC (D — внутренняя точка отрезка ВС) (рис. 124, б). Тогда высота AD разделяет треугольник АВС на два
прямоугольных треугольника: ΔABD и ΔADC. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3 случай. Точка D лежит на продолжении стороны BC (рис. 124, в). Тогда площадь треугольника ABC является разностью площадей двух прямоугольных треугольников: ΔADC и ΔADB. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, во всех трех возможных случаях формула Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
выполняется. Теорема доказана. 

Площадь равностороннего треугольника

Теорема.
Площадь равностороннего треугольника равна:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где a — сторона.

Доказательство. Пусть АВС — равносторонний треугольник, у которого АВ = а (рис. 125). Проведем высоту ВK, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

из ΔABK по теореме Пифагора находим высоту BK:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь параллелограмма

Теорема.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны и высоты, проведенной к ней:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный параллелограмм, у которого одна из сторон, например, AD = a, BK — высота, проведенная к ней, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 127).
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства проведем одну из диагоналей параллелограмма, например,
BD. Она разделит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: ΔABD и
ΔCDB. В треугольнике ABD a является стороной, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач высотой, проведенной к ней. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
 

Площадь ромба

Поскольку ромб является отдельным видом параллелограмма, то доказанная формула площади параллелограмма справедливая и для ромба. Но поскольку у ромба все стороны равны, а также равны и высоты, то установленную формулу для ромба можно сформулировать проще.
Площадь ромба равна произведению стороны и высоты:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим формулу для вычисления площади ромба по его диагоналям.

Теорема.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали.

Доказательство. Пусть ABCD — произвольный ромб, у которого диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 128). О — точка пересечения диагоналей. Докажем, что
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Каждая из диагоналей ромба разделяет его на два равных между собой равнобедренных треугольника, например, диагональ АС разделяет его на треугольники ABC и ADC. В этих треугольниках высотой, проведенной к стороне АС, является половина диагонали BD. Таким образом, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Площадь трапеции

Теорема.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — произвольная трапеция с большим основанием
AD, BK — высота трапеции, проведенная из вершины (рис. 129). Обозначим:
АD = a, BС = b, BK = h.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства проводим одну из диагоналей, например, BD. Она делит трапецию на два треугольника: ABD и ВСD. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Теорема доказана. 
Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то получаем
следствие.

Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней линии и высоты.

Задача №71

Разность сторон прямоугольника равна 4 см, а диагональ — 20 см.
Найти площадь прямоугольника.
Решение
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна х см, тогда большая сторона равна (х + 4) см. Поскольку две соседние стороны прямоугольника и одна из его диагоналей образуют прямоугольный треугольник, у которого диагональ является гипотенузой, то по теореме Пифагора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (не удовлетворяет условию задачи), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 12 см, а большая сторона — 16 см. Таким образом, площадь прямоугольника равна 12 · 16 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №72

Найти площадь квадрата по его диагонали d.
Решение

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в квадрате АВСD диагональ BD = d (рис. 131). Обозначим сторону квадрата через х. В треугольнике ABD (∠А = 90°) по теореме Пифагора:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №73

Две стороны треугольника равны 8 см и 12 см. Высота, проведенная к стороне 12 см, равна 6 см. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне 8 см.

Решение.
Обозначим длину искомой высоты через х см. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения любой стороны и высоты, проведенной к
ней, то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Длина высоты равна 9 см.
Ответ: 9 см.

Задача №74

Доказать, что площадь треугольника равна половине произведения  его периметра и радиуса вписанной окружности.

Доказательство. Пусть в треугольнике АВС (рис. 132) ВС = а, АС = b и АВ = с, ОМ, ON и ОK — радиусы вписанной окружности, проведенные в точку касания, и ОМ = ON = ОK = r. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачлибо Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Р — периметр.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Они делят данный треугольник АВС на три треугольника: ВOА, СОА и СОВ, высотами которых соответственно являются радиусы ОМ, ОK и ON.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №75

В треугольнике высоты, проведенные к сторонам а и b, обозначены Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть в треугольнике даны стороны ВС = а, АС = b и высоты
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 133).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда площадь треугольника АВС: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку это
различные представления площади того же треугольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать.
Замечание. Стороны а, b и с треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Справедливо также утверждение, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.

Задача №76

Доказать, что высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Пусть а и b — смежные стороны параллелограмма (рис. 134).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем высоты: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к стороне аГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач высота к стороне b. Площадь
параллелограмма равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось
доказать. 

Задача №77

Две стороны параллелограмма равны 24 см и 36 см, а разность двух его высот равна 5 см. Найти площадь параллелограмма.
Решение.
В любом параллелограмме высоты обратно пропорциональны сторонам.
Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что в параллелограмме большей есть та высота, которая  проведенная к меньшей стороне.
Пусть х см — меньше высота данного параллелограмма, тогда большая его высота — (х + 5) см. На основе формулы площади параллелограмма получаем уравнение: 36 · х = 24 (х + 5). Имеем: 36х = 24х + 120; 12х = 120; х = 10. Следовательно,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №78

Основания равносторонней трапеции равны 50 см и 14 см, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Найти площадь трапеции.

Решение

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — равносторонняя трапеция (рис. 135), в которой AD = 50 см, ВС = 14 см и BDАВ. Проведем ВМ и СK — высоты трапеции. Поскольку ΔАВМ = ΔDCK и МВСK — прямоугольник, то AM = KD и МK = ВС. Отсюда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Отрезок ВМ является высотой прямоугольного треугольника ABD, проведенной к гипотенузе AD. По теореме о перпендикуляре к гипотенузе как среднее пропорциональное имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 По формуле площади трапеции: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №79

Доказать, что площадь S равносторонней трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Пусть ABCD — данная равносторонняя трапеция (ВС || AD), диагонали которой — АС и BD — пересекаются в точке О и АСBD (рис. 136).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Проведем через точку О перпендикуляр MN к ее основанию. ΔABD = ΔDCA по трем сторонам. Тогда ∠CAD = ∠BDA. Итак, прямоугольный треугольник AOD является равнобедренным (по равенству углов при основании) и AN = ND. Поскольку ∠АОD = 90°, то AD = 2ON и BC = 2OM (по свойству медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника).
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задаччто и требовалось доказать.

Задача №80

Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Доказать, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам, равновеликие.

Доказательство. Пусть в трапеции ABCD точка В — точка пересечения диагоналей (рис. 137).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Треугольники ADC и ABD — равновеликие. У них сторона AD — общая, а высоты, опущенные из вершин В и С, равны. Рассмотрим треугольники АВО и DCO. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть от равных площадей вычитаем площадь треугольника АОD и получаем равные площади треугольников АВО и СDО.

Тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике

Тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике называются соотношения длин его сторон. При этом такое соотношение всегда одно и то же по отношению к углу, который лежит между сторонами, соотношение между которыми должно быть вычислено.

Отношение сторон прямоугольных треугольников с равным углом

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и острым углом А, равным α (рис. 139, а). Построим два произвольных прямоугольных треугольника с острым углом А и двумя другими вершинами на его сторонах,
например, ΔАВС и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 139, б).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку образованные прямоугольные треугольники имеют общий острый угол, то они подобны между собой, и каждый из них подобен данному треугольнику АВС. Подобным треугольнику АВС будет и любой другой треугольник с острым углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который равен углу А (рис. 139, в). По определению подобных треугольников, во всех прямоугольных треугольниках с острым углом α соответствующие стороны будут пропорциональными, а следовательно, отношение любых двух сторон треугольника АВС равны отношению соответствующих сторон всех прямоугольных треугольников с углом α.
Получили такое свойство.

Свойство.
У прямоугольных треугольников с острым углом α отношения соответствующих сторон равны.

В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом α можно составить шесть отношений пар его сторон. Три из них считают основными:
1. Отношение катета, противоположного углу α, и гипотенузы:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Отношение катета, прилежащего к углу α, и гипотенузы:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3. Отношение катета, противоположного углу α, и катета, прилегающего к
углу α:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Три другие отношения являются обратными к основным:
4. Отношение гипотенузы к катету, противоположному углу α Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5. Отношение гипотенузы к катету, прилежащему к углу α  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6. Отношение катета, прилежащего к углу α, к катету, противоположному
углу α  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Все отношения называют тригонометрическими, и каждое из них имеет специальное название.

Синус острого угла и его свойства

Определение.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, противоположного углу, к гипотенузе (рис. 140, а):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства синуса острого угла:

1. Синус угла не зависит от размеров сторон и положения прямоугольного треугольника. Свойство следует из подобия всех прямоугольных треугольников с равным острым углом.
2. Синус острого угла является положительным числом, меньше 1.
Свойство следует из того, что в любом треугольнике катет меньше гипотенузы. Итак, синус угла показывает, какую часть составляет катет, противоположный углу, от гипотенузы.
3. При увеличении угла синус увеличивается.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Свойство проиллюстрировано на рисунке 141.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В прямоугольных треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 141) с равными
гипотенузами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при увеличении острых углов противоположные  к ним катеты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличиваются, а значит и отношение противоположных катетов к гипотенузе увеличивается:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИтак, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

При приближении угла α к 90° синус α приближается к 1, а при приближении к 0° синус приближается к 0. Таким образом, sin α возрастает от 0 до 1. Исходя из этого, договорились считать, что sin 0° = 0, sin 90° = 1.
Из свойств 1-3 следует, что каждому острому углу соответствует одно и только одно значение синуса — положительное число, меньше 1. Ниже приведена таблица приближенных значений синусов для углов, кратных 10°, а таблица для всех целых значений градусных мер подана в дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения синуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правила.
Катет, противоположный углу α, равен произведению гипотенузы и синуса угла α. Гипотенуза равна частному катета и синуса противоположного ему угла.

Пример. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠С — прямой) ∠A = 40°,
AB = 10 см. Тогда BC = a = c sin A = 10 · sin 40° ≈ 10 · 0,6428 ≈ 6,428 (см).

Косинус острого угла и его свойства

Определение.
Косинусом
острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе (рис. 143, а):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства косинуса острого угла:

1. Косинус угла не зависит от размеров сторон и положения прямоугольного треугольника.
2. Косинус острого угла является положительным числом, меньше 1.

Косинус угла показывает, какую часть составляет катет, прилегающий к углу,
от гипотенузы. Обоснование свойств 1-2 аналогичны обоснованиям соответствующих свойств синуса.
3. При увеличении угла косинус уменьшается.
Если α> β, то cos α cos β, то α <β.
Свойство проиллюстрировано на рисунке 144.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В прямоугольных треугольниках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 144) с равными
гипотенузами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпри увеличении острых углов прилегающие к ним
катеты уменьшаются: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а следовательно и отношение прилегающих катетов к гипотенузе уменьшаются Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
При приближении угла α к 0° косинус α приближается к 1, а при приближении угла α к 90° косинус α приближается к 0. Следовательно, косинус α изменяется от
1 до 0. Исходя из этого, договорились считать, что cos 0° = 1, cos 90° = 0.
Каждому остром углу соответствует одно и только одно значение косинуса. Ниже приведена таблица приближенных значений косинусов для углов, кратных 10°, а таблица для всех целых значений градусных мер подана в дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен α (рис. 145).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда ∠B = 90° – α. Отношение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для угла A является косинусом, а для угла
B — синусом. Итак, cos A = sin B, то есть cos α = sin (90° – α).
Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, sin α = cos (90° – α).
Например, а) cos 38° = sin (90° – 38°) = sin 52° ; б) sin 54° = cos 36°.

Из определения косинуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Правила.
Катет, прилегающий к углу
α, равен произведению гипотенузы и косинуса угла α.
Гипотенуза равна частному катета и косинуса прилегающего к нему угла.

Тангенс острого угла и его свойства

Определение.
Тангенсом
острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, противоположного углу, к катету, прилегающему к нему (рис. 146, а):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Свойства тангенса острого угла:
1. Тангенс угла не зависит от размеров сторон прямоугольного треугольника.
2. Тангенс угла равен частному синуса этого угла и его косинуса.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Так, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. При увеличении угла тангенс увеличивается.
Поскольку при увеличении угла sin α увеличивается, а cos α уменьшается, то
дробь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается, а следовательно, tg α увеличивается.

Ниже приведена таблица приближенных значений тангенсов для углов, кратных 10°, а таблица для целых значений градусных мер подана в  дополнении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения тангенса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правило.
Катет, противоположный углу 
α, равен произведению другого катета и тангенса угла α.

Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 60° и 45°

Углы 30° и 60°:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 148), в
котором ∠A = 30°, а, следовательно, ∠B = 60°.
Пусть гипотенуза AB = a. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме Пифагора получаем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Угол 45°:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого ∠A = 45°, а, следовательно, и ∠B = 45° (рис. 149). Пусть катет AC = a, тогда и катет BC = a. По теореме Пифагора:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №81

Стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см. Найти угол между диагоналями.

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть ABCD — прямоугольник (рис. 150), у которого АВ = 16 см и AD = 12 см. Углом между диагоналями является острый угол AOD. Он лежит против меньшей стороны прямоугольника. Проведем ОМ — перпендикуляр из точки О к стороне AD. Поскольку треугольник AOD равнобедренный, то высота ОМ является его медианой и биссектрисой. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По таблице тангенсов находим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Таким образом, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ: ≈74 °. 

Задача №82

Построить острый угол α, у которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Чтобы построить искомый угол, достаточно построить прямоугольный треугольник, у которого отношение удаленного от него катета к гипотенузе
равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение

1. Чертим произвольный отрезок m и такие два отрезка а и с, что а = 2m и c = 3m (рис. 151).
2. Проведем произвольную прямую l (рис. 152), обозначаем на ней точку С; проводим через точку С прямую n, перпендикулярную прямой l, и откладываем на ней отрезок ВС = а.
3. Описываем круг с центром в точке В, радиус которого равен c; точку пересечения окружности и прямой l обозначаем через А. Проводим отрезок ВА. угол ВАС искомый: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №83

Построить острый угол α, у которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Решение.
Чтобы построить искомый угол, достаточно построить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а другой катет равен 3 единицам длины.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение

1. Строим прямоугольный треугольник с катетами, равными а и 3а, где а — произвольный отрезок (рис. 153). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза построенного треугольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Строим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 154). Угол А — искомый угол: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №84

Диагонали ромба равны а и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти углы ромба.
 Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач BD = a (рис. 155). По свойству диагоналей ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачИз треугольника AODГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Откуда ∠ОАD = 30°. Тогда ∠BAD = 60°. ∠ABC = 180° – 60° = 120°.
Ответ: 60 °, 120 °. 

Котангенс угла

Определение.
Котангенсом
 острого угла прямоугольного треугольника называют отношение катета, прилежащего к этому углу, и катета, противолежащего ему (рис. 156, а):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Легко доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, tg α и ctg α взаимно обратные числа: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение задач на тему: Прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник означает найти все его неизвестные
стороны и углы по другим известными элементами (сторонам, углам). Один
элемент прямоугольных треугольников всегда известен — это прямой угол. Чтобы решить прямоугольный треугольник, нужно знать еще два элемента, среди которых должен быть хотя бы один линейный элемент (отрезок). Есть 4 типа задач на решения прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по катетам и гипотенузе; 3) по гипотенузе и острому углу; 4) по катету и острому углу (прилегающим или противоположным).
Договоримся, что в дальнейшем в этой лекции, рассматривая прямоугольные треугольники, мы будем принимать следующие обозначения: а и b — катеты, ∠А и ∠В — соответствующие острые углы, которые лежат против этих катетов, с — гипотенуза.

Задача №85

Решить прямоугольный треугольник по двум катетами.
Дано: a; b.
Найти: с; ∠A; ∠B.

Решение.
1. По теореме Пифагора находим гипотенузу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице тангенсов определяем угол A.
3. Находим угол B: ∠B = 90° – ∠A.
Треугольник решен.
 

Задача №86

Даны a = 6, b = 8 Найти: c; ∠A; ∠B.
Решение.
1.. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице находим: ∠A = 37 °.
3. ∠B = 90° – ∠A = 53°.
Ответ: с = 10, ∠A = 37 °, ∠B = 53 °.

Задача №87

Решить треугольник с гипотенузой и катетом.
Дано: a и c.
Найти: b; ∠A; ∠B.

Решение.
1. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По таблице синусов определяем угол A.
3. Находим угол B: ∠B = 90° –∠A
 

Задача №88

Дано: a = 5, c = 13 Найти: b; ∠A; ∠B.

Решение.
1. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2. Вычисляем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. ∠B ≈ 90° - 23° = 67°.
Ответ: с = 12; ∠A ≈ 23°, ∠B ≈ 67°. 
 

Задача №89

Решить треугольник с гипотенузой и острым углом.
Дано: c, ∠A.
Найти: ∠B; a; b.

Решение.
1. Находим угол B: ∠B = 90° - ∠A.
2. Находим по таблице sin A и вычисляем a: a = c · sin A.
3. Находим по таблице cos A и вычисляем b: b = c · cos A
 

Задача №90

Дано: c = 10, ∠A = 20°. Найти: ∠B; a; b.

Решение.
1. ∠B = 90° – 20° = 70°.
2. a = c sin A = 10 sin 20° ≈ 10 · 0,342 ≈ 3,42 ≈ 3,4.
3. b = c cos A = 10 cos 20° ≈ 10 · 0,9397 ≈ 9,397 ≈ 9,4.
Ответ: ∠B = 70 °; a ≈ 3,4; b ≈ 9,4.

Задача №91

Решить треугольник с катетом и острым углом.
Дано: a, ∠A.
Найти: ∠B; c; b.

Решение.
1. Находим угол B: ∠B = 90° – ∠A.
2. По таблице находим sin A и вычисляем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. По таблице находим tg B и вычисляем b: b = atg B
 

Задача №92

Дано: a = 12, ∠A = 37°. Найти: ∠B; c; b.

Решение.
1. ∠B = 90° – 37° = 53°.
2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3. b = atg B = 12 tg 53° ≈ 12 · 1,327 ≈ 15,924 ≈ 16.
Ответ: ∠B = 53°; c ≈ 20; b ≈ 16. 
 

Прикладные задачи по геометрии

Прикладными называют задачи, в которых говорится о применении геометрических фактов к негеометрическим объектам.
Рассмотрим несколько прикладных задач, решение которых сводится к
нахождению элементов прямоугольных треугольников.

Задача №93

Пройдя 200 м вверх, пешеход поднялся на 7 м. Найти угол наклона дороги.
Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 157 отрезок AB изображает дорогу, а отрезок BC — подъем. Угол A — искомый угол. Отношение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является синусом угла AГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

В таблице синусов к числу 0,035 ближайшее является значение синуса 0,0349, которое соответствует углу 2°. Итак, ∠A = 2°. 
 

Задача №94

Какой должна быть минимальная длина лестницы, чтобы ею можно было подняться на крышу дома высотой 8 м, если ставить ее можно под углом не более 65°?
Решение.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рис. 158 отрезок AB изображает лестницу, отрезок AC — дом.
Искомый отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Имеем:
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 

Задача №95

Определить расстояние от точки С до недоступной точки A (рис. 159).

Решение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На территории под прямым углом к ​​искомому отрезку АС откладывают отрезок CB произвольной длины, например, 100 м. С помощью угломерного инструмента (астролябии, теодолита) измеряют угол CBA. Пусть ∠CBA = 62°. Находим AC: AC = BC · tg B = 100 · 1,881 = 188,1 (м).
AC = 188,1 м. 
 

Задача №96

У реки размещена башня высотой 33 м. Ближний берег реки видно из этой башни под углом 65° к горизонту, а дальний — под углом 29° (см. рис. 160). Вычислить ширину реки.
Решение.


Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
На рисунке 160 искомая ширина реки изображена отрезком BD, который является разностью отрезков CD и CB. Из треугольника ACD находим CD: CDAC tg ∠CAD = AC tg (90° – 29°) = 33 tg 61°. Из треугольника ACB находим CB:
CB = AC tg ∠CAB = AC tg (90° – 65°) = 33 tg 25°. Имеем: BD = CD – CB = 33 (tg 61° – tg 25°) ≈ 33 · (1,804 – 0,4663) ≈ 33 · 1,3377 ≈ 44,14 (м).

BD ≈ 44,14 м

Метод координат на плоскости

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами.

Координатная плоскость

С понятием координатной плоскости мы ознакомились в курсе математики, а в курсе алгебры использовали его для построения графиков функций.

Вспомним, как задают координатную плоскость. Пусть на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекаются в точке О (рис. 1). Эти прямые называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (обычно она горизонтальная) называют осью абсцисс, ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачосью ординат.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 1

Начало координат разбивает каждую из осей на две полуоси. Одну из них принято называть положительной и изображать со стрелочкой, а вторую — отрицательной. На каждой из осей координат выбирают единичный отрезок. Начало отсчета каждой из осей — число 0 — совпадает с точкой O. В таком случае говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат.

Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке А координатной плоскости можно поставить в соответствие пару чисел — координаты точки. Для этого через точку А надо провести прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекут оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в некоторых точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 2). 

Абсциссой точки А называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, модуль которого равен расстоянию от точки O до точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит положительной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрицательной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Если же точка А лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее абсцисса равна нулю. Ординатой точки А называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, модуль которого равен расстоянию от точки O до точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит положительной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрицательной полуоси, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Если же точка А лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ее ордината равна нулю.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 2

Координаты точки записывают в скобках рядом с названием точки: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На первом месте всегда пишут абсциссу, на втором — ординату. Абсциссу точки А можно обозначать Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а ординату — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти обозначения удобно использовать при решении задач, когда каждую координату находят отдельно. Если, например, А(–2; 3), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Введенные на плоскости координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют декартовыми в честь французского математика Рене Декарта (1596-1650), которому принадлежит идея введения и применения координат в математике.

Задача №97

Стороны прямоугольника ABCD параллельные осям координат. Найти координаты точек В и D, если А(–1; 2), С(3; –2).

Решение. Рассмотрим рисунок 3. Поскольку прямая AB параллельна оси абсцисс, то ординаты точек A и В одинаковые:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично, поскольку прямая BC параллельна оси ординат, то абсциссы точек В и C  одинаковые: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, В(3; 2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 3

Рассуждая таким же образом, получим: D(—1; —2).
Ответ. В(3, 2), D(—1; —2).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, каждую из которых называют координатной четвертью или координатным углом (рис. 4). В пределах одной координатной четверти знаки каждой из координат не изменяются. Знаки координат и общепринятая нумерация координатных углов показаны на рисунке 4.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 4

На рисунке 5 указаны координаты точек, принадлежащих осям координат, и координаты точки O.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                             Рис. 5

Задача №98

В каких координатных четвертях может лежать точка В, если произведение ее абсциссы и ординаты является числом:
1) положительным;               2) отрицательным?
Решение. Пусть имеем точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа одного знака, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0. Поэтому точка В лежит в первой или третьей четверти.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа разных знаков, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0 и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0. Поэтому точка В лежит во второй или четвертой четвертях.

Ответ. 1) В первой или третьей четверти; 2) во второй или четвертой четверти.

Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°. Тригонометрические тождества

До сих пор мы рассматривали синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника как отношение определенных его сторон. Теперь сформулируем определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат и проведем в ее первом и втором координатных углах полукруг радиуса 1, центр которого совпадает с началом координат (рис. 7). Назовем его единичным полукругом. Обозначим буквой А точку пересечения этого полукруга с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и договоримся откладывать от луча ОА углы против часовой стрелки. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый угол, точка В принадлежит полукругу. Проведем из точки В перпендикуляр ВС к оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Образовался прямоугольный треугольник ОВС с гипотенузой OB, где OB = 1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 7

Значение синуса, косинуса, тангенса острого угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выразим через координаты точки В

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точно так же будем находить синус, косинус и тангенс других углов от 0° до 180°. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка единичного полукруга, лежащая во второй четверти (рис. 8).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                 Рис. 8

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой. Имеем:  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точек единичного полукруга изменяются в пределах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то для любого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, такого, что 0° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 180°, справедливы неравенства:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но если:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Кроме того, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается от 0° до 90°, то его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0. Если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач увеличивается от 90° до 180°, то его синус уменьшается от 1 до 0, а косинус уменьшается от 0 до –1.

Найдем значение синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 90° и 180°.

На рисунке 8 углу 0° соответствует точка А(1; 0). Поэтому sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0. Углу 90° соответствует точка М(0; 1), поэтому sin 90° = 1, cos 90° = 0, но tg 90° — не существует, поскольку на ноль делить нельзя. Углу 180° соответствует точка N(–1; 0), поэтому sin 180° = 0, cos 180° = 1, tg 180° = 0.

Итак,
если ВГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка единичного круга, которая соответствует углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

С этого определения следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Очевидно, что для Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= 90°    tg Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует.

Поскольку каждому углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от 0° до 180° соответствует единственное значение синуса, косинуса и тангенса, то можно считать синус, косинус и тангенс функциями с аргументом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эти функции (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) называют тригонометрическими и изучают в курсе алгебры старших классов.

Рассмотрим некоторые зависимости между функциями одного и того же аргумента, которые называют тригонометрическими тождествами.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач                     (1)

Доказательство. Рассмотрим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 7). По теореме Пифагора: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  ПоэтомуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выражение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и аналогичные ему для удобства принято записывать без скобок, например  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют основным тригонометрическим тождеством. Из этого тождества можно выразить синус угла через его косинус:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

и косинус угла через его синус:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В последней формуле знак «–» пишут, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – тупой.

sin (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,     cos (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = –cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач           (2)

Доказательство. Рассмотрим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач единичного полукруга, соответствующие углам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 9

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (по гипотенузе и острому углу). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Откуда следует, что абсциссы точек В  и В1  являются противоположными, а их ординаты — одинаковыми: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
получим:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

tg (180° — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) =  –tg Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                      (3)

Доказательство. Учитывая тождество (2), имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Используя формулы (2) и (3), можно выразить синус, косинус и тангенс тупого угла 180 ° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через синус, косинус и тангенс острого угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №99

Найти синус, косинус и тангенс углов 120°, 135° и 150°.
Решение.
sin 120° = sin (180° — 60°) = sin 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 120° = cos (180° — 60°) = –cos 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 120° = tg (180° — 60°) = –tg 60° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
sin 135° = sin (180° — 45°) = sin 45° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 135° = cos (180° — 45°) = –cos 45° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 135° = tg (180° — 45°) = –tg 45° = –1;
sin 150° = sin (180° — 30°) = sin30° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
cos 150° = cos (180° — 30°) = –cos 30° = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
tg 150° = tg (180° — 30°) = –tg 30° =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Систематизируем сведения и полученные в этой лекции в виде таблицы.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Синус, косинус и тангенс других углов можно находить с помощью таблиц или калькулятора. Для вычислений используем клавиши калькулятора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на некоторых калькуляторах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). Например, sin 124°Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 0,8290; cos 157° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач –0,9205;  tg 178° Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач –0,0349.
С помощью таблиц или калькулятора можно по данным значениями sinГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, cosГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или tgГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находить значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Для вычисления на калькуляторе используем клавишиГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (на некоторых калькуляторах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачили последовательное нажатие клавиши Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и одной из клавиш Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Задача №100

Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если: 1) cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –0,3584;   2) sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,2588.

Решение. 1) cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –0,3584. С помощью калькулятора находим значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  в градусах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 111°.

2) sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0,2588. С помощью калькулятора находим значение угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в градусах: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 15°. Но sin (180° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому sin (180° – 15°) = 0,2588, то есть sin 165° = 0,2588. Итак, существуют два таких угла, синус которых равен 0,2588, а именно: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 15° и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 165°.

Ответ. 1) 111°;  2) 15° или 165°.

sin (90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = cos Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,          cos (90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                           (4)

Доказательство. Рассмотрим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач единичной полуокружности, соответствующие углам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 90° – Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10).

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по гипотенузе и острому углу). Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 10

Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №101

Упростить: 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
                                          2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 1;   2) 0 .

Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и наоборот, каждой паре чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует единственная точка координатной плоскости. В таком случае говорят, что существует взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их координатами  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это дает возможность решать некоторые задачи методом координат, то есть представлять геометрические соотношения расположения точек и фигур через алгебраические соотношения между их координатами. Раздел геометрии, изучающий такие методы решения, называют аналитической геометрией.

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором изучают геометрические фигуры и их свойства средствами алгебры на основе метода координат.

Далее рассмотрим простейшие задачи аналитической геометрии, полный курс которой изучают в высших учебных заведениях.

Координаты середины отрезка

Задача №102

Даны точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точка M — середина отрезка AB. Найти координаты точки M.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 11

Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB не параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем через точки А, В и M прямые, параллельные оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11). Они пересекают ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные между собой и M — середина AB, то, по теореме Фалеса, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  или  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из первого равенства имеем формулу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а второе — не имеет смысла, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также справедлива.
3) Аналогично доказываем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
координаты точки M — середины отрезка AB, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, находим по формулам:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №103

Найти координаты точки M — середины отрезка, концами которого являются точки А(–5; 8) и В(3; –12).

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. М(–1; –2).

Задача №104

Точка C – середина отрезка AB. Найти координаты точки А, если В(—2; 4), С(8; 0).
Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Аналогично,    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, А(18; –4).
Ответ. А(18; –4).

Задача №105

Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках А (5; —4), В (—4; 1), С (—3; 2) и D (6; –3) — параллелограмм.
Решение. Пусть точка O — середина диагонали AC четырехугольника ABCD. Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, О(1; –1).
Пусть точка Q — середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Q(1; –1).

Получается, что середины диагоналей четырехугольника ABCD  совпадают и точка О(1; –1) делит каждую из диагоналей пополам. Итак, диагонали четырехугольника ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм. 

Расстояние между двумя точками

Задача №106

Найти расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB  не параллельный ни одной из осей координат, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Проведем через точки А и В прямые, параллельные осям координат (рис. 12). Они пересекают ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольник, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 12

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора найдем гипотенузу AB: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такой же результат получим и по выведенной в предыдущем пункте формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

3) Если отрезок AB параллелен оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Такой же результат получим и по приведенной для AB формуле.

4) Если же точки А и В совпадают, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и полученная формула для AB опять же подтверждается.

Итак, расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №107

Найти расстояние между точками А и В, если: 1) А(4; –2), B(1; 2);    2) A(3; 5), В (7; –1).

Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. 1) 5;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №108

Найти на оси абсцисс точку, равноудаленную от точек А(2, 7) и В(6, 1).

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— искомая точка. Так как по условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –2. Итак, искомой является точка С(–2; 0).

Ответ. (–2; 0).

Уравнение окружности

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат. Например, графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямая, графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — парабола, а графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — гипербола. Также известно, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, то есть уравнения вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является прямая.

Уравнение фигуры:

Рассмотрим понятие уравнения для геометрической фигуры.

Уравнением фигуры на координатной плоскости называют уравнение с двумя переменными Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если выполняются следующие два условия:
1) координаты любой точки фигуры удовлетворяют это уравнение;
2) любая пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, удовлетворяющая это уравнение, является координатами некоторой точки фигуры.

Уравнение окружности:

Найдем формулу, задает окружность радиуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 13

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка окружности. Расстояние QM записываем по формуле расстояния между двумя точками: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку точка M лежит на окружности, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач каждой точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данной окружности удовлетворяют полученное уравнение.
2) Рассмотрим некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, координаты которой удовлетворяют
уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Из этого равенства следует, что расстояние между точками Q и N равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому точка N принадлежит окружности.

Итак,

уравнение окружности с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет
вид: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

В частности, уравнение окружности радиуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  с центром в начале координат
имеет вид:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №109

Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Итак, центром окружности является точка Q(–2; 3), а радиус окружности Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.
Ответ. Q(–2; 3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.

Задача №110

Доказать, что уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является уравнением окружности. Найти координаты центра окружности и ее радиус.
Решение. Выделим квадраты двучлена в левой части данного уравнения:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, заданное уравнение является уравнением окружности с центром в точке
Q(4; –3) и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. (4; –3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №111

Составить уравнение окружности с диаметром AB, если А(–5; 7), B(3; 11).
Решение. Пусть точка Q — центр окружности. Тогда Q — середина AB. Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Радиус окружности — это отрезок QA:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Найдем уравнение искомой окружности:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой

Из курса алгебры вы знаете, что прямая является графиком линейной функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и графиком линейного уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассмотрим уравнение прямой в геометрии.

Общее уравнение прямой

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная прямая на координатной плоскости (рис. 14).  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 14

1) Выберем две точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, чтобы прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач была серединным перпендикуляром к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По свойству серединного перпендикуляра имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а значит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Поэтому для точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач истинно равенство: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                          (1)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Введем обозначения: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим, что любая точка прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет равенство

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.                                          (2)

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — различные точки, то хотя бы одно из выражений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отлично от нуля. Итак, хотя бы один из коэффициентов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении (2) отличен от нуля.
2) Рассмотрим некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, координаты которой удовлетворяют уравнение (2). Выполнив алгебраические преобразования, которые являются достаточно громоздкими, можно убедиться, что координаты точки N удовлетворяют также и уравнение (1). Поэтому точка N равноудалена от точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, точка N принадлежит прямой, которая является срединным перпендикуляром к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат имеет вид
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, с — числа, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно не равны нулю.

Уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач еще называют общим уравнением прямой.

Задача №112

Найти точки пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с осями координат.
Решение. 1) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой с осью абсцисс. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, А(5; 0) — точка пересечения прямой с осью абсцисс.

2) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой с осью ординат. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, B(0; –3) — точка пересечения прямой с осью ординат.
Ответ. А(5; 0), B(0; –3).

Расположение прямой относительно системы координат

Рассмотрим расположение прямой относительно системы координат в некоторых частных случаях.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Все точки прямой имеют одну и ту же ординату Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому прямая  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 15).
В частности, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямаяГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с осью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .  Точки прямой имеют одну и ту же абсциссу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 15                                       Рис. 16                                  Рис. 17

В частности, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  совпадает с осью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Координаты точки (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой. Поэтому прямая проходит через начало координат (рис. 17).

Систематизируем полученные результаты в таблице.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Составим уравнение прямой, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим случаи.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Все точки прямой имеют одну и ту же абсциссу, равную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 18). Уравнение прямой имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 18                                             Рис. 19

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Все точки прямой имеют одну и ту же ординату, равную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19). Уравнение прямой имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая точка прямой. Через точку A проведем прямую, параллельную оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а через точки M и B — прямые, параллельные оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 20). Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                              Рис. 20

В треугольнике ВАK: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В треугольнике МАР:    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  , то есть    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    (3)
После применения основного свойства пропорции и упрощения уравнение (3) сводится к виду Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Уравнение прямой, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеет вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №113

Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2; –3) и B(4; –5).
Решение. Используя формулу (3), имеем: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, окончательно получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ легко проверить, подставив в полученное уравнение координаты каждой из заданных точек.

Угловой коэффициент прямой

Если в общем уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не равен нулю, то, выразив из этого уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Обозначив Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, приходим к выводу, что прямую можно задавать как уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку каждое из них является уравнением прямой.

Выясним геометрический смысл коэффициента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — две точки прямой. Поскольку координаты точек удовлетворяют уравнению Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вычтем почленно из второго уравнения первое, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но выше мы уже доказали, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 20).
Поскольку прямая AP параллельна оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — это угол, который образует прямая AB  с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —  острый, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Рассмотрим случай, когда прямая образует с положительным направлением
оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тупой угол (рис. 21). Имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 180°, тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 21

По известной формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  опять получим, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой.
Итак, приходим к выводу о геометрическом смысле коэффициента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой.

Коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют угловым
коэффициентом прямой
. Причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если прямая образует острый угол с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если этот угол — тупой.

Задача №114

Доказать, что уравнение прямой с угловым коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеет вид Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Запишем общий вид прямой с угловым коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем коэффициент Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку прямая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой, то есть:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Подставим значение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получим:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №115

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–3; 5) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол 135°.
Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Условие параллельности прямых

Если прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то углы, которые они образуют с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, между собой равны (рис. 22). Тогда и тангенсы этих углов также равны, а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 22


И наоборот, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то тангенсы углов, которые образуют прямые с положительным направлением оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  равны, а поэтому прямые параллельны.

Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны тогда и только тогда, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, параллельными являются прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
у которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Координаты точки пересечения двух прямых

Пусть дано уравнение двух прямых в общем виде: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки их пересечения. Поскольку эта точка принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют каждому из двух уравнений. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, которыми заданы эти прямые.

Задача №116

Найти точку пересечения прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Решив систему Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, (3; 1) — точка пересечения прямых.

Ответ. (3; 1).

Векторы на плоскости

Есть величины, которые полностью характеризуются своим числовым значением. Примерами таких величин являются длина, площадь, масса, время, температура и другие Такие величины называют скалярными величинами, или, короче, скалярами.

Однако есть величины, которые, кроме числового значения, задаются еще и направлением. Таковы, например, физические величины: сила, перемещение материальной точки, скорость, ускорение. Чтобы охарактеризовать движение автомобиля, часто недостаточно знать, с какой скоростью он движется; нужно знать еще и в каком направлении.

Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами, или векторами.

Изображают векторы в математике направленным отрезком.

Отрезок, для которого определено направление, называют направленным отрезком или вектором.

Вектор удобно изображать отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора (рис. 31). Вектор обозначают двумя большими латинскими буквами, первую из которых считают началом вектора, а вторую — его концом, и стрелкой над ними. Вектор, изображенный на рисунке 31, записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Буква A — начало вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, буква B — его конец.

Иногда векторы обозначают одной малой латинской букой, например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 32).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 31                         Рис. 32                                      Рис. 33

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называют нулевым вектором, или нуль-вектором. Такой вектор изображают точкой. Если, например, точку, изображающую нулевой вектор, обозначить буквой F, то этот нулевой вектор можно называть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 32). Нулевой вектор обозначают еще символом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  У нулевого вектора нет направления.

Модулем (длиною или абсолютной величиною) вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют длину отрезка AB.

Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначают: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Длина нулевого вектора равна нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №117

Найти модули векторов, изображенных на рисунке 33, если сторона клетки равна единице измерения отрезков.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Коллинеарными называют два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Например, на рисунке 34 коллинеарными являются пара векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и тому подобное.
Для коллинеарных векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  используют запись:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Коллинеарны векторы бывают сонаправленными, то есть имеют одинаковое
направление (векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  на рис. 34), или противоположно направленными
(векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  на рис. 34). Записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 34

Рассмотрим понятие равенства векторов.
Пусть тело движется с определенной скоростью в определенном направлении (рис. 35). Тогда все точки данного тела движутся с указанной скоростью в том же направлении.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 35

Поэтому все направленные отрезки (векторы) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которыми изображены скорости этих точек, является сонаправленными и имеют одинаковые модули. Такие векторы называют равными.

Два вектора называют равными, если они сонаправленные и их модули между собой равны.

Равенство векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №118

ABCD — ромб (рис. 36). Равны ли векторы:
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ;   3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   ; 4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ?
Решение.
1) Итак, поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы равны.
2) Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не являются сонаправленными, то они не являются равными.
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также не равны, поскольку не являются сонаправленными.
4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тоже не равны.
Ответ. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) нет.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 36                       Рис. 37

Задача №119

Точки A, B, C и не лежат на одной прямой. Тогда, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то ABDC — параллелограмм. И наоборот, если ABDC  — параллелограмм, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Докажите.
Доказательство.
1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежат на одной прямой (рис. 37). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По признаку параллелограмма, учитывая, что точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC, получим, что ABDC — параллелограмм.

2) Пусть ABDC — параллелограмм, тогда AB || CD и AB = CD (рис. 37). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим, как от заданной точки отложить вектор, равный данному. Если даны вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка C, то отложить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от точки C означает построить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №120

От точки C отложить вектор, равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. 1-й случай. Точка C лежит на прямой AB (рис. 38). Отложим от точки C в том же направлении, что и у вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , отрезок CD (точка D принадлежит прямой AB), равный отрезку AB. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 38

2-й случай. Точка C не лежит на прямой AB (рис. 37). Строим параллелограмм ABDC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. доказательство предыдущей задачи).
Заметим, в обоих случаях построенная точка D является единственной.

Координаты вектора

Если на плоскости ввести систему координат, то каждый вектор можно задать парой чисел — координатами вектора.

Координатами вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют числа  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Записывают вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, указывая его координаты, так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(3; –4), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; –2).

Задача №121

Найти координаты вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если: 
1) А(–2; 5), В(7, 3);        2) А(–4; 8), B(–4; 10).
Решение. 1) По определению координат вектора имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(9; –2).
2) Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; 2).
Ответ. 1) (9; –2);   2) (0, 2).

Координатами вектора могут быть любые действительные числа. Обе координаты нуль-вектора равны нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Расстояние AB между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,

то
модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №122

Найти модуль вектора: 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(3; –4);   2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4; –1).
Решение.
1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;    2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 1) 5;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Задача №123

Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен 10. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение . Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По условию  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решив полученное уравнение, получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 8 или –8.

Теорема (о равенстве векторов). У равных векторов соответствующие координаты равны, и наоборот, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Доказательство. Рассмотрим вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 47

1) Пусть вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежит ни на одной из координатных осей (рис. 47). Отложим от точки O(0; 0) вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В параллелограмме ABCO точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – точка пересечения диагоналей. Тогда по формуле координат середины отрезка:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Откуда имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  а поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны.
Если вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 48), то очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны.
Аналогично доказываем в случае, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежит на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                     Рис. 48

2) Пусть соответствующие координаты векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  равны (рис. 47), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
В четырехугольнике ABCO точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина AC;  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина BO; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — совпадают, то есть середины диагоналей четырехугольника ABCO совпадают. При этом точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит каждую из них пополам. Итак ABCO — параллелограмм, а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежат на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 48), то очевидно, что   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  сонаправленные.

Аналогично доказываем в случае, когда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №124

Даны точки М(–3; 4), N(5; –7), С(4; –2), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(5 – (–3);  –7 – 4), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(8; –11),  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – (–2)), то есть (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + 2). Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач – 4 = 8  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + 2 = –11, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 12, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –13.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 12; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = –13.

Сложение и вычитание векторов

Как и числа, векторы можно складывать и вычитать. Результатом сложения или вычитания векторов является вектор.

Суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–5; 2) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4; –11) является вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–5 + 4; 2 + (–11)), то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–1; —9).

Для суммы векторов справедливы равенства:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    (переместительный закон сложения);
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (сочетательный закон сложения).


Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты, стоящие в левой и правой частях равенств. Эти координаты равны между собой, а векторы с соответствующими равными координатами равны.

Задача №125

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшим, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач?

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем его модуль:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет наименьшим, когда выражениеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач приобретает наименьшее значение. Это значение равно 0 и достигается, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема (правило треугольника сложения векторов). Каковы бы ни были точки А, В и C, истинно равенство: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — данные точки (рис. 51). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 51                                     Рис. 52

Итак, приходим к правилу построения суммы двух произвольных векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачправилу треугольника (рис. 52):

1) от конца вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  откладываем вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) строим вектор, начало которого совпадает с началом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а конец — с концом вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; этот вектор и является суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 
Сумму двух векторов можно находить и по правилу параллелограмма (рис. 53):
1) откладываем векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от общего начала (точки K);
2) строим на данных векторах параллелограмм;
3) строим вектор, являющийся диагональю параллелограмма, которая выходит из точки K; этот вектор и будет суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  но  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Заметим, что по правилу треугольника можно найти сумму любых двух векторов, а по правилу параллелограмма — только неколлинеарных.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

               Рис. 53                           Рис. 54      

Разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют вектор  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,
разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 51), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Отсюда получим правило построения разности двух векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 54):
1) откладываем от одной точки вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , и вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равный вектору  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) строим вектор, начало которого совпадает с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а конец —
с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, он и является разностью векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №126

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 55), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выразить векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 55
Решение.
1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  отсюда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение вектора на число

Зная, что такое сумма векторов, можно рассматривать суммы вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и другие. Такие суммы, как и в алгебре, будем записывать в виде произведений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и т. д.

Результатом умножения вектора на число является вектор.

Произведением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Например, произведением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число —1 является векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на число 2 — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, на число 3 — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Для произведения вектора на число истинны свойства:

для любых вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:

 (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ;

для любых векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие
координаты левой и правой частей равенств. Эти координаты между собой равны, а следовательно, равны и векторы.

По определению суммы, разности векторов и произведения вектора на число можно определить координаты любой вектора, записанного в виде алгебраической суммы векторов, координаты которых известны.

Задача №127

Даны векторы (2; -5) и (-4; 1). Найти координаты вектора: 1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Решение удобное записать так:
1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач       2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема (о произведении вектора на число). Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  сонаправленный с вектором  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и противоположно направленный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Построим в координатной плоскости векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
которые соответственно равны векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где точка O — начало координат (рис. 65).

Пусть   векторГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Составим уравнение прямой OA

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач упростив которое, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Координаты точки В  удовлетворяют это уравнение. Действительно:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Это означает, что точка B  принадлежит прямой OA. В случае, когда она принадлежит лучу OA, ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеют соответственно те же знаки, что и координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки А (рис. 65). В случае же, когда точка B  лежит на дополнительном к OA луче, ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  будут иметь
знаки, противоположные знакам координат Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки А (рис. 66).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач            Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач       Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 65                           Рис. 66                                           Рис. 67

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка В  будет лежать на луче OA, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка В  будет лежать на дополнительном к OA луче. Поэтому если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сонаправленные, а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то они  — противоположно направленные.

Найдем модуль вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 67 для данного вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  построены векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из этого примера и доказанной теоремы следует важный вывод:

вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, коллинеарный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно представить в виде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, гдеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ≠ 0, и наоборот, если, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ≠ 0, то векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — коллинеарны.

Пусть даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если они коллинеарны, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда (если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) имеем, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Итак, приходим к условию коллинеарности векторов:

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольные векторы. Тогда если:
1) x1 = x2 = 0, то векторы 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; y1) и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; y2) — коллинеарны; причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0 , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0   , то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) y1 = y2 = 0, то векторы   
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(x1; 0)  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(x2, 0) — коллинеарны; причем, если  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач> 0 , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  < 0  , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3)
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, x2 ≠ 0, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, y2 ≠ 0, то векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ; а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №128

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачколлинеарны? Сонаправлены или противоположно направлены эти векторы?
Решение. Пусть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  .
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; противоположно направлены.

Скалярное произведение векторов

Рассмотрим еще одну операцию с векторами — скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначают скалярное произведение векторов так же, как произведение
чисел или переменных: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
 

Задача №129

Найти скалярное произведение векторов:
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–2, 7) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4, 1);   2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(0; 8) и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(—2, 5).
Решение.

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = —2 · 4 + 7 · 1 = —1;
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0 · (–2) + 8 · 5 = 40.
Ответ. 1) –1;  2) 40.

Найдем скалярное произведение равных между собой векторов. Пусть дан вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Скалярное произведение вектора самого на себя Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи называют скалярным квадратом вектора.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
                         Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из последнего равенства следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из определения скалярного произведения векторов вытекают следующие
свойства:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить числа, которым соответственно равны левая и правая части равенств.

Углом между векторами  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  называют угол ВАС (рис. 73). Углом между двумя ненулевыми векторами, которые не имеют общего начала, называют угол между векторами, которые равны данным и имеют общее начало (рис. 74).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 73                        Рис. 74                      Рис. 75                  Рис. 76

Угол между сонаправленными векторами равен нулю (рис. 75), угол между противоположно направленными векторами равен 180° (рис. 76).

Теорема (о скалярном произведении векторов). Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. Пусть  — заданные векторы, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между ними. Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Учитывая свойства скалярного произведения векторов, получим:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая свойства скалярного квадрата, получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; откуда 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то есть скалярное произведение векторов зависит от длины векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому не зависит от выбора системы координат.
Выберем такую ​​систему координат, чтобы положительное направление оси абсцисс совпадал с направлением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 77), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и тогда

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 77

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 78). Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
а поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 79), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 78                          Рис. 79                                        Рис. 80

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 80), то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поскольку вторая координата вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна числу, противоположному
длине отрезка OK, то координатами вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является пара чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 81

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 81), то координатами вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  является пара чисел  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, для любых значений Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следствие 1. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Следствие 2. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.

Договоримся угол между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  обозначать так:

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №130

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны?

Решение. Чтобы векторы были взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач=5.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 5.

Скалярное произведение векторов позволяет найти косинус угла между ненулевыми векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Косинус угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач между ненулевыми векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить по формуле:

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По косинусу угла между векторами можно найти и градусную меру угла (по таблицам или с помощью калькулятора).

Задача №131

Найти градусную меру угла C треугольника ABC, если А(3, 5), B(3, 7), C(1, 5).

Решение. Угол C треугольника ABC совпадает с углом между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 82), то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 82

Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Тогда    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 45°.

Задача №132

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                   Найти: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение треугольников

Решение треугольников — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики.

Теорема косинусов

Докажем одну из важнейших теорем о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть в треугольнике  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 98). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть прямым, острым или тупым. Рассмотрим все три случая.
1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямой. Тогда cos C = 0, и формула, которую надо доказать, приобретает вид: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеем теорему Пифагора для треугольника ABC.

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый. Тогда в треугольнике ABC есть еще хотя бы один острый
угол, пусть это будет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем в треугольнике ABC высоту AD. Поскольку углы B и C — острые, то точка D принадлежит стороне BC. Тогда в прямоугольном треугольнике ADC: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  а 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач         Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 98                                   Рис. 99

В прямоугольном треугольнике ADB (по теореме Пифагора):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,   поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Пусть угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой (рис. 99). Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Проведем в треугольнике ABC высоту AD. В этом случае точка D будет лежать на продолжении луча ВС, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
В прямоугольном треугольнике ADC:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Далее доказываем так, как в случае, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый. 

Заметим, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника, поэтому ее иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

Итак, в произвольном треугольнике ABC выполняются равенства:
с2 = а2 + b2 – 2аb cos C , 
b2 = а2 + с2 – 2аc cos B ,
а2 = b2 + с2 – 2bc cos A .

С помощью теоремы ​​косинусов можно, например, найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его другие стороны и один из углов.

Задача №133

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Найти: AB.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 98). По теореме косинусов имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. 7 см.

Задача №134

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти: AC.
Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 99).
По теореме косинусов имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Упростив последнее равенство, получим квадратное уравнение
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  решив которое, получим:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Число –8 не удовлетворяет смыслу задачи, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, AC = 3 см.
Ответ. 3 см.

Если известны три стороны треугольника, то по теореме косинусов можно найти косинус любого из его углов, а следовательно, и сам угол.
Например, косинус угла C можно найти по формуле, выразив cosC из формулы теоремы ​​косинусов:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №135

Найти меру наибольшего из углов треугольника, длины сторон которого равны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и 4 см.
Решение. Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то наибольшим углом треугольника будет угол, лежащий против стороны длиной 4 см. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Тогда по формуле косинуса угла имеем:                    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Используя калькулятор (или таблицы), найдем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Итак, теорема косинусов помогает решать треугольники.

Теорема косинусов является удобной и для определения вида треугольника. Чтобы установить, остроугольным, прямоугольным или тупоугольный является треугольник, достаточно найти знак косинуса его наибольшего угла. Из формулы косинуса угла понятно, что знак косинуса угла зависит от знака числителя дроби, поскольку знаменатель всегда положительный. Поэтому знак выражения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач позволяет определить знак косинуса угла треугольника, а следовательно, и вид этого угла (острый, прямой или тупой).

Если с — наибольшая сторона треугольника, то для выяснения вида треугольника достаточно сравнить с нулем значение выражения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом,
если с — наибольшая сторона треугольника и
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острый, а треугольник — остроугольный;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— прямой, а треугольник — прямоугольный;
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 0, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— тупой, а треугольник — тупоугольный.

Задача №136

Определить вид треугольника со сторонами а = 4 см, b = 6 см, с = 7 см.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, треугольник остроугольный.
Ответ. Остроугольный.

Рассмотрим важное свойство диагоналей параллелограмма.

Задача №137

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 100).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 100                                                  Рис. 101

Из треугольника ABD по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника ABC по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Сложив почленно эти два равенства, имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №138

AM — медиана треугольника ABC. Доказать формулу медианы треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Продолжим медиану AM на отрезок MD = AM (рис. 101). Поскольку в четырехугольнике ABDC   AM = MD  (по построению) и  BM = MC (по условию), то ABDC — параллелограмм (по признаку). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
По доказанному выше свойству диагоналей параллелограмма имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Откуда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заметим, что в некоторых задачах, в частности тех, решение которых сводится к решению уравнений, целесообразно использовать формулу медианы треугольника в виде:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема синусов

Лемма. Если АВ — хорда окружности, радиус которой равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а М — любая точка окружности то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1) Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — диаметр окружности (рис. 108), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при любом расположении точки М на окружности.  Тогда, учитывая соотношения в прямоугольном треугольнике,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 108                                      Рис. 109

2) Пусть AB — не является диаметром окружности, а M — точка, принадлежащая
большей дуге окружности (рис. 109). Проведем диаметр AK. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как угол, опирающийся на диаметр).
В треугольнике ABK (Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач)  sin Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Пусть AB — не является диаметром, а точка M1 принадлежит меньшей дуге окружности, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,
поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следовательно, в этом случае также подтверждается равенство
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теперь докажем важную теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Теорема  синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных им углов.

Доказательство. Пусть ABC — произвольный треугольник, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 110). Докажем, что

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 110

Опишем окружность радиуса R вокруг данного треугольника. По доказанной лемме:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . 

Следствие (обобщенная теорема синусов). В любом треугольнике отношение стороны к синусу противоположного ей угла равно диаметру окружности, описанной вокруг этого треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воспользовавшись теоремой синусов, можно доказать известное из курса геометрии утверждение:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

Докажите это утверждение самостоятельно.

С помощью теоремы ​​синусов можно решать треугольники. Например, по двум данным углами треугольника и стороне, лежащий против одного из них, можно найти сторону, лежащую против второго угла.

Задача №139

Дано: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти сторону AC.
Решение. По теореме синусов имеем (рис. 110):

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Также по двум сторонам треугольника и углу, лежащему против одной из них, можно найти угол, лежащий против второй стороны.

Задача №140

В треугольнике ABC  AB = 1 см, BC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если:                       

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;  2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) По теореме синусов имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .   Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Заметим, что в обоих случаях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому задача имеет два решения.
Ответ. 1) 90°;  2) 45° или 135°.

Задачи, в которых надо найти радиус окружности, описанной около треугольника, часто можно решить с помощью  следствия из теоремы ​​синусов (обобщенной теоремы ​​синусов).

Задача №141

Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Найдем косинус угла В:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
По обобщенной теореме синусов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.

Прикладные задачи

Напомним, что решить треугольник — значит найти неизвестные его стороны
и углы по каким-либо известным сторонам и углами. Ранее мы решали прямоугольные треугольники.
При решении произвольного треугольника ABC, гдеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 111), используют такие соотношения:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (теорема косинусов);

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (теорема синусов).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 111

Рассмотрим четыре вида задач на решение треугольников. Неизвестные стороны будем находить с точностью до сотых, а неизвестные углы — с точностью до минуты.

Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними

Задача №142

Даны стороны треугольника а и b и угол C между ними. Найти сторону с и углы A и B.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по стороне и двумя углами

Задача №143

Даны сторона треугольника а и углы B и C. Найти стороны треугольника b и c и угол А.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по трем сторонам

Задача №144

Даны три стороны а, b и с треугольникаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найти три угла А, В и C треугольника.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение треугольников по двум сторонам и углу, противоположному одной из них

Задача №145

Даны стороны треугольника а, b и угол А. Найти сторону с треугольника и углы B и C.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Эта задача, в отличие от трех предыдущих, которые всегда имеют единственное решение, может иметь одно, два или не иметь ни одного решения.

Умение решать треугольники поможет и в решении прикладных задач.

Задача №146

(Измерение расстояния до недоступной точки).
Найти расстояние от точки наблюдения А до недоступной точки C (рис. 112).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                            Рис. 112
Решение. Эту задачу мы уже решали с помощью подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ — с помощью теоремы синусов.
1) Обозначим на местности точку В и измерим длину отрезка AB. Пусть AB = c. Затем измерим (например, с помощью астролябии) углы А и В, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По теореме синусов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 В итоге получаем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №147

(Измерение высоты предмета, основание которого недоступно). Найти высоту дерева CH, если точка H — недоступна (рис. 113).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                 Рис. 113

Решение. Эту задачу мы также решали с помощью соотношений между сторонами и углами в прямоугольных треугольниках CHA и CHB. Рассмотрим еще один способ решения.
1) На прямой, проходящей через основание предмета — точку H, выберем две точки А и B, расстояние между которыми равно а. Измерим углы САН и CBH, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Из треугольника АВСГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Из треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Формулы для нахождения площади треугольника

Напомним, что мы находили площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника по формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сторона треугольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота, проведенная к ней.

Докажем еще несколько формул для нахождения площади треугольника.

Теорема 1 (формула площади треугольника по двум сторонами и углу между ними). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— площадь треугольника. Докажем, что 

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Проведем в треугольнике высоту AK, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — острый (рис. 119), то из треугольника ACK имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — тупой (рис. 120), то из треугольника ACK имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Если угол C — прямой (рис. 121), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, во всех случаях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 119                                    Рис. 120                                 Рис. 121

Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.
Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ BD (рис. 122).
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем сторонам), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 122

ПоэтомуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №148

Найти площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна а.
Решение. Напомним, что мы уже находили площадь равностороннего треугольника по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем теперь площадь этого треугольника и другим способом, то есть по доказанной выше формуле.
Поскольку все углы равностороннего треугольника равны 60°, имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №149

Найти площадь треугольника, стороны которого равны 5 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 119)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм2   .

Заметим, что когда по косинусу угла невозможно найти точное значение меры угла, то есть если угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окажется не табличным, то находить сам угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не требуется. Ведь для нахождения площади достаточно найти значение синуса угла, воспользовавшись формулой  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №150

Доказать, что площадь любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей четырехугольника на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где O — точка пересечения диагоналей (рис. 123), S —площадь четырехугольника.
Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 123

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По доказанной выше формуле: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач     Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2 (формула Герона).  Площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника со сторонами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти по формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметр треугольника.

Доказательство. Воспользуемся формулой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По теореме косинусов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что формулой Герона удобно пользоваться в случае, когда длины сторон а, b и с являются рациональными числами.
Если же среди сторон треугольника есть хотя бы одна, длина которой —иррациональное число, то удобнее использовать метод, предложенный для решения задачи 2 в данном разделе.
С помощью формулы Герона, если известны стороны, можно находить высоты треугольника, в частности, используя формулу:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а — сторона, к которой проведена
высота.
Из этой формулы высоты приходим к выводу, что
наибольшей высотой треугольника является та, которая проведена к наименьшей стороне; наименьшей высотой — та, которая проведена к наибольшей стороне.

Задача №151

Найти наибольшую высоту треугольника, стороны которого равны 25 см, 29 см и 6 см.

Решение. Найдем площадь Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника по формуле Герона. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Наибольшей высотой данного треугольника является та, которая проведена к стороне длиной 6 см. Итак,

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. 20 см.

Теорема 3 (формула площади треугольника по радиусу описанной окружности). Площадь S треугольника можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а, b, с  — стороны треугольника; R — радиус окружности, описанной
вокруг треугольника.

Доказательство. Воспользуемся формулой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По обобщенной теореме синусов:    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, противоположный стороне с треугольника. Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из доказанной формулы получим формулу для вычисления радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Заметим, что эту формулу целесообразно использовать, когда известны длины всех трех сторон треугольника.

Радиус R окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, удобно находить по изученной ранее формуле:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где с — гипотенуза треугольника.

Теорема 4 (формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности). Площадь S треугольника можно найти по формуле
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— полупериметр треугольника; r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Доказательство. Пусть O — центр окружности, вписанной в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 124), а
точка K — точка касания окружности к стороне BC, BC = a, AC = b, AB = c.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 124

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то OK является высотой треугольника OBC. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Площадь S любого описанного многоугольника можно найти по формуле  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где p — полупериметр многоугольника; r — радиус окружности, вписанной в многоугольник.

Из доказанной формулы следует формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в треугольник или в описанный многоугольник:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удобно находить по формуле

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где а и b — катеты треугольника, с — его гипотенуза.
Докажите эту формулу самостоятельно.

Задача №152

Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника, и радиус r окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Найдем полупериметр треугольника: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см),  и его площадь по формуле Герона Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Ответ. R = 8,125 см, r = 1,5 см.

Правильные многоугольники

Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 133 изображены правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и восьмиугольник.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                         Рис. 133

Поскольку сумма углов любого выпуклого n-угольника равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а все углы правильного многоугольника равны между собой, то нетрудно найти меру такого угла.
Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол правильного многоугольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, угол правильного треугольникаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач правильного четырехугольника (квадрата) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, это согласовывается с тем, что известно из предыдущих лекций.

Задача №153

Найти количество вершин правильного многоугольника, если его внешний угол равен 45°.
Решение. Поскольку внешний угол правильного многоугольника равен 45°, то легко найти его внутренний угол: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Имеем уравнение:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда n = 8.
Ответ. 8.

Задачу 1 можно было бы решить другим способом, если знать формулу, которая связывает градусную меру внешнего угла правильного многоугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с количеством его вершин (сторон).
имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
.
Итак,
если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — внешний угол правильного n-угольника, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
По этой формуле задачу 1 можно решить проще. Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что
окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на окружности;
окружность называют вписанной в многоугольник, если все его стороны  касаются  окружности.

Теорема (об окружности, описанной около правильного многоугольника, и окружности, вписанной в него). Если многоугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность и в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный n-угольник (рис. 134).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 134

1) Из вершин A1 и A2 проведем биссектрисы углов n-угольника. Пусть они пересеклись в точке O. Треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Соединим точку O с вершиной A3,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (поскольку A2O —биссектриса угла A1A2A3). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум сторонами и углу между ними). Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Соединив все вершины данного n-угольника с точкой O и устанавливая последовательно равенство каждой следующей пары треугольников, получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что все вершины этого правильного n-угольника равноудалены от точки O, а потому точка O является центром описанной вокруг него окружности, а OA1 — радиусом этой окружности.
4) Проведем высоты OK1 и OK2 в равных между собой равнобедренных
треугольниках A1A2O и A3A2O  к основаниям A1A2 и A2A3 соответственно.Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по гипотенузе и острому углу). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
5) Аналогично доказываем, что равными между собой являются высоты всех равнобедренных треугольников, вершиной которых является точка O, а основанием — сторона правильного многоугольника. Все стороны данного правильного многоугольника равноудалены от точки O, а потому точка O —центр окружности, вписанной в этот многоугольник, а OK1 — радиус этой окружности.

Следствие 1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного
многоугольника совпадают.

Эту точку называют центром правильного многоугольника. На рисунке 134 точка O — центр многоугольника.

Следствие 2. Окружность, вписанная в правильный многоугольник,
касается сторон многоугольника в их серединах.

Угол между двумя радиусами описанной окружности, концами которых являются соседние вершины правильного многоугольника, называют
центральным углом правильного многоугольника.

На рисунке 134 центральными углами правильного n-угольника являются углы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Все они равны между собой (по доказанной теореме) и равны по Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центральный угол правильного n-угольника, тогда

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центральный угол правильного n-угольника.

Задача №154

Найти площадь правильного n-угольника, если радиус окружности, описанной вокруг него, равен R.
Решение. Пусть Sn — площадь правильного n-угольника, S1 — площадь треугольника A1OA2 (рис. 134). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Найдем S1:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку в правильный многоугольник можно вписать окружность, то его площадь Sn  по следствию из теоремы ​​о площади треугольника по радиусу вписанной окружности можно найти и так:
Sn = pr,    где p — полупериметр n-угольника; — радиус вписанной в него
окружности.

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сторона правильного n-угольника, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус описанной вокруг него окружности, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — радиус вписанной в него окружности (рис. 134).
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из треугольника A1OK1:
1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Систематизируем полученные формулы в таблице и представим в ней также формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильного
треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запоминать эти формулы не обязательно, но нужно уметь их выводить.

Задача №155

Найти радиусы вписанной и описанной окружностей правильного треугольника, если их разность равна 6 см. Чему равна сторона этого треугольника?

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Поскольку в правильном треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Итак, R = 12 см, r = 6 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
Ответ. R = 12 см, r = 6 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Рассмотрим, как с помощью циркуля и линейки без делений построить правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник, вписанные в окружность.

Задача №156

Построить правильный шестиугольник, вписанный в круг.
Решение. Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач построение выполним в такой последовательности.
1) Проведем произвольную окружность (рис. 135).
2) Обозначим на окружности произвольную точку A1 — одну из вершин правильного шестиугольника.
3) Из точки A1, как из центра радиусом, равным радиусу окружности, сделаем на окружности по обе стороны от точки A1 засечки и получим точки A2 и A6.
4) Продолжаем делать засечки от полученных точек тем же радиусом, получая вершины AAA5 , и соединяем их.
Получим правильный шестиугольник A1A2A3A4A5A6.

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   

          Рис. 135

Задача №157

Построить правильный треугольник, вписанный в окружность.

Решение. Для построения правильного вписанного треугольника нужно отрезками соединить вершины правильного вписанного шестиугольника через одну (рис. 136). Получим правильный треугольника А1А3А5.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 136                                     Рис. 137

Задача №158

Построить правильный четырехугольник (квадрат), вписанный в окружность.

Решение. Для построения вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно через центр окружности провести две взаимно перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 137). Получаем квадрат С1С2С3С4.

Длина окружности. Длина дуги окружности

Наглядное представление о длине окружности можно получить таким образом. Представим, что окружность сделана из тонкой нити, которая не растягивается. Разрежем нить в некоторой точке А и расправим ее (рис. 138). Получим отрезок AA1, длина которого является длиной окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 138                                        Рис. 139

Периметр любого правильного многоугольника, вписанного в окружность, является приближенным значением длины окружности. Чем больше количество сторон многоугольника, тем более точным будет это приближенное значение (рис. 139). Так, например, периметр правильного вписанного в окружность двенадцатиугольника меньше отличается от длины окружности, чем периметр правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. Если количество сторон правильного многоугольника увеличивать неограниченно, то его периметр будет неограниченно приближаться к длине окружности.
Докажем важное свойство длины окружности.

Теорема (об отношении длины окружности к ее диаметру). Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянным для всех окружностей.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                      Рис. 140
Доказательство. Рассмотрим два произвольных круга, радиусы которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а длина окружностей C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 140).
1) В каждую из окружностей впишем правильный n-угольник с одинаковым
количеством сторон. Пусть стороны этих n-угольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач их периметры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Тогда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Это равенство является пропорцией при любом значении n. Если увеличивать неограниченно, то периметры многоугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут неограниченно приближаться к длине окружностей C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Поэтому: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, отношение длины окружности к ее диаметру является числом,
постоянным для всех кругов.

Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать
греческой буквой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают «пи»):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иррациональное, его приближенное значение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Для практических нужд приближенное значение чаще всего используют с точностью до сотых: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из равенства Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   получим, что
длина окружности, радиус которой равен R, вычисляется по формуле
C = 2
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачR.
А учитывая, что диаметр окружности равен 2R, получаем формулу длины окружности: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где d — диаметр.

Задача №159

Найти длину окружности, радиус которой равен:
1) 5 см;   2) 0,8 дм.
Решение. 1) C = 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач · 5 = 10Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см)
2) C = 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач · 0,8 = 1,6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (дм).
Ответ. 1) 10Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; 2) 1,6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №160

Найти радиус окружности, длина которой равна:
1) 12Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см;   2) 8 дм.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (дм).
Ответ. 1) 6 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №161

Груз поднимают с помощью блока (рис. 141). На сколько поднимется груз за 10 оборотов блока, если диаметр блока 15 см?

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 141

Решение. Поскольку d = 15 см, то длина окружности блока: C = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачd = 15Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Если блок сделает 10 оборотов, то поднимет груз на высоту:
10 · 15Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 150Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 150 · 3,14 = 471 (см) = 4,71 (м).
Ответ. 4,71 м.

Найдем формулу для вычисления длины дуги окружности, соответствующей центральному углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если радиус окружности равен R (рис. 142).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
     Рис. 142

Поскольку длина окружности равна 2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачR, то длина дуги, соответствующей центральному углу 1°, составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от длины окружности, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда длину дуги Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно вычислить по формуле:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — градусная мера дуги.

Задача №162

Радиус окружности равен 4 см. Найти длину дуги, соответствующей центральному углу: 1) 20°;   2) 270°.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; 2) 6Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Задача №163

Длина дуги окружности равна 3Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, а ее градусная мера — 36°. Найти радиус окружности.
Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда R = 15 см.
Ответ. 15 см.

Площадь круга и его частей

Напомним, что кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью.

Теорема (о площади круга). Площадь S круга, радиус которого равен r, вычисляется по формуле:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. Опишем вокруг круга правильный n-угольник, пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — периметр n-угольника, Sn — его площадь (рис. 143).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 143

1) По следствию из теоремы о площади треугольника по радиусу вписанной окружности имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Если n увеличивать неограниченно, то периметр многоугольника будет неограниченно приближаться к длине C окружности, а площадь многоугольника будет неограниченно приближаться к площади S круга. Тогда:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №164

Найти площадь круга, радиус которого равен: 1) 3 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(дм2).
Ответ. 1) 9Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2; 2) 49 дм2.

Задача №165

Найти радиус круга, площадь которого равна: 1) 16Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2; 2) 7 дм2.
Решение. 1)  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, r = 4 см.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.
Ответ. 1) 4 см; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дм.

Задача №166

Две водопроводные трубы, диаметр которых 10 см, надо заменить одной трубой той же пропускной способности. Каким должен быть диаметр этой трубы?
Решение. 1) Радиус каждой из двух труб r = 5 см.
2) Сечение каждой из труб Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
3) Сечение новой трубы должно равняться сумме сечений двух старых, то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
4) Пусть R — радиус новой трубы. ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач7,07 (см).
Тогда диаметр этой трубы 14,14 см.
Ответ. 14,14 см.

Часть круга, ограниченную двумя его радиусами, называют сектором. На рисунке 144 изображены два сектора, один из которых закрашен, а второй — нет. Найдем формулy площади сектора круга радиуса r, который соответствует центральному углу градусной меры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку площадь круга равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то площадь сектора, соответствующего центральному углу 1°, составляет Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от площади круга и равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому 
площадь сектора, отвечающего центральному углу градусной меры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, вычисляется по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №167

Найдите площадь сектора круга радиуса 6 см, если соответствующий сектору центральный угол равен: 1) 30°;  2) 225°.
Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2);
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. 1) 3Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2;   2) 22,5Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 144                          Рис. 145

Часть круга, ограниченную хордой и соответствующей ей дугой, называют сегментом. На рисунке 145 изображены два сегмента, один из которых ограничен хордой AB и дугой AB, а другой — хордой AB и дугой AMB. Если градусная мера центрального угла, соответствующего сегменту, меньше 180°, то площадь сегмента находим как разность площадей соответствующего сектора и треугольника AOB. Если градусная мера центрального угла, соответствующего сегменту, больше 180°, то площадь сегмента находим как сумму площадей соответствующего сектора и треугольника AOB (рис. 145). Сегмент, которому соответствует развернутый угол, является полукругом, и его площадь равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где r — радиус круга.

Итак,
площадь сегмента, не являющегося полукругом, вычисляется по формулеГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №168

Концы хорды делят круг в отношении 1: 2. Найдите площади двух образовавшихся сегментов, если радиус круга равен 12 см.
Решение. Пусть на рисунке 145 меньшая из образовавшихся дуг равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда большая равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач + Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 360°, отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 120°. Итак, меньшему из сегментов соответствует центральный угол 120°, а большему — 240°.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Обозначим площади сегментов S1 и S2. Получим:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2);
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2;   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Геометрические преобразования

Преобразование фигур:
Любую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Например, отрезок — это множество точек прямой, лежащей между двумя ее точками, вместе с этими точками.
Иногда между точками двух геометрических фигур можно устанавливать определенное соответствие.
Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB (рис. 155). Будем считать, что каждой точке X стороны AB треугольника ABC  соответствует точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач средней линии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащая на луче CX.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
      Рис. 155

Например, точке А соответствует точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, точке В — точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая соответствует точке X, называют образом точки X, точку X при этом
называют прообразом точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

По установленному соответствию каждой точке X отрезка AB соответствует определенная точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом каждая точка отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответствует некоторой точке отрезка AB. Кроме этого, различным точкам отрезка AB  соответствуют различные точки отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Множеством всех точек, соответствующих точкам отрезка AB, является отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Таким образом, получили преобразование отрезка AB  в  отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Преобразованием фигуры F в фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое ​​соответствие, при котором:
1) каждой точке фигуры F соответствует определенная точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) каждая точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является образом некоторой точки фигуры F;
3) различным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Говорят, что фигура Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является образом фигуры F для данного преобразования, а фигура F является прообразом фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Заметим, что не каждое соответствие между точками двух фигур является преобразованием.

Задача №169

Является ли преобразованием соответствие, при котором каждой точке X ромба ABCD ставится в соответствие точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения диагонали ромба AC с перпендикуляром, проведенным через точку X к прямой, содержащей AC?

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 156

Решение. Для данного соответствия каждой точке X ромба ABCD  соответствует единственная точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали ромба AC (рис. 156). Но одновременно каждой точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагонали AC (за исключением точек А и C) соответствуют две точки ромба Y и Y1. Поэтому данное соответствие не является преобразованием.
Ответ. Нет.

Перемещение (движение) и его свойства

Преобразование одной фигуры в другую называют перемещением (движением), если оно сохраняет расстояние между точками, то есть переводит любые две точки X и Y первой фигуры в точки X' и Y' второй так, что XY = X' Y' (рис. 157).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                       Рис. 157

Рассмотрим основные свойства перемещения.

Теорема 1 (свойство перемещения). Точки, лежащие на прямой, при перемещении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Доказательство. 1) Пусть точки А, В и C лежат на одной прямой. Тогда одна из них лежит между двумя другими, например, точка C лежит между точками А и В (рис. 158). Тогда: AB = AC + CB.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 158

2) Некоторое перемещение переводит точку А в точку А', точку B — в точку В', точку С — в точку C'. Поскольку перемещение сохраняет расстояния между любыми двумя точками, то:
А'В' = АВ,   A'C' = AC,   C'B' = CB.
Поэтому: А'В' = А'С' + С'В'.
3) Из последнего равенства следует, что точки А'B' и  C' лежат на одной прямой, причем точка  C' лежит между точками А'  и  B' .

Следствие. При перемещении прямые переходят в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки.

Теорема 2 (свойство перемещения). При перемещении угол переходит в равный ему угол.

Доказательство. Пусть имеем неразвернутый угол ВАС. При перемещении два луча AB и AC, выходящие из общей точки и не лежащие на одной прямой, переходят в некоторые два луча А'В'  и А'С'  (рис. 159).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 159

Поскольку перемещение сохраняет расстоянии между любыми двумя точками, то AB = А'В' ,  AC = А'С' , BC = В'С'.  Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем сторонам).
Из равенства треугольников следует, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Равенство фигур

Используя понятие перемещения, можно сформулировать общее определение равенства геометрических фигур.

Две фигуры называют равными, если при перемещении они переходят друг в друга.

Известные нам из предыдущих лекций определения равенства отрезков,
углов и треугольников не противоречат приведенному общему определению равных фигур.
Из этого определения следует, что:
1) если фигура F равна фигуре F1, то и F1 равна F;
2) если фигура F равна фигуре F
1, а F1 равна F2, то F равна F2;
3) если фигура F равна фигуре F
1, то существует некоторое перемещение,
переводящее фигуру F в фигуру F
1.

Задача №170

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный с основанием AB. Существует ли перемещение, при котором: 1) отрезок AC переходит в отрезок BC; 2) угол А переходит в угол В?
Решение. Поскольку треугольник равнобедренный с основанием AB, то AC = BC  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому существует перемещение, которое переводит отрезок AC в отрезок BC, и существует перемещение, переводящее угол А в угол В.
Ответ. 1) Да; 2) да.

Симметрия относительно точки

Две точки A и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричными относительно точки О,  если О является серединой отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 162).

Точкой, симметричной точке О, будет сама точка О.

На рисунке 163 точки B и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно точки O, а точки C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются симметричными относительно точки O.

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 162                                           Рис. 163

Чтобы построить точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, симметричную точке А относительно точки :
1) проводим луч AO ;
2) по другую сторону от точки O откладываем на нем отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (см. рис. 162).

Задача №171

Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно точки O(4; –5). Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Решение. Точка O — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формулам середины отрезка: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ,  отсюда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если каждая точка фигуры F симметрична некоторой точке фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачотносительно точки O, и наоборот, то фигуры F и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричными
относительно точки O
(рис. 164).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 164

Такое преобразование фигуры F в фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют преобразованием симметрии относительно точки O.
Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то фигуру F называют центрально-симметричной,  а точку O — ее центром симметрии.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                            Рис. 165
Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность и параллелограмм (рис. 165). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Симметрию относительно точки называют еще центральной симметрией.

Теорема (о преобразовании симметрии относительно точки). Преобразование симметрии относительно точки является перемещением.

Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F, а преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 166).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 166

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по определению симметрии) и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как вертикальные), тоГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум
сторонами и углу между ними).
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это означает, что симметрия относительно точки O является перемещением. (Случай, когда точки X, Y и O лежат на одной прямой, рассмотрите самостоятельно).

Примеры центрально-симметричных фигур встречаются в природе, технике, быту (рис. 167). Например, центрально-симметричными являются орнаменты на коврах, вышивках и т. д. (рис. 168). В алгебре, например, графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является гипербола, симметричная относительно начала координат (рис. 169).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                   Рис. 167

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 168                                                                 Рис. 169

Симметрия относительно прямой

Две точки A и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричными относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 175).

Если точка А лежит на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то считается симметричной самой себе относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 175                                     Рис. 176

На рисунке 176 точки B  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, точки C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не симметричны относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точка D  симметричная сама себе относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Чтобы построить точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, симметричную точке А относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:
1) проводим перпендикуляр AO из точки А к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
2) на его продолжении с другой стороны от прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откладываем отрезокГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см. рис. 175).

Задача №172

Найдите координаты точек, симметричных точке А(–2; 3) относительно осей координат.
Решение. Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричная точке А относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 177). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому абсцисса точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна абсциссе точки А, а ординаты этих точек — противоположные числа.
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (–2; —3).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 177

Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрична точке А относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Рассуждая аналогично, имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (–2, —3) и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если каждая точка фигуры F относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметрична некоторой точке фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и наоборот, то фигуры F и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричными относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 178).

Если преобразование симметрии относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач переводит фигуру F в себя, то фигуру F называют симметричной относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее осью симметрии.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 178                                                  Рис. 179

Примерами фигур, которые имеют ось симметрии, являются ромб и равносторонний треугольник (рис. 179). Ромб имеет две оси симметрии, а
равносторонний треугольник — три.

Симметрию относительно прямой называют еще осевой симметрией.

Теорема (о преобразовании симметрии относительно прямой). Преобразование симметрии относительно прямой является перемещением.

Доказательство. Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии совпадала с осью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — две произвольные точки фигуры F, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки, симметричные соответственно точкам А и В относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (рис. 180).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
               Рис. 180

Тогда можем указать координаты точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ).
Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть симметрия относительно прямой является перемещением. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                               Рис. 181

Фигуры, симметричные относительно прямой, окружают нас в повседневной жизни, присутствуют в природе, технике и т. д. (рис. 181).

В алгебре симметрия относительно прямой встречается при построении графиков. Например, график функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричен относительно оси ординат (рис. 182).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

    Рис. 182

Поворот в геометрии

Поворотом вокруг точки O на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют преобразование, при котором точка А переходит в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  так, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 189).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 189

После поворота точка O переходит в себя. Точку O называют центром поворота,
а угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачуглом поворота.

Поворот можно выполнить в двух направлениях: по часовой стрелке и против часовой стрелки.
На рисунке 189 выполнен поворот точки А вокруг точки O на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по часовой
стрелке.
Чтобы построить точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в которую переходит точка А в результате поворота в заданном направлении (по часовой стрелке или против) вокруг центра поворота (точки O) на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:
1) проводим луч OA;
2) от луча OA в заданном направлении откладываем угол AOM, равный углу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач;
3) на луче OM обозначаем точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, такую, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 190).
На рисунке 190 выполнен поворот точки A вокруг точки O на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач против часовой стрелки.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                             Рис. 190                                             Рис. 191

Заметим, что поворот на 180° вокруг точки O как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки является симметрией относительно точки O.
Если задан угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, центр и направление поворота, то вокруг центра поворота можно выполнить поворот любой фигуры F. Для этого каждую точку фигуры F  надо повернуть вокруг центра поворота на заданный угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получив таким способ точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 191). В таком случае говорят,
что поворот вокруг точки O на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отражает фигуру F  в фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Теорема (о повороте вокруг точки). Преобразование поворота является перемещением.
Доказательство. Пусть при повороте вокруг точки O на угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки A и B  фигуры F переходят соответственно в точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Пусть точки A, B и O не лежат на одной прямой (рис. 192). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (ибо каждый из этих углов равен разности углов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (по двум сторонами и углу между ними), отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) Пусть точки А, В и O лежат на одной прямой (рис. 193).
Тогда AB = OBOA = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Итак, в обоих случаях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                 Рис. 192                                         Рис. 193

Задача №173

Треугольник AOB — равносторонний (рис. 194).
1) Построить отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в который переходит отрезок AB при повороте вокруг точки O на угол 110° против часовой стрелки.
2) Найти градусную меру угла  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 194                                                     Рис. 195

Решение. 1) Построение изображено на рисунке 195.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 110° – 60° = 50°.
Ответ. 2) 50°.

Параллельный перенос

Пусть дан вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Параллельным переносом на вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такое преобразование, при котором каждой точке М соответствует такая точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 197).
Если координаты вектора известны, то можно дать другое определение параллельного переноса на вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Параллельным переносом называют такое преобразование фигуры, при котором ее произвольная точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач переходит в точку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где а и b — одни и те же для всех точек фигуры (рис. 198).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 197                                     Рис. 198

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координатыГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то получим формулы параллельного переноса:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №174

Параллельный перенос задано формулами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Выясните:
1) в какую точку при этом параллельном переносе переходит точка А(5; 4);
2) какая точка при этом параллельном переносе переходит в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–7; –3).
Решение. 1) Пусть точка А(5; 4) переходит в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(7; 1).
2) Пусть в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(–7; –3) перешла точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, В(–9; 0).
Ответ. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(7; 1);     2) В(–9; 0).

Задача №175

Найти формулы, задающие параллельный перенос, при котором точка С(2; –5) переходит в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(4; 9).
Решение. Чтобы найти значение a и b, в формулы параллельного переноса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подставим значения соответствующих координат точек C и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Имеем: 4 = 2 + а    и    9 = –5 + b;    откуда а = 2   и   b = 14.
Итак, формулы параллельного переноса имеют вид:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема (о параллельном переносе). Параллельный перенос является перемещением.

Доказательство. Пусть при некотором параллельном переносе точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры F переходят соответственно в точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда по формуле расстояния между двумя точками:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Одинаковые рисунки, периодически повторяющиеся на обоях, тканях, вышитых полотенцах, секции ограждения, паркетный пол с повторяющимся рисунком, внешний вид этажей многоэтажек — все это является примерами параллельного переноса в повседневной жизни.

С помощью параллельного переноса строят графики функций в алгебре. Например, чтобы построить график функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, надо для графика функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выполнить параллельный переноса на две единицы вверх (рис. 199), а чтобы построить график функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, надо график функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельно перенести на три единицы вправо (рис. 200).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 199                                                         Рис. 200

Преобразование подобия и его свойства

Ранее мы уже рассматривали подобие треугольников. Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур.

Преобразование фигуры F в фигуру F' называют преобразованием подобия, или подобием, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же количество раз.

Это означает, что когда произвольные точки M и N фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки M' и N' фигуры F', то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — одно и то же положительное число для всех пар точек M и (рис. 203). Это число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентом подобия фигуры F' по отношению к фигуре F, или просто коэффициентом подобия фигур.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                  Рис. 203

Рассмотрим основные свойства преобразования подобия.
1. Перемещение можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 1.
2. При преобразовании подобия точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Доказательство. Пусть точки А, В и C лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и C. Тогда AC = AB + BC.
При преобразовании подобия точки A, B и C переходят соответственно в точки A', В' и С', причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Из равенства А'С' = A'B' + B'С' следует, что точки A', В' и С' лежат на одной прямой, причем точка В' лежит между точками A' и С' .
Следствие. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки.

3. При преобразовании подобия угол переходит в равный ему угол.
Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразованием подобия с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач переводится в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 204). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
ПоэтомуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем пропорциональными сторонами).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 204

А значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Две фигуры называют подобными, если они переходят друг в друга при преобразовании подобия.

Если преобразованием подобия точки M и N фигуры F переходят в точки M' и N' фигуры F' и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  говорят, что фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и записывают так:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (читают: «фигура F' подобна фигуре F»), или  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  когда надо указать коэффициент (читают: «фигура F' подобна
фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач»).
Заметим, что введенное ранее определение подобия треугольников не противоречит общему определению подобия фигур. 
Подобные фигуры встречаются нам в повседневной жизни. Подобными являются, например, фотографии, напечатанные с одного негатива, но при разном увеличении; изображение на кинопленке и изображение на экране; карты одной местности различных масштабов и тому подобное.
Масштаб карты (чертежи), хорошо известный вам из младших классов, является коэффициентом подобия карты (чертежа) по отношению к реальным размерам. Так, например, масштаб 1: 1000 означает, что одному сантиметру на карте соответствует 1000 см (или 10 м) на местности.

Рассмотрим основные свойства подобных фигур.
1. Каждая фигура подобна сама себе с коэффициентом 1.
2. Если фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то фигура F подобна фигуре F' с коэффициентом
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Доказательство. Пусть фигура F' подобная фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а точки M и N фигуры F переходят в точки M' и N' фигуры F' . ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Последнее равенство означает, что фигура F  подобна фигуре F'  с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .
3. Если фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а фигура F''  подобна фигуре F' с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то фигура F''  подобна фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Доказательство. Пусть фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и произвольные точки M и N фигуры F переходят в точки M' и N' фигуры F'. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Пусть фигура F''  подобна  фигуре F' с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и точки M' и N' фигуры F' переходят в точки M'' и N'' фигуры F''. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Последнее равенство означает, что фигура F''  подобна фигуре F с  коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
4. У подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.
Это свойство следует из свойств преобразования подобия.
5. Правильные многоугольники с одинаковым количеством сторон подобны.
Докажите это следствие самостоятельно.

Заметим, что при обозначении подобных многоугольников (как и при обозначении подобных треугольников) имеет значение порядок
следования вершин в названиях.

Задача №176

Доказать, что периметры подобных многоугольников относятся как соответствующие стороны этих многоугольников.
Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №177

Стороны четырехугольника относятся как 3 : 4 : 5 : 6. Найти стороны подобного ему четырехугольника, если его периметр равен 72 см.
Решение. Стороны четырехугольника, подобного данному, относятся так же, как стороны данного четырехугольника, то есть 3 : 4 : 5 : 6. Обозначим стороны четырехугольника, периметр которого равен 72 см, соответственно 3х см, 4x см, 5х см и 6x см.
Имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см). Теперь найдем стороны четырехугольника: 3 · 4 = 12 (см), 4 · 4 = 16 (см), 5 · 4 = 20 (см), 6 · 4 = 24 (см).

Ответ. 12 см, 16 см, 20 см, 24 см.

Площади подобных фигур

Теорема (о площади подобных многоугольников). Площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
Доказательство. 1) Сначала докажем теорему для треугольников. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 205). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 205                                              Рис. 206

2) Рассмотрим два Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач-угольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, подобных с коэффициентом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Разобьем фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач диагоналями, выходящими из одной вершины, на конечное число треугольников Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач........, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 206). Преобразованием подобия эти треугольники перейдут соответственно в треугольники  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Тогда:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Это следствие очевидно, поскольку отношение соответствующих линейных размеров многоугольника равно коэффициенту подобия.

Вообще, можно доказать, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Для многоугольников это утверждение уже доказано, для окружности выполните доказательство самостоятельно. Если фигура не является многоугольником, окружностью или частями окружности, то доказательство является достаточно громоздким. Поэтому мы его не приводим.

Задача №178

Стороны двух правильных треугольников относятся как 4 : 5. Как относятся их площади?
Решение. Поскольку правильные треугольники подобны, то можно использовать теорему о площади подобных многоугольников. Итак, отношение площадей треугольников равно:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Ответ. 16 : 25.

Задача №179

Площади двух подобных многоугольников относятся как 4 : 9 Как относятся периметры этих многоугольников?

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —  соответствующие линейные размеры многоугольников. Тогда:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , откуда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Поскольку периметры подобных многоугольников относятся как соответствующие стороны этих многоугольников, то отношение периметров многоугольников также равно 2 : 3.
Ответ. 2 : 3.

Задача №180

Площадь земельного участка на карте составляет 1,2 см2, масштаб карты 1: 1000. Какая площадь земельного участка на самом деле?

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — площадь участка.

2) Поскольку масштаб является коэффициентом подобия карты по отношению к земельному участку, то

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии и их следствия

Школьный курс геометрии складывается из планиметрии и стереометрии. В курсе планиметрии вы изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, все точки которых лежат в одной плоскости (отрезок, круг, треугольник). 

Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур в пространстве. 

Термин "стереометрия" исходит из греческого "стереос" — пространственный, "метрео" — мерить.

В школьном курсе математики вы уже познакомились с геометрическими телами — прямоугольным параллелепипедом, кубом, цилиндром, конусом и шаром (рис. 1.1). Предметы, которые нас окружают, обычно повторяют форму пространственных фигур или их комбинаций. Поэтому геометрия, в частности стереометрия, имеет практичное назначение. Геометрические задачи могут использовать в архитектуре и строительстве, геодезии и машиностроении, других сферах науки и техники. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

      куб                   пирамида               цилиндр         конус          шар

                                                    Рис. 1.1

На уроках геометрии вы развернуто изучите и углубите свои знания о геометрических фигурах в пространстве. 

Аксиоматичный метод построения геометрии. Система изучения курса стереометрии, как и в курсе планиметрии, основывается на общем для построения математической теории аксиоматичном методе. Кроме аксиоматичного метода построение геометрии содержит четыре этапа. 

1) Сначала вводят основные (первичные) понятия. Они соответствуют тем геометрическим объектам, для которых невозможно сформулировать определения, или которые легко интуитивно выявить. Так, например, в планиметрии такими понятиями является точка и прямая. В стереометрии оперируют и другими, отличными от математической теории понятиям, например понятием множества. 

2) Формируют аксиомы, которые описывают основные свойства понятий, то есть вводят систему аксиом. Напомним, что аксиомы —  утверждения, которые принимаются без доказательства. Они описывают неоднократно проверенные и подтвержденные на практике свойства геометрических объектов, которые соответствуют понятиям, а поэтому они являются интуитивно очевидными. 

В математической теории система аксиом может быть: а) непротиворечивой, то есть такой, чтобы в ней в процессе доказательства невозможно было прийти к двум выводам, противоречащим друг другу; б) независимой, то есть такой, чтобы каждая из аксиом построенной системы не была логичным выводом других аксиом этой системы; в) полной, то есть такой, чтобы ее было достаточно для доказательства или решения логическим путем любого утверждения об объектах этой математической теории. 

Систему аксиом вместе с основными понятиями и основными зависимостями между ними называют аксиоматикой.  

В школьном курсе геометрии в полной мере реализована только первая степень системы аксиом — непротиворечивость. Для большей наглядности и простоты выводов математических фактов система аксиом школьного курса геометрии, как правило, является независимой и неполной. 

Вернемся к этапам аксиоматического метода построения геометрии. 

3) Используя неопределенные понятия, определяют другие, более сложные понятия. Так, например, используя понятия точки и прямой, дают определение для отрезка и луча. 

4) Используя все введенные понятия, аксиомы доводят до теоремы. 

Все теоремы школьного курса геометрии (а также других разделов математики) доказывают с помощью строгих логичных соображений. Никаких других свойств геометрических фигур, кроме тех, что описаны в аксиомах, приведенных ранее (даже если они нам кажутся очевидными), использовать нельзя. 

Аксиоматический метод используют не только для построения геометрической теории, хотя данный метод был использован впервые именно в геометрии. Его используют также в арифметике, теории вероятностей, теории множеств. На аксиоматике основываются и некоторые разделы физики, кроме механики, термодинамики, электродинамики. Также попытки использования аксиоматического метода построения для других наук — этики, социологии, экономики, биологии — успеха не имели. 

Основные понятия стереометрии:

Основными понятиями в стереометрии являются точка, прямая и плоскость.  

Напомним, что представлением о точке является след на бумаге от хорошо заостренного карандаша, след на доске от мела и так далее. Обозначать точки будем латинскими буквами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Представлением о прямой является луч света, струна гитары, разметка между двумя полосами дороги. Прямые можно проводить с помощью линейки. При этом получается изобразить только часть прямой, а всю прямую считают бесконечной с обоих сторон. Обозначать прямые, как и раньше, будем маленькими латинскими буквами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или двумя заглавными латинскими буквами, используя при этом две точки на этой прямой: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Представлением о плоскости является поверхность стола, футбольного поля, оконное стекло, потолок и так далее. Плоскость в геометрии является необъятной, она не имеет краев и не имеет толщины. На рисунке плоскость принято изображать в виде параллелограмма (рис.1.2)  произвольной замкнутой области (рис. 1.3). При этом получают изображение только части плоскости. Обозначать плоскость будем маленькими греческими буквами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

      Рис. 1.2                                     Рис. 1.3

Другие понятия стереометрии вводят с помощью определений. 

Аксиомы стереометрии

Основные свойства простейших геометрических фигур формируются с помощью аксиом. Аксиомы принимают как исходные положения. Все аксиомы планиметрии встречаются и в стереометрии. Напомним их. 

  1. Какая бы ни была прямая, существуют точки, которые ей принадлежат и точки, которые ей не принадлежат. 
  2. Через любые две точки можно провести прямую, но только одну.
  3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 
  4. Каждый отрезок имеет длину, большую чем ноль.
  5. Длина отрезков равняется сумме длины частей, на которые он разбивается любой точкой, которая ему принадлежит. 
  6. Каждый угол имеют свою градусную меру, большую чем ноль. Развернутый угол равен 180°. 
  7. Градусная мера угла равняется сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами. 
  8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. 

Поскольку в планиметрии все фигуры лежат в одной плоскости, а в стереометрии они могут лежать в разных плоскостях, последняя аксиома — аксиома параллельности прямых — для стереометрии уточнена в силу этого различия.

А новое понятие — плоскость — требует еще и расширения системы аксиом, то есть дополнения стереометрии аксиомами, описывающими свойства точек, прямых и плоскостей. 

Эти задания реализуются новой группой аксиом — группой аксиом С.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Какая бы ни была плоскость, существуют точки, которые как принадлежат ей, так и не принадлежат. 

На рисунке 1.4 точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через эти точки), а точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не принадлежат этой плоскости. Для записи, как и в планиметрии, будем использовать символы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому "точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач" записываем так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а "точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач" — так Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 1.4

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости. 

В этом случае говорят, что прямая принадлежат плоскости или плоскость проходит через прямую. На рисунке 1.5 точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому и прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, проходящая через эти точки, принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы записать, что "прямая  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач", будем писать так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Запись Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач означает, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач существует точка, которая не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис 1.6 и 1.7). На рисунке 1.6 прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют одну общую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В таком случае говорят, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач      

             Рис 1.5                                   Рис 1.6                                     Рис 1.7

Аксиома Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет разные практичные применения. Одно из них — проверка "ровности" линейки. Для этого линейку прикладывают стороной, которую проверяют, к плоской поверхности, например, стола. Если сторона линейки ровная, то она всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если же сторона не ровная, то в некоторым местах между столом и линейкой будут просветы. Если через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходят две разные плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто говорят, что плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.8), и записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис 1.8

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются прямой,  проходящей через эту точку. 

На рис. 1.8 плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют общую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит как плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Аксиома Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач подтверждает, что плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в свою очередь, принадлежит этой прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость и при том только одну. 

Практичной иллюстрацией этой аксиомы является, например, табурет на трех ножках на полу, штатив для фотоаппарата на столе. Три точки А, В, С всегда можно разместить на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.9) Поэтому плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно назвать еще плоскостьюГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и обозначать так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обозначение плоскости тремя ее точками, которые не лежат на одной прямой, будем использовать и далее. 

Если взять четыре произвольные точки, то через них проходит только одна плоскость. Практичной иллюстрацией этого факта может стать стул с четырьмя ножками, которые неодинаковой длины. Тогда, стул будет стоять на трех ножках, то есть опираться на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертой "точки") не будет лежать в данной плоскости, но стул будет шататься. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 1.9

Простейшие следствия аксиом стереометрии

Сформулируем простейшие следствия аксиом стереометрии в виде теорем и докажем их. 

 Теорема 1.  (о существовании единственной плоскости, проходящей через прямую и точку, принадлежащую ей). Через прямую и точку, которая ей не принадлежит, можно провести плоскость, и к тому же только одну. 

Доказательство. Рассмотрим прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такую, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.10).

1) Обозначим на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач любые точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежат на одной прямой, то через них, по аксиоме Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а тогда, по аксиоме Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Итак, плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Докажем, что такая плоскость единственная. Допустим, что через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит еще какая-то плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Но тогда эта плоскость должна проходить и через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, лежащие на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Получим, что через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые лежат на одной прямой, проходят две разные плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит аксиоме Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, наше предположение ложное, а поэтому через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  не принадлежащую ей, проходит единственная плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 1.10

Теорема 2. (о существовании единственной плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые). Через две прямые, которые пересекаются, можно провести плоскость и к тому же только одну. 

Доказательство. Рассмотрим прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.11). Обозначим на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачобе отличные от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим три точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые не лежат на одной прямой, а потому доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Предлагаем завершить это самостоятельно. 

Из аксиомы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и теорем 1 и 2 приходим к выводу, что плоскость можно строить по:

  • 1) трем точкам, которые не лежат на одной прямой;
  • 2) прямой и точке,  не принадлежащей ей;
  • 3) двум пересекающимся прямым.

Еще один способ построения плоскости рассмотрим далее. 

Задача №181

Доказать, что через точки, которые лежат на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Доказательство. Пусть точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачлежат на одной прямой — прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.12).

1) По аксиоме 1 существует точка, которая прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит, назовем ее Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме 1 через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести плоскость, назовем ее Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Она проходит через данные три точки.

2) По аксиоме Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач существуют точки, которые не принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому не принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта плоскость так же, как и плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через три данные точки. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 1.12

Рассуждая аналогично, можно прийти к выводу, что существует множество плоскостей, которые проходят через три точки, лежащие на одной прямой. 

Ответ: множество плоскостей.

Задача №182

Даны плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллелограмм Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Может ли плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежать:

1) только одна вершина параллелограмма;

2) только две вершины параллелограмма;

3) только три вершины параллелограмма;

Решение: 1) Может (рис. 1.13)

2) Может (рис. 1.14)

3) Допустим, что три вершины параллелограмма Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а вершина  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — нет (рис. 1.15). Проведем диагональ параллелограмма Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка их пересечения. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим, что все четыре вершины параллелограмма принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, что противоречит условию. Итак, наше предположение ложное, а потому только три из четырех вершин параллелограмма Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не могут принадлежать плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис 1.13                 Рис 1.14                               Рис 1.15

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет. 

Начальное представление многогранников. Простейшие задачи на построение сечений

В предыдущих лекциях вы уже познакомились с некоторыми пространственными фигурами, например прямоугольным параллелепипедом, кубом, пирамидой. 

Прямоугольный параллелепипед, куб и пирамида — многогранники.  Многогранник представляет собой геометрическое тело, поверхность которого складывается из конечного количества плоских многоугольников. На рисунке 2.1 изображены некоторые многогранники. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                     Рис. 2.1

Плоские многоугольники, которые создают поверхность многогранника, называют гранями  многогранника, стороны этих многоугольников — ребрами многогранника, а вершины этих многоугольников — вершинами многогранника

Один из разделов курса стереометрии будет посвящен многогранникам, а пока что рассмотрим основные свойства прямоугольного параллелепипеда, куба, пирамиды и научимся решать простейшие задачи, связанные с ними, строить их простейшие срезы. 

Прямоугольный параллелепипед, куб

Спичечная коробка, кирпич, шкаф тоже дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Поверхность прямоугольного параллелепипеда складывается из шести прямоугольников (рис. 2.2), которые являются его гранями. Стороны и вершины этих прямоугольников являются соответственно ребрами и вершинами прямоугольного параллелепипеда: всего 12 ребер и 8 вершин. Грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпрямоугольного параллелепипеда, изображенные на рисунке 2.2, являются его основаниями, поэтому этот прямоугольный параллелепипед будет называться Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по названию его оснований).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 2.2

Кроме этого, из рисунка 2.2 получается, что прямоугольник в стереометрии называют параллелограммом. Итак, прямоугольный параллелепипед следует изображать так, как он изображен на рисунке 2.2.

Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называют его линейными измерениями. Прямоугольный параллелепипед имеет только три линейных измерения, которые еще называют длиной, шириной и высотой прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные измерения равны между собой, называют кубом. Все грани куба — квадраты. 

Пирамида 

Пусть имеем произвольный многоугольник, например четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не принадлежащую плоскости этого многоугольника. Соединим точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с всеми вершинами многоугольника (рис. 2.3). Многогранник, образованный из данного четырехугольника и треугольниковГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают пирамидой, стороны четырехугольника и треугольников — ребрами пирамиды.  Невидимые ребра на рисунке изображают пунктиром. Четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — основание пирамиды, треугольники — боковые грани, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —вершина пирамиды, отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ребра пирамиды Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пирамиду, основанием которой является треугольник, называют треугольной пирамидой или тетраэдром. Все грани тетраэдра — треугольники. На рисунке 2.4 имеем тетраэдр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тетраэдр, все грани которого — правильные треугольники, называют правильным тетраэдром. Все его шесть ребер имеют одинаковую длину. 

Простейшие задачи с многогранниками

 Рассмотрим простейшие задачи с пространственными фигурами, которые мы уже рассмотрели. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 2.3                              Рис. 2.4                      Рис. 2.5

Задача №183

На рисунке 2.5 изображен прямоугольный параллелепипед Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Принадлежит ли точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) В какой точке прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Какая плоскость проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Какой прямой пересекаются плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Грань прямоугольного параллелепипеда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит этой плоскости. 

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  

4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 1) да; 2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач; 3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №184

На рисунке 2.6 изображена треугольная пирамида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачУкажите: 

1) плоскости, которым принадлежит прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) точка пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) прямую, пересекающую плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 2.6

Решение.

1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Понятие сечения многогранника  

При изучении стереометрии вам попадутся задачи, для решения которых важно иметь сечение пространственной фигуры определенной плоскости. Среди них будут и те, которые связаны с многогранниками. Выясним, что подразумевают под понятием сечения многогранника. 

Секущей плоскостью многогранника называют любую плоскость, у которой обе боковые стороны являются точками данного  многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника отрезками. Мноугольник, сторонами которого являются эти отрезки, и называется сечением многогранника.  На рисунке 2.7 четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является сечением треугольной пирамиды Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис 2.7

Заметим, что секущую плоскость можно построить любым из известных нам способов построения плоскости: по трем точкам, которые не лежат на одной прямой; по прямой и точке,  не принадлежащей ей; по двум пересекающимся прямым.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника. Соединяя каждые из двух точек, которые лежат на одной и той же грани, получат отрезки. Многоугольник, который получим таким образом, и будет сечением многогранника. 

Далее рассмотрим несколько простейших способов построения сечения прямоугольного параллелепипеда, куба и пирамиды. 

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда и куба

Сечение прямоугольного параллелепипеда или куба плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не принадлежат одной грани, называют диагональным сечением. 

На рисунке 2.8 диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямоугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одна из сторон которого — диагональ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — основание, а другая — боковое ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Иногда в задачах нужно не только построить сечение, но и найти его площадь или периметр или сделать построение сечения с другой целью. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 2.8
 

Задача №185

Найти площадь диагонального сечения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямоугольного параллелепипеда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Сечение изображено на рисунке 2.8.

1) В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Далее рассмотрим, как построить сечения прямоугольного параллелепипеда  или куба. 

Задача №186

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб. На его ребрах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначены точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 2.9). Построить сечение куба плоскостью, которая проходит через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. Секущей плоскостью будет плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

1) Сначала построим прямую, по которой плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает боковую грань Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является общей точкой для плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 2.9                                                Рис. 2.10

2) Найдем еще одну общую точку плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Продолжим отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые принадлежат одной и той же плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до их пересечения в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.10). Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и является той прямой, по которой секущая плоскость пересекает грань Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Продолжим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до пересечения с прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.11).

5) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит как плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтак и грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, также пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.11).

6) Следовательно, многоугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 2.11                                                                     Рис. 2.12

Построение сечения пирамиды

Сечение пирамиды, проходящее через два боковых ребра, которые не принадлежат одной грани, называют диагональным сечением

На рисунке 2.12 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — диагональное сечение четырехугольной пирамиды Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Диагональным сечением пирамиды является треугольник, одной из вершин которого является вершина пирамиды. 

Рассмотрим, как построить сечение пирамиды. 

Задача №187

Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает боковые ребра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 2.13), точка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит ребру основания Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Построить сечение пирамиды, которое проходит через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является общей точкой секущей плоскости и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем еще одну их общую точку. 

2) Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не параллельны и лежат в одной плоскости — плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка их пересечения (рис. 2.14). Эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 2.13

3) Следовательно, секущая плоскость и плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпересекаются по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в произвольной точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Следовательно, четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение (рис. 2.15). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 2.14                                                           Рис. 2.15

Заметим, что по условию задачи 5 прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не параллельные. Если бы прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач была параллельна прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то точка их пересечения не существовала бы. В таком случае сечение тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью, проходящей через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было бы построить и другим способом. 

Метод следов

Возвращаясь к задачам о построении сечений куба и тетраэдра, заметим, что в обоих случаях построение основывается на нахождении линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника, то есть на нахождении так называемых "следов", которые оставляет секущая плоскость на гранях многогранника. Отсюда и происходит название данного метода построения сечения — метод следов. Следы секущей плоскости на гранях многогранника и есть сторонами искомого многоугольника.

В задачах выше, в которых была поставлена задача найти сечение, когда секущая плоскость проходит через ребра многогранника. Рассмотрим, как методом следов построить пересечение в случае, когда секущая плоскость задана точками,  лежащими на гранях многогранника. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 2.16                                                     Рис. 2.17

Задача №188

Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.16). Построить сечение тетраэдра плоскостью,  проходящей через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Чтобы построить сечение, найдем следы, которые оставляет секущая плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на гранях тетраэдра.

1) Поскольку точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи пересекает ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач продолжение ребра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.17). Следовательно, отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — след секущей плоскости на грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому принадлежит и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пересекает ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  — в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.18). Итак, отрезок  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — след секущей плоскости на грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 2.18                                                 Рис. 2.19

3) Тогда отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — следы секущей плоскости на гранях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 2.19). 

4) Следовательно, четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 2.19) — искомое сечение. 

Решение задачи можно записать так:

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпоэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Заметим, что по условию задачи прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не параллельны.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Из курса планиметрии вам известно, что для двух прямых в пространстве существует только два случая взаимного расположения: они или пересекаются, или параллельны. Поскольку в пространстве существуют плоскости, и в этих плоскостях действуют планиметрические свойства, то упомянутые случаи взаимного расположения прямых сохраняются также и в пространстве. 

Взаимное расположение прямых в пространстве

Однако в пространстве возможен еще один вариант расположения прямых. Рассмотрим куб (рис. 3.1). Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеют общих точек и не параллельны. В таком случае говорят, что две прямые не лежат в одной плоскости, то есть не существует ни одной плоскости, которая проходила бы через обе прямые. 

Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называют скрещивающимися.

На рисунке 3.1 прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся. Наглядное представления о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по мосту, а другая под мостом (рис. 3.2). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 3.1                                                 Рис. 3.2

Напомним, что планиметрия — это геометрия на плоскости, а следовательно, все фигуры принадлежат этой одной плоскости.  В стереометрии рассматривают не одну, а множество плоскостей, поэтому фигуры могут принадлежать разным плоскостям. Следовательно, обозначения параллельных прямых в стереометрии, в сравнении с обозначением  параллельных прямых на плоскости потребуют уточнения.

Две прямые в пространстве называют параллельными, если они принадлежат  одной плоскости и не пересекаются. 

Параллельность прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают как в планиметрии: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, в пространстве есть три случая взаимного расположения двух прямых.   

1) прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку, то есть это пересекающиеся прямые (рис. 3.3);

2) прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки, то есть это параллельные прямые (рис. 3.4);

3) прямые не лежат в одной плоскости, то есть это скрещивающиеся прямые. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 3.3                             Рис. 3.4

Примерами всех приведенных случаев расположения прямых могут быть прямые, пересекающие стены комнаты между собой, потолком и полом, или прямые, содержащие ребра куба. Так, на рисунке 3.1 прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельные прямые, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— скрещивающиеся.

Параллельные прямые в пространстве

Из определения параллельных прямых следует, что через параллельные прямые можно провести плоскость. Эта плоскость единственная. Если допустить, что через параллельные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести две разные плоскости, то это означает, что две разные плоскости проведены через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. А это противоречит теореме о существовании единственной плоскости, проходящей через прямую и точку, которая ей не принадлежит. Итак,

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, к тому же только одну. 

Теперь к трем способам задания плоскости, которые мы рассмотрели в лекции, можно прибавить еще один: плоскость можно задавать двумя параллельными прямыми. 

Как известно из курса планиметрии, на плоскости через точку,  не лежащую на данной прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной (аксиома 8). Такое свойство сохраняется и в пространстве. 

 Теорема 1 (о существовании прямой, параллельной данной). Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну. 

Доказательство. Рассмотрим прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, не принадлежащую ей (рис. 3.5). Через прямую  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести единственную плоскость, назовем ее  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач сохраняется аксиома параллельности прямых, то есть через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести единственную прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельную прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 3.5

Сформулируем и докажем свойства параллельных прямых.

 Теорема 2 (о пересечении плоскости параллельными прямыми). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.6). Докажем, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть имеет с ней одну общую точку. 

1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то через эти прямые можно провести плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют общую точку — точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то они пересекаются прямой. Обозначим эту прямую через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис 3.7). Она принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи пересекает прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, потому она пересекает и прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в некоторой точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачобщая точка прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Докажем, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не имеет в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач других общих точек. Допустим, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач еще одну общую точку. Тогда две точки прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть совпадает с прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это невозможно, так как прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а по условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельны. Итак, наше предположение ложное, потому прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может иметь с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач только одну общую точку — точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 3.6                             Рис. 3.7

Из курса планиметрии вы знаете, что на плоскости две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Это свойство сохраняется и в пространстве. 

 Теорема 3 (признак параллельности прямых). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. 

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Обозначим точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.8). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельная прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и с пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по предыдущей теореме прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтак же пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но это невозможно, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, наше предположение ложное, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Предположим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в некоторой точке. Тогда, через эту точку проходят две прямые, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, параллельные прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит теореме о существовании прямой, параллельной данной.

3) Следовательно, прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости и не пересекаются. Поэтому они параллельны. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 3.8

Задача №189

Доказать, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. 

Доказательство. 1) Пусть параллельные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпересекают прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 3.9). Проведем через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая параллельна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пересекает прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Предположим, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может иметь с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач только одну общую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то по теореме о пересечении плоскости параллельными прямыми получаем, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Но это противоречит тому, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Следовательно, наше предположение ложное, потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —  прямая, параллельная прямым Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и пересекает прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то все параллельные прямые, которые пересекают данную прямую, лежат в одной плоскости, а именно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.9

Задача №190

Через конец Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Через конец Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этого отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 3.10). Найти длину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  можно провести плоскость. Назовем ее Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Рассмотрим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач у которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —общий. Тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум углам), поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Поскольку по условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следует, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 3.10

Ответ: 10 см.

Заметим, что параллельными бывают не только прямые, но и лучи и отрезки. Отрезки или лучи называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. 

Важно также заметить, что в стереометрии параллельные прямые на плоскости изображают параллельными прямыми. Если изображения прямых на плоскости оказались параллельными, то сами эти прямые в пространстве могут быть и не параллельными.

3. Скрещивающиеся прямые. 

Выясним, как построить скрещивающиеся прямые, не используя определения. Докажем теорему, которая является признаком скрещивающихся прямых.

Теорема 4 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит на некоторой плоскости,  а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые — скрещивающиеся. 

Доказательство. Пусть прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает эту плоскость в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.11). Докажем, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся. 

Предположим, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются скрещивающиеся, то есть лежат в некоторой плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находятся прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая не принадлежит этой прямой. Но такая плоскость, проходящая через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач уже существует, это плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач А поскольку такая плоскость единственная, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Это невозможно, потому что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, по условию, не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пришли к противоречию с условием задачи. Итак, наше предположение является ложным. Поэтому прямые  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  — скрещивающиеся. 

Заметим, что когда одна из двух прямых лежит в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а другая не лежит в этой плоскости, то эти прямые не обязательно скрещивающиеся. Например, на рисунке 3.12 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются скрещивающимися (они параллельные), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также не являются скрещивающимися (они пересекаются). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 3.12                                Рис. 3.13                                         Рис. 3.14

Задача №191

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не лежит в плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — медиана этого треугольника (рис. 3.13). Каким является взаимное расположение прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся.

Ответ: прямые скрещивающиеся.

Задача №192

Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачскрещивающиеся. Докажите, что прямые  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также скрещивающиеся.

Доказательство. Допустим, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не являются скрещивающимися, то есть или параллельные, или пересекающиеся. Тогда в каждом из этих двух случаев через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести плоскость, и поэтому все четыре точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будут принадлежать этой плоскости. Но тогда прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачне будут скрещивающимися, что противоречит условию задачи. Итак, наше предположение, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачне являются скрещивающимися, является ложным, а потому прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся.

Задача №193

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит ребру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач куба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 3.14). На рисунке прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные. А параллельны ли они на самом деле?

Решение. Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости грани куба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает эту грань в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому, по определению скрещивающихся прямых, прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся. 

Ответ: нет.  

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Как утверждает аксиома Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая (то есть все ее точки) принадлежат этой плоскости. Прямая и плоскость могут также иметь только одну общую точку или не иметь общих точек. Следовательно, можно прийти к выводу, что существует три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1) прямая может лежать на плоскости (рис 4.1);

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 4.1.

2) прямая и плоскость могут иметь одну общую точку, то есть пересекаться (рис. 4.2);

3) прямая и плоскость могут вообще не иметь общих точек (рис. 4.3).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 4.2                                       Рис. 4.3

Определение параллельности прямой и плоскости

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. 

На рисунке 4.3 прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что обозначают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Представление о параллельности между прямой и плоскостью в повседневной жизни можно увидеть, например, наблюдая за туго натянутыми линями электропередач, которые являются параллельными с поверхностью земли (рис. 4.4), или за линией пересечения стены комнаты с потолком,  являющейся параллельной полу (прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на рисунке 4.5 параллельна плоскости пола Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис 4.4                                                    Рис 4.5

Заметим, что у плоскости пола есть прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая параллельна прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.5). Докажем, что наличие у плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельной прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является признаком параллельности прямой и плоскости.

Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, которая не лежит на плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. 

Доказательство. Пусть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.4.6). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно провести плоскость, назовем ее Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.6).

2) Тогда прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежит в каждой из плоскостей Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, является прямой их пересечения. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 4.6

3) Предположим, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачне параллельна плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда она ее пересекает, то есть может иметь с ней общую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач То есть точка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости , а потому принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, по которой пересекаются  плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

5) Отсюда получили, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, что противоречит условию. Потому наше предположение ложное. 

6) Следовательно, прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельна плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Из этой теоремы, в частности, выплывает факт существования и способ построения прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через точку, не принадлежащую этой плоскости.

 Теорема 2 (обратная признаку параллельности прямой и плоскости). Если дана прямая, параллельная некоторой плоскости, то в этой плоскости найдется прямая, параллельная данной прямой. 

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — данные прямая и плоскость, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.7)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис 4.7

1) В плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выберем произвольную точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не принадлежащую ей, проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отличается от плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поскольку проходит через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая не принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют общую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то они пересекаются по  некоторой прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  проходящей через эту точку.

4) Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости — плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и не совпадают. Предположим, что они пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получается, что точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а это противоречит условию. 

5) Следовательно, наше предположение ложное, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Если прямая параллельна плоскости, то через любую точку, этой плоскости можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. 

Задача №194

Доказать, что если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая или параллельна этой плоскости, или лежит в этой плоскости. 

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — данные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может принадлежать плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.8) (в этом случае условие задачи выполняется). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 4.8                                            Рис. 4.9

2) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может не принадлежать плоскостиГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.9). В плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, по предыдущей теореме, существует прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельная Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по определению параллельности прямых, имеем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по определению параллельности прямых, получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №195

Доказать, что когда плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 

Доказательство. Пусть через данную прямую  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит плоскость  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.6). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от противного.

1) Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости — плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Допустим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Но тогда точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, что противоречит условию.

3) Следовательно, наше предположение ложное, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что вывод этой задачи можно считать еще одним признаком параллельности прямых. 

Задача №196

Плоскость, параллельна стороне Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтреугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает сторону Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а сторону Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — в точке  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти длину стороны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 4.10

Решение. 1) Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости — плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 4.10). 

2) Предположим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точкой пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит условию задачи. Следовательно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Рассмотрим треугольники Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач у которых угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Потому что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(по двум углам).

5) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 25 см.

Расположение двух плоскостей в пространстве

Взаимное расположение двух плоскостей:

Как утверждается в аксиоме 3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Следовательно, можно сделать вывод, что есть два случая взаимного расположения двух плоскостей:

1) плоскости могут пересекаться по прямой (рис. 5.1);

2) плоскости могут не иметь общих точек (рис. 5.2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 5.1                                          Рис. 5.2

Параллельные плоскости

Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

На рисунке 5.2 плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, что обозначают так Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Представление о параллельных плоскостях в повседневной жизни дает, например, дно и крышка закрытой коробки, пола и потолка комнаты. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач данные плоскости (рис. 5.3), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —две прямые, лежащие в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пересекающиеся в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— две прямые, лежащие в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Получили, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку параллельности прямой и плоскости). 

2) Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от противного. Допустим, что плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 5.3

3) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и не имеет общих точек с Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, если бы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекались, то эта точка была бы также точкой пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или же Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

4) Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Приходим к тому, что через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходят две разные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачпараллельные прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит теореме о существовании прямой, параллельной данной. 

5) Следовательно, наше предположение ложное, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 

Задача №197

Постройте параллельные плоскости, проходящие через две скрещивающиеся прямые. 

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся прямые. 

1) Через произвольную точку прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а через произвольную точку прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. (рис. 5.4)

2) Через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку параллельности плоскостей) . Следовательно, требование задачи выполнено. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 5.4

 Теорема 2 (о существовании плоскости, параллельной данной). Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и к тому же только одну. 

Доказательство этой теоремы не приводим, так как оно слишком громоздкое. 

Задача №198

Доказать, что две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой. 

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от противного. 

1) Предположим, что   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются по некоторой прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а некоторая точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит этой прямой. 

2) Тогда получим, что через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходят две плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что противоречит теореме о существовании плоскости, которая проходит через данную точку параллельно данной плоскости. 

Следовательно, наше предположение ложное, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Свойства параллельных плоскостей

Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей. 

1) Если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то прямые пересечения будут параллельными. 

Доказательство. Пусть плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает  параллельные плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямым Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 5.5).

1) Прямые  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат в одной плоскости — плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому они либо пересекаются, либо параллельны. 

2) Представим, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  пересекаются в некоторой точке. Тогда эта точка принадлежит каждой из плоскостей Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть плоскости пересекаются, что противоречит условию.

3) Пришли к противоречию условию, следовательно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Отрезки параллельных прямых, концы которых принадлежат двум параллельным плоскостям, между собой равны. 

Доказательство. Рассмотрим отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельных прямых, концы которых принадлежат двум параллельным плоскостям Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и проведем через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 5.6). 

1) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и по предыдущему свойству получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллелограмм. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойствам параллелограмма). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 5.5                           Рис. 5.6                                  Рис. 5.7

Задача №199

Два луча с общим начало — точкой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекают параллельные плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в  точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсоответственно. Доказать, что треугольники Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  подобны.

Доказательство. 1) Проведем через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость. Она пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству параллельных плоскостей).

3) Рассмотрим треугольники Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач у которых угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как соответствующие углы при пересечении параллельных прямых А1В1 и А2В2 секущей МВ2).

4) Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум углам), что и требовалось доказать.

Свойства и признаки параллельных плоскостей дают возможность достаточно удобным способом строить сечения многогранников,  параллельные некоторой плоскости.

Задача №200

На ребре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач куба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначим точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

1) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

2) Найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. 

Решение. 1) В грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задача в грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтак, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 5.8).

Тогда по признаку параллельности плоскостей Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Заметим, что по свойству параллельных плоскостей Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(докажите самостоятельно).

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный. Найдем его площадь: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Параллельное проецирование и его свойства

Для стереометрии важное значение имеет такое изображение пространственных фигур в плоскости, которое дает максимально полное представление о фигуре. Пока что, изучая свойства простейших геометрических фигур (точек, прямых, плоскостей), мы использовали чисто условные, интуитивно понятные изображения этих простейших фигур на плоскости. 

Параллельное проецирование:

Для изображения пространственных фигур на плоскости часто используют параллельное проецирование. Рассмотрим этот способ изображения фигур. 

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая плоскость, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямая, которая пересекает эту плоскость (рис. 6.1). Предположим, что мы должны на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изобразить фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не лежащую в этой плоскости. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 6.1

Для этого проведем через произвольную точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения этой прямой с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет изображением точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Построив таким способом изображения каждой точки фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, получаем фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — изображение фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом называют изображением точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, или параллельной проекцией Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачна плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — изображением фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, или параллельной проекцией фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.  Говорят также, что фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получили из фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью параллельного проецирования. Прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют проектирующей прямой, а плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — плоскостью проекции. 
С помощью параллельного проецирования можно изображать на плоскости как плоские фигуры (прямую, отрезок, треугольник), так и пространственные (пирамиду, куб и т. д.). Представление о параллельном проецировании пространственных фигур, например куба, можно получить, если поместить перед экраном изготовленный  из проволоки каркас куба и осветить его проектором (рис. 6.2).

Прототипом параллельного проецирования можно считать тень, падающую на плоскую поверхность (землю, стену и т. д.)  при солнечном или электрическом освещении (рис. 6.3). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 6.2                                            Рис. 6.3.

Свойства параллельного проецирования

Сформируем основные свойства параллельного проецирования при условии, что отрезки и прямые, которые проецируются, не параллельны проецирующей прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1. Проекцией прямой является прямая (рис. 6.4).
2. Проекцией отрезка является отрезок (рис. 6.5).
3. Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки (рис. 6.6) или отрезки, принадлежащие одной прямой (рис. 6.7).
4. Проекции параллельных прямых параллельные или совпадают.
5. Проекции параллельных отрезков или отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 6.4                                      Рис. 6.5

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 6.6                                          Рис. 6.7

На рисунке 6.8 отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — отрезки одной прямой, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно их проекции. По свойству 5: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 6.8

По этому же рисунку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельная проекция отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Середина отрезка проецируется в середину его проекции. 

Возвращаясь к рисунке 6.2, на котором изображено параллельное проецирование куба, можно увидеть, что грань куба,  являющаяся квадратом, проецируется в четырехугольник, соседние стороны которого не являются между собой равными и не образуют прямого угла. Поэтому можно прийти к выводу, что ни величина угла, ни длины отрезков при параллельном проецировании не обязательно сохраняются.

Для успешного решения стереометрических задач к изображениям плоских фигур выдвигаются такие требования: изображение фигуры должно быть правильным, наглядным и желательно, чтобы его можно было построить достаточно быстрым и несложным способом. Так, например, параллельной проекцией отрезка может быть отрезок, а может быть и точка (в случае, если отрезок параллелен проецирующей прямой), однако в этом случае изображение отрезка уже не будет наглядным. 

Изображения плоских фигур

В стереометрии изображение плоских фигур основывается на свойствах параллельного проецирования. Рассмотрим несколько примеров изображений плоских фигур (при условии, что плоскость фигуры не является параллельной проецирующей прямой). 

Треугольник и его элементы. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — треугольник, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проекции соответственно точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.9). Поскольку проекцией отрезка является отрезок, то треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является изображением треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Изображением каждого треугольника является треугольник произвольного вида. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 6.9                                                             Рис. 6.10

Например, на рисунке 6.10 изображением прямоугольного равнобедренного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(с прямым углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) является разносторонний треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Исходя из следствия свойства 5, получаем: 

Проекцией медианы треугольника является медиана проекции треугольника, а проекцией средней линии треугольника является средняя линия проекции треугольника. 

Если в задаче не заданы метрические соотношения между элементами треугольника, то параллельной проекцией его биссектрисы будет произвольный отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Параллельной проекцией высоты треугольника также будет произвольный отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или с точкой, лежащей на продолжении этой стороны (в случае, когда эта высота проведена из вершины острого угла тупоугольного треугольника). 

В равнобедренном треугольнике медиана, проведена к основанию, является также биссектрисой и высотой. Поэтому параллельной проекцией биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника, проведенных к основанию, является медиана проекции треугольника, проведенная к его основанию. На рисунке 6.11 треугольник  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельная проекция равнобедренного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач у которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция медианы, биссектрисы и высоты этого треугольника, проведенных к основанию. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 6.11                                  Рис. 6.12                                 Рис. 6.13

Задача №201

Треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является проекцией равностороннего треугольника (рис. 6.12). Построить проекцию центра окружности, вписанной в равносторонний треугольник. 

Решение. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Поскольку треугольник, который проецируем, является равносторонним, то его биссектрисы являются также медианами, а точка пересечения биссектрис соответственно совпадает с точкой пересечения медиан. Поэтому для построения проекции центра окружности, вписанной в равносторонний треугольник, нужно построить проекцию точки пересечения медиан. Для этого нужно провести две медианы треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.13), которые являются проекциями медиан треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, и его биссектрис. Тогда точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и будет проекцией центра окружности, вписанной в равносторонний треугольник. 

Параллелограмм и его виды

Поскольку проекциями параллельных и равных между собой  отрезков являются параллельные и равные между собой отрезки (по свойствам 3 и 5 параллельного проецирования), то проекцией параллелограмма является параллелограмм. 

Изображением каждого параллелограмма является параллелограмм произвольного вида. 

Кроме этого, произвольный параллелограмм может быть изображением прямоугольника (рис. 6.14), ромба, квадрата. И наоборот, квадрат может быть изображением параллелограмма, не являющегося квадратом. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                        Рис. 6.14                                      Рис. 6.15 

Трапеция

Поскольку проекцией параллельных отрезков являются параллельные отрезки, то изображением трапеции является трапеция. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — изображение трапеции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с основаниями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.15), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству 5 параллельного проецирования). 

Задача №202

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельная проекция равнобедренной трапеции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с основаниями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Построить проекции высот трапеции, выходящих из вершин тупых углов. 

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренная трапеция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.16), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция, у которой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 6.16                                           Рис. 6.17

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ось симметрии трапеции. Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция оси симметрии равнобедренной трапеции (по свойству 6 параллельного проецирования) (рис. 6.17).

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высоты трапеции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку проекциями параллельных отрезков являются параллельные отрезки (свойство 3 параллельного проецирования), то проекции высот Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач могут быть параллельными проекциями оси симметрии трапеции. Поэтому для построения высот Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нужно из вершин Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач провести отрезки, параллельные отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — изображения высот трапеции, проведенных из вершин тупых углов. 

Правильный шестиугольник

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный шестиугольник (рис. 6.18). Диагональ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делят его на два ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно симметричные относительно точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Для изображения правильного шестиугольника сначала построим параллелограмм Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который является изображением ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 6.19), потом симметричный ему относительно точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелограмм Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Соединив точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим изображение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач правильного шестиугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 6.18                     Рис. 6.19                         Рис. 6.20

Окружность:

Параллельную проекцию окружности называют эллипсом (рис. 6.20). Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая является проекцией центра окружности — точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют центром эллипса. 

Изображение пространственных фигур в стереометрии

Свойства параллельного проецирования и способы изображения плоских фигур в стереометрии помогают получить наглядные изображения пространственных фигур, в частности, многогранников. 

В лекции вы уже рассмотрели одно из возможных изображений прямоугольного параллелепипеда, куба и тетраэдра. Покажем, что эти изображения согласуются со свойствами параллельного проецирования, то есть действительно являются параллельными проекциями упомянутых пространственных тел на плоскости. 

Изображение многогранника складывается из изображений его ребер, построенных с помощью параллельного проецирования. При этом, для наглядности рисунка принято видимые ребра многогранника изображать сплошной линией, а невидимые — пунктиром. Как же понять, какие ребра являются видимыми, а какие — нет? Представим, что со стороны наблюдателя параллельно направлению проецирования на многогранник падает яркий свет. Тогда поверхность многогранника будет частично осветленной. Те ребра многогранника, которые принадлежат его освещенной части, считают видимыми,  а те, которые принадлежат неосвещенной части — невидимыми. 

Рассмотрим проекции разных моделей тетраэдра, изготовленных их проволоки (рис. 6.21 и 6.22), и учтем, что проекциями четырех его вершин являются четыре точки, а проекциями шести его ребер — шесть отрезков, соединяющих эти точки. Для того чтобы рисунок был наглядным, направление проецирования можем

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 6.21                                        Рис. 6.22

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 6.23                                        Рис. 6.24

выбрать так, чтобы оно не было параллельным каждому из ребер тетраэдра. Следовательно, получаем способ построения изображения тетраэдра, который уже рассматривали раньше — в лекции (рис. 6.23 и 6.24). 

Построив изображения прямоугольного параллелепипеда и куба, нужно учитывать, что все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, а все грани куба — квадраты. Это означает, что проекциями всех шести граней упомянутых многогранников являются параллелограммами. При этом ту грань прямоугольного параллелепипеда, которая находится на первом плане, как и противоположной ее грани, принято изображать прямоугольными параллелепипедом и кубом, которые мы рассмотрели раньше, в лекции. На рисунке 6.25 — изображение прямоугольного параллелепипеда, поэтому четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольник, а на рисунке 6.26 — изображение куба, поэтому четырехугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — квадрат. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                       Рис. 6.25                                                  Рис. 6.26

Построение сечений многогранников

В лекции вы уже рассмотрели и даже построили простейшие сечения прямоугольного параллелепипеда, куба и пирамиды методом следов. В этой лекции рассмотрим более сложные случаи использования метода следов, построение сечений с помощью свойств параллельных прямых и плоскостей, а также методом внутреннего проецирования. 

Построение сечения с помощью свойств параллельных прямых и плоскостей

Если многогранник, у которого некоторые грани между собой параллельны, пересечь плоскостью, то по свойству параллельных плоскостей, прямые, пересекающие эти плоскости с параллельными между собой гранями будут параллельны. Среди известных нам геометрических тел именно прямоугольный параллелепипед и куб являются такими, что имеют пары параллельных между собой граней. 

Задача №203

Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат ребрам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач куба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.1). Постройте сечение куба плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Секущая плоскость пересекает грань Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а грань Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — по отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем эти отрезки (рис. 7.2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 7.1                                        Рис. 7.2

2) Грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные между собой, поэтому по свойствам параллельных плоскостей секущая плоскость пересечет эти грани по параллельным прямым. Проведем в грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Соединим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезком. Получим искомое сечение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В задаче мы рассмотрели построение сечения тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в случае, когда точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачрасполагались на грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не были параллельными. Обозначим, что в случае параллельности Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не существовало бы. Рассмотрим, как построить сечение в заданной задаче в случае, если прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны. 

Задача 2. Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.3). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1) Проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которая пересекает ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.4). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 7.3                                            Рис. 7.4

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку параллельности прямой и плоскости).

3) Поскольку секущая плоскость проходит через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то секущая плоскость может пересекать грань Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по прямой, параллельной прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

4) Через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, пересекающую ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

5) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Построение сечения методом следов

В лекции мы уже решили несколько несложных задач на построение многогранников методом следов. Рассмотрим более сложную задачу на построение сечения и решим ее как с помощью метода следов, так и с использованием свойств параллельности прямых и плоскостей. 

Задача №204

Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат соответственно ребрам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач куба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.5). Построить сечение куба плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Решение. 1-й способ (метод следов).

Последовательность построения сечения методом следов показана на рисунках 7.5 - 7.15.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 7.5                                            Рис. 7.6

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 7.7                                              Рис. 7.8

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 7.9                                              Рис. 7.10

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 7.11                                              Рис. 7.12

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 7.13                                              Рис. 7.14

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомое сечение. 

                      Рис. 7.15

2-й способ (с использованием свойств параллельных плоскостей).

1) Найдем точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как в предыдущем способе (рис. 7.6-7.8). 

2) Поскольку грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллельные, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Поэтому в грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, которая пересечет ребро Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Для параллельных граней Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач аналогично получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Несложно отметить, что 2-й способ для этой задачи является более рациональным, чем метод следов. 

Свойства параллельных прямых и плоскостей для построения сечений целесообразнее использовать и тогда, когда секущая плоскость по условию является параллельной произвольной прямой или плоскости, или двум скрещивающимся прямым в многограннике. 

Задача №205

Построить сечение тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью, которая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  лежащую посередине тетраэдра и не принадлежащую ни одной его грани, параллельно двум скрещивающимся ребрам  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач когда известно положение точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точки пересечения прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.16).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 7.16                                                  Рис. 7.17

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.17).

2) Рассмотрим плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задача плоскость сечения параллельна прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости сечения. 

4) Поскольку плоскость пересечения параллельна прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

5) Аналогично, в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.18). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 7.18

6) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение. 

Построение пересечения методом внутреннего проецирования

Мы рассмотрим несколько разных задач на построение сечений методом следов, что свидетельствует об универсальности этого метода. Но он имеет один серьезный недостаток: построение часто занимает много места на плоскости построения (листе бумаги, школьной доске и т.д.), бывают случаи, когда точки пересечения прямых могут вообще оказаться за ее пределами. 

Этот недостаток можно избежать в другом методе — методе внутреннего проецирования. 

Задача №206

Построить сечение прямоугольного параллелепипеда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.19), где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Построим проекции точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.20). Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция произвольной точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Чтобы  найти точку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую, параллельную ребру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая пересекает отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 7.19                                                         Рис. 7.20

4) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.21). Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости сечения, то и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости  сечения. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости сечения, то плоскости сечения принадлежит и прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

5) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.22)

6) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

7)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 7.21                                                        Рис. 7.22

8) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое сечение (рис. 7.22). 

Заметим, что след секущей Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно было найти и по свойству параллельных плоскостей. 

Следовательно, по решению задачи попробуем описать последовательность действий в методе внутреннего проецирования. А именно:

1) Имея три точки, определяющие плоскость сечения, находим их проекции на некоторую плоскость, чаще всего плоскость основания многогранника: плоскость  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Находим проекцию на ту же самую плоскость еще не построенной точки, которая принадлежит сечению: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

3) Находим саму точку, проекцию которой нашли выше: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Находим точку, принадлежащую сечению,  на ребре (или грани) многогранника: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Заканчиваем построение сечения одним из известных нам способов.

Следовательно, как видно из рисунков задачи, все построения, которые мы выполнили, не выходили за изображение данного многогранника. Поэтому метод так и называется  — метод внутреннего проецирования

Отметим, что большинство задач на построение сечений решают с помощью одного из рассмотренных методов или последовательного комбинирования методов внутреннего проецирования и следов. Поэтому выбор того или иного метода (или их комбинации) для построения пересечения зависит как от условия задачи, так и от предпочтений самого решающего. 

Центральное проецирование

Метод внутреннего проецирования можно использовать не только для построения пересечения прямоугольного параллелепипеда и куба, а и для построения тетраэдра. Только для построения сечений прямоугольного  параллелепипеда и куба этим методом использовали параллельное проецирование, а при построении сечения  тетраэдра используют центральное проецирование. 

Пусть в пространстве даны плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, не принадлежащая ей. Выберем произвольную точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая не лежит в плоскости, проходящей через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и проведем через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.23). Пусть прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая построена  таким способом, называют центральной проекцией точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. При этом плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют плоскостью проекции, а точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центром проецирования

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 7.23                                                   Рис. 7.24

Построив таким способом изображения каждой точки фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — изображение фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.24). Фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при этом называют центральной проекцией фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Говорят также, что фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получили из фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с помощью центрального проецирования.

Построение пересечения пирамиды методом внутреннего проецирования

Выполняя построение пересечения пирамид, кроме тетраэдров, методом внутреннего проецирования, удобно использовать именно центральным (а не параллельным) проецированием. Обычно, плоскостью проекции выбирают плоскость основания пирамиды (или одну из граней тетраэдра), а центром проецирования - вершину пирамиды (для тетраэдра берут вершину пирамиды, противоположную плоскости проекции).

Задача №207

Построить сечение тетраэдра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскостью, проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 7.25). 

Решение. Решение этой задачи аналогичное  решению предыдущей задачи, разница лишь в том, что вместо параллельного проецирования используют центральное. При этом плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выбирают плоскостью проекции, а точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центром проецирования.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 7.25                                               Рис. 7.26

Покажем краткий план решения (рис. 7.26): 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач искомое сечение. 

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

В этом разделе мы: 

  • узнаем о перпендикулярности прямых и плоскостей, двугранном угле и его измерении; угле между плоскостями и его вычислении;  ортогональном проецировании, перпендикуляре и наклонной к плоскости, теореме о трех перпендикулярах.
  • научимся устанавливать перпендикулярность прямых и плоскостей: применять связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей при решении задач: измерять расстояния и углы в пространстве. 

Перпендикулярность прямых в пространстве

Как и на плоскости, в пространстве

Две прямые, которые пересекаются под прямым углом, называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными) (рис. 8.1).

Для обозначения перпендикулярности в пространстве  используют тот же символ, что и на плоскости. Например, если прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярные, то это записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 8.1

В этой лекции рассмотрим вопрос о перпендикулярности пересекающихся прямых, а в одной из следующих — вопрос о перпендикулярности скрещивающихся прямых. 

Задача №208

  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный параллелепипед (рис 8.2). Найти все прямые, пересекающие прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и перпендикулярные к ней. 

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 8.2                                     Рис. 8.3

На плоскости прямая может быть перпендикулярной к каждой из двух прямых только тогда, когда эти две прямые между собой параллельны, в пространстве же прямая может быть перпендикулярной к каждой из двух пересекающихся прямых.

Задача №209

Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач попарно перпендикулярны (рис. 8.3). Найти длину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 13 см.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, то она пересекает плоскость. В этой лекции рассмотрим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости. 

Прямая, которая пересекает плоскость, называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в плоскости  и проходящей через точку пересечения (рис. 8.4).

Также говорят, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость взаимно перпендикулярны. Записать это можно так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В повседневной жизни мы постоянно встречаемся с взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью: телеграфный столб перпендикулярен поверхности земли, шнур, на котором висит лампа, перпендикулярный к поверхности стола; линия пересечения стен перпендикулярна как к плоскости пола, так и к плоскости потолка, ножка стола перпендикулярна к его поверхности и так далее. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 8.4

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости

Вышеупомянутые определения перпендикулярности прямой и плоскости не всегда удобно использовать для решения задач. Ведь чтобы проверить, является ли прямая перпендикулярной к плоскости, не обязательно проверять перпендикулярность прямой ко всем прямым данной плоскости, которые проходят через точку пересечения прямой и плоскости. 

На рисунке 8.5 линия пересечения стен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к плоскости  пола Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Также линия пересечения стен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые лежат в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пересекаются с прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этот рисунок является наглядной иллюстрацией признака перпендикулярности прямой и плоскости.  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 8.5

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая, которая пересекает плоскость, перпендикулярна к двум прямым этой плоскости,  проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна и к плоскости. 

Доказательство. Пусть прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и является перпендикулярной к двум прямым  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащим в этой плоскости (рис. 8.6). Докажем, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к любой прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежащей плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Проведем произвольную прямую, которая пересекает прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. 

2) На прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в разные стороны от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отметим равные между собой отрезки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Рассмотрим треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — его медиана и высота, то треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 8.6

5) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем сторонам), поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум сторонам и углу между ними), поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

7) Поскольку треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный с основанием Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то его медиана Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является также и высотой. Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

8) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная прямая, проходящая через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и лежащая на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то приходим к выводу, что прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к любой такой прямой, следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 8.7

На рисунке 8.7 прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекается с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходят через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем,что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следствие. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым,   перпендикулярна и к плоскости, проходящей через эти прямые. 

Признак перпендикулярности прямой и плоскости используется на практике. Так, например, чтобы проверить, перпендикулярна ли линия пересечения стен комнаты к полу, достаточно проверить, образует ли линия прямые углы с некоторыми двумя прямыми, которые лежат на плоскости пола и проходят через точку пересечения линии пересечения стен с полом. 

Задача №210

Через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежащую вне плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную к прямым Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис 8.8). Доказать, что прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны. 

Доказательство. 1) По условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачперпендикулярна к любой прямой, которая лежит в плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв частности, и к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 8.8

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Задача №211

Доказать, что через некоторую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 8.9

Доказательство. Пусть дана прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая ей не принадлежит (рис. 8.9). Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи перпендикулярно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая ей не принадлежит, проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отличную от Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) На плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную к прямой  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) На плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку пересечения прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярную к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Эта плоскость проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и перпендикулярна к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. 

Аналогично доказывается и случай, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Заметим, можно также доказать, что построенная плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — единственная. 

Свойства взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей

В прямоугольном параллелепипеде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 8.2) прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельные между собой и каждая из них перпендикулярная к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обобщим этот факт. 

Если плоскость перпендикулярна к одной их двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 

На рисунке 8.10 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому, по свойству 1 имеем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

На рисунке 8.2 каждая из прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а между собой эти прямые параллельные. 

Обобщим этот факт. 

Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны между собой.

На рисунке 8.10 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому, по свойству 2 получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Самое рациональное доказательство этих свойств основывается на понятии угла между скрещивающимися прямыми. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 8.10

Задача №212

Прямая  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Через точку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая не лежит на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, провести прямую, перпендикулярную к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 8.11

Решение. По теореме о существовании прямой, параллельной данной, через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такую, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 8.11). Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по свойству 1). Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и является искомой.

Перпендикуляр и наклонная

Рассмотрим плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежащую ей (рис. 9.1).

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной к плоскости.

На рисунке 9.1 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикуляр, проведенный из точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец этого перпендикуляра, лежащий в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — называют основанием перпендикуляра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 9.1

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

На рисунке 9.1 длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называют любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости и не является перпендикуляром. 

На рисунке 9.1 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— наклонная, проведенная из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Конец этой наклонной, лежащий на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — называют основанием наклонной. Отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который соединяет основание перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим свойства перпендикуляра, наклонной и их проекции в пространстве.  Заметим, что эти свойства аналогичны соответствующим свойствам перпендикуляра, наклонной и их проекции на плоскости.

1. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, меньше длины любой наклонной, проведенной из этой же точки к данной плоскости. 

Действительно, в прямоугольном треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является катетом, а отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — гипотенузой (рис. 9.1), поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Если две наклонные, проведенные из точки к плоскости, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведены наклонные Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.2). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по катету и гипотенузе), а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Верным является и обратное утверждение. 

3.  Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к плоскости, равны, то равны и их наклонные. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 9.2                                                    Рис. 9.3

На рисунке 9.2 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .(по двум катетам), поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Если из точки к плоскости проведены две наклонные, то большей из них будет та, которая имеет большую проекцию на эту плоскость. 

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонные, к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — их проекции (рис. 9.3). Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Верным является и обратное утверждение. 

5. Если из точки к плоскости проведены две наклонные, то большая наклонная будет иметь большую проекцию на эту плоскость. 

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонные к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — их проекции (рис. 9.3). Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачПоскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №213

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 41 см и 50 см. Найти расстояние от точки до плоскости и длины проекций наклонных, если их отношение равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.3). По свойству 5 получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Приравнивая полученные выражения, получим уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач учитывая что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Проекции наклонных равняются 9 см и 30 см; расстояние от точки до плоскости равняется 40 см. 

Задача №214

Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 см каждая. Угол между наклонными равняется Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а угол между их проекциями — прямой. Найти расстояние от точки до плоскости. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 9.4

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.4). Найдем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что наклонной к плоскости называют также и любую прямую, которая пересекает плоскость и не является к ней перпендикулярной. В таком случае проекцией наклонной на плоскости является прямая.

Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим одну из важнейших теорем стереометрии, которую называют теоремой о трех перпендикулярах.

 Теорема (о трех перпендикулярах). Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и к наклонной. И наоборот, если прямая на плоскости перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной на эту плоскость. 

Доказательство. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикуляр, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.5). 

1. Докажем первую часть теоремы. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Проведем прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По свойству взаимно перпендикулярных прямой и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Проведем через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к любой прямой, лежащей на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходящей через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв частности к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Первую часть теоремы доказали. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 9.5

Докажем вторую часть теоремы. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №215

Из вершины Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач квадрата Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведен перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости квадрата. Найти площадь квадрата, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — квадрат, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— наклонная, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция (рис. 9.6). 

1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 9.6

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №216

Через вершину Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведен перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к его плоскости. Построить перпендикуляр из точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение (рис. 9.7). 1)Проведем диагонали ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По свойству диагоналей ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 9.7

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и есть искомый перпендикуляр. 

Теорему о трех перпендикулярах часто используют для нахождения расстояния от точки до прямой. Как и в планиметрии,  расстоянием от точки до прямой будем называть длину перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой.  

Задача №217

Через вершину прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач катет которого равняется 2 см, проведена перпендикулярная к плоскости треугольника прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 9.8

Решение. 1) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач середина гипотенузы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 9.8) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также и высота треугольника. 

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это означает, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
4)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по свойству медианы, проведенной к гипотенузе. 

5) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 3 см. 

Двугранный угол

В стереометрии, кроме плоских углов, рассматривают еще и двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, заметим, что каждая прямая, проведенная в плоскости, делит ее на две полуплоскости (рис. 10.1)

Двугранным углом называют фигуру, которая образована двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 10.1                              Рис. 10.2                                Рис. 10.3

На рисунке 10.2 изображен двугранный угол. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют гранями, а ограничивающую их прямую — ребром двугранного угла. 

В повседневной жизни нам часто попадаются предметы, имеющие форму двугранного угла. Например, полураскрытая книга, две смежные стены комнаты, двускатные крыши зданий и т. д.

Плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярная к ребру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач двугранного угла, пересекает грани двугранного угла по отрезкам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.3). Угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют линейным углом двугранного угла. Двугранный угол имеет множество линейных углов. Все они равны между собой. 

Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру его линейного угла. 

Обычно вместо "градусная мера двугранного угла равняется ..." говорят "двугранный угол равняется ...". Двугранный угол называют острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно является острым, прямым или тупым. Заметим, что исходя из определения, двугранный угол изменяется от Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Два двугранных углах называют равными, если их размеры одинаковы. Можно показать, что равные двугранные углы можно полностью совместить наложением одного на другой.

Приведем два способа построения двугранного угла. 

Способ 1.  Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит ребру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач двугранного угла (рис. 10.3). Построим на гранях двугранного угла прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярные к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда, угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет линейным углом двугранного угла. Действительно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому угол  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач действительно является линейным углом двугранного угла. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 10.4

Способ 2.  Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в одной из граней двугранного угла с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.4). Проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к другой его грани. Проведем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По теореме о трех перпендикуляра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —линейный угол двугранного угла. 

Задача №218

Двугранный угол равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На одной из его граней выбрана точка на расстоянии 6 см от ребра двугранного угла. Найти расстояние от этой точки до другой грани. 

Решение. Пусть точка А принадлежит одной из граней двугранного угла с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.5)

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 10.5

1) Обозначим другую грань угла через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проведем к ней перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Соединим точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— наклонная к Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по теореме о трех  перпендикулярах).

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — линейный угол двугранного угла, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию). 

4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по свойству катета, лежащего напротив угла  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 3 см. 

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них равняется Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то другие, очевидно, тоже равны по Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.6).

Две плоскости называют перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 10.6

Если плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны, то записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Можно дать другое определение перпендикулярности плоскостей, не используя понятия двугранного угла. 

Две пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная к линии пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

 Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 

Доказательство. Пусть плоскость  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая перпендикулярна к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и пересекает ее в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.7). Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходящей через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, в частностиГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 10.7

2) Проведем в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такую, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Следствие 1. Если у плоскости есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. 

Следствие 2. Если плоскость перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то эта плоскость перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.  

Задача №219

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равноудалена от всех вершин прямоугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказать, что плоскости  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач взаимно перпендикулярны. 

Доказательства. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения диагоналей прямоугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.8), тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — медиана и высота треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Аналогично доказываем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

5) Тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 10.8 

Задача №220

Два равнобедренных треугольника имеют общее основание Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Плоскости треугольников перпендикулярные. Найти расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— медиана и высота равнобедренного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — медиана и высота равнобедренного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 10.9).

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— линейный угол двугранного угла с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 6 (см). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 10.9

5) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 15 (см). 

6) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояния в пространстве

Напомним, что расстояние между двумя точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — это длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.1). Рассмотрим понятие расстояний в пространстве.

1. Расстояние  от точки до фигуры. 

Если точка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от нее до фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. 

Например, расстояние любой точки отрезка до этого отрезка равно нулю. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 11.1                                        Рис. 11.2

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то рассматривают все возможные расстояния от данной точки до каждой точки фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (11.2)

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и существует точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая принадлежит фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для любой точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то длину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ближайшей к точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точкой фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.2)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                      Рис. 11.3                                       Рис. 11.4

Заметим, что эти определения расстояния от точки до фигуры могут применяться как на плоскости, как и пространстве. Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоская фигура, то расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости и в пространстве будут между собой равными. 

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит плоскости фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач), то найти расстояние  от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно таким способом. Провести перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.3). Если существует ближайшая к точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и будет расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, меньше любой наклонной, а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то выражение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач содержит наименьшее из всех возможных значений расстояния Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что не всегда можно найти расстояние от точки до фигуры, поскольку не всегда у фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач существует точка, ближайшая к точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Рассмотрим круг с радиусом 1 и центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач без точек окружности, которые ограничивают этот круг, и точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачтакую, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.4). Тогда, очевидно, на отрезке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не существует точки, принадлежащей кругу и являющейся ближайшей к точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Далее рассмотрим расстояние от точки  до простейших геометрических фигур. 

Расстояние от точки до прямой

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от этой точки до данной прямой равняется нулю.

Если же точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то из курса геометрии вы уже знаете, что расстоянием точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют длину перпендикуляра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  проведенного из данной точки к данной прямой (рис. 11.5). Это определение не противоречит общему определению расстояния от точки до фигуры, сформулированному в предыдущем пункте. На самом деле, поскольку длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной, то  расстоянием от точки до прямой,  не проходящей через эту точку, является длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой. 

На рисунке 11.5 длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                Рис. 11.5                                    Рис. 11.6

Задача №221

Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярна к плоскости равностороннего треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.6). Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — медиана и высота равностороннего треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по теореме о трех перпендикулярах), поэтому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое расстояние. 

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №222

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный тетраэдр с ребром длиной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.7). Найти расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 11.7

Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю.

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как высота равностороннего треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как средняя линия треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

3)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как высоты равных между собой равносторонних треугольников). Расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет длина перпендикуляра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который является высотой и медианой равнобедренного треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние от точки до отрезка

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то значит, что расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и не принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до ближайшего к ней конца отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 11.8 таким расстоянием является длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

       Рис. 11.8

Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.9 и рис. 11.10). 

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то длина перпендикуляра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач                    Рис. 11.9                                           Рис. 11.10

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстояние от точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до ближайшего к ней конца отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. На рисунке 11.10 таким расстоянием является длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №223

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренная трапеция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти расстояние:

1) от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)  от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота трапеции, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.11). Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота трапеции, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является длиной отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это расстояние равно 5 см. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 11.11

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние от точки до луча

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит лучу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется нулю. 

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и не принадлежит лучу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.12), то, очевидно, расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет равно длине отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

От точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит лучу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.13), то длина этого перпендикуляра и является расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит лучу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до начала луча — точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.14). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 11.12                           Рис. 11.13                                  Рис. 11.14

Задача №224

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— равнобедренная трапеция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.11). Найти расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Решая предыдущую задачу, мы нашли Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит лучу Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно нулю. 

3) Расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до луча Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина отрезкаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние от точки до плоскости

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстояние от этой точки до данной плоскости равно нулю. Если же точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки до данной плоскости. На рисунке 11.15  это отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Полученное определение не противоречит общему определению расстояния от точки до фигуры, сформулированному в этой лекции. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 11.15

Действительно, поскольку длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной, то  расстоянием от точки до плоскости, не проходящей через эту точку, является длина перпендикуляра, проведенного из данной точки до данной плоскости. 

Задача №225

В прямоугольнике  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач со сторонами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к его плоскости. Найти расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости прямоугольника, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. (рис. 11.16). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое расстояние. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 11.16 

Ответ: 12 см.

Расстояние от точки до полуплоскости

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит полуплоскости, то очевидно, расстояние от этой тоxки до полуплоскости равно нулю. Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит полуплоскости. Проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач содержащий эту полуплоскость. Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит полуплоскости (рис. 11.17), то длина перпендикуляра Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до полуплоскости. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 11.17                                         Рис. 11.18

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит полуплоскости (рис. 11.18), а  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямая,  ограничивающая полуплоскостью,  тогда расстоянием от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до полуплоскости является длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Расстояние между двумя фигурами

Рассмотрим две фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют хоть одну общую точку, то расстояние между ними равно нулю. 

Если фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не имеют общих точек, то рассматривают все возможные расстояния между каждой точкой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и каждой точкой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Наименьшее из этих расстояний и считают расстоянием между фигурами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 11.19). 

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — фигуре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — любая точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — любая точка фигуры Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то длину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют расстоянием между фигурами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 11.19                                                  Рис. 11.20

На рисунке 11.19 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— расстояние между фигурами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачНа рисунке 11.20 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— куб. Расстоянием между квадратами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является, например, отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а между треугольниками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач например, отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние от прямой до плоскости

Если прямая принадлежит плоскости или пересекает плоскость, то расстояние от прямой до плоскости равно нулю. Если прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то возьмем некоторую точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая принадлежит этой прямой, и проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.21). Очевидно, что 

расстоянием от прямой к параллельной ей плоскости является длина перпендикуляра, проведенного из некоторой точки прямой к плоскости. 

На рисунке 11.21 длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до параллельной ей плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Можно доказать, что расстояние от прямой до параллельной ее плоскости не зависит от выбора точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Действительно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (как противоположные стороны прямоугольника).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                             Рис. 11.21                                         Рис. 11.22

Задача №226

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб, ребро которого равняется Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найдем расстояние от прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение (рис. 11.22). 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачто прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения диагоналей боковой грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое расстояние. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 4 см. 

Расстояние между плоскостями

Если плоскости пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Если плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, то из некоторой точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.23). Очевидно, что 

расстоянием между двумя параллельными плоскостями является длина перпендикуляра, проведенного из некоторой точки плоскости к другой. 

На рисунке 11.23 длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 11.23                                                Рис. 11.24

Задача №227

Концы отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач длиной 17 см принадлежат параллельным плоскостям Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Проекция отрезка на одну из плоскостей равна 8 см. Найти расстояние между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикуляр, проведенный из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомое расстояние (рис. 11.24).

2) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— проекция Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач По условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= 8 см.

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ: 15 см.

Расстояние между прямыми

Если две прямые пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Как известно из предыдущих лекций, расстояние между параллельными прямыми — длина их общего перпендикуляра. Эти определения не противоречат общему определению расстояния между фигурами, данному в этой лекции. 

Покажем, что для скрещивающихся прямых также можно построить общий перпендикуляр.

1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — скрещивающиеся прямые (рис. 11.25). Возьмем на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач произвольную точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проведем через нее прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельную Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Проведем через прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , которые пересекаются, плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 11.25

3) Через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, перпендикулярную плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

4) Поскольку прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  пересекающиеся, то плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим точку пересечения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач построим перпендикуляр Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

6) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

7) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми является длина их общего перпендикуляра

Можно доказать, что такой общий перпендикуляр единственный (доказательство этого факта не приводим). 

Задача №228

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. (рис. 11.26). Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — общий перпендикуляр для прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, искомое расстояние — длина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Вернемся к рисунку 11.25. На этом рисунке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— расстояние от прямой до параллельной ей плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящей через скрещивающуюся с Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда можно сделать вывод, что 

расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до параллельной ее плоскости, проходящей через другую прямую. 

Задача №229

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 11.26), потому по признаку параллельности прямой и плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по признаку перпендикулярности прямой и  плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — расстояние от прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до параллельной ее плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  проходящей через прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является также расстоянием между скрещивающимися прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Измерения углов в пространстве

Угол между прямыми

В пространстве, как и на плоскости, 

  • углом между пересекающимися прямыми называют меньший из углов,  получившийся при пересечении этих прямых. 

Если прямые параллельны, то угол между ними считают равным нулю. Введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. 

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между прямыми,  которые параллельны данным скрещивающимся прямым и пересекаются. 

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямые, которые пересекаются в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и параллельны скрещивающимся прямым  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а угол между прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.1). Тогда угол между прямыми a и b также равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Можно доказать, что угол между скрещивающимися прямыми a и b  не зависит от выбора точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. В задачах  точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удобно выбирать на одной из прямых, например на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проводить через эту точку прямую, параллельную прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач При этом выбирать нужно одну из двух скрещивающихся прямых, а также такую точку на другой прямой, чтобы полученное изображение было наглядным, а его построение относительно простым. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 12.1                                                Рис. 12.2

Задача №230

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб. Найти угол между скрещивающимися прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. (рис. 12.2) 1) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельна прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, поэтому искомый угол равняется углу между прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — проекция наклонной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Следовательно, угол между прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Таким образом, можно говорить об угле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач между любыми двумя прямыми пространства. Очевидно, что этот угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Перпендикулярными могут быть как пересекающиеся прямые,  так и скрещивающиеся прямые.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол между ними равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

В задаче выше прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикулярные. Теперь, имея определение перпендикулярных прямых (как пересекающихся прямых,  так и скрещивающихся), можно обобщить известную нам ранее теорему о трех перпендикулярах. 

 Теорема (о трех перпендикулярах). Если прямая на плоскости перпендикулярна к проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и к наклонной. И наоборот, если прямая на плоскости перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной на эту плоскость. 

Доказательство этой теоремы легко получить, имея доказательство теоремы из лекции и определения угла между скрещивающимися прямыми. 

Также важным является для решения задач и обобщенная формулировка признака перпендикулярности прямой и плоскости. 

 Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

Доказательство этой теоремы легко получить, имея доказательство соответствующей теоремы из лекции и определения угла между скрещивающимися прямыми. 

Задача №231

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб. Доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— наклонная к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция на эту плоскость (рис. 12.3). 

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — квадрат, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Аналогично докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рассматриваем плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

4) Следовательно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и требовалось доказать. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 12.3                                                 Рис. 12.4

Угол между прямой и плоскостью

Если прямая параллельна плоскости или ей принадлежит, то угол между ними считают равным Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между ними считают равным Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Пусть дана прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  пересекающая плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и не являющаяся перпендикулярной к этой плоскости (рис. 12.4). Основание перпендикуляров, проведенных из точек прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, принадлежат прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Эта прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является проекцией прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Если прямая пересекает плоскость и не является перпендикулярной к ней, то углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 

Так же определяют и угол между наклонной и плоскостью.

Очевидно, что угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач между прямой и плоскостью удовлетворяет условие Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №232

Из точки к плоскости проведена наклонная длиной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти угол, который образует наклонная с плоскостью, если проекция наклонной на эту плоскость равна 9 см. 

Решение. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 18 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее проекция, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 9 см (рис. 12.4). Тогда угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомый. 

2) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №233

Доказать, что угол между наклонной и плоскостью не больше, чем угол между этой наклонной и любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

Доказательство. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — перпендикуляр, проведенный из точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол, который образует наклонная Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с плоскостью Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = ABD — угол, который образует наклонная Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

с любой прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежащей плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.5), точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выбрана так, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 12.5

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - перпендикуляр к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — наклонная, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — острые углы, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Заметим, что угол между наклонной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежащей плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому сделаем вывод, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (равенство достигается, когда прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач).

Угол между плоскостями

Если две плоскости параллельны, угол между ними считают равным Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если две плоскости пересекаются, то они образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 12.6). 

Величину меньшего из двугранных углов, образованных при пересечении двух плоскостей, называют углом между плоскостями

Понятно, что угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяет условию Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В случае Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  плоскости взаимно перпендикулярные.

 Если вспомнить определение линейного угла двугранного угла, то определение угла между плоскостями можно сформулировать и по-другому. 

Углом между пересекающимися плоскостями называют угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярны к их линии пересечения. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 12.6                                            Рис. 12.7

На рисунке 12.7 плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются по прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач В плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проведена прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а в плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямая Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются. Если угол между прямыми  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №230

Квадрат Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачплощадь которого равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямоугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач площадь которого равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеют общую сторону, а угол между их плоскостями равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Сколько решений имеет задача?

Решение. 1) Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то в качестве угла между плоскостями можно взять меньший из углов, образованных при пересечении прямых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.8). Меньший из них по условию равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может быть равным Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, задача имеет 2 решения.

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме косинусов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 12.8

Ответ: 7 см и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №235

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ромб, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.9). Найти углы между плоскостями: 

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач      2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Так как угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — тупой, то углом между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является угол, смежный с углом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть, угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Заметим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.10). 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                         Рис. 12.9                                      Рис. 12.10

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Угол между плоскостями  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — высота ромба (рис. 12.9). Тогда по теореме о трех перпендикулярах Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с общим ребром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку этот угол острый, то он и является углом между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Площадь ромба Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ортогональное проецирование

Отдельным случаем параллельного проецирования является ортогональное проецирование

Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно к плоскости проекции, называют ортогональным проецированием. Параллельную проекцию фигуры, образованную при ортогональном проецировании, называют ортогональной проекцией фигуры. 

На рисунке 12.11 фигура Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является ортогональной проекцией фигуры (тела) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                 Рис. 12.11                                              Рис. 12.12

В черчении часто используют ортогональное проецирование. Некоторая деталь проецируется на две (или три) плоскости, а потом две или три проекции изображают на плоскости чертежа. На рисунке 12.12 изображены две ортогональные проекции некоторой детали цилиндрической формы. 

Ортогональное проецирование является практичным применением свойств параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей. 

Рассмотрим ортогональное проецирование многоугольника. 

 Теорема (о площади ортогональной проекции многоугольника). Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинуса угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. 

Доказательство. Докажем сначала теорему для треугольника в случае, если плоскость проекции проходит через одну из его сторон. 

1) Проекциею треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 12.13).

2) Проведем высоту Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По теореме о трех перпендикулярах имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— высота треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— угол между плоскостью треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и плоскостью проекции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

4) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Потому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 12.13

Для рассмотренного случая утверждение теоремы верное. Если вместо плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач возьмем любую другую параллельную ей плоскость, утверждение теоремы также будет верным, поскольку проекции треугольника на параллельные плоскости будут между собой равными. 

В общем случае для доказательства теоремы многоугольник разбивают на несколько треугольников. Тогда ортогональная проекция многоугольника состоит из ортогональных проекций образованных треугольников,  и теорему также можно доказать. Строгое математическое доказательство теоремы в этом случае не приводим. 

Задача №236

Ортогональной проекцией треугольника  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является прямоугольный треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с катетами 4 см и 6 см. Найти площадь треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, если угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равенГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве

С прямоугольной системой координат на плоскости вы уже познакомились в курсе геометрии. Напомним, что  каждой точке плоскости мы ставили в соответствие единственную пару чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , и наоборот, каждой паре чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач мы ставили  в соответствие единственную точку на координатной плоскости. Таким образом, было введено взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их координатами. 

Аналогично прямоугольные координаты можно использовать и в пространстве: установив взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами. Это даст возможность в пространстве (как и на плоскости) решать некоторые задачи координатным методом, то есть представлять геометрические соотношения расположения точек и фигур через алгебраические соотношения между их координатами. 

Прямоугольная система координат в пространстве

Через произвольную точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пространства проведем три попарно перпендикулярные прямые Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.1). На каждой из них выберем направление, обозначив его стрелкой, и единичный отрезок. Таким способом задают прямоугольную систему координат в пространстве. Пространство, в котором построена прямоугольная система координат, называют координатным пространством.  Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают началом координат, а прямые с выбранными направлениями  — осями координат (или координатными осями). Ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют осью абсцисс, ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ось ординат, а ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ось аппликат. Начало координат разбивает каждую из осей на две полуоси — положительную (которая содержит стрелку направления) и отрицательную. Плоскости, которые проходят соответственно через оси координат Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, называют координатными плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                    Рис. 13.1                                             Рис. 13.2

В прямоугольной системе координат каждой точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел, а каждой упорядоченной тройке чисел — единственная точка пространства. Эту тройку чисел называют координатами точки и обозначают так же, как координаты точки на плоскости. 

Проведем через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскость, перпендикулярную к оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.2). Она пересекает ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Координатой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (абсциссой) точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачназывают число, соответствующее точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадает с точкой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то будем считать, что абсцисса точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю. 

Проведем плоскости, перпендикулярные к осям Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которые пересекают эти оси в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно. Координатой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (ординатой) точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число, соответствующее точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а координатой  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (аппликатой) точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число, соответствующее точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачс ее координатами записывают, как и в прямоугольной системе координат на плоскости, а именно: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если точку не обозначили буквой, ее записывают только ее координатами:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 1. На рисунке 13.3 обозначены точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                              Рис. 13.3

Если точка лежит на оси координат или на координатной плоскости, то определенные ее координаты равняются нулю. Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 1 принадлежит оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равняются нулю; точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равняются нулю; точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  ее координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равняются нулю; тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси абсцисс, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — оси ординат, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — оси аппликат. 

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач из примера 1 принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач ее координата Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равняется нулю, у точки, которая принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач координата Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, у точки, которая принадлежит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач нулю равна координата Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

И наоборот: точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для начала координат — точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач —  получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №237

Найти: 1) координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  являющейся проекцией точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач2) расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

1) Проекцией точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость ху является точка К (9; 5; 0) (рис. 13.3).

2) Расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости ху равняется 8.

Ответ. 1) К (9; 5; 0); 2) 8.

Из задачи 1 можем прийти к выводам: 

1) проекцией точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) расстояние от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Расстояние между двумя точками.

Как известно, расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости находят по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, 

расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пространства находят  по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №238

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — соответственно середины сторон  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти длину  стороны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач этого треугольника. 

Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — средняя линия Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач значит, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 6.

Задача №239

Расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равно 7. Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Получим уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачкорнями которого являются числа —4 и 8. 

Ответ: –4 или 8.

Координаты середины отрезка. 

Напомним, как найти координаты середины отрезка на плоскости. Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, 

координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которая является серединой отрезка с концами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №240

Доказать, что середина отрезка с концами в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку ордината точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, то точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №241

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — параллелограмм, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Найти координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересечения диагоналей параллелограмма Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

2) Найти координаты вершины Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллелограмма. 

3) Выяснить, является ли данный параллелограмм ромбом. 

Решение. 1) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит пополам каждую из диагоналей, потому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем: 

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач также  является серединой диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решив эти уравнения, получим: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Найдем длины соседних сторон параллелограмма: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не является ромбом.

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 3) нет. 

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении

С помощью координатного метода можно найти не только координаты середины отрезка, а и координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. 

Теорема (о координатах точки, которая делит отрезок в заданном отношении). Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с концами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в отношении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Доказательство. 1) Предположим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Спроецируем точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении, параллельном оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и получим точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.4). Имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по теореме Фалеса: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Спроецируем точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  на ось Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в направлении, параллельном оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.4). Получаем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 13.4

4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по теореме Фалеса: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Предположим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из полученного равенства имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то, очевидно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и формула Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  выполняется. Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

7) Аналогично, можно доказать, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №242

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вершины треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения его медиан. Найти координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 13.5

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.5). Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения медиан треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Аналогично, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №243

Дан треугольник с вершинами в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— его биссектриса (рис. 13.6). Найти: 1) координаты точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 2) длину биссектрисы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

1. 1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач биссектриса треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Получим: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                               Рис. 13.6

2. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы в пространстве

В курсе планиметрии вы уже познакомились с векторами на плоскости. Заметим, что основные понятия для векторов в пространстве определяют так же, как и для векторов на плоскости. 

Понятие вектора в пространстве:

Как и в планиметрии: 

  • отрезок, для которого определено направление, называют вектором

Вектор изображают отрезком со стрелкой,  указывающей направление вектора. На рисунке 14.1 изображен вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — его начало, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — конец вектора. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 14.1

Вектор также можно обозначать одной маленькой латинской буквой. На рисунке 14.1 изображен вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Напомним, что вектор, у которого начало совпадает с концом, называют нулевым вектором. Если, например, точку, изображающую нулевой вектор, обозначить буквой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то нулевой вектор можно записать как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.1). Нулевой вектор также обозначают символом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачНулевой вектор, в отличие от ненулевого, направления не имеет. 

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют длину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Модуль нулевого вектора равен нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач модуль вектора, отличного от нулевого, больше, чем ноль. 

Задача №244

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб, ребро которого равняется 1 (рис. 14.2). Найти модули векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 14.2

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Напомним, что

  • коллинеарными называют два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

На рисунке 14.3 изображен прямоугольный параллелепипед. Коллинеарными являются пары векторов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 14.3

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (такими являются, например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на рисунке 14.3, записывается это так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) или противоположно направленными (такими являются, например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачна рисунке 14.3, записывается это так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Пары векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(рис. 14.3) не являются ни коллинеарными, ни противоположно направленными. 

Как и в планиметрии,

  • два вектора называют равными, если они одинаково направлены и их модули равны между собой.

На рисунке 14.3 равными являются, например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это записывают так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачна рисунке 14.3 не являются равными, поскольку у них разные модули. Также не равны между собой векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поскольку они противоположно направленные. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 14.4

Как и в планиметрии, от любой точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно построить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач который равен вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и к тому же только один (рис. 14.4).

Сложение векторов.

Как и в планиметрии, сумму векторов можно найти по правилу треугольника или правилу параллелограмма. Напомним эти правила. Чтобы сложить векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по правилу треугольника, нужно: 1) от конца вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отложить вектор,  равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.5);

2) вектор, начало которого совпадает с началом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , а конец — с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, является суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 14.5

Из правила треугольника можно сделать вывод, что

для любых трех точек А, В и С имеет место равенство: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.5).

Чтобы сложить не коллинеарные векторы по правилам параллелограмма, нужно:

1) отложить векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от общего начала — точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.6);

2) построить на этих векторах параллелограмм;

3) вектор, изображенный диагональю параллелограмма, которая выходит из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , является суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Как и в планиметрии, для сложения векторов справедливо:

  • переместительное свойство: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
  • сочетательное свойство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложить несколько векторов в пространстве можно так: сложить два из них, потом к их сумме прибавить третий вектор и так далее.  

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 14.6                           Рис. 14.7                                 Рис. 14.8

Задача №245

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный параллелепипед (рис. 14.7). Построить вектор, равный сумме векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Решение. 1) По правилам параллелограмма Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Строим от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Для сложения нескольких векторов в пространстве можно использовать правило многоугольника, которое подобно правилу треугольника: чтобы найти сумму векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от конца вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач строят вектор, равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потом от конца вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор ,  равный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и так далее. Суммой векторов будет вектор, началом которого является начало первого слагаемого, а концом — конец последнего слагаемого.

Пусть на рисунке 14.8 от точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отложен вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  далее от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач далее от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, 

для любых точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливо равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Вычитание векторов

Рассмотрим известное из планиметрии правило построения разности двух векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , которые выполняется и в стереометрии:

1) строим векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  из одной точки (рис. 14.9); 

2) построим вектор, начало которого соединяется с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а конец — с концом вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Этот вектор и есть разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 14.9

Действительно,  посколькуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Например, на рисунке 14.7 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Умножение вектора на число

Напомним, что произведением ненулевого вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют такой вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  одинаково направленные, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и противоположно направлены, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на любое число является Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На рисунке 14.10 изображен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и построены векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                  Рис. 14.10

Два противоположно направленных вектора, модули которых равны между собой, называют противоположными векторами

На рисунке 14.10  векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — противоположные. Вообще говорят, пары векторов вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач всегда являются противоположными. 

Свойства умножения вектора на число, которые вы знаете из планиметрии, справедливы также и в стереометрии. Напомним их:

для любых чисел  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так же, как и в планиметрии, можно доказать, что

вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарный вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, можно представить в виде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — коллинеарные.

Заметим, что эти утверждения можно считать признаком коллинеарности векторов. 

Геометрический смысл коллинеарности двух ненулевых векторов,   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач которые построены из одной точки, означает, что эти векторы лежат на одной прямой и один из них можно получить из другого  с помощью растягивания или сжимания. Из этого выходит, что точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит на прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда удовлетворяется условие Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.11). 

Указанные свойства векторов дают возможность упрощать выражения с векторами подобно тому, как упрощают алгебраические выражения. 

Задача №246

Упростим выражение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Компланарные векторы

Векторы называют компланарными, если при их построении из одной и той же точки, они будут лежать в одной плоскости. 

Понятно, что любые два вектора является компланарными. Также компланарными являются три вектора, из которых некоторые два — коллинеарные. Три вектора, из которых каждые два не являются  коллинеарными, могут быть как компланарными так и некомпланарными. 

Например, векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изображенные на рисунке 14.7, являются компланарными, а векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на том же рисунке не являются компланарными. 

Справедливым является такое утверждение, которое примем без доказательства:

три вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач среди которых нет ни одной пары коллинеарных, являются компланарными тогда и только тогда, когда существуют числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такие, что выполняется равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют разложением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Можно также доказать, что коэффициенты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач в этом разложении (при условии, что никакие два вектора из трех не являются коллинеарными) определяются единственным образом. 

Для сложения трех некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда, подобное правилу параллелограмма для сложения двух неколлинеарных векторов. В задаче этой лекции было доказано, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Обобщая, получим правило параллелепипеда:

1) строим некомпланарные векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от общего начала — точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.7). 

2) строим на данных векторах параллелепипед;

3) строим вектор, являющийся диагональю параллелепипеда, который  выходит из точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, он и будет суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .

Рассмотрим важную задачу, которая даст возможность устанавливать принадлежность точки плоскости векторным способом. 

Задача №247

Пусть дан треугольник Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачне принадлежащую плоскости треугольника. Доказать, что точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач будет принадлежать плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда выполняется равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1. 1) Пусть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получаем, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 14.12

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка пространства, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.12).

Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда получаем : Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Если обозначить Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. 1) Пусть имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при условии, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Докажем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Из условия, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— компланарные.  Потому точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что когда в условиях предыдущей задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат по разные стороны от плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то по одну сторону.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  — некомпланарные векторы. Если вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач представлен в виде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то говорят, что вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач разложили по векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют коэффициентами разложения. 

Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным векторам). Любой вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом. 

Примем эту теорему без доказательства, которое является слишком громоздким. 

Задача №248

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежит в плоскости треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 14.13), Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения его медиан. Разложить вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 14.13

Решение. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач                            (*)

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Сложим эти равенства почленно, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Подставив полученное для Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выражение в (*), получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координаты вектора

На плоскости вектор обозначается двумя своими координатами, а в пространстве — тремя. В пространстве арифметические действия над векторами выполняют по тем же правилам, что и на плоскости. 

В пространственной системе координат каждый  вектор можно задать тройкой чисел  — координатами вектора в пространстве. 

Координатами вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач с началом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и концом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Записывают вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач указывая его координаты, так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №249

Найти координаты вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координатами вектора могут быть любые числа. Все координаты нулевого вектора равняются нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Как и на плоскости, 

равные векторы имеют соответственно равные координаты, и наоборот, если у векторов соответственно равны координаты, то векторы равны. 

Задача №250

Дано Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Известно, что расстояние между точками Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — координаты вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то

модуль вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №251

Найти модуль вектора: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №252

Дано Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим уравнение:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 2 или -2.

Действия над векторами, заданными координатами

В пространстве арифметические действия над векторами (сложение, вычитание, умножения на число) выполняются так же, как и на плоскости. 

Суммой векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так же, как и на плоскости, на основе этого определения легко доказать векторное равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поэтому определение суммы векторов, заданных координатами, не противоречит правилам треугольника и параллелограмма, которые мы рассмотрели в предыдущей лекции. 

Разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (х3; у3; z3), который в сумме с вектором Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач дает вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому 

разностью векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №253

Найти координаты векторов  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Произведением вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это определение не противоречит определению произведения вектора на число из предыдущей лекции.

Указанные действия дают возможность находить координаты любого вектора, который записан в виде алгебраической суммы векторов, координаты которых известны. 

Задача №254

Даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти координаты вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Решение задачи удобно записать так: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Признаки коллинеарности векторов

Пусть даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если они коллинеарны, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда (если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - координаты коллинеарных векторов пропорциональны. 

Получаем признак коллинеарности векторов.

Пусть даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) Если координаты двух векторов отличны от нуля и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны, причем, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Если у каждого из двух векторов одна и та же координата равна нулю, а другие образуют пропорцию, то векторы коллинеарны.

Задача №255

Вычислить, коллинеарны или нет векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Если ответ утвердительный, то выяснить одинаково или противоположно они направлены. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  неколлинеарны. 

3) Ординаты обоих векторов равны нулю, проверим пропорциональность двух других координат: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Абсцисса вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равна нулю, а абсцисса вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не равна нулю. Потому векторы неколлинеарны.

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 2)векторы неколлинеарны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 4)векторы неколлинеарны

Задача №256

При каких значениях Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачколлинеарны?

Решение. По признаку коллинеарности Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда из пропорции получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №257

Компланарные ли векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач иГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  — неколлениарные. 

2) Если вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — компланарные, а в противном случае они не компланарные. 

3) Предположим, что существуют такие числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач при которых выполняется векторное равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Отсюда получаем систему уравнений: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

из которой получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

4) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то есть вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить по векторам Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а потому тройка векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является компланарной. 

Ответ: да. 

Разложение вектора по трем координатным векторам

В пространственной прямоугольной системе координат можем на каждой положительной полуоси от начала координат отложить единичный вектор, то есть вектор, который равняется единице (рис. 15.1). Обозначим через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач единичный вектор оси абсцисс, через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — единичный вектор оси ординат, через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — единичный вектор оси аппликат. Векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют координатными векторами (или ортами).

Легко догадаться, какие координаты единичных векторов: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку они являются некомпланарными, то любой вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно разложить на векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач . Легко заметить, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Действительно: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 15.1

Скалярное произведение векторов

При изучении планиметрии вы уже рассматривали скалярное произведение векторов. Точно так же рассматривают скалярное произведение векторов и в стереометрии. 

Скалярным произведением векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Как и в планиметрии, скалярное произведение векторов записывают, используя знак умножения, так Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №258

Найти скалярное произведение векторов:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найдем скалярное произведение равных векторов. Пусть дан вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Скалярное произведение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач обозначают через  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют скалярным квадратом вектора. 

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из определения скалярного произведения получаем его свойства

Для любых векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и любого числа Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач справедливы такие свойства: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — переместительное свойство 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — сочетательное свойство

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — распределительное свойство

Задача №259

Вычислить, какую работу выполняет сила Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если точка ее приложения перемещается от начала в конец вектора  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Если вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач изображает силу, точка приложения которой перемещается от начала в конец вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то работу этой силы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач находят по формуле: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ:  19. 

Угол между векторами. Теорема о скалярном произведении векторов

Как и в планиметрии,

углом между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16.1). Углом между двумя ненулевыми векторами, не имеющими общего начала, называют угол между векторами, которые равны данным и имеют общее начало (рис. 16.2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 16.1                 Рис. 16.2                          Рис. 16.3

Угол между одинаково направленными векторами равен нулю (рис. 16.3), угол между противоположно направленными векторами равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16.4).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 16.4

Как и в планиметрии, справедлива теорема.

 Теорема (о скалярном произведении векторов). Скалярное произведение векторов равно произведению из модулей на косинус угла между ними: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорему можно доказать так же, как и в курсе планиметрии. Она имеет те же следствия, что и  в планиметрии. 

Следствие 1. Если векторы перпендикулярные, то их скалярное произведение равно нулю.

Следствие 2. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны. 

Задача №260

Перпендикулярны ли векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - не перпендикулярны. 

Ответ: 1) да; 2) нет.

Задача №261

При каком значении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач векторы  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярны?

Решение. Чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение может равно нулю: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По скалярному произведению векторов Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно найти косинус угла между ними. 

Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Учитывая, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

По признаку косинуса угла можно найти меру этого угла (с помощью таблицы или калькулятора). 

Задача №262

Найти градусную меру угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника с вершинами в точках Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 16.5) соединяется с углом между векторами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Получим: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 16.5

Тогда,

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №263

Даны векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 7.

Простейшие геометрические места точек а пространстве

Рассмотрим задачи, связанные с геометрическом местом точек, у которых в зависимости от условия задачи нужно или найти или построить геометрическое место точек, или использовать его для решения задач. 

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют фигуру, которая состоит из всех точек,  имеющих определенные свойства. 

Вспомним основные ГМТ плоскости из курса планиметрии:

  • ГМТ, которые равноудалены от данной точки на данное расстояние — окружность, радиус которой равен данному расстоянию;
  • ГМТ, расстояние от которых до данной точки не превышает данного расстояния — круг, радиус которого равен данному расстоянию;
  • ГМТ, которые равноудалены от сторон угла и принадлежат  его внутренней области, — биссектриса данного угла;
  • ГМТ, которые равноудалены от концов отрезка — серединный перпендикуляр к данному отрезку; 
  • ГМТ, которые равноудалены от данной прямой на заданное расстояние, — две прямые, параллельные данной прямой, каждая точка которой находится на заданном расстоянии от данной прямой. 

Чтобы доказать, что некоторое множество точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (фигура Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) является искомым ГМТ, нужно доказать:

1) любая точка, удовлетворяющая свойства этого ГМТ, принадлежит множеству Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (фигура Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач);

2)  любая точка, принадлежащая множеству Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (фигура Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач), удовлетворяет свойству этого ГМТ.

Простейшие геометрического места точек в пространстве

Рассмотрим простейшие геометрические места точек в пространстве. Попробуем самостоятельно доказать эти несложные факты, основываясь на ранее изученных свойствах точек, прямых и плоскостей. 

  • ГМТ пространства, равноудаленных от двух заданных точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— плоскость, которая перпендикулярна отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и проходит через его середину (рис. 17.1).
  • ГМТ пространства, удаленных от данной плоскости на данное расстояние, — две плоскости, параллельные данной, каждая точка которых лежит на данном расстоянии от плоскости (рис. 17.1). 
  • ГМТ пространства, равноудаленных от двух параллельных плоскостей, — плоскость, параллельная каждой из двух заданных, проходящая через середину их общего перпендикуляра. 

На рисунке 17.3 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — их общий перпендикуляр, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — его середина. Плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходящая через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является ГМТ плоскости, равноудаленных от двух параллельных плоскостей  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 17.1                         Рис. 17.2                                Рис. 17.3

  • ГМТ пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей  пара взаимно перпендикулярных плоскостей, каждая из которых делит пополам двугранные углы, образованные данными плоскостями (такие плоскости называют биссекторными).

На рисунке 17.4 плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — биссекторные плоскости. Каждая точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  принадлежащая плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и каждая точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежащая плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, равноудалены от плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                            Рис. 17.4

  • ГМТ пространства, равноудаленных от всех вершин плоского, вписанного в окружность, многоугольника, — прямая, перпендикулярная к плоскости этого многоугольника, что проходит через центр вписанной в него окружности (рис. 17.5). 
  • ГМТ пространства, равноудаленных от всех сторон плоского, описанного около окружности, многоугольника, — прямая, перпендикулярная к плоскости многоугольника, что проходит через центр вписанной в него окружности (рис. 17.6).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 17.5                                                  Рис. 17.6

Еще одно важно геометрическое место точек пространства мы рассмотрим в пункте 5 этой лекции. 

Для решения более сложных задач, связанных с ГМТ, используют метод геометрических мест. Рассмотрим суть этого метода. Пусть нужно построить точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  удовлетворяющую двум условиям. Строим ГМТ, удовлетворяющее первому условию — фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и ГМТ,  удовлетворяющее второму условию —фигуру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Искомая точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит как Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому является точкой их пересечения. Одну из задач, которая решается методом геометрических мест, рассмотрим в пункте 5 этой лекции. 

Уравнение фигуры в пространстве

Напомним, что уравнением фигуры на координатной плоскости называют уравнение с двумя переменными Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых выполняются два условия:

1) координаты любой точки фигуры удовлетворяют это уравнение;

2) любая пара чисел вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющая это уравнение, является координатами некоторой точки фигуры. 

Также из предыдущих лекций знаем, что уравнение круга с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач может выглядеть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а уравнение прямой имеет вид Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач одновременно не равны нулю. 

В пространстве также можно рассмотреть уравнения фигуры (поверхности).

Пусть дана прямоугольная система координат в пространстве. 

Уравнение с тремя переменными Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют уравнением фигуры, если выполняются два условия:

1) координаты любой точки фигуры удовлетворяют это уравнение;

2)  любая тройка чисел вида Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяющая это уравнение, является координатами некоторой точки фигуры. 

В геометрии рассматривают два вида задач:

1) для заданной фигуры (геометрического тела, поверхности) найти ее уравнение;

2) по данным уравнения распознать (установить) вид фигуры (тела, поверхности).

Большинство уравнений геометрических фигур рассматривают в курсе аналитической геометрии в высших учебных заведениях. Мы же рассмотрим только уравнение плоскости и уравнение сферы. 

Уравнение плоскости

Прежде чем рассмотрим уравнение плоскости, введем понятие вектора нормали

Вектором нормали к данной плоскости называют любой ненулевой вектор, перпендикулярный к данной плоскости. 

На рисунке 17.7 вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является вектором нормали к плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 17.7

Пусть вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — некоторая фиксированная точка плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка пространства. Имеем вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

ТочкаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда и только тогда, когда вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач перпендикулярен к вектору Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то есть когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Обозначим число Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем, что 

плоскость в пространстве задают уравнением вида 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — числа, причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  одновременно не  равны нулю.

Уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют общим уравнением плоскости. 

Из приведенных рассуждений следует серия важных свойств, связанных с уравнениями плоскости. 

1. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет вектор нормали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задают уравнением 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №264

Записать уравнения плоскости, которая проходит через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеет вектор нормали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Запишем уравнения плоскости: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2. Если плоскость задана уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является вектором нормали этой плоскости. 

3. Плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение которой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение которой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны тогда и только тогда, когда векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — коллинеарные (рис. 17.8).

Тогда необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей является такое: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(если одна из координат одного из векторов нормалей равна нулю, то соответствующая координата другого вектора тоже равна нулю). 

Заметим, что в случае выполнения условия Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач плоскости совпадают. 

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 17.8

Пример 1. Плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач параллельны, поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Пример 2. Плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач совпадают, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это можно также пояснить иначе:  если левую и правую части уравнения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поделить на два, то получим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение первой плоскости. Поэтому эти плоскости совпадают. 
 

Пример 3. Плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекаются, поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Важным является вопрос уравнений координатных плоскостей. Рассмотрим плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.9) как плоскость, проходящую через точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и имеющую вектор нормали  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Отсюда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Аналогично определяют плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4. Уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач уравнение  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнения сферы

Понятие сферы нам хорошо знакомо из повседневной жизни. Сформулируем определения сферы через понятие ГМТ.

Сферой называют геометрическое место точек пространства, лежащих на данном расстоянии от  заданной точки.

Эту точку называют центром сферы, а расстояние — радиусом сферы. Два радиуса, лежащих на одной прямой, называют диаметром сферы

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 17.10

Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— центр сферы, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — произвольная точка пространства (рис. 17.10).  Эта точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит сфере с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда и только тогда, когда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, 

сферу с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач задают уравнением Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют уравнением сферы. 

Пример 4. Рассмотрим уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Дополним выражение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач до полных квадратов: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — уравнение сферы с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Задача №265

Составить уравнение сферы с диаметром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — центр сферы — является серединой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следует, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Получаем уравнение сферы: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №266

По какой кривой сфера Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач пересекает плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Уравнением плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является уравнение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставив это определение Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачв уравнении сферы, получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Следовательно,  искомой кривой является окружность с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом 4, которая лежит на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Ответ: по окружности с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом 4, которая лежит на плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Задача №267

Найти ГМТ пространства, из которого данный отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач видно под прямым углом. 

Решение. Искомое ГМТ  — это вершины прямых углов прямоугольных треугольников, гипотенуза которых — отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Это равносильно тому, что точки искомого ГМТ находятся на расстоянии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от середины отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачточки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Следоваетльно, искомое ГМТ является сферой с центром в середине отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачи радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач без точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.11) 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 17.11                                            Рис. 17.12

Задача №268

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отдалена от плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на 3 см. Найти ГМТ, которые принадлежат плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и удалены от точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач на 5 см.

Решение. Точки искомого ГМТ принадлежат как плоскости  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, так и сфере с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом 5 см. Тогда искомое ГМТ — это общие точки плоскости и сферы, то есть окружность с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 17.12), причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: окружность радиусом 4 см. 

Координатный и векторный методы решения задач

В стереометрии существуют два основных метода решения задач. Первый из них основывается на аксиомах, теоремах и следствиях из них, свойствах геометрических фигур. Второй метод — координатный или координатно - векторный. 

Координатный метод решения стереометрических задач

Вы уже знаете, что каждой точке координатного пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка координатного пространства. Такое взаимно однозначное  соответствие между точками и их координатами дает возможность решать некоторые геометрические задачи алгебраическими способами. Этот метод называют координатным методом. Он является объектом изучения раздела геометрии, который называется аналитическая геометрия

Метод координат является универсальным методом, поскольку обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией. Объединяясь, эти две науки дают возможность, используя координатный метод, строить доказательства и решать много задач более рационально, более коротко, чем геометрически. 

Преимуществом этого метода является и то, что он упрощает и сокращает решение задач, а при его использовании нет потребности в построении сложных рисунков. В то же время в координатном методе есть и недостаток — иногда большой объем вычислений. 

Координатным методом можно решить как задачи, в которых точки или векторы заданы своими координатами, а основные геометрические фигуры (прямые, плоскости, круга, сферы) — своими уравнениями, так и задачи, у которых координатный метод является удобной интерпретацией условия. С задачами первого типа вы уже знакомы. Рассмотрим еще одну важную задачу этого типа на применение координатного метода — нахождение уравнения плоскости, заданной тремя точками. Ниже приведен один из способов решения такой задачи. Другие способы (более удобные) рассматриваются при изучении курса аналитической геометрии в высших учебных заведениях. 

Задача №269

Составить уравнение плоскости,  проходящей через точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Запишем общее уравнение плоскости: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач удовлетворяют это уравнение, получаем систему

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Имеем систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Решая подобные задачи на нахождение уравнения плоскости, поставим себе цель выразить некоторые три неизвестные, например, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач через четвертую (в данном случае Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач) так, как при решении систем уравнений в курсе алгебры. 

3) Из уравнений (2) и (3) соответственно получаем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Подставим полученные выражения в уравнении вместо Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из данного уравнения системы получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Умножим обе части этого уравнения на Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Заметим, что решение задачи можно было закончить иначе: положив Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и получим уравнение плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Установим последовательность действий для решения задач координатным методом.

Для решения геометрической задачи координатным методом:

  1. вводим пространственную систему координат;
  2. находим координаты необходимых точек или уравнения фигур;
  3. решаем задачу, используя известные формулы и факты;
  4. анализируя полученные значения и даем ответ на вопросы задачи. 

Рассмотрим этот алгоритм на примере следующей задачи. 

Задача №270

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— куб, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Задача №269 середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 18.1

Решение. 1) Проведем систему координат  с началом в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач так,  чтобы грани куба принадлежали координатными плоскостями (рис. 18.1). 

2) Тогда имеем координаты необходимых нам точек: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Складываем уравнения плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (сделать это самостоятельно, используя задачу этой лекции):Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Составляем уравнение плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (сделать это самостоятельно): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Обозначим через Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач угол между плоскостями Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. По формуле угла между  плоскостями (задача 17.66) получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

5) Так, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Векторный метод решения стереометрических задач

Векторным методом можно решить как задачи, непосредственно связанные с векторами, так и задачи, в которых введение векторов является удобной интерпретацией условия. Немало задач первого типа вы уже рассмотрели. Рассмотрим далее задачи второго типа. 

Для решения задачи векторным методом:

  1. вводим необходимые для решения задачи векторы;
  2. решаем задачу, опираясь на известные факты и правила действий над векторами;
  3. анализируем полученные значения и дадим ответ на вопросы задачи. 

Задача №271

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка пересечения медиан треугольника Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказать, что точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и делит ее в отношении Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач считая от вершины Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 18.2

Решение. 1) Обозначим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис.18.2). По задаче из лекции получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) По правилу параллелепипеда: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Это обозначает, что векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  коллинеарные и одинаково направленные, то есть точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что и нужно было доказать. 

Задача №272

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный параллелепипед.  Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит диагонали Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач грани Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит отрезку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Доказать, что точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной прямой. Найти отношение, в котором точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач делит отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач соответственно (рис. 18.3). 

2) Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 18.3

Это означает, что векторы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач коллинеарны и одинаково направлены, то есть точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач лежат на одной прямой.

5)Кроме того Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Координатно - векторный метод решения задач

Объединяя координатный и векторный методы, можно решить  разные виды задач , кроме связанных с углами. 

Задача №273

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — куб, точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— середина Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти угол между прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Проведем систему координат как в задаче 2. (рис. 18.1)

2) Имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — угол между прямыми Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №274

Даны точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач На оси абсцисс найти точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач чтобы в треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач был прямым. 

Решение. 1) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — искомая точка. 

2) Поскольку в треугольнике Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач угол Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— прямой, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а потому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Получаем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Получаем уравнения: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач корни которого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, искомые точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач или Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

Векторный метод в алгебре

Векторы можно использовать для решения алгебраических задач, то есть рассмотрим векторный метод в алгебре. 

Задача №275

Для чисел Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач выполняется равенство  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти наибольшее значение выражения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Рассмотрим два вектора Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по условию) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) По задаче 16.28 имеем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем равенство получается, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — одинаково направленны. 

Следоательно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Равенство Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получается, если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

несложно подобрать соответствующие значения Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для этого равенства, например Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: 21.

Использование координатного метода для нахождения ГМТ

Приведем пример решения координатным методом задачи на нахождение ГМТ.

Задача №276

Даны точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти геометрическое место точек пространства Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для которых Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Проведем пространственную систему координат так, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — точка искомого ГМТ. Получаем, 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач получаем уравнение:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

После упрощения получаем: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Это уравнение сферы с центром в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач радиуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

4) Теперь представим полученный результат, не используя координат. Пусть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда искомое ГМТ — сфера с центром Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач что принадлежит прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач причем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и радиусом Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Преобразования в пространстве

Преобразования геометрических фигур можно рассмотреть не только на плоскости, а и в пространстве. В этой лекции рассмотрим перемещение в пространстве и его виды.

Движение в пространстве, его свойства

Перемещение (движение) в пространстве определяют так же, как и на плоскости. 

Преобразование одной фигуры в другую называют перемещением, если оно сохраняет расстояние между точками. 

Как и на плоскости, выполняются такие свойства перемещения (движения) в пространстве:

1) при перемещении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок из взаимного разложения;

2) при перемещении прямые переходят в прямые, лучи в лучи, отрезки - в отрезки;

3) при перемещении угол переходит в равный ему угол. 

Новым свойством перемещения в пространстве является такое:

4) при перемещении плоскости переходят в плоскости. 

Примем это свойство без доказательства, поскольку оно является слишком громоздким. 

Далее рассмотрим основные виды перемещения. 

Симметрия относительно точки

Как и на плоскости, так же и в пространстве:

две точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричным относительно точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.1).

Симметрию относительно точки называют еще центральной симметрией, а точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - центром симметрии. 

Задача №277

Доказать, что точкой, которая симметрична точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно начала координат, является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 19.1

Доказательство. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть относительно началу координат.

Задача №278

Точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричны относительно точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Найти Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поэтому по формуле середины отрезка получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Теорема 1 (о преобразовании симметрии относительно точки). Преобразование симметрии относительно точки является перемещением. 

Доказательство. 1) Докажем теорему координатным методом. Выберем прямоугольную систему координата в пространстве так, чтобы точка, относительно которой выполняется преобразования симметрии, совпадала с началом координат. 

2) Рассмотрим теперь любые две точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и точки, им симметричные относительно начала координат соответственно: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

3) Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, симметрия относительно точки является перемещением. 

Симметрия относительно прямой

Две точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач называют симметричными относительно прямой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач если эта прямая — серединный перпендикуляр к отрезку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 19.2).

Симметрию относительно прямой называют осевой симметрией, а прямую Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — осью симметрии. 

Задача №279

Доказать, что точкой, которая симметрична точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 19.2

Доказательство. 1) Если точка  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее абсцисса и ордината равны нулю, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричная сама себе относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то в этом случае утверждение задачи доказано. 

2) Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  не принадлежит оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит оси аппликат. Поскольку аппликаты точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равны, то отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачперпендикулярен к оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая аналогично, можно доказать, что для точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач симметричной относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а относительно оси Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 2 (о преобразовании симметрии относительно прямой). Симметрия относительно прямой является перемещением. 

Доказательство. 1) Используем координатный метод. Выберем прямоугольную систему координат в пространстве так, чтобы осью симметрии был весь аппликат. 

2) Рассмотрим теперь две произвольные точки  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Точки, которые им симметричны относительно оси аппликат, это точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

то есть преобразование симметрии относительно прямой является перемещением.

Симметрия относительно плоскости

В пространстве рассматривают еще один вид симметрии - симметрию относительно плоскости.

Две точки А и А' называют симметричными относительно плоскости а, если плоскость а проходит через середину отрезка АА'  и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 19.3).

Симметрию относительно плоскости называют еще зеркальной симметрией, плоскость а - плоскостью симметрии.

Задача №280

Доказать, что точкой, симметричной точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 19.3

Доказательство. 1) Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежат Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то ее аппликата равна нулю, тогда точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  симметрична сама себе относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Поскольку при Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, и в случае, когда точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  утверждение задачи доказано. 

2)Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач не принадлежит Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  то точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — середина отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач принадлежит плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Поскольку соответствующие абсциссы и ординаты точек Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач между собой равны, а отрезок Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачперпендикулярен плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Таким образом, плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач проходит через середину отрезка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и перпендикулярна к нему, а следовательно, точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  симметричны относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассуждая аналогично, можно доказать, что точкой, симметричной  точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач является точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач а относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 3 (о преобразовании симметрии относительно плоскости). Преобразование симметрии относительно плоскости является перемещением. 

Доказательство. 1) Для доказательства используем координатный метод. Введем прямоугольную систему координат в пространстве так, чтобы плоскостью симметрии была плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Рассмотрим две произвольные точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Точки, которые им симметричны относительно плоскости Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач являются точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, преобразование симметрии относительно плоскости является перемещением.  

Параллельное преобразование

В пространстве, как и на плоскости, можно использовать параллельное преобразование. 

Параллельным преобразованием в пространстве называют так же преобразование фигуры, при котором ее произвольная точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач преобразуется в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач - одни и те же числа для всех точек фигуры. 

Если точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеет координаты Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то получим формулу параллельного преобразования: 

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №281

Параллельные преобразования заданы формулами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

1) В какую точку при таком параллельным преобразовании переходит точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Какая точка при этом параллельном преобразовании переходят в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. 1) Пусть это будет точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

2) Пусть это будет точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №282

Записать формулы параллельного преобразования, при котором точка Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач переходит в точку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Решение. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теорема 4 (о параллельном преобразовании). Параллельное преобразование является перемещением. 

Доказательство. 1) Пусть при некотором параллельном преобразовании точки Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач переходят в точке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, параллельные преобразования являются перемещениями. 

Многогранники

В этом разделе вспомним уже известное нам понятие двугранного угла и рассмотрим многогранный угол.

Двугранные и многогранные углы

Двугранным углом называют фигуру, образованную двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 1.1                               Рис. 1.2

На рисунке 1.1 изображен двугранный угол. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют гранями, а ограничивающую их прямую — ребром двугранного угла.
В повседневной жизни нам часто встречаются предметы, имеющие форму двугранного угла. Примерами таких предметов является открытый или частично открытый ноутбук, две смежные стены комнаты, двухскатная крыша здания и другое.
Плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  перпендикулярная ребру Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач двугранного угла, пересекает грани двугранного угла по лучам AB и AC  (рис. 1.2). Угол BAC называют линейным углом двугранного угла. Двугранный угол имеет множество линейных углов. Поскольку все они совмещаются параллельным переносом, то равны между собой.

Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру его линейного угла.

Обычно, вместо «градусная мера двугранного угла равна ... » говорят «двугранный угол равен ... ».
В геометрии рассматривают также и многогранные углы.

Пусть A1A2...An — произвольный плоский многоугольник, а точка P не принадлежит плоскости этого многоугольника. Многогранным (n-гранным) углом называют множество всех лучей с началом в точке P , пересекающих данный многоугольник (рис. 1.3).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Pис. 1.3

Точку P  называют вершиной, лучи PA1, PA2, ..., PAnребрами, а плоские углы
A1PA2, A2PA3 ..., AnPA1гранями многогранного угла.

Многогранники:

В предыдущих лекциях мы уже рассматривали прямоугольные параллелепипеды, кубы и пирамиды. Все указанные тела являются примерами многогранников.

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

На рисунке 1.4 изображен многогранник, поверхность которого состоит из трапеций ABCD и AKLD, треугольников ABK и CLD и параллелограмма BKLC. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называют гранями, стороны
этих многоугольников — ребрами, а концы ребер —  вершинами многогранника. Гранями многогранника, изображенного на рисунке 1.4, являются многоугольники ABCD, AKLD, ABKCLD, BKLC, ребрами — отрезки AB, BCCD, DA, BK, CL, AK, KL и LD, вершинами — точки A, B, C, D, K и L.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 1.4

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Многогранник
называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. На рисунке 1.4 изображен выпуклый многогранник. Заметим, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
На рисунке 1.5 изображен невыпуклый многогранник, поскольку плоскость Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, которой принадлежит грань ABCD этого многогранника, разбивает многогранник на две части.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 1.5

Все многогранники, которые мы рассматривали раньше, являются выпуклыми. 

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым его ребрам и
развернуть в плоскость одной из его граней, то получим развертку данного многогранника.
Например, если куб разрезать по ребрам AB, CD, A1B1C1D1, AD, AA1, A1D1 (рис. 1.6), то получим его развертку.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                               Рис. 1.6

Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности многогранника равна площади его развертки.
В школьном курсе геометрии рассматриваются простейшие многогранники: призмы и пирамиды.

Призма

Одним из самых простых многогранников является призма. С некоторыми видами призм (прямоугольным параллелепипедом и кубом) вы познакомились еще в начальной школе. Призмой также является кузов грузовика, шестигранный карандаш, коробка из-под офисной бумаги и другое.

Призмою называют многогранник, у которого две грани между собой равны и лежат в параллельных плоскостях (их называют основаниями призмы), а все другие грани — параллелограммы (их называют боковыми гранями призмы).

На рисунке 1.7 изображена призма, основаниями которой являются четырехугольники ABCD и A1B1C1D1. Призму принято называть по названию ее оснований, например, на рисунке 1.7 изображена призма ABCDA1B1C1D1. Стороны боковых граней призмы, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами призмы.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 1.7

На рисунке 1.7 параллелограммы AA1D1D, ABB1A1, BB1C1C и CC1D1D — боковые грани призмы; AA1, BB1, CC1 и DD1 — боковые ребра призмы. Понятно, что все боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Призму называют n-угольной, если ее основанием является n-угольник.

На рисунке 1.7 изображена четырехугольная призма.

Перпендикуляр, проведенный из некоторой точки одного основания к плоскости другого основания, называют высотой призмы.

На рисунке 1.7 отрезок C1K — высота призмы.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы.

На рисунке 1.7 отрезок C1A — диагональ призмы.
Заметим, что под понятием диагонали, как и под понятием отрезка, имеем в виду как отрезок, являющийся диагональю, так и длину этого отрезка. Поэтому вместо «длина диагонали равна 4 см» будем говорить «диагональ равна 4 см». Точно так же используют и понятия высоты, бокового ребра, стороны основания и другие, поскольку все они являются отрезками.

Призму называют прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны ее основанию, в противном случае призму называют наклонной.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 1.8                                    Рис. 1.9

На рисунке 1.7 изображена наклонная четырехугольная призма, а на рисунке 1.8 — прямая треугольная призма. Понятно, что боковые грани прямой призмы — прямоугольники, а высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямую призму называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.

На рисунке 1.9 изображена правильная четырехугольная призма. У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называют сумму площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумму площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности призмы Sполн можно записать через площади ее боковой поверхности Sбок и ее основания Sосн формулой:
Sполн = Sбок + 2Sосн .

Теорема (о площади боковой поверхности прямой призмы). Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания P на высоту призмы, то есть на длину ее бокового ребра :
Sбок = Pl.

Доказательство. Пусть a1, a2, ..., an — стороны основания, а l — длина бокового ребра прямой призмы. Учитывая, что все боковые грани — прямоугольники, одна сторона которых равна соответственно a1, a2, ..., an, а вторая — одинакова для всех и равна l, имеем:
Sбок = a1l + a2l + ... + anl = (a1 + a2 + ... + an) l = Pl,
поскольку P = a1 + a2 + ... + an — периметр основания.

Задача №283

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Высота призмы равна 12 см. Найдите диагональ той грани призмы, которая содержит гипотенузу треугольника.
Решение. Пусть ABCA1B1C1 — данная призма (рис. 1.10), AC = 3 см, BC = 4 см, ∠АСВ = 90°, BB1 = 12 см. Найдем длину диагонали АВ1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 1.10

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠С = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см)
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠В = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 13 см.

Задача №284

Основанием прямой призмы является равносторонняя трапеция,
большее основание которой равно 11 см, боковая сторона — 6 см, а угол при основании — 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна меньшему основанию трапеции.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данная призма (рис. 1.11), АВ = 11 см, АD = BC = 6 см, ∠A = 60°. Найдем боковую поверхность призмы: Sбок = ∙ l = (АВ + DC + 2ВС) ∙ ВВ1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 1.11                                    Рис. 1.12
1) Рассмотрим трапецию ABCD, которая является основанием призмы (рис. 1.12), проведем в ней высоты DK и CL. Поскольку АD = BC, то ∠A = ∠В = 60° и АК = BL.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Поскольку BL = ÀK, то BL = 3 см.
3) Поскольку KDCL — прямоугольник, то DC = KL = AB – 2АK = 11 – 2 ∙ 3 ​​= 5 (см).
4) По условию BB1 = , поэтому BB1 = 5 см.
5) Sбок = (АВ + DC + 2ВС) ∙ ВВ1 = (11 + 5 + 2 ∙ 6) ∙ 5 = 140 (см2).
Ответ. 140 см2.

Задача №285

Боковое ребро наклонной призмы равно 16 см и создает с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту призмы.
Решение. В этой задаче не имеет значения, какой именно многоугольник является основанием призмы, поэтому используем рисунок 1.7. Тогда по условию CC1 = 16 см, C1– высота призмы, угол наклона ребра СC1 к плоскости основания равна 60°.
1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, C1C — наклонная к (АВС), CK — ее проекция, то ∠C1CK — угол наклона бокового ребра к плоскости основания, следовательно, ∠C1CK = 60°.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.

Понятие сечения многогранника

Условия многих геометрических задач используют понятие сечения многогранника. Поэтому для решения таких задач нужно научиться строить сечение многогранника плоскостью. Мы уже узнали, как построить сечения некоторых многогранников, в частности прямоугольного параллелепипеда и пирамиды.
Напомним, что секущей плоскостью многогранника называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называют сечением многогранника.
Например, на рисунке 1.13 четырехугольник KLMN является сечением треугольной пирамиды QABC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
            Рис. 1.13

Заметим, что секущая плоскость может быть задана одним из известных
нам способов: тремя точками,  не лежащими на одной прямой, или прямой и не принадлежащей ей точкой,  или двумя пересекающимися прямыми.
Напомним, что для построения сечений можно использовать метод следов или метод внутреннего проецирования, а также использовать свойства параллельных прямых и плоскостей.
Далее рассмотрим некоторые сечения призмы.

Построение сечения призмы

Сечение призмы, которое проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называют диагональным сечением призмы.
На рисунке 1.14 четырехугольник АА1C1C — диагональное сечение прямой призмы АВСDА1В1C1D1. Это сечение является прямоугольником, одна из сторон которого — диагональ основания АC, а другая — боковое ребро АА1. В наклонной призме диагональным сечением является параллелограмм.

В задачах, связанных с сечением многогранника, может требоваться найти определенные свойства этого сечения, его площадь, периметр или другое.

Задача №286

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 8 см и острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найдите площадь диагонального сечения призмы, одна из сторон которого является большей диагональю ромба.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямая призма (рис. 1.14), CC1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, ABCD — ромб, AB = 8 см, ∠A = 60°, поэтому AC — большая диагональ ромба. Тогда AA1C1C — диагональное сечение, площадь которого нужно найти. Поскольку AA1C1C —прямоугольник, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 1.14

Найдем AC.
1) В ромбе ABCD: ∠D = 180° – 60° = 120°.
2) По теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,
тогда AC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
3) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. 24 см2.

Часто в задачах рассматривают сечения призмы, проходящие через сторону основания призмы и пересекающие боковые ребра призмы.

Задача №287

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см. Через сторону основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол 30° и пересекающее боковое ребро в его середине. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Решение. Пусть ABCA1B1C1 — данная правильная призма с основанием ABC (рис. 1.15), AB = 4 см. Запишем формулу для нахождения площади полной поверхности данной призмы:
Sполн = Sбок + 2Sосн = Рl + 2SABC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 1.15

Итак, остается найти CC1.
1) Построим сечение. Пусть точка K — середина ребра CC1. Через прямую AB и точку K проведем площадь. Сечением призмы является Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
2) В треугольнике ABC проведем высоту и медиану CM, тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Проведем отрезок KM. Поскольку CC1(АВС), CM — проекция наклонной KM на (ABC), CMAB, то KMAB (по теореме о трех перпендикулярах). Тогда ∠KMC — угол, образующий сечение с плоскостью основания. По условию ∠KMC = 30°.
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠C = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
5) Поскольку K — середина CC1, то CC1 = 2KC = 2 ∙ 2 = 4 (см).
6) Sполн = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Рассмотрим сечение наклонной призмы плоскостью, которая проходит через точку M бокового ребра AA1 перпендикулярно этому ребру и пересекает каждое из других боковых ребер этой призмы (рис. 1.16).

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

        Рис. 1.16

Понятно, что плоскость сечения будет перпендикулярной ко всем остальным боковым ребрам призмы. Такое сечение называют перпендикулярным сечением призмы. На рисунке 1.16 четырехугольник MNLK — перпендикулярное сечение.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                  Рис. 1.15                            Рис. 1.16
 
Перпендикулярное сечение принято рассматривать только в наклонной призме, поскольку очевидно, что в прямой призме оно равно многоугольнику, являющемуся основанием призмы.

Задача №288

Пусть в наклонной призме проведено перпендикулярного сечение. Доказать, что боковую поверхность призмы можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — периметр перпендикулярной сечения призмы, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина бокового ребра (рис. 1.16).
Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение наклонной призмы KLMN (рис. 1.16). Оно делит призму на две части. Применим к нижней части призмы параллельный перенос на вектор Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 1.17). Тогда основания ABCD и A1B1C1D1 призмы совместятся, и мы получим новую призму, основанием которой будет перпендикулярное сечение призмы (рис. 1.18), а боковые ребра равны Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Очевидно, что полученная призма имеет такую ​​же площадь боковой поверхности, как и начальная. Площадь боковой поверхности полученной призмы равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , поскольку она является прямой. Поэтому и боковая поверхность начальной призмы тоже равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — периметр перпендикулярного сечения, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — длина бокового ребра .

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 1.17                                     Рис. 1.18

Параллелепипед

В предыдущих лекциях вы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и кубом. Оба эти тела являются видами параллелепипеда. Рассмотрим параллелепипед подробнее.

Параллелепипед — это призма, основанием которого является параллелограмм.

В параллелепипеде все грани — параллелограммы.
Поскольку параллелепипед является призмой, то все свойства призмы выполняются и для параллелепипеда.
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскости основания, называют прямым параллелепипедом. Его боковые грани — прямоугольники. На рисунке 2.1 изображен прямой параллелепипед.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 2.1                                             Рис. 2.2
Если боковые ребра параллелепипеда не перпендикулярны плоскости основания, его называют наклонным параллелепипедом. На рисунке 2.2 изображен наклонный параллелепипед.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противоположными гранями. На рисунке 2.2 противоположными являются грани ABCD и A1B1C1D1, ABB1A1 и CDD1C1, AA1D1и BB1C1C.

Рассмотрим свойства параллелепипеда.

Теорема 1 (свойство противоположных граней параллелепипеда). Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Доказательство. 1) Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1, изображенный на рисунке 2.2. Грани ABCD и A1B1C1D1 этого параллелепипеда параллельны и равны, поскольку являются основаниями параллелепипеда.
2) Положим параллелепипед, например, на грань AA1D1D. Тогда грани AA1D1D и BB1C1C являются основаниями параллелепипеда. Поэтому они параллельны и равны.
3) Аналогично доказываем,что параллельными и равными являются грани AA1B1B и DD1C1C.

Теорема 2 (свойство диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. 1) Рассмотрим любые две диагонали параллелепипеда, например A1C и B1D (рис. 2.3).
2) Поскольку AB Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач CD и AB Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач A1B1, то CD Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач A1B1, поэтому прямые CD и A1B1 лежат в одной плоскости.
3) Поскольку AB = CD и AB = A1B1, то A1B1 = CD.
4) A1B1 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач CD и A1B1 = CD. По признаку четырехугольник A1B1CD является параллелограммом. Его диагонали A1C и B1D пересекаются в точке O и этой точкой они делятся пополам.
5) Аналогично доказывают, что диагонали A1и AC1 пересекаются в точке O (которая является серединой A1). Эта точка делит пополам и диагональ AC1. Так же доказываем и относительно диагоналей A1C и BD1.
6) Итак, все четыре диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                          Рис. 2.3                                     Рис. 2.4

Задача №289

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 8 см и тупым углом 120°. Найдите длину большей диагонали параллелепипеда, если его высота равна 2 см.
Решение. Пусть на рисунке 2.4 изображен прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1, ABCD — ромб, AB = BC = 8 см, ∠ABC = 120°.
1) Поскольку AC — большая диагональ ромба, то A1C — большая диагональ параллелепипеда.
2) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 14 см.

Задача №290

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 10 см и 17 см, а одна из диагоналей основания — 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение. Поскольку прямой параллелепипед является прямой призмой, то

Sбок= Pl, где P — периметр основания, l — длина бокового ребра.
1) Пусть a и b — стороны основания, d1 и d2 — ее диагонали, тогда a = 10 см, b = 17 см, d1 = 21 см. По свойству диагоналей параллелограмма: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачТогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, а большей диагональю параллелепипеда является та, которая имеет большую проекцию на плоскость основания, то большей диагональю параллелепипеда является та, проекцией которой на плоскость основания является диагональ основания длиной 21 см.
2) AC = 21 см, A1C = 29 см (рис. 2.4). Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Имеем: P = 2 (10 + 17) = 54 см, тогда  Sбок = Pl = 54 ∙ 20 = 1080 (см2).
Ответ. 1080 см2.

Задача №291

В прямом параллелепипеде с основанием ABCD  AB = 29 см, AD = 5 см, BD = 30 см, CC1 = 21,6 см. Найдите площадь сечения ADC1B1.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данный прямой параллелепипед (рис. 2.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 2.5

1) Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку 302 > 52 + 292, то BD> AD2 + AB2, поэтому ∠BAD — тупой, следовательно, ABCD — параллелограмм, отличный от прямоугольника, и ∠BCD = ∠BAD.
2) Поскольку AD || BC и BC || B1C1, то AD || B1C1. Кроме того, AD = BC, BC = B1C1, а потому AD = B1C1. Итак, ADC1B1 — параллелограмм (по признаку).
3) Проведем в параллелограмме ABCD высоту CK. Заметим, что так так ∠BCD — тупой, то точка K принадлежит отрезку AD.
4) Докажем, что C1K — высота параллелограмма ADC1B1. Имеем: С1C ⊥ (АВС), C1K — наклонная к (АВС), CK — ее проекция, CKАD, тогда C1KAD (по теореме о трех перпендикулярах), то есть C1K — высота параллелограмма ADC1B1.
5) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
6) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по формуле Герона). Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
7) С другой стороны, SABCD = ADCK, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
8) ИзГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠C = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
9) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. 180 см2.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Заметим, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, а все двугранные углы — прямыми.

Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, которые выходят из одной вершины, называют измерениями (или линейными измерениями) прямоугольного параллелепипеда.
На рисунке 2.6 AB = a, AD = b, AA1 = c — измерения прямоугольного параллелепипеда. Понятно, что данный прямоугольный параллелепипед имеет четыре ребра длиной a, четыре — длиной b и четыре — длиной c.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 2.6

В предыдущих лекциях измерения прямоугольного параллелепипеда мы обычно называли длиной, шириной и высотой, эти же термины используют и на
практике. Например, так мы называем измерения комнаты, коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, и т. д.

Выясним, как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда зависит от
его линейных измерений.

Теорема 3 (о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед (рис. 2.6), AB = a, AD = b, AA1 = c, B1D = d.
1) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°):  BD2 = a2 + b2.
2) BB1 = AA1 = c. Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠B = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Заметим, что эта теорема является пространственным аналогом теоремы Пифагора на плоскости.

Следствие. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называют кубом.

Все грани куба — равные между собой квадраты.

Задача №292

Доказать, что площадь полной поверхности Sполн прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле Sполн = 2 (ab + ac + bc), где a, b, c —измерения прямоугольного параллелепипеда.
Решение. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из двух прямоугольников, длины сторон которых a и b, двух прямоугольников, длины сторон которых a и c, и двух прямоугольников, длины сторон которых b и c  (рис. 2.6). Поэтому Sполн = 2ab + 2ac + 2bc = 2 (ab + ac + bc).

Задача №293

Две соседние стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5 см, а его диагональ — Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
Решение. Введем обозначения: a = 3 см, b = 5 см, d = см.
1) Имеем: a2 + b2 + c2 = d2 (по теореме о длине диагонали). Тогда c2 = d2 – (a2 + b2) =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач , следовательно, c = 2 см.
2) Sполн = 2 (ab + ac + bc) = 2 (3 ∙ 5 + 3 ∙ 2 + 5 ∙ 2) = 62 (см2).
Ответ. 62 см2.

Пирамида

Изучая геометрию в предыдущих лекциях вы уже познакомились с пирамидой. Рассмотрим это геометрическое тело подробнее.

Пирамида — это многогранник, у которого одна из граней, называемая основанием, является произвольным многоугольником, а другие грани — треугольники с общей вершиной.

На рисунке 3.1 изображена пирамида, основание которой — многоугольник ABCDE, другие грани — треугольники ABQ, BCQ, CDQ, DEQ и AEQ. Эти грани называют боковыми гранями пирамиды. Их общую точку — точку Q — называют вершиною пирамиды. Пирамиду, изображенную на рисунке 3.1, называют пирамидой QABCDE.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 3.1

Ребра пирамиды, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. На рисунке 3.1 отрезки QA, QB, QC, QD, QE — боковые ребра пирамиды.

Пирамиду называют n-угольной, если ее основанием является n-угольник.

На рисунке 3.1 изображена пятиугольная пирамида. Треугольную пирамиду принято называть тетраэдром.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называют высотою пирамиды.

На рисунке 3.1 отрезок QK является высотой пирамиды, точка K — основанием высоты.

Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды — сумму площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности пирамиды Sполн можно задать формулой через площадь ее боковой поверхности Sбок и площадь ее основания Sосн:
Sполн = Sбок + Sосн.

В пирамиде различают следующие углы: двугранные углы при сторонах основания (их еще называют двугранными углами при основании), углы, образованные боковыми ребрами с плоскостью основания, плоские углы при вершине и двугранные углы при боковых ребрах.

Двугранным углом при стороне основания будем называть двугранный угол, ребром которого является эта сторона, и содержащий эту пирамиду.

Пусть имеем треугольную пирамиду QABC, в которой проведена высота QK (рис. 3.2). Тогда углы AQB, BQC и AQC — плоские углы при вершине пирамиды, угол QBK — угол, образующий боковое ребро QB с плоскостью основания.
Проведем KNAB, тогда, по теореме о трех перпендикулярах, QN ⊥ AB, следовательно, угол QNK — линейный угол двугранного угла при стороне основания. Заметим, что есть пирамиды, у которых один или более двугранных углов при основании больше 90°. Например, на рисунке 3.3 изображена пирамида, у которой двугранный угол при стороне AB больше 90°, поэтому высота QK этой пирамиды лежит вне пирамиды. Можно также сказать, что высота QK не пересекает внутреннюю область многоугольника, который является основанием пирамиды.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 3.2                                 Рис. 3.3                               Рис. 3.4
 

Задача №294

Все плоские углы при вершине тетраэдра равняются 30°. Найти площадь боковой поверхности этого тетраэдра, если его боковые ребра равны 2 см, 3 см и 4 см.
Решение. Пусть на рисунке 3.4 изображен тетраэдр QABC, у которого ∠AQB = ∠BQC = ∠AQC = 30°, QA = 2 см, QB = 3 см, QC = 4 см. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. 6,5 см2.

Некоторые виды пирамид

Рассмотрим отдельно некоторые виды пирамид, имеющие определенные свойства.

Задача №295

Доказать, что если в пирамиде выполняется одно из двух следующих условий: все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или длины всех боковых ребер равны, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Доказательство. Пусть QA1A2 ... An — данная пирамида, точка K — основание ее высоты QK (рис. 3.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

              Рис. 3.5 

1) A1K — проекция бокового ребра A1Q на плоскость основания, поэтому ∠QA1K — угол, который образует боковое ребро QA1 с плоскостью основания. Аналогично ∠QA2K — угол, который образует боковое ребро QA2 с плоскостью основания ..., ∠QAnK —угол, образующий боковое ребро QAn с плоскостью основания.
2) Если ∠QA1K = ∠QA2K = ... = ∠QAnK, то есть имеем первое из двух условий задачи, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по катету и противоположному острому углу). Если QA1 = QA2 = ... = QAn, то есть имеем второе из двух условий задачи, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по катету и гипотенузе). Для любого из этих случаев получим, что KA1 = KA2 = ... = KAn.
3) Следовательно, точка K принадлежит плоскости основания пирамиды и равноудаленная от всех вершин многоугольника A1A2 ... A(поскольку KA1 = KA2 = ... = KAn), значит, является центром окружности, описанной вокруг основания.

Задача №296

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найти высоту пирамиды, если все боковые ребра тетраэдра между собой равны и равняются Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Решение. Пусть QABC — данный тетраэдр (рис. 3.6), у которого QA = QB = QC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, AB = AC = 5 см, BC = 6 см, QK — высота тетраэдра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 3.6 

1) Поскольку все боковые ребра тетраэдра равны, то K — центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и AK = R — радиус окружности.

2) Радиус описанной окружности можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь. Площадь треугольника найдем по формуле Герона: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметр треугольника.
3) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см), тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
4) Следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
5) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 7,5 см.

Задача №297

Доказать, что когда высота пирамиды пересекает ее основание и выполняется одно из двух условий: все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой или все высоты боковых граней пирамиды равны между собой, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 3.7, на котором изображена данная
пирамида, точка K — основание ее высоты.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.7

ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (докажите самостоятельно), а значит,
точка K равноудалена от всех сторон основания, следовательно, она является центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

Рассмотрим еще два вида пирамид.
Если только одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания (рис. 3.8), то ее высота QK лежит в этой грани, причем QK будет и высотой этой грани.
А если две соседние боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания (рис. 3.9), то высотой пирамиды является общее ребро QA этих граней.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
       Рис. 3.8             Рис. 3.9

Правильная пирамида

Пирамиду называют правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Напомним, что центром правильного многоугольника называют центр описанной вокруг него (или вписанной в него) окружности. На рисунке 3.10 изображена правильная треугольная пирамида, а на рисунке 3.11 — правильная четырехугольная пирамида, высоты которых — отрезки QK, где точка K — центр правильного многоугольника, являющегося основанием пирамиды.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 3.10                                                Рис. 3.11

Осью правильной пирамиды называют прямую, содержащую ее высоту.
Поскольку AK = BK = CK = DK (рис. 3.11), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум катетами), поэтому QA = QB = QC = QD.
Итак,
все боковые ребра правильной пирамиды между собой раны.

Поскольку AB = BC = CD = DA (рис. 3.11), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по трем сторонам). Итак,
все боковые грани правильной пирамиды — равные между собой равнобедренные треугольники.

Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины, называют апофемой пирамиды.

Поскольку QM — высота боковой грани QAC (рис. 3.10), выходящая из вершины пирамиды, то QM — одна из апофем пирамиды. Понятно, что все апофемы правильной пирамиды между собой равны. Если пирамида не является правильной, то и апофем у нее нет.

Теорема 1 (о площади боковой поверхности правильной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Пусть P — периметр основания правильной n-угольной пирамиды, a — длина стороны ее основания, l — длина ее апофемы. Найдем S — площадь одной грани: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Sбок = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Но Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметр основания. Итак,
Sбок = pl.

Задача №298

Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой — 6 см, а высота — 4 см.
Решение. Пусть на рисунке 3.12 изображена правильная четырехугольная пирамида QABCD, QK — высота пирамиды, QK = 4 см, ABCD — квадрат, AD = 6 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 3.12

1) Sполн = Sбок + Sосн.
2) Sосн = AD2 = 62 = 36 (см2).
3) Проведем отрезок QM — апофему боковой грани, тогда M — середина CD, K — середина AC, следовательно, KM — средняя линия треугольника ACD. Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
5) Sбок = pl = 60 (см2).
6) Sполн = 60 + 36 = 96 (см2).
Ответ. 96 см2.

Зависимость между углами в правильной n-угольной пирамиде

Пусть дана правильная n-угольная пирамида DA1A2A3 ... An, в которой основание
A1A2A3 ... An — правильный n-угольник, точка O — центр основания, DO — высота (рис. 3.13). Рассмотрим в этой пирамиде такие углы:
α — угол наклона боковой грани к плоскости основания,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  0° < α < 90°;
β — угол наклона бокового ребра к плоскости основания, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  0° < β < 90°;
γ — плоский угол при вершине пирамиды, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

δ — двугранный угол при боковом ребре. Поскольку A1CDA2  и A3CDA2, то ∠A1CA3 — линейный угол двугранного угла при боковом ребре Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                           Рис. 3.13

Часто в задачах на правильную пирамиду дан один из вышеуказанных углов, но при этом в задаче надо найти линейный размер пирамиды, не зависящий от этого угла, но зависящий от одного из трех других углов. Решить такую задачу будет трудно, если не знать, что все четыре вышеупомянутых угла попарно связаны между собой формулами. Эти формулы обычно называют формулами перехода (или зависимости) между углами в правильных n-угольных пирамидах.
Формулу зависимости для каждой пары вышеупомянутых углов можно найти по следующему алгоритму:

  1. Выбрать в пирамиде два прямоугольных треугольника с общей стороной, каждый из которых содержит один из двух углов искомой зависимости. 
  2. Выразить общую сторону выбранных треугольников через тригонометрические функции этих углов и длину стороны основания пирамиды.
  3. Приравняв правые части полученных формул и поделив полученное при этом равенство на длину стороны основания, найти формул зависимости между углами.

Пусть A1A2 = a — длина стороны основания данной правильной n-угольной пирамиды. Для удобства применения упомянутого алгоритма представим некоторые линейные элементы этой пирамиды через сторону ее основания. Как известно из курса планиметрии, 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   — радиус описанной вокруг основания окружности,
а  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— радиус вписанной в основание окружности.
Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— биссектриса, медиана и высота равнобедренного Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и A1L = A3L. Тогда из  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠L = 90°) имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Найдем по вышеупомянутому алгоритму зависимость, например, между углом наклона боковой грани и углом наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды, то есть между углами α и β.
Для этого в пирамиде выберем два прямоугольных треугольника DOB и DOA2, в каждом из которых ∠O = 90°, а DO — общий катет (рис. 3.13).
Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Получим, что  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
.
Теперь найдем зависимость между плоским углом при вершине и двугранным углом при боковом ребре, то есть между углами γ и δ. Рассмотрим в пирамиде Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠C = 90°) и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠B = 90°). Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(по острому углу), тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Выберем теперь два прямоугольных треугольника A3CA(∠C = 90°) и CLA3 (∠L = 90°) с общей стороной CA3 (рис. 3.13), в которых эта сторона является соответственно катетом и гипотенузой.
Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Так же можно найти все другие формулы перехода (зависимости) между углами.
Систематизируем все эти формулы в общем виде и для правильных треугольных, четырехугольных и шестиугольных пирамид в таблице.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Запоминать эти формулы не нужно, ведь вы всегда сможете воспользоваться приведенным выше алгоритмом и вывести нужную вам формулу в процессе решения каждой конкретной задачи.
Также обратим внимание, что из формулы Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач можно получить ограничение для угла Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поскольку  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач отсюда имеем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Также очевидно, что δ < 180°. Поэтому окончательно получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №299

Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды проведен перпендикуляр длиной а к боковому ребру и перпендикуляр длиной b к боковой грани. Найти площадь основания пирамиды.
Решение. Пусть QABCD — данная пирамида (рис. 3.14), ABCD — квадрат, QO1 = OO1, O1K = aO1L = b. Тогда SABCD = AB2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.14

Обозначим ∠QMO = α, ∠QCO = β. Тогда из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач откуда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   (1)
Используем зависимость между α и β (из таблицы выше):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Перепишем последнее равенство в виде  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
откуда получим, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   (2)
Тогда из равенств (1) и (2) имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
а    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Построение сечений пирамиды

Рассмотрим некоторые сечения пирамиды.

Сечение пирамиды, которое проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называют диагональным сечением пирамиды. Например, BQD — диагональное сечение четырехугольной пирамиды QABCD (рис. 3.15). Любое диагональное сечение пирамиды является треугольником, одна из вершин которого является вершиной пирамиды.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.15                                    Рис. 3.16

Задача №300

Найти периметр диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, а боковое ребро — 7 см.
Решение. Пусть QABCD — правильная четырехугольная пирамида (рис. 3.16), ABCD — квадрат, AD = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, QA = 7 см, треугольник AQC — диагональное сечение пирамиды. Поскольку QA = QC, то РAQC = AC + 2QA,
1) Поскольку ABCD — квадрат, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 24 см.

Часто в задачах рассматривают сечение пирамиды, проходящее через сторону основания и пересекающее боковые ребра пирамиды.

Задача №301

В правильной треугольной пирамиде через сторону основания длиной 4 см перпендикулярно боковому ребру проведено сечение. Найти площадь этого сечения, если оно образует с плоскостью основания пирамиды угол 30°.
Решение. 1) Проведем в правильной пирамиде QABC с основанием ABC высоту BM боковой грани BQC (рис. 3.17).
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум сторонам и углу между ними), поэтому ∠AMC = ∠BMC = 90° и AM = BM.
3) Поскольку AMQC и ВMQC, то (ABM) ⊥ QC (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Итак, треугольник ABM — искомое сечение, площадь которого нужно найти.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
            Рис. 3.17

4) Проведем CNAB. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный, то N — середина AB.
5) Проведем отрезок MN. Поскольку AM = MB, то MNAB.
6) Имеем: CNAB, MNAB. Итак, ∠MNC — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, при условии ∠MNC = 30°.
7)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
8) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, CN — его высота, то

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (см).
9) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠M = 90°):  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
10) Итак,  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. 6 см2.

Усеченная пирамида

Рассмотрим произвольную пирамиду QABC ... L. Проведем плоскость α, параллельную ее основанию. Эта плоскость пересекает боковые ребра пирамиды в точках A1, B1, C1, ..., L1 (рис. 3.18) и разбивает пирамиду на два многогранника.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
            Рис. 3.18

Многогранник, параллельными гранями которого являются многоугольники ABC ... L и A1B1C1 ...L1, четырехугольники AA1B1B, BB1C1C ..., LL1A1A, называют усеченной пирамидой. Многоугольники ABC ... L и ABC ... L и A1B1C1 ...Lназывают соответственно ее нижним и верхним основаниями, а четырехугольники AA1B1B, BB1C1C ..., LL1A1A, — боковыми гранями. Отрезки AA1, BB1, CC1, ..., LL1 называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.
Усеченную пирамиду с основами ABC ... L и A1B1C1 ...L1 обозначают по названиям всех ее вершин: ABC ... LA1B1C1 ... L1.
Перпендикуляр, проведенный из некоторой точки одного основания к плоскости другого основания, называют высотой усеченной пирамиды. На рисунке 3.18 отрезок KK1 — высота усеченной пирамиды.

Поскольку плоскости оснований усеченной пирамиды параллельные, то, по свойству параллельных плоскостей, AB || A1B1, BC || B1C1, ..., AL || A1L1, то есть две стороны каждой боковой грани параллельные, а две другие — не параллельные, потому что их продолжения пересекаются в точке Q. Следовательно,
боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.
Можно также доказать, что
основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.

Усеченную пирамиду называют правильной, если она получена из правильной пирамиды пересечением ее плоскостью, параллельной основанию.
Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники, а боковые грани — равные между собой равносторонние трапеции. Высоты этих трапеций называют апофемами усеченной пирамиды.

Площадью  боковой поверхности усеченной пирамиды называют сумму площадей всех ее боковых граней, а площадью полной поверхности — сумму площадей всех ее граней.

Теорема 2 (о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равняется произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Доказательство. Пусть в правильной n-угольной усеченной пирамиде длина сторон верхнего и нижнего оснований соответственно равняется a и b, а длина апофемы — l.
Тогда Sбок = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Поскольку na = P1 — периметр верхнего основания, а nb = P2 — периметр нижнего основания, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметры оснований. Итак, SбокГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №302

Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 12 см и 2 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.
Решение. Пусть на рисунке 3.19 изображена данная пирамида. Тогда Sполн = Sбок + S1 + S2, где Sбок — площадь боковой поверхности, S1  и S2, — площади оснований.
1) S1 = 122 = 144 (см2), S2 = 22 = 4 (см2).

2) Рассмотрим боковую грань усеченной пирамиды — равностороннюю трапецию АА1В1В (рис. 3.20), A1M — высота трапеции  и апофема пирамиды. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
3) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠M = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 3.19                                             Рис. 3.20

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) Sбок = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
5) Тогда Sполн = 336 + 144 + 4 = 484 (см2).
Ответ. 484 см2 .

Правильные многогранники

В предыдущих лекциях уже изучалось понятие правильного многоугольника. Напомним, что правильным многоугольником называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Аналогично в стереометрии рассматривают и понятие правильного многогранника.

Определение и свойства правильных многогранников

Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани — равные между собой правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Примером правильного многогранника является куб. Все его грани — равные между собой квадраты, и в каждой из восьми вершин сходится по три ребра.

Существует бесконечно много видов правильных многоугольников. Это следует из того, что правильный многоугольник может иметь любое количество сторон, не меньше трех. Однако правильных многогранников существует всего пять: правильный тетраэдр, куб, октаэдр (правильный восьмигранник), додекаэдр (правильный двенадцатигранник) и икосаэдр (правильный двадцатигранник (рис. 4.1).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Правильный          Куб                 Октаэдр            Додекаэдр         Икосаэдр
тетраэдр
                                                         Рис. 4.1

Количество сторон грани, вершин и ребер и некоторые другие свойства каждого из правильных многогранников представлены в таблице.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Дополним свойства правильных многогранников, которые указаны в таблице, еще одним.
У каждого из правильных многогранников все двугранные углы, образованные двумя гранями с общим ребром, равны.

Понятие диагонали рассматривают для всех правильных многогранников, кроме правильного тетраэдра.

Диагональ октаэдра — это отрезок, который  две вершины октаэдра, не принадлежащих одной грани.

Окружающий мир дает нам много примеров объектов, имеющих форму правильных многогранников. Например, форму куба имеют не только известные нам детские игрушки («кубики»), но и кристаллы поваренной соли и некоторые алмазы. Алмазы также кристаллизуются в форме октаэдров, а кристаллы железного колчедана имеют форму додекаэдра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Примеры задач с правильными многогранниками

Задача №303

Найдите высоты правильного тетраэдра, ребро которого равно a.
Решение. Пусть на рисунке 4.2 изображен правильный тетраэдр QABC
с ребром длиной a и высотой QK, где K — центр треугольника ABC.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 4.2

1) Тогда KB — радиус описанной вокруг правильного треугольника окружности,
то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач .
2) ИЗ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Аналогично можно вычислить и другие высоты правильного тетраэдра, но все они между собой равны и равняются Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №304

Найдите угол между диагоналями двух граней куба, имеющих общую точку.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данный куб (рис. 4.3). Найдем, например, угол между диагоналями DA1 и DC1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
            Рис. 4.3

1) Проведем отрезок A1C1 и рассмотрим Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач стороны которого являются диагоналями равных между собой квадратов, поэтому A1D = A1C1 = C1D.
2) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, поэтому ∠A1DC1 = 60°.
Ответ. 60°.

Задача №305

Найдите площадь S поверхности икосаэдра, ребро которого равно a.
Решение. 1) Все грани икосаэдра — равные между собой равносторонние треугольники. Обозначим площадь одной грани через Sгр. Тогда Sгр = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Всего граней в икосаэдр — 20. Поэтому S = 20 · Sгр = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Тела вращения

Один из видов геометрических тел — многогранники — мы уже рассмотрели. Теперь рассмотрим другой вид геометрических тел — тела вращения: цилиндр, конус и шар.

Сначала узнаем, что такое тело вращения.

Тела и поверхности вращения

Пусть некоторый плоский выпуклый многоугольник ABCDK обращают
вокруг неподвижной прямой, содержащей одну из его сторон, например вокруг прямой AB (рис. 5.1). Тогда каждая точка многоугольника, кроме точек отрезка AB, описывает окружность, центр которой лежит на прямой AB. Множество всех таких окружностей образует тело вращения, а прямую AB при этом называют осью тела вращения (рис. 5.2).
Если через ось тела вращения провести плоскость, то в сечении получим некоторую фигуру, которую называют осевым сечением тела вращения. Например, осевым сечением тела вращения, которое изображено на рисунке 5.2, является многоугольник CDKK1D1C1.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 5.1                                            Рис. 5.2

Поверхность, которая образовалась в результате вращения ломаной BCDKA вокруг прямой AB, называют поверхностью вращения.
Если тело, которое образовалось в результате вращения многоугольника ABCDK, пересечь плоскостью, перпендикулярной прямой AB, то в сечении получим круг, центр которого лежит на прямой AB.
Итак, можем сформулировать определение тела вращения (в простейшем случае), которым будем пользоваться в школьном курсе геометрии.

Телом вращения называют такое геометрическое тело, сечения которого плоскостями, перпендикулярными к некоторой прямой (оси вращения), являются кругами, центры которых лежат на этой прямой.

Иначе говоря, телом вращения называют геометрическое тело, которое образовалось в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг фиксированной прямой, которую называют осью вращения.

Тела вращения окружают нас в повседневной жизни. Это, например, игрушки, предметы быта, овощи и фрукты и даже астрономические тела (рис. 5.3).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                                                Рис. 5.3

Цилиндр

Цилиндром называют геометрическое тело, которое образовалось в результате вращения прямоугольника вокруг оси, содержащей одну из его сторон.

Например, на рисунке 5.4 цилиндр получили в результате вращения прямоугольника OO1A1A вокруг прямой, содержащей сторону OO1. Эту прямую называют осью цилиндра. Стороны прямоугольника OA и O1A1 описывают равные между собой круги, лежащие в параллельных плоскостях. Эти круги называют основаниями цилиндра, их радиус — радиусом цилиндра, диаметр — диаметром цилиндра. На рисунке 5.4 OA и O1A1 — радиусы цилиндра. Поверхность, образованная в результате вращения стороны AA1, параллельной оси цилиндра, называют боковой поверхностью цилиндра. Каждый отрезок этой поверхности, являющийся параллельным и равным отрезку AA1, называют образующей  цилиндра. На рисунке 5.4 AA1, BB1, CC1 — образующие цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований, равное длине образующей цилиндра, называют высотой цилиндра.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 5.4

Задача №306

Прямоугольник, диагональ которого равна 13 см, а одна из сторон на 7 см меньше другой, вращается вокруг своей большей стороны. Найдите радиус и высоту полученного цилиндра.
Решение. Пусть прямоугольник AOO1A1 вращается вокруг оси OO1, OO> OA (рис. 5.4).
1) Пусть OA = x см, тогда OO1 = (x + 7) см. По условию O1A = 13 см. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
то есть x2 + 7x – 60 = 0, откуда получаем, что x1 = 5,  x2 = –12. Итак, OA = 5 см — радиус цилиндра.
2) Тогда AA1 = OO1 = 5 + 7 = 12 (см) — высота цилиндра.
Ответ. 5 см; 12 см.

Заметим, что радиус цилиндра принято обозначать литерой r, а высоту — литерой h. Тогда ответ к задаче 1 можно записать так: r = 5 см; h = 12 см.

Предметы, имеющие форму цилиндра, называют предметами цилиндрической формы. К таким можно отнести определенные башни, архитектурные элементы колоннады, металлические или пластиковые трубы, парафиновые свечи, железнодорожные цистерны, стволы деревьев и другое.

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Воронцовская колоннада в Одессе                          Пизанская башня  (Италия)

Сечения цилиндра плоскостью

Сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось, называют осевым сечением цилиндра (рис. 5.5). Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, одна из сторон которого равна диаметру цилиндра, а другая —его высоте. На рисунке 5.5 прямоугольник ABB1A1 — осевое сечение цилиндра, AB — диаметр цилиндра, AA1 — образующая, равная высоте цилиндра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 5.5

Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то такой цилиндр иногда называют равносторонним.

Задача №307

Длина окружности основания цилиндра равна 15π см, а диагональ осевого сечения — 17 см. Найдите образующую цилиндра.
Решение. Пусть A1B — диагональ осевого сечения цилиндра, A1B = 17 см (рис. 5.5). Найдем образующую AA1.
1) Пусть радиус цилиндра равен r. Тогда по условию и формуле длины окружности имеем: 2πr = 15π.
Итак, AB = 2r = 15 см.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
Ответ. 8 см.

Задача №308

Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 60°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Решение. Пусть на рисунке 5.6 изображен данный цилиндр, AA1B1B — его осевое сечение, O1C — отрезок, соединяющий центр верхнего основания и точку O1 с точкой C круга нижнего основания, O1C = 12 см. Найдем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 5.6

1) OC — проекция наклонной O1C на плоскость нижнего основания, поэтому ∠O1CO — угол наклона отрезка O1C к плоскости нижнего основания. По условию
O1CO = 60°.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠O = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см)
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) AA1B1B — осевое сечение; AA1 = OO1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, 
AO = OC = 6 см, тогда AB = 2 ∙ AO = 2 ∙ 6 = 12 (см).
4) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг, который является равным основанию цилиндра (рис. 5.7). Действительно, поскольку AOO2A2 — прямоугольник, то каждая точка Aобразующей AA1 удалена от оси OO1 на расстояние A2O2, равное радиусу AO.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 5.7                                                     Рис. 5.8
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. На рисунке 5.8 прямоугольник AA1B1B — сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси OO1. Две его стороны — AA1 и BB1 — образующие цилиндра, а две другие — AB и A1B1 — параллельные и равные между собой хорды оснований.

Задача №309

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу в 60°. Найти периметр полученного сечения, если радиус основания цилиндра равен 4 см, а высота цилиндра — 3 см.
Решение. Пусть ABB1A1 — полученное по условию сечение цилиндра (рис. 5.8), OA = OB = 4 см, AA1 = 3 см, ∠AOB = 60°. Найдем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) Поскольку OA = OB, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный и поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, поэтому AB = OA = 4 см.
2) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 14 см .

Конус

Конусом называют геометрическое тело, которое образовалось в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из его катетов.

На рисунке 6.1 прямоугольный треугольник QOA с прямым углом O вращается вокруг прямой, содержащей его катет QO. Прямая QO является осью конуса, образованного в результате этого вращения. Точку Q называют вершиной конуса, катет QO (и его длину) — высотой конуса.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 6.1


Другой катет OA этого треугольника описывает круг, который называют основанием конуса. Радиус этого круга называют радиусом основания конуса, диаметр — диаметром основания конуса. На рисунке 6.1 OA, OB, OC — радиусы основания конуса, BC — ее диаметр.

Поверхность, образованная в результате вращения гипотенузы QA треугольника QOA, называют боковой поверхностью конуса. Каждый отрезок этой поверхности, соединяющий вершину Q конуса с точкой окружности основания, называют образующей конуса. На рисунке 6.1 QA и QB — образующие конуса. Все образующие конуса между собой равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Заметим, что радиус основания конуса принято обозначать литерой r, высоту — литерой h, образующую — литерой l.

Задача №310

Прямоугольный треугольник с гипотенузой длиною 17 см вращается вокруг катета, длина которого — 8 см. Найдите площадь основания конуса, образованного в результате этого вращения.
Решение. Пусть QA = l = 17 см, QO = h = 8 см (рис. 6.1). Обозначим площадь основания через S и найдем ее числовое значение.

1) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Тогда S = πr2 = π ∙ 152 = 225π (см2).
Ответ. 225π см2.

Множество предметов, окружающих нас в повседневной жизни, имеют форму конуса: это детали механизмов и машин, крыши на цилиндрических башнях, воронки, купол цирка-шапито, ведра для тушения пожара, вафельные рожки для мороженого и многое другое. Предметы конической формы достаточно удобны для транспортировки, так как их можно вкладывать друг в друга.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

 Башня Тракайского замка                            Цирк-шапито
 (Литовская Республика)

Сечения конуса плоскостью

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением конуса (рис. 6.2).
Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, основание которого — диаметр конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Высота этого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой конуса. На рисунке 6.2 треугольник QBA — осевое сечение конуса, AB — диаметр конуса, QA и QB — образующие конуса, OQ — высота конуса.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 6.2

Если осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, такой конус иногда называют равносторонним.

Задача №311

Длина окружности основания конуса равна 8π см. Найдите площадь осевого сечения конуса, если оно является прямоугольным треугольником.
Решение. Пусть QAB — осевое сечение конуса, ∠BQA = 90° (рис. 6.2). Найдем SQAB.
1) Обозначим OB = OA = r. По условию 2πr = 8π, тогда r = 4 см.
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный, ∠Q = 90°, поэтому ∠QBO = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач: ∠BQO = 90° – 45° = 45°, поэтому QO = BO = 4 см.
4)Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).
Ответ. 16 см2.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной плоскости его основания, то в сечении получим круг (рис. 6.3). Центр этого круга — точка O1 лежит на оси конуса.

Задача №312

Высота конуса равна 12 см, а радиус основания — 15 см. На расстоянии 4 см от вершины конуса проведено сечение плоскостью, параллельной основанию конуса. Найдите радиус этого сечения.
Решение. Пусть на рисунке 6.3 изображен данный конус, у которого OA = 15 см, QO = 12 см, QO1 = 4 см.
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по двум углам), тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 
следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 5 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                    Рис. 6.3                                                              Рис. 6.4
 
Сечением конуса плоскостью, которая проходит через вершину конуса, является равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса. На рисунке 6.4 сечением конуса плоскостью, проходящей через вершину Q конуса, является треугольник QDC. Его боковыми сторонами являются образующие QD и QC конуса, а основанием — хорда DC основания конуса.

Задача №313

Через вершину конуса проведено сечение, угол наклона которого к плоскости основания равен 60°. Найдите высоту конуса, если расстояние от центра основания до хорды, по которой сечение пересекает основание, равно Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
Решение. Пусть QCD — данное в условии задачи сечение конуса (рис. 6.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 6.5

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный с основанием CD. Проведем отрезок QK, являющийся высотой и медианой треугольника QCD.
2) Поскольку OK — проекция наклонной QK на плоскость основания конуса,
QKCD, то OKCD (по теореме о трех перпендикулярах). Итак, OK — расстояние от точки O до хорды CDOK = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм (по условию).
3) Поскольку QKCD и OKCD, то (OQK) ⊥ CD, тогда ∠QKO — угол наклона сечения QCD к плоскости основания, следовательно, ∠QKO = 60° (по условию).
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠O = 90°):   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 15 см.

Усеченный конус

Рассмотрим произвольный конус и проведем плоскость, параллельную его
основанию. Эта плоскость пересечет конус по кругу и разделит конус на две части (рис. 6.6). Верхняя из этих частей является конусом, а нижнюю называют
усеченным конусом. Основание начального конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усеченного конуса. На рисунке 6.6 OA и O1A1 — радиусы оснований усеченного конуса, OO1 — высота усеченного конуса.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 6.6

Усеченный конус можно рассматривать и как тело вращения, которое можно получить в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей ее меньшую боковую сторону. На рисунке 6.7 прямоугольная трапеция OO1A1A с прямыми углами O и O1 вращается вокруг прямой OO1. Эту прямую называют осью усеченного конуса. Боковая сторона OO1 трапеции OO1A1A является высотой усеченного конуса, а основания трапеции — радиусами оснований усеченного конуса.
Поверхность, являющаяся результатом вращения большей боковой стоны AA1 трапеции OO1A1A вокруг прямой OO1, называют боковой поверхностью усеченного конуса. Каждый отрезок этой поверхности (а также его длину), который соединяет ближайшие точки кругов оснований усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. На рисунке 6.7 AA1 и BB1 — образующие усеченного конуса. Они между собой равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 6.7                                                      Рис. 6.8

Сечение усеченного конуса плоскостью, которая проходит через его ось, называют осевым сечением усеченного конуса (рис. 6.8). Осевое сечение усеченного конуса — равносторонняя трапеция, основания которой — диаметры оснований усеченного конуса, боковые стороны — образующие усеченного конуса, высота этой трапеции равняется высоте усеченного конуса.
Заметим, что радиусы большего и меньшего оснований срезанного конуса принято обозначать соответственно через R и r, высоту — через h, а образующую — через l.

Задача №314

Образующая усеченного конуса равна 5 см, высота — 4 см, а меньший из радиусов оснований — 2 см. Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса.
Решение. Пусть AA1B1B — осевое сечение усеченного конуса (рис. 6.8), AA1= 5 см, OO1 = 4 см, O1A1 = 2 см.
1) Выполним планиметрической рисунок сечения (рис. 6.9) и проведем в трапеции AA1B1B высоту A1K, тогда A1K = OO= 4 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
            Рис. 6.9

2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Тогда AO = AK + KO = 3 + 2 = 5 (см).
3) AB = 2AO = 2 ∙ 5 = 10 (см),
A1B1 = 2A1O1 = 2 ∙ 2 = 4 (см).
Итак,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. 28 см2.

Шар и сфера

Рассмотрим еще одно тело вращения — шар.

Шаром называют геометрическое тело, образованное в результате вращения круга вокруг оси, содержащей его диаметр.
Центр и радиус круга, который вращается, называют соответственно центром и радиусом шара, а диаметр круга — диаметром шара. На рисунке 7.1 точка O — центр шара, OA и OB — радиусы шара, AB — диаметр шара.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
       Рис. 7.1

Поверхность шара называют сферою.
Центр, радиус и диаметр шара также являются центром, радиусом и диаметром сферы.
Все точки сферы равноудалены от центра сферы на расстояние, равное радиусу.
Точки шара, не принадлежащие сфере, называют внутренними точками шара, и о них говорят, что они лежат внутри сферы. Внутренние точки шара удалены от центра шара на расстояние, меньшее радиуса.
Таким образом, приходим к еще одному определению сферы и шара.

Сферою называют поверхность, которая состоит из всех точек пространства, равноудаленных от одной и той же точки. Эту точку называют центром сферы, а расстояние от центра сферы до любой ее точки — радиусом сферы

Шаром называют геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, удаленных от одной и той же точки на расстояние, не превышающее данное. Эту точку называют центром шара, а данное расстояние — радиусом шара.

Задача №315

Радиус сферы равен 4,5 см. Внутри или снаружи сферы лежит точка A, если она удалена от центра сферы на:
1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см; 2) 4 см; 3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм; 4) 7 см?
Решение. 1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач < 4,5, то A расположена внутри сферы.
2) Аналогично, 4 < 4,5, поэтому A лежит внутри сферы.
3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач > 4,5, то точка A лежит вне сферы.
4) Аналогично, 7 > 4,5, поэтому A лежит вне сферы.
Ответ. 1) и 2) Внутри сферы; 3) и 4) вне сферы.

Много предметов, имеющих форму шара, окружают нас в быту. Это и бусинки, и мячи, и различные елочные украшения, металлические шарики подшипников, плафоны некоторых светильников и другое.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Взаимное расположение шара и плоскости

Рассмотрим взаимное расположение шара и плоскости.
Плоскость и шар могут:
• не иметь общих точек (не пересекаться) (рис. 7.2);
• иметь одну общую точку (касаться) (рис. 7.3);
• иметь множество общих точек (пересекаться) (рис. 7.4).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 7.2                                Рис. 7.3                                  Рис. 7.4

Пусть α — плоскость, = r — радиус шара, а OA = d — перпендикуляр, проведенный из центра O шара к плоскости α, то есть расстояние от центра шара до плоскости (рис. 7.4).
Тогда:

  • если плоскость α и шар не имеют общих точек, то d > r;
  • если плоскость α и шар имеют одну общую точку, то d = r;
  • если плоскость α и шар имеют множество общих точек, то d < r.

Заметим, что верны и обратные утверждения:

  • если d > r, то плоскость и шар не имеют общих точек;
  • если d = r, то плоскость и шар имеют одну общую точку;
  • если d < r, то плоскость и шар имеют множество общих точек.

Задача №316

Радиус шара равен 5 см. Сколько общих точек имеет шар с плоскостью, если расстояние от центра шара к плоскости равно: 1) 4 см; 2) 5 см; 3) 6 см.
Ответ. 1) Множество;  2) одну;  3) никакой.

Рассмотрим подробнее случаи, когда плоскость и шар имеют одну или множество общих точек.

Плоскость, касательная к шару (сфере)

Если плоскость имеет с шаром (сферой) только одну общую точку, то говорят, что плоскость касательная к шару (сферы).

На рисунке 7.3 плоскость α касается сферы. Точку A, которая является общей точкой плоскости и сферы, называют точкой касания. Плоскость, касающаяся шара, имеет свойство, которое очень похоже на свойство касательной к окружности.

Теорема (свойство плоскости, касательной к шару). Касательная к шару плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Рассмотрим плоскость α, касательную к шару с центром O в точке A (рис. 7.3).
Докажем, что OA ⊥ α, от противного.
Пусть плоскость α не является перпендикулярной к радиусу ОА, тогда ОА — наклонная к α, а потому расстояние от точки O до плоскости α меньше радиуса шара. Тогда шар и плоскость α пересекаются и имеют множество общих точек, что противоречит условию, ведь, по условию, плоскость α является касательной к шару.
Итак, наше предположение ложное, поэтому OA ⊥ α.

Задача №317

К шару, радиус которого — 4 см, проведена касательная плоскость. Точка K этой плоскости удалена от точки касания на 3 см. Найдите расстояние от точки K до центра шара.

Решение. Пусть шар с центром в точке O касается плоскости α в точке A, OA = 4 см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAK = 3 см (рис. 7.5). Найдем расстояние OK.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 7.5

1) Поскольку OA ⊥ α, то ∠OAK = 90°.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. 5 см.

Сечение шара плоскостью

Если плоскость и шар имеют множество общих точек (рис. 7.4), это означает, что плоскость пересекает шар, следовательно, имеем сечение шара плоскостью. Сечение шара плоскостью представляет собой круг, соответственно, сечение сферы плоскостью является окружностью.
Если секущая плоскость проходит через диаметр шара (рис. 7.1), то ее называют диаметральной плоскостью, а сечение, которое при этом образовалось, — большим кругом шара, радиус которого равен радиусу шара. Окружность, ограничивающую этот круг, называют большой окружностью шара.
Радиус сечения шара плоскостью, отличной от диаметральной плоскости, будет меньше радиуса шара. На рисунке 7.4 сечением шара плоскостью α является круг, центр которого — точка A — основание перпендикуляра, проведенного из центра шара O к плоскости α. Радиус этого круга — AM, где M — точка, принадлежащая сечению плоскостью α сферы, ограничивающей шар. При этом OM = r — радиус шара.

Задача №318

Диаметр шара равен 34 см. Шар пересекает плоскость на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения, образовавшегося при этом.
Решение. Пусть шар пересекает плоскость α (рис. 7.4), тогда AO = 8 см, ОМ —радиус шара. Сечением шара является круг с центром в точке A и радиусом AM. Площадь сечения обозначим через S.
1) Найдем радиус шара: ОМ = 34: 2 = 17 (см).
2) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Тогда S = π ∙ AM2 = π ∙ 152 = 225π (см2).
Ответ. 225π см2.

Части шара

Шаровым сегментом называют часть шара, которую отсекает от нее секущая плоскость (рис. 7.6). Его поверхность состоит из сферичного сегмента и круга — основания шарового сегмента.
Расстояние от основания до самой отдаленной точки B шарового сегмента называют его высотой. На рисунке 7.6 изображен сегмент с высотой AB = h шара радиуса r.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                Рис. 7.6                                    Рис. 7.7                             Рис. 7.8

Шаровым сектором называют геометрическое тело, состоящее из шарового сегмента и конуса (рис. 7.7 и 7.8). Если шаровой сегмент меньше полушария, то его дополняют конусом, основание которого совпадает с основанием сегмента, а вершина — с центром шара (рис. 7.7). Если шаровой сегмент больше полушария, то упомянутый конус из шарового сегмента исключают (рис. 7.8). Заметим также, что шаровой сектор можно получить вращением кругового сектора вокруг своей оси симметрии (рис. 7.9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 7.9                                         Рис. 7.10

Шаровым слоем называют часть шара, содержащуюся между двумя параллельными секущими плоскостями (рис. 7.10). Часть сферы, ограничивающую шаровой слой, называют шаровым поясом. Сечения плоскостей шаром называют основаниями шарового слоя. Радиусы сечений, которые при этом образовались, называют радиусами шарового слоя (шарового пояса), а перпендикуляр, проведенный из точки одной секущей плоскости ко второй, называют высотой шарового слоя (шарового пояса). На рисунке 7.10 OA и O1A1 — радиусы, OO1 — высота шарового слоя (шарового пояса) .

Комбинации геометрических тел

Мы уже рассмотрели призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар, их элементы и свойства. Но в геометрии и в практической деятельности человека, в природе, технике иногда возникает необходимость работать еще и с комбинациями упомянутых геометрических тел.

Призма, вписанная в цилиндр

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания являются вписанными в основания цилиндра многоугольниками, а боковые ребра являются образующими цилиндра (рис. 8.1).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
       Рис. 8.1

При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно, что поскольку образующие цилиндра перпендикулярны плоскости основания, то призма, вписанная в цилиндр, является прямой.
Из определения призмы, вписанной в цилиндр (рис. 8.1), получим ее свойства:

  1. Основанием вписанной в цилиндр призмы является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, причем радиус этой окружности равен радиусу цилиндра R.
  2. Высота H призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг оснований, принадлежит оси цилиндра.

Задача №319

Можно ли описать цилиндр вокруг прямой призмы, основанием которой являются:
1) треугольник; 2) ромб,  не являющийся квадратом?
Решение. 1) Да, поскольку вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Нет, поскольку вокруг ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность.
Ответ. 1) Да;  2) нет.

Призма, описанная вокруг цилиндра

Касательной к цилиндру плоскостью называют плоскость, проходящую через образующую цилиндра перпендикулярно к плоскости осевого сечения, которое содержит эту образующую (рис. 8.2).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 8.2                                                 Рис. 8.3

Призму называют описанной вокруг цилиндра, если ее основания являются описанными вокруг оснований цилиндра многоугольниками, а боковые грани принадлежат касательным к цилиндру плоскостям (рис. 8.3).

При этом цилиндр называют вписанным в призму. Поскольку образующие цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, то боковые грани призмы, содержащие образующие, также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма, описанная вокруг цилиндра, является прямой.
Из определения призмы, описанной вокруг цилиндра, получаем такие ее свойства (рис. 8.3):

  1. Основанием призмы, описанной вокруг цилиндра, является многоугольник, в который можно вписать окружность. При этом радиус данной окружности равен радиусу r цилиндра.
  2. Высота H призмы, соединяющая центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Задача №320

Вокруг цилиндра описана четырехугольная призма, три стороны основания которой в порядке следования равны 3 см, 4 см и 7 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если высота цилиндра — 5 см.
Решение. Пусть имеем описанную вокруг цилиндра четырехугольную призму (рис. 8.3). Найдем ее боковую поверхность по формуле Sбок = P · l, где P — периметр основания, l — боковое ребро, равное высоте цилиндра, то есть l = 5 см.
1) Обозначим неизвестную сторону основания через x. По свойству описанного вокруг окружности четырехугольника имеем:
3 + 7 = 4 + x, следовательно, x = 6 (см).
2) Тогда P = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).
3) Sбок = 20 · 5 = 100 (см2).
Ответ. 100 см2.

Пирамида, вписанная в конус

Пирамиду называют вписанной в конус, если ее основание является вписанным в основание конуса многоугольником, а вершиной является вершина конуса.

При этом конус называют описанным вокруг пирамиды.
Понятно, что боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.
Сформулируем свойства вписанной в конус пирамиды (рис. 8.4).

  1. Основанием вписанной в конус пирамиды является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности.
  2. Радиус основания конуса равен радиусу R окружности, описанной вокруг основания пирамиды, а высота H конуса равна высоте пирамиды.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 8.4

Задача №321

Вокруг пирамиды, стороны основания которой равны 10 см, 10 см и 12 см, а высота — 8 см, описан конус. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Решение. Пусть радиус основания конуса равен R, а высота — H (рис. 8.4). Найдем площадь осевого сечения конуса по формуле Sсеч = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) Высота конуса равна высоте пирамиды, поэтому H = 8 см.
2) Радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной вокруг основания призмы — треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.
3) По формуле Герона  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — полупериметр треугольника, имеем:

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см2).

4) Тогда RГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= 6,25 (см).
5) Итак, Sсеч = 6,25 · 8 = 50 (см2).
Ответ. 50 см2.

Пирамида, описанная вокруг конуса

Касательной к конусу плоскостью называют плоскость, проходящую через образующую конуса перпендикулярно к плоскости осевого сечения, которое содержит эту образующую.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 8.5                                                        Рис. 8.6

Пирамиду называют описанной вокруг конуса, если ее основание является описанным вокруг основания конуса многоугольником, а вершиной является вершина конуса (рис. 8.6).

При этом конус называют вписанным в пирамиду. Заметим, что боковые грани пирамиды принадлежат касательным к конусу плоскостям.

Исходя из определения, получим свойства пирамиды, описанной вокруг конуса (рис. 8.6).

  1. Основанием пирамиды, описанной вокруг конуса, является многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности.
  2. Радиус r  окружности, вписанной в основание пирамиды, равен радиусу основания конуса, а высота пирамиды равна высоте H конуса.

Задача №322

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а все двугранные углы при основании пирамиды равны по 60°. Найти высоту конуса, вписанного в пирамиду.
Решение. Пусть в треугольную пирамиду с основанием ABC и вершиной Q вписан конус (рис. 8.6). Основание высоты конуса — точка O — центр окружности, вписанной в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачAC = 6 см, BC = 8 см. QO — высота и пирамиды, и конуса. Найдем QO.
1) Пусть точка K — точка касания вписанной в Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач окружности к стороне AB, а OK — радиус окружности и одновременно радиус основания конуса. Пусть OK = r.
2) OKAB, по теореме о трех перпендикулярах QKAB, поэтому ∠QKO — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды. По условию ∠QKO = 60°.
3) Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, найдем по формуле  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где a и b — катеты, c — гипотенуза.
4) ИзГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠C = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

5) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
6) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠O = 90°):  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

Многогранник, вписанный в шар

Многогранник называют вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
При этом шар называют описанным вокруг многогранника.
Заметим, что

  • если вокруг многогранника описан шар, то центром шара является точка пересечения всех плоскостей, проходящих перпендикулярно к ребрам многогранника через их середины.

Действительно, любая точка, равноудаленная от двух вершин многогранника, являющихся концами одного ребра, лежит в перпендикулярной к этому ребру плоскости, проходящей через его середину. Поскольку центр шара, описанного вокруг многогранника, равноудален от всех вершин многогранника, то должен принадлежать каждой из таких плоскостей, а потому является точкой
их пересечения.
Верно и обратное утверждение.
Шар можно описать вокруг многогранника, у которого все плоскости, перпендикулярные к его ребрам и проходящие через их середины, пересекаются в одной точке.

Поскольку указанное свойство подтверждается не для каждого многогранника, то и шар можно описать не вокруг каждого многогранника.

Рассмотрим основные свойства призмы, вписанной в шар (рис. 8.7).

  1. Прямую призму можно вписать в шар, если основанием призмы является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность.
  2. Центр шара является серединой высоты призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг оснований призмы.
  3. Основания призмы являются многоугольниками, вписанными в равные между собой параллельные сечения шара.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 

                  Рис. 8.7

Задача №323

Вокруг правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, описан шар. Радиус шара равен 13 см. Найти высоту призмы.
Решение. Пусть вокруг правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 описан шар (рис. 8.7), AB = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, R = 13 см — радиус шара.
1) QB — радиус окружности, описанной околоГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Обозначим QB = RABC. Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠Q = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Поскольку центр шара — точка O — середина высоты QQ1 призмы, то
QQ1 = 2 · 12 = 24 (см).
Ответ. 24 см.

Рассмотрим основные свойства вписанной в шар пирамиды (рис. 8.8). 
1. Пирамиду можно вписать в шар, если основанием пирамиды является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность. Центр шара, описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, который проходит через центр окружности, описанной вокруг основания.
2. Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.
3. Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, совпадает с центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой — высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

Отметим, что центр описанного шара может лежать или на высоте правильной
пирамиды, или на ее продолжении, то есть или внутри пирамиды, или за ее пределами. На примере рассмотрим такой способ решения задач о вписанной в шар правильной пирамиде, при котором не имеет значения, где находится центр шара (внутри или вне пирамиды).

Задача №324

Доказать, что радиус R шара, описанного вокруг правильной пирамиды, можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  где H — высота пирамиды, r — радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Решение. Пусть правильная пирамида, высота которой QK, вписана в шар с центром O (рис. 8.8), QK = H, KA = r.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                Рис. 8.8

1) Продолжим высоту QK до пересечения с шаром в точке Q1. Тогда QQ1 = 2R — диаметр шара, а потому ∠QAQ1 = 90° и QQ1 — гипотенуза прямоугольного треугольника QAQ1.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°):  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
3) Поскольку катет в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим гипотенузы и своей проекции на гипотенузу, то изГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°) имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
4) Получили, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и    Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, имеем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №325

Доказать, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар.
Доказательство. Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду ABCD. Геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин A, B и C, является прямая l, проходящая через точку O1 — центр окружности, описанной около грани ABC, перпендикулярно к этой грани.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек A и D, является плоскость α, проходящая через середину отрезка AD, перпендикулярно к нему.
Пусть прямая l пересекается с плоскостью α в точке O. Тогда, с одной стороны, OA = OB = OC, а с другой — OA = OD. Имеем, что OA = OB = OC = OD, то есть точка O равноудаленная от всех вершин данной пирамиды, а следовательно, является центром описанного вокруг этой пирамиды шара.

Многогранник, описанный вокруг шара

Многогранник называют описанным вокруг шара, если все его грани касательные к поверхности шара.
При этом шар называют вписанным в многогранник.
Заметим, что

  • если в многогранник можно вписать шар, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов этого многогранника.

Действительно, любая точка, равноудаленная от обеих граней двугранного угла,
лежит на его биссекторной плоскости (по известному свойству биссекторной
плоскости). Центр шара, вписанного в многогранник, является равноудаленным от всех его граней, поэтому должен принадлежать каждой из биссекторных плоскостей, а следовательно, является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов.

Верно и обратное утверждение:

  • в многогранник можно вписать шар, если биссекторные плоскости всех его двугранных углов пересекаются в одной точке.

Поскольку это свойство пересечения биссекторных плоскостей подтверждается не для каждого многогранника, то не в каждый многогранник можно вписать шар.

Рассмотрим основные свойства призмы, описанной вокруг шара (рис. 8.9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 8.9
 

  1. Прямую призму можно описать вокруг шара, если основанием призмы является многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
  2. Центр шара является серединой высоты призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы.

Задача №326

Известно, что в треугольную призму, стороны оснований которой равны 13 см, 14 см и 15 см, можно вписать шар. Найти радиус этого шара.
Решение. Пусть шар вписан в данную треугольную призму. Обозначим радиус окружности, вписанной в основание призмы, через r.
1) Диаметр шара равен как высоте призмы, так и диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Итак, радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.
2) Найдем r по формуле   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  где S и p — соответственно площадь и полупериметр треугольника основания.
3) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) По формуле Герона:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
5) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
6) Тогда радиус шара также равен 4 см.
Ответ. 4 см.

Рассмотрим основные свойства пирамиды, описанной вокруг шара (рис. 8.10).

  1. Если в пирамиде все двугранные углы при основании между собой раны, то в такую ​​пирамиду можно вписать шар. Центр шара лежит на высоте пирамиды, точка касания шара к основанию пирамиды совпадает с центром вписанной в основание окружности, а точки касания к боковым граням лежат на высотах этих граней.
  2. В любою правильную пирамиду можно вписать шар. Центр такого шара лежит на высоте пирамиды.
  3. Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема правильной пирамиды, а высотой — высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

Задача №327

Известно, что в треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны между собой. Высота пирамиды равна 20 см, а высота одной из боковых граней — 25 см. Найти радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Решение. Пусть QK — высота треугольной пирамиды QABC, QM — высота ее боковой грани, O — центр вписанного шара, L — точка касания шара к боковой грани QAC, QK = 20 см, QM = 25 см (рис. 8.10).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 8.10

1) Поскольку все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой,
то центр шара лежит на высоте пирамиды, а точка касания шара к боковой
грани принадлежит высоте этой грани. Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Пусть r — радиус вписанного шара, тогда OK = OL = r .
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (по катету и гипотенузе), поэтому ∠OMK = ∠OML, следовательно, MO — биссектриса угла QMK, а потому и треугольника QMK.
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач :   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
5) Поскольку OQ = QKOK  и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(по свойству биссектрисы треугольника), то имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Задача №328

Доказать, что в любую треугольную пирамиду можно вписать шар.
Доказательство. Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду ABCD.
Биссекторные плоскости двугранных углов при ребрах ABAC и BD имеют единую общую точку O.
Поскольку точка O принадлежит биссекторной плоскости при ребре AB, то она равноудалена от граней ABC и ABD. Поскольку она принадлежит и биссекторной плоскости при ребре AC, то равноудалена от граней ABC и ACD, а поскольку принадлежит биссекторной плоскости при ребре BD, то равноудалена от граней ABD и CBD. Следовательно, точка O равноудалена от всех граней тетраэдра ABCD, а потому является центром вписанного шара.

Заметим, что в геометрии существуют и другие комбинации геометрических тел, например, цилиндра и пирамиды, шара и конуса и другое.

Комбинации двух тел вращения

Шар называют вписанным в цилиндр, если каждое основание и каждая образующая цилиндра касаются шара (рис. 8.11).

При этом цилиндр называют описанным вокруг шара. 
Вписать шар в цилиндр можно тогда и только тогда, когда он равносторонний.

Шар называют вписанным в конус, если основание и все образующие конуса касаются шара (рис. 8.12).

При этом конус называют описанным вокруг шара.

Сформулируем свойства описанного вокруг шара конуса.

  1. В любой конус можно вписать шар.
  2. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этой окружности.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

               Рис. 8.11                                               Рис. 8.12

Шар называют описанным вокруг цилиндра, если основания цилиндра являются сечениями шара (рис. 8.13).
При этом цилиндр называют вписанным в шар.

Сформулируем свойства вписанного в шар цилиндра.

  1. Вокруг любого цилиндра можно описать шар.
  2. Центром шара является середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра.
  3. Радиус шара равен радиусу окружности, описанной вокруг осевого сечения цилиндра.


Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 8.13                                             Рис. 8.14

Шар называют описанным вокруг конуса, если основание конуса является сечением шара, а вершина конуса лежит на поверхности шара (рис. 8.14).
При этом конус называют вписанным в шар.

Сформулируем свойства вписанного в шар конуса.

  1. Вокруг любого конуса можно описать шар.
  2. Центр шара совпадает с центром окружности, описанной вокруг осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этой окружности.

Задача №329

В равносторонний конус вписан шар, радиус которого — 2 см. Найдите радиус основания и высоту конуса.
Решение. Пусть на рисунке 8.15 изображено осевое сечение данной в условии комбинации конуса и шара, OQ = 2 см — радиус вписанного шара.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 8.15

1) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач равносторонний, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 
тогда  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
2) Найдем радиус основания конуса:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Теперь найдем высоту конуса:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, 6 см.

Обратите внимание, что при решении задач на комбинацию шара с другими телами вращения на рисунке часто достаточно изображать только осевое сечение данной в задаче комбинации тел вращения.

Объемы многогранников

В этой лекции рассмотрим одну из важных характеристик геометрического тела, а именно, объем тела, а также узнаем, как находить объем призмы.

Понятие объема

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с понятием объема. Например, на упаковке жидких веществ (пакеты с соком, емкости с напитками, маслом, моющими средствами и т. д.) обычно указывают значение именно объема. При осуществлении оплаты за природные ресурсы или продукты их переработки (вода, газ, бензин и др.) сумма рассчитывается в соответствии с потребленным объемом. Стоимость определенных строительных материалов или сырья (древесина, песок, кирпич и др.) также часто определяют по их объему.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

С понятием объема мы уже познакомились в курсе школьной геометрии, а теперь расширим и углубим эти знания.
Подобно тому, как для фигур на плоскости вводится понятие площади, для геометрических тел в пространстве вводится понятие объема. Точно так же, как плоская фигура занимает некоторую часть плоскости, геометрическое тело ограничивает некоторую часть пространства. Каждому геометрическом телу можно поставить в соответствие значение его объема, то есть величину той части пространства, которую занимает это тело.
Сформулируем основные свойства объема.

  1. Объем геометрического тела является положительным числом.
  2. Равные между собой геометрические тела имеют равные объемы.
  3. Если геометрическое тело состоит из нескольких тел, то его объем равняется сумме объемов этих тел.
  4. Единицей измерения объема является объем куба, ребро которого является единицей измерения длины.

Например, если единицей измерения длины взять 1 см, то соответствующей единицей измерения объема будет объем куба с ребром 1 см. Объем такого куба называют один кубичный сантиметр и обозначают 1 см3. Тем же способом можно определить другие единицы измерения объема, например, 1 мм3, 1 дм3, 1 м3.
Объем тела принято обозначать буквой V.

Тела, имеющие одинаковые объемы, называют равновеликими.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Как нам известно, если линейные измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) являются натуральными числами a, b и c, то его объем равен произведению трех его измерений, то есть V = abc.
Возникает вопрос, как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если хотя бы одно из его измерений является числом дробным или иррациональным. Ответ на этот вопрос получим из следующей теоремы.

Теорема 1 (об объеме прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению трех его измерений.

Доказательство этой теоремы является достаточно громоздким и выполняется
аналогично доказательству теоремы о площади прямоугольника. В этой лекции доказательство теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда не приводим. Рассмотрим следствие из этой теоремы.

Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению площади основания на высоту.
Действительно, пусть, например, грань с ребрами a и b является основанием прямоугольного параллелепипеда (рис. 9.1), тогда площадь основания параллелепипеда равна ab, а высота параллелепипеда равна c.
Поэтому V = abc = Sh.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

         Рис. 9.1

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача №330

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равняются 2 см и 8 см, а диагональ большей по площади боковой грани равна 10 см. Найти объем параллелепипеда.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данный прямоугольный параллелепипед, AB = 2 см, AD = 8 см, A1D = 10 см (рис. 9.2). Тогда V = ABADAA1 = 2 ∙ 8 ∙ AA1 = 16AA1.
1) Найдем AA1 изГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Тогда V = 16AA1 = 16 ∙ 6 = 96 (см3).
Ответ. 96 см3.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач            Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 9.2                              Рис. 9.3

Задача №331

Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат
с диагональю 6 см. Найти объем параллелепипеда, если его диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, ABCD — квадрат, BD = 6 см (рис. 9.3), угол между диагональю B1D и плоскостью ABC равен 60°.
Найдем объем параллелепипеда по формуле V = h.
1) Поскольку BD — проекция наклонной B1D на плоскость основания, то угол B1DB — угол между диагональю B1D и плоскостью основания. По условию ∠B1DB = 60°.
2) Найдем площадь основания:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
3) BB1 = h. Тогда из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Принцип Кавальери

В 1635 году итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647) предложил совокупность приемов, которые можно использовать для вычисления площади фигур и объемов тел,  получившее в дальнейшем название принципа Кавальери.

Принцип Кавальери. Если в результате пересечения двух тел F1 и F2 любой из плоскостей, параллельных некоторой плоскости α, в сечении всегда получают фигуры с равными площадями (рис. 9.4), то объемы этих тел равны.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                           Рис. 9.4
Чтобы понять этот принцип, рассмотрим его на простом примере. В качестве геометрических тел возьмем две одинаковые пачки офисной бумаги. Понятно, что объемы этих пачек равен. Вынем бумагу из пачек и положим на стол. Бумагу из первой пачки положим в форме прямоугольного параллелепипеда,
то есть в том же виде, как она лежала в пачке. А верхнюю часть второй пачки немного сдвинем в сторону (рис. 9.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 9.5

Сами листы бумаги при этом можно считать сечениями этих тел всеми плоскостями,  параллельными поверхности стола. Все листы бумаги, хотя часть из них и сдвинута в сторону, имеют одинаковые площади, а высота пачек также не изменилась. Поэтому, по принципу Кавальери, их объемы равны.

Обосновывая свой принцип, Кавальери также руководствовался наглядными соображениями, а строгое доказательство этого факта появилось уже немного позже.
С помощью принципа Кавальери можно найти формулы для вычисления объемов некоторых геометрических тел.

Объем призмы

Теорема 2 (об объеме призмы). Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.
Доказательство. Пусть дана произвольная призма (прямая или наклонная) с площадью основания S и высотой h. Пусть на плоскости α рядом с данной призмой находится еще и прямоугольный параллелепипед с площадью основания S и высотой h (рис. 9.6). Поскольку высоты призмы и параллелепипеда между собой равны, то каждая плоскость β, параллельная плоскости α и пересекающая призму, пересекает и параллелепипед. Все соответствующие сечения имеют одинаковую площадь, поскольку эти сечения равны соответствующим основаниям призмы и параллелепипеда. По принципу Кавальери приходим к выводу: объемы призмы и параллелепипеда между собой равны. Поскольку объем параллелепипеда равен Sh, то объем призмы
также равна Sh.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                   Рис. 9.6

Следствие 1. Объем наклонного параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.
Следствие 2. Объем прямого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.

Следствие 3. Объем прямой призмы равняется произведению площади ее основания на боковое ребро.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Задача №332

Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем призмы.
Решение. Пусть ABCA1B1C1 — данная призма, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — правильный, AB = 4 см, AA1 = 6 см. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) Проведем A1K ⊥ (АВС), тогда A1K — высота призмы, то есть A1K = h. Поскольку АK — проекция бокового ребра АА1 на плоскость основания, то ∠A1AK — угол наклона бокового ребра к плоскости основания (рис. 9.7), при условии ∠A1AK = 30°.
2) Найдем площадь основания:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
3) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°), по свойству катета, лежащего против угла 30°, имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач            Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

            Рис. 9.7                                                   Рис. 9.8

Задача №333

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 8 см и острым углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали ромба. Найдите объем параллелепипеда.
Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 — данный параллелепипед, ABCD — ромб, AB = 8 см, ∠BAD = 60° (рис. 9.8). Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
1) Поскольку ∠A = 60°, тоГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, поэтому  BD = AB = 8 см.
2) В ромбе ABCDB = 120°,
поэтому, по теореме косинусов:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Поскольку BD < AC, то B1D — меньшая диагональ параллелепипеда, а по условию: B1D = AC.
ТогдаГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем: 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
5) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Задача №334

В наклонной призме перпендикулярно к боковым ребрам проведено сечение, пересекающее все боковые ребра (рис. 9.9). Докажите, что объем этой призмы можно найти по формуле: V = Sсеч · l, где Sсеч — площадь сечения, l — длина бокового ребра призмы.
Доказательство. 1) Плоскость сечения делит призму на две части, то есть на верхнюю и нижнюю. Поменяем части местами, совместив основания призмы (рис. 9.9).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
           Рис. 9.9

2) Получим прямую призму, объем которой равен объему данной призмы.
3) В этой прямой призме основой будет сечение данной призмы, а высотой —боковое ребро данной призмы. Тогда объем полученной прямой призмы, а
следовательно, и данной, можно получить по формуле: V = Sсеч · l.

Объем пирамиды

В этой лекции узнаем, как найти объем любой пирамиды.

Сначала докажем вспомогательную теорему — лемму.

Лемма (о равновеликости треугольных пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями). Треугольные пирамиды с одинаковыми площадями оснований и равными между собой высотами имеют одинаковые объемы.

Доказательство. 1) Рассмотрим две треугольные пирамиды, в каждой из которых площадь основания равна S, а высота — h. Разместим эти две пирамиды так, чтобы их основания лежали в некоторой плоскости α (рис. 10.1).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                  Рис. 10.1

2) Поскольку высоты пирамид между собой равны, то каждая плоскость β, такая, что β || α, пересекая первую пирамиду, будет пересекать и вторую. Проведем плоскость β на расстоянии Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач от вершины пирамиды.
3) Пусть сечением первой пирамиды является Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, площадь которого — S1. По свойству параллельных плоскостей, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачгде l1 и l — некоторые соответствующие линейные элементы этих треугольников.
4) Также Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
5) Но B1Qи BQ — соответствующие линейные элементы треугольников A1B1C1 и ABC. Поэтому  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

6) Аналогично, для второй пирамиды, считая, что площадь ее сечения плоскостью β равна S2, будем иметь  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
7) Итак, получили, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач поэтому S1 = S2.
8) По принципу Кавальери, пирамиды, которые мы рассмотрели, являются равновеликими.

Заметим, что эта лемма верна не только для треугольных пирамид, но и для всех, в которых высоты между собой равны, а основания — равновеликие.

Теорема 1 (об объеме пирамиды). Объем пирамиды равняется трети произведения площади ее основания на высоту:
Vпир =
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. 1) Сначала докажем теорему для треугольных пирамид.

2) Параллельно боковом ребру AP пирамиды PABC проведем равные ему отрезки BB1  и CC1 (рис. 10.2). Соединим отрезками точки P и B1, B1 и C1, P и C1. Имеем треугольную призму ABCPB1C1,  объем которой равен SABCh, где SABC = Sосн.
3) Призма ABCPB1C1 состоит из трех пирамид PABC, CPB1C1 и PBCB1. У пирамид PABC и CPB1C1 и основания, и высоты между собой равны, а потому, по лемме, эти пирамиды — равновеликие.
4) Пусть для пирамид CPB1C1 и PBCB1 треугольники C1B1C и BCB1 являются основаниями. Эти треугольники равновеликие, а высоты пирамид CPB1C1 и PBCB1 между собой равны. Итак, пирамиды CPB1C1 и PBCB1 — равновеликие.
5) Таким образом, все три пирамиды PABC, CPB1C1 и PBCB1 — равновеликие, поэтому объем каждой из них равен трети объема призмы, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Для треугольных пирамид теорема доказана.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач       Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 10.2                                              Рис. 10.3

6) Рассмотрим теперь n-угольную пирамиду, высота которой равняется h, а площадь основания — Sосн (рис. 10.3). В основании из одной из вершин проведем все возможные диагонали (их будет n–3), поделив таким образом основание на (n–2) треугольники, а пирамиду — на (n–2) треугольных пирамиды. Высота каждой из этих пирамид равна h, а площади оснований соответственно обозначим через S1, S2, ..., Sn–2. По свойству объемов, объем Vпир  данной n-угольной пирамиды равен сумме объемов полученных треугольных пирамид. Тогда

Vпир  =  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько задач на нахождение объема пирамиды.

Задача №335

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
Решение. Пусть PABC — данная пирамида, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач— правильный, BC = 6 см, O — центр основания пирамиды, тогда PO — высота пирамиды (рис. 10.4). Поскольку
BO — проекция бокового ребра PB на плоскость основания, то ∠PBO = 45°. Найдем
объем данной пирамиды.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 10.4

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
2) Поскольку O — центр треугольника ABC, то OB — радиус описанной вокруг основания окружности, поэтому
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠O = 90°, ∠B = 45°) имеем: ∠P = 90° – 45° = 45°.
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный и PO = OBГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.
4) Итак,
Vпир = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. 18 см3.

Задача №336

Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°. Найти объем пирамиды, если среднее по длине боковое ребро равно 8 см.
Решение. Пусть PABCD — данная пирамида, ABCD — квадрат, боковые грани PAB и PAD перпендикулярны плоскости основания (рис. 10.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 10.5

1) Поскольку боковые грани PAB и PAD перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро PA, по которому пересекаются эти грани, также перпендикулярно к основанию. Поэтому PA — высота пирамиды.
2) AD — проекция наклонной PD на плоскость основания, ADDC, поэтому по
теореме о трех перпендикулярах, PDDC. Тогда (PAD) ⊥ DC, а значит, ∠PDA— угол,
который образует боковая грань PDC с плоскостью основания, поэтому ∠PDA = 30° (по условию).
3) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный (∠A = 90°), то PD > PA.
Также имеем PD = PB (из равенства треугольников PAD и PAB), а в треугольнике PDCPD < PC. Поэтому PD — среднее по длине боковое ребро, PD = 8 см (по условию).
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°, ∠D = 30°): PA = 4 (см),
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
5) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
6) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. 64 см3.

Задача №337

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.
Решение. Пусть PABC — данная пирамида, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — ее основание, AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 8 см. Пусть PO — высота пирамиды. Поскольку все ребра пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом, то точка O — центр описанной вокруг основания окружности (рис. 10.6). Тогда AO = R. Найдем объем пирамиды по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 10.6
 
1) Поскольку OA, OB и OC соответственно проекции ребер PA, PB и PC на плоскость основания, то ∠PAO = ∠PBO = ∠PCO = 60°.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠O = 90°) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
4) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Объем усеченной пирамиды

Теорема 2 (об объеме усеченной пирамиды). Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований — S1 и S2, можно найти по формуле:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. Пусть имеем усеченную пирамиду.
1) Дополним эту усеченную пирамиду до полной (рис. 10.7). Пусть высота усеченной пирамиды равна x, тогда высота полной пирамиды будет h + x.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
        Рис. 10.7

2) По доказанной лемме:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Объем усеченной пирамиды найдем как разность объемов полной пирамиды и той, которой дополняли:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №338

Найдите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, в которой стороны оснований равны 4 см и 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Решение. Пусть на рисунке 10.8 изображена данная усеченная пирамида, A1D1 = 4 см, A2D2 = 8 см, O1O2 — высота пирамиды, где O1 и O2 — центры оснований.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
                      Рис. 10.8
1) Найдем площади оснований: S1 = 42 = 16 (см2), S2 = 82 = 64 (см2).
2) Пусть O1K1 и O2K2 — радиусы вписанных в основания окружностей.
Тогда O1K1A1D1, O1K1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 2 (см),
O2K2A2D2, O2K2Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 4 (см).
3) Проведем K1L || O1O2, K1L = O1O2.
4) K1L ⊥ (A2B2D2), K2L — проекция наклонной K1K2 на плоскость основания, K2LA2D2, поэтому K1K2A2D2(по теореме о трех перпендикулярах). Тогда ∠K1K2L — угол наклона боковой грани к плоскости основания, ∠K1K2L = 60°.
5) K2L = K2O2LO2 = K2O2K1O1 = 4 – 2 = 2 (см).
6) В Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠L = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
7) Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Объемы и площади поверхностей тел вращения

В этой лекции рассмотрим, как можно найти объем цилиндра.

Объем цилиндра

Теорема (об объеме цилиндра). Объем цилиндра равняется произведению площади его основания S на высоту h:
Vцил = Sh.

Доказательство. 1) Пусть имеем цилиндр, площадь основания которого равна S, а высота — h. Разместим цилиндр так, чтобы его основание принадлежало плоскости α. Тем же способом рядом с цилиндром разместим призму, площадь основания и высота которой также равны S и h (рис. 11.1).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                          Рис. 11.1

2) Поскольку высоты цилиндра и призмы между собой равны, то каждая плоскость β, параллельная плоскости α и пересекающая цилиндр, также пересекает и призму.
3) Все соответствующие площади сечений цилиндра и призмы, которые
при этом образуются, между собой равны, поскольку площадь каждого из них равна S.
4) Итак, цилиндр и призма удовлетворяют принципу Кавальери, а поэтому объем цилиндра равен объему призмы. Поскольку объем призмы равен Sh, то и объем цилиндра тоже равняется Sh.

Следствие. Если радиус цилиндра равняется R, а высота — h, то объем цилиндра находим по формуле
Vцил = πR2h.

Рассмотрим несколько задач на нахождение объема цилиндра.

Задача №339

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см и образует угол 30° с плоскостью основания. Найдите объем цилиндра.
Решение. Пусть на рисунке 11.2 изображен данный цилиндр, прямоугольник ABCD — его осевое сечение, AC = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм.
Найдем объем цилиндра по формуле Vцил = πR2h.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 11.2

1) Прямая AD — проекция прямой на плоскость основания цилиндра, поэтому ∠CAD — угол между диагональю АС и плоскостью основания. По условии, ∠CAD = 30°.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠D = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см) — диаметр основания,
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см) — образующая.
3) Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
4) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Задача №340

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра основания под углом 120°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды, равняется 10 см и образует угол 60° с плоскостью нижнего основания. Найдите объем цилиндра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

          Рис. 11.3

Решение. Пусть на рисунке 11.3 изображен данный цилиндр, ∠BOA = 120°, K —середина AB, O1K = 10 см. Найдем объем цилиндра по формуле
Vцил = πR2h. Тогда Vцил = πОА2ОO1.
1) OK — проекция O1K на плоскость основания, поэтому ∠O1KO = 60° (по условию).
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см);

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).

3) Поскольку K — середина AB и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равнобедренный (OA = OB), то OK — его
медиана, биссектриса и высота. Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
4) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠K = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см)

5) Имеем: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см3.

Объем конуса и усеченного конуса

Теперь рассмотрим, как найти объем конуса и усеченного конуса.

Теорема 1 (об объеме конуса). Объем конуса равняется трети произведения площади его основания на высоту   VкГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Доказательство. 1) Пусть имеем конус, площадь основания которого — S, а высота — h. Разместим конус так, чтобы его основание принадлежало некоторой плоскости α. Тем же способом рядом с конусом разместим пирамиду, площадь основания и высота которой также равняются S и h (рис. 12.1).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                                                Рис. 12.1

2) Поскольку высоты конуса и пирамиды равны между собой, то каждая плоскость β,  параллельная плоскости α и пересекающая конус, будет пересекать также и пирамиду.
3) Проведем плоскость β на расстоянии x от вершины конуса. Пусть в сечении конуса получили круг с площадью S1, а в сечении пирамиды — многоугольник с площадью S2. Рассуждая тем же образом, что и в лемме о равновеликости треугольных пирамид с равными между собой высотами и равновеликими основаниями, будем иметь, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач А значит, S1 = S2.

4) Тогда, по принципу Кавальери, конус и пирамида имеют равные объемы. Поскольку объем пирамиды равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то и объем конуса равен Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.
Следствие. Если радиус основания конуса равняется R, а высота — h, то объем конуса Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Рассмотрим несколько задач на нахождение объема конуса.

Задача №341

Найдите объем конуса, если его осевым сечением является правильный треугольник со стороной 6 см.
Решение. Пусть дан конус, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — его осевое сечение, PA = PB = AB = 6 см (рис. 12.2). Найдем объем конуса по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 12.2

1) Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, а РО — его высота, то
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  (см).
3) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  см3.

Задача №342

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 8 см, которую видно из центра основания под прямым углом. Площадь образовавшегося сечения равна 20 см2. Найти объем конуса.
Решение. Пусть на рисунке 12.3 изображен данный конус, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — его сечение, AB = 8 см, ∠AOB = 90°, SPAB = 20 см2.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
          Рис. 12.3

1) Поскольку ∠AOB = 90°, то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
2) Проведем PK — высоту треугольника PAB. Поскольку
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см), то Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см).
3) Поскольку OK — проекция наклонной PK на плоскость основания конуса, PKAB, то OKAB (по теореме о трех перпендикулярах).
4) Поскольку Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный и равнобедренный (OA = OB), OKAB, то OK — его медиана, проведенная к гипотенузе. Поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
5) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠О = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
6) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см3).
Ответ. 32π см3.

Объем усеченного конуса

Теорема 2 (об объеме усеченного конуса). Объем усеченного конуса с высотой h и радиусами оснований R и можно найти по формуле
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. 1) Пусть даны усеченный конус и усеченная пирамида, находящиеся между плоскостями α и β (рис. 12.1). Оба тела удовлетворяют принципу Кавальери. Чтобы это доказать, достаточно провести произвольную плоскость γ, параллельную плоскости α и пересекающую данные усеченный конус и усеченную пирамиду.
2) Итак, объем усеченного конуса V можно найти по формуле Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  где S и S1 — площади оснований конуса, h — его высота.
3) Но S = πR2, S1 = πr2, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Задача №343

В усеченном конусе радиус меньшего основания равен 5 см. Высота конуса равна 4 см, а его образующая образует с плоскостью большего основания угол 45°. Найти объем конуса.
Решение. Пусть на рисунке 12.4 изображен данный усеченный конус, у которого r1 = A1O1 = 5 см, h = OO1 = 4 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
               Рис. 12.4

1) Рассмотрим трапецию AA1B1B — осевое сечение конуса. Проведем A1K || OO1. Тогда A1O1OK — прямоугольник и A1K = OO1 = 4 см, KO = A1O1 = 5 см.
2) АK — проекция наклонной AA1 на плоскость основания, поэтому ∠A1AO — угол
наклона образующей AA1 к плоскости основания, тогда ∠A1AO = 45° (по условию).
3) В треугольнике AA1KK = 90°, ∠A = 45°, поэтому AK = A1K = 4 см.
4) Тогда  r = AO = AK + KO = 4 + 5 = 9 (см).
5) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачπ см3.

Объем шара и его частей

Объем тела вращения:

Чтобы получить формулы для вычисления объемов шара и его частей, вспомним, как мы находили объемы тел вращения в курсе алгебры
и начал анализа.
Пусть имеем криволинейную трапецию, которая ограничена графиком непрерывной на промежутке Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач такой, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач для каждого Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми y = 0, x = ax = b (рис. 13.1).
Тогда объем V тела, образованного в результате вращения этой трапеции вокруг оси абсцисс, можно вычислить по формуле

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                     Рис. 13.1                                                  Рис. 13.2

Задача №344

Используя формулу для вычисления объема тела вращения, найти объем цилиндра, радиус основания и высота которого соответственно равны r и h.
Решение. Пусть V — объем данного цилиндра. Этот цилиндр можно получить в результате вращения вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и прямыми x = a, x = a + h, y = 0 (рис. 13.2).   Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Очевидно, что ответ, который мы получили, совпадает с раньше найденной нами  формулой для вычисления объема цилиндра.

Объем шара

С помощью формулы объема тела вращения найдем формулу для вычисления объема шара.
Теорема (об объеме шара). Объем V шара, радиус которого равен r, можно определить по формуле 
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Доказательство. 1) Рассмотрим шар радиуса r в декартовой системе координат, взяв за начало координат центр шара. Плоскость xy пересекает поверхность
этого шара по окружности, формула которой Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (рис. 13.3).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 13.3

2) Тогда шар радиуса r  можно получить в результате вращения вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и осью абсцисс. Эта функция пересекает ось х  в точках с абсциссами r и -r.
3) Имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рассмотрим несколько задач на применение этой формулы.

Задача №345

Два чугунных шара, радиусы которых — 5 см и 7 см, переплавили в один шар. Найти (с точностью до десятых сантиметра) радиус полученного при этом шара.
Решение. По свойству объемов понятно, что объем новой шара должен быть равен сумме объемов двух данных шаров.
1) Найдем объемы V1 и V2 двух данных шаров:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  и  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
2) Найдем объем V полученного шара:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Учитывая формулу объема шара  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач имеем:  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Из этого равенства получим, что r3 = 468, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  см.
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

Задача №346

На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна 27π см2. Найти объем шара.
Решение. Пусть на рисунке 13.4 изображен шар с центром в точке O и радиусом OM и ее сечение — круг с центром в точке A, OA = 3 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 13.4

1) AM — радиус сечения, тогда Sсеч = π ∙ AM2 — площадь сечения.
По условию Sсеч = 27π см2, поэтому  π ∙ AM2 = π ∙ 27 следовательно
AM2 = 27 см2.
2) Из  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см) — радиус шара.
3) Зная радиус шара, можем найти его объем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. 288π см3.

Объем шарового сегмента

Найдем формулу для вычисления объема шарового сегмента, как и в случае шара, с помощью формулы объема тела вращения.
Шаровой сегмент, высота которого равна h при условии, что радиус шара равен r, можно получить в результате вращения вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  прямой x = rh и осью абсцисс (рис. 13.5). Найдем объем V этого сегмента:Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                   Рис. 13.5

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак, объем шарового сегмента можно найти по формуле

V Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач,  где r — радиус шара,  h — высота сегмента.

Заметим, что полученную формулу можно использовать и в случае, когда высота сегмента h больше радиуса шара r.

Задача №347

Найти объем меньшего из шаровых сегментов, радиус основания которого равен 4 см, а высота — 2 см.
Решение. Рассмотрим шаровой сегмент, у которого AM = 4 см — радиус основания AB = h = 2 см — высота (рис. 13.6). Пусть O — центр шара. Обозначим радиус шара через r. Тогда OM = OB = r.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

           Рис. 13.6

1) AO = OBAB = rh = r – 2.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°):
OM2 = AO2 + AM2.
Имеем уравнение: Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, тогда r = 5.
3) Найдем объем сегмента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см3).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм3.

Объем шарового сектора

Объем шарового сектора, меньшего половины шара, равен сумме объема шарового сегмента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и объема V2 конуса (рис. 13.7).
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
              Рис. 13.7                                             Рис. 13.8

Найдем высоту AO этого конуса и радиус AM его основания:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач 
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда имеем объем сектора:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Чтобы найти объем шарового сектора, который больше половины шара, надо от объема шарового сегмента Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач вычесть объем конуса V2 (рис. 13.8). В этом случае
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда имеем объем сектора:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Итак,
объем шарового сектора можно найти по формуле
 V
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где r — радиус шара, h — высота сегмента.

Задача №348

Круговой сектор, радиус которого равен 6 см, а угол — 120°, вращается вокруг своей оси симметрии. Найти объем шарового сектора, образованного при этом.
Решение. Пусть на рисунке 13.9 изображен круговой сектор, BO — его ось симметрии, OM = 6 см— его радиус.
1) Тогда ∠BOM = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 60°.
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

       Рис. 13.9
 
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠A = 90°): Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Найдем высоту сегмента:
h = OBAO = 6 – 3 = 3 (см).
4) Имеем объем сектора:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. 72π см3.

Объем шарового слоя

Объем шарового слоя можно найти двумя способами. Первым — как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, от объема шарового сегмента с высотой AC, то есть большего чем полушарие, вычесть объем шарового сегмента с высотой AB (рис. 13.10). Второй способ — от объема шара вычесть сумму двух шаровых сегментов, а именно: от объема шара отнять сумму шаровых сегментов с высотами AB и CD (рис. 13.10).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

             Рис. 13.10

Задача №349

Шар радиуса 10 см пересекли двумя параллельными плоскостями на расстояниях 7 см и 5 см по разные стороны от его центра. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.
Решение. Пусть на рисунке 13.10 изображен данный шар и два его сечения параллельными плоскостями. Тогда OA = OD = 10 см — радиус шара, OB = 7 см, OC = 5 см — расстояние от центра шара до сечений. Рассмотрим оба вышеупомянутых способа решения.
1-й способ. 1) Найдем объем V1 шарового сегмента с высотой h1, где h1 = AB = OAOB = 10 – 7 = 3 (см):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
2) Найдем объем V2 шарового сегмента с высотой h2, где h2 = AC = AO + OC = 10 + 5 = 15 (см):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
3) Для объема V шарового слоя имеем:
V = V2 - V1 = 1125π – 81π = 1044π (см3).
2-й способ. 1) Найдем объем шара:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (cм3).
2) Найдем объем V3 шарового сегмента с высотой h3, где h3 = CD = ODOC = 10 – 5 = 5 (см):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (cм3)
и учтем, xто объем V1 шарового сегмента с высотой hнайден выше: V1 = 81π см3.
3) Для объема V шарового слоя имеем:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см3).
Ответ. 1044π см3.

Используя один из вышеупомянутых способов нахождения объема шарового слоя, можно доказать, что:
объем шарового слоя можно найти по формуле
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, где r1 и r2 — радиусы оснований слоя, h — его высота.

Площади поверхностей тел вращения

Вы уже знаете, как находить площади поверхностей многогранников. Теперь рассмотрим, как найти площади поверхностей тел вращения.

Площадь поверхности цилиндра

На рисунке 14.1 изображен цилиндр, высота которого равна h, а радиус основания — r. Если поверхность цилиндра разрезать по образующей AB и по окружностям оснований и развернуть так, чтобы все образующие цилиндра и все точки оснований принадлежали некоторой плоскости, то получим развертку цилиндра (рис. 14.2). Понятно, что развертка цилиндра состоит из прямоугольника и двух равных между собой кругов — оснований цилиндра. Площадь этой развертки равна площади полной поверхности цилиндра.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
             Рис. 14.1                                                                Рис. 14.2

Прямоугольник ABB1A1 со сторонами длиной AB = h и AA1 = 2πr (длина окружности основания) является разверткой боковой поверхности цилиндра. Понятно, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади этого прямоугольника.
Запишем упомянутые площади поверхностей цилиндра в виде формул. В частности,
Sбок = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   Итак,
площадь боковой поверхности цилиндра Sбок  вычисляют по формуле

Sбок = 2πrh, где h — высота, r — радиус основания цилиндра.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра Sполн, достаточно к площади его боковой поверхности Sбок добавить площади Sосн двух его оснований. Поскольку основанием является круг, площадь которого равна πr2, то получим, что

Sполн Sбок  + 2Sосн  =Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,
площадь полной поверхности цилиндра Sполн вычисляют по формуле

Sполн = 2πr (r + h), где h — высота, r — радиус основания цилиндра.

Задача №350

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует угол 60° с плоскостью основания. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение. Пусть на рисунке 14.3 изображен данный цилиндр и его осевое сечение — прямоугольник ABB1A1, AB1 = 8 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
1) Поскольку AB — проекция наклонной ABна плоскость основания, то ∠BAB1 = 60° — угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания.
2) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (∠B = 90°):
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач(см),
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Итак, h = BB1 = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм, rГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач = 2 (см).
4) Тогда Sбок = 2πrh = 2π ∙ 2 ∙ Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачсм2.

Площадь поверхности конуса

На рисунке 14.4 изображен конус с образующей длиной l и радиусом основания — r. Если поверхность цилиндра разрезать по одной из образующих, например AD, и по окружности основания и развернуть так, чтобы все образующие и все точки основания принадлежали некоторой плоскости, то получим развертку конуса (рис. 14.5).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

     Рис. 14.4                                     Рис. 14.5 

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, длина дуги которого — 2πr (длина окружности основания), а радиус равняется l. Очевидно, что развертка полной поверхности конуса состоит из развертки боковой поверхности и круга — основания конуса.
Понятно, что площадь боковой поверхности конуса равна площади развертки его боковой поверхности, то есть площади кругового сектора с длиной дуги 2πr и радиусом длиной l. Площадь боковой поверхности конуса Sбок во столько же раз меньше площади круга радиуса l, во сколько раз длина 2πr дуги меньше длины 2πокружности радиуса l, то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач  Из этого равенства получим, что Sбок = πrl.
Итак,
площадь боковой поверхности конуса Sбок вычисляют по формуле
Sбок = πrl, где r — радиус основания, l — образующая конуса.

Очевидно, что площадь полной поверхности конуса равна площади развертки полной поверхности. Чтобы найти площадь полной поверхности конуса Sполн, достаточно к площади его боковой поверхности Sбок добавить площадь его основания Sосн. Поскольку основанием конуса является круг, площадь которого равна πr2, то получим, что
Sполн = Sбок + Sосн = πrl + πr2 = πr (r + l).
Итак, 

площадь полной поверхности конуса Sполн вычисляют по формуле
Sполн = πr (r + l), где r — радиус основания, l — образующая конуса.

Задача №351

Хорду, лежащую в основании конуса, видно из его вершины под углом 60°, а из центра основания — под прямым углом. Найти площадь полной поверхности конуса, если его образующая равна 6 см.
Решение. Пусть на рисунке 14.6 изображен данный конус, AB — хорда основания ∠APB = 60°, ∠AOB = 90°, PA = 6 см.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Рис. 14.6

1) Из Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (AP = PB) ∠P = 60°, поэтому ∠PAB = ∠PBA = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= 60°, следовательно, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — равносторонний, тогда AB = 6 см.
2) ∠AOB = 90°, ОА = ОВ, поэтому Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — прямоугольный и равнобедренный. Тогда
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см).
3) Итак,Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см, Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см.

4) Имеем:
Sполн = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (см2).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач см2.

Площадь поверхности усеченного конуса

Рассмотрим, как найти боковую и полную поверхности усеченного конуса.
На рисунке 14.7 изображен усеченный конус с образующей AA1 ​​= l и радиусами оснований AO = R  и A1O= r, R > r. Пусть точка P — вершина конуса, из которого
получен этот усеченный конус.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
         Рис. 14.7

Очевидно, что площадь боковой поверхности усеченного конуса Sбок можно найти как разность боковых поверхностей двух конусов. А именно как разность площади боковой поверхности конуса с образующей PA и площади боковой поверхности конуса с образующей PA1. Тогда:
Sбок = πR · PA — πr · PA1 = πR (AA1 + PA1) – πr · PA1 =
= πR · AA1 + πR · PA1 — πr · PA1 = πRl + π (Rr) PA1.
ПосколькуГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач, то   Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач то есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач Из последнего равенства получаем, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
Тогда Sбок = Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач= πl (R + r).
Итак,
площадь боковой поверхности усеченного конуса Sбок  вычисляют по формуле
Sбок = πl (R + r),  где l  — образующая, R и r  — радиусы оснований усеченного конуса.

Понятно, что для нахождения площади полной поверхности усеченного конуса Sполн надо к площади его боковой поверхности прибавить площади двух его оснований. Поскольку основаниями являются круги радиусов R и r, то
Sполн = Sбок + πR2 + πr2 = πl (R + r) + π (R2 + r2).

Задача №352

Найти боковую поверхность усеченного конуса, радиусы оснований которого равны R и r, если в его осевое сечение можно вписать окружность.
Решение. Пусть на рисунке 14.8 изображен данный усеченный конус, трапеция AA1B1B — его осевое сечение, AO = R, A1O1 = r. Тогда AB = 2R, A1B1 = 2r.

 Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
               Рис. 14.8

1) Поскольку в трапецию AA1B1B можно вписать окружность, то
AB + A1B1 = AA1 + AB1.
2) Пусть AA1 = l, но AA1 = AB1,  поэтому AB + A1B1 = 2l, то есть 2R + 2r = 2l. Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
3) Итак, Sбок = πl (R + r) = π (R + r) (R + r) = π (R + r)2.
Ответ. π (R + r)2.

Поверхность усеченного конуса, как и поверхности конуса и цилиндра, можно развернуть на плоскости. Развертка полной поверхности усеченного конуса изображена на рисунке 14.9.

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

                             Рис. 14.9

Площадь сферы

В отличие от поверхностей цилиндра и конуса, развертку сферы никоим образом получить нельзя. Поэтому для нахождения площади сферы применим понятие предела, который известен вам из курса алгебры и начал анализа.
Пусть имеем сферу радиуса r. Рассмотрим ее сечение плоскостью, проходящей через центр сферы, то есть большой круг сферы (рис. 14.10).

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач
       Рис. 14.10

Сферический слой толщиной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — это тело, находящееся между двумя сферами радиусов r и r + x  с одним и тем же центром O.
Воспользуемся тем фактом, что, по определению, площадью поверхности S шара принято называть предел отношения объема сферического слоя толщиной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачк этой толщине при условии, что Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач. То есть Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач где
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач — объем сферического слоя толщиной Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач.

Найдем Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач как разность объемов двух шаров радиусами Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач и Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач :

Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач   Тогда Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задачГеометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач

Итак,
площадь сферы вычисляют по формуле S = 4πr2, где r — радиус сферы.

Задача №353

Сколько надо краски, чтобы покрасить 20 шаров, радиус каждого из которых равен 5 см, если расход краски на 1 м2 площади составляет 180 г? Результат округлить до целых граммов.
Решение. 1) Найдем площадь S поверхности одного шара: S = 4πr2 = 4π ∙ 52 = 100π (см2).
2) Обозначим через S1 площадь поверхностей 20 таких шаров,
тогда S1 = 20S = 20 ∙ 100π = 2000π (см2).
3) Поскольку 1 м2 = 10000 см2, то  Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач2).
4) Найдем m — массу краски для окрашивания этих шаров:
Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач (г).
Ответ. Геометрия - примеры с решением заданий и выполнением задач г.

Лекции по предметам:

  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Аналитическая геометрия
  6. Высшая математика
  7. Дискретная математика
  8. Математический анализ
  9. Теория вероятностей
  10. Математическая статистика
  11. Математическая логика

Учебник онлайн:

  1. Возникновение геометрии
  2. Призма в геометрии
  3. Цилиндр в геометрии
  4. Пирамида в геометрии
  5. Конус в геометрии
  6. Сфера в геометрии
  7. Шар в геометрии
  8. Правильные многогранники в геометрии
  9. Многогранники
  10. Окружность
  11. Эллипс
  12. Гипербола
  13. Парабола
  14. Многогранник
  15. Решение задач на вычисление площадей
  16. Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  17. Четырехугольник
  18. Площади фигур в геометрии
  19. Площади поверхностей геометрических тел
  20. Вычисление площадей плоских фигур
  21. Преобразование фигур в геометрии
  22. Многоугольник
  23. Площадь многоугольника
  24. Правильные многоугольники
  25. Вписанные и описанные многоугольники
  26. Площадь прямоугольника
  27. Объем пространственных фигур
  28. Объёмы поверхностей геометрических тел
  29. Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
  30. Объем фигур вращения
  31. Длина дуги кривой
  32. Геометрические фигуры и их свойства
  33. Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  34. Пространственные фигуры - виды, изображения, свойства
  35. Взаимное расположения прямых на плоскости
  36. Треугольник
  37. Решение треугольников
  38. Треугольники и окружность
  39. Площадь треугольника
  40. Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  41. Окружность и круг
  42. Описанные и вписанные окружности
  43. Плоские и пространственные фигуры
  44. Взаимное расположение точек и прямых
  45. Сравнение и измерение отрезков и углов
  46. Первый признак равенства треугольников
  47. Перпендикуляр и наклонная в геометрии
  48. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  49. Равнобедренный треугольник и его свойства
  50. Серединный перпендикуляр к отрезку
  51. Второй и третий признаки равенства треугольников
  52. Параллельные прямые
  53. Соотношения между сторонами и углами треугольника
  54. Неравенство треугольника - определение и вычисление
  55. Свойства прямоугольного треугольника
  56. Расстояние между параллельными прямыми
  57. Задачи на построение циркулем и линейкой
  58. Задачи на построение по геометрии
  59. Угол - определение, виды, как обозначают с примерами
  60. Перпендикулярные прямые в геометрии
  61. Признаки равенства треугольников
  62. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  63. Соотношения в прямоугольном треугольнике
  64. Сумма углов треугольника
  65. Внешний угол треугольника
  66. Свойство точек биссектрисы угла
  67. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  68. Четырехугольник и его элементы
  69. Четырехугольники и окружность
  70. Параллелограмм, его свойства и признаки
  71. Площадь параллелограмма
  72. Прямоугольник и его свойства
  73. Ромб и его свойства, определение и примеры
  74. Квадрат и его свойства
  75. Трапеция и ее свойства
  76. Площадь трапеции
  77. Центральные и вписанные углы
  78. Углы и расстояния в пространстве
  79. Подобие треугольников
  80. Решение прямоугольных треугольников
  81. Параллелограмм
  82. Теорема синусов и теорема косинусов
  83. Параллельность прямых и плоскостей
  84. Перпендикулярность прямой и плоскости
  85. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  86. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  87. Ортогональное проецирование
  88. Декартовы координаты на плоскости
  89. Декартовы координаты в пространстве
  90. Геометрические преобразования в геометрии
  91. Планиметрия - формулы, определение и вычисление
  92. Стереометрия - формулы, определение и вычисление