Дифференциальная геометрия - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Определения

Определение 6.1. Вектор-функцией в трёхмерном пространстве векторов

Если аргумент вектор-функции обозначить через то вектор-функцию можно записать как 

В дальнейшем мы будем рассматривать трёхмерный случай, но везде, где не упоминаются векторное и смешанное произведения векторов, все без изменений сохраняется для двумерного случая.

Если в задан базис то вектор-функцию можно представить координатами в этом базисе; при этом будем употреблять запись где — обычные числовые («скалярные») функции. Напомним, что в линейной алгебре вектор представляется столбцом его координат в некотором базисе. Запись столбца координат нам сейчас неудобна, поэтому будем записывать строку с последующим транспонированием Если в другом базисе где — матрица перехода от базиса к базису эта же вектор-функция имеет координатный столбец  то

Определение 6.2. Говорят, что где — один из 6 СПС, если в некотором базисе  и

Определение 6.3. Вектор-функция называется непрерывной в точке если существует

Определение 6.4. Пусть Если вектор-функция имеет в некотором базисе координатный столбец причём существуют конечные то вектор, имеющий в том же базисе координатный столбец  называется производной вектор-функции в точке применяется обозначение В этом случае вектор-функция называется раз дифференцируемой в точке (дифференцируемой при дважды дифференцируемой при и т.д.).

Замечание:

Определения 6.2 и 6.4 формально зависят от выбора базиса. Покажем, что определение 6.4 даст тот же вектор если выбрать другой базис Если функции имеют конечную производную в точке то из (6.1) следует, что то же можно сказать про функции причём

Таким образом, координатный столбец вектора по определению 6.4 в базисе (левая часть 6.2) получается из координатного столбца этого же вектора по определению 6.4 в базисе е (в правой части (6.2)) по обычным формулам перехода от базиса е к базису что означает независимость определения 6.4 от выбора базиса. Аналогично можно доказать независимость от выбора базиса определения 6.2.

Лемма 6.1. Если числовые функции и вектор-функции непрерывны в точке то в этой точке непрерывны также следующие функции (скалярные и векторные):

Докажем, например, утверждение 4). В силу замечания о независимости определения 6.2 от выбора базиса, достаточно доказать непрерывность всех координатных функций вектор-функции в некотором ортонормированием правом базисе Но в этом базисе

И все координатные функции
непрерывны в точке значит, непрерывной является и вектор-функция

Лемма 6.2. Если числовые функции и вектор-функции дифференцируемы в точке  то в этой точке:

2) В координатах в ортонормированном базисе

Утверждения 1) и 3) доказываются аналогично.

Лемма 6.3. Если вектор-функция дифференцируема в точке то

Соответствующее равенство справедливо для всех координатных функций, значит, и для вектор-функции.

Определение 6.5. Числовая функция называется непрерывно дифференцируемой на промежутке I, если она дифференцируема на I. а сё производная , дополненная соответствующими значениями односторонних производных в концах I (если они принадлежат I), непрерывна на этом промежутке (см. определения 4.8 и 3.10).

Определение 6.6. Числовая функция называется дважды дифференцируемой на промежутке I, если во всех внутренних точках I существует конечная а в концах промежутка (если они ему принадлежат) имеет соответствующие односторонние производные. При этом под значениями в концах промежутка понимаются соответствующие односторонние производные. Например, для отрезка

Аналогично дастся определение трижды и т.д. дифференцируемой (функции на промежутке I.

Определение 6.7. Вектор-функция называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) на промежутке I, если таковыми же являются все её координатные функции в некотором базисе.

Аналогично определениям 6.2 и 6.4, определение 6.7 не зависит от выбора базиса.

Отметим, что для вектор-функций теорема Лагранжа, вообще говоря, неверна. Например, пусть в ортонормированном базисе в вектор-функция имеет координатный столбец  Поэтому равенство
невозможно ни при каком значении  так как модуль вектора в правой части этого равенства при любом равен

Лемма 6.4 (заменитель теоремы Лагранжа для вектор-функций). Если вектор-функция непрерывна на и дифференцируема на то существует точка такая, что

Рассмотрим числовую функцию По леммам 6.1 и 6.2 она непрерывна на и дифференцируема на Тогда по теореме Лагранжа существует точка такая, что т.е.

Так как для любых векторов выполняется неравенство

Если то лемма верна для любого значения  Если то из последнего неравенства получаем:

Для числовых функций во многих случаях фактически применяется не сама теорема Лагранжа, а лишь неравенство, аналогичное только что доказанному. Для вектор-функций ничего другого мы не имеем.

Кривые в пространстве

Аналогично определению 4.3 кривой на плоскости, дастся определение кривой в трёхмерном пространстве.

Определение 6.8. Пусть — три функции переменной где (I — некоторый промежуток). Тогда множество точек пространства называется кривой в пространстве (если не оговорено противное, координаты точек рассматриваются в прямоугольной правой системе координат). Кривая Г называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.), если таковой же является вектор-функция с координатным столбцом на промежутке I.

Следует отметить, что во многих курсах дифференциальной геометрии под кривой понимают не множество точек Г, а отображение по закону Для множества точек Г применяют другие названия, например, «носитель кривой». Мы не будем усложнять изложение основ дифференциальной геометрии кривых такими тонкостями.

Кривую в пространстве можно рассматривать как множество концов векторов для данной вектор-функции начала которых помещены в начало координат («годограф вектор-функции» ). Физический смысл — траектория движущейся точки ( — координаты точки в момент t).

Определение 6.9. Кривая Г называется простой, если соответствие между I и Г, осуществляемое функцией , является взаимно однозначным.

Кривую можно записать в векторном виде:

Пусть — внутренняя точка — точка кривой, соответствующая значению параметра — точка, соответствующая значению параметра Если кривая простая, то при точки не совпадают. Проведём через точки прямую (хорда кривой). Она имеет направляющий вектор 

Определение 6.10. Пусть — единичный направляющий вектор хорды простой кривой проходящей через точки направленный в сторону возрастания t (от если и от если ); здесь  — внутренняя точка промежутка I. Если существует то прямая с направляющим вектором  проходящая через точку называется касательной к кривой Г в точке (см. рис. 6.1)

Касательную интуитивно можно представить как «предельное положение» хорды при

Отмстим, что вектор введённый в определении 6.10, определяется равенством

Теорема 6.1. Если для простой кривой Г: существует но внутренней точке промежутка I, то кривая имеет касательную в точке, соответствующей значению параметра Вектор является направляющим вектором касательной, направленным в сторону возрастания t.

Равенство (6.3) можно переписать в виде

Так как по лемме 6.3  то по лемме 6.1  и если  то существует  Так как вектор направлен в сторону возрастания t, то это же можно сказать и о «предельном» векторе Векторы же одинаково направлены.

Пример №1

Рассмотрим дугу окружности Это — простая кривая, и вектор направлен по касательной к окружности против часовой стрелки (в сторону возрастания t); так как
(см. рис. 6.2). 

Физический смысл: если точка описывает траекторию  то вектор мгновенной скорости в момент направлен по касательной к кривой в точке в сторону возрастания t.

Отмстим, что если дифференцируемая кривая на плоскости задаётся уравнением то её можно параметризовать так: Направляющий вектор касательной имеет координатный столбец Касательная к этой кривой в смысле определения 4.5 (определение касательной к графику функции ) имеет угловой коэффициент т.е. тот же направляющий вектор.

Определение 6.11. Кривая Г: называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема на I  и при всех (в концах I рассматриваются односторонние производные, определяемые как векторы, координаты которых — соответствующие односторонние производные координатных функций).

Замечание:

Если — конец I, принадлежащий этому промежутку, то аналогично определяется соответствующая односторонняя касательная к кривой и доказывается аналог теоремы 6.1 для односторонней производной  или

Гладкая кривая в любой точке имеет касательную, векторное уравнение которой Непрерывно дифференцируемая кривая, имеющая в любой точке касательную, не обязана быть гладкой в смысле определения 6.11. Так, парабола на плоскости, имеющая касательную в каждой точке, может быть параметризована следующим образом: при этом в точке вектор — нулевой и кривая не является гладкой.

В определении касательной 6.10 вектор хотя он и выражается через параметр, имеет чисто геометрическую природу, при другой параметризации кривой он может разве что измениться на противоположный.

Поэтому касательная не зависит от параметризации кривой. Но если одна и та же кривая (как множество точек на плоскости или в пространстве) задастся по разному параметрическими уравнениями, то при одной параметризации она может быть гладкой, а при другой — нет.

Пример №2

Рассмотрим кривую на плоскости. Это — парабола Производная вектор-функции Кривая является гладкой, она в точке имеет касательную с направляющим вектором Это понятно и из геометрического определения (см. рис. 6.3). Ясно, что единичный вектор направленный в сторону возрастания t, имеет «предельное значение» Кривая задаст ту же параболу, поэтому для нас опять-таки но гладкой она не является; как мы уже видели,

 

Пример №3

Рассмотрим кривую Она не является гладкой, так как Касательной в точке она не имеет, так как 
  Есть только односторонние касательные (совпадающие) в этой точке, кривая имеет характерную форму клюва.

Определение 6.12. Пусть одна и та же кривая параметризуется двумя способами: (т.е. (т.е.  причём функция отображает промежуток на множество  Если функция непрерывно дифференцируема на при всех то функция называется допустимой заменой параметра (ДЗП).

Лемма 6.5. При ДЗП простая непрерывно дифференцируемая кривая остаётся простой непрерывно дифференцируемой, гладкая кривая остаётся гладкой, касательная к кривой в данной точке не изменится.

Так как — непрерывная непостоянная функция на промежутке то из леммы 3.11 следует, что — также промежуток. Но при всех поэтому Аналогично,
Значит, непрерывно дифференцируемая кривая остаётся непрерывно дифференцируемой, и, так как  гладкая кривая остаётся гладкой.

Функция непрерывна и отлична от нуля на Значит, либо для всех либо (если функция принимает два значения разного знака, то по теореме Больцано-Коши 3.13 найдётся точка, где ). Поэтому по теореме 5.5 функция строго монотонна на значит, она осуществляет взаимно однозначное соответствие между И если соответствие между и Г было взаимно однозначным, то соответствие между  и Г также будет взаимно однозначным. Простая кривая остаётся простой.

Наконец, рассмотрим некоторую точку кривой с радиусом-вектором Так как , то направляющие векторы касательной в двух параметризациях коллинеарны. Значит, касательная в фиксированной точке остаётся той же. 

Пример №4

Рассмотрим верхнюю полуокружность единичной окружности Её можно параметризовать двумя способами:

1)

2)

При этом  при замена не является допустимой. А вот если (соответственно ), замена уже будет допустимой. Кстати, в первой параметризации ни при одном значении и кривая будет гладкой на любом промежутке изменения t.

Так как то во второй параметризации кривая не будет даже дифференцируемой на [-1; 1], но является гладкой на (—1; 1). Направляющий вектор касательной в точке кривой при (или, что то же, ) равен

— векторы коллинеарны, но противоположно направлены. Это говорит о том, что при возрастании t и при возрастании кривая пробегается в разные стороны (при возрастании t против часовой стрелки, т.е. налево по х, а при возрастании — направо по х).

Определение 6.13. Кривая Г: называется простой замкнутой, если она простая при и

Например, окружность — простая замкнутая кривая.

Длина кривой

Пусть Рассмотрим на кривой Г: точки и построим из отрезков прямых ломаную линию, вписанную в кривую Г. Длина её определяется как сумма длин входящих в неё отрезков. Если кривая не является простой, то возможно совпадение соседних точек и Тогда длина соответствующего отрезка равна 0.

Определение 6.14. Длиной кривой Г: называется точная верхняя грань множества длин ломаных, вписанных в кривую Г. Если длина кривой конечна, то кривая называется спрямляемой.

Будем обозначать длину кривой Г: через

Лемма 6.6. Если В частности, если кривая Г спрямляема при то она спрямляема и при 

Пусть (т.е. либо конечна, либо бесконечна). Рассмотрим любую ломаную, вписанную в Г при и продолжим её до ломаной, вписанной в Г при Длина меньшей ломаной не превосходит длины большей, следовательно, не превосходит . Тогда и (как точная верхняя грань, см. лемму 1.3). Если то доказывать нечего.    

Лемма 6.7. Если кривая Г спрямляема при то при любом имеет место равенство

Спрямляемость Г при и при  следует из леммы 6.6. Обозначим

Рассмотрим произвольную ломаную вписанную в Г при  и произвольную ломаную вписанную в Г при (см. рис. 6.5). Их объединение —ломаная , вписанная в Г на Так как Зафиксируем ломаную Переходя в последнем неравенстве к точной верхней грани по всем силу леммы 1.3 получим: Переходя затем к точной верхней грани по  получим: 

Рассмотрим теперь произвольную ломаную вписанную в Г. Если одна из её вершин соответствует значению параметра (как на рис. 6.5), то Если ни одна из вершин не соответствует то существует номер такой, что (вершины ломаной соответствуют значениям параметра ). Рассмотрим ломаную вписанную в Г при такую, что первые её звеньев совпадают с первыми звеньями ломаной а последнее звено — отрезок, соединяющий точки, соответствующие (см. рис. 6.6). Рассмотрим также ломаную вписанную в Г при такую, что первое её звено — отрезок, соединяющий точки, соответствующие  и остальные совпадают с оставшимися звеньями Тогда Итак, для любой ломаной вписанной в данную кривую Г, Переходя к точной верхней грани, получим: Получаем неравенства в обе стороны, значит,

Замечание:

Если не требовать спрямляемость Г (т.е. ), то лемма сохраняет силу.

Следствие. Если кривая Г спрямляема при и то она спрямляема и при

Лемма 6.8. Непрерывно дифференцируемая кривая Г = спрямляема, и её длина где

По лемме 6.1 — непрерывная функция на По теоремам 3.11 и 3.12 она ограничена и достигает своей точной верхней грани. Поэтому можно рассматривать  

Длина любой ломаной, вписанной в кривую Г, равна

(здесь применена лемма 6.4, ).

Поэтому Переходя к точной fc=i

верхней грани, получим:

Теорема 6.2. Пусть кривая Г = непрерывно дифференцируема, и —длина той части кривой Г, которая соответствует изменению параметра от а до Тогда функция непрерывно дифференцируема на причем при всех (в точках рассматриваются соответствующие односторонние производные).

Из лемм 6.6, 6.7, 6.8 следует, что кривая Г спрямляема, функция определена при всех и возрастает на (вообще говоря, нестрого), причём если a если В любом случае длина кривой при равна Длина отрезка, соединяющего концы кривой, не превосходит длины кривой, поэтому

По лемме 6.8

где так как непрерывная на отрезке функция принимает наибольшее значение в некоторой точке отрезка. После деления всех частей двойного неравенства на получим

(здесь использовано то, что функция возрастает, и, следовательно, при любом знаке знак выражения такой же). Далее,

(в силу лемм 6.3 и 6.1). Так как то по теореме 3.8, применённой к каждой из компонент вектора имеем: Тогда по теореме 3.4 из (6.4) следует, что существует 

Замечание. Гладкость кривой в условии теоремы 6.2 не требуется.

Дифференциал функции обычно называют дифференциалом дуги кривой из теоремы 6.2 следует, что

Вектор, компоненты которого — дифференциалы координатных функций вектор-функции т.е. вектор

называют дифференциалом вектор-функции

Тогда

Если кривая не только непрерывно дифференцируема, но ещё и гладкая, то в каждой её точке т.е. функция строго возрастает на Тогда замена параметра является ДЗП. На любой гладкой кривой можно ввести параметр, равный переменной длине дуги кривой (так называемый натуральный параметр). Уравнения кривой в такой параметризации называют натуральными уравнениями кривой. Обычно полагают Можно положить для некоторого другого значения но если при этом то возникнут оговорки о знаке (при выполняется неравенство ).

Пример №5

Составить натуральные уравнения прямой линии где

Так как то  По следствию из теоремы 4.15 Если положить Натуральные уравнения прямой имеют вид

Пример №6

Составить натуральные уравнения винтовой линии где (cм. рис. 6.7).

Так как  то по следствию из теоремы 4.15: Если положить то Натуральные уравнения винтовой линии имеют вид

Пример №7

График непрерывно дифференцируемой функции на плоскости можно параметризовать так: Тогда Натуральные уравнения можно написать явно, если известна функция, производная от которой равна 

Дважды дифференцируемые гладкие кривые. Кривизна кривой

Определение 6.15. Пусть Г: —дважды дифференцируемая гладкая кривая. Тогда кривизной кривой в точке с радиусом-вектором где — внутренняя точка промежутка I, называется модуль вектора второй производной вектор-функции по натуральному параметру s при значении

Производные по натуральному параметру принято обозначать точками (вместо штрихов). В этих обозначениях кривизна 

Лемма 6.9. Пусть Г: — дважды дифференцируемая гладкая кривая. Тогда для производных вектор-функции по натуральному параметру в точках, соответствующих внутренним точкам промежутка I, имеют место равенства

Пусть Тогда Значит, откуда следует первое из утверждений леммы. Далее,

(формула производной дроби применяется покоординатно). Отметим, что существует по лемме 6.2.  

Лемма 6.10. Если — непрерывно дифференцируемая вектор-функция на интервале I и числовая функция постоянна при то при всех

Доказательство очевидно из равенства выполненного по лемме 6.2 везде, где Если то утверждение и так очевидно. 

Теорема 6.3. Кривизна дважды дифференцируемой гладкой кривой Г: во всех внутренних точках промежутка I вычисляется по формуле

Из леммы 6.9 следует, что  Тогда по лемме 6.10 в точках, соответствующих внутренним точкам промежутка I, и, следовательно,  Применяя снова лемму 6.9, получим

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №8

Вычислим кривизну винтовой линии (см. пример 6.6). Имеем

откуда ( — ортонормированный правый базис):

Тогда т.е. винтовая линия имеет постоянную кривизну. Кстати, окружность радиуса а можно рассматривать как винтовую линию при Поэтому кривизна окружности — величина, обратная радиусу.

Пример №9

Вычислим кривизну плоской дважды дифференцируемой гладкой кривой

Так как то

Пример №10

Вычислим кривизну графика дважды дифференцируемой функции

График можно параметризовать так: Тогда, подставляя в формулу примера 6.9 имеем

Например, для графика кривизна равна  Откуда видно, кстати, что

Выясним геометрический смысл кривизны кривой. Единичный направляющий вектор касательной, направленный в сторону возрастания параметра, равен (теорема 6.1 и лемма 6.9)

Если данная точка кривой соответствует значению параметра и значению натурального параметра то

— мгновенная скорость изменения единичного касательного вектора, а кривизна — модуль этой мгновенной скорости. Пусть — угол поворота единичного касательного вектора при изменении дуги от (см. рис. 6.8).

Так как — дифференцируемая вектор-функция, то

числитель дроби — бесконечно малая величина при  поэтому  т.е. кривизна кривой в данной точке — это модуль мгновенной скорости вращения единичного касательного вектора.

Определение 6.16. Радиусом кривизны дважды дифференцируемой гладкой кривой называется величина, обратная значению её кривизны в соответствующей точке (если то радиус кривизны если ).

Из примера 6.8 и замечания к нему следует, что радиус кривизны окружности в любой точке равен её радиусу.

Кривые с положительной кривизной. Сопровождающий трёхгранник кривой

Как уже отмечалось в §4, единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону возрастания параметра, обозначают Тогда кривизна кривой в точке, соответствующей значению натурального параметра равна

Будем теперь рассматривать дважды дифференцируемые гладкие кривые с положительной кривизной, т.е. такие, для которых Пусть — единичный вектор, сонаправленный с . Тогда из определения кривизны следует, что

Это равенство называется первой формулой Френе.

Определение 6.17. Пусть Г: —дважды дифференцируемая гладкая кривая, имеющая в некоторой точке, соответствующей внутренней точке промежутка I, положительную кривизну (т.е. ). Тогда прямая, проходящая через эту точку с направляющим вектором называется главной нормалью к кривой в данной точке, а прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной и главной нормали, называется бинормалью. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль, называется соприкасающейся плоскостью. Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью. Плоскость, проходящая через главную нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью. Такая конструкция называется сопровождающим трехгранником (трехгранником Френе) данной кривой в данной точке (см. рис. 6.9).

Замечание:

Так как  то из леммы 6.10 следует, что т.е. векторы ортогональны (это уже отмечено в доказательстве теоремы 6.3). Поэтому касательная, главная нормаль и бинормаль — это три взаимно перпендикулярные прямые, а нормальная плоскость —плоскость, проходящая через точку перпендикулярно касательной в данной точке (так можно определить нормальную плоскость для произвольной гладкой кривой). Вектор является единичным направляющим вектором бинормали.

Напишем уравнения прямых и плоскостей сопровождающего трехгранника в параметризации кривой при помощи параметра t.

Как мы уже отмечали, векторное уравнение касательной в точке, соответствующей значению параметра

Векторное уравнение нормальной плоскости:

Далее, так как то векторы не коллинеарны (по лемме 6.9 — линейная комбинация и если и коллинеарны, то они коллинеарны поэтому векторы и — ненулевые коллинеарные векторы, что противоречит ортогональности). Но если то из леммы 6.9 опять-таки следует коллинеарность векторов Значит, и векторы образуют базис в соприкасающейся плоскости. Векторное уравнение соприкасающейся плоскости:

Единичный вектор бинормали коллинеарен а единичный вектор главной нормали коллинеарен вектору Векторное уравнение главной нормали:

Векторное уравнение бинормали:

Векторное уравнение спрямляющей плоскости:

Для трижды непрерывно дифференцируемых гладких кривых первая формула Френе (6.5) может быть дополнена ещё двумя: 

(вторая и третья формулы Френе). Коэффициент называется кручением кривой и вычисляется по формуле

(доказательство этих утверждений мы проводить не будем). Плоские кривые имеют нулевое кручение. Винтовая линия имеет постоянную кривизну (пример 6.8), её кручение также постоянно и в каждой точке равно

Центр кривизны и эволюта

Определение 6.18. Пусть кривая Г:   имеет в точке с радиусом-вектором где — внутренняя точка промежутка I, положительную кривизну. Тогда центром кривизны кривой в точке называется точка, радиус-вектор которой равен (т.е. точка, лежащая на главной нормали в направлении вектора удалённая от точки на расстояние, равное радиусу кривизны).

Определение 6.19. Окружность, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой, центр которой совпадает с центром кривизны, а радиус — с радиусом кривизны кривой в данной точке, называется окружностью, соприкасающейся с кривой в данной точке.

Приведём без доказательства и без аккуратных формулировок следующие интересные утверждения, которые показывают что соприкасающаяся окружность «теснее других» прилегает к кривой.

1) Из всех прямых и окружностей, проходящих через данную точку кривой, соприкасающаяся окружность «теснее других» прилегает к кривой (при расстояние между точкой кривой и соответствующей точкой окружности, т.е. точкой, длина дуги окружности от которой до данной общей точки кривой и окружности также равно s, есть ). Если то такой порядок близости даёт касательная прямая, т.е. касательная — это вырожденный случай соприкасающейся окружности, если В общем случае такое расстояние для касательной есть и касательная прилегает к кривой «теснее» всех прямых, проходящих через данную точку кривой.

2) Если через три точки кривой, соответствующих значениям параметра провести окружность, то в пределе при радиус окружности будет стремиться к радиусу кривизны в точке с радиусом-вектором , а координаты центра окружности — к соответствующим координатам центра кривизны. Образно говоря, предельным положением такой окружности будет соприкасающаяся окружность. Если то радиус окружности будет стремиться к , предельным положением окружности будет касательная прямая.

Определение 6.20. Если дважды дифференцируемая гладкая кривая в каждой точке имеет положительную кривизну, то множество центров кривизны, соответствующих всем точкам кривой, называется эволютой данной кривой. Кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Пример №11

Найти эволюту винтовой линии

Натуральные уравнения винтовой линии (см. пример 6.6):

Тогда    

Далее,  (пример 6.8), поэтому Тогда  Радиус-вектор центра кривизны

Множество центров кривизны — тоже винтовая линия, у которой та же ось тот же шаг винта но другой радиус окружности — проекции на плоскость вместо а). Кроме того, винтовая линия и её эволюта «смещены по фазе» на угол

Пример №12

Найти эволюту плоской дважды дифференцируемой гладкой кривой, заданной уравнениями  

Для плоской кривой (пример 6.9).

Тогда По лемме 6.9 (штрихом обозначаем производную по t; учитываем также, что

Тогда

Параметрические уравнения эволюты (текущие координаты точки эволюты, соответствующие значению параметра обозначим ):

Если плоская кривая является графиком дважды дифференцируемой функции то её можно параметризовать так: Тогда и

Пример №13

Найти эволюту эллипса

Имеем по формулам примера 6.12

Это — астроида (см. рис. 6.10).