Функция одной переменной - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Понятие функции:

При изучении тех или иных процессов действительного мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, меняющимися в течение изучения этих процессов. Причем всегда имеется несколько переменных величин, одни из которых могут изменяться произвольно, а другие уже в зависимости от изменения первых. Тогда говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимость. Говоря точнее, числовая последовательность

Определение 10.1.1. Пусть заданы два множества X и У. Если каждому элементу поставлен в соответствие по известному закону один и только один элемент , обозначаемый и если элемент при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу , то говорят, что на множестве X задана однозначная функция . Множество X называется её областью определения, а Y- множество значений. Элемент х называется аргументом или независимой переменной, а у- значением функции, или зависимой переменной.

Из определения следует, что для задания функции /, надо задать:

• её область определения - множество X;
• её область значений - множество У;
• закон соответствия, по которому определяется элемент , соответствующий элементу , т.е. элементy.

Подчеркнем, что понятие функции равносильно понятию соответствия: например, не функция sinx, а функция sin. Заметим, что элементы х и у множеств X и Y могут иметь различную природу; т.е. являться вещественными либо комплексными числами. Если функции рассматриваются на множестве X, то запись означает, что, для любых . Числовая функция (функция, принимающая числовые значения) называется ограниченной снизу (сверху), если множество её значений ограничено снизу (сверху). Функция, ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, называется ограниченной.

Верхняя (нижняя) грань множества значений Y числовой функции определенной на множестве X, называется верхней (нижней) гранью функции/ и обозначается: . Иногда приходится иметь дело с функциями , определенными на некотором множестве X, значениями которых являются некоторые подмножества Y, т.е. каждому элементу ставится в соответствие некоторое множество , и, тем самым множеством значений функции является совокупность некоторых подмножеств множества Y Если каждая состоит только из одного элемента , то получится однозначная функция, в противном случае, получаем многозначную функцию.

В дальнейшем будем изучать однозначные функции. Рассмотрим способы задания таких функций. Они могут быть заданы следующими способами:

1. Функции могут задаваться при помощи одной или нескольких формул. Например.

Такой способ задания называется аналитическим способом. Существуют специальные способы аналитического задания функции:

• - неявные функции, т.е. функции вида , в которых у не разрешено относительно х
• - сложные функции. Например, функция является суперпозицией двух функций • Область определения функции F является множеством значений функции Каждому значению х из области определения функции естественным образом соответствует z, такое, что , где . Можно рассматривать суперпозицию и большего числа функций. Например, .

2. Функция может быть указана описанием соответствия, по которому независимой переменной х соответствует зависимая переменная у. Например: каждому рациональному числу поставим в соответствие число 1, а каждому иррациональному - число нуль. Получим функцию Дирихле:

3. Функция может быть задана графически.

Определение 10.1.2. Графиком функции называется геометрическое место точек на плоскости с координатами

4. Функцию можно задать с помощью таблицы, в которой для некоторых значений х указываются соответствующие значения у. Для нахождения значений функции тех значений аргумента которых нет в таблице применяется интерполирование.

Введем еще одно важное определение.

Определение 10.1.3. Простейшими элементарными функциями называются следующие функции:

Определение 10.1.4. Всякая функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.

Элементарные функции делятся на классы:

Многочлены (полиномы):

Рациональные функции:

где Р(х), Q(x) - многочлены.

Алгебраические функции: например,

Трансцендентные функции: например,

Пределы функций

Пусть функция определена на некотором множестве X, и пусть - точка бесконечной прямой быть может и не принадлежащая этому множеству X, но обладающая тем свойством, что в любой - окрестности этой точки имеются точки множества X, отличные от . Это означает, что - предельная точка множества X. При любом интервал из которого исключена точка х0, называют проколотой окрестностью точки .

Определение 10.2.1. (по Коши) Пусть функция f определена на интервале (а,Ь), кроме быть может точки . Число А называется пределом функции f в точке, если для любого существует такое число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Если такое число А существует, то пишут .

Для односторонних пределов функции в точке можно также сформулировать следующее определение.

Определение 10.2.2. Пусть функция f определена на полуинтервале (соответственно на [а,b) ). Число В называется пределом функции слева (справа) в точке (соответственно в точке , если для любого существует такое,. что для всех х, удовлетворяющих условию

(соответственно )

Если такое число В существует, то пишут (соответствснно (соответственно). Определения пределов функции и односторонних пределов функции эквивалентны. Связь же между односторонними пределами и двусторонним пределом устанавливается следующей теоремой. •

Теорема 10.2.1. Функция f имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы, как справа. так и слева и они равны. Тогда их общее значение и является пределом функции f в точке .

Доказательство. Необходимость. Пусть ; покажем, что односторонние пределы равны. Так как функция f имеет предел в некоторой точке то для любого существует такое , что из неравенства , т.е. из неравенства следует неравенство но тем более будет для всех x, удовлетворяющих условиям , так как объединение этих полуинтервалов является интервал , что и означает существование односторонних пределов, равных пределу А:

Достаточность. Обратно, пусть существуют в этой точке односторонние пределы, и они равны:и. Покажем, что функция f имеет предел в этой точке равный этим односторонним пределам. Действительно, так как существуют односторонние пределы, то для заданного существуют такие числа , что если и соответственно то . Положив , тем более получим, что при . А это и означает, что функция f имеет предел в точке равный A:

Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке

Справедлива следующая фундаментальная теорема, позволяющая вычислять пределы различных функций.

Теорема 10.3.1. Пусть две функции f и g заданы на одном и том же множестве X и имеют в точке пределы, соответственно равные А и В. Тогда функции f ±g, ,— имеют в точке пределы, соответственно равные А±В, — (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы ).

Доказательство. Пусть функции f и g заданы на множестве X и имеют в точке пределы соответственно равные А и В. Согласно определению 10.2.1 для любого существуют такие числа , что для всехи удовлетворяющих условиям выполняются соответственно неравенства .

Рассмотрим функцию /±g, которая определена на множестве X и докажем, что она имеет предел в точке . Для заданного выберем такое число , что для всех , удовлетворяющих условию. , оценим разность

Таким образом, получим, что для заданногосуществует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство а это означает, что функция f ±g имеет предел в точке Хо равный А±В. .

Аналогично доказываются и другие утверждения.

Функция в любой точке бесконечной прямой имеет предел, равный . Тогда, используя теорему 10.3.1, можно утверждать, что

для любой точки.

Сформулируем несколько свойств пределов функций, предполагая при этом, что они определены на некотором интервале (а,b) кроме, быть может точки .

Свойство 10.3.1. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки , за исключением быть может точки

, и при всех х из этой окрестности выполняется неравенство . Тогда.

Свойство 10.3.2.. Если .

Свойство 10.3.3. Если существует, то для любого числа С, С = const,.

Рассмотрим пример применения теоремы 10.3.1.

Пример:

Вычислить предел функции .

Решение:

Воспользуемся теоремой 10.3.1. Получим:

Два замечательных предела функций

Вычислим пределы конкретных функций.

Лемма 10.4.1. Предел функции при , соотвествует и равен I, т.е. .

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть OA неподвижный радиус; ОВ - подвижный, образующий угол x. с радиусом OA. Выполним построения, указанные на рис. 10.1.

Тогда площадь площадь сектора ; площадь . Треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который является частью , поэтому . Разделив все члены неравенства на получим: sin х х tg х, или , или .

Так как , то в силу свойства 2.2.1 из последнего не- равенства получим предел функции ,равный 1,т.е.

Лемма доказана.

Лемма 10.4.2. Предел функции существует и равен е, т.е.

Следствие 10.4.1. или при

Действительно,

Следствие 10.4.2.

Доказательство.

Следствие 10.4.5.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой в точке , если предел этой функции в точке, равен нулю: . Например, функция , является бесконечно малой в точке . Заметим, что если функция f имеет предел в точке равный В, то функция является бесконечно малой. Тогда, всякую функцию f, имеющую предел В в точке можно представить в виде, где - бесконечно малая функция в точке

Функция у = А(х) называется бесконечно большой в точке справа (слева), если

Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке функций, предполагая, что они определены на одном множестве.

1. Функция является бесконечно малой в точке х0 больше высокого порядка малости, чем , если
2. Функции являются в точке бесконечно малыми одного порядка, если
3. Функции являются в точке эквивалентными бесконечно малыми, если Функции являются в точке х=4 эквивалентными бесконечно малыми, поскольку Функции являются в точке х=0 бесконечно малыми одного порядка, так как Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке справа (или слева) функции . Предположим, что функции определены на одном множестве X и .
4. Функция имеет в точке справа более высокий порядок роста, чем , если
5. Функции у = А(х) и у = В(х) имеют в точке справа одинаковый порядок роста, если

Например, функции являются бесконечно большими одинакового роста в в точке х=0 как справа, так и слева, поскольку

Точки непрерывности и точки разрыва

Предположим, что точка принадлежит области определения функции f и любая окрестность точки содержит отличные от точки области определения функции f

Определение 10.6.1. Функция f определенная на интервале (а, b), называется непрерывной в точке , если предел функции в точке Хоравен значению функции в точке ' .

Используя определение предела функции в точке (см. п. 3.2.), это утверждение равносильно определению:

Определение J0.6.2. (по Коши) Функция f называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа

найдется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Учитывая, что , то равенству можно придать следующую форму: для непрерывной в точке функции символ предельного перехода и символ «f» характеристики функции можно менять местами.

Пусть - любая точка интервала (а, b), на котором определена функция f. а - произвольное число, такое, что значение аргумента принадлежит интервалу (а, b). Это число называется приращением аргумента. Разность называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента , и обозначается . Таким образом, .

Справедливо утверждение:

для того, чтобы функция была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргументасоответствовало бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Примеры непрерывных функций:

• 1. - степенная;
• 2. - показательная;
• 3. - логарифмическая;
• 4. - тригонометрические;
• 5. обратные тригонометрические функции.

Пользуясь определениями предела слева и справа, можно сформулировать определение непрерывности слева и справа в точке.

Определение 10.6.3. Пусть функция f определена на полуинтервале (а, b] (соответственно на полуинтервале на [а, b)) и . Тогда функция f называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если (соответственно . Например, функция непрерывна справа и разрывна слева в точках х=n ( см. рис. 10.2).

Определение 10.6.4. Пусть функция f, определена на интервале (а, b), кроме, быть может, точки . Если функция f не непрерывна в точке , то точка называется точкой разрыва функции.

Определение 10.6.5. Если - точка разрыва функции f и существуют конечные пределы такие, что , то называется точкой устранимого разрыва. Если же , то называется точкой разрыва первого рода, а величина называется скачком функции f в точке . Точка разрыва функции f не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Из определения следует, что в устранимой точке разрыва функцию f можно доопределить или видоизменить, положив , что она будет непрерывна в точке ,. В точках же разрыва второго рода по крайней мере один из пределов не существует или равен бесконечности.

Например, функция, имеет в точке разрыв первого рода (рис. 10.3). Функция имеет в точке разрыв второго рода (рис. 10.4), так как

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Исследовать непрерывность функции: и определить характер точек разрыва, если они есть

Решение:

Область определения функции - вся числовая ось. На интервалах (-оо; 2) и (2; 3)и(3; +°о) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны в точках х=2 и х=3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции в точке х=2:

Значение функции в точке х=2 определяется первым аналитическим выражением. Поэтому Так как то в точке х=2 функция непрерывна.

Рассмотрим точку x=3:

Предел справа не равен пределу слева, хотя они и конечны. Следовательно, в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода (рис. 10.5). Скачок функции в точке разрыва равен

Свойства функций, непрерывных в точке

Арифметические операции над непрерывными функциями приводят снова к непрерывным функциям, т.е. справедлива следующая теорема:

Теорема 10.7.1. Если функции f и g непрерывны в точке , то функции также непрерывны в точке .

Доказательство. Пусть заданы две функции f и g непрерывные в точке . Докажем, что является функцией непрерывной. Поскольку предел произведения равен произведению пределов, если пределы сомножителей существуют (а они существуют, так как функции f и g непрерывны) и в силу непрерывности/и g, получим:

Это значит, в силу определения непрерывности функции, что функция непрерывна в точке . Аналогично доказываются и остальные утверждения.

Функция, полученная в результате последовательного применения двух функций в определенном порядке, называется сложной функцией . Говорят, что сложная функция получена в результате суперпозиции двух функций. Ясно, что можно определять сложную функцию как результат и большего числа суперпозиций.

Пусть функция определена на множестве X, и пусть Y- множество ее значений. Допустим, что на множестве У задана функция . Тогда на множестве X будет задана сложная функция, где . Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.7.2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке , т.е

Доказательство. Так как функции непрерывны, то сложная функция определена в некоторой окрестности точки . Зададим произвольное . Тогда, т.к. функция f непрерывна в точке , то существует , что для всех у, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство Для полученного , в силу непрерывности функции в точке существует такое , что если , то . Таким образом, если ,

То , а значит, и которое можно записать в виде что и означает непрерывность сложной функции.

Непрерывность обратной функции

Пусть функция определена на отрезке [а, b] и пусть отрет зок является множеством значений, причём каждому значению соответствует одно значение , для которого . Функция, определенная на , ставящая каждому то значение, для которого называется обратной для функции и обозначается. Ясно, что если обратная для то и - обратная для . Кроме того,. Пример 10.8.1. Функция у=2х определена на [a, b]. Множество значений Тогда функция определенная на обратная для функции у=2х.

Теорема 10.8.1. Пусть функция у =f(x) возрастает (убывает) и непрерывна на [а, b], и Тогда на отрезке (соответственно ) определена обратная для y=f(x) функция, которая возрастает (убывает) и непрерывна на указанном отрезке.

Доказательство. Пусть задана возрастающая и непрерывная на [a, b] функция y=f(x). Из определения функции следует, что каждому [a, b], соответствует, а так y=f(x) возрастает, то каждому соответствует только одно .

Пусть , где . Тогда . Если бы , то из неравенства и из возрастания функции следует, что , что противоречит . Итак, мы доказали существование обратной возрастающей функции. Докажем, что она непрерывна. Для этого предположим, что она разрывна в точке . Это значит, что предел справа либо предел слева не равен значению функции в точке, т.е. поскольку функция возрастает. Значит интервал или содержит значений . А это противоречит тому, что любое число се [a,b] является значением функции . Полученное противоречие и доказывает теорему

Общие свойства непрерывных функций на отрезке: теоремы Вейерштрасса

Рассмотрим функцию , заданную на отрезке [а,b].

Определение 10.9.1. Функция называется непрерывной на отрезке [а,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Теорема 10.9.1. (Первая теорема Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что существует непрерывная функция на отрезке [а,b], но не ограничена на нём. Это значит, что для любого существует такая точка , что . Задаем последовательно , получим последовательность , для которых . Последовательность ограничена (она заключена на отрезке). Следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , для которой поскольку

Но так как с одной стороны, получили, что и , то имеем . С другой стороны, поскольку функция f непрерывна в точке (она непрерывна на отрезке), то ее предел конечен Таким образом, предположив, что функция f не ограничена, получили противоречие с тем, что она имеет предел в точке неограниченности. Значит, такое предположение неверно. Следовательно, непрерывная функция ограничена на отрезке.

Рассмотрим функцию , ограниченную на данном множестве X (рис. 10.7).

Число М (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f на множестве X, если:

1. для каждого значения выполняется неравенство;
2. для любого числа существует такое значение , что для соответствующего значения функции f(x) справедливо неравенство .

Точная верхняя (точная нижняя) грань М (m) функции , на множестве обозначается символом

Пример:

Рассмотрим на отрезке [0; 1] функцию f(x):

Эта функция ограничена на отрезке [0; 1] и имеет на нем точную верхнюю грань М=1 и точную нижнюю грань m=0. Однако эти грани недостижимы: среди точек отрезка [0; 1] не существует точек, значения функции в которых были бы равны нулю или единице.

Отметим, что эта функция не является непрерывной на отрезке [0; 1]. так как она имеет разрывы первого рода в точках х=0 и x=1.

Теорема 10.9.2. (Вторая теорема Вейергитрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значения.

Доказательство. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [а,b] и ; в силу теоремы 10.9.1. М- конечное число. Допустим, что функция f не достигает своей верхней грани М, т.е. для всех х из отрезка [а, b].

Тогда функция

непрерывна на как частное от деления двух непрерывных функций с делителем, не равным нулю. Но разность может быть сделана сколь угодно малой в силу определения верхней грани, т.е.

что

, и значит,

т.е. функция неограничена, что противоречит теореме 10.9.1, т.к. непрерывна. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о недостижимости точной верхней грани является неверным. Значит, непрерывная на отрезке функция достигает точной верхней грани на этом отрезке (см. рис. 10.8). Аналогичные рассуждения проводятся и для нижней грани. Теорема доказана.

Промежуточные значения непрерывной функции на отрезке

Свойства функции, которые непрерывны в сколь угодно малой окрестности фиксированной точки области определения функции, относятся к локальным свойствам функции. Эти свойства характеризуют поведение функции при стремлении аргумента к исследуемой точке. Так, непрерывность функции в некоторой точке обрасти определения, является локальным свойством. Свойства же, связанные со всей областью определения функции относятся к глобальным свойствам. Например, монотонность функции на отрезке, непрерывность функции на отрезке являются глобальными свойствами функции. Теоремы Вейерштрасса относятся также к глобальным свойствам функции. Рассмотрим еще ряд глобальных свойств непрерывных функций.

Теорема 10.10.1. Если функция f непрерывна на отрезке [а,b] и , то для любого значения С, заключенного между А и В, существует такая точка что

Доказательство. Пусть . Разделим отрезок [а,b] точкой на два равных отрезка. Тогда либо , и значит, искомая точка найдена: , либо и тогда на концах одного из полученных отрезков функция f принимает значения лежащие по разные стороны от числа С, точнее - на левом конце значение, меньшее С, на правом - большее.

Обозначим этот отрезок и разобьём его снова на два равных отрезка и выберем тот, на концах которого функция f принимает значения большее и меньшее С и т.д.

В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке в которой , либо получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю и таких, что

Тогда существует точка - общая точка системы отрезков

Поэтому, в силу непрерывности функции

Но из (10.10.1) получим, что

откуда вытекает, что .

Следствие 10.10.1. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует точка, в которой функция обращается в нуль.,

Доказательство.

Не ограничивая общности рассуждений мож но считать, что . Так как число нуль заключен между значениями , то согласно теореме 10.10.1 на отрезке [а; b] найдется такая точка с, что f(c)=0.

Заметим, что точка с - внутренняя точка отрезка [а; b], так как из непрерывности функции f(x) на отрезке [а; b] и из условия вытекает, что найдется правая -полуокрестность точки а, в пределах которой , и левая -полуокрестность точки Ь, в пределах которой