Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Формула полной вероятности:

Пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

События этой группы обычно называются гипотезами.

Теорема: Вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А, т. е.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

(формула полной вероятности), причем здесь

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Так как

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

причем, ввиду несовместности событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения также несовместны, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

что и требовалось доказать.

Пример:

В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых есть: I — 50%, II — 30%, III — 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I — 2%, II — 3%, III — 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (событие А)?

Решение:

Здесь возможны следующие три гипотезы: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения — приобретенная вещь выработана соответственно на I, II и III фабриках; очевидно, система этих гипотез полная, причем их вероятности

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Соответствующие условные вероятности события А равны

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

По формуле полной вероятности имеем

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула Бейеса:

Пример:

Имеется полная группа несовместных гипотез

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

вероятности которых Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Спрашивается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события А. Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, мы должны переоценить вероятности наших гипотез.

Иными словами, нам нужно определить условные вероятности

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

На основании теоремы умножения вероятностей имеем

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

отсюда

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения вероятности Р(А) можно использовать формулу полной вероятности

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (<формулу Бейеса)

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) — 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?

Решение:

До опыта возможны четыре гипотезы: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения; эти гипотезы образуют полную группу событий.

Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

причем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения отпадают, а вероятности гипотез Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения вычисляются по формуле Бейеса:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, с вероятностью приблизительно 0,7 можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит 1-му расчету,

Формула полной вероятности

Пусть событие А еще не произошло, но вскоре должно произойти. Событие А может протекать в различных условиях, относительно характера которых сделано Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения гипотез Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, образующих полную группу несовместных событий. Вероятности гипотез известны. Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - формула полной вероятности.

Доказательство.

По условию теоремы гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения образуют полную группу несовместных событий, следовательно, событие А может произойти с одной и только с одной гипотезой:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Т.к. гипотезы несовместны, то и комбинации Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - несовместны. Применим теорему 1:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения(события А и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - зависимы, т.е. надо применить теорему 3) = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.    (что и треб, доказать)

Пример:

Имеется пять урн:

2 урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - по 2 белых шара и 1 черному,

1 урна состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - 10 черных шаров,

2 урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения — по 3 белых и 1 черному шару.

Наудачу выбирается урна, и из нее наудачу выбирается шар. Чему равна вероятность события А = {будет вынут белый шар}?

Решение.

Событие А еще не произошло. Шар может быть вынут из урн разных составов, следовательно, в алгебре событий событие А запишется в виде: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Тогда по формуле полной вероятности:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (*).

Найдем отдельно вероятности событий:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (две урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения из пяти), Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (в каждой урне состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения 2 белых шара из трех),

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения ( в урне состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения белых шаров нет),

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Подставим найденные вероятности в формулу (*): Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Формула полной вероятности и решение задач

Пример:

В двух одинаковых коробках имеется по 100 резисторов. В 1-й - 60 резисторов по 100 КОм, во 2-й 30 - резисторов по 100 КОм. Определить вероятность того, что взятый наугад из какой-либо коробки резистор будет 100 КОм.

Решение:

Пусть событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - достали резистор 100 КОм, гипотезы: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - выбрали 1-ю коробку, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - выбрали 2-ю коробку. Так как коробки выбирали произвольно, то Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Условная вероятность того, что взяли резистор 100 КОм, при условии, что выбрана 1-я коробка - Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения соответственно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Тогда, применяя формулу (1.14) для Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения получаем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №1

В первой коробке находится 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята одна деталь и переложена в первую коробку.
Какова вероятность  того, что деталь, наудачу извлечённая после этого из первой коробки, окажется стандартной?
 

Решение. Обозначим события:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения – из первой коробки извлечена стандартная деталь.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения− из второй коробки в первую переложена стандартная деталь.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения − из второй коробки в первую переложена нестандартная деталь.
Событие А может наступить при условии наступления одного из событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Эти события несовместны и образуют полную группу, т. е. являются гипотезами в формуле полной вероятности. Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная деталь, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная деталь Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная деталь, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная деталь, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная деталь, по формуле полной вероятности равна:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.
Ответ: 0,9.

Пример №2

Два станка производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого станка в два раза больше производительности второго станка. Первый производит 60 % деталей высшего сорта, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась высшего сорта. Какова вероятность того, что эта деталь произведена на первом станке?
 

Решение. Обозначим события:

А – деталь, взятая с конвейера, оказалась высшего сорта.
Это событие наступит с одним из двух событий (гипотез):

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения – эта деталь произведена на первом станке,

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения – эта деталь произведена на втором станке.
Поскольку производительность первого станка в два раза больше производительности второго станка, вероятности гипотез равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Условные вероятности события А даны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
По формуле полной вероятности находим:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

По формуле Байеса найдём условную вероятность того, что взятая наудачу деталь высшего сорта произведена на первом станке:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

В ящике 20 белых и 10 чёрных шаров. Поочерёдно извлекают 4 шара, причём каждый извлечённый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди четырёх извлечённых шаров окажется два белых?
 

Решение. Вероятность извлечения белого шара одна и та же во всех четырёх испытаниях, так как каждый извлечённый шар возвращается в ящик:   Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Тогда вероятность извлечения чёрного шара во всех четырёх испытаниях равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Используя формулу Бернулли, находим вероятность того, что из четырёх извлечённых шаров два шара будут белыми:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз?
 

Решение. По условию задачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Так как n – достаточно большое число, воспользуемся локальной формулой Лапласа:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
В таблице значений функции  Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения находим φ(1,25) =
0,1826.
Следовательно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 0,04565.

Пример №5

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена

а) не менее 75 раз и не более 90 раз?

б) не менее 75 раз?

в) не более 74 раз?
 

Решение.

Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения – функция Лапласа.

а) По условию задачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Тогда, воспользовавшись таблицей значений функции Ф(х), получаем:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

б) Требование того, чтобы событие наступило не менее 75 раз, означает следующее: число появлений события может быть равно либо 75, либо 76, … , либо 100.
Тогда следует принять  Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа Ф(х), получаем: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

в)  Событие "мишень поражена не более 74 раз"  и событие "мишень поражена не менее 75 раз" являются противоположными. Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, искомая вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: а) 0,8882; б) 0,8944; в) 0,1056.

Пример №6

Учебник издан тиражом 100000 экземпляров.
Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Какова вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг?
 

Решение. По условию задачи  n = 100000,  p = 0,0001.


События "из n книг ровно m книг сброшюрованы неправильно",  где m = 0,1,2, … ,100000, являются независимыми. Так как число n велико, а вероятность p мала, вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияможно вычислить по формуле Пуассона:  Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

В рассматриваемой задаче Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 100000 ∙ 0,0001 = 10. Поэтому искомая вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения определяется равенством:
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 0,0375.

Формула Байеса (Бейеса)

Пусть событие А произошло, причем А могло протекать в различных условиях, относительно характера которых было сделано Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения гипотез Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, образующих полную группу несовместных событий. Вероятности гипотез известны. Требуется узнать, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением события А. Т.е. надо найти условную вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

По условию теоремы гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, образуют полную группу несовместных событий, следовательно событие .А произошло с одной и только с одной гипотезой:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, причем события А и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - зависимы, поэтому найдем вероятность произведения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, воспользовавшись теоремой 3:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения — (или, что то же самое) = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, отсюда

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Выразим Р(А) с помощью формулы полной вероятности:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - формула Байеса.

Пример №7

Имеется пять урн:

2 урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - по 2 белых шара и 3 черных шара,

2 урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - по 1 белому и 4 черных шара,

1 урна состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - 4 белых и 1 черный шар.

Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие А). Чему равна после опыта вероятность события, что шар вынут из урны третьего состава.

Решение.

Событие А произошло. Шар мог быть вынут из урн разных составов, следовательно, в алгебре событий событие А запишется в виде: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Найдем вероятности событий:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (две урны состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения из пяти), Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (в каждой урне состава Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения 2 белых шара из пяти),

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

По формуле Байеса найдем условную вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №8

Вероятность дождливого дня в городе равна 0,2. Известно, что вероятность выиграть футбольный матч команде этого города в дождливый день равна 0,4, а в сухой - 0,7. Известно, что команда выиграла матч. Определить, что в этот день шел дождь.

Решение:

Событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения состоит в том, что команда выиграла матч. Гипотезы: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - шел дождь, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - дождя не было.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

 Чтобы ответить на вопрос, пересмотрим вероятность 1-й гипотезы с учетом результата опыта-появилось событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Определим апостериорную вероятность гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения с учетом результата опыта (появилось событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Из полученного результата видим, что с учетом события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения вероятность дождя в городе уменьшилась Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения значит скорее всего дождя не было.

Независимые испытания

Под испытанием станем понимать осуществление определенного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения элементарных событий.

Определение 26. Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В каждом испытании вероятность появления события А одинакова.

Ряд задач связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Рассматривается последовательность п независимых испытаний, под которой будем понимать дискретное новое пространство Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения элементарных исходов, состоящее из точек Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - произвольная точка пространства, отвечающая испытанию с номером s. В каждом испытании может произойти один из Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения исходов: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения или Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения или .... Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения -тый исход в s-том испытании, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения= 1, 2,..., Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения; s = 1,2,..., Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №9

Пусть испытание состоит в подбрасывании игральной кости. Пространство элементарных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения состоит из шести точек: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, т.е. шесть исходов. Если провести три испытания, то пространство Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения состоит из 216 точек.

Обычно исходы обозначали большими заглавными буквами. Переобозначим! Пусть происходит Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимых испытаний: 1, 2,..., s,..., Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. В каждом испытании может произойти к исходов: 1-ый, 2, 3,..., Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,..., Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения-ый.

Обозначим событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения-тый исход в s-том испытании, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения= 1,2,...,Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения; s = 1,2,...,Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Эти к исходов - несовместные случайные события. Тогда для s-ого испытания можем записать:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, причем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения -ого исхода при s-том испытании через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пусть при первом испытании произошло событие под номером Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, при 2-ом - событие под номером Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, ..., при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения-ом - событие под номером Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Результат сразу Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаний - событие, которое обозначим через произведение событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - цепочка результатов отдельных испытаний.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Данное событие - цепочка состоит из всех точек Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения пространства Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, для которых Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Испытания - независимые, следовательно, по теореме 4, имеет место равенство:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

В случае, когда вероятности событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения не зависят от номера испытаний, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

В силу несовместности и единственной возможности исходов, очевидно, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, так как Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Теорема. Если данные Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаний независимы, то любые Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения из них также независимы.

Теорема. Для того, чтобы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаний были независимы, необходимо и достаточно выполнения условия:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

для любой группы чисел Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Формулы Бернулли

Пусть проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Схема независимых испытаний является математической моделью серии испытаний, повторяющихся при неизменных условиях. Такая схема называется полиномиальной.

Простейшим классом повторяющихся независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 2): «успех», «неудача» и с неизменными вероятностями успеха - р и неудачи - q, где q = 1 - р, в каждом испытании. Такая схема называется биномиальной.

Определение 27. Независимые испытания при двух исходах называются испытаниями Бернулли.

Пример №10

Определить вероятность того, что в результате проведения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимых испытаний некоторое событие А - успех (У) наступит ровно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Решение.

Искомую вероятность обозначим Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Событие А в данных испытаниях может появиться ровно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, причем, в разных последовательностях или комбинациях. Следовательно, остальные Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз наступает противоположное событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения — неудача (Н), вероятность которого Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Сначала найдем вероятность того, что события У наступают при определенных Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаниях. Элементарные события в этом случае естественно обозначать цепочками вида: УУУННУНН...УН (где У-Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения штук, Н - Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения штук).

По условию данные события - независимые, следовательно, по теореме 4 для произведения независимых событий можем записать, что

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Число успехов и неудач задано. Можно менять только их расположения в цепочках, которое однозначно определяется выбором из Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения мест Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения мест для успехов. Это можно сделать Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения способами. Следовательно,

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

В данной задаче мы доказали теорему Бернулли.

Теорема Бернулли. Если Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - число успехов в Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимых испытаниях Бернулли, то вероятность того, что в результате проведения этих испытаний некоторое событие А наступит ровно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, находится по формуле: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, которая называется формулой Бернулли.

Следствие. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения -так как события, состоящие в различном числе появления события А в серии Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаний несовместны и образуют полную группу. Или можно было данное равенство объяснить так: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №11

Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что выпало ровно 3 орла.

Решение.

В каждом из 5 независимых испытаниях (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 5) - бросании монеты - два исхода (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 2: орел, решка), следовательно, это схема Бернулли с вероятностью успеха (выпал орел) и неудачи (выпала решка) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Количество успехов: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 3.

По формуле Бернулли Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения найдем искомую вероятность: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Замечания.

Замечание 1. Вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения равна коэффициенту при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения в разложении бинома Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения по степеням Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. В силу этого свойства совокупность вероятностей Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называют биномиальным законом распределения вероятностей, (будем изучать позднее)

Замечание 2. Рассмотрим схему испытаний с произвольным количеством исходов. Пусть каждое из Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимых испытаний имеет Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения взаимно исключающих друг друга исходов, т.е. в каждом испытании может появиться одно из Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения несовместных событий: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения с вероятностями Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, не меняющимися от испытания к испытанию. Найдем вероятность появления в течении этих Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения испытаний Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раза события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Данная вероятность находится по формуле:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Эта совокупность вероятностей является коэффициентом при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения в разложении полинома Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения по степеням Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому эту схему называют полиномиальной.

Например. При Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения подбрасываниях игральной кости получается полиномиальная схема с шестью исходами ( Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения= 6) и вероятностями Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Если различать только «6» и «не 6», то получим схему Бернулли с двумя исходами (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 2) и вероятностями успеха Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и неудачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание 3. При вычислении вероятности события, состоящего в том, что число успехов m лежит, например, между а и b, приходится находить числовые значения сумм вероятностей вида: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Например, вероятность того, что событие наступит а) менее Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, b) более Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, с) не менее Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз, d) не более Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз находятся соответственно по формулам:

a) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

b) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

c) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

d) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

В некоторых случаях удобнее перейти к противоположному событию, например, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №12

Пусть монета брошена 5 раз. Требуется найти вероятность того, что 1) менее двух раз выпал орел, 2) не менее двух раз выпал орел.

Решение.

Два исхода (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 2: орел, решка) при 5 независимых испытаниях (n = 5) - схема Бернулли с вероятностью успеха и неудачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

1) Орел выпал менее двух раз, значит, не выпал или выпал раз.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = (вероятности найдем по формуле Бернулли) =

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

2)    Орел выпал не менее двух раз, т.е. выпал два раза или три или четыре или пять:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения =(удобнее перейти к противоположному событию, т.е. «не менее двух», значит, противоположное событие: меньше двух, т.е. орел не выпал совсем или выпал один раз) = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Замечание 4. В примере на формулу Бернулли вычисления проводятся очень легко, однако часто приходится вычислять вероятности при очень больших значениях n и m, например, при n = 1000, m = 500. Также затруднения при вычислении возникают при малых значениях р или q.

В этих случаях удается заменить формулу Бернулли какой-нибудь приближенной асимптотической формулой. Существуют три предельные теоремы, содержащие такие формулы.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Теорема Пуассона (асимптотическая формула для случая малых значений р)

Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, причем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения так, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - среднее число появления события А в n испытаниях, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, то вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения соотношению (или приближенно равна):

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Замечания.

1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, при этом Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

2. Формулой пользуются при больших n и малых р. Например, при n > 100, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

3. Теорема имеет место и в том случае, когда вероятность события А в каждом испытании равна нулю. В этом случае Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

4. Существуют таблицы значений данной вероятности (стр. 410, 411 в задачнике Ефимова -Демидовича).

Пример №13

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.

Решение.

Считаем каждый выстрел за испытание и попадание в цель за событие. Количество испытаний n = 5000 (велико), р = 0,001 (мало). По формуле Бернулли считать сложно. Поэтому применим формулу Пуассона.

Найдем среднее число попаданий: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Найдем заданную вероятность:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = (перейдем к противоположному событию: m < 2) = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

По точной формуле (формуле Бернулли) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, т.е. ошибка невелика.

Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая больших значений n и m)

Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, (0 < р < 1), то вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения соотношению (или приближенно равна):

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Замечания.

1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

2. Формулой пользуются при больших n и m. Например, при п > 100, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

3. Из того, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения следует, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно. Например, для случая m = 0, теорема дает плохое приближение.

4. Существуют таблицы значений функции Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения для положительных значений х (стр. 408 в задачнике Ефимова - Дсмидовича). Для отрицательных значений х используется та же таблица, так как Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - четная функция: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Функцию Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называют плотностью нормального распределения.

Пример №14

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение.

Количество испытаний n = 243, количество успехов m = 70, вероятность успеха р = 0,25, вероятность неудачи q = 1 - 0,25 = 0,75.

По формуле Бернулли считать сложно. Так как n и m велики, поэтому применим формулу Муавра - Лапласа.

Найдем сначала х и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Можно было не считать значение Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения напрямую, а обратиться к таблице в учебнике.

Подставим найденное значение Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения в формулу:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Предельная интегральная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая, когда число успехов m лежит в некоторых пределах)

Теорема 1. Если m - число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р (0 < р < 1), то равномерно относительно а и b Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения имеет место соотношение:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

В некоторых источниках Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения или Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Ранее вывели, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Численное значение нашего интеграла можно найти с помощью таблиц (стр. 406 в задачнике Ефимова - Демидовича) для функции Лапласа Ф(х):

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Для тех значений х, которых нет в таблице, т.е для Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Либо, функция Лапласа может быть в виде: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, для тех значений х, которых нет в таблице, т.е. для Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Теорема 2. (Теорема Муавра-Лапласа) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие А наступит не менее Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раза и не более Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз приближенно равна: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

где Ф(х) - функция Лапласа, значения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Теорема 3. (Закон больших чисел или теорема Бернулли).

При неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события в отдельном опыте.

Иначе, вероятность того, что отклонение относительной частоты наступления события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения от постоянной вероятности события А (p) очень мало при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияп —> оо стремится к 1. 

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения= (разделим все части неравенства на положительное число Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения)Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №15

Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появиться не менее 75 раз и не более 90 раз.

Решение.

Количество испытаний n = 100, вероятность успеха р = 0,8, вероятность неудачи q = 1 - 0,8 = 0,2 , Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 75, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - 90.

Найдем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

По теореме 2:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения(по таблице для функции Лапласа) = Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях

Определение 28. Число Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения определяется из двойного неравенства:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,

причем 1) если (np - q) -дробное, то существует одно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, 2) если (nр- q) - целое, то существует два наивероятнейших числа, 3) если nр - целое, то Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = nр.

Пример №16

Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание и вероятность этого числа.

Решение.

Количество испытаний n = 15, вероятность успеха р = 0,9, вероятность неудачи q = 0,1.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения,   Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Т.к. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения — целое число, то Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения = 14— наивероятнейшее число элементов, выдержавших испытание. Вероятность этого числа найдем по формуле Бернулли:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. (Удобнее было по локальной формуле Муавра - Лапласа).

Всё о формуле полной вероятности

Пусть событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения может произойти с одним и только с одним из несовместимых событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения образующих полную группу. Иными словами, событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения появится, если произойдет событие B1 и при этом появится событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, или произойдет событие B2 и при этом появится событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и т.д. Символическая запись этой фразы имеет вид

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

В силу несовместимости событий можно записать Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Используя теорему умножения вероятностей, получаем формулу Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

которая и называется формулой полной вероятности.

Обычно ее записывают кратко:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №17

Имеется две коробки деталей, в каждой из которых по 10 деталей. В первой коробке среди деталей две низкого сорта, а во второй четыре низкосортных детали. Из первой коробки для нужд производства взяли наугад половину деталей, а оставшиеся высыпали во вторую коробку. Через некоторое время из второй коробки взяли наугад деталь. Какова вероятность того, что это деталь низкого сорта?

Решение. Обозначим через A событие, состоящее в выборе из второй коробки детали низкого сорта. Возможность этого выбора зависит от того, какие именно детали были добавлены во вторую коробку. На этот счет можно выдвинуть следующие предположения: B1 – во вторую коробку добавили пять годных деталей; B2 – добавили одну деталь низкого сорта и четыре доброкачественные; B3 – добавили две детали низкого сорта и три доброкачественные. Пять деталей во вторую коробку можно переложить Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения способами. Из них событию B1 благоприятствует Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения событию B2Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияа событию B3Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения способов. Событие A произойдет, если появится событие B1 и после этого произойдет событие A или появится событие B2 и после этого произойдет событие A или появится B3 и после этого произойдет A. Символически: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Учитывая несовместность событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, имеем Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 1/ 3.

Всё о Формуле Байеса

Пусть событие A может наступить только при появлении одного из несовместных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В этих условиях вероятность события A можно вычислить по формуле полной вероятности (2.4.1). События Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения иногда называют «гипотезами», поскольку можно лишь предполагать какое именно из них произойдет. Предположим, что известны вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Проделан опыт, в результате которого событие A произошло. Тогда вероятности событийФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения при условии появления события A определяются по формулам Байеса

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез (событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения) с учетом информации, которую содержит в себе факт появления события A.

Пример №18

По каналу связи передается одна из последовательностей букв Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения с вероятностями соответственно 0,5; 0,4; 0,1. Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью 0,8 и с вероятностями 0,1 и 0,1 за любую из двух других букв. Предполагается, что искажаются буквы при передаче независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передано Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения если принято Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Для краткости записи формулы обозначим Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Тогда по формулам Байеса (2.5.1) 

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 8/9.

Пример №19

Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для этих стрелков соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Какова вероятность того, что третий стрелок промахнулся, если в мишени оказалось две пробоины?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении двух пробоин в мишени. В отношении двух пробоин могут быть три предположения: В1 – попали первый и второй стрелки, а третий не попал, вероятность чего равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В2 – попали первый и третий, а второй не попал, вероятность чего равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В3 – попали второй и третий, а первый не попал, вероятность чего равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Тогда по формулам Байеса (2.5.1)

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №20

В партии из 10 изделий с равными шансами может оказаться от нуля до трех бракованных. Наугад взяли и проверили три изделия. Они оказались годными. Какова вероятность того, что остальные изделия в партии тоже годные?

Решение. Насчет содержания в партии бракованных изделий по условиям задачи может быть четыре предположения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения означает, что в партии Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениябракованных изделий. По условиям задачи все эти предположения равновозможны и поэтому имеют вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения каждое. Обозначим через A факт проверки трех годных изделий. Требуется найти Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому по формулам Байеса (2.5.1)

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №21

Вероятность того, событие B произойдет в течение часа, равна 0,9. Оказалось, что в течение первых 40 мин. событие B не произошло. Какова вероятность того, что это событие появится в оставшиеся 20 мин. времени?

Решение. В отношении события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения могут быть два предположения: либо оно появится Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения либо оно не появится Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Обозначим через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения тот факт, что событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения не появилось в течение первых 40 мин. Нас интересует вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения По формулам Байеса (2.5.1) получим

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

В задаче по умолчанию предполагается, что событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения если оно происходит, то равновозможно его появление в любой момент данного часа. Поэтому по геометрическому определению вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В итоге получаем, что 

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 3/4.

Пример №22

В кошельке лежат четыре монеты. Три монеты обычных, а у четвертой на той и другой стороне изображен герб. Наугад взяли монету и подбросили три раза. Все три раза выпал герб. Какова вероятность того, что и при четвертом подбрасывании выпадет герб?

Решение. Обозначим через B1 – выбор монеты с одним гербом, через B2 – выбор монеты с двумя гербами. Априорные вероятности этих событий равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим через A – выпадение трех гербов подряд. Апостериорные вероятности по формулам Байеса равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Тогда по формуле полной вероятности (2.4.1):

P(выпадения герба в четвертый раз)Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Подробное объяснение формулы полной вероятности

Постановка задачи: Пусть Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - полная система (группа) попарно несовместных событий (в дальнейшем эти события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениябудем называть гипотезами) т. е. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияили что то же самое Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияи пусть событие A может произойти лишь совместно с каким-либо одним из этих событий (гипотез).

Требуется найти вероятность события A.

Выведем формулу решения этой задачи. Имеем

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

маршрутов (схема дорог). Какова вероятность того, что он попадет в пункт А ?
 

Решение. Как видим из схемы дорог, путь туриста обязательно проходит через один из пунктов Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения ТогдаФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - гипотеза (предположение) которая состоит в том, что турист попал в пункт Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения .

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что события (гипотезы)Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения попарно несовместны и равновероятны, т.е., очевидно, образуют полную группу событий: во-первых,Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, во-вторых Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияСобытие A- турист попал в пункт А. Тогда, нетрудно
видеть (см. схему), что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияЗначит, по формуле полной вероятности, получаем:Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №23 (о мудреце и властелине).

Властелин, разгневавшись на мудреца, приказал отрубить ему голову. Но затем, смягчившись, дал мудрецу возможность попытаться спастись. Итак, властелин взял 2 белых и 2 черных шара и предложил мудрецу распределить их по своему усмотрению по двум одинаковым урнам. После чего, палач сначала наугад выберет одну из урн, а затем также наугад, не глядя, вытащит из неё один шар. Мудрец будет помилован, если вытянутый шар оказался белым. Какую стратегию распределения шаров по урнам должен
выбрать мудрец, чтобы быть помилованным? Какова максимальная вероятность спастись мудрецу? Какая стратегия наименее выгодна для него?
 

Решение. Выдвинем гипотезы (предположения) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениякоторые состоят в том, что палач вытащит шар из i - ой урны Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияОчевидно, что эти события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениянесовместны и их сумма является достоверным событием Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решеният.е. образуют полную группу (систему) событий. И пусть A- это событие состоящее в том, что
палачом вытянут белый шар. Далее, рассмотрим следующие варианты распределения мудрецом шаров по
урнам:
1). В первой урне 2 белых, а во второй 2 черных шара. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

2 Хотим заметить, что далеко не всегда властелины были глупыми людьми, не знающими математики. Так, например, Наполеон был немного математиком, интересовался, в частности, геометрией. Он вёл дискуссии с Лагранжем и Лапласом, когда ещё не был правителем Франции.

Как-то в одной из таких дискуссий Лаплас резко оборвал Бонапарта: «Менее всего мы хотим от Вас, генерал, урока геометрии». В дальнейшем Лаплас стал его главным военным инженером. Наполеону приписывают теорему: «Если на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники, то их центры образуют равносторонний треугольник» - это так называемый вешний треугольник Наполеона.Так же ему приписывают один из знаменитых палиндромов (читается в обе стороны одинаково): «ABLE WAS I ERE I SAW ELBA» - я был силён, пока не увидел Эльбу.

2). В первой и во второй урнах по 1 белому и 1 черному шару. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

3). В первой урне 1 белый, а во второй 1 белый и 2 черных шара. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

4). В первой урне 1 черный, а во второй 2 белых и 1 черный шары. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

5). Первая урна оказалась пустой, т.е. все шары во второй урне. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, наиболее предпочтительной является 3-я стратегия, ей соответствует вероятность быть помилованным равнаяФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения- действительно мудрое решение; наименее выгодна - последняя, 5 - я стратегия, где вероятность спастись равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
 

Вероятность гипотез. Формула Байеса


Постановка задачи: Пусть Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - полная система (группа) попарно несовместных событий (гипотез) т. е.Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

и пусть событие A может произойти лишь совместно с каким - либо одним из этих событий (гипотез) - ситуация аналогичная той, которая была ранее. И пустьФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияТребуется найти условную вероятность k - ой гипотезы при условии, что событие A произошло, т.е.Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения- переоценка гипотез.
По теореме об умножении вероятностей

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Полученная формула называется формулой Байеса (Бейеса) для переоценки гипотез. Другими словами: вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения гипотезы после испытания равна произведению вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениягипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениясобытия, происшедшего при испытании, деленному на полную вероятностьФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения этого события.

Пример №24

При обследовании больного имеется подозрение (т.е. делаются предположения или, что то же самое, выдвигаются гипотезы)
на одно из двух заболеваний Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Их вероятности в данных условиях равны Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения соответственно. Для уточнения диагноза назначается обследование, результатом которого будет отрицательная или положительная реакция. В случае болезни  вероятность положительной реакции равна 0,9 , а в случае болезниФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения эта вероятность равна 0,5. Обследования проведены дважды и оба раза реакция оказалась отрицательной. Найти вероятность каждого заболевания.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение. Во - первых, очевидно, что событияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения образуют полную группу событий. Действительно, эти события несовместны, так как у больного имеется подозрение только лишь на одно из двух заболеваний и сумма событий - есть достоверное событие (обследуемый болен):  Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Во - вторых, если обозначить через A событие, которое состоит в том, что оба обследования дали отрицательный результат, тоФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, нетрудно видеть, что

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, при данных результатах обследования следует предполагать болезнь Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
 

Повторение испытаний

Формула Бернулли (схема повторения опытов)

Опыты называются независимыми , если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут проводиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого - либо события A во всех опытах одна и та же, во втором случае - она меняется от опыта к опыту. Ниже мы воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми. Итак, пусть производится n независимых опытов в одинаковых условиях, в каждом из которых некоторое событие A может произойти с одной и той же вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Причём, каждый опыт (испытание) имеет лишь два исхода: событие A может появиться (произойти), либо не появиться. Условно, появление события A будем рассматривать как успех, а его не наступление (т.е. событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения- как неудачу. Следовательно, вероятность не наступления события A в каждом испытании также постоянна и равнаФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Данная ситуация, или данная схема проведения опытов называется схемой Бернулли.

Итак, еще раз: схемой Бернулли называется последовательность n независимых испытаний, проводимых при одних и тех же условиях, в каждом из которых событие A либо происходит с постоянной вероятностью p , не зависящей от номера испытания, либо не происходит с вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
 

Ставятся задачи:

Задача №1. Найти вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения того, что в схеме Бернулли из n испытаний событие A произойдет ровно k разФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и, следовательно, не осуществится Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз.
 

Задача № 2. Найти вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения того, что в схеме Бернулли из n испытаний событие A произойдет не менее Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и не более Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения раз 
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениягдеФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения заданы.
 

Задача № 3. Найти наивероятнейшее число Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения появления события A в схеме Бернулли из n испытаний, при которомФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения достигает наибольшего значения.

Решение №1.

ВероятностьФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияне зависит от номера испытания и, что также важно, не требуется чтобы событие A повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Предположим, для определенности, что событие A произойдет подряд k раз, а в остальных Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияиспытаниях - не произойдет. Используя теорему об умножении вероятностей, можем в этом случае записать:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Таких несовместных событий столько, сколько сочетаний из n элементов по k элементов в каждом. Поэтому по теореме о вероятности суммы несовместных событий получим формулу, называемую формулой Бернулли:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Легко видеть, что вероятностьФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, вычисленная по формуле Бернулли, является коэффициентом при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения в разложении бинома Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения поэтому вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называется биномиальной, а функция Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - производящей функцией для распределения вероятностей в схеме Бернулли из n испытаний. Разложение бинома Ньютона Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

которую называют биномиальным законом распределения вероятностей события A в n испытаниях схемы Бернулли.

Заметим, что вероятность хотя бы одного появления события A в n испытаниях схемы Бернулли равна: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. Кстати, подумайте над
следующим вопросом
: честное ли пари вам предлагают, если вы выиграете в том случае, когда при 24-х кратном бросании двух игральных костей хотя бы один раз одновременно появятся две шестёрки? Ответ дайте в конце пары.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

(РЕШЕНИЕ. Вероятность одновременного выпадения двух шестерок при одном подбрасывании равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения , следовательно - не выпадения равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения . Нетрудно видеть, что испытания, т.е. подбрасывания двух игральных костей 24 раза, удовлетворяют схеме Бернулли, следовательно вероятность одновременного появления двух шестерок хотя бы один раз равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения .То есть, пари нечестное.)

Другие примеры на применение формулы Бернулли, рассмотрим немного позднее, а именно после того, как решим задачи № 2 и № 3

Решение № 2.

Нетрудно показать, что вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениятого, что в схеме Бернулли из n испытаний событие A произойдет не менее Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения и не более Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения разФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения заданы, может быть вычислена по формуле:Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Решение № 3

Важной является задача № 3 о наивероятнейшем числе Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения появления события A в схеме Бернулли из n испытаний.
Рассмотрим отношение:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Из полученного следует, что:
1) если Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решеният.е. существует
два максимума;
2) еслиФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияцелая часть числаФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениятогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №25

При некоторых условиях стрельбы вероятность p попадания в цель при одном выстреле равна
Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения ПроизведеноФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения выстрела.

  • а). Каково наивероятнейшее число попаданий в цель?
  • б). Какова его вероятность?
  • в). Какова вероятность двух попаданий?
  • г). Какова вероятность хотя бы одного попадания?

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Некто Сэмюэль Пепайс обратился к Исааку Ньютону с вопросом: какое из событий наиболее вероятно -

  • появление по крайней мере одной «шестерки» при подбрасывании 6-ти игральных костей;
  • хотя бы двух «шестерок» при подбрасывании 12-ти;
  • хотя бы трех «шестерок» при подбрасывании 18-ти?

Решение.
Вероятность q непоявления «шестерки» при одном подбрасывании, как известно, равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения , следовательно, при шести подбрасываниях равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
5 . Таким образом, вероятность появления по крайней мере одной «шестерки» при подбрасывании 6-ти игральных костей может быть найдена по формуле:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Событие «хотя бы две» противоположно событию «либо ни разу, либо один раз», т.е. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Событие «хотя бы три» противоположно событию «либо ни разу, либо один раз, либо два раза», т.е.Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, как видим, предпочтительнее первая стратегия – таким и был ответ Ньютона.

Замечу, что при больших значениях числа n испытаний в схеме Бернулли формула для подсчетаФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения становится громоздкой для вычислений. В этих случаях пользуются асимптотическими формулами. Рассмотрим асимптотическую формулу Пуассона, которая справедлива при малых p и больших n (распределение редких событий в схеме Бернулли). Другими словамиФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениярассматривается как функция трех переменных n,k , p , при условии, что k - фиксировано, а n и p меняютсяФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
 

ТЕОРЕМА Пуассона 3. ПустьФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияТогда в схеме Бернулли Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияили то же самое Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство 

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.

При доказательстве можно воспользоваться приближенной формулой Стирлинга.

Следствие: при указанных выше условиях, т.е. при Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения справедлива приближенная формула Пуассона:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №27

Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течении часа он позвонит на станцию равна p =0,01. Найти вероятность того, что четыре абонента позвонят на станцию в течении часа.

Решение Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Теорема Муавра - Лапласа (локальная)

Остановлюсь еще на двух предельных теоремах в схеме Бернулли - локальной теореме Муавра - Лапласа (её доказательство получим как частный случай закона больших чисел - предельной теоремы Ляпунова, доказательство которой нам ещё предстоит провести) и интегральной теореме Муавра - Лапласа. Итак:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

причем, во-первых, погрешность этой формулы есть величина порядкаФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияво-вторых, для функцииФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения составлена таблица её значений. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей, так как, очевидно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, то есть функция Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения четная. Заметим также, что график функцииФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияназывается кривой Гаусса (см. рис.).

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

интегральная приближенная формула Лапласа ( при большихФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Для функцииФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения также есть табличные значения, когда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения справедливо неравенство Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
равносильно условию Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (график функции Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения см. на рис.). Отметим, что точность растет с ростом произведения npq, и, обычно, пользуются этими формулами в случае, когда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения
Замечание: если функция Лапласа записана в виде Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияИногда функция Лапласа может быть записана в виде

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияОтметим, что в схеме Бернулли рассматривались независимые испытания. Если же вероятность наступления события в k -ом опыте зависит от результата только предыдущего, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - ого опыта, то такая схема называется цепью Маркова.

Формула полной вероятности и сложные задачи

В данном разделе мы рассмотрим более сложные задачи, имеющие большое практическое значение. Эти задачи встречается на практике в случае, если имеются несколько возможных сценариев развития событий (несколько вероятных гипотез). Известны как величины вероятности реализации каждого из сценариев, так и вероятность наступления интересующего нас события для любого из этих сценариев, а нас интересует, какова полная (совокупная) вероятность наступления интересующего нас события.

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Пусть также имеется некоторое событие А и известны Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - вероятность гипотезы, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - условная вероятность события А при этой гипотезе). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №28

Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение:

Обозначим событие А = {выбрана деталь отличного качества}, Hi= {выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i = 1, 2, 3. Тогда Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

По условию задачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения. По формуле полной вероятности находим искомую вероятность: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №29

На рисунке изображена схема дорог. Найти вероятность того, что турист, вышедший из пункта А, попадет в пункт В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной).

Решение:

Обозначим Нi = {приход туриста в пункт Hi}, i = 1, 2, 3, 4. Поскольку, выйдя из пункта А, он выбирает любую дорогу наугад, то Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Исходя из схемы дорог, определяем, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, по формуле полной вероятности Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №30

Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз вытянут выигрышный билет?

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Как обычно, вдоль каждой ветви "дерева вероятностей" значения вероятностей перемножаются, а затем значения на концах нужных веток между собой складываются. В результате получаем ответ: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Случайные события независимые в совокупности

Следует различать попарно независимые случайные события и случайные события независимые в совокупности.

Определение: События называются попарно независимыми событиями, если любые два из них независимы.

Определение: События Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называются независимыми в совокупности, если каждое из них независимо от произведения любого числа остальных событий.

Замечание: Из определений видно, что из попарной независимости еще не следует, что эти события независимы в совокупности. Это означает, что условие независимости в совокупности является более сильным, чем условие попарной независимости случайных событий.

Теорема: Вероятность наступления хотя бы одного из событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимых в совокупности выражается формулой:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что противоположные события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения к событиям Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения также будут независимы в совокупности. При этом событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения состоит в том, что в результате опыта не наступает ни одно из случайных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Так как события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения независимы в совокупности, то Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В силу того, что Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решениято Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №31

Пусть прибор содержит N последовательно соединенных блоков. Определить вероятность того, что цепь будет разорвана, если вероятность работы каждого блока равна р и она не зависит от работы других блоков.

Решение:

Пусть А - событие, которое состоит в том, что данная цепь разорвана. Это событие происходит, если выходит из строя хотя бы один из блоков, так как блоки включены последовательно. Противоположное событие состоит в том, что все блоки работают, т.е. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения- событие, заключающееся в работе блока i. По условию задачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения следовательно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, вероятность того, что цепь будет разорвана, равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Если случайные события одновременно появляются в условиях опыта, то имеет место следующая теорема.

Теорема: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Пусть в результате опыта возможно n равно возможных, несовместных, элементарных исходов. При этом в Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения случаях наступает событие А, в Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения случаях - событие В, а в m случаях наступает и событие А, и событие B, т.е. событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, число исходов, в которых наступает или событие А , или событие В (т.е. событие А + В), равно Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Согласно классическому определению вероятности вероятность суммы случайных, совместных событий А и В равна

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Методом математической индукции вышеприведенная теорема может быть обобщена на любое число совместных событий, например, в случае 3 совместных событий А, В и С теорема принимает вид:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №32

Найти вероятность того, что взятое наугад число из чисел от 10 до 20 делится или на 2, или на 3.

Решение:

Всего равновозможных, элементарных исходов 11 (числа от 10 включительно до 20 включительно). В 6 случаях (10, 12, 14, 16, 18, 20) число кратно 2; в 3 случаях (12, 15, 18) число кратно 3; в 2 случаях (12, 18) число кратно и 2, и 3. Пусть событие А состоит в том, что наугад взятое число кратно 2, а событие В состоит в том, что наугад взятое число кратно 3. Сложное событие С состоит в том, что наугад взятое число делится или на 2, или на 3, т.е. С = А + В. Следовательно, вероятность этого события равна:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Все вышерассмотренные теоремы объединяются в теории вероятностей общим названием “основные теоремы теории вероятностей”.

Формула полной вероятности и события

Формула полной вероятности является следствием основных теорем теории вероятностей: теорем сложения и умножения вероятностей событий.

Пусть некоторое случайное событие А наступает с одним и только с одним из несовместных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Определение: СобытияФормула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называются гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из этих событий произойдет.

Теорема: Формула полной вероятности определяет вероятность случайного

события л, как сумму произведений вероятности каждой гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения на условную вероятность события А при условии реализации гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, т.е. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Событие А наступает с одним и только с одним из несовместных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В силу того, что события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения несовместны, то по теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Используя теорему об умножении вероятностей зависимых событий, получаем искомую формулу: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №33

Пусть на сборку поступают детали с двух автоматических станков. Первый станок дает в среднем 0.3 % брака, а второй - 0.15 % брака. Производительность второго станка в два раза выше, чем первого станка. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной.

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что наугад взятая деталь окажется бракованной. Тогда гипотеза Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения заключается в том, что эта деталь изготовлена на первом станке, а гипотеза Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения заключается в том, что эта деталь изготовлена на втором станке. Очевидно, что эти гипотезы являются несовместными событиями. В виду различной производительности станков обозначим через х количество деталей, изготовленных на первом станке, тогда на втором станке изготавливается 2х деталей. Общее число деталей, которые были изготовлены на обоих станках равна Зх. Следовательно, вероятности гипотез равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения— для первой гипотезы и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - для второй гипотезы.

Вероятности события А при условии реализации первой и второй гипотез равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения соответственно. Согласно формуле полной вероятности вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, равна:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формула вероятностей гипотез (формула Байеса)

Ниже будет получена формула, которая является следствием основных теорем теории вероятностей и формулы полной вероятности. Эта формула применяется для решения задач следующего типа. Пусть проводится эксперимент, в результате которого может появиться или не появиться событие л, которое наступает с одним и только с одним из несовместных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения). Предположим, что события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения образуют полную группу и вероятности их появления Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения известны до проведения опыта. В результате проведения эксперимента событие А произошло. Используя этот факт, необходимо определить, какая из гипотез была ближе к истине, т.е. определить вероятность каждой гипотезы при условии реализации события А. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Вероятность гипотезы Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения при условии реализации события А равна отношению произведения вероятности гипотезы на условную вероятность события А к паз ной вероятности события А:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Событие А наступает с одним и только с одним из несовместных событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения т.е. в каждом опыте происходит событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения По теореме умножения вероятностей для зависимых событий:Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Воспользовавшись формулой полной вероятности, получим формулу Байеса: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Пример №34

Однотипные пластмассовые детали изготавливаются на 3 прессах. Первый пресс выпускает 50 % всех деталей, второй - 40 %, третий - 10 % . При этом с первого пресса сходит в среднем 0.025 нестандартных деталей, со второго - 0.02 и с третьего - 0.015. Все детали поступают на сборку. Взятая наудачу деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом прессе.

Решение:

Событие А состоит в том, что наудачу взятая деталь изготовлена на первом прессе. Гипотеза Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения заключается в том, что эта деталь изготовлена на первом прессе, гипотеза Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - на втором прессе, а гипотеза Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - на третьем прессе.

По условию задачи Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - для первой гипотезы, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - для второй гипотезы и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения - для третьей гипотезы. Вероятности события А при условии реализации первой, второй и третьей гипотез, соответственно, равны: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Согласно фор- муле пал ной вероятности вероятность того, что наугад взятая деталь окажется нестандартной, равна: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Используя формулу Байеса, получим Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Независимые испытания и формула Бернулли

Пусть испытания повторяются n раз, причем событие А появляется в каждом опыте с одной и той же вероятностью р или не появляется с одной и той же вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Испытания называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, какие события появились в предыдущих опытах, или появятся в последующих экспериментах.

Пример:

Независимы ли следующие испытания: а) многократное бросание кубика; б) извлечение карты из колоды без ее возвращения в колоду (выяснить самостоятельно).

Формула Бернулли

Теорема: Пусть проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с постоянной вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения или не появляется с постоянной вероятностью Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Тогда вероятность появления со- бытия А ровно m раз в серии из n независимых испытаний равна: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Пусть Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения событие, состоящее в том, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно m раз. Пусть Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения событие, описывающее появление события А в опыте i, а ему противоположное событие обозначим через Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Так как вероятность появления события А в опыте i равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения то вероятность появления противоположного события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Для наступления события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения безразлично, в каких опытах произойдет событие A, а в каких - событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения важно, чтобы число появлений события A в данной серии равнялось числу m. В качестве одного из вариантов чередования событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения благоприятствующих появлению события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения рассмотрим такое событие Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения для которого событие А появится в m первых опытах и не появится в (n-m) последующих экспериментах, т.е.

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей для независимых событий, получим: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Аналогичные к Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения события отличаются от него только чередованием событий Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Все эти события равновероятны и их число равно количеству сочетаний из n элементов по m элементов, т.е. Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решенияТаким образом, интересующее нас событие можно записать в виде Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения причем события Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения несовместны. По теореме сложения вероятностей несовместных событий вероятность изучаемого события равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения В правой части равенства суммируется Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения одинаковых слагаемых, следовательно, Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения O5. Формула Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения называется биномиальной или формулой Бернулли.

Пример №35

Монета подбрасывается 6 раз. Определить вероятность того, что герб выпадет а) 5 раз; б) от 2 до 4 раз.

Решение:

Вероятность выпадения герба не изменяется от опыта к опыту и равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения а, следовательно, вероятность выпадения решки равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Для определения вероятности выпадения герба 5 раз в серии из 6 испытаний воспользуемся формулой Бернулли: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Событие, состоящее в том, что герб выпадет от 2 до 4 раз, соответствует события, которое состоит в том, что герб выпадет или 2 раза, или 3 раза, или 4 раза. Следовательно, вероятность Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Вычислим соответствующие вероятности: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, искомая вероятность равна Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

При больших значениях чисел m и n применение формулы Бернулли затруднительно, так как вычисление коэффициентов Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения становится достаточно сложным. Поэтому при фиксированном значении т и в случае, когда вероятность появления события р<0.1, применяется формула Пуассона, а при р>0.1 - дифференциальная формула Муавра-Лапласа. Если Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения, то применяют интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Формула Пуассона

Если при проведении серии испытаний по схеме Бернулли вероятность появления события А мала (Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения), то при больших значениях чисел m и n применяют приближенную формулу Пуассона: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Формулы Муавра-Лапласа

Если при проведении серии испытаний по схеме Бернулли вероятность появления события А р>0.1, то при больших значениях чисел m и n применяют дифференциальную формулу Муавра-Лапласа: Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения дифференциальная функция Муавра-Лапласа Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: В общем случае дифференциальная формула Муавра-Лапласа применяется при выполнении неравенств Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения

Если при проведении серии испытаний по схеме Бернулли числа m и n принимают большие значения, причем число m принимает значения от Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения до Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения то применяют интегральную формулу Муавра-Лапласа:

Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения где Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения- интегральная функция Муавра-Лапласа и Формула полной вероятности - определение и вычисление с примерами решения