Дифференциал функции с примерами решения

Содержание:

Пусть функция

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рис. 12.1 — касательная в точке к графику функции длина отрезкаУчитывая, что согласно геометрическому смыслу производной из прямоугольного треугольника получаем то есть Поэтому длина отрезка равна величине дифференциала функции в точке

Исходя из того, что можно сформулировать геометрический смысл дифференциала:

С геометрической точки зрения, является приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке которому соответствует приращение аргумента

При нахождении дифференциала функции в любой точке на основании формулы (1) получим

Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функцииравенство (2) обращается в равенство Отсюда получаем, что дифференциал аргумента равен приращению аргумента

Подставляя вместо в формулу (2), получаем

Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции.

Пример:

Найдите для функции

Решение:

Поскольку Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь, поэтому правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно:

Обоснуем, например, правило 2: Другие правила обосновываются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что согласно определению производной Используя понятие бесконечно малой функции, это равенство можно записать так: Тогда приращение дифференцируемой в точке функции где

В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно,

Учитывая, что получаем, что второе слагаемое при стремится к нулю быстрее, чем В этом случае говорят, что является величиной более высокого порядка малости, чем то есть второе слагаемое значительно меньше первого. Это позволяет сделать следующий вывод:

• Дифференциал функции является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения (см. рис. 12.1), при расстояние становится значительно меньше, чем расстояние поэтому — главная (т. е. большая) часть отрезка Если в равенстве (4) принебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях значительно меньше первого), то получим приближенное равенство то есть Тогда

Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда нетрудно вычислить.

Пример:

Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение

Решение:

Если рассмотреть функцию Возьмем Тогда и / По Формуле (5) имеем: При получаем

Комментарий:

При вычислении значения по формуле (5) естественно рассмотреть функцию и взять за число 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда и значения / и легко находятся при Значение вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998... .

Понятие о дифференциале функции

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию

Приращение функции у служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке . Однако непосредственное определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим образом: разбивают отрезок на конечное число достаточно малых отрезков и приближенно считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности (например, малый элемент кривой линии рассматривают как прямолинейный; неравномерное движение точки в течение малого промежутка времени трактуют как равномерное ит. п., где «малость» понимается в известном смысле). Иными словами, предполагается, что на достаточно малом отрезке имеет место приближенное равенство

где коэффициент пропорциональности k не зависит от , но, вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности погрешность будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно :, т. е. отношение

будет бесконечно малым при , то величина

называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква d — знак дифференциала). В этом случае, как следует из соотношения (1), справедливо равенство

где при .

Иначе говоря,

Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Слагаемое k в формуле (2) часто называют главной линейной частью приращения функции (или главным линейным членом приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функции представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой функции.

Пример:

Пусть функция есть площадь квадрата, сторона которого равна х (рис. 126). Если стороне х дать приращение , то новое ее значение станет х + и, следовательно, площадь у квадрата получит приращение

Первое слагаемое суммы, стоящей в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции при Поэтому

На рис. 126 приращение функции у изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Сформулируем теорему единственности дифференциала:

Теорема: Данная функция может иметь только один дифференциал.

Доказательство: В самом деле, пусть функция у = f(x) имеет два дифференциала: . В силу определения дифференциала имеем

где — бесконечно малые при . Отсюда

и, следовательно, при имеем

Переходя к пределу при в последнем равенстве, получаем

т. е. . Таким образом, дифференциалы dy и dxy совпадают. Теорема доказана.

Из определения дифференциала непосредственно следует: дифференциал функции отличается от приращения этой функции на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством часто пользуются при приближенных вычислениях.

Пример:

Пусть . Найти и dy при значении х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: и

Решение:

Имеем Производя алгебраические выкладки, получим

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции. Следовательно,

Полагая х = 1, получим следующую таблицу:

Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении стремится к 100%, если .

Подробное объяснение понятия дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке  Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством

Отношение не равно, а лишь стремится к и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую

Отсюда

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых.

Так как в общем случае то при постоянном х и переменном произведение есть бесконечно малая величина 1-го порядка относительно

Второе слагаемое - величина бесконечно малая высшего порядка относительно так как 

- главная часть приращения, называют дифференциалом функции и обозначают dy или df(x).

Итак, если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции

Найдём дифференциал функции у = х.

Следовательно, производную  можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Очевидно, что задача нахождения дифференциала равносильна задаче нахождения производной, поэтому большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Свойства дифференциала:

1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов этих функций: 
2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций и определяется формулой: 

Пример:

Пример:

3. Дифференциал сложной функции. Пусть тогда Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важнейшее свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

но

Дополнительный разбор дифференциала функции:

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в некоторой окрестности точки Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где — бесконечно малая величина при откуда

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем , ибо

(см. замечание в § 6.3)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Пример:

Найти приращение и дифференциал функции

Решение:

Приращение функции

Дифференциал функции При имеем Различие между составляет всего 0,02, или 0,5%. ►

Пример:

Найти дифференциал функции

Решение:

откуда

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. ►

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

откуда Теперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем и знаменателем

Определение дифференцируемости функции, её дифференциала. Геометрический и физический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и - любая точка из интервала (а; b); приращение Дх настолько малое, что точка - прирашение функции в точке, соответствующее приращению аргумента .

Определение 12.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки - Функция f называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции может быть представлено в виде:

где А - постоянная величина, не зависящая от х, а - бесконечно малая функция при .

Линейная функция называется дифференциалом функции f в точке и обозначается или dу. Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - это произведение двух бесконечно малых функций в точке и, следовательно, является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем , поэтому . Тогда представление (12.1.1) можно переписать в виде:

или , где. (12.1.2)

Еслии, следовательно, дифференцируемость функции в точке означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента , приращение функции является линейной функцией от . Т.е. функция f в окрестности точки ведет себя «почти как линейная функция:

Если f дифференцируема в точке , то при , T.e.f заведомо непрерывна в этой точке. А вот из непрерывности функции f дифференцируемость не всегда следует, что показывает пример . Действительно, приращение этой функции

при х=0 равно:

что противоречит определению, т.к. мы должны получить , для любою , где А - постоянная одна и та же величина.

Для тождественной функции у = х: , поэтому дифференциалом независимой переменной х считают и обозначают dx, тогда: .

Связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в этой точке устанавливается следующей теоремой.

Теорема 12.1.1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в той точке конечную производную, причем в этом случае

(12.1.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда её приращение можно представить в

виде

. (12.1.4)

Считая и разделив обе части (12.1.4) на , получим:

Правая (и потому и левая) часть этого равенства имеет предел равный А при . Предел левой части при (в случае, ссли он существует) по определению равен производной:

так как - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем . Тогда, подставив в формулу вместо А производную , получим .

Итак, мы доказали, что если для функции f справедливо представление (12.1.4), то эта функция имеет в точкепроизводную, причем .

Достаточность. Пусть существует конечная производная, то есть существует конечный предел

Всякую функцию, имеющую предел в точке можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции (п. 10.5):

Умножив это равенство на , придем к представлению, совпадающему с представлением , при . что и означает дифференцируемость функции f в точке

Из доказательства теоремы следует, что дифференцируемость определяется однозначно. Кроме того, производную можно обозначать . Из теоремы следует также, что понятие дифференцируемости функции в данной точке можно отождествлять с вычислением производной функции в этой точке.

Рассмотрим функцию. Она непрерывна при . Как показано ранее, эта функция не имеет производной в точке . Тогда, учитывая формулу , можно утверждать, что эта функция не дифференцируема в точке ив точке не существует и дифференциал этой функции.

Формула (12.1.3) дает возможность вычислять дифференциалы, зная производные функций. Для этого достаточно производные функций умножить на dx.

Дифференциал, с геометрической точки зрения представляет собой приращение, которое мы получим, если в окрестности рассматриваемой точки заменим график функции отрезком касательной к графику при (рис. 12.1).

Как видно из рисунка (рис. 12.1, а) или фис 12.1,6), или , если у=с.

Мы знаем, что производная пути это величина мгновенной скорости, т.е. . По определению дифференциала ; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента t до момента времени, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент t.

Пример №1

Дана функция . Найти: 1) выражение для дифференциала, соответствующее аргументу х и приращение ; 2) dy и при переходе от точки к точке .

Решение:

1). Для того чтобы найги дифференциал , находим производную . Подставив значение производной, получим выражение для дифференциала .

2). Поскольку , то и dx = 0,2. Подставив эти значения, найдем дифференциал функции: . Приращение заданной функции будет равно: Так как выполняется неравенство 1,0 > 0,52, то дифференциал больше приращения функции: .

Дифференциал сложной функции

Когда аргумент х дифференцируемой функции у = f(x) представляет собой независимую переменную, для дифференциала dy этой функции справедливо равенство . Покажем, что это представление дифференциала является универсальным и оно справедливо также и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим сложную функцию . где .

Определим dz, предполагая, что z зависит от х. По определению дифференциала будем иметь . С другой стороны, так как

.

Следовательно, Сопоставляя это равенство с равенством , замечаем, что, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной - независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Это свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно выбора переменных

Пример №2

Дана сложная функция. Вычислить её дифференциал.

Решение:

Поскольку выражение дифференциала является универсальным. то .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что т.е. приращение функции отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем Поэтому при достаточно малых значениях или откуда

Чем меньше значение , тем точнее формула (9.5). Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вычислениях.

Пример №3

Вычислить приближенно:

Решение:

а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой -й степени. Полагая , найдем в соответствии с (9.5) или .

В данном примере

В качестве возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен , при этом должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять (но, например, не). Итак,

б) Полагая найдем и в соответствии

Учитывая, что ,

возьмем Тогда

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции при некотором значении аргумента , истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение с абсолютной погрешностью |. Если вместо истинного значения возьмем величину, то мы допустим ошибку, равную

При этом относительная погрешность функции

может быть вычислена (при достаточно малых ) по формуле:

где - эластичность функции (см. § 7.6) (по абсолютной величине); — относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента .

Пример №4

Расход бензина автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости (км/ч) описывается функцией . Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости , определенной с точностью до 5%.

Решение:

Найдем эластичность функции (по абсолютной величине).

и по формуле (9.6) относительная погрешность

Пример №5

С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

Решение. Объем шара радиуса равен Найдем и по формуле (9.6)

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычислениях (см. § 14.3).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях и в экономических исследованиях:

Производные и дифференциалы принадлежат к числу основных научных понятий математического анализа и применяются очень часто в практических приложениях.

Применение дифференциала первого порядка основано на том, что разность между приращением функции и ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем дифференциал (см. п. 12.1).

Действительно, из рис. 12.1.1 видно, что дифференциал dy сколь угодно мало отличается от приращения функции , если достаточно мало. И если в достаточно малой окрестности некоторой точки вместо кривой рассмотреть касательную к ней в этой точке, то возникающая при этом погрешность сколь угодно мала, т.е. в сравнении с величинами и dv.

Указанное обстоятельство позволяет с большой степенью точности заменять приращение функции ее дифференциалом, т.е.

Отношение естественно назвать относительном погрешностью, а разность- абсолютной погрешностью формулы (12.3.1).

Формула (12.3.1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно её значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

Так, например, для конкретных функций и

формула (12.3.1) принимает вид:

Пример №6

Найти приближенное значение. Решение: Рассмотрим функцию y = cosx и воспользуемся формулой (12.3.1.). Положим , тогда

Вычислим производную функции

Её значение и значение функции в точке равны:

Подставив в формулу (12.3.1) значение функции, её производной и приращения аргумента, вычислим значение cos31°:

Подробное объяснение применение дифференциала в приближенных вычислениях:

Из рисунка 5.1 видно, что дифференциал функции f(х), равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(х) в данной точке х.

Также видно, что величина дифференциала функции f(х) при приближается к величине приращения Данное свойство в виде приближенного равенства часто используется в приближенных вычислениях.

т.е. -формула для приближённых вычислений.

Рисунок 5.1 - Геометрический смысл дифференциала
 

Пример №7

Вычислить арифметическое значение Обозначив и заменив  получаем  Запишем приближенное соотношение т.е. Подставив известные значения получаем В наших обозначениях и при таких исходных данных имеем (берется только арифметическое значение квадратного корня) и окончательно

Точное (с точностью до 6 знаков после запятой) значение

Дополнительное объяснение применения дифференциала в приближенных вычислениях:

Рассмотрим формулу (6.2):

Откуда

Если пренебречь то  или

    (6.3)

а это означает, что в достаточно малой окрестности точки  график функции можно «заменить» графиком касательной

проведенной к графику функции в этой точке.

Если  то формула (6.3) принимает вид  и тогда очевидными становятся ряд эквивалентностей бесконечно малых функций.

Пример:

Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функции сводится к следующему: если необходимо вычислить значение функции  для но сделать это весьма затруднительно, то «вблизи» точки выбирается точка  такая, чтобы значения  и находились легко, и на основании (6.3) приближенно вычисляется значение

Пример №8

Вычислить приближенно  

Решение.

Рассмотрим функцию  Пусть тогда

и на основании формулы (6.3) получим

Ответ: 

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале (а; b). Ее дифференциал является функцией двух переменных: точки х и переменной dx. Но дифференциал независимой переменной dx не зависит от х и рассматривается как постоянная величина. Значение дифференциала от первого дифференциала называется вторым дифференциалом функции f в точке и обозначается , т.е.

Для дифференциала n-ого порядка справедлива формула:

Докажем это. Для n=1 и n=2 эта формула доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка n-1, т.е.

Тогда вычисляя дифференциал от дифференциала получим:

поскольку не зависит от х и рассматривается как постоянная.

Заметим, что формула (12.4.1) справедлива, когда аргумент х является независимой переменной, тогда второй дифференциал независимой переменной равен нулю: . Эта формула позволяет представить производную n-ого порядка в виде частного

Пример №9

Найти , если у = cos х.

Решение:

Воспользуемся формулой (12.4.1) для. Для этого вычислим производную второго порядка функции . Подставив, получим: .

Дифференциалы высших порядков по зависимым переменным не удовлетворяют формуле (12.4.1).Так. для сложной функции, дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

Видно, что полученная формула существенно отличается от формулы (12.4.1), т.к. , вообще говоря. Другими словами, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Пример №10

Вычислить дифференциал второго порядка сложной функции

Решение:

Чтобы воспользоваться формулой (12.4.2) для дифференциала второго порядка сложной функции, перепишем её в виде

и вычислим производные и дифференциалы функций

Подставив значения производных и дифференциалов, получим: где производная функции преобразована к виду:

Как определить дифференциал высшего порядка:

Пусть x — независимая переменная, у = f(x) — дифференцируемая функция. Согласно формуле (4)  имеем

таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от двух аргументов: х и dx.

В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифференциал независимой переменной х — имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от независимой переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.

Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х, пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропорциональности, равным dx. Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал в таком случае последний называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f(x); а дифференциал, определяемый формулой (1), носит более точное название дифференциала первого порядка (или первого дифференциала).

Определение: Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е.

Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или третьим дифференциалом) d³f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е.

Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем теперь формулу для дифференциала второго порядка функции f(x) от независимой переменной х, предполагая, что эта функция дважды дифференцируема, т. е. имеет произврдную второго порядка. Так как

то вследствие формулы (2) имеем

Если х — независимая переменная, то dx, равный Ах, очевидно, не зависит от х, т. е. dx по отношению к переменной х играет роль постоянной. Поэтому в формуле (3) множитель dx можно вынести за знак дифференциала и мы получим

Так как f'(x) снова есть некоторая функция от х, то из формулы (1) следует

Отсюда окончательно находим

где

Таким образом, получаем теорему:

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению производной второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной.

Замечание. Формула (4), вообще говоря, неверна, если х не является независимой переменной, так как здесь dx нельзя рассматривать как множитель, не зависящий от х.

Если положить f(x) = y, то формулу (4) можно переписать так: ; отсюда имеем

т. е. производная второго порядка от данной функции равна отношению дифференциала второго порядка этой функции к квадрату дифференциала независимой переменной.

Если х есть независимая переменная, то аналогично формуле (4) имеем

И т. д.

Положим теперь в формулах (4) и (5)

Тогда . Следовательно,

Получаем теорему:

Дифференциалы высших порядков от независимой переменной равны нулю.

Подробнее о дифференциалах высших порядков:

Если рассмотреть дифференциал первого порядка и определить дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то в результате получим

т. е. 

Выполнив аналогичные действия можно получить дифференциал третьего порядка и т. д. Тогда дифференциал

го порядка 

Следует заметить, что уже дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности формы.

Понятие о дифференциалах высших порядков:

Для дифференцируемой функции у = f(х) согласно (5.1) где дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Полагаем, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.

Аналогично дифференциалом n-го порядка функции у = f(х) называется дифференциал от дифференциала n-1 порядка этой функции, т.е.

Дифференциалы второго и более порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.

Геометрический смысл дифференциала

Возьмем на графике функции произвольную точку . Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение (см. рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой в точке , которая образует угол с положительным направлением оси т.е. Из прямоугольного треугольника

т.е. в соответствии с (9.2)

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Не следует думать, что всегда Так, на рис. 9.2 показан случай, когда

Подробнее о геометрическом смысле дифференциала:

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Рассмотрим график функции у = f(x).

Пусть — две точки данной кривой (рис. 127). В точке М проведем касательную МТ к графику функции (здесь Т — точка пересечения касательной с M'N || Оу) и рассмотрим Д MTN с катетами M. Если через обозначить угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, то будем иметь

Но из геометрического смысла производной следует . Поэтому

Таким образом, имеем теорему:

Дифференциал функции у = f(x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение

Замечание. Приращение функции (рис. 127), вообще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции. В частности:

1)если график функции вогнут вверх, то

2)если же график функции вогнут вниз, то

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Рассмотрим теперь некоторые свойства дифференциала, аналогичные свойствам производной.

В дальнейших формулировках мы будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые функции имеют производные, т. е. являются дифференцируемыми.

Дифференциал постоянной

Дифференциал постоянной равен нулю.

Полагая в формуле (4) из  у = с и = 0, получаем

dc = 0.

Дифференциал суммы

Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

В самом деле, если и, v и w — дифференцируемые функции от независимой переменной х, то, например, имеем

Умножая обе части на dx, получаем

Отсюда согласно формуле (4) из  выводим

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

Имеем

Полагая здесь с постоянной и, следовательно, dc = 0, получим

Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

В самом деле, если с постоянно, то

Умножив обе части этого равенства на dx, получим

или

Дифференциал произведения

Дифференциал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на дифференциал второго плюс произведение второго сомножителя на дифференциал первого.

В самом деле, если и и v — дифференцируемые функции от х, то имеем

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал частного

Дифференциал дроби (частного) равен также дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

Мы имеем

Умножив обе части на dx, получим

Отсюда

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции дифференцируемы).

Пусть . Положим ф(х) = и и, следовательно, у = f(u). Если f(u) и ф(х) — дифференцируемые функции, то согласно теореме о производной функции от функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на дифференциал dx независимой переменной х, получим

Но ; следовательно, равенство (1) можно переписать так:

Замечание. Формула (2) по внешнему виду совпадает с формулой (4) из, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (4) х естьлезависимая переменная и, следовательно, dx = , тогда как в формуле (2) и есть функция от независимой переменной х и поэтому, вообще говоря, .

Из формулы (2) следует такая теорема.

Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

На основании формул для производных получаем соответствующую таблицу для дифференциалов, где и — произвольная дифференцируемая функция.

Инвариантность формы дифференциала

Рассматривая   как функцию независимой переменной , мы получили, что Рассмотрим функцию , где аргумент сам является функцией от , т.е. рассмотрим сложную функцию . Если --дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в § 7.4, равна

Тогда дифференциал функции

ибо по формуле (9.2) Итак,

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть различие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. , а в формуле (9.4) дифференциал функции есть лишь линейная часть приращения этой функции и только при малых

Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции согласно (9.3) т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов:

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от . В этом случае есть некоторая функция , которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

Аналогично дифференциалом -го порядка (или -м дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, т.е. .

Найдем выражение для . По определению . Так как не зависит от , т.е. по отношению к переменной является постоянной величиной, то множитель можно вынести за знак дифференциала, т.е.

Итак,

где , а в общем случае

т.е. дифференциал второго (и вообще -го) порядка равен произведению производной второго (-го) порядка на квадрат (-ю степень) дифференциала независимой переменной. Из формул (9.8) и (9.9) следует, что

и вообще

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

Бесконечно малые величины

1.В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через .

О пределение. Бесконечно малой величиной вблизи называется функция, зависящая от и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к .

Например, является бесконечно малой величиной при условии, что стремится к 3; и являются бесконечно малыми при условии, что стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие . Таким образом, будем говорить, что , , являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии .

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь прямоугольника со сторонами и является бесконечно малой при любых , так как

Пример:

Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и , является бесконечно малым, так как

Пример:

Объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны и является бесконечно малым, так как

Пример:

По закону Ома , где — напряжение, — сопротивление и — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Пусть дана бесконечно малая величина , т. е. . Рассмотрим предел отношения при :

Если этот предел существует и равен нулю,то бесконечно малая величина называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Если предел равен конечному числу ^*, то бесконечно малые и называются величинами одного порядка; если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми.

^* - этот предел может зависеть от других переменных, отличных от .

Пример:

Пусть . Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем , так как

Пример:

Пусть ; — бесконечно малая того же порядка, что и , поскольку

Пример:

—бесконечно малая, эквивалентная , так как

Пример:

. Так как , то есть бесконечно малая более высокого порядка, чем .

В заключение параграфа рассмотрим функцию . Пусть приращение независимого переменного равно , тогда приращение функции равно . Так как приращение независимого переменного не зависит от величины , то для вычисления нужно задать величину и величину , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных и .

Пример:

Пусть дана функция . Ее приращение равно . Если , а , то . Если же и по-прежнему , то . Здесь сохраняет значение 1, но, поскольку меняется, изменяется и .

Если , а , то . Если же , а , то . Здесь сохраняет значение 2, но меняется, поэтому меняется и .

Если —функция непрерывная, то, по определению, ее приращение стремится к нулю при условии, что приращение независимого переменного стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Что такое дифференциал

Пусть дана непрерывная функция , имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от и от . Обозначим эту ошибку через . Тогда вместо равенства (1) можно написать

Про ошибку мы знаем, что

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка является бесконечно малой относительно приращения независимого переменного. Если умножим обе части равенства (2) на , то получим

или

В левой части равенства (4) стоит приращение функции , а в правой части—два члена: и . Оценим порядок малости этих членов:

Очевидно, что первый член (если ) одного порядка с , т. е. является линейным относительно , а второй член является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно . Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение дифференциала

Определение: Дифференциал есть та часть приращения функции , которая линейна относительно h. Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного. Дифференциал функции обозначают или , или , так что

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение: Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается , так что имеем

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример №11

Найдем дифференциал функции .

Решение:

Так как , то.

Пример №12

Вычислим значение дифференциала функции , если и .

Решение:

Так как , то . Подставляя сюда вместо его значение 2, а вместо его значение 0,1, получим

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что . Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )' и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциалов

Таблица дифференциалов функции:

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу в следующем виде:

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях и .

Пример №13

Пусть . Положим и . Применяя формулу куба суммы, получаем

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, что , получим

Сравнивая формулы и , видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле равен двум последним членам в формуле , т. е. . Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях и :

Если бы мы захотели вычислить не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член . Тогда получается приближенная формула

(знак ≈: обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины , так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем , тогда . Применяя формулу (2), получаем

Если положить , то полученному результату можно придать следующий вид:

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой.

Например, зная, что , вычисляем . Здесь , поэтому получаем

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как применяя формулу (2), получаем

Зная, что и , и полагая в предыдущей формуле , найдем

Напоминаем, что здесь есть радианная мера угла. Например, вычислим . Переведем сначала градусную меру угла в радианную: , тогда

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение: Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции. Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция , ограниченная осью , двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением (рис. 73).

Будем считать, что прямая неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки есть постоянная величина. Прямую же будем двигать, т. е. абсцисса точки будет переменной. Обозначим ее через .

Ясно, что площадь криволинейной трапеции будет изменяться в зависимости от величины ; значит, площадь есть функция . Обозначим ее . Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал. Дадим приращение , тогда площадь получит приращение (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины до (от точки до точки ) функция , т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения и наименьшего значения . На рис. 73 и .

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , его площадь равна . Прямоугольнике тем же основанием и высотой имеет площадь, равную .

Очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше площади первого на величину . Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения , а площадь первого больше этого приращения, так что

Следовательно, приращение отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем . Обозначим разность между приращением и площадью через , тогда

Величина меняется вместе с и всегда меньше . Обозначим через разность между площадью и приращением , получим: . Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях ,

и, во-вторых, если , то точка приближается к точке . Точка , абсциссу которой обозначим через , заключена между и поэтому при точка также приближается к точке , следовательно, . Функция предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

где —бесконечно малая относительно . Также можно заключить, что

где —бесконечно малая относительно . Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Так как удовлетворяет неравенству (2), то , а в силу равенства (7)

Таким образом, установлено, что и и являются бесконечно малыми. Кроме того, член есть бесконечно малая высшего порядка относительно .

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно : первый из них линеен относительно , а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно плюс величина высшего порядка относительно , а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен , т. е.

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади криволинейной трапеции, ограниченной осью, кривой, заданной уравнением прямой и подвижной прямой, параллельной оси .

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Пример №14

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой, заданной уравнением , прямой и подвижной прямой, параллельной оси .

Решение:

Находим дифференциал этой площади: , а следовательно и производную:

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

где не зависит от , и

Тогда

откуда

“

т. е. —производная заданной функции.

Пример №15

Найти производную от функции , определенной геометрически как объем, ограниченный:

1. поверхностью , полученной от вращения вокруг оси дуги , принадлежащей параболе ;
2. плоскостью перпендикулярной оси и отстоящей от начала координат на расстояние (рис. 74).

Решение:

Ясно, что объем зависит от величины , т. е. является функцией . Возьмем произвольное число . Соответствующее значение функции будет определяться объемом, ограниченным поверхностью и плоскостью Дадим приращение . Объем, т. е. функция , в связи с этим получит приращение . Это приращение показано на рис. 75 и отдельно а рис. 76: оно ограничено поверхностью и плоскостями и . Плоскости и пересекаются с поверхностью по окружностям (так как —поверхность вращения). Обозначим эти окружности и .

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием образующую, параллельную оси , и высоту ; второй имеет основанием и образующую, также параллельную оси (рис. 77). Объем первого цилиндра обозначим

через , а второго — через . Из чертежей ясно, что приращение функции больше объема , и меньше объема , т. е. . Но объемы и легко подсчитать:

Разность объемов и (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Приращение отличается от , на некоторую часть разности поэтому

где — некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

то член , стоящий в правой части равенства , является бесконечно малой высшего порядка малости относительно . Поэтому равенство является частным случаем равенства . Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство , т. е. производная от функции равна .

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример №16

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности , радиус внутренней поверхности , высота . Найдем объем материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Решение:

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен , а объем внутреннего равен , то объем цилиндрического слоя равен

или

Если стенка трубы тонкая, то и мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через . Тогда формула примет вид

или

Второй член, стоящий в правой части равенства , второго порядка относительно . Поэтому при член становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями и . Его объем равен , т. е. как раз тому, что дает формула .

Дифференциал функции и его свойства и геометрический смысл

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки х, т.е. существует конечный предел Так как предел конечен, то можно записать приращение функции в виде где - бесконечно малая функция в изучаемой окрестности данной точки. Сравним первое и второе слагаемые с бесконечно малой функцией Для первого слагаемого имеем т.е. оно является бесконечно малой функцией того же порядка малости, что и величина Для второго слагаемого получаем, что те оно является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем величина Это означает, что первое слагаемое является главной частью указанной суммы.

Определение: Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента называется дифференциалом функции:

Пример №17

Найти дифференциал функции,

Решение:

Используя определение, находим

Если то ее дифференциал Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению: Отсюда получаем, что дифференциал функции можно записать в виде Таким образом, для производной можно ввести новую формулу Такая форма записи производной очень удобна для вывода различных формул.

Пример №18

Получить формулу производной от сложной функции

Решение:

Используя формулу для производной от функции, записанную в дифференциалах, найдем

Дифференциал функции обладает следующими свойствами:

• 1. ;
• 2. ;
• 3.;
• 4. Дифференциал от сложной функции равен .

Выясним геометрический смысл дифференциала функции (Рис. 73):

Рис. 73. Геометрический смысл дифференциала.

Из рисунка видно, что дифференциал функции с геометрической точки зрения описывает приращение касательной при приращении аргумента

Применение дифференциала функции

Пусть дана функция у = f(x), тогда при приращении аргумента функция получает приращение Это приближенное равенство позволяет по виду функции и известному значению функции в заданной точке вычислить значение функции в приращенной точке:

Замечание: Полученное приближенное равенство тем точнее дает значение функции в приращенной точке, чем меньше приращение аргумента.

Пример №19

Вычислить

Решение:

В данном примере задана функция В качестве точки х выбираем значение х = 4, из которого легко извлекается квадратный корень: Приращенной точкой является точка Таким образом, приращение аргумента равно Производная от заданной функции согласно таблице производных Следовательно,

Пример №20

Вычислить

Решение:

В этом примере Следовательно,

Дифференциалы и производные высших порядков

Пусть дана функция тогда согласно определению ее дифференциал равен Дифференциал аргумента dx равен его приращению и не зависит от переменной х. Однако производная функции в общем случае является функцией аргумента х. В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента х. Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

Определение: Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции:

Определение: Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е.

Пример №21

Вывести формулу второй производной от параметрически заданной функции.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Таким образом, вторая производная от параметрически заданной функции задается системой Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков: и так далее.

Замечание: Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.

Замечание: Производные высших порядков могут быть записаны в виде и т. д.

Пример №22

Найти второй дифференциал функции

Решение:

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функции Следовательно, второй дифференциал равен

Пример №23

Найти n-ую производную от функции

Вычислим последовательно первую вторую и третью производные Используя последовательное дифференцирование, найдем n-ую производную от функции

Определение: Произведение чисел от 1 до n, равное n!, называется факториалом.

Пример №24

Найти n-ую производную от функции

Решение:

Вычислим последовательно первую вторую и третью производные Таким образом, n-ая производная от функции равна самой функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции.

Теорема 12.5.1. (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (а. b) ив точке принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале. Тогда, если в точке существует производная то она равна нулю.

Доказательство: Пусть для определенности функция f принимает в точке наибольшее значение, т.е. для всех . Тогда для разностного отношения справедливы неравенства:

Предположим, что в точкесуществует производная функции f т.е. существует предел

Тогда из неравенства (12.5.1) следует, что производная справа а. из неравенства (12.5.2)- что производная слева. Поскольку производная существует, то производная справа должна бьггь равна производной слева. Равенство производных может бьггь в том случае, если производная функции в точке равна нулю:

Геометрически, теорема Ферма означает, что если в точке функция f принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке к графику функции параллельна оси Ох (рис. 12.2).

Заметим, что если функция f определена на отрезке, то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее значение на одном из концов а или b, и когда в этой точке существует производная, то она, вообще говоря, не равна нулю.

Например, функция у=х на отрезке [0, 1] достигает наибольшего и наименьшего значений в точке х=1 и х=0 (рис. 12.3) и в этих двух точках производная не обращается в нуль, хотя производная в этих I очках существует.

Теорема Ролля

Теорема: Пусть дана функция f(х), которая

• непрерывна на сегменте [a; b];
• дифференцируема на открытом интервале (a; b);
• на концах сегмента принимает равные значения

Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что внутри сегмента есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна оси абсцисс (Ох), так как в этой точке производная (Рис. 74).

Рис. 74. Геометрический смысл теоремы Ролля.

В силу того, что функция f(х) непрерывна на сегменте , то по теореме о непрерывных функциях она достигает своего наименьшего m и наибольшего M значений на этом интервале. Рассмотрим два возможных случая:

• а) Наименьшее и наибольшее значения функции совпадают m = М. В этом случае функция f(х) постоянна на сегменте [а; b] и для всех точек этого сегмента производная будет равна нулю, так как производная от константы равна нулю (см. Лекцию № 17).
• б) Пусть Это означает, что внутри сегмента или на его концах существуют точки, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значений. Пусть в точке с функция достигает наибольшего значения f(с) = M, тогда в -окрестности этой точки выполняются неравенства:

Вычисляя пределы от полученных неравенств при получим

Так как производная функции в точке с не может быть одновременно и положительной, и отрицательной, то в этой точке она равна нулю, т.е. Аналогично теорема доказывается, если в точке с функция достигает наименьшего значения.

Замечание: Для выполнения теоремы Ролля важны все три вышеперечисленных условия. Приведем примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля

Рис. 75. Примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля. В случае а) значения функции на концах не равны между собой; в случае б) функция терпит разрыв первого рода в точке с; в случае в) функция не дифференцируема в точке с.

Определение: Точки, в которых первая производная функции равна нулю, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Теорема: (теорема Ферма). Необходимым условием существования экстремума в точке л- функции f(х), которая непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b), является обращение в нуль в этой точке первой производной функции,

• Заказать решение задач по высшей математике

Дополнительное объяснение теоремы Ролля:

Теорема 12.6.1. (теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале (а,b) и f(а)

=f(b). Тогда внутри отрезка найдется точка , такая, что значение производной в этой точке равно нулю:

Доказательство. Согласно теореме 10.9.2 непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба значения достигаются на концах отрезкгц/го они равны ио условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на . Производная такой функции в любой точке интервала (а,b) равна нулю и, следовательно, в качестве точки можно брать любую точку.

В случае, когда М >m и . то хотя бы одно из двух значений М или m достигается в некоторой внутренней точке отрезка. Тогда, по теореме Ферма, производная функции будет равна нулю в этой точке, так как в этой точке она имеет производную.

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис. 12.4): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка интервала (а,b), в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, поскольку в этой точке производная равна нулю.

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа

ТЗ. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента [a; b] есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции (Рис. 76):

Рис. 76. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Составим уравнение секущей AВ, угловой коэффициент которой равен Так как эта прямая проходит через точку то ее уравнение имеет вид Составим вспомогательную функцию В силу того, что эта функция составлена из непрерывных на сегменте и дифференцируемых на открытом интервале функций, следовательно, функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на открытом интервале . Кроме того, легко видеть, что на концах сегмента она принимает равные значения, т.е. имеем Отсюда находим, что функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует, по крайней мере, одна точка в которой Откуда следует утверждение теоремы Лагранжа

Дополнительное объяснение теоремы Лагранжа:

Теорема 12.7.1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка существует точка такая, что

Доказательство. Введем на отрезке новую функцию

где число X выберем таким образом, чтобы, т.е. чтобы

. Для этого достаточно взять

тогда функция F(x) примет вид;

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а,b) и F(a) = F(b) = 0. Следовательно, существует точка такая, что ,T.e.

Откуда следует, что. Теорема доказана.

Формулу (12.7.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 12.5.

Заметим, что отношение является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки кривой это угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку . Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.

Следствие 12.7.1. Если функция f определена на некотором отрезке, имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках и непрерывна на концах отрезка, то она постоянна на рассматриваемом отрезке.

Действительно, каковы бы ни были точки рассматриваемого промежутка, функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке и> значит,

Но и следовательно, для любых двух точек из области определения функции f, что и означает, что f постоянна.

Следствие 12.7.2. Если две функции f и g дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и в этих точках, а на концах отрезка функции f и g непрерывны, то они отличаются лишь на постоянную величину:

Действительно, функция удовлетворяет следствию 12.7.1, т.е. во всех внутренних точках отрезка, поэтому .

Теорема Коши

Теорема 12.8.1. (Теорема Коши) Пусть функции f и g определены, непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (а;b), причем на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка [а;b] существует точка такая, что выполняется равенство:

Доказательство'. Заметим, что так как функция g удовлетворяет теореме Лагранжа, то на интервале существует точка такая, что выполняется равенство ,

Поскольку, на интервале (a,b), то и следовательно,.

Введем на отрезке [а,Ь] вспомогательную функцию F(x):

Эта функция непрерывна на отрезке [а;b] как разность непрерывных функций, дифференцируема на интервале (а,b) и на концах отрезка принимает значения . По теореме Ролля существует точка , такая, что: . Поскольку то

Учитывая, что , отсюда получаем формулу Коши:

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа для случая когда х = g(x).

Правило Лопиталя

Теорема: Если функции f(х) и g(x) непрерывны на сегменте , дифференцируемы на открытом интервале и при одновременно стремятся к нулю или бесконечности ( и ), то для раскрытия неопределенности применяется формула

Доказательство: Докажем случай, когда при функции то есть в точке функции имеют значение Тогда (по теореме Лагранжа) (в силу произвольности точки с)=

Замечание: Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида или . Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя.

Замечание: При применении правила Лопиталя производная дерется отдельно от числителя и отдельно от знаменателя дроби.

Пример №25

Вычислить

Решение:

Так как (применим правило Лопиталя)

Пример №26

Вычислить

Решение:

Замечание: При необходимости правило Лопиталя применяется повторно.

Пример №27

Вычислить

Решение:

В данном примере имеем дело с неопределенностью Предположим, что данный предел существует и равен А, т.е. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (применим правило Лопиталя)= Отсюда находим предельное значение заданной функции

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной

Теорема: Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.

Доказательство: В самом деле, пусть дана некоторая функция у = f(x) и пусть

есть дифференциал этой функции. Согласно формуле (2), приращение может быть записано в следующем виде;

где — бесконечно малая при . Отсюда и, следовательно,

т. е. производная у' существует и равна величине k.

Следствие. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение независимой переменной, т. е.

Теорема: Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.

Доказательство: Пусть функция имеет производную

Отсюда , где — бесконечно малая при Ах 0 и, Ах

следовательно,

В сумме (2) первое слагаемое , очевидно, представляет собой главную линейную часть приращения , т. е. является дифференциалом функции у. Таким образом, функция имеет дифференциал

Теорема доказана.

Замечание. Теперь понятно, почему функция от одной независимой переменной, имеющая производную, называется дифференцируемой.

До сих пор мы пользовались понятием дифференциала функции. Введем понятие дифференциала независимой переменной.

Определение: Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т. е. функции у = х. Так как

то согласно формуле (1) имеем

т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной.

Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно переписать в следующем симметричном виде:

Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Разделив обе части последней формулы на dx, получим

Иными словами, производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.

До сих пор обозначение имело символический характер;

сейчас это выражение мы можем рассматривать как обычную дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Физическое значение дифференциала

Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:

где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время, причем будем предполагать, что точка М движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени dt точка М переместится в точку М', пройдя при этом путь

Это есть истинное приращение пути.

Дифференциал пути dx согласно формуле (4) из равен

Но , представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения v в момент времени t; поэтому

Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктивному приращению пути, которое получится, если предположить, что начиная с данного момента времени точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Например, если спидометр автомобиля показывает 60 км/ч, то шофер, рассчитывая, что за 1 мин пробег машины составит 1 км, фактически вычисляет не приращение пути за 1 мин (которое вследствие неравномерности движения может быть не равно 1 км!), а дифференциал пути.

Приближенное вычисление малых приращений функции

Если мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции fix) ее приращение

отличается от дифференциала

на величину, бесконечно малую относительно Ах. Отсюда имеем приближенное равенство

Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. Заметим, что формула (1') представляет собой линейный член формулы Тейлора.

Пример №28

Найти .

Решение:

Полагая в формуле будем иметь

По таблицам же находим = 1,032.

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.-

Пример №29

Для данной функции

предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна , т. е.

Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности функции у?

Решение:

Из формулы (1) имеем

следовательно, при можно принять

Пример №30

Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Решение:

Здесь . Поэтому ошибка для у = sin х на основании формулы (2), где у' = cos х, может достигать величины . '

Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции

Введем понятие эквивалентных или асимптотически равных бесконечно малых функций.

Определение: Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными или равносильными при , если предел их отношения равен единице, т. е. тогда, когда

Для обозначения равносильности бесконечно малых употребляется знак эквивалентности а именно, пишут .

Так, например,

при , так как

Заметим, что если бесконечно малые эквивалентны, то разность между ними есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

В самом деле, если , то имеем

т. е. имеет порядок выше, чем . Аналогичное рассуждение можно провести также и для а.

Обратно, если разность двух бесконечно малых а и (3 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с одной из них, то эти бесконечно малые эквивалентны.

Действительно, предполагая, например, что

получаем и, следовательно,

В частности, отбрасывая {или прибавляя) от бесконечно малой бесконечно малую высшего порядка, получаем величину, равносильную исходной.

Например, при имеем .

Отметим важное свойство эквивалентных бесконечно малых.

Теорема: При нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные бесконечно малые можно заменять эквивалентными им (предполагая, что предел отношения последних, конечный или бесконечный, существует).

Доказательство: Действительно, пусть и при . Имеем

Переходя к пределу в тождестве (1), получим

Пример №31

Так как при и (поскольку ), то

Теорема: Бесконечно малое приращение функции эквивалентно дифференциалу этой функции при всех значениях независимой переменной у для которых производная функции конечна и отлична от нуля.

Доказательство: В самом деле, если функция у = f(x) дифференцируема, то из формулы (2) имеем

где а — бесконечно мало при .

Так как согласно условию теоремы при имеем , то

Следовательно,

т. е. бесконечно малые и dy эквивалентны при Пример. Пусть f(x) = . Имеем

Поэтому

Замечание. Вообще, если функция f(x) дифференцируема в точке х = 0, то при имеем

Из формулы (3), в частности, при , получаем:

а)sin х ~ х;

б)а^х - 1 ~ х In а (а > 0);

в)1n(1 + х) ~ х.

Что такое дифференцируемость функции

Определение 6.1. Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

   (6.1)

где - некоторое действительное число, а  - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем  при

Теорема 6.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала конечная производная

Доказательство.

Необходимость. Если функция  дифференцируема в точке то из определений 6.1 и 5.1

Достаточность. Если  то по теореме 5.1 в окрестности точки  справедливо равенство

 где  - БМФ при  

Умножив обе части равенства на  получим (6.1). 

С учетом теоремы 6.1 и равенства формулу (6.1) можно переписать в виде

 (6.2)

откуда при  получим

Следовательно, при будем иметь 

где называется главной линейной относительно приращения переменной частью приращения функции при

Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции в точке называется дифференциалом функции в этой точке, т. е.  или  Если т.е. то 

Заметим, что если рассмотреть функцию то в этом случае  и, следовательно, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой: Поэтому дифференциал функции в точке  можно представить в виде

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

Дифференциал функции равен приращению  ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой при приращении аргумента

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

 откуда следует

 откуда следует 

Пусть для функции переменная Если рассматривать как независимую переменную, то где  Если рассматривать как независимую переменную  то

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение 7.1. Функция имеет в точке  локальный максимум {локальный минимум), если такая, что

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Если функция определена на отрезке и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.

Определение 7.2. Точка из области определения функции  называется критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль или не существует.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция определена на  и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует конечная производная то

Доказательство.

Пусть в точке  функция имеет локальный минимум, т. е.  для  Тогда в силу дифференцируемости функции  в точке при

откуда 

при 

откуда

Существование производной возможно лишь при  откуда

Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что  так как односторонние производные на концах отрезка могут быть отличны от нуля.

Геометрический смысл теоремы Ферма. Если -точка локального экстремума функции и существует конечная производная то касательная, проведенная к графику функции в точке параллельна оси

Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция

1) определена и непрерывна на отрезке

2) дифференцируема для

3)

Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция на отрезке то для

2. Пусть По условию непрерывна на отрезке  и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наибольшего  и наименьшего  значений.

Так как  то значения  и не достигаются одновременно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке  Согласно теореме Ферма   

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка обязательно найдется хотя бы одна точка  такая, что касательная к графику функции в точке  параллельна оси

Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции и и пусть:

1) они определены и непрерывны на отрезке 

2) дифференцируемы для

3) 

Тогда найдется точка  такая, что

Доказательство.

Очевидно, что так как в противном случае функция удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка  такая, что а это противоречит условию на интервале 

Введем вспомогательную функцию

Функция

1) определена и непрерывна на

2) т. е. существует на интервале

3)

Следовательно, по теореме Ролля, для функции найдется точка такая, что Тогда

откуда

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция непрерывна на отрезке  дифференцируема на интервале  Тогда найдется точка такая, что

или

    (7.1)

Доказательство.

Рассмотрим наряду с функцией  функцию  Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда

Из последнего равенства легко получается формула (7.1).

Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

 (7.2)

где- некоторое число, при котором

Если в (7.2) принять  то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

При выполнении условий теоремы на интервале найдется точка с такая, что касательная к графику функции в точке  будет параллельна секущей, проходящей через точки и

Следствие 7.1. Пусть функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале Если то функция

Доказательство.

Пусть - любая фиксированная точка из интервала  -любая точка из К отрезку применим теорему Лагранжа для функции Так как то для  Следовательно на 

Следствие 7.2. Пусть функции  и непрерывны на дифференцируемы на  Тогда

Доказательство.

Так как функция непрерывна и дифференцируема на согласно условию, то

Согласно следствию 7.1,

Следствие 7.3. Пусть функция непрерывна на отрезке дифференцируема на интервале  Тогда если  то функция строго монотонно возрастает на если  - строго монотонно убывает на

Доказательство.

Пусть  Рассмотрим  такие, что

По теореме Лагранжа где Так как то Тогда откуда при Таким образом, при функция строго монотонно возрастает на 

Случай доказывается аналогично. 

Правила и формулы дифференцирования

Если 

•  — геометрический смысл производной.
•  — механический смысл производной.
•  — уравнение касательной к графику функции  в точке 

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.

Если производная функции в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.

Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Критическая точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательная  на интервале  то кривая  выпуклая на данном интервале, если вторая производная положительная  то кривая вогнутая на 

Если при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка  является точкой перегиба кривой 

Прямая  называется асимптотой кривой  если расстояние  от точки  кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки  в бесконечность.

Прямая  — вертикальная асимптота кривой  если  либо не существует предела в точке  Если существует конечный предел   то прямая  — горизонтальная асимптота кривой 

Уравнение наклонной асимптоты:  Если оба записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота.