Элементы матричного анализа с примерами решения

Содержание:

Векторы на плоскости и в пространстве:

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например:

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коминеарными.

Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называют нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если (рис. 3.2).

Противоположным вектором называется произведение вектора на число

Рис. 32

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 3.3) (правило треугольника).

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3.3) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов (рис. 3.4а) есть вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 3.4 б).

Нетрудно убедиться. что вектор определяемый таким образом, представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах ,и , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда) (рис. 3.5).

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного (рис. 3.6).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах и одна диагональ — вектор —представляет сумму векторов и , а другая диагональ — вектор — их разность (рис. 3.7).

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, вектор на плоскости являются два числа и ( — рис. 3.8.), а в пространстве — три числа и — рис. 3.9).

В соответствии с определениями, приведенными выше, нетрудно показать, что суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы

,

а произведение вектора на число есть вектор На рис. 3.8 и 3.9 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Выразим скалярное произведение через координаты векторов и .

Из треугольника (рис. 3.7), сторонами которого являются векторы и по теореме косинусов следует, что

, откуда

Учитывая формулу длины вектора (3.1) найдем

и после преобразования выражения (3.2) получим

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Заметим, что при угол и

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

В частности, расстояние между двумя точками плоскости можно рассматривать как длину вектора

Поэтому

Угол между векторами и определяется по формуле

Пример:

Даны векторы

Найти: а)векторы б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов д)угол между векторами

Решение:

а) По определению

б) По формуле (3.1) найдем длины векторов

в) По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

г) По формуле (3.3) скалярное произведение

д) По формуле (3.6) угол между векторами определяется равенством:

>мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

Определение.-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде где — -я компонента вектора .

Понятие -мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены — вектором

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. если

Суммой двух векторов одинаковой размерности п называется вектор компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. — коммутативное (переместительное) свойство суммы:
2. — ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4. — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5. —дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что
8. для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа Легко убедиться, что если х и у — многочлены степени не выше п, то они будут обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу , не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже . А множество многочленов степени не выше , но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора на действительное число 0 и существование для каждого вектора единственного противоположного вектора (—), равного произведению этого вектора на действительное число (- 1).

Размерность и базис векторного пространства

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано в § 1.6 для строк матрицы.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где — какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (3.8) справедливо лишь при и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать (аналогично § 1.6), что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два не-коллинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие (3.8) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например, , то , и векторы коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, то равенство (3.8) справедливо при
2. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и будет справедливо равенство (3.8).

Пример:

Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимыми.

Решение:

Составим векторное равенство Записывая в виде вектор-столбцов, получим

Задача свелась таким образом к решению системы:

Решая систему методом Гаусса (см. § 2.3), приведем ее к виду:

откуда найдем, бесконечное множество ее решений , где с — произвольное действительное число.

Итак, для 'данных векторов условие (3.8) выполняется не только при (а, например, при при и т.д.), следовательно, эти векторы — линейно зависимые. ►

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует я линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается

Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть векторы образуют произвольный базис -мерного пространства . Так как любые из ( +1) векторов -мерного пространства R зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы и рассматриваемый вектор . Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числачто

При этом , ибо в противном случае, если и хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, то векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,

или

где

Это выражение через единственное, так как если допустить какое-либо другое выражение, например,

то, вычитая из него почленно (3.9), получим

откуда из условия линейной независимости векторов следует, что '

или

Равенство (3.9) называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения (3.9) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, — противоположные по знаку координаты.

Важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Если — система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является n-мерным, а векторы — его базисом.

Возьмем произвольные векторов пространства , где По условию каждый из них можно линейно выразить через :

Рассмотрим матрицу

Ранг этой матрицы не превосходит , следовательно, среди ее строк не более линейно независимых. Так как , то строк этой матрицы, а значит, и векторов линейно зависимы. Таким образом, пространство -мерно и — его базис. ■

Пример:

В базисе заданы векторы и Показать, что векторы образуют базис.

Решение:

Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: Решая его аналогично примеру 3.2, можно убедиться в единственном нулевом его решении: , т.е. векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. ►

Переход к новому базису

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса кновому задается матрицей перехода и тд.

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.

Подставив значения из системы (3.10) в левую часть равенства (3.11), получим после преобразований:

т.е. в матричной форме

Пример:

По условию примера 3.3 вектор заданный в базисе , выразить в базисе .

Решение:

Выразим связь между базисами:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид Вычисляем Теперь по (3.12)

т.е. новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2 и -0,5 и вектор может быть представлен в виде:

Евклидово пространство

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если есть вектор объемов различных товаров, а вектор их цен, то скалярное произведение выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. — коммутативное свойство;
2. — дистрибутивное свойство;
3. — для любого действительного числа;
4. если — ненулевой вектор; , если — нулевой вектор.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Имеют место следующие свойства длины вектора:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. , где — действительное число;

3.

(неравенство Коши—Буняковского);

4. (неравенство треугольника).

Угол между двумя векторами и определяется равенством

где

Такое определение вполне корректно, так как согласно неравенству Коши—Буняковского (3.15) , т.е.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен (ибо ).

Векторы-мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если при и | при

Для установления корректности приведенного определения необходимо убедиться в том, что входящие в него векторы образуют один из базисов рассматриваемого -мерного пространства (т.е. ). Для этого достаточно показать, что векторы линейно независимы, т.е. равенство

справедливо лишь при

Действительно, умножая скалярно равенство (3.17) на любой вектор , получим

откуда, учитывая, что при и при всех , вытекает, что при всех

Сформулируем теперь (без доказательства) основную теорему.

Теорема. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система единичных векторов у которых -я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю:

Линейные операторы

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: размерности и размерности

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор у пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) действующий из в , и записывают

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполнился соотношения:

• 1. — свойство аддитивности оператора;
• 2. — свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора .

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Выберем в пространстве базис eh и, учитывая (3.9), запишем разложение произвольного вектора по данному базису:

В силу линейности оператора получаем

Поскольку — также вектор из , то его можно разложить по базис. Пусть

Тогда

С другой стороны, вектор, имеющий в том же базисе координаты , можно записать так:

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства (3.19) и (3.20), откуда

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы — рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.

Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением

где — матрица линейного оператора, - матрицы-столбцы из координат векторов и

Пример:

Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей Найти образ вектора

Решение:

По формуле (3.21) имеем

Следовательно, ►

Определим действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством

Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Можно убедиться в том, что операторы, полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы , и тождественный оператор , действующий по правилу:

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

где — матрица перехода от старого базиса к новому.

При воздействии линейного оператора вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство (3.21) (в старом базисе) и равенство

(в новом базисе). Так как — матрица перехода от старого базиса к новому, то в соответствии с (3.12)

Умножим равенство (3.24) слева на матрицу , получим или с учетом (3.21) . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (3.25), имеем: или . Сравнивая найденное выражение с (3.23), мы получим доказываемую формулу (3.22).

Пример:

В базисе оператор (преобразование) имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе

Решение:

Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица Следовательно, по (3.22)

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Равенство (3.26) можно записать в матричной форме:

где вектор представлен в виде вектора-столбца, или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение Для существования ненулевого решения (см. § 2.5) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

Определитель является многочленом -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение (3.28) — характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен полученный в новом базисе , если известна матрица перехода от старого базиса к новому. С учетом (3.22) получим

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц (см. §1.4), получим

независимо от выбора базиса.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

Решение:

Составляем характеристическое уравнение

откуда собственные значения линейного оператора

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению. Для этого решаем матричное уравнение

откуда находим . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Аналогично можно убедиться в том, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора , имеющего линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными Векторы примем за базисные. Тогда или с учетом (3.18)

откуда если , и ,если . Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора .

Можно доказать, что если линейный оператор имеет попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение:

В примере 3.7 были найдены собственные значения матрицы и соответствующие им собственные векторы и Так как координаты векторов не пропорциональны, то векторы линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов и (т.е. при любых например при из векторов и т.д.), матрица будет иметь диагональный вид: Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы и . Действительно, матрица перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид Тогда в соответствии с (3.22) матрица в новом базисе примет вид:

или после вычислений (которые мы опускаем)

т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы . ►

Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы — действительные числа, причем . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

где — матрица-столбец переменных. В самом деле :

и эквивалентность формул (3.29) и (3.30) установлена.

Пример:

Дана квадратичная форма Записать ее в матричном виде.

Решение:

Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением , где, есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

, Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид:

Пример:

Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием

Решение:

Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования

Следовательно, по (3.31) матрица искомой квадратичной формы а квадратичная форма имеет вид

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Квадратичная форма , называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты

а ее матрица является диагональной. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример:

Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение:

Вначале вьделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэффициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Например, квадратичную форму в примере 3.10 можно было привести к виду

применив невырожденное линейное преобразование

Как видим, число положительных и отрицательных коэффициентов (соответственно два и один) сохранилось.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

Так, например, квадратичная форма является положительно определенной, а форма — отрицательно определенной.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. где

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка. '

Пример:

Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.

Решение:

Первый способ. Матрица квадратичной формы имеет вид Для матрицы характеристическое

Решая уравнение, найдем Так как корни характеристического уравнения матрицы положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма — положительно определенная.

Второй способ. Так как главные миноры матрицы положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная. ►

Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется стран , национальный доход каждой из которых равен соответственно Обозначим коэффициентами долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров у страны . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

Рассмотрим матрицу

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы равна 1.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

Если считать, что , то получаем систему неравенств

Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки

Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

Таким образом, неравенство невозможно, и условие, принимает вид (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор национальных доходов стран, получим матричное уравнение

В котором вектор х записан в виде вектор-столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы отвечающего собственному значению

Пример:

Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению , решив уравнение или систему

методом Гаусса. Найдем т.е. Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов

т.е. при соотношении национальных доходов стран