Формулы приведения с примерами решения

При изучении геометрии вы установили, что

если

Свойство периодичности тригонометрических функций позволяет свести вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла к вычислению значений этих функций при значениях аргумента, принадлежащих промежутку  Например,

На практике принято сводить значения тригонометрических функций произвольного угла к вычислению значений этих функций для угла, принадлежащего промежутку .

Это можно делать с помощью формул приведения.

Рассмотрим промежуток  Любое число  из этого промежутка можно пред ставить в виде  

Например, 
Поскольку ординаты точек  равны, а абсциссы отличаются только знаком, то:  (рис. 113).
Тогда для  получим, что 
А для  имеем:

Вместе с тем любое число  из промежутка  можно также представить в виде  где  Например, 
Так как ордината точки  равна абсциссе точки  а абсцисса точки отличается от ординаты точки  только знаком (рис. 114), то:  а 

Для  получим:

Так как любое число  из промежутка  можно представить в виде  или  то, рассуждая аналогично, получим формулы приведения:

Поскольку любое число  из промежутка можно представить в виде  то получим:

Проанализировав полученные формулы, можно заметить закономерности, позволяющие сформулировать правило, с помощью которого можно применять формулы приведения, не заучивая их:

В правой части формулы приведения ставится тот знак, который имеет в соответствующей четверти исходная функция, если считать, что угол  — острый.

Если в формуле приведения аргумент имеет вид:

•     то название функции не меняется;
•     то название функции меняется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Например, применим полученное правило для выражения 

1. Если считать, что угол  — острый, то —  — угол третьей четверти. В третьей четверти косинус (исходная функция) отрицательный, значит, в правой части равенства нужно поставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» нужно поменять на «синус». Таким образом, получим: 

Пример:

Приведите выражение к тригонометрической функции числа  применив формулы приведения:

 

Решение:

Применим правило:

а) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой косинус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» не меняется. Значит, 

б) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой тангенс отрицательный, то в правой части равенства нужно поставить знак «минус».

2.Поскольку аргумент имеет вид  название функции «тангенс» нужно поменять на «котангенс». Тогда 

в) 1. Так как  — угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства части равенства не нужно ставить знак «минус»

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Пример:

Используйте формулы приведения и найдите значение выражения:

Решение:

 

Первый способ:

1. Так как  угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Второй способ:

  (в третьей четверти тангенс положительный, название функции не меняется).

 (в третьей четверти косинус отрицательный, название функции не меняется). (в четвертой четверти котангенс отрицательный, название функции не меняется).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Вычислите, используя формулы приведения:

Решение:

  (в четвертой четверти косинус положительный, название функции не меняется);

 (во второй четверти синус положительный, название функции не меняется);

 (в третьей четверти котангенс положительный, название функции меняется);

 (в четвертой четверти тангенс отрицательный, название функции не меняется).

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Так как синус — нечетная функция, то

Применим формулы приведения:

б) Воспользуемся свойством четности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

в)    Воспользуемся свойством периодичности тангенса и получим:

Применим формулы приведения: 

г)    Поскольку котангенс — нечетная функция, то 

Используем свойство периодичности котангенса и получим:

Пример:

По формулам приведения:

Приведите к тригонометрической функции угла 

Решение:

а) Используем свойство периодичности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

б) Воспользуемся свойством периодичности котангенса: 

Применим формулы приведения: 

в)    Так как тангенс — нечетная функция, то  По формулам приведения: 

г)    Поскольку синус — нечетная функция, то 

Воспользуемся свойством периодичности синуса и получим: 

По формулам приведения: 

Пример:

Приведите к тригонометрической функции угла  

Решение:

 

Пример:

Вычислите:

Решение:

 

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

а) Применим формулы приведения: 

б)Воспользуемся периодичностью косинуса и формулами приведения и получим:

в)Применим формулы приведения:

г) Используем периодичность тангенса, нечетность котангенса и формулы приведения:

Пример:

Решите уравнение: 

Решение:

Применим формулы приведения и получим: 

Ответ: