Электрическая цепь

Содержание:

Электрическая цепь:

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий электродвижущей силы, тока и напряжения. Составные части (элементы) электрической цепи можно разделить на две группы: источники электрической энергии и приемники (нагрузка).

К источникам электрической энергии (первичным источникам) относятся различные устройства, в которых происходит преобразование химической, тепловой, механической и других видов энергии в электрическую. Источниками электрической энергии являются,- например, гальванические элементы, аккумуляторы, солнечные батареи, гидрогенераторы и т. п.

Приемники электрической энергии — это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также запасание электрической энергии. Приемниками электрической энергии являются электрические двигатели, лампы накаливания, транзисторы, конденсаторы, индуктивные катушки, резисторы, передающие антенны, громкоговорители и др.

Особый класс электрических устройств представляют собой вторичные источники энергии, к которым относятся различные блоки питания, выпрямители, стабилизаторы, приемные антенны. В устройствах этого типа осуществляются различные преобразования электрических токов и напряжений, такие, как преобразование постоянного тока в переменный, выпрямление переменного тока, изменение напряжения и т. п. Вторичные источники получают электрическую энергию от первичных источников и по отношению к ним должны рассматриваться как приемники электрической энергии. В то же время по отношению к остальной части цепи, которая получает электрическую энергию от вторичных источников, они могут рассматриваться как источники.

Основные элементы электрической цепи — источники и приемники электрической энергии — соединяют между собой с помощью вспомогательных элементов: соединительных проводников, ключей, разъемов, кнопок и т. п. Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи имеет внешние выводы, называемые также зажимами или полюсами.В зависимости от числа внешних выводов различают двухполюсные (резистор, конденсатор, катушка индуктивности) и многополюсные (транзистор, трансформатор, электронная лампа) элементы.

В теории цепей предполагается, что каждый элемент цепи полностью характеризуется зависимостью между токами и напряжениями на его зажимах, при этом процессы, имеющие место внутри элементов, не рассматриваются.

В соответствии с основным методом теории цепей реальные элементы цепи заменяются их упрощенными моделями, построенными из идеализированных элементов. Используют пять основных типов идеализированных двухполюсных элементов: сопротивление, емкость, индуктивность, идеальный источник напряжения и идеальный источник тока. В простейшем случае модель реального элемента может состоять из одного идеализированного элемента. В более сложных случаях она представляет собой соединение нескольких идеализированных элементов. В ряде случаев используют многополюсные идеализированные элементы — управляемые источники тока и напряжения, идеальные трансформаторы и др.

Электрическая цепь, которую получают из исходной реальной электрической цепи при замене каждого реального элемента его упрощенной моделью, составленной из идеализированных элементов, называют моделирующей, или идеализированной, цепью. В теории цепей исследуют процессы, имеющие место именно в таких цепях.

Электрический ток

Электрический ток проводимости есть упорядоченное движение свободных носителей электрического заряда (в дальнейшем, для краткости, будем использовать термины электрический ток или ток). Такими носителями в металлах, как известно, являются отрицательно заряженные частицы — электроны, в жидкостях и газах —как положительно, так и отрицательно заряженные ионы.

В любом проводнике упорядоченное перемещение носителей заряда происходит в одном из двух возможных направлений, в соответствии с этим ток также имеет одно из двух направлений. За направление тока независимо от природы носителей электрического заряда и их типа принимают направление, в котором перемещаются (или могли бы перемещаться) носители положительного заряда. Таким образом, нaправление электрического тока в наиболее распространенных проводниковых материалах — металлах противоположно фактическому направлению перемещения носителей заряда — электронов. О направлении тока судят по его знаку, который зависит от того, совпадает или нет направление тока с направлением, условно принятым за положительное. Условно-положительное направление тока при расчетах электрических цепей может быть выбрано совершенно произвольно.

Если в результате расчетов, выполненных с учетом выбранного направления, ток получится со знаком плюс, значит его направление, т е. направление перемещения положительных зарядов, совпадает с положительное; если ток получится со знаком минус, значит его направление противоположно условно-положительному.

Количественно ток оценивают зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени. Пусть q = q (t) — это заряд, прошедший через произвольное поперечное сечение проводника к моменту времени t (рис. 1.1, а). Рассмотрим два момента времени

Таким образом, ток в произвольный момент времени t представляет собой скалярную величину, равную производной по времени от электрического заряда, переносимого через рассматриваемое сечение проводника. Иными словами, ток численно равен скорости изменения электрического заряда во времени. В общем случае значение тока i в произвольный момент времени t (мгновенное значение тока) является функцией времени i=i(t). В частном случае, если заряд q является линейной функцией t (рис. 1.1, б), то скорость изменения заряда во времени I_ — величина постоянная, равная отношению заряда q (t), перенесенного за промежуток времени t, к длительности этого промежутка:

Таким образом, ток может быть постоянным (неизменным во времени) или переменным.

 В Международной системе единиц (СИ) заряд выражают в кулонах (Кл), время в секундах (с), ток в амперах (А). При постоянном токе в 1 А через поперечное сечение проводника за промежуток времени, равный 1 с, переносится заряд в 1 Кл.

Напряжение

Как известно, на всякий заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила значение н направление которой определяются напряженностью электрического поля а также зарядом и его знаком. Если носитель заряда является свободным, т. е. не закрепленным в какой-то фиксированной точке, то под действием приложенной силы он перемещается. Перемещение заряда происходит за счет энергии электрического поля. При перемещении единичного положительного заряда между двумя любыми точками А и Б электрического поля силами электрического поля совершается работа, равная разности потенциалов этих точек. Напомним, что потенциал произвольной точки А электрического поля определяется как работа, которая совершается силами электрического поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность. Разность потенциалов точек А и Б называется напряжением между этими точками:

Напряжение между точками А и Б электрической цепи может быть определено как предел отношения энергии электрического поля затрачиваемой на перенос положительного заряда q из точки А в точку Б, к этому заряду при

В Международной системе единиц напряжение выражают в вольтах (В), а работу в джоулях (Дж). При перемещении электрического заряда в 1 Кл между точками электрической цепи, разность потенциалов которых равна 1 В, совершается работа в 1 Дж.

Напряжение представляет собой скалярную величину, которой приписывается определенное направление. Обычно под направлением напряжения понимают направление, в котором перемещаются {или могли бы перемещаться) под действием электрического поля свободные носители положительного заряда, т. е. направление от точки цепи с большим потенциалом к точке цепи с меньшим потенциалом. Очевидно, что на участках цепи, в которых не содержатся источники энергии и перемещение носителей заряда осуществляется за счет энергии электрического поля, направления напряжения и тока совпадают.

Внутри источников энергии носители электрического заряда перемещаются за счет энергии сторонних сил, т. е. сил, которые обусловлены неэлектромагнитными при макроскопическом рассмотрении процессами, такими, как химические реакции, тепловые процессы, воздействие механических сил. Носители заряда через источники перемещаются в направлении, противоположном направлению действия сил электрического поля, в частности носители положительного заряда - от зажима источника с более низким потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом Таким образом, направление тока через источник противоположно направлению напряжения.

При расчетах электрических цепей направление напряжения сравнивается с направлением, условно выбранным за положительное.

Если в результате расистов напряжение на рассматриваемом участке цепи получится со знаком плюс, значит направление напряжения совпадает с направлением, условно принятым за положительное, если напряжение получится со знаком минус — его направление противоположно условно-положительному.

Электродвижущая сила

При перемещении сторонними силами носителя электрического заряда внутри источника энергия процессов, вызывающих эти силы, преобразуется в электрическую энергию. Источники электрической энергии характеризуются электродвижущей силой (э.д. с.), которая может быть определена как работа сторонних сил, затрачиваемая на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. Независимо от природы сторонних сил э. д. с. источника численно равна напряжению между зажимами источника энергии при отсутствии в нем тока. Электродвижущая сила — скалярная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения положительных зарядов внутри источника, т. е. с направлением тока. Напряжение на участке цепи и э. д. с. являются функциями времени, либо сохраняют постоянные значения. Постоянные напряжения и э. д. с. обозначают соответственно U_ и Е_. Переменные напряжения и э. д. с. характеризуют мгновенными значениями и обозначают соответственно

Мощность и энергия

Пусть разность потенциалов точек А и Б электрической цепи равна u. При перемещении элементарного электрического заряда dq через участок цепи, лежащий между этими точками, силы электрического поля совершают элементарную работу, которая в соответствии с (1.2) и (1.1) равна

Элементарная работа характеризует изменение энергии электрического поля и количественно равна энергии, поступившей в рассматриваемый участок цепи за промежуток времени dt. Эту энергию к моменту времени t = определяют интегрированием (1.3):

Нижний предел интегрирования t = выбирают для того, чтобы учесть все поступления энергии в цепь. Если для любого момента времени t энергии то рассматриваемый участок цепи является потребителем энергии и называется пассивным. Если хотя бы для какого-то момента времени энергия то участок цепи содержит источники энергии и называется активным.

Производная энергии по времени, т. е. скорость поступления энергии в текущий момент времени t, представляет собой мгновенную мощность участка цепи

Как видно из выражения (1.5), мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока. Если в рассматриваемый момент времени направления тока и напряжения совпадают, то мгновенная мощность исследуемого участка цепи положительна. Это означает, что в данный момент времени участок цепи получает электрическую энергию от остальной части цепи. Если направления напряжения и тока не совпадают, значение мгновенной мощности р отрицательно, в данный момент времени участок цепи отдает электрическую энергию остальной части цепи.

Подставляя выражение (1.5) в (1.4), выразим энергию, поступившую в участок цепи к моменту времени через мгновенную мощность

Очевидно, что энергия W, поступившая в цепь за промежуток времени также может быть выражена через мгновенную мощность р:

В системе единиц СИ работу и энергию выражают в джоулях (Дж), а мощность — в ваттах (Вт).

Схема электрической цепи

Электрическая схема— это условное графическое изображение электрической цепи. В электротехнике и радиоэлектронике встречаются различные типы электрических схем: структурные, принципиальные и эквивалентные (расчетные) схемы.

Структурная электрическая схема это условное графическое изображение реальной цепи, на котором отражены только важнейшие функциональные части цепи и основные связи между ними.

Принципиальная электрическая схема представляет собой графическое изображение реальной цепи, на котором с помощью условных графических обозначений показаны все элементы цепи и все соединения между ними Каждому реальному элементу электрической цепи (транзистору, резистору, конденсатору, трансформатору и т. п.) соответствуют условные графическое и буквенное обозначения, определяемые действующими стандартами ЕСКД.

Эквивалентной, или расчетной, электрической схемой цепи называется условное графическое изображение моделирующей цепи, т. е. цепи, составленной из идеализированных элементов, замещающей исследуемую реальную цепь в рамках решаемой задачи. Каждому идеализированному элементу цепи присваиваются определенные условные графическое и буквенное обозначения (эти обозначения не стандартизированы). Эквивалентная схема цепи может быть получена из принципиальной электрической схемы, если каждый изображенный на ней реальный элемент заменить его эквивалентной схемой или схемой замещения.

Схема замещения реального элемента представляет собой условное графическое изображение идеализированной электрической цепи, моделирующей данный элемент в рамках поставленной задачи.

Следует иметь в виду, что в зависимости от обстоятельств (требуемая точность расчета, диапазон исследуемых частот, используемый метод расчета и т. п.) каждому элементу электрической цепи и всей цепи в целом могут быть поставлены в соответствие различные моделирующие цепи и различные эквивалентные электрические схемы, в частности: эквивалентные схемы цепи по постоянному и по переменному токам, для высоких и низких частот, для мгновенных значений токов и напряжений и для преобразованных токов и напряжений.

Отметим, что в целях компактности изложения в литературе часто не делается различий между моделирующей цепью (которая строится только мысленно) и эквивалентной схемой цепи (схемой замещения), при этом схема замещения непосредственно рассматривается как расчетная модель цепи.

Электрическое поле

Физическую основу электротехники составляют электрические и магнитные явления. Содержание же электротехники как отрасли науки заключается в техническом использовании этих явлений.

Прежде чем приступить к изучению теоретической части электротехники, необходимо возвратиться к курсу физики, в котором изучаются электрические и магнитные явления, вспомнить уже известные и столь необходимые в данном случае понятия и определения.
 

Электропроводность — это свойство вещества проводить под действием не изменяющегося во времени электрического поля не изменяющийся во времени электрический ток.

В данное определение входят еще два понятия: электрическое поле и электрический ток, которые далее рассмотрены в первую очередь как основополагающие для всего курса.

Основные характеристики электрического поля

В современной науке утвердилось представление о поле как о физической реальности, существующей наряду с веществом.

Электромагнитное поле как вид материи характеризуется тем, что оказывает силовое воздействие на заряженные частицы, степень которого зависит от скорости движения частиц и величины их электрического заряда.

В зависимости от условий наблюдения электромагнитное поле проявляется в целом или как одна из двух его сторон: электрическое поле или магнитное поле.
 

Элементарные частицы и их электромагнитное поле

В структуру атомов вещества входят элементарные частицы. Некоторые из них обладают электрическим зарядом.

Элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом (например, электроны и протоны), окружены электромагнитным полем. Эти частицы не существуют отдельно от их электромагнитного поля, т. е. между заряженной частицей и ее электромагнитным полем точной границы нет.

Однако полагают, что электрический заряд сосредоточен в весьма малой области пространства, и тогда говорят о частице, обладающей электрическим зарядом. Вне этой области материя существует в виде электромагнитного поля, а объемная плотность электрического заряда равна нулю.

Электрон и протон имеют равный по величине (1,6·10^-19 Кл), но противоположный по знаку заряд, который считается элементарным (наименьшим известным).
 

Элементарный электрический заряд — это свойство электрона или протона, характеризующее их взаимосвязь с собственным электрическим полем и их взаимодействие с внешним электрическим полем.

Электромагнитное поле может существовать отдельно от электрически заряженных частиц. Подтверждением этому являются электромагнитные волны, которые распространяются в пространстве (радиоволны).
 

Электростатическое попе

Как электромагнитное поле, так и обе его стороны, характеризуются силовым воздействием на заряженные частицы.
 

Электрическое поле характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ee скорости.

Обычным состоянием окружающих нас тел является состояние электрически нейтральное, хотя они и состоят из частиц, имеющих электрический заряд. Это объясняется равенством общего положительного заряда ядер атомов общему отрицательному заряду электронов.

Тело может получить электрический заряд в результате какого-либо процесса, который приведет к неравенству в объеме тела или части его положительного и отрицательного зарядов. В обоих случаях заряженные частицы не пропадают, а передаются от одного тела другому или перемещаются в данном теле, т.е. происходит пространственное разделение положительно и отрицательно заряженных частиц.

Поэтому электрический заряд тела (системы тел) всегда равен алгебраической сумме элементарных электрических зарядов.

Электризация тел может быть осуществлена трением, электростатической индукцией или в результате других физических и химических процессов.
Неподвижное тело, обладающее электрическим зарядом, так же как и неподвижная элементарная заряженная частица, окружено электрическим полем. Электрическое поле неподвижных заряженных тел в отсутствие в них электрических токов называется электростатическим.

Силовой характеристикой электрического поля является его напряженность. С помощью величины напряженности представляется возможным оценивать интенсивность электрического поля и определять силу, действующую со стороны поля на заряженную частицу.

О напряженности электрического поля далее будет сказано подробнее. Но уже теперь можно отметить, что напряженность электростатического поля не изменяется с течением времени.

Закон Кулона

Отмеченное ранее свойство электрического поля — силовое действие на заряженные частицы и тела — используется с целью его обнаружения и изучения. Для этого нужно поместить в пространство, окружающее тело с зарядом Q₁, другое тело с зарядом Q₂ (рис. 1.1). Первое тело вместе с его полем будем называть исследуемым, а второе — пробным.

Рис. 1.1. Взаимодействие двух заряженных тел

Опыт показывает, что на каждое из двух заряженных тел действуют одинаковые силы F_э, направленные так, что тела с зарядами одного знака отталкиваются, а тела с зарядами разных знаков притягиваются.

Электрическое поле пробного тела распределено в том же пространстве, что и исследуемое поле. Поэтому исследуемое поле при наличии в нем пробного заряженного тела должно отличаться от того поля, которое связано с уединенным исследуемом телом.

В соответствии с принципом наложения можно полагать, что два заряженных тела окружены общим электрическим полем, которое получается в результате наложения двух полей, каждое из которых связано со своим заряженным телом, когда последнее уединено.

В таком случае силу F_э можно рассматривать как результат силового действия общего электрического поля на каждое из заряженных тел. Количественно это действие определяется по формуле закона Кулона (1.1), которая справедлива для точечных заряженных тел.

Заряженное тело называется точечным, если его линейные размеры очень малы в сравнении с расстоянием от него до точек, в которых рассматривается его электрическое поле.

Величина силы, с которой на каждое из двух точечных заряженных тел, расположенных в вакууме, действует их общее электрическое поле, пропорциональна произведению зарядов этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

                    (1.1)

где Q₁ и Q₂ — заряды точечных тел; r — расстояние между их центрами;  — коэффициент пропорциональности, который определяется выбором системы единиц.

Величина ε₀ в знаменателе этого коэффициента называется электрической постоянной, имеющей в Международной системе единиц (СИ) численное значение

Другие величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующие единицы измерения: сила [F_э] — ньютон (Н); количество электричества (электрический заряд) [Q] — кулон (Кл).

Электрические и магнитные единицы в СИ установлены для рационализированной формы уравнений, предусматривающей отсутствие постоянного множителя 4π в наиболее важных и часто используемых уравнениях электротехники. Наличие этого множителя в знаменателе формулы (1.1), которая тоже написана в рационализированной форме, обусловлено сферической симметрией электрического поля точечного заряженного тела.

Формула (1.1) и последующие выражения, относящиеся к электрическому полю в вакууме, справедливы и для электрического поля в воздухе. 

Напряженность электрического поля

Предположим, что размеры пробного тела и его заряд столь малы, что заряд Q₁ исследуемого тела и его электрическое поле не изменяются т. е. остаются такими же, как и в случае уединения. Пробное тело при этом можно рассматривать лишь как «инструмент» для регистрации электрической силы. Помещая пробное заряженное тело в различные точки, можно исследовать интенсивность электрического поля.

Согласно закону Кулона, сила пропорциональна величине пробного заряда. В связи с этим интенсивность электрического поля в данной точке удобно оценивать величиной силы, приходящейся на единицу положительного заряда пробного тела, расположенного в той же точке, т. е. отношением F_э/Q₂.

Напряженность электрического поля — векторная величина, характеризующая электрическое ноле и определяющая силу, действующую на заряженную частицу (тело) со стороны электрического поля.

В численном выражении напряженность электрического поля равна отношению силы, действующей на заряженную частицу (пробное тело), к ее заряду:

                      (1.2)
Направление напряженности электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на частицу (пробное тело) с положительным зарядом.

Единица напряженности электрического поля

Эта единица напряженности электрического поля специального названия не имеет.

Рис. 1.2. Изображение электрического поля уединенных точечных заряженных тел

Рис. 1.3. Линии напряженности поля группы из двух точечных заряженных тел

Линии напряженности электрического поля

Для наглядного изображения электрического поля пользуются линиями напряженности или силовыми линиями. Линии напряженности электрического поля проводятся так, что вектор напряженности совпадает с касательной в каждой точке этой линии.

Силовые линии одиночного точечного заряженного тела представляют собой радиальные прямые, проведенные через точку, в которой находится это тело, так как в любой точке окружающего пространства сила, действующая на пробное тело, направлена по прямой, соединяющей центры заряженных тел.

Если заряд тела положительный, силовые линии направлены от центра тела (рис. 1.2, а), если отрицательный — то к центру тела (рис. 1.2, б).

Рис. 1.4. Линии напряженности равномерного электрического поля

Рассмотрим электрическое поле группы заряженных точечных тел. Напряженность результирующего поля в каждой точке равна геометрической сумме напряженностей полей, обусловленных всеми зарядами. На рис. 1.3 представлено поле простейшей группы из двух точечных тел, обладающих одинаковыми по величине зарядами: а—разноименными; б — одноименными.
 

Электрическое поле называется однородным {равномерным), если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению.
Равномерное поле получается между двумя параллельными пластинами, размеры которых велики по сравнению с расстоянием между ними (рис. 1.4.)

Задача 1.1.

Определить силу, действующую на каждое из двух точечных заряженных тел в вакууме, если в электрические заряды тел Q₁ = 0,8 • 10^-6 Кл, Q₂ = 1,6 • 10^-6 Кл, расстояние между ними 20 см.
Решение. Для решения задачи используем формулу (1.1), подставив в нее численные значения величин:

 

Работа при перемещении заряженных частиц в электрическом поле

Рассмотрим свободную частицу с положительным зарядом Q в равномерном электрическом поле (рис. 1.5). Эта частица будет перемещаться по направлению действующей на нее силы F_э. При перемещении частицы на пути l между точками 1 и 2 совершается работа A_1.2 = F_эl.

Учитывая формулу (1.2), выразим работу через напряженность электрического поля Е:
А_1.2 = ЕQl.

Работа при перемещении заряженной частицы совершается в результате силового взаимодействия частицы с внешним полем. Численно она пропорциональна напряженности поля и величине заряда.

Работа считается положительной, если заряженная частица перемещается по направлению сил поля, и отрицательной, если перемещение вызывается действием посторонних сил против направления сил электрического поля.
Аналогичные выводы можно сделать и для неравномерного поля, определяя работу при перемещении заряженной частицы между точками 1 и 2 как сумму элементарных значений работы dА, совершаемой на каждом бесконечно малом отрезке пути dl, в пределах которого
напряженность поля можно считать постоянной:

где Е_п — проекция вектора напряженности поля на направление движения заряженной частицы.

Рис. 1.5. Свободная заряженная частица в равномерном электрическом поле

Предположим теперь, что заряженная частица движется по замкнутому пути 1-4-2-5-1. Если частица движется по участку 1-4-2, то перемещение ее в направлении от точки 1 к точке 2 совпадает с направлением сил поля, т. е. совершается положительная работа А_1.2. При движении по участку пути 2-5-1 силы поля направлены против движения и работа A_1.2 отрицательна.
Общая величина работы А на замкнутом пути 1-4-2-5-1 равна нулю:

Невыполнение этого условия означало бы, что имеется замкнутый путь, вдоль которого работа положительна.

В таком случае открылась бы возможность, не пополняя энергии электрического поля, получить неограниченную величину положительной работы, что противоречило бы закону сохранения энергии. Отсюда следует равенство А_1.4.2 = —A_2.5.1.

Но работа на пути 2-5-1 численно равна и противоположна по знаку той работе, которая была бы совершена при движении заряженной частицы по тому же пути, но в обратную сторону, т. е.
А_1.4.2 = А_1.5.2.

Оба пути (1-4-2 и 1-5-2) выбраны произвольно. Отсюда следует, что работа, совершаемая силами поля при перемещении заряженной частицы между двумя точками, не зависит от выбранного пути, а определяется положением начальной и конечной точек пути (1 и 2), т. е. расстоянием l.
 

Электрическое напряжение и потенциал

Количество работы зависит не только от величин, относящихся к полю Е, l, но и от заряда частицы Q. Поэтому с энергетической точки зрения поле вдоль рассматриваемого пути характеризуется работой, приходящейся на единицу заряда:
U_1.2 = A_1.2/Q

Это отношение называется электрическим напряжением.
 

Электрическое напряжение есть энергетическая характеристика поля вдоль рассматриваемого пути из одной точки в другую, которой оценивается возможность совершения работы при перемещении заряженных частиц между этими точками.

Нетрудно найти связь напряженности равномерного поля с напряжением между двумя любыми точками:

Единица электрического напряжения

Применяются также производные от вольта: 1 киловольт (кВ) = 10³ В; 1 милливольт (мВ) = 10^-3 В; 1 микровольт (мкВ) = 10^-6 В.

Учитывая, что работа, совершаемая при перемещении заряженной частицы в электрическом поле, зависит от положения начальной и конечной точек пути, для расчета можно ввести энергетическую характеристику поля в каждой точке, величина которой является функцией положения точки. Такой характеристикой является электрический потенциал.

Предположим, что пробная частица, обладающая зарядом Q, расположена в точке 1 электрического поля (см. рис. 1.5) и, следовательно, находится под действием силы F_э. Электрическое поле действует на эту частицу подобно тому, как действует на тело поле тяготения, т. е. частица обладает потенциальной энергией А₁.

При перемещении заряженной частицы из точки 1 в точку 2 совершается работа A_1.2, связанная с действием той же силы F_э. Работу A_1.2 нужно рассматривать как убыль потенциальной энергии заряженной частицы при перемещении ее между указанными точками.

Следовательно, потенциальная энергия в точке 2  A₂ = A₁ — A_1.2.
Отношение потенциальной энергии заряженной частицы, помещенной в данную точку электрического поля, к величине ее заряда называется электрическим потенциалом поля в этой точке.

Таким образом, напряжение между двумя точками электрического поля равно разности потенциалов поля в этих точках:

Аналогичные рассуждения можно привести, рассматривая заряженную частицу в точках 2,3 и др.

Потенциальная энергия заряженной частицы в электрическом поле уменьшается при переходе от точки к точке по направлению линий напряженности. Она становится равной нулю за пределами электрического поля, где сила F_э = 0.

При наличии электрического поля бесконечной протяженности сила F_э равна нулю в бесконечности.

При обратном перемещении заряженной частицы против силы взаимодействия ее с электрическим полем потенциальная энергия будет возрастать за счет работы внешней неэлектрической силы.

Потенциальную энергию можно определить относительно какого-либо уровня, принятого за начальный. При теоретических исследованиях за начальный потенциал принимают потенциал бесконечно удаленной точки поля, где он равен нулю: V_∞ = 0. В этом случае потенциал любой точки поля численно равен работе, которая могла бы быть совершена в электрическом поле при перемещении частицы, обладающей единицей заряда, из дайной точки в бесконечность.

При решении практических задач, относящихся к электрическим установкам, обычно полагают начальным потенциал земли, который принимают равным нулю.
 

Эквипотенциальные поверхности и линии

Потенциал электрического поля изменяется от точки к точке. Вместе с тем в поле можно выделить ряд точек, имеющих одинаковый потенциал. Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется поверхностью уровня потенциала или эквипотенциальной поверхностью.

В электрическом поле любой конфигурации линии напряженности и эквипотенциальные поверхности пересекаются под прямым углом. В этом нетрудно убедиться, рассматривая в эквипотенциальной поверхности около некоторой точки a любой бесконечно малый отрезок пути (рис. 1.6, 6).
Согласно определению эквипотенциальной поверхности (V = const), работа при перемещении заряженной частицы вдоль любого пути A_1.2 = Q(V₁ — V₂) равна нулю. Это условие выполняется только в том случае, если вектор напряженности поля в точке а направлен перпендикулярно отрезку dl (электрическая сила действует в направлении, перпендикулярном перемещению частицы).

Отсюда следует, что эквипотенциальные поверхности равномерного поля — плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис. 1.6, а), а поля одиночного точечного заряженного тела — сферические поверхности, центр которых совпадает с центром поля (рис. 1.6, б).

С помощью силовых и эквипотенциальных линий (эквипотенциальная линия — след эквипотенциальной поверхности) оказывается возможным наглядно изобразить картину электрического поля. 

Рис. 1.6. Линии напряженности и эквипотенциальные линии электрического поля

 
Рис. 1.7. Металлическое тело в электрическом поле

Проводники в электрическом поле

В металлическом теле (рис. 1.7) под действием внешнего электрического поля с напряженностью Е₁ свободные электроны перемещаются к одной поверхности, которая получает отрицательный заряд. Противоположная поверхность получает положительный заряд.

Явление смещения свободных заряженных частиц на поверхность проводника, помещенного в электрическое поле, называется электростатической индукцией.

В результате разделения зарядов в проводнике создается внутреннее электрическое поле с напряженностью Е₂, направленное противоположно внешнему. Движение свободных электронов в проводнике при электростатической индукции существует кратковременно, но продолжается до тех пор, пока напряженности внешнего и внутреннего полей не станут равными.

При равенстве Е₁ = Е₂ разделение зарядов в проводнике прекращается, так как результирующая напряженность электрического поля равна нулю.
Благодаря наличию в проводнике свободных заряженных частиц электростатическое поле в нем существовать не может.
Напряжение между двумя любыми точками проводника равно нулю, следовательно, потенциал его во всех точках один и тот же. Таким образом, проводник представляет собой эквипотенциальный объем, а его поверхность является эквипотенциальной поверхностью результирующего электрического поля.

Если в электрическое поле поместить проводник с полостью внутри, то и в этом случае заряженные частицы будут только на поверхности. Внутри металла и полости электрическое поле отсутствует.

Это свойство проводников используется для электростатического экранирования, т. е. для защиты какого-либо устройства от действия внешнего электрического поля (защищаемый объект помещается в металлическую коробку или сетку с малыми отверстиями).

Задача 1.5.

Найти распределение потенциалов в поле между двумя заряженными параллельными пластинами бесконечной протяженности (см. рис. 1.4).
Решение. Установлено, что напряженность электрического поля между двумя бесконечными заряженными плоскостями одинакова во всех точках. Учитывая это, для определения потенциала воспользуемся формулой (1.6), приняв потенциал отрицательной пластины равным нулю.
Напряжение между пластиной 1 и произвольной точкой х
U_1.x = Ex = V₁ — V_x.

Потенциал точки x

V_x = V₁ — U_1.x = V₁ — Ex.

При V₂ = 0 потенциал положительной пластины равен напряжению между пластинами:

V₁ = U_1.2 — El.

Потенциал произвольной точки х:
V_x = U_(1.2) (1 - x/l).
Вывод. Между двумя бесконечными плоскостями, заряженными противоположно с одинаковой плотностью заряда, потенциал изменяется по линейному закону, уменьшаясь на пути от положительной пластины к отрицательной. На рис. 1.4 показан график распределения потенциала между пластинами.

Электрический ток в проводниках

Известно несколько видов явления электрического тока, различающихся в зависимости от типа вещества, в котором оно возникает при соответствующих условиях.

Деление веществ по степени электропроводности на проводники, полупроводники и непроводники (диэлектрики) связано с понятием об электрическом токе проводимости.

Проводники делят на два вида в зависимости от типа носителей электрического заряда, образующих электрический ток. В проводниках первого вида (металлы) ток образуется свободными электронами, поэтому электропроводность их называется электронной. В проводниках второго вида (расплавленные соли, растворы солей, кислот, щелочей) носителями электрического заряда являются ионы — заряженные атомы и молекулы.
 

Электронная теория строения металлов

Представление об электронной структуре атомов послужило основанием для классической теории строения металлов. В этой теории учитывается, что валентные электроны наружного слоя уединенного атома слабо связаны с ядром. При образовании кристаллов на электроны каждого атома действуют ядра других атомов. В этих условиях некоторые валентные электроны утрачивают постоянную связь с одним ядром и переходят от одного атома к другому. Такие электроны называют свободными. Атомы, потерявшие электроны из валентного слоя, становятся положительными ионами и располагаются в узлах кристаллической решетки, совершая тепловые колебания около положения равновесия. Общий заряд свободных электронов в кристалле равен положительному заряду ионов, поэтому кристалл остается электрически нейтральным.

Свободные электроны тоже участвуют в хаотическом тепловом движении, но перемещаются по всему кристаллу, образуя своеобразный электронный газ. Предполагается, что свободные электроны обладают свойствами молекул идеального газа: они не взаимодействуют на расстоянии между собой и с другими частицами металла, но при своем движении могут сталкиваться с ионами кристаллической решетки. Электронная теория строения металлов была разработана в связи с общей проблемой электропроводности веществ. Электропроводность, теплопроводность, электрическое сопротивление легко объяснить при введении понятия о свободных электронах. Электронная теория объясняет плохую электропроводность у ряда веществ отсутствием свободных электронов. Такие вещества называют диэлектриками. Однако не все электрические свойства твердых тел, в том числе и металлов, можно объяснить с помощью электронной теории. Применение ее в ряде случаев противоречит опытным данным.
 

Явление электрического тока проводимости

На заряженные частицы в электрическом поле действуют электрические силы F_э. Если электрическое поле поддерживается в проводнике, то свободные заряженные частицы, участвующие в тепловом беспорядочном движении, приобретают составляющие скорости вдоль линий напряженности поля. При этом условии частицы движутся преимущественно в одном направлении: положительные — по направлению поля, а отрицательные — в обратную сторону.

Явление направленного движения свободных носителей электрического заряда в веществе или в вакууме называется электрическим током проводимости.

Частицы, образующие ток в веществе проводников, являются структурными элементами самих проводников. Поэтому электрический ток в проводниках второго вида сопровождается химическими изменениями и переносом вещества (например, явление электролиза).

Поскольку все электроны одинаковы, то в проводниках первого вида электрический ток не сопровождается изменением химического состава проводника. Не обнаруживается и перенос вещества, так как масса электронов очень мала по сравнению с массой ядра.

Величина электрического тока проводимости

Интенсивность электрического тока оценивается физической величиной, называемой силой электрического тока. В практике эту величину называют электрическим током или просто током.

Величина тока проводимости определяется электрическим зарядом всех частиц, проходящих через поперечное сечение проводника в единицу времени. Предположим, что через поперечное сечение проводника S за время t равномерно проходит n электронов. Заряд каждого электрона е, поэтому общий заряд частиц, прошедших через сечение за это время, Q = en.
Отношение
Q/t = en/t = I                      (2.1)

выражает заряд, перенесенный электронами через сечение проводника за 1 с, т. е. ток I.

Единица измерения электрического тока ампер (А) в Международной системе единиц является одной из основных. В практике применяют также производные от ампера: 1 килоампер (кА) = 10³ А — для измерения больших токов; 1 миллиампер (мА) = 10^-3 А и 1 микроампер (мкА) = 10^-6 А — для измерения малых токов.

Положительным направлением электрического тока условно принято считать направление, в котором движутся положительно заряженные частицы. В металлах положительное направление тока противоположно направлению движения электронов.

Электрический ток, длительно не изменяющийся по величине и направлению, называется постоянным (I на рис. 2.1). Таким образом, для постоянного тока характерно изменение заряда в одном направлении с одинаковой интенсивностью.

Рис. 2.1. Графики электрического тока

Если ток с течением времени изменяется, то он называется переменным (2, 3 на рис. 2.1).

В этом случае по оси ординат на графиках откладываются мгновенные значения тока, которые определяются изменением заряда q за бесконечно малый промежуток времени:

На кривой 3 (рис. 2.1) показан мгновенный ток i (t₁) в момент времени t₁. В практических расчетах пользуются понятием плотности электрического тока проводимости J.

При токе в проводнике I и поперечном сечении проводника S численно плотность тока определяется отношением
J = US.                      (2.3)

Единица плотности тока
[J] = ампер/метр²(А /м²).

В практике площадь поперечного сечения проводов чаще выражают в мм² и соответственно плотность тока — в А/мм².

При постоянном токе, несмотря на движение заряженных частиц в проводнике, распределение заряда в нем стационарно, так как в любом элементе объема за некоторый промежуток времени заряд уходящих и входящих частиц одинаков.
Электрическое поле, связанное с движущимися заряженными частицами в проводнике, называется стационарным в отличие от электростатического, связанного с неподвижными заряженными частицами.

Электрический ток в проводнике и соответствующее ему стационарное электрическое поле нужно поддерживать, непрерывно пополняя энергию поля, которая расходуется в связи с движением заряженных частиц, превращаясь в тепло.

Электрическое сопротивление и  закон ома

Опытами установлено, что интенсивность электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля и зависит от свойств проводящего вещества.

Для практических целей представляет интерес определение величины тока в проводнике, если известны его форма и размеры.

Электрическая проводимость

Плотность электрического тока в проводнике выражается произведением напряженности электрического поля Е и удельной электрической проводимости γ:
J = γЕ.                      (2.4)
 

Удельная электрическая проводимость характеризует электропроводность вещества, т. е. способность к образованию внутри вещества электрического тока под действием электрического поля.

Рассмотрим отрезок проводника длиной l и поперечным сечением S (рис. 2.2).

Рис. 2.2. К определению электрического сопротивления участка провода

Наличие электрического поля в проводнике означает, что потенциал его изменяется при переходе от точки к точке, т. е. проводник не является эквипотенциальным объемом. Если поле равномерно и направлено вдоль проводника, то разность потенциалов между его концами можно выразить по формуле (1.5): U = Еl.

Считая электрическим ток равномерно распределенным по сечению (J = const) и учитывая формулу (2.4), получим

отсюда

Отношение

называется электрической проводимостью проводника и обозначается G.
Электрическая проводимость показывает, какой величины ток образуется в проводнике данных размеров при напряжений на его концах в 1 В. Единица электрической проводимости
[G] = [UU] = ампер/вольт = сименс (См).

Электрическое сопротивление

Зависимость (2.5) можно записать в таком виде:

где R = 1/G — величина, обратная проводимости, называемая электрическим сопротивлением проводника.
 

Электрическое сопротивление постоянному току равно отношению постоянного напряжения на участке цепи к постоянному току в нем при отсутствии, на участке э. д. с.

Свойства токопроводящего материала характеризуются также величиной, обратной удельной проводимости γ, называемой удельным сопротивлением:
ρ = 1/γ.                      (2.7)

Учитывая формулы (2.5) и (2.7), можно записать выражение для сопротивления проводника через его размеры:
R = U/I = l/γS = pl/S                      (2.8)

Единицей электрического сопротивления является сопротивление такого проводника, в котором при разности потенциалов на концах в 1 В устанавливается ток в 1 А:
[R] =[U/I] = вольт/ампер = ом (Ом).

По формулам (2.5) и (2.8) можно определить величины удельной проводимости γ, удельного сопротивления ρ и единицы их измерения. В СИ [γ] = 1/(Ом • м) и [ρ] = Ом • м. В практике принято выражать длину проводов в м, а сечение в мм, поэтому в справочных таблицах удельная проводимость часто дается в м/(Ом • мм²), а удельное сопротивление — в Ом • мм²/м.
Для полупроводников и диэлектриков величина ρ обычно выражается в Ом • см.

Формулы (2.4), (2.5), (2.6) являются математическим выражением закона Ома в применении к участку проводника, в котором на заряженные частицы действуют только силы электрического поля.

Ток в проводнике равен отношению напряжения на участке проводника к электрическому сопротивлению этого участка.

Зависимость электрического сопротивления от температуры

Электронная теория электропроводности так объясняет сущность электрического сопротивления металлов. Свободный пробег электронов ограничен соударением их с ионами, образующими кристаллическую решетку.

При столкновении кинетическая энергия электронов передается кристаллической решетке металла. После каждого столкновения электроны под действием сил электрического поля снова набирают скорость и отдают энергию при столкновении. При этом проводник нагревается за счет работы сил электрического поля. Электроны выполняют роль посредника при преобразовании электрической энергии в тепло, а величина сопротивления при данном токе определяется количеством энергии, преобразуемой в единицу времени.

При увеличении температуры проводника усиливается тепловое хаотическое движение частиц, что увеличивает число столкновений и затрудняет упорядоченное движение электронов. Этим объясняется увеличение удельного электрического сопротивления металлов с ростом температуры.
Почти у всех металлов при рабочих температурах удельное сопротивление с ростом температуры увеличивается по линейному закону
ρ₂ = ρ₁ [1 + α(t₂ — t₁)],                      (2.9)

где ρ₁, ρ₂ — удельное сопротивление при начальной и конечной температуре; α — постоянный для данного металла коэффициент, называемый температурным коэффициентом сопротивления; t₁ и t₂ — начальная и конечная температура.

Для проводников любых размеров из данного материала сопротивление в зависимости от температуры выражается формулой, аналогичной формуле (2.9):

R₂ = R₁ [1 + α(t₂ — t₁)].                     (2.10)

Рис. 2.3. Вольт-амперные характеристики линейных резисторов

Большая группа проводниковых материалов имеет постоянную величину удельного сопротивления (проводимости), не зависящую от тока и напряжения. Малая величина коэффициента α обусловливает постоянство удельного сопротивления в рабочем интервале температур (от 0 до 100° С), поэтому изменение тока в рабочих пределах не вызывает изменения сопротивления (R = const).

Зависимость между током и напряжением I(U) (вольт-амперная характеристика), выраженная графически, имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат (рис. 2.3). Чем больше проводимость, тем больший ток образуется в проводнике при том же напряжении, поэтому вольт-амперная характеристика проводника идет круче при большей величине проводимости.
 

Задача 2.6. Определить сопротивление медного провода двухпроводной линии передачи при t₁ = 20°С и t₂ = 30°С, если сечение провода S = 120 мм₂, а длина линии l = 100 км.
Решение. Удельное сопротивление ρ меди при t₁ = 20°С и температурный коэффициент сопротивления α: ρ = 0,0175 Ом • мм²/м; α = 0,004 град^-1.
Определим сопротивление провода при t₁ = 20°С по формуле (2.8), учитывая длину прямого и обратного проводов линии: R₁ = = 29,16 Ом.
Сопротивление провода при t₂ = 30°С R₂ = 29,16 [1 + 0,004 (30 — 20)] = 30,32 Ом.

Электрический ток в вакууме

В современной технике широко применяются электровакуумные приборы (электронные лампы, вакуумные фотоэлементы), в которых обеспечиваются условия для возникновения и поддержания электрического тока в среде, не обладающей электропроводностью.

Электронная эмиссия

Рассмотрим двухэлектродную лампу (диод), схема которой показана на рис. 2.4. Два металлических электрода, находящихся внутри стеклянного или металлического баллона, из которого удален воздух, имеют выводы наружу, что позволяет подвести к ним электрическое напряжение. Один электрод соединен с отрицательным полюсом источника напряжения и называется катодом К. Другой электрод соединен с положительным полюсом источника и называется анодом А.

Разность потенциалов между электродами в вакууме создает электрическое поле, которое необходимо для возникновения и поддержания электрического тока между электродами. Однако этого условия недостаточно. Электрический ток не может возникнуть, если внутри баллона нет свободных заряженных частиц. Для того чтобы ток возник и поддерживался, необходимо в пространство между электродами непрерывно вводить свободные заряженные частицы. В электровакуумных приборах для этого используется физический процесс выхода свободных электронов из катода — электронная эмиссия.

Выход свободных электронов из металла может быть и при нормальной температуре. Но отделившиеся от металла электроны не могут удалиться более чем на несколько межатомных расстояний, так как металл, заряженный положительно, электростатическими силами притягивает их обратно. Процессы испускания и поглощения электронов металлом идут одновременно, поэтому около катода имеется электронное облако, которое тоже препятствует выходу электронов из металла. Электрическое поле между металлом и электронным облаком создает для свободных электронов на границе металл — вакуум потенциальный барьер с разностью потенциалов U₀.

Без специальных мер по увеличению кинетической энергии свободных электронов до величины, при которой возможно преодоление потенциального барьера, электронная эмиссия проявляется настолько слабо, что практически ее использовать нельзя.

Электрон может преодолеть потенциальный барьер и выйти из металла, если ему извне сообщить дополнительную энергию, равную работе, которая затрачивается на перемещение электрона через поверхностный слой на границе металла с вакуумом. Величина этой работы, равная произведению заряда электрона e и напряжения U₀ называется работой выхода:
A₀ = eU₀.                      (2.11)

Рис. 2.4. Схема для получения тока в вакууме

Рис. 2.5. Потенциальный барьер на границе металл — вакуум

Для свободных электронов металл схематически можно представить в виде потенциального ящика с плоским дном и вертикальными стенками высотой, равной работе выхода А₀ (рис. 2.5).
 

Вольт-амперные характеристики электровакуумных приборов

Одним из способов увеличения электронной эмиссии является нагревание металла. В этом случае эмиссия электронов называется термоэлектронной.
В электронной лампе источником свободных электронов (эмиттером) является катод, нагретый до определенной температуры; например, рабочая температура катода из вольфрама 2250—2550° С.

Рис. 2.6. Вольт-амперные характеристики диода

Рис. 2.7. Вольт-амперные характеристики вакуумного фотоэлемента с сурьмяно-цезиевым фотокатодом

Применение в качестве эмиттеров материалов, характеризующихся меньшей работой выхода, чем вольфрам (окислы бария, стронция), позволяет значительно снизить рабочую температуру катода (до 550—1000° С). Электроны, перешедшие из катода в вакуум, под действием электрического поля направляются на анод. При таких условиях промежуток между электродами электронной лампы является проводящим, а в цепи рис. 2.4 устанавливается электрический ток, называемый анодным (I_a).

Величина анодного тока зависит от различных факторов, важнейшими из которых являются температура катода Т и напряжение между электродами U_a. Эти зависимости, названные вольт-амперными (анодными) характеристиками, показаны на рис. 2.6. С ростом напряжения ток сначала медленно, а затем резко возрастает, что объясняется увеличением скорости движения электронов к аноду.

При некоторой величине U_a и температуре катода Т₁ анодный ток достигает тока эмиссии I_э1, когда все электроны, покинувшие катод, достигают анода. Пологий участок вольт-амперной характеристики называется участком насыщения. При увеличении температуры ток эмиссии возрастает, а пологий участок кривой I_a(U_a) располагается на графике выше.

Если потенциал катода оказывается выше потенциала анода (V_a < 0), то ток в цепи практически равен нулю: электрическое поле направлено от катода к аноду; электроны, вылетевшие из катода, не могут достигнуть анода, так как под действием поля возвращаются на катод. Это «запирающее» свойство диода используется для выпрямления переменного тока.

Кроме двухэлектродной лампы в радиоэлектронике широко применяются трехэлектродные и многоэлектродные лампы, которые тоже имеют нелинейные вольт-амперные характеристики.

Энергия, необходимая для преодоления потенциального барьера, может быть сообщена электронам излучением (видимый свет, ультрафиолетовые и инфракрасные лучи и другие излучения).

Явление выхода электронов из металла под действием лучистой энергии — фотоэлектронная эмиссия (внешний фотоэффект) — было обнаружено в 1888 г. профессором Московского университета А. Г. Столетовым.

В качестве эмиттера фотоэлектрических катодов используются щелочноземельные элементы. Фотокатоды применяются в электронных приборах, реагирующих на излучения; эти приборы называются фотоэлементами.

Если анод имеет положительный потенциал относительно катода, то в электрической цепи, содержащей фотоэлемент с внешним фотоэффектом, устанавливается фототок, зависящий от ряда факторов, в том числе от интенсивности освещения, длины волны излучения и напряжения между анодом и катодом.

На рис. 2.7 представлены вольт-амперные характеристики вакуумного фотоэлемента с сурьмяно-цезиевым фотокатодом. Каждая из них соответствует определенному световому потоку, действующему на фотокатод.
Энергия электронов может быть повышена бомбардировкой поверхности проводника потоком быстродвижущихся электронов, называемых первичными. Электроны, покинувшие проводник в результате его бомбардировки первичными электронами, называются вторичными, а само явление выхода электронов — вторичной электронной эмиссией.
Вторичная эмиссия может быть результатом бомбардировки проводника не только электронами, но и положительными ионами и другими частицами. Несмотря на то что в некоторых приборах вторичная эмиссия — явление нежелательное, иногда ее все же используют.

Электроны из проводника могут быть вырваны действием сильного электрического поля (напряженность порядка 10⁶ В/см). Такая эмиссия называется автоэлектронной или холодной. В приборах, работающих по принципу холодной эмиссии, наиболее распространен ртутный катод.
 

Электрический ток в газах

Газы являются диэлектриками, если находятся в обычных физических условиях. В этом случае они состоят в основном из нейтральных атомов и молекул, а заряженные частицы (электроны, ионы), имеющиеся в некотором объеме газа лишь в незначительном количестве, не могут образовать заметного тока.

Однако из нейтральных молекул и атомов могут образоваться заряженные частицы — ионы, если в силу каких-либо причин число электронов в них изменится: этот процесс называется ионизацией. Ионизованный газ является проводником.
 

Ионизация газов

Ионизация происходит под действием космических лучей, рентгеновского и ультрафиолетового излучения, высокой температуры, электрического поля.
Опыт показывает, что перечисленные ионизующие факторы сами по себе не могут вызывать значительного роста числа заряженных частиц в единице объема, тем более что наряду с ионизацией идет обратный процесс образования нейтральных молекул и атомов, называемой рекомбинацией.

Электропроводность газа, возникшая в результате внешнего ионизующего воздействия, называется несамостоятельной. Если внешний ионизующий фактор перестает действовать, то в силу рекомбинации электропроводность газа исчезает.

Наибольшее значение имеет ионизация атомов и молекул газа, вызываемая столкновением их с быстродвижущимися электронами. При таком столкновении энергия движущегося электрона частично или полностью передается нейтральному атому или молекуле.

При достаточной энергии удара от нейтрального атома или молекулы отрывается один или несколько электронов, вместо нейтрального атома или молекулы появляется положительный ион.

Возможно также сцепление электрона с нейтральным атомом или молекулой, что приводит к образованию отрицательного иона. Процесс образования ионов при столкновении нейтральных атомов и молекул с быстродвижущимися электронами называется ударной ионизацией.

В результате ионизации количество электронов увеличивается, это приводит к росту числа столкновений и, следовательно, к еще большему увеличению числа заряженных частиц.

В ионизованном состоянии газ является проводником. Электропроводность газа, поддерживаемая благодаря ударной ионизации действием внешнего электрического поля, называется самостоятельным разрядом.
Различают несколько видов самостоятельного разряда в газе: тихий, тлеющий, искровой, дуговой.
 

Тихий разряд. Этот разряд возникает при относительно больших давлениях газа (например, атмосферном), когда поле в разрядном промежутке между электродами очень неравномерно из-за малого радиуса кривизны электродов.
Тихий разряд обычно наблюдается около электродов в тех местах, где напряженность электрического поля достигает некоторой величины, называемой критической для данного газа, и сопровождается свечением — «короной».

При передаче электрической энергии на высоком напряжении вокруг проводов линии нередко можно наблюдать (особенно в сырую погоду), тихий (коронный) разряд, который приносит вред, вызывая дополнительные потери энергий.
 

Тлеющий разряд. При низких давлениях в длинной стеклянной трубке можно получить тлеющий разряд, если между электродами, расположенными у ее концов, приложить напряжение в несколько сотен вольт. Различные газы при тлеющем разряде дают свечение разного цвета. Благодаря этому лампы тлеющего разряда применяются в декоративных целях.

Рис. 2.8. Вольт-амперные характеристики лампы тлеющего разряда

Зависимость тока в лампе тлеющего разряда от напряжения между электродами (вольт-амперная характеристика) нелинейная, причем в некотором интервале изменения тока напряжение остается постоянным (участок БВ на рис. 2.8). На этом рисунке точка А характеристики соответствует зажиганию прибора, точка В — началу дугового разряда. Газоразрядные приборы тлеющего разряда используются для стабилизации напряжения.
 

Искровой разряд. Такой разряд возникает между холодными электродами при большом внутреннем сопротивлении источника питания.
Ионизация газа, начавшаяся под действием электрического поля, приобретает лавинообразный характер, в результате чего газовый промежуток становится проводящим и между электродами проскакивает искра. При этом резко уменьшается сопротивление газового промежутка.

По расстоянию между электродами, при котором возникает пробой воздуха, можно судить о величине напряжения между электродами. На этой основе для измерения очень высоких напряжений применяются шаровые разрядники.
 

Дуговой разряд. При большой мощности источника питания искровой разряд может перейти в дуговой, более устойчивый самостоятельный разряд в газе при атмосферном или повышенном давлении.

Такой разряд называется электрической дугой. Характерной особенностью дугового разряда является то, что он сопровождается ослепительным свечением и сильным нагреванием электродов (до 3000°С и более).
Световое действие электрической дуги используется для специального освещения (прожекторы, проекционные аппараты), а тепловое — для сварки и плавления металлов.

Электрическая дуга, возникающая при выключении электрических установок, — явление нежелательное, так как ее тепловое действие разрушает контакты отключающих аппаратов (рубильников, контакторов, выключателей). Поэтому приходится принимать специальные меры, в результате чего выключающие аппараты значительно усложняются, увеличиваются их размеры.
 

Вольт-амперные характеристики газоразрядных приборов

Электрический ток при дуговом разряде образуется электронами и ионами, освободившимися вследствие термической ионизации газа, а также в результате эмиссии электронов из накаленного катода. Под действием этих явлений между электродами создается газоразрядная плазма.

Электроны, имея в тысячи раз меньшую массу, чем ионы, в электрическом поле приобретают значительно большую скорость, поэтому преобладают в образовании тока дуги.

При некоторой степени ионизации горение дуги стабилизируется и устанавливаются определенные ток I_д и напряжение между электродами U_д. Рост тока в дуге приведет к увеличению степени ионизации и уменьшению сопротивления дугового промежутка, что повлечет за собой снижение напряжения U_д.

Таким образом, вольт-амперная характеристика электрической дуги представляет собой падающую кривую (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Вольт-амперная характеристика электрической дуги

Рис. 2.10. Вольт-амперная характеристика газотрона

В технике широко распространены газоразрядные приборы, у которых проводимость газового промежутка обусловлена заряженными частицами, полученными как за счет электронной эмиссии нагретого катода, так и ионизацией газов или паров. К таким приборам относятся газотроны, тиратроны, ртутные выпрямители и др.

Вольт-амперные характеристики газоразрядных приборов нелинейны. На рис. 2.10 показана вольт-амперная характеристика газотрона.

Электрический ток в полупроводниках

Способность вещества к образованию в нем электрического тока, как уже говорилось, определяется удельной электрической проводимостью. По этому признаку полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Величины удельной проводимости полупроводников находятся в широком
интервале — от 10³ до 10^-10.

Электрические свойства полупроводников

Полупроводниками являются многие минералы, некоторые металлы, окислы и сульфиды металлов и т. д.

В Периодической таблице Менделеева полупроводники представлены группой элементов, к которым относятся германий, кремний, селен, теллур и др.
Способность к образованию электрического тока связана с концентрацией свободных электронов и возможностью их направленного перемещения в веществе.

Концентрация свободных электронов (количество электронов в единице объема) в полупроводнике в тысячи и миллионы раз меньше, чем в металле. Этим объясняется количественное различие в величинах их удельной электрической проводимости.

Сравнение металлов и полупроводников показывает также существенную разницу во влиянии температуры на их проводимость. С ростом температуры проводимость металлов уменьшается, проводимость же полупроводников увеличивается.

При увеличении температуры в полупроводнике, так же как и в металле, уменьшается возможность направленного движения свободных электронов, что связано с увеличением числа столкновений. Но в отличие от металлов в полупроводнике одновременно резко увеличивается концентрация свободных электронов. Эти факторы влияют на проводимость противоположно: с ростом числа столкновений проводимость уменьшается, а с ростом концентрации — увеличивается. В металлах концентрация свободных электронов от температуры практически не зависит, поэтому изменение (уменьшение) проводимости при росте температуры связано только с уменьшением возможности направленного движения свободных электронов.

В полупроводнике же влияние роста концентрации сильнее, поэтому с ростом температуры проводимость увеличивается.
 

Электронная и дырочная электропроводности

В полупроводниках, так же как в металлах, электрический ток образуется электронами.

Однако при рассмотрении электропроводности полупроводников полагают, что в них имеется два вида носителей заряда: электроны и дырки. Если некоторый электрон получает извне энергию, достаточную, чтобы порвать парно-электронную связь между атомами, то он становится свободным. Освобожденное электроном место в межатомной связи условно называют дыркой, причём отсутствие электрона равноценно наличию в этом месте такого же по величине положительного заряда. На не замещенное электроном место может перейти другой электрон, порвавший связь с атомом и образовавший новую дырку.

Такое последовательное замещение и освобождение электронами мест в межатомных связях рассматривается как движение дырок, которые ведут себя как положительно заряженные частицы.

Движение свободных электронов обусловливает электронную электропроводность (типа n), а движение дырок — дырочную (типа p). Скорость движения электронов значительно превышает скорость дырок, поэтому электропроводность большинства чистых полупроводников является в основном электронной.

Для увеличения проводимости полупроводника и придания ей четко выраженного характера типа n или p к сверхчистому полупроводнику добавляют очень малое количество примеси (10^-6 — 10^-5%)

Рис. 2.11. Структурные схемы кристаллов германия:
а — с примесью сурьмы; 6 — с примесью индия

Различают два вида примесей. К первому виду относятся химические элементы с большей валентностью, а ко второму — элементы с меньшей валентностью, чем валентность полупроводника.

В первом случае примесная электропроводность оказывается электронной (типа n), во втором — дырочной (типа p).

Предположим, что в качестве основного вещества используется четырехвалентный германий Gе. Между соседними атомами чистого германия имеется четырехсторонняя химическая связь соответственно числу валентных электронов (рис. 2.11).

Атомы введенной примеси (пятивалентной сурьмы Sb) занимают места атомов германия в кристаллической решетке (рис. 2.11, а). При этом четыре валентных электрона атома сурьмы образуют химические связи с валентными электронами атомов германия. Пятый электрон оказывается «лишним», менее связанным со своим атомом; он легко попадает в зону проводимости, т. е. становится свободным.

Примесный атом трехвалентного индия In также может заменить в кристаллической решетке атом германия рис. (2.11, б). Но для образования четырехсторонней связи с соседними атомами у атома индия не хватает одного электрона, поэтому в валентной связи образуется свободное место — дырка.

Явления в контакте двух металлов

Большое значение для практики имеют явления в контакте двух металлов, а также полупроводников, из которых один обладает электронной, а другой дырочной электропроводностью.

Рассмотрим контакт двух металлов 1 и 2, обладающих разными величинами работы выхода электронов (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Определение контактной разности потенциалов на зонной диаграмме

Металл 2 имеет меньшую работу выхода, т. е. верхний уровень энергии электронов у него выше, чем у металла 1 (рис. 2.12, а). Обладая большой энергией, электроны могут покинуть металл 2. При установлении контакта начинается переход электронов из металла 2 в металл 1, причем этот процесс совершается за счет электронов с более высоким уровнем энергии (рис. 2.12, б). В результате энергетический уровень электронов в металле 2 понижается, а в металле 1 повышается; в металле 2 образуется избыток положительного заряда, а в металле 1 — избыток отрицательного заряда. Происходящее на границе металлов выравнивание энергетических уровней сопровождается возникновением контактной разности потенциалов U_к в пограничном слое некоторой толщины l (толщина l соизмерима с размером атомов). Величина контактной разности потенциалов пропорциональна разности работ выхода.
В соответствии с формулой (2.11)
U_k = (A₁ — A₂)/e                      (2.12)

Электрическое поле, образовавшееся в результате диффузии электронов из одного металла в другой, препятствует движению электронов через контакт. По мере перехода электронов увеличивается разность потенциалов U_к и усиливается электрическое поле, противодействующее движению электронов. Процесс заканчивается по достижении равновесия, при котором силы электрического поля равны сторонним силам, вызывающим диффузию электронов из одного металла в другой. Контактная разность потенциалов получает установившуюся величину, образуя для электронов определенный потенциальный барьер.

Электронно-дырочный переход

В контакте двух полупроводников с разным видом электропроводности (электронной и дырочной) создается электронно-дырочный (n-p) переход: электроны из n-полупроводника переходят в p-полупроводник (рис. 2.13). В обратном направлении идет диффузия дырок. В приконтактных слоях полупроводников создаются избыточные заряды разных знаков: p-полупроводник получает отрицательный, а n-полупроводник — положительный заряд.

Рис. 2.13. Контакт двух полупроводников с разными видами электропроводности

  
Рис. 2.14. К вопросу об односторонней электропроводности электронно-дырочного перехода

Электрическое поле на границе создает потенциальный барьер U_к, препятствующий дальнейшему перемещению электронов и дырок. Благодаря наличию контактной разности потенциалов электронно-дырочный переход имеет одностороннюю электропроводность, т. е. обладает вентильным свойством.

Предположим, что к полупроводникам, образующим n-p-переход, подведено напряжение от постороннего источника (рис. 2.14, а) плюсом к p-полупроводнику, в результате чего на границе полупроводников образуется электрическое поле с напряженностью Е. Электрическое поле Е_к, возникшее на границе полупроводников в результате диффузии электронов и дырок, становится слабее под действием источника; потенциальный барьер оказывается тем ниже, чем больше приложенное напряжение. Соответственно увеличивается количество носителей заряда (электронов и дырок), переходящих из одной области полупроводника в другую.

При некоторой величине приложенного напряжения потенциального барьера не будет, тогда противодействие заряженным частицам определяется только омическим сопротивлением полупроводника [см. формулу (2.8)].
Если изменить полярность приложенного напряжения (рис. 2.14, б), то электрическое поле в n-p-переходе усиливается, потенциальный барьер увеличивается. Поэтому для основных носителей заряда создается большое сопротивление. В направлении от n-полупроводника к p-полупроводнику через контакт ток практически отсутствует. Незначительный обратный ток в цепи может поддерживаться за счет неосновных носителей заряда (электронов в полупроводнике с дырочной электропроводностью и дырок в полупроводнике с электронной электропроводностью), которые появляются в малом количестве. По этой же причине с ростом напряжения источника обратный ток практически не увеличивается.

Полупроводник с электронно-дырочным переходом по своим вентильным свойствам аналогичен электровакуумному диоду и поэтому называется полупроводниковым диодом. На рис. 2.15 показана его вольт-амперная характеристика.

Рис. 2.15. Вольт-амперная характеристика полупроводникового диода

Электрическая цепь

Явление электрического тока проводимости имеет огромное практическое значение. С ним связаны важнейшие энергетические преобразования: получение электрической энергии из других видов энергии и обратное ее превращение; передача электрической энергии на расстояние.

Эти энергетические преобразования осуществляются в электрических цепях.

Электрическая цепь — это совокупность устройств и объектов, образующих путь электрического тока. Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющее в ней определенную функцию, называется элементом электрической цепи.

Электрические цепи можно классифицировать: по виду тока — цепи постоянного и переменного тока; по составу элементов — цепи активные и пассивные, цепи линейные и нелинейные; по характеру распределения параметров — цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Электрические цепи переменного тока, кроме того, различают по числу фаз — однофазные, многофазные (в основном трехфазные).

Элементы и схемы электрических цепей

Простейшая электрическая цепь (рис. 3.1) состоит из трех основных элементов: источника электрической энергии 1, приемника электрической энергии 2, соединительных проводов 3. Кроме основных элементов в электрические цепи входят различные вспомогательные элементы для управления (рубильники, переключатели, контакторы и др.), защиты (плавкие предохранители, реле и т. д.), регулирования (реостаты, стабилизаторы тока и напряжения, трансформаторы), контроля (амперметры, вольтметры и т. д.). Вспомогательные элементы, так же как и основные, включаются в цепь с помощью проводов.

Рис 3.1. Простейшая электрическая цепь

Источники электрической энергии

Источник электрической энергии — это преобразователь какого-либо вида неэлектрической энергии в электрическую. В настоящее время основным видом такого преобразователя является электромеханический генератор — преобразователь механической энергии в электрическую. На тепловых электростанциях работают турбогенераторы — электрические машины, приводимые в движение тепловыми (паровыми, газовыми) турбинами, а на гидроэлектростанциях установлены гидрогенераторы — электрические машины с приводом от гидравлических турбин. Турбогенераторы и гидрогенераторы электростанций — это машины переменного тока.

Для цепей постоянного тока применяются электромеханические генераторы постоянного тока; преобразователи химической энергии в электрическую — гальванические элементы и аккумуляторы; устройства для прямого преобразования тепловой энергии в электрическую — термоэлектрогенераторы.
Источниками электрической энергии служат электрические трансформаторы и выпрямители. Эти устройства не вырабатывают электрическую энергию, а получают ее от тех же генераторов переменного тока, изменяют ее характеристики: трансформаторы изменяют величину напряжения, а выпрямители преобразуют переменное напряжение в постоянное. Трансформаторы и выпрямители, с одной стороны, являются приемниками электрической энергии, а с другой — источниками.

Приемники электрической энергии

Наиболее многочисленными и разнообразными элементами электрических цепей являются приемники электрической энергии. Они преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии: механическую (электродвигатели переменного и постоянного тока, тяговые электромагниты); тепловую (электрические промышленные печи, бытовые нагревательные приборы, сварочные аппараты), световую (лампы электрического освещения, прожекторы), химическую (аккумуляторы в процессе зарядки, электролитические ванны и др.).

Для передачи и распределения электрической энергии служат провода и кабели, с помощью которых соединяются в электрические цепи источники, приемники электрической энергии и промежуточные устройства.
В соединительных проводах и кабелях при наличии в них электрического тока выделяется тепло, поэтому в расчете они выступают как приемники электрической энергии.

Схемы электрических цепей

При разработке, конструировании, монтаже электрических изделий и установок нельзя обойтись без электрических схем. В зависимости от основного назначения различают несколько типов схем: структурную, функциональную, принципиальную, монтажную и др.

На принципиальной схеме приводится полный состав элементов и указаны все связи между ними. Эта схема дает детальное представление о принципах работы изделия (установки).

Электрическую цепь .можно составить из элементов, входящих в данное изделие или установку. В других случаях изделия (установки) сами являются элементами электрической цепи.

Схема электрической цепи — это графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, показывающее соединения этих элементов.

Условные обозначения в электрических схемах установлены стандартами системы ЕСКД.

В электрических цепях и их схемах различают последовательное и параллельное соединения элементов.

Будем считать, что каждый элемент для включения в цепь имеет два зажима, из которых один условно назовем началом, другой — концом данного элемента.
При последовательном соединении группы элементов конец предыдущего элемента соединен с началом следующего; начало первого элемента и конец последнего являются зажимами (н. к.) группы элементов, которыми она может быть присоединена к другим участкам цепи (рис. 3.2, а).

Рис. 3.2. Соединения элементов электрической цепи

При параллельном соединении группы элементов начала всех элементов соединены в одном зажиме, а концы — в другом; этими зажимами группа присоединяется к другим участкам цепи (рис. .3.2, б).

Группы элементов между собой могут быть включены последовательно или параллельно — так образуются сложные электрические цепи.

Получение электрической энергии из других видов энергии

Физические процессы получения электрической энергии различаются в зависимости от вида преобразуемой энергии. Главное различие состоит в природе сил, которые разделяют положительный и отрицательный заряды в веществе.

На электрически заряженные частицы кроме сил электрического поля при определенных условиях действуют сторонние силы, обусловленные неэлектромагнитными процессами (химические реакции, тепловые процессы, контактные явления и т. д.).

В результате действия сторонних сил в источнике электрической энергии происходит разделение электрических зарядов и образуется электродвижущая сила (э. д. с.).

Показано, что разделение зарядов в электропроводной среде происходит также под действием электромагнитных сил (например, при движении заряженных частиц в магнитном поле), в результате чего индуктируется электрическое поле и образуется э. д. с.
 

Величина, характеризующая способность стороннего поля и индуктированного электрического поля вызывать электрический ток, называется электродвижущей силой.

Рассмотрим примеры преобразования химической, тепловой, лучистой энергии в электрическую, физический смысл и количественное выражение электродвижущей силы.

Преобразование химической энергии в электрическую

Электрохимическими источниками электрической энергии являются гальванические элементы, аккумуляторы, топливные элементы.
На рис. 3.3 показана цинковая пластинка, опущенная в водный раствор серной кислоты (электролит). Цинк растворяется в электролите, причем в раствор переходят положительные ионы Zn⁺. Раствор заряжается положительно, а цинк — отрицательно. Растворение цинка обусловлено химическими силами.
В области контакта цинк — раствор появляется электрическое поле образовавшихся ионов, направленное от раствора к цинку.

По мере растворения цинка растет заряд, а вместе с ним и напряженность электрического поля. Электрическое поле противодействует переходу ионов Zn⁺ в раствор, поэтому на определенной стадии растворение цинка прекращается.
Такое равновесное состояние соответствует равенству двух сил, действующих на ионы Zn⁺: химических, под действием которых цинк растворяется, и электрических, препятствующих растворению. Растворение цинка прекращается при наличии некоторой разности потенциалов V₁ между цинком и раствором.

Если в тот же раствор поместить пластинку из другого вещества, то описанный процесс будет иметь место и в этом случае. Но полученная разность потенциалов U₂ может быть другой величины — больше или меньше U₁.
По такому принципу образуется э. д. с. гальванического элемента и аккумулятора (рис. 3.4, а, б).

При соединении пластин I и II проводником в замкнутой цепи будет действовать э. д. с. химического элемента
E_a = U₁ — U₂                      (3.1)
и установится электрический ток.

В данном случае э. д. с. создается и поддерживается при работе элемента химическими силами (сторонние силы) и, следовательно, можно говорить о преобразовании химической энергии в электрическую.
Электрический ток в гальваническом элементе сопровождается необратимыми электрохимическими процессами, которые можно описать определенными химическими реакциями.

Применение гальванических элементов ограничено — в единицу времени они могут дать лишь незначительное количество электрической энергии, а срок их работы невелик и заканчивается, когда активное вещество электродов в определенной степени будет израсходовано.
(3.1)

Рис. 3.3. Цинковая пластинка в растворе серной кислоты

Рис. 3.4. Режим разрядки свинцового аккумулятора

Значительно большее применение имеют аккумуляторы, электрохимические процессы которых обратимы. Обратимость электрохимических процессов позволяет проводить многократную зарядку и разрядку аккумуляторов. При зарядке в них накапливается определенное количество химической энергии (за счет израсходованной электрической энергии), а при разрядке эта энергия может быть использована в электрической цепи в виде электрической энергии. Рис. 3.4 соответствует режиму разрядки свинцового аккумулятора.
Дальнейшим развитием техники прямого преобразования химической энергии в электрическую является создание топливных элементов.

Электрическая энергия в них (как и в гальванических элементах) получается при химических реакциях, в ходе которых расходуются активные материалы: топливо (водород, природный газ, нефтепродукты и т. л.) и окислитель (кислород, воздух).

Запас активных материалов непрерывно пополняется, поэтому топливный элемент (в отличие от гальванического) в принципе может работать сколь угодно долго.

Хорошие энергетические характеристики, большой диапазон мощностей (от нескольких ватт до сотен киловатт в единице) открывают возможность широкого применения топливных элементов и прежде всего для привода различных автономных транспортных средств.
Электрохимические генераторы просты в эксплуатации, бесшумны, не создают радиопомех и отходов, загрязняющих воздух.

Преобразование тепловой энергии в электрическую

Непосредственное преобразование тепловой энергии в электрическую можно осуществить, используя явления в контакте двух металлов или полупроводников, где действуют сторонние силы, которыми обусловлена диффузия заряженных частиц.

Величина контактной разности потенциалов зависит не только от свойств контактирующих материалов, но и от температуры контакта, так как с температурой связаны энергия свободных электронов и их концентрация.
Рассматривая замкнутую цепь из двух разных металлов (рис. 3.5, а), можно убедиться в том, что при одинаковой температуре контактов 1 и 2 электрического тока в цепи не получится, так как контактные разности потенциалов, определяемые формулой (2.12), в обоих контактах одинаковы, но направлены в противоположные стороны по цепи:

Если один из контактов, например 1, нагреть (t₁ > t₂), то равновесие нарушится — в контакте 1 появится дополнительный скачок потенциала, связанный с нагревом. В этом случае U_к1 > U_к2. В цепи образуется термоэлектродвижущая сила (термо-э. д. с.), абсолютное значение которой пропорционально разности температур контактов:
Е_т = U_к1 — U_к2 = E₀ (t₁— t₂),                      (3.3)
где Е₀ — величина, зависящая от свойств металлов, образующих контакт.

Однако концентрация свободных электронов в металлах велика и при переходе из одного металла в другой меняется очень мало. В связи с этим контактная разность потенциалов оказывается незначительной и мало зависит от температуры. По этой причине металлические термоэлементы имеют очень малые э.д.с. и к.п.д. и применяются для измерения температур (рис. 3.5, б).
В отличие от металлов в полупроводниках при увеличении температуры сильно увеличиваются концентрации свободных электронов и дырок. Это свойство полупроводников позволяет получить более высокие термо-э.д.с. и к.п.д. термоэлементов.

Полупроводниковый термоэлемент состоит из двух полупроводников (n и p на рис. 3.6). Один из них имеет электронную, а другой — дырочную электропроводность. При нагревании полупроводников в месте соединения их металлической пластинкой сильно увеличивается концентрация свободных носителей заряда. Поэтому в полупроводниках возникает диффузия их от горячего конца к холодному. В полупроводнике с электронной электропроводностью к холодному концу перемещаются электроны, в результате чего этот конец заряжается отрицательно. В другом полупроводнике к холодному концу перемещаются дырки, образуя положительный заряд. Возникшая разность потенциалов противодействует диффузии, и при некоторой величине ее устанавливается равновесие сил электрического поля и сторонних сил, под действием которых идет процесс диффузии носителей заряда. Эта разность потенциалов и является термо-э.д.с. полупроводникового термоэлемента.

Рис. 3.5. К вопросу об образовании термо- э. д. с.

Рис. 3.6. Принципиальная схема полупроводникового термоэлектрогенератора

Если к холодным концам полупроводников подключить токопроводящий элемент, например резистор, то образуется замкнутая цепь и электрический ток в ней.

В 1964 г. в СССР создан первый в мире термоэлектрический генератор для прямого преобразования тепловой энергии ядерного реактора в электрическую (установка «Ромашка» мощностью 500 Вт). Ведутся работы с целью увеличения мощности и к.п.д. термоэлектрогенераторов.

Преобразование лучистой энергии в электрическую

Концентрация и энергия свободных носителей заряда в полупроводниках могут увеличиваться не только при нагревании, но и под действием лучистой энергии (свет, инфракрасное излучение).

Проводимость полупроводников, обусловленная действием на них лучистой энергии, называется фотопроводимостью (внутренним фото-эффектом) . Явление фотопроводимости лежит в основе действия группы электронных приборов, называемых фотосопротивлениями.
Рис. 3.7 поясняет действие твердого фотоэлемента с запирающим слоем (вентильного фотоэлемента) в фотогенераторном режиме.

В вентильном фотоэлементе осуществляется контакт двух полупроводников, один из которых обладает электронной электропроводностью, а другой — дырочной. Благодаря диффузии электронов и дырок через n-p-переход во взаимно противоположных направлениях образуется контактная разность потенциалов U_к. Если полупроводники освещаются, в них за счет поглощения световой энергии образуются неосновные свободные носители заряда — электроны в p-полупроводнике и дырки в полупроводнике. Эти электроны и дырки под действием электрического поля, в свою очередь, направляются через n-p-переход: дырки — в дырочный полупроводник, а электроны — в электронный. Освещение контакта приводит к нарушению равновесия основных носителей заряда, в результате которого потенциальный барьер в контакте уменьшается и устанавливается новое состояние равновесия при меньшей величине его, равной U_к.с.

Рис. 3.7. К вопросу об образовании фото-э. д. с.

Разность потенциальных барьеров в контакте полупроводников в неосвещенном и освещенном состояниях называется фотоэлектродвижущей силой:
E_с = U_к — U_к.с.                      (3.4)

Фото-э.д.с. тем больше, чем интенсивнее освещается полупроводник. После соединения полупроводников возникает ток в цепи и происходит преобразование лучистой энергии в электрическую.
Фотоэлектрические генераторы предназначены для прямого пре-образования солнечной энергии в электрическую и в настоящее время применяются в космической технике.

Э.д.с. и мощность источника электрической энергии

Возникновение электродвижущей силы (э.д.с.) Е во всех случаях связано с работой сторонних сил по перемещению заряженных частиц. Количественная оценка этого явления дается величиной работы, приходящейся на единицу заряда:
E = A_ст/Q.                      (3.5)

Единицей измерения э.д.с., так же как и напряжения, является вольт (В).

Положительное направление э.д.с. совпадает с направлением, в котором сторонние силы действуют на частицы с положительным зарядом. Это соответствует и положительному направлению тока в цепи. Если ток создается электронами, то э.д.с. направлена против движения электронов, т. е. внутри источника от «—» к «+». Таким образом, в источнике электрической энергии направления э. д. с. и тока совпадают.

Работа сторонних сил A_ст равна энергии, отдаваемой источником питания во внешнюю цепь. Эта энергия называется электрической энергией источника:
W_и = A_ст = ЕQ.                      (3.6)
Перемещенный заряд Q можно выразить через ток в источнике: Q = It, поэтому
W_и = EIt.                      (3.7)

Формула (3.7) позволяет подсчитать энергию, выработанную источником за определенный промежуток времени t, используя электрические показатели цепи — э.д.с. источника и ток, но не позволяет оценить работоспособность источника.

Действительно, определенное количество электрической энергии может быть получено от разных источников, но за разное время. Работоспособность источников можно оценить, сравнивая количество энергии, вырабатываемое за одно и то же время, например за 1 с.
 

Величина энергии, вырабатываемой за единицу времени, т. е. скорость преобразования энергии в источнике, называется мощностью источника:

P_и = EI.                      (3.8)

Единица энергии —джоуль (Дж). Единица мощности [Р] =[W/t) = джоуль/секунда = ватт (Вт).

Из формулы (3.8) следует, что ватт = вольт • ампер; джоуль = вольт • ампер • секунда = ватт • секунда.

Указанные единицы мощности и энергии являются основными. Измерять большие мощности и количества энергии удобнее более крупными единицами, чем ватт и джоуль. Поэтому пользуются производными единицами: 1 киловатт (кВт) = 10³ Вт; 1 мегаватт (МВт) = 10⁶ Вт; 1 киловатт-час (кВт•ч)= 1000·3600=36·10⁵ Вт•с (или Дж).
 

Задача 3.5.

Два генератора постоянного тока, работая круглосуточно на общий приемник, выработали вместе за месяц 96 000 кВт·ч электроэнергии. В течение 10 сут этого месяца первый генератор находился в ремонте. За это время счетчик электрической энергии, установленный на линии к приемнику, показал 24 000 кВт·ч. Определить мощность и э. д. с. каждого генератора, если амперметр в цепи первого генератора во время работы показывал 500 А, а в цепи второго = 1000 А.
Решение. По условию задачи начерчена электрическая схема (рис. 3.8), где Г₁ и Г₂ — генераторы; П— приемник, Wh₁ и Wh₂ — счетчики электрической энергии; А₁ и А₂ — амперметры; B₁ и В₂ — выключатели; I₁ и I₂ — токи генераторов; I_п — ток приемника; E₁ и Е₂ — э. д. с. генераторов.

Рис. 3.8. К задаче 3.5

Мощность второго генератора определим по показаниям счетчика за 10 сут, в которые первый генератор находился в ремонте. В это время второй генератор работал один:

Энергия, выработанная первым генератором за месяц,

Мощность первого генератора

Э. д. с. второго генератора

Э. д. с. первого генератора

Преобразование электрической энергии в другие виды энергии

В электрической цепи электрическая энергия одновременно получается в источнике и преобразуется в другой вид энергии в приемнике. Тип приемника выбирают в соответствии с требуемым для практических целей видом неэлектрической энергии.

Рассмотрим принципы преобразования электрической энергии в тепловую, световую и химическую; вопрос преобразования электрической энергии в механическую рассмотрен.
 

Преобразование электрической энергии в тепловую

Выразим количество выделенного тепла через напряжение и ток.
Предположим, что в проводнике, имеющем на концах разность потенциалов U, заряд перемещенных частиц

Энергия электрического поля, затраченная на перемещение заряженных частиц, согласно (1.5),

Работа сил электрического поля расходуется на нагревание проводника, так как никаких других проявлений этой работы не наблюдается. Поэтому энергия W_э можно считать равной тепловой энергии приемника:

В этой формуле энергия выражена в джоулях. Согласно закону Ома [см. формулу (2.6)], тогда

Формула (3.10) является математическим выражением закона Ленца — Джоуля.
 

Количество электрической энергии, преобразуемой в проводнике за единицу времени в тепловую энергию, пропорционально квадрату тока и электрическому сопротивлению проводника.
Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии в приемнике называется мощностью приемника:

Эта формула справедлива для любого приемника независимо от вида энергии, который получается в результате преобразования.

Если электрическая энергия полностью превращается в тепловую, то мощность приемника можно выразить через ток в проводнике и его сопротивление:

Явление преобразования в проводниках электрической энергии в тепловую широко используется в практике. На этом принципе основано действие большинства электрических промышленных и бытовых нагревательных устройств.
 

Преобразование электрической энергии в световую

Принцип преобразования электрической энергии в тепловую лежит также в основе работы электрических ламп накаливания. Нить лампы, изготовленная из тугоплавкого металла (вольфрама), нагревается при электрическом токе в ней до температуры порядка 3000°С.

При высокой температуре нити лампы часть энергии излучается в виде световой энергии, которая в общем потоке энергии, излучаемой лампой, составляет менее 10%.
 

Преобразование электрической энергии в химическую

Аккумулятор при зарядке или электролитическая ванна являются приемниками электрической энергии.

Э. д. с. аккумулятора Е_а при зарядке сохраняет то же направление, что и при разрядке; ток же в аккумуляторе изменяет свое направление на обратное, так как оно определяется не направлением э. д. с. аккумулятора, а э. д. с. Е внешнего источника питания (рис. 3.9). Э. д. с. аккумулятора Е_а при зарядке направлена против тока и потому называется противо-э. д. с.

Рис. 3.9. Режим зарядки свинцового аккумулятора

Перемещение заряженных частиц при зарядке аккумулятора осуществляется в результате действия электрического поля, которое создается источником питания.

Силы электрического поля в любой момент времени уравновешиваются химическими (сторонними) силами, поэтому работа сил электрического поля, приходящаяся на единицу заряда, может быть приравнена противо-э.д.с. Е_а.
Тогда энергия, израсходованная на зарядку,

а мощность потребления электрической энергии

Формулы, выражающие энергию и мощность при разрядке и зарядке аккумулятора, одинаковы. Однако нужно не забывать о физическом различии процессов: в первом случае аккумулятор является источником, а во втором — приемником электрической энергии.

При преобразовании электрической энергии в тепловую сопротивление обусловлено соударениями частиц. При преобразовании электрической энергии в химическую противодействие току оказывают сторонние силы.
Этим объясняется различие выражений (3.11) и (3.14), которыми количественно определяется скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии.

Задача 3.8.

Электрическая печь, имеющая сопротивление R = 10 Ом, получает электрическую энергию от генератора при напряжении на ее зажимах U = 120 В. Генератор связан с печью алюминиевыми проводами сечением S = 10 мм² и длиной 50 м (в одну сторону). Определить мощность, развиваемую генератором с внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом, и стоимость электрической энергии, израсходованной печью за 2 ч, при тарифе 4 коп. за 1 кВт·ч.
Решение. Условию задачи соответствует схема рис. 3.10. Сопротивление соединительных проводов при t = 20° С

Рис 3.10. к задаче 3.8

Ток электропечи

Мощность электропечи

Мощность потерь энергии в соединительных проводах

Мощность потерь внутри генератора

Общая мощность потребления

Эта мощность, согласно закону сохранения энергии, равна мощности генератора. Учитывая, что в генераторе ток такой же, как в приемнике и соединительных проводах, найдем э. д. с генератора:

Энергия, израсходованная в печи за 2 ч,

Стоимость электроэнергии

Режимы электрических цепей

Режим работы электрической цепи, т. е. ее электрическое состояние, определяется величинами токов, напряжений и мощностей ее отдельных элементов. 

Наиболее характерные режимы электрических цепей рассмотрим на призере простейшей цепи с переменным сопротивлением приемника электрической энергии (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Схема цепи с переменным сопротивлением приемника энергии
 

Номинальный режим

Источники и приемники электрической энергии, провода, а также вспомогательные аппараты и приборы характеризуются номинальными величинами тока I_н, напряжения U_н, мощности P_н и т. д., на которые эти устройства рассчитаны заводами-изготовителями для нормальной работы. Номинальные величины обычно указываются в паспорте устройства.
Режим работы, при котором действительные токи, напряжения, мощности элементов электрической цепи соответствуют их номинальным величинам, называется номинальным (нормальным).

Отклонения от номинального режима нежелательны, а превышение номинальных величин в большинстве случаев недопустимо, так как при этом не могут быть гарантированы расчетные продолжительность и экономичность работы электрических устройств и установок.

Для обеспечения нормальных условий работы приемников электрической энергии необходимо соблюдать соответствие напряжений: действительное напряжение на зажимах устройства должно быть равно его номинальному напряжению.

Рабочий режим

Режимы электрической цепи по различным причинам могут отличаться от номинального.

Если в электрической цепи действительные характеристики режима отличаются от номинальных величин ее элементов, но отклонения находятся в допустимых пределах, то режим называется рабочим. На схеме рис. 3. 11 сопротивление соединительных проводов отнесено к приемнику. Применяя к этой цепи закон сохранения энергии, нетрудно составить уравнение энергетического баланса за некоторое время:

где W_и = ЕIt — энергия источника [см. (3.7)]; W_п = I²Rt — энергия приемника [см. (3.10)]; W₀ — энергия потерь в источнике.
По аналогии с энергией приемника энергию потерь выразим в виде W₀ = I²rt, где r — внутреннее сопротивление источника.
В этом случае энергетический баланс имеет вид

после сокращения на t получим уравнение баланса мощностей

Далее, сокращая на I, получаем уравнение баланса напряжений
Е = Ir + IR, или Е = U₀ + U,
где U₀ — внутреннее падение напряжения в источнике; U — напряжение на внешних зажимах источника.

Ток в цепи

Е/(г + Я).

Эта формула является выражением закона Ома для простейшей цепи.
Напряжение U на внешних зажимах источника, равное в этом случае напряжению на приемнике, меньше э. д. с. источника на величину внутреннего падения напряжения Ir:
U = IR = Е — Ir.                      (3.16)

Отношение мощности Р_п приемника к мощности Р_и источника называется коэффициентом полезного действия источника:

К. п. д. источника можно определить отношением напряжения на зажимах источника к его э. д. с.:

Режимы холостого хода и короткого замыкания

При R = ∞ тока в цепи не будет. Этот случай соответствует размыканию цепи. Режим электрической цепи или отдельных источников, при котором ток в них равен нулю, называется режимом холостого хода. При холостом ходе напряжение на внешних зажимах источника равно его э. д. с.: U = Е.
При R = 0, согласно выражению (3.15), I = Е/r = I_к, а напряжение на зажимах приемника и источника U = 0.

Режим электрической цепи, при котором накоротко замкнут участок с одним или несколькими элементами, в связи с чем напряжение на этом участке равно нулю, называется режимом короткого замыкания. Соответственно ток I_к в цепи называется током короткого замыкания.

Короткие замыкания в электрических установках нежелательны, так как токи короткого замыкания, как правило, в несколько раз превышают номинальные величины, что ведет к резкому увеличению выделения тепла в токоведущих частях и, следовательно, к порче электрических установок.

Напряжение на зажимах источника уменьшается от U = Е до U = 0, если ток нагрузки увеличивается от нуля до тока короткого замыкания I_к (см. рис. 3.12). 
 

Задача 3.12.

Источник электрической энергии имеет в качестве нагрузки реостат с переменным сопротивлением R. Э. д. с. источника Е = 24 В, а его внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Построить графики зависимости напряжения U на зажимах источника, мощности источника Р_и, мощности приемника Р_п, к. п. д. η источника, мощности потерь внутри источника Р₀ от тока в цепи при изменении сопротивления нагрузки от R = ∞ (холостой ход) до R = О (короткое замыкание), считая э. д. с. источника постоянной.
Решение. Для решения задачи воспользуемся схемой рис. 3.11. Для сопротивления нагрузки R 11 Ом

                      

                      

                      

Для других величии сопротивления R результаты подсчетов приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

R, Ом	∞	23	11	7	5	3	2	1	0,2	0
I, А  U, В  Pи, Вт  Pп, Вт  P0, Вт  η	0 24 0 0 0 1	1 23 24 23 1 0,96	2 22 48 44 4 0,917	3 21 72 63 9 0,875	4 20 96 80 16 0,835	6 18 144 108 36 0,75	8 16 192 128 64 0,667	12 12 288 144 144 0,5	20 4 480 80 400 0,167	24 0 576 0 576 0

По данным таблицы в прямоугольной системе координат строим график U, P_и, P_п, P₀, η в функции I. Графики показаны на рис. 3.12.

Рис. 3.12. К задаче 3.12

Схемы замещения электрических цепей

Для облегчения расчета составляется схема замещения электрической цепи, т. е. схема, отображающая свойства цепи при определенных условиях.
На схеме замещения изображают все элементы, влиянием которых на результат расчета нельзя пренебречь, и указывают также электрические соединения между ними, которые имеются в цепи.

Схема замещения элементов электрических цепей

Элементы цепи, в которых электрическая энергия преобразуется в тепло, характеризуются сопротивлением R или проводимостью G и называются пассивными.

Элементы электрической цепи, в которых преобразование энергии осуществляется при наличии электродвижущей силы, характеризуются в большинстве случаев постоянными величинами э.д.с. Е и внутреннего сопротивления r (рис. 3.13, а). Такие элементы цепи называются активными.
На расчетных схемах источник энергии можно представить э. д. с. без внутреннего сопротивления, если это сопротивление мало по сравнению с сопротивлением приемника (рис. 3.13, б).

При r = 0 внутреннее падение напряжения U₀ = 0, поэтому напряжение на зажимах источника при любом токе равно э.д.с.: U = Е = const. Такой источник энергии с неизменным напряжением на его зажимах, не зависящим от внешнего сопротивления, называется источником э. д. с.
В некоторых случаях источник электрической энергии на расчетной схеме заменяют другой (эквивалентной) схемой (рис. 3.14, а), где вместо э. д. с. Е источник характеризуется его током короткого замыкания I_к, а вместо внутреннего сопротивления в расчет вводится внутренняя проводимость g = 1 /r.

Возможность такой замены можно доказать, разделив равенство (3.16) на r:
U/r = Е/r — I,

где U/r = I₀ — некоторый ток, равный отношению напряжения на зажимах источника к внутреннему сопротивлению; E/r = I_к — ток короткого замыкания источника; I = U/R — ток приемника.

Рис. 3.13. Схемы замещения источника электрической энергии (источника э. д. с.)

Рис. 3.14. Схемы замещения источника электрической энергии (источника тока)
 

Вводя новые обозначения, получим равенство I_к = I₀ + I, которому удовлетворяет эквивалентная схема рис. 3.14, а.

Если внутреннюю проводимость отнести к приемнику, то можно положить g = О и I₀ =0.

В этом случае при любой величине напряжения на зажимах источника его ток остается равным току короткого замыкания (рис. 3.14, б):  I = I_к = const.
Источник с неизменным током, не зависящим от внешнего сопротивления, называют источником тока.

Один и тот же источник электрической энергии может быть заменен в расчетной схеме источником э. д. с. или источником тока

Схема замещения электрической цепи

На рис. 3.15, а, б изображены электрическая цепь и ее схема замещения; указаны положительные направления тока и напряжения.

В этой схеме генератор Г электрической энергии представлен э.д.с. Е и внутренним сопротивлением r; два приемника П₁ и П₂ — соответственно сопротивлениями R₁ и R₂, сопротивление проводов линии Л заменено сосредоточенным сопротивлением R_л, вспомогательные аппараты и приборы в схеме замещения отсутствуют, так как в данном случае предполагается, что на результаты расчета они не влияют.

На рис. 3.16 показана схема более сложной электрической цепи.

Рис. 3.15. Электрическая цепь и ее схема замещения

Рис. 3.16. Схема разветвленной электрической цепи

Рассматривая схемы различных электрических цепей, можно выделить в них характерные участки.
 

Участок, вдоль которого ток один и тот же, называется ветвью электрической цепи.

Место соединения ветвей называется узлом электрической цепи.
Узел образуется при соединении в одной точке не менее трех ветвей, например на схеме рис. 3.16 к узлу 6 подключены четыре ветви.

Ветви, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными, а ветви, в которые входят источники, — активными.
 

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром электрической цепи.

На рис. 3.15, б таких контуров три: 1-2-5-6-1; 1-2-3-4-5-6-1; 2-3-4- 5-2.
На схемах стрелками отмечаются положительные направления э.д.с. напряжений и токов. Направление э. д. с. может быть указано обозначением полярности зажимов источника: внутри источника э. д. с. направлена от отрицательного зажима к положительному (так же как и ток). Положительное направление напряжения на участке цепи совпадает с направлением тока — от точки большего потенциала к точке меньшего. У приемника направления напряжения и тока совпадают, у источника они противоположны.

Основные определения и понятия теории электрических цепей

Электрической цепью называют любую совокупность радиотехнических (электротехнических) устройств, соединённых электрическими проводниками.

Электромагнитное состояние большинства электрических цепей характеризуют с помощью понятий "электрический ток" и "электрическое напряжение", или кратко токов и напряжений Они являются функциями времени а в некоторых цепях могут быть и функциями пространственных координат (например, в длинных линиях).

Значения токов и напряжений в определённый момент времени обозначаются

соответственно и называются мгновенными. Эти значения в определённый момент времени t полностью характеризуют электромагнитное состояние электрической цепи и все её свойства. Токи и напряжения в электрической цепи могут быть найдены как непосредственным их измерением с помощью амперметров и вольтметров, так и с помощью расчётов. Непосредственное измерение можно осуществить, во-первых, только в реально действующей цепи и, во-вторых, если цепь или требуемый её участок доступен. Но в теории и на практике чаще всего значения токов и напряжений в цепи требуется рассчитать, для чего составляются специальные уравнения.

Определение

Уравнения, в результате решения которых могут быть найдены токи и напряжения в цепи, называются уравнениями электромагнитного состояния (уравнениями состояния).

Уравнения состояния часто называют операторами; которые принято обозначать буквой F.  По этой причине в дальнейшем мы будем пользоваться этими терминами как синонимами. Оператор позволяет произвести анализ всех характеристик цепи; с другой стороны, для создания цепи, обладающей желаемыми свойствами, необходимо получить оператор F,  т. е. провести синтез цепи. Любое уравнение состояния представляет собой математическую модель цепи, приближённо отображающую реальные физические свойства цепи, но не передаёт содержание внутренних процессов.

Электрические проводники и устройства, составляющие цепь, при их математическом описании представляются идеальными, хотя в действительности таковыми не являются. Идеальные проводники и устройства (приборы), обладающие лишь каким-либо одним свойством, называются элементами электрических цепей.

Элементы электрических цепей разделяют на пассивные и активные. К пассивным элементам относятся: резистивный элемент (идеальный резистор, элемент активного сопротивления), элемент индуктивности (индуктивность), элемент ёмкости (ёмкость).

Активными элементами электрической цепи являются идеальные источники электрической энергии: идеальные источники тока и идеальные источники напряжения.

Графическое изображение соединений и элементов электрических цепей называют электрической схемой цепи.

Таким образом, предметом дисциплины "Основы теории цепей" является изучение свойств электрических цепей разнообразной природы и синтез цепей с заданными характеристиками (свойствами).
 

Напряжения и токи в электрических цепях

Электрический ток (рис. 1.1, а), протекающий по цепи, представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Мерой тока является его сила (измеряется в амперах — А), т. е. отношение количества электрического заряда q (измеряется в кулонах — Кл), прошедшего через поперечное сечение проводника за единицу времени, откуда

Напряжением и (измеряется в вольтах — В) называется количество энергии W (измеряется в джоулях — Дж), затрачиваемое на перемещение единицы заряда q [Кл] из одной точки пространства в другую

Для широкого класса электрических цепей напряжение удобно определять как разность потенциалов , между m-ым и n-ым зажимами электрической цепи (рис. 1.1, б ) соответственно

причём под потенциалом зажима понимают количество энергии, затрачиваемое на перемещение единицы заряда из рассматриваемого зажима в бесконечно удалённую точку пространства потенциал которой считается равным нулю


При исследованиях и расчётах электрических цепей необходимо знать не только абсолютные величины токов и напряжений, но и направления их отсчёта, которые указываются стрелками. По традиции конец стрелки указывает:

• для тока — предполагаемое или известное направление движения положительных зарядов, а противоположное направление — движение отрицательных зарядов; изменение направления отсчёта приводит к изменению знака тока (рис. 1.1, а). Смысл выбора направления отсчёта покажем на примере: пусть при выбранном направлении от узла в сторону узла получена величина этот результат необходимо прочесть так: ток в проводнике имеет величину и течёт от узла в сторону узла ; если же выбрано направление от узла в сторону узла , получим  этот результат, как и в предыдущем случае, вновь показывает, что ток имеет величину и течёт от узла в сторону узла ;
• для напряжения — предполагаемую или известную точку (зажим) высшего потенциала; изменение направления отсчёта напряжения состоит в изменении знака (рис. 1.1, б), а именно:

При этом значения напряжения  и  приводят к одному и тому же результату, а именно: напряжение между зажимами равно 1 В, причём потенциал зажима m  выше потенциала зажима n.

Выбор направлений токов и напряжений, вообще говоря, является произвольным, но именно с этого необходимо начинать решение любой задачи.

Замечание:

Включение измерительных приборов (вольтметров, амперметров, осциллографов и др.), реагирующих на изменение направления измеряемой величины, что на зажимах указывается знаками "+" или " - ", следует производить с учётом положительных направлений измеряемых величин (рис. 1.2).

Изменения во времени токов и напряжений в электрических цепях называются колебаниями соответствующих величин. Колебания, являющиеся носителями информации, называют электрическими сигналами, или просто сигналами. Колебания, а также сигналы безотносительно их природы принято обозначать или . Это означает, что и могут иметь смысл как тока, так и напряжения.
 

Классификация электрических цепей

Все электрические цепи (или, в общем смысле, системы) разделяются обширных класса: аналоговые, дискретные и цифровые — в зависимости от типа обрабатываемого колебания (рис. 1.3).

Определение:

 Аналоговым называется колебание, непрерывное по времени и состоянию.

Аналоговое колебание описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией При этом как сама функция, так и её аргумент могут принимать любые значения из области допустимых значений: и Пример такого колебания приведён на рис. 1.3, а.

Определение:

Дискретным называется колебание, дискретное по времени и непрерывное по состоянию.

Дискретное колебание описывается решётчатой функцией n = 0, 1, 2, ... При этом функция определена в дискретные моменты времени и может принимать любые значения из области допустимых значений Пример такого колебания приведён на рис. 1.3, б.

Определение:

Цифровым называется колебание, дискретное как по времени, так и по состоянию.

Цифровое колебание описывается квантованной решетчатой функцией  которая определена только в дискретные моменты времени и может принимать только дискретные значения из ограниченного множества допустимых значений Пример такого колебания приведён на рис. 1.3, в (сравните с рис. 1.3, б).

Теперь можно определить классы электрических цепей.

Цепь (система) называется аналоговой, если аналоговое выходное колебание является непрерывной функцией входного

Цепь (система) называется дискретной, если дискретное выходное колебание является дискретной функцией входного

Цепь (система) называется цифровой, если цифровое выходное колебание является цифровой функцией входного

В настоящем курсе рассматриваются только аналоговые электрические цепи, классификация которых показана на рис. 1.4. Дискретные и цифровые цепи и системы изучаются в отдельных дисциплинах.

Аналоговые электрические цепи подразделяются на линейные и нелинейные; в данном курсе изучаются только линейные цепи, определение которых даётся в разд. 1.4.

Электрические цепи, содержащие конечное число компонентов (составляющих), называются цепями с сосредоточенными (дискретными) элементами (параметрами). Модели таких цепей содержат конечное число элементов, в которых происходит рассеивание или накопление электромагнитной энергии. На рис. 1.5 изображена схема простейшей цепи, состоящей из резистивного элемента R и ёмкости С.

Электрические цепи, модели которых содержат бесконечно большое число элементов, называются цепями с распределёнными параметрами. В таких цепях невозможно выделить области, где происходит рассеивание электромагнитной энергии. Они обладают рядом замечательных свойств, которые позволяют использовать такие цепи в качестве воздушных и кабельных линий связи, элементов антенных устройств и волноводов (в технике сверхвысоких частот). Примером является всем известный антенный спуск (фидер).

Электрические цепи разделяют также на группы (рис. 1.6) согласно числу их внешних зажимов (полюсов): двухполюсники и многополюсники (трёхполюсники, четырёхполюсники и т. д.). Любая из перечисленных цепей может быть как пассивной, так и активной.

Пассивной называется цепь, в которой отсутствует источник напряжения или тока.

Определение линейной стационарной цепи (системы)

Изобразим электрическую цепь (систему) в виде "чёрного ящика", который имеет вход и выход (рис. 1.7). Колебание  действующее на входе, называют воздействием, а соответствующее ему колебание действующее на выходе цепи, называют реакцией.

Цепь (система) называется линейной, если описывающий её оператор F (см. рис. 1.7) линеен, т. е. обладает следующими свойствами:

• однородности, или пропорциональности (наложения):

однородность означает, что если воздействие получило усиление в  а  раз, то и реакция получит такое же усиление;

• аддитивности, или суперпозиции:

аддитивность означает, что если воздействие представляет собой сумму колебаний, то реакция будет представлять собой сумму реакций на каждое из воздействий в отдельности.

Для определения стационарности потребуется понятие задержанного сигнала. Если сигнал (воздействие) поступает на вход спустя некоторое время относительно принятого начального момента отсчёта (рис. 1.8), то говорят, что сигнал (воздействие) задержан на время , и отражают этот факт записью

Цепь называется стационарной, если задержка любого воздействия на время при условии, что

приводит к задержке реакции на то же время

    (1.3)

В противном случае цепь называется нестационарной.

Это свойство иногда называют свойством инвариантности во времени, т. е. в стационарных цепях соотношение между воздействием и реакцией не зависит от момента поступления воздействия.

Далее основное внимание будет уделено анализу и синтезу линейных стационарных цепей с сосредоточенными параметрами, а также анализу цепей с распределёнными параметрами (длинных линий). Кроме того, изучаются особенности автоколебательных цепей.
 

Модель и схема электрической цепи

Реальная электрическая цепь (радиотехническое устройство) содержит разнообразные радиодетали: резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы, трансформаторы, полупроводниковые приборы и другие устройства, свойства которых, вообще говоря, отличаются от свойств соответствующих элементов. Электрическая цепь может конструктивно исполняться либо из перечисленных дискретных компонентов, либо изготавливаться в виде интегральных схем в едином технологическом цикле. Электрические цепи, содержащие как интегральные, так и дискретные компоненты, называются гибридными.

При анализе колебаний, в реальной цепи она заменяется идеализированной цепью, колебания в которой пренебрежимо мало отличаются от колебаний в реальной цепи. Идеализированную электрическую цепь, свойства которой 

аппроксимируют (представляют приближённо) свойства реальной цепи, называют моделью цепи, в которой радиодетали замещаются соответствующими элементами. Например, конденсатор отождествляют с элементом ёмкости, а катушку индуктивности — с элементом индуктивности.

Графическое изображение модели исходной цепи называют схемой замещения цепи, или просто схемой цепи (рис. 1:9). Соединительные проводники на схемах изображаются линиями; считается, что соединительные проводники не оказывают влияния на свойства модели цепи.

Понятия "электрическая цепь" и "схема электрической цепи" часто отождествляются; например, интегральные электрические цепи с большим числом элементов получили название больших интегральных схем (БИС).

Каждой конкретной модели цепи соответствует система уравнений, решение которой позволяет оценить те или иные свойства цепи, рассчитать токи и напряжения как на отдельных участках цепи, так и на её элементах. Такая система уравнений называется математической моделью цепи.

Важно:

• математическая модель должна обеспечивать принципиальную возможность осуществления электрической цепи, т. е. её синтез. Иначе говоря, математическая модель должна отвечать так называемому принципу физической возможности, или осуществимости цепи. Смысл этого принципа состоит в том, чтобы по известной математической модели может быть построена собственно электрическая цепь из резисторов, конденсаторов и других радиодеталей. В дальнейшем этому принципу будет уделяться большое внимание.

Элементы топологии электрических цепей и законы Кирхгофа

Граф электрической цепи:

Любую электрическую цепь, независимо от природы составляющих её элементов, можно представить в графическом виде с помощью узлов и ветвей. Для этого введём следующие основные понятия (рис. 2.1, а):

• узел — место соединения двух и более элементов электрической цепи, узлы обозначаются кружочками или жирными точками;
• ветвь — направленный (со стрелкой) или ненаправленный отрезок, соответствующий части цепи, которая взаимодействует с                остальной цепью только через два узла.

Граф полностью характеризует структуру цепи и её конфигурацию. Введём основные определения, соответствующие графу:

• степень узла — число ветвей, связанных с одним узлом;
• внутренняя степень узла — число ветвей, входящих в узел;
• внешняя степень узла — число ветвей, исходящих из узла;
• изолированный узел — это такой узел, который ни одной ветвью не соединён с другим узлом;
• простой (устранимый) узел — место соединения только двух ветвей; в противном случае узел называется сложным;
• простая ветвь — это ветвь, символизирующая только один элемент цепи безотносительно его характера;

• сложная ветвь — геометрическая комбинация простых ветвей относительно некоторой пары узлов (например, на рис. 2.1, а относительно узлов 4 и 5 сложная ветвь состоит из ветвей а, б, в и ж). Ветви, подсоединённые к одной паре узлов, образуют параллельное соединение (ветви в  и ж рис. 2.1, а)
• путь — последовательность ветвей, соединяющих два узла, при условии, что в этой последовательности нет повторяющихся узлов;
• контур — замкнутый путь; контуры называются независимыми, если они отличаются друг от друга по крайней мере одной ветвью.

Определение:

Геометрическое изображение электрической цепи в виде совокупности узлов и ветвей называется графом электрической цепи
(рис. 2.1).

Графы простейших соединений элементов: последовательного, когда ветви соединены простыми узлами, и параллельного показаны на рис. 2.1, б  и в соответственно. Примеры реальных цепей и их графов с указанием узлов, ветвей и контуров приведены на рис. 2.2.

Внутри самого графа различают:

• подграф — часть графа; подграф является связным, если любые его два узла связаны, т. е. соединены ветвями;

• дерево графа — связный подграф из минимального числа ветвей, содержащий все узлы, но не содержащий ни одного контура. Ветви дерева называются рёбрами.
• хорды — ветви графа, не вошедшие в дерево. Полное множество хорд графа называется дополнением дерева.

В общем случае для графа возможно построить несколько вариантов деревьев, причём вариантов будет тем больше, чем сложнее электрическая цепь.

Примеры деревьев, полученных из графа рис. 2.1, а после удаления изолированного узла (1), приведены на рис. 2.3: а) связный граф,
б) ветви а, в, г, е — рёбра дерева, б, д, ж — хорды, в) ветви б, д, е, ж — рёбра дерева, а, в, г — хорды.

В теории графов доказывается, что число рёбер дерева на единицу меньше числа узлов графа

   (2.1)

а число хорд дерева (дополнение дерева) определяется выражением:

    (2.2)

где — число ветвей графа. Из рис. 2.3 видно, что содержащему 5 узлов и 7 ветвей графу соответствует дерево, имеющее 4 ребра и 3 хорды.

Сечение (разрез) графа — это совокупность ветвей связного графа, если устранение всех ветвей этой совокупности при сохранении узлов графа делает граф несвязным, а после восстановления любой из ветвей этой совокупности вновь образуется связный граф. На графе сечение обычно изображается штриховой линией, которая проходит через все ветви сечения. Сечение, рассекающее только одну ветвь графа, называется главным сечением. Число главных сечений равно числу рёбер дерева.

На рис. 2.4, а штриховыми линиями показаны два из ряда возможных сечений и . При этом граф разбивается на две несвязные части, что видно из рис. 2.4, б (сечение ) и рис. 2.4, в (сечение ).
 

Аналитическое описание графа

Определение:

I.Направленным (ориентированным) графом называется такой граф, все ветви которого ориентированы согласно выбранным положительным направлениям токов (рис. 2.5).

В дальнейшем будем рассматривать только направленные графы. Всякий направленный граф можно однозначно описать его матрицей соединений (матрицей инциденций), у которой число строк равно числу узлов а число столбцов равно числу ветвей

Строки нумеруются по индексу согласно нумерации узлов, а столбцы — по индексу согласно нумерации ветвей. Элементы матрицы определяются следующим образом:

•  если 1-я ветвь ориентирована в сторону -го узла, то на пересечении —ой строки и -го столбца матрицы записывается - 1, (сток),
• если 1-я ветвь ориентирована от -ro узла, то на пересечении -ой строки и -го столбца матрицы записывается , (исток),
• если 1-я ветвь не подсоединена к -му узлу, то на пересечении -ой строки и -го столбца матрицы записывается 0,

Кратко для -го узла это может быть записано так:

Например, матрица соединений для графа рис. 2.5, составленная по указанному правилу, такова (рис. 2.6):

Нетрудно видеть, что сумма элементов любого столбца матрицы соединений равна нулю, что означает линейную зависимость её строк. Иначе говоря, любая из строк матрицы не содержит новой информации относительно всех других строк матрицы, поэтому любую строку можно удалить и затем восстановить, зная остальные строки.

Узел, строка которого исключается, называется базисным, а образующаяся при этом матрица называется редуцированной она состоит из строк. В рассмотренном примере после отбрасывания последней строки получаем:

т. е.. базисным является нулевой узел. Как будет видно из дальнейшего, выбор базисного узла требует внимания и некоторых навыков.

Матрица контуров В представляет собой таблицу, число строк которой равно числу независимых контуров а число столбцов — числу ветвей В этой матрице строки нумеруются по индексу согласно нумерации независимых контуров, а столбцы — по индексу  согласно нумерации ветвей, как и в предыдущем случае. Элементы матрицы относительно -го контура определяются следующим образом:

Например, для графа рис. 2.5 имеем:

Законы Кирхгофа

В основе методов анализа электрических цепей как линейных, так и нелинейных имеются два закона Кирхгофа (1848 г.), выражающие законы сохранения заряда и энергии.
Кирхгоф Густав Роберт (1824—1887) — немецкий физик; будучи студентом, в 1845 году опубликовал законы непрерывности токов в узле и равновесия напряжений в контуре электрической схемы.

Первый закон — закон токов Кирхгофа (ЗТК): в любой момент времени алгебраическая сумма токов ветвей, подключённых к узлу, равна нулю

где — число ветвей, подключённых к узлу; при этом токи, одинаково ориентированные относительно узла, имеют одинаковые знаки; согласно матрице соединений знаки токов, выходящих из узла, считают положительными "+", а входящих — отрицательными "-".

Уравнение (2.3) обычно называют уравнением баланса токов в узле. Например, для узла рис. 2.7 имеем уравнение баланса токов:

Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов цепи и определяется согласно уравнению (2.1)

          (2.4)

Закон токов можно получить перемножением редуцированной матрицы на матрицу-столбец токов ветвей

где Т — знак транспонирования:

Первый закон Кирхгофа применяется не только к узлам, но и к любой части цепи, выделенной сечением. Для такого случая первый закон Кирхгофа читается так: алгебраическая сумма токов в ветвях одной из сторон сечения в любой момент времени равен нулю. При этом токи, направления отсчётов которых совпадают с направлением "во внутрь", берутся со знаком "-", а если не совпадают — со знаком "+".

Пример 2.1. Запишем уравнения баланса токов для двух сечений графа (рис. 2.8).

                                                                           
Согласно изложенному правилу для первого сечения имеем следующее уравнение баланса токов (направления токов выделены жирными линиями):

а для второго сечения уравнение имеет вид:

Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК): в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений в любом контуре цепи равна нулю:

где  — число ветвей, входящих в контур. При этом в (2.5) напряжения записываются со знаком "+", если направление обхода совпадает с направлением отсчёта напряжения, в противном случае напряжения записываются со знаком "-".

Уравнение (2.5) обычно называют уравнением баланса напряжений ветвей. Например, для контура рис. 2.9 имеем уравнение баланса напряжений:

Число независимых уравнений, составляемых по ЗНК, равно числу хорд графа (2.2)

Второй закон Кирхгофа применяется не только к контуру, включающему в себя все ветви, но и к ограниченному контуру, не проходящему через все ветви.

Пример 2.2.

Запишем уравнения баланса напряжений для контура, выделенного штриховой линией на рис. 2.10; он не охватывает ветви, включённые между узлами 4—7. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать следующее уравнение баланса напряжений:

Важно:
изменение правила записи знаков токов и напряжений в уравнениях баланса токов (2.3) и напряжений (2.5) соответственно эквивалентно умножению этих уравнений на -1.
 

Краткая характеристика задач анализа и синтеза электрических цепей

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами, причём число входов и выходов может не совпадать (рис. 2.11). В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две принципиально различные группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

                                                             

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи на заданное воздействие Исходными данными в задаче анализа являются схема цепи, параметры всех входящих в неё элементов, описание внешнего воздействия, задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеальных источников тока и напряжения соответственно. Анализ сводится к определению токов и напряжений на всех или некоторых ветвях цепи, а также к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных входах и воздействиями, приложенными к соответствующим входам. Такие соотношения называются характеристиками (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, что является аргументом характеристик — частота или время — различают частотные и временные характеристики. Определение и исследование частотных (временных) характеристик представляет собой задачу анализа цепи в частотной (временной) области.

Математически задача анализа сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений состояния цепи (см. разд. 1.1), неизвестными в которых являются токи и напряжения. Ясно, что число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Используя законы Кирхгофа, всегда можно записать систему уравнений, число которых достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений. Впоследствии будет показано, что уравнения состояния, полученные любым методом, в общем случае являются интегро-дифференциальными.

Задача синтеза цепи состоит в нахождении цепи по заданной реакции на заданное воздействие . Исходными данными в задаче синтеза являются описания воздействия на цепь и её реакции. Целью синтеза является получение цепи, обеспечивающей заданные соотношения между воздействием и реакцией; иначе говоря, задача синтеза состоит в получении цепи по заданным её характеристикам.

Математически задача синтеза сводится к получению таких уравнений, по которым можно однозначно построить требуемую электрическую цепь. При формулировке конкретной задачи синтеза обязательно задаются ограничения и допуски, при которых решается задача. Ограничения и допуски касаются как условий самой процедуры решения, так и элементной базы, на которой предполагается реализация синтезируемой цепи.

Элементы электрических цепей

Элементы электрических цепей и их свойства:

Элементом электрической цепи называют идеализированное устройство, обладающее одним из следующих свойств:

• вносить энергию в электрическую цепь (источник);
• рассеивать энергию (элемент активного сопротивления, резистивное сопротивление);
• запасать энергию в виде энергии магнитного поля (элемент индуктивности, индуктивность);
• запасать энергию в виде энергии электрического поля (элемент ёмкости, ёмкость).

Различают активные и пассивные элементы. К активным элементам относятся источники, а к пассивным — резистивные сопротивления, индуктивности и ёмкости.

Пассивные элементы

Резистивное сопротивление (рис. 3.1) обладает только свойством необратимого рассеивания энергии. Напряжение  приложенное к элементу, и ток проходящий через него, при согласованном выборе (рис. 3.1, а, б) направлений напряжения и тока, связаны между собой законом Ома

Если направления отсчётов напряжения и тока выбраны так, как показано на рис. 3.1, в, г, в соотношения (3.1) следует внести знак "-":

 

Коэффициенты пропорциональности R  и G называются сопротивлением и проводимостью элемента соответственно и являются его количественной характеристикой. Из (3.1) следует связь между ними

       (3.2)

Сопротивление R измеряется в омах (Ом), а проводимость С — в сименсах (См).

Уравнение (3.1) называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) резистивного сопротивления. Если R постоянно (R = const), то ВАХ линейна (рис. 3.2, а) и соответствует линейному резистивному элементу. Если же R зависит от протекающего через него тока или приложенного к нему напряжения , то ВАХ становится нелинейной (рис. 3.2, б) и соответствует нелинейному резистивному сопротивлению.

Мгновенная мощность электрических колебаний в элементе активного сопротивления

         (3.3)

никогда не может быть отрицательной если направления отсчётов напряжения и тока согласованы, т. е. соответствуют рис. 3.1, а, б. В противном случае резистивное сопротивление могло бы не только рассеивать, но и вводить или возвращать энергию во внешнюю по отношению к нему цепь.

Количество электрической энергии, рассеянной в резистивном сопротивлении, за конечный интервал времени

         (3.4)

также положительно.

Индуктивность (рис. 3.3, а) обладает только свойством накопления энергии магнитного поля. Её линейная математическая модель имеет вид

         (3.5)

где — потокосцепление, характеризующее суммарный магнитный поток, пронизывающий катушку:

где — число витков катушки; — номер витка, с которым сцеплён поток  измеряемый в веберах (Вб). В простейшем случае, когда каждый из потоков сцеплён со всеми витками катушки, получаем:

Коэффициент пропорциональности L > 0 в (3.5) называется, как и сам элемент, индуктивностью, измеряется в генри (Гн). Если
L = const, то вебер-амперная характеристика (3.5) линейна и соответствует линейному индуктивному элементу. Если же L зависит от тока или напряжения, то потокосцепление (3.5) становится нелинейной функцией и соответствует нелинейной индуктивности.

Связь между током и напряжением на индуктивности определяется согласно закону электромагнитной индукции линейными соотношениями:

           (3.6)

т. е. напряжение на индуктивности пропорционально скорости изменения протекающего через неё тока. Следовательно, при протекании через индуктивность постоянного тока напряжение на ней равно нулю и схема замещения элемента индуктивности соответствует коротко замкнутому участку цепи (рис. 3.3, б).

Поскольку в действительности ток через индуктивность проходит в течение некоторого промежутка времени  начиная с момента начала его отсчёта, необходимо от неопределённого интеграла (3.6) перейти к определённому интегралу с переменным верхним пределом:

где — значение тока в момент

Известно, что интеграл с переменным верхним пределом от кусочно-непрерывной функции есть непрерывная функция этого предела. В нашем случае это означает, что ток в индуктивности (3.7) является непрерывной функцией времени даже при наличии в приложенном напряжении разрывов непрерывности первого рода ("скачков" напряжения).

Доказанное свойство называют законом коммутации тока, проходящего через индуктивность, и формулируют следующим образом:

при любом конечном приращении напряжения на зажимах индуктивности ток в индуктивности не может претерпевать скачка, т. е. ток в индуктивности является непрерывной функцией времени.

Математически это свойство записывают в виде:

Мгновенная мощность электрических колебаний в индуктивности

может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае (р > 0) в индуктивности энергия накапливается, а во втором
(р < 0)— энергия, ранее запасённая в элементе, отдаётся во внешнюю по отношению к нему электрическую цепь. Количество электрической энергии, запасённой в индуктивности за конечный интервал времени

           (3.8)

 не может быть отрицательным.

Ёмкость (рис. 3.4, а) обладает только свойством накопления энергии электрического поля. Её свойства описываются линейной математической моделью, называемой вольт-кулонной характеристикой

        (3.9)

Коэффициент пропорциональности С > 0 в (3.9) называется, как и сам элемент, ёмкостью, измеряется в фарадах (Ф). Если С = const, то характеристика (3.9) линейна и соответствует линейной ёмкости. Если же С зависит от тока (напряжения), то зависимость (3.9) становится нелинейной и соответствует нелинейной ёмкости.

Связь между током и напряжением на ёмкости определяются линейными соотношениями:

   (з.ю)

   и 

 (3.11)

т. е. ток в ёмкости пропорционален скорости изменения приложенного к ней напряжения. При несогласованной системе отсчёта тока и напряжения в выражениях (3.10) и (3.11) необходимо поставить знак "-" в одной из частей равенства.  Следовательно, при постоянном напряжении  u = const  ток в ёмкости равен нулю  и схема замещения элемента ёмкости соответствует разрыву цепи (рис. 3.4, б).

Соотношение может нарушаться при воздействии на элемент индуктивности кратковременных (импульсных) напряжений бесконечно большой величины.

Выражение (3.11) имеет переменный верхний предел и, подобно выражению (3.7), позволяет сформулировать закон коммутации напряжения на ёмкости: при любом конечном приращении тока, проходящего через элемент ёмкости, напряжение на его зажимах не может претерпевать скачка.

Мгновенная мощность электрических колебаний в ёмкости

может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае (р>0) в элементе ёмкости энергия электрического поля накапливается, а во втором (р<0) — энергия, ранее запасённая в элементе, отдаётся во внешнюю по отношению к нему электрическую цепь. Количество энергии, запасённой в ёмкости за конечный интервал времени

          (3.12)

не может быть отрицательным. Запас энергии определяется мгновенным значением напряжения на ёмкости и не зависит от предыстории напряжения.

Таким образом, рассмотренные элементы можно разделить на две группы:

• одна группа элементов способна только рассеивать подведённую к ним электрическую энергию, т. е. необратимо преобразовывать её, например, в тепловую, механическую и др.; эту группу составляют активные сопротивления;
• вторая группа элементов способна накапливать энергию с последующей отдачей её во внешнюю по отношению к элементу электрическую цепь; эту группу составляют реактивные элементы: индуктивности (запасает энергию в магнитном поле) и ёмкости (запасает энергию в электрическом поле).

Однако обе эти группы элементов обладают одним общим свойством: они могут только потреблять электроэнергию. Этим и объясняется их общее название — пассивные.

Источники (активные элементы)

Возникновение колебаний в электрической цепи невозможно без подведения к ней электрической энергии. Устройства, которые вносят в цепь электрическую энергию, называются генераторами. Реальные генераторы, их особые свойства, назначение и методы конструирования изучаются в специальных курсах. В теории электрических цепей свойства реальных генераторов идеализируются, что приводит к двум разновидностям активных элементов электрических цепей: источникам напряжений и источникам токов, которые обладают только одни свойством — вносить энергию в электрическую цепь. Источники вносят энергию в электрическую цепь и могут быть независимыми и зависимыми.

Независимые источники

Источником напряжения (независимым источником напряжения) называют двухполюсный идеализированный элемент, напряжение на выходных зажимах которого не зависит от свойств цепи, являющейся внешней по отношению к нему; иначе говоря, напряжение на его зажимах не зависит от величины тока, потребляемой цепью. Встречающиеся в литературе графические изображения источника напряжения с указанием направления отсчёта (стрелкой или знаками "+" и "-") представлены на рис. 3.5.
При этом считается, что внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю. В данном курсе лекций используются изображения, показанные на рис. 3.5, в, г, причём Е = const — разность потенциалов на внешних зажимах источника постоянного напряжения.

Источник напряжения полностью характеризуется своим задающим напряжением или электродвижущей силой (ЭДС). Графическое изображение источника постоянного напряжения приведено на рис. 3.5, в.

Источник напряжения способен отдавать во внешнюю цепь сколь угодно большую мощность.

Примечание:

Режим короткого замыкания источника напряжения в теории электрических цепей не рассматривается, поскольку устройство, обладающее свойствами источника напряжения в таком случае, не может быть физически осуществлено; по этой же причине в теории электрических цепей не рассматривается параллельное соединение источников напряжения.

Источником тока (независимым источником тока) называют двухполюсный идеализированный элемент, электрический ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Иначе говоря, ток на его внешних зажимах изменяется во времени по заданному закону независимо от напряжения, образующегося на подключённой к нему цепи (т. е. не зависит от свойств цепи). Ток, полностью характеризующий источник, называют задающим током источника, или просто током источника.

Графическое изображение источника тока показано на рис. 3.6, где положительное направление задающего тока указано стрелками. Разрыв между стрелками отражает тот факт, что внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.

Источник тока, как и источник напряжения, способен отдавать во внешнюю цепь сколь угодно большую мощность.

Примечание:

Режим холостого хода (при разомкнутых внешних зажимах) источника тока и последовательное соединение источников тока противоречат определению источника тока и по этой причине в теории электрических цепей не рассматриваются.

Таким образом, рассмотренные источники напряжения и тока называются независимыми, поскольку как задающее напряжение источника напряжения, так и задающий ток источника тока определяются только внутренними свойствами источников и не зависят от внешних воздействий.

Зависимые источники

Зависимый источник представляет собой четырёхполюсный элемент с двумя парами зажимов: входных и выходных; при этом входные токи и напряжения являются управляющими. Различают четыре типа зависимых источников:

• источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); в этом источнике входное сопротивление бесконечно велико (рис. 3.7), входной ток а выходное напряжение связано с входным соотношением где — безразмерный коэффициент, полностью характеризующий источник; таким образом, ИНУН является идеальным усилителем напряжения;

• источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); в этом источнике входное сопротивление равно нулю, т. е. входная проводимость бесконечно велика (рис. 3.8): входное напряжение а выходное напряжение связано с входным током соотношением где г— коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления;

• источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); в этом источнике (рис. 3.9) входной ток а выходной ток связан с входным напряжением соотношением где — коэффициент, имеющий размерность проводимости;

• источник тока, управляемый током (ИТУТ); в этом источнике (рис. 3.10) входное напряжение а выходной ток связан с входным током соотношением где — безразмерный коэффициент усиления по току; это — идеальный усилитель тока.

Важно:

• коэффициенты представляют собой вещественные положительные числа и полностью характеризуют соответствующий источник.

Схемы замещения реальных элементов электрической цепи

Рассмотренные в разд. 3.1.1 идеальные пассивные элементы не полностью отражают свойства соответствующих реальных радиодеталей, включённых в электрическую цепь. Все радиодетали реагируют на тепловые, электромагнитные и частотные изменения, происходящие в цепи. С целью повышения точности моделирования цепи необходимо учитывать реальные свойства резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности на различных частотах, а также неизбежные потери энергии за счёт её рассеивания в этих устройствах. Для отражения реальных свойств радиодеталей используют их схемы замещения (модели).

Резистор воспроизводит с необходимой точностью свойства резистивного сопротивления требуемого номинала в заданных интервалах изменения напряжения, тока, температуры и в определённом диапазоне частот. Однако на высоких частотах резистор невозможно описать идеальным резистивным элементом вследствие влияния так называемых "паразитной" ёмкости и "паразитной" индуктивности (рис. 3.11). На высоких частотах более точной является модель параллельного соединения и (рис. 3.11, а), когда сопротивление резистора уменьшается. В ряде случаев необходимо учитывать эффект накопления энергии магнитного поля в элементах резистора, что осуществляется введением в модель "паразитной" индуктивности (рис. 3.11, б), когда сопротивление резистора возрастает. На высоких  и сверхвысоких частотах начинает проявляться поверхностный эффект, выражающийся в неравномерном распределении тока по сечению проводника (скин-эффект). Это приводит к росту сопротивления R проводника с увеличением частоты. Причём чем толще проводник, тем при меньших частотах начинает проявляться скин-эффект. На СВЧ зависимость сопротивления круглого медного проводника от частоты выражается эмпирической формулой

где — сопротивление проводника постоянному току в омах (Ом); — диаметр сечения проводника в миллиметрах (мм); — частота в мегагерцах (МГц).

В конденсаторах и катушках индуктивности подведённая к ним энергия не только запасается, но и рассеивается.

Конденсатор своей моделью имеет элемент ёмкости. Рассеивание энергии в конденсаторе происходит в диэлектрике, что необходимо учитывать введением в схему замещения (рис. 3.12, а) параллельной "паразитной" проводимости кроме того, в конструктивных элементах конденсатора запасается энергия магнитного поля, которую можно учесть введением последовательно соединённой "паразитной" индуктивности

Катушка индуктивности простейшей моделью имеет индуктивность. Рассеяние энергии в катушке обусловлено конечным сопротивлением провода катушки, потерями, которые вызываются образованием вихревых токов в окружающих катушку проводниках, что можно учесть введением "паразитного" сопротивления кроме того, в конструктивных элементах катушки запасается энергия электрического поля, которую можно учесть введением параллельно соединённой "паразитной" ёмкости В области нижних частот определяющими являются потери, обусловленные сопротивлением провода катушки, которое учитывается введением последовательного "паразитного" сопротивления (рис. 3.12, б). В области верхних частот потери обусловливаются как вихревыми токами в проводе катушки и в окружающих её проводниках, так и энергией электрического поля, поэтому в данном случае целесообразно использовать схему замещения, изображённую на рис. 3.12, в.

Операционный усилитель (ОУ) — пример зависимого источника напряжения; выпускается в виде отдельной микросхемы широкого назначения (рис. 3.13, а). Усилитель имеет две пары входных зажимов (два входа) и одну пару выходных зажимов (один выход). При подаче на вход 1 напряжения выходное напряжение имеет ту же полярность, что и а при подаче напряжения на вход 2 выходное напряжение будет иметь обратную полярность. Простейшая схема замещения ОУ (рис. 3.10, б) включает в себя ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления подсоединённый к выходным зажимам усилителя. Задающее напряжение пропорционально разности напряжений подведённых к входным зажимам 01 и 02 усилителя. Схема замещения реального ОУ (рис. 3.13, в) содержит резистивные сопротивления, имитирующие конечное входное и выходное сопротивления усилителя, причём а коэффициент усиления реального усилителя исчисляется в десятках и сотнях тысяч единиц. Операционный усилитель и случаи его применения рассмотрены в лекции 42.

Параллельные и последовательные соединения однотипных элементов

Параллельное соединение предполагает, что элементы цепы подсоединены к источнику параллельно и включаются одновременно. Последовательное соединение означает, что проводники сопротивления подключаются в строгой последовательности друг за другом.

Параллельные соединения

На рис. 3.14 приведены схемы параллельного соединения элементов. Каждая из схем имеет по два узла и к любому элементу цепи приложено одинаковое напряжение

Задача 3.1.

Определить эквивалентное сопротивление, эквивалентную ёмкость, эквивалентную индуктивность и эквивалентный ток соответствующей цепи.

Решение. Зададимся произвольными направлениями отсчётов токов в элементах и запишем уравнения согласно первому закону Кирхгофа (ЗТК) для каждой схемы, по которому

   (3.13)

□ Для параллельного соединения резистивных элементов (рис. 3.14, а) согласно (3.13) имеем

    (3.14)

Таким образом, при параллельном соединении проводимости складываются, а эквивалентное сопротивление меньше наименьшего.

Пример 3.1.

Найти эквивалентное сопротивление параллельно соединённых сопротивлений Ом и Ом. Воспользуемся выражением (3.14)

откуда Ом.

Отсюда же нетрудно получить общее выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединённых резистивных элементов

       (3 15)

В общем случае эквивалентное сопротивление параллельно соединённых резистивных элементов рассчитывается согласно выражению (3.14) по формуле:

              (3.16)

□ Для параллельного соединения ёмкостей (рис. 3.14, б) согласно (3.13) имеем

      (3.17)

откуда

        (3.18)

Таким образом, при параллельном соединении элементов ёмкости эквивалентная ёмкость представляет собой сумму значений всех элементов.

□ Для параллельного соединения индуктивных элементов (рис. 3.14, в) согласно (3.13) имеем

        (3.19)

откуда

   (3.20)

Таким образом, при параллельном соединении элементов индуктивности, подобно элементам сопротивления, суммируются обратные индуктивности, эквивалентная индуктивность меньше наименьшей и вычисляется по формуле

  (3.21)

в частности, для двух параллельно соединённых элементов индуктивности

  (3.22)

Для параллельного соединения источников тока (рис. 3.14, г) согласно (3.13) имеем

    (3-23)

где знаки определяются согласно выбранному положительному направлению тока.

Последовательные соединения

При последовательном соединении (рис. 3.15) согласно первому закону Кирхгофа (3TK) через все элементы протекает один и тот же ток. Это означает, что напряжение на каждом из элементов в общем случае различное. Согласно второму закону (ЗНК) напряжение, приложенное ко всей цепи, равно

   (3.24)

Отсюда получаем:

для последовательного соединения резистивных элементов (рис. 3.15, a)

следовательно,

      (3.25)

□ для последовательного соединения ёмкостных элементов (рис. 3.15, б)

следовательно,
 

   (3.26)

откуда

       (3.27)

а для двух последовательно соединенных емкостей имеем:

     (3.28)

□ для последовательного соединения индуктивных элементов (рис. 3.15, в)

следовательно,

      (3.29)

для последовательного соединения источников напряжения (рис. 3.15, г) имеем

       (3.30)

где знаки определяются согласно выбранному положительному направлению напряжения.

Функции электрических цепей

Функции, в которых выражаются характеристики электрических цепей, называют функциями электрических цепей. К ним относятся: передаточные и входные функции комплексные частотные характеристики а также временные характеристики: импульсная и переходная  Многие свойства этих функций уже изучались в соответствующих разделах курса. В данной лекции делается ряд практически важных обобщений относительно свойств передаточных функций и комплексных частотных характеристик, разъясняются некоторые свойства, принятые ранее как аксиомы.

Свойства передаточной функции

Все свойства цепи, включая её конфигурацию, что будет показано в части II, связаны с передаточной функцией; поэтому знание её свойств является практически необходимым.

Свойство 1

Передаточная функция характеризует реакцию системы только при нулевом начальном состоянии, что следует из связи передаточной функции и импульсной характеристики

Свойство 2

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией оператора р с вещественными коэффициентами:

          (26.1)

 где — вещественные числа.

Разложение числителя и знаменателя функции (26.1) на множители первого порядка позволяет записать эту функцию в виде:

        (26.2)

где:

— нули передаточной функции (т. е. нули полинома ); — полюсы передаточной функции (т. е. нули полинома ).

В силу вещественности коэффициентов согласно основной теореме алгебры количество нулей и полюсов передаточной функции равно порядкам полиномов и , а сами нули и полюсы могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряжённые пары, причём в одной передаточной функции могут быть как те, так и другие.

Свойство вещественности коэффициентов означает, что в задачах анализа электрических цепей не могут встретиться передаточные функции с комплексными коэффициентами, а в задачах синтеза цепей невозможно получить передаточную функцию с комплексными коэффициентами.

Свойство 3

По известным нулям и полюсам можно по формуле (26.2) найти саму функцию, за исключением коэффициента иначе говоря, нули и полюсы передаточной функции определяют саму функцию с точностью до постоянного вещественного множителя играющего роль масштабного коэффициента.

Свойство 4

Знание всех полюсов передаточной функции даёт возможность разложить её на сумму простых дробей:

          (26.3)

где — коэффициент разложения при -ом полюсе; тип коэффициента совпадает с типом полюса: если полюс вещественный, то и коэффициент вещественный; если полюс комплексный, то и коэффициент комплексный. На основании (26.3) нетрудно получить импульсную характеристику:

         (26.4)

Свойство 5

Передаточная функция называется устойчивой, если соответствующая ей импульсная характеристика удовлетворяет условию:

           (26.5)

Для устойчивости передаточной функции, а потому и соответствующей ей электрической цепи, все её полюсы, как было доказано ранее, должны располагаться только в левой р-полуплоскости. В общем случае полюсы могут находиться также и на мнимой оси. Такие передаточные функции и соответствующие им электрические цепи могут рассматриваться либо как неустойчивые, либо как находящиеся на границе устойчивости. При этом всякое изменение параметров цепи (за счёт колебаний питающих напряжений, температуры, влажности и т. д.) смещает полюс с мнимой оси. Тогда цепь становится или устойчивой, если смещение произошло в левую полуплоскость, или самовозбуждается, если полюс сместился в правую р-полуплоскость.

Пример 26.1.

Определить устойчивость цепей, изображённых на рис. 26.1.

Решение. Цепь, изображённая на рис. 26.1, а, имеет передаточную функцию

и соответствующую импульсную характеристику

которая стремится к нулю при поэтому согласно (26.5) передаточная функция — устойчивая. Кроме того, единственный полюс, равный -1, является вещественным и лежит в левой р-полуплоскости.

Цепь, изображённая на рис. 26.1, б, имеет передаточную функцию

и импульсную характеристику

два полюса являются мнимыми и лежат на частотной оси, поэтому, как и в предыдущем случае, — устойчивая передаточная функция, но не является строго устойчивой.

Свойство 6

Передаточная функция называется строго устойчивой, если её реакция при нулевых начальных условиях остаётся ограниченной для любого ограниченного входного сигнала.

Пример 26.2.

Передаточная функция  устойчива, поскольку импульсная характеристика равномерно ограничена. Найдём реакцию при нулевых начальных условиях на ограниченный входной сигнал для чего воспользуемся теоремой о свёртке:

откуда следует, что эта функция не является строго устойчивой, поскольку при нулевых начальных условиях и ограниченном входном сигнале реакция при становится сколь угодно большой.

Важно:

передаточная функция строго устойчива, если:

•    она не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси или

•    интеграл от импульсной характеристики h(t) сходится абсолютно:

        (26.6)

т. е. площадь под кривой должна быть конечной; это требование охватывает более широкий класс систем, чем предыдущее.

Теорема:

для строгой устойчивости передаточной функции Н(р) необходимо и достаточно, чтобы импульсная характеристика h(t) удовлетворяла неравенству (26.6).

Доказательство.

Условие необходимости. Рассмотрим реакцию при нулевых начальных условиях на произвольный ограниченный сигнал такой, что

По теореме о свёртке в любой момент времени имеем:

откуда

Следовательно, при условии (26.6) реакция

равномерно ограничена для любого t.

Условие достаточности. Докажем, что если передаточная функция Н(р) строго устойчива, то неравенство (26.6) удовлетворяется. Предположим противное: неравенство (26.6) не удовлетворяется. Тогда должен существовать такой ограниченный входной сигнал , реакция на который  в некоторый момент времени окажется большей, чем любое наперёд заданное число.

Пусть такой сигнал описывается функцией сигнум

       (26.7)

Произведём в (26.7) замену

Функция — сигнум (от. лат. signum — знак) — равна знаку аргумента , т е может принимать только три значения:

Реакция    на этот сигнал в момент  имеет значение

         (26.8)

Но поскольку сигнум функции равен:

из(26.8) получаем:

          (26.9)

Из сделанного выше предположения о том, что неравенство (26.6) не выполняется, следует, что при заданном произвольно большом положительном числе М всегда можно найти такой момент времени , что реакция

      (26.10)

оказывается больше этого числа.

Таким образом, если неравенство (26.6) не выполняется, то реакция не может быть равномерно ограничена для всех ограниченных входных сигналов. Поэтому для строгой устойчивости передаточной функции неравенство (26.6) должно выполняться.

Важное замечание:

Передаточная функция характеризует реакцию системы только при нулевом начальном состоянии (свойство 1), поэтому можно предположить, что существуют системы со строго устойчивыми передаточными функциями, но с неустойчивым нулевым состоянием.

Например, пусть получена передаточная функция:

при  Эта функция строго устойчива, поскольку нуль и полюс, расположенные в правой полуплоскости, взаимно компенсируются.

Однако такая компенсация в действительности невозможна, поскольку нули и полюсы передаточной функции реализуются с помощью неидеальных 

резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности; и малейшие отклонения их параметров, обусловленные технологией изготовления, старением и влиянием неблагоприятных внешних воздействий (температуры, влажности, электромагнитных излучений и т. д.), приводят к несовпадению значений и а потому и к передаточной функции которая будет уже отличаться от расчётной и окажется неустойчивой.

Отсюда следует правило:

нельзя компенсировать полюс, находящийся в правой р-полуплоскости, введением в передаточную функцию равного ему нуля.

Свойство 7

Нули передаточных функций не имеют ограничений на своё расположение на р-плоскости, но влияют на свойства электрической цепи. Если нули расположены как в левой, так и в правой полуплоскостях, то передаточная функция (электрическая цепь) называется неминимально-фазовой; если же нули расположены только в левой полуплоскости, то передаточная функция (электрическая цепь) называется минимально-фазовой, или функцией минимальной фазы. Особенности таких цепей рассмотрены в части II "Синтез электрических фильтров ".

Рассмотрим смысл понятия минимальной фазы. Пусть имеются две дробно-рациональные функции и . полюсы которых совпадают, но нули передаточной функции расположены в левой р-полуплоскости, а нули передаточной функции расположены в правой р-полуплоскости и являются зеркальными отражениями нулей функции (рис. 26.2), т.е. если

Для простоты положим, что и имеют одинаковые постоянные множители  Тогда, исходя из расположения нулей и полюсов (рис. 26.2), передаточные функции можно записать в виде:

и

Изучим соотношения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полученных функций. Поскольку знаменатели этих функций одинаковы то достаточно определить вклад в указанные характеристики только числителей, для чего найдём их модули и аргументы при

Комплексная частотная характеристика числителя имеет вид:

отсюда его модуль

и аргумент

Комплексная частотная характеристика числителя имеет вид:

его модуль

и аргумент

Видно, что модули числителей изучаемых функций одинаковы, а потому и одинаковы их АЧХ, т. е. имеет место равенство:

однако аргументы числителей, а потому и аргументы функций и различны, причём их разность составляет

Это говорит о том, что на любой частоте фаза функции отстаёт от фазы

Иначе говоря, та передаточная функция, все нули которой лежат в левой р-полуплоскости, будет иметь на каждой частоте наименьший фазовый сдвиг.

Отсюда следует формулируемое здесь определение.

Определение:

Дробно-рациональная передаточная функция является минимально-фазовой тогда и только тогда, когда все ее конечные нули расположены в левой р-полуплоскости.

По этой причине всегда стремятся получить минимально-фазовую функцию.

Типичными функциями не минимальной фазы являются передаточные функции фазовых звеньев, изучаемых в лекции 28.

Свойства частотных характеристик

Рассмотрим комплексную частотную характеристику общего вида

            (26.11)

из которой можно получить вещественную и мнимую её части, а также АЧХ и ФЧХ. Изучим представляющие практический интерес свойства перечисленных характеристик.

Задача 26.1.

Найти свойства функций модуля (АЧ.Х), аргумента (ФЧХ) вещественной и мнимой частей КЧХ.

Решение. Представим в показательной и алгебраической формах, для чего запишем в алгебраической форме знаменатель и числитель функции (26.11), коэффициенты которой вещественны.

Ясно, что поскольку чётные степени jcо представляют собой вещественные числа: и т. д., а нечётные степени — мнимые числа: и т. д., то вещественные части числителя и знаменателя содержат лишь четные степени оператора а мнимые части — нечетные степени оператора

Отсюда знаменатель имеет вид:

Обозначим:

            (26.13)

где полиномы  и являются чётными функциями переменной Тогда знаменатель (26.12) при обозначениях (26.13) получает вид:

                                                                                                   (26.14)

где

Аналогично для полинома числителя имеем:

                (26.15)

где  так же чётные функции переменной 

Теперь можно записать КЧХ (26.11) в показательной форме:

        (26.16)

где

Представим в алгебраической форме, для чего умножим числитель и знаменатель (26.16) на комплексно-сопряжённый полином знаменателя и выделим вещественную и мнимую части:

Из чётности полиномов А, В, С и D следует:

□ квадрат ЛЧХ

     (26.18)

и вещественная часть КЧХ

        (26.19)

выражаются чётными рациональными функциями переменной

□ тангенс ФЧХ

и мнимая часть КЧХ

представляют собой нечётные рациональные функции частоты

 Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x)

В связи с этим:

• амплитудно-частотная характеристика

является чётной рациональной функцией,

•  фазочастотная характеристика

является нечётной трансцендентной функцией частоты

Всё сказанное нетрудно распространить на входные функции, если рассмотреть их модули и аргументы.

Критерии устойчивости

Ранее уже рассматривалась проблема устойчивости линейных стационарных электрических цепей и было показано, что цепь устойчива, если интеграл от импульсной характеристики сходится абсолютно или полюсы передаточной функции расположены в левой р-полуплоскости (устойчивость при нулевых начальных условиях), т. е. корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Наличие же корней с положительными вещественными частями (полюсы располагаются в правой p-полуплоскости) приводит к тому, что любое случайное воздействие, каким бы оно ни было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания, максимум которых ограничивается нелинейными свойствами элементов цепи. Причём второй критерий является прямым следствием первого.

Иначе говоря, смысл устойчивости состоит в том, что система устойчива, если любой ограниченный по величине входной сигнал вызывает у неё ограниченную же по величине реакцию.

Определение устойчивости любой цепи, оператора или устройства является чрезвычайно важной практической задачей. Однако решение об устойчивости на основании импульсной характеристики или корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции) связано с весьма сложными вычислениями, причём численные значения корней никакого практического значения не имеют, а их вычисление требует больших вычислительных затрат. Известно, что корни алгебраического уравнения аналитически, т. е. по формулам, вычислимы лишь при степени При других степенях корни уравнения вычисляются только численными методами, в связи с чем на практике поиск корней для суждения об устойчивости применяется к уравнениям степени не выше третьей. Объём вычислений резко возрастает с ростом степени уравнения, причём даже мощная вычислительная техника может не спасти, поскольку далеко не во всех практически важных случаях можно воспользоваться указанными ранее признаками.

Поэтому были разработаны другие методы (или правила) определения устойчивости, основанные на косвенных её признаках, исключающих вычисление корней характеристического уравнения.

Определение

Правило, на основании которого выносится суждение о свойствах исследуемого объекта, называется критерием, а численное выражение этого свойства называется его оценкой по критерию.

В настоящее время для оценки устойчивости наиболее часто применяются критерии Гурвица (1895), Михайлова (1938) и Найквиста (1932). В данной лекции изучаются критерии Гурвица и Михайлова. Критерий Найквиста излагается в лекции 41 в связи с устойчивостью цепей с обратной связью; гам же рассматривается устойчивость по Ляпунову.

Критерий устойчивости Гурвица

Гурвиц нашёл условия, которым должны удовлетворять соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все его корни имели отрицательные вещественные части, т. е. располагались в левой полуплоскости.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом:

Для того чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами

         (27.1)

лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы составленный из коэффициентов уравнения определитель

       (27.2)

и все его главные миноры (выделены штриховыми линиями)

принимали положительные значения .

Адольф Гурвиц (1859—1919) — немецкий математик, основные труды: по математическому анализу, теории функций, алгебре (критерий Гурвица) и теории чисел.

Определитель (27.2), называемый определителем Гурвица, составляется по следующему правилу:

• на главной диагонали размещают коэффициенты уравнения в порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента коэффициент при -ой степени (27.1) комплексной переменной р всегда равен 1;
• в каждом из столбцов определителя под диагональным элементом размещают коэффициенты с убывающими, а над ним — с возрастающими индексами;
• все коэффициенты, индексы которых превышают степень полинома или отрицательны, заменяют нулями.

Определение:

Полиномы, корни (нули) которых расположены в левой полуплоскости, исключая мнимую ось, называются полиномами Гурвица, или устойчивыми полиномами, и обычно обозначаются как

Свойства полиномов Гурвица

Пусть полином Гурвица степени

       (27.3)

имеет 2 комплексных нулей (т. е. комплексно-сопряжённых пар) вида

             (27.4)

и потому простых вещественных отрицательных нулей вида

Тогда разложение полинома на сомножители

Доказательство можно найти в монографии: Г'антмахер Ф. Р Теория матриц. — 4-е изд. — М Наука 1988.

где -ый комплексный или вещественный нуль, можно представить как произведение полиномов первой степени (первого порядка) вида

и полиномов второй степени (второго порядка) вида

содержащих положительные коэффициенты:

Отсюда следуют все четыре свойства полинома Гурвица.

Свойство 1

Полином Гурвица степени (порядка ) может быть представлен в виде произведения полиномов первой и второй степени с вещественными положительными коэффициентами

        (27.5)

Из вещественности и положительности коэффициентов в разложении (27.5) вытекает второе свойство.

Свойство 2

Ни один из коэффициентов полинома Гурвица (27.3) не равен нулю и все они положительны.

Примеры полиномов, не принадлежащих к классу полиномов Гурвица:

• полином поскольку коэффициент при равен нулю;
• полином поскольку содержит отрицательный коэффициент при

Замечание:

Если коэффициент при старшем члене полинома Гурвица не равен единице и отрицателен (положителен), то и все остальные коэффициенты полинома также отрицательны (положительны), поскольку

иначе говоря, все коэффициенты полинома Гурвица имеют одинаковые знаки.

В технических приложениях термины "степень полинома" и "порядок полинома" являются синонимами.

Однако условие положительности коэффициентов полинома является только необходимым, но не достаточным для того, чтобы он был полиномом Гурвица.

Прежде чем формулировать третье свойство, рассмотрим полином (27.5), когда оператор р принимает чисто мнимые значения  расположенные на мнимой оси комплексной р-плоскости.

Полином

называют комплексным полиномом Гурвица, или комплексом полинома Гурвица, который имеет вид:

      (27.6)

Изучим частотные зависимости модуля и аргумента комплекса полинома Гурвица:

          (27.7)

       (27.8)

        (27.9)

Из (27.8) следует, что ни при каких значениях частоты модуль не обращается в нуль.

Из (27.9) следует, что при изменении частоты от 0 до значение

монотонно возрастает от 0 до а значение

также монотонно возрастает, но уже от 0 до поскольку

Отсюда согласно (27.9) аргумент полинома Гурвица монотонно возрастает от 0 до Таким образом, доказано третье свойство.

Свойство 3

С ростом частоты от 0 до аргумент комплекса полинома Гурвица степени монотонно возрастает от 0 до  Это свойство условно записывают как приращение аргумента

           (27.10)

На рис. 27.1 приведён пример для комплексного полинома Гурвица третьего порядка

где аргумент равен сумме аргументов полиномов первого и второго порядков:

Свойство 4

Нули вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица (27.7) являются простыми, вещественными (расположены на частотной оси) и перемежаются (чередуются); последнее означает, что между двумя смежными нулями полинома расположен нуль полинома и наоборот.

Доказательство. Обратимся к выводам, сделанным в разд. 26.2, и сопоставим выражения (26.13) и (26.14). Это сопоставление позволяет записать:

Вещественная часть обращается в нуль при  т. е когда обращается в нуль функция косинуса, а мнимая часть — при т. е когда обращается в нуль функция синуса. Ранее было доказано, что функция монотонно возрастает от нуля при поэтому с ростом переменной со в этих пределах последовательно обращаются в нуль то мнимая, то вещественная части полинома Гурвица.

Пример приведён на рис. 27.2, где показаны графики вещественной и мнимой частей полинома Гурвица седьмого порядка, последовательно принимающих значение нуля, а именно: мнимая часть обращается в нуль на частотах:  вещественная — на частотах причём т.е. нули вещественной и мнимой частей полинома Гурвица чередуются (перемежаются) и являются простыми, вещественными.

Отметим два практически важных обстоятельства, вытекающих из четвёртого свойства:

1. Перемежаемость нулей вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица означает, что степени полиномов и всегда отличаются на единицу и в сумме дают степень полинома Гурвица. Этот факт является следствием того, что ни один из коэффициентов полинома Гурвица не может быть равен нулю.

2. Коэффициенты полинома Гурвица можно найти по нулям его вещественной и мнимой частей, если записать эти части в виде произведения вещественных множителей:

Здесь коэффициент совпадает с коэффициентом при старшем члене полинома, стоящего в левой части равенства, а множители имеют вторые степени, поскольку вещественная часть содержит только чётные степени переменной а мнимая — её нечётные степени.

Практическая важность отмеченных обстоятельств состоит в том, что коэффициенты полинома Гурвица, получаемые в результате довольно непростых расчётов в процессе синтеза той или иной цепи (например, фильтра или фазового корректора и т. п.) являются очень чувствительными даже к незначительным отклонениям от рассчитанных значений, которые могут привести к существенным искажениям частотных характеристик. По этой причине коэффициенты по каналам связи не передают. Конечно, можно передавать корни самого полинома Гурвица, чувствительность которых к отклонениям их величин значительно ниже. Но процедура расчёта корней полиномов больших порядков (на практике это 10-й и более порядок) сложна и требует существенных временных затрат. Поэтому по каналу связи передают частоты соответствующие нулям вещественной и мнимой частей полинома Гурвица, которые не только мало чувствительны к погрешностям вычислений, но они сравнительно легко вычисляются и одновременно обеспечивают гарантированный контроль 

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова совпадает с третьим свойством полиномов Гурвица, в связи с чем формулируется следующим образом:

Электрическая цепь является устойчивой, если при изменении переменной от до аргумент комплекса характеристического полинома цепи степени возрастает на угол рад.

Действительно, пусть полином степени один вещественный положительный нуль Тогда в произведении (27.6) появится множитель  аргумент которого — убывает от 0 при  до при Поэтому суммарное приращение аргумента комплекса окажется менее чем  если полином имеет хотя бы один нуль, расположенный справа от мнимой оси р-плоскости.

Отсюда следует геометрическая трактовка критерия Михайлова.

Годограф комплексного характеристического полинома устойчивой цепи при изменении частоты от до начиная с вещественной положительной полуоси последовательно обходит п квадрантов в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.

Примеры годографов приведены на рис. 27.3, а для устойчивой цепи порядка n = 5 и рис. 27.3, б — неустойчивой цепи порядка n = 4.

В первом случае цепь устойчива, поскольку с ростом частоты аргумент  изменяется монотонно и получает суммарное приращение  при n = 5; во втором случае аргумент изменяется немонотонно, причём суммарное его приращение равно нулю

Электростатические цепи и их расчет

Электрическая емкость

Если проводник А получит какой-либо заряд Q, то этот проводник создает электрическое поле. Электрическое поле, созданное проводником А, обладает энергией, которая и характеризует потенциал проводника . Очевидно, изменение заряда проводника вызывает аналогичное изменение его потенциала. Таким образом, между зарядом проводника и его потенциалом существует прямая пропорциональность, которую можно записать следующим уравнением:

где С - коэффициент пропорциональности, который и называется электрической емкостью проводника.

Из (6.1) следует, что электрическая емкость проводника

То есть электрическая емкость проводника характеризуется зарядом Q, который необходимо сообщить проводнику, чтобы его потенциал изменился на единицу.

Единицей измерения емкости является фарад

Фарад — большая единица. Например, электрическая емкость проводника под названием «земля» не превышает 0,7 Ф. Поэтому на практике емкость измеряется в микрофарадах, нанофарадах и пикофарадах.

Электрическая емкость проводника характеризует способность проводника накапливать электрический заряд, изменяющий его потенциал на единицу (на 1 В).

Емкость проводника не зависит от заряда Q, сообщенного проводнику, так как изменение заряда Q вызовет пропорциональное изменение потенциала проводника ф, а их отношение остается неизменным (6.2). (Емкость 5-литрового баллона не зависит от количества жидкости, заполняющей баллон.)
(6.2)

Емкость проводника не зависит также от материала и массы сводника. Емкость проводника зависит от:

1) площади поверхности проводника, так как заряды располагали на поверхности проводника;

2) среды, в которой находится проводник. Например, если проводник перенести из воздуха в минеральное масло, его емкость увеличится в 2,2 раза, так как диэлектрическая проницаемость минерального масла =2,2 (см. Приложение 2);

3) близости других проводников. Если рядом с проводником в определенной среде расположен еще один проводник, то емкость системы этих двух проводников будет гораздо больше, чем сумма остей каждого из этих проводников в этой среде. На этом принципе устроены электрические конденсаторы.

Конденсаторы

Конденсатор представляет собой два проводника, разделенных диэлектриком.

Емкость конденсатора характеризуется зарядом, который нужно сообщить одному из проводников конденсатора для того, что-разность потенциалов между проводниками конденсатора (напряжение) изменилась на единицу.

Если одному из проводников конденсатора (обкладке) сообщить электрический заряд Q определенного знака (например, Q), то вокруг этого проводника образуется электрическое поле, под действием которого в другом проводнике (обкладке) происходит разделение зарядов (электростатическая индукция) и заряд ого же знака и величины «уходит в землю» или на отрицатель-клемму источника (рис. 6.1). В результате на проводнике, ко-рому не сообщен заряд, остается заряд противоположного знаку «минус», по величине такой же, как и сообщенный первому проводнику, заряд, т.е. -Q.

Таким образом, за счет электростатической индукции проводки (обкладки) конденсатора, изолированные друг от друга, получают равные по величине, но противоположные по знаку заряды (+Q и — Q) и разные потенциалы . Следовательно, между проводниками (обкладками) конденсатора появляется напряжение

Различают естественные и искусственные конденсаторы.

Естественными конденсаторами являются провода электрической сети, две жилы кабеля, жила кабеля и его броня, провода воздушной линии электропередачи относительно земли, электроды электронной лампы и др. Естественные конденсаторы специально не создаются, их емкость определяется конструкцией электрических устройств, но ее необходимо учитывать при расчетах, монтаже и эксплуатации электротехнических и радиотехнических устройств.

Искусственные конденсаторы изготавливают специально. В зависимости от диэлектрика различают воздушные, бумажные, керамические, слюдяные, электролитические и другие виды конденсаторов. Каждый искусственный конденсатор обладает определенной емкостью Си рассчитан на определенное рабочее напряжение U_p (оба параметра указаны на корпусе конденсатора). Искусственные конденсаторы нашли широкое применение в энергетике, автоматике, радиотехнике, электронике, в схемах электрических фильтров, усилителей, стабилизаторов, колебательного контура, улучшения коэффициента мощности и т.д.

Конденсаторы могут служить для накопления и сохранения электрического поля и его энергии (так как проводимость диэлектриков конденсаторов ничтожно мала).

Широко используются конденсаторы как постоянной, так и переменной емкости.

Соединение конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов

Конденсаторы, как и резисторы, могут соединяться последовательно, параллельно и смешанно.

При параллельном соединении конденсаторов к каждому конденсатору приложено одинаковое напряжение U, а величина заряда на обкладках каждого конденсатора Q пропорциональна его емкости (рис. 6.2).

Общий заряд Q всех конденсаторов

или

Общая емкость С, или емкость батареи, параллельно включенных конденсаторов равна сумме емкостей этих конденсаторов. Очевидно что параллельное подключение конденсатора к группе других подключенных конденсаторов увеличивает общую емкость батареи конденсаторов.

Если параллельно включены одинаковых конденсаторов емкостью С' каждый, то общая (эквивалентная) емкость батареи конденсаторов может быть определена выражением

Следовательно, параллельное соединение конденсаторов придется для увеличения емкости.

Последовательное соединение конденсаторов

Если последовательно соединенные конденсаторы подключить к источнику постоянного тока с напряжением U (рис. 6.3), то напряжение источника окажется приложенным к внешним обкладкам крайних конденсаторов Q — к левой обкладке конденсатора Си а — Q — к правой обкладке конденсатора С₃). На вторых пластинах (обкладках) последовательно включенных конденсаторов С) и С₃ тот же заряд Q, но противоположными знаками появится за счет электростатической индукции (рис. 6.1). На обкладках конденсатора С₂ появятся яды +Q и -Q за счет того, что заряд +Q перешел с правой обкладки конденсатора С₁ (рис. 6.1), a —Q появился за счет электростатической индукции или за счет перехода электронов (заряд —Q) левой обкладки конденсатора С₃.

Таким образом, на обкладках последовательно соединенных конденсаторов, подключенных к источнику постоянного тока с "ряжением U, появятся заряды одинаковые по величине с противоположными знаками. Напряжение на конденсаторах определяется обратно пропорционально емкостям конденсаторов:

По второму закону Кирхгофа

Откуда 

Обратная величина общей емкости последовательно соединенных конденсаторов равна сумме обратных величин емкостей этих конденсаторов.

Из выражения (6.7) следует, что емкость батареи последовательно включенных трех конденсаторов (см. рис. 6.3) определяется выражением

При последовательном включении двух конденсаторов их общая емкость определяется следующим выражением:

Если в цепь включены последовательно п одинаковых конденсаторов емкостью С' каждый, то общая емкость этих конденсаторов:

Из (6.10) видно, что, чем больше конденсаторов соединено последовательно, тем меньше будет их общая емкость С, т.е. последовательное включение конденсаторов приводит к уменьшению общей емкости батареи конденсаторов. Зачем же последовательно включать конденсаторы, если это приводит к уменьшению обшей емкости этих конденсаторов?

На практике может оказаться (пример 6.1), что допустимое рабочее напряжение конденсатора меньше напряжения, на которое необходимо подключить конденсатор. Если этот конденсатор подключить на такое напряжение, то он выйдет из строя, так как будет пробит диэлектрик. Если же последовательно включить несколько конденсаторов, то напряжение распределится между ними (6.6) и на каждом конденсаторе напряжение окажется меньше его допустимого рабочего . Следовательно, последовательное соединение конденсаторов применяют для того, чтобы напряжение на каждом конденсаторе не превышало его рабочего напряжения (пример 6.1).
 

Смешанное соединение конденсаторов

Смешанное соединение (последовательно-параллельное) конденсаторов применяют тогда, когда необходимо увеличить емкость и рабочее напряжение батареи конденсаторов.

Рассмотрим смешанное соединение конденсаторов на нижеприведенных примерах.

Пример 6.1

участку цепи с напряжением необходимо подключить емкость С= 18 мкФ. Имеются конденсаторы емкостью 8 мкФ, рассчитанные на напряжение каждый. Сколько нужно таких конденсаторов и как их соединить?

Решение

Для того чтобы напряжение на каждом конденсаторе не превышало его рабочего на заданное напряжение необходимо соединить последовательно 4 конденсатора.

Емкость этой группы, состоящей из 4 последовательно соединенных конденсаторов, равна 

Для получения емкости мкФ необходимо включить параллельно 9 таких последовательно соединенных групп. Следовательно необходимо иметь к =  конденсаторов соединить их смешанно (рис 6.4).

Пример 6.2

Конденсаторы, емкости которых соединены по схеме 6.5 и подключены к источнику с постоянным напряжением U= 100 В.

Определить общую емкость конденсаторов С, заряд и энергию электрического поля каждого конденсатора и всей цепи.

Решение

Общая емкость конденсаторов (см. рис. 6.5)

Заряды в параллельных ветвях распределяются пропорционально емкостям ветвей

Заряд создает напряжения:

Заряды конденсаторов

Пример 6.3

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах и  равно (см. рис. 6.5). Определить напряжение на каждом конденсаторе и напряжение всей цепи, используя величины емкостей примера 6.2.

Решение

Заряд пары параллельно включенных конденсаторов

Такой же заряд имеют конденсаторы  соединенные последовательно с парой конденсаторов т. е.

Тогда напряжение на конденсаторах будет равно

А напряжение всей цепи

Это же напряжение можно определить по второму закону Кирхгофа: Такое же напряжение приложено к конденсатору т.е.
 

Емкость и энергия конденсаторов

Из искусственных конденсаторов большое распространение получили плоские конденсаторы. Плоским называют конденсатор, у которого обкладки представляют собой параллельно расположенные пластины (рис. 6.6), разделенные диэлектриком.

Пренебрегая искажением поля у краев пластин, электрическое поле между пластинами можно считать однородным.

Из выражений (1.9), (1.11) и (1.13) определяется емкость плоского конденсатора.

Поток вектора напряженности через площадь S

.Откуда заряд пластины

С другой стороны, та же напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора согласно (1.13) равна откуда напряжение между пластинами

Емкость конденсатора согласно (6.3)

Следовательно, емкость плоского конденсатора

Где S — площадь пластины плоского конденсатора; — абсолютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика конденсатора; d — расстояние между пластинами конденсатора.

Таким образом, емкость плоского конденсатора пропорциональна площади пластины конденсатора, абсолютной диэлектрической проницаемости диэлектрика конденсатора и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами конденсатора (толщине диэлектрика).

Из выражения (6.11) следует, что емкость плоского конденсатора можно увеличить за счет уменьшения расстояния между пластинами конденсатора d. Однако такое увеличение емкости приведет к уменьшению допустимого рабочего напряжения конденсатора

Из (6.11) следует, что, чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика тем больше емкость конденсатора с определенными S и d.

Из (6.11) также следует, что емкость плоского конденсатора можно увеличить за счет увеличения площади пластин конденсатора S. Однако такое увеличение емкости С рационально осуществлять в конденсаторах с эластичным диэлектриком, например бумажных. Бумажный конденсатор представляет собой две станиолевые ленты с парафинированной бумагой (диэлектрик) между ними. Заготовка свертывается в рулон и помещается в кожух. Таким образом значительное увеличение площади пластин (станиолевых лент) незначительно увеличивает габариты конденсатора.

В искусственных конденсаторах с хрупким диэлектриком (например, слюдяных) увеличение площади пластин S нерационально, так как это приведет к пропорциональному увеличению габаритов конденсатора.

Для увеличения емкости конденсаторов с хрупким диэлектриком последние делают многопластинчатыми (рис. 6.7).

При незначительном увеличении габаритов емкость таких конденсаторов увеличивается в раз, т.е.

где — количество пластин многопластинчатого конденсатора; - количество параллельно включенных конденсаторов, подключенных к двум клеммам

Многопластинчатыми рационально делать конденсаторы переменной емкости, преимущественно воздушные.

Если между пластинами конденсатора расположены два диэлектрика и поверхность раздела их параллельна пластинам (рис. 6.8), то такой плоский конденсатор можно рассматривать два последовательно соединенных плоских конденсатора.

Поверхность раздела диэлектриков эквипотенциальна, и внесения тончайшего металлического листа вдоль этой поверхности никаких изменений в электрическом поле не вызывает, так как проводящее тело в электрическом поле эквипотенциально равнопотенциально).

Емкости этих конденсаторов

А общая емкость плоского конденсатора с двухслойным диэлектриком равна

При последовательном соединении заряды конденсаторов одинаковы:

Тогда напряжения на конденсаторах:

Подставив в выражение (6.15) соответственно (6.13) и (6.14), лучим значения напряжений

Напряженности электрического поля в диэлектриках конденсаторов

Используя (6.17), получим

Следовательно, напряженности полей в диэлектриках конденсата с двухслойным диэлектриком обратно пропорциональны их диэлектрическим проницаемостям.

Из выражения (6.18) следует, что если в многослойном конденсаторе есть слой, диэлектрическая проницаемость которого во много раз меньше проницаемости других слоев (диэлектриков), то в этом слое (например, пузырьки воздуха) могут возникнуть значительные напряженности, которые могут стать причиной разрушения изоляции конденсатора. Поэтому сушка изоляции проводов, кабелей, обмоток электрических машин и трансформаторов имеет огромное значение.

В цилиндрическом конденсаторе (рис. 6.9) радиально направленное поле возникает между двумя цилиндрическими электродами, имеющими общую ось. Емкость С цилиндрического конденсатора определяется выражением

где — радиус внутреннего цилиндра (электрода); — радиус внешнего цилиндра (электрода); — длина конденсатора (высота) (обычно больше диаметра конденсатора).

Двухпроводная линия (рис. 6.10) представляет собой естественный конденсатор, емкость которого необходимо учитывать при расчете линии электропередачи. Емкость двухпроводниковой линии определяется из условия, что расстояние между проводниками D значительно превосходит радиус самих проводов Емкость такой двухпроводной линии можно определить по формуле

Если к конденсатору (рис. 6.1) или к электростатической цепи (рис. 6.2—6.5) приложено напряжение U, то в электрической цепи этих конденсаторов создается электрическое поле, в котором накапливается энергия.

где: Q - заряд конденсатора или конденсаторов, к которым приложено напряжение - электрическая емкость конденсатора батареи соединенных конденсаторов, к которой приложено напряжение

Таким образом, конденсаторы служат для накопления и сохранения электрического поля и его энергии.

Пример 6.4

В цепи (рис. 6.11) заданы ведены:   Определить энергию, накоплю в электрическом поле конденсатора емкостью С.

Решение

Для определения величины энергии воспользуемся выражении (6.21) Для этого необходимо определить напряжение на конденсаторе

Самым рациональным методом расчета этого напряжения в данном случае является метод узлового напряжения, так как заключение конденсатора между точками А и В равносильно разрыву цепи между ними.

Тогда 

Пример 6.5

Определить энергию электрического поля каждого конденсатора отдельно и электрического поля всех конденсаторов батареи примеров 6.1 и 6.2.

Решение

Для примера 6.1 (рис. 6.4).

Энергия электрического поля всех конденсаторов батареи, изображенной на рис. 6.4, будет равна 

К каждому конденсатору схемы (рис. 6.4) приложено напряжение так как в каждой ветви включены последовательно 4 конденсатора. Следовательно, в каждом конденсаторе запасена энергия

Тогда энергия электрического поля всех 36-ти конденсаторов схемы рис. 6.4

Для примера 6.2 (рис. 6.5).

Энергия электрического поля каждого конденсатора

Энергия электрического поля конденсаторов батареи (рис. 6.5) равна

Из примера 6.5 видно, что энергия электрического поля батареи конденсаторов (примеры 6.1 и 6.2) равна сумме энергий каждого конденсатора батареи, независимо от схемы соединения конденсаторов.

Определение электрической цепи

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об э. д. с., напряжении и токе. В общем случае электрическая цепь состоит из источников и приемников электрической энергии и промежуточных звеньев (проводов, аппаратов), связывающих источники с приемниками.

Источниками электрической энергии являются химические источники тока, термоэлементы, генераторы и другие устройства, в которых происходит процесс преобразования химической, молекулярно-кинетической, тепловой, механической или другого вида энергии в электрическую. К источникам можно отнести и приемные антенны, в которых в отличие от перечисленных выше устройств не происходит изменения вида энергии.

Приемниками электрической энергии, или так называемой нагрузкой,, служат электрические лампы, электронагревательные приборы, электрические двигатели и другие устройства, в которых электрическая энергия превращается в световую, тепловую, механическую и др. К нагрузкам относятся и передающие антенны, излучающие электромагнитную энергию в пространство.

Расчеты электрических цепей и исследования процессов, происходящих в них, основываются на различных допущениях и некоторой идеализации реальных объектов электрических цепей. Под элементами в теории электрических цепей подразумеваются обычно не физически существующие  устройств, а их идеализированные модели, которым теоретически приписываются определенные электрические и магнитные свойства, так что они в совокупности приближенно отображают явления, происходящие в реальных устройствах.

В теории электрических цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники э. д. с. и источники тока. К пассивным элементам электрических цепей относятся сопротивления, индуктивности и емкости. Соответственно различают активные и пассивные цепи.

Эти важные понятия, лежащие в основе теоретической электротехники, подробно рассмотрены ниже.

Положительные направления тока и напряжения

Электрический ток в проводящей среде есть упорядоченное движение электрического заряда. Известно, что электрический ток проводимости в металлах, так же как и в вакууме, представляет собой перемещение отрицательно заряженных частиц (электронов), а ток проводимости в электролитах и газах — перемещение как положительно, так и отрицательно заряженных частиц (ионов).

Электрическому току приписывается направление. Хотя в общем случае ток представляет собой движение носителей электрических зарядов того и другого знаков в разные стороны, однако за направление тока принимают направление перемещения положительных зарядов; это направление противоположно направлению движения отрицательных зарядов.

Численно ток определяется как предел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами сквозь рассматриваемое поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени, когда он стремится к нулю. Следовательно, если обозначить через q количество электричества, прошедшего через рассматриваемое сечение проводника за время t, то мгновенное значение тока, т. е. значение его в любой момент времени t, определится как производная q по t: i —dqidt. Здесь q = q+ + q., где--положительный и отрицательный заряды, переместившиеся в противоположные стороны за время t.

В Международной системе единиц (СИ) i измеряется в амперах (A), q — в кулонах (Кл) или ампер-секундах — в секундах (с).

Электрический ток может быть постоянным (неизме-няющимся) или переменным, т. е. изменяющимся в зависимости от времени.

Направление тока характеризуется знаком тока. Понятия положительный ток или отрицательный ток имеют смысл, только если сравнивать направление тока в проводнике с некоторым заранее выбранным ориентиром — так называемым положительным направлением.

Положительное направление тока выбирается произвольно; оно обычно указывается стрелкой. Если в результате расчета тока, выполненного с учетом выбранного положительного направления, ток имеет знак плюс (i > 0), то это означает, что его направление совпадает с выбранным положительным направлением. В противном случае, когда ток отрицателен (i < 0), он направлен противоположно.

Таким образом, выбранное для тока положительное направление само по себе не означает направления, в котором перемещаются электрические заряды; оно только придает определенный смысл знаку тока.

Изобразим некоторый участок электрической цепи, через который проходит ток i, в виде прямоугольника и обозначим концы (выводы) этого участка цифрами 1 и 2 (рис. 1-1). Разность электрических потенциалов точек 1 и 2 представляет собой напряжение на данном участке цепи Напомним, что разность электрических потенциалов определяется работой, затрачиваемой на перенос единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

А м п е р — величина неизменяющегося тока, который, проходя
по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным на рас-
стоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную Н на каждый метр длины.
Электрическое напряжение — скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического
поля. Разность электрических потенциалов — электрическое напряжение в безвихревом электрическом поле, характеризующееся независимостью от выбора пути интегрирования
(ГОСТ 19880-74).

Значение напряжения в любой текущий момент времени обозначается через u; оно может быть постоянным или переменным. В системе СИ напряжение измеряется в вольтах (В).

Для придания определенного смысла знаку напряжения на рассматриваемом участке цепи для напряжения, так же как и для тока, произвольно выбирается положительное направление. Чаще всего его выбирают совпадающим с положительным направлением тока и указывают стрелкой.

В выбранном положительном направлении и отсчитывается напряжение. Пусть на рис. 1-1 отсчет напряжения ведется от точки 1 к точке 2. Когда потенциал точки 1 выше потенциала точки 2, напряжение положительно; в противном случае оно отрицательно.

Для уяснения выбранного направления отсчета напряжения можно вместо стрелки пользоваться обозначением с помощью индексов, при котором порядок расположения индексов, соответствующих точкам цепи, отвечает положительному направлению, выбранному для напряжения. Так, применительно к рис. 1-1 напряжение, отсчитываемое в положительном направлении тока, равно Напряжение, отсчитываемое в обратном направлении, имеет противоположный знак:

Двойное индексное обозначение возможно и для тока. Например, обозначает ток, который имеет положительное направление на участке цепи от точки 1 к точке 2. Однако на практике большее распространение нашло обозначение с помощью стрелок.

Положительными направлениями токов и напряжений пользуются при исследовании процессов, происходящих в электротехнических устройствах, и расчете электрических цепей. Для краткости положительное направление будем называть просто направлением.

Отчетливое уяснение этих важных понятий совершенно обязательно для усвоения всего последующего материала.

Мгновенная мощность и энергия

Предположим, что через участок электрической цепи (приемник энергии) под воздействием приложенного напряжения u проходит электрический заряд q. Совершаемая при этом элементарная работа, или, что то же, поступающая в приемник элементарная энергия, равна:

Производная энергия но времени, т. е. скорость поступления в цепь электрической энергии в данный момент времени, представляет собой мгновенную мощность. Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

Мгновенная мощность р — величина алгебраическая; значение ее положительно при одинаковых знаках u и i и отрицательно при разных знаках,

Если положительные направления для напряжения и тока приняты совпадающими, то при р > 0 энергия поступает в приемник, а при р < 0 она возвращается из рассматриваемого участка цепи к источнику.

Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени отвыражается интегралом

В отличие от мгновенной мощности р, которая может иметь любой знак, энергия, поступившая в приемник, не может быть отрицательной.

В системе СИ работа и энергия измеряются в джоулях (Дж), мощность -- в ваттах (Вт).

Сопротивление

Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи, приближенно заменяющий резистор в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в теплоту. 

Стандартизованный в последние годы термин «резистор» дает возможность более точно применять термин «сопротивление».

При этом термин «сопротивление» и соответствующее ему буквенное обозначение г применяются как для обозначения самого элемента цепи, так и для количественной оценки величины, равной отношению напряжения на данном элементе цепи к току, проходящему через него:

Здесь предполагается, что положительные направления тока и напряжения совпадают; при этом знаки и и i одинаковы и r>0.

Величина  обратная сопротивлению, называется проводимостью. В системе СИ сопротивление г измеряется в омах (Ом), а проводимость — в сименсах (См).

Формула (1-1) выражает закон Ома, экспериментально установленный Омом в 1826 г.

Условное графическое изображение сопротивления (резистора) с указанием выбранных положительных направлений тока и напряжения приведено на рис. 1-2.

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, равна произведению мгновенных значений напряжения и
тока:

Следовательно, параметр г может быть численно определен как отношение мгновенной мощности к квадрату мгновенного тока, проходящего через сопротивление:

Рис. 1-2. Условное обозначение сопротивления.

Электрическая энергия, поступившая в сопротивление г и превращенная в теплоту, начиная с некоторого момента времени, например, t = 0, до рассматриваемого момента t, равна:

t    t    t

В случае постоянного тока (i — I = const)

Превращение электрической энергии в тепловую впервые было доказано опытным путем Джоулем и Ленцем, установившими тепловой эквивалент электрической энергии, равный 0,24 кал/Дж.

Выделение током тепловой энергии впервые использовано для целей освещения А. Н. Лодыгиным, создавшим

в 1873 г. лампу накаливания Оно целесообразно используется в технике — электронагревательных приборах и т. п. К вредным последствиям теплового действия тока относятся потери электрической энергии в проводах, машинах, аппаратах, порча изоляции проводов от нагрева и т. п.

Параметр г в общем случае зависит от тока i (например, вследствие нагрева сопротивления током). Зависимость напряжения на сопротивлении от тока, проходящего через данное сопротивление, называется вольт-амперной характер ист и-к о й, которая в общем случае нелинейна.

Если сопротивление г не зависит от тока и его направления, то имеет место прямая пропорциональность между напряжением и током, выражающая закон Ома. В этом случае сопротивление называется линей-н ы м. На рис. 1-3 показаны вольт-амперные характеристики сопротивления — нелинейная (кривая а) и линейная (прямая б). В этой книге рассматриваются линейные сопротивления.

Очевидно, линейное сопротивление г пропорционально тангенсу угла наклона прямолинейной вольт-амперной характеристики к оси тока:
— масштабы напряжения, В/мм, и тока, А/мм, на чертеже.

 

Индуктивность

Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, приближающийся по свойствам к индуктивной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля 

 Эдисон изобрел лампу накаливания в 1879 г., после Лодыгина.

Магнитное поле — одна из двух сторон электромагнитного поля, характеризующаяся воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости (ГОСТ 19880-74).

При этом термин «индуктивность» и соответствующее ему условное обозначение L применяются как для обозначения самого элемента цепи, так и для количественной оценки отношения потокосцепления самоиндукции к току в данном элементе

Потокосцеплением самоиндукции цепи называется сумма произведений магнитных потоков, обусловленных только током в этой цепи, на числа витков, с которыми они сцеплены. Если все витки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков.

В Международной системе единиц измеряется в веберах (Вб), L — в генри (Г). При этом всегда потокосцепление и ток имеют одинаковый знак., так что L > 0.

Зависимость потокосцепления от тока в общем случае нелинейна, и параметр L зависит от тока. В случае, когда вебер-амперная характеристика прямолинейна, индуктивность L постоянна (линейная индуктивность). На рис. 1-4 показаны нелинейная и линейная зависимости потокосцепления от тока. В этой части учебника рассматриваются линейные индуктивности.

На основании закона электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла изменение потокосцепления самоиндукции вызывает электродвижущую силу (э. д. с.) самоиндукции, которая выражается формулой

По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции, эта э. д. с. противодействует изменению потокосцепления, что и учитывается знаком минус в (1-2), поскольку положительное направление для выбрано совпадающим с положительным направлением
Термином «индуктивность» заменен ранее применявшийся в литературе и ныне не рекомендуемый термин «коэффициент самоиндукции»,

Ввиду совпадения положительных направлений eL и i положительные направления магнитного потока вдоль оси витков и наводимой им э. д. с. самоиндукции, точно так же как и положительные направления тока и создаваемого им магнитного потока, связаны правилом правоходового винта.

Условное графическое изображение индуктивности с указанием выбранных положительных направлений тона и э. д. с. самоиндукции приведено на рис. 1-5.

Если L не зависит от t, то предыдущая формула принимает вид:

Величина

называется падением напряжения в индуктивности или, что то же, напряжением на индуктивности. Положительное направлениесовпадает с положительным направлением г (рис. 1-5).

На основании (1-4) ток в индуктивности

, или

Нижний предел интеграла принят равным так как до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго.

При t = 0 ток в индуктивности равен:

следовательно,

т. е. в интервале времени от нуля до t ток в индуктявности изменяется на величину определяемую площадью, ограниченной в этом интервале кривой напряжения

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, равна произведению мгновенных тока и напряжения:

Она связана с процессом нарастания или убывания энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля в произвольный момент времени t определяется по формуле

Здесь учтено, что при tток в индуктивности

Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным элементом, связана одновременно и с другим индуктивным элементом, то эти два элемента, кроме параметровобладают параметром М, называемым взаимной индуктивностью. Последний, представляет собой отношение потокосцепления взаимной индукции одного из элементов к току в другом элементе:

здесь — потокосцепление первого элемента, обусловленное током второго элемента; — потокосцепление второго элемента, обусловленное током первого элемента.

В этом случае в первом и втором элементах наводятся э. д. с. взаимной индукции, равные соответственно:

Выражения (1-6) получены в предположении, что М не зависит от так как здесь рассматриваются линейные цепи.

М измеряется, так же как и L, в генри. Однако в отличие от параметра L взаимная индуктивность М обозначает не какой-либо самостоятельный элемент электрической цепи, а лишь магнитную связь между индуктивными элементами.

Ёмкость

Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля При этом термин «емкость» и соответствующее ему буквенное обозначение С применяются как для обозначения самого элемента цепи, так и для количественной оценки отношения заряда к напряжению на этом элементе:

Если q и измеряются в кулонах (Кл) и вольтах (В), то С измеряется в фарадах (Ф). При этом всегда заряд и напряжение имеют одинаковый знак, так что С > 0.

Зависимость заряда от напряжения в общем случае нелинейна, и, следовательно, параметр С зависит от напряжения.

В случае, когда кулон-вольтная характеристика прямолинейна, емкость С постоянна (линейная емкость). На рис. 1-6 показаны нелинейная и линейная зависимости заряда от напряжения. В этой части учебника рассматриваются линейные емкости.

Предположим, что емкость образована двумя пластинами, разделенными диэлектриком. 

Электрическое поле — одна из двух сторон электромагнитного поля, характеризующаяся воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости (ГОСТ 19880-74).

Под влиянием приложенного напряжения на пластинах сосредоточатся равные количества электричества противоположных знаков; пластина с более высоким потенциалом зарядится положительным электричеством, а пластина с более низким потенциалом — отрицательным.

При изменении напряжения, приложенного к пластинам, изменится в соответствии с (1-7) электрический заряд: к пластине, потенциал которой возрастет, поступит дополнительный положительный заряд, а к пластине, потенциал которой снизится, поступит такой же отрицательный заряд.

Ток равен производной электрического заряда по времени. Поэтому с изменением напряжения на емкости в присоединенной к ней последовательно электрической цепи создается ток, который определяется скоростью изменения заряда на-емкости:

Здесь знак заряда q соответствует знаку пластины, к которой направлен ток i.

Этот ток рассматривается как ток проводимости в проводниках, присоединенных к емкостному элементу (ток, обусловленный движением заряженных частиц под действием электрического поля в веществе, обладающем электропроводностью), переходящий в ток смещения в диэлектрике емкостного элемента. Последнее понятие, применяемое в теории поля, означает величину, прямо пропорциональную скорости изменения напряженности электрического поля (в случае однородного поля и е = const.)

Напомним, что напряженность электрического поля определяется силой, действующей на электрический заряд, равный единице

Ток смещения имеет размерность тока. Благодаря введению этого понятия ток в цепи с емкостью представляется замкнутым через диэлектрик.

Согласно (1-8) ток положителен, когда заряд q и соответственно напряжение возрастают.

На основании (1-8) напряжение на емкости

Ток смещения — скалярная величина, равная производной по времени от потока электрического смещения сквозь рассматриваемую поверхность (ГОСТ 19880-74).

Напряженность электрического поля — векторная величина, характеризующая электрическое поле и определяющая силу, действующую на заряженную частицу со стороны электрического поля (ГОСТ 19880-74).

или

Здесь, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что до рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно долго, и поэтому нижний предел интеграла принят равным

При t — 0 напряжение на емкости   равно: 

Следовательно, 

т. е. в интервале времени от нуля до t напряжение на емкости изменяется на величину определяемую площадью, ограниченной в этом интервале кривой тока i..

Условное графическое изображение емкости с указанием положительных направлений тока и напряжения приведено на рис. 1-7. Полярность емкости, указанная на рис. 1-7 знаками + и —, соответствует положительному напряжению т. е. положительному заряду на пластине +.

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна

Она связана с процессом накопления или убыли электрического заряда в емкости.

Когда заряд положителен и возрастает, ток положителен и в емкость поступает электрическая энергия из внешней цепи.

Когда заряд положителен, но убывает, т. е. ток отрицателен, энергия, ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во внешнюю цепь.

Допустим, что к емкости С приложено некоторое напряжение Энергия электрического поля в произвольный момент времени t определяется по формуле

Здесь учтено, что при t = — напряжение на емкости

Замещение физических устройств идеализированными элементами цепи

Представление о сопротивлении, индуктивности и емкости как идеализированных элементах электрической цепи основано на предположении, что потери энергии, магнитное и электрическое поля сосредоточиваются в отдельных, не зависящих друг от друга элементах цени. Раздельное рассмотрение сопротивления, индуктивности и емкости представляет приближенный метод исследования цепи. В действительности потери энергии, магнитные и электрические поля сопутствуют друг другу.

Электропроводность всякого изотропного вещества характеризуется так называемой удельной электрической проводимостью, равной отношению плотности тока проводимости к напряженности электрического поля. Величина, обратная удельной электрической проводимости, называется удельным электрическим сопротивлением.

Электрическое сопротивление проводника при постоянном токе, равное отношению постоянного напряжения на рассматриваемом проводнике к постоянному току в нем, зависит от длины проводника (м), площади поперечного сечения и удельного сопротивления

В широких пределах изменения температуры зависимость удельного сопротивления проводника от температуры практически прямолинейна, причем в случае металлических проводников кривая с повышением температуры возрастает, а в случае неметаллических материалов (например, угля) и электролитов — падает.

Если обозначить через удельные сопротивления при температураха через — температуру, соответствующую точке пересечения спрямленной характеристики с осью (рис. 1-8), то получится пропорция

Эта пропорция служит для вычисления если известно

Значения (при = 20°С) и для некоторых проводников приведены ниже:

алюминий:

медь:

уголь: сопротивления непосредственно связано с потерей энергии, т. е. с необратимым процессом поглощения электромагнитной энергии.

Количество теплоты, выделяемой при прохождении тока через какой-либо проводник, зависит от ряда факторов, в том числе от частоты тока. При невысоких частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления при постоянном токе. С повышением же частоты ток распределяется по сечению проводника неравномерно: внутри проводника плотность тока уменьшается, ток вытесняется к поверхности проводника, что вызывает как бы уменьшение сечения проводника, а значит, увеличение сопротивления. Последнее приводит к увеличению тепловых потерь в проводнике. Это явление носит название поверхностного эффекта (см. ч. III).

Неравномерность распределения тока по сечению проводника и возрастание вследствие этого тепловых потерь происходят также под влиянием тока, проходящего по соседнему проводнику. Это явление носит название эффекта близости.

Кроме того, переменное магнитное поле наводит в окружающей проводник проводящей среде вихревые токи, что вызывает дополнительную потерю энергии на нагрев.

К этому можно еще добавить излучение в пространство электромагнитной энергии, наблюдаемое при высоких частотах и вызывающее дополнительное увеличение сопротивления.

Вследствие наличия магнитного и электрического полей проводник наряду с сопротивлением имеет некоторые индуктивность и емкость.

Вычисление сопротивления, индуктивности и емкости проводника с учетом указанных выше факторов относится к задачам теории пом.

Для уменьшения индуктивности и собственной емкости проволочные резисторы выполняются в виде пластинчатых или плетеных элементов. Применяются также непроволочные резисторы. Последние представляют собой фарфоровые цилиндрики, на которые нанесен слой углерода (так называемые углеродистые резисторы), или стержни из глинистого материала, смешанного с графитом (объемные карбокерамические резисторы).

Теперь представим себе простейшую индуктивную катушку в виде нескольких круговых витков проводника, по которому проходит ток.

При постоянном токе напряжение на выводах катушки определится падением напряжения на ее сопротивлении в соответствии с (1-1) и ток во всех точках будет одинаковым.

При переменном же токе изменяющееся магнитное поле будет наводить в витках э. д. с. самоиндукции. Между витками, так же как и между отдельными точками смежных витков, электрическое поле станет переменным. В связи с этим ток в различных витках будет неодинаковым, так как появится ток смещения между витками. Чем выше частота переменного тока, тем больше будут э. д. с. самоиндукции и ток смещения. При низких частотах током смещения можно пренебречь; при высоких же частотах ток смещения, обусловленный изменением напряженности электрического поля, может быть соизмерим по величине с током в витках или даже может превышать его. Таким образом, в зависимости от выбранного диапазона частот индуктивная катушка может быть представлена либо как сопротивление г (при постоянном токе — рис. 1-9, а), либо как индуктивность L с последовательно включенным сопротивлением г (при низких частотах — рис. 1-9, б), либо как индуктивность L и сопротивление г, соединенные параллельно с емкостью С (при высоких частотах — рис. 1-9, в).

Если катушка имеет много витков', то проходящий через нее ток создает магнитный поток, пропорциональный числу витков. Считая, что этот магнитный поток сцеплен со всеми витками катушки, приходим к выводу, что потокосцепление самоиндукции и соответственно индуктивность катушки пропорциональны квадрату числа витков.

Положим, например, что катушка, состоящая из w <■ витков, насажена на тороидальный магнитопровод или достаточно длинный прямолинейный магнитопровод, длина которого и площадь поперечного сечения S

Обозначим через абсолютную магнитную проницаемость магнитопровода (равную произведению относи-

тельной магнитной проницаемости на магнитную постоянную

Магнитный поток в веберах (Вб) определяется отношением магнитодвижущей силы (м. д. с.) всей катушкик магнитному сопротивлению магнитопровода

поэтому индуктивность катушки в генри (Г) согласно определению

Она определяется геометрическими размерами катушки, магнитной проницаемостью материала магнитопровода и квадратом числа витков.

Перейдем теперь к рассмотрению плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком. 

Абсолютная магнитная проницаемость для изотропного вещества — скалярная величина, характеризующая магнитные свойства вещества, равная отношению модуля магнитной индукции к модулю напряженности магнитного поля (ГОСТ 19880-74).

При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи не будет. Если напряжение переменно, то в процессе изменения электрического заряда возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле. Эффект, вызываемый магнитным полем, может быть учтен в электрической схеме замещения с помощью некоторой индуктивности, включенной последовательно с емкостью конденсатора. Обычно этой индуктивностью пренебрегают из-за ее относительной малости. Наконец, в диэлектрике благодаря некоторой проводимости возникают тепловые потери, которые возрастают с частотой. Потери на нагрев учитываются в схеме замещения конденсатора посредством сопротивления г, включенного параллельно емкости С (рис. 1-10).

Емкость конденсатора определяется размерами обкладок, расстоянием между ними и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Если расстояние между обкладками конденсатора (толщина диэлектрика) .достаточно мало по сравнению с их размерами, то емкость конденсатора в фарадах (Ф) вычисляется по формуле

где — абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции между пластинами (равная произведению относительной диэлектрической проницаемости е на электрическую постоянную S — площадь поверхности каждой пластины, d — расстояние между пластинами, м.

Чем выше частота и больше линейные размеры самих устройств, тем в большей мере проявляются взаимосвязь электрических и магнитных параметров и неотделимость друг от друга электрического и магнитного полей, являющихся лишь двумя сторонами единого электромагнитного поля.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость для изотропного вещества — скалярная величина, характеризующая электрические свойства диэлектрика, равная отношению электрического смещения к модулю напряженности электрического поля (ГОСТ 19880-74).

Строго разграничить области частот, при которых справедлива та или иная схема замещения, не представляется возможным, так как это зависит от множества факторов.

Источник э. д. с. и источник тока

В теории электрических цепей пользуются идеализированными источниками электрической энергии: источником э. д. с. и источником тока. Им приписываются следующие свойства.

Идеальный источник э. д. с. представляет собой активный элемент с двумя выводами, напряжение

на которых не зависит от тока, проходящего через источник. Предполагается, что внутри такого идеального источника пассивные элементы (г, L, С) отсутствуют и поэтому прохождение через него тока не вызывает в нем падения напряжения.

Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике от меньшего потенциала к большему возможно за счет присущих источнику сторонних сил. Работа, затрачиваемая сторонними силами на перемещение единицы положительного заряда от вывода «—» к выводу «+», называется электродвижущей силой (э. д. с.) источника и обозначается е

В соответствии со сказанным выше напряжение на выводах рассматриваемого источника равно его э. д. с., т. е. u(t) = e (t).

Условные обозначения идеального источника э. д. с. приведены на рис. 1-11, а и б. Здесь стрелкой или знаками + и — указаны положительное направление э. д. с. или полярность источника, т. е. направление возрастания потенциала в источнике для моментов времени, соответствующих положительной функции е (t).

Ток в пассивной электрической цепи, подключенной к источнику э. д. с., зависит от параметров этой цепи и э. д. с. е (t). Если выводы идеального источника э. д. с. замкнуть накоротко, то ток теоретически должен быть бесконечно велик. Поэтому такой источник рассматривается как источник бесконечной мощности (теоретическое понятие). В действительности при замыкании зажимов реального источника электрической энергии — химического источника тока, генератора и т. п. — ток может иметь только конечное значение, так как э. д. с. источника уравновешивается падением напряжения от тока внутри источника (например, в сопротивлении г, индуктивности L).

Источник э. д. с. конечной мощности изображается в виде идеального источника э. д. с. с подключенным к нему последовательно пассивным элементом, который характеризует внутренние параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь (рис. 1-11, в). Обычно внутренние параметры источника конечной мощности незначительны по сравнению с параметрами внешней цепи; они могут быть отнесены к последней или в некоторых случаях могут вовсе не учитываться (в зависимости от соотношения величин и требуемой точности расчета).

Идеальный источник тока представляет собой активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его выводах. Предполагается, что внутреннее сопротивление такого идеального источника бесконечно велико и поэтому параметры внешней электрической цепи, от которых зависит напряжение на выводах источника, не влияют на ток источника.

Условные обозначения идеального источника тока приведены на рис. 1-12, а и б. Стрелка в источнике тока или знаки + и — указывают положительное направление тока i (t) или полярность источника, т. е. направление перемещения положительных зарядов, или, что то же, направление,. противоположное направлению движения отрицательных зарядов, для тех моментов времени, когда функция i (t) положительна.

По мере неограниченного увеличения сопротивления внешней электрической цепи, присоединенной к идеальному источнику тока, напряжение на его выводах и соответственно мощность, развиваемая им, неограниченно возрастают. Поэтому идеальный источник тока, так же как и идеальный источник напряжения, рассматривается как источник бесконечной мощности.

Источник тока конечной мощности изображается в виде идеального источника тока с подключенным к его выводам пассивным элементом, который характеризует внутренние

а — идеальные источники; б — генератор постоянного тока с независимым возбуждением; в — генератор постоянного тока с последовательным возбуждением.
параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь (рис. 1-12, в).

Представляя собой теоретическое понятие, источник тока, как будет показано ниже , применяется в ряде случаев для расчета электрических цепей.

Некоторым подобием источника тока может служить устройство, состоящее из аккумулятора, соединенного последовательно с дополнительным большим сопротивлением. Другим примером источника тока может являться пятиэлектродная усилительная электронная лампа (пентод). Имея внутреннее сопротивление, несоизмеримо большее, чем сопротивление внешней электрической цепи, эти устройства отдают ток, почти не зависящий от изменения внешней нагрузки в широких пределах, и именно в этом отношении они аналогичны источнику тока.

Вольт-амперные характеристики идеальных источников э. д. с. и тока представляются прямыми, параллельными осям i и u (рис. 1-13, а). Реальные источники электрической энергии по своим вольт-амперным характеристикам могут приближаться к идеальным источникам напряжения или тока. Например, в значительной части характеристики u= f (i) напряжение на выводах генератора постоянного тока с независимым возбуждением, а также ток i генератора постоянного тока с последовательным возбуждениемизменяются незначительно. На рис. 1-13, в соответствующая часть характеристики показана сплошной линией.

Линейные электрические цепи

Как уже указывалось выше, настоящая книга посвящена рассмотрению электрических цепей, в которых сопротивления, индуктивности и емкости не зависят от токов и напряжений и их направлений. Такие электрические цепи, как и сами элементы, из которых они состоят, называются линейными, так как напряжение и ток в каждом элементе связаны линейным уравнением — алгебраическим или дифференциальным первого порядка.

Действительно, в случае если параметр r не зависит от u и i, то закон Ома (1-1) выражает линейную зависимость между напряжением и током. Если L и С не зависят от и и г, то напряжение и ток связаны линейным дифференциальным уравнением (1-4) в случае индуктивности и уравнением (1-8) в случае емкости.

Что касается активных элементов линейных электрических цепей, то условием линейности идеального источника э. д. с. является независимость напряжения от тока, проходящего через источник, а условием линейности идеального источника тока является независимость тока от напряжения на его выводах.

Реальные электротехнические и радиотехнические устройства, строго говоря, не подчиняются линейному закону. При прохождении тока через проводник выделяется тепло, проводник нагревается и его сопротивление изменяется. С изменением тока в индуктивной катушке с магнитопроводом соотношение между потокосцеплением и током, т. е. параметр L, не остается постоянным. В зависимости от диэлектрика в большей или меньшей степени изменяется и емкость конденсатора в функции заряда (или приложенного напряжения).

¹    Обмотка возбуждения питается от постоянного источника.'
²    Обмотка возбуждения соединена последовательно с цепью якоря.

К нелинейным устройствам относятся, кроме того, электронные, ионные и полупроводниковые приборы, параметры которых зависят от тока и напряжения.

Если в рабочем диапазоне, на который рассчитывается то или иное устройство, т. е. при заданных ограниченных пределах изменений напряжения, тока и т. и., закон линейности с достаточной для практики степенью точности сохраняется, то такое устройство рассматривается как линейное.

Исследование и расчет линейных цепей сопряжены, как правило, с меньшими трудностями, чем исследование и расчет нелинейных цепей. Поэтому в тех случаях, когда линейный закон достаточно близко отражает действительность, цепь рассматривается как линейная.

Основные определения, относящиеся к электрической схеме

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов рассматриваемой электрической цепи.

«Электрическими» элементами схемы служат активные и пассивные элементы цепи. «Геометрическими» элементами схемы являются ветви и узлы.

Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами цепи (рис. 1-14). В общем случае, если состав ветви неизвестен, последняя изображается прямоугольником.

Ветвь электрической цепи — участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток (ГОСТ 19880-74).

Узел — место соединения трех или большего числа ветвей (рис. 1-15) Линии, связывающие ветви в схеме, представляют соединения без сопротивлений. Поэтому, например, схемы рис. 1-15, а и б в электрическом смысле одинаковы: они содержат один узел.

Ветви, присоединенные к одной паре узлов (рис. 1-16), называются параллельными.

Рисунок 1-17 в виде примера иллюстрирует электрическую схему, содержащую пять ветвей и три узла.

Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром. На рис. 1-17 указано

стрелкой направление обхода одного из контуров, образованных в данной электрической схеме.

¹ Место соединения двух ветвей рассматривается как «устранимый» узел.

В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают одноконтурные и многоконтурные схемы. Одноконтурная схема является простейшей. Пользуясь правилами преобразования схем, в ряде случаев представляется удобным заменить многоконтурную схему одноконтурной, что упрощает расчеты.

Если ток в электрической цепи постоянен, т. е. его значение не изменяется во времени, то отсутствует явление самоиндукции: производная потокосцепления по времени равна нулю и напряжение, например, на индуктивной катушке определяется только падением напряжения от тока в сопротивлении катушки. Схема замещения индуктивной катушки для этого случая приводилась на рис. 1-9, а.

В свою очередь, если не учитывать проводимости диэлектрика конденсатора, т. е. . рассматривать конденсатор как идеальную емкость, то ветвь с такой емкостью представится в электрической схеме цепи постоянного тока разомкнутой: постоянный ток через емкость не проходит.

Таким образом, при рассмотрении электрической цепи постоянного тока в установившемся режиме, при котором напряжения и токи в цепи являются постоянными, пассивными элементами схемы являются сопротивления, а активными — источники постоянной э. д. с. или постоянного тока.

Индуктивности и емкости учитываются в схемах цепей переменного тока и при переходных (неустановившихся) процессах, возникающих в электрических цепях при переходе от одного режима к другому.

Вольт-амперная характеристика участка цепи с источником

Закон Ома может быть применен к участку цепи с источниками, и для такого участка может быть построена вольт-амперная характеристика.

На рис. 1-18, а показана ветвь с последовательно соединенными источником постоянной э. д. с. Е и сопротивлением r. Через ветвь проходит ток i, значение которого в общем случае зависит не только от данного источника э. д. с., но и от источников остальной части электрической цепи, присоединенной к выводам 1 и 2.

При указанных на рис. 1-18, а направлениях э. д. с. и тока потенциал вывода 2 выше потенциала вывода 1 на э. д. с. за вычетом падения напряжения от тока i в сопротивлении r. Следовательно, напряжение на выводах ветви равно:

По этому уравнению строится вольт-амперная характеристика, которая называется также внешней характеристикой (рис. 1-18, б).

Тангенс угла а пропорционален сопротивлению r. При отрицательном знаке тока i напряжение на сопротивлении r складывается с э. д. с. Е и в этом случае u > Е.

Рис. 1-19. Параллельное соединение сопротивления и источника постоянного тока.  a — схема; 6 — вольт-амперная характеристика.

На рис. 1-19, а показан участок цепи, состоящий из источника постоянного тока I с параллельным сопротивлением r. Так же как и в предыдущем случае, значение и направление тока i, проходящего через выводы 1 и 2, зависят не только от данного источника, но и от источников остальной части цепи, присоединенной к выводам 1 и 2. При указанных на рис. 1-19, а направлениях токов через сопротивление от вывода 2 к выводу 1 проходит ток I — i,создающий напряжение

По этому уравнению строится вольт-амперная характеристика (рис. 1-19, б).

Таким образом, вольт-амперные характеристики участков цепи, состоящих из линейного сопротивления, соединенного последовательно с источником э. д. с. или параллельно с источником тока, прямолинейны.

Из сопоставления вольт-амперных характеристик рис. 1-18 и 1-19 видно, что источник напряжения конечной мощности эквивалентен источнику тока конечной мощности при условии Е = rI и потому они могут быть взаимно заменяемы.

Распределение потенциала вдоль цепи с сопротивлениями и источниками э. д. с.

Допустим, что на участке цепи, изображенном на рис. 1-18, а, ток i = I задан.

Обозначив часть сопротивления r и соответствующее напряжение относительно вывода 1, получим по аналогии с (1-9) Следовательно, зависимость представляется прямой линией (рис. 1-20), причем тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс пропорционален I:

где — масштабы, в которых отложены на рис. 1-20 напряжения и сопротивления.

При переходе через источник, э. д. с. по направлению, совпадающему с направлением действия э. д. с., потенциал возрастает скачкообразно на Е, затем при прохождении через сопротивление (по направлению тока) убывает прямолинейно на падение напряжения . Если не выделять сопротивление r, а рассматривать его как сопротивление источника напряжения, равномерно распределенное внутри самого источника, то график изменения потенциала внутри источника представится в виде прямой О А (рис. 1-20).

Теперь рассмотрим какую-нибудь неразветвленную электрическую цепь постоянного тока, содержащую сопротивления и источники э. д. с. (рис. 1-21, о), и построим для нее график изменения потенциала. Приравняем нулю потенциал одной точки этого контура. Начав обход контура с этой точки, придем к исходному потенциалу. Примерный график распределения потенциала в этом случае показан на рис. 1-21, б. Следует обратить внимание на то, что при переходе через источник э. д. с. в направлении, противоположном э. д. с., потенциал снижается на эту э. д. с.

На графике наклон прямых линий одинаков, так как ток во всех сопротивлениях один и тот же (одноконтурная цепь). В случае разветвленной цепи, где токи в ветвях различны, наклон прямых линий графика потенциала неодинаков.

Законы Кирхгофа

Основными законами теории цепей наряду с законом Ома являются законы баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).

Распределение токов и напряжений в электрических цепях подчиняется законам Кирхгофа, которые должны быть основательно усвоены для отчетливого понимания материала всех последующих разделов курса.
 

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Суммирование распространяется на токи i в ветвях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом выбранных положительных на-правлений токов: всем токам, направленным к узлу, в уравнении (1-10) приписывается одинаковый знак, например положительный, и. соответственно все токи, направленные от узла, входят в уравнение (1-10) с противоположным знаком. Иначе говоря, всякий ток, направленный от узла, может рассматриваться как ток, направленный к узлу, но имеющий противоположный знак.

На рис. 1-22, а в качестве примера показан узел, в котором сходятся четыре ветви. Уравнение (1-10) имеет в этом случае вид:

Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме электричество одного знака не может накапливаться.

Так, например, для схемы рис. 1-22, б имеем:

 

Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма э. д. с. в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

Обход контура совершается в произвольно выбранном направлении, например по ходу часовой стрелки. При этом соблюдается следующее правило знаков для э. д. с. и падений напряжения входящих в (1-11): э. д. с.

и падения напряжения, совпадающие по направлению с направлением обхода, берутся с одинаковыми знаками.

Например, для схемы рис. 1-23 имеем:

Уравнение (1-11) можно переписать так:

Здесь (м — е) — напряжение на ветви. Следовательно, алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.

Формулы (1-10) и (1-11) написаны в общем виде для мгновенных значений токов, напряжений и э. д. с.; они справедливы для цепей как переменного, так и постоянного тока.

График изменения потенциала, рассмотренный в предыдущем параграфе, служит графической иллюстрацией второго закона Кирхгофа.

Применение комплексных чисел и векторных диаграмм к расчету электрических цепей

Применение комплексных чисел позволяет использовать законы, формулы и методы расчетов, которые применяются в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока.

Представление синусоидальных функций в виде проекций вращающихся векторов

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей синусоидального тока, рассмотренная в предыдущей главе, практически применима только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа контуров и источников, взаимных индуктивностей и т. п.

С усложнением электрических цепей тригонометрическая форма расчета становится крайне затруднительной и требуется метод, позволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит метод комплексных амплитуд (комплексный метод), основанный на замене рассмотрения синусоидальных функций рассмотрением вращающихся векторов. Все последующее изложение курса ТОЭ и других электротехнических и радиотехнических дисциплин базируется на этом методе

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 3-1).

Пользуясь показательной или полярной формой записи комплексного числа, имеем

здесь А —модуль; а — аргумент или фаза; (в электротехнике _не пользуются обозначением так как буква t обозначает ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи комплексного числа:

или соответственно алгебраическую форму:

где

Очевидно
Вектор, вращающийся в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, с угловой скоростью «в может быть выражен следующим образом:

где — комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = О

(рис. 3-2). Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции.

Множитель является оператором вращения; умножение комплексной амплитуды А на означает поворот вектора А на угол в положительном направлении.

Записывая комплексную функцию (3-1) в тригонометрической форме

заключаем, что синусоидальная функция может рассматриваться как мнимая часть комплексной

функции (3-1), взятая без множителя j, или, что то же, как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записывается так:

Символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплексной функции.

Аналогично косинусоидальная функция может быть в случае необходимости представлена как действительная часть комплексной функции (3-1)

где символ Re обозначает, что берется действительная часть комплексной функции.

Если синусоидальные функции имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы «вращаются с одинаковой угловой скоростью и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

На рис. 3-3, а показаны две синусоидальные функции: имеющие одинаковую угловую частоту . Функция опережает по фазе функцию причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз:

Этот угол и образуют между собой векторы, показанные на рис. 3-3, б.

При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдвиге, равном нулю, векторы направлены в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).

При фазовом сдвиге векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой

Векторное представление синусоидальных функций, частота которых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих функций. Ввиду того что сумма проекций двух векторов равна проекции геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза результирующей кривой могут быть найдены из векторной диаграммы.

Например, если двум синусоидальным функциям соответствуют комплексные амплитуды Л и В, то сумме этих синусоидальных функций соответствует комплексная амплитуда С = А + В (рис. 3-4, а).

Из графического построения следует:

¹ В отличие от векторных диаграмм кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.

Здесь угол у находится с учетом знаков числителя и знаменателя, определяющих знаки синуса и косинуса.

В случае, когда вектор В вычитается из вектора А (рис. 3-4, б), угол в (3-2) и (3-3) заменяется или, что то же,

Законы ома и кирхгофа в комплексной форме

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного и параллельного соединений элементов r, L и С.

Последовательное соединение r, L и С

Положим, что в уравнении Кирхгофа


заданными являются параметры r, L, С и синусоидальное напряжение на цепи, а искомой величиной является ток i. Ввиду того что здесь рассматривается установившийся режим цепи синусоидального тока, решение этого дифференциального уравнения должно дать синусоидальную функцию вида:

где — пока неизвестные амплитуда и начальная фаза тока.

Пусть в соответствии с предыдущим параграфом заданное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией а искомый синусоидальный ток — комплексной функцией    комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно:

Сложение, дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций в уравнении (3-4) заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:

Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Объясняется это коммутативностью операций сложения, дифференцирования и интегрирования относительно символической операции Im. Итак, (3-5) преобразуется следующим образом:

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется мнимая часть, должны быть равны друг другу. Производя дифференцирование и интегрирование, получаем:

Здесь следует обратить внимание на то, что при интегрировании функции постоянная интегрирования опущена, так как в рассматриваемом установившемся режиме цепи синусоидального тока электрические заряды или напряжения на емкостях представляют собой синусоидальные функции, не содержащие постоянных слагающих.

В результате сокращения всех частей уравнения (3-6) на множитель получается алгебраическое комплексное уравнение

Ток может быть вынесен за скобки. При этом вводится условное обозначение для комплексного

сопротивления рассматриваемой электрической цепи:

Таким образом, получается уравнение

выражающее закон Ома для комплексных амплитуд.

Разделив обе части уравнения (3-9) на получим закон Ома для комплексных действующих значений1:

- Следовательно,    комплексное сопротивление    электрической    цепи    равно    отношению комплексного    напряжения

на данной цепи к комплексному току в этой цепи.

Комплексное сопротивление Z представлено в выражении (3-8) в алгебраической форме. Та же величина в тригонометрической и показательной (полярной) формах имеет вид:

Здесь | — модуль комплексного числа Z — представляет собой полное сопротивление цепи, а — аргумент комплексного числа Z:

На основании (3-9) комплексная амплитуда тока

где — начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в тригонометрической форме

что совпадает с результатом, полученным ранее.
Комплексный действующий синусоидальный ток (комплексный ток) — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно действующему синусоидальному току и его начальной фазе (по ГОСТ 19880-74),

На рис. 3-5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (3-10). Рисунок 3-5, а относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (х > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения > 0). Рисунок 3-5, б относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (х < 0) и поэтому ток опережает по фазе напряжение (ф < 0).

В случае чисто реактивной цепи (r = 0) ток отстает от напряжения по фазе на , если сопротивление цепи индуктивно, и опережает напряжение на при емкостном сопротивлении цепи.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рис. 3-5, О напряжение на сопротивлении г (совпадает по фазе с токомнапряжение на индуктивности L (опережает ток I на угол ) и

напряжение на емкости С (отстает от тока I

на угол

Геометрическая сумма векторов Дает вектор приложенного к цепи напряжения:

Прямоугольный треугольник, катетами которого являются а гипотенуза которого равна называется треугольником напряжений;и представляют собой соответственно активную

и реактивную составляющие напряженияЕсли все стороны-векторы этого треугольника разделить на вектор I, то получится треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений и повернутый относительно последнего на угол по ходу часовой стрелки.

Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию уравнения (3-11). Его положение не зависит от начальных фаз; сопротивление r откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивное сопротивление х в зависимости от его знака откладывается в положительном (х > 0) или отрицательном (х < 0) направлении мнимой оси (рис. 3-6, а к б).

В треугольнике сопротивлений угол отсчитывается от катета r к гипотенузе Z по аналогии с тем, как отсчитывается угол в треугольнике напряжений от

Параллельное соединение r, L и С

Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенным выше, можно прийти к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, состоящей из элементов r, L и С, соединенных параллельно.

Ограничиваясь записью для комплексных действующих значений, пропорциональных комплексным амплитудам, имеем в соответствии с первым законом Кирхгофа:

здесь ток в сопротивлении г (совпадает по фазе с напряжением—ток в индуктивности

(отстает от напряжения на

— ток в емкости (опережает напряжение на

Выражение

представляет собой комплексную проводимость рассматриваемой цепи; g и b— активная и реактивная проводимости цепи.

Уравнение

выражает закон Ома в комплексной форме. Следовательно, комплексная проводимость электрической цепи равна отношению комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на ее выводах.

Тригонометрическая и показательная (полярная) формы комплексной проводимости имеют следующий вид:

здесь — модуль комплексного числа Y — представляет собой полную проводимость цепи, а аргумент комплексного числа Y:

На основании (3-14) комплексный ток равен:

что соответствует синусоидальному току

На рис. 3-7 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (3-12). Рисунок 3-7, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b > 0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения > 0). Рисунок 3-7, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b < 0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение < 0).

Прямоугольный треугольник с катетами и гипотенузой I называется треугольником токов; и представляют собой соответственно активную и реактивную слагающие тока

Если все стороны-векторы этого треугольника разделить на вектор то получится треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов и повернутый относительно последнего на угол по ходу

часовой стрелки. Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией выражения (3-13): активная проводимость g откладывается на комплексной плоскости в положительном направлении действительной оси, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака

откладывается в отрицательном (b > 0) или положительном (b 0) направлении мнимой оси (рис. 3-8, а и б).

В треугольнике проводимостей угол отсчитывается от гипотенузы У к катету g по аналогии с треугольником токов, где угол ср отсчитывается от

В табл. 3-1 дана сводка уравнений основных элементов цепи в общей форме (дифференциальной, интегральной) и при синусоидальном режиме в тригонометрической И- комплексной формах.

Следует обратить внимание на то, что комплексное сопротивление индуктивного элемента равно а емкостного элемента комплексные проводимости составляют соответственно

При последовательном соединении r, L и С складываются в комплексной форме сопротивления, а при параллельном соединении — проводимости.

В табл. 3-2 приведены выражения комплексных сопротивлений и проводимостей цепи для различных сочетаний элементов r, L и С.

Зависимость между сопротивлениями и проводимостями участка цепи

Пользуясь комплексной формой записи, при заданном комплексном сопротивлении Z = г + jx некоторого участка цепи находим для того же участка цепи комплексную проводимость

В свою очередь если задана комплексная проводимость некоторого участка цепи Y = g — jb, то комплексное сопротивление того же участка цепи

Выражения (3-15) и (3-16) показывают, что реактив-ное сопротивление х и реактивная проводимость Ъ одного и того же участка цепи имеют одинаковый знак.

Кроме того, каждая слагающая проводимости (g и Ь) зависит как от активного, так и от реактивного сопротивлений (т. е. от r и х). Соответственно каждая слагающая сопротивления (r и х) является функцией активной и реактивной проводимостей (g и b).

В зарубежной литературе под реактивной проводимостью обычно понимается величина и соответственно комплексная проводимость записывается в виде

Соотношения справедливы только в частном случае, когда элемент r, L или С рассматривается в отдельности, например:

Предлагается учащимся в виде упражнения написать выражения для активного и реактивного сопротивлений, активной и реактивной проводимостей для всех случаев, указанных в табл. 3-2.
 

Комплексная форма записи мощности

Допустим, что через электрическую цепь проходит синусоидальный ток, причем положительные направления тока и напряжения на выводах цепи приняты совпадающими (рис. 3-9).

Комплексные ток и напряжение равны соответственно:

Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен разности начальных фаз:

Умножим на комплексное значениесопряженное с I:

Отсюда следует, что

Так как напряжение может рассматриваться как сумма активной и реактивной слагающих:  то почленное умножение этих слагающих на

 дает активную и реактивную мощности:

Аналогично мощность может быть выражена через активный и реактивный токи.

Таким образом, комплексная величина определяет действительной частью активную мощность, а мнимой частью реактивную мощность, поступающую в цепь.

Модуль S равен полной мощности. носит название мощности в комплексной форме, или комплексной мощности.

На комплексной плоскости изображает гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого служат Р и Q (рис. 3-10).

Треугольник мощностей, изображенный на рис. 3-10, подобен треугольнику сопротивлений:

Если комплексно сопряженное напряжение умно жить на комплексный ток I, то получится:

Поэтому мощности P и Q на выводах цепи могут быть записаны в следующем виде:

Комплексное сопротивление цепи легко вычислить, если известны комплексная мощность I и действующее значение тока /:

откуда

Воспользовавшись выражением (2-28), получим:

Эта формула справедлива при любой схеме соединений сопротивлений, индуктивностей и емкостей.

Энергетический метод определения комплексного сопротивления применим и к комплексной проводимости:

откуда — комплексная проводимость, сопряженная с Y. Следовательно,

Итак, активные сопротивление и проводимость цепи зависят от поглощаемой цепью активной мощности, а реактивные сопротивление и проводимость — от разности максимальных значений энергии, запасаемых в магнитных и электрических полях.

Условие передачи максимума активной мощности от источника к приемнику

Пусть требуется подобрать комплексное сопротивление нагрузки таким образом, чтобы при заданном комплексном сопротивлении источника обеспечивалась передача максимума активной мощности от источника к приемнику. Обозначим комплексные сопротивления источника напряжения и нагрузки соответственно через

(см. рис. 3-11).

Активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна:

Будем сначала изменять реактивное сопротивление х. Очевидно, при любом значении r ток и соответственно активная мощность достигают наибольшего значения х =

Найдем теперь условие максимума полученной функции в предположении, что r — переменная величина, т. е. из условия, что = 0; это даст:

откуда

На основании найденных равенств заключаем, что условием, передачи максимума активной мощности источником приемнику является равенство

где — комплексное сопротивление, сопряженное с

При соблюдении этого условия приемник потребляет мощность

и к. п. д., определяемый как отношение активной мощности, потребляемой приемником, к суммарной мощности, поглощаемой активными сопротивлениями цепи, равен 0,5.

В том случае, когда комплексное сопротивление источника имеет индуктивный характер, комплексное сопротивление приемника на основании (3-17) должно быть емкостного характера. Такая компенсация реактивного сопротивления цепи осуществляется на практике с помощью конденсаторов, включаемых последовательно или параллельно нагрузке.

Если условие (3-17) не выполняется, то относительное отклонение передаваемой активной мощности от максимальной составляет:

В тех случаях, когда реактивное сопротивление источника относительно невелико по сравнению с его активным сопротивлением, условия, близкие к оптимальным, получаются при активной нагрузке, если сопротивление приемника принято равным активному или полному сопротивлению источника.

Например, при поступающая в приемник активная мощность отличается от максимально возможной только на 1,5%; в этом случае компенсации реактивного сопротивления источника практически не требуется.

Формулы, приведенные выше, справедливы и для цепей постоянного тока; при этом комплексные величины заменяются действительными.

Условие передачи источником максимума мощности при заданном коэффициенте мощности приемника

На практике часто возникает необходимость подбора комплексного сопротивления нагрузки таким образом, чтобы при заданных комплексном сопротивлении источника и коэффициенте мощности приемника обеспечивалась передача максимума полной и соответственно активной мощности от источника приемнику.

Пользуясь условными обозначениями, принятыми в предыдущем параграфе, находим полную мощность на выводах нагрузки:

где— углы комплексных сопротивлений После преобразования получим:

Приняв величину z за переменную, записываем условие максимума функции S:

откуда

или

Следовательно,

Подстановка (3-19) в (3-18) дает:

Таким образом, передача максимума мощности в нагрузку при заданном cos достигается при равенстве полных сопротивлений нагрузки и источника. При этом передаваемая мощность тем больше, чем больше по абсолютному значению разность углов сопротивлений нагрузки и источника

Если условие (3-19) не соблюдается, то относительное отклонение передаваемой полной мощности от максимальной составляет:

Практически допустимы отклонения от условия (3-19), при которых значение (3-20) не превышает заданного предела.
Условия передачи максимума мощности широко используются в радиотехнике, электропроводной связи, автоматике и приборостроении. В энергетических же системах, генерирующих и потребляющих большие мощности, стремятся обеспечить высокий к. п. д. генераторов; поэтому сопротивления нагрузок значительно превышают сопротивления генераторов.
 

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что для любой электрической цепи соблюдается закон баланса активных мощностей: активная мощность, генерируемая источниками, равна активной мощности, потребляемой всеми приемниками.

В свою очередь можно показать, что и сумма отдаваемых реактивных мощностей равна сумме потребляемых реактивных мощностей.

Если воспользоваться комплексной формой записи токов, напряжений и мощностей, то высказанные положения будут вытекать из следующих рассуждений.

Для электрической цепи, содержащей q узлов, можно написать по первому закону Кирхгофа q — 1 уравнение вида:  

где положительные направления всех токов приняты от узла k к узлам 1, 2, ..., q.

Умножим каждое из этих уравнений на комплексное напряжение, отсчитываемое от соответствующего узла к узлу q, и просуммируем эти произведения:

откуда с учетом того, что

И

получим:

Итак сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями электрической цепи, равна нулю; следовательно, также равны нулю в отдельности алгебраические суммы действительных и мнимых частей мощностей.

Иначе говоря, равны нулю как алгебраическая сумма потребляемых всеми ветвями цепи активных мощностей, так и алгебраическая сумма потребляемых реактивных мощностей.

Поскольку отрицательные потребляемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то отсюда следует закон баланса как активных, так и реактивных мощностей.

В случае цепи постоянного тока сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях, причем знаки мощностей источников определяются по указанному выше правилу: мощность положительна при совпадении направлений э. д. с. Е и тока I, проходящего через источник, и отрицательна при встречных направлениях э. д. с. и тока. В последнем случае, если источником энергии служит аккумулятор, мощность EI расходуется на его зарядку; если же источником служит генератор, то мощность EI расходуется на механическую работу (генератор работает в режиме двигателя).
 

Потенциальная (топографическая) диаграмма

Рассматривался график распределения потенциала для простейшей цепи постоянного тока. В случае цепи синусоидального тока аналогично строится другой график, который называется потенциальной или топографической диаграммой напряжений. Эта диаграмма представляет собой векторную диаграмму, на которой отложены комплексные потенциалы отдельных точек заданной цепи по отношению к одной точке, потенциал которой принят за нуль. Таким образом, порядок расположения векторов падения напряжения на диаграмме

строго соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме. Конец вектора напряжения на каждом последующем элементе примыкает к началу вектора напряжения предыдущего элемента. При таком построении векторной диаграммы напряжений каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на потенциальной диаграмме.

Потенциальная диаграмма позволяет весьма просто находить напряжения между любыми точками цепи: действующее значение и фаза искомого напряжения определяются прямой, соединяющей соответствующие точки потенциальной диаграммы.
На рис. 3-12 изображена схема неразветвленной электрической цепи и для нее построена потенциальная диаграмма напряжений. Направления векторов напряжений на потенциальной диаграмме увязаны с произвольно выбранным направлением вектора тока I.

Обход схемы ведется навстречу положительному направлению тока I. В соответствии с порядком расположения в схеме элементов на диаграмме изображены векторы напряжений:

Начала и концы векторов (рис. 3-12, б) пронумерованы в соответствии с нумерацией точек, принятой на схеме (рис. 3-12, а).

Напряжение между какими-либо двумя точками схемы, например, на участке 2—4 схемы, взятое в положительном направлении тока I, определяется по потенциальной диаграмме вектором соединяющим точки 2 и 4 диаграммы и направленным на диаграмме от точки 4 к точке 2.

Это соответствует известному правилу вычитания векторов, согласно которому какой-либо вектор представляющий собой разность напряжений (или потенциалов) направлен от конца вектора к концу вектора Итак, вектор напряжения на диаграмме направлен к точке высшего (уменьшаемого) потенциала, а то же напряжение на схеме указывается стрелкой, направленной от высшего потенциала к низшему.

Если при построении потенциальной диаграммы обход схемы совершался бы в положительном направлении тока I, то изменилась бы нумерация начала и конца каждого вектора напряжения на потенциальной диаграмме, что противоречило бы принятому правилу расстановки индексов при вычитании векторов.

Геометрические места на комплексной плоскости

Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости

Графическое изображение зависимостей комплексных величин от параметра

Исследование зависимости какой-либо комплексной величины (или отношения комплексных величин) от переменного параметра сводится к нахождению зависимостей модуля и угла от параметра.

При пользовании прямоугольной системой координат строятся кривые модуля и угла, которые в совокупности и характеризуют изменение исследуемой величины. Вместо

зависимостей модуля и угла в прямоугольной системе координат могут быть построены зависимости от параметра действительной и мнимой частей исследуемой комплексной величины.

Таким образом, графическое изображение исследуемой зависимости в прямоугольной системе координат осуществляется с помощью двух кривых: модуля и угла или соответственно действительной и мнимой частей.

При комплексной форме записи полное представление о зависимости исследуемой величины от параметра может быть достигнуто с помощью одной кривой, изображаемой на комплексной плоскости. Сущность такого графического изображения заключается в том, что исследуемое комплексное выражение представляется на комплексной плоскости вектором, геометрическое место конца которого при изменении входящего в это выражение параметра изображается кривой. Эта кривая, называемая также годографом, наглядно показывает изменение модуля и фазы рассматриваемой комплексной величины в зависимости от параметра.

Такой графический метод применим к комплексным амплитудам — напряжениям, токам, мощностям — и комплексным сопротивлениям, проводимостям, передаточным функциям и т. п.

Переменным параметром электрической цепи может служить какая-либо из величин, характеризующих источник электрической энергии или пассивный элемент: модуль или фаза э. д. с. (или тока) источника, частота сопротивление r, индуктивность L, взаимная индуктивность М, емкость С или соответственно реактивная составляющая сопротивления или проводимости и т. д.'

В качестве переменного параметра может рассматриваться полное сопротивление z при неизменном значении аргумента  или, наоборот, переменным параметром может служить угол при постоянном z.

Изменение каждого из этих параметров может быть графически представлено на комплексной плоскости. Например, изменение активного или реактивного сопротивления изображается прямой, параллельной соответственно действительной или мнимой оси. Изменение полного сопротивления при постоянном угле ф изображается прямой линией, образующей с действительной осью угол В свою очередь изменение угла при неизменном z изображается окружностью радиусом z.

Преобразование вида

Положим, что вектор Z при изменении соответствующего параметра описывает на комплексной плоскости окружность или прямую. Требуется построить геометрическое место конца вектора

Пусть точка на комплексной плоскости Z служит центром окружности, радиус которой равен R. Комплексная форма уравнения такой окружности может быть представлена так:

или

Подстановка Z = 1/Y дает:

или, что то Же,

Из сопоставления (6-2) с (6-1) следует, что вектор У

D

описывает окружность радиусом с центром в точке  комплексной плоскости Y.

Наиболее удаленной от начала координат точке b окружности Z соответствует наиболее близко расположенная к началу координат точка окружности Y,' и наоборот. Диаметры соответствующих окружностей, проходящие через начало координат, образуют с действительной осью одинаковые углы, отсчитываемые в противоположных направлениях (рис. 6-1). Следует заметить, что координаты центров окружностей векторов Z и Y не подчиняются условию Y = 1/Z; иначе говоря,

В случае, когда окружность проходит через начало

координат, и на основании (6-1)

Вектор Y описывает при этом прямую, находящуюся на расстоянии от начала координат (рис. 6-2). Диаметр

окружности Z, проходящий через начало координат, и перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую Y, образуют с действительной осью одинаковые углы (отсчитываемые в противоположные стороны).

Уравнение прямой Y получается, если обе части уравнения (6-2) умножить на и затем перейти к пределу Тот же результат можно получить непосредственно из (6-3), заменяя

В свою очередь уравнение прямой линии в плоскости Z, не проходящей через начало координат, записывается по аналогии с (6-4):

При этом уравнение окружности, описываемой вектором Y, имеет вид:

Если геометрическим местом вектора Z служит прямая, проходящая через начало координат под углом к действительной оси, то геометрическое место вектора У представляет собой прямую, также проходящую через начало координат и образующую с действительной осью угол — (рис. 6-3).

Преобразования прямой в окружность и окружности в окружность иллюстрированы ниже на примерах простейших электрических цепей.
 

Диаграммы сопротивлений и проводимостей простейших электрических цепей

Рассмотрим диаграммы сопротивления и проводимости цепи с последовательным, параллельным или смешанным соединением при изменении одного параметра.

Последовательное соединение:

При изменении сопротивления r (рис. 6-4, а) геометрическим местом комплексного сопротивления Z — г  + jx служит прямая, параллельная действительной оси

(рис. 6-4, б). Геометрическим местом комплексной проводимости - является полуокружность, проходящая через начало координат комплексной плоскости Y, диаметр которой равен (рис. 6-4, в)

Вторая половина окружности, соответствующая отрицательным значениям r, из рассмотрения исключается.

Значению r = О соответствует наиболее удаленная точка окружности Y, а значению точка 0 в плоскости Y.

При х > 0 геометрическое место конца вектора Z располагается в первой четверти, а при х < 0 — в четвертой четверти комплексной плоскости.

Соответственно полуокружность Y при х > 0 располагается в четвертой четверти, а при х < 0 — в первой четверти.

При изменении реактивного сопротивления х (рис. 6-5, а) геометрическим местом вектора Z служит прямая, параллельная мнимой оси (рис. 6-5, б). Геометрическим местом конца вектора У = 1/Z является окружность, проходящая через начало координат комплексной плоскости; диаметр окружности равен (рис. 6-5, в).

Значениям х > 0 соответствует нижняя, а х < 0 — верхняя полуокружность.

При х = 0 цепь имеет только активное сопротивление и соответственно активную проводимость. При проводимость цепи равна нулю.
 

Параллельное соединение:

При изменении сопротивления r (рис. 6-6, а) геометрическим местом конца вектора служит прямая, параллельная действительной оси (рис. 6-6, б). Геометрическим местом конца вектора является полуокружность (рис. 6-6, в); верхняя при х > 0 и нижняя при х < 0;

диаметр окружности равенЗначениюсоответствует начало координат, а значению диаметрально противоположная точка окружности.

При изменении реактивного сопротивления х (рис. 6-7, а) геометрическим местом конца вектора Y- служит прямая, параллельная мнимой оси (рис. 6-7, б), а геометрическим местом конца вектора окружность диаметром r,

проходящая через начало координат (рис. 6-7, в). Значениям х > 0 соответствует верхняя, а x< 0 — нижняя полуокружность. При х = 0 полное сопротивление цепи равно нулю, а полная проводимость бесконечно велика.

При сопротивление и проводимость цепи являются активными.

Смешанное соединение

Рассмотрим в качестве примеров две схемы цепи со смешанным соединением элементов.

На рис. 6-8, а показана схема цепи, в которой переменным параметром является реактивное сопротивление х.

Диаграмма Z такой цепи (рис. 6-8, б) отличается от диаграммы Z (рис. 6-7, в), тем, что окружность смещена относительно начала координат на величину сопротивленияИзменение х может быть обусловлено изменением частоты или параметра L и С.

На рис. 6-9, а показана схема цепи, в которой переменным параметром является емкость С. Проводимость ветви r, L равна:

проводимость ветви с емкостью равнаСледует отметить, что резонанс токов наступает при

При этом комплексная проводимость всей цепи равна а комплексное сопротивление

Геометрическим местом конца вектора Y служит прямая, параллельная мнимой оси (рис. 6-9, 6), а геометрическим местом конца вектора Z — окружность, проходящая через начало координат; диаметр окружности равен г +

(рис. 6-9, в). Часть окружности, начерченная тонкой линией, исключается из рассмотрения, так как она соответствует отрицательным значениям С.

Рассмотренные здесь диаграммы сопротивлений и проводимостей изображают в определенном масштабе и диаг-

раммы: 1) тока при заданном напряжении на зажимах цепи; 2) напряжения при заданном токе I, проходящем через церь; 3) комплексной мощности

при заданных U или I.

Если начальная фаза заданного напряжения (или тока) отлична от нуля, то диаграмма тока (или напряжения) поворачивается на-соответствующий угол (см. пример 6-1).

Пример 6-1.

Напряжение на выводах участка цепи, состоящего из последовательно соединенных сопротивления r и емкости С, задано (рис. 6-10, а). Построить круговые диаграммы тока и напряжения на сопротивлении при изменении r от нуля до бесконечности.

Круговая диаграмма тока повернута относительно диаграммы проводимости, изображенной на рис. 6-4, в (для случая х < 0), на угол , равный начальной фазе приложенного напряжения.

Диаметр круговой диаграммы тока равен току соответствуете следующему значению r= 0 и опережающему

Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током. В силу равенства конец вектора rl описывает окружность, диаметром которой служит