Энергетические характеристики двухполюсников

Содержание:

Энергетические характеристики двухполюсников:

Всякую пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздействием источника гармонического напряжения, можно рассматривать как двухполюсник (рис. 9.1), обладающий, в общем случае, комплексным (7.26) сопротивлением

Средняя мощность , потребляемая таким двухполюсником в режиме гармонических колебаний, находится в соответствии с (7.15) и (7.18) по формуле

   (9.1)

Согласно закону Ома действующие значения напряжения и тока связаны зависимостью:

где и представляют собой полное сопротивление и полную проводимость двухполюсника соответственно (см. лекцию 7). Поэтому формула (9.1) может быть представлена в виде:

      (9.2)

Поскольку, с учётом чётности функции косинуса, величины

являются активными составляющими сопротивления и проводимости двухполюсника, выражение (9.2) принимает вид:

   (9.3)

Таким образом, средняя за период мощность равна мощности, рассеиваемой на резистивном сопротивлении (проводимости) двухполюсника. По этой причине мощность также называется активной и измеряется в ваттах (Вт).

Формулу (9.1) можно переписать в виде:

где произведение действующих значений напряжения и тока

      (9.4)

называют полной (кажущейся) мощностью.

Комплексную мощность Р  найдём по действующей комплексной амплитуде напряжения

на зажимах двухполюсника и действующей комплексной амплитуде тока

проходящего через двухполюсник. При таких обозначениях квадрат действующего значения тока можно записать как произведение действующей комплексной амплитуды тока на её сопряжённую величину:

Тогда из (9.3) имеем:

но согласно закону Ома

поэтому получаем:

     (9.5)

Последнее выражение означает, что средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения действующей комплексной амплитуды напряжения на его входе и комплексной величины, сопряжённой с действующей комплексной амплитудой тока, проходящего через входные зажимы двухполюсника.

Формула (9.5) даёт основание записать выражение для комплексной мощности:

    (9.6)

вещественная часть которой представляет собой среднюю мощность, потребляемую двухполюсником, мнимая часть —реактивную мощность:

      (9.7)

Выводы:

• полная мощность

      (9.8)

есть произведение действующих значений тока и напряжения, измеряется в вольт-амперах

• средняя мощность

представляет собой полную мощность, умноженную на коэффициент мощности измеряется в ваттах (Вт). Средняя (активная) мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию!), поэтому т. е. для пассивного двухполюсника всегда имеет место неравенство  Случай Р = 0, когда  двухполюсника, который не имеет активных сопротивлении, но содержит только индуктивные и ёмкостные элементы;
 

• коэффициент мощности (косинус фи)

        (9.9)

равен отношению средней мощности к полной мощности, потребляемой двухполюсником, и представляет собой косинус угла сдвига фаз между напряжением и током; является важной характеристикой электрических машин и линий передач переменного тока, отражая потери энергии: чем больше тем меньше потери при передаче энергии по линии и выше КПД электрических машин; при имеем  и , т. е. цепь носит чисто активный характер, и сдвиг фаз между  током и напряжением и равен нулю;

• реактивная мощность

равна произведению полной мощности на синус угла сдвига фаз между напряжением и током; она не связана с выделением энергии в элементе, поэтому измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр); реактивная мощность отражает процесс обмена энергией между цепью и источником. В зависимости от знака реактивная мощность может быть положительной или отрицательной: при  энергия запасается в магнитном поле цепи (индуктивностях), при энергия запасается в электрическом поле (ёмкостях). Реактивная мощность отражает дополнительные потери в системах передачи энергии, поэтому всегда стремятся достичь её минимально возможной величины за счёт компенсации реактивных составляющих полного сопротивления таких систем;

• комплексная мощность есть число, модуль которой равен полной мощности.

Пример 9.1.

К источнику с напряжением

подключена нагрузка, ток в которой

Определить: активную (среднюю), полную и реактивную мощности, а также характер реактивного сопротивления.

Решение. Прежде всего найдём действующие амплитуды напряжения и тока:

и разность фаз между напряжением и током:

По формуле (9.1) вычислим активную мощность:

по формуле (9.4) найдём полную мощность:

а по формуле (9.7) — реактивную мощность:

Поскольку реактивная мощность положительна, то реактивное сопротивление является индуктивным.

Максимум средней мощности в нагрузке

Условия баланса мощностей:

Поскольку комплексные напряжения и комплексные токи в ветвях цепи удовлетворяют законам Кирхгофа, то можно показать (теорема Теллегена), что сумма мощностей всех ветвей схемы равна нулю:

      (9.10)

где — количество ветвей в схеме. Но это возможно только при равенстве нулю вещественной и мнимой составляющих:

      (9.11)
 

Полученные соотношения называют условиями баланса мощностей комплексной, активной и реактивной соответственно. Их используют для проверки решений задач анализа цепей символическим методом в режиме гармонических колебаний.
 

Условия максимума средней мощности в нагрузке

Задача 9.1.

Имеется генератор гармонических колебаний (рис. 9.2) с ЭДС и внутренним сопротивлением требуется определить сопротивление нагрузки , на котором выделяется максимум средней мощности, и величину этой мощности

Решение. Задачу удобно решать в терминах комплексных амплитуд. Запишем комплексную амплитуду ЭДС генератора

и комплексное сопротивление нагрузки

Тогда комплексная амплитуда тока в цепи определится по закону Ома

а комплексная амплитуда напряжения на нагрузке найдётся из выражен

    (9.12)

Следовательно, комплексная мощность (9.6), развиваемая на нагрузке, такова:

     (9.13)

где комплексно-сопряжённая амплитуда тока:

     (9.14)

Соотношения (9.12)—(9.14) позволяют найти комплексную мощность в нагрузке:

    (9.15)

Поскольку произведения комплексно-сопряжённых величин равны квадратам модулей сомножителей:

выражение (9.15) получает вид:

      (9.16)

где    

Вещественная часть комплексной мощности (9.16) согласно (9.5) является средней мощностью, поэтому

     (9.17)

Из (9.17) найдём искомые условия, при которых средняя мощность, выделяемая в нагрузке, является максимальной.

Первое условие. Максимум средней мощности, выделяемой в нагрузке, будет достигнут, если , т. е. когда

     (9.18)

реактивные составляющие внутреннего сопротивления генератора и нагрузки компенсируют друг друга.

Поэтому из первого условия (9.18) имеем:

     (9.19)

Далее выясним, при каком соотношении активных составляющих и внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки соответственно будет достигаться максимум средней мощности, для чего найдём максимум функции Это соотношение и составит второе условие максимума средней мощности.

Поскольку определено свойствами генератора, для нахождения максимума функции найдём её производную по переменной :

и приравняем производную нулю

откуда получаем второе условие.

Второе условие. Максимум средней мощности выделяемой

в нагрузке, достигается при равенстве активных составляющих внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки:

      (9.20)

Условия (9.18) и (9.20) можно объединить, если записать равенство комплексного сопротивления нагрузки комплексно-сопряжённому внутреннему сопротивлению генератора

   (9.21)

Выводы:

• генератор гармонических колебаний развивает в нагрузке максимальную среднюю мощность, если сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротивлением генератора;
• максимально возможная средняя мощность, которую может развить генератор в нагрузке, равна:

    (9.22)

Коэффициент полезного действия генератора. Согласованная нагрузка

Определение

Коэффициентом полезного действия генератора (КПД) называется отношение средней (активной) мощности потребляемой нагрузкой, к суммарной средней (активной) мощности  потребляемой всей цепью:

      (9.23)

Из определения (9.23) следует (рис. 9.3):

1.    КПД генератора при сопряжённой нагрузке, когда достигается максимум средней мощности, равен 0,5; это объясняется тем, что на внутреннем сопротивлении генератора рассеивается та же средняя мощность, что и в нагрузке.

2.    С ростом КПД увеличивается, хотя средняя мощность в нагрузке падает, причём с ростом отношения КПД монотонно возрастает и при приближается к

В энергетических системах, где важно получение высокого КПД, стремятся к тому, чтобы но в этом случае значительное снижение сопротивления нагрузки приводит к опасному повышению мощности, расходуемой в генераторе, что может привести к аварийному исходу.

В системах связи часто сопротивление нагрузки выбирают равным внутреннему сопротивлению генератора:

В таком случае говорят, что генератор нагружен согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласованным.

Важно:

напряжение на согласованной нагрузке независимо от частоты всегда равно половине задающего напряжения генератора, и средняя мощность, выделяемая в согласованной нагрузке, равна:

Мощность меньше средней мощности в сопряжённой нагрузке, поскольку

Это объясняется тем, что при согласованной нагрузке реактивные составляющие внутреннего сопротивления генератора и сопротивления нагрузки суммируются, а при сопряжённой — они компенсируют друг друга, последнее ведёт к увеличению как амплитуды тока в нагрузке, так и амплитуды напряжения на ней.

Замечание:

В дальнейшем будет показано, что при согласованной нагрузке сохраняются соотношения между амплитудами и фазами частотных составляющих сигнала, т. е. сохраняется форма сигнала.

Пример 9.2.

Найти сопротивление нагрузки (рис. 9.4), при котором в этой нагрузке достигался бы максимум средней мощности, и рассчитать величину этой мощности.

Решение. При решении этой задачи воспользуемся условиями максимума

средней мощности в нагрузке и теоремой об эквивалентном генераторе.

1.    Максимум средней мощности будет достигаться, если согласно (9.21) внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, которым можно заменить всю цепь, действующую на нагрузку, будет удовлетворять равенству:

2.    По теореме об эквивалентном генераторе находим:

Комплексное сопротивление имеет индуктивный характер, поскольку реактивная составляющая этого сопротивления положительна По этой причине комплексное сопротивление нагрузки должно иметь ёмкостной характер:

3.    Представим нагрузку в виде двухполюсника из последовательно соединённых активного сопротивления и ёмкости:

4.    Приравняем вещественные и мнимые части сопротивлений

 5. Найдём напряжение холостого хода на зажимах 1-2, создаваемое эквивалентным генератором:

6. По формуле (9.22) находим максимальную среднюю мощность, которую может развить генератор в нагрузке: