Функция y=cos x и её свойства и график с примерами решения

Содержание:

Некоторые свойства функции 

Например, областью определения функции  является множество всех действительных чисел, множеством значений функции  является отрезок  наименьший положительный период функции  равен 

Определение функции y=cos x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу  соответствует значение  называется функцией 

Свойства функции y=cos x

Свойства функции  приведены в таблице.:

График функции y=cos x

График функции  изображен на рисунке 83. Этот график может быть получен путем преобразования (сдвига) графика функции 

Пример №1

Определите, какие из данных точек принадлежат графику функции 

Решение:

а) Подставим в формулу  значение аргумента  и найдем соответствующее значение функции Полученное значение функции равно ординате точки  значит, точка  принадлежит графику функции 

б)    При  — получим  Точка  принадлежит графику функции 

в)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

г)    При  получим  Точка  принадлежит графику функции 

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции 

Решение:

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т. е. 

Множеством значений функции  является отрезок  значит,  Тогда по свойству неравенств  Таким образом, 

Пример №3

Найдите наименьшее значение функции 

Решение:

Так как  значит,  тогда  Наименьшее значение функции  равно -6.

Пример №4

Используя свойство периодичности функции  найдите значение выражения:

Решение:

Так как число  является наименьшим положительным периодом функции  Тогда:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Используя свойство четности функции  найдите значение выражения:

Решение:

Так как функция  четная, то 

Тогда:

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Решение:

а)  — область определения симметрична относительно нуля;

 значит, функция является четной.

  -  область определения симметрична относительно нуля;

 значит, функция является нечетной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Решение:

а) Пусть  Нулями функции  являются числа  Тогда  значит,  Таким образом, числа  являются нулями функции 

б)    Пусть  Нулями функции  являются числа  Тогда  значит, 

Таким образом, числа  являются нулями функции  

Пример №8

Определите знак произведения 

Решение:

Так как   т. е. углы

4,5 радиана и 2 радиана принадлежат промежутку  на котором функция  принимает отрицательные значения, значит, 

Угол 7 радиан принадлежит промежутку, на котором функция  принимает положительные значения, т. е.  Значит, 

Пример №9

Что больше: 

Решение:

Так как функция  убывает на промежутке  то из того, что  следует, что 

Пример №10

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси абсцисс на  влево (рис. 86).

б)    График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вниз (рис. 87).